Processamento digital de sinaisELEMENTOS BÁSICOS DE DSP

AmostragemA maioria dos sinais de tempo discreto vem de amostragens de sinais contínuos no tempo.A/D – conversor analógico-digital – origina uma sequênciade sinais digitais, cuja amplitude é quantizada de acordo com a amplitude do sinal de entrada.

A quantização depende do número de bits e do intervalo de quantização.

D/A – conversor digital – analógico – reconstrói o sinal analógico a partir do sinal digital

AmostragemOs sinais discretos são formados pela amostragem periódica:O intervalo de amostragem Ts é o período de amostragem e fs= (1/ Ts) é a frequência de amostragem.Uma maneira de representar o processo de amostragem émultiplicar o sinal contínuo por um trem de impulsos

Os valores das amostras são indexados pela variável inteira n:

Amostragem

Os valores das amostras são indexados pela variável inteira n:

Efeito no domínio da frequênciaA transformada de δ[t-nTs] é e-jnΩT. Assim a TF do sinal amostrado Xs(t):

Ou considerando a sequência de impulsos e sua TF: ver próxima Transparência.

Veja que (Ω=2π/Ts) é a freq de amostragem.

Finalmente, a TFTD de x[n] é:

Comparando as equações, pode-se verificar que X(ejω) é uma versão de Xs(jΩ) escalada em frequência com a mudança de escala:

Transformada de Fourier de sinais periódicosPodemos construir a TF de um sinal periódico a partir de sua representação em SF. Considere um sinal x(t) com TF X(ω) com um impulso de área 2π em ω= ωo:Aplicando a TIF:

Mais genericamente se X(ω) tem a forma de uma combinação linear de impulsos, igualmente espaçados na frequência:Então aplicando:

Isso corresponde a representação da SF de um sinal periódico. Assim, a TF de um sinal periódico com coeficientes de SF ak pode ser interpretada como um trem de impulsos ocorrendo nas frequênciasharmônicas relacionadas para as quais a área do impulso na késimaharmônica de frequência kωo é 2π vezes o késimo coeficiente da SF.Ex.:

( ) ( )02X ω = πδ ω−ω

( ) ( )01 2

2j tx t e d

+∞ ω

−∞= πδ ω−ω ω

π ∫

( ) ( )02 kk

X a k+∞

=−∞

ω = π δ ω− ω∑

( ) ( ) ( ) 00

1 1 22 2

jk tj t j tk k

k kx t X e d a k e d a e

+∞ +∞+∞ +∞ ωω ω

−∞ −∞=−∞ =−∞

= ω ω = π δ ω− ω ω =π π ∑ ∑∫ ∫

( ) ( ) ( ) 02

2

1 1T jk tk T

kx t t kT coef. da SF a t e dt

T T

+∞ + − ω

−=−∞

= δ − ⇒ ⇒ = δ =∑ ∫( ) 2 2

k

kXT T

+∞

=−∞

π π⎛ ⎞⇒ ω = δ ω−⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

AMOSTRAGEM DE SINAIS ANALÓGICOS

∫

∫

∞

∞

Ω

∞

∞

Ω−

ΩΩ=

=Ω

Ω

-

-

)(21)(

)( )(

)( analógico sinal do (TFTC) contínuo tempodeFourier de daTransforma : )(

analógico Sinal : )(

dejXtx

dtetxjX

txjX

tx

tjaa

tjaa

a

a

a

π

EFEITO DA AMOSTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

a s

a

s a sn

j t j ts s a s- -

n

j ts a s

x n x t nT : Sinal discreto obtido por amostragem

do sinal analógico x t

x t x t t nT

X j x t e dt x t t nT e dt

X j x t t nT e

+∞

=−∞

+∞∞ ∞− Ω − Ω

∞ ∞=−∞

− Ω

≡ =

= δ −

⎡ ⎤Ω = = δ −⎢ ⎥

⎣ ⎦

Ω = δ −

∑

∑∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) !!!

s

s

-n

j t nTs a s s-

n

j t nT j n js a s s

n n

dt

X j x t nT e t nT dt

X j x t nT e x n e X e T

+∞ ∞

∞=−∞

+∞ ∞− Ω =

∞=−∞

+∞ +∞− Ω = − ω ω

=−∞ =−∞

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤Ω = = δ −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ω = = = ≡ ω = Ω⎣ ⎦⎣ ⎦

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∑

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ))( de (TFTD)

discreto tempodeFourier de daTransforma :

1 , 22

onde , 22

22

nxeX

TFlFFXFXeX

TlTT

XT

XeX

lTT

XnTtFtxFX

nTttxFtxTFTCX

js

sl

ssassj

sl ss

as

sj

l ssa

nsas

nsass

ω

ω

ω

πωπ

ωπωπ

πδπδ

δ

=−=Ω=

Ω=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Ω=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Ω∗Ω=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−∗=Ω

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−==Ω

∑

∑

∑∑

∑

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

∞+

−∞=

+∞

−∞=

EFEITO DA AMOSTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA

AmostragemConsiderando xa(t) limitado em frequência, de modo que Xa(jΩ)=0 para |Ω|> Ω0: Se xa(t) for amostrado com uma

frequência de amostragem Ωs> 2Ω0, a TF do sinal xa(t) será replicada periodicamente:

Entretanto, se Ωs< 2Ω0, os espectros deslocados Xa(jΩ-jkΩs sobrepõe-se:

Essa sobreposição é chamada aliasing. E Ω0 é a freq. De Nyquista. Para evitar aliasing Ωs> 2Ω0

AMOSTRAGEM

x(n)

n

xa(t)

t

0 1 2 4

amostragem

TFTC

TFTD

amostragem

Xa(jΩ)A

Ω0-Ω0 Ω

X(e jω)2πA/Ts ω0 = Ω0Ts

ω

-Ω0Ts

Ts

π 2π-2π -π 0

0

O escalamento torna X(ejω) periódica com um período 2π

AliasingO Aliasing é uma ambiguidade que só existe com sinais discretos e não existe em sinais de tempo contínuo.

