analise de sinais

J. A. M. Felippe de Souza 1 – Introdução e Base Matemática

1

1 – Introdução e Base Matemática

Introdução 2 Base Matemática 3

1.1 – O número imaginário 3

1.2 – Números complexos 4

1.3 – Operações com números complexos 9

1.4 – O seno e o co-seno 12

1.5 – A equação de Euler 15

1.6 – A tangente 17

1.7 – As inversas de seno, co-seno e tangente 19

1.8 – Exponenciais e logaritmos 22

1.9 – Derivadas 23

1.10 – Integrais 30

1.11 – Decibéis (dB) 38


2

Introdução Quando se fala em sinais geralmente é associado à medição ou ao registo de algum fenómeno físico ou, em outras palavras, de um sistema. Portanto, sinais e sistemas são conceitos bastante interligados. No presente capítulo 1 faremos uma breve revisão de diversos tópicos básicos da matemática que serão úteis para os capítulos seguintes. Recapitularemos vários resul-tados, expressões e fórmulas da álgebra, da álgebra linear, da análise, do cálculo dife-rencial e integral e da trigonometria que serão de certa forma usado neste texto. Nos capítulos 2 e 3 trataremos da descrição e da terminologia dos sinais enquanto que no capítulo 4 trataremos de sistemas. Nos demais capítulos trataremos de algumas ferramentas de análise de sinais: Transformadas de Laplace (capítulo 5), Transformadas z (capítulo 6), Séries e Transformadas de Fourier (capítulos 7 e 8, respectivamente) e Diagramas de Bode (capítulo 9).


3

Base Matemática 1.1 – O número imaginário O número imaginário “ j ” é definido como:

1j −= .

Na literatura de matemática é muito comum usar-se “ i ” (de “imaginário”) para o número imaginário:

1i −= .

Entretanto, em engenharia a letra “ i ” é normalmente reservada para a corrente eléc-trica (medida em Ampères) enquanto que para o número imaginário usa-se a letra “ j ”.

Logo,

1j2 −= 1j3 −−= 1j4 =

Portanto,

1jjjj 145 −==⋅=

1jjjj 2246 −==⋅=

1jjjj 3347 −−==⋅=

111jjj 448 =⋅=⋅=

e assim por diante. Além disso:


4

j)1(

jjj

jj1

j 1 −=−

=⋅

==−

ou seja,

jj 1 −=−.

Semelhantemente,

1j 2 =−

jj 3 =−

1j 4 −=−

Alguns exemplos imediatos deste resultado j

j1 −=

:

j2j2 −= j3

j

33

−=−

( ) 41

j2

12 −= 5

j54

−=−

1.2 – Números complexos

Um número complexo z ∈ ℂ é expresso por:

jz β+α=

onde α e β ∈ R (números reais) e j é o número imaginário puro conforme definido acima.

α e β são chamados de:

α = parte real de z, e

β = parte imaginária de z


5

e são representados por

α = Re (z) β = Im (z).

Um número complexo z ∈ ℂ escrito na forma acima é dito estar na forma “cartesiana” ou “algébrica”.

Fig. 1.1 – O plano s, a representação cartesiana (à esquerda) e a representação polar (à direita).

Um número complexo z ∈ ℂ pode ser escrito de forma equivalente como

θ⋅ρ= jez

onde ρ e θ são números reais, sendo que ρ > 0 e θ (em radianos) é um arco. A expressão acima é muito comummente abreviada (especialmente em textos de engenharia) para

θ∠⋅ρ=z .

por uma questão de simplicidade. Além disso, neste caso, quando se usa esta notação para z, é comum se denotar o ângulo θ em graus em vez de radianos. ρ e θ são chamados de:

ρ = módulo de z, e

θ = ângulo ou fase de z


6

e são representados por

ρ = |z|

θ = ∠z. Um número complexo z escrito nesta forma acima é dito estar na forma “polar” ou “ trigonométrica”.

A representação gráfica de um número complexo z ∈ ℂ feita no plano complexo (ou plano s) em termos de α, β, ρ e θ é dada nas figuras 1.1 e 1.2.

Fig. 1.2 – O plano s, as coordenadas cartesianas e polares

A transformação da forma cartesiana para polar assim como da forma polar para car-tesiana são facilmente obtidas pelas relações básicas da geometria (teorema de Pitá-goras) e da trigonometria (senos e co-senos). As relações que permitem transformar da forma cartesiana para a forma polar são:

22|z| β+α==ρ

=∠=αβθ arctgz

e as relações que permitem transformar da forma polar para a forma cartesiana são:

θ⋅ρ==α cos)zRe( θ⋅ρ==β sen)zIm(


7

Alguns exemplos:

j1732,1

2

º1502

º2102z

618,2j

1

−−=⋅=

−∠⋅=∠⋅=

−e

)7854,0(j

)4/(j

2

8284,2

22

º31522

º4522

j22z

−

π−

⋅=⋅=

∠=

−∠=

−=

e

e

j707,0707,0

j22

22

º451z

785,0j

3

+=

+=

=

∠⋅=

e

)57,1(j

)2/(j

4

º901

j10

jz

e

e

=

=

∠=+=

=

π

Fig. 1.3 – A representação gráfica dos números complexos z1, z2, z3 e z4.


8

O conjugado de um número complexo z ∈ ℂ

jz β+α=

é o número complexo z ou *z

z z* j= = α − β

ou seja, z ou *z é o rebatimento do ponto z no plano s em relação ao eixo real.

Fig. 1.4 – O conjugado z ou *z de um número complexo z.

Em termos da forma polar o conjugado z ou *z de um número complexo:

θ⋅ρ= jz e é dado por:

* jz z − θ= = ρ ⋅e . Note que

* *z (z ) z= =

e, além disso, se x é um número real (x ∈ R), ou seja, x é um número complexo com a parte imaginária igual a zero, então:

* *x (x ) x= = .


9

1.3 – Operações com números complexos A forma cartesiana é mais apropriada para operações de soma (z1 + z2) e subtracção (z1 – z2) de números complexos,

( ) ( ) ( ) ( ) jjj 21212211 ⋅β+β+α+α=⋅β+α+⋅β+α

( ) ( ) ( ) ( ) jjj 21212211 ⋅β−β+α−α=⋅β+α−⋅β+α

enquanto que a forma polar é mais apropriada para operações de multiplicação (z1 ⋅ z2) e divisão (z1 / z2) de números complexos:

( ) ( ) ( )2121 j21

j2

j1

θ+θ⋅θθ ⋅ρ⋅ρ=⋅ρ⋅⋅ρ eee

( )( )

( )21

2

1j

2

1j

2

j1 θ−θ⋅

θ

θ

⋅ρρ=

⋅ρ⋅ρ

ee

e

ou, equivalentemente:

( ) ( ) )( 2121j

2j

121 θ+θ∠⋅ρ⋅ρ=⋅ρ⋅⋅ρ θθ

ee

( )( ) )( 21

2

1j

2

j1

2

1

θ−θ∠⋅ρρ=

⋅ρ⋅ρ

θ

θ

e

e

Um resultado bastante útil é dado pela equação abaixo:

( ) ( ) 22jj β+α=β−α⋅β+α

ou seja, o produto zz⋅ de um número complexo z pelo seu conjugado z é um número real (um número complexo sem a parte imaginária) e cujo valor é a soma do quadrado da parte real de z com o quadrado da parte imaginária de z. Este resultado permite que se escreva uma fracção z/z’, onde z e z’ são 2 números complexos

z = α + j⋅β e z’ = σ + j⋅ω

na forma cartesiana A + j⋅B, ou seja,

BjAjj

zz ⋅+=

ω+σβ+α=

′


10

Note que, multiplicando-se ambos o numerador e o denominador de z/z’ pelo conju-gado do denominador z′ temos

( )( )( )( )

( ) ( )22

jjjjj

zzzz

zz

ω+σαω−βσ⋅+βω+ασ=

ω−σω+σω−σβ+α=

′′′

=′

ou seja, ( )( )

( )( )2222 j

zz

ω+σαω−βσ⋅+

ω+σβω+ασ=

′

e portanto,

( )( )22A

ω+σβω+ασ= e

( )( )22B

ω+σαω−βσ=

Alguns exemplos:

a) 2j15j2

zz

+−−=

′

então, α = 2, β = –5, σ = –1, e ω = 2, logo

( ) ( )2,0j4,2

545

j5

102zz ⋅+−=−⋅+−−=′

b) j1j23

zz

+−=

′

então, α = 3, β = –2, σ = 1, e ω = 1, logo

( ) ( )5,2j5,0

2

32j

2

23

z

z ⋅−=−−⋅+−=′

c) j3

zz =′

então, α = 3, β = 0, σ = 0, e ω = 1, logo

( ) ( )j33j0

)j)(j(

30j

)j)(j(

00

z

z −=⋅−=−−⋅+

−+=

′

Neste último caso observe que seria mais simples e imediato se fosse utilizado o resultado


11

jj1 −=

que já vimos mais acima. Outro resultado bastante útil é o seguinte:

θ∀=θ ,1je

ou seja, θ= jz e é um ponto da circunferência de raio 1 centrada na origem do plano s.

Na verdade θ= jz e é o ponto desta circunferência cujo ângulo com o eixo real posi-tivo é θ.

Fig. 1.5 – Circunferência de raio 1 centrada na origem do plano s.

Logo, é fácil de verificar que

10j =e j2j

=π

e

1j −=πe j2

j−=

π−e


12

1.4 – O seno e o co-seno O seno e o co-seno de um ângulo θ de um triângulo rectângulo são definidos como:

hipotenusaopostocateto

ac

)(sen ==θ

hipotenusaadjacentecateto

ab

)(cos ==θ

Fig. 1.6 – Triângulo rectângulo.

Usando o Teorema de Pitágoras

222 cba += pode-se facilmente encontrar os seguintes senos e co-senos conhecidos:

( ) 00sen)º0(sen == ( ) 10cos)º0(cos ==

2

2

4sen)º45(sen =

π= 2

2

4cos)º45(cos =

π=

12

sen)º90(sen =

π= 02

cos)º90(cos =

π=


13

Outros senos e co-senos notáveis:

2

1

6sen)º30(sen =

π= 2

3

6cos)º30(cos =

π=

2

3

3sen)º60(sen =

π= 2

1

3cos)º60(cos =

π=

Se θ = ωt, onde

–∞ < t < ∞, e ω > 0,

então sen (θ) e cos (θ) se transformam em funções de t,

x(t) = sen (ωt) , ω > 0 e

x(t) = cos (ωt) , ω > 0

cujos gráficos pode-se ver abaixo nas figuras 1.7 e 1.8.

Fig. 1.7 – A função seno, x(t) = sen (ωt) , t∈(–∞, ∞), ω > 0.


14

Fig. 1.8 – A função co-seno, x(t) = cos (ωt) , t∈(–∞, ∞), ω > 0. Algumas relações que envolvem senos e co-senos:

Versão trigonométrica do Teorema de Pitágoras:

( ) 1)(cossen 22 =θ+θ

Relações do arco complementar (para o seno e para o co-seno):

π+θ=

θ−π=θ2

sen2

sen)(cos

( )

π−θ=θ2

cossen

Relações do arco suplementar (para o seno e para o co-seno):

( ) ( )θ−π=θ sensen

( ) ( )θ−π−=θ coscos


15

Relações de paridade para o seno e para o co-seno:

( ) ( )θ−−=θ sensen

( ) ( )θ−=θ coscos

Seno e co-seno da soma de 2 arcos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )212121 sencoscossensen θθ+θθ=θ+θ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )212121 sensencoscoscos θθ−θθ=θ+θ

Seno e co-seno do dobro de um arco:

( ) ( ) ( )θθ=θ cossen22sen

( ) ( ) ( )θ−θ=θ 22 sencos2cos 1.5 – A equação de Euler O matemático e físico suíço Leonhard Euler (1707-1783) publicou o seguinte resul-tado em 1748:

θ⋅+θ=θ senjcosje

e por esta razão ele é chamado de “equação de Euler”. Com a equação de Euler é fácil de se compreender a transformação da forma polar

para cartesiana já vista acima. Se z ∈ ℂ escrito na forma polar,

( )

( ) ( )θ⋅ρ⋅+θ⋅ρ=

θ⋅+θ⋅ρ=

⋅ρ= θ

senjcos

senjcos

z je

logo,

jz β+α= onde θ⋅ρ=α cos θ⋅ρ=β sen


16

O seguinte exemplo serve para verificar as relações acima para 2j

2j

0j ,,

π−π

eee eπj

e

( ) ( ) 1j010senj0cos0j =⋅+=⋅+=e

jj102

senj2

cos2j

=⋅+=

π⋅+

π=π

e

jj102

senj2

cos2j

−=⋅−=

π−⋅+

π−=π

−e

( ) ( ) 1j01senjcosj −=⋅−−=π⋅+π=π−e

Da equação de Euler é fácil de obter-se as seguintes relações também bastante conhecidas:

2cos

jj θ−θ +=θ ee

j2sen

jj θ−θ −=θ ee

Como exemplo, vamos utilizar estas relações acima obtida da equação de Euler para verificar alguns senos e co-senos bastante conhecidos:

( ) ( ) 12

11

20cosº0cos

0j0j=+=+==

⋅−⋅ee

( ) ( ) 0j2

11

j20senº0sen

0j0j=−=−==

⋅−⋅ee

( ) 02

)j(j

22cosº90cos

2j

2j

=−+=+=

π=

π⋅−

π⋅ee

( ) 1j2

)j(j

j22senº90sen

2j

2j

=−−=−=

π=

π⋅−

π⋅ee


17

( ) 02

jj

22cosº90cos

2j

2j

=+−

=+

=

π−=−

π⋅

π⋅−

ee

( ) 1j2

jj

j22senº90sen

2j

2j

−=−−

=−

=

π−=−

π⋅

π⋅−ee

( ) ( ) 12

)1(1

2cosº180cos

jj−=−+−=+=π=

π⋅π−ee

( ) ( ) 0j2

)1(1

j2senº180sen

jj=−−−=−=π=

π⋅π⋅−ee

1.6 – A tangente A tangente de um ângulo θ de um triângulo rectângulo é definida como:

adjacentecateto

opostocateto

b

c)(tg ==θ

e, pelas definições de seno e co-seno, facilmente obtém-se:

)cos(

)(sen)(tg

θθ=θ

e desta forma pode-se facilmente encontrar as seguintes tangentes conhecidas:

( ) 00tg)º0(tg ==

14

tg)º45(tg =

π=

∞=

π=2

tg)º90(tg

33

6tg)º30(tg =

π=

33

tg)º60(tg =

π=


18

Se θ = ωt, onde

–∞ < t < ∞, e ω > 0,

então tg (θ) se transforma em uma função de t,

x(t) = tg (ωt) , ω > 0

cujo gráfico pode-se ver abaixo na figura 1.9.

Fig. 1.9 – A função tangente, x(t) = tg (ωt), t∈(–∞, ∞), ω > 0.

Assim como o seno e para o co-seno que se repetem a cada intervalo de 2π, a tan-gente se repete a cada intervalo de π. Logo,

( ) ( ) ( )π−θ=π+θ=θ tgtgtg . ou melhor:

( ) ( ) ...,2,1,0k,ktgtg ±±∈π+θ=θ


19

1.7 – As inversas de seno, co-seno e tangente Nitidamente as funções seno, co-seno e tangente não são inversíveis. Pelo gráfico de x(t) = sen (ωt), x(t) = cos (ωt) e x(t) = tg (ωt) vemos que se α e β forem valores no intervalo [0, 1], e γ for um valor real qualquer, ou seja,

α ∈[–1, 1], β ∈[–1, 1], γ ∈(–∞, ∞),

então vão haver muitos valores de t∈(–∞, ∞) para os quais

x(t) = sen (ωt) = α

x(t) = cos (ωt) = β

x(t) = tg (ωt) = γ Portanto, para poder se achar a função inversa de seno, co-seno e tangente temos que limitar o intervalo destas funções.

No caso do seno limitamos ao intervalo t∈[–π/2 , π/2], no caso co-seno limitamos ao intervalo t∈[0 , π], e no caso da tangente limitamos ao intervalo t∈[–π/2 , π/2]. Os gráficos destas funções são apresentados nas figuras 1.10 e 1.11.

Fig. 1.10 – A função seno, x(t) = sen (ωt) limitada ao intervalo t∈[–π/2 , π/2] (1º e 4º quadrantes), e ω > 0 (à esquerda), e a função co-seno, x(t) = cos (ωt) limi-tada ao intervalo t∈[0 , π] (1º e 2º quadrantes), e ω > 0 (à direita).


20

Fig. 1.11 – A função tangente, x(t) = tg (ωt) limitada ao intervalo t∈[–π/2 , π/2] (1º e 4º quadrantes), e ω > 0.

Esta é a norma geral adoptada pelas máquinas calculadoras e meios informáticos de cálculo modernos. Limita-se o arco a 2 quadrantes:

1º e 4º quadrante, no caso do seno ou da tangente; e

1º e 2º quadrante, no caso do co-seno. Desta forma é possível falar nas funções inversas do seno, do co-seno e da tangente:

arcsen (α), arccos (β) e arctg (γ). Por exemplo, se γ = 1, o arco cuja a tangente é 1 é dado por

( ) º454

1arctg =π=

embora, como já foi visto acima, existam muitos outros arcos θ cuja tangente também é 1. Na verdade as soluções possíveis são:

...,2,1,0k,k4

±±∈π+π=θ

ou seja: º225eº45 =θ=θ

são 2 possíveis soluções de arctg (π/4). E θ = 45º está no primeiro quadrante e θ = 225º está no terceiro quadrante.


21

No caso particular da inversa ser de uma fracção

arcsen (b/a), arccos (b/a) e arctg (b/a)

então podemos levar em consideração o quadrante do ponto (a, b).

Fig. 1.12 – Dois arcos que têm a mesma tangente 1: 45º (ou π/4, 1º quadrante) e 225º (ou 5π/4, 3º quadrante).

Desta forma a inversa do seno, do co-seno ou da tangente não fica limitada ao inter-valo [–π/2 , π/2] ou [0 , π] que representam apenas 2 quadrantes, pois temos informa-ção suficiente para determinar o arco nos 4 quadrantes. Por exemplo:

º4541

1tgarc =π=

(1º quadrante)

º135º2254

5

1

1tgarc −==π=

−−

(3º quadrante)

º315º4541

1tgarc =−=π−=

− (4º quadrante)

º1354

3

1

1tgarc =π=

− (2º quadrante)


22

1.8 – Exponenciais e logaritmos O “número neperiano e” (devido ao matemático, astrólogo e teólogo escocês. John Napier, 1550-1617) vale aproximadamente

e = 2,7183

Mais precisamente, ele pode ser escrito como uma série infinita ou como um limite (esta última forma devido ao matemático suíço Jakob Bernoulli, 1654-1705):

∑∞

=

=0n !n

1e

n

n

11lim

n

+=∞→

e

O “número neperiano” também é chamado de “constante de Euler” e é a base dos logaritmos naturais (ln). Portanto:

( ) xxln =e

Algumas relações básicas de exponenciais e logaritmos:

yxyx +=⋅ eee yxy

x−= e

e

e ( ) yxyx ⋅= ee

( ) ( ) ( )ylnxlnyxln +=⋅ ( ) ( )ylnxlny

xln −=

( ) ( )xlnaxln a =

( ) ( )x

1xx /1lnln ==−ee

Transformação da base e para a base 10:

( ) ( )( )

( ) ( )xln4343,03,2

xln

10ln

xlnxlog10 ⋅===

Transformação da base 10 para a base e:

( ) ( )( )

( ) ( )xlog3,24343,0

xlog

log

xlogxln 10

10

10

10 ⋅===e

Transformação de qualquer base “b” para a base “a”:

( ) ( )( )alog

xlogxlog

b

ba =

J. A. M. Felippe de Souza

1.9 – Derivadas A teoria do cálculo diferencial Newton (1643-1727) e do Leibniz (1646-1716). A notação das derivada de uma função f(t) pode ser

dt

df

ou

('f A derivada de uma função f(t) no instante t nos dá a recta tangente à curva naquele instante. Se f(t) é crescente em t = a, então a derivada será positiva naquele instante

Isso é ilustrado na figura 1.1

Fig. 1.13 – Inclinação positiva (ou no instante t =

Por outro lado, se f(t) é decrescente em t = a, então a derivada será negativa naquele instante


23

A teoria do cálculo diferencial é de autoria do físico e matemático inglês 1727) e do filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm von

A notação das derivada de uma função f(t) pode ser

dt

df (devido à Newton)

)t( (devido à Leibniz).

função f(t) no instante t nos dá a inclinação (ou tangente à curva naquele instante.

Se f(t) é crescente em t = a, então a derivada será positiva naquele instante

0>dt

df)a('f

at=

= .

13.

positiva (ou declive positivo) da recta tangente à curva f(t) = a.

e f(t) é decrescente em t = a, então a derivada será negativa naquele

Introdução e Base Matemática

de autoria do físico e matemático inglês Sir Isaac Gottfried Wilhelm von

(ou declive) de uma

Se f(t) é crescente em t = a, então a derivada será positiva naquele instante

positivo) da recta tangente à curva f(t)

e f(t) é decrescente em t = a, então a derivada será negativa naquele


Isso é ilustrado na figura 1.1

Fig. 1.14 – Inclinação negativa (ou no instante t =

Fig. 1.15 – Inclinação nula (ou tante t = a. Caso de máximo local.

Finalmente, se f(t) não é crescente nem decrescente em t = a, então a derivada será zero naquele instante


24

0<dt

df)a('f

at== .

14.

negativa (ou declive negativo) da recta tangente à curva f(t) = a.

nula (ou declive nulo) da recta tangente à curva f(t) no insCaso de máximo local.

Finalmente, se f(t) não é crescente nem decrescente em t = a, então a derivada será

0dt

df)a('f

at==

=.


negativo) da recta tangente à curva f(t)

nulo) da recta tangente à curva f(t) no ins-

Finalmente, se f(t) não é crescente nem decrescente em t = a, então a derivada será


Neste caso pode-se ter um máximo ou um mínimo localdois. Isso é ilustrado nas figuras

Fig. 1.16 – Inclinação nula (ou no instante t

Fig. 1.17 – Inclinação nula (ou tante t = a. Caso de ponto de inflexão, não é máximo nem mínimo local.

Algumas propriedades e regras das derivadas:

Linearidade:

( )dt

dfc

dt

)t(fcd ⋅=⋅

( )dt

)t(f)t(fd 21 =+


25

um máximo ou um mínimo local, mas às vezes nenhum dos . Isso é ilustrado nas figuras 1.15, 1.16 e 1.17.

nula (ou declive nulo) da recta tangente à curva f(t) no instante t = a. Caso de mínimo local.

nula (ou declive nulo) da recta tangente à curva f(t) no insCaso de ponto de inflexão, não é máximo nem mínimo local.

Algumas propriedades e regras das derivadas:

)t('fcdt

)t(df ⋅=

)t('f)t('fdt

)t(df

dt

)t(df21

21 +=+


, mas às vezes nenhum dos

nulo) da recta tangente à curva f(t)

nulo) da recta tangente à curva f(t) no ins-

Caso de ponto de inflexão, não é máximo nem mínimo local.

(homogeneidade)

(aditividade)


26

Regra do produto:

( ) )t(f)t('g)t(g)t('fdt

)t(dg)t(f)t(g

dt

)t(df)t(g)t(f

dt

d ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅

Regra do quociente:

)t(g

)t('g)t(f)t('f)t(g

)t(gdt

)t(dg)t(f

dt

)t(df)t(g

)t(g

)t(f

dt

d22

⋅−⋅=⋅−⋅

=

Regra da cadeia:

( ) )t('g))t(g('fdt

)t(dg)t(g

dt

df))t(g(f

dt

d ⋅=⋅=

Se definirmos

)t(f)t(u = e )t(g)t(v =

então,

udt

df ′= e vdt

dg ′=

E as regras acima podem ser reescritas de forma mais compacta como:

( ) ucuc ′⋅=′⋅ (homogeneidade)

( ) vuvu ′+′=′+ (aditividade)

( ) vuvuvu ′⋅+⋅′=′⋅ (regra do produto)

2v

vuuv

v

u ′⋅−′⋅=′

(regra do quociente)

dt

dv

dv

du

dt

du ⋅= (regra da cadeia)


27

Algumas derivadas de funções simples:

0cdt

d =

( ) 1nn tntdt

d −⋅=

1tdt

d = (caso particular, n =1)

( ) ctcdt

d =⋅ (aplicando a homogeneidade)

( )2

21

t

1tt

dt

d

t

1

dt

d −=−==

−− (caso particular, n = –1)

( )1m

1mmm t

1mtmt

dt

d

t

1

dt

d+

+−− ⋅−=⋅−==

(caso particular, n = –m)

( ) ( ) 0t,t2

1t

2

1t

dt

dt

dt

d 2121 ≥=⋅== − (caso particular, n = 1/2)

0t,)t(signt

tt

dt

d ≠==

Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas:

clnccdt

d tt ⋅=

tt

dt

dee = (caso particular, c = e, a única função que é igual a própria derivada)

clnt

1tlog

dt

dc ⋅

=

0>t,tt

1tln

dt

d 1−== (caso particular, c = e)

1tt

1tln

dt

d −==

)tln1(ttlndt

d tt +⋅=


28

Derivadas de funções trigonométricas:

)t(cos)t(sendt

d =

)t(sen)t(cosdt

d −=

)t(cos

1)t(sec)t(tg

dt

d2

2 ==

)t(sec)t(tg)t(secdt

d ⋅=

)t(sen

1)t(seccos)t(gcot

dt

d2

2 −=−=

)t(gcot)t(seccos)t(seccosdt

d ⋅−=

2t1

1)t(arcsen

dt

d

−=

2t1

1)t(arccos

dt

d

−−=

2t1

1)t(arctg

dt

d

+=

1tt

1)t(secarc

dt

d2 −⋅

=

2t1

1)t(gcotarc

dt

d

+−=

1tt

1)t(secarccos

dtd

2 −⋅−=


29

Derivadas de funções hiperbólicas:

2)t(cosh)t(senh

dt

d t-tee +==

2)t(senh)t(cosh

dt

d t-tee −==

)t(hsec)t(tghdt

d 2=

)t(hsec)t(tgh)t(hsecdt

d ⋅−=

)t(hseccos)t(ghcotdt

d 2−=

)t(hseccos)t(ghcot)t(hcscdt

d ⋅−=

1t

1)t(arcsenh

dt

d2 +

=

1t

1)t(harccos

dt

d2 −

=

2t1

1)t(harctg

dt

d

−=

2t1t

1)t(hsecarc

dt

d

−−=

2t1

1)t(hcotarc

dt

d

−=

2t1t

1)t(hsecarc

dt

d

+−=


30

1.10 – Integrais A integral indefinida de uma função f(t) é representada como

∫ τ⋅τ d)(f

Por outro lado, a integral definida, representada como

∫ τ⋅τb

ad)(f , ∫ ∞−

τ⋅τb

d)(f ou ∫∞

τ⋅τa

d)(f

faz a Soma de Riemann que calcula a área sob a curva em m intervalo bem definido como por exemplo:

[ a , b ] , ] –∞ , b ] ou [ a , ∞ [.

Este nome acima é dado em alusão ao matemático alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). A integral é um processo inverso do da derivada de funções pois,

( ) ( ) Ctfdfdtdt

)t(dfdt)t(

dt

dfdttf +====′ ∫∫∫∫

ou

( ) )t(fdt)t(fdt

d =⋅∫ .

Mais precisamente:

∫ ⋅=t

adt)t(f)t(F

é chamada de primitiva de f(t). Este resultado é chamado de Teorema Fundamental do Cálculo e faz a interligação entre o Cálculo Diferencial (secção anterior) e o Cálculo Integral (desta secção). Algumas regras de integração de funções em geral

( ) ( ) Cdttfadttfa +⋅= ∫∫ (regra da homogeneidade)

( ) ( )[ ] ( ) ( ) Cdttgdttfdttgtf ++=+ ∫∫∫ (regra da aditividade)

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫ ′⋅+⋅=⋅′ dttg)t(f)t(gtfdttgtf (regra da integral por partes)


Se definirmos

)t(g)t(u =então, )t(gdu ′= e a regra da integral por partes pode ser escrita doutra forma

∫ ⋅ dvu

Por outro lado, se )t(f)t(u = então a integral definida é calculada como:

b

a∫

Fig. 1.18 – A área S sob a curva f(t) no intervalo A integral definida desde a

é a área S sob a curva, conforme ilustrado na figura


31

) e )t(f)t(v =

dt⋅ e dt)t(fdv ⋅′=

e a regra da integral por partes pode ser escrita doutra forma:

∫−= duvuvdv (regra da integral por partes)

) e dt)t(fdu ⋅′= ,

integral definida é calculada como:

] )a(u)b(uudu ba

b

a−==∫

A área S sob a curva f(t) no intervalo definido [a,

até b da função f

Sd)(fb

a=τ⋅τ∫

é a área S sob a curva, conforme ilustrado na figura 1.18.


(regra da integral por partes)

definido [a, b].


A figura 1.19 mostra dois exemplos da integral definida desde a até b da função f, onde áreas abaixo do eixo das abcissas contam negativamente.

e b

a∫

Fig. 1.19 – Dois exemplos da área sob a curva f(t) no intervalo As áreas abaixo do eixo das

A figura 1.20 mostra dois exemplos da integral definida como: ] –∞, b] , [ a, ∞ [ .

d)(fb

3 =τ⋅τ∫ ∞−

Fig. 1.20 – Dois exemplos da área sob a curva f(t) tos: ] –∞, b] e


32

mostra dois exemplos da integral definida desde a até b da função f, onde áreas abaixo do eixo das abcissas contam negativamente.

21

b

a 1 SSd)(f −=τ⋅τ∫

321

b

a 2 SSSd)(f +−=τ⋅τ∫

Dois exemplos da área sob a curva f(t) no intervalo As áreas abaixo do eixo das abcissas contam negativamente.

mostra dois exemplos da integral definida em intervalos infinitos

S e d)(fa 4 ⋅τ∫∞

ois exemplos da área sob a curva f(t) definidos em

e [ a, ∞ [.


mostra dois exemplos da integral definida desde a até b da função f,

Dois exemplos da área sob a curva f(t) no intervalo definido [a, b].

contam negativamente.

em intervalos infinitos

Sd =τ

em intervalos infini-


33

Apresentamos agora uma tabela das integrais das principais funções.

Integrais de funções racionais:

Cudu +=∫

1n,C)1n(

uduu

1nn ≠+

+=⋅

+

∫

Culnu

duduu 1 +==⋅ ∫∫

−

Ca

uarctg

a

1dt

au

122

+

⋅=⋅+∫

2222

a>u,Cau

auarctg

a2

1

au

du +

+−⋅=⋅

−∫

Integrais de funções irracionais:

Cauulnau

du 22

22+++=⋅

+∫

Cauulnau

du 22

22+−+=⋅

−∫

Ca

usecarc

a

1

auu

du22

+

⋅=⋅−⋅∫

22

22a<u,C

a

uarcsen

ua

du +

=⋅−∫

Integrais de logaritmos:

Clogt)ta(logtdt)ta(log bbb +⋅−⋅⋅=⋅∫ e (*)

Ct)ta(lntdt)ta(ln +−⋅⋅=⋅∫

[caso particular b = e da integral (*) acima]

( ) 1n,C1n

t)ta(ln

1nt

dt)ta(lnt 2

1n1nn ≠+

+−⋅⋅

+=⋅⋅

++

∫

[ ] C)ta(ln21

dt)ta(lnt 21 +⋅⋅=⋅⋅∫−


34

[ ] C)ta(lnln)ta(lnt

dt +⋅=⋅⋅∫

Integrais de funções exponenciais:

0a,1a,C)a(ln

adua

uu >≠+=⋅∫ (**)

Cdu uu +=⋅∫ ee [caso particular a = e da integral (**) acima]

C)b(ln

b

a

1dtb

atat +⋅=∫ (***)

Ca

1dt atat +=∫ ee [caso particular b = e da integral (***) acima]

C)1at(a

dtt 2

atat +−=⋅∫

ee

dtta

nt

a

1dtt at1natnatn

eee ∫∫−−=⋅

1b,0b,dtbt)bln(a

n

)bln(a

btdtbt at1n

atnatn ≠>

⋅−

⋅=⋅ ∫∫

−

( ) [ ] C)btcos(b)bt(senaba

dt)tb(sen 22

atat +⋅−⋅

+=⋅∫

ee

( ) [ ] C)bt(senb)btcos(aba

dt)tbcos( 22

atat +⋅+⋅

+=⋅∫

ee

Integrais de funções trigonométricas:

( ) ( ) Cucosduusen +−=∫

( ) ( ) Cusenduucos +=∫

( ) ( ) C)u(seclnduutg +=∫

( ) C)u(senlnduugcot +=∫

( ) ( ) C)u(tg)u(seclnduucos

1duusec ++=⋅=⋅ ∫∫


35

( ) ( ) C)u(gcot)u(eccoslnduusen

1duueccos +−=⋅=⋅ ∫∫

( ) ( ) ( )( ) C)u(secduusen

utgduutguecs +=⋅=⋅⋅ ∫∫

( ) ( ) ( ) ( ) C)u(eccosduutgusen

1duutgcoueccos +−=⋅

⋅=⋅⋅ ∫∫

( ) ( ) C)u(tgduucos

1duuecs

22 +=⋅=⋅ ∫∫

( ) ( ) C)u(gcotduusen

1duueccos

22 +−=⋅=⋅ ∫∫

( ) ( ) Ctacosa1

dttasen +−=∫

( ) ( ) Ctasena1

dttacos +=∫

( ) ( )C

a4

ta2sen

2

tdttasen2 +−=∫

( ) ( )C

a4ta2sen

2t

dttacos2 ++=∫

Fórmula de recorrência para integrais de potências de funções trigonométricas:

( ) ( )∫∫ ⋅−+⋅

⋅⋅⋅−=⋅ −−

duuasenn

1n

an

)uacos()ua(senduuasen 2n

1nn

( ) ( )∫∫ ⋅⋅−+⋅

⋅⋅⋅=⋅ −−

duuacosn

1n

an

)ua(sen)ua(cosduuacos 2n

1nn

( ) ( ) ( )∫∫ ⋅−−⋅⋅=⋅ −

−

duuatg1na

)ua(tgduuatg 2n

1nn

( ) ( ) ( )∫∫ ⋅−−⋅

⋅−=⋅ −−

duuagcot1na

)ua(gcotduuagcot 2n

1nn

( ) ( ) ( )∫∫ ⋅⋅

−−+

−⋅⋅⋅⋅=⋅ −

−

duuasec1n

2n

1na

)ua(tg)ua(secduuasec 2n

2nn

( ) ( ) ( )∫∫ ⋅⋅

−−+

−⋅⋅⋅⋅−=⋅ −

−

duuaeccos1n

2n

1na

)ua(gcot)ua(eccosduuaeccos 2n

2nn


36

Integrais de outras funções trigonométricas:

( ) ( ) [ ] [ ] 22 ba,C)ba(2

t)ba(cos

)ba(2

t)ba(cosdttbcostasen ≠+

−−−

++−=⋅⋅∫

( ) ( ) [ ] [ ] 22 ba,C)ba(2

t)ba(sen

)ba(2

t)ba(sendttbsentasen ≠+

++−

−−=⋅⋅⋅∫

( ) ( ) [ ] [ ] 22 ba,C)ba(2

t)ba(sen

)ba(2

t)ba(sendttbcostacos ≠+

+++

−−=⋅⋅⋅∫

( ) ( ) Ca4

)ta2(cosdttacostasen +

⋅⋅⋅

−=⋅⋅⋅∫

( ) ( )( ) ( ) Ctacosln

a

1dt

tacos

tasendttatg +⋅⋅−=

⋅⋅=⋅ ∫∫

( ) ( )( ) ( ) Ctasenln

a

1dt

tasen

tacosdttagcot +⋅==⋅ ∫∫

( ) C)ta(cosa

t)ta(sen

a

1dttasent

2+⋅−⋅−=⋅⋅∫

( ) C)ta(sinat

)ta(cosa1

dttacost2

++=⋅∫

( ) dt)ta(costa

n)ta(cos

a

tdttasent 1n

nn

∫∫−+−=⋅

( ) dt)ta(senta

n)ta(sen

a

tdttacost 1n

nn

∫∫−−=⋅

Integrais de funções hiperbólicas:

C)at(cosha

1dt)at(senh +⋅=∫

C)at(senha

1dt)at(cosh +⋅=∫

C2

t

a4

)at2(senhdt)at(senh2 +−=∫

C2

t

a4

)at2(senhdt)at(cosh2 ++=∫

C)at(senha

1)at(cosh

a

tdt)at(senht

2+⋅−⋅=⋅∫


37

C)at(cosha

1)at(senh

a

tdt)at(cosht

2+⋅−⋅=⋅∫

Cdt)at(coshta

n)at(cosh

a

tdt)at(senht 1n

nn +⋅⋅−⋅=⋅ ∫∫

−

Cdt)at(senhta

n)at(senh

a

tdt)at(cosht 1n

nn +⋅⋅−⋅=⋅ ∫∫

−

[ ] C)at(coshlna

1dt

)at(cosh

)at(senhdt)at(tanh +⋅== ∫∫

C)at(senhlna

1dt

)at(senh

)at(coshdt)at(coth +⋅== ∫∫

Integrais definidas:

π=⋅∫∞

2

1dtt

0

-te

a2

1dt

0

a2x π=∫

∞ −e

π=∫∞ −

2

1dt

0

t2

e

6dt

1

t 2

0

π=⋅−∫

∞

te

15dt

1

t 4

0

3 π=⋅−∫

∞

te

2dt

t

)t(sen0

π=⋅∫∞

( ) !1n)n(dtt0

t1n −=Γ=⋅∫∞ −−

e [função gama]

( ) ( )

≥π⋅−⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

≥π⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅

=⋅=⋅ ∫∫ππ

3ímpareirointénse,2)1n(753

n642

2pareirointénse,2n642

)1n(521

dttcosdttsen2

0

n2

0

n

L

L

L

L


38

1.11 – Decibéis (dB) A unidade Bell (B) tem este nome em alusão ao escocês Alexander Graham Bell (1847-1922). O deciBel (dB) é um submúltiplo do Bell que corresponde a um décimo do Bell. Entretanto, o deciBel tornou-se uma unidade de uso muito mais comum que o Bell. O deciBel (dB) é usado para uma grande variedade de medições, especialmente em acústica (intensidade de sons), mas também como medida de ganho ou intensidade relativa na física (para a pressão ρ) e na electrónica (para a tensão eléctrica v, para a corrente eléctrica i, ou para a potência P). O decibel (dB) é uma unidade de medida adimensional assim como as medidas de ângulo: o radiano (rad) e o grau (º), ou a percentagem (%). O decibel é portanto uma unidade de intensidade ou potência relativa (uma medida da razão entre duas quantidades, sendo uma de referência). A definição do dB é obtida com o uso do logaritmo da seguinte forma: x em decibéis usualmente é definido como:

( )xlog20x 10dB⋅=

que é a expressão que vamos utilizar neste texto, mas às vezes x em decibéis também pode ser definido como:

( )xlog10x 10dB⋅=

Como o deciBell é uma medida relativa de ganho relativo (em relação a um valor de referência) somente são calculados os decibéis de valores positivos. Não faz sentido calcular os decibéis de um valor negativo.

É fácil de se verificar que, ( ) dB01log201 10dB=⋅= , logo

dB01dB

=

Valores maiores que 1 se tornarão positivos ao serem transformados em dB. Eles re-presentam um ganho de facto. Por outro lado, valores menores que 1 (i.e., valores entre 0 e 1) se tornarão negativos ao serem transformados em dB. Eles representam uma atenuação. Outro detalhe:

dBdB x

1x −=


39

Note que:

1 x se > dB0>x ==>dB

1 x se = dB0x ==>dB

=

1 <x <0 se dB0<x ==>dB

0 <x se dBx existe não ==>

Isso está ilustrado na figura 1.21.

Fig. 1.21 – o valor de x em dB.

Alguns exemplos:

( ) dB2010log2001 10dB=⋅=

( ) ( ) ( ) dB2010log20110log201,010

110

110dB

dB

−=⋅⋅−=⋅== −

( ) dB4010log2010100 210dB

2

dB=⋅==

( ) dB6010log20101000 310dB

3

dB=⋅==


40

( ) ( ) dB63,0202log202 10dB=⋅=⋅=

( ) ( ) dB63,020)1(2log202

1log205,0

2

1 11010dB

dB

−=⋅⋅−=⋅=

⋅== −

( ) ( ) dB33,0202

12log202log202 2

1

1010dB

=⋅⋅

=

⋅=⋅=

( ) dB33,0202

12log20

2

1log20

2

2

2

1 21

1010

dBdB

−=⋅⋅

−=

⋅=

⋅== −

( ) ( ) ( ) ( ) dB463,02202log100log201002log20200 101010dB=+⋅=+⋅=⋅⋅=

( ) ( ) ( ) dB1413,02010log2log2010

2log20

10

22,0 101010

dBdB

−=−⋅=+⋅=

⋅==

( ) ( ) ( ) dB343,02202log100log202

100log20

2

10050 101010

dBdB

=−⋅=−⋅=

⋅==

( ) ( ) ( ) dB3423,020100log2log20100

2log20

100

2

50

1101010

dBdB

−=−⋅=−⋅=

⋅==

Resumindo os exemplos acima:

dB2001dB

= dB201,0dB

−=

dB40100dB

= dB601000dB

=

dB62dB

= dB65,0dB

−=

dB32dB

= dB32

1

dB

−=

dB46200 dB= dB142,0dB

−=

dB3450 dB= dB3450

1

dB

−=

J. A. M. Felippe de Souza 2 – Sinais

1

2 – Sinais

2.1 – Introdução aos Sinais 3

2.2 – Exemplos de sinais 3

Circuito RC 4

Carro 5

Voz / Fala humana 6

Transmissões de rádio (AM & FM) 7

Música em CD ou no computador 9

Electrocardiograma (ECG) 10

Electroencefalograma (EEG) 11

Imagem monocromática (preto-branco) 13

Imagens coloridas e transmissões de TV 13

Sinais meteorológicos 14

Sinais geofísicos 15

Índices económicos e demográficos 17

2.3 – Sinais contínuos e discretos 18

2.4 – Sinais dinâmicos e estáticos 20

2.5 – Energia e Potência de Sinais 21

Exemplo 2.1 23

Exemplo 2.2 24

Exemplo 2.3 25

Exemplo 2.4 25


2

2.6 – Transformações da variável independente 26

Translação no tempo (“time shifting”) 26

Shift para direita (retardo) 26

Shift para esquerda (avanço) 27

Reversão no tempo / sinal reflectido (“time reversal”) 27

Escalonamento no tempo (“time scaling”) 28

Compressão ou encolhimento 28

Expansão ou esticamento 28

Caso geral 29

Exemplo 2.5 30

2.7 – Sinais periódicos 32

Exemplo 2.6 33

Exemplo 2.7 33

2.8 – Sinais pares e ímpares 33

Exemplo 2.8 34

Exemplo 2.9 35

Exemplo 2.10 35

2.9 – Sinais exponenciais e sinusoidais 37

O sinal sinusoidal contínuo x(t) = A cos(ωot + φ) 37

O sinal exponencial contínuo atC)t(x e= 40

Caso 1: C ∈ R e a ∈ R 40

Caso 2: C = 1 e a é um número imaginário puro 42

Caso 3: C ∈ C e a ∈ C 44

Exemplo 2.11 44

O sinal sinusoidal discreto 45

O sinal exponencial discreto [ ] nn CCnx β=α= e 47

Caso 1: C ∈ R e α∈ R 47

Caso 2: C = 1 e β é um número imaginário puro 49

Caso 3: C ∈ C e α∈ C 55


3

Sinais 2.1 – Introdução aos Sinais A noção intuitiva de sinais e surge de uma variedade enorme de contextos. Qualquer apontamento que se faça: em números por exemplo; ou qualquer registo que se faça: do desempenho de uma máquina, ou da performance, ou dos consumos de um veículo ao longo de uma viagem; ou qualquer medição que se faça: com o uso de algum aparelho ou instrumento de medida; ou qualquer gravação que se faça, de um som, ou de uma imagem ou mesmo de um vídeo, pode facilmente se tornar em um sinal. Existe uma linguagem própria usada para descrever sinais, assim como existe também um conjunto bastante poderoso de ferramentas para analisá-los. Neste capítulo trataremos da linguagem que descreve os sinais. Em outros capítulos mais adiante trataremos das ferramentas de análise. 2.2 – Exemplos de Sinais Os sinais são usados para descrever uma grande variedade de fenómenos físicos e podem ser descritos de muitas maneiras: através de números, ou de gráficos, ou de uma sequência de dígitos (bits) para serem introduzidos no computador, etc. Nesta secção iremos ver alguns exemplos de sinais antes de vermos as definições básicas do mesmo.


4

Circuito RC Considere um sistema eléctrico simples de um circuito RC, ilustrado na figura 1 abaixo.

Fig. 1 – Um circuito eléctrico (circuito RC série).

O sinal da tensão vs(t) na fonte ou o sinal da tensão vc(t) no condensador, assim como o sinal da corrente i(t) que atravessa a única malha do circuito podem ser medi-dos por aparelhos (voltímetro / amperímetro) que também são vistos na figura 1. Na figura 2 vemos um possível exemplo do sinal da tensão vs(t) na fonte (à esquerda) e do sinal da tensão vc(t) no condensador (à direita), ambos em Volts [V].

Fig. 2 – Um exemplo do sinal da tensão eléctrica vs(t) na fonte (à esquerda) e do sinal da tensão eléctrica vc(t) no condensador (à direita).


5

Carro Os carros andam quando são acelerados. Mas isso equivale a imprimir uma força f(t) que vai puxar o carro pois, pela Segunda Lei de Newton,

a força é igual a massa x aceleração [ f(t) = m⋅a(t)] ,

onde m = massa do carro.

Fig. 3 – Um carro que se desloca puxado pela força f(t).

Suponha que o sinal da força f(t) aplicada em um carro, que como vimos é proporcio-nal à aceleração que lhe foi dada, é mostrado na figura 3. O sinal do deslocamento x(t) assim como da velocidade v(t) que o carro desenvolve, decorrente desta força aplicada, podem ser medidos por aparelhos. Na figura 4 e 5 vemos um possível exemplo destes 3 sinais em um carro: f(t) em Newtons [N], x(t) em metros [m] e v(t) em metros/segundo [m/s].

Fig. 4 – Um exemplo do sinal da força f(t) aplicada num carro.


6

Fig. 5 – Um exemplo do sinal do deslocamento x(t) (à esquerda) e do sinal da velocidade v(t) (à direita) desenvolvidos pelo mesmo carro.

Voz / fala humana O mecanismo vocal humano produz fala criando flutuações na pressão acústica. O ar é expelido dos pulmões pelo diafragma e no seu caminho produz vibrações. Estas vibrações são modificadas, ou moldadas, ao passar pelas cordas vocais, assim como pela boca, lábios e a língua para se produzir os sons que se deseja.

O sinal de voz é obtido através do uso de um microfone que capta as variações da pressão acústica e converte em sinais eléctricos. Estes sinais podem servir para uma gravação do som da voz ou para serem transmitidos (telefone ou telemóvel por exemplo).

Exemplos do sinal de voz, obtido com o uso de um microfone, podem ser visto na figura 7.

Fig. 6 – O registo do sinal de voz, obtido com o uso de um microfone. Seja para uma gravação ou para ser transmitido, por telefone ou telemóvel, a voz humana se transforma em um sinal eléctrico.


7

Fig. 7 – Exemplos do sinal de voz, obtido com o uso de um microfone.

Transmissões de rádio (AM & FM) Uma transmissão de rádio é também composta de sinais eléctricos que transportam o som (voz, música, etc.) A portadora (sinal de frequência mais alta) transporta o sinal modulado (som) seja ele modulado em amplitude (AM) ou em frequência (FM). Estes sinais podem ser vistos na figura 8 e 9.


8

Fig. 8 – O sinal da portadora (à esquerda) e o sinal modulador, i.e., o som a

ser transmitido (à direita).

Fig. 9 – Os sinais que são realmente transmitidos: sinal modulado em ampli-

tude, no caso de modulação AM (à esquerda); e o sinal modulado em frequência, no caso de modulação FM (à direita).

Na modulação AM o som a ser transmitido molda (ou modula) a amplitude da porta-dora com o formato do seu sinal gerando um sinal modulado que é transmitido. Já na modulação FM a amplitude do sinal gerado para ser transmitido é constante. O que som a ser transmitido molda (ou modula) é a frequência da portadora com o formato do seu sinal.

Existem dispositivos electrónicos que modulam o sinal, sejam em AM ou em FM, assim como existem dispositivos electrónicos que demodulam o sinal, isto é, recupe-ram o som que vem modulando a portadora.

Fig. 10 – Os rádios, em casa ou no carro, recebem sinais modulados em AM

ou em FM e têm a capacidade de demodular estes sinais, isto é, transformarem de volta em som.


9

Música em CD ou no computador A música gravada em um CD ou armazenada no computador (em formato wav, wma ou mp3, por exemplo) é feita através de uma série de números, uma sequência digital de “zeros” e “uns”, que representam as tensões eléctricas (em Volts) do sinal de áudio ao longo do tempo.

Fig. 11 – CDs (compact disc) de música.

Portanto, o sinal analógico de áudio convertido em um sinal digital, ou seja, dados binários, a uma taxa que é medida em “bps” (bits per second). Claro que quanto maior o número de bits por segundo melhor será a qualidade de reprodução do som.

Alguns valores usuais desta taxa em gravação de música são:

96 mil bits por segundo [96kbps], ou 128 mil bits por segundo [128 kbps], ou 192 mil bits por segundo [192 kbps], ou 256 mil bits por segundo [256 kbps].

Fig. 12 – Gravação de músicas em estúdio.

Existem dispositivos electrónicos que transformam um sinal analógico em digital (conversores A/D) assim como dispositivos electrónicos que transformam um sinal digital em analógico (conversores D/A).


10

Electrocardiograma (ECG) O electrocardiógrafo é um dispositivo que mede sinais elétricos do coração para pro-duzir um electrocardiograma (ECG). A Electrocardiografia estuda a actividade eléctrica do coração a partir de eléctrodos colocados em determinados pontos do corpo humano. O registo do electrocardio-grama (ECG) é prática comum na medicina dos nossos dias, uma vez que é de reco-nhecido valor para a identificação e prognóstico de doenças cardiovasculares como o enfarte do miocárdio, arritmia, entre outras condições patológicas.

Fig. 13 – O electrocardiógrafo (à esquerda) e um paciente submetido a exame no mesmo (à direita).

Fig. 14 – Sinal típico de ECG, correspondendo a um ciclo completo, com o nome das

ondas que o compõe. O ECG normal é formado por uma onda P, um com-plexo QRS e uma onda T. O complexo QRS muitas vezes aparece sob a forma de três ondas: a onda Q, a onda R e a onda S.


11

Os tipos de sistemas de aquisição de ECG, que podem ser encontrados, hoje, comer-cialmente, abrangem desde as grandes unidades fixas usadas em ambiente hospitalar, às pequenas unidades portáteis para uso móvel. Os sinais cardiovasculares e os próprios complexos QRS no electrocardiograma (ECG) apresentam variabilidade batimento a batimento. A análise da variabilidade de sinais cardiovasculares é susceptível de variadas aplicações clínicas, sendo corrente-mente aceite que pode ser usada como um meio não invasivo para aceder à integri-dade do sistema cardiovascular e é como uma janela para a caracterização do sistema nervoso autónomo.

Fig. 15 – Amostra do ECG de um paciente.

Electroencefalograma (EEG) O electroencefalógrafo é uma máquina que regista o gráfico dos sinais eléctricos ce-rebrais desenvolvidos no encéfalo produzindo o electroencefalograma (EEG). Isto é realizado através de eléctrodos que são aplicados no couro cabeludo, na superfície encefálica, ou até mesmo (em alguns casos) dentro da substância encefálica. Esses sinais cerebrais observados são muito fracos. Portanto coloca-se os electrodos em posições pré-definidas sobre o couro cabeludo do paciente e um amplificador aumenta a intensidade dos potenciais elétricos para então ser construído um gráfico (EEG) analógico ou digital (dependendo do equipamento). Analisando o EEG o médico pode detectar alterações dos padrões normais e isso per-mite fazer o diagnóstico clínico.


12

Exemplos de descargas de ondas anormais (os casos patológicos) que são observadas em EEG são: os picos de onda, os complexos ponta-onda e atividade lentas, sejam estas locais (focais) ou generalizadas.

Algumas indicações dos exames EEG são;

o para avaliação inicial de sindromes epilépticos; o avaliação de coma; o morte encefálica; o intoxicações; o encefalites; o síndromes demenciais; o crises não epilépticas; e o distúrbios metabólicos.

