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Introducao

Operacoes emSinais noTempoDiscreto

TransformadasContınuas

Transformada z

Transformada deFourier deTempo Discreto

TransformadasDiscretas

TransformadaDiscreta deFourier

OutrasTransformadasDiscretas

Exemplosusando o Matlab

Disciplina: Processamento Digital de SinaisAula 02 - Operacoes e Transformacoes em

Sinais no Tempo Discreto

Prof. Eduardo Simas([email protected])

Departamento de Engenharia EletricaUniversidade Federal da Bahia

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Introducao



Transformada z






Conteudo

1 Introducao

2 Operacoes em Sinais no Tempo Discreto

3 Transformadas ContınuasTransformada zTransformada de Fourier de Tempo Discreto

4 Transformadas DiscretasTransformada Discreta de FourierOutras Transformadas DiscretasExemplos usando o Matlab

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Transformada z






Introducao

O Processamento Digital de Sinais esta fundamentado emferramentas matematicas que permitem a realizacao deoperacoes e transformacoes em sinais no tempo discreto.

Neste modulo iremos estudar:

- Operacoes mais comuns em sinais no tempo discreto;

- Transformadas mais utilizadas para sinais no tempodiscreto.

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Operacoes em Sinais no Tempo Discreto

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Transformada z







Um sistema no tempo discreto opera sobre uma sequencia deentrada segundo regras pre-estabelecidas para gerar umasequencia de saıda.

Em muitos casos, o funcionamento dos sistemas no tempodiscreto pode ser descrito a partir de operacoes basicas como:

- produto;

- adicao;

- multiplicacao por um escalar;

- deslocamento no tempo;

- reversao no tempo;

- alteracao da taxa de amostragem;

- correlacao.

Essas operacoes serao apresentadas a seguir.

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Transformada z







Produto (ou modulacao): y [n] = x1[n] · x2[n]

Quando o produto e utilizado para obter uma sequencia decomprimento limitado a partir de outra de comprimento infinito(atraves do produto por uma sequencia finita, chamada janela)essa operacao e chamada “janelamento”:

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Adicao: y [n] = x1[n] + x2[n]

Multiplicacao por um escalar: y [n] = Ax [n]

Deslocamento no tempo: y [n] = x [n − N]

sendo N inteiro. Quando N > 0→ atraso e se N < 0→avanco.

Em geral utiliza-se o operador z−1 para indicar um atraso deuma amostra e z um avanco (veremos o porque quandoestudarmos a transformada z):

x [n] −→ z−1 −→ y [n] = x [n − 1]

x [n] −→ z −→ y [n] = x [n + 1]

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Reversao no Tempo: y [n] = x [−n]

Alteracao da Taxa de Amostragem: E possıvel gerar umnovo sinal y [n] a partir da modificacao da taxa de amostragemde x [n]. Definindo fx e fy como sendo respectivamente asfrequencias de amostragem de x e y , temos:

Fy

Fx= R

se R > 1 o processo e chamado interpolacao e se R < 1decimacao (ou dizimacao).

Na interpolacao temos: y [n] =

{x [n/L], n = 0± L,±2L, . . .

0, outro n

Na decimacao: y [n] = x [nM]

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Correlacao: A correlacao indica o nıvel se semelhanca entredois sinais (considerando a estatıstica de segunda ordem).

Define-se a sequencia de correlacao (ou correlacao cruzada):

rx,y [l ] =∞∑

n=−∞x [n]y [n − l ] com l = 0,±1,±2, . . .

sendo l o atraso entre as duas sequencias para o qual esta sendocalculada a correlacao. A sequencia de correlacao indica asemelhanca entre x [n] e versoes deslocadas de y [n].

Quando a sequencia de correlacao e calculada para um mesmosinal e chamada de sequencia de auto-correlacao:

rx,x [l ] =∞∑

n=−∞x [n]x [n − l ] com l = 0,±1,±2, . . .

rx,x [l ] indica a semelhanca entre um sinal x [n] e versoesdeslocadas dele mesmo.

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Funcao de Autocorrelacao

A funcao de auto-correlacao mostra a velocidade de variacao deum processo aleatorio com o tempo e tem as propriedades aseguir:

- RXX (τ) = RXX (−τ) (funcao par);

- O valor maximo ocorre em τ = 0 (defasagem zero) e valeRXX (0) = E{X 2(t)}.

- O processo de calculo de RXX (τ) e semelhante ao de umaconvolucao.

Funcao de auto correlacao de um sinal de SONAR pasivo:

−80 −60 −40 −20 0 20 40 60

0

0.1

0.2

τ

RX

X

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Funcao de Autocorrelacao - Aplicacao

Deteccao de ecos (medicao de distancias):

A posicao do pico da funcao de correlacao indica o tempo depropagacao T :

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Funcao de Autocorrelacao - Aplicacao

y [n] = αx [n − τ ] + N[n],sendo N[n] ruıdo gaussiano.

