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Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 1

Processamento Digital de Sinais

Notas de Aula

Sinais e Sistemas de Tempo Discreto

Ricardo Tokio Higuti

Departamento de Engenharia Eletrica - FEIS - Unesp

Observacao: Estas notas de aula estao baseadas no livro: “Discrete-Time Signal Processing”,

A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Prentice Hall, 1989/1999.


Sinais

• Carregam alguma informacao (voz, dados, imagem)

• Representacao por uma funcao ou sequencia de valores

• Variacao no tempo / conteudo de frequencia

• Tempo/frequencia contınuo ou discreto

0 1 2 3 4 5 6−2

−1

0

1

2

0 5 10 15 20 25 30−2

−1

0

1

2

tempo [s]

amostra n

Amplitude[V

]Amplitude[V

] sinal de tempo contınuo xc(t)

sinal de tempo discreto x[n]

Sinais de tempo contınuo // tempo discreto // digitalUm sinal de tempo contınuo e definido para todos os instantes de tempo,

ao passo que um sinal de tempo discreto e definido apenas para algunsinstantes de tempo, em geral uma sequencia de numeros que pode ser

representada na forma:

x[n] = {· · · , x[−2], x[−1], x[0], x[1], x[2], · · ·}.

O sinal pode ser de natureza discreta (um ındice de inflacao) ou pode

ser obtido a partir de amostras de um sinal de tempo contınuo, como nafigura acima:

x[n] = xc(t)|t=nT = xc(nT ), n inteiro


Sinais de Tempo Discreto e Digital

• Sinal de tempo discreto - amplitude contınua

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

mês

[%]

Índice de inflação INPC − 2003

• Sinal digital - amplitude e tempo discretos

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

amostra

Am

plitu

de

Sinal digital


Operacoes Basicas

• Soma

x[n] + y[n] = {· · · , x[−1] + y[−1], x[0] + y[0], x[1] + y[1], · · ·}

• Multiplicacao com escalar

a · x[n] = {· · · , a · x[−1], a · x[0], a · x[1], · · ·}

• Multiplicacao entre sequencias

x[n] · y[n] = {· · · , x[−1] · y[−1], x[0] · y[0], x[1] · y[1], · · ·}

• Manipulacao da variavel independente

−6 −4 −2 0 2 4 60

1

2

3

−6 −4 −2 0 2 4 60

1

2

3

−6 −4 −2 0 2 4 60

1

2

3

−6 −4 −2 0 2 4 60

1

2

3

−6 −4 −2 0 2 4 60

1

2

3

−6 −4 −2 0 2 4 60

1

2

3

x[n]

x[n− 2]

x[n + 2]

x[−n]

x[−n− 2]

x[−n + 2]

Amostra nAmostra n


Sequencias Basicas

• Impulso: δ[n] =

1, n = 0

0, n 6= 0

• Degrau: u[n] =

1, n ≥ 00, n < 0

⊲ u[n] =+∞∑

k=0

δ[n− k]

⊲ δ[n] = u[n]− u[n− 1]

Caso geral: x[n] =+∞∑

k=−∞

x[k]δ[n− k]

• Senoide: x[n] = A cos(ω0n+ φ)

ω0: frequencia [rad] ou [rad/amostra]

φ: fase [rad]

• Exponencial complexa:

x[n] = Aej(ω0n+φ) = A cos(ω0n+ φ) + jA sin(ω0n+ φ)

cos(ω0n) =ejω0n + e−jω0n

2sin(ω0n) =

ejω0n − e−jω0n

2j


Decomposicao

Partes par e ımpar:

• x[n] = xe[n] + xo[n]

• xe[n] = (x[n] + x∗[−n])/2 - parte par

• xo[n] = (x[n]− x∗[−n])/2 - parte ımpar

Partes real e imaginaria, magnitude e fase:

• x[n] = xR[n] + jxI [n]

• xR[n] = (x[n] + x∗[n])/2 - parte real

• xI [n] = (x[n]− x∗[n])/2j - parte imaginaria

• x[n] = |x[n]|ejφx[n]

• |x[n]| = (x2R[n] + x2

I[n])1/2 - magnitude

• φx[n] = 6 x[n] = arctan(xI [n]/xR[n])

Simetrias:

• Se x[n] = x[−n], entao x[n] e par

• Se x[n] = −x[−n], entao x[n] e ımpar

• Se x[n] = x∗[−n], entao x[n] e conjugado simetrico

• Se x[n] = −x∗[−n], entao x[n] e conjugado antissimetrico


Periodicidade e frequencia de Sinais

Um sinal e periodico com perıodo N se satisfizer, para qualquer n, a:

x[n] = x[n±N ] = x[n± 2N ] = · · · , N inteiro.

