Roteiro de Estudo 1

Anlise de sinais e sistemas: a anlise de FourierMarceloLucas

ObjetivosAoconcluiraleituraeare exosobreosprincipaistpicosdeste roteiro,esperamosquevocestejaapto(a)a: estabelecer a base terica e ferramental analtico para o estudodesistemasdecomunicaoecontrole de nir, bem como, desenvolver o conceito de resposta em frequnciadesistemaslinearesinvariantesnotempo praticarasferramentasmatemticasdeanlisedesinaisno domniodafrequncia.

ConsideraesiniciaisCaro(a)aluno(a)! chegadoomomentodevocrecebermaisumroteirodeestudo. Estematerialfazpartedeumconjuntodedoisroteirosdeestudo que guiar os seus passos no desenvolvimento das atividades no presenciais do componente Anlise de Sinais e Sistemas, do Curso de Engenharia Eltrica, da Universidade de Uberaba. Aqui, voc encontrar o contedo bsico a respeito da Anlise de Fourier, muito utilizada no estudo de sinais e sistemas nas diversasreasdaEngenhariaEltrica. Inicialmente, ser feita uma breve abordagem sobre sinais e sistemas.Emseguida,sertratadaaSriedeFourier,utilizada no estudo dos sinais peridicos. Finalizando, abordaremos a Transformada de Fourier, ferramenta utilizada na anlise dos sinaisnoperidicos. So muitas as aplicaes que utilizam a anlise do espectral comoferramentadeprojeto.Abasedessesestudosestnofato de que os sinais contnuos soformados por um nmero in nito de harmnicos, isto , um somatrio de sinais cossenoidais. Tal ideia surgiu das observaes feitas por Pitgoras das vibraes produzidaspor os,dandoincioaoestudodosharmnicos. Atravs desse trabalho, voc, aluno do curso de Engenharia Eltrica, compreender os conceitos essenciais envolvidos no estudo dos sistemas baseados em anlises espectrais. Sugiro que, ao ler o contedo proposto, voc faa uma sntese das principais di culdades encontradas no desenvolvimento dessa atividade de aprendizagem. Tais di culdades serviro para uma posteriordiscussoentretodososenvolvidosnoprocessoensino aprendizagem,alunos,preceptor,tutorwebeprofessores. 1

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Gostariaderessalvarqueosassuntosaquiabordadosencontram seintegralmentetratadoscomprofundidadenabibliogra absica eseropormeiodasleiturasobrigatriaspropostasnesteroteiro que voc consolidar seus conhecimentos necessrios sua formao. De modo geral, espero que este trabalho possa contribuir de forma signi cativa noseu desenvolvimento pro ssional enquanto acadmico,alm,claro,demostraroestadodaarteemquese encontratalsegmento. Bomtrabalho!Oquenosdiferedosoutrosseresvivosofatodeque pensamos e a liberdade que possumos para escolher nossoscaminhos,portanto,somososnicosresponsveis portudoquepossaviraacontecerconosco. MarceloLucas

IntroduoDe nir,deformaconcisa ecompleta,os sinaisesistemasno umatarefamuitofcil.Vocpodecon rmarissoobservandonas diversas literaturas que tratam desse assunto to importante, e quefazpartedonossodiaadia. Demodogeral,podemosconceituarsinalcomoumarepresentao de uma grandeza fsica varivel no tempo, tal como tenso, corrente, acelerao de um ponto de um corpo, presso num pontodoespao,pHnumpontodeumasoluo,cornumpixelde umateladeTV,dentreoutros. Esse sinal contm algum tipo de informao, geralmente sobre o estado oucomportamento deum sistema fsico. Ossinaisso representados matematicamente por funes de uma ou mais variveis. Em nossos estudos vamos tratar apenas das funes deumanicavarivel. Uma varivel pode ser classi cada como contnua ou discreta, dessaforma,chamaremosde sinaiscontnuosnotempo quando avarivelforde nidaparaumintervalocontnuodetempo. Muitas vezes, importante analisarmos um determinado sinal, no no domnio do tempo, mas no domnio da frequncia. De forma simpli cada podemos, imaginar uma funo temporal comoacomposiodevriascomponentesdefrequnciaque representadaporumafunocossenoidal. Consequentemente, enquanto o sinal existe sicamente no domniodotempo,podemosa rmarqueelecompostoporesses componentes no domnio da frequncia. A anlise no domnio da frequncia ser feita por intermdio da anlise de Fourier, baseadanassriesetransformadasdeFourier.

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EsteroteirodestinadoaoestudodaanlisedeFouriereaoestudo decomoumsinalnodomniodetempopodeserrepresentadono domniodafrequncia.