O pico da funcao decorrelacao pode ser utilizadopara estimar τ .

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Coeficiente de Correlacao

Coeficiente de Correlacao:

E um valor esperado calculado numa janela temporal finita dossinais e definido por:

ρx,y =E{(X − µX )(Y − µY )}

σXσY=

σXYσXσY

sendo: E{x [n]} = µX ≈1

N

N∑i=1

x [i ] a media e

E{(x [n]− µX )2} = σ2X ≈

1

N

N∑i=1

(x [i ]− µX )2 a variancia.

O fator σXY e a covariancia de X e Y e quando os sinais saoestatisticamente independentes ρx,y = 0.

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Variacao do Coeficiente de Correlacao - Exemplos

−4 −2 0 2 4−20

−10

0

10

20

X

Y

−4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

10

X

Y

−4 −2 0 2 4−30

−20

−10

0

10

X

Y

−4 −2 0 2 4−4

−2

0

2

4

X

Y

ρXY

=0,99 ρXY

=−0,98

ρXY

=0,74ρ

XY=0,01

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Transformadas Contınuas

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Transformada Z

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Transformada z

A transformada z de uma sequencia x [n] e definida por:

X (z) = Z{x [n]} =∞∑

n=−∞x [n]z−n

onde z e uma variavel complexa.

E importante observar que X (z) existe apenas para regioes doplano complexo em que o somatorio converge.

A definicao acima e chamada de transformada z bilateral.

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Transformada z

Pode-se definir tambem as transformadas z para sequenciasunilaterais e de comprimento finito:

- Unilateral direita: X (z) = Z{x [n]} =∞∑

n=n0

x [n]z−n

- Unilateral esquerda: X (z) = Z{x [n]} =n0∑

n=−∞x [n]z−n

- Comprimento finito: X (z) = Z{x [n]} =n1∑

n=n0

x [n]z−n

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Transformada z

Exemplo: Calcule a transformada z de x [n] = Ku[n]

Por definicao temos: X (z) = K∞∑n=0

z−n.

Entao, X (z) e uma serie de potencias que converge quando|z−1| < 1 para:

X (z) =K

1− z−1

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Transformada Z

A transformada z e muito utilizada para a modelagem desistemas no tempo discreto, pois a operacao de convolucao, queno domınio do tempo e utilizada para obter a saıda (a partir daentrada e da funcao de resposta ao impulso) e substituıda poruma multiplicacao.

A transformada z e a contrapartida discreta da transformada deLaplace.

Uma representacao comum para o par x [n] e X (z) e:

x [n]Z←→X (z)

A transformada z transforma a sequencia discreta x [n] nafuncao X (z) da variavel contınua e complexa z .

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Regiao de Convergencia da Transformada Z

Considerando a teoria das series, observa-se que a transformadade z de uma sequencia e uma serie de Laurent da variavelcomplexa z .

Definicao da serie de Laurent: f (z) =∞∑

n=−∞an(z − c)n

Neste caso, podemos aplicar resultados da teoria de series echegar ao resultado a seguir:

A transformada z converge se r1 < z < r2, sendo:

r1 = limn→∞

∣∣∣x [n + 1]

x [n]

∣∣∣r2 = lim

n→−∞

∣∣∣x [n + 1]

x [n]

∣∣∣

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A regiao no plano complexo na qual a transformada z converge(r1 < z < r2) e conhecida como: Regiao de Convergencia(ROC).

Exemplo de regiao de convergencia da transformada z :

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Pode-se observar que, por definicao, a transformada z e umaserie geometrica da variavel complexa z :

X (z) = Z{x [n]} =∞∑

n=−∞x [n]z−n.

Para uma serie geometrica pode-se provar que:N−1∑k=0

ark = a1− rn

1− r, e quando N →∞:

∞∑k=0

ark = a1

1− r, para |r | < 1.

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Exemplos: ROC da Transformada Z

Encontre as transformadas z das sequencias abaixo,especificando suas ROC:

1 - x [n] = k2nu[n]2 - x [n] = k2n−1u[n − 1]3 - x [n] = u(−n + 1)

Resolucao:

1 - x [n] = k2nu[n]→ X (z) =∞∑n=0

k2nz−n = k∞∑n=0

(2z−1)n

chega-se entao a: X (z) =k

1− 2z−1, para

|2z−1| < 1→ |z | > 2.

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Resolucao:

2 - x [n] = k2n−1u[n − 1] (versao atrasada de uma amostra dosinal do Ex. 1)

- X (z) =∞∑n=1

k2n−1z−n =k

2

∞∑n=1

(2z−1)n

fazendo i = n − 1:

X (z) =k

2

∞∑i=0

(2z−1)i+1 =k2z−1

2

∞∑i=0

(2z−1)i

X (z) =kz−1

1− 2z−1, para |z | > 2.