Nesse exemplo, a sequência pode representar duas senóidesde frequências diferentes.

AliasingConsidere um sinal senoidal de tempo contínuo

Amostrando x(t) a uma taxa de fs nos módulos 0ts, 1ts, 2ts, ...

Considerando a periodicidade do sinal:

Se m é um inteiro múltiplo de n, podemos fazer :

Considere um sinal senoidal de tempo contínuo

Ou seja, a sequência x[n] representando os valores amostrados de um seno de frequência f0, também representa senos de outras frequênciasf0+ kfs

Aliasing

É comum utilizar filtros passa-baixasdenominados “anti-alising” antes da entrada do sinal contínuo no AD.

AliasingOs efeitos qualitativos do aliasing podem ser percebidos nesta apresentaçào de áudio. Seis ondas dente-de-serra são tocadas. As primeiras duas dentes-de-serra tem a freqüência fundamental de 440 Hz (A4), as segundas duas ondas tem freqüência de 880 Hz (A5), e as últimas duas em 1760 Hz (A6). As ondas dente-se serra alternam entre (banlimited – non-aliased) e aliased. A taxa de amostragem é de 22.05 kHz. As ondas dente de serra de banda limitada são sintetizadas com séries de Fouries, de modo que não existem freqüências harmônicas acima da freqüência de Nyquist.

A distorção devido ao aliasing nas baixas freqüências fica óbvio com frequências fundamentais mais altas, e enquanto a onda dente-de-serra de banda limitada continua limpa em 1760 Hz, a onda dente de serra é degradada com buzzing audíveis em freqüências abaixo da fundamental.

Teorema da amostragem

Se xa(t) for limitado em faixa Xa(jΩ)=0 para |Ω|> Ω0, então xa(t) pode ser recuperado de forma única a partir de suas amostras xa(nTs) se

Ω0 é denomina frequência de Nyquist Ωs=taxa de Nyquist.

02 2s

sTπ

Ω = = Ω

Quantização e CodificaçãoUm quantizador é um sistema não linear e não invertível que transforma uma sequência de entrada x[n], com um intervalo contínuo de amplitudes em uma sequência na qual cada valor de x[n] assume um número finito de valores possíveis.

Um quantizador possui l+1 níveis de decisão e quando os intervalos de quantização são igualmente espaçados:

Onde ∆ é a resolução. Geralmente o número de níveis de um quantizador tem a forma: B+1 é o tamanho da palavra em bits. Erro de quantização:

QuantizaçãoO erro de quantização é geralmente considerado um ruído aditivo

Conversão Digital - AnalógicaSe o teorema da amostragem for obedecido, então o sinal contínuo pode ser reconstruído de forma única a partir das amostras. O processo envolve dois passos: conversão para impulsos e filtragem:

Conversão Digital - AnalógicaA saída do filtro é:

No domínio frequência: ou

O filtro apresentado é um Passa baixas ideal, o qual é impossível de ser implementado. Uma opção é a utilização de um ROZ (Retentor de ordem zero):

Conversão Digital - Analógica

Redução da taxa de amostragem por um fator inteiro

Fazemos e . Esse processo é chamado de down-sampling.A TFTD de x[n] e de x[nM]:

Redução da taxa de amostragem por um fator inteiro

Para se evitar o aliasing, a entrada x[n] deve ser filtrada antes da redução da de amostragem com um filtro passa-baixas de ωc=π/M

Aumento da taxa de amostragem por um fator inteiro

Se x[n]=xa[nTs], então para up-sampling:O up-sampler expande a escala de tempo por um fator L, acrescentando L-1 zeros a cada amostra de x[n]

No domínio frequência:

Ou seja, X(ejω) ésimplesmente escalada em frequência.

Aumento da taxa de amostragem por um fator inteiro

Um filtro passa baixas de frequência de corte ωc=π/L e ganho L faz a interpolação das amostras correspondentes aos múltiplos inteiros de L

Aumento da taxa de amostragem por um fator inteiro

No domínio da frequência:Sinal no tempo contínuoTFTD do sinal amostrado x[n]=Xa[nTs]TFTD da saída do up-samplerFiltro passa-baixasidealTFTD do sinal interpolado.

AMOSTRAGEM NO MATLAB

∑∑ ∆Ω−∆Ω− ∆=∆≈Ω

<<∆∆≡

m

tmjG

m

tmjGa

saG

G

emxttemxjX

Tttmxmx

mx

)()()(

)()(

)(

onde

analógico sinal um simula que discreto Sinal :