SinaisesistemasInicialmente, vamos voltar ao conceito de sinal. De forma geral, e no contexto de nossos estudos, um sinal um conjunto de dadosouinformaes,isto,todaquantidade,fsicaouno,que sirvadesuportetransmissodeinformao.Sinaissofunes utilizadas para descrever uma grande variedade de fenmenos fsicosfornecendoinformaesdoseuestadooucomportamento, podendoserdescritosdediversasmaneiras.Os sinais so funes de uma ou mais variveis independentes. Eleleva,associadoasi,ainformao.Assim,podemosdizerqueo sinaloveculoquetransportaainformao.

A natureza do sinal que representa uma quantidade fsica pode ser diversa. Por quantidade fsica, entendemos, por exemplo, uma diferena de potencial, uma corrente eltrica, uma onda eletromagntica, uma onda acstica, a temperatura, a presso, dentre outros. Mas, tambm temos sinais sem suporte fsico, comoporexemplo,umaquotademercado,ouumndicedabolsa num sistema econmico, ou um parmetro de medida biolgico, dentreoutros. Para conceituamos sistema, observe que para cada exemplo de sinal, citado anteriormente, existem elementos que geram, transmitem e recuperam esses sinais. Esses elementos so chamados de sistemas, que podem ser de nidos de forma geral como:Sistemas so entidades que manipulam um ou mais sinais em suaentrada,obtendoassimnovossinais(funes)emsuasada.

Para exempli car esses conceitos, podemos citar os circuitos eltricos que, neste caso, respondem s tenses e correntes eltricas. Podemos, ainda, citar outros exemploscomo: sistemas deconhecimentoautomticodafala,sistemasdecomunicaoe sistemasdecontrole. O estudo dos sinais e sistemas pode ser feito de diversas maneiras, dependendo do contexto e dos objetivos. Vejamos algunsexemplos: anlise de sistemas com vista sua caracterizao e conhecimento projetar sistemas para processar sinais em certos meios. Por exemplo, o radar recupera o sinal de eco produzido pelosobjetos processarsinaiscomvistasuarestauraoapsteremsidoRoteirodeEstudo

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sujeitos a um processo de degradao. Por exemplo, nas telecomunicaes ou na restaurao de imagem recebidas dossatlites atuar sobre os sistemas com vista a alterar as suas caractersticas segundo especi caes desejadas. Por exemplo,nocontroledeprocessos. Vejaalgunsexemplosdesinais: somdevoz:sinalunidimensionalfunodeumavarivel simples,otempo imagem de vdeo em preto e branco: sinal bidimensional dependedascoordenadas(x,y).Representaaintensidade emcadaponto(x,y) tensesecorrenteseltricas:comofunesdotempo. Agora,vejaalgunsexemplosdesistemas: SistemasdeComunicaes Soconstitudosportrscomponentesbsicos: transmissor(modulador) canal receptor(demodulador). Existemdoismodosprincipaisdecomunicao: broadcasting (radiodifuso): um emissor e muitos receptores pontoaponto: um transmissor e um receptor (geralmente umsistemabidirecional). Nossistemasdecomunicaodigitaisidenti camsetrsfases: amostragem (sampling ): converte o sinal analgico numa sequnciadenmeros quanticao: representa cada nmero (produzido pela amostragem)pelonvelmaisprximodeumconjunto nito denveisdiscretosdeamplitude.(Ex.:palavrade16bits=> 16 2 nveis) codicao: representa cada amostra quanti cada por uma palavra de cdigo de um nmero nito de smbolos. (Exemplo:cdigobinrio=>smbolos0se1s).Oreceptor executa as operaes anteriores em ordem inversa (a quanti caoirreversvel).

SistemasdeControle Sousadosemvariadassituaescomore narias,avies,centrais eltricas, robs etc. O processo a controlar toma usualmente a denominao de planta. Nos sistemas de controle, pretendese obter uma resposta satisfatria e um comportamento robusto.A respostaacapacidadedeasuasadaacompanharumaentrada de referncia. Toma a designao de regulao e a robustez a exibio de uma boa regulao na presena de perturbaes externas.A gura, a seguir, mostra o diagrama de blocos de um sistemadecontrole. 4RoteirodeEstudo

Figura1:Diagramadeblocosbsicodeumsistemadecontrolerealimentado. Fonte:acervodoautor.

SistemadeSensoreamentoRemotoProcesso de aquisio de informao acerca de objetos de interesse sem estar em contato com eles. So medidas as mudanasqueoobjetoprovocanoambienteadjacente. Exemplo:eletromagnticas:radaracsticas:sonar.