Comparando com o resultado anterior percebe-se que o atrasode uma unidade corresponde a multiplicacao por z−1.

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Resolucao:

3 - x [n] = u(−n + 1) (versao revertida no tempo do degrauunitario deslocado)

- X (z) =−1∑

n=−∞z−n

fazendo i = −n − 1: X (z) =0∑

i=∞

z−(−i−1) = z0∑

i=∞

z i

X (z) =z

1− zpara |z | < 1.

Comparando com o par: u[n − 1]Z←→

z−1

1− z−1, percebe-se que

x [−n]Z←→X (z−1)

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Funcao de Transferencia

A transformada H(z) da funcao de resposta ao impulso h[n] deum sistema LIT e denominada Funcao de Transferencia.

Com o conhecimento de H(z) e possıvel obter a saıda de umSLIT a partir de uma simples multiplicacao no domınio z :

Y (z) = H(z)X (z)

sendo X (z) e Y (z) as transformadas z da entrada (x [n]) e dasaıda (y [n]) do SLIT.

Em geral uma funcao de transferencia e expressa, de modogenerico, como:

H(z) =Y (z)

X (z)=

M∑l=0

blz−1

1 +N∑i=1

aiz−1

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Funcao de Transferencia

E importante notar que para casos especiais (Ex.: filtros naorecursivos) a funcao de transferencia e simplificada para::

H(z) =M∑l=0

blz−1

Outra forma bastante utilizada para representar a funcao detransferencia e em funcao de seus polos (pi ) e zeros (zl):

H(z) =N(z)

D(z)= H0

M∏l=1

(1− z−1zl)

N∏i=1

(1− z−1pi )

= H0zN−M

M∏l=1

(z − zl)

N∏i=1

(z − pi )

zl e pi sao as raızes de N(z) e D(z), respectivamente.

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Propriedades da Transformada z

A seguir serao listadas as principais propriedades datransformada z .

=> Linearidade:x [n] = a1x1[n] + a2x2[n]→ X (z) = a1X1(z) + a2X2(z)

a regiao de convergencia de X (z) e a interseccao das regioes deconvergencia de X1(z) e X2(z).

=> Reversao no Tempo:x [−n]←→ X (z−1)

se X (z) converge para r1 < |z | < r2, entao X (z−1) convergepara 1

r1< |z | < 1

r2.

=> Deslocamento no Tempo:x [n + l ]←→ z lX (z)

a regiao de convergencia e a mesma a menos de z = 0 ouz =∞.

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Propriedades da Transformada z

=> Multiplicacao por uma exponencial:αnx [n]←→ X (αz)

sendo r1 < |z | < r2 a regiao de convergencia de X (z), entao aregiao de convergencia de X (αz) e r1/|α| < |z | < r2/|α|.

=> Diferenciacao complexa:

nx [n]←→ −z dX (αz)

dz

a regiao de convergencia se mantem a mesma.

=> Teorema do Valor Inicial:se x [n] = 0 para n < 0, entao: x [0] = lim

z→∞X (z).

Teorema da Convolucao:x1[n] ∗ x2[n]←→ X1(z)X2(z)

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Tabela de pares da Transformada Z mais utilizados

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A Transformada z Inversa

A transformada z inversa e definida por:

x [n] =1

2πj

∮X (z)zn−1dz

e mapeia uma funcao no domınio da variavel contınua ecomplexa z para o domınio da variavel discreta n.

O modo mais simples de obter a transformada z inversa e apartir da combinacao das propriedades da transformada compares transformados conhecidos.

Se nao for possıvel encontrar uma equivalencia a partir desteprocedimento, entao e necessario utilizar um metodo analıticocomo:

- metodo dos resıduos;- expansao em fracoes parciais;- divisao polinomial;- expansao em series.

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Metodo da expansao em fracoes parciais

Considerando que uma funcao X (z) = N(z)/D(z) tem k polosdistintos pk (k = 1, 2, . . . ,K ) cada um com multiplicidade mk ,entao X (z) pode ser expandido em fracoes parciais atraves de:

X (z) =M−N∑l=0

glz−l +

K∑k=1

mk∑i=1

cki(1− pkz−1)i

Se M < L, entao gl = 0 para todo l .