Fig. 16 – Um paciente submetido a exame EEG.

Fig. 17 – Amostra do ECG se um paciente.


13

Imagem monocromática (preto-branco)

Uma imagem monocromática (preto-branco) é constituída por um padrão de varia-ções no brilho através dela. Ou seja, o sinal da imagem é uma função da intensidade de brilho em todos os pontos da imagem (bidimensional).

Fig. 18 – Uma foto monocromática (preto-branco) e o sinal de intensidade de brilho.

Imagens coloridas e transmissões de TV Se a imagem for colorida, obviamente o sinal torna-se mais complexo. Normalmente a imagem é decomposta em 3 cores básicas, que comummente são

“vermelho”, “verde” e “azul”

que é chamado de código de cores RGB:

R (red), G (green) e B (blue)

mas às vezes também é usado outros códigos de cores, como o “magenta” (parecido com cor de rosa), o “ciano” (uma espécie de azul) e o “amarelo”:

“magenta”, “ cyan” e “yellow”

que é comum em impressoras coloridas e em sistemas informáticos em geral. O sinal de uma foto a cores portanto terá que ter informação de 3 cores (e não apenas uma como na foto monocromática).

A transmissão de imagens (“broadcast”) como na televisão por exemplo, requer sinais mais sofisticados ainda.

Enquanto que uma fotografia é um sinal “estático”, fixo no tempo, as transmissões de imagens via TV são sinais dinâmicos pois vão variando com o tempo. Além disso, na transmissão de TV (TV broadcast) a informação do som também tem que seguir junto com a imagem.


14

Desde que a TV à cores surgiu, muitos sistemas de transmissão já foram criados, como por exemplo: o sistema PAL (europeu), o sistema NTSC (americano), ou mais recentemente o HDTV.

Fig. 19 – Exemplo de um sinal RGB [R (red), G (green) e B (blue)] de uma

transmissão de TV.

Sinais meteorológicos Em meteorologia é comum o uso de sinais de medidas como pressão atmosférica [mbar] velocidade do vento [knots] x x altitude [km] altitude [km]

Em particular, no tráfico aéreo usam este último sinal mas com outras unidades:

velocidade do vento [knots] x

altitude [metros]


15

nas proximidades dos aeroportos para examinar as condições do vento que possam afectar uma aeronave durante a aproximação final da pista e aterragem.

Estes 3 sinais mencionados acima estão ilustrados na figura 20

Fig. 20 – Sinais da velocidade do vento, da temperatura e da pressão atmosférica versus a altitude.

Sinais geofísicos

Em geofísica, sinais que representam variações de quantidades físicas do solo são usados para estudar o solo, assim como a estrutura do interior da terra, como a mesosfera e a endoesfera.


16

Alguns destes sinais são mostrados na figura 21. Eles representam levantamentos geofísicos de

resistividade eléctrica [Ω⋅m], temperatura [ºC], densidade [g/cm3], raios gama [eV] e porosidade [%]

versus profundidade [metros].

Fig. 21 – Sinais de levantamento geofísico de características do solo: resistividade

eléctrica, densidade, temperatura, raios gama e porosidade versus a profundidade.


17

Índices económicos e demográficos Os índices (ou indicadores) económicos (que normalmente só saem uma vez por mês) como:

inflação (mensal);

taxa de desemprego (mensal); dão origem a sinais discretos (i.e., sinal não contínuos). O índice da bolsa de valores é também um exemplo de um sinal discreto, embora este não seja mensal mas sim diário.

Fig. 22 – Um exemplo de sinal discreto (não contínuo) que retrata o índice da bolsa de valores (que só sai uma vez por dia).

Há muitos outros exemplos de índices ou indicadores económicos como as taxas de câmbio ou as taxas de crescimento do Produto Interno Bruto (PIB), etc.

Fig. 23 – Taxa de câmbio do Euro (€) em relação ao dólar americano (US $). Apesar de parecer contínuo, este sinal é discreto pois os valores foram tomados diariamente e depois os pontos foram ligados.


18

Quaisquer destes índices, se forem tomados ao longo de um período grande de tempo e os pontos forem ligados, fica-se com a impressão que o sinal é contínuo. Isso pode ser visto na figura 23 com um exemplo da taxa de câmbio do Euro (€) em relação ao dolar americano (US $) ao longo de vários anos. As taxas de câmbio de uma moeda corrente em relação à outra são exemplos de sinais discretos embora possam ser tomados diariamente, de hora em hora ou até de minuto a minuto, se desejar. Isso é semelhante ao caso da música ou das imagens digitalizadas em CDs ou em computador (sistemas digitais de áudio ou de vídeo) ou da transmissão digital de ima-gens, casos já mencionados em exemplos anteriores. Outros casos de sinais discretos:

taxas de natalidade de uma nação (ano a ano, ao longo de um período);

consumo de uma veículo [l/100 km](medido a cada vez que é abastecido);

lucro de um estabelecimento comercial (mês a mês, ao longo dos anos);

etc. 2.3 – Sinais contínuos e discretos Na secção anterior viu-se alguns sinais contínuos e alguns sinais discretos.

Para distinguir os sinais contínuos e discretos no tempo nós usaremos

“ t” para denotar o tempo como variável independente contínua e

“n” para denotar o tempo como variável independente discreta. Além disso, nos sinais contínuos usaremos parêntesis normais ( ),

x(t), y(t), v(t), etc. enquanto que nos sinais discretos usaremos parêntesis recto [ ],

x[n], y[n], v[n], etc. Esta é uma notação comummente adoptada na literatura de Análise de Sinais.


19

Um sinal discreto pode ser a representação de um fenómeno (sistema) inerentemente discreto, como por exemplo o caso de índices demográficos ou os índices da bolsa de valores. Por outro lado há também sinais discretos no tempo que são oriundos da amostragem de sinais contínuos. Por outro lado há também sinais discretos no tempo que são oriundos da amostragem de sinais contínuos.

os sistemas digitais de áudio ou de vídeo,

já mencionados acima, ou, para mencionar um outro exemplo:

o piloto automático digital; Estes sistemas requerem o uso de sequências discretas no tempo que são representa-ções (discretizações) de sinais contínuos no tempo. Assim, sinais que são naturalmente contínuos no tempo são tornados sinais discretos (por amostragem) para este propósito, como por exemplo:

a voz;

a música;

o som em geral; (no caso de sistemas digitais de áudio), ou

as fotografias que aparecem nos jornais e livros;

as imagens de um filme gravado em DVD;

etc. (no caso de sistemas digitais de imagem), ou

a posição da aeronave;

a velocidade da aeronave;

a direcção da aeronave; (no caso do piloto automático digital). Observe que esta digitalização é feita com uma quantidade muito grande de pontos. No caso da música digital, como já vimos, pode ter mais de 250 mil pontos em cada segundo [256 kbps].


20

2.4 – Sinais dinâmicos e estáticos Sinais são representados matematicamente como funções de uma ou mais variáveis independentes. Em vários sinais da secção anterior o tempo ‘t’ é a variável independente (ou uma das variáveis independentes), por exemplo, no caso de:

circuito RC músicas em CDs carro ECG emissões de rádio EEG voz/fala humana transmissões de TV transmissões de rádio bolsa de valores

Logo, estes sinais são do tipo x(t), y(t), f(t) ou f(x,t), etc. e são chamados de

sinais dinâmicos, pois variam com o tempo (ou evoluem no tempo, ou propagam no tempo, etc.), e portanto representam

sistemas físicos dinâmicos. Entretanto há sinais em que o ‘tempo’ não aparece como variável independente. Estes sinais são de

sinais estáticos,

ou sinais não dinâmicos,

pois não evoluem no tempo, e portanto representam

sistemas físicos estáticos. Alguns sinais da secção anterior que são estáticos:

a imagem monocromática os sinais meteorológicos a imagem colorida os sinais geofísicos


21

2.5 – Energia e Potência de Sinais Em muitas aplicações, embora não em todas, os sinais são directamente relacionados com quantidades físicas que captam ou absorvem energia e potência no sistema físico. Por exemplo, no caso do circuito RC que foi visto acima (na secção 2.1), a potência instantânea na resistência R é:

)t(vR

1)t(i)t(v)t(p 2=⋅=

onde:

v(t) = tensão na resistência R;

i(t) = corrente na resistência R.

e a energia total despendida no intervalo de tempo 21 t tt ≤≤ é:

∫∫ == 2

1

2

1

t

t

2t

tTotal dt)t(vR

1dt)t(pE

e a potência média neste intervalo [t1, t2] é:

( ) ( ) ∫∫ ⋅=⋅=−−

2

1

2

1

t

t

2t

tmédia dt)t(vR

11dt)t(p

1P

1212 tttt

De forma semelhante no caso do exemplo acima do carro (secção 2.1), a potência dissipada pela fricção é:

)t(v)t(p 2⋅ρ= onde ρ = coeficiente de atrito da superfície.

E neste caso a energia total e potência média no intervalo [t1, t2] são respectivamente:

∫∫ ⋅ρ== 2

1

2

1

t

t

2t

tTotal dt)t(vdt)t(pE

( ) ( ) ∫∫ ⋅ρ⋅=⋅=−−

2

1

2

1

t

t

2t

tmédia dt)t(v1

dt)t(p1

P1212 tttt

Motivados por exemplos como estes acima definem-se potência e energia para qual-quer sinal contínuo x(t) e qualquer sinal discreto x[n] da seguinte forma:


22

A potência instantânea de um sinal contínuo x(t) ou de um sinal discreto x[n]:

2

)t(x)t(p = ou 2

]n[x]n[p = eq. (2.1)

onde |x| é o módulo do número x (que pode ser real ou complexo).

A energia total no intervalo 21 tt t ≤≤ de um sinal contínuo x(t) é definida como:

∫∫ ⋅=⋅= 2

1

2

1

t

t

2t

tdt)t(xdt)t(pE eq. (2.2)

A potência média neste intervalo [t1 , t2] é definida como:

( ) ∫ ⋅⋅=−

2

1

t

t

2dt)t(x

1P

12 tt eq. (2.3)

A energia total e a potência média no intervalo 21 tt t ≤≤ de um sinal discreto x[n] são definidas como:

[ ]∑∑==

==2

1

2

1

n

nn

2n

nn

nx]n[pE eq. (2.4)

( ) [ ]∑=

⋅=+−

2

1

n

nn

2

12

nx1

P1nn eq. (2.5)

Para o caso de um intervalo de tempo infinito:

–∞ < t < ∞ ou –∞ < n < ∞ as definições de energia total e potência média, no caso de um sinal contínuo no tempo, ficam:

∫∫∞

∞−−∞→⋅=⋅=∞ dt)t(xdt)t(xlimE

2T

T

2

T eq. (2.6)

∫−→∞⋅⋅=∞

T

T

2

Tdt)t(x

T21

limP eq. (2.7)


23

e, para um sinal discreto no tempo, ficam:

[ ] [ ]∑ ∑−=

∞

−∞=∞→==∞

N

Nn n

22

NnxnxlimE eq. (2.8)

( ) [ ]∑−=∞→

⋅=+∞

N

Nn

2

NnxlimP

1N2

1 eq. (2.9)

Note que para alguns sinais E∞ e/ou P∞ podem não convergir. Por exemplo, se x(t) ou x[n] = constante ≠ 0 para todo t, então este sinal tem energia infinita (E∞ = ∞).

Se um sinal tem energia E∞ < ∞ (energia total finita), então:

P∞ = 0 Isto porque

0T2

ElimPT

== ∞∞∞ → (no caso contínuo) eq. (2.10)

ou

( ) 0E

limP1N2N

==+∞

∞∞ → (no caso discreto) eq. (2.11)

Por outro lado, pela mesma razão, isto é, usando se eq. (2.10) e eq. (2.11), concluímos que: se um sinal tem potência finita ≠ 0 (0 < P∞ < ∞), então:

E∞ = ∞.

Finalmente, existem sinais que possuem ambas: E∞ = ∞ e P∞ = ∞.

Exemplo 2.1: Considere o sinal x(t), ilustrado na figura 24.

Fig. 24 – O sinal x(t) = 2, 0 < t < 1.

[ ]

∉

<<=

2,0tse0

2t0se1)t(x


24

Facilmente observa-se que para este sinal x(t):

2

020

dt0dt1dt0

dt)t(xE

2

22

0

20 2

2

=++=

⋅+⋅+⋅=

⋅=

∫∫∫

∫∞

∞−

∞

∞−∞

e portanto, pela eq. (2.10), P∞ = 0.

Exemplo 2.2: Considere o sinal n,2]n[x ∀= ilustrado na figura 25.

Fig. 25 – O sinal x[n] = 2, ∀n.

Para este sinal x[n]:

( ) [ ]

( )

( )4

4)1N2(lim

)4444(lim

nxlimP

1N2

1

1N2

1

1N2

1

N

N

N

Nn

2

N

=

=⋅+⋅=

=+++++⋅=

=⋅=

+

+

+

∞→

∞→

−=∞→∞ ∑

LL

e portanto, pela eq. (2.11),

E∞ = ∞.


25

Exemplo 2.3:

Considere o sinal ,2,1,0,1,2n,2]n[x −−== e ,2,1,0,1,2n,0]n[x −−≠∀= ilus-trado na figura 26.

Fig. 26 – O sinal x[n] para n = 2, n = –2, –1, 0, 1, 2, e x[n] = 0, ∀n ≠ –2, –1, 0, 1, 2.

Para este sinal x[n]:

[ ] 202nxlimEN

Nn

2

2n

22

N=== ∑ ∑

−= −=∞→∞

e portanto, pela eq. (2.11),

P∞ = 0.

Exemplo 2.4:

Considere o sinal x(t) = 0,25 t, ∀t ilustrado na figura 27.

Fig. 27 – O sinal x(t) = 0,25 t, ∀t.

Facilmente observa-se que para este sinal x(t) ambos E∞ e P∞ são infinito.

E∞ = ∞, P∞ = ∞.

−−≠−−=

=2,1,0,1,2nse0

2,1,0,1,2nse2]n[x


26

2.6 – Transformações da variável independente Nesta secção apresentamos as transformações da variável independente em sinais

Translação no tempo (“ time shifting”): A translação no tempo, “time shifting” ou simplesmente “shift” é, o deslizamento lateral, para direita ou para a esquerda, do sinal x[n] (no caso discreto) ou x(t) (no caso contínuo). Isso é obtido com a mudança da variável independente, o tempo ‘n’ ou ‘t’: n → n ± no ou t → t ± to.

Shift para direita (retardo): sinal discreto: x[n] x[n–no], no > 0.

Fig. 28 – Ilustração de “shift” para direita (retardo) no sinal discreto x[n].

sinal contínuo : x(t) x(t – to), to > 0.

Fig. 29 – Ilustração de “shift” para direita (retardo) no sinal contínuo x(t).


27

Shift para esquerda (avanço): sinal discreto: x[n] x[n+no] , no > 0.

Fig. 30 – Ilustração de “shift” para esquerda (avanço) no sinal discreto x[n].

sinal contínuo : x(t) x(t + to), to > 0.

Fig. 31 – Ilustração de “shift” para esquerda (avanço) no sinal contínuo x(t).

Reversão do tempo / sinal reflectido (“ time reversal”) em torno de t = 0:

sinal discreto: x[n] x[–n]

Fig. 32 – Ilustração de reversão do tempo “time reversal” no sinal discreto x[n].

sinal contínuo: x(t) x(–t)


28

Fig. 33 – Ilustração de reversão do tempo “time reversal” no sinal contínuo x(t).

Escalonamento no tempo (“ time scaling”): O escalonamento no tempo é na verdade uma mudança da escala do tempo ‘n’ (no caso discreto) ou ‘t’ (no caso contínuo). Isso é obtido com a mudança da variável independente, o tempo ‘n’ ou ‘t’: n → a n ou t → a t. para uma constante a > 0.

Compressão ou encolhimento:

sinal discreto: x[n] x[an] , a > 1.

sinal contínuo: x(t) x(at), a > 1.

Expansão ou esticamento:

sinal discreto: x[n] x[an] , 0 < a < 1.

sinal contínuo: x(t) x(at), 0 < a < 1.


29

Fig. 34 – Ilustrações de escalonamento no tempo (“time scaling”) feito ao

sinal contínuo x(t). Vê-se x(t), x(2t) e x(t/2).

Caso geral:

sinal discreto: x[n] x[αn + β]

sinal contínuo: x(t) x(αt + β)

Se | α | < 1 → sinal é esticado ( ←→ );

Se | α | > 1 → sinal é comprimido ( → ← );

Se α < 0 → sinal é invertido;

Se β < 0 → translação (shift) para direita;

Se β > 0 → translação (shift) para esquerda.


30

Exemplo 2.5: Considere o sinal x(t) dado pela expressão:

∉≤<≤≤

=]2,0[t0

2t15,0

1t01

)t(x

e que está representado na figura 35(a). Nas figuras 35(b)-(h) estão representados algumas transformações de x(t) através de translações (“time shifting”), reversão do tempo (“time reversal”) e escalonamentos no tempo (“time scaling”). No caso do sinal x(t + 1) da figura 35(b) trata-se de uma translação (shift) para esquerda de uma unidade de tempo, enquanto que o sinal x(–t) da figura 35(c) é o sinal x(t) reflectido, isto é, uma reversão no tempo (“time reversal”).

Por outro lado, os sinais

t3

2x e

t2

3x

da figura 35(d) e (e) são escalonamentos no tempo (“ time scaling”) com ampliação escala em 1,5 (ou seja, 3/2) no primeiro deles, e com compressão da escala de 0,666 (ou seja, 2/3) no caso do segundo.

Por sua vez o sinal

+1t2

3x

da figura 35(f) trata-se de uma translação para esquerda de uma unidade, primeiro, e uma compressão da escala de 0,666 depois. Entretanto, no sinal

+2

)1t(3x

da figura 35(g) passa-se exactamente o oposto: uma compressão da escala de 0,666, primeiro, e uma translação para esquerda de uma unidade, depois. Finalmente o sinal

( )5,0t2x − da figura 35(h) é uma translação para esquerda de uma 0,5, primeiro, e uma compressão da escala de 0,5 (ou seja, ½) depois.


31

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

Fig. 35 – Sinais do Exemplo 2.5.


32

2.7 – Sinais periódicos

Um sinal contínuo x(t) é periódico se ∃ T > 0 tal que

x(t) = x(t + T) , ∀ t eq. (2.12)

T é chamado de período de x(t).

Ou seja, um sinal periódico x(t) fica imutável se fizermos uma translação (shift) de T.

Fig. 36 – Sinal periódico.

Se um sinal x(t) é periódico de período T então x(t) também é periódico de período 2T, 3T, 4T, … O período fundamental To de x(t), é o menor valor positivo de T para o qual a eq. (2.12) acima é válida. Esta definição tem uma excepção que é o caso de x(t) = C (constante) , ∀ t que também é periódico pois qualquer valor T > 0 é um período deste sinal, mas entretanto não há um período fundamental To para este sinal. Um sinal não periódico é chamado de “aperiódico”. Analogamente, um sinal discreto x[n] é periódico se ∃ N tal que

x[n] = x[n + N] , ∀ n eq. (2.13) N é chamado de período de x[n]. O período fundamental de x[n], No , é o menor valor de N para o qual eq. (2.13) é válida.


33

Exemplo 2.6:

É fácil de verificar que To = (2π/a) é o período fundamental do sinal periódico:

x1(t) = b ⋅ cos (at + c)

e que To = (π/a) é período fundamental do sinal periódico:

x2(t) = b ⋅ | cos (at) |

Exemplo 2.7:

A figura 37 mostra um sinal discreto com período fundamental

No = 3.

Fig. 37 – Sinal do Exemplo 2.7.

2.8 – Sinais pares e ímpares Um sinal contínuo x(t) é par se:

x(–t) = x(t) Um sinal discreto x[n] é par se:

x[–n] = x[n] Um sinal contínuo x(t) é ímpar se:

x(–t) = –x(t) Um sinal discreto x[n] é ímpar se:

x[–n] = –x[n]


34

Exemplo 2.8:

As figuras 38 e 39 mostram um sinal par e um sinal ímpar respectivamente.

Fig. 38 – Um sinal par.

Fig. 39 – Um sinal impar.


35

Note que para um sinal ímpar x(t) (contínuo), ou x[n] (discreto), satisfaz respectiva-mente:

x(0) = 0, ou

x[n] = 0.

Exemplo 2.9: x(t) = sen (t) é um sinal ímpar; e

x(t) = cos (t) é um sinal par. Um sinal pode ser decomposto na soma de 2 sinais sendo um par e um ímpar. No caso de um sinal contínuo:

)t(xOdx(t)Evx(t) +=

onde:

( ))t(x)t(x2

1x(t)Ev −+= (sinal par)

( ))t(x)t(x2

1x(t)Od −−= (sinal ímpar)

No caso de um sinal discreto:

[ ] [ ] [ ] nxOdnxEvnx +=

onde:

[ ] [ ] [ ]( )nxnx2

1nxEv −+= (sinal par)

[ ] [ ] [ ]( )nxnx2

1nxOd −−= (sinal ímpar)

Exemplo 2.10: O sinal x[n] da figura 40 é chamado de degrau unitário (como veremos com detalhes no capítulo 3 sobre sinais singulares).


36

Fig. 40 – Sinal degrau unitário.

Este sinal pode facilmente ser decomposto nos dois sinais

xev[n] = Evx[n] e

xod[n] = Od[n] dados abaixo:

[ ] [ ]

>

=

<

==

0nse,21

0nse,1

0nse,21

nxEvnxev [ ] [ ]

>

=

<−

==

0nse,21

0nse,0

0nse,21

nxOdnxod

e que estão representados a nas figura 41.

Fig. 41 – Sinais xev[n] e xod[n], as componentes par e ímpar de x[n].


37

2.9 – Sinais exponenciais e sinusoidais

O sinal sinusoidal contínuo:

Fig. 42 – O sinal sinusoidal contínuo.

Este sinal descreve as características de muitos processos físicos, em particular: siste-mas no qual a energia é conservada, como os circuitos LC; o movimento harmónico simples (MHS); a variação da pressão acústica que corresponde ao tom de uma nota musical; etc. O sinal acima x(t) = A cos(ωot + φ), ωo = 0 é periódico com período fundamental

oo

2 T

ωπ= .

e ωo é chamada de frequência fundamental. A equação acima mostra que frequência fundamental e o período fundamental são inversamente proporcionais.

Se tivermos 3 sinais:

xo(t) = A cos(ωot + φ),

x1(t) = A cos(ω1t + φ), e

x2(t) = A cos(ω2t + φ),


38

com ω2 < ωo <ω1 (o que equivale a T1 < To < T2) então x1(t) oscila mais que xo(t) e por outro lado x2(t) oscila menos que xo(t).

Ou seja, para o sinal xo(t) = A cos(ωot + φ), quanto maior a frequência ωo, mais ele oscila, e quanto menor frequência ωo, menos ele oscila.

Fig. 43 – Três sinais periódicos (do tipo x(t) = cos ωt) com frequências diferentes.


39

As unidades de )tcos(A x(t) o φ+ω= são:

T [segundos]

φ [radianos]

ωo [radianos / segundo] Às vezes a frequência natural ωo é escrita como

ωo = 2πfo onde fo é a frequência do sinal x(t) = A cos(2πfot + φ) e tem como unidade

fo [Hertz] Note também (os casos particulares), para

)t(cosA)t(x o φ+ω⋅=

se φ = 0, ou φ = ±2π, ±4π, … ⇒ x(t) = A cos (ωot)

se 2

π=φ , ou L,4

2,2

2π±ππ±π=φ ⇒ x(t) = − A sen (ωot)

se 2π−=φ ,

ou L,4

2,2

2π±π−π±π−=φ ⇒ x(t) = A sen (ωot)

se π=φ , ou L,7,5,3, π±π±π±π−=φ ⇒ x(t) = − A cos (ωot) Além disso: se ωo = 0 ==> x(t) = C (constante)

Fig. 44 – O sinal x(t) = C (constante).

O sinal x(t) = C (constante), ∀t é também um sinal periódico, e com período T para qualquer T > 0. Entretanto este sinal x(t) = C (constante) não tem um período funda-mental To.


40

Outro detalhe: o sinal x(t) escrito na forma combinação linear de um seno e um co-seno com a mesma frequência ωot e sem desfasagem, isto é,

)t(cos)t(sen)t(x oo ω⋅β+ω⋅α= , pode ser escrito como um seno com a mesma frequência ωot e desfasagem φ, isto é,

)t(senA)t(x o φ+ω⋅= ; e vice-versa. Ou seja:

)t(senA

)t(cos)t(sen)t(x

o

oo

φ+ω⋅=ω⋅β+ω⋅α=

onde: φ⋅=α cosA e φ⋅=β senA eq. (2.14)

22A β+α= e

αβ=φ arctg eq. (2.15)

Por outro lado, o sinal x(t) que vimos mais acima, expresso na forma de um co-seno de frequência ωot e desfasagem φ, isto é, )t(cosA)t(x o φ+ω⋅= , pode ser escrito na

forma de combinação linear de um seno e um co-seno com a mesma frequência ωot (e vice-versa) da seguinte forma:

)t(sen)t(cos

)t(cosA)t(x

oo

o

ω⋅β−ω⋅α=φ+ω⋅=

onde α, β, A e φ são dados acima em eq. (2.14) e eq. (2.15).

O sinal exponencial contínuo:

atC)t(x e=

Caso 1: C ∈ R e a ∈ R R = conjunto dos números reais. Neste caso x(t) é chamado de um sinal exponencial real e pode ser crescente (se a > 0) ou decrescente (se a < 0).


41

Fig. 45 – O sinal exponencial contínuo, caso 1 (C ∈ R e a ∈ R), a > 0, crescente.

Fig. 46 – O sinal exponencial contínuo, caso 1 (C ∈ R e a ∈ R), a < 0, decrescente. A exponencial crescente é usada na descrição de muitos fenómenos físicos como a reacção em cadeia em explosões atómicas e certas reacções químicas complexas.

A exponencial decrescente também aparece na descrição de muitos processos físicos como por exemplo: o decaimento radioactivo, a resposta vc(t) do circuito RC e siste-mas mecânicos amortecidos.

Obviamente se a = 0, então novamente x(t) = C eat = C = constante (já vista acima nos

sinais sinusoidais com frequência ωo = 0) e portanto x(t) deixa de ser um sinal crescente ou decrescente.

Fig. 47 – O sinal x(t) = C (constante), caso particular a = 0 do sinal exponencial

contínuo.


42

Caso 2: C = 1 e a é um número imaginário puro taC)t(x e=

para C = 1 e a = j⋅ωo (imaginário puro)

tj o)t(x ω= e Neste caso x(t) é um sinal exponencial complexo para cada t.

Fig. 48 – O sinal exponencial contínuo, caso 2 (C = 1 e a é um número imaginário

puro)

Observe que como θ∀=θ ,1je , então:

| x(t) | = 1 , ∀t

Podemos interpretar este sinal x(t) como um ponto que se desloca na circunferência de raio 1 no plano complexo com velocidade angular | ωo | rad/s. Note que este sinal

tj o)t(x ω= e é sempre periódico pois:


43

)t(x

e)Tt(x Tjtj)Tt(j ooo

====+ ωω+ω

ee

para muitos valores de T (período) para os quais oj T 1ω =e . De facto, se

...,2,1k,k2

To

±±=ω

π= ,

então 1Tj o =ωe e T é um período de x(t). No caso particular de

0,2

T oo

o ≠ωω

π=

então To é o período fundamental de x(t) e ωo é chamada de frequência fundamental de x(t). A família de sinais exponenciais complexos

tkj

ko)t( ω=φ e , ...,2,1,0k ±±=

é conhecida como sinais harmonicamente relacionados. Estes sinais são periódicos e a frequência fundamental de cada )t(kφ , k ≠ 0, é

ook k ω⋅=ω

e o período fundamental é

k

T

k

2T o

ook =

ω⋅π=

No caso de k = 0, então )t(oφ = constante e não há uma frequência fundamental nem um período fundamental. O termo “harmónico” advém da música e se refere aos tons resultantes de variações da pressão acústica em frequências que são múltiplas da frequência fundamental. Por exemplo, o padrão de vibração de uma corda de um instrumento musical (como o violino) pode ser descrito como a sobreposição (ou a média ponderada) de sinais ex-ponenciais periódicos harmonicamente relacionados.


44

Exemplo 2.11:

( )t5,1jt5,1jt5,3j

t5jt2j)t(x⋅⋅−⋅

⋅⋅

+=

+=

eee

ee

agora, usando a Equação de Euler,

)t5,1cos(e2)t(x t5,3j ⋅= ⋅

e, como 1j =θe , ∀θ, temos que

)t5,1cos(2)t(x ⋅=

que é o sinal sinusoidal de onda completa rectificado, visto no gráfico da figura 49 abaixo.

Fig. 49 – Módulo do sinal x(t), )t5,1cos(2)t(x ⋅= .

Caso 3: C ∈ C e a ∈ C C = conjunto dos números complexos. Se C = |C| e

j θ (‘C’ está escrito na forma polar) a = σ + j ωo (‘a’ está escrito na forma cartesiana)

então o sinal exponencial contínuo

a t

( j )tj o

( j t )t o

t to o

x(t) C

C

C

C cos( t ) j C sen( t )

σ+ ωθ

ω +θσ

σ σ

=

= ⋅

= ⋅

= ⋅ ω + θ + ⋅ ⋅ ω + θ

e

e e

e e

e e

Logo:


45

Re x(t) e Im x(t)

σ = 0 ⇒ Sinais sinusoidais

σ > 0 ⇒ Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais crescentes

σ < 0 ⇒ Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais decrescentes

Rex(t) = C eσt⋅ cos(ωot + θ) , σ > 0 Rex(t) = C eσt⋅ cos(ωot + θ) , σ < 0

Fig. 50 – Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais (com σ > 0 e σ < 0). Para exemplificar, a figura 50 mostra-nos dois sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais. Um com σ > 0, logo o sinal cresce; e outro com σ < 0, logo o sinal decai, ou fica amortecido.

Exemplos de sistemas físicos onde aparecem estes sinais são: Circuitos RLC; siste-mas mecânicos com amortecimento e força restauradora (massa-mola, suspensão de automóveis, etc.). Estes sistemas têm mecanismos que dissipam energia (como resis-tências, forças amortecedoras e atritos) com oscilações que decaem no tempo.

O sinal sinusoidal discreto:

x[n] = A cos (ωon + φ)

onde as unidades de x[n] são:

n [sem dimensão]

ωo [radianos]

φ [radianos]

fo = ωo / 2π [radianos]


46

As figuras 51, 52 e 53 acima ilustram 3 sinais sinusoidais discretos x1[n], x2[n] e x3[n].

Fig. 51 – Sinal sinusoidal discreto x1[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,2π ≅ 0,628. Este sinal é periódico e o período fundamental é No = 10.

Fig. 52 – Sinal sinusoidal discreto x2[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,3π ≅ 0,944. Este sinal é periódico e o período fundamental é No = 20.

Fig. 53 – Sinal sinusoidal discreto x3[n] = A cos (ωon), para ωo = 1. Este sinal não é periódico conforme veremos mais adiante. Usando as equações de Euler, um sinal sinusoidal discreto x[n] pode ser escrito como:


47

njjj onj

o

ee2

Aee

2

A

) ( cosA x[n]

o ωφφ −−ω ⋅⋅+⋅⋅=

=φ+ω=

e, como 12j =φ

e e 12noj =ω

e , então, para este sinal temos que a energia total E∞

e a potência total P∞ são:

E∞ = ∞, e P∞ = 1.

O sinal exponencial discreto: Considere o sinal

[ ]n

n

C

Cnxβ=

α=

e , onde

β=α e .

que é uma forma análoga ao sinal exponencial contínuo.

Caso 1: C ∈ R e α∈ R: R = conjunto dos números reais. Neste caso x[n] pode ser um sinal crescente (se | α | > 1) ou um sinal decrescente (se | α | < 1). Na figuras 54 e 55 vemos os gráficos deste sinal [ ] nCnx α= para α > 1, 0 < α < 1, –1 < α < 0 e α < –1.

Fig. 54 – Sinal exponencial discreto, caso 1, α > 1 e 0 < α < 1.


48

Fig. 55 – Sinal exponencial discreto, caso 1, –1 < α < 0 e α < –1.

Obviamente, se α = 0, então [ ] nCnx α= é sinal da figura 56.

Fig. 56 – Sinal constante discreto, caso da constante α = 0,

um caso particular do sinal exponencial discreto. De forma semelhante, se α = ±1, então [ ] nCnx α= é um dos sinais da figura 57. Ou seja, um sinal constante ± |C|.

Fig. 57 – Sinais constantes discretos, casos da constante positiva e negativa, um

casos particulares do sinal exponencial discreto.


49

Ou seja: Se α = 0, então ⇒ [ ] nCnx α= = 0 ,

se α = 1 e C > 0, então ⇒ [ ] nCnx α= = | C | ,

se α = –1 e C < 0, então ⇒ [ ] nCnx α= = | C | ,

se α = –1 e C > 0, então ⇒ [ ] nCnx α= = –| C |.

se α = 1 e C < 0, então ⇒ [ ] nCnx α= = –| C |.

Caso 2: C = 1 e β é um número imaginário puro (isto é, | α | = 1): O sinal exponencial complexo

[ ] nn CCnx α== βe ( )β=α e

para C = 1 e β = j ωo (imaginário puro), temos que | α | = 1, e x[n] fica:

[ ] nj onx ω= e . Usando a equação de Euler temos que:

[ ] nsenjncosnx oonj o ω⋅+ω== ω

e

Observe que, como ,n,1e2nj o ∀=ω então para este sinal temos novamente que

E∞ = ∞, e P∞ = 1.

Note que o sinal exponencial [ ] nojnx ω= e satisfaz a seguinte propriedade:

[ ]

...,2,1,0m,

nx

n)mo(j

n)2o(jnoj

±±==

===

π±ω

π+ωω

e

ee

ou seja, o sinal x[n] é o mesmo para frequência ωo e (ωo + 2π). Na verdade é o mesmo para qualquer frequência (ωo ± mπ), m = 0, ±1, ±2, … Isto é, ele se repete a cada 2π a medida que a frequência ωo varia.

Esta situação é diferente do seu sinal análogo contínuo x(t), onde para cada ωo, x(t) era um sinal diferente. Nunca se repetia para valores diferentes de ωo. Na verdade, quanto maior era a frequência ωo, maior era a taxa de oscilação de x(t).


50

No caso discreto que analisamos aqui

[ ] nojnx ω= e o que ocorre é que conforme ωo aumenta de 0 até π, obtemos sinais x[n] que oscilam cada vez mais rápido. Depois, continuando a aumentar ωo de π até 2π, os sinais x[n] vão oscilando cada vez mais lentamente até voltar a ser o mesmo que era em ωo = 0 para ωo = 2π. Os gráficos da figuras 58-61 abaixo dão uma ideia de como isto ocorre. Elas mostram a evolução da parte real de x[n], ou seja

,)ncos(Re]n[xRe]n[ oj no ω===σ ω

e desde 0 (nenhuma oscilação) até π (número máximo de oscilações) e depois conti-nuando até 2π (nenhuma oscilação novamente).

Fig. 58 – Sinais discretos σ[n] = cos (ωon), ωo = 0 e ωo = π/8.

8o

π=ω

0o =ω


51

Fig. 59 – Sinais discretos σ[n] = = cos (ωon), ωo = π/4 , ωo = π/2 e ωo = π.

4o

π=ω

2o

π=ω

π=ωo


52

Fig. 60 – Sinais discretos σ[n] = cos (ωon), ωo = 3π/2 , ωo = 7π/4 e ωo = 15π/8.

2

3o

π=ω

4

7o

π=ω

8

15o

π=ω


53

Fig. 61 – Sinal discreto σ[n] = cos (ωon), ωo = 2π.

Se ωo = π, ou ωo = ±nπ para um valor de n ímpar, a oscilação é máxima pois

[ ]

.)1()(

ímparnpara,nx

nn

nnoj

j

j

−==

==

π

πω

e

ee

ou seja, o sinal x[n] salta de +1 para –1 a cada ponto n no tempo. Por outro lado se ωo = 0, ou ωo = ±nπ para m par, não há oscilação pois

[ ] n,10noj jnx ∀=⋅== ⋅ω⋅

ee

ou seja, o sinal x[n] é constante para todos os valores n no tempo.

Portanto, as oscilações baixas (ou variações lentas) do sinal x[n] tem valores ωo pró-ximo a 0, 2π, etc. (múltiplos pares de π), enquanto que as oscilações altas (ou varia-ções rápidas) do sinal x[n] estão localizadas próximas a ±π e múltiplos ímpares de π.

Outra propriedade importante é a “periodicidade”. Esta situação aqui em x[n] tam-bém é diferente que no seu análogo contínuo x(t). Enquanto que o sinal x(t) é sempre periódico, para o sinal x[n] isto não ocorre sempre.

Note que a equação

[ ] [ ]nxNnx nojNojNn(o nj)j o ==ωω+ω ⋅==+ ω

eeee

só é válida quando 1Noj =ωe , ou seja, se

...,2,1,0m,m2No ±±=π=ω

isto é, se

...,2,1,0m,N

m

2o ±±==π

ω eq. (2.16)

o que equivale a dizer

πω2

o ∈ Q = conjunto dos números racionais. eq. (2.17)

π=ω 2o


54

Logo, o sinal discreto

[ ] nojnx ω= e

só é periódico quando π

ω2

o é um número racional.

Considere os 3 sinais ilustrados na figuras 51, 52 e 53,

x1[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,2π , eq. (2.18)

x2[n] = A cos (ωon), para ωo = 0,3π , eq. (2.19)

x3[n] = A cos (ωon), para ωo = 1. eq. (2.20) Somente os 2 primeiros sinais, i.e., x1[n] da eq. (2.18) e x2[n] da eq. (2.19), são periódicos pois têm frequências múltiplas de π por um número racional.

Nota-se que na ilustração de x1[n] (figura 51) e x2[n] (figura 52) que os pontos voltam a ter o mesmo valor de x[n] periodicamente. Já com o terceiro destes sinais, i.e., x3[n] da eq. (2.20), isso não acontece pois ωo = 1 não é múltiplo de π por um número racional e portanto ele não é um sinal periódico.

Observe que x2[n] e x3[n] são sinais muito próximos pois

x2[n] = A cos (3π n) = A cos (0.9425 n) e x3[n] = A cos (1 n).

Entretanto, para o sinal x3[n] (figura 53) os pontos nunca voltam a ter um mesmo valor, pois não é periódico. Ele oscila infinitamente mas as sequências de valores nunca torna a se repetir. Por exemplo, x3[0] = 1, pois o cos(0) = 1. No entanto este valor 1 nunca torna a acontecer para nenhum outro x3[n], ∀n ≠ 0.

M x3[–2] = –0.4161 x3[–1] = 0.5403 x3[0] = 1,0 x3[1] = 0,5403 x3[2] = –0,4161

x3[3] = –0,9899 x3[4] = –0,6536 x3[5] = 0,2837 x3[6] = 0,9602 x3[7] = 0,7539 x3[8] = –0,1455

x3[9] = –0,9111 x3[10] = –0,8391 x3[11] = 0,0044 x3[12] = 0,8439 x3[13] = 0,9074 x3[14] = 0,1367

x3[15] = –0,7597 x3[16] = –0,9577 x3[17] = –0,2752 x3[18] = 0,6603 x3[19] = 0,9887

M

Podemos escrever a condição das eq. (2.16) e eq. (2.17), i.e., (ωo/2π) ∈ Q, de uma outra forma equivalente:

Se (ωo/2π) ∈ Q, então qualquer N que satisfaz

...,2,1,0m,2

mNo

±±=

ωπ⋅= eq. (2.21)

é um período de x[n].


55

Na verdade, se ωo ≠ 0, e se N e m forem primos entre si (não têm factores comuns), sendo N > 0, então o período fundamental é

No = N , ou seja,

ωπ⋅=o

o

2mN .

Resumindo o Caso 2 para os sinais contínuos e discretos:

tj o)t(x ω= e [ ] nj onx ω= e

x(t) ≠ para valores de ωo ≠

x[n] se repete para

ωo, (ωo + 2π), (ωo + 4π), etc

x(t) é periódico ∀ ωo x[n] só é periódico se

π=ωN

m2o

Para algum inteiro N > 0 e m inteiro.

(m e N primos entre si)

frequência fundamental de x(t)

ωo

frequência fundamental de x[n]

moω

(m e N primos entre si)

período fundamental de x(t)

se ωo = 0 ⇒ não existe!

se ωo ≠ 0 ⇒ o

o

2T

ωπ=

período fundamental de x[n]

se ωo = 0 ⇒ não existe!

se ωo ≠ 0 ⇒

ωπ⋅=o

o

2mN

Caso 3: C ∈ C e α∈ C: C = conjunto dos números complexos Se C = |C| e j θ (C escrito na forma polar) α = |α| e j ωo (α escrito na forma polar) então o sinal exponencial contínuo


56

[ ]

)nsin(Cj)ncos(C

C nx

oo

nn

n

θ+ω⋅α⋅⋅+θ+ω⋅α⋅=

α=

Logo,

Re x[n] e Im x[n]

| α | = 1 ⇒ Sinais sinusoidais discretos

| α | > 1 ⇒ Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais crescentes

| α | < 1 ⇒ Sinais sinusoidais multiplicados por exponenciais decrescentes

Fig. 62 – Sinal exponencial discreto, caso 3, | α | > 1.

Fig. 63 – Sinal exponencial discreto, caso 3, | α | < 1.

[ ] [ ] 1

)ncos(nxRen o

n

>α

θ+ω⋅α==σ

[ ] [ ] 1

)ncos(nxRen o

n

<α

θ+ω⋅α==σ

J. A. M. Felippe de Souza 3 – Sinais Singulares

1

3 – Sinais Singulares

3.1 – Introdução aos sinais singulares 3

3.2 – Sinais singulares discretos 4

O sinal impulso unitário discreto (“unit-impulse”) 4

Propriedades do impulso unitário discreto 5

O sinal degrau unitário discreto (“unit-step”) 5

Relação entre uo[n] e u1[n] 6

O sinal rampa unitária discreta (“unit-ramp”) 6

Relação entre u1[n] e u2[n] 8

A família de sinais singulares discretos 8

Exemplo 3.1 8

Exemplo 3.2 9

Exemplo 3.3 9

Exemplo 3.4 10

Exemplo 3.5 11

Exemplo 3.6 12

3.3 – Sinais singulares contínuos 13

O sinal impulso unitário (“unit-impulse”) 13

Propriedades do impulso unitário contínuo 14

O sinal degrau unitário (“unit-step”) 15

Relação entre uo(t) e u1(t) 16

O sinal rampa unitária (“unit-ramp”) 16

Relação entre os 3 sinais uo(t), u1(t) e u2(t) 17

A família de sinais singulares contínuos 17

Exemplo 3.7 19


2

Exemplo 3.8 19

Exemplo 3.9 20

Exemplo 3.10 21

Exemplo 3.11 21

Exemplo 3.12 22

Exemplo 3.13 23


3

Sinais Singulares 3.1 – Introdução aos Sinais Singulares Os sinais singulares ou, também chamados “sinais de excitação” formam uma famí-lia

uo[n], u1[n], u2[n], ... , no caso discreto; ou,

uo(t), u1(t), u2(t), ... , no caso contínuo; Eles são sinais recorrentes, isto é, cada sinal desta família é definido em função do anterior. Matematicamente é mesmo possível definir esta sequência de sinais infinitamente para os dois lados, introduzindo também os sinais

u-1[n], u-2[n] , ... , ou

u-1(t), u-2(t), ... , mas isto, entretanto, é sem grande interesse prático. Apenas uk[n] e uk(t) para k ≥ 0 terão aplicações práticas em engenharia. Portanto, embora sejam um número infinito de sinais nesta família, na prática apenas alguns de mais interesse são realmente utilizados, em especial dois deles: o impulso unitário uo(t) e o degrau unitário u1(t), normalmente usados como sinais de excitação (i.e., de input ou de entrada) de sistemas que estão sendo analisados.


4

3.2 – Sinais singulares discretos

O sinal impulso unitário discreto (“unit impulse”) : A notação do impulso unitário discreto é:

uo[n] ou δ[n]

[ ]

=≠

=0n,1

0n,0nuo

Fig. 1 – O sinal impulso unitário discreto uo[n]. Se multiplicarmos o impulso unitário uo[n] por uma constante C ≠ 0 obtemos um impulso também, mas neste caso um impulso não unitário, um impulso de área C, onde C pode ser até mesmo negativo. A figura 2 ilustra estes casos. Obs.: A constante C é chamada de área do impulso, inspirados no caso contínuo que será visto mais adiante, embora aqui no caso discreto não tenha o significado que terá no caso contínuo.

Fig. 2 – O sinal impulso unitário discreto multiplicado por uma constante: C uo[n]. À esquerda para C > 0, impulso de área positiva e à direita para C < 0, impulso de área negativa.


5

Propriedades do impulso unitário discreto: É fácil de se verificar que o impulso unitário (caso discreto), conforme definido acima, satisfaz as seguintes propriedades: uo[n – k] = 0, para ∀n ≠ k eq. (3.1)

mk,1]kn[uk

o <<=−∑=

ll

m

eq. (3.2)

mk,]k[x]kn[u]n[xk

o <<=−⋅∑=

ll

m

eq. (3.3)

A eq. (3.3) é chamada de “soma de convolução” e define a convolução entre os sinais x[n] e uo[n].

O sinal degrau unitário discreto (“unit step”) : A notação do degrau unitário discreto é:

u1[n] ou u[n]

Fig. 3 – O sinal degrau unitário discreto u1[n]. Se multiplicarmos o degrau unitário u1[n] por uma constante C ≠ 0 obtemos um degrau também, mas neste caso um degrau não unitário, um degrau de amplitude C, onde C pode ser até mesmo negativo. A figura 4 ilustra estes casos.

[ ]

=−−=

=L

L

,2,1,0n,1

,2,1n,0nu1


6

Fig. 4 – O sinal degrau unitário discreto multiplicado por uma constante: C u1[n].

Para C > 0, degrau de amplitude positiva e C < 0, amplitude negativa.

Relação entre uo[n] e u1[n] : Algumas equações fáceis de serem verificadas e que relacionam o impulso unitário discreto uo[n] com o degrau unitário discreto u1[n] são dadas abaixo: uo[n] = u1[n] – u1[n–1] , ∀n eq. (3.4)

[ ] [ ] n,munun

mo1 ∀= ∑

−∞= eq. (3.5)


7

O sinal rampa unitária discreta (“unit ramp”) : A notação da rampa unitária discreta é:

u2[n]

Fig. 5 – O sinal rampa unitária discreta u2[n]. Se multiplicarmos a rampa unitária u2[n] por uma constante C ≠ 0 obtemos uma rampa também, mas neste caso não unitária, e de declive (ou inclinação) C, onde C pode ser até mesmo negativo. A figura 6 ilustra estes casos. Portanto, um o impulso discreto fica bem determinado pela sua área, o degrau pela sua amplitude e a rampa pelo seu declive (ou inclinação). Estes termos farão mais sentido quando vermos o impulso, o degrau e a rampa contínuos, ou seja, os sinais singulares contínuos.

Fig. 6 – O sinal rampa unitária discreta multiplicado por uma constante: C u2[n].

Para C > 0, rampa de declive positivo e C < 0, rampa de declive negativo.

[ ]

=−−=

=L

L

,2,1,0n,n

,2,1n,0nu2


8

Relação entre u1[n] e u2[n] : Algumas equações fáceis de serem verificadas e que relacionam o degrau unitário discreto u1[n] com a rampa unitária discreto u2[n] são dadas abaixo. Note que:

u2[n] = n u1[n] , ∀n eq. (3.6) ou também, na forma da eq. (3.5):

[ ] [ ] n,mu1nun

m12 ∀=+ ∑

−∞= eq. (3.7)

Por outro lado, na forma da eq. (3.4), u1[n] = u2[n+1] – u2[n] , ∀n eq. (3.8)

A família de sinais singulares discretos: Observando-se bem a relação entre uo[n] e u1[n] dada pelas eq. (3.4) e eq. (3.5) e a relação entre u1[n] e u2[n] dada acima pelas eq. (3.6), eq. (3.7) e eq. (3.8), vemos que estes sinais são recorrentes, ou seja, poderíamos continuar definindo u3[n], u4[n], etc. como uma família de sinais singulares discretos, onde: uk[n] = uk+1[n] – uk+1[n–1] , ∀n , ∀k = 0, 1, … eq. (3.9)

[ ] [ ] L,1,0k,n,munun

m1kk =∀∀= ∑

−∞=− eq. (3.10)

Exemplo 3.1: Alguns sinais que podem ser escritos analiticamente em termos dos sinais do tipo degrau, impulso e rampa.

Os sinais x[n] e y[n] que aparecem na figura 7 são impulsos transladados e portanto podem ser representados por:


9

x[n] = 3uo[n–2] e y[n] = – 2uo[n+1]

Fig. 7 – Sinais discretos impulsos transladados x[n] = 3uo[n–2] e y[n] = – 2uo[n+1].

Exemplo 3.2: O sinal x[n] da figura 8 pode ser expresso como um degrau revertido no tempo e transladado:

x[n] = – 2u1[–n+2]

Fig. 8 – Sinal discreto degrau revertido no tempo e transladado x[n] = – 2u1[–n+2].

Exemplo 3.3: Considere o sinal x[n] da figura 9. Este sinal tem valores não nulos à esquerda da origem (isto é, x[n] ≠ 0 para valores de n < 0). Ao multiplicarmos x[n] por u1[n] obtemos um sinal que tem todos os seus valores nulos à esquerda da origem, isto é,

x[n]⋅u1[n] = 0, n = –1, –2, … , ao passo que é idêntico à x[n] na origem e à direita da origem, ou seja,


10

x[n]⋅u1[n] = x[n], n = 0, 1, 2, …

(a) (b)

Fig. 9 – (a) O sinal x[n] com valores de x[n] ≠ 0 à esquerda da origem e (b) o sinal x[n] ⋅ u1[n], que tem todos os seus valores nulos à esquerda da

origem mas é idêntico à x[n] na origem e à sua direita.

Exemplo 3.4: O sinal x[n] da figura 9 pode ser expresso como:

[ ] [ ]knuk]n[unx3

1ko1 −⋅−= ∑

=

onde tem-se um degrau unitário, e depois retira-se valores pontualmente com impulsos em t = 1, t = 2 e t = 3, para se ter os valores correctos de x[1], x[2] e x[3].

Fig. 9 – Sinal discreto x[n] = u1[n] – u2[n] + u2[n–4] + u1[n–4].


11

Entretanto, x[n] também pode ser representado, de forma equivalente pela expressão:

[ ] [ ] [ ]4nu]4n[unu]n[unx 1221 −+−+−=

Exemplo 3.5: Em muitos casos os sinais têm mesmo várias expressões diferentes. Os sinal x[n] que aparece na figura 10 pode ser representado por:

[ ] ]1n[u]n[u2]n[u2nx oo1 −−−= onde tem-se um degrau de amplitude 2, e depois tira-se valores pontualmente com impulsos em t = 0, t = 1 e t = 2, para se ter os valores correctos de x[1], x[2] e x[3].

Fig. 10 – Sinal discreto x[n] = 2u1[n] – 2uo[n] – 2uo[n-1].

mas observe que x[n] também pode ser representado, de forma equivalente pela ex-pressão:

[ ] ]1n[u]1n[u2nx o1 −−−= ou também por:

[ ] ]1n[u]2n[u2nx o1 −+−= ou ainda, pela subtracção de duas rampas:

[ ] ]2n[u]n[unx 22 −+=


12

Exemplo 3.6: O sinal discreto x[n] da figura 11 é uma sequência de pulsos de largura 3. Este sinal pode ser escrito em termos de degraus da seguinte forma:

[ ]

( )∑∞

=

⋅ −⋅−+=

+−−−+−−=

L

L

,3,2,1k1

k31

1111

]kn[u1]n[u

]n[u]n[u]n[u]n[unx

3

963

Fig. 11 – Sinal discreto x[n], sequência de pulsos de largura 3.

Alternativamente este sinal x[n] pode ser escrito em termos de impulsos da seguinte forma:

[ ]

∑ ∑

∑

∞

= =

∞

=

+−=

+−++−+−=

+−+−+−+−+−+=

L L

L

L

,3,2,1,0k

2

,3,0o

oo,3,2,1,0k

o

oooooo

)]k6(n[u

)]2k6(n[u)]1k6(n[u]k6n[u

]8n[u]7n[u]6n[u]2n[u]1n[u]n[unx

l

l


13

3.3 – Sinais singulares contínuos

O sinal impulso unitário (“unit impulse”) : O sinal impulso unitário contínuo também é chamado de função delta ou delta de Dirac, em alusão ao físico e matemático britânico Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1982). O impulso unitário tem a seguinte notação: uo(t) ou δ(t)

Fig. 12 – O sinal impulso unitário contínuo uo(t) O impulso unitário uo(t) pode ser interpretado como o limite de uma sequência de pulsos de área 1.