Para o caso particular de um sinal senoidal:

x[n] = A cos(ω0n)

x[n+N ] = A cos(ω0n+ ω0N)

x[n] = x[n+N ]⇔ ω0N = 2πk, N, k inteiros

ω0

2π=

k

N

0 5 10 15 20 25 30 35−1

−0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30 35−1

−0.5

0

0.5

1

ω0=

2π/7

ω0=

1.2

Amostra n


Periodicidade e frequencia de Sinais

Seja um sinal senoidal na freq. ω0:

x[n] = A cos(ω0n+ φ)

Considerando agora um outro sinal senoidal com freq. ω1 = ω0 + 2π:

y[n] = A cos(ω1n+ φ)

= A cos(ω0n+ φ+ 2πn)= A cos(ω0n+ φ)

= x[n]

Portanto, ω0 e (ω0+2π) sao frequencias ‘iguais’. Ou seja, as frequenciasdo sinal discreto se repetem a cada 2π, diferentemente do que ocorre com

frequencias de sinais de tempo contınuo.


Frequencias Altas e Baixas

A frequencia de um sinal pode ser avaliada pela variacao da amplitude de

amostra a amostra.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1

0

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1

0

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1

0

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1

0

1

ω0 = 0, 2π

ω0 = π/4, 9π/4

ω0 = π/2, 5π/2

ω0 = π, 3π

Amostra n

Algumas observacoes:

• Nota-se assim que a maxima freq. de um sinal de tempo discreto e

igual a π.

• Regioes no eixo de ω ao redor de zero (e ±2π, ±4π, ...) relacionam-secom sinais de baixa frequencia.

• Regioes ao redor de π (e −π, ±3π, ...) relacionam-se com sinais dealta frequencia.


Sistemas de Tempo Discreto

Um sistema pode ser um filtro, um amplificador, um sistema de controle,

onde ha uma entrada x[n] que e processada (transformada), produzindouma saıda y[n].

x[n] y[n] = T{x[n]}

T{·}

Exemplos:

• Sistema atraso:

y[n] = x[n− nd]

• Filtro de media movel:

y[n] =1

M1 +M2 + 1

M2∑

k=−M1

x[n− k]

• Acumulador ou integrador:

y[n] =n∑

k=−∞

x[k]

• Diferenciador:y[n] = x[n]− x[n− 1]

y[n] = x[n+ 1]− x[n]


Propriedades de Sistemas

• Memoria: num sistema com memoria, a saıda em determinado ins-

tante depende da entrada em outros instantes de tempo. Exemplos:

y[n] = x[n− 3] y[n] = x2[n]

• Linearidade: um sistema e linear se obedece ao princıpio da super-

posicao:

T{x1[n]} = y1[n]⇒ T{ax1[n]} = ay1[n], a cte.

T{x2[n]} = y2[n]⇒ T{bx2[n]} = by2[n], b cte.

T{ax1[n] + bx2[n]} = ay1[n] + by2[n]

• Invariancia no tempo: um sistema e invariante no tempo se um

atraso aplicado na entrada provoca o mesmo atraso na saıda:

T{x[n]} = y[n]

T{x[n− n0]} = y[n− n0]

Exemplos:y[n] = x[n− 3] y[n] = nx[n]


Propriedades de Sistemas

• Causalidade: num sistema causal, a saıda no instante atual nao

depende de valores futuros da entrada, ou seja, y[n0] nao depende devalores de x[n] para n > n0. Exemplos:

y[n] = x[n− 3] y[n] = x[n+ 3]

• Estabilidade: um sistema e estavel no sentido BIBO (Bounded-InputBounded-Output) se, para qualquer entrada com amplitude limitada

(|x[n]| ≤ Bx < ∞, ∀n), a saıda tambem tem amplitude limitada(|y[n]| ≤ By < ∞, ∀n). Se existir uma unica entrada com ampli-

tude limitada que produza uma saıda com amplitude nao-limitada, osistema e considerado instavel.

Exemplo: acumulador com entrada degrau:

y[n] =n∑

k=−∞

x[k], x[n] = u[n]

y[n] =n∑

k=−∞

u[k] =n∑

k=0

1 = (n+ 1)u[n]

Onde claramente y[n] → ∞ para n → ∞, e o sistema e considerado

instavel. No entanto, e um sistema utilizado na pratica.


Sistemas Lineares Invariantes no Tempo

Usando a propriedade que qualquer sinal pode ser escrito como a soma de

impulsos escalonados e deslocados no tempo, e a propriedade da lineari-dade, pode-se escrever:

y[n] = T{x[n]}, x[n] =∑

k

x[k]δ[n− k]

= T

∑

k

x[k]δ[n− k]

=∑

k

x[k]T{δ[n− k]}

Definindo a resposta ao impulso do sistema:

h[n] = T{δ[n]}

Usando a propriedade da invariancia no tempo, a saıda pode ser escrita

como:

y[n] =+∞∑

k=−∞

x[k]h[n− k]

= x[n] ∗ h[n] (convolucao linear)

Portanto, num SLIT, a saıda y[n] pode ser obtida a partir da con-volucao linear entre a entrada x[n] e a resposta impulsiva h[n].

Uma caracterıstica importante em SLITs e que, conhecendo-se a res-

posta impulsiva do sistema, pode-se obter a saıda para qualqueroutra entrada. A resposta impulsiva e uma caracterıstica do sistema, epode ser representada por uma sequencia h[n].