Para o caso de polos simples os coeficientes ck podem serdeterminados a partir de:

ck = (1− pkz−1)X (z)

∣∣∣∣z=pk

E a transformada inversa e obtida de:

g [n] =N∑l=1

ck(pk)nu[n]

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Expansao em fracoes parciais - Exemplo 1

Obter a representacao no domınio do tempo discreto para

H(z) =z(z + 2)

(z − 0, 2)(z + 0, 6)=

(1 + 2z−1)

(1− 0, 2z−1)(1 + 0, 6z−1)

Resolucao:

Expandindo em fracoes parciais temos: H(z) =c1

(1 + 2z−1)+

c2

(1 + 0, 6z−1)←→ c1(0, 2)nu[n] + c2(−0, 6)nu[n].

Para obtermos os coeficientes c1 e c2 fazemos:

c1 = (1− 0, 2z−1)H(z)

∣∣∣∣z=0,2

=1 + 2z−1

1 + 0, 6z−1

∣∣∣∣z=0,2

= 2, 75

c2 = (1− 0, 6z−1)H(z)

∣∣∣∣z=−0,6

=1 + 2z−1

1− 0, 2z−1

∣∣∣∣z=−0,6

= −1, 75

Entao a sequencia no domınio do tempo correspondente e:

h[n] = 2, 75(0, 2)nu[n]− 1, 75(−0, 6)nu[n]

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Expansao em fracoes parciais - polos multiplos

Quando a funcao G (z) tem um polo z = ρ de multiplicidade L eos demais N − L polos z = pl sao simples, a expansao emfracoes parciais pode ser feita a partir de:

G (z) =M−N∑l=0

glz−l +

N−L∑l=1

cl1− plz−1

L∑i=1

cρi(1− ρz−1)i

os resıduos cρi sao calculados usando:

cρi =1

(L− i)!(−ρ)L−idL−i

d(z−1)L−i

[(1− ρz−1)LG (z)

]∣∣∣∣z=ρ

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Expansao em fracoes parciais usando o Matlab

Exemplo:

Encontrar x [n] para: X (z) =18

18 + 3z−1 − 4z−2 − z−3

---------------------------

> num=18;

> den=[18 3 -4 -1];

> [r,p,k]=residuez(num,den);

r’ = 0.3600 0.2400 0.4000

p’ = 0.5000 -0.3333 -0.3333

k = []

---------------------------

Entao:

X (z) =0, 36

1− 0, 5z−1+

0, 24

1 + 0, 3333z−1+

0, 40

(1 + 0, 3333z−1)2

x [n] = 0, 36(0, 5)nu[n] + 0, 24(−0, 3333)nu[n]+0, 4(n + 1)(−0, 3333)nu[n + 1]

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Estabilidade e Causalidade no Domınio z

Caracterısticas como estabilidade e causalidade de sistemaspodem ser associados a padroes especıficos dos polos e zeros eda ROC da funcao de transferencia do sistema:

- Se um sistema e causal a ROC esta fora do maior polo;

- Se o sistema e estavel a ROC deve incluir o cırculo unitario;

- Se o sistema e causal e estavel as duas condicoes acimaprecisam ser satisfeitas o que implica em ter todos os polosdentro do cırculo unitario.

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Estabilidade e Causalidade no Domınio z

Exemplos:

Localizacao dos polos para sistemas (a) causal e estavel e (b) causal

e instavel.

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Outros Comandos Uteis no MATLAB

Operacoes com sistemas lineares discretos (convolucao egeracao de graficos):---------------------------

a=[1 1 1 1 1];

b=[1 2 3 4 5 6 7 8 9];

c=conv(a,b);

stem(c)

---------------------------

0 5 100

5

10

15

20

25

30

35

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Encontrar raızes do polinomio G (z) = 8z4 + 8z3 + 2z2 − z − 1:

---------------------------

>> roots([8 8 2 -1 -1])

ans =

0.4486

-0.7420

-0.3533 + 0.5007i

-0.3533 - 0.5007i

---------------------------

Tracar diagrama de polos e zeros no plano z :

Exemplo 1: H(z) = (z − 1)/(8z4 + 8z3 + 2z2 − z − 1)

---------------------------

>> zplane([0 0 0 1 -1],[8 8 2 -1 -1])

---------------------------

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Saıda do Exemplo 1 - “x” representam os polos e “o” os zeros:

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Real Part

Ima

gin

ary

Pa

rt

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Encontrar um polinomio a partir de suas raızes:

Raızes: 0.4, −0.7, −0.3 + 0.5i e −0.3− 0.5i

---------------------------

>> poly([0.4, -0.7, -0.3 + 0.5i, -0.3 - 0.5i])

ans =

1.0000 0.9000 0.2400 -0.0660 -0.0952

---------------------------

entao o polinomio e:z4 + 0.9000z3 + 0.2400z2 − 0.0660z − 0.0952

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Transformada de Fourier de Tempo Discreto

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A transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT - DiscreteTime Fourier Transform) pode ser obtida a partir da definicaoda transformada z fazendo z = e jω (ou seja, restringindo odomınio z apenas ao cırculo unitario).

