te-708 processamento digital de sinais - ufpr 1 2. sinais e sistemas discretos notação: x[n]...

TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR

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2. Sinais e Sistemas Discretos Notação: x[n] Discreto x(t) Contínuo

n(amostras)

Sinal Discreto x[n]=x(n.T) Sinal Digital xq[n]

Sinal Contínuo x(t)

n

Sinal Amostrado xa(t)

t (ms)-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-3

-2

-1

0

1

2

3

Am

plitu

de

Tempo (mseg)

Sinal Continuo

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-3

-2

-1

0

1

2

3

Am

plitu

de

Sinal Amostrado

Tempo (mseg)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-3

-2

-1

0

1

2

3Sinal Discreto

Am

plitu

de

Amostra-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-3

-2

-1

0

1

2

3

Amostra

Am

plitu

de

Sinal Digital


2

Sistemas:

x(t) y(t)H(s)Contínuo:

xa(t) ya(t)H(z)Amostrado:

x[n] y[n]H(z)Discreto:

xq[n] yq[n]Hq(z)

Digital:

Ex.: Filtros ativos e passivos

Ex.: Filtros a capacitor chaveado

Ex.: Filtros digitais comPrecisão Infinita

Ex.: Filtros digitais comPrecisão Finita


3

Sinais Discretos: Sequência de números reais ou complexos.

x[n] não é definido para n não-inteiro

Ex.: x[n]={..., 1.3, 1.6, 2.0, 1.8, 1.7 ...}


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2.1.1. Sequências Básicas e Operações

Soma: z[n]=x[n]+y[n] Produto: z[n]=x[n].y[n] Escalamento: y[n]=.x[n]Operações realizadas amostra a amostra

Deslocamento: y[n]=x[n-no]


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Sinais Discretos Básicos:– Impulso Unitário:

(Delta de Dirac)0, 0

[ ]1, 0

nn

n

p[n]=a-3[n+3]+a1[n-1]+a2[n-2]+a7[n-7]

Sinal arbitrário:


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Generalizando: [ ] [ ]. [ ]k

x n x k n k

-Degrau unitário:

0,0

0,1][

n

nnu

[ ] [ ]n

k

u n k

0

[ ] [ ]k

u n n k

Analogamente: [ ] [ ] [ 1]n u n u n


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Função Exponencial Complexa: x[n]=A.n

• Se A e forem números reais x[n] será RealConsiderando A real positivo

Se 0<<1

Se =1

Se >1

Se -1<<0

Se <-1


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• Se A e forem números complexos x[n] será Complexa

Considerando: . jA A e 0. je

0[ ] . . . .njn jx n A A e e Então:

0 .[ ] . .n j nx n A e

Euler: cos( ) sin( )je j

Logo:

0 0[ ] . cos . sin .n

x n A n j n


9

||<1

||=1

||>1

A=1

0 0[ ] . cos . sin .n

x n A n j n

-10 -5 0 5 10-2

0

2

4

alph

a=.9

/45

-10 -5 0 5 10-4

-2

0

2

-10 -5 0 5 10-2

-1

0

1

2

alph

a=1/

45

-10 -5 0 5 10-2

-1

0

1

2

-10 -5 0 5 10-2

0

2

4

alph

a=1.

1/45

-10 -5 0 5 10-2

0

2

4

Re{x[n]} Im{x[n]}


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Propriedades das exponenciais complexas

00 0cos sinj te t j t Sinal Contínuo:

Nota-se que: - Aumentando 0 Aumenta taxa de oscilação- p/ 0 é sempre periódica- em um tempo T existem infinitas senóides completas

Sinal Discreto: 00 0cos( ) .sin( )j ne n j n

- Aumentando 0 de 2:0 0 0( 2 ). ( ) ( ).2 ..j n j n j nj ne e e e

Conclusão: Repetição dos sinais em 2., 4. ,...

Exponenciais complexas discretas necessitam serem consideradas no intervalo (0,2.) ou (-, ).


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0 2 4 6 8 10 12-1

0

1

0 2 4 6 8 10 12-1

0

1

0 2 4 6 8 10 12-1

0

1

0 2 4 6 8 10 12-1

0

1

0 2 4 6 8 10 12-1

0

1

0 2 4 6 8 10 12-1

0

1

0 2 4 6 8 10 12-1

0

1

0 2 4 6 8 10 12-1

0

1

0 2 4 6 8 10 12-1

0

1

0=0

0=/6

0=/3

0=/2

0=

0=3/2

0=5/3

0=2

0=11/6


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Logo: Baixas Frequências 0 próximo de 0 ou 2 Altas Frequências 0 próximo de

-Propriedade 2:Para um sinal ser periódico com período N é necessário que:

x[n]=x[n+N] para todo n

Então: 0 0 ( )j n j n Ne e 0 0 0.j n j n j Ne e e

00 0cos( ) .sin( )1 j N N j Ne

Logo: 0 2N m m

Ou: 0

2

m

N

Não é periódico p/ 0!!!!


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Definindo: Período Fundamental:

Frequência Fundamental:

0

2N m

0

m

•Sinais harmonicamente relacionados:

Contínuo: 0

2

T

0 0 0 0

2 4 6 2.2 3, , ,.., , , ,...,

j t j t j t j k tj t j t j t jk t T T T Te e e e e e e e

Logo: existem funções diferentes periódicas em T

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


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No caso Discreto:2

jk nNe

2

1j n

Nk e

2 2 2

( 1) 21 .j N n j n j nj nN N Nk N e e e e

00 1jk e 2 1j nk N e

Logo: Existem apenas N funções periódicas diferentesque possuem período N.

k=0 k=1 k=2 k=3 p/ N=4

0 2 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1k=0 N=4

0 2 4-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1k=1 N=4

0 2 4-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1k=2 N=4

0 2 4-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1k=3 N=4


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Exemplos: São periódicas as seguintes funções?