• Sistemas com resposta ao impulso com duracao finita - FIR (FiniteImpulse Response);

• Sistemas com resposta ao impulso com duracao infinita - IIR (InfiniteImpulse Response);


Exemplos: resposta impulsiva

• Sistema atraso:

y[n] = x[n− nd]⇒ h[n] = δ[n− nd]

• Filtro de media movel:

y[n] =1

M1 +M2 + 1

M2∑

k=−M1

x[n− k]

h[n] =1

M1 +M2 + 1

M2∑

k=−M1

δ[n− k]

• Acumulador ou integrador:

y[n] =n∑

k=−∞

x[k]⇒ h[n] =n∑

k=−∞

δ[k] = u[n]

• Diferenciador:

y[n] = x[n]− x[n− 1]⇒ h[n] = δ[n]− δ[n− 1]

y[n] = x[n+ 1]− x[n]⇒ h[n] = δ[n+ 1]− δ[n]


Exemplo - Convolucao

y[n] = x[n] ∗ h[n]

=+∞∑

k=−∞

x[k]h[n− k]

= · · ·+ x[−1]h[n+ 1] + x[0]h[n] + x[1]h[n− 1] + · · ·

= · · ·+ y−1[n] + y0[n] + y1[n] + · · ·

A convolucao pode ser vista como a soma de diversas funcoes respostasao impulso, sendo que cada funcao esta escalonada e deslocada no tempo

de acordo com as amostras de x[n].

−2 0 2 4−1

0

1

2

−2 0 2 4−2

0

2

4

−2 0 2 4−1

0

1

2

−2 0 2 4

−20246

−2 0 2 4−1

0

1

2

−2 0 2 4

−20246

−2 0 2 4−1

0

1

2

−2 0 2 4

−20246

−2 0 2 4−1

0

1

2

−2 0 2 4−2

0246

x[n]

x[−1]δ[n + 1]

x[0]δ[n]

x[1]δ[n− 1]

h[n]

y−1[n]

y0[n]

y1[n]

x[n]y[n]

Amostra nAmostra n

⇒

⇒

⇒

⇒


Exemplo - Convolucao - Metodo grafico

Outra maneira de interpretar a somatoria de convolucao e atraves do

calculo da saıda y[n] para cada instante n:

y[n] =+∞∑

k=−∞

x[k]h[n− k]

Para cada instante n, faz-se a multiplicacao de duas funcoes: x[k] eh[n− k], onde n e uma constante. Para se obter a saıda naquele instante,

faz-se a somatoria de todas as amostras da funcao resultante.

y[0] =+∞∑

k=−∞

x[k]h[0− k] =+∞∑

k=−∞

y0[k]

y[1] =+∞∑

k=−∞

x[k]h[1− k] =+∞∑

k=−∞

y1[k]

y[−1] =+∞∑

k=−∞

x[k]h[−1− k] =+∞∑

k=−∞

y−1[k]

Para n = 0:

−4 −2 0 2 4−1

0

1

2

−4 −2 0 2 4−2

0

2

4

−4 −2 0 2 4−2

0

2

4

−4 −2 0 2 4−2

0

2

4

x[k] h[k]

h[0− k]

y0[k] = x[k]h[0 − k]

⇒ y[0] =+∞∑

k=−∞

y0[k] = 4 + 1 = 5

Amostra k

Amostra k

Amostra kAmostra k


Para n = −1:

−4 −2 0 2 4−1

0

1

2

−4 −2 0 2 4−2

0

2

4

−4 −2 0 2 4−2

0

2

4

−4 −2 0 2 4−2

0

2

4

x[k] h[k]

h[−1 − k]

y−1[k] = x[k]h[−1 − k]

⇒ y[−1] =+∞∑

k=−∞

y−1[k] = 2

Amostra k

Amostra k

Amostra kAmostra k


Para n = −2:

−4 −2 0 2 4−1

0

1

2

−4 −2 0 2 4−2

0

2

4

−4 −2 0 2 4−2

0

2

4

−4 −2 0 2 4−2

0

2

4

x[k] h[k]

h[−2 − k]

y−2[k] = x[k]h[−2 − k]

⇒ y[−2] =+∞∑

k=−∞

y−2[k] = 0

Amostra k

Amostra k

Amostra kAmostra k


Para n = 1:

−4 −2 0 2 4−1

0

1

2

−4 −2 0 2 4−2

0

2

4

−4 −2 0 2 4−2

0

2

4

−4 −2 0 2 4−2

0

2

4

6

x[k] h[k]

h[1− k]

y1[k] = x[k]h[1 − k]

⇒ y[1] =+∞∑

k=−∞

y1[k] = 6 + 2− 1 = 7

Amostra k

Amostra k

Amostra kAmostra k


Para n = 2:

−4 −2 0 2 4−1

0

1

2

−4 −2 0 2 4−2

0

2

4

−4 −2 0 2 4−2

0

2

4

−4 −2 0 2 4−2

0

2

4

x[k] h[k]

h[2− k]

y2[k] = x[k]h[2 − k]

⇒ y[2] =+∞∑

k=−∞

y2[k] = 3− 2 = 1

Amostra k

Amostra k

Amostra kAmostra k


Para n = 3:

−4 −2 0 2 4−1

0

1

2

−4 −2 0 2 4−2

0

2

4

−4 −2 0 2 4−2

0

2

4

−4 −2 0 2 4

−2

0

2

4

x[k] h[k]

h[3− k]

y3[k] = x[k]h[3 − k]

⇒ y[3] =+∞∑

k=−∞

y3[k] = −3

Amostra k

Amostra k

Amostra kAmostra k

Para n ≥ 4, y[n] = 0

−2 −1 0 1 2 3 4−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

y[n]

Amostra n


Propriedades de SLITs

E muito comum a associacao de sistemas em cascata e em paralelo, e por

isso e importante se conhecer a resposta impulsiva apos a associacao.