Assim, a DTFT converte uma sequencia no tempo discreto parao domınio da frequencia contınua ω:

X (jω) = X (e jω) =∞∑

n=−∞x [n]e−jωn

E a transformacao inversa e realizada por:

x [n] =1

2πj

∫ π

−πX (jω)e jωndω

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Percebe-se das definicoes anteriores que um sinal x [n] no tempodiscreto pode ser representado por um somatorio infinito desenoides de frequencia ω ponderadas por fatores proporcionais aX (jω).

Lembrando que (Formula de Euler): e jx = cos(x) + j sin(x).

A transformada de Fourier X (jω) e periodica com perıodo 2π:

X (e jω) = X (e jω+2πk),∀k ∈ Z

Assim, a transformada de Fourier de um sinal no tempo discretoso precisa ser especificada num intervalo de 2π, como porexemplo: [−π, π) ou [0, 2π).

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DTFT - Exemplo

Encontrar a transforma de Fourier para o sinal:

x [n] =

{1, 0 ≤ n ≤ 50, caso contrario

Solucao:

H(e jω) =5∑

k=0

e−jωk =1− e−6jω

1− e−jω

=e−3jω(e3jω − e−3jω)

e−jω/2(e jω/2 − e−jω/2)

= e−j5ω/2 sin(3ω)

sin(ω/2)

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DTFT - Exemplo

Encontrar a transforma de Fourier para o sinal:

x [n] =

{1, 0 ≤ n ≤ 50, caso contrario

Solucao:

H(e jω) =5∑

k=0

e−jωk =1− e−6jω

1− e−jω=

e−3jω(e3jω − e−3jω)

e−jω/2(e jω/2 − e−jω/2)

= e−j5ω/2 sin(3ω)

sin(ω/2)

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DTFT - Exemplo

As respostas em frequencia de modulo e fase sao dadas por:

Lembrando que, para o numero complexo z = a + jb podemosdefinir a representacao polar z = re jθ, sendo:

r =√a2 + b2 o modulo e θ = arctan(b/a) a fase.

Usando a formula de Euler podemos chegar tambem a:

a = r cos(θ) e b = r sin(θ) .

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Consideracoes sobre a DTFT

Para que a transformada de Fourier de uma sequencia exista,sua transformada z deve convergir para |z | = 1

A transformada z converge na circunferencia unitaria quando:∑∞n=−∞ |x [n]| <∞.

O degrau unitario (x [n] = u[n]) e um exemplo de sinal discretoque nao possui DTFT, pois a expressao acima nao e valida.

A condicao acima, porem, nao e necessaria e suficiente paragarantir a existencia da DTFT, ocorrem casos especiais nosquais a DTFT existe, mas a condicao nao e satisfeita.

Outro aspecto interessante e que a transformada z mapeiasempre para um domınio contınuo, entao, sequencias em quetransformada de Fourier e uma funcao descontınua de ω naopossuem transformada z .

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Transformada z






Propriedades da DTFT

A seguir serao listadas as principais propriedades da DTFT, quesao analogas as da transformada z .

=> Linearidade:x [n] = a1x1[n] + a2x2[n]→ X (e jω) = a1X1(e jω) + a2X2(e jω)

=> Reversao no Tempo:x [−n]←→ X (e−jω)

=> Deslocamento no Tempo:x [n + l ]←→ e jωlX (e jω)

onde l e inteiro.

=> Multiplicacao por uma Exponencial Complexa:e jω0nx [n]←→ X (e j(ω−ω0))

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Transformada z






Propriedades da DTFT

=> Diferenciacao Complexa:

nx [n]←→ jdX (e jω)

ω

=> Teorema da Convolucao:x1[n] ∗ x2[n]←→ X1(e jω)X2(e jω)x1[n]x2[n]←→ X1(e jω) ∗ X2(e jω)

A convolucao no domınio do tempo e igual ao produto nodomınio da frequencia e vice-versa.

=> Teorema de Parseval:∞∑

n=−∞|x [n]|2 =

1

2π

∫ π

−π|X (e jω)|2dω

A energia do sinal no domınio do tempo e igual a energia dosinal no domınio da frequencia dividida por 2π.

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DTFT para Sinais Periodicos

Considerando que um sinal periodico x [n] = x [n + kN] deperıodo N e composto por versoes deslocadas do sinal xf [n],que corresponde a um perıodo de x [n], tal que:

xf [n] = 0 para n < 0 e n ≥ N.

Pode-se entao escrever x [n] como:

x [n] =∞∑

k=−∞

xf [n + kN]

Usando a propriedade do deslocamento no tempo chegamos a:

X (e jω) =∞∑

k=−∞

e jωkNXf (e jω)

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DTFT para Sinais Periodicos

Apos algum algebrismo chega-se a:

X (e jω) =2π

N

∞∑k=−∞

X (k)δ

(ω − 2π

Nk

),

sendo X (k) =N−1∑n=0

x [n]e−j(2π/N)k .

