prática de sinais e sistemas

Data de entrega:07/02/2012

Universidade do Algarve Faculdade de Cincias e Tecnologias

Prtica 1 de Sinais e Sistemas James Foot n40650 1. Introduo

Um circuito resistncia-condensador (circuito RC) um circuito elctrico composto por resistncias e condensadores, e alimentado por uma fonte de tenso ou de corrente. Um circuito RC de primeira ordem e composto por uma resistncia e um condensador. Este o tipo de circuito RC mais simples.

Circuitos RC podem ser utilizados como filtros seletores de frequncias, deixando passar certas frequncias e bloqueando outras.

2. Preparao terica

Exerccio 1 - Relao entre entrada e sada. Utilizando as leis de Kirchhoff escreva a equao diferencial que relaciona a entrada com a sada. Obtenha a respetiva resposta em frequncia.

a) Considere que a sada !(). Calcule !(), e obtenha as expresses de magnitude ! = !() e fase ! = !().

Figura 1: Circuito RC em srie alimentado por uma fonte de tenso.

Figura 2: Filtro passa-baixo Vc(t)

Prtica 1 de Sinais e Sistemas

Universidade do Algarve 2

Um filtro passa-baixo um filtro que s deixa passar baixas frequncias, isto , permite a passagem de frequncias abaixo da frequncia de corte. Para calcular !() temos que saber qual o !"# = !().

!"# =2

1 + 2!" =

1

!"# =

+ !" =

1

+ 1 !" =

1 + 1

!"

!() =!"#!"

=1

+ 1

Para determinar a magnitude !(), basta calcular o mdulo da resposta em

frequncia !() .

! = ! = 1

+ 1

1 1

=1

1 ()!=

11 + ()!

Para determinar a fase:

! = !

!!!"#$ !!!"#$

!!!"#$= arctan ()

b) Considere que a sada !(). Calcule !(), e obtenha as expresses de

magnitude ! = !() e fase ! = !().

Um filtro passa-alto ao contrario do filtro passa-baixo, como o nome indica s deixa passar altas frequncias, isto , permite a passagem de frequncias superiores a da frequncia de corte. Para calcular !() resolvemos da mesma forma que na alnea anterior.

!"# =2

1 + 2!" =

1

!"# =

+ !" =

+ 1

!" =1

1 + 1!"

Figura 3: Filtro passa-alto Vr(t)



!() =!"#!"

=1

1 + 1

Para determinar a magnitude !(), basta calcular o mdulo da resposta em

frequncia !() .

! = ! = 1

1 + 1

1

1 1=

1

1 ( 1)!=

1

1 + ( 1)!

Para determinar a fase:

! = !

!! !!"#$

!

!! !!"#$!

!! !!"#$

= arctan ( !!"#$

)

Exerccio 2 - Breve anlise da resposta em frequncia. Para cada uma das funes de transferncia que obteve obtenha a magnitude para = 0 e quando . Determine a frequncia para a qual a magnitude da resposta em frequncia -3 dB. O que conclui relativamente a cada uma das respostas em frequncia? Como se escolhe os valores de resistncia e capacidade de forma a obter a resposta especificada?

Para !():

Primeiro calculou-se a magnitude para = 0 e .

lim!!

!() = lim!!1

1 + !=

11 + 0 !

= 1

lim!!

!() = lim!!1

1 + !=

11 + !

=1= 0

Em segundo lugar determinou-se a frequncia para a qual a magnitude e igual a -3db utilizando a seguinte expresso:

= 20 log () = 10 log () !

10 log ! = 3 10!" !"# ! ! ! = 10!!

10 log ! = 10!!" 1

1 + != 10!!"

1

10!!"= 1 + ! 10!" 1 = !



! =10!" 1()!

= ! =10!" 1

Para !():

Como para !(), primeiro calculou-se a magnitude para = 0 e .

lim!!

!() = lim!!1

1 + ( 1)!=

1

1 + ( 10)!=

1= 0

lim!!

!() = lim!!1

1 + ( 1)!=

1

1 + ( 1)!=

11= 1

Novamente determinou-se a frequncia para a qual a magnitude e igual a -3db utilizando a seguinte expresso:

= 20 log () = 10 log () !

10 log ! = 3 10!" !"# ! ! ! = 10!!

10 log ! = 10!!" 1

1 + ( 1)!= 10!!"

1

10!!"= 1 + (

1

)! 10!" 1 =1

()!

()! =1

10!" 1 ! =

1()!10!" 1

! =1

10!" 1

Exerccio 3 - Clculo da resposta impulsiva. Obtenha a resposta impulsiva do sistema.

a) Tomando como sada do sistema a tenso !().

Resposta impulsiva h(t) que igual a funo inversa de H(w).