SistemasdeProcessamentodesinaisbiomdicosO objetivo extrair informao de sinais biolgicos para melhor compreenso das funes biolgicas, ou para diagnstico e tratamentodedoenas.Emmuitassituaes,ossinaisbiolgicos so provocados pela atividade eltrica de um grande nmero de clulas musculares ou clulas nervosas (neurnios). Como exemplo,temosaatividadecardaca(ECG)eaatividadecerebral (EEG).NacaptaodesinaisdeECGouEEGsurgemartefatos (biolgicos:partedosinalproduzidaporacontecimentosestranhos ao fenmeno biolgico que nos interessa ou instrumentais: geradospelousodeinstrumentos),comoporexemplo,sinaisde atividade muscular.A detecoesupressodosartefatosuma dasgrandesnecessidadesnoprocessamentodestessinais.

Sistemaspropriedadeseclassicao

Figura2:representaode(a)sistemacontnuoe(b)sistemadiscreto. Fonte:acervodoautor.

ClassicaodossinaisEstamos interessados em duas classes de sinais: sinal contnuo notempoesinaldiscretonotempo.RoteirodeEstudo

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Umsinalf(t)ditocontnuoquandosuavarivelindependentetfor contnua, ou seja, quando possuir um nmero in nito de valores numintervalodetempot [a,b].Porexemplo,acorrenteeltrica produzidanumcircuito,conformepodeservisto,aseguir.

Figura3:Correnteeltricai(t)numdeterminadoramodeumcircuito. Fonte:Acervodoautor.

Poroutrolado,umsinalditodiscretonotempoousequnciax[n] quandoavarivelindependente(tempo)discretaeoriundoda amostragemdesinaiscontnuos.Comoexemplo,podemoscitaro totaldealunosx[n]presentesnaescola,emcadadiadoms,que podeservistona gura,aseguir.

Figura4:Totaldealunospresentespordia. Fonte:Acervodoautor.

A razo disto o uso de computadores digitais modernos com processadores digitais velozes, potentes e exveis para representar sistemas fsicos de aplicao prtica como, por exemplo: pilotoautomticodigital sistemasdigitaisdeudiooudevdeo. Estessistemasrequeremousodesequnciasdiscretasnotempo que so representaes (discretizaes) de sinais contnuos no tempo. Assim, sinais que so naturalmente contnuos no tempo so tornados sinais discretos (por amostragem) para este propsito, comoporexemplo: posiodaumaaeronave velocidadedaumaaeronave direodaumaaeronave.

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SinalrealoucomplexoOssinaispodemserrepresentadosporfunes,ouvaloresreais, oucomplexos.Vejaosexemplos,aseguir: sinalreal: Equao1 sinalcomplexo: Equao2

AlgumaspropriedadesimportantesdossinaisVeja,aseguir,algumaspropriedadesdossinaisquenopodemos deixardedemonstrar. Simetriadeumsinal Podemosterdoistiposdesimetria,osinalpodesersimtricocom relaoaoeixoxquando: x(t)simtricadex(t)emt=0 x[n]simtricadex[n]emn=0 Oupossuirsimetriacomrelaoaoeixoy: x(t)simtricadex(t)emt=0 x[n]simtricadex[n]emn=0

Figura5:Sinaiscontnuossimtricos. Fonte:Acervodoautor.

Figura6:Sinaisdiscretossimtricos. Fonte:Acervodoautor.

Escalonamentodeumsinal x(t), x(2t), x(t/3) so sinais idnticos, com escalas temporais diferentes.RoteirodeEstudo

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Figura7:Compressonotempo. Fonte:Acervodoautor.

Figura8:Expansonotempo. Fonte:Acervodoautor.

Deslocamentonotempo x(t)ex(tTo)sofunesidnticasdefasadasnotempo: x(tTo)afunoatrasada x(t+To)afunoadiantada.

x[n]ex[nno]sosequnciasidnticasdefasadasnotempo: x[nno]asequnciaatrasada x[n+no]asequnciaadiantada.

Figura9:Deslocamentonotempofunocontnuaadiantada. Fonte:Acervodoautor.

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Figura10:Deslocamentonotempofunodiscretaadiantada. Fonte:Acervodoautor.

Figura11:Deslocamentonotempofunocontnuaatrasada. Fonte:Acervodoautor.

Figura12:Deslocamentonotempofunodiscretaatrasada. Fonte:Acervodoautor.

Sinalpar x(t)temsimetriapar,seforigualsuasimetriax(t) x[n]temsimetriampar,sex[t]=x[t].

Figura13:Funocontnuapar. Fonte:Acervodoautor.

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Figura14:Funodiscretapar. Fonte:Acervodoautor.

Sinalimpar x(t)temsimetriaimpar,sex(t)=x(t) x[n]temsimetriaimpar,sex[n]=x[n].

Figura15:Funocontnuampar. Fonte:Acervodoautor.

Figura16:Funodiscretampar. Fonte:Acervodoautor.

Casogeral sinaldiscreto:x[n]x[n+],>0 sinalcontnuo:x(t)x(t+),>0 a) Se||1sinalcomprimido() 10RoteirodeEstudo

c) Se