Fig. 13 – Sequência de pulsos de área igual a 1 que convergem para o sinal impulso unitário contínuo uo(t).

β<<α=

≠=

∫β

α0,1dt)t(u

0t,0)t(u

o

o

)t(u)t(x on →


14

Note que os sinais xn(t) (pulsos) acima são cada vez mais magros e mais altos, a medida que n cresce, mas entretanto, eles têm todos área sob a curva igual a 1. Desta forma é fácil de compreender que o impulso unitário uo(t), sendo o limite desta sequência de pulsos )t(xn , vai a infinito em t = 0 e a área (i.e., a integral sob a curva) no intervalo [ α , β ] (para α < 0 < β) é igual a 1. Se multiplicarmos o impulso unitário uo(t) por uma constante C ≠ 0 obtemos um impulso também, mas neste caso não unitário, de área C, onde C pode ser até mesmo negativo. A figura 14 ilustra estes casos.

Fig. 14 – O sinal impulso unitário contínuo multiplicado por uma constante:

C uo(t). À esquerda para C > 0, impulso de área positiva e à direita para C < 0, impulso de área negativa.

Propriedades do impulso unitário contínuo: É fácil de se verificar que o impulso unitário (caso contínuo), conforme definido acima, satisfaz as seguintes propriedades: uo(t – a) = 0, para ∀t ≠ a eq. (3.11)

β<<α=−∫β

αa,1dt)at(uo eq. (3.12)

β<<α=−⋅∫β

αa),a(xdt)at(u)t(x o eq. (3.13)

As expressões das equações eq. (3.11), eq. (3.12) e eq. (3.13) correspondem, no caso discreto, às equações: eq. (3.1), eq. (3.2) e eq. (3.3).


15

A eq. (3.13) é chamada de “integral de convolução” e define a convolução entre os sinais x(t) e o impulso unitário uo(t).

O sinal degrau unitário (“unit step”) : A notação do degrau unitário contínuo é: u1(t) ou u(t)

Fig. 15 – O sinal degrau unitário contínuo uo(t) Se multiplicarmos o degrau unitário u1(t) por uma constante C ≠ 0 obtemos um degrau também, mas neste caso um degrau não unitário, um degrau de amplitude C, onde C pode ser até mesmo negativo. A figura 16 ilustra isso.

Fig. 16 – O sinal degrau unitário contínuo multiplicado por uma constante: C u1(t).

À esquerda, para C > 0, degrau de amplitude positiva, e à direita. C < 0, degrau de amplitude negativa.

≥

<=

0t,1

0t,0)t(u1


16

Relação entre u1(t) e uo(t): O degrau unitário u1(t) é a integral do impulso unitário uo(t), enquanto que, por sua vez, o impulso unitário uo(t) é a derivada do degrau unitário u1(t), ou seja:

dt)t(u)t(ut

o1 ∫ ∞−= eq. (3.14)

dt

)t(du)t(u 1

o = eq. (3.15)

O sinal rampa unitária (“ unit ramp”) : A notação da rampa unitária contínua é: u2(t)

Fig. 17 – O sinal rampa unitária contínua u2(t) Se multiplicarmos a rampa unitária u2(t) por uma constante C ≠ 0 obtemos uma rampa, mas neste caso não unitária, uma rampa de declive (ou inclinação) C, onde C pode ser até mesmo negativo. A figura 18 ilustra isso. Portanto, um o impulso, ou função delta de Dirac, fica bem determinado pela sua área, o degrau pela sua amplitude e a rampa pelo seu declive (ou inclinação).

≥<

=0t,t

0t,0)t(u2


17

Fig. 18 – O sinal rampa unitária contínua multiplicado por uma constante: C u2(t). À

esquerda, para C > 0, rampa de declive positivo, e à direita, para C < 0, rampa de declive negativo.

Relação entre os 3 sinais uo(t), u1(t) e u2(t): A rampa unitária u2(t) é a integral do degrau unitário u1(t), e a integral dupla do impulso unitário uo(t). Por outro lado, o degrau unitário u1(t) é a derivada da rampa unitária u2(t), e o impulso unitário é a derivada segunda da rampa unitária u2(t). Ou seja:

dt

)t(du)t(u 2

1 = eq. (3.16)

22

2

odt

)t(ud)t(u = eq. (3.17)

dt)t(u)t(ut

12 ∫ ∞−= eq. (3.18)

∫ ∫∞− ∞−=

t t

o2 dt)t(u)t(u eq. (3.19)

A família dos sinais singulares contínuos: Os sinais singulares na verdade são uma família bem mais ampla do que apenas uo(t), u1(t) e u2(t). Eles saem recorrentes uns dos outros pelas fórmulas:


18

L,2,1,0k,dt

)t(du)t(u 1k

k == + eq. (3.20)

L,2,1k,dt)t(u)t(ut

1kk == ∫ ∞− − eq. (3.21)

Desta forma poderíamos continuar definindo u3(t), u4(t), …, etc.

Por exemplo, o u3(t) tem a expressão:

0t,2

t)t(u

2

3 >=

ou seja, o sinal u3(t) é função semi-parabólica.

Fig. 19 – O sinal u3(t), função semi-parabólica.

e facilmente se observa que a derivada de u3(t) é u2(t). Por outro lado, a expressão de u4(t) é dada por:

0t,!3

t

23

t)t(u

33

4 >=⋅

=

e novamente se observa que a derivada de u4(t) é u3(t). Por sua vez, a expressão de u5(t) é dada por:

0t,!4

t

234

t)t(u

44

5 >=⋅⋅

=

≥

<=

0t,2

t

0t,0

)t(u 23


19

logo, a derivada de u5(t) é u4(t), e assim por diante. Desta forma temos a expressão geral:

0t,

!nt

)t(un

1n >=+ n= 0, 1, 2, 3, … eq. (3.22)

As expressões acima, definidas apenas para t > 0, assume-se que 0t,0)t(u 1n <=+

para todo n = 0, 1, 2, 3, … pois as sinais singulares são sempre nulos à esquerda da origem.

Exemplo 3.7: O sinal x(t) da figura 20 é a soma de dois sinais impulsos, de áreas π e - π, translada-dos. Facilmente verifica-se que pode ser escrito na forma:

[ ])tt(u)tt(u)t(x oooo +−−π=

Fig. 20 – Sinal x(t), soma de impulsos transladados.

Exemplo 3.8: O sinal x(t) da figura 21 é a soma de infinitos sinais impulsos transladados e facil-mente verifica-se que pode ser escrito na forma:

L+−−−+−−= )3t(u)2t(u)1t(u)t(u)t(x oooo ou seja,


20

( )∑∞

=−⋅−=

0ko

k )kt(u1)t(x

Fig. 21 – Sinal x(t), soma de impulsos transladados.

Exemplo 3.9: Os sinais x(t), y(t) e v(t) que aparecem na figura 22 são degraus transladados que podem ser escritos em termos de sinais singulares do tipo degrau que foram transla-dados.

Fig. 22 – Os sinais x(t), y(t) e v(t), degraus transladados.


21

Facilmente observa-se que as expressões de x(t), y(t) e v(t) são:

)2t(uC)t(x 1 +⋅=

)t2(uC)t(y 1 −⋅−=

)at(u3

2)t(v 1 −−=

Exemplo 3.10: Aqui vemos dois sinais que podem ser escritos analiticamente em termos dos sinais singulares do tipo degrau e rampa. Em alguns casos os sinais têm várias expressões diferentes. Facilmente observa-se que as expressões de x(t) e y(t) da figura 23 são:

)2t(u)1t(u)t(u)t(x 221 −+−−=

)3t(u)1t(u)t(u)t(y 122 −−−−=

Fig. 23 – Os sinais x(t) e y(t) podem ser expressos por degraus e rampas.

Exemplo 3.11: Os sinais das figuras 24 e 24 são constituídos de pulsos ou também chamados, “ondas quadradas” e facilmente verifica-se que eles podem ser expressos exclusivamente em termos de degraus. Pode-se expressar x(t) como:

)3t(u)2t(u)1t(u)t(u)t(x 1111 −−−+−−=


22

Fig. 24 – O sinal x(t) constituído de 2 pulsos.

e y(t) como:

( )∑∞

=−⋅−⋅+=

=+−⋅−−⋅+−⋅−=

1k1

k1

1111

)kt(u12)t(u

)3t(u2)2t(u2)1t(u2)t(u)t(y L

Fig. 25 – O sinal y(t) constituído de infinitos pulsos, “onda quadrada”.

Exemplo 3.12: Os dois sinais que aparecem nas figuras 26 e 27 podem ser escritos exclusivamente em termos de rampas. Facilmente verifica-se que as expressões de x(t) da figura 25 é dada por:

)3t(u)2t(u2)1t(u)t(x 222 −+−−−=

Fig. 26 – O sinal x(t) pode ser expresso apenas por rampas.


23

enquanto que a expressão de y(t) da figura 26 é dada por

( )

( )∑

∑∞

=

∞

=

−⋅−⋅+−=

−⋅−⋅+−=

−−⋅+−⋅−−⋅+−⋅−−=

L

L

L

,2,1k2

)k(2

,4,2k2

)2/k(2

22222

)k2t(u12)1t(u

)kt(u12)1t(u

)8t(u2)6t(u2)4t(u2)2t(u2)1t(u)t(y

Fig. 27 – O sinal y(t) pode ser expresso por uma sequência infinita de rampas.

Exemplo 3.13: Considere o sinal x(t) da figura 26 (Exemplo 3.12), que repetimos abaixo na figura 28 e o impulso transladado de a, uo(t–a), ilustrado na figura 29.

Fig. 28 – O sinal x(t) do Exemplo 3.12. Fig. 29 – O sinal impulso transladado. Usando a eq. (3.13) temos abaixo alguns exemplos do uso da integral de convolução para a = 1,5, a = 2 e a = 2,5:

5,0)5,1(xdt)5,1t(u)t(x3

1 o ==−⋅∫

5,0)5,2(xdt)5,2t(u)t(x3

1 o ==−⋅∫

1)2(xdt)2t(u)t(x3

1 o ==−⋅∫

0dt)5,2t(u)t(x2

1 o =−⋅∫

J. A. M. Felippe de Souza 4 - Sistemas

1

4 – Sistemas

4.1 – Introdução aos Sistemas 3

4.2 – Principais Classificações de Sistemas 7

Natureza física 7

Continuidade no tempo 9

Linearidade 10

4.3 – Modelização de Sistemas 11

Exemplo 4.1 14

4.4 – Outras Classificações de Sistemas 17

Variância no tempo 17

Exemplo 4.2 17

Natureza aleatória 18

Memória 19

Exemplo 4.3 19

Inversibilidade 20

Exemplo 4.4 20

Exemplo 4.5 21

Causalidade 22

Exemplo 4.6 22

4.5 – Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLIT) 23

4.6 – Propriedades da Convolução 25

4.7 – SLIT sem memória 29


2

4.8 – SLIT inversíveis 30

Exemplo 4.7 32

4.9 – Estabilidade 33

Exemplo 4.8 34

Exemplo 4.9 35

Exemplo 4.10 35

4.10 – Teoria de Sistemas 36

Modelização (‘modeling’) 36

Identificação de parâmetros 36

Controlo de sistemas 36

Optimização 37

Simulação 37

Realimentação (‘ feedback’) 37

Estimação de estados 37

Sistemas robustos 37

Sistemas tolerantes à falhas 37

Processamento paralelo ou distribuído 38

Sistemas ‘fuzzy’ 38

Sistemas inteligentes 38


3

Sistemas 4.1 – Introdução aos Sistemas A noção de sistemas é intuitiva. Quase tudo que nos rodeia é algum tipo de sistema. Qualquer mecanismo, ou dispositivo, que funcione como a internecção de componen-tes físicos é um sistema. Um circuito eléctrico, (com resistências, bobinas e condensadores); ou um circuito electrónico (com transístores, díodos, etc.) são exemplos de sistemas. Na figura 1 vemos um exemplo de cada um destes tipos de circuitos.

Fig. 1 – Um circuito eléctrico (à esquerda) e um circuito electrónico (à direita). Um simples mecanismo como uma alavanca, ou um mecanismo mais complexo como o motor de um carro são também exemplos de sistemas. Na figura 1 vemos um exemplo de cada um destes tipos de mecanismos.


4

Fig. 2 – Uma alavanca, um mecanismo simples(à esquerda), e o motor de um carro,

um mecanismo mais complexo (à direita). Um automóvel, um robô ou um avião (ilustrados na figura 3) são outros exemplos de sistema. São sistemas mais complexos pois dentro deles têm muitos circuitos eléctri-cos e electrónicos assim como muitos mecanismos. Ou seja, são sistemas que pos-suem dentro outros sistemas, ou subsistemas.

Fig. 3 – Um automóvel, um robô e um avião, exemplos de sistemas mais complexos;

sistemas com subsistemas dentro. O corpo humano é também um exemplo de sistema, e de um sistema bastante sofis-ticado, cheio de subsistemas: o sistema circulatório, o sistema respiratório, o apare-lho digestivo, o sistema nervoso, etc., etc. Na verdade, o corpo humano de cada pessoa é um sistema diferente. E cada órgão deste, (seja o cérebro, ou o coração, ou os pulmões, ou o fígado, ou os rins, ou o in-testino, ou o pâncreas, etc.), também é um sistema por si só, ou seja, é um subsistema do mesmo.


5

Fig. 4 – O corpo humano, outro exemplo de um sistema complexo; na verdade, um sistema com muitos subsistemas dentro.

Entretanto, há muitos outros sistemas menos palpáveis que estes exemplificados acima, como por exemplo:

o aquecimento de uma casa; o funcionamento dos elevadores de um edifício; a automação de uma fábrica; a gestão e a economia de um país; etc.

Fig. 5 – O sistema de elevadores de um prédio grande, o sistema de automação de uma indústria, outros exemplos de sistemas bastante complexos.


6

Os sinais que estudamos aqui, em geral, estão associados a algum sistema. Eles podem representar, por exemplo, a entrada de um sistema, ou alternativamente, a saída do sistema. O sinal de entrada de um sistema (“input” em inglês) às vezes também é chamado de o ‘controlo’ ou mesmo a ‘excitação’ do sistema. Por outro lado, o sinal de saída de um sistema (“output” em inglês) às vezes também é chamado de a ‘resposta’ ou a a ‘observação’ do sistema. É comum se representar sistemas esquematicamente através de uma caixa preta (black box), como vemos na figura 6.

entrada saída

(“ input” ) (“ output” )

controlo resposta

excitação observação

Fig. 6 – Caixa preta (black box) de um sistema e os vários nomes dados para a entrada e a saída do mesmo.

Na realidade muitos sistemas podem ter não apenas uma entrada e uma saída, mas múltiplas entradas e/ou múltiplas saídas.

entradas saídas

Fig. 7 – Caixa preta (black box) de um sistema com múltiplas entradas e/ou múltiplas saídas.

Existe uma forma de representar sistemas, assim como a ligação entre os subsistemas de um sistema, usando blocos e por isso chamada de “Diagrama de blocos”. Na reali-dade a caixa preta (black box) é um diagrama de blocos com apenas um bloco.

Sistema

Sistema


7

4.2 – Principais Classificações de Sistemas Há muitas maneiras possíveis de se classificar os sistemas. Nesta secção veremos al-gumas das principais.

Natureza física Quanto a natureza física, sistemas podem ser classificados de muitas formas diferen-tes. Abaixo citamos algumas das principais formas de sistemas que lidamos em enge-nharia e tecnologia:

eléctricos; informáticos;

electrónicos; aeronáuticos;

mecânicos; aeroespaciais;

electromecânicos; biológicos;

térmicos; biomédicos;

hidráulicos; económicos;

ópticos; sociológicos;

acústicos; sócio-económicos;

químicos; etc.

Entretanto, a maioria dos sistemas complexos são combinações de vários subsistemas de naturezas diferentes. Veículos (carros, motocicletas, comboios, aviões, helicópteros, etc) são exemplos de sistemas electromecânicos pois claramente ele tem partes eléctricas e electrónicas nos seus comandos assim como partes mecânicas para os seus movimentos. Outros sistemas complexos que combinam mais de uma natureza das mencionadas acima: computadores, antenas parabólicas para receber emissões de satélites artifici-ais, robôs em geral, seja um braço manipulador robótico encontrados em processos de manufactura nas indústrias ou seja um robô humanóide (que imita o homem) ou antropomórfico (que imita algum ser vivo). Estes sistemas estão ilustrados na figura 8.


8

Fig. 8 – Exemplos de sistemas electromecânicos: um computador portátil, uma antena parabólica, um braço manipulador mecânico, e um robô antropomórfico (que imita um cão).

Na medicina também encontramos muitos sistemas de bioengenharia, ou seja, siste-mas biológicos e biomédicos em simultâneo com sistemas mecânicos, eléctricos ou electrónicos.

Um membro artificial, ou cada aparelho utilizados em cirurgias são alguns exemplos de sistemas biomédicos.

Fig. 9 – Exemplos de sistemas electromecânicos: um membro artificial e equipamentos médicos de uma sala de operação.


9

Continuidade no Tempo Quanto a Continuidade no Tempo, sistemas podem ser classificados como:

contínuos

discretos

discretizados

Fig. 9 – Ilustração do comportamento de um sistema contínuo (à esquerda) e de um

sistema discreto (à direita). Sistemas podem ser naturalmente contínuos, naturalmente discretos, ou contínuos que são tornados discretos e neste caso são chamados de discretizados.

Fig. 10 – Sistema contínuo que foi discretizado tornando-se um sistema discreto.

Quando o sistema que foi digitalizado é armazenado em “bits” (sequências de “zeros” e “uns”) entao diz-se que o sistema foi digitalizado. Isso era o caso em alguns dos sinais que descreviam o comportamento de sintemas nos exemplos que vimos no capítulo anterior: a música em CD, os sistemas digitais de áudio ou de vídeo, e até mesmo os exames de electrocardiogramas e electroencefalogramas que são armaze-nados digitalmente no computador.


10

A digitalização não é o mesmo que a discretização. Normalmente são usados muitos “bits” para armazenar cada posição discreta.

Linearidade Quanto a Linearidade, sistemas podem ser classificados como:

lineares

não lineares

Fig. 11 – Ilustração do comportamento de um sistema linear (à esquerda) e não linear

(à direita).

Sistemas contínuos são lineares se satisfazem duas propriedades: homogeneidade e aditividade:

homogeneidade: quando o sinal de entrada x(t) é multiplicado por um valor k; então o sinal de saída y(t) fica também multiplicado por este mesmo valor k; e além disso,

aditividade: quando o sinal de entrada é a soma de dois sinais x1(t) e x2(t), que produzem individualmente sinais de saída y1(t) e y2(t) respectivamente; então o sinal de saída é a soma dos sinais de saída y1(t) e y2(t).

Fig. 12 – Diagramas de blocos ou caixas preta (black boxes) esquemático de um sis-tema linear. Ilustração das propriedades da homogeneidade e da aditividade. Caso do sistema contínuo.


11

No caso discreto a definição de sistemas lineares é semelhante. Sistemas lineares são aqueles que:

quando o sinal de entrada x[n] é multiplicado por um valor k; então o sinal de saída y[n] fica também multiplicado por este mesmo valor k; e além disso,

quando o sinal de entrada é a soma de dois sinais x1[n] e x2[n], que produzem individualmente sinais de saída y1[n] e y2[n] respectivamente; então o sinal de saída é a soma dos sinais de saída y1[n] e y2[n].

Novamente aqui, estas duas propriedades acima são chamadas respectivamente de: homogeneidade e aditividade.

Fig. 13 – Diagramas de blocos ou caixas preta (black boxes) esquemático de um sis-

tema linear. Ilustração das propriedades da homogeneidade e da aditividade. Caso do sistema discreto.

4.3 – Modelização de Sistemas A ‘modelização’ (em inglês “modeling”) em português às vezes é também traduzido para: ‘modelação’, ou ‘modelamento’, ou até mesmo ‘modelagem’.

A modelização está associada com a construção de um modelo matemático, isto é, forma de representar matematicamente o sistema, o equacionamento.

Os modelos matemáticos adoptados para representar os sistemas são muito comum-mente descritos, ou equacionados:

com Equações de Diferenças [caso discreto]

com Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) [caso contínuo]

com Equações Diferenciais Parciais (EDP) [caso contínuo]

com Equações de Retardo [caso contínuo]


12

As Equações de Diferenças, caso discreto, e as Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), no caso contínuo, são as formas mais comuns de representar sistemas em ciências como Física, Química, Biologia, Engenharia, Economia, etc. Há no entanto muitas outras formas de descrever sistemas, como por exemplo:

com Tabelas [caso discreto]

com Fluxogramas ou Gráfico de fluxos [caso discreto ou contínuo]

com Equações Integrais [caso contínuo]

com Equações Integro-Diferenciais [caso contínuo]. embora algumas destas formas não tenham interesse directo para presente este texto sobre análise de sinais. Abaixo apresentamos alguns sistemas discretos, para exemplificar, que são descritos por Equações de Diferenças:

Fig. 14 – Caixas preta (black box) esquemático de um sistema discreto.

Sistema I:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1nx4nx2ny21ny7ny −−=−+−+ Sistema II:

[ ] [ ]1nx4ny −−= Sistema III:

[ ] [ ] [ ] [ ]nx21nx1nyn5ny −+=−− Sistema IV:

[ ] [ ]( ) [ ]nx4nx2ny 2 −= Sistema V:

[ ] [ ]3 2nxny =


13

Abaixo apresentamos alguns sistemas contínuos através da forma que são descritos, por Equações Diferenciais Ordinárias (EDO):

Fig. 15 – Caixas preta (black box) esquemático de um sistema contínuo.

Sistema VI:

x3dt

dxy

dt

dy4

dt

yd2

2

+=−+

Sistema VII:

x)4t(dt

dxy

dt

dyt6

dt

yd2

2

−−=++

Sistema VIII:

)3t(xdt

dxy2

dt

dy5

dt

yd2

2

+−=++

Sistema IX:

xxyy2y3 ′=+′−′′ Sistema X:

xeyy2y10 =−′+′′ Sistema XI:

0ydt

dyx

dt

yd2

2

=++

Agora apresentamos dois sistemas contínuos bastante conhecidos na Física, que são descritos através de Equações Diferenciais Parciais (EDP): Sistema XII:

)uuu(k

z

u

y

u

x

uk

t

u

zzyyxx

2

2

2

2

2

2

2

2

++=

=

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

Obs.: Este sistema descreve a propagação de uma onda no espaço e a equação diferencial parcial abaixo é conhecida na Física como ‘equação de onda’ (“ wave equation”):


14

Sistema XIII:

)uuu(k

z

u

y

u

x

uk

tu

zzyyxx

2

2

2

2

2

2

++=

=

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

Obs.: Este sistema descreve a propagação do calor no espaço e a equação diferencial parcial abaixo é conhecida na Física como ‘equação de calor’ (“ heat equation”): Agora apresentamos dois exemplos de sistemas contínuos que são descritos através de Equações de Retardo: Sistema XIV:

) x(t y(t) δ−= Sistema XV:

x(t))y(t3y(t) (t)y' =τ−−+ Sistema XVI:

]nx[n5y[n] δ−= Finalmente apresentamos exemplos de sistemas discretos e contínuos que são descri-tos por Equações Algébricas: Sistema XVII:

7 x(t)2 y(t) −= Sistema XVIII:

32x(t) (t)x y(t) 2 +−−= Sistema XIX:

x[n]2 y[n] −= Sistema XX:

x[n])cos(21 y[n] ⋅π−= Exemplo 4.1:

Vamos classificar os sistemas acima quanto à continuidade no tempo (contínuo ou discreto) e quanto à linearidade (linear ou não linear).


15

Sistema I: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1nx4nx2ny21ny7ny −−=−+−+

(sistema discreto e linear) Sistema II:

[ ] [ ]1nx4ny −−= (sistema discreto e linear)

Sistema III:

[ ] [ ] [ ] [ ]nx21nx1nyn5ny −+=−− (sistema discreto e linear)

Sistema IV:

[ ] [ ]( ) [ ]nx4nx2ny 2 −= (sistema discreto e não linear)

Sistema V:

[ ] [ ]3 2nxny =

(sistema discreto e não linear) Sistema VI:

x3dt

dxy

dt

dy4

dt

yd2

2

+=−+

(sistema contínuo e linear) Sistema VII:

x)4t(dt

dxy

dt

dyt6

dt

yd2

2

−−=++

(sistema contínuo e linear) Sistema VIII:

)3t(xdt

dxy2

dt

dy5

dt

yd2

2

+−=++

(sistema contínuo e linear) Sistema IX:

xxyy2y3 ′=+′−′′ (sistema contínuo e não linear)

Sistema X:

xeyy2y10 =−′+′′ (sistema contínuo e não linear)


16

Sistema XI:

0ydt

dyx

dt

yd2

2

=++

(sistema contínuo e não linear)

Sistema XII:

)uuu(kz

u

y

u

x

uk

t

uzzyyxx2

2

2

2

2

2

2

2

++=

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

(sistema contínuo e linear)

Sistema XIII:

)uuu(kz

u

y

u

x

uk

t

uzzyyxx2

2

2

2

2

2

++=

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂


Sistema XIV: ) x(t y(t) δ−=


Sistema XV: x(t))y(t3y(t) (t)y' =τ−−+


Sistema XVI: ]nx[n5y[n] δ−=

(sistema discreto e linear)

Sistema XVII: 7 x(t)2 y(t) −=

(sistema contínuo e não linear)

Sistema XVIII:

32x(t) (t)x y(t) 2 +−−= (sistema contínuo e não linear)

Sistema XIX: x[n]2 y[n] −=

(sistema discreto e linear)

Sistema XX: x[n])cos(21 y[n] ⋅π−=

(sistema discreto e não linear)


17

4.4 – Outras Classificações de Sistemas

Variância no tempo Quanto a Variância no Tempo, sistemas podem ser classificados como:

variantes no tempo

invariantes no tempo

Fig. 16 – A variância no tempo de um sistema está associada às características dinâ-

micas do mesmo, se elas se alteram ou não com o tempo. Um sistema invariante no tempo é aquele que para um sinal de entrada x(t), o sinal de saída é y(t), não importa quando é aplicada esta entrada. Ou seja, as condições dinâmicas do sistema não mudam com o passar do tempo. Na realidade nenhum sistema é invariante no tempo, mas na prática consideramos como invariante no tempo muitos sistemas cuja variação no tempo é muito lenta.

Exemplo 4.2:

Nos sistemas I a XX descritos acima temos que apenas o sistema III e o sistema VII são variantes no tempo, Sistema III:

[ ] [ ] [ ] [ ]nx21nx1nyn5ny −+=−− (sistema variante no tempo)

Sistema VII:

x)4t(dt

dxy

dt

dyt6

dt

yd2

2

−−=++

(sistema variante no tempo)


18

pois um ou mais de seus coeficientes variam com o tempo (seja ‘t’ ou ‘n’). Os demais sistemas são invariantes no tempo.

Natureza aleatória

Quanto a Natureza Aleatória, sistemas podem ser classificados como:

determinísticos

estocásticos

Fig. 17 – A natureza aleatória de um sistema está associada às incertezas e perturba-ções aleatórias na dinâmicas do mesmo.

Um sistema determinístico é aquele que não sofre a influência de nenhuma perturba-ção aleatória, ou seja, não tem incerteza. O sinal de saída y(t) para um sinal de entrada x(t) pode ser calculado (ou “determinado”) com precisão quando se conhece o modelo do sistema. Na realidade, aqui novamente, nenhum sistema é determinístico. Todos os sistemas têm algum tipo de incerteza ou carácter aleatório e portanto chamados de estocásticos. Na prática entretanto consideramos como determinísticos muitos sistemas cujas per-turbações aleatórias são pequenas ou desprezíveis. Os sistemas I a XX acima são todos descritos por modelos matemáticos determinísti-cos: equações de diferenças, EDO ou EDP determinísticas. No caso de sistemas estocásticos, estas equações apresentariam variáveis adicionais de natureza aleatória que descreveriam estatisticamente as incertezas associadas à dinâmica do sistema.


19

Memória Quanto a Memória, sistemas podem ser classificados como:

sem memória

com memória Um sistema sem memória é aquele que: se o seu sinal de saída no instante t1 depende apenas do sinal de entrada daquele instante t1.

Exemplo 4.3:

Nos sistemas I a XX acima temos que os sistemas IV, V, XVII, XVIII, XIX e XX são sem memória: Sistema IV:

[ ] [ ]( ) [ ]nx4nx2ny 2 −= (sistema sem memória)

Sistema V:

[ ] [ ]3 2nxny =

(sistema sem memória) Sistema XVII:

7 x(t)2 y(t) −= (sistema sem memória)

Sistema XVIII:

32x(t) (t)x y(t) 2 +−−= (sistema sem memória)

Sistema XIX:

x[n]2 y[n] −= (sistema sem memória)

Sistema XX:

x[n])cos(21 y[n] ⋅π−= (sistema sem memória)

pois a saída y[n], ou y(t), depende da entrada x[n], ou x(t), apenas nos instantes de tempo (‘t’ ou ‘n’). Os demais são sistemas com memória pois dependem da entrada x[n] nos instantes (n–1), (n–2), etc; ou de derivadas em relação ao tempo ‘t’.


20

Inversibilidade

Quanto a Inversibilidade, sistemas podem ser classificados como:

inversíveis

não inversíveis Sistemas são inversíveis se entradas distintas levam a saídas distintas. Desta forma, para um sistema S com sinal de entrada x[n], ou x(t), que produz um sinal de saída y[n], ou y(t), respectivamente, é possível achar um sistema inverso S-1 cuja entrada y[n], ou y(t), produz a saída x[n], ou x(t), respectivamente. Através de um esquema em que os sistemas S e S-1 são postos em cascata, (isto é, a saída y(t) do Sistema S é a entrada do Sistema S-1), podemos recuperar x(t), o sinal de entrada aplicado em S, na saída de S-1.

Fig. 18 – Diagrama de bloco esquemático de um sistema inversível S em cascata com

o seu inverso S-1. Exemplo 4.4:

Os sistemas XVII e XIX acima são inversíveis. Sistema XVII:

7 x(t)2 y(t) −=

(sistema inversível) Sistema XIX:

x[n]2 y[n] −= (sistema inversível)

Obviamente, nestes dois sistemas, cada sinal de entrada x, produz um sinal de saída y exclusivo, diferente das saídas das outras entradas. Por isso o sinal de entrada x pode ser expresso em termos do sinal de saída y como:

x(t) = ½ (y(t) + 7),

no caso do sistema XVII, e


21

x[n] = – y[n]/2,

no caso do sistema XIX. Exemplo 4.5:

O sistema XIV acima também é inversível. Sistema XIV:

y(t) = x(t – δ) (sistema inversível) Este é o chamado sistema com retardo (“time delay system”) pois a saída reproduz a entrada com um atraso de δ unidades de tempo. Alternativamente, podemos ver o sistema com retardo (“time delay system”) como sendo uma translação (“shift”) para a direita de δ unidades de tempo. Pode-se facilmente verificar que para este sistema, sinais de entrada x(t) distintos pro-duzem sinais de saída y(t) distintos. Além disso, o sinal de entrada x(t) expresso em termos do sinal de saída y(t) é de facto: x(t) = y(t + δ) eq. (4.1) que é conhecido como sistema em avanço (“time advance system”) pois neste caso o sinal de saída x(t) reproduz o que será o sinal de entrada y(t) em δ unidades de tempo depois. Podemos ver também o sistema em avanço (“time advance system”) como sendo uma translação (“shift”) para a esquerda de δ unidades de tempo que obviamente também é a operação inversa translação (“shift”) para a direita do sistema com retardo. No caso discreto o sistema com retardo (“time delay system”) tem a forma: y[n] = x[n – nδ ]. eq. (4.2) Alternativamente, podemos ver o sistema com retardo (“time delay system”) como sendo uma translação (“shift”) para a direita de nδ unidades de tempo. O sistema inverso, o sistema em avanço (“time advance system”) que expressa x[n] em função de y[n] é

x[n] = y[n + nδ] eq. (4.3)


22

Podemos ver também o sistema em avanço (“time advance system”) como sendo uma translação (“shift”) para a esquerda de nδ unidades de tempo que obviamente também é a operação inversa translação (“shift”) para a direita do sistema com retardo. Causalidade Quanto a Causalidade, sistemas podem ser classificados como:

causais (ou não antecipativos)

não causais (ou antecipativos) Um sistema é causal (ou não antecipativo) se a saída no instante t1 depende da entrada apenas nos instantes 1tt ≤ . É claro que se a saída no instante t1 dependesse da entrada em instantes t > t1 então este sistema anteciparia o que ia acontecer e portanto seria “antecipativo” ou não causal. No nosso mundo físico real, se a variável ‘t’ (ou ‘n’ no caso discreto) representa o tempo, então tem uma dinâmica que evolui no tempo e portanto não é possível se ter um sistema não causal pois não é possível se prever o futuro. Entretanto, há casos que a esta variável ‘t’ (ou ‘n’ no caso discreto) pode representar outro parâmetro ou uma outra grandeza física (que não seja o tempo) e desta forma já é possível ocorrer sistemas causais. Exemplo 4.6:

Nos sistemas I a XX acima temos que apenas sistema III é não causal (ou antecipa-tivo): Sistema III:

[ ] [ ] [ ] [ ]nx21nx1nyn5ny −+=−−

(sistema não causal ou antecipativo) pois a saída y[n] depende da entrada x[n] no instante de tempo (n+1). Os demais são sistemas causais (ou não antecipativos).

Entretanto, no Exemplo 4.5 acima, os sistemas em avanço (“time advance systems”) das equações eq. (4.1) e eq. (4.3) são também claramente exemplos de sistemas não causais ou antecipativos.


23

4.5 – Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT) No caso particular de Sistemas L ineares e Invariantes no Tempo chamaremos de SLIT. Na literatura inglesa estes sistemas são chamados de “LTI systems” (Linear time invariant systems). Em um SLIT usa-se a notação de h[n] e h(t) para as respostas do sistema à entrada impulso, uo[n] ou uo(t), respectivamente. Isso é ilustrados nas figuras 19 e 20. Esta “resposta ao impulso” h[n] ou h(t), também chamada de “reposta impulsional”, traz consigo informações intrínsecas dos sistema que permite se calcular a resposta à qualquer outra entrada x(t).

Resumindo:

h[n] = a saída do sistema quando a é entrada impulso, uo[n], (caso discreto),

Fig. 19 – Diagrama de bloco ou caixa preta (black box) esquemático de h[n], a saída do sistema quando a é entrada impulso uo[n] (sistema discreto).

e,

h(t) = a saída do sistema quando a é entrada impulso uo(t), (caso contínuo).

Fig. 20 – Diagrama de bloco ou caixa preta (black box) esquemático de h(t), a saída

do sistema quando a é entrada impulso uo(t) (sistema contínuo). Um resultado clássico em Teoria de Sistemas é que:

No caso discreto, a saída de um sistema linear invariante no tempo (SLIT) toma a forma de uma soma de convolução:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]kxknh

nxnhny

k

⋅−=

∗=

∑∞+

−∞=

eq. (4.4)


24

Fig. 21 – Diagrama de bloco esquemático da saída y[n] do sistema como a convolu-ção de h[n] pela entrada x[n] (sistema discreto).

Ou seja, h[n] traz consigo toda a informação do sistema necessária para saber a saída de qualquer sinal de entrada x[n].

Isso é ilustrado na figura 21. É comum representar o diagrama de bloco ou caixa preta (black box) esquemático do sistema com o h[n]. Sabendo-se h[n] nós podemos saber a saída de qualquer sinal de entrada x[n], pela equação da soma de convolução [eq. (4.4)] acima. Esse tipo de somatório (convolução) já apareceu no capítulo 3 (Sinais Singulares), nas propriedades do impulso unitário discreto, eq. (3. 3). No caso contínuo, a saída de um sistema linear invariante no tempo (SLIT) toma a forma de uma integral de convolução:

τ⋅τ⋅τ−=

∗=

∫∞+

∞−d)(x)t(h

)t(x)t(h)t(y

eq. (4.5)

Fig. 22 – Diagrama de bloco esquemático da saída y(t) do sistema como a convolução de h(t) pela entrada x(t) (sistema contínuo).

Ou seja, h(t) traz consigo toda a informação do sistema necessária para saber a saída de qualquer sinal de entrada x(t). Isso é ilustrado na figura 22. É comum representar o diagrama de bloco ou caixa preta (black box) esquemático do sistema com o h(t). Sabendo-se h(t) nós podemos saber a saída de qualquer sinal de entrada x(t), pela equação da integral de convolução [eq. (4.5)] acima. Esse tipo de integral (convolução) já apareceu no capítulo 3 (Sinais Singulares), nas propriedades do impulso unitário, eq. (3.13).


25

4.6 – Propriedades da Convolução A convolução, definida na secção anterior, como uma operação que é, satisfaz algu-mas propriedades. Aqui vamos mencionar as 3 principais:

a) Propriedade Comutativa

b) Propriedade Distributiva

c) Propriedade Associativa

A Propriedade Comutativa:

[ ] [ ] [ ] [ ]nhnxnxnh ∗=∗

)t(h)t(x)t(x)t(h ∗=∗ Pela propriedade comutativa podemos concluir que, no caso discreto, a resposta y[n] de um sistema linear invariante no tempo (SLIT) tanto pode ser a convolução de h[n] * x[n] como também pode ser a convolução de x[n] * h[n] . Ou seja, a eq. (4.4) acima é equivalente à

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ].khknxnhnx

kxknhnxnhny

k

k

⋅−=∗=

=⋅−=∗=

∑

∑∞+

−∞=

+∞

−∞=

Semelhantemente, a propriedade comutativa permite concluir que, no caso contínuo, a resposta y(t) de um sistema linear invariante no tempo (SLIT) tanto pode ser a con-volução de h(t) * x(t), como também pode ser a convolução de x(t) * h(t). Ou seja, a eq. (4.5) acima é equivalente a

.d)(h)t(x)t(h)t(x

d)(x)t(h)t(x)t(h)t(y

τ⋅τ⋅τ−=∗=

τ⋅τ⋅τ−=∗=

∫

∫∞+

∞−

+∞

∞−


26

A Propriedade Distributiva:

[ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nxnhnxnhnxnhnh 2121 ∗+∗=∗+

( ) )t(x*)t(h)t(x)t(h)t(x)t(h)t(h 2121 +∗=∗+

Por outro lado a propriedade distributiva corresponde ao facto de que se 2 sistemas, S1 e S2, lineares e invariantes no tempo (SLIT), são somados, então a resposta à entrada impulso unitário da soma dos sistemas (S1 + S2) é também a soma ( h1[n] + h2[n] ) no caso discreto ou a soma ( h1(t) + h2(t) ) no caso contínuo, onde obviamente

h1[n] ou h1(t) = a resposta do sistema S1 à entrada impulso unitário; isto é, a resposta impulsiona do sistema S1;

e

h2[n] ou h2(t) = a resposta do sistema S2 à entrada impulso unitário; isto é, a resposta impulsiona do sistema S2.

Portanto, no caso discreto, a resposta y[n] da soma de 2 sistemas S1 e S2, lineares e invariantes no tempo (SLIT), tanto pode ser a soma das convoluções h1[n] * x[n] com h2[n] * x[n] , como também pode ser a convolução da soma ( h1[n] + h2[n] ) com o sinal de entrada x[n] . Ou seja:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]nx*nhnhnxnhnxnhny 2121 +=∗+∗=

Semelhantemente, no caso contínuo, a resposta y(t) da soma de 2 sistemas S1 e S2, lineares e invariantes no tempo (SLIT), tanto pode ser a soma das convoluções h1(t) * x(t) com h2(t) * x(t), como também pode ser a convolução da soma ( h1(t) + h2(t) ) com o sinal de entrada x(t). Ou seja:

( ) )t(x)t(h)t(h)t(x)t(h)t(x)t(h)t(y 2121 ∗+=∗+∗=


27

Fig. 23 – Diagrama de bloco esquemático da soma de 2 sistemas S1 e S2 nos quais são

aplicados a mesma entrada x(t) (caso contínuo).

Fig. 24 – Diagrama de bloco equivalente ao diagrama da figura 23 (sistema contínuo).

A Propriedade Associativa:

[ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )nxnhnhnxnhnh 2121 ∗∗=∗∗

( ) ( ))t(x)t(h)t(h)t(x)t(h)t(h 2121 ∗∗=∗∗

A propriedade associativa da convolução diz respeito à sistemas ligados em cascata. Isto é, sistemas em que a saída de um deles é a entrada do outro. A propriedade associativa nos diz que: se 2 sistemas S1 e S2, lineares e invariantes no tempo (SLIT), estão ligados em cascata então a resposta à entrada impulso unitário dos 2 sistemas juntos (S1 e S2) é a convolução ( h1[n] * h2[n] ) no caso discreto ou a convolução ( h1(t) * h2(t) ) no caso contínuo.

Fig. 25 – Diagrama de bloco de 2 sistemas em cascata.


28

Logo, no caso discreto, a resposta y[n] de 2 sistemas S1 e S2, lineares e invariantes no tempo (SLIT), ligados em cascata, tanto pode ser a convolução dupla de h1[n] com h2[n] primeiro, e depois o resultado com x[n] , como também pode ser a convolução dupla de h1[n] com o resultado de h2[n] com x[n] . Ou seja:

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )nxnhnhnxnhnhny 2121 ∗∗=∗∗= .

Fig. 26 – Diagrama de bloco de 2 sistemas em cascata. Primeiro S2 e depois S1. Caso

discreto. Além disso, note que: pela propriedade comutativa, observamos que tanto faz a ordem em que os sistemas S1 e S2 estão em cascata pois h1[n] * h2[n] = h2[n] * h1[n] .

Fig. 27 – Diagrama de bloco de 2 sistemas em cascata. Primeiro S1 e depois S2. Caso

discreto.

Fig. 28 – Diagrama de bloco equivalente ao diagrama da figuras 26 e 27 (sistema dis-

creto). Semelhantemente, no caso contínuo, a resposta y(t) de 2 sistemas S1 e S2, lineares e invariantes no tempo (SLIT), ligados em cascata, tanto pode ser a convolução dupla de h1(t) com h2(t) primeiro, e depois o resultado com x(t), como também pode ser a convolução de h1(t) com o resultado da convolução de h2(t) com x(t). Ou seja,

( ) ( ))t(x)t(h)t(h)t(x)t(h)t(h)t(y 2121 ∗∗=∗∗= .


29

4.7 – SLIT sem memória É fácil de verificar que: no caso discreto, se um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) é sem memória então a sua resposta ao impulso h[n] é da forma:

[ ] [ ]nuknh o= onde k = h[0] é uma constante.

Fig. 29 – Resposta impulsional de um SLIT sem memória (sistema discreto).

Portanto, pela fórmula da convolução [eq. (4.4)], temos que:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]kxknukkxknhnxnhnyk

ok

⋅−=⋅−=∗= ∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=,

e então, pela a eq. (3.3)

[ ] [ ]nxkny ⋅= Por outro lado, no caso contínuo, se um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) é sem memória então a sua resposta ao impulso h(t) é da forma:

)t(uk)t(h o= onde k = área do impulso uo(t).


30

Fig. 30 – Resposta impulsional de um SLIT sem memória (sistema contínuo).

Portanto, pela fórmula da convolução [eq. (4.5)], temos que, em sistemas SLIT sem memória:

τ⋅τ⋅τ−=τ⋅τ⋅τ−=∗= ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−d)(x)t(ukd)(x)t(h)t(x)t(h)t(y o

e então, pela a eq. (3.13)

)t(xk)t(y =

4.8 – SLIT inversíveis Se um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) é inversível então a seu inverso também é um SLIT. A figura 31 ilustra a situação para o caso discreto:

Fig. 31 – Caso discreto. Diagrama de blocos de um SLIT inversível em cascata com

seu sistema inverso. A saída do segundo bloco é a própria entrada do pri-meiro bloco.

onde aqui, obviamente:

h1[n] = a resposta do sistema S à entrada impulso unitário; e

h2[n] = a resposta do sistema inverso, S-1, à entrada impulso unitário.


31

A figura 32 ilustra a situação para o caso contínuo:

Fig. 32 – Caso contínuo. Diagrama de blocos de um SLIT inversível em cascata com

seu sistema inverso. A saída do segundo bloco é a própria entrada do pri-meiro bloco.

onde aqui, obviamente:

h1(t) = a resposta do sistema S à entrada impulso unitário; e

h2(t) = a resposta do sistema inverso, S-1, à entrada impulso unitário. No caso discreto temos que o sistema total (“overall system”), em cascata, ambos o sinal de entrada e o sinal de saída são x[n], e portanto este sistema total é a identidade, conforme ilustrado na figura 33. E, como para o sistema identidade, a resposta impulsional h[n] = uo[n], temos então que:

h1[n] * h2[n] = uo[n] eq. (4.6)

Fig. 33 – Caso discreto. Diagrama de blocos de um SLIT inversível em cascata com

seu sistema inverso. O sistema total (“overall system”) é a identidade. Semelhantemente, no caso contínuo temos que o sistema total (“overall system”), em cascata, ambos o sinal de entrada e o sinal de saída são x(t), e portanto este sistema total é a identidade, conforme ilustrado na figura 34.

E, como para o sistema identidade, a resposta impulsional h(t) = uo(t), temos então que:

h1(t) * h2(t) = uo(t) eq. (4.7)


32

Fig. 34 – Caso contínuo. Diagrama de blocos de um SLIT inversível em cascata com

seu sistema inverso. O sistema total (“overall system”) é a identidade.

Exemplo 4.7: Os sistemas com retardo (“time delay systems”) descritos no Exemplo 4.5 acima y[n] = x[n – nδ ] (caso discreto) e

y(t) = x(t – δ) (caso contínuo) são SLIT e temos que as respostas ao impulso unitário h1(t) e h2(t) para os sistemas das equações eq. (4.2) e eq. (4.3) são respectivamente: h1(t) = uo(t – δ) e h2(t) = uo(t + δ) e, pela eq. (3.10), verifica-se que h1(t) e h2(t) satisfazem a eq. (4.7) acima, ou seja,

h1(t) * h2(t) = uo(t). Por outro lado temos que as respostas ao impulso unitário h1[n] e h2[n] para os siste-mas das equações eq. (4.1) e eq. (4.2) são respectivamente: h1[n] = uo[n – nδ ] e h2[n] = uo[n + nδ] e, pela eq. (3.3), verifica-se que h1[n] e h2[n] satisfazem a eq. (4.6) acima, isto é,

h1[n] * h2[n] = uo[n]


33

4.9 – Estabilidade Há muitas definições de estabilidade de sistemas. Uma definição bastante usada para definir estabilidade de sistemas é a seguinte: Definição: Estabilidade de Sistemas: Um sistema é estável se para todo sinal de entrada limitado ele produz um sinal de saída limitado. Às vezes usa-se a sigla BIBO estável para descrever esta definição de estabilidade de sistemas, onde o nome “bibo” vem do idioma inglês:

BIBO = Bounded Input, Bounded Output

(ou seja: “entrada limitada, saída limitada”)

Fig. 35 – Diagrama de blocos ilustrativo de um sistema BIBO estável.

No caso de SLIT (sistemas lineares e invariantes no tempo) temos resultados espe-cíficos para este tipo de estabilidade: Para um SLIT discreto prova-se que: O sistema é estável se e somente se a resposta ao impulso unitário h[n] satisfaz

[ ] ∞∑∞

−∞=

<khk

eq. (4.8)

Um sinal h[n] que satisfaz a equação eq. (4.8) é dito ser absolutamente somável. Portanto, um SLIT discreto é estável se e somente se a resposta ao impulso unitário h[n] é absolutamente somável.


34

Para um SLIT contínuo prova-se que: O sistema é estável se e somente se a resposta ao impulso unitário h(t) satisfaz

∞τ⋅τ∫

∞

∞−

<d)h( eq. (4.9)

Um sinal h(t) que satisfaz a equação eq. (4.9) acima é dito ser absolutamente integrá-vel. Portanto, um SLIT contínuo é estável se e somente se a resposta ao impulso unitário h(t) é absolutamente integrável. Exemplo 4.8:

Tomando-se novamente os sistemas com retardo (“time delay systems”) descritos no Exemplo 4.5 acima

y[n] = x[n – nδ ] (caso discreto) e y(t) = x(t – δ) (caso contínuo) observamos que, no caso discreto

[ ] [ ] 1nnukhk

ok

=−= ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=δ

e portanto a eq. (4.8) é satisfeita e o sistema com retardo discreto é estável. Semelhantemente, observamos que, no caso contínuo

1d)(ud)h( o =τ⋅δ−τ=τ⋅τ ∫∫∞

∞−

∞

∞−

e portanto a eq. (4.9) é satisfeita e o sistema com retardo contínuo também é estável. Este resultado é de certa forma óbvio pois um sinal de entrada limitado irá permane-cer limitado após uma translação (shift) para a direita (retardo).


35

Exemplo 4.9:

O sistema discreto cuja relação entre os sinais de entrada/saída é dada pela equação abaixo:

[ ] [ ]∑∞

−∞=

=k

kxny

é chamado de “somador” ou “acumulador”. É fácil observar que h[n], a resposta ao impulso unitário, para este sistema é

h[n] = u1[n] = degrau unitário discreto.

Fig. 36 – O sinal u1[n], degrau unitário discreto.

Este sistema não é estável pois nitidamente não satisfaz a eq. (4.8) uma vez que:

[ ] [ ] ∞=+++== ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

)111(kukhk

1k

K

Ou seja, h[n] deste sistema não é absolutamente somável. Exemplo 4.10:

No caso contínuo, o sistema cuja relação entre os sinais de entrada/saída é dada pela equação abaixo:

( ) ( ) τ⋅τ= ∫ ∞−dxty

t

é chamado de “integrador” ou “acumulador”.


36

É fácil observar que h(t), a resposta ao impulso unitário, para este sistema é

h(t) = u1(t) = degrau unitário contínuo.

Fig. 37 – O sinal u1(t), degrau unitário contínuo.

Este sistema não é estável pois nitidamente não satisfaz a eq. (4.9) uma vez que:

∞=τ=τ⋅τ=τ⋅δ−τ=τ⋅τ∞∞∞∞

∞−∫∫∫

02dd)(ud)h(

2

00

1

Ou seja, h(t) deste sistema não é absolutamente integrável.

4.10 – Teoria de Sistemas O que vimos aqui neste capítulo foram apenas algumas noções básicas de sistemas. Entretanto, a Teoria de Sistemas é muito mais ampla e inclui muitos outros temas de estudo. Abaixo vamos ilustrar alguns dos principais tópicos estudados em Teoria de Sistemas.

Modelização (‘modeling’) Já referido na secção 4.3, a modelização estuda as técnicas de escrever o modelo do sistema. No nosso caso o modelo matemático do sistema.

Identificação de parâmetros Estuda as técnicas de identificar os valores dos parâmetros do modelo. Isto é, encontrar os valores que melhor ajusta o sistema real ao seu modelo.

Controlo de sistemas A “Teoria de Controlo” estuda as técnicas de controlar um sistema, ou seja, conduzir um sistema de um estado inicial para um estado final desejado.


37

Optimização Estuda as técnicas de optimizar o desempenho do sistema.

Simulação Estuda as técnicas de construir um modelo simulado do sistema. A simulação permite que se teste um sistema sem ter que utilizar o próprio sistema real, mas sim o modelo simulado, em um laboratório ou, muito comummente em um computador. Em fase de projecto muitas vezes é necessário testar um sis-tema por muitas vezes e em certos casos os testes danificam ou alteram o desempenho do sistema. Com o uso de simulação essas tarefas são realizadas com o modelo simulado do sistema.

Realimentação (‘ feedback’) Estuda as técnicas de reintroduzir informações da saída na entrada com o objectivo de corrigir o rumo do sistema e desta forma melhorar o desempe-nho e obter a saída desejada.

K

+ -

Y(s)R(s)S

Fig. 38 – Diagramas de blocos de um sistema com realimentação (“feedback”).

Estimação de estado Estuda técnicas de recuperar informações do estado inicial do sistema e desta forma recuperar todos os estados subsequentes.

Sistemas robustos Existem técnicas que tornam sistemas robustos. A robustez é a qualidade de um sistema ficar imune, ou protegido, ou inalterado a eventuais alterações nos parâmetros do modelo, seja por envelhecimento dos componentes ou por variações ambientais como a mudança de temperatura por exemplo.

Sistemas tolerantes à falhas Estuda técnicas de criar sistemas cujo desempenho não é prejudicado em casos de avarias ou falhas.