Percebe-se que, para sinais periodicos, a DTFT se transformanuma soma discreta de senoides com frequencias multiplas de2π/N (chamada por alguns autores de Serie de Fourier).

A transformada inversa e descrita por:

x [n] =1

2π

∫ π

−πX (e jω)e jωndω = . . . =

1

N

N−1∑k=0

X (k)e j(2π/N)kn

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Transformadas Discretas

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Transformadas Discretas

As transformadas estudadas ate aqui convertem um sinal notempo discreto para um domınio contınuo, e por isso nao saoadequadas para processamento em sistemas digitais.

Nesta secao serao apresentadas algumas transformadas querealizam mapeamentos para domınios discretos, por exemplo:

- A Transformada Discreta de Fourier (DFT - Discrete FourierTransform);

- Transformada Discreta de Cossenos (DCT - Discrete CosineTransform);

- Transformada Wavelet Discreta (DWT - Discrete WaveletTransform);

- Transformada de Karhunen-Loeve (KLT - Karhunen-LoeveTransform).

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Transformada Discreta de Fourier

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Conforme visto anteriormente, a DTFT de um sinal x [n]discreto no tempo e periodico produz uma representacao X (e jω)que e discreta no domınio da frequencia.

Neste caso, para a obtencao da DTFT consideramos apenas umperıodo de x [n], denominado xf [n].

E possıvel extrapolar essa abordagem para sinais xf [n] decomprimento finito L, porem nao periodicos, escolhendo umsinal x [n] de comprimento N ≥ L tal que:.

x [n] =

{xf [n], 0 ≤ n ≤ L− 1

0, L ≤ n ≤ N − 1

Ou seja, x [n] tem toda a informacao de xf [n] e N − L amostrasadicionais com valor zero.

Quando N = L temos x [n] = xf [n]

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A transformada discreta de Fourier (DFT - Discrete FourierTransform) converte uma sequencia x [n] no tempo discreto parao domınio da frequencia discreta k :

X (e j2πN k) = X [k] =

N−1∑n=0

x [n]W knN , 0 ≤ k ≤ N − 1

A transformada inversa pode ser obtida a partir de:

x [n] =1

N

N−1∑k=0

X [k]W−knN , 0 ≤ n ≤ N − 1

sendo WN = e−j2π/N .

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Observa-se da definicao da DFT que:

- Ela fornece uma representacao discreta na frequencia para umsinal de comprimento finito L.

- Essa representacao so e util se o numero N de amostras e maiorque L.

- A quantidade de amostras da transformada de Fourier e igual aN (numero de amostras do sinal no domınio do tempo).

Nas figuras do proximo slide observa-se o efeito docompletamento com zeros (zero-padding). Em (a) temos aDTFT, em (b) a DFT para N = 8 e em (c) a DFT para N = 32.

Percebe-se que quanto maior N, melhor a resolucao darepresentacao no domınio da frequencia.

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Representacao da DFT na Forma Matricial

As equacoes que definem a DFT e a IDFT podem sermodificadas para a forma matricial, fazendo inicialmente:

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E finalmente chega-se a:

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Definindo-se:

e uma matriz WN tal que {WN}ij = W ijN , para 0 ≤ i , j ≤ N − 1,

as equacoes anteriores podem ser reescritas como:

X = WNx

x =1

NW∗NX

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E interessante notar que a matriz WN tem propriedadesespeciais como:

- e simetrica (WTN = WN);

- W−1N =

1

NW∗N .

Considerando o custo computacional do calculo da DFT,pode-se verificar que, para uma DFT de comprimento N saonecessarias:

- N2 multiplicacoes complexas;

- N(N − 1) adicoes.

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Propriedades da DFT

A seguir serao listadas as principais propriedades da DTFT, quesao analogas as da transformada z .

=> Linearidade:x [n] = a1x1[n] + a2x2[n]→ X (k) = a1X1(k) + a2X2(k)

=> Reversao no Tempo:x [−n]←→ X (−k)

=> Deslocamento Circular no Tempo:x [n + l ]←→W−lkN X (k)

onde l e inteiro. Diferente da DTFT, a DFT somente e definidano intervalo 0 ≤ n ≤ N − 1, entao o deslocamento definido pelapropriedade e do tipo “circular”, conforme indicado na figura aseguir:

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Propriedades da DFT

Onde temos (a) x [n] e (b) x [n − 3].