= !!1

+ 1= !!

1

+

1

=1

!!1

+ 1

=1

!! !" ()

Tomando como sada do sistema a tenso !().

Resposta impulsiva h(t) que igual a funo inversa de H(w).



= !!1

1 + 1= !!

1 + 1

= !!

+ 1

= 1

!! !" ()

3. Trabalho prtico

Exerccio 1 - Resposta em frequncia. Pretende-se traar o diagrama de Bode em magnitude e em fase para os dois sistemas analisados na preparao terica. A constante de tempo = RC determina a resposta em frequncia do sistema.

a) Utilize o resultado do exerccio 2 da preparao terica para determinar um circuito que apresente uma atenuao de 3 dB aos 10 Hz, ora tomando como sada do sistema a tenso !(), ora a tenso !().

b) Trace o diagrama de Bode para ambos os casos. Note que a magnitude dada em dB, a fase em rad. O eixo de frequncias, em rad/s logartmico.

O grfico seguinte uma representao do diagrama de bode para Hc(w) em relao a magnitude e a fase. Junto com o grfico esta o cdigo necessrio para recriar este diagrama no matlab.

Figura 4: Diagrama de Bode para Hc(w).

O prximo grfico representa o diagrama de bode para Hr(w).

Este grfico foi obtido com o cdigo seguinte: rc=0.1; T=rc; w0 = 1/T; hc = 1./(1+1j.*w*T); a_hc= abs(hc); hc_bode = 20*log(a_hc); z=(hc_bode); subplot(2,1,1) plot(w,hc_bode,'-k') title('Hc(w)'); ylabel('Magnitude'); fase1 =-atan(w/w0); subplot(2,1,2) plot(w,fase1,'-k') ylabel('Fase'); xlabel('Frequ?ncia');



Figura 5: Diagrama de Bode para Hr(w).

Exerccio 2 - Resposta a uma entrada sinusoidal. Pretende-se estudar atravs de simulaes num computador a resposta do sistema a uma sinusoide com expresso genrica.

= cos !

(considerando apenas a sada !().) Considere frequncias de 1, 10, e 100 Hz. Para cada frequncia

a) gere x(t) no computador;

Figura 6: Grfico de x(t) com as frequncias de 1, 10, 100 Hz.

Este grfico foi obtido com o cdigo seguinte: t = -2*pi:0.001:2*pi; w_1 = 2*pi*1; w_2 = 2*pi*10; w_3 = 2*pi*100; x1 = cos(w_1*t); x2 = cos(w_2*t); x3 = cos(w_3*t); subplot(3,1,1) plot(t, x1,'-k'); title('frequencia=1hz'); axis([-3 3 -0.5 0.5]); subplot(3,1,2) plot(t, x2,'-k'); title('frequencia=10hz'); axis([-1 1 -0.5 0.5]); subplot(3,1,3) plot(t, x3,'-k'); title('frequencia=100hz'); axis([-0.2 0.2 -0.5 0.5]);

Este grfico foi obtido com o cdigo seguinte: rc=0.1; T=rc; w0 = 1/T; hr = (w*T)./(1+1j.*w*T) ; a_hr =abs(hr); hrbode = 20*log(a_hr); z1=(hrbode); subplot(2,1,1) plot(w,hrbode,'-k') title('Diagrama de Bode'); ylabel('Magnitude'); fase2 =pi/2-atan(w/w0); subplot(2,1,2) plot(w,fase2,'-k') ylabel('Fase'); xlabel('Frequ?ncia');



b) calcule numericamente a convoluo entre x(t) e a resposta do sistema (o MATLAB

disponibiliza a funo conv);

c) estime por inspeo do grfico a atenuao do sinal de sada e o atraso de fase. Compare com os clculos analticos.

Exerccio 3 - Resposta a um pulso. Neste exerccio pretende-se observar a resposta a um pulso (ambas as sadas). Gere a resposta do sistema a um pulso com uma durao

a) de pelo menos 20 s.

Utilizou-se este cdigo para obter este grfico e os trs seguintes. Variando Rb com os valores dados no enunciado.

nb = 1002; Rb = 20; %20,15,5,1 fs = 1*Rb; Ap = 0.5; b = round(rand(1,nb)); b1=fs/Rb; Ts=1; bAux=[]; for n=1:length(b); if b(n) == 0; se=Ap*zeros(1,b1); else b(n) == 1; se=Ap*ones(1,b1); end bAux=[bAux se]; end plot(bAux/Ts,'LineWidth',1.5); title('1s'); ylabel('Amplitude'); axis([0 0.05*1*length(b) -0.5 1.5]);

Figura 7



b) de 15 s.

c) 5 s.

Figura 8

Figura 9



d) 1 s.

Figura 10

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