38

Processamento paralelo ou distribuído Estuda a repartição do processamento de um sistema, com o uso de computa-dores, tal que cada tarefa seja dividida em sub-tarefas que são processadas de forma mais ágil e de forma simultâneas em computadores diferentes e mais acessíveis.

Sistemas ‘fuzzy’ Usando a lógica‘fuzzy’ estuda técnicas que permitem um linguajar mais natural e menos matemático nas comunicações e nas definições de variáveis como o “input” e a “output”.

Sistemas inteligentes Estuda técnicas para serem implementadas em máquinas, robôs, computado-res, etc. de forma a estes poderem realizar tarefas que nós humanos ainda hoje fazemos melhor que a máquina. Em geral são tarefas que nós, os huma-nos, usamos a nossa mente para realizá-las.

o reconhecimento de coisas e objectos. Por exemplo, nós, os humanos, até mesmo uma criança, sabemos distinguir uma maçã de uma pêra, apesar do facto de que não há duas maçãs iguais. Semelhantemente, sabemos distin-guir um cão de um gato, apesar do facto de que há muitas raças diferentes de cães. Nós humanos, até mesmo uma criança, sabemos dizer ao olhar um cesto cheio de frutas quais estão podres e devem ser retiradas. Todas estas tarefas são difíceis para uma máquina realizar.

o reconhecimento de pessoas. Por exemplo, nós humanos, somos capazes de reconhecer fisionomias, mesmo que a pessoa esteja de lado, ou esteja diferente do usual: com bigode ou barba ou cabelo mais comprido, ou usando um chapéu. Somos até capazes de reconhecer uma pessoa mesmo depois de alguns anos sem vê-la e ela já esteja mudada. Uma máquina tem muita dificuldade de fazer reconhecimento de pessoas.

muitas tarefas do nosso dia a dia como: caminhar, falar, ler, escrever, subir e descer escadas, lembrar de nomes, factos ou coisas, conduzir (um veículo), identificar uma placa de trânsito, cozinhar, costurar, etc. etc. Nós humanos usamos o cérebro para realizá-las e é muito difícil ensinar máquinas para fazê-las por nós.

tarefas como: cantar, dançar, tocar um instrumento, compor, redigir um texto, pintar um quadro, ou outras actividades que envolvem arte, são também exemplos de tarefas que é muito difícil ensinar máquinas para fazê-las por nós pois nós, os humanos, usamos o nosso cérebro para rea-lizá-las.

J. A. M. Felippe de Souza 5 – Transformadas de Laplace

1

5 – Transformadas de Laplace

5.1 – Introdução às Transformadas de Laplace 4

5.2 – Transformadas de Laplace – definição 5

5.2 – Transformadas de Laplace de sinais conhecidos 6

Sinal exponencial 6

Exemplo 5.1 7

Sinal impulso unitário uo(t) 7

Sinal degrau unitário u1(t) 8

Sinal rampa unitária u2(t) 9

Sinal semi-parabólico u3(t) 9

Os demais sinais singulares un(t) 10

Os sinais seno e co-seno 10

5.4 – Propriedades da Transformada de Laplace 11

Homogeneidade 11

Aditividade 11

Linearidade 11

Sinal transladado (“time shifting”) 11

Sinal multiplicado por exponencial e-at

11

Derivadas 12

Integral 13

Mudança de escala do tempo (“time scaling”) 13


2

Sinal multiplicado por t 14

Sinal multiplicado por 1/t 14

Convolução 14

5.5 – Teorema do Valor Inicial (TVI) e o Teorema do Valor Final (TVF) 15

Teorema do Valor Inicial (TVI) 15

Teorema do Valor Final (TVF) 15

Exemplo 5.2 15

Exemplo 5.3 16

Exemplo 5.4 16

Exemplo 5.5 17

Exemplo 5.6 17

5.6 – Alguns exemplos de Transformadas de Laplace 18

Exemplo 5.7 18

Exemplo 5.8 18

Exemplo 5.9 19

Exemplo 5.10 19

Exemplo 5.11 20

Exemplo 5.12 21

Exemplo 5.13 21

Exemplo 5.14 21

Exemplo 5.15 23

Exemplo 5.16 24

Exemplo 5.17 25

5.7 – Tabela da Transformada de Laplace de alguns sinais conhecidos 26

5.8 – A Transformada Inversa de Laplace 27

Caso 1 – Pólos reais e distintos 28

Caso 2 – Pólos complexos conjugados 28

Caso 1 – Pólos múltiplos (duplos, triplos, etc.) 28


3

Exemplo 5.18 30

Exemplo 5.19 31

Exemplo 5.20 31

Exemplo 5.21 33

5.9 – Solução EDO usando Transformadas de Laplace 34

Exemplo 5.22 35

Exemplo 5.23 37

Exemplo 5.24 38

5.10 – A reposta impulsional h(t) e H(s) 39

Exemplo 5.25 40

Exemplo 5.26 42

Exemplo 5.27 43


4

Transformadas de Laplace 5.1 – Introdução às Transformadas de Laplace Neste capítulo estudaremos as Transformadas de Laplace. Elas apresentam uma re-presentação de sinais no domínio da frequência em função de uma variável “s” que é um complexo, s = σ + jω. A Transformada de Laplace foi desenvolvida pelo matemático francês Pierre Simon Laplace (1749-1827).

Fig. 5.1 – Pierre Simon Laplace (1749-1827), francês.


5

5.2 – Transformadas de Laplace – definição Considere um sinal contínuo x(t)

x(t) ∈ C conjunto dos números complexos ou seja, o sinal x(t) pode ter valores complexos, i.e., valores com parte real e com parte imaginária. A Transformada de Laplace deste sinal x(t), normalmente simbolizada por: L x(t) ou X(s) permite expressar o sinal x(t) como:

L xt Xs · xt dt∞ eq. (5.1)

A eq. (5.1) acima é chamada de transformada unilateral pois é definida para sinais x(t) onde

x(t) = 0 para t < 0

e é a definição de Transformada de Laplace adoptada aqui pois é esta a que tem maior aplicação para sistemas dinâmicos.

Fig. 5.2 – Um sinal x(t) com valor nulo para t < 0 [i.e., x(t) = 0 para t < 0]. Além desta definição de Transformada de Laplace unilateral (para t ≥ 0) que adopta-mos aqui, há também a Transformada de Laplace bilateral (definida para ∀t, ou seja: t < 0 e t ≥ 0).


6

5.3 – Transformadas de Laplace de alguns sinais conhecidos

Sinal exponencial

Como primeiro exemplo vamos utilizar o sinal exponencial xt · ut eq. (5.2) Para um dado valor de a este sinal xt da eq. (5.2) está bem definido e assume o valor 0 (“zero”) à esquerda da origem pois está multiplicado pelo degrau unitário u1(t). Entretanto muitas vezes apenas escrevemos xt , t 0 e já fica suben-tendido que é nulo para t < 0. O sinal x(t) dado pela eq. (5.2) assume diferentes formas dependendo do valor de a. Se a > 0, x(t) é um sinal exponencial decrescente; se a < 0, x(t) é um sinal exponen-cial crescente; se a = 0; x(t) é um sinal degrau unitário.

Os gráficos destes sinais podem ser vistos nas figuras 5.3 e 5.4. xt · ut, a 0 xt · ut, a 0

Fig. 5.3 – Os sinais x(t) = e-at⋅u1(t), para a > 0, exponencial decrescente (à esquerda), e para a < 0, exponencial crescente (à direita).

xt · ut, a 0

Fig. 5.4 – O sinal x(t) = e-at⋅u1(t), a = 0 (degrau unitário).


7

Calculando a Transformada de Laplace de x(t), pela definição [eq. (5.1)], temos que:

L xt Xs · e dt∞

· dt 1s ! a"# 1s ! a#

ou seja, Transformada de Laplace de um sinal exponencial é dada por:

L 1s ! a

Exemplo 5.1:

Considere os sinais xt $,%, t 0 (decrescente) e yt $,%, t 0 (crescente). Logo, as Transformadas de Laplace destes sinais são:

Xs $,% e Ys $,%

Sinal impulso unitário

x(t) = uo(t) Para o sinal impulso unitário, usando nova-mente a definição da Transformada de Laplace [eq. (5.1)], temos:

L xt Xs · u(t dt∞

e agora, usando eq. (3.10) para a convolução acima de com o impulso unitário u(t,

L xt · 1 Logo, Transformada de Laplace do impulso unitário uo(t) é dada por:

L u(t 1

Fig. 5.5 – O sinal x(t) = uo(t), (impulso unitário).

eq. (5.4)

eq. (5.3)


8

Sinal degrau unitário u1(t) Embora já visto acima como caso particular do sinal xt , para t 0, vamos considerar novamente, agora como um sinal da família dos sinais singulares:

x(t) = u1(t)

Fig. 5.6 – O sinal x(t) = u1(t), degrau unitário.

Novamente, pela definição da Transformada de Laplace [eq. (5.1)], temos que:

L xt Xs · ut dt ∞

1s "#

1s

Logo, Transformada de Laplace do degrau unitário u1(t) é dada por:

L u+ 1s

De forma semelhante pode-se calcular a Transformada de Laplace de outros sinais conhecidos como: u,t, a rampa unitária,

e demais sinais singulares contínuos: u$t, u-t, … , u.t, assim como também do seno, do co-seno, etc. sen ωt, cos ωt, · sen ωt, · cos ωt, etc.

eq. (5.5)


9

Sinal rampa unitária u,t

x(t) = u2(t)

Fig. 5.7 – O sinal x(t) = u2(t), rampa unitária.

e a Transformada de Laplace L xt Xs é dada por:

L u,t 1s,

Sinal semi-parabólico u$t

x(t) = u3(t)

Fig. 5.8 – O sinal x(t) = u3(t), sinal semi-parabólico.

A Transformada de Laplace L xt Xs é dada por:

L u$t Xs 1s$

eq. (5.6)


10

Os demais sinais singulares Os resultados anteriores, para u(t, impulso, ut, degrau, u,t, rampa e u$t, semi-parábola podem facilmente serem generalizados para toda a família de sinais singulares contínuos u.t, n 2 0 vistos no capítulo 3: xt u.t, n 2 0

A Transformada de Laplace L xt Xs é dada por:

L u.+ 1s.

Sinais seno e co-seno

x(t) = sen ωt ⋅ u1(t) x(t) = cos ωt ⋅ u1(t)

Fig. 5.9 – Os sinais x(t) = sen ω t ⋅ u1(t) (à esquerda), e x(t) = cos ω t ⋅ u1(t) (à direita). A Transformada de Laplace do seno é dada por:

L sen ωt ωs, ! ω,

e a Transformada de Laplace do co-seno é dada por:

L cos ωt ss, ! ω,

eq. (5.9)

eq. (5.8)

eq. (5.7)


11

5.4 – Propriedades da Transformada de Laplace Muitas das propriedades que aqui mostramos são análogas às vistas anteriormente para Série de Fourier (capítulo 5) e Transformadas de Fourier (capítulo 6). Considere que x(t), x1(t) e x2(t) são sinais contínuos.

Homogeneidade:

L k xt k L xt

Aditividade:

L xt ! x,t L xt + L x,t

Linearidade: Como já vimos em anteriormente, a linearidade é a propriedade da aditividade e da homogeneidade juntas:

L 5 xt ! β x,t α L xt + β L x,t

Sinal transladado (“time shifting”):

L xt a ut a e-as L xt = e-as ⋅ X(s)

Sinal multiplicado por exponencial e-at

:

L xt Xs ! a

onde X(s) = L xt.

Estas duas últimas propriedades são duais uma da outra pois: enquanto uma diz que a transformada do sinal transladado fica multiplicada por uma exponencial, a outra diz que a transformada de um sinal multiplicado por uma exponencial é um sinal transla-dado.


12

Derivadas:

L 7 88 xt9 s · Xs x0

L 7 8:8: xt9 s, · Xs s · x0 x;0

M

L < dndtn xt= snXs sn1 · x0 > > s · x. ,0 x. 0

Os termos x0, s · x0, x?0, etc nas fórmulas acima são chamados de “resíduos”.

Note que se x(t) tem condições iniciais nulas, isto é, se

x0 0, x;0 0, x;;0 0, > , etc. então os resíduos são todos nulos e derivar (em t) equivale a multiplicar por s (no do-mínio s, da frequência, de Laplace). Isto é, neste caso:

L x;t s · Xs

L x;;t s, · Xs

M

L Ax.tB s. · Xs Na verdade os resíduos aparecem porque tomamos a Transformada de Laplace unila-teral. No caso da Transformada de Laplace bilateral não há resíduos e as transforma-das das derivadas têm o resultado das equações em eq. (5.11). Entretanto, na Transformada de Laplace unilateral, que estamos considerando aqui, somente no caso em que as condições iniciais são nulas é que isso ocorre, isto é, somente no caso em que x0 0, x;0 0, x;;0 0, > é que as equações em eq. (5.11) são válidas.

eq. (5.11)

eq. (5.10)

eq. (5.10a)

eq. (5.10b)


13

Integral:

L < xt dt = Xss ! 1s · C xt · dt # DE

Aqui os resíduos são diferentes do caso da derivada. Entretanto, da mesma forma que derivar (em t) equivale a multiplicar por s (no domínio da frequência), sob certas con-dições integrar (em t) equivale a dividir por s (no domínio da frequência). Ou seja, se

xt · dt # FE 0

Então a propriedade torna-se:

L < xt dt = 1s · Xs.

Mudança de escala do tempo (“time scaling”):

L <x G tαI= α · Xα s , α 0 Se o eixo da variável “t” for encolhido (0 < α < 1), então a Transformada de Laplace de x(t) ficará esticada (em s).

Se o eixo da variável “t” for esticado (α > 1) então a Transformada de Laplace de x(t) ficará encolhida (em s). Equivalentemente, esta propriedade pode ser escrita como

L xkt 1k · X J K L , k 0


14

Sinal multiplicado por t

L t · xt dXsds Novamente aqui temos uma dualidade. Esta última propriedade e a propriedade da derivada são duais uma da outra pois: enquanto uma diz que a transformada da deri-vada de x(t) é X(s) vezes s, a outra diz que a transformada de x(t) vezes t é a derivada de X(s).

Sinal multiplicado por 1/t

L <1t · xt= Xsds∞

Mais uma vez aqui temos uma dualidade. Esta última propriedade é dual da proprie-dade da integral pois, enquanto uma diz que a transformada da integral de x(t) é X(s) dividido por s, a outra diz que a transformada de x(t) dividido por t é um integral de X(s).

Convolução

L x1t M x2t X1s · X2s Portanto, a Transformada de Laplace da convolução de dois sinais x1(t) e x2(t) é o produto das transformadas X1(s) e X2(s) destes dois sinais. Recorde-se que a definição de convolução entre dois sinais x1(t) e x2(t) (capítulo 4, secções 4.3 e 4.4): xt M x,t xt τ · x,τ · dτ

xτx,t τdτ

Ou seja, a Transformada de Laplace transforma esta conta complicada da eq. (5.13) em uma simples multiplicação, eq. (5.12).

eq. (5.12)

eq. (5.13)


15

5.5 – Teorema do Valor Inicial (TVI) e Teorema do Valor Final (TVF) Os teoremas do valor inicial (TVI) e do valor final (TVF) permitem que se descubra o valor inicial x(0+) e o valor final x(∞) dos sinais x(t) cuja Transformada de Laplace X(s) sejam conhecidas.

Teorema do Valor Inicial (TVI) x0 P limTU xt limT# s · Xs

Teorema do Valor Final (TVF) x∞ P limT# xt limT s · Xs

Exemplo 5.2:

Considere o sinal exponencial decrescente xt · ut, a 0, cuja Trans-formada de Laplace é dada por: Xs 1s ! a

Aplicando-se os teoremas TVI e TVF das equações eq. (5.14) e eq. (5.15) obtemos: x0 limsT∞ s · Xs limsT∞ s · 1s ! a 1

e x∞ limsT0 s · Xs limsT0 ss ! a 0

que estão de acordo com o esperado pois x0 1 e x∞ limT# 0.

eq. (5.15)

eq. (5.14)


16

Exemplo 5.3: Considere o sinal x(t) cuja Transformada de Laplace é dada por: Xs 4s ! 1s, ! 2s

Aplicando-se os teoremas TVI e TVF das equações eq. (5.14) e eq. (5.15) obtemos:

x0 limsT∞ s · Xs limsT∞ s · 4s ! 1ss ! 2 limsT∞ 4s ! 1s ! 2 4

x∞ limsT0 s · Xs limsT0 s · 4s ! 1ss ! 2 limsT0 4s ! 1s ! 2 12

ou seja, x0 4 e x∞ 0,5

Exemplo 5.4: Considere o sinal x(t) cuja Transformada de Laplace é dada por: Xs 3s, ! 2s


x0 limsT∞ s · Xs limsT∞ s · 3ss ! 2 limsT∞ 3s ! 2 0

x∞ limsT0 s · Xs limsT0 s · 3ss ! 2 limsT0 3s ! 2 32

ou seja, x0 0 e x∞ 1,5


17

Exemplo 5.5:

Considere o sinal da rampa unitária xt u,t, cuja Transformada de Laplace é dada pela eq. (5.6): Xs 1s,


x0 limsT∞ s · Xs limsT∞ s · 1s2 limsT∞ 1s 0

x∞ limsT0 s · Xs limsT0 s · 1s2 limsT0 1s ∞

que estão de acordo com o esperado pois x0 u,0 0 e x∞ u,∞ ∞

Exemplo 5.6: Considere o sinal exponencial x(t) cuja Transformada de Laplace é dada por: Xs 1s, ! s ! 1

Aplicando-se os teoremas TVI e TVF das equações eq. (5.14) e eq. (5.15) obtemos: x0 limT# s · Xs limT# s · 1s, ! s ! 1 limT#

ss, ! s ! 1 0

x∞ limT s · Xs limT s · 1s, ! s ! 1 limT

ss, ! s ! 1 0

ou seja, x0 0 e x∞ 0


18

5.6 – Alguns exemplos de Transformadas de Laplace Exemplo 5.7:

Considere o sinal da figura 5.8.

x(t) = 2 uo(t – a)

A Transformada de Laplace deste sinal é dada por:

X(s) = 2 e-as.

O resultado acima é facilmente obtido apli-cando-se as propriedades da homogenei-dade e da translação (“time shifting”) visto que L ut 1. Exemplo 5.8: Considere o sinal da figura 5.9. Escrevendo este sinal em termos de sinais singulares obtemos:

)at(u3

2)t(x 1 −−=

E portanto a Transformada de La-place é dada por:

s32

)s(Xas−

−= e

O resultado é obtido facilmente ao aplicar as propriedades da homoge-neidade e da translação (“time shif-ting”) visto que L ut 1/[.

Fig. 5.10 – O sinal x(t) = 2 uo(t–a).

Fig. 5.11 – O sinal x(t) = (–2/3) u1(t – a).


19

Exemplo 5.9:

Considere o sinal x(t) da figura 5.10. Escrevendo este sinal em termos de sinais sin-gulares obtemos:

)3t(u)1t(u)t(u)t(x 122 −−−−=

E portanto a Transformada de Laplace é dada por:

sss

1)s(X

s2

2

s

2

−−

−−= ee

O resultado é obtido facilmente visto que L ut 1/[ , que L u,t 1/s, e aplicando-se as propriedades da aditivi-dade e da translação (“time shifting”). Exemplo 5.10:

Já vimos na secção anterior que a Transformada de Laplace do degrau unitário u1(t) é dada pela eq. (5.5):

L ut 1s

Também vimos no capítulo 2 (Sinais Singulares) que a derivada do degrau u1(t) é o impulso uo(t):

dt

)t(du)t(u 1

o =

e que u1(0

-) = 0, ou seja a condição inicial para u1(t) é nula. Portanto, aplicando-se a propriedade da derivada para as Transformada de Laplace temos que:

L u(t s ·L ut u0 s · 1s 0 1

ou seja, L u(t 1, da eq. (5.4), como era de se esperar. Semelhantemente, as Transformadas de Laplace de todos os sinais singulares u.t, n 2 1 podem ser calculadas recursivamente e obtendo-se os já conhecidos re-sultados: L ut 1 s⁄ , L u,t 1 s,⁄ , > , L u.t 1 s.⁄ .

Fig. 5.12 – O sinal x(t)


20

L ut s ·L u,t u,0 s · 1s, 0 1s

L u,t s ·L u$t u$0 s · 1s$ 0 1s,

]

L u.t s ·L u.t u.0 s · 1s. 0 1s.

Exemplo 5.11:

Olhando no sentido inverso do exemplo anterior podemos calcular as Transformadas de Laplace dos sinais singulares aplicando-se a propriedade da integral. Como

n,dt)t(u)t(ut

1nn ∀= ∫ ∞− −

e como

C u. t · dt # DE 0 , ^ n

então

L u.t L < u. t dt = 1s ·L un1t ! 1s · C un1t · dt t

∞ Dt0

1s · 1sn1 ! 0

1sn

ou seja,

L u.t 1s.

Da eq. (5.7), como era de se esperar.


21

Exemplo 5.12: Considere o sinal x(t) da figura 5.13. Escrevendo este sinal em termos de sinais singulares obtemos:

).2t(ua)t(x 1 +⋅= Nitidamente x(t) ≠ 0 para valores de t < 0. Portanto, este sinal não tem Transfor-mada de Laplace unilateral conforme definida na eq. (5.1). Exemplo 5.13:

Considere o sinal x(t) da figura 5.14. Este sinal em termos de sinais singulares tem a expressão:

)t2(ua)t(x 1 −⋅=

Mas nitidamente aqui também x(t) ≠ 0 para valores de t < 0. Portanto, aqui novamente, este sinal não pos-sui Transformada de Laplace unilateral con-forme definida na eq. (5.1).

Exemplo 5.14: Considere o sinal exponencial xt · ut cuja Transformada de Laplace é dada pela eq. (5.3):

L xt Xs 1s ! 1

Se o eixo t for esticado de 5 vezes (por uma mudança de escala), este sinal se torna em x2(t), também exponencial:

Fig. 5.14 – O sinal x(t) = a u1(2 – t).

Fig. 5.13 – O sinal x(t) ) = a u1(t+2).


22

x,t x G t5I ., · ut

cuja Transformada de Laplace é dada por (usando a transformada da exponencial)

L x,t X,s L < _%= 1J[ ! 15L

Fig. 5.15 – Os sinais xt · ut e x,t ., · ut são de certa forma o mesmo sinal escritos em escalas de tempo diferentes. Um tem o eixo dos ‘t’ 5 vezes mas esticado que o outro.

Usando a propriedade da mudança de escala (“time scaling”) obtemos o mesmo X2(s) obtido acima:

L x,t X,s 5 · X5 s

55[ ! 1

1J[ ! 15 L


23

Exemplo 5.15: Considere o sinal sinusoidal xt sen ωt · ut cuja Transformada de Laplace é dada por [usando a transformada do seno eq. (5.8)]

L xt Xs ωs, ! ω,

vamos calcular a Transformada de Laplace co-seno, isto é, do sinal y(t) yt cos ωt · ut usando apenas as propriedades da Transformada de Laplace. Primeiramente, como a derivada do seno é o co-seno, ou melhor, ddt sen ωt ω · cos ωt então, usando a propriedade da derivada para Transformada de Laplace, eq. (5.10), temos que:

L 7 88 xt9 ω · L cos ωt sen0 ω ·L cos ωt Por outro lado, usando novamente a propriedade da derivada para Transformada de Laplace, mas agora para a eq. (5.16), temos que:

L < ddt xt= s · ωs, ! ω, ω · ss2 ! ω2

e agora, comparando a eq. (5.17) com a eq. (5.18) concluímos que transformada do co-seno é dada por:

L cos ωt L yt Ys ss, ! ω,

que corresponde à eq. (5.9) que foi calculada pela definição de Transformada de Laplace.

eq. (5.17)

eq. (5.16)

eq. (5.18)


24

Exemplo 5.16:

Os sinais cujas Transformadas de Laplace são mostrados na eq. (5.19) podem ser vis-tos como sinais singulares [ u1(t) = 1, u2(t)/2 = t, u3(t)/6 = t2, … , u3(t)/n! = tn ] multi-plicados por exponencial ou, alternativamente, como o sinal exponencial multiplicado por t, por t2, por t3, …

L 1s ! a

L t · 1s ! a,

L t, · 2s ! a$

eq. (5.19)

L t$ · 6s ! a-

] ]

L t. · n!s ! a.

] As relações da eq. (5.19) podem ser demonstradas de duas formas diferentes:

i) aplicando-se a propriedade da multiplicação por exponencial para os sinais sin-gulares un(t) (degrau, rampa, etc.) divididos por n! pois, como já visto anteriormente na eq. (3.19),

u.t t.n! , t 0, n 0, 1, 2, 3, >

ou, alternativamente,

ii) aplicando-se recursivamente a propriedade do sinal multiplicado por t para o sinal exponencial.


25

Exemplo 5.17: Sinais oscilatórios amortecidos do tipo seno ou co-seno multiplicados por exponen-ciais decrescentes são comuns em sistemas estáveis.

Considere o caso do seno amortecido: xt · sen ωt · ut

Fig. 5.16 – O sinal oscilatório amortecido xt · senωt · ut. Aplicando-se a propriedade do sinal multiplicado por exponencial facilmente obtêm-se: Xs ωs ! a, ! ω,

Considere agora o caso do co-seno amortecido: xt · cos ωt · ut Aplicando-se novamente a propriedade do sinal multiplicado por exponencial facil-mente obtêm-se: Xs s ! as ! a, ! ω,


26

5.7 – Tabela da Transformada de Laplace de alguns sinais conhecidos

x(t) X(s) = L L L L x(t)

x(t) = uo(t) Xs 1

x(t) = u1(t) Xs 1s

x(t) = u2(t) Xs 1s,

x(t) = u3(t) Xs 1s$

x(t) = un(t) Xs 1s.

x(t) = e –at ⋅ u1(t) Xs 1s ! a

x(t) = t⋅e –at ⋅ u1(t) Xs 1s ! a,

x(t) = t2⋅e –at ⋅ u1(t) Xs 2s ! a$

x(t) = t3⋅e –at ⋅ u1(t) Xs 3!s ! a-

x(t) = tn⋅e –at ⋅ u1(t) Xs n!s ! a.

x(t) = sen ωt ⋅ u1(t) Xs ωs, ! ω,

x(t) = cos ωt ⋅ u1(t) Xs ss, ! ω,

x(t) = e –at⋅sen ωt ⋅ u1(t) Xs ωs ! a, ! ω,

x(t) = e –at⋅cos⋅ωt ⋅ u1(t) Xs s ! as ! a, ! ω,


27

5.8 – Transformada Inversa de Laplace Nesta secção vamos desenvolver as técnicas de encontrar o sinal x(t) cuja Transfor-mada de Laplace X(s) é conhecida. Ou seja, vamos calcular a Transformada inversa de Laplace de X(s).

L Xs xt As Transformadas de Laplace dos principais sinais de interesse para sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT) vêm em forma de uma fracção racional, ou seja, uma fracção do tipo:

bc eq. (5.20)

onde p(s) e q(s) são polinómios. Conforme podemos observar na tabela da secção anterior, as Transformadas de Laplace de muitos sinais vêm todas na forma eq. (5.20) onde p(s) e q(s) são polinó-mios menores, isto é, do primeiro ou segundo grau. Note também que em muitos casos p(s), o polinómio do numerador, tem apenas o termo independente (i.e., uma constante)

p(s) = 1, p(s) = 2, p(s) = 3!, p(s) = n!, ou p(s) = ω. Em outras situações p(s) é um polinómio do primeiro grau:

p(s) = s ou p(s) = (s + a). Sinais mais complexos são a combinação linear de sinais que aparecem na tabela da secção anterior e também apresentam transformadas do tipo eq. (5.20) e devem ser desmembrados em fracções parciais menores para obtermos a transformada inversa.

Esse processo de desmembrar o X(s) na forma de fracção eq. (5.20) é chamada de expansão em fracções parciais. Vamos apresentar, através de exemplos, três casos de expansão em fracções parciais.

A fracção racional da eq. (5.20) é a função de transferência de um sistema; as raízes do polinómio q(s) do denominador são chamadas de pólos. Os três casos que veremos são: pólos reais e distintos, pólos complexos e pólos múltiplos. Os demais casos serão apenas combinações destes 3 casos, como veremos nos exemplos da próxima secção.


28

Caso 1 – Pólos reais e distintos: No caso de pólos reais e distintos

s = a,

s = b, ]

q(s) pode ser factorado em qs s ! a · s ! b … e a expansão em fracções parciais deve ser da seguinte forma:

bc n ! op ! … eq. (5.21)

Caso 2 – Pólos complexos conjugados: No caso de pólos complexos conjugados, então q(s) pode ser expresso como: qs as, ! bs ! c … com Δ b, 4ac 0 e a expansão em fracções parciais deve ser da seguinte forma:

bc no:pr ! … eq. (5.22)

Caso 3 – Pólos múltiplos (duplos, triplos, etc.): No caso de pólos múltiplos (i.e., pólos duplos, triplos, etc.), então q(s) pode ser expresso como: qs s ! a$ … e a expansão em fracções parciais deve ser da seguinte forma:

bc ns ! o: ! t ! … eq. (5.23)


29

Uma vez escrita nas formas eq. (5.21), eq. (5.22) e eq. (5.23), ou combinações destas, torna-se fácil achar a transformada inversa de Laplace fracção a fracção, com o uso da propriedade da linearidade e da tabela da secção anterior. Por exemplo, no caso da eq. (5.21):

L < As ! a= A ·

L < Bs ! b= B · ] No caso da eq. (5.22), ela pode ser reescrita como As ! Bas, ! bs ! c Asas, ! bs ! c ! Bas, ! bs ! c

Ass ! α, ! ω, ! JBωL · ωs ! α, ! ω,

e o cálculo das transformadas inversas

L < Ass ! α, ! ω,= e L C B ω⁄s ! α, ! ω,D não é difícil de ser feito dando como resultado sinais do tipo xt A · w · cos ωt · ut e xt Bω · w · sen ωt · ut respectivamente.


30

No caso da eq. (5.23): ]

L < As ! a$= A2 · t, ·

L < Bs ! a,= B · t ·

L < Cs ! a= C · Exemplo 5.18: Xs s ! 3s ! 1s ! 2

Este é um caso de pólos reais e distintos. Para achar a transformada inversa de Laplace de X(s) fazemos a expansão em fracções parciais: Xs As ! 1 ! Bs ! 2

A ! Bs ! 2A ! Bs ! 1s ! 2

e igualando o numerador A ! Bs ! 2A ! B com (s + 3), o numerador de X(s) na eq. (5.24), temos que: A ! B 1 2A ! B 3

cuja solução é dada por A 2 B 1

e portanto,

eq. (5.24)


31

xt L < 2[ ! 1= ! L < 1[ ! 2= 2 _ , , t 0

Exemplo 5.19:

Xs 2s, ! 7s ! 7s ! 1s ! 2

Aqui observamos que grau denominador e do numerador são o mesmo. Então, divi-dindo-se facilmente obtemos que Xs 2 ! s ! 3s ! 1s ! 2

mas

L 2 2 · ut

e

L C s ! 3s ! 1s ! 2D já foi calculado no exemplo anterior (Exemplo 5.18), logo: xt 2 · ut ! 2 , , t 0 Exemplo 5.20: Xs s ! 1ss, ! s ! 1

Este é um caso de combinação de um pólo real distinto (s = 0) e um par de pólos complexos. Para achar a transformada inversa de Laplace de X(s) fazemos a expan-são em fracções parciais:

eq. (5.25)


32

Xs As ! Bs ! Cs, ! s ! 1

A ! Bs, ! A ! Cs ! Ass, ! s ! 1

e igualando o numerador B ! As, ! C ! As ! A com (s + 1), o numerador de X(s) em eq. (5.25), temos que: A ! B 0 A ! C 1 A 1

cuja solução é dada por

z A 1 B 1C 0 e portanto, Xs 1s ! ss, ! s ! 1

1s s ! 1 2⁄s ! 1 2⁄ , ! 3 4⁄ ! 1 2⁄s ! 1 2⁄ , ! 3 4⁄

logo

xt L < 1s= L ||| G[ ! 12IG[ ! 12I2 ! ~√32 2

!L |||

1√3 · √32G[ ! 12I2 ! ~√32 2

L < 1s= L ||| G[ ! 12IG[ ! 12I2 ! ~√32 2

! 1√3 ·L ||| √32G[ ! 12I2 ! ~√32 2

e usando a tabela da secção anterior facilmente encontramos:


33

xt 1 .% · cos √32 t ! 1√3 .% · sen √32 t , t 0

1 .% · cos 0.866t 0.578 .%sen0.866t , t 0

Exemplo 5.21:

Xs s, ! 2s ! 3s ! 1$

Este é um caso de um pólo múltiplo (s = 1, triplo neste caso). Para achar a transfor-mada inversa de Laplace de X(s) fazemos a expansão em fracções parciais: Xs As ! 1$ ! Bs ! 1, ! Cs ! 1

A ! Bs ! 1 ! Cs ! 1,s ! 1$

A ! B ! C ! B ! 2Cs ! Cs,s ! 1$

e igualando o numerador A ! B ! C ! B ! 2Cs ! Cs, com o numerador de X(s) em eq. (5.26) temos que: ! ! 3 ! 2 2 1

cuja solução é dada por 2 0 1

eq. (5.26)


34

e portanto, Xs 2[ ! 1$ ! 0[ ! 1, ! 1[ ! 1

2[ ! 1$ ! 1[ ! 1

cuja transformada inversa é: xt L 1 < 2s ! 1$= ! L 1 < 1s ! 1=

+, ! 1 _ , + 0

5.9 – Solução de equações diferenciais ordinárias (EDO) usando Transformada Laplace

As Transformadas de Laplace são muito úteis na resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) transformando-as em equações algébricas no domínio ‘s’ (também chamado “domínio da frequência”) de fácil solução. O principal problema deixa de ser as equações diferenciais e passa a ser a transformada inversa de Laplace.

As propriedades das derivadas para Transformada de Laplace [equações eq. (5.10) – eq. (5.11)] são as mais importantes para a resolução de EDO.

EDO descrevem a dinâmica de sistemas contínuos onde x(t) é a entrada (“input”) e y(t) é a saída (“output”).

Normalmente, a entrada x(t) é conhecida assim como as condições iniciais da saída y(t), isto é,

y(0), y’[0], y’’[0], etc. e deseja-se calcular a saída y(t), a solução da EDO.

O número de condições iniciais necessárias para resolver a EDO é a ordem da própria equação de diferencial (que é a ordem do sistema). Logo, se for de 1ª ordem, precisa-se de y(0); se for de 2ª ordem, precisa-se de y(0) e y’(0), e assim por diante.


35

Exemplo 5.22:

Considere a equação diferencial ordinária (EDO) com x(t) = u1(t) = degrau unitário e condições iniciais nulas, isto é, y(0)=0 e y’(0)=0:

y’’ + 3y(t) = 2x(t) eq. (5.27)

y(0)=0 e y’(0)=0

x(t) = u1(t) = degrau unitário Fazendo-se a Transformada de Laplace dos termos da eq. (5.27) obtém-se: s,Ys ! 3Ys 2 Xs

ou seja, s, ! 3 Ys 2 Xs e portanto,

Ys ,:$ Xs eq. (5.28)

e, como x(t) = u1(t) = degrau unitário, temos que X(s) = 1/s, logo: s, ! 3 Ys 2s

que é uma equação algébrica em ‘s’ e cuja solução é: Ys 2s s, ! 3

Agora a solução y(t) desta EDO é encontrada fazendo-se a transformada inversa de Laplace de Y(s). yt L 1Ys

Este é um caso de um pólo real (distinto) s = 0 e um par de pólos complexos, raízes de s, ! 3 0.

Para achar a transformada inversa de Laplace de Y(s) fazemos a expansão em frac-ções parciais:


36

Ys As ! Bs ! Cs, ! 3

A ! Bs, ! Cs ! 3Ass, ! 3

e igualando o numerador A ! Bs, ! Cs ! 3A com 2, o numerador de Y(s), temos que A ! B 0 C 0 3A 2

cuja solução é dada por A , $

B 23

C 0

e portanto, Xs 2 3⁄s ! 2 3⁄ ss, ! 3

G23I · 1s G23I · ss, ! 3

logo xt L <G23I · 1s= L < G23I · ss, ! 3= ~23 L < 1s= L s

Js2 ! √32L

e usando a tabela da secção 5.7 a solução da EDO é encontrada: yt 23 1 cos√3 t , t 0


37

Exemplo 5.23:

Considere a equação diferencial ordinária (EDO) homogénea (ou seja, x(t) = 0, caso de sistemas livres, que não têm “input”) e condições iniciais: y(0) = 0 e y’(0) = 4. y’’ + 5y’ + 9y(t) = x(t) = 0 eq. (5.29)

y(0) = 0 e y’(0) = 4; x(t) = 0 Fazendo-se a Transformada de Laplace da eq. (5.29) termo a termo obtém-se: s,Ys s y0 y;0 ! 5sYs 5y0 ! 9Ys 0 logo, s,Ys 4 ! 5sYs ! 9Ys 0

e portanto, s, ! 5s ! 9 Ys 4 que é uma equação algébrica em ‘s’ e cuja solução é: Ys 4s, ! 5s ! 9

Agora a solução y(t) desta EDO é encontrada fazendo-se a transformada inversa de Laplace de Y(s). yt L 1Ys Este é um caso de um par de pólos complexos, raízes de s, ! 5s ! 9 0. Para achar a transformada inversa de Laplace de Y(s) fazemos a expansão em frac-ções parciais: Ys 4s ! 2,5, ! 2,75 2,412 · 1,658s ! 2,5, ! 1,658,

logo

yt L C2,412 · 1,658s ! 2,5, ! 1,658,D 2,412 ·L C 1,658s ! 2,5, ! 1,658,D


38

e usando a tabela da secção 5.7, a solução da EDO é encontrada: yt 2,412 · ,,% · sen 1,658 t , t 0 Exemplo 5.24:

Considere a equação diferencial ordinária (EDO) abaixo onde x(t) = u1(t) = degrau unitário, e as condições iniciais são: y(0) = 1 e y’(0) = 0.

y’’ + y’ + y(t) = x(t) eq. (5.29a)

y(0) = 1 e y’(0) = 0; x(t) = u1(t) Fazendo-se a Transformada de Laplace da eq. (5.29a) termo a termo obtém-se: s,Ys s y0 y;0 ! sYs y0 ! Ys Xs

logo, s,Ys s ! sYs 1 ! Ys 1 s⁄ e portanto, s, ! s ! 1 Ys s ! 1s

que é uma equação algébrica em ‘s’ e cuja solução é: Ys s ! 1ss, ! s ! 1

que é a mesma equação eq. (5.26) já vista anteriormente no Exemplo 5.20. A solução y(t) desta EDO é a transformada inversa de Laplace de Y(s): yt L 1Ys já foi calculada no Exemplo 5.20 e é dada em eq. (5.26), ou seja, yt 1 .% · cos 0.866t 0.578 .%sen0.866t , t 0


39

5.10 – A resposta impulsional h(t) e H(s) Note que para acharmos a Transformada inversa de Y(s), na eq. (5.27), era necessário conhecer x(t), ou melhor, X(s).

Equações de diferenciais como as das eq. (5.27) ou eq. (5.29) descrevem a dinâmica de sistemas em que x(t) é a entrada, y(t) é a saída do sistema.

Fig. 5.17 – Diagrama de bloco esquemático de um

sistema com entrada x(t), saída y(t) e res-posta impulsional h(t).

Conforme visto no capítulo 4 (Sistemas), a resposta impulsional (“ impulse respon-se”) h(t) será a resposta y(t) de um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) quando a entrada x(t) for um impulso uo(t), como ilustra a figura 5.18.

Fig. 5.18 – Diagrama de bloco esquemático da resposta

impulsional h(t), a saída do sistema quando a entrada é o impulso uo(t).

Um resultado clássico da teoria de sistemas, que vimos na secção 4.3, é que a saída y(t) de um sistema é a convolução entre h(t) e x(t), ou seja

)t(x*)t(h)t(y =

isto é, a saída de um sistema linear invariante no tempo (SLIT) toma a forma da inte-gral de convolução, eq. (4.5):

τ⋅τ−⋅τ=τ⋅τ⋅τ−= ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−d)t(x)(hd)(x)t(h)t(y .

Usando a propriedade da convolução para a Transformada de Laplace, eq. (5.12), ou seja, a transformada da convolução é o produto das transformadas, temos então que:

)s(X)s(H)s(Y ⋅= eq. (5.30)


40

o que permite redesenhar o diagrama acima da Fig. 5.17 na forma mostrada na Fig. 5.19.

Fig. 5.19 – Diagrama de bloco esquemático de um sis-

tema com entrada X(s), saída Y(s) e resposta impulsional H(s).

Como a Transformada de Laplace do impulso unitário uo(t) é igual a 1, ou seja:

L uo(t) = 1 conforme já visto, eq. (5.4), então quando a entrada x(t) é um impulso unitário uo(t), i.e.,

x(t) = uo(t) teremos que X(s) = 1 e portanto, pela eq. (5.30), Y(s) = H(s) × 1, isto é,

Y(s) = H(s), o que implica

y(t) = h(t), isto é, a saída y(t) se torna a resposta impulsional, como seria de se esperar. Exemplo 5.25: Retomando o sistema do Exemplo 5.22, se imaginarmos que a equação diferencial eq. (5.27) descreve a dinâmica de um sistema, então, comparando a eq. (5.28) com a eq. (5.30) obtemos Hs 2s, ! 3 Isto é consistente com a definição de h(t) e H(s) (resposta impulsional do sistema), pois se a entrada x(t) for o degrau unitário, como era no Exemplo 5.22,

x(t) = u1(t) então X(s) = 1/s e, pela eq. (5.30), temos que:


41

Ys Hs · 1s 2ss, ! 3 ou seja, o mesmo Y(s) que foi obtido no Exemplo 5.22 e que permitiu calcular a saída do sistema y(t) yt L 1Ys

Fig. 5.20 – Sistema com entrada x(t), saída y(t) e resposta impulsional h(t).

Entretanto, se a entrada do sistema fosse

x(t) = uo(t) então X(s) = 1 e, pela eq. (5.30), temos que:

Ys Hs 2s, ! 3 ou seja, a saída y(t) = h(t), conforme a própria definição da resposta impulsional h(t). A expressão deste h(t) é então achada fazendo-se ht L Hs L Ys

ou seja,

ht yt L < 2s, ! 3 = L 2√3 · √3Js, ! √3,L

e agora, pela propriedade da homogeneidade da Transformada de Laplace e usando-se a tabela da secção 5.7, temos que a resposta impulsional é: ht yt 2√3 sen√3t, t 0


42

Observe que os pólos do sistema, raízes do polinómio q(s) do denominador de H(s), qs s, ! 3, ou seja: s √3. Exemplo 5.26: No caso do Exemplo 5.23, a equação diferencial eq. (5.29), que descreve a dinâmica deste sistema, é na verdade y’’ + 5y’ + 9 y(t) = x(t) eq. (5.31) onde x(t) = 0 pois a entrada deste sistema é nula. Agora, assumindo condições iniciais nulas, i.e., y(0) = 0 e y’(0) = 0, e fazendo a Transformada de Laplace da equação eq. (5.31) termo a termo, facilmente obtém-se: s2Y(s) + 5sY(s) + 9Y(s) = X(s) o que nos fornece: Ys 1s, ! 5s ! 9 · Xs

que, novamente, comparando com a equação eq. (5.30) nos dá: Hs 1s, ! 5s ! 9 a resposta impulsional do sistema. Portanto, a resposta impulsional H(s) pode ser sempre obtida a partir da equação di-ferencial que descreve o sistema fazendo-se condições iniciais nulas. Além disso, os pólos do sistema são as raízes do polinómio qs s, ! 5s ! 9 que se encontra no denominador de H(s), que são:

s = – 2,5 ± 1,658 j


43

Para se achar h(t) temos que calcular a Transformada inversa: ht L 1Hs Reescrevendo q(s) como qs s, ! 5s ! 9 s ! 2,52 ! 2,75 e substituindo no denominador de H(s), temos Hs 1s ! 2,5, ! 2,75

0,603 · 1,658s ! 2,5, ! 1,658,

logo,

ht L C0,603 · 1,658s ! 2,5, ! 1,658,D 0,603 ·L C 1,658s ! 2,5, ! 1,658,D

e usando a tabela da secção 5.7, nos dá: ht 0,603 · ,,% · sen 1,658 t , t 0

Fig. 5.21 – Sistema com entrada x(t), saída y(t) e resposta impulsional h(t).

Exemplo 5.27: No caso do Exemplo 5.24, a equação diferencial eq. (5.29a), que descreve a dinâmica deste sistema, é y’’ + y’ + y(t) = x(t) eq. (5.32)


44

Agora, assumindo condições iniciais nulas, i.e., y(0) = 0 e y’(0) = 0, e fazendo a Transformada de Laplace da equação eq. (5.31) termo a termo, facilmente obtém-se: s,Ys ! sYs ! Ys Xs o que nos fornece: Ys 1s, ! s ! 1 · Xs

que, novamente, comparando com a equação eq. (5.30) nos dá: Hs 1s, ! s ! 1 a resposta impulsional do sistema. Mais uma vez a resposta impulsional H(s) foi obtida a partir da EDO que descreve o sistema fazendo-se condições iniciais nulas. Os pólos deste sistema são as raízes do polinómio qs s, ! s ! 1 que se encontra no denominador de H(s), que são:

s = – 0,5 ± 0,866 j

Para se achar h(t) temos que calcular a Transformada inversa: ht L 1Hs

Reescrevendo q(s) como qs s, ! s ! 1 s ! 0,52 ! 0,8662

e substituindo no denominador de H(s), temos Hs 1s ! 0,5, ! 0,866,

logo,

ht 1,1547 ·L C 0,866s ! 0,5, ! 0,866,D

e usando a tabela da secção 5.7, nos dá: ht 1,1547 · ,% · sen 0,866 t , t 0

J. A. M. Felippe de Souza 6 – Transformadas z

1

6 – Transformadas z

6.1 – Introdução às Transformadas z 4

6.2 – Transformadas z – definição 7

6.3 – Transformadas z da exponencial e do degrau discretos 8

Sinal x[n] = an⋅u1[n] (exponencial discreto) 8

Exemplo 6.1 8

Sinal x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto) 9

Exemplo 6.2 10

Exemplo 6.3 12

6.4 – Pólos discretos 13

Exemplo 6.4 13

6.5 – Transformadas z da rampa e do impulso discretos 15

Sinal x[n] = u2[n] (rampa unitária discreta) 15

Sinal x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto) 16

Exemplo 6.5 17

Exemplo 6.6 17

6.7 – Transformadas z de outros sinais discretos conhecidos 18

Exemplo 6.7 18

Sinais seno e co-seno discretos multiplicados pela exponencial 19

Sinais seno e co-seno discretos 20

Exemplo 6.8 21


2

6.8 – Tabela das Transformada z de alguns sinais discretos conhecidos 22

6.9 – Propriedades da Transformada z 24

Homogeneidade (“homogeneity”) 24

Aditividade (“additivity”) 24

Linearidade (“linearity”) 24

Translação (“time shifting”) 24

Mudança de escala no domino z (“z-domain scaling”) 26

Expansão no tempo (“time scaling”) 27

Conjugado (“conjugate”) 27

Convolução (“convolution”) 28

Derivada do domínio de z (“z-domain derivative”) 28

6.10 – Teorema do Valor Inicial (TVI) e o Teorema do Valor Final (TVF) 29

Teorema do Valor Inicial (TVI) 29

Teorema do Valor Final (TVF) 29

Exemplo 6.9 29

Exemplo 6.10 30

6.11 – Transformada z inversa 31

Caso 1 – Pólos reais e distintos 32

Exemplo 6.11 32

Caso 2 – Pólos complexos conjugados 33

Exemplo 6.12 35

Exemplo 6.13 35

Caso 3 – Pólos múltiplos (duplos, triplos, etc.) 36

Exemplo 6.14 38

Exemplo 6.15 38

Exemplo 6.16 39

Caso 4 – Pólos múltiplos na origem 39


3

6.12 – Solução de equações de diferenças usando Transformadas z 41

Exemplo 6.17 42

Exemplo 6.18 43

Exemplo 6.19 45

Exemplo 6.20 47

Exemplo 6.21 48

Exemplo 6.22 50

Exemplo 6.23 52

Exemplo 6.24 53

Exemplo 6.25 54

Exemplo 6.26 55

Exemplo 6.27 56

Exemplo 6.28 57

6.13 – A resposta impulsional h[n] e H(z) 58

Exemplo 6.29 59

Exemplo 6.30 60

Exemplo 6.31 61

Exemplo 6.32 61


4

Transformadas z

6.1 – Introdução às Transformadas z Na análise de sistemas contínuos por vezes é mais vantajoso o uso da frequência complexa ‘s’ (Transformadas de Laplace, capítulo 5). No caso de sistemas discretos, uma ferramenta bastante comum usada para passar um sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência é a Transformada z. A Transformada z também faz o uso de uma frequência complexa que neste caso é ‘z’, e portanto, ela é uma espécie de Transformadas de Laplace para sistemas discre-tos. Entretanto, as Transformadas z são baseadas em séries de potências, nas “Séries de Laurent”, publicadas em 1843 pelo matemático francês Pierre Alphonse Laurent (1813-1854). Mas, tudo indica que, embora não tivessem sido publicadas anterior-mente, estas séries já tinham sido desenvolvidas dois anos antes, em 1841, por Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), um matemático alemão que frequente-mente é citado como sendo o pai da análise moderna. As séries de Laurent são uma representação de um sinal por séries de potências, gene-ralizando a conhecida expansão em séries de Taylor para casos em que esta não pode ser aplicada. As séries de Taylor tinham sido criadas pelo matemático inglês Brook Taylor (1685-1731). As transformadas z têm grande importância nos métodos actuais de análise de siste-mas de controlo discreto, em processos de amostragem, no processamento de sinais digitais, etc.


5

Fig. 6.1 – Brook Taylor (1685–1731) à esquerda, Karl Weierstrass (1815–1897) ao

centro e Pierre Alphonse Laurent (1813–1854), à direita.

Da expansão em série de Taylor sabemos os seguintes resultados clássicos:

ν∀ν= ∑∞

=

ν ,!n

e0n

n

eq. (6.1)

1,1,n

)1()1(log

1n

n1n

−≠ν<νν⋅−=ν+ ∑∞

=

+

eq. (6.2)

resultados que serão utilizados mais adiante. Como trataremos de séries de potência infinitas, será útil relembrar aqui nesta intro-dução a conhecida fórmula do limite da soma de ‘progressões geométricas’ (P.G.) de razão q ≠ 0,

Isto é, se

xn = a1 : a2 : a3 : … : an : … = a1 : a1 q: a1 q2 : a1 q

3 :… , ou seja, an+1 = an ⋅ q , ∀n = 1, 2, 3, … ; ou, equivalentemente an = a1 ⋅ qn-1 , ∀n = 1, 2, 3, …


6

A soma Sn dos n primeiros termos da P.G. é dada por:

)1q(

)1q(aaqaqaaS

nn

0kk

nn

1111 −

−⋅==⋅++⋅+= ∑=

L

, eq. (6.3)

enquanto que, se a P.G. for ilimitada (ou infinita) e a razão q satisfaz 1q < , isto é

–1 < q < 1 ,

então, a soma S de todos os termos é dada por:

)q1(

aaqaqaqaaS 13

12

1110n

n −==+⋅+⋅+⋅+= ∑

∞

=L

, eq. (6.4)

Outro resultado conhecido é o limite da série infinita abaixo:

20n

n

)1(n432 432

α−α=α⋅=+α⋅+α⋅+α⋅+α ∑

+∞

=L . eq. (6.5)


7

6.2 – Transformadas z – definição Para representar as transformadas z de um sinal discreto x[n] usa-se seguinte a nota-ção:

]n[xZ ou )z(X

que é semelhante à notação adoptada para as Transformadas de Laplace no capítulo anterior. A definição das Transformada z unilateral de um sinal discreto x[n] é:

n

0nz]n[x)z(X]n[x −

+∞

=⋅== ∑Z eq. (6.6)

onde C∈z é um número complexo. A eq. (6.6) acima é chamada de Transformada z unilateral pois é definida para sinais x[n] onde

x[n] = 0 para n < 0 e é a definição de Transformada z adoptada aqui pois, a exemplo da Transformada de Laplace (capítulo 5), é esta a que tem maior aplicação para sistemas dinâmicos.

Fig. 6.2 – Um sinal x[n] com valor nulo para n < 0 ( x[n] = 0, n = –1, –2, … ).