=> Deslocamento na Frequencia:W ln

N x [n]←→ X (k + l)

=> Convolucao Circular no Tempo:se x [n] e h[n] sao periodicas com perıodo N, entao:N−1∑l=0

x [l ]h[n − l ]←→ X (k)H(k)

onde X (k) e H(k) sao as DFTs dos sinais de comprimento Ncorrespondentes a um perıodo de x [n e h[n], respectivamente.

A convolucao no domınio do tempo e igual ao produto nodomınio da frequencia e vice-versa.

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Propriedades da DFT

=> Teorema de Parseval:N−1∑n=0

|x [n]|2 =1

N

N−1∑n=0

|X (k)|2

A energia do sinal no domınio do tempo e igual a energia dosinal no domınio da frequencia dividida por N.

=> Relacao entre a DFT e a Transformada z :A DFT pode ser definida como uma versao amostrada nafrequencia da DTFT de um sinal no tempo discreto.

Como a DTFT pode ser obtida da transformada z fazendoz = e jω, entao a DFT pode ser obtida da amostragem datransformada z em ω = 2π

N k

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Estimacao Computacional da DFT

Conforme mostrado anteriormente o calculo da DFT peladefinicao requer N2 multiplicacoes complexas (ou seja, crescecom o quadrado do comprimento do sinal).

Isso limita sua aplicacao pratica a sinais de pequenocomprimento.

Visando contornar essa limitacao, foram desenvolvidosalgoritmos rapidos para a estimacao da DFT, conhecidosgenericamente como FFT (Fast Fourier Transform).

Existem tambem tecnicas alternativas para determinacao daDFT como:

- WFT (Winograd Fourier Transform);

- NTT (Number Theoretic Transform).

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Outras Transformadas Discretas

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Considerando a definicao matricial da DFT, pode-se generalizarpara uma transformada discreta qualquer considerando:

X = ANx

x = γA∗TN X

sendo AN uma matriz N × N tal que:

A−1N = γA∗TN

A definicao acima pode ser aplicada para uma grande variedadede transformadas discretas.

Percebe-se que a transformacao e simplesmente uma mudancade base (ou rotacao) em CN , associada a uma multiplicacao porum fator escalar γ.

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E possıvel mostrar tambem que, os vetores que compoem amatriz AN formam uma base em CN , ou seja, sao ortogonais1.

A relacao de Parseval pode ser estendida para umatransformada discreta generica utilizando:

‖X‖2 =1

γ‖x‖2

sendo: ‖v‖2 = 〈v, v〉 = v∗Tv a norma do vetor v.

Quando γ = 1, a transformada e dita “unitaria”, e isso significaque a energia no domınio transformado e igual a do domıniooriginal.

1Dois vetores v1 e v2 sao ortogonais quando 〈v1, v2〉 = 0, o que implicaque o angulo formado entre eles e π/2.

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Transformada Discreta de Cossenos

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A transformada discreta de cossenos (DCT - Discrete CosineTransform)de comprimento N de um sinal x [n] pode ser definidaa partir de:

C (k) = α(k)N−1∑n=0

x [n] cos

[π(n + 1/2)k

N

], para 0 ≤ k ≤ N − 1

sendo:

α(k) =

{ √1N , para k = 0√2N , para 1 ≤ k ≤ N − 1

E interessante observar que a DCT e uma transformada real,pois mapeia um sinal real em coeficientes reais.

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A DCT inversa pode ser descrita como:

x [n] =N−1∑k=0

α(k)C (k) cos

[π(n + 1/2)k

N

], para 0 ≤ n ≤ N − 1

Definindo:

{CN}kn = α(k) cos

[π(n + 1/2)k

N

]entao, a forma matricial da DCT pode ser representada por:

c = CNx

x = CTNX

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A DCT apresenta diversas propriedades, entre elas a relacao deParseval:

N−1∑k=0

C 2(k) =N−1∑n=0

x2[n]

Conforme ilustrado na figura a seguir, quando a DCT e aplicadaa sinais como audio e vıdeo (a), a energia do sinal transformado(b) fica concentrada nos primeiros coeficientes:

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DCT - Aplicacoes

Um sistema de compressao de imagem/vıdeo generico pode serrepresentado por:

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DCT - Aplicacoes

Efeito da aplicacao da DCT eliminando os coeficientes de menorenergia. Imagem original (esquerda) × imagem no domınio daDCT (direita).

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Reconstrucao apos Compactacao via DCT

(a) 100%, (b) 75%, (c) 50% e (d) 25% de retencao dos coeficientesapos a DCT.

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Implementacao Computacional da DCT

A DCT e amplamente utilizada em sistemas modernos de compressaode vıdeo.

Para sua determinacao em ambiente computacional pode-se:

- utilizar a relacao da DCT com a DFT (a partir da formula de Euler)e em seguida um algoritmo eficiente para a DFT (Ex. FFT).

- Utilizar implementacoes rapidas e otimizadas para o calculo da DCT.