• Comutativa, conexao em cascata:

y[n] = (x[n]∗h1[n])∗h2[n]) = (x[n]∗h2[n])∗h1[n] = x[n]∗(h1[n]∗h2[n])

x[n]

x[n]

x[n]

y[n]

y[n]

y[n]

h1[n]

h1[n] h2[n]

h2[n]

h1[n] ∗ h2[n]

• Associativa, conexao em paralelo:

y[n] = x[n] ∗ (h1[n] + h2[n]) = x[n] ∗ h1[n] + x[n] ∗ h2[n]

x[n]

x[n]

y[n]

y[n]

h1[n]

h2[n]

h1[n] + h2[n]


Propriedades de SLITs

• Estabilidade BIBO:

x[n] com amplitude limitada: |x[n]| ≤ Bx <∞

y[n] =+∞∑

k=−∞

h[k]x[n− k]

|y[n]| ≤+∞∑

k=−∞

|h[k]||x[n− k]| ≤ Bx

+∞∑

k=−∞

|h[k]|

Portanto, para que a saıda tenha amplitude limitada, deve-se ter que:

+∞∑

k=−∞

|h[k]| <∞

• Causalidade: A saıda num instante n0 e:

y[n0] =+∞∑

k=−∞

h[k]x[n0 − k]

= · · ·+ h[−1]x[n0 + 1] + h[0]x[n0] + h[1]x[n0 − 1] + · · ·

Logo, se o sistema e causal, a saıda no instante n0 nao pode dependerda entrada para instantes n > n0, ou seja, a resposta impulsiva h[n]

deve ser igual a zero para n < 0.

SLIT causal: h[n] = 0 para n < 0.

Dessa forma, as condicoes de estabilidade e causalidade sao facilmentedeterminadas em SLITs se for conhecida a resposta impulsiva.


Equacao de Diferencas

Em alguns sistemas, a saıda e a entrada podem estar relacionadas por uma

equacao de diferencas a coeficientes constantes:

N∑

k=0

aky[n− k] =M∑

k=0

bkx[n− k]

No caso geral, tem-se:

y[n] = −N∑

k=1

aka0

y[n− k] +M∑

k=0

bka0x[n− k]

Exemplo

Considere o sistema:

y[n] + 0.5y[n− 1] = x[n]

Considerando condicoes iniciais nulas (y[−1] = 0), a resposta impulsivae obtida, de maneira recursiva, por:

y[0] = x[0]− 0.5y[−1] = 1− 0 = 1

y[1] = x[1]− 0.5y[0] = 0− 0.5(1) = −0.5

y[2] = x[2]− 0.5y[1] = 0− 0.5(−0.5) = 0.25

y[3] = x[3]− 0.5y[2] = 0− 0.5(0.5)2 = −0.125...

y[n] = (−0.5)nu[n]


Exemplo (cont.)

Se x[n] = Bδ[n] e y[−1] = a, para n ≥ 0 fica-se com:

y[0] = x[0]− 0.5y[−1] = B − a2

y[1] = x[1]− 0.5y[0] = −12

(

B − a2

)

y[2] = x[2]− 0.5y[1] = 14

(

B − a2

)

...

y[n] =

(

−1

2

)n (

B −a

2

)

, n ≥ 0

Para n < −1:

y[−2] = −2y[−1] + 2x[−2] = −2a

y[−3] = −2y[−2] + 2x[−3] = 4a...

y[n] = (−2)−n−1a =(

−12

)n+1a, n = −2, −3, ...

y[n] = −a

2

(

−1

2

)n

u[−n− 2], n ≤ −2

Logo, a expressao geral da saıda e:

y[n] = B

(

−1

2

)n

u[n]−a

2

(

−1

2

)n

u[n]−a

2

(

−1

2

)n

u[−n− 1]

= B

(

−1

2

)n

u[n]−a

2

(

−1

2

)n


Equacao de Diferencas

A solucao geral e dada por uma solucao forcada mais uma solucao ho-

mogenea:

y[n] = yp[n] + yh[n]

• yp[n] e a resposta forcada com condicoes iniciais nulas

• yh[n] e a resposta a entrada zero, devido as condicoes iniciais:

N∑

k=0

akyh[n− k] = 0 (resposta a entrada zero)

• Para a solucao de yh[n] e necessario determinarN coeficientes, obtidosa partir de N condicoes iniciais. Dessa forma, para cada condicao

inicial havera uma saıda diferente.

• Em geral, se a entrada e igual a zero para n < n0, sao fornecidos os

valores da saıda y[n] nos instantes n0 − 1, n0 − 2, · · ·, n0 −N .