Além desta definição de Transformada z unilateral (para n = 0, 1, 2, …) que adopta-mos aqui, há também a Transformada z bilateral (que é definida para ∀n, ou seja: n = 0, ±1, ±2, …).


8

6.3 – Transformadas z da exponencial e do degrau discretos Nesta secção serão apresentados as Transformadas z do sinal discreto x[n] = an, assim como de x[n] = u1[n] = degrau unitário, partindo da definição de X(z) dada em eq. (6.6).

Sinal x[n] = an⋅u1[n] (exponencial discreto)

Considere o sinal discreto:

]n[ua]n[x 1n ⋅=

onde u1[n] é o degrau unitário discreto. Usando a definição eq. (6.6) vemos que a Transformada z deste sinal é:

n

0n

n

0n

n

)za(

z]n[ua)z(X

1

1

∑

∑∞

=

−∞

=

−⋅=

⋅⋅=

que é uma progressão geométrica com o primeiro termo a1 = 1 e a razão q = a⋅z–1. Usando eq. (6.4), obtém-se:

,)za1(

1)za()z(X 1

0n

n1−

+∞

=

−

⋅−=⋅= ∑ eq. (6.7)

ou

,)az(

z]n[ua 1

n

−=⋅Z eq. (6.8)

Exemplo 6.1:

Considere o sinal x[n]

]2n[u4]1n[u2]n[u3]1n[u5]n[x 0ooo −+−−++=

ou seja,


9

∀

=

=−

=

−=

=

ndevaloroutro,0

2nse,4

1nse,2

0nse,3

1nse,5

]n[x

que se encontra ilustrado na figura 6.3.

Fig. 6.3 – O sinal x[n] do exemplo 6.1.

Agora, usando a definição de Transformada z, eq. (6.6), tem-se que:

21 z4z23)z(X −− +−= Note que o termo com valor 5, para n = –1 desaparece pois está à esquerda da origem [eq. (6.6), definição de Transformada z unilateral].

Sinal x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto) No caso particular de a = 1 no sinal anterior, corresponde ao sinal

x[n] = u1[n] que é o degrau unitário discreto.


10

Logo, do resultado obtido no sinal anterior, obtemos que a Transformada z de u1[n] é:

,)z1(

1)z(X

1−−=

ou,

,)1z(

z]n[u1 −

=Z eq. (6.9)

Exemplo 6.2: Considere o sinal discreto.

]n[u3

12]n[u

2

15]n[x 11

nn

⋅

⋅−⋅

⋅=

A Transformada z deste sinal é:

∑ ∑

∑ ∑

∑

∞+

=

∞

=

−−

∞+

−∞=

∞

−∞=

−−

−∞+

−∞=

⋅⋅−

⋅⋅=

⋅⋅

−⋅⋅

=

⋅

⋅

⋅−⋅

⋅==

0n 0n

11

n n1

n

1

n11

nn

nnn

nnn

z3

12z

2

15

z]n[u3

12z]n[u

2

15

z]n[u3

12]n[u

2

15)z(X]n[xZ

ou seja,

11 z

31

1

2

z21

1

5)z(X

−− −−

−= eq. (6.10)

Usando as equações eq. (6.7) para a = ½ e 1 = 1/3, descobre-se que:


11

−=

−=

⋅

−

2

1z

z

z2

11

1]n[u

2

1

11

n

Z

e que

−=

−=

⋅

−

3

1z

z

z3

11

1]n[u

3

1

11

n

Z

e logo, o resultado obtido na eq. (6.10) acima significa que:

⋅

⋅−

⋅

⋅=

=

⋅

⋅−⋅

⋅

]n[u3

12]n[u

2

15

]n[u3

12]n[u

2

15

11

11

nn

nn

ZZ

Z

Este resultado obtido se dá devido à propriedade da linearidade da Transformada z , a semelhança das Transformadas de Laplace no capitulo 5, e será visto mais adiante na secção 6.9 (Propriedades da Transformada z). Agora, continuando os cálculos a partir da eq. (6.10) temos que:

−

−

−

=−−

−

11

1

z3

11z

2

11

z3

23

]n[xZ

que também equivale a:

−

−

−⋅

=

3

1z

2

1z

3

2z3z

]n[xZ eq. (6.11)


12

Exemplo 6.3:

Considere a Transformada z do sinal x[n] = an⋅u1[n] já vista nas eq. (6.7) e eq. (6.8), ou seja,

.az

z

az1

1)z(X 1 −

=−

= − eq. (6.12)

Fazendo a divisão de z por (z – a) temos que:

Logo,

L+++=−

= −− 221 zaaz1az

z)z(X

Comparando com eq. (6.6), a definição de Transformada z, temos

≥∀

===<

=

0npara,a

2npara,a

1npara,a

0npara,1

0npara,0

]n[x

n

2

M

e portanto,

n1x[n] a u [n]= ⋅

que de facto corresponde ao sinal x[n] que tem como Transformada z este X(z) da eq. (6.12).


13

6.4 – Pólos discretos Conforme visto no capítulo anterior [na secção 5.8, eq. (5.20) ], uma fracção racional é uma fracção em que ambos o numerador e o denominador são polinómios:

)s(q)s(p

ou )z(q)z(p

As raízes do polinómio do denominador [ q(s) ou q(z) ] são chamados de “pólos”. A Transformada z do sinal x[n] do Exemplo 6.2, dada pela eq. (6.11), é uma fracção racional cujos pólos são:

2

1=z e 3

1z =

As Transformadas z dos sinais x[n] = an⋅u1[n] e x[n] = u1[n], dadas pelas eq. (6.8) e eq. (6.9) , são fracções racionais cujo único pólo é:

z = a no caso eq. (6.8), e

z = 1 no caso eq. (6.9) . Exemplo 6.4: Considere o sinal discreto da exponencial truncada

≥∀<∀

<<−≤≤=

Nn,0n,0

1a0,1Nn0,a]n[x

n

que encontra-se esboçado na figura 6.4.


14

Fig. 6.4 – O sinal x[n] do exemplo 6.4, 0 < a < 1. A Transformada z deste sinal é:

( )n1N

0n

1

n1N

0n

n

n

0n

n

za

za

za)z(X

∑

∑

∑

−

=

−

−−

=

−+∞

=

⋅=

=⋅=

=⋅=

e portanto X(z) é a soma SN dos N primeiros termos da progressão geométrica com o

primeiro termo a1 = 1 e a razão ( )1zaq −⋅= . Logo, usando a eq. (6.3) tem-se que

( )

( )( )

( )( ) 1N

NN

1

NN

1

N

z

1

az

az

1az

1az

1za

1za)z(X

1

−

−

−

−

⋅−−=

−−⋅=

=−⋅

−⋅=−


15

Em principio esta Transformada z parece ter um pólo em z = a e (N–1) pólos em z = 0 (ou seja, pólos múltiplos na origem). Entretanto, analisando agora o numerador desta Transformada z

0az NN =−

ou seja

NN az = que nos dá a seguinte solução:

1N,,...2,1,0k,azk

N2j

−=⋅=

π

e eq. (6.13) que são N pontos igualmente espaçados no círculo de raio a, e são as raízes (ou zeros) do numerador desta Transformada z. Portanto, para k = 0 na equação eq. (6.13) acima temos que:

z = a. Ou seja, z = a é um pólo e um zero do numerador ao mesmo tempo. Logo eles se can-celam e esta Transformada z só tem (N – 1) pólos em z = 0. 6.5 – Transformadas z da rampa e do impulso discretos

Sinal x[n] = u2[n] (rampa unitária discreta)

]n[un

]n[u]n[x

1

2

⋅=

=

tem a seguinte Transformada z :


16

L++++=

=⋅=

−−−

−∑+∞

=

321

n

z3z2z0

zn)z(X0n

que é uma progressão geométrica com o primeiro termo a1 = z–1 e a razão q = z–1 também. Logo, usando a eq. (6.5) temos que:

( ) 21

1

z1

z)z(X]n[un 1 −

−

−==⋅Z

ou

( ) 21z

z]n[un 1 −

=⋅Z

Sinal x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto)

≠∀

==

=

0n,0

0n,1

]n[u]n[x o

tem a seguinte Transformada z :

1z1z]n[u)z(X]n[u 0oo

n

0n=⋅=⋅== −

+∞

=∑Z

ou seja,

1]n[uo =Z que é um resultado análogo ao obtido com as Transformadas de Laplace no capítulo anterior: 1)s(X)t(uo ==L .


17

Exemplo 6.5: Considere o sinal discreto x[n],

]1n[u]n[x o −= que é o impulso unitário discreto transladado (i.e., com um “shift”) de uma unidade de tempo para a direita. A Transformada z deste sinal é:

11 zz1z]1n[u)z(X n

0no

−− =⋅=⋅−= −+∞

=∑

ou seja,

z

1z]n[u 1

o == −Z eq. (6.14)

Exemplo 6.6: Considere o sinal discreto x[n],

0m,]mn[u]n[x o ≥−= que é o impulso unitário discreto transladado (i.e., com um “shift”) de m unidades de tempo para a direita.


mmn

0nzz1z]mn[u)z(X o

−− =⋅=⋅−= −+∞

=∑

ou seja,

mm

z

1z]n[uo == −

Z eq. (6.15)

Note que a eq. (6.15) só é válida para m ≥ 0 pois a Transformada z adoptada aqui é a unilateral [eq. (6.6)].


18

A expressão encontrada no Exemplo 6.1 poderia ser obtida usando a Transformada z do impulso uo[n] e o resultado dos exemplo 6.5 e 6.6, dados nas equações eq. (6.14) e eq. (6.15), ou seja, 1]n[uo =Z , 0m,z]mn[u m

o ≥=− −Z e 0]1n[uo =+Z

6.7 – Transformadas z de outros sinais discretos conhecidos Inicialmente vamos ver um exemplo do sinal discreto de uma exponencial multipli-cada por um seno. Exemplo 6.7:

Considere o sinal discreto:

]n[un4

sen3

1]n[x 1

n

⋅

⋅π⋅

=

Usando a equação de Euler temos:

]n[ue3

1

j2

1]n[ue

3

1

j2

1]n[x 1

4j

14

jnn

⋅

⋅−⋅

⋅=

π⋅−π⋅


⋅−

⋅−

−

⋅=

⋅⋅−

⋅⋅=

⋅

⋅

⋅−⋅

⋅==

−π⋅−−⋅

π⋅

−π⋅−∞+

=

−π⋅

−∞+

−∞=

π⋅−π⋅

∑∑

∑

∞+

=

14j14

j

n14

jn

on

14j

n

n

n

4j

n

4j

z3

11

1

j2

1

z3

11

1

j2

1

z3

1

j2

1z

3

1

j2

1

z]n[u3

1

j2

1]n[u

3

1

j2

1)z(X]n[x

on

11

ee

ee

eeZ

ou seja,


19

⋅−⋅

⋅−

⋅=

π−π4

j4

j

31

31

231

zz

z)z(X

ee

eq. (6.16)

Note que os dois pólos desta Transformada z são:

4j

31

zπ±

⋅= e

A exemplo da Transformada z do degrau discreto, visto na secção 6.3, em que pri-meiramente apresentamo-lo multiplicado pela exponencial discreta, também aqui vamos inicialmente apresentar a Transformada z para os casos de seno e co-seno multiplicados por exponenciais discretas an.

Sinais seno e co-seno discretos multiplicados pela exponencial x[n] = an⋅sen(ωon)⋅u1[n] x[n] = an⋅ cos(ωon)⋅u1[n] têm as seguintes Transformadas z :

221o

o1

on

zaz)cos(a21

)(senza)z(X]n[u)n(sena 1 −−

−

+⋅ω⋅⋅−ω⋅⋅

==⋅ω⋅Z eq. (6.17)

e

221o

o1

on

zaz)cos(a21

)cos(za1)z(X]n[u)ncos(a 1 −−

−

+⋅ω⋅⋅−ω⋅⋅−==⋅ω⋅Z eq. (6.18)

que equivalem a

2o

2o

on

a)cos(za2z

)(senza)z(X]n[u)n(sena 1 +ω⋅⋅⋅−

ω⋅⋅==⋅ω⋅Z eq. (6.19)

e

2o

2o

on

a)cos(za2z

)]cos(az[z)z(X]n[u)ncos(a 1 +ω⋅⋅⋅−

ω⋅−⋅==⋅ω⋅Z eq. (6.20)


20

Note agora que o sinal que tinha sido visto no exemplo 6.7 é x[n] = an⋅sen(ωon)⋅u1[n] com

=31

a e

π=ω4o eq. (6.21)

e a Transformadas z encontrada naquele exemplo, dada pela eq. (6.16), pode ser rees-crita como:

2

31

21

2z

z2

9

11z

z)z(X

4j

4j

24

j4

j2

3

231

3

231

+

+⋅⋅−

⋅

=+

+⋅−

⋅=

π−ππ−π

eeee eq. (6.22)

que, usando as equações de Euler (secção 1.5) e substituindo ( ) 2/24/sen =π , a eq. (6.22) se torna em

2

3

1

4cos

12z

z4

sen)z(X

3

31

2

+

π⋅⋅−

⋅

π⋅

=

que corresponde à eq. (6.19) com a e ωo dados em eq. (6.21).

Sinais seno e co-seno discretos x[n] = sen(ωon)⋅u1[n] y[n] = cos(ωon)⋅u1[n] têm as seguintes Transformadas z :

21o

o1

ozz)cos(21

)(senz]n[u)n(sen 1 −−

−

+⋅ω⋅−ω⋅=⋅ωZ eq. (6.23)

e

21o

o1

ozz)cos(21

)cos(z1]n[u)ncos( 1 −−

−

+⋅ω⋅−ω⋅−=⋅ωZ eq. (6.24)


21

que equivalem a

1)cos(z2z

)(senz]n[u)n(sen

o2

oo 1 +ω⋅−

ω⋅=⋅ωZ eq. (6.25)

e

1)cos(z2z

)]cos(z[z]n[u)ncos(

o2

oo 1 +ω⋅⋅−

ω−⋅=⋅ωZ eq. (6.26)

Exemplo 6.8:

Considere o sinal x[n]

]1n[un

)(]n[x 1

n

−⋅λ−−=

ou seja,

−−=

=λ⋅−=+

L

L

,2,1,0n,0

,3,2,1n,n

)1(]n[x

n1n

Pela definição de Transformada z, eq. (6.6), tem-se que:

∑∞

=

−+ ⋅λ⋅−==1n

nn1n

n

z)1()z(X]n[xZ

e da expansão em série de Taylor, eq. (6.2), obtém-se que a Transformada z deste sinal é:

( ) az,z1log)z(X 1 >λ+= −

eq. (6.27) As Transformadas z introduzidas nesta secção assim como nas duas secções anterio-res (uo[n], uo[n-m], u1[n], n u1[n], n2 u1[n], sen(ωon), cos(ωon) , an sen(ωon), an cos(ωon), etc.) estão reunidas numa tabela na secção a seguir.


22

6.8 – Tabela da Transformada z de alguns sinais discretos Da mesma forma que foi feito na secção 5.7 para Transformadas de Laplace, nesta secção apresentamos uma Tabela das Transformadas z de alguns sinais discretos.

Tab 6.1 – Tabela da Transformada z de alguns sinais discretos

x[n] X(z) = ZZZZ x[n]

x[n] = uo[n] X(z) = 1

x[n] = uo[n – m] ,

m = 0, 1, 2, … ( ) m

m

z

1zzX == −

x[n] = u1[n] ( ) ( ) ( )1

1 zX z

z 11 z−= =

−−

x[n] = u1[n–1] ( ) ( )1z

1

z1

z)z(X

1

1

−=

−=

−

−

x[n] = u1[n–2]

( ) ( )1zz

1

z1

z)z(X

1

2

−=

−=

−

−

x[n] = u2[n]

= n⋅u1[n]

( )( ) ( )

1

2 21

z zX z

z 11 z

−

−= =

−−

x[n] = n2⋅u1[n]

( ) ( )31

11

1z

)1z(z

z1

)z1(z)z(X 3 −

+=−

+=−

−−

x[n] = n3⋅u1[n]

( ) ( )4

2

1

211

1z

)1z4z(z

z1

)zz41(z)z(X 4 −

++=−

++=−

−−−

x[n] = an–1⋅u1[n–1]

( ) ( )az

1

za1

z)z(X

1

1

−=

⋅−=

−

−

x[n] = an⋅u1[n] ( ) ( ) ( )1

1 zX z

z a1 a z−= =

−− ⋅


23

Tab 6.1 – Tabela da Transformada z de alguns sinais discretos (continuação)

x[n] X(z) = ZZZZ x[n]

x[n] = an⋅u2[n]

= an⋅n⋅u1[n]

( )( ) ( )

1

2 21

a z a zX z

z a1 a z

−

−

⋅ ⋅= =−− ⋅

x[n] = an⋅n2⋅u1[n] ( ) ( ) 331

11

)az(

)az(za

za1

)za1(zazX

−+⋅=

⋅−

⋅+⋅= ⋅

−

−⋅−

x[n] = sen(ωon)⋅u1[n] ( )

( )

1o

1 2o

o2

o

z sen( )X z

1 2 cos( ) z z

z sen( )

z 2 z cos( ) 1

−

− −⋅ ω=

− ⋅ ω ⋅ +

⋅ ω=− ⋅ ⋅ ω +

x[n] = cos(ωon)⋅u1[n] ( )

[ ]( )

1o

1 2o

o2

o

1 cos( ) zX z

1 2 cos( ) z z

z z cos( )

z 2 z cos( ) 1

−

− −− ω ⋅=

− ⋅ ω ⋅ +

⋅ − ω=

− ⋅ ⋅ ω +

x[n] = an⋅sen(ωon)⋅u1[n]

( )

( )

1o

1 2 2o

o2 2

o

a sen( ) zX z

1 2 a cos( ) z a z

a z sen( )

z 2 a z cos( ) a

−

− −⋅ ω ⋅=

− ⋅ ⋅ ω ⋅ +

⋅ ⋅ ω=− ⋅ ⋅ ⋅ ω +

x[n] = an⋅ cos(ωon)⋅u1[n]

( )

[ ]( )

1o

1 2 2o

o2 2

o

1 a cos( ) zX z

1 2 a cos( ) z a z

z z a cos( )

z 2 a z cos( ) a

−

− −− ⋅ ω ⋅=

− ⋅ ⋅ ω ⋅ +

⋅ − ⋅ ω=

− ⋅ ⋅ ⋅ ω +


24

6.9 – Propriedades da Transformada z A seguir vamos ver algumas propriedades que são satisfeitas pela Transformada z .

Homogeneidade (“homogeneity”) Z k · x n k · Z x n k · Xz eq. (6.28)

Aditividade (“additivity”)

)z(X)z(X

]n[x]n[x]n[x]n[x

21

2121

+=

+=+ ZZZ

eq. (6.29)

Linearidade (“linearity”)

Como já vimos em anteriormente, a linearidade é a propriedade da aditividade, eq. (6.29), e da homogeneidade eq. (6.28) juntas:

)z(X)z(X

]n[x]n[x]n[x]n[x

21

2121

⋅β+⋅α=

⋅β+⋅α=⋅β+⋅α ZZZ

eq. (6.30)

onde α, β ∈ C são constantes e x1[n], x2[n] são dois sinais discretos com Transfor-madas z dadas por X1(z) e X2(z) respectivamente. Conforme já mencionado anteriormente (no Exemplo 6.2), a propriedade da lineari-dade da Transformada z permite escrever

−−

−=

−⋅−

−⋅=

⋅

⋅−

⋅

⋅=

=

⋅

⋅−⋅

⋅

−−

3

1z

2

2

1z

5

z3

11

12

z2

11

15

]n[u3

12]n[u

2

15

]n[u3

12]n[u

2

15

11

11

11

nn

nn

ZZ

Z


25

Translação (“time shifting”): Se x[n] é um sinal discreto definido apenas para n = 0, 1, 2, … , ou seja x[n] = 0, n < 0, e com Transformada z dada por X(z), uma translação de m = 1 (shift de 1 uni-dade para direita):

]1[x)z(Xz]1n[x 1 −+⋅=− −Z eq. (6.31)

Para m = 2 (shift de 2 para direita):

12 z]1[x]2[x)z(Xz]2n[x −− ⋅−+−+⋅=−Z eq. (6.32) e no caso geral, m = 1, 2, 3, … (shift de m > 0 para direita)

1m2m2

1m

z]1[xz]2[xz]2m[x

z]1m[x]m[x)z(Xz]mn[x

+−+−−

−−

⋅−+⋅−++⋅+−+

+⋅+−+−+⋅=−

L

Z

eq. (6.33)

Os termos x[–1], x[–1]⋅z-1, x[–2], x[–m+1]⋅z-1, … etc. correspondem aos “resíduos” na propriedade da derivada em Transformadas de Laplace (capítulo 5, secção 5.4). Estes termos aparecem pois estamos considerando a Transformada z unilateral, con-forme a definição na eq. (6.6), assim como no capítulo 5 (secção 5.4) consideramos a Transformadas de Laplace unilateral. Note que se x[n] tem condições iniciais nulas (x[n] = 0, n < 0), isto é, se x1 0, x2 0, x3 0, , etc. eq. (6.34) então estes termos residuais são todos nulos e uma translação de m > 0 (shift de m para direita) equivale a multiplicar por z

–m (no domínio z, da frequência). Isto é, no caso de condições iniciais nulas [eq. (6.34)], temos que os termos residuais desaparecem e as eq. (6.31), eq. (6.32) e eq. (6.33) se transformam na forma bem mais simplificada, resumidas na eq. (6.35).


26

z)z(X)z(Xz]1n[x 1 =⋅=− −Z

22 z)z(X)z(Xz]2n[x =⋅=− −Z

eq. (6.35)

M

mm z)z(X)z(Xz]mn[x =⋅=− −Z

No caso de translação de m = –1 (shift de 1 unidade para esquerda):

z]0[x)z(Xz]1n[x ⋅−⋅=+Z eq. (6.36) para m = –2 (shift de 2 para esquerda):

2m z]0[xz]1[x)z(Xz]2n[x ⋅−⋅−⋅=+Z eq. (6.37) e no caso geral, m = –1, –2, –3, … (shift de |m| para esquerda):

m1m3

2m

z]0[xz]1[xz]3m[x

z]2m[xz]1m[x)z(Xz]mn[x

⋅−⋅−−⋅−−

+⋅−−⋅−−⋅=+

−L

Z

eq. (6.38)

Mudança de escala no domínio z (“z-domain scaling”):

α=⋅α z

X]n[xnZ

onde α ∈ C é uma constante e x[n] é um sinal discreto com Transformada z dada por X(z). Portanto, a mudança de escala no domínio z equivale à multiplicação por αn no domínio do tempo. Em particular, se α = e jω, então, como e jω

= 1, ∀ ω,

⋅=⋅

ωωzX]n[x

jnjeeZ


27

Expansão no tempo (“time scaling”): Para um sinal discreto x[n] considere o sinal expandido x(k)[n] definido abaixo.

=kdemúltiploénãonse,0

kdemúltiploénse,]k/n[x]n[x )k(

o qual está ilustrado na figura 6.5 para k = 2 e x[n] = 1, n = 1, 2, …

Fig. 6.5 – x[n] = 1, ∀ n = 0, 1, 2,… e ]n[x )k( para k = 2.

Estes sinais expandidos x(k)[n] satisfazem a seguinte propriedade:

( )kzX]n[x )k( =Z

Conjugado (“conjugate”)

( )∗∗∗ = zX]n[xZ Onde x[n] é um sinal discreto com Transformada z dada por X(z). Note que, se x[n] for um sinal real (x[n] ∈ R) então:

X(z) = X*(z*) logo, se X(z) tem um pólo em z = a também terá em z = a*.


28

Convolução (“convolution”) Semelhantemente às transformadas de Fourier e de Laplace, também na Transfor-mada z temos que a transformada da convolução é o produto das Transformadas z:

( ) )z(XzX]n[x*]n[x 2121 ⋅=Z eq. (6.39)

Derivada do domínio de z (“z-domain derivative”)

( )dz

zdXz]n[xn ⋅−=⋅Z

onde x[n] é um sinal discreto com Transformada z dada por X(z). Portanto a derivada do domínio de z equivale à multiplicação por n no domínio do tempo. Esta propriedade permite generalizar alguns sinais da tabela Tab 6.1 das Transforma-das z na secção 6.8. Por exemplo, nessa tabela pode-se ver as Transformadas z dos sinais: x[n] = u1[n] , x[n] = n⋅u1[n] e x[n] = n2⋅u1[n]

e com esta propriedade pode-se generalizar para os sinais:

x[n] = n3⋅u1[n] , x[n] = n4⋅u1[n] , … , etc.

Nessa mesma tabela também se encontram as Transformadas z dos sinais:

x[n] = an⋅u1[n] , x[n] = an⋅n⋅u1[n] e x[n] = an⋅n2⋅u1[n]

e com esta propriedade pode-se generalizar para os sinais: x[n] = an⋅n3⋅u1[n] , x[n] = an⋅n4⋅u1[n] , … , etc.


29

6.10 – Teorema Valor Inicial (TVI) e Teorema Valor Final (TVF) A exemplo dos teoremas TVI e TVF para Transformadas de Laplace (secção 5.5), estes teoremas para Transformadas z permitem que se descubra o valor inicial x[0] e o valor final x[∞] de um sinal x[n] cujo X(z), a Transformada z, seja conhecida.

Teorema do valor inicial (TVI):

( )zXlim]0[xz ∞→

=

Teorema do valor final (TVF):

( ) ( )z 1

x[ ] lim z 1 X z→

∞ = − ⋅

Exemplo 6.9:

Considere o sinal discreto do exemplo 6.2, xn 5 · 1 2⁄ 2 · 1 3⁄ · un cuja Transformada de Laplace é dada pela eq. (6.11). Aplicando-se os teoremas TVI e TVF obtemos:

x0 lim#$%

Xz lim#$%

&3z' 2

3 z(

&z 12( &z 1

3( 3

e

x∞ lim#$

z 1 · Xz lim#$

z 1 ·&3z' 2

3 z(

&z 12( &z 1

3( 0

que estão de acordo com o esperado pois que como temos x[n], claro, sabemos que neste caso são de facto x[0] = 3 e x[∞] = 0.


30

Exemplo 6.10:

Se tomarmos o sinal degrau unitário discreto xn un cuja Transformadas z é dada por (tabela Tab 6.1 da secção 6.8) Xz 1 1 z*⁄ , então, aplicando-se os teoremas TVI e TVF para Transformada z, obtemos:

x0+ lim#$%

Xz lim#$%

11 z* 1

e

x∞ lim#$

z 1 · Xz lim#$

z 1 · 11 z* 1

que novamente estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para o degrau unitário discreto x0 1 e x∞ 1. Por outro lado, se tomarmos o sinal rampa unitária discreta xn u'n cuja Trans-formadas z é dada por (tabela Tab 6.1 da secção 6.8) Xz z z 1'⁄ , então, apli-cando-se os teoremas TVI e TVF para Transformada z, obtemos:

x0+ lim#$%

Xz lim#$%

zz 1' 0

e

x∞ lim#$

z 1 · Xz lim#$

z 1 · zz 1' lim

#$ · z

z 1 ∞

que novamente estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para a rampa unitária discreta x0 0 e x∞ ∞. Finalmente, se tomarmos o sinal impulso unitário discreto xn u,n cuja Trans-formadas z é dada por (tabela Tab 6.1 da secção 6.8) Xz 1, então, aplicando-se os teoremas TVI e TVF para Transformada z, obtemos:

x0+ lim#$%

Xz lim#$%

1 1 e

x∞ lim#$

z 1 · Xz lim#$

z 1 · 1 0

que novamente estão de acordo com o esperado pois, claro, sabemos que para o impulso unitário discreto x0 1 e x∞ 0.


31

6.11 – Transformada z inversa Nesta secção vamos desenvolver as técnicas de encontrar o sinal x[n] para os quais X(z), a Transformada z, é conhecida. Ou seja, vamos calcular a Transformada z inversa de X(z).

Z* Xz xn

As Transformadas z dos principais sinais de interesse para sistemas lineares inva-riantes no tempo (SLIT) vêm em forma de uma fracção racional, ou seja, uma frac-ção do tipo:

-#.# eq. (6.40)

onde p(z) e q(z) são polinómios em z. Conforme podemos observar na tabela Tab 6.1 da secção 6.8, as Transformadas z de muitos sinais vêm todas na forma eq. (6.40) onde p(z) e q(z) são polinómios menores, isto é, do primeiro ou segundo grau, como por exemplo:

#

#*/ , ou /·#

#*/0 , etc.

De forma semelhante a que é feita para se achar a Transformadas inversas de Laplace (capítulo 5, secção 5.8), aqui também, para se achar a Transformadas z inversa é necessário desmembrar o X(z) na forma eq. (6.40) em fracções menores, ou seja, é preciso fazer a expansão de X(z) em fracções parciais. Assim como nas Transformadas inversas de Laplace da secção 5.8, vamos apresentar aqui, através de exemplos, três casos de expansão em fracções parciais:

pólos reais e distintos,

pólos complexos e

pólos múltiplos.

Os demais casos serão apenas combinações destes 3 casos, como veremos nos exem-plos das próximas secções.


32

Caso 1 – Pólos reais e distintos

Vamos ilustrar o caso de pólos reais e distintos com um exemplo: Exemplo 6.11:

Considere a Transformada z abaixo com 2 pólos distintos: z = 1/3, e z = 1/2,

( )( ) ,

2/1z)(3/1z6

4z9z2

1z5z6

z8z18)z(X 2

2

−−−=

+−−= eq. (6.41)

que, separando-se em duas fracções temos:

−+

−=

2

1z

B

3

1z

A

z

)z(X

e, de forma semelhante a que foi feita no capítulo 5, secção 5.8, facilmente calcula-mos que A = 2 e B = 1. Usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8,

( ) ]n[u3

1

3/1z

z1

n1-

=

−Z

( ) ]n[u2

1

2/1z

z1

n1-

=

−Z

e podemos escrever a Transformada z inversa de X(z)

]n[u

2

1]n[u

3

12]n[x 11

nn

⋅⋅

+

⋅= eq. (6.42)

Alternativamente pode-se calcular este x[n] reescrevendo X(z) em eq. (6.41) na forma:

,z

2

11z

3

11

z3

43

)z(X11

1

−

−

−=

−−

−

que, separando-se em duas fracções temos:


33

−+

−=

−− 11 z21

1

B

z31

1

A)z(X

e, novamente calculamos que A = 2 e B = 1. Logo, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, podemos escrever a Transformada z inversa de X(z) na forma eq. (6.42), chegando ao mesmo resultado.

Caso 2 – Pólos complexos conjugados Considere X(z), a Transformada z de x[n], dada abaixo:

22

2

z)cos2(z

z)z(X

ρ+θρ−= eq. (6.43)

onde

ρ > 0 e 0 < θ < π eq. (6.44) Note que X(z) tem 2 pólos complexos conjugados:

)senj(cosz j θ⋅±θ⋅ρ=⋅ρ= θ±e

Para calcular )]z(X[]n[x 1−=Z reescreve-se X(z) na forma,

zz)cos2(z

)sen(z

)sen(

1)z(X

22⋅

ρ+⋅θρ−θ⋅ρ⋅⋅

θ⋅ρ=

e, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8 e a eq. (6.36)

]1n[usen

])1n[(sen

]1n[u])1n[(sen)sen(

1]n[x

1

n

11n

+⋅θ

θ⋅+⋅ρ=

+⋅θ⋅+⋅ρ⋅θ⋅ρ

= +

que neste caso equivale a


34

]n[usen

])1n[(sen]n[x 1

n

⋅θ

θ⋅+⋅ρ= eq. (6.45)

pois para n = –1, sen (n+1) = sen(0) = 0, então x[–1 ] = 0. Alternativamente pode-se calcular este x[n] reescrevendo X(z) em eq. (6.43) na forma:

221 zz)cos2(1

1)z(X −− ρ+⋅θρ−

=

que pode ser colocado na forma:

zzz)cos2(1

z)sen(

)sen(

1)z(X 221

1

⋅

ρ+⋅θρ−⋅θ⋅ρ⋅

θ⋅ρ= −−

−

e, novamente, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, podemos escrever a Transformada z inversa de X(z) na forma eq. (6.45), chegando ao mesmo resultado. Esta solução da Transformada z inversa de X(z) da eq. (6.43) engloba uma família de X(z) do tipo eq. (6.40) com o denominador

cbzz)z(q 2 +−= que satisfazem

c4b2 < eq. (6.46) ou seja, tal que o polinómio q(z) tem raízes complexas conjugadas. Uma fracção racional do tipo

212

22

czbz1

1

cbzz

z

)z(q

z−− +−

=+−

=

onde a condição eq. (6.46) é satisfeita, i.e., c4b2 < , pode sempre ser reescrita na forma da eq. (6.43) com ρ > 0 e 0 < θ < π.


35

Exemplo 6.12: Considere X(z) dado por

4zz

z

z4z1

1)z(X

2

2

21 +−=

+−= −−

então a eq. (6.46) é satisfeita pois polinómio q(z) neste caso terá b = 1 e c = 4. Fazendo

=θ

=ρ⇒

==θρ==ρ

4

1cos

2

1bcos2

4c2

e portanto,

1arccos 1,318 rad 75,5º

4 θ = = =

,

e claramente ρ e θ satisfazem eq. (6.44). Logo, x[n], Transformada z inversa de X(z), é dada pela eq. (6.45) com ρ = 2 e θ = 1,318 rad, ou seja:

]n[u)318,1(sen

]318,1)1n[(sen2]n[x 1

n

⋅⋅+⋅=


10z5z

z

z10z51

1)z(X

2

2

21 ++=

++= −−

então a eq. (6.46) é satisfeita pois polinómio q(z) neste caso terá b = –5 e c = 10. Fazendo

−=−=θ

=ρ⇒

−==θρ==ρ

79,0102

5cos

10

5bcos2

10c2


36

e portanto, ( )arccos 0,79 2,482 rad 142,2ºθ = − = = ,

e claramente ρ e θ satisfazem eq. (6.44). Logo, x[n], Transformada z inversa de X(z), é dada pela eq. (6.45) com ρ = 3,162 e θ = 2,482 rad, ou seja:

]n[u)482,2(sen

]482,2)1n[(sen)162,3(]n[x 1

n

⋅⋅+⋅=

Caso 3 – Pólos múltiplos (duplos, triplos, etc.) Para exemplificar este caso de pólos múltiplos vamos considerar primeiramente X(z) com pólos duplos. Vamos nos concentrar nos casos em que os pólos múltiplos são z ≠ 0. No caso 4 trataremos em separado o caso de pólos múltiplos na origem (z = 0). A condição da eq. (6.44) para o caso 2 de pólos complexos conjugados, i.e.,

ρ > 0 e 0 < θ < π não inclui

θ = 0 e θ = π pois na verdade, para estes dois valores os pólos de X(z) deixam de ser complexos e passam a ser duplos. Note que se θ = 0 ou θ = π, então cos(θ) = ± 1 e portanto X(z) da eq. (6.43) se torna

22

2

22

2

z2z

z

z)cos2(z

z)z(X

ρ+ρ−=

ρ+θρ−=

ou seja,

( )22

z

z)z(X

ρ−= eq. (6.47)

no caso de θ = 0, ou

( )2

2

z

z)z(X

ρ+= eq. (6.48)

no caso de θ = π.


37

Portanto, θ = 0 ou θ = π correspondem aos casos de pólos duplos onde o pólo duplo é z = ± ρ. (contemplando os casos de cos θ = ± 1). Se X(z), a Transformada z de x[n], estiver na forma da eq. (6.47), o pólo duplo é

z = ρ e para calcular )]z(X[]n[x 1−=Z reescreve-se X(z) como

z)z(

z1)z(X 2 ⋅

ρ−⋅ρ⋅

ρ=

e, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8 e a propriedade da translação (time shift), neste caso de m = –1, (1 unidade para esquerda), eq. (6.36), temos

]1n[u)1n(]1n[u]1n[u1

]n[x 122nn1n +⋅+⋅ρ=+⋅ρ=+⋅ρ⋅

ρ= +

que equivale a

]n[u)1n(]n[x 1n ⋅ρ⋅+= eq. (6.49)

pois u1[–1] = 0 e logo u1[n+1] = u1[n]. Alternativamente pode-se calcular este x[n] reescrevendo X(z) em eq. (6.47) na forma:

z)z1(

z1)z(X

21

1

⋅ρ−⋅ρ⋅

ρ=

−

−

e, novamente, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, e a pro-priedade da translação (time shift), podemos escrever a Transformada z inversa de X(z) na forma eq. (6.49), obtendo o mesmo resultado. Se entretanto X(z), a Transformada z de x[n], estiver na forma da eq. (6.48), então, o

pólo duplo é z = –ρ e para calcular )]z(X[]n[x 1−=Z reescreve-se X(z) como

z))(z(

z)(1)z(X

2⋅

ρ−−⋅ρ−⋅

ρ−=

e, de forma análoga chegamos ao resultado

]n[u)()1n(]n[x 1n ⋅ρ−⋅+= eq. (6.50)


38

Esta solução da Transformada z inversa de X(z) da eq. (6.47) ou eq. (6.48) engloba uma família de X(z) do tipo eq. (6.40) com

cbzz)z(q 2 +−= que satisfazem

c4b2 = eq. (6.51) ou seja, tal que o polinómio q(z) tem raízes duplas z = – b/2. Exemplo 6.14: Considere X(z) dado por

2

2

2

2

2 )3z(

z

9z6z

z

z9z61

1)z(X

1 +=

++=

++= −−

então o polinómio q(z) neste caso terá b = 6 e c = 9 e a eq. (6.51) é satisfeita. Além disso, 39 ==ρ e o pólo duplo é z = –ρ = –3. Logo, x[n], Transformada z inversa de X(z), é dada pela eq. (6.50), ou seja:

]n[u)3()1n(]n[x 1n ⋅−⋅+=


2

2

2

2

2 )4z(

z5

16z8z

z5

z16z81

5)z(X

1 −=

+−=

+−= −−

então o polinómio q(z) neste caso terá b = –8 e c = 16 e a eq. (6.51) é satisfeita. Além disso, 416 ==ρ e o pólo duplo é z = ρ = 4. Logo, x[n], Transformada z inversa de X(z), é obtida pela eq. (6.49), pela propriedade da homogeneidade, eq. (6.28), e a pela propriedade da translação (time shift), eq. (6.36), ou seja:

]n[u4)1n(5]n[x 1n ⋅⋅+⋅=


39


22

2

21

1

)2z(

6z

4z4z

z6z

z4z41

z61)z(X

++=

+++=

+++= −−

−

Aqui o polinómio do denominador

4z4z)z(q 2 ++= , e novamente a eq. (6.51) é satisfeita pois neste caso b = –4 e c = 4. Além disso,

24 ==ρ e o pólo duplo é z = –ρ = –2. Logo, reescrevemos X(z) na forma

122

z)2z(

z6

)2z(

z)z(X −⋅

+⋅−

+=

que equivale a

122 z

)2z(

z)2(3

)2z(

z)2(21

)z(X −⋅+

⋅−⋅−+

⋅−⋅

−=

Desta forma x[n], a Transformada z inversa de X(z), é facilmente obtida pela eq. (6.50), pela propriedade da linearidade, eq. (6.30), e a pela propriedade da trans-lação (time shift), eq. (6.31) ou, neste caso, eq. (6.35). ou seja:

]1n[u)2()1n(3]n[un)2(2

1]n[x 1

1n1

n −⋅−⋅−⋅−⋅⋅−⋅−= −

Caso 4 – Pólos múltiplos na origem O caso particular de pólos múltiplos em z = 0 será considerado separadamente aqui. Já vimos acima, no caso 3, que a condição da eq. (6.44) para o caso 2 de pólos com-plexos conjugados, i.e.,


40

ρ > 0 e 0 < θ < π não inclui

θ = 0 e θ = π e estes são os casos que temos pólos duplos em z ≠ 0. Mas esta condição da eq. (6.44) também não inclui

ρ = 0 pois novamente, neste caso, os pólos de X(z) deixam de ser complexos e passam a ser duplos, mas agora em z = 0. Note que se ρ = 0, X(z) da eq. (6.43) torna-se

1z

z

)0z(

z

z)cos2(z

z)z(X

2

2

2

2

22

2

==−

=ρ+θρ−

=

ou seja, pólos duplos na origem (i.e., em z = ρ = 0). Usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8 e facilmente calcular

)]z(X[]n[x 1−=Z é o impulso unitário

]n[u]n[x o= Podemos facilmente generalizar para mais pólos múltiplos na origem: No caso de pólos triplos na origem (pólos triplos em z = 0), X(z) terá a expressão:

z

1

)0z(

z)z(X 3

2

=−

=

e a Transformadas z, pela tabela Tab 6.1 da secção 6.8 fica:

]1n[u]n[x o −= No caso de pólos quádruplos em z = 0, X(z) terá a expressão:

24

2

z

1

)0z(

z)z(X =

−=


41

e a Transformadas z, pela tabela Tab 6.1 da secção 6.8 será:

]2n[u]n[x o −= e assim por diante. Generalizando, se

kz

1)z(X = , k = 0, 1, 2, …

então

]kn[u]n[x o −= 6.12 – Solução de equações de diferenças usando Transformadas z A Transformada z é útil para a solução de equações de diferenças, de forma seme-lhante ao uso da transformada de Laplace na solução de equações diferenciais ordi-nárias (EDO). Para a resolução de equações de diferenças com o uso da Transformada z, a proprie-dade da translação (“time shift”) [equações eq. (6.31) – eq. (6.38)] é tão importante como era a propriedade da derivada no caso da Transformada de Laplace na resolu-ção de EDO. Equações de diferenças descrevem a dinâmica de sistemas discretos onde x[n] é a entrada (“input”) e y[n] é a saída (“output”).

Fig. 6.6 – Diagrama de blocos (caixa preta) de um sistema. Normalmente, a entrada x[n] é conhecida e as condições iniciais da saída y[n], isto é,

y[–1], y[–2], y[–3], etc.


42

O número de condições iniciais necessárias para resolver a equação de diferenças é a ordem da própria equação de diferenças (que é a ordem do sistema). Logo, se for de 1ª ordem, precisa-se de y[–1]; se for de 1ª ordem, precisa-se de y[–1] e y[–2], e assim por diante. Exemplo 6.17: Considere a equação às diferenças de 1ª ordem. ]n[x]1n[y3]n[y =−+ eq. (6.52) com condição inicial nula, y[–1] = 0. Fazendo-se a a Transformada z da eq. (6.52) termo a termo, com o uso da eq. (6.31),

)z(X)z(Yz3]z[Y 1 =⋅+ − isto é,

( ) )z(Xz31]z[Y 1 =+⋅ −

e logo,

)z(X3z

z)z(X

z31

1]z[Y

1⋅

+=⋅

+= − eq. (6.53)

e o problema de achar a solução y[n] da equação de diferença da eq. (6.52) se con-verte no problema de achar a Transformada z inversa de Y(z) da eq. (6.53). Ou seja

y[n] = Z –1Y(z) Se x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto), por exemplo, então X(z) = 1 e, da eq. (6.53):

+==

3z

z]z[Y]n[y 1-1-

ZZ

ou seja,

]n[u)3(]n[y 1n ⋅−= eq. (6.54)


43

que é a solução da equação de diferenças eq. (6.52) com condição inicial nula, i.e., y[–1] = 0 e entrada x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto).

Pode-se facilmente verificar que ]n[u)3(]n[y 1n ⋅−= de facto satisfaz a eq. (6.52)

com x[n] = uo[n] e que y[–1] = 0. Se entretanto x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto), então X(z) = 1/(z – 1) e portanto, da eq. (6.53):

( ) ( ) ( ) ( )

−+

+=

−⋅

+==

1z

Bz

3z

Az

1z

z

3z

z]z[Y]n[y 1-1-1-

ZZZ

e facilmente se calcula que A = ¾ e B = ¼ . Logo,

( ) ( )

−⋅

++

⋅

=1z

z

4

1

3z

z

4

3]n[y 1-Z

e agora, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, e pela proprie-dade da linearidade (secção 6.10) obtém-se:

]n[u

4

1)3(

4

3]n[y 1

n ⋅

+−⋅

= eq. (6.55)

que é a solução da equação de diferenças eq. (6.52) com condição inicial nula, i.e., y[–1] = 0 e entrada x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto). Pode-se facilmente verificar que y[n] dado pela eq. (6.55) de facto satisfaz a eq. (6.52) com x[n] = u1[n] e que a condição inicial, y[–1] = 0, se verifica. Exemplo 6.18: Considere agora a mesma equação de diferenças eq. (6.52), do exemplo anterior (exemplo 6.17), ou seja,

]n[x]1n[y3]n[y =−+ eq. (6.56) mas desta vez com condições inicial dada por:

y[–1] = 1


44

Portanto aqui temos que utilizar a propriedade da translação (“shift”) eq. (6.31), o que nos dá, para Transformada z desta equação de diferenças:

)z(X)z(Yz3]1[y3)z(Y 1 =⋅⋅+−⋅+ −

1 e portanto,

)z(X3]z31[)z(Y 1 +−=⋅+⋅ − ou seja,

)z(X)z31(

1

)z31(

3)z(Y

11⋅

++−= −− + eq. (6.57)

zero input zero state response response Podemos observar que se x[n] e y[n] forem respectivamente a entrada e a saída de um sistema discreto, então a saída y[n] será composta de duas partes que podemos identi-ficar nas parcelas da sua Transformada z, Y(z). A primeira parcela Y(z) (chamada de “zero input response”), corresponde à saída do sistema apenas pelo efeito das condições iniciais, ou seja, com entrada x[n] = 0. A segunda parcela Y(z) (chamada de “zero state response”), corresponde à saída do sistema apenas pelo efeito da entrada x[n], ou seja, com condições iniciais nulas.

Consideremos agora que a entrada x[n] é o sinal:

x[n] = 8⋅u1[n]

Logo, )1z(

z8

)z1(

8)z(X

1 −=

−= − e portanto a eq. (6.57) torna-se

)1z)(3z(

z8

)3z(

z3

)z1)(z31(

8

)z31(

3)z(Y

2

111

−++

+−=

−++

+−= −−−

eq. (6.58)


45

o que permite acharmos a solução y[n] da equação de diferença eq. (6.56) através da sua Transformada z inversa

)z(Y]n[y 1−=Z Portanto, fazendo a expansão de eq. (6.58) em fracções parciais, temos

)1z(

z2

)3z(

z3)z(Y

−+

+=

e logo, com auxílio da tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, obtemos

[ ] ]1n[u2)3(3

]1n[u2]1n[u)3(3]n[y

1

11

n

n

+⋅+−⋅=

+⋅++⋅−⋅= eq. (6.59)

que é a solução da equação de diferenças eq. (6.56) com condição inicial y[–1] = 1 e entrada x[n] = 8u1[n]. Note que, como a equação de diferenças eq. (6.56) é de 1ª ordem e y[–1] ≠ 0, foi necessário recuar uma unidade de tempo, o que corresponde de u1[n] para u1[n+1]. Pode-se facilmente verificar que y[n] dado pela eq. (6.59) de facto satisfaz a eq. (6.56) com x[n] = 8u1[n] e que a condição inicial, y[–1] = 1, se verifica. Exemplo 6.19: Considere a equação às diferenças de 1ª ordem

]1n[x21

]n[x]1n[y31

]n[y −+=−− eq. (6.60)

com condição inicial nula, isto é, y[–1] = 0, onde a entrada x[n] é

x[n] = u1[n] = degrau unitário discreto.


46

Usando a eq. (6.31) achamos a Transformada z da eq. (6.60) termo a termo

[ ]( ) [ ]( ))z(Xz1x2

1)z(X)z(Yz1y

3

1]z[Y 11 ⋅+−⋅+=⋅+−⋅− −− eq. (6.61)

0 0 Note também X(z) = 1/(1 – z-1) e que x[–1] = u1[–1] = 0. Logo, X(z)

−

⋅

+=⋅

+=⋅

− −−−−

1111

z1

1z

2

11)z(Xz

2

11]z[Yz

3

11

e portanto,

( )1z31

z

z21

z

z1

1

z31

1

z21

1]z[Y

2

11

1

−⋅

−

+=

−⋅

−

+= −

−

−

eq. (6.62)

e mais uma vez pode-se achar a solução y[n] de uma equação de diferenças, neste caso da eq. (6.60), achando-se a Transformada z inversa de Y(z), neste caso da eq. (6.62), ou seja,

y[n] = Z –1Y(z). Agora, fazendo a expansão em fracções parciais de eq. (6.62), obtemos:

( ) ( )1z

z25,2

3/1z

z25,1]z[Y

−+

−−=

e logo, com auxílio da tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, obtemos a solução da equação de diferenças eq. (6.60) com condição inicial nula:

]n[u25,2

3

125,1]n[y 1

n

⋅

+

⋅−= eq. (6.63)


47

que é a solução da equação de diferenças eq. (6.60) com condição inicial nula, i.e., y[–1] = 0 e entrada x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto). Pode-se facilmente verificar que y[n] dado pela eq. (6.63) de facto satisfaz a eq. (6.60) com x[n] = u1[n] e que a condição inicial, y[–1] = 0, se verifica. Exemplo 6.20: Considere novamente a equação de diferenças de 1ª ordem eq. (6.60) do exemplo anterior (exemplo 6.19),

]1n[x21

]n[x]1n[y31

]n[y −+=−− eq. (6.64)

com condição inicial nula, isto é, y[–1] = 0, mas com a entrada x[n]

x[n] = impulso unitário discreto = uo[n]. Neste caso X(z) = 1; x[–1] = uo[–1] = 0; e Y(z) é semelhante ao dado pela eq. (6.61)

[ ]( ) [ ]( ))z(Xz1x2

1)z(X)z(Yz1y

3

1]z[Y 11 ⋅+−⋅+=⋅+−⋅− −−

0 1 0 1 e portanto,

−

+=

−

+=

−

−

3

1z

2

1z

z3

11

z2

11

]z[Y1

1

eq. (6.65)

e mais uma vez a solução y[n] da equação de diferenças eq. (6.64) é a Transfor-mada z inversa de Y(z) ), neste caso da eq. (6.65), ou seja,

y[n] = Z –1Y(z). Reescrevendo Y(z) em eq. (6.65) como


48

1z

3

1z

z2

1

3

1z

z

3

1z

2

1

3

1z

z]z[Y

−⋅

−

⋅+

−

=

−+

−=

e fazendo uso da tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8 e da eq. (6.36), obtemos

]1n[u3

1

2

1]n[u

3

1]n[y 11

1nn

−⋅

⋅+⋅

=−

eq. (6.66)

que é a solução da equação de diferenças eq. (6.64) com condição inicial nula, i.e., y[–1] = 0 e entrada x[n] = uo[n]. Pode-se também verificar que y[n] dado pela eq. (6.66) de facto satisfaz a equação de diferenças eq. (6.64) com x[n] = uo[n] e que a condição inicial, y[–1] = 0, se verifica. Exemplo 6.21: Considere novamente a equação de diferenças de 1ª ordem eq. (6.60) usada nos dois exemplos anteriores (exemplo 6.19 e 6.20),

]1n[x2

1]n[x]1n[y

3

1]n[y −+=−− eq. (6.67)

com condição inicial y[–1] = 2, e a entrada x[n] dada por

x[n] = impulso unitário discreto = uo[n]. Neste caso X(z) = 1; x[–1] uo[–1] = 0; e Y(z) é semelhante ao dado pela eq. (6.61)

[ ]( ) [ ]( ))z(Xz1x2

1)z(X)z(Yz1y

3

1]z[Y 11 ⋅+−⋅+=⋅+−⋅− −−

2 1 0 1


49

e portanto,

11 z2

11

3

2)z(Yz

3

1]z[Y −− ⋅++=⋅⋅−

logo,

−

++

−

=

−

++

−

=−

−

−

3

1z

2

1z

3

1z

z3

2

z3

11

z2

11

z3

11

3

2

]z[Y1

1

1

eq. (6.68)

e a solução y[n] da equação de diferenças eq. (6.67) é uma vez mais a Transfor-mada z inversa de Y(z) ), neste caso da eq. (6.68), ou seja,

y[n] = Z –1Y(z). Reescrevendo Y(z) em eq. (6.68) como

1z

3

1z

z2

1

3

1z

z

3

1z

z3

5

3

1z

2

1

3

1z

z

3

1z

z3

2

]z[Y

−⋅

−

⋅

+

−

+

−

⋅

=

−

+

−

+

−

⋅

=

e fazendo uso da tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8 e da eq. (6.31), obtemos

]n[u3

1

2

1]n[u

3

1]1n[u

3

1

3

5]n[y 111

1nnn

⋅

⋅

+⋅

++⋅

⋅

=−

eq. (6.69)


50

que é a solução da equação de diferenças eq. (6.67) com condição inicial y[–1] = 2 e entrada x[n] = uo[n]. Note que, como a equação de diferenças eq. (6.67) é de 1ª ordem e y[–1] ≠ 0, foi necessário recuar uma unidade de tempo, o que corresponde de u1[n] para u1[n+1]. Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.69) de facto satisfaz a a equação de dife-renças eq. (6.67) com x[n] = uo[n] e que a condição inicial, y[–1] = 2, se verifica. Exemplo 6.22: Considere a equação às diferenças de 2ª ordem.