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Transformada Discreta de Wavelet

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Transformada Wavelet

A transformada wavelet (que em portugues seria chamada de“pequena onda” ou “ondaleta”), diferente das transformadas deFourier e Cossenos (que sao baseadas em funcoes de duracaoinfinita), realiza a aproximacao de sinais atraves do somatorio deversoes delocadas, comprimidas e expandidas de funcoes de curtaduracao ψ(t), conhecidas como “wavelet” mae:

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A transformada wavelet contınua de um sinal x(t) pode ser definidacomo:

Wx(s, u) =

∫ ∞−∞

x(t)1√sψ∗(

t − u

s

)Considerando-se a funcao wavelet “chapeu mexicano”:

ψ(t) = (1− t2)e−t2/2, pode-se observar o efeito da aplicacao dofator de escala s na figura a seguir:

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Uma das principais caraterısticas da transformada wavelet e apossibilidade de explorar simultaneamente os domınios dotempo (atraves do deslocamento u) e da frequencia (atraves dofator de escala s).

A transformada wavelet tem um historico relativamente recente.Sua popularizacao ocorreu a partir da decada de 1980.

Entre as aplicacoes mais difundudas pode-se destacar:codificacao de sinais, processamento de imagens eprocessamento de audio.

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Transformada Discreta de Wavelet

A versao digital da transformada wavelet (conhecida comoDWT - Discrete Wavelet Transform) pode ser implementadaatraves de um banco de filtros hierarquicos.

A DWT sera abordada em detalhes posteriormente (apos oestudo dos filtros digitais).

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Transformadas Discretas - Exemplos usando o Matlab

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Transformadas Discretas - Exemplos usando oMatlab

O Matlab possui diversas funcoes que podem ser utilizadas paracalculo das transformadas discretas. Entre elas podemosdestacar:

- fft: calcula os coeficientes da DFT de um sinal usando oalgoritmo da FFT.

- ifft: calcula a IDFT a partir dos coeficientes da DFT.

- dct e idct: respectivamente a DCT e a inversa da DCT

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Exemplo usando o Matlab

Considerando um sinal x(t) = 2 sin(20πt) + sin(100πt)amostrado a 1 kHz, calcular sua DFT usando o Matlab.

Inicialmente deve-se gerar o sinal amostrado x [n]. Para isso epreciso gerar uma “base de tempo” discreta com perıodo igual aT = 1/1000 s:

t=0:.001:1;

Em seguida, faz-se:

x=2*sin(2*pi*10*t)+sin(2*pi*50*t);

A FFT e calculada usando:

X=fft(x);

Caso seja necessario, pode-se especificar o numero (N) decoeficientes da FFT, fazendo: X=fft(x,N);. Se N for maiorque o comprimento de x , e realizada a adicao de zeros em x ese N for menor, o truncamento.

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O algoritmo da FFT do Matlab gera os coeficientes de modoespelhado, ou seja, os coeficientes relativos a ω < 0 aparecemapos os relativos a ω > 0, conforme pode-se observar na Figuraa seguir obtida pelo comando stem(abs(X)):

200 400 600 800 10000

200

400

600

800

1000

Caso deseje-se vizualizar apenas ω ≥ 0, pode-se plotar somentea primeira metade dos coeficientes de X .

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Para uma melhor interpretacao do grafico e interessante geraruma base de frequencias para o eixo x .

Uma opcao e fazer:

fs=1/.001;

F=linspace(0,fs/2,length(X)/2);

Em seguida o grafico pode ser plotado e editado usando asequencia de comandos:

stem(F,abs(X(1:length(X)/2))/500);

set(gca,‘fontsize’,14);

xlabel(‘Frequencia (Hz)’,‘fontsize’,14);

ylabel(‘Amplitude’,‘fontsize’,14)

grid

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O resultado final e:

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

1.5

2

2.5

Frequencia (Hz)

Am

plit

ud

e

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Bibliografia Consultada

Na elaboracao destes slides foram utilizadas as fontes a seguir:

- DINIZ, P. S. R., da SILVA, E. A. B. e LIMA NETTO, S.Processamento Digital de Sinais. Bookman, 2004.

- MITRA, S., Digital Signal Processing, Bookman, 2005.

- WEEKS, M. Processamento Digital de Sinais, LTC, 2011.

- ANTONIOU, A., Digital Signal Processing, McGraw-Hill,2006.

- KHAYAM, S. A., The Discrete Cosine Transform: Theoryand Application, Michigan State University, 2003.

- THEODORIDIS, S. e KOUTROUMBAS, K., PatternRecognition, Academic Press, 2009.

Algumas figuras foram retiradas na ıntegras das referencias acima.

pds - aula 02 eduardo simas disciplina: … · -opera˘c~oes mais comuns em sinais no tempo...

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