• Pode-se provar que, para um sistema linear invariante no tempo cau-

sal, deve-se ter condicoes iniciais nulas, de forma que:

x[n] = 0, n < n0 ⇒ y[n] = 0, n < n0


Resposta em frequencia de SLITs

Considere um SLIT cuja entrada e uma exponencial complexa na frequencia

ω0: x[n] = ejω0n:

y[n] = x[n] ∗ h[n] =+∞∑

k=−∞

h[k]x[n− k]

=+∞∑

k=−∞

h[k]ejω0(n−k)

= ejω0n

+∞∑

k=−∞

h[k]e−jω0k

Definindo-se a seguinte funcao complexa:

H(ejω) =+∞∑

k=−∞

h[k]e−jωk,

fica-se com:

y[n] = H(ejω0)ejω0n.

Caso H(ejω0) = A0ejφ0, fica-se que a saıda y[n] para esta entrada es-

pecıfica fica:

y[n] = A0ej(ω0n+φ0).

Ou seja, a saıda e outra exponencial complexa na mesma frequencia que

da entrada, cuja magnitude e fase sao modificadas pela funcao H(ejω) nafrequencia ω = ω0. Assim, ejω0n e uma autofuncao do sistema, e o autova-

lor associado e H(ejω0).

A funcaoH(ejω) descreve a mudanca imposta na entrada ejωn em funcaoda frequencia ω, e por isso e chamada de resposta em frequencia do

sistema.


Resposta em frequencia - Exemplo

Sistema atraso: y[n] = x[n− nd].

Se a entrada for uma exponencial complexa: x[n] = ejωn, a saıda e:

y[n] = ejω(n−nd) = ejωne−jωnd.

Logo, a resposta em frequencia e:

H(ejω) = e−jωnd.

O resultado poderia tambem ser obtido a partir da resposta impulsiva:

H(ejω) =+∞∑

k=−∞

h[k]e−jωk =+∞∑

k=−∞

δ[k − nd]e−jωk

= e−jωnd

A magnitude e a fase sao dadas por:

|H(ejω)| = 1 (magnitude/ganho constante)

6 H(ejω) = −ωnd (fase linear)

Logo, um sistema que produz um atraso no tempo tem resposta emfrequencia com magnitude constante e fase linear.


Resposta em frequencia - Exemplo

Filtro de media movel: h[n] = δ[n] + δ[n− 1].

A resposta em freq. e:

H(ejω) =+∞∑

n=−∞h[n]e−jωn

= 1 + e−jω = e−jω/2(ejω/2 + e−jω/2) =

= e−jω/22 cos(ω/2)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−2

−1

0

1

2

ω/π

Magnitude

Fase

Portanto, um filtro de media movel tem ganho que diminui com o au-mento da frequencia, sendo um tipo de filtro passa-baixas.


Algumas propriedades de H(ejω)

• H(ejω) e obtida a partir de um sinal de tempo discreto, mas e umafuncao da variavel ω contınua.

• H(ejω) e em geral uma funcao complexa da variavel ω:

H(ejω) = HR(ejω) + jHI(e

jω) = |H(ejω)|ej6 H(ejω)

• H(ejω) e periodico com perıodo 2π:

H(ej(ω+2π)) =∑

nh[n]e−j(ω+2π)n =

∑

nh[n]e−jωn = H(ejω)

Logo, basta representar a funcao H(ejω) num intervalo de duracao 2π.

Resposta em frequencia de Filtros Ideais

• Filtro passa-baixas ideal com freq. corte ωc

1

1

. . .. . .

H(ejω)

H(ejω)

ω

ω

ωc

ωc

−ωc

−ωc

π

π

−π

−π 2π−2π


Resposta em frequencia de Filtros Ideais

• Filtro passa-altas ideal com freq. corte ωc

1

. . .. . .

H(ejω)

ωωc−ωc π−π 2π−2π

• Filtro passa-faixa ideal com freq. corte ωc1 e ωc2

1

. . .. . .

H(ejω)

ωωc1−ωc1 ωc2−ωc2 π−π 2π−2π

• Filtro rejeita-faixa ideal com freq. corte ωc1 e ωc2

1

. . .. . .

H(ejω)

ωωc1−ωc1 ωc2−ωc2 π−π 2π−2π


Representacao de sequencias usando a Transformada

de Fourier

Aplicando a relacao entre a resposta em frequencia e a resposta impulsivade um SLIT para uma sequencia x[n], pode-se escrever:

X(ejω) =+∞∑

n=−∞x[n]e−jωn (equacao de analise)

A sequencia pode ser obtida a partir de:

x[n] =1

2π

∫ π

−πX(ejω)ejωndω (equacao de sıntese)

A funcao X(ejω) e chamada de Transformada de Fourier de TempoDiscreto (DTFT) da sequencia x[n], sendo comum a representacao do

par transformado:

x[n]DTFT←→ X(ejω)

h[n]DTFT←→ H(ejω)

A sequencia x[n] e composta pela contribuicao de frequencias ω, cujasamplitudes complexas sao dadas por X(ejω)/2π. Dessa forma, X(ejω) re-presenta o conteudo de frequencias (ou espectro) do sinal x[n], para

−π ≤ ω ≤ π.