]n[x]2n[y6]1n[y5]n[y =−+−+ eq. (6.70) com condições iniciais nulas, isto é: y[–1] = 0 e y[–2] = 0. Observe que, como a equação de diferenças eq. (6.70) é de 2ª ordem, aqui foi neces-sário duas condições iniciais: y[–1] e y[–2]. Com o uso da eq. (6.32), achamos a Transformada z da eq. (6.70),

)z(X)z(Yz6)z(Yz5]z[Y 21 =⋅+⋅+ −− logo,

)z(X]z6z51[]z[Y 21 =++⋅ −− e portanto,

( )

( ) )z(X)3z)(2z(

z)z(X

6z5z

z

)z(Xz6z51

1)z(Y

22

21

⋅++

=⋅++

=

⋅++

= −−

eq. (6.71)

e novamente a tarefa de encontrar a solução y[n] da equação de diferença da eq. (6.70) é convertido no problema de achar a Transformada z inversa de Y(z) da eq. (6.71). Isto é,

y[n] = Z -1Y(z)


51

Se x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto), então X(z) = 1 e então, da eq. (6.71):

++

+=

++==

)3z(

Bz

)2z(

Az

)3z)(2z(

z]z[Y]n[y 1-

21-1-

ZZZ

e facilmente se calcula que A = 0,6 e B = 0,4. Logo,

( ) ( ) ( ) ( )

+⋅+

+⋅=

3z

z4,0

2z

z6,0]n[y 1-

Z

e agora, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, e pela proprie-dade da linearidade (secção 6.10): ( ) ( )[ ] ]n[u)3(4,0)2(6,0]n[y 1

nn ⋅−⋅+−⋅= eq. (6.72) que é a solução da equação de diferenças eq. (6.70) com condições iniciais nulas, e entrada x[n] = uo[n]. Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.72) de facto satisfaz a a equação de dife-renças eq. (6.70) com x[n] = uo[n] e que as condições y[–1] = 0 e y[–2] = 0, se verifi-cam. Se entretanto x[n] = u1[n] (degrau unitário discreto), então X(z) = 1/(z – 1) e então, da eq. (6.71):

( ) ( ) ( )

−+

++

+=

−⋅

++==

1z

Cz

3z

Bz

)2z(

Az

1z

z

)3z)(2z(

z]z[Y]n[y 1-

21-1-

ZZZ

e facilmente se calcula que A = 0,25 , B = –0,333 e C = 0,0833 . Logo,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−⋅+

+⋅−

+⋅=

1z

z0833,0

3z

z333,0

2z

z25,0]n[y 1-

Z

e agora, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, e pela proprie-dade da linearidade (secção 6.10):

( ) ( ) ( ) ]n[u0833,0]n[u)3(333,0]n[u)2(25,0]n[y 111nn ⋅+⋅−⋅−⋅−⋅=

ou seja,


52

( ) ( ) ( )[ ] ]n[u0833,0)3(333,0)2(25,0]n[y 1nn ⋅+−⋅−−⋅= eq. (6.73)

que é a solução da equação de diferenças eq. (6.70) com condições iniciais nulas, e entrada x[n] = u1[n]. Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.73) de facto satisfaz a a equação de dife-renças eq. (6.70) com x[n] = uo[n] e que as condições y[–1] = 0 e y[–2] = 0, se verifi-cam. Exemplo 6.23: Considere a equação de diferenças de 2ª ordem do exemplo anterior, mas na forma homogénea, isto é, 0]2n[y6]1n[y5]n[y =−+−+ eq. (6.74) e com as condições iniciais

y[–1] = 1 e y[–2] = 0 Equações de diferenças homogéneas representam sistemas livres, ou seja, sistemas que não têm entrada (“input”), i.e., x[n] = 0. A saída (“output”) destes sistemas é apenas pelo efeito das condições iniciais.

Fig. 6.7 – Um sistema livre, a entrada x[n] = 0.

Usando a eq. (6.32) achamos a Transformada z da eq. (6.74) termo a termo

[ ] [ ] 0)z(Yzz]1[y]2[y6)z(Yz]1[y5)z(Y 211 =⋅+⋅−+−⋅+⋅+−⋅+ −−−

1 0 1 ou seja,

121 z65)z6z51()z(Y −−− −−=++⋅ e portanto,


53

)3z(

Bz

)2z(

Az

)6z5z(

z6z5

)z6z51(

z65)z(Y 2

2

21

1

++

+=

++−−=

++−−= −−

−

onde facilmente calcula-se que A = 4 e B = –9. Logo, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, temos que y[n] = Z –1Y(z) é dado por

( ) ( )

]2n[u)3924(

]2n[u39]2n[u24]n[y

1nn

1n

1n

+⋅⋅−⋅=

+⋅−⋅−+⋅−⋅= eq. (6.75)

que é a solução da equação de diferenças eq. (6.74) com condições iniciais y[–1] = 1 e y[–2] = 0, e entrada x[n] = 0. Note que, como a equação de diferenças eq. (6.74) é de 2ª ordem e as condições ini-ciais são ≠ 0, foi necessário recuar duas unidade de tempo, o que corresponde de u1[n] para u1[n+2], embora aqui bastava uma unidade de tempo pois y[–1] ≠ 0 mas y[–2] = 0. Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.75) de facto satisfaz a a equação de dife-renças eq. (6.74) com x[n] = 0 e as condições y[–1] = 1 e y[–2] = 0, de facto se veri-ficam. Exemplo 6.24: Considere a equação de diferenças de 2ª ordem ]n[x]2n[y2]1n[y]n[y =−−−− eq. (6.76) com condições iniciais

0]1[y =− e 1]2[y =− e a entrada x[n] dada por x[n] = u1[n] = degrau unitário discreto. Usando a eq. (6.32) achamos a Transformada z da eq. (6.76) termo a termo

[ ] [ ] )z(X)z(Yzz]1[y]2[y2)z(Yz]1[y)z(Y 211 =⋅+⋅−+−⋅−⋅+−− −−−

0 1 0 1/(1 – z-1)


54

ou seja,

)z1(

12)z2z1()z(Y

121

−−−

−+=−−⋅

e portanto,

)1z(

Cz

)2z(

Bz

)1z(

Az

)1z)(z2z1(

z

)2zz(

z2

)z1)(z2z1(

1

)z2z1(

2)z(Y

21

3

2

2

12121

−+

−+

+=

−−−+

−−=

−−−+

−−=

−−

−−−−−

onde facilmente calcula-se que A = 5/6, B = 8/3 e C = –1/2. Logo, usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8, temos que y[n] = Z -1Y(z) é dado por

]2n[u2

12

3

8)1(

6

5

]2n[u2

1]2n[u2

3

8]2n[u)1(

6

5]n[y

1

111

nn

nn

+⋅

−⋅+−⋅=

+⋅−+⋅⋅++⋅−⋅=

eq. (6.77)

que é a solução da equação de diferenças eq. (6.76) com condições iniciais y[–1] = 0 e y[–2] = 1, e entrada x[n] = u1[n]. Note que, como a equação de diferenças eq. (6.76) é de 2ª ordem e as condições ini-ciais são ≠ 0, foi necessário recuar duas unidades no tempo, o que corresponde de u1[n] para u1[n+2]. Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.77) de facto satisfaz a equação de diferen-ças eq. (6.76) com x[n] = u1[n] e as condições y[–1] = 0 e y[–2] = 1, de facto se veri-ficam. Exemplo 6.25: Considere a equação de diferenças abaixo com condições iniciais nulas: y[–1] = 0 e y[–2] = 0, e entrada x[n] = uo[n] = impulso unitário discreto, (logo X(z) = 1),


55

y[n] y[n 1] 4 y[n 2] x[n]− − + − = eq. (6.78) Usando a eq. (6.32) achamos a Transformada z da eq. (6.78) termo a termo

[ ] [ ] )z(X)z(Yzz]1[y]2[y4)z(Yz]1[y)z(Y 211 =⋅+⋅−+−⋅+⋅+−− −−−

0 0 0 1 ou seja,

1)z4z1()z(Y 21 =+−⋅ −− e portanto,

)4zz(

z

)z4z1(

1)z(Y 2

2

21 +−=

+−= −− eq. (6.79)

Entretanto, pelo exemplo 6.12, sabemos que para Y(z) dado acima em eq. (6.79), y[n] = Z -1Y(z) é dado por

]n[u)318,1(sen

]318,1)1n[(sen2]n[y 1

n

⋅⋅+⋅= eq. (6.80)

que é a solução da equação de diferenças eq. (6.78) com condições iniciais nulas (i.e., y[–1] = 0 e y[–2] = 0), e entrada x[n] = uo[n]. Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.80) de facto satisfaz a equação de diferen-ças eq. (6.78) com x[n] = uo[n] e as condições y[–1] = 0 e y[–2] = 0, de facto se veri-ficam. Exemplo 6.26:

Considere a equação de diferenças abaixo com condições iniciais nulas: y[–1] = 0 e y[–2] = 0, e entrada x[n] = uo[n] = impulso unitário discreto, (logo X(z) = 1),

y[n] 5 y[n 1] 10 y[n 2] x[n]+ − + − = eq. (6.81) Usando a eq. (6.32) achamos a Transformada z da eq. (6.81) termo a termo

[ ] [ ] )z(X)z(Yzz]1[y]2[y10)z(Yz]1[y5)z(Y 211 =⋅+⋅−+−⋅+⋅+−⋅+ −−−

0 0 0 1


56

ou seja, 1)z10z51()z(Y 21 =++⋅ −−

e portanto,

)10z5z(

z

)z10z51(

1)z(Y 2

2

21 ++=

++= −− eq. (6.82)


( )

]n[u)482,2(sen

]482,2)1n[(sen162,3]n[y 1

n

⋅⋅+⋅= eq. (6.83)

que é a solução da equação de diferenças eq. (6.81) com condições iniciais nulas (i.e., y[–1] = 0 e y[–2] = 0), e entrada x[n] = uo[n]. Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.83) de facto satisfaz a equação de diferen-ças eq. (6.81) com x[n] = uo[n] e as condições y[–1] = 0 e y[–2] = 0, de facto se veri-ficam. Exemplo 6.27:

Considere a equação de diferenças abaixo com condições iniciais nulas: y[–1] = 0 e y[–2] = 0, e entrada x[n] = uo[n] = impulso unitário discreto, (logo X(z) = 1),

y[n] 6y[n 1] 9y[n 2] x[n]+ − + − = eq. (6.84) Usando a eq. (6.32) achamos a Transformada z da eq. (6.84) termo a termo

[ ] [ ] )z(X)z(Yzz]1[y]2[y9)z(Yz]1[y6)z(Y 211 =⋅+⋅−+−⋅+⋅+−⋅+ −−−

0 0 0 1 ou seja,

1)z9z61()z(Y 21 =++⋅ −− e portanto,


57

2

2

2

2

21

)3z(

z

)9z6z(

z

)z9z61(

1)z(Y

+=

++=

++= −−

eq. (6.85)


]n[u)3()1n(]n[y 1n ⋅−⋅+= eq. (6.86)

que é a solução da equação de diferenças eq. (6.84) com condições iniciais nulas (i.e., y[–1] = 0 e y[–2] = 0), e entrada x[n] = uo[n]. Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.86) de facto satisfaz a equação de diferenças eq. (6.84) com x[n] = uo[n] e as condições y[–1] = 0 e y[–2] = 0, de facto se verificam. Exemplo 6.28: Considere a equação de diferenças abaixo com condições iniciais nulas: y[–1] = 0 e y[–2] = 0, e entrada x[n] = uo[n] = impulso unitário discreto, (logo X(z) = 1),

y[n] 8y[n 1] 16y[n 2] 5x[n]− − + − = eq. (6.87) Usando a eq. (6.32) achamos a Transformada z da eq. (6.87) termo a termo

[ ] [ ] )z(X5)z(Yzz]1[y]2[y16)z(Yz]1[y8)z(Y 211 ⋅=⋅+⋅−+−⋅+⋅+−⋅− −−−

0 0 0 1 ou seja,

5)z16z81()z(Y 21 =+−⋅ −− e portanto,

2

2

2

2

21

)4z(

z

)16z8z(

z5

)z16z81(

5)z(Y

−=

+−=

+−= −−

eq. (6.88)


58

Entretanto, pelo exemplo 6.15, sabemos que para Y(z) dado acima pela expressão eq. (6.88), y[n] = Z -1Y(z) é dado por

]n[u4)1n(5]n[y 1n ⋅⋅+⋅= eq. (6.89)

que é a solução da equação de diferenças eq. (6.87) com condições iniciais nulas (i.e., y[–1] = 0 e y[–2] = 0), e entrada x[n] = uo[n]. Pode-se verificar que y[n] dado pela eq. (6.89) de facto satisfaz a equação de diferenças eq. (6.87) com x[n] = uo[n] e as condições y[–1] = 0 e y[–2] = 0, de facto se verificam.

6.13 – A resposta impulsional h[n] e H(z) Note que no exemplo 6.17 para acharmos a Transformada z inversa de Y(z) eq. (6.53), era necessário conhecer a entrada x[n], ou melhor, X(z). O mesmo também ocorria com os demais exemplos 6.18 a 6.28. As equações de diferenças como as dos exemplos da secção anterior descrevem a dinâmica de sistemas discretos em que x[n] é a entrada, y[n] é a saída. Vamos ver agora que em um sistema linear e invariante no tempo (SLIT), a resposta do à entrada do impulso (i.e., h[n] = a resposta impulsional) pode ser obtida quando resolvermos a sua equação de diferença que descreve o sistema fazendo as condições iniciais nulas e a entrada x[n] = uo[n] (impulso unitário discreto), ou seja, X(z) = 1.

x[n] y[n]h[n]

Fig. 6.8 – Diagrama de bloco esquemático de um sistema discreto com entrada x[n], saída y[n] e resposta impulsional h[n].

Conforme visto no capítulo 4 (Sistemas), em um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) a resposta impulsional (“ impulse response”) h[n] é a saída do sistema quando a entrada x[n] é um impulso uo[n]. Um resultado clássico da teoria de sistemas, que vimos na secção 4.5, é que a saída y[n] de um sistema como o da figura 6.8 é a convolução entre h[n] e x[n], ou seja

]n[x*]n[h]n[y =


59

isto é, a saída de um sistema linear invariante no tempo (SLIT) toma a forma da soma de convolução

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]kxknhnxnhnyk

⋅−=∗= ∑+∞

−∞=.

Usando a propriedade da convolução para a Transformada z, eq. (6.39) (i.e., a trans-formada da convolução é o produto das transformadas), temos então que: )z(X)z(H)z(Y ⋅= eq. (6.90) e podemos redesenhar o diagrama da figura 6.8 acima na forma abaixo (figura 6.9):

Fig. 6.9 – Diagrama de bloco esquemático de um sistema discreto com entrada X(z), saída Y(z) e resposta impulsional H(z).

Como a Transformada z do impulso unitário uo[n] é 1 ( Z uo[n] = 1 ), então quando a entrada x[n] é um impulso uo[n] (i.e., se x[n] = uo[n] ) teremos que X(z) = 1 e por-tanto, pela eq. (6.90), neste caso Y(z) = H(z), o que implica ⇒ y[n] = h[n], ou seja, a saída y[n] se torna a resposta impulsional, como seria de se esperar.

Fig. 6.10 – Diagrama de bloco esquemático da resposta impulsional h[n], a saída do sistema quando a entrada é o impulso uo[n] (sistema discreto).

Exemplo 6.29:

Retomando o sistema do exemplo 6.17, comparando a eq. (6.53) com a eq. (6.90) obtemos

( ) ( )3zz

z311

)z(H1 −

=−

= − eq. (6.91)

que é a Transformada z de h[n].


60

Isto é consistente com a definição de h[n] (resposta impulsional), pois se a entrada x[n] = uo[n] = impulso unitário discreto então X(z) = 1 e, pela eq. (6.90), temos que

Y(z) = H(z) ou seja, a saída y[n] = h[n], conforme a própria definição de h[n]. Da eq. (6.91) também concluímos que este sistema tem um pólo em z = –3. Da eq. (6.54) obtemos a expressão de h[n]:

]n[u)3(]n[h 1n ⋅−=

Exemplo 6.30: Retomando o sistema do exemplo 6.22, comparando a eq. (6.71) com a eq. (6.90) obtemos

( )

( ) )3z)(2z(

z

6z5z

z

z6z51

1)z(H

22

21

++=

++=

++= −−

eq. (6.92)

que é a Transformada z de h[n]. Novamente, isto é consistente com a definição de h[n] (resposta impulsional do sis-tema), pois se a entrada x[n] = impulso unitário discreto, isto é,

x[n] = uo[n], então X(z) = 1 e, pela eq. (6.90), temos que Y(z) = H(z) ou seja, a saída y[n] = h[n], conforme a própria definição de h[n]. Da eq. (6.92) também concluímos que este sistema tem dois pólos: z = –2 e z = –3. Da eq. (6.72) obtemos a expressão de h[n]:

( ) ( )[ ] ]n[u)3(4,0)2(6,0]n[h 1nn ⋅−⋅+−⋅=


61

Exemplo 6.31: Retomando o sistema do exemplo 6.25, comparando a eq. (6.79) com a eq. (6.90) obtemos

)4zz(

z

)z4z1(

1)z(H 2

2

21 +−=

+−= −− eq. (6.93)

que é a Transformada z de h[n]. Mais uma vez, isto é consistente com a definição de h[n] (resposta impulsional do sistema), pois se a entrada x[n] = impulso unitário dis-creto, isto é, x[n] = uo[n], então X(z) = 1 e, pela eq. (6.90), temos que Y(z) = H(z) ou seja, a saída y[n] = h[n], conforme a própria definição de h[n]. Da eq. (6.92) também concluímos que este sistema tem pólos: z = –0,5 ± 1,9365j. Da eq. (6.80) obtemos a expressão de h[n]:

]n[u)318,1(sen

]318,1)1n[(sen2]n[h 1

n

⋅⋅+⋅=

Exemplo 6.32: Considere equação de diferenças de 1ª ordem ]n[x]1n[ya]n[y =−⋅− eq. (6.94) com condição inicial nula (i.e, y[–1] = 0). Usando a eq. (6.32) achamos a Transfor-mada z da eq. (6.94) termo a termo

)z(X]za1[)z(Y 1 =⋅−⋅ −

e então,

)z(X)az(

z

)z(Xaz1

1)z(Y

1

⋅−

=

⋅−

= −


62

Portanto, se x[n] e y[n] forem respectivamente a entrada e a saída de um sistema, então, usando a eq. (6.90), temos que:

0 1 2 3

...

h[n] = an . u1[n]

n

caso a < 11

Fig. 6.11 – Esboço de h[n] a resposta impulsional sistema descrito pela eq. (6.94),

caso a < 1.

)az(

z

)az1(

1)z(H

1 −=

−= −

Logo, este sistema tem um pólo z = a. Usando a tabela Tab 6.1 das Transformadas z da secção 6.8 obtemos h[n], a resposta impulsional sistema à entrada impulso unitário

[ ] [ ]n1h n a u n= ⋅

conforme ilustrado na figura 6.11 para o caso a < 1.

7 – Séries de Fourier

7.1 – Introdução à Análise de Fourier 3

7.2 – Série trigonométrica de Fourier para sinais contínuos 5

7.3 – Teorema de Fourier 6

Exemplo 7.1 7

7.4 – Uma interpretação da Série de Fourier 13

7.5 – Série exponencial de Fourier para sinais contínuos 17

Exemplo 7.2 19

7.6 – Equivalência das séries trigonométrica e exponencial de Fourier 21

7.7 – Propriedades da Série de Fourier para sinais contínuos 23

Linearidade 23


Sinal reflectido / reversão no tempo (“time reversal”) 25


Multiplicação 27

Conjugação 27

Translação na frequência (“frequency shifting”) 28

Convolução no período 29

Derivada 30

Integral 30

Relação de Parseval 31

7.8 – Série trigonometria de Fourier para sinais discretos 31

Exemplo 7.3 34

Exemplo 7.4 40

J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier

2

Exemplo 7.5 43

Exemplo 7.6 44

Exemplo 7.7 46

7.9 – Propriedades da Série de Fourier para sinais discretos 47

Linearidade 47




Multiplicação 50

Conjugação 51


Convolução no período 53

Primeira diferença 53

Soma acumulada 54



3

Séries de Fourier 7.1 – Introdução à Análise de Fourier Neste capítulo e no próximo estudaremos a Análise de Fourier (também chamada de Análise Harmónica), que diz respeito à representação de sinais como uma soma (ou melhor dizendo, uma combinação linear) de sinais básicos como senos e co-senos, ou exponenciais complexas. A série de Fourier, assim como a transformada de Fourier, são as importantes contri-buições do matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830).

Fig. 7.1 – Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), francês.


4

A Análise de Fourier permite decompor um sinal nas suas componentes em frequên-cia (harmónicos) e tem muitas aplicações no Processamento de sinal, no Processa-mento de imagem, na Física em várias aplicações, na Probabilidade e Estatística as-sim como em muitas outras áreas. Antes de Fourier três físicos já tinham feito estudos preliminares em séries infinitas para resolverem problemas diversos da Física: suíço Leonhard Euler (1707-1783), o francês Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783) e o holandês Daniel Bernoulli (1700-1782). Entretanto, Fourier foi o primeiro a fazer um estudo sistemático das séries infinitas para resolver a equação da propagação do calor na Física, na publicação “Mémoire sur la théorie de la chaleur”, embora ele não tenha expresso os seus resultados com grande formalismo. Somente uns anos mais tarde que dois matemáticos: o alemão Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) e o alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), expressaram os resultados de Fourier com mais rigor e precisão.

Fig. 7.2 – Série de Fourier (sinal periódico da onda quadrada).


5

7.2 – Série trigonométrica de Fourier para sinais contínuos Considere um sinal periódico contínuo x(t) ∈ R conjunto dos números reais, ∀ t. O sinal x(t) pode ser expresso como:

( ) ( )[ ]∑

∑

∞

=

∞

=

ω⋅+ω⋅+=

=

⋅π⋅+

⋅π⋅+=

1kokok

0

1kkk

0

tksenbtkcosa2

a

tkT

2senbtk

T

2cosa

2

a)t(x

eq. (7.1)

onde:

T = período fundamental do sinal x(t),

ωo = frequência fundamental do sinal x(t),

( )∫

∫

ω⋅=

=

⋅π⋅=

T

o

T

k

dttkcos)t(xT

2

dttkT

2cos)t(x

T

2a

k = 0, 1, 2, … eq. (7.2)

( )∫

∫

ω⋅=

=

⋅π⋅=

T

o

T

k

dttksen)t(xT

2

dttkT

2sen)t(x

T

2b

k = 1, 2, … eq. (7.3)

sendo que as integrais acima são tomadas ao longo do intervalo do período T do sinal periódico x(t). Observe que existe ao na série ak [eq. (7.2)], mas não existe bo na série bk [eq. (7.3)]. Além disso, ao (na eq. (7.2) fazendo k = 0), pode ser reescrito de forma mais simplifi-cada pois, como

( ) 0, k para,1tkcostkT

2cos o ==ω=

⋅π

então,


6

∫ ⋅=T

o dt)t(xT

2a

ou seja, ao de certa forma representa um valor médio do sinal x(t) no intervalo de um período T. Esta série é conhecida como série trigonométrica de Fourier pois contém termos com senos e co-senos. A equação eq. (7.1) acima é conhecida como a

“equação de síntese”

e as equações eq. (7.2) e eq. (7.3) são conhecidas como as

“equações de análise”

da série trigonométrica de Fourier. Os ak’s e os bk’s são chamados de coeficientes da série trigonométrica de Fourier. 7.3 – Teorema de Fourier Definição 7.1: x(t) é um sinal seccionalmente contínuo (ou, também chamado de “contínuo por partes”) se x(t) tem um número limitado de descontinuidades em qual-quer intervalo limitado.

Fig. 7.3 – Um sinal seccionalmente contínuo.

Definição 7.2: x(t) é um sinal seccionalmente diferenciável se ambos x(t) e sua deri-vada x’(t) forem sinais seccionalmente contínuos. Com estas definições podemos agora ver o Teorema de Fourier que estabelece os tipos de sinais que podem ser aproximados pela série de Fourier.


7

Teorema 7.1 (Teorema de Fourier):

Se x(t) é um sinal periódico seccionalmente diferenciável e de período T, então a série de Fourier [eq. (7.1)] converge em cada ponto t para:

a) x(t), se o sinal x(t) for contínuo no instante t ;

b) ½ [ x(t+0+) + x(t+0-) ] , o sinal x(t) for descontínuo no instante t. Um ponto positivo deste resultado é que a limitação do Teorema de Fourier acima é muito leve pois a grande maioria dos, ou quase todos, sinais de interesse prático são seccionalmente diferenciáveis. Portanto, o Teorema de Fourier acima assegura que, para os sinais x(t) que forem aproximados pela série de Fourier, quanto mais termos da série (ou parcelas da soma) forem adicionados, melhor será a aproximação. Ou seja, se chamarmos de xn(t) à série de Fourier com n termos, então:

)t(x)t(x n → nos casos em que x(t) for um sinal contínuo no instante t; e

[ ]2

)0t(x)0t(x)t(x n

−+ +++→

nos casos em que x(t) não for um sinal contínuo no instante t. Exemplo 7.1: Considere o sinal x(t) dado abaixo (onda quadrada), definido num intervalo (de t = –1 até t = 1) ilus-trado na figura 7.4.

Fig. 7.4 – Sinal da onda quadrada em um período (de t = –1 até 1).

<<

<<−−=

1t0se,1

0t1se,1)t(x


8

Repetindo-se (ou estendendo-se) este padrão para a direita de t = 1 e para esquerda de t = –1, obtemos um sinal periódico para ∀t (∞ < t < ∞ ).

Fig. 7.5 – Sinal do Exemplo 7.1. Onda quadrada estendida para ∀t (∞ < t < ∞). Agora x(t), sendo um sinal periódico ∀t (∞ < t < ∞) já pode ser aproximado por uma série de Fourier. De forma semelhante podemos estender qualquer outro sinal definido em um deter-minado intervalo finito e torná-lo periódico de forma a podermos aproximá-lo por uma série de Fourier.

Calculando-se agora os coeficientes de Fourier para o sinal da onda quadrada defi-nido acima temos, para ao primeiramente,

0dt)1(dt)1(dt)t(xT

2a

1

0

0

1T

o =+−=⋅= ∫∫∫ −

Como o período fundamental é T = 2, então

π=π=ωT

2o

e portanto,

( )

( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]( )

... 2, 1, k ,0

tksentksenk

1

dttkcos1dttkcos)1(

dttkcos)t(xT

2a

10

01

1

0

0

1

1

1k

==

=π+π−π

=

=π⋅+π⋅−=

=π⋅=

−

−

−

∫∫

∫


9

Logo os ak’s são todos iguais a zero ∀ k = 0, 1, 2, … Quanto aos bk’s, temos que:

( )

( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]( ) =π−+ππ

=

=π⋅+π⋅−=

=π⋅=

−

−

−

∫∫

∫

10

01

1

0

0

1

1

1k

tkcostkcosk

1

dttksen1dttksen)1(

dttksen)t(xT

2b

e portanto,

π

=ímparékse,

k

4

parékse,0

bk

Ou seja,

π= 4

b1 ,

0b2 = ,

π=

3

4b3 ,

0b4 = ,

π=

5

4b5 ,

0b6 = ,

π=

7

4b7 ,

0b8 = ,

π=

9

4b9 ,

0b10 = ,

π=

11

4b11 ,

etc.

Logo, esta é uma série de Fourier só de senos e os primeiros termos da série são:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ...t11sen11

4t9sen

9

4t7sen

7

4

t5sen5

4t3sen

3

4tsen

4)t(x

+ππ

+ππ

+ππ

+

+ππ

+ππ

+ππ

=

As figuras 7.6 até 7.10 abaixo mostram esboços do sinal x(t) aproximado pela série de Fourier.


10

Primeiramente na figura 7.6, com apenas um termo (isto é, apenas k = 1), quando x(t) é simplesmente o seno

x(t) = b1 sen(πt) = (4/π) sen(πt)

Fig. 7.6 – Sinal onda quadrada. Aproximação por série de

Fourier com apenas um termo (k = 1). Na figura 7.8 vemos que com 2 termos (os dois primeiros termos não nulos, até k = 3, pois b2 = 0) temos a soma de 2 senos (e já nota-se 2 picos no sinal aproximado pela série):

x(t) = b1 sen(πt) + b3 sen(πt)


Fourier com apenas dois termos (k = 1 e 3). Depois, na figura 7.8, com 3 termos (os três primeiros termos não nulos, até k = 5, pois b2 = 0 e b4 = 0) temos a soma de 3 senos (e agora já nota-se 3 picos no sinal aproximado pela série):

x(t) = b1 sen(πt) + b3 sen(πt) + b5 sen(πt)


11


Fourier com apenas três termos (k = 1, 3 e 5). e assim por diante. As duas últimas figuras (figuras 7.9 e 7.10) ilustram esta série até k = 11 (6 termos não nulos) e até k = 49 (25 termos não nulos), respectivamente.


Fourier com seis termos (k = 1, 3, 5, 7, 9 e 11).


Fourier com 25 termos (k = 1, 3, ..., 49). Nota-se nitidamente que o sinal x(t) aproximado pela série de Fourier vai se tornando cada vez mais próximo do original, a onda quadrada.

Nos pontos t onde x(t) é um sinal contínuo esta série de Fourier converge para o pró-prio valor de x(t).


12

Por exemplo, para t = 0,5, sabemos que x(0,5) = 1. Pela série de Fourier,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...5,4sen9

45,3sen

7

45,2sen

5

45,1sen

3

45,0sen

4)5,0(x +π

π+π

π+π

π+π

π+π

π=

1,6977

0,8488 1,1035

0,9216

1,0631 que de facto converge para 1. Por outro lado, nos pontos t onde x(t) apresenta uma descontinuidade, esta série de Fourier converge para o valor médio de x(t), entre o imediatamente antes e o imedia-tamente depois de t. Por exemplo, para t = 0-, sabemos que x(0-) = –1, e t = 0-, e que x(0+) = 1. Logo, o ponto médio é:

02

11

2

)0(x)0(x =+−=+ −+

Pela série de Fourier,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

00000

...0sen9

40sen

7

40sen

5

40sen

3

40sen

4)0(x

++++=

=+π

+π

+π

+π

+π

=

que de facto converge para 0. Mais adiante, nas Propriedades da Série de Fourier, veremos que:

Se x(t) é um sinal par, então a série de Fourier para x(t) é uma série de co-senos.

Se x(t) é um sinal ímpar, então a série de Fourier para x(t) é uma série de senos.


13

Isto pode ser visto pelas propriedades dos sinais pares e ímpares. Recorde-se que,

- A soma de 2 sinais pares é um sinal par.

- A soma de 2 sinais ímpares é um sinal ímpar.

- O produto de 2 sinais pares é um sinal par.

- O produto de 2 sinais ímpares é um sinal par. Logo, se x(t) é um sinal par, então os coeficientes bk da série de Fourier para x(t) são todos iguais a zero:

...,3,2,1k,0dttkT

2sen)t(x

T

2b

T

k ==

⋅π⋅= ∫

e portanto, a série de Fourier é uma série de co-senos. Mas se x(t) é um sinal ímpar, então os coeficientes ak da série de Fourier para x(t) são todos iguais a zero (incluindo ao):

...,3,2,1,0k,0dttkT

2cos)t(x

T

2a

T

k ==

⋅π⋅= ∫

e portanto, a série de Fourier é uma série de senos. De facto, no Exemplo 7.1 acima, como x(t) era um sinal par, então os ak’s eram todos iguais a zero ∀ k = 0, 1, 2, …, e a série de Fourier era uma série de senos. 7.4 – Uma interpretação da Série de Fourier A “série de Fourier” pode ser interpretada como uma forma de expressar um sinal x(t), em um espaço de sinais.

Recorde-se um vector v no espaço Rn é representado como a soma

nn2211 eeev ⋅α++⋅α+⋅α= L

onde e1, e2, … en, são os vectores


14

=

=

=

1

0

0

e,

0

1

0

e,

0

0

1

e n21M

LMM

ou seja, n21 e,e,e L , os chamados vectores canónicos e formam uma base do Rn;

e α1, α2, … αn, são os coeficientes do vector v nesta base n21 e,e,e L . Da mesma forma, um sinal x(t) pode ser representado semelhantemente na forma da eq. (7.1) como a soma infinita de senos e co-senos. Note que aqui o espaço não é mais o espaço de vectores (Rn, que tem dimensão n) mas sim um espaço de sinais, que terá dimensão infinita. A base do espaço não será mais formada pelos vectores e1, e2, … en , mas agora pelos sinais senos e co-senos

⋅πtk

T

2cos e

⋅πtk

T

2sen

definidos nas equações de análise eq. (7.2) e eq. (7.3). Além disso, os coeficientes que representam o sinal x(t) nesta base não serão mais α1, α2, … αn, mas agora serão os ak e bk. Em outras palavras, estes senos e co-senos formam uma base infinita de sinais. Claro que a expressão da eq. (7.1) é definida apenas para sinais periódicos, Entretanto, já vimos no exemplo 7.1 que um sinal x(t) que seja definido em um intervalo finito qualquer pode ser estendido para ambos os lados deste intervalo, tornando-se assim periódico e desta forma pode ser descrito também na forma da eq. (7.1). As figuras 7.4 e 7.5 ilustravam isto.

Outro detalhe: no espaço Rn os próprios vectores da base e1, e2, … en eram repre-

sentados (de forma única) como

ni21i e0e1e0e0

0

1

0

e ⋅++⋅++⋅+⋅=

= LLM


15

ou seja, com coeficientes

α1 = 0, α2 = 0, … ,αi = 1, … αn = 0 isto é,

0,,1,,0,0,,,,, ni21 LLLL =αααα . Aqui também temos que os sinais senos e co-senos da base são representados (de forma única) como

∑∞

=

⋅π⋅+

⋅π⋅+=

⋅π1k

kk0 tk

T

2senbtk

T

2cosa

2

at

T

2cos l

onde todos os ak e bk serão todos iguais a “zero” excepto o valor de ak para k = l, ou seja:

ak = 0, bk = 0, excepto al = 1 e, além disso

∑∞

=

⋅π⋅+

⋅π⋅+=

⋅π1k

kk0 tk

T

2senbtk

T

2cosa

2

at

T

2sen l

onde todos os ak e bk serão todos iguais a “zero” excepto o valor de bk para k = l, ou seja:

ak = 0, bk = 0, excepto bl = 1. Isto ocorria porque o produto escalar entre 2 vectores ‘em’ e ‘en’, que pertençam à base, é

< em , en > = 0, se m ≠ n,

< em , en > = 1, se m = n, onde o produto escalar entre 2 vectores no espaço R

n era definido como

nn2211v,v α⋅α++α⋅α+α⋅α=>< L sendo α1, α2, … αn os coeficientes de v e n21 ,,, ααα⋅ L os coeficientes de v .


16

Devido a esta propriedade, dizemos que os vectores e1, e2, … en da base são “ortogo-nais” entre si. Aqui, neste espaço de sinais cuja base é formada por senos e co-senos, o produto escalar entre 2 sinais pode ser definido como:

LLLL +⋅+⋅++⋅+⋅=>< kk11kkoo bbbbaaaa)t(x),t(x onde ao, a1, …, ak, …, b1, …, bk são os coeficientes de x(t) na série de Fourier e

k1ok1o b,,b,b,,a,,a,a LLL os coeficientes de )t(x na série de Fourier. Desta forma pode-se verificar que

,nmse,0tnT

2cos,tm

T

2cos ≠=>

⋅π

⋅π<

,nmse,1tnT

2cos,tm

T

2cos ==>

⋅π

⋅π<

e,nmse,0tnT

2sen,tm

T

2sen ≠=>

⋅π

⋅π<

.nmse,1tnT

2sen,tm

T

2sen ==>

⋅π

⋅π<

ou seja, aqui os sinais da base também são ortogonais entre si. Isso se verifica obser-vando-se as equações de análise eq. (7.2) e eq. (7.3) e devido ao facto que

nmse,0dttnT

2costm

T

2cos

T

≠=

⋅π⋅

⋅π∫

nmse,0dttnT

2sentm

T

2sen

T

≠=

⋅π⋅

⋅π∫

e

nmse,2

Tdttn

T

2costm

T

2cos

T

==

⋅π⋅

⋅π∫

nmse,2

Tdttn

T

2sentm

T

2sen

T

==

⋅π⋅

⋅π∫


17

um resultado bastante conhecido em matemática, da teoria do “Cálculo”. Isto é, as integrais de senos e/ou co-senos de frequência diferentes multiplicados entre si são nulas. Os senos e co-senos são “ortogonais”.

Fig. 7.11 – Projecções de um vector v ∈ R2 nos seus 2 eixos (à esquerda) e v ∈ R3 nos seus 3 eixos (à direita).

Uma propriedade importante verificada nos vectores no espaço Rn era que o produto escalar entre v e um elemento ek da base era o próprio coeficiente αk, ou seja,

< v , ek > = αk De certa forma isto significava que os αk eram as projecções dos vectores do R

n nos seus diversos eixos, conforme ilustra a figura 7.11 para o R2 e R3. Aqui no espaço de funções também verifica-se que

katkT

2cos,)t(x =>

⋅π< e kbtkT

2sen,)t(x =>

⋅π<

o que também pode ser interpretado que os ak e os bk são uma espécie de projecção do sinal x(t) nos diversos sinais senos e co-senos componentes da base. 7.5 – Série exponencial de Fourier para sinais contínuos Nesta secção estudaremos a “série exponencial de Fourier” é também chamada de “série complexa de Fourier”.


18

Se o sinal x(t) ∈ R, então a série exponencial de Fourier é a mesma que a série trigo-nométrica escrita de uma forma diferente, em termos de exponenciais do tipo

tojωe

em vez de em termos de senos e co-senos. Entretanto, considere agora

um sinal periódico contínuo x(t) ∈ C = conjunto dos números complexos ou seja, o sinal x(t) tem valores complexos, com parte real e parte imaginária. A série exponencial de Fourier permite-nos aproximar x(t), o que não era possível com a série trigonométrica. Na série exponencial (ou complexa) de Fourier um sinal periódico x(t) pode ser expresso como:

∑

∑∞

−∞=

∞

−∞=

⋅ω

⋅π

⋅=

=⋅=

kk

kk

tkoj

tkT2j

c

c)t(x

e

e

eq. (7.4)

onde:

T = período fundamental do sinal x(t).

ωo = frequência fundamental do sinal x(t). e

∫

∫

⋅⋅=

=⋅⋅=

⋅ω−

⋅

π−

T

tkj

T

tkT

2j

k

dte)t(xT

1

dte)t(xT

1c

o k = 0, ±1, ±2, … eq. (7.5)

Portanto, a série exponencial (ou complexa) de Fourier generaliza a série trigonomé-trica de Fourier e tem também a vantagem de ser mais compacta. Os ck’s são chamados de coeficientes da série exponencial de Fourier ou coeficientes espectrais.


19

Semelhantemente à série trigonométrica, a equação eq. (7.4) acima é conhecida como a

equação de síntese

enquanto que a equação eq. (7.5) é conhecida como a

equação de análise

da série exponencial (ou complexa) de Fourier. Exemplo 7.2: Tomemos novamente a onda quadrada x(t) em um período (de t = –1 até t = 1) ilustrada na figura 7.12.

<<

<<−−=

1t0se,1

0t1se,1)t(x

Fig. 7.12 – Sinal do Exemplo 7.2. Onda

quadrada em um período (de t = –1 até 1).

E, repetindo-se (ou estendendo-se) este padrão para a direita de t = 1 e para esquerda de t = –1, obtemos um sinal periódico que pode ser aproximado pela série exponen-cial (ou complexa) de Fourier. Novamente, o período fundamental é T = 2, e

π=π=ωT

2o

e portanto, os coeficientes desta série complexa de Fourier para o sinal da onda qua-drada acima são:


20

( )

( ) ( ) =⋅+⋅−=

=⋅=

∫∫

∫

π−

−

π−

−

π−

1

0

tkj0

1

tkj

1

1

tkjk

dt12

1dt)1(

2

1

dt)t(xT

1c

ee

e

... 2, 1, ,0k ±±=

Fazendo-se as integrais, obtemos:

( )[ ]( ) ( )[ ]( )

( ) ( )π−ππ−π

π−−

π−

−−π

=+−−π

=

=π−⋅+

π⋅=

kjkjkjkj

1

0tkj0

1tkj

k

2jk2

111

jk21

jk)1(

21

jk1

21

c

eeee

ee

Agora, usando-se as equações de Eüler temos que:

[ ]

( )

( ))kcos(1k

j

)kcos(12jk2

1

)k(senj)kcos()k(senj)kcos(2jk2

1ck

π−π−=

=π−π

=

π⋅+π−π⋅−π−π

=

e portanto,

±±±=π−

±±=

=...,5,3,1kse,j

k

2

...,4,2,0kse,0

ck

Logo,

[ ]∑

∑

∑

∞

±±±=

∞

±±±=

π

∞

−∞=

ω

π⋅+π⋅

π−=

=

π−=

==

...,5,3,1k

...,5,3,1k

tkj

k

tkjk

)tk(senj)tk(cosjk

2

jk

2

c)t(x o

e

e


21

e, desmembrando-se a soma ...,5,3,1k ±±±= em duas de ...,5,3,1k = , como o seno é ímpar [sen (kπt) = –sen (–kπt), ∀k ] e o co-seno é par [cos (kπt) = –cos(kπt) , ∀k ], temos:

∑∑

∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

π⋅

π−+π

π+

+π⋅

π−+π

π−=

...,5,3,1k...,5,3,1k

...,5,3,1k...,5,3,1k

)tk(senjk

j2)tk(cos

k

j2

)tk(senjk

j2)tk(cos

k

j2)t(x

e portanto os dois termos com co-senos se cancelam um ao outro, enquanto que os dois termos com senos são idênticos, logo podem se juntar ficando:

∑

∑

∞

=

∞

=

π

π=

=

π⋅

π−⋅=

...,5,3,1k

...,5,3,1k

)tk(senk4

)tk(senjkj2

2)t(x

que é o mesmo resultado obtido no Exemplo 1 com a série trigonométrica de Fourier, ou seja:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ...t11sen11

4t9sen

9

4t7sen

7

4

t5sen5

4t3sen

3

4tsen

4)t(x

+ππ

+ππ

+ππ

+

+ππ

+ππ

+ππ

=

Isso acontece porque as séries trigonométricas e complexa (ou exponencial) de Fou-rier são equivalentes, um resultado que vamos ver a seguir na próxima secção. 7.6 – Equivalência das séries trigonométrica e exponencial de Fourier Se o sinal x(t) for de valores reais, então existe uma relação entre a série trigonomé-trica e a série complexa (ou exponencial) de Fourier. Pode-se facilmente mostrar que:


22

2

bjac kk

k

⋅−= para k = 0, 1, 2, … eq. (7.6)

e

2

bjac kk

k

⋅+=− para k = 1, 2, … eq. (7.7)

Embora o coeficiente bo não exista, pois não foi definido, na eq. (7.6) assume-se que

0bo = . Portanto, o coeficiente co pode ser expresso como:

2a

c oo = . eq. (7.8)

Note também que enquanto os coeficientes aks e bks são definidos nas eq. (7.2) e eq. (7.3) apenas para k = 0, 1, 2, …, os coeficientes cks são definidos nas eq. (7.6) e eq. (7.7) para k = 0, ±1, ±2, … Observe também que a eq. (7. 7) é equivalentes a:

2

bjac kk

k−− ⋅+= para k = –1, –2, … eq. (7.9)

Sabemos, pelas eq. (7.2) e eq. (7.3) da série trigonométrica de Fourier, que não existe aks ou bks para k negativos, entretanto a-k e b-k estão bem definidos na eq. (7.9) pois nesta equação k = –1, –2, … e portanto os índices de a-k e b-k serão sem-pre positivos. Por exemplo:

a-k para k = – 2 será o a2,

ou

b-k para k = – 5 será o b5. Os termos ck para k positivos são os conjugados de ck para k negativos, e vice-versa, isto é: ck = (c –k)* , ∀ k = 0, ±1, ±2, ±3, …


23

As equações acima permitem que se transforme uma série trigonométrica em uma série exponencial. O inverso, ou seja, as equações que permitem transformar uma série exponencial em uma série trigonométrica são as seguintes:

oo c2a = eq. (7.10)

)cc(a kkk −+= para k = 1, 2, … eq. (7.11)

e

)cc(jb kkk −−⋅= para k = 1, 2, … eq. (7.12) Com as relações acima é fácil de se mostrar que, quando x(t) é um sinal real, então:

( ) ( )[ ]∑

∑

∑∑

∞

=

∞

=

∞

−∞=

⋅ω∞

−∞=

⋅

π

ω+ω+=

=

⋅π+

⋅π+=

==

1kokok

0

1kkk

0

k

tkjk

k

tkT

2j

k

tksenbtkcosa2a

tkT2

senbtkT2

cosa2a

cc)t(x oee

ou seja, as duas séries de Fourier, ‘trigonométrica’ e ‘exponencial’, são equivalentes. 7.7 – Propriedades das séries de Fourier para sinais contínuos

Linearidade: Suponha que


24

x1(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier kc′

x2(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier kc ′′

e que

)t(x)t(x)t(y 21 β+α= então, mostra-se que:

y(t) tem período T ,

ou seja,

y(t) tem frequência fundamental T2

oπ=ω ,

e coeficientes de Fourier

kkk ccc ′′β+′α=

Translação no tempo (“ time shifting”): Suponha que

x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck e que

)tt(x)t(y o−= ou seja,

y(t) é o sinal x(t) com uma translação (shift) no tempo de to. Então, mostra-se que:

y(t) tem período T , ou seja,

y(t) tem frequência fundamental T2

oπ=ω ,



25

k

kk

c

cc~

otT2

kj

tokj o

⋅=

=⋅=

π−

ω−

e

e

Nota:

Como θ∀=θ ,1je , tem-se que:

kk cc~ =

Sinal reflectido / reversão no tempo (“ time reversal”) em torno de t = 0: Suponha que


)t(x)t(y −= então, mostra-se que:

y(t) tem período T , ou seja

y(t) tem frequência fundamental T

2o

π=ω ,


kk cc −= Nota: Como consequência desta propriedade pode-se concluir que:


26

Se x(t) é um sinal par ⇒ os coeficientes de Fourier ck são, eles próprios, pares; i.e.,

kk cc −= Se x(t) é um sinal ímpar ⇒ os coeficientes de Fourier ck são, eles próprios, ímpares; i.e.,

kk cc −−=

Escalonamento no tempo (“ time scaling”): Suponha que

x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck

(portanto x(t) tem frequência fundamental T

2o

π=ω )

e que

)t(x)t(y α= então, mostra-se que:

y(t) tem período αT

,

ou seja

y(t) tem frequência fundamental T

2T o

απ=ωα=)

e, além disso,

tT

2kj

tokj

kk

kk

c

c)t(y

∞

−∞=

∞

−∞=

πα−

ωα−

∑

∑

=

==

e

e

Note que a série de Fourier muda por causa da mudança da frequência fundamental (e do período). Entretanto os coeficientes ck não mudam.


27

Multiplicação: Suponha que


x2(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier kc ′′ e que

)t(x)t(x)t(y 21 ⋅= então, mostra-se que:

y(t) tem período T , ou seja tem frequência fundamental T

2o

π=ω ,


[ ] [ ]kckc

ccc iki

ik

′′∗′=

=′′⋅′= −

∞

∞−=∑

Ou seja, ck é a convolução entre os sinais discretos [ ]kcck ′=′ e [ ]kcck ′′=′′ .

L+′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′=

=′′⋅′=

+−−+−−

−

∞

∞−=∑

2k22k21k11k1ko

ikij

ik

cccccccccc

ccc

Conjugação: Suponha que


)t(x)t(y ∗=


28

então, mostra-se que:


2o

π=ω ,


∗−= kk cc

Nota: Como consequência desta propriedade pode-se concluir que:

Se x(t) ∈ R, então

os coeficientes de Fourier ∗

− = kk cc ;

co ∈ R ; e

kk cc −= .

Além disso, as relações acima permitem mais uma vez concluir que:

Se x(t) ∈ R é um sinal par ⇒

os coeficientes de Fourier ∗= kk cc ; e

kk cc −= (os coeficientes de Fourier são eles próprios “ pares” ).

Se ∈)t(x R é um sinal ímpar ⇒

os coeficientes de Fourier kc são imaginários puros, 0co = e

kk cc −−= (os coeficientes de Fourier são eles próprios “ ímpares” ).

Translação na frequência (“ frequency shifting”): Suponha que

x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck e, para um m inteiro, constante, considere agora os coeficientes


29

mkk cc −=

ou seja,

kc são os coeficientes ck desfasados de m. Então, mostra-se que o sinal:

)t(x)t(y tojm ⋅= ωe

tem os coeficientes de Fourier kc Nota: Esta propriedade é dual da translação no tempo (time shifting). Agora a translação (shift) foi aplicada aos ck e não no tempo t.

Outro detalhe, como θ∀=θ ,1je , então:

kk cc = k = 0, ±1, ±2, …

Convolução no período: Suponha que


x2(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier kc ′′ e que y(t) é a convolução (tomada no período T):

∫ ττ⋅τ−=

∗=

T

21

21

d)(x)t(x

)t(x)t(x)t(y

Então, mostra-se que:


2o

π=ω ,


kkk ccTc~~ ′′⋅′⋅=


30

Derivada: Suponha que


dtdx

)t(y =



2o

π=ω ,


kkok cT2

kjckjc

π=ω=′

Nota:

Para o caso de derivadas de ordem 2 ou mais, pode-se aplicar esta regra sucessivas vezes. Por exemplo, no caso da segunda derivada, se

2

2

dtxd

)t(y =

os coeficientes de Fourier de y(t) são

k

22

k22

k222

kok cT2

kckckjckjcoo

π−=ω−=ω=′ω=′′ .

Integral : Suponha que

x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck

e que

∫ ∞−=

tdt)t(x)t(y


31



2o

π=ω ,


kko

k c

T

2kj

1c

kj

1c ⋅

π=⋅

ω=(

Nota:

No caso de co = 0, esta propriedade só é válida para sinais x(t) periódicos e com valo-res finitos. Para o caso de integrais duplas, triplas, etc., pode-se aplicar esta regra sucessivas vezes.

Relação de Parseval: Suponha que

x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck então, mostra-se que a potência média do sinal no intervalo de um período T:

∑

∫

∞

−∞==

==

k

2

k

T

2

c

dt)t(xT1

P

7.8 – Série exponencial de Fourier para sinais discretos Já vimos, no capítulo 4 (sobre Sistemas), que um sinal discreto é periódico se

[ ] [ ]Nnxnx +=

onde N é o período. Além disso, vimos que

N = período fundamental


32

se N for o menor inteiro para o qual a relação acima satisfaz. E neste caso:

N

2o

π=ω = frequência fundamental.

O conjunto de todos os sinais discretos no tempo do tipo exponenciais complexos que são periódicos (com período N) é dado por

[ ]n

N2jk

nojknk

πω ==φ ee , k = 0, 1, 2, … eq. (7.13)

e todos estes sinais têm frequência fundamental que são múltiplas de

N

2π

e portanto são harmonicamente relacionados. Existem apenas N sinais distintos no conjunto de funções φk[n] definido pela eq. (7.13) acima.

Isto é uma consequência do facto de que sinais discretos no tempo do tipo exponen-ciais complexas que diferem na frequência por um múltiplo de 2π são idênticos. Ou seja, após N consecutivos, estes termos começam a repetir-se.

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ]MM

MM

nn

nn

nn

nn

Nkk

2N2

1N1

No

+

+

+

φ=φ

φ=φ

φ=φ

φ=φ

Esta situação é diferente do caso contínuo pois os coeficientes que aparecem na equa-ção de síntese da série de Fourier para sinais contínuos:

t

T2kj

tokj)t(k

πω ==φ ee k = 0, 1, 2, … ,

são todos diferentes uns dos outros.


33

Portanto, a série de Fourier para sinais discretos terá apenas N termos, para N conse-cutivos valores de k, de l=k até 1Nk −+= l . e, semelhantemente, apenas N coeficientes ck. Logo, a série de Fourier para sinais discretos tem a expressão:

∑

∑

−+

+=

−+

+=

ω

π

⋅=

=⋅=

)1N(

),1(,kk

)1N(

),1(,kk

nokj

nN2kj

c

c[n]x

l

Kll

l

Kll

e

e

eq. (7.14)

onde, conforme já dito,

N = período fundamental do sinal x[n].

