aula 3 - sinais sistemas discretos

Tópico: Sinais e Sistemas Discretos

Referência: Páginas 224 a 250 do Capitulo 3 do livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi

Professor José Felipe Haffner PUCRS:

Essa apresentação contem figuras extraídas do livro. 1

Disciplina Sinais e Sistemas


Referência: Páginas 224 a 250 do Capitulo 3 do

livro Sinais e Sistemas Lineares, B. P. Lathi

Professor José Felipe Haffner PUCRS

Observação: Essa apresentação contem figuras

extraídas do livro.

Em unidades de

amostra de tempo

Sinais e Sistemas Discretos

Um sinal discreto é basicamente uma seqüência de números.

Aparecem naturalmente ou como resultado da amostragem

de sinais contínuos.

][)()( nxnTxtx

Em unidade de

tempo

Sinais e Sistemas DiscretosSinal continuo X(t)

Sinal discreto

X[n]


Sistemas cujas entradas e saídas são sinais discretos

são chamados de sistemas em tempo discretos.

Utilizando conversores adequados é possível e

vantajoso utilizar sistemas discretos para processar

sinais contínuos.

Sistema

DigitalSinais de entrada

analógicoSinais de saída

analógicos

Conversor

Analógico/Digital

Conversor

Digital/Analógico

Sinais de entrada

digital

Sinais de saída

digital

A/D D/A






Tamanho do sinal:

Energia do sinal

Potencia do sinal

2

][nxEs

22/

2/cos

2

][1

][12

1lim

N

N

s

periódiSinais

N

NN

s nxN

PnxN

P


Como no caso continuo no tempo, o sinal discreto

pode ser :

um sinal de energia;

um sinal de potência;

ou não ser nem de potência ou de energia.

Mas nunca pode ser de energia e de potência ao

mesmo tempo.


Exemplo:

Sinal A

(sinal de energia)

Sinal B

(sinal de potência)


Sinal A:

x[n]=n para 0 ≤ n ≤ 5

x[n]=0 para qq outro n

Sinal B

x[n]=x[n+N0]

Onde N0 = 6

5525169410

543210

][

222222

5

0

22

s

s

s

E

E

nnxE

6

55

5432106

1

1][

1

222222

1

0

22/

2/

2

s

s

NN

N

s

P

P

nN

nxN

P






Operações com sinal discreto :

Deslocamento: xd[n]=x[n-M]

Obs:Se M é positivo, deslocamento para a direita (atraso)

Se M é negativo, deslocamento para a esquerda (avanço)

Reversão no tempo xr[n]=x[-n]

Decimação e Interpolação



Decimação:

Reduz o número de

amostras pelo fator

de compressão do sinal.

Também chamada

de Redução de

amostragem.


Interpolação

Um sinal interpolado é

gerado em dois passos:

Primeiro expandimos o

sinal x[n].






Interpolação

As amostras impares

inexistentes podem ser

reconstruídas a partir dos

dados existentes.

Não resulta em ganho de

informação.


Sinais úteis em tempo discreto:

Impulso δ[n] discreto no tempo

Degrau unitário u[n] discreto no tempo

Exponencial γn discreta no tempo

Senóide cos(Ωn+θ) discreta no tempo

Exponencial complexa ejΩn discreta no tempo


Impulso δ[n] discreto no

tempo

0n 0

0n 1][n

][n

]3[ n


Degrau unitário u[n]

discreto no tempo

0n 0

0n 1][nu

n todo

]8[2]1[]5[4]5[][][

para

nnununununnx







No caso continuo, eλt = γt usamos a forma eλt .

No caso discreto, eλn = γn usamos a forma γn .

Mas sempre é possível realizar a equivalência da função

exponencial na base natural, pois:

Exemplo: 4n = e1.386n pois ln 4 = 1.386

lnou e



e

e

ee

1 como

e

eee

eeee

mjmj

mjmj

10e

10e

10e

se

se

se


Mapeamento entre os planos λ e γ


(0,8)n

(0,5)n (1,1)n

(-0,8)n






Exercício: E3.6

Fazer os gráficos dos sinais

(0,5) -n

(-0,5) n

(-0,5)-n

Gráfico de (0,5)n


Exercício: E3.7

Mostre que e-2n = (0.1353)n

e-2n = ( e-2 )n

e-2 = 0,1353 e ln(0,1353) = -2 pois

lnou e

Sinais e Sistemas DiscretosSenóide cos(Ωn+θ) discreta no tempo

Exemplo: cos(πn ∕ 12 + π ∕ 4)

Ω=π ∕ 12 rad por amostra ou

ƒ=1 ∕ 24 ciclos por amostra

Existem 24 amostras em um ciclo de senóide.

2 tempono discreta frequência a é

)cos(

fonde

nC



Observações: Como cos(-x)= cos(x),

cos(-Ωn+θ) = cos(+Ωn-θ)

Logo cos(-Ωn+θ) e cos(+Ωn+θ) possuem a mesma

freqüência | Ω | .