Exemplos - DTFT

Impulso: x[n] = δ[n]

X(ejω) =+∞∑

n=−∞x[n]e−jωn =

+∞∑

n=−∞δ[n]e−jωn = 1, ∀ω


Exemplos - DTFT

Exponencial: x[n] = anu[n], a < 1

X(ejω) =+∞∑

n=−∞anu[n]e−jωn =

+∞∑

n=0ane−jωn

=+∞∑

n=0(ae−jω)n

=1

1− ae−jω

−2 −1 0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

Am

plitu

de

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

Mag

nitu

de

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

0

1

Fas

e [r

ad]

x[n] = (0.5)nu[n]

|X(ejω)|

6 X(ejω)

ω/π

n


Convergencia da DTFT

Nem todas as sequencias tem DTFT que converge de forma absoluta, ou

seja, a somatoria:

X(ejω) =+∞∑

n=−∞x[n]e−jωn

pode nao convergir para todo ω. Podem-se determinar sequencias tais que

a somatoria seja convergente, ou seja, tenha um valor finito:

|X(ejω)| < +∞, para todo ω

Assim, tem-se que:

|X(ejω)| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

+∞∑

n=−∞x[n]e−jωn

∣

∣

∣

∣

∣

∣

≤+∞∑

n=−∞|x[n]||e−jωn|

≤+∞∑

n=−∞|x[n]| < +∞

Dessa forma, uma condicao suficiente para a existencia da DTFT e

que a somatoria acima convirja, ou em outras palavras, a sequencia x[n]deve ser uma sequencia estavel (somavel em modulo).

No entanto, existem sequencias cuja somatoria do modulo nao converge,mas que possuem DTFT, caso do degrau e da senoide.


Fenomeno de Gibbs

Seja a resposta em freq. de um filtro passa-baixas ideal:

H(ejω) =

1, |ω| ≤ ωc

0, ωc < |ω| ≤ π

Sua resposta impulsiva e:

h[n] =1

2π

∫ π

−πH(ejω)ejωndω =

1

2π

∫ ωc

−ωc

1 · ejωndω

=1

2π

ejωcn − e−jωcn

jn=

j2 sin(ωcn)

j2πn

=sin(ωcn)

πn, −∞ < n < +∞

Voltando ao domınio da frequencia, observemos o grafico da magnitudedo sinal:

HM(ejω) =M∑

n=−M

h[n]e−jωn

para diversos valores de M . Este sinal e uma aproximacao da funcao

original a medida que se aumenta o numero de componentes de frequencia.


Fenomeno de Gibbs

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

−1 −0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

M = 1 M = 3

M = 8 M = 15

ω/πω/π

Nota-se que a funcao original (em tracejado) nao e reconstruıda perfei-

tamente, havendo oscilacoes que aumentam de freq. a medida que se au-menta o numero de componentes do sinal. Na descontinuidade, as funcoes

assumem valor igual a 0,5. Nesse caso nao e possıvel a sıntese da funcaooriginal pois nao se pode obter uma funcao descontınua a partir de funcoescontınuas (exponenciais complexas). Este e o chamado fenomeno de Gibbs.


Alguns pares de transformadas

x[n] X(ejω)

δ[n] 1

δ[n− n0] e−jωn0

1+∞∑

k=−∞

2πδ(ω + 2πk)

anu[n], |a| < 11

1− ae−jω

u[n]1

1− e−jω+

+∞∑

k=−∞

πδ(ω + 2πk)

sin(ωcn)

πnX(ejω) =

{

1, |ω| ≤ ωc

0, ωc < ω ≤ π

ejω0n+∞∑

k=−∞

2πδ(ω − ω0 + 2πk)

cos(ω0n+ φ) π+∞∑

k=−∞

[ejφδ(ω − ω0 + 2πk) + e−jφδ(ω + ω0 + 2πk)]

Propriedades de Simetria

x[n] X(ejω) |X(ejω)| 6 X(ejω)real conjugado simetrico par ımparreal e par real par 0 ou ±π, ımparreal e ımpar imaginario par ±π/2, ımparxe[n] ℜ[X(ejω)]xo[n] jℑ[X(ejω)]


Propriedades

Propriedade sequencia DTFTLinearidade ax[n] + by[n] aX(ejω) + bY (ejω)

Atraso no tempo x[n− nd] e−jωndX(ejω)

Deslocamento em freq. ejω0nx[n] X(ej(ω−ω0))

Inversao no tempo x[−n] X(e−jω)X∗(ejω), x[n] real

Diferenciacao em freq. nx[n] jdX(ejω)

dω

Convolucao no tempo x[n] ∗ y[n] X(ejω) · Y (ejω)

Janelamento x[n] · y[n]1

2π

∫ π

−πX(ejθ)Y (ej(ω−θ))dθ

Teorema de Parseval+∞∑

n=−∞

x[n]y∗[n] =1

2π

∫ π

−πX(ejω)Y ∗(ejω)dω

+∞∑

n=−∞

|x[n]|2 =1

2π

∫ π

−π|X(ejω)|2dω


Exemplos: Impulso e Senoide

Impulso: Considere o sinal com DTFT:

X(ejω) =+∞∑

k=−∞

2πδ(ω − ω0 + 2πk)

cujo espectro e:

. . .. . .