ωo = frequência fundamental do sinal x[n]. A equação eq. (7.14) acima é conhecida como a

equação de síntese da série de Fourier discreta. Já os coeficientes ck’s no caso discreto são definidos por

[ ]

[ ]∑

∑

−+

+=

−+

+=

π−

ω−

⋅⋅=

=⋅⋅=

)1N(

),1(,n

)1N(

),1(,nk

nN2kj

nokj

nxN

1

nxN

1c

l

Kll

l

Kll

e

e

k = 0, ±1, ±2, … eq. (7.15)

Os ck’s são chamados de “coeficientes” da série Fourier discreta ou “coeficientes espectrais”.


34

A equação eq. (7.15) é conhecida como as

“equação de análise” da série de Fourier discreta. Exemplo 7.3: Considere a seguinte onda quadrada x[n] discreta no tempo ilustrada na figura 7.13:

Fig. 7.13 – Onda quadrada discreta de período N. Sinal do Exemplo 7.3.

∀

≤≤−=

somaçãodeintervalononoutros,0

1Nn1Nse,1[n]x

Neste caso os coeficientes espectrais ck ficam:

∑−=

π−⋅=

1

1

N

Nnk

nN2kj

N

1c e eq. (7.16)

Se L 2N, N, 0, k ±±= o somatório desta expressão de ck acima fica

)1N2(1 1

N

Nn

N

Nn

1

1

1

1

2nj +== ∑∑−=−=

π−e

e portanto, a expressão de ck da eq. (7.16) acima é facilmente expressa como:

N

1N2c 1

k

+= , L 2N, N, 0, k ±±=

Entretanto, para L 2N, N, 0, k ±±≠ definimos


35

m = n + N1 e então, fazemos uma mudança de índice no somatório, ficando

∑

∑

=

=

π−π−

−π−

⋅=

=⋅=

1

1

N2

0m

N2

0mk

mN2kj1N

N2kj

)1Nm(N2kj

N

1

N

1c

ee

e

.

Agora, usando a fórmula da soma finita dos elementos de uma progressão geométrica, já vista no capítulo 6, eq. (6.3):

LL

LL

,qaa,qaa,qaa

:a::a:a:a

1kk2312

k321

⋅=⋅=⋅= −

que é dada por:

)q1(

)q1(aaS

n1

n

1kk −

−== ∑

=

pode-se substituir o somatório da expressão dos ck acima, uma vez que é uma soma finita de uma progressão geométrica com

( )

π−=+== N

2kj

11 q,e1N2n,1a e obtendo-se:

−

−⋅=

π−

+

π−

π−

N

2kj

)1N2(N

2kj

NN

2kj

k

1

1

N

1c

1

e

ee

para L 2N, N, 0, k ±±≠

que, após multiplicação dos termos, pode facilmente ser expresso como


36

−⋅

−⋅

⋅=

ππ−πππ−

+π−+ππ−

N22

N2kj

N22

N2kj

N2kj

21

1NN2kj

21

1NN2kj

N22kj

N

1ck

eee

eee

para L 2N, N, 0, k ±±≠

e, usando Eüler, obtemos que

π

+π

⋅=

N

ksen

2

1Nk

N

2sen

N

1c

1

k , para L 2N, N, 0, k ±±≠

Desta forma temos então todos os coeficientes espectrais ck da onda quadrada discreta deste exemplo. Resumindo:

±±=+

±±≠

π

+π

⋅=

L

L

2N, N, 0, k se,N

1N2

2N, N, 0, k se,

N

ksen

2

1Nk

N

2sen

N

1

c

1

1

k

Para o caso particular de N = 9 e N1 = 2, temos que:

(2N1 +1) = 5 que representa o número de pontos que assumem o valor 1 em cada período e conse-quentemente,

N – (2N1 +1) = 9 – 5 = 4 representa o número de pontos que é igual a 0 (zero) em cada período.


37

O gráfico deste x[n] pode ser visto na figura 7.14.

Fig. 7.14 – Sinal onda quadrada discreta. Caso particular N = 9 e N1 = 2. e os coeficientes ck calculados pela expressão acima são:

3199,0c

5556,0c

3199,0c

0591,0c

1111,0c

0725,0c

1

o

1

2

3

4

=

=

=

−=

−=

=

−

−

−

−

M

3199,0c

0591,0c

1111,0c

0725,0c

0725,0c

1111,0c

0591,0c

8

7

6

5

4

3

2

=

−=

−=

=

=

−=

−=

M

0725,0c

0725,0c

1111,0c

0591,0c

3199,0c

5556,0c

14

13

12

11

10

9

=

=

−=

−=

=

=

Observe que a cada N coeficientes eles se repetem. Isto é, a cada 9 ck eles voltam a ser os mesmos valores.

M

L

L

L

L

L

L

L

M

0591,0ccc

3199,0ccc

5556,0ccc

3199,0ccc

0591,0ccc

1111,0ccc

0725,0ccc

20112

19101

189o

1781

1672

1563

1454

−================

−====−====

====

−

−

−

−

e assim por diante.


38

Agora, com os valores dos coeficientes ck, podemos escrever a série de Fourier, eq. (7.14). Ao contrário do caso contínuo, em que tínhamos que acrescentar mais e mais termos para obter uma aproximação melhor, aqui no caso discreto é possível uma aproxima-ção exacta com N = 9 termos consecutivos:

∑+

+=

π

⋅=)8(

),1(,kk

n9

2kjc[n]x

l

Kll

e

Por exemplo, se tomarmos primeiramente apenas 3 termos consecutivos, k = –1, 0 e 1, teremos

∑−=

π

⋅=1

1kk3

n9

2kjc[n]x e

que nos dá uma primeira aproximação, ainda muito grosseira, do sinal x[n], como pode-se ver no gráfico de [ ]nx 3 na figura 7.15 abaixo.

Fig. 7.15 – Sinal onda quadrada discreta. Caso particular N = 9 e N1 = 2. Aproxima-

ção por série de Fourier com apenas 3 termos. Se entretanto tomarmos 5 termos consecutivos, k = –2, –1, 0, 1 e 2, teremos então

∑−=

π

⋅=2

2kk5

n9

2kjc[n]x e

que nos dá uma aproximação um pouco melhor, mas ainda longe de perfeita, do sinal x[n], como pode-se ver no gráfico de [ ]nx5 na figura 7.16 abaixo.


39


ção por série de Fourier com apenas 5 termos. Se agora tomarmos 7 termos consecutivos, k = –3, –2, –1, 0, 1, 2 e 3, teremos então

∑−=

π

⋅=3

3kk7

n9

2kjc[n]x e

que já nos dá uma aproximação bem melhor, mas ainda não perfeita, do sinal x[n], como pode-se ver no gráfico de [ ]nx7 na figura 7.17 abaixo.


ção por série de Fourier com 7 termos. Finalmente, se agora tomarmos 9 termos consecutivos, k = –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 e 4, teremos então

∑−=

π

⋅==4

4kk9

n9

2kjc[n]x[n]x e

que nos dá a aproximação perfeita, ou “exacta” do sinal x[n] pois N = 9. Ou seja,

[n]x[n]x 9 = O gráfico de [ ]nx 9 , que é coincidente com x[n], pode ser visto na figura 7.18 abaixo.


40


ção exacta por série de Fourier com 9 termos. Exemplo 7.4: Considere agora o sinal sinusoidal discreto

)n(sen[n]x oω= Este sinal é periódico quando:

o

2

ωπ

é um inteiro ou a razão de inteiros.

Suponha que

N2

o

=ω

π

logo,

N

2o

π=ω

e x[n] é então um sinal periódico com período fundamental N. Usando-se a equação de Eüler podemos expandir este sinal x[n] como a soma de 2 termos exponenciais complexas, obtendo-se

nN2jn

N2j

j2

1

j2

1[n]x

π−π

−= ee

e vemos então que:


41

∀=

−=−=

=−=−

.,0c

j2

1

j2

1c

j2

1

j2

1c

somação de intervalo nok de valoresoutrosparak

1

1

Por exemplo, no caso particular de

N = 5

então

π= n5

2sen[n]x

e os coeficientes de Fourier serão:

j2

1

j2

1c

0c

j2

1

j2

1c

0c

0c

j2

1

j2

1c

0c

j2

1

j2

1c

0c

0c

6

5

4

3

2

1

o

1

2

3

−==

=

=−=

=

=

−==

=

=−=

=

=

−

−

−

M

e assim por diante.

M

j2

1

j2

1c

0c

j2

1

j2

1c

0c

0c

j2

1

j2

1c

0c

j2

1

j2

1c

0c

0c

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

−==

=

=−=

=

=

−==

=

=−=

=

=


42

Ou seja, a cada 5 coeficientes ck, eles se repetem, i.e., voltam a ter os mesmos valores

M

L

L

L

M

j5,0ccc

0ccc

0ccc

941

832

723

============

−

−

−

M

L

L

L

M

0ccc

j5,0ccc

0ccc

1272

1161

105o

====−========

e assim por diante. O intervalo de somação pode ser quaisquer 5 coeficientes ck consecutivos, como por exemplo:

de -1k = até 3k = , ou

de 0k = até 4k = , ou


de 2k = até 7k = ,

etc. etc. Se tomarmos apenas 3 termos consecutivos, como por exemplo: k = 1, 2 e 3, teremos

∑=

π

⋅=3

1k

n5

2kj

k3 c[n]x e

que nos dá uma aproximação do sinal x[n]. Entretanto, se tomarmos 5 termos consecutivos, como por exemplo: k = 1, 2, 3, 4 e 5, teremos então

∑=

π

⋅=5

1k

n5

2kj

k5 c[n]x e

que nos dá a aproximação exacta do sinal x[n] pois N = 5. Ou seja,

π== n5

2sen[n]x[n]x 5 .


43

Exemplo 7.5:

Considere novamente o sinal sinusoidal discreto

)n(sen[n]x oω=

mas agora suponha que

inteiros 2 de razãoM

N2

o

==ω

π

onde N e M são 2 inteiros que não têm factores comuns.

Logo,

MN

2o ⋅π=ω

Novamente x[n] é um sinal periódico e com período fundamental N.

Usando-se a equação de Eüler podemos também expandir este sinal x[n] como a soma de 2 termos exponenciais complexas, obtendo-se:

nN2Mjn

N2Mj

j2

1

j2

1[n]x

π−π

−= ee

e portanto,

⋅−==

⋅=−=−

j2

1

j2

1c

j2

1

j2

1c

M

M

Além disso, como NkNk cc −+ = (os ck’s se repetem a cada N), então:

( ) ( )tambémMMNMN cj2

1cc −+−− =⋅==

e

( )tambémMMNMN cj2

1cc =⋅−== +−+

Entretanto,

.,0c somaçãoervalo de intno ores de koutros valparak ∀=


44

Exemplo 7.6: Neste exemplo anterior (Exemplo 7.5), se tomarmos o caso particular de N = 5 e M = 3, então

( )n2,1senn5

6senn

5

23sen[n]x ⋅π⋅=

π=

π⋅=


0c

0c

j2

1c

j2

1c

0c

0c

0c

j2

1c

j2

1c

0c

o

1

2

3

4

5

6

7

8

9

=

=

−=

=

=

=

=

−=

=

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

M

e assim por diante. Ou seja, a cada 5 coeficientes ck, eles se repetem, i.e., voltam a ter os mesmos valores

0c

0c

j2

1c

j2

1c

0c

0c

0c

j2

1c

j2

1c

0c

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

=

=

−=

=

=

=

=

−=

=

=

M

0c

0c

j2

1c

j2

1c

0c

0c

0c

j2

1c

j2

1c

0c

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

=

=

−=

=

=

=

=

−=

=

=


45

M

L

L

L

M

j5,0cccc

j5,0cccc

0cccc

8327

7238

6149

−==========

=====

−−

−−

−−

M

L

L

L

M

0cccc

0cccc

0cccc

11614

105o5

9416

===============

−

−

−−

e assim por diante. O intervalo de somação novamente pode ser quaisquer 5 coeficientes ck consecutivos, como por exemplo: de -1k = até 3k = , ou


de 1k = até 5k = ,

etc. etc.

Se tomarmos apenas 1, ou 2, ou 3, ou 4 termos consecutivos, teremos uma aproxima-ção do sinal x[n]. Por exemplo: k = 1, 2 e 3,

∑=

π

⋅=3

1kk3

n5

6kjc[n]x e

Entretanto, se tomarmos 5 termos consecutivos, como por exemplo: k = 1, 2, 3, 4 e 5, teremos então

∑=

π

⋅=5

1kk5

n5

6kjc[n]x e


π== n5

6sen[n]x[n]x 5


46

Exemplo 7.7:

Novamente considerando o Exemplo 7.5, se tomarmos o caso particular de N = 7 e M = 3, então

( ) ( )n6928,2senn8571,0senn7

6senn

7

23sen[n]x ⋅=⋅π⋅=

π=

π⋅=


j21

c

0c

0c

0c

0c

0c

j21

c

3

2

1

0

1

2

3

−=

=

=

=

=

=

=

−

−

−

M

j21

c

0c

0c

0c

0c

0c

j21

c

10

9

8

7

6

5

4

−=

=

=

=

=

=

=

M

j21

c

0c

0c

0c

0c

0c

j21

c

17

16

15

14

13

12

11

−=

=

=

=

=

=

−=

e assim por diante. Ou seja, a cada 7 coeficientes ck, eles se repetem, i.e., voltam a ter os mesmos valores

M

L

L

L

L

M

============

====

−

−

−

0ccc

0ccc

0ccc

j5,0ccc

147o

1361

1252

1143

M

L

L

L

L

M

j5,0ccc

0ccc

0ccc

0ccc

17103

1692

1581

147o

−============

e assim por diante.


47

O intervalo de somação agora pode ser quaisquer 7 coeficientes ck consecutivos, co-mo por exemplo:

de -1k = até 5k = , ou


de 1k = até 7k = ,

etc. etc.

Se tomarmos apenas 1, ou 2, ou 3, ou 4 termos consecutivos, teremos uma aproxima-ção do sinal x[n]. Por exemplo: k = 1, 2, 3, 4 e 5,

∑=

π

⋅=5

1kk5

n7

6kjc[n]x e

Entretanto, se tomarmos 7 termos consecutivos, como por exemplo:

k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, teremos então

∑=

π

⋅=7

1kk7

n7

6kjc[n]x e


π== n7

6sen[n]x[n]x 7 .

7.9 – Propriedades da Série de Fourier para sinais discretos


x1[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier kc′

x2[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier kc ′′


48

e que [ ] [ ] [ ]nxnxny 21 β+α=

então, mostra-se que: y[n] tem período N ,

ou seja,

y[n] tem frequência fundamental N

2o

π=ω ,


kkk ccc ′′β+′α=

Translação no tempo (“ time shifting”): Suponha que

x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck

e que [ ] [ ]onnxny −=

ou seja, y[n] é o sinal x[n] com uma translação (shift) no tempo de no.

Então, mostra-se que: y[n] tem período N ,

ou seja,


2o

π=ω ,


k

kk

c

cc~

onN

2kj

onokj

π−

ω−

=

==

e

e

Nota:

Como θ∀=θ ,1je , tem-se que

kk cc~ =


49

Sinal reflectido / reversão no tempo (“ time reversal”) em torno de n = 0: Suponha que

x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck e que

[ ] [ ]nxny −= então, mostra-se que:

y[n] tem período N , ou seja,


2o

π=ω ,


kk cc −= Nota: Como consequência desta propriedade pode-se concluir, (semelhantemente ao caso contínuo), que: Se x[n] é um sinal par ⇒ os coeficientes de Fourier ck são, eles próprios, pares; i.e.,

kk cc −=

Se x[n] é um sinal ímpar ⇒ os coeficientes de Fourier ck são eles próprios, ímpares; i.e.,

kk cc −−= .

Escalonamento no tempo (“ time scaling” ): Suponha que


(portanto x[n] tem frequência fundamental N

2o

π=ω )


50

e que

[ ]

=

mdemúltiploénãonse,0

mdemúltiploénse,m

nx

ny


y[n] tem período Nm ⋅ , ou seja,

y[n] tem frequência fundamental Nm

2

mo

⋅π=ω

, e além disso,

[ ]

∑

∑

−+

+=

−+

+=

⋅π−

ω−

⋅=

=⋅=

)1N(

),1(,kk

)1N(

),1(,kk

nNm

2kj

nmokj

c

cny

l

Kll

l

Kll

e

e

Note que a série de Fourier muda por causa da mudança da frequência fundamental (e do período). Entretanto os coeficientes ck não mudam.

Multiplicação: Suponha que

[ ]nx1 é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier kc′

[ ]nx 2 é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier kc ′′ e que

[ ] [ ] [ ]nxnxny 21 ⋅= então, mostra-se que:

y[n] tem período N , ou seja tem frequência fundamental N

2o

π=ω ,



51

∑−+

+=−′′⋅′=

)1N(

),1(,jjkjk ccc

l

Kll

k = 0, ±1, ±2, …

Ou seja,

etcetcetcetc

)Nk(N3k32k21k1

)1Nk(1N2k21k1ko

)1N(

),1(,jjkjk

cccccccc

cccccccc

ccc

MMMM

L

L

l

Kll

−−−−

+−−−−

−+

+=−

′′⋅′++′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′=

′′⋅′++′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′=

=′′⋅′= ∑



[ ] [ ]nxny ∗= y[n] é o conjugado de x[n]; então, mostra-se que:


2o

π=ω ,


∗−= kk cc

Nota:

Como consequência desta propriedade pode-se concluir que:

Se x[n] ∈ R, então


52

os coeficientes de Fourier ∗− = kk cc ;

co ∈ R ;

e

kk cc −= .

Além disso, as relações acima permitem mais uma vez concluir que:

Se x[n] ∈ R é um sinal par ⇒

os coeficientes de Fourier ∗= kk cc ; e

kk cc −= (os coeficientes de Fourier são eles próprios “ pares” ).

Se x[n] ∈ R é um sinal ímpar ⇒

os coeficientes de Fourier kc são imaginários puros, 0co = e

kk cc −−= (os coeficientes de Fourier são eles próprios “ impares” ).

Translação na frequência (“ frequency shifting”): Suponha que

x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck e, para um m inteiro, constante, considere agora os coeficientes

mkk cc −= k = 0, ±1, ±2, … ou seja,

kc são os coeficientes ck desfasados de m. Então, mostra-se que o sinal:

[ ] [ ]nxny nomj ⋅= ωe

tem os coeficientes de Fourier kc


53

Nota: Esta propriedade é dual da translação no tempo (time shifting). Agora a translação (shift) foi aplicada aos ck e não no tempo t.

Como θ∀=θ ,1je , então

kk cc =

Convolução no período: Suponha que

x1[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier kc′

x2[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier kc ′′ e que y[n] é a convolução (tomada no período N):

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]∑−+

+=

⋅−=

=∗=

)1N(

),1(,k21

21

kxknx

nxnxny

l

Kll



2o

π=ω ,


kkk ccNc~~ ′′⋅′⋅=

Primeira diferença: Suponha que


[ ] [ ] [ ]1nxnxny −−= então, mostra-se que:


54


2o

π=ω ,


( ) kN

2kj

kkj

k ce1ce1c o ⋅

−=⋅−=′

πω

Nota:

Esta propriedade corresponde, no caso discreto, à propriedade para a “derivada” no caso contínuo.

Para o caso de diferenças de ordem 2 ou maior, pode-se aplicar esta regra sucessivas vezes. Por exemplo, no caso da segunda diferença, se

[ ] [ ] [ ]2nxnxny −−=

os coeficientes de Fourier de y(t) são

( ) k

2

N

2kj

k

2kjk ce1ce1c o ⋅

−=⋅−=′′

πω

.

Soma acumulada: Suponha que


e que

[ ]∑−∞=

=n

k

kx)t(y


y[n] tem período T , ou seja tem frequência fundamental N

2o

π=ω ,


( ) k

N

2kj

kkjk c

e1

1c

e1

1c

o⋅

−

=⋅−

=

πω

(


55

Nota:

No caso de co = 0, esta propriedade só é válida para sinais x[n] periódicos e com va-lores finitos. Esta propriedade corresponde, no caso discreto, à propriedade para a integral no caso contínuo. Para o caso de integrais duplas, triplas, etc., pode-se aplicar esta regra sucessivas vezes.

Relação de Parseval: Suponha que

x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck então, mostra-se que a potência média do sinal no intervalo de um período N:

[ ]

∑

∑

−+

+=

−+

+=

=

=⋅=

)1N(

),1(,k

2

k

)1N(

),1(,n

2

c

nxN

1P

l

Kll

l

Kll

J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Fourier

1

8 – Transformadas de Fourier

8.1 – Introdução à Análise de Fourier 3

8.2 – A Transformada de Fourier para sinais contínuos 4

Exemplo 8.1 6

Exemplo 8.2 9

Exemplo 8.3 11

8.3 – A Transformada de Fourier para sinais periódicos 13

Exemplo 8.4 14

Exemplo 8.5 15

Exemplo 8.6 15

Exemplo 8.7 17

8.4 – Propriedades da Transformada de Fourier para sinais contínuos 20

Linearidade 20


Exemplo 8.8 21

Conjugação 23

Exemplo 8.9 25

Derivadas 26

Integral 27

Exemplo 8.10 27

Exemplo 8.11 28




2


Dualidade 30

Exemplo 8.12 30

Derivada na frequência (dual da derivada) 31

Dual da integral 31


Convolução 32

Multiplicação (dual da convolução) 33

8.5 – Interpretação da propriedade da Convolução 33

Exemplo 8.13 35

Exemplo 8.14 36

Exemplo 8.15 37

Exemplo 8.16 38

8.6 – Tabela da Transformada de Fourier de alguns sinais contínuos 40

8.7 – A Transformada de Fourier para sinais discretos 43

8.8 – Propriedades da Transformada de Fourier para sinais discretos 45


3

Transformadas de Fourier 8.1 – Introdução às Transformadas de Fourier Neste capítulo continuaremos a Análise de Fourier estudando agora as Transformadas de Fourier.

Fig. 8.1 – Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), francês.

A obra principal de Fourier tem o título: “Mémoire sur la théorie de la chaleur”, pu-blicada no “Extrait du mémoire lu à l'Académie des sciences” le 1er décembre 1828, 1829, t. 11 p. 13-30.


4

Na figura 8.2 vemos o livro onde foi publicado esta sua obra e alguns extractos dos originais de Fourier.

Fig. 8.2 – Alguns extractos dos originais de Fourier. O livro “Extrait du mémoire lu à

l'Académie des sciences”onde foi publicado a principal obra de Fourier e alguns extractos dos seus originais.

Enquanto que as séries de Fourier eram definidas apenas para sinais periódicos, as Transformadas de Fourier são definidas para uma classe de sinais muito mais ampla. Devido ao facto que os sinais sinusoidais são diferenciáveis, a transformada de Fou-rier permite representar equações diferenciais lineares com coeficientes constantes na forma de equações algébricas ordinárias. Outro detalhe: as transformadas de Fourier tornam a operação de convolução em multiplicações simples.


5

8.2 –Transformadas de Fourier para sinais contínuos A série de Fourier só se aplica a sinais periódicos. Sinais que não são periódicos (ditos sinais “aperiódicos”) têm uma outra representação com a transformada de Fou-rier. Um sinal aperiódico pode ser visto como um sinal periódico com um período infinito. Mas na série de Fourier, quando o período T de um sinal periódico aumenta, a fre-quência ωo

T

2o

π=ω

diminui, e o termos harmonicamente relacionados ficam mais próximos na frequência. Ou seja, quando o período T cresce,

∞→T

e por conseguinte a frequência ωo diminui

0T2

o →π=ω

as componentes em frequência (i.e., os ck ‘s) formam um contínuo, e o somatório da série de Fourier deste sinal se converte em uma integral. Considere portanto

um sinal contínuo x(t) ∈ C conjunto dos números complexos ou seja, o sinal x(t) tem valores complexos, com parte real e parte imaginária. A transformada de Fourier deste sinal x(t), normalmente simbolizada por:

F x(t) = X(j ω) permite expressar o sinal x(t), o que não era possível com a série de Fourier se o sinal não fosse periódico, como:

∫∞

∞−ω⋅ω

π= ω d)j(X

2

1)t(x tj

e eq. (8.1)


6

onde:

∫∞

∞−⋅⋅=ω ⋅ω⋅− dt)t(x)j(X tj

e eq. (8.2)

é a transformada de Fourier do sinal x(t). Portanto, a transformada de Fourier é uma função de ω (ou de jω) e, de certa forma, generaliza a série de Fourier. A equação eq. (8.1) acima é conhecida como a equação de síntese, ou também como a fórmula da transformada inversa de Fourier. Por outro lado a equação eq. (8.2), que dá propriamente a fórmula da transformada de Fourier, é conhecida como as equação de análise. Quanto à convergência destas integrais, é possível mostrar que estas fórmulas são válidas para uma classe bastante ampla de sinais de duração infinita. Exemplo 8.1: Considere o sinal

0a,)t(u)t(x 1ta >⋅= −

e cujo gráfico vê-se na figura 8.3.

Fig. 8.3 – O sinal exponencial 0a,)t(u)t(x 1at >⋅= −

e do Exemplo 8.1. A transformada de Fourier deste sinal x(t) pode ser calculada usando a equação eq. (8.2).


7

∞

∞

ω+−

⋅ω⋅−−

ω+−=

=⋅⋅=ω ∫

0

0

t)ja(

tjat

)ja(

1

dt)j(X

e

ee

e portanto a transformada de Fourier deste sinal x(t) é dada por:

0a,)ja(

1)j(X >

ω+=ω

Como a transformada de Fourier tem valores complexos, para expressá-la através de um gráfico é necessário decompor em

diagrama de módulo |X(j ω)|, e,

diagrama de fase ∠ X(jω). Para esta transformada X(jω) é fácil de verificar que o diagrama de módulo |X(j ω)| tem a expressão

22a

1)j(X

ω+=ω

que está ilustrado na figura 8.4.

Fig. 8.4 – A transformada de Fourier do sinal x(t). Diagrama de módulo |X(j ω)|.


8

e que o diagrama de fase ∠ X(jω) tem a expressão

ω−=ω∠a

tgarc)j(X

e isso está ilustrado na figura 8.5.

Fig. 8.5 – A transformada de Fourier do sinal x(t). Diagrama de fase ∠X( j ω). Observe que se ω = 0, então

( ) 00tgarca

tgarc ==

ω,

e portanto

( )X( j0) arctg 0 0∠ = − = .

Também é fácil verificar que se ω = –a, então ( )4

1tga

tg 11 π−=−=

ω −− , e portanto

4atgarc)j(X

π→

ω−=ω∠

Por outro lado, se ω = a, então ( )4

1tgarca

tgarcπ==

ω e portanto


9

4atgarc)j(X

π−→

ω−=ω∠

Note também que se ω → – ∞, então

( )2

tgarca

tgarclima

tgarcπ−→∞−≅

ω=

ω∞−→ω ,

e portanto

2atgarc)j(X

π→

ω−=ω∠

Mas entretanto, se ω → ∞, então

( )2

tgarca

tgarclima

tgarcπ→∞≅

ω=

ω∞→ω

,

e portanto

2atgarc)j(X

π−→

ω−=ω∠

Exemplo 8.2: Considere agora o sinal

0a,)t(xta >= −

e cujo gráfico vê-se na figura 8.6.

Fig. 8.6 – O sinal 0a,)t(x ta >= −e do Exemplo 8.2.


10

A transformada de Fourier de x(t) pode ser calculada usando a equação eq. (8.2).

)a(

1

)a(

1

)ja(

1

)ja(

1

dtdt

dt)j(X

0

0

0

0

0

t)ja(t)ja(

tjtatjta

tjta

ω++

ω−=

ω+−+⋅

ω−=

=⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅=ω

∞

∞−

∞

∞−

∞

ω+−ω−

⋅ω⋅−−⋅ω⋅−

⋅ω⋅−−

∫∫

∫

ee

eeee

ee

e portanto a transformada de Fourier deste sinal x(t) é dada por:

)a(

a2)j(X

22 ω−=ω

o que está ilustrado na figura 8.7.

Fig. 8.7 – A transformada de Fourier do sinal x(t). Diagrama de módulo )j(X ω .

O diagrama de módulo |X(j ω)|

)a(

a2)j(X

22 ω−=ω


11

Como o X(jω) tem valores reais positivos para | ω | < a e valores reais e negativos para | ω | < a, o diagrama de fase ∠ X(jω) é tem a expressão

>ω−<ωπ−

<ω<−=ω∠

aouase,

aase,0)j(X


Fig. 8.8 – A transformada de Fourier do sinal x(t). Diagrama de fase ∠ X( j ω). Exemplo 8.3: Considere agora o sinal

>

<=

atse,0

atse,1)t(x

cujo gráfico vê-se na figura 8.9 e é cha-mado de um “pulso quadrado”.

Fig. 8.9 – O sinal x(t) do Exemplo 8.3.

“pulso quadrado”. Calculando-se a transformada de Fourier de x(t) usando a equação eq. (8.2), temos

a

a

t)j(

tj

)j(1

dt1)j(Xa

a

−

ω−

⋅ω⋅−

⋅ω

−=

=⋅⋅=ω ∫−

e

e

e logo,


12

( )jaja

j1

)j(X ω−ω −⋅ω

=ω ee

e portanto, usando Eüler, a transformada de Fourier deste sinal x(t) é dada por:

ωω

=ω)a(sen2

)j(X

Portanto, esta transformada de Fourier X(jω) também só tem valores reais ∀ ω, mas entretanto, os valores que X(jω) assume são ora positivos e ora negativos, devido às oscilações do seno.

O gráfico de X(jω) está ilustrado na figura 8.10.

Fig. 8.10 – A transformada de Fourier do sinal x(t) do Exemplo 8.3.

Logo, é fácil de se obter o diagrama de módulo |X(j ω)| conforme pode-se ver ilus-trado na figura 8.11.

Fig. 8.11 – A transformada de Fourier do sinal x(t) do Exemplo 8.3. Diagrama de

módulo )j(X ω .


13

e o gráfico do diagrama de fase ∠ X(jω) é mostrado na figura 8.12.

Fig. 8.12 – A transformada de Fourier do sinal x(t) do Exemplo 8.3. Diagrama

de fase ∠ X(jω). Ou seja,

<ωπ−

>ω=ω∠

0)j(X

0)j(X0)j(X

se

se

8.3 – Transformadas de Fourier para sinais periódicos Note que se

)(u2)j(X oo ω−ω⋅π=ω então

toj

tj

tj

d)(u

d)(u22

1)t(x

oo

oo

ω

⋅ω⋅

⋅ω⋅

=

=ω⋅⋅ω−ω=

=ω⋅⋅ω−ω⋅π⋅π

=

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

e

e

e

Logo, se

∑∞

−∞=

ω−ω⋅⋅π=ωk

ook )k(uc2)j(X eq. (8.3)

x(t) então será:


14

∑∞

−∞=

ω⋅=k

tk

okjc)t(x e

que é a série de Fourier para sinais periódicos. X(j ω) que satisfaz a equação eq. (8.3) acima é chamado de

“ train of impulses” e define a transformada de Fourier para os sinais que são periódicos em função dos coeficientes ck’s da série de Fourier exponencial. Exemplo 8.4: Considere o sinal periódico do seno:

x(t) = sen(ωot) Neste caso os coeficientes ck’s da série exponencial de Fourier são:

⇒= 1kse j2

1c1 =

⇒−= 1kse j2

1c 1 −=−

⇒−∉ 1,1kse 0ck =

E a transformada de Fourier (“train of impulses”) neste caso é:

)(uj

)(uj

)j(X oooo ω+ω⋅π−ω−ω⋅π=ω

que pode ser vista no gráfico da figura 8.13.



15

Exemplo 8.5: Considere o sinal periódico do co-seno:

x(t) = cos(ωot) Agora, neste caso os coeficientes ck’s da série exponencial de Fourier são:

⇒= 1kse 2

1c1 =

⇒−= 1kse 2

1c 1 =−

⇒−∉ 1,1kse 0ck =

e a transformada de Fourier (“train of impulses”) neste caso é:

)(u)(u)j(X oooo ω−ω⋅π+ω+ω⋅π=ω que encontra-se ilustrado na figura 8.14


Exemplo 8.6: Considere o sinal x(t) do exemplo 7.1 no capítulo 7 (onda quadrada).

<<

<<−−=

1t0se,1

0t1se,1

)t(x

que após ser repetido (ou estendido) para a direita de t = 1 e para esquerda de t = –1, nos dá um sinal periódico para ∀t (∞ < t < ∞ ), ilustrado na figura 8.15.


16

Fig. 8.15 – Onda quadrada estendida para ∀t (∞ < t < ∞).

Este sinal tem frequência natural

π=π=ωT

2o

No Exemplo 7.2 vimos que os coeficientes cks da série de Fourier complexa são:

±±±=π−

±±=

=...,5,3,1kse,j

k

2

...,4,2,0kse,0

ck

Logo a Transformada de Fourier deste sinal x(t) será dada por

∑

∑

∑

±±±=

±±±=

∞

−∞=

π−ω⋅

−=

=π−ω⋅

π−⋅π=

=ω−ω⋅⋅π=ω

K

K

,5,3,1ko

,5,3,1ko

kook

)k(ujk

4

)k(ujk

22

)k(uc2)j(X

que é um “train of impulses” complexos com áreas: K,5

j4,

3

j4,j4

±±± localizados

em K,5,3, π±π±π±=ω , respectivamente. Logo, é fácil de se obter o diagrama de módulo |X(j ω)| conforme pode-se ver ilustrado na figura 8.16.


17

Fig. 8.16 – A transformada de Fourier do sinal x(t), “train of impulses”. Dia-

grama de módulo )j(X ω .

Para o diagrama de fase ∠ X(jω), note que quando os impulsos estão multiplicados por +j, o ângulo (ou fase) é π/2 (ou 90º); e quando os impulsos estão multiplicados por –j, o ângulo (ou fase) é –π/2 (ou –90º). Isso pode se ver ilustrado na figura 8.17.

Fig. 8.17 – A transformada de Fourier do sinal x(t) do Exemplo 8.6. Diagrama

de fase ∠ X(jω). Exemplo 8.7: Considere o sinal periódico x(t) abaixo:

<<

<=

2

Ttase,0

atse,1

)t(x


18

e suponha que foi estendido para esquerda e para direita, tornando-o um sinal perió-dico, como se encontra-se ilustrado na figura 8.18.

Fig. 8.18 – O sinal x(t) do Exemplo 8.7. “Onda quadrada”. Para calcular os coeficientes ck’s da série de Fourier exponencial, fazemos primeiro para k = 0, e temos que:

T

a2

dt1T

1c

a

ao

=

⋅= ∫ −

Para k ≠ 0 temos que:

0k,j2Tk

2

Tkj

1

dt1T

1c

akojakoj

a

a

tkoj

a

a

tkoj

o

o

k

≠

−⋅⋅ω

=

=⋅⋅⋅ω⋅

−=

=⋅⋅=

⋅ω−⋅ω

−

⋅ω−

−⋅ω−

∫

ee

e

e

onde

π=ωT

2o . Agora, usando-se as equações de Eüler temos que:

0k,Tk

)ak(sen2c

o

ok ≠

ωω

=

ou, equivalentemente:


19

0k,k

)ak(senc o

k ≠πω

=

Logo, a transformada de Fourier deste sinal periódico x(t) é o “train of impulses” X(j ω) abaixo:

∑

∑

∞

∞

≠−∞=

−∞=ω−ω⋅γ=

ω−ω⋅ω⋅+⋅⋅π=ω

k)k(u

)k(uk

)ak(sen2)a(u

T

a22)j(X

ook

0kk

ooo

o

onde:

≠ω⋅

=π

=γ

0ksek

)ak(sen2

0kseT

a4

o

k

Na figura 8.19 pode-se ver o gráfico de X(jω) x ω para o caso particular de T = 4a.



20

Neste caso (T = 4a), ωo = π/2, e os valores de ck e dos γk são:

2

1co = π=γo

π== −

1cc 11 211 =γ=γ −

0cc 22 == − 022 =γ=γ −

π−== − 3

1cc 33 3

233 −=γ=γ −

0cc 44 == − 044 =γ=γ −

π−== − 5

1cc 55

5

255 −=γ=γ −

0cc 66 == − 066 =γ=γ −

M M 8.4 – Propriedades da Transformada de Fourier para sinais contínuos


x1(t) e x2(t) são dois sinais contínuos. e que

)t(x)t(x)t(y 21 β+α= então, mostra-se que a transformada de Fourier de y(t) é:

)j(X)j(X)j(Y 21 ω⋅β+ω⋅α=ω ou seja,

)t(x)t(x)t(x)t(x 2121 FFF ⋅β+⋅α=β+α


21

Translação no tempo (“ time shifting”): Suponha que x(t) é um sinal contínuo e que:

)tt(x)t(y o−=

ou seja, )t(y é o sinal )t(x com uma translação (shift) no tempo, de to. Então, mostra-se que:

)j(X)j(Y otj ω⋅=ω ω−e

ou seja,

)t(x)tt(x otjo FF ⋅=− ω−

e Nota: O módulo do sinal transladado não se altera. Somente a fase. Ou seja, escrevendo-se a transformada de Fourier de x(t) na forma polar (módulo e ângulo):

)j(X)j(X)j(X)t(x ω∠⋅ω=ω= eF

temos que a transformada de Fourier de x(t–to) pode ser expressa como:

[ ]ot)j(X(j

otj

)j(X

)j(X)tt(x o

ω−ω∠

ω−

⋅ω=

=ω⋅=−

e

eF

Uma translação ou shift (de to) no sinal x(t)

⇓ uma translação ou shift (de ωto)

na transformada X(jω) deste sinal.

Exemplo 8.8:

Considere o sinal x(t) da figura 8.20:


22

Fig. 8.20 – O sinal x(t) do Exemplo 8.8.

Este sinal pode ser reescrito em função de dois sinais transladados: )5,2t(x1 − e

)5,2t(x 2 − :

)5,2t(x)5,2t(x)t(x 21 −+−= que estão representados graficamente na figura 8.21.

Fig. 8.21 – Sinais x1(t) e x2(t) do Exemplo 8.8.

Como as transformadas de Fourier de x1(t) e de x2(t) são respectivamente X1(jω) e X2(jω):

ω

ω

=ω 2sen

)j(X1 e ω

ω

=ω 2

3sen2

)j(X 2

então, usando as propriedades da linearidade e da translação (time shifting) temos que:

ω

ω+

ω

⋅=ωω

− 2

3sen2

2sen

)j(X 25

je


23


x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier kc

e que

)t(x)t(y ∗= o conjugado de x(t); então, mostra-se que a transformada de Fourier de y(t) é:

)j(X)j(Y ω−=ω ∗ isto é, a transformada de Fourier do conjugado de um sinal é o simétrico do conju-gado da a transformada de Fourier deste sinal:

)j(X)t(x ω−= ∗∗F

Nota: Como consequência desta propriedade pode-se concluir que: Se x(t) ∈ R, então

)j(X)j(X ω−=ω ∗ Além disso, se a transformada de Fourier de x(t) é expressa na forma cartesiana (parte real e parte imaginária):

)j(XIm)j(XRe)j(X)t(x ω+ω=ω=F então, como x(t) ∈ R, temos que )j(XRe)j(XRe ω−=ω (a parte real de X(jω) é par) eq. (8.4)

)j(XIm)j(XIm ω−−=ω (a parte imaginária de X(jω) é ímpar) eq. (8.5) Entretanto, se a transformada de Fourier de x(t) é expressa na forma polar (módulo e ângulo):

)j(Xe)j(X)j(X)t(x ω∠⋅ω=ω=F


24

Fig. 8.22 – Diagrama esquemático que mostra o módulo e a fase de ambos z e z*.

Conforme ilustra a figura 8.22,

∗= zz

e ∗∠−=∠ zz

e portanto, temos então que:

)j(X)j(X ω−=ω ∗ (o módulo de X(jω) é par) eq. (8.6)

)j(X)j(X ω−∠−=ω∠ ∗ (a fase de X(jω) é ímpar) eq. (8.7) Logo, se x(t) ∈ R, então só é necessário calcular a transformada de Fourier, para fre-quências

0>ω tanto no caso de módulo e fase

( ))j(Xe)j(X ω∠ω ,

como no caso de parte real e parte imaginária

( ))j(XIme)j(XRe ω−ω− , pois estes valores para frequências negativas (0<ω ) podem ser determinados usando as relações acima [ eq. (8.4) e eq. (8.5), ou eq. (8.6) e eq. (8.7)].


25

Outro detalhe:

Se x(t) ∈ R é um sinal par ( ))t(x)t(x −= ⇒

∈ω)j(X R, isto é, ∈ω)j(X eixo real; e

)j(X)j(X ω−=ω , isto é, )j(X ω é par.

(a transformada de Fourier é uma função real e par)

Se x(t) ∈ R é um sinal ímpar ( ))t(x)t(x −−= ⇒

)j(X ω é imaginário puro , isto é, ∈ω)j(X eixo imaginário; e

)j(X)j(X ω−−=ω , isto é, )j(X ω é ímpar. Finalmente, a decomposição de um sinal x(t) em parte par ( ))j(XEv ω e ímpar ( ))j(XOd ω : )j(XRe)t(xRe)t(xEv ω== FF eq. (8.8)

)j(XImj)t(xImj)t(xOd ω⋅=⋅= FF eq. (8.9) Exemplo 8.9: Considere o sinal x(t) abaixo:

0a,e)t(xta

>−=

que vimos na figura 8.6 (Exemplo 8.2) acima. Mas, pelo resultado do Exemplo 8.1 sabemos que:

( )ω+=⋅

ja

1)t(u)t(x 1F

e como

<

>=

−

0t

0t)t(x

se

se

ta

ta

e

e

podemos escrever que:


26

)t(uEv2

2)t(u)t(u

2

)t(u)t(u)t(x

1ta

1ta

1ta

1ta

1ta

⋅⋅=

=

−⋅+⋅=

=−⋅+⋅=

−

−

−

e

ee

ee

Agora, usando a eq. (8.8) acima, temos que:

( )

ω+=⋅−

ja

1Re)t(uEv 1

taeF

logo,

( )

( )22

1

a

a2

ja

1Re2

)t(uEv2)j(X ta

ω+=

=

ω+⋅=

=⋅⋅=ω −eF

que foi o resultado obtido no Exemplo 8.2.

Derivadas: Suponha que x(t) é um sinal e que

)t(dt

dx)t(y =


)j(Xj)j(Y ω⋅ω=ω ou seja,

)t(xj)t(dt

dxFF ⋅ω=


27

Nota:

Para o caso de derivadas de ordem 2 ou mais, pode-se aplicar esta regra sucessivas vezes. Por exemplo, no caso da segunda derivada, se

2

2

dtxd

)t(y =

então a Transformada de Fourier de y(t) é

( ) )j(X)j(Xj)j(Y 22 ω⋅ω−=ω⋅ω=ω . ou seja,

)t(xdt

xd 2

2

2

FF ⋅ω−=

Integral : Suponha que x(t) é um sinal e que

∫ ∞−=

tdt)t(x)t(y


)(u)0(X)j(Xj

1)j(Y o ωπ+ω⋅

ω=ω

ou seja,

)(u)0(X)t(xj

1d)(x o

tωπ+⋅

ω=ττ∫ ∞−

FF

Exemplo 8.10: A transformada de Fourier do impulso unitário uo(t):

dt)t(u)t(u tjoo

ω−⋅= ∫∞

∞−eF


28

e usando a propriedade da integral para o impulso unitário uo(t), que vimos no capí-tulo 3 [eq. (3.13)], isto é,

β<<α=−⋅∫β

αa),a(xdt)at(u)t(x o

obtemos que:

1)t(u0

to

t

j ===

ω−eF

Ou seja, a transformada de Fourier do impulso unitário uo(t) é igual a 1. Exemplo 8.11: Considere o sinal x(t) degrau unitário u1(t):

)t(u)t(x 1= Como

∫ ∞−ττ=

t

o d)(u)t(x

então, como 1)t(uo =F usando a propriedade da integral para a transformada de Fourier, temos que

)(u1j

1)j(X o ω⋅⋅π+

ω=ω

ou seja, a transformada de Fourier do degrau unitário )t(u1 é:

)(uj

1)t(u o1 ω⋅π+

ω=F

Por outro lado, como

)t(dt

du)t(u 1

o =

usando a propriedade da derivada para a transformada de Fourier, temos que


29

ω⋅ω⋅π⋅+=

=

ω⋅π+

ω⋅ω=

=⋅ω=

)(uj1

)(uj

1j

)t(uj)t(u

o

o

1o FF

Entretanto, sabemos que 0,0)(uo ≠ω∀=ω e isso implica que:

0)(uo =ω⋅ω e portanto:

1)t(uo =F que foi o resultado encontrado no Exemplo 8.10.

Escalonamento no tempo (“ time scaling”): Suponha que x(t) é um sinal e que

)t(x)t(y α= então, mostra-se que:

αω⋅

α=ω j

X1

)j(Y

ou seja,

αω⋅

α=α j

X1

)t(xF

Sinal reflectido / reversão no tempo (“ time reversal”) em torno de t = 0: Suponha que x(t) é um sinal e que

)t(x)t(y −=


)j(X)j(Y ω−=ω

ou seja, )j(X)t(x ω−=−F


30

Relação de Parseval: Suponha que x(t) é um sinal. Então, mostra-se que a energia total do sinal

dt)t(xE 2∫

∞

∞−∞ =

pode ser expressa em termos da transformada de Fourier pela relação de Parseval:

ωω⋅π

== ∫∫∞

∞−

∞

∞−d)j(X

2

1dt)t(xE

22

Dualidade: Suponha que x1(t) e x2(t) são sinais contínuos e que

)j(X)t(x 11 ω=F

)j(X)t(x 22 ω=F Mostra-se que: se

( ) tjX)t(x 12 =ωω=

então,

( ) ω=⋅π=ωt12 )t(x2jX

Exemplo 8.12: Usando o resultado obtido no Exemplo 8.2 podemos afirmar que: se

t)t(f

−= e então:

( )21

2)t(f)j(F

ω+==ω F


31

Logo, se

( )2t1

2)t(g

+=

então, pela propriedade da dualidade:

ω−⋅π==ω e2)t(g)j(G F

Derivada na frequência (dual da derivada): Suponha que x(t) é um sinal e que

( ) )t(xtj)t(y ⋅−= então, mostra-se que:

ωω=ω

d

)j(dX)j(Y

ou seja,

( ))t(xd

d)t(xtj FF

ω=⋅−

que é a derivada de X(jω) em ω, ou dita: derivada na frequência.

Dual da integral: Suponha que x(t) é um sinal e que

)t(u)0(x)t(xtj

1)t(y o⋅⋅π+⋅−=


∫ω

∞−γγ=ω d)(X)j(Y

ou seja,

∫ω

∞−γγ=

⋅⋅π+⋅ d)(X)t(u)0(x)t(xtj

1oF


32

Translação na frequência (“ frequency shifting”): Esta propriedade é a dual da propriedade da translação no tempo (“ time shifting” ). Agora a translação (shift) foi aplicada à variável ω e não no tempo t. Suponha que x(t) é um sinal e que

)t(x)t(y otj ⋅= ωe

ou seja, y(t) é o sinal x(t) multiplicado por otj ωe .


( ))(jX)j(Y oω−ω=ω ou seja,

( ))(jX)t(x ootj ω−ω=⋅ω

eF a transformada de Fourier de y(t) é a transformada )t(x)j(X F=ω com uma translação (shift) na frequência ω, de ωo.

Convolução: Suponha que x1(t) e x2(t) são sinais contínuos e que

)t(x)t(x

d)(x)t(x)t(y

21

21

∗=

=ττ⋅τ−= ∫∞

∞−


( ) ( )ω⋅ω=ω jXjX)j(Y 21 ou seja,

( ) ( )ω⋅ω=

⋅=∗

jXjX

)t(x)t(x)t(x)t(x

21

2121 FFF

isto é, a transformada de Fourier da convolução entre 2 sinais x1(t) e x2(t) é o produto das transformadas de Fourier destes sinais.


33

Multiplicação (dual da convolução): Suponha que x1(t) e x2(t) são sinais contínuos e que

)t(x)t(x)t(y 21 ⋅= Então, mostra-se que:

( ) ( )( )∫∞

∞−

θ⋅θ−ω⋅⋅θπ

=ω djXjX2

1)j(Y 21

ou seja,

( ) ( )( )∫∞

∞−

θ⋅θ−ω⋅⋅θπ

=⋅ djXjX2

1)t(x)t(x 2121F

8.5 – Interpretação da propriedade da Convolução Uma interpretação da propriedade da Convolução vista na secção anterior é dada aqui. Já vimos no capítulo 4 (sobre Sistemas) que a saída y(t) de um sistema linear e inva-riante no tempo (SLIT) é a convolução de h(t) [resposta do sistema ao impulso unitá-rio] com x(t) [sinal de entrada do sistema]. A figura 8.23 ilustra o que foi dito acima através do diagrama de blocos (caixa preta) de um sistema termos de x(t), h(t) e y(t), conforme visto no capítulo 4.

Fig. 8.23 – Diagrama esquemático de um sistema em função de x(t), h(t) e y(t).

A figura 8.24 apresenta novamente o diagrama de blocos (caixa preta) de um sistema mas agora em termos de X(jω), H(jω) e Y(jω).

Fig. 8.24 – Diagrama esquemático de um sistema em função de X(jω), H(jω) e Y(jω).


34

Portanto, Y(jω) = F y(t), a transformada de Fourier da saída y(t) de um sistema é o produto

( ) ( )ω⋅ω=ω jXjH)j(Y

onde:

H(jω) = F h(t) = a transformada de Fourier de h(t) [resposta impulsional do sistema], também chamado de “resposta na frequência”.

X(j ω) = F x(t) = a transformada de Fourier x(t) [sinal de entrada do sistema] A propriedade da convolução permite escrevermos o diagrama de blocos (caixa preta) na forma mostrada na figura 8.25.

Fig. 8.25 – Diagrama esquemático de um sistema em função de X(jω), H(jω) e Y(jω)

ilustrando a propriedade da transformada da convolução. Além disso, também foi visto no capítulo 4 (sobre Sistemas) que se dois sistemas S1 e S2, lineares e invariantes no tempo (SLIT), estão ligados em cascata, conforme ilustra a figura 8.26, então a resposta à entrada impulso unitário dos dois sistemas juntos (S1 e S2) é a convolução ( h1(t) * h2(t) ).

Fig. 8.26 – Diagrama esquemático de um sistema em cascata.

Portanto, a saída y(t) deste sistema em cascata é a convolução (dupla) de h1(t) com h2(t) com x(t).

( ) ( ) ( )txthth)t(y 21 ∗∗= e isso está ilustrado na figura 8.27.

Fig. 8.27 – Diagrama esquemático de um sistema em cascata.


35

Este sistema em cascata pode ser representado de forma equivalente por apenas um bloco conforme mostra a figura 8.28.

Fig. 8.28 – Diagrama esquemático equivalente a de um sistema em cascata.

Pela propriedade da convolução para a Transformada de Fourier, a resposta na fre-quência deste sistema é

( ) ( )ω⋅ω=ω jHjH)j(H 21 e a transformada de Fourier da saída y(t) deste sistema em cascata é o produto das transformadas de Fourier de h1(t), h2(t) e x(t).

( ) ( ) ( )ω⋅ω⋅ω=

⋅⋅=

jXjHjH

)t(x)t(h)t(h)t(y

21

21 FFFF

E isso está ilustrado na figura 8.29.

Fig. 8.29 – Diagrama esquemático equivalente a de um sistema em cascata.

Exemplo 8.13:

Considere o sistema SLIT onde a resposta ao impulso é dada por

( )oo ttu)t(h −= . Usando a propriedade dual do “time shifting” para a transformada de Fourier, obte-mos a resposta no domínio da frequência, a transformada de Fourier de h(t)

( ) otj

otj tu)j(H o

ω−

ω−

=

=⋅=ω

e

e F



36

Fig. 8.30 – Diagrama esquemático de um sistema SLIT com otj)j(H ω−=ω e .

Portanto, para uma entrada x(t) com transformada de Fourier X(jω) = F x(t), tem-se que a transformada de Fourier da saída y(t), Y(jω) = F y(t) é dada por

( ) ( )

( )ω⋅=

=ω⋅ω=ω

ω− jX

jXjH)j(Y

otje

e portanto, usando a propriedade dual do “time shifting” para a transformada de Fou-rier

)tt(x)t(y o−= observamos que a saída y(t) é o sinal x(t) com uma translação (shift) de to e que este sistema é o “sistema com retardo” ( time delay system). Exemplo 8.14: Considere o sistema SLIT chamado de “diferenciador”, onde para um sinal de entrada x(t) a saída y(t) é a sua derivada

)t(dt

dx)t(y =

conforme está ilustrado na figura 8.31.