1) [ ] cos6

x n n

2)4

[ ] cos7

x n n

3) [ ] cos2

nx n

0 2 4 6 8 10 12 14 16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


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2.2. Sistemas DiscretosUm sistema discreto é uma transformação

ou operação que mapeia um sequência de entrada x[n] em uma sequência de saída y[n]

y[n]=T{x[n]}

T{}x[n] y[n]


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Ex.: Sistema de Atraso

y[n]=x[n-n0]n0 > 0 Sistema de atrason0 < 0 Sistema de avanço

Ex.: Média Móvel (Moving Average - MA)

2

11 2

1[ ] [ ]

1

M

k M

y n x n kM M

Na figura: M1=0 M2=50 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

n n-5


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Um sistema é dito sem memória se a saída y[n] a cada valor de n depende somente da entrada x[n] p/ mesmo valor de n.

Ex.: y[n]=x[n]2

Atraso?Média Móvel?

2.2.1. Sistemas Sem-Memória


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2.2.2. Sistemas Lineares Um sistema é dito linear se obedece ao

Princípio da Superposição:

Dado: y1[n]=T{x1[n]} e y2[n]=T{x2[n]}

Então:

Linearidade: T{a.x1[n]+b.x2[n]}=a.T{x1[n]}+b.T{x2[n]}

Aditividade: T{x1[n]+x2[n]}=T{x1[n]}+T{x2[n]}

Homogeneidade: T{a.x[n]}=a.T{x[n]}

Ex.: Acumulador, logaritmo


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2.2.3. Sistemas Invariantes no Tempo

Certo: Sistemas invariantes ao deslocamento

Um sistema Invariante no Tempo é aquele que um deslocamento no sinal de entrada causa um correspondente deslocamento no sinal de saída.

Se: y[n]=T{x[n]}Então: y[n-n0]=T{x[n-n0]}

Ex.: Acumulador, Compressor


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2.2.4. Causalidade Um sistema é dito causal se uma amostra

y[n0] depende de y[n] e/ou x[n] para nn0.

Isto é, não depende de valores futuros.

Sistema não-antecipativo.

Ex.: Forward Difference: y[n]=x[n+1]-x[n] Não-Causal

Backward Difference: y[n]=x[n]-x[n-1] Causal


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2.2.5. Estabilidade Diversos critérios...Critério BIBO (Bounded Input – Bounded Output)

Sistema é estável se para toda sequência de entrada limitada esse sistema produz uma saída também limitada.

x[n] é limitado se: |x[n]|Bx< para todo n

y[n] é limitado se: |y[n]|By< para todo n

O sistema é estável se y[n] é limitado para todoe qualquer sinal x[n] limitado.

Basta encontrar um caso que não cumpra a condição para o sistema ser considerado instável.


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Exemplos:

1) y[n]=x[n]2

2) y[n]=log(x[n])

3)Acumulador

n

k

kxny ][][


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2.3. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo - LTI

[ ] [ ]. [ ]k

y n T x k n k

[ ] [ ]y n T x nDado:

Se o sistema é Linear :

[ ] [ ]. [ ] [ ]. [ ]kk k

y n x k T n k x k h n

hk[n] é a resposta ao impulso do sistema no instante k.h[n]=T{[n]}


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Se o sistema é Invariante no Tempo:

[ ] [ ]kh n h n k

Logo para sistemas LTI:

[ ] [ ]. [ ]k

y n x k h n k

O sistema T{} é completamente caracterizado pelasua resposta ao impulso h[n].

Soma de Convolução.


26

Soma de Convolução:

[ ] [ ]* [ ] [ ]. [ ]k

y n x n h n x k h n k

Mesma interpretação da integral de convolução dos sistemas contínuos

Porém com senso mais prático, pois será usada paraImplementar sistemas, ao contrário da integral de convolução que é de senso mais teórico.


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Interpretação 1 : Soma das respostas ao impulso do sistema, ponderadas e deslocadas.


28

Interpretação 2:


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2.4. Propriedades dos Sistemas LTI

Comutatividade:

x[n]*h[n] = h[n]*x[n] Demonstrar...

h1[n] h2[n]x[n] y[n]

h2[n] h1[n]x[n] y[n]

h1[n]*h2[n]x[n] y[n]


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Distributividade: Provar...

x[n]*(h1[n]+h2[n])=x[n]*h1[n]+x[n]*h2[n]

h1[n]

h2[n]

+x[n] y[n]

h1[n]+h2[n]x[n] y[n]


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Estabilidade:

Critério BIBO: Um sistema LTI é estável se e somente seSua resposta ao impulso for absolutamente somável.

Provar...

[ ]k

S h k


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Causalidade

O sistema é causal se sua resposta ao impulso for um sinal causal. Sistema não-antecipativo.

h[n]=0 , n<0

Provar....


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Sistema Inverso

h1[n] h2[n]x[n]y[n]

z[n]

O sistema h2[n] é dito sistema inverso de h1[n] se z[n]=x[n]

Logo:h[n]=h1[n]*h2[n]=[n]

Pois: x[n]*[n]=x[n]


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Exercícios:Analisar os sistemas, calculando suas h[n] e classificando-ossegundo os tipos de sistemas estudados:

Atraso Ideal: y[n]=x[n-n0]

Média Móvel:2

11 2

1[ ] [ ]

1

M

k M

y n x n kM M

Acumulador: [ ] [ ]n

k

y n x k

Forward Difference: y[n]=x[n+1]-x[n]

Backward Difference: y[n]=x[n]-x[n-1]

Compressor: y[n]=x[M.n]

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