X(ejω)

ωω0

π

π−π

2π 2π2π−2π

2π + ω0−2π + ω0

A DTFT inversa e:

x[n] =1

2π

∫ π

−πX(ejω)ejωndω =

1

2π

∫ π

−π2πδ(ω − ω0)e

jωndω

=∫ π

−πδ(ω − ω0)e

jωndω = ejω0n

Logo:

ejω0n ⇐⇒ 2π+∞∑

k=−∞

δ(ω − ω0 + 2πk)


Exemplos: Impulso e Senoide

Sinal senoidal: Um cosseno pode ser escrito como:

x[n] = cos(ω0n) =1

2(ejω0n + e−jω0n)

Usando o resultado anterior, a DTFT do sinal e:

cos(ω0n)⇐⇒ DTFT

ejω0n

2

+DTFT

e−jω0n

2

cos(ω0n)⇐⇒ π+∞∑

k=−∞

[δ(ω − ω0 + 2πk) + δ(ω + ω0 + 2πk)]

. . .. . .

X(ejω)

ωω0−ω0

π πππ ππ

π−π

2π−2π

2π − ω0−2π + ω0


Exemplos: Convolucao Linear e Multiplicacao de Po-

linomios

Considere os polinomios dados por:

a(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 + · · ·+ aNxN

b(x) = b0 + b1x+ b2x2 + b3x

3 + · · ·+ bMxM

A multiplicacao entre os polinomios resulta em:

c(x) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)x+ (a0b2 + a1b1 + a2b0)x2 + · · ·+ (aNbM)xN+M

Chamando de a[n] e b[n] as sequencias relacionadas aos polinomios, emque a[i] = ai, i = 0, 1, · · ·N , e b[i] = bi, i = 0, 1, · · ·M , e chamando:

c[n] = a[n] ∗ b[n]

tem-se que as amostras de c[n] sao iguais aos coeficientes ci, para i =

0, 1, · · ·N +M .

Exemplo

a(x) = 1 + x+ x2 ⇒ a[n] = {1, 1, 1}, 0 ≤ n ≤ 2

b(x) = 2 + x2 − x3 ⇒ b[n] = {2, 0, 1, −1}, 0 ≤ n ≤ 3

A convolucao linear resulta na sequencia:

c[n] = {2, 2, 3, 0, 0, −1}, 0 ≤ n ≤ 5

que corresponde ao polinomio:

c(x) = 2 + 2x+ 3x2 − x5


Exemplos: Convolucao periodica

Calcule o espectro de: x3[n] = x1[n] · x2[n], com:

x1[n] =sin(π/2)n

πnx2[n] =

sin(π/4)n

πn

Usando a propriedade da modulacao ou janelamento:

X3(ejω) =

1

2π

∫ π

−πX1(e

jθ)X2(ej(ω−θ))dθ

Os espectros de x1[n] e x2[n] sao:

wp 2p-p-2p

1. . .

. . .

1. . .

. . .

p/2-p/2

wp 2p-p-2p p/4-p/4

X1(ejω)

X2(ejω)

Para calcular X3(ejω), deve-se multiplicar X1(e

jθ) e X2(ej(ω−θ)) para ω

variando entre −π e π. Para ω = 0 tem-se:

1. . .

. . .

1. . .

. . .

1. . .

. . .

qp 2p-p-2p p/2-p/2

qp 2p-p-2p p/4-p/4

qp 2p-p-2p p/4-p/4

w = 0

X1(ejθ)

X2(e−jθ)

X1(ejθ)X2(e

−jθ)

A area destacada da o valor da integral, que deve ser dividida por 2π,

resultando em X3(ej0) = 1/4.


Exemplos: Convolucao periodica (cont.)

Para ω = −π/4, a area permanece a mesma pois a sobreposicao entre asfuncoes se mantem:

1. . .

. . .

1. . .

. . .

1. . .

. . .

qp 2p-p-2p p/2-p/2

qp 2p-p-2p p/4-p/4

qp 2p-p-2p p/4-p/4

w = -p/4

X1(ejθ)

X2(ej(−π/4−θ))

X1(ejθ)X2(e

j(−π/4−θ))

A partir desse ponto, diminuindo mais ω, a area comeca a diminuir.Para ω = −π/2, a sobreposicao cai pela metade:

1. . .

. . .

1. . .

. . .

1. . .

. . .

qp 2p-p-2p p/2-p/2

qp 2p-p-2p -p/2

qp 2p-p-2p -p/2

w = -p/2

X1(ejθ)

X2(ej(−π/2−θ)

X1(ejθ)X2(e

j(−π/2−θ))


Exemplos: Convolucao periodica (cont.)

Para ω = −3π/4, nao ha mais sobreposicao entre as funcoes, e a area enula:

1. . .

. . .

1. . .

. . .

1. . .

. . .

qp 2p-p-2p p/2-p/2

qp 2p-p-2p -3p/4

qp 2p-p-2p p/4-p/4

w = -3p/4

X1(ejθ)

X2(ej(−3π/4−θ))

X1(ejθ)X2(e

j(−3π/4−θ))

Para valores de ω positivos, tem-se resultados parecidos, e a funcaoresultante fica:

1. . .

. . .

1. . .

. . .