Observações: Nem toda senóide discreta é periódica.

Para ser periódica Ω múltiplo racional de 2π.

Ω ≤ π pois qualquer senóide com Ω > π pode ser descrita

por uma senoide com Ω ≤ π.

Além disso o período da senoide deve ser um numero

inteiro


Exponencial complexa ejΩn discreta no tempo

Usando a formula de Euler podemos descrever ejΩn em

termos de senóides cos(Ωn+θ) e vice-versa.

njsenne nj cos

é de frequencia a nje


Classificação de sistemas discretos:

Linearidade;

Invariância no tempo;

Causalidade: sistema físico e não antecipativo;

Inversibilidade;

Estabilidade;

Memória.


Inversibilidade:

O sinal de entrada pode ser reconstruído a partir do sinal de

saída.

Não existe perda de informação.

Compressão de um sinal não é inversível porque essa

operação geralmente perde informação.

Exercício E3.9:

Y[n]=ax[n]+b é inversível

Y[n]=(x[n])2 não é inversível





Sinais e Sistemas Discretos Vantagens do sistema discreto:

Precisão;

Reprodução em escala;

Flexibilidade;

Armazenamento de informações;

Codificação e Multiplexação.

Desvantagens:

Aumento da complexidade do sistema;

Faixa de freqüência limitada;

Aumento da potência.


Exemplo 3.5: Estimativa de vendas

Em um semestre n, x[n] estudantes se inscreveram em um

curso que precisa de um livro-texto. A Livraria da

universidade vendeu y[n] cópias do livro no n-ésimo

semestre. Na média, um quarto dos estudantes

revendem seus livros no final do semestre, sendo que a

vida média destes livros de três semestres.

Escreva equação que relaciona y[n], os novos livros

vendidos pela editora, com x[n], o numero de estudantes

inscritos no n-ésimo semestre.

Considere que todos os estudantes compram livros na

livraria da universidade.



x[n] = y[n] + livros reutilizados pelos alunos até dois

semestres anteriores.

No semestre anterior (n-1) foram vendidos y[n-1] livros

novos e um quarto destes livros foram revendidos no

semestre n, logo: (1\4)y[n-1]

No semestre anterior a esse (n-2) foram vendidos y[n-2]

livros novos e um quarto destes livros foram revendidos

no semestre n-1, (1\4)y[n-2] e um quarto destes livros

serão revendidos no semestre n, logo no semestre n

teremos (1\16)y[n-2] dos livros que forma vendidos a dois

semestres atrás.



.

Como a equação é valida para qualquer valor de n,

substituído n =n+2

][]2[16

1]1[

4

1][ nxnynyny

]2[][16

1]1[

4

1]2[ nxnynyny







Como a variável que se deseja identificar é o numero de

livros novos que a editora vai vender no semestre n, Já

que x[n], y[n-1] e y[n-2] são conhecidos.

Equação diferença na forma de atraso.

][]2[16

1]1[

4

1][ nxnynyny


Representação gráfica da equação de diferença

.


Representação gráfica da equação de diferença

. ][]2[16

1]1[

4

1][ nxnynyny


Exemplo 3.6: Diferenciador digital.

Projete um sistema em tempo discreto para diferenciar

sinais contínuos no tempo. Esse diferenciador é utilizado

em sistemas de áudio com uma largura de faixa do sinal

de entrada inferior a 20kHz

TnxnTxT

dt

dxnTy

nTt

11

lim

)(

0T







TnxnTxT

nTy 11

lim )(0T

]1[][1

][ nxnxT

ny

s2540000

1

alta mais freqüência x 2

1T



]1[][1

][ nxnxT

ny



Forma atrasada: Para calcular a derivada de y(t) foi usado o valor a diferença entre o valor atual e o valor

anterior.

Forma adiantada: Usa-se a diferença entre o valor atual e

o valor da proxima amostra.

]1[][1

][ nxnxT

ny

][]1[1

]1[ nxnxT

ny

Sinais e Sistemas DiscretosExemplo 3.7: Integrador digital.

Forma acumulativa do integrador digital

Forma recursiva do integrador digital.

t

-

)((t) dxy

n

k

kxTy ][[n]

n

k

kxTy ][[n] ]1[][][ nynTxny






Relação entre a Equação diferença e Equação diferencial

Considerando o tempo de amostragem T -> 0

x(t)cy(t))(

dt

tdy

][][]1[][

nxncyT

nyny

x[n]cT1

T]1[

1

1][

ny

cTny


Equações diferença.

Em tempo discretos utiliza-se as equações diferença para

descrever um sistema linear, causal e invariante no

tempo.

Principio da causalidade: A saída não pode depender de

valores futuros da entrada.

Portanto o numero de atrasos (ou avanços) do sinal de

entrada não pode ser maior que o considerado no sinal

de saída.

A ordem da equação diferença é em função do numero

de atrasos (ou avanços) considerados do sinal de saída.