. . .. . .

wp 2p-p-2p p/2-p/2

wp 2p-p-2p p/4-p/4

wp 2p-p-2p 3p/4-3p/4

1/4

X1(ejω)

X2(ejω)

X3(ejω)


Exercıcios: Propriedades

Seja a sequencia x[n] dada por:

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

2

1

-1

x[n]

n

Sem calcular explicitamente a DTFT X(ejω), determine os valores de:

1. X(ej0)

2. 6 X(ejω)

3.∫ π−π X(ejω)dω

4. X(ejπ)

5. xe[n], cuja DTFT e a parte real de X(ejω): ℜ[X(ejω)]

6.∫ π−π |X(ejω)|2dω

7.∫ π−π

∣

∣

∣

∣

dX(ejω)dω

∣

∣

∣

∣

2dω

Dicas:

1. Propriedade das areas

2. Verificar simetria do sinal e fase linear (atraso no tempo)

3. Propriedade das areas

4. Valores de ejπn, para n inteiro, expressao da DTFT inversa

5. xe[n] = (x[n] + x∗[−n])/2

6. Teorema de Parseval

7. Propriedade de diferenciacao em frequencia e teorema de Parseval



Calcule a DTFT da sequencia:

x[n] = n

(

1

2

)|n|

Dica:

1. Propriedades de linearidade, inversao no tempo e diferenciacao emfrequencia

2. Sinal x[n] real e ımpar - a sua transformada deve ser imaginaria eımpar.



Considere os seguintes sinais:

x1[n] =

1, 0 ≤ n ≤ L− 10, caso contrario.

x2[n] =

1, −M ≤ n ≤M

0, caso contrario.

1. Obtenha as expressoes das DTFTs de x1[n] e x2[n], em funcao de L e

M .

2. Obtenha as sequencias e os espectros para L = 5 e M = 2.

3. Verifique como se relacionam as sequencias em termos de um atrasono tempo, e os espectros em termos de uma fase linear em frequencia.



Usando os resultados do exemplo anterior, calcule a DTFT de um sinal

senoidal truncado:

v[n] = x1[n] cos(ω0n)

1. Obtenha a expressao da DTFT de v[n]

2. Verifique como o espectro se relaciona com a duracao do pulso (L)

3. Faca alguns graficos (v[n], |V (ejω)|, 6 V (ejω)) para (a) L = 10,ω0 = π/2; (b) L = 20, ω0 = π/2.

Dica: Use a propriedade do janelamento no tempo - convolucao emfrequencia.



Seja x[n] uma sequencia cuja DTFT e do tipo:

1

. . .. . .

X(ejω)

ωπ/2−π/2 π−π 2π−2π

e considere a sequencia modificada z[n] = x[n]·p[n]. Esboce os espectros

Z(ejω) e interprete os resultados para:

1. p[n] = cos(πn)

2. p[n] = cos(πn/2)

3. p[n] = sin(πn/2)

4. p[n] =+∞∑

k=−∞

δ[n− 2k]

Avalie tambem este efeito no MATLAB. Para isto, siga o diagrama deblocos:

XADC LPF

v[n] x[n]

p[n]

z[n]

1. A conversao A/D pode ser feita com o comando wavrecord, ou pode-

se trabalhar com um sinal gravado em arquivo .WAV, utilizando ocomando wavread;

2. O filtro passa-baixas serve para limitar a frequencia do sinal a π/2.

Para isto, use o seguinte codigo:

[N,Wn]=ellipord(0.4, 0.6, 0.1, 40);

[b,a]=ellip(N, 0.1, 40, Wn);

x = filter(b,a,v);

z = x.*p;

O sinal p[n] deve ter as mesmas dimensoes de x[n]. Para ouvir o resul-

tado, use a funcao sound.



Calcule a DTFT do sinal:

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

12

3

4

x[n]

n

Dica: escreva x[n] como a convolucao entre dois pulsos retangulares euse a propriedade da convolucao no tempo.


Exercıcios: Resposta em frequencia

a) Um sistema linear invariante no tempo tem resposta impulsiva h[n] real.

Prove que a resposta em frequencia tem magnitude par e fase ımpar:

|H(ejω)| = |H(e−jω)|

6 H(ejω) = − 6 H(e−jω)

Alternativamente, diz-se que H(ejω) tem simetria hermitiana:

H(ejω) = H∗(e−jω)

Dica: escreva a expressao de H(ejω) a partir da definicao e aplique o

conjugado complexo.

b) Num SLIT, a resposta a uma entrada x[n] = ejω0n, e da forma:

y[n] = H(ejω0)x[n] = H(ejω0)ejω0n

Obtenha a saıda do sistema para uma entrada senoidal:

x[n] = A cos(ω0n+ φ0)

Considere que o sistema tem resposta impulsiva h[n] real. Dicas:

1. Escreva x[n] como a soma de duas exponenciais complexas com frequenciasω0 e −ω0;

2. Obtenha as saıdas para cada uma das exponenciais complexas;

3. Usando a informacao de que h[n] e real (como deve ser sua DTFT?),agrupe as respostas individuais para obter um sinal senoidal na saıda.

4. Qual a relacao entre as amplitudes da saıda e da entrada?

5. Qual a diferenca de fase entre a saıda e a entrada?

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