Equações diferença.

A equação diferença pode ser implementada com termos

em avanço:

Uma outra representação alternativa da equação

diferença utiliza termos em atraso:

][]1[]1[][

][]1[]1[][

110

11

nxbnxbNnxbNnxb

nyanyaNnyaNny

NN

NN

][]1[]1[][

][]1[]1[][

110

11

NnxbNnxbnxbnxb

NnyaNnyanyany

NN

NN

Sinais e Sistemas DiscretosExemplo 3.8: Solução recursiva da equação diferença

125.224)25.12(5.0]4[]3[5.0]4[

25.123)5.6(5.0]3[]2[5.0]3[

5.62)5(5.0]2[]1[5.0]2[

51)8(5.0]1[]0[5.0]1[

80)16(5.0]0[]1[5.0]0[

0n instante no começando n x[n]entrada de sinal

e 16y[-1] inicial Codição

][]1[5.0][

2

2

2

2

2

xyy

xyy

xyy

xyy

xyy

nxnyny





Sinais e Sistemas DiscretosExemplo 3.8: Solução recursiva da equação diferença

Sinais e Sistemas DiscretosForma discreta da equação de espaço de estados

Considerando que os sinais do sistema sejam amostrados com um

período T, utilizar essas relações para obter a equação de estados

equivalente para o tempo discreto.

)()(

)()(

)()(

)(

11

2

1

1211

21

11

2

1

2221

1211

2

1

tudtx

txccty

tub

b

tx

tx

aa

aa

dt

dxdt

dx

T

nxnx

dt

dx

nxtx

][]1[

y[n] e u[n] ],[y(t) e u(t) ),(


)()(

)()(

)()(

)(

11

2

1

1211

21

11

2

1

2221

1211

2

1

tudtx

txccty

tub

b

tx

tx

aa

aa

dt

dxdt

dx

][][

][][

][][

][

1

1

]1[

]1[

11

2

1

1211

21

11

2

1

2221

1211

2

1

nudnx

nxccny

nuTb

Tb

nx

nx

TaTa

TaTa

nx

nx


Exemplo:

Considerando que o período de amostragem:

T=0.01 ou T=0,1

)(

)(11)(

)(1

0

)(

)(

32

10

2

1

2

1

2

1

tx

txty

tutx

tx

dt

dxdt

dx

][

][11][

][01.0

0

][

][

97,002.0

01.01

]1[

]1[

2

1

2

1

2

1

nx

nxny

nunx

nx

nx

nx

][

][11][

][1.0

0

][

][

7,02.0

1.01

]1[

]1[

2

1

2

1

2

1

nx

nxny

nunx

nx

nx

nx





Sinais e Sistemas DiscretosSolução recursiva da equação de espaço de estados

Exemplo: Calcular y[n]

Considerar:

O período de amostragem: T=0.1 s

O sinal de entrada u[n] =1 para n ≥ 0

As condições iniciais x1[0] = 1 e x2[0] = 0

][

][01][

][1.0

0

][

][

7,02.0

1.01

]1[

]1[

2

1

2

1

2

1

nx

nxny

nunx

nx

nx

nx


No instante n = 0, u[0]=1, x1[0]=1, x2[0]=0

No instante n = 1, u[1]=1, x1[1]=1, x2[1]=-0.1

10111]0[

1.011.007.012.0]1[

11001.011]1[

0

111][

1 1.0

0

0

1

7,02.0

1.01

]1[

]1[

0 2

1

2

1

y

x

x

ny

x

x

n

9.0)1.0(111]1[

107.011.0)1.0(7.012.0]2[

99,010)1.0(1.011]2[

1.0

111][

1 1.0

0

1.0

1

7,02.0

1.01

]2[

]2[

1 2

1

2

1

y

x

x

ny

x

x

n


No instante n = 2, u[2]=1, x1[2]=0.99, x2[2]=-0,107

No instante n = 3, u[3]=1, x1[3]=0.9793, x2[3]=-0,1729

Para os demais instantes repetir o procedimento, calculando o valor do

sinal de saída y[n] e calculando os valores dos estados x[n+1] para ser

utilizados no próximo instante.

883.0)107.0(199.01]1[

1729.011.0)107.0(7.099.02.0]2[

9793.010)107.0(1.099.01]2[

107.0

99.011][

1 1.0

0

107.0

99.0

7,02.0

1.01

]2[

]2[

2 2

1

2

1

y

x

x

ny

x

x

n


Exercícios: Livro Lathi

3.1-1 a 3.1-5: energia e potencia, sinal par e impar

3.2-1 a 3.2-4: operações com sinal

3.3-1 a 3.3-7: gráficos de sinal

3.4-1 a 3.4-6: montagem

3.4-7 a 3.4-11: classificação de sistemas

3.5-1 a 3.5-5: solução recursiva






Exercícios: Livro HSU

aula 3 - sinais sistemas discretos

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