Fig. 8.31 – Diagrama esquemático do sistema “diferenciador”.

Usando a propriedade da derivada para a transformada de Fourier temos que

( )ω⋅ω==ω jXj)t(y)j(Y F


37

Logo, pela propriedade da convolução para a transformada de Fourier, a resposta na frequência H(jω) é

( ) ω=ω jjH que se encontra ilustrado na figura 8.32.

Fig. 8.32 – Diagrama esquemático do sistema “diferenciador”, ( ) ω=ω jjH .

Este resultado é consistente com a definição de H(jω), pois

( )dt

)t(duth o=

e portanto H(jω) = F h(t) é

ω=

=⋅ω=ω

j

)t(uj)j(H oF

Exemplo 8.15: Considere agora o sistema SLIT abaixo chamado de “integrador”, onde para um sinal de entrada x(t) a saída y(t) é a sua integral

∫ ∞−ττ=

td)(x)t(y

que está ilustrado na figura 8.33.

Fig. 8.33 – Diagrama esquemático do sistema “integrador”.


38

Usando a propriedade da integral para a transformada de Fourier,

)(uj

1d)(u o

t

1 ωπ+ω

=ττ∫ ∞−F

e, como

( ) ∫ ∞−ττ=

t

o d)(uth

então a resposta do sistema na frequência é:

ωπ+

ω==ω )(u

j

1)t(h)j(H oF .


Fig. 8.34 – Diagrama esquemático do sistema “integrador”.

e pela propriedade da convolução para a transformada de Fourier, temos que Y(jω), a a transformada de Fourier da saída y(t) é dada por

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) )(u0XjXj

1

)(ujXjXj

1jXjHjY

o

o

ω⋅⋅π+ω⋅ω

=

=ω⋅ω⋅π+ω⋅ω

=ωω=ω

que é o mesmo resultado que obtemos calculando ( ) )t(yjY F=ω pela proprie-dade da integral para transformada de Fourier.

( ) ( ) )(u0XjXj

1d)(x o

tω⋅⋅π+ω⋅

ω=ττ∫ ∞−

F

Exemplo 8.16: Considere agora o filtro passa-baixa ideal (“low pass band filter”).


39

( )

ω>ω

ω<ω=ω

c

c

se

se

0

1jH


Fig. 8.35 – Diagrama esquemático do filtro passa-baixa ideal (“low pass band filter”). Pelo Exemplo 8.3 e pela propriedade da dualidade para transformada de Fourier temos que

( ) ( )

t

)t(sen

jH-th

c

1

πω=

=ω= F

cujo gráfico é mostrado na figura 8.36.

Fig. 8.36 – Gráfico de h(t) do filtro passa-baixa ideal (“low pass band filter”).


40

8.6 – Tabela da Transformada de Fourier de alguns sinais contínuos conhecidos

x(t) X(j ωωωω)

x(t) = uo(t) X(j ω) = 1, ∀ω

x(t) = u1(t) ( ) )(uj1

jX o ω⋅π+ω

=ω

x(t) = u2(t) ( ) ( ) )(uj1

j1

jX o2ω+

ω=ω

x(t) = e jωt )(u2)j(X oo ω−ωπ=ω

x(t) = 1, ∀t ( ) )(u2jX o ωπ=ω

x(t) = sen ωot ( ) [ ])(u)(uj

jX oooo ω+ω−ω−ωπ=ω

x(t) = cos ωot ( ) [ ])(u)(ujX oooo ω+ω+ω−ωπ=ω

x(t) = e–at u1(t) , a > 0 ( )

)ja(

1jX

ω+=ω

0>a,)t(ut)t(x 1at−⋅= e ( )

2)ja(1

jXω+

=ω

0>a,)t(u)!1n(

t)t(x 1

1nat−⋅

−=

−

e ( )

n)ja(1

jXω+

=ω

t

)t(sen)t(x c

πω

= ( )

ω>ωω<ω

=ωc

c

se

se

0

1jX

( )

>

<=

o

o

tt0

tt1tx

se

se

ω

ω⋅=ω )t(sen2)j(X o

( ) ∑+∞

−∞=

−=n

o )nTt(utx

π−ωπ=ω ∑+∞

−∞= T

k2u

T

2)j(X

ko

J. A. M. Felippe de Souza 9 – Diagramas de Bode

1

9 – Diagramas de Bode

9.1 – Introdução aos diagramas de Bode 3

9.2 – A Função de Transferência 4

9.3 – Pólos e zeros da Função de Transferência 8

Equação característica 8

Pólos da Função de Transferência 8

Zeros da Função de Transferência 8

Exemplo 9.1 8

Exemplo 9.2 9

Exemplo 9.3 9

9.4 – Os factores básicos em ‘s’ para a construção de um diagrama de Bode 10

9.5 – Os factores básicos em “jω” para a construção de um diagrama de Bode 12

9.6 – Desmembramento de funções G(s) em factores básicos 14

Exemplo 9.4 14

Exemplo 9.5 15

9.7 – Diagramas de Bode dos factores básicos 16

O ganho de Bode (KB) 17

Factor integral (jω)-1 19


2

Outros factores integrativos (jω)-2, (jω)-3, …, (jω)-n 21

Factores derivativos jω, (jω)2, (jω)3, …, (jω)n 23

Factor pólo primeira ordem (1 + jωT)-1 24

Factores pólos múltiplos (1 + jωT)-2, (1 + jωT)-3, ..., (1 + jωT)-n 28

Factores zeros simples e múltiplos (1 + jωT)1, (1 + jωT)2, ..., ..., (1 + jωT)n 32

Factores pólos quadráticos [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-1, -2, …, -n 34

Factores zeros quadráticos [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]1, 2, …, n 39

9.8 – Factores básicos com sinais negativos 39

Exemplo 9.6 39

Exemplo 9.7 41

Exemplo 9.8 42

Exemplo 9.9 43

Exemplo 9.10 44

Exemplo 9.11 45

Exemplo 9.12 46

Exemplo 9.13 47

9.9 – Exemplos adicionais de construção diagramas de Bode (módulo e fase) 48

Exemplo 9.14 48

Exemplo 9.15 49

Exemplo 9.16 49

Exemplo 9.17 50

Exemplo 9.18 51

Exemplo 9.19 50

Exemplo 9.20 51

Exemplo 9.21 53


3

Diagramas de Bode 9.1 – Introdução aos diagramas de Bode Neste capítulo estudaremos os diagramas de Bode (“Bode plots”) que levam este nome devido à Hendrik Wade Bode (1905-1982), um engenheiro americano que actuava principalmente nas áreas de electrónica, telecomunicações e sistemas.

Fig. 9.1 – Hendrik Wade Bode (1905-1982), americano.

Os diagramas de Bode (de módulo e de fase) são uma das formas de caracterizar sinais no domínio da frequência.


4

9.2 – A Função de Transferência Os sinais são representados no domínio da frequência por funções de s:

X(s), Y(s), etc. como já vimos no capítulo 6 (Transformadas de Laplace, L x(t) = X(s) e L y(t) = Y(s) ) ou por funções de jω

X(j ω), Y(jω), etc. como já vimos no capítulo 8 (Transformadas de Fourier, F x(t) = X(jω) e F y(t) = Y(jω) ). Na verdade as Transformadas de Laplace e as Transformadas de Fourier são representações que estão muito relacionadas uma com a outra. Em muitos casos, se substituirmos ‘s’ por ‘jω’, isto é, fazendo-se ‘s’ ser um número complexo com parte real nula e parte imaginária ‘ω’,

s = 0 + jω = jω

obtemos a Transformadas de Fourier a partir da Transformada de Laplace,

X(s) = X(0+jω) = X(jω), Y(s) = Y(0+jω) = Y(jω), etc. Se x(t) é a entrada de um sistema e y(t) é a saída deste mesmo sistema, em certas apli-

cações podem ser mais interessante representar no diagrama de blocos estes sinais

X(s), X(jω), Y(s) e Y(jω) no domínio da frequência, em vez de no domínio do tempo conforme é ilustrado na figura 9.2.

Fig. 9.2 – Diagrama de blocos com os sinais de entrada e saída representados no

domínio da frequência.

onde G(s) e G(jω) são a reposta impulsional do sistema conforme visto nas secções 5.10 (no capítulo 5, Transformada de Laplace) e 8.5 (no capítulo 8, Transformada de Fourier) respectivamente.


5

Note que lá a reposta impulsional do sistema era, de forma geral, H(s) e H(jω) enquanto que aqui, de forma geral, será utilizado a notação G(s) e G(jω). No capítulo 4, sobre Sistemas e no capítulo 8 sobre Transformadas de Fourier nós vi-

mos alguns resultados clássicos sobre SLIT (sistemas lineares e invariantes no tem-

po). Por exemplo, no caso particular da entrada x(t) = impulso unitário,

x(t) = uo(t) então a saída y(t) = g(t) = a “resposta impulsional do sistema”. Sabendo-se a resposta impulsional g(t) de um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) podemos saber a saída y(t) para qualquer entrada x(t)

.d)(g)t(x)t(g)t(x

d)(x)t(g)t(x)t(g)t(y

τ⋅τ⋅τ−=∗=

τ⋅τ⋅τ−=∗=

∫

∫∞+

∞−

+∞

∞−

Ou seja, a saída y(t) é a convolução entre a resposta impulsional g(t) e a entrada x(t). Isso que implica que

).j(G)j(X

)j(X)j(G)j(Y

ω⋅ω=ω⋅ω=ω

onde

X(jω) = F x(t) X(jω) = Transformada de Fourier de x(t),

Y(jω) = F y(t) Y(jω) = Transformada de Fourier de y(t), e

G(jω) = F h(t) G(jω) = Transformada de Fourier de g(t) e que está ilustrado na figura 9.3 abaixo.

Fig. 9.3 – Diagrama de blocos com os sinais de entrada x(t) e de saída y(t) e resposta

impulsional h(t), todos representados no domínio da frequência, em ‘jω’:

X(j ω), Y(jω) e G(jω).


6

Este resultado se deve ao facto que:

a transformada da convolução é o produto das transformadas. a propriedade da Convolução para as Transformadas de Fourier, que foi vista na secção 8.4 (no capítulo 8, Propriedades da Transformada de Fourier). Por esta razão pode-se expressar G(jω) como a razão entre o sinal de saída tomado no domínio da frequência [ Y(jω) ] e o sinal de entrada, também tomado no domínio da frequência [ X(jω) ], quando as condições iniciais do sistema são nulas

)j(X

)j(Y)j(G

ωω=ω eq. (9.1)

que é chamada de ‘função de transferência’ do sistema. Mas esta afirmação acima valida para as “Transformadas de Fourier”, também vale para as “Transformadas de Laplace”, conforme visto no capítulo 5. Logo:

).s(G)s(X

)s(X)s(G)s(Y

⋅=⋅=

onde X(s) = L x(t) X(s) = Transformada de Laplace de x(t),

Y(s) = L y(t) Y(s) = Transformada de Laplace de y(t), e

G(s) = L h(t) G(s) = Transformada de Laplace de h(t) e que está ilustrado na figura 9.4 abaixo.

Fig. 9.4 – Diagrama de blocos com os sinais de entrada x(t) e de saída y(t) e resposta

impulsional h(t), todos representados no domínio da frequência, em ‘s’: X(s), Y(s) e G(s).


7

Mais uma vez este resultado se deve ao facto que:

a transformada da convolução é o produto das transformadas, a propriedade da Convolução, mas agora para Transformada de Laplace, vista na secção 5.4 (no capítulo 5, Propriedades da Transformada de Laplace). Por esta razão pode-se expressar G(s) como a razão entre o sinal de saída tomado no domínio da frequência [ Y(s) ] e o sinal de entrada também tomado no domínio da frequência [ X(s) ], quando as condições iniciais do sistema são nulas

)s(X

)s(Y)s(G = eq. (9.2)

que também é chamada de ‘função de transferência’ do sistema. Portanto a função de transferência de um sistema linear invariante no tempo (SLIT) representada no domínio da frequência: G(s) ou G(jω), conforme definidas nas equações eq. (9.1) e eq. (9.2), muito comummente são fracções racionais, ou seja, fracções cujo numerador e o denominador são polinómios, seja em ‘s’:

)s(p

)s(q)s(G = eq. (9.3)

ou em ‘jω’

)j(p

)j(q)j(G

ωω=ω

eq. (9.4)

onde q(s) e p(s) são polinómios em ‘s’ do tipo

an sn + an-1 s

n-1 + ... + a1 s + ao e p(jω) e q(jω) são polinómios em ‘s = jω’ do tipo

an (jω)n + an-1 (jω)n-1 + ... + a1 (jω) + ao


8

9.3 – Pólos e zeros da Função de Transferência Considere agora a função de transferência G(s) de um sistema, conforme foi definida na eq. (9.2), depois de reduzida para forma de fração racional da eq. (9.3)

)s(p

)s(q)s(G =

e suponha que todos as eventuais raízes comuns de q(s) e p(s) tenham sido canceladas e portanto esta expressão acima está na forma irreductível.

Equação Característica:

O polinómio p(s) é chamado de polinómio característico de G(s), ou o polinómio ca-racterístico do sistema. A equação

p(s) = 0 é chamada de a “equação característica” do sistema.

Pólos da função de transferência:

As raízes do polinómio característico são chamadas de pólos de G(s) ou pólos do sis-tema. Ou seja, os pólos são as soluções da equação característica.

Zeros da função de transferência:

As raízes do numerados de G(s) (q(s)) são chamadas de zeros de G(s) ou zeros do sis-tema. Ou seja, os zeros são as soluções da equação q(s) = 0.

De maneira semelhante se define os pólos e zeros de uma resposta impulsional G(s). Exemplo 9.1: Considere a função de transferência G(s) dada por

2)+2s+(s2)+(ss

)30s(2)s(G

2

+⋅=

É fácil de se verificar que G(s) tem um zero em

s = –30 e quatro pólos, respectivamente em:


9

s = 0, s = –2, e s = –1 ± j sendo que: 2 são reais e 2 são complexos. Como s = 0 é um pólo de G(s), costuma-se dizer que este sistema tem um “pólo na origem”. A equação característica deste sistema é:

s4s6s4s2)+s2+(s2)+(ss)s(p 2342 +++== Exemplo 9.2: Considere agora a função de transferência G1(s) dada por

)10+s10+(s10)+(s

s10)s(G

422

5

1 =

Nitidamente G1(s) tem um “zero na origem”, ou seja, em

s = 0 e três pólos, respectivamente em

10s −= e 350j50s ⋅±−= A equação característica deste sistema é:

53234221 10s1011s110s)10+s10+(s10)+(s)s(p +×++==

Exemplo 9.3: Considere agora a função G(s) dada por

,c)-(s)b+(sa)+(s

s10)s(G

22

2

=

G(s) tem um “zero duplo na origem” (i.e., em s = 0) e quatro pólos, respectivamente em

s = –a (duplo), s = –b2 e s = c.


10

9.4 – Os factores básicos em ‘s’ para a construção de um diagrama de Bode Vamos apresentar aqui os factores básicos para a construção de um diagrama de Bode de G(s).

Estes factores básicos são funções racionais em ‘s’. Qualquer G(s) da forma da eq. (9.4) acima pode ser desmembrado em factores básicos e com isso a construção de um esboço do diagrama de Bode se torna mais simples. Na próxima secção apresentaremos de forma semelhante os factores básicos em ‘jω’ para a construção de um diagrama de Bode. FACTORES BÁSICOS EM ‘S’:

O ganho de Bode (KB)

G(s) = KB

Factores integrativos [pólos na origem]: (1/s)n , n = 1, 2, ...

s

1)s(G = , 2s

1)s(G = , 3s

1)s(G = , L

Factores derivativos [zeros na origem]: sn , n = 1, 2, ...

G(s) = s , G(s) = s2 , G(s) = s3, L

Factores de 1ª ordem do tipo “pólos reais”: 1/(Ts + 1)n , n = 1, 2, ...

( )1Ts

1)s(G

+= , ( )21Ts

1)s(G

+= , ( )31Ts

1)s(G

+= , L

Factores de 1ª ordem do tipo “zeros reais”: (Ts+ 1)n , n = 1, 2, ...

( )1Ts)s(G += , ( )21Ts)s(G += , ( )31Ts)s(G += , L


11

Factores de 2ª ordem ou quadráticos, do tipo “pólos complexos”: 1/[1+2ζ(s/ωn)+( s/ωn)

2]n , n = 1, 2, ...

ω+

ωζ+

=

2n

2

n

ss

21

1)s(G

,

2

2n

2

n

ss

21

1)s(G

ω+

ωζ+

= ,

3

2

221

1)(

+

+

=

nn

ss

sG

ωωζ , L

Factores de 2ª ordem ou quadráticos, do tipo “zeros complexos”: [1+2ζ(s/ωn)+( s/ωn)

2]n , n = 1, 2, ...

2n

2

n

ss

21)s(G

ω+

ωζ+= ,

2

2n

2

n

ss

21)s(G

ω+

ωζ+= ,

3

2n

2

n

ss

21)s(G

ω+

ωζ+= , L


12

9.5 – Os factores básicos em ‘jωωωω’ para a construção de um diagrama de Bode Vamos apresentar aqui os factores básicos para a construção de um diagrama de Bode de G(jω).

Estes factores básicos são na verdade derivados dos já vistos acima para G(s). Eles são as mesmas funções racionais em ‘s’ da secção anterior, depois de substituir-se s por jω.

s = 0 + jω = jω Qualquer G(jω) da forma da eq. (9.4) acima pode ser desmembrado em factores básicos e com isso a construção de um esboço do diagrama de Bode se torna mais simples. FACTORES BÁSICOS EM ‘S’:

O ganho de Bode (KB)

G(jω) = KB

Factores integrativos [pólos na origem]: (1/jω)n , n = 1, 2, ...

ω=ω

j

1)j(G , ( )2j

1)j(G

ω=ω , ( )3j

1)j(G

ω=ω , L

Factores derivativos [zeros na origem]: (jω)n , n = 1, 2, ...

G(jω) = jω , G(jω) = (jω)2 , G(jω) = (jω)3, L

Factores de 1ª ordem do tipo “pólos reais”: 1/(1+ jωT)n , n = 1, 2, ...

( )1Tj

1)j(G

+ω=ω , ( )21Tj

1)j(G

+ω=ω , ( )31Tj

1)j(G

+ω=ω , L

Factores de 1ª ordem do tipo “zeros reais”: (1+ jωT)n , n = 1, 2, ...

( )1Tj)j(G +ω=ω , ( )21Tj)j(G +ω=ω , ( )31Tj)j(G +ω=ω , L


13

Factores de 2ª ordem ou quadráticos, do tipo “pólos complexos”: 1/[1+2ζ(jω/ωn)+( jω/ωn)

2]n , n = 1, 2, ...

ωω+

ωωζ+

=ω2

nn

jj21

1)j(G

,

22

nn

jj21

1)j(G

ωω

+

ωω

ζ+

=ω ,

32

nn

jj21

1)j(G

ωω

+

ωω

ζ+

=ω , L

Factores de 2ª ordem ou quadráticos, do tipo “zeros complexos”: [1+2ζ (jω/ωn)+( jω/ωn)

2]n , n = 1, 2, ...

2

nn

jj21)j(G

ωω+

ωωζ+=ω ,

22

nn

jj21)j(G

ωω+

ωωζ+=ω ,

32

nn

jj21)j(G

ωω+

ωωζ+=ω , L


14

9.6 – Desmembramento de funções G(s) em factores básicos Qualquer função transferência G(s) pode facilmente ser reescrita somente com os factores básicos definidos acima nas duas secções anteriores. Vamos ilustrar isso com um exemplo: Exemplo 9.4: Considere agora a função G(s) vista no exemplo 9.1 que é dada por

)2s2s()2s(s

)30s(2)s(G

2 ++++=

Agora, substituindo-se (s + 30) no numerador por

+⋅=+ 130

s03)30s(

obtemos a expressão abaixo que já tem um fator básico no numerador:

)2s2s()2s(s

130

s302

)s(G2 +++

+⋅=

Semelhantemente, para o denominador, uma vez que um dos 3 factores já é um factor básico (integrativo, pólo na origem), substituindo-se os outros dois:

+⋅=+ 12

s2)2s(

e

++⋅=++ 1s

2

s2)2s2s(

22

obtemos a expressão abaixo que já tem três fatores básico no denominador:

++⋅

+⋅⋅⋅

+⋅=

1s2

s1

2

ss22

130

s302

)s(G2


15

Finalmente, juntando as constantes (do numerador e do denominador), obtém-se:

1522

302KB =

×⋅×

=

e podemos escrever a expressão abaixo:

++⋅

+⋅

+⋅=

1s2

s1

2

ss

130

s15

)s(G2

que está inteiramente escrita em termos de factores básicos na forma:

( )

( )

+

ωζ+

ω⋅+⋅

+⋅=

1s2s

1Tss

1s'TK)s(G

n2n

2

B

onde:

KB = 15 T = 1/2 T’ = 1/30

2n =ω 707,02

2

2

1 ===ζ

Exemplo 9.5: Para escrever a função de transferência G(s) do exemplo anterior na forma de factores básicos em jω e então obtermos G(jω) basta substituir no resultado obtido para G(s),

s = 0 + jω, ou seja,

s = jω pois esta é a única diferença entre as duas formas G(s) e G(jω). Fazendo isso, obtém-se:


16

( )

ω+

ω−⋅

ω⋅+⋅ω

ω⋅+⋅=

=

+ω+ω⋅

+ω⋅ω

+ω⋅=ω

j2

12

j1j

30j115

1j2

j1

2

jj

130

j15

)j(G

2

2

9.7 – Diagramas de Bode dos factores básicos Os diagramas de Bode são construídos para funções de transferência G(jω) e são dois:

diagramas de Bode de módulo

e

diagramas de Bode de fase. Os diagramas de Bode de módulo são gráficos de

| G(jω) | em dB (| G(jω) |dB) ×

ω (com escala logarítmica) enquanto que os diagramas de Bode de fase são gráficos de

∠ G(jω) em graus ×

ω (com escala logarítmica) Sabendo-se os diagramas de Bode dos factores básicos é possível utiliza-los na cons-trução dos diagramas de Bode de qualquer outra função de transferência G(jω) que desmembrarmos em termos dos factores básicos.


17

Uma vez familiarizados com os gráficos dos diagramas de Bode dos factores básicos que apresentamos aqui nesta secção, a construção dos diagramas de Bode das demais funções de transferência fica facilitada, como veremos nos exemplos da próxima sec-ção. Portanto, agora vamos mostrar os diagramas de Bode (módulo e fase) para cada um dos factores básicos vistos na secção anterior.

O ganho de Bode (KB) Como G(jω) = KB é uma constante (não varia com ω), temos que |KB| em dB é dado por:

B10dBB Klog20K ⋅=

enquanto que ∠ KB é 0 ou – 180º, ∀ω, isto é:

∠ KB = 0º se KB é uma constante positiva,

ou

∠ KB = – 180º se KB é uma constante negativa. Logo, como já dito acima na definição de diagramas de Bode da fase, o normal é representar a fase de KB (i.e., o ângulo ∠ KB) em graus (em vez de radianos).

<−

>=∠=ω

0Kse,º180

0Kse,º0K)j(G

B

B

B

É claro que o ângulo de fase para KB negativo, – 180º é o mesmo que +180º que é na verdade é π. No entanto, para efeito de diagrama de Bode tem-se a tendência de adoptar ∠ KB = – 180º nestas situações. Isso se deve ao facto de que, como G(jω) tem um número de pólos superior (ou no máximo igual) ao número de zeros, então o ∠ G(jω) irá sempre tender para a parte negativa (para a parte de baixo, abaixo de 0º). O diagrama de Bode (módulo e fase) de G(jω) = ∠ KB está esboçado na figura 9.5.


18

0dB

0º

-90º

0.1 1 10

0.1 101

90º

1K B >

1K B =

10 << BK

-180º

0K B >

0K B <

mó

dulo

[dB

]ω

[rad/s]

ω [rad/s]

fase [

gra

us º

]

Fig. 9.5 – Diagrama de Bode (módulo e fase). O ganho de Bode G(jω) = KB. Note que no diagrama de Bode de módulo acima foi levado em consideração que: Se KB>1, então

0)j(GdB

>ω

Se KB=1, então

0)j(GdB

=ω

Se 0<KB<1, então

0)j(GdB

<ω

O efeito que uma variação do ganho KB em um diagramas de Bode com vários facto-res básicos é que ele faz deslocar a curva de módulo para cima (se KB > 0) ou para baixo (se KB < 0) e não afecta a curva do ângulo de fase.


19

Isto é, aumentando-se o valor de KB fazemos todo o diagrama de Bode de módulo “subir” enquanto que diminuindo-se o valor de KB fazemos todo o diagrama de Bode de módulo “descer”.

Por outro lado o diagrama de Bode de fase fica inalterado às variações de KB se KB > 0 , ou fica deslocado para baixo de 180º, no caso de KB < 0.

Factor Integral (jω)-1

Para G(jω) = (jω)-1, temos que | G(jω)| em dB é dado por:

[ ]dBlog20

j

1log20)j(G

10

10dB

ω⋅−=

ω⋅=ω

que é na verdade a equação de uma recta com declive – 20 dB/década pois ω está representado na escala logarítmica. Para se ver isto, primeiramente note que |G(jω)|dB intercepta 0 dB em ω = 1, eq. (9.5) um detalhe que facilita para fazermos o seu esboço. Na verdade temos que, olhando-se para algumas décadas consecutivas, temos que, no diagrama de Bode de módulo de G(jω) (|G(jω)|dB):

M ⇒ M

para ω = 0,01 ⇒ G(jω) = 40 dB

para ω = 0,1 ⇒ G(jω) = 20 dB

para ω = 1 ⇒ G(jω) = 0 dB

para ω = 10 ⇒ G(jω) = – 20 dB

para ω = 102 ⇒ G(jω) = – 40 dB

M ⇒ M o que permite se ver claramente que trata-se de uma recta com declive – 20 dB/década (como pode ser visto na figura 9.6).


20

0dB

0º

20dB

-90º

0.1 1 10

0.1 101

declive: -20dB/década

(ou -6dB/oitava)

-20dB

mó

du

lo [

dB

]

ω [rad/s]

ω [rad/s]

fase

[g

rau

s º

]

Fig. 9.6 – Diagrama de Bode (módulo e fase). Factor integral G(jω) = 1/ jω. Também é costume se olhar para algumas oitavas consecutivas (em vez de décadas) do diagrama de Bode de módulo de G(jω) (| G(jω)|dB). Isto é: uma oitava corresponde à: o dobro /ou a metade, dependendo do sentido (para direita ou para esquerda / aumentando-se / ou diminuindo-se).

M ⇒ M

para ω = 0,5 ⇒ G(jω) = 6 dB

para ω = 1 ⇒ G(jω) = 0 dB

para ω = 2 ⇒ G(jω) = – 6 dB

para ω = 4 ⇒ G(jω) = – 12 dB

M ⇒ M que é uma forma alternativa de olhar para esta recta pois o declive de – 20 dB/década é equivalente a – 6 dB/oitava.


21

Uma oitava corresponde à: o dobro /ou a metade, dependendo do sentido (para direita ou para esquerda; aumentando-se / ou diminuindo-se). Assim como o termo “harmónico”, que aparecia nas séries de Fourier (capítulo 5), vem da música, também este termo “oitava” vem da música. Corresponde à oitava nota, ou seja, a mesma nota mas no harmónico seguinte / ou no anterior, pois as notas são apenas sete e depois se repetem, com o dobro / ou com a metade da frequència. É como o oitavo dia, que é o mesmo dia da semana, mas na semana seguinte / ou na anterior.

Por outro lado, para a fase ∠ G(jω), temos que:

∠ G(jω) = ∠ (1/ jω) =

= – ∠ jω =

= – 90º , ∀ω. Observe que, como ω está representado numa escala logarítmica, então ω é sempre positivo (ω > 0) e portanto ∠ jω = 90º, e logo – ∠ jω = – 90º. Portanto, o diagrama de Bode de fase ∠ G(jω), ∀ω, é uma constante igual a – 90º: Este diagrama de Bode (módulo e fase) de G(jω) = 1/ jω está esboçado na figura 9.6. O efeito do factor básico G(jω) = 1/jω em um diagrama de Bode de fase com vários factores básicos é que ele faz deslocar a curva de fase para baixo de 90º.

Outros factores integrativos (jω)-2, (jω)-3, …, (jω)-n Para G(jω) = (jω)-n, temos uma situação bastante semelhante aos factores (jω)-1 que vimos acima. O módulo |G(jω)| em dB é dado por:

( )

[ ]dBlogn20

j

1logn20

j

1log20)j(G

10

10

n10dB

ω⋅⋅−=

ω⋅⋅=

ω⋅=ω


22

que é na verdade a equação de uma recta com declive – 20n dB/década pois ω está representado na escala logarítmica (como pode ser visto na figura 9.7). Equivalentemente esta recta tem o declive de – 6n dB/oitava. Note também que, assim como antes [na eq. (9.5)], |G(jω)|dB intercepta 0 dB em ω = 1, eq. (9.6) um detalhe que facilita para fazermos o esboço do diagrama de Bode.

Fig. 9.7 – Diagrama de Bode (módulo e fase). Factores integrativos G(jω) = (1/ jω)n.

Por outro lado, para a fase ∠ G(jω), temos que: ∠ G(jω) = ∠ (1/ jω)n =

= – n (∠ jω) =

= – 90º × n, ∀ω.


23

Portanto, o diagrama de Bode de fase ∠ G(jω), ∀ω, é uma constante igual a

– 90º × n: Este diagrama de Bode (módulo e fase) de G(jω) = (1/ jω)n está esboçado na figura 9.7. O efeito do factor básico G(jω) = (1/ jω)n em um diagrama de Bode de fase com vários factores básicos é que ele faz deslocar a curva de fase para baixo de 90º × n.

Factores derivativos jω, (jω)2, (jω)3, …, (jω)n Para G(jω) = (jω)n, temos uma situação um pouco semelhante aos factores (jω)-n que vimos acima. O módulo |G(jω)| em dB é dado por:

( )

[ ]dBlogn20

jlogn20

jlog20)j(G

10

10

n10dB

ω⋅⋅=

ω⋅⋅=

ω⋅=ω

que é a equação de uma recta com declive +20n dB/década pois ω está representado na escala logarítmica (como pode ser visto na figura 9.8).

Equivalentemente esta recta tem o declive de +6n dB/oitava. Note também que aqui novamente, assim como antes [na eq. (9.5) e (9.6)], |G(jω)|dB intercepta 0 dB em ω = 1, eq. (9.7) que nos facilita para fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo. Por outro lado, para a fase ∠ G(jω), temos que: ∠ G(jω) = ∠ (1/ jω)n =

= – n (∠ jω) =

= – 90º × n, ∀ω.


24

Portanto, o diagrama de Bode de fase ∠ G(jω), ∀ω, é uma constante igual a +90º × n:

Este diagrama de Bode (módulo e fase) de G(jω) = (jω)n está esboçado na figura 9.8. O efeito do factor básico G(jω) = (jω)n em um diagrama de Bode de fase com vários factores básicos é que ele faz deslocar a curva de fase para cima de 90º × n.

Fig. 9.8 – Diagrama de Bode (módulo e fase). Factores derivativos G(jω) = (jω)n.

Factor pólo primeira ordem (1 + jωT)-1 Para G(jω) = 1/ (1 + jωT), temos que o módulo |G(jω)| em dB é dado por:

( )

( )210

10dB

T1log20

Tj1

1log20)j(G

⋅ω+⋅⋅−=

ω+⋅=ω


25

que vamos dividir em 2 intervalos: ω << 1/T e ω >> 1/T, ou seja, para frequências baixas e altas. No intervalo, ω << 1/T (frequências baixas), observamos que:

( ) ( ) ( ) dB01log20T1log20)j(G1T11T 102

10dB

2 =⋅⋅−≅⋅ω+⋅⋅−=ω⇒≅⋅ω+⇒<<⋅ω

enquanto que no intervalo, ω >> 1/T (frequências altas), observamos que:

( ) ( ) ( ) ( )Tlog20T1log20)j(GTT11>>T 102

10dB

22 ⋅ω⋅−≅⋅ω+⋅⋅−=ω⇒⋅ω≅⋅ω+⇒⋅ω

e portanto:

( )

>>ω⋅ω⋅−

<<ω=ω

T1

,Tlog20

T1

,0

)j(G

10

dB

Logo, temos 2 aproximações para a curva G(jω)|dB = 1/ (1 + jωT)|dB, ambas rectas, às quais chamamos de

“rectas assímptotas” para frequências altas e baixas, que podem ser vistas na figura 9.9. A expressão de G(jω)|dB para ω >> 1/T (frequências altas) é de facto uma recta com declive de – 20 dB/década, (ou – 6 dB/oitava), pois ω está representado na escala logarítmica.

Note que:

a recta assímptota para frequências altas intercepta 0 dB em ω = ωc = 1/T, eq. (9.8) em vez de em ω = 1, como era o caso das rectas das eq. (9.5), eq. (9.6) e eq. (9.7). Este é um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo.

Na verdade, este ponto: 0 dB para ω = 1/T

é onde as duas rectas assímptotas se interceptam (como pode ser visto na figura 9.9).


26

Por esta razão a frequência T

1c =ω é chamada de frequência de “canto” (“ corner”

frequency), às vezes também chamada de frequência de “corte” (em processamento de sinais quando envolvem filtros).

T

1

T

10T10

1

Fig. 9.9 – Diagrama de Bode de módulo. Factor pólo primeira ordem G(jω) = 1/ (1 + jωT).

A curva real de G(jω)|dB só coincide com as assímptotas quando ω << ωc ou quando ω >> ωc, que na prática corresponde a

( )T10

1

⋅<ω (para frequências baixas) e

T

10<ω (para frequências altas)

Ou seja, as assímptotas são válidas para uma década antes da frequência de canto ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequências baixas) ou uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequências altas). Na verdade mostra-se facilmente que tanto para ω = 1/10T (uma década abaixo de ωc), como também para ω = 10T (uma década acima de ωc), a curva de módulo G(jω)|dB apresenta erro desprezível, praticamente nulo: G(jω)|dB = – 0,04 db ≅ 0 dB para ω = 1/(10T) ou para ω = 10T. Nas proximidades da frequência de canto ωc as assímptotas apenas aproximam da curva real de G(jω)|dB.


27

O erro máximo é de 3 dB e ocorre exactamente na frequência de canto ωc = 1/T, o ponto onde as duas assímptotas se encontram, pois para este valor de ω,

( ) T

1para,

2

1log20

j1

1log20)j(G c1010dB

=ω=ω−=⋅⋅−=+

⋅=ω dBdBdBdB

3333

(como pode ser visto na figura 9.9). Para o ângulo de fase ∠ G(jω), temos que: ∠ G(jω) = ∠ 1/ (1 + jωT) =

= – ∠ (1 + jωT)

= – arctg (ωT) eq. (9.9) Aqui também pode-se pensar nos intervalos: ω << 1/T e ω >> 1/T, ou seja, para frequências baixas e altas. Nas frequências baixas, ω << 1/T, observamos que:

( ) º01)j(G1T11T ≅∠=ω∠⇒≅⋅ω+⇒<<⋅ω

enquanto que nas frequências altas, ω >> 1/T, observamos que:

( ) ( ) ( ) º90Tj)j(GTjTj11>>T −≅ω⋅∠−=ω∠⇒ω⋅≅ω⋅+⇒⋅ω resultados que também poderiam ser facilmente obtidos usando a eq. (9.9) com ωT ≅ 0 e ωT ≅ ∞, respectivamente, pois arctg (0) = 0º e – arctg(∞) = – 90º. e portanto:

>>ω−

<ω<ω−

<<ω

=ω∠

T

1,º90

T100100

T,)T(arctg

T

1,0

)j(G

Note que para ωc = 1/T, G(jωc) = – arctg (ωcT)= – arctg (1)= – 45º, logo, na frequên-cia de “canto” ou de “corte” ωc = 1/T temos:


28

a curva do ∠ G(jω) passa por – 45º em ω = 1/T, eq. (9.10)

isto é, na metade do intervalo entre 0º e – 90º; um detalhe a ter em atenção ao fazer-mos o esboço do diagrama de Bode de fase. Ou seja diagrama de Bode de fase ∠ G(jω) tende assimptoticamente para 0º (à esquerda) e para – 90º (à direita). Na prática consideramos que ∠ G(jω) varia de 0º a – 90º enquanto a frequência ω varia

cc 10até

10de ω⋅

ω.

isto é, desde uma década antes da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota para fre-quências baixas) até uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota para frequências altas). O diagrama de Bode de fase de G(jω) = (1 + jωT)-1 está esboçado na figura 9.10.

T

1

T

10T10

1

fase [

gra

us º

]

Fig. 9.10 – Diagrama de Bode de fase. Factor pólo primeira ordem

G(jω) = 1/ (1 + jωT).

Factores pólos múltiplos (1 + jωT)-2, (1 + jωT)-3, ..., (1 + jωT)-n Para G(jω) = 1/ (1 + jωT)n, temos que o módulo |G(jω)| em dB é dado por:


29

( )

( ) [ ]dBT1logn20

Tj1

1log20)j(G

210

n10dB

⋅ω+⋅⋅⋅−=

ω+⋅=ω

e dividindo em 2 intervalos: ω << 1/T e ω >> 1/T, ou seja, para frequências baixas e altas, observamos que:

( )

>>ω⋅ω⋅⋅−

<<ω=ω

T

1,Tlogn20

T

1,0

)j(G

10

dB

que pode ser vista na figura 9.11. Portanto, temos novamente 2 aproximações para a curva G(jω)|dB = 1/ (1 + jωT)n| dB, por duas “rectas assímptotas” em frequências baixas e altas (esta última com declive de – 20 dB/década ou – 6 dB/oitava). Note que, aqui também tem-se a frequência de “canto” ou de “corte” (“ corner” fre-quency), ωc = 1/T, e assim como na secção anterior, eq. (9.8), aqui também:

a recta assímptota para frequências altas intercepta 0 dB em ω = ωc = 1/T, eq. (9.11)

um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo.

T

1T

10T10

1

Fig. 9.11 – Diagrama de Bode de módulo. Factores pólos múltiplos G(jω) = 1/ (1 + jωT)n, n = 2, 3, …


30

Novamente, a curva real de G(jω)|dB só coincide com as assímptotas quando ω << ωc ou quando ω >> ωc, que na prática corresponde a

( )T10

1

⋅<ω (para frequências baixas) e

T

10<ω (para frequências altas)

Ou seja, as assímptotas são válidas para uma década antes da frequência de canto ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequências baixas) ou uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequências altas).

Nas proximidades da frequência de canto ωc as assímptotas apenas aproximam da curva real de G(jω)|dB. O erro máximo agora é de 3×n dB e ocorre exactamente na frequência de canto ωc = 1/T, o ponto onde as duas assímptotas se encontram, pois para este valor de ω,

( ) T

1para,

2

1logn20

j1

1log20)j(G c10n10dB

=ω=ω⋅−=⋅⋅⋅−=+

⋅=ω dBn3

(como pode ser visto na figura 9.11). Para o ângulo de fase ∠ G(jω), temos que: ∠ G(jω) = ∠ 1/ (1 + jωT)n =

= – ∠ (1 + jωT)n

= – n × arctg (ωT) eq. (9.12) Nas frequências baixas, ω << 1/T, observamos que:

º0)j(G ≅ω∠

enquanto que nas frequências altas, ω >> 1/T, observamos que:

nº90)j(G ×−≅ω∠ resultados que também poderiam ser facilmente obtidos usando a eq. (9.12) com ωT ≅ 0 e ωT ≅ ∞, respectivamente, pois arctg (0) = 0º e – arctg (∞) × n = – 90º × n, e portanto:


31

>>ω×−

<ω<ω×−

<<ω

=ω∠

T

1,nº90

T100100

T,)T(arctgn

T

1,0

)j(G

Note que para ωc = 1/T, G(jωc) = – arctg (ωcT)= – arctg (1)= – 45º × n, logo, na fre-quência de “canto” ou de “corte” ωc = 1/T temos:

a curva do ∠ G(jω) passa por – 45º × n em ω = ωc = 1/T, eq. (9.13)

isto é, na metade do intervalo entre 0º e – 90º × n; um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de fase. Ou seja, o diagrama de Bode de fase ∠ G(jω) tende assimptoticamente para 0º (à esquerda) e para –90º × n (à direita). Na prática consideramos que ∠ G(jω) varia de 0º a –90º × n enquanto a frequência ω varia

cc 10até

10de ω⋅

ω.

isto é, desde uma década antes da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota para fre-quências baixas) até uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota para frequências altas). O diagrama de Bode de fase de G(jω) = (1 + jωT)-n está esboçado na figura 9.12.

T

1

T

10T10

1

Fig. 9.12 – Diagrama de Bode de fase. Factores pólos múltiplos

G(jω) = 1/ (1 + jωT)n, n = 2, 3, …


32

Factores zeros simples e múltiplos (1 + jωT)1, (1 + jωT)2, ..., (1 + jωT)n Para G(jω) = (1 + jωT)n, n = 1,2, …, n a situação é análoga aos casos de pólos sim-ples e múltiplos nas duas secções anteriores. Temos que o módulo |G(jω)| em dB é dado por:

( )

( )210

10dB

T1logn20

Tj1log20)j(G n

⋅ω+⋅⋅⋅=

ω+⋅=ω

e dividindo em 2 intervalos: ω << 1/T e ω >> 1/T, ou seja, para frequências baixas e altas, observamos que:

( )

>>ω⋅ω⋅⋅+

<<ω=ω

T

1,Tlogn20

T

1,0

)j(G

10

dB

que pode ser vista na figura 9.13.

T

1T

10T10

1

Fig. 9.13 – Diagrama de Bode de módulo. Factores zeros simples e múltiplos G(jω) = (1 + jωT)n, n = 1, 2, …


33

Note que, aqui também tem-se a frequência de “canto” ou de “corte” (“ corner” fre-quency), ωc = 1/T, e assim como nas secções anteriores, eq. (9.8) e eq. (9.11), aqui também:

a recta assímptota para frequências altas intercepta 0 dB em ω = ωc = 1/T, eq. (9.14)

um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo.

Novamente, para a curva real de G(jω)|dB, as assímptotas são válidas para uma década antes da frequência de canto ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequên-cias baixas) ou uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (no caso da assímptota para frequências altas).

Nas proximidades da frequência de canto ωc as assímptotas apenas aproximam da curva real de G(jω)|dB apresentando um erro máximo de 3×n dB que ocorre exacta-mente na frequência de canto ωc = 1/T, o ponto onde as duas assímptotas se encon-tram. Para o ângulo de fase ∠ G(jω), temos que: ∠ G(jω) = ∠ (1 + jωT)n =

= n × arctg (ωT) e portanto:

>>ω×

<ω<ω×

<<ω

=ω∠

T

1,nº90

T100100

T,)T(arctgn

T

1,0

)j(G

Note que para ωc = 1/T, a frequência de “canto” ou de “corte”, temos que:

a curva do ∠ G(jω) passa por 45º × n em ω = ωc = 1/T, eq. (9.15)

isto é, na metade do intervalo entre 0º e 90º × n; um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de fase. Na prática consideramos que ∠ G(jω) varia de 0º a 90º × n enquanto a frequência ω varia

cc 10até

10de ω⋅

ω.


34

isto é, desde uma década antes da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota para fre-quências baixas) até uma década depois da frequência de canto ωc = 1/T (assímptota para frequências altas). O diagrama de Bode de fase de G(jω) = (1 + jωT)-n está esboçado na figura 9.14.

T

1

T

10T10

1fase [

gra

us º

]

Fig. 9.14 – Diagrama de Bode de fase. Factores zeros simples e múltiplos

G(jω) = (1 + jωT)n, n = 1, 2, …

Factores pólos quadráticos [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-n, n = 1, 2, …, 10 ≤ζ≤ .

Note que a função de transferência G(jω)

ωω−

ωω⋅ζ+

=

ωω

+ωω⋅ζ+=ω

−

2

nn

12

nn j21

1jj21)j(G

tem um par de pólos que serão:

a) pólos complexos se 10 <ζ≤

b) pólos duplos se 1=ζ

c) pólos reais e distintos se 1>ζ

Os factores quadráticos que tratamos nesta secção fazem parte dos casos (a) e (b) acima, isto é 10 ≤ζ≤ , pois o caso (c), pólos reais e distintos (1>ζ ), já estão co-bertos nos factores básicos anteriores.


35

Na verdade, mesmo no caso (b), quando temos a situação limite de 1=ζ , então

2

n

2

nn

j1

1

j21

1)j(G

ωω+

=

ωω−

ωω⋅+

=ω

que corresponde a pólos duplos e iguais a n/j ωω , um caso que também já está abran-gido nos factores básicos anteriores.

Portanto as técnicas que serão apresentadas nesta secção para 10 ≤ζ≤ vão coincidir com outras já apresentadas anteriormente no caso particular de 1=ζ .

Para G(jω) = [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-n, n = 1,2, …, n temos que o módulo |G(jω)|

em dB é dado por:

2

n

2

n10

2

nn10dB

j21logn20

jj21log20)j(G

n

ωωζ+

ωω−⋅⋅⋅−=

ωω+

ωω⋅ζ+⋅−=ω

e dividindo em 2 intervalos: ω << ωn e ω >> ωn , ou seja, para frequências baixas e altas, observamos que:

( )

ω>>ω⋅ω⋅⋅−

ω⋅<ω<ω⋅

ωωζ+

ωω−⋅⋅⋅−

ω<<ω

=ω

n10

nn

2

n

2

n10

n

dB

,Tlogn40

101,0j

21logn20

,0

)j(G

Note que, assim como nas secções anteriores tinha ωc em eq. (9.8), eq. (9.11) e eq. (9.14), aqui também tem-se uma frequência ωn que é chamada de

ωn = frequência natural do sistema,

que separa as frequências “altas” e “baixas” e a recta assímptota para frequências altas intercepta 0 dB em ω = ωn, eq. (9.16) um detalhe a ter em atenção ao fazermos o esboço do diagrama de Bode de módulo.


36

10nω

Fig. 9.15 – Diagrama de Bode de módulo. Factores pólos quadráticos

G(jω) = [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]-n, ζ = 1, n = 1.

Nas proximidades da frequência natura ωn as assímptotas apenas aproximam da curva real de G(jω)|dB apresentando um erro máximo de 6×n dB que ocorre exactamente na frequência de canto ωn , o ponto onde as duas assímptotas se encontram.

A curva G(jω)|dB para o caso particular que falamos acima,

1=ζ , está representado na figura 9.15.

A medida que o valor de ζ diminui, 1<ζ as curvas de dB

)j(G ω vão ficando mais altas

e vão criando picos (a partir de 707,02/2 =<ζ ) que vão se tornando cada vez mais altos a medida que 0→ζ .

Estas curvas de dB

)j(G ω estão ilustradas na figura 9.16 para o caso geral de 10 ≤ζ≤ .

Estes picos ocorrem nas frequências ωr chamadas

ωr = frequência de ressonância

que assume valores

22

0para,21 2nr ≤ζ≤ζ−⋅ω=ω

Note que para ζ = 0, ωr = ωn. A medida que ζ aumenta a frequência de ressonância ωr diminui ligeiramente até que, quando


37

707,02

2 ==ζ

então a frequência de ressonância ωr = ωn/2.

8dB

14 dB

10ωn

5dBωn

-40 dB

ζ=0.1

ζ=0.2

ζ=0.3

ζ=1 ζ=0.8

ζ=0.707

ζ=0.5

10nω

ζ=0.60dB

mód

ulo

[dB

]

ω [rad/s]

Fig. 9.16 – Diagrama de Bode de módulo. Factores pólos quadráticos G(jω) = [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)

2]-n, n = 1, 2, … Por outro lado, estes picos atingem valores Mr

Mr = pico de ressonância que tem os valores

2

20para,

12

1M

2r ≤ζ≤ζ−⋅ζ

=

Note que para 1707,0 ≤ζ≤ não há pico de ressonância. Em particular, se ζ = 0,707, então

Mr = 1 = 0 dB

(também não há pico de ressonância).


38

A medida que ζ diminui, o pico de ressonância Mr aumenta. Por exemplo,

,dB25,1155,1M5,0quando r ≅=⇒=ζ

,dB6,6133,2M25,0quando r ≅=⇒=ζ

,dB14025,5M1,0quando r ≅=⇒=ζ

.dB2001,10M05,0quando r ≅=⇒=ζ

A figura 9.16 ilustra estes picos de ressonância. Para o ângulo de fase ∠ G(jω), temos que:

ωω−

ωω⋅ζ

⋅−=

ωω+

ωω⋅ζ−∠=ω∠

−

2

n

n

n2

nn1

2

arctgnjj

21)j(G

0º

10ωn

-90º

ωn

-180º

10nω

ζ=0.1

ζ=1ω

[rad/s]

ζ=0.5

Fig. 9.17 – Diagrama de Bode de fase. Factores pólos quadráticos

simples e múltiplos G(jω) = (1 + jωT)n, n = 1, 2, … Portanto:

∞→ω⋅−

ω=ω⋅−

→ω

=ω∠

,nº180

,nº90

0,º0

)j(G n

conforme esboçado a figura 9.17.


39

Na prática consideramos que ∠ G(jω) varia de 0º a 180º × n enquanto a frequência ω varia

nn 10até

10de ω⋅ω

.

isto é, desde uma década antes da frequência de natural ωn (assímptota para frequên-cias baixas) até uma década depois da frequência de natural ωn (assímptota para fre-quências altas). O diagrama de Bode de fase de G(jω) se torna mais íngreme (com declive mais acentuado) a medida que ζ → 0 e isto está ilustrado na figura 9.17.

Factores zeros quadráticos [1 + 2ζ(jω/ωn) + (jω/ωn)2]n, n = 1, 2, …

Os factores zeros quadráticos que têm a função de transferência G(jω)

n2

nn

jj21)j(G

ωω+

ωω⋅ζ+=ω

são em tudo análogo aos factores pólos quadráticos que vimos acima. Ou seja, curva de módulo e fase para os factores zeros quadráticos podem ser obtidas invertendo-se o sinal das curvas de módulo e fase dos factores pólos quadráticos As principais diferenças são que os picos de ressonância são para baixo em vez de para cima e as curvas de fase vão de 0º a 180º em vez de 0º a – 180º. 9.8 – Factores básicos com sinais negativos No caso de factores básicos com sinais negativos do tipo

( )1Ts

1)s(G

−= , ( )21Ts

1)s(G

−= , ( )31Ts

1)s(G

−= , L

ou

( )1Ts)s(G −= , ( )21Ts)s(G −= , ( )31Ts)s(G −= , L

é fácil mostrar que o diagrama de Bode de módulo é idêntico ao factor básico corres-pondente com sinal “+” , entretanto para a construção do diagrama de Bode de fase é necessário um cuidado maior na análise.


40

Nos próximos exemplos ilustramos como fazer nestas situações. Exemplo 9.6:

+

+=

++

=ω1

100

s

)1s(100

1

)100s(

)1s()j(G

Note que neste caso KB = 1/100= –40 dB e G(jω) tem mais dois factores básicos: 1

1s100

1e)1s(

−

+⋅+

Além disso, a fase de G(jω) é dada por

)100/j1()j1()j(G ω+∠−ω+∠=ω

Fig. 9.18 – Diagrama de Bode de módulo e fase do Exemplo 9.6.


41

Exemplo 9.7:

+

−=

+−

=ω1

100

s

)1s(100

1

)100s(

)1s()j(G

Note que neste caso KB = 1/100= –40 dB novamente e G(jω) tem ainda mais dois factores básicos:

1

1s100

1e)1s(

−

+⋅−

Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual ao do exemplo anterior (Exemplo 9.6). Além disso, a fase de G(jω) é dada por

)100/j1()j1(º180)100/j1()j1()j(G ω+∠−ω−∠+=ω+∠−ω+−∠=ω



42

Exemplo 9.8:

−

+=

−+

=ω1

100

s

)1s(100

1

)100s(

)1s()j(G

Note que neste caso KB = 1/100 = –40 dB novamente e G(jω) tem ainda mais dois factores básicos:

1

1s100

1e)1s(

−

−⋅+

Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos 2 exemplos anteriores (Exemplos 9.6 e 9.7). Além disso, a fase de G(jω) é dada por

)100/j1(º180)j1()100/j1()j1()j(G ω−∠−+ω+∠=ω+−∠−ω+∠=ω

ω0db

-40dB

0.1 1 10 100 1000

ω

-180º

-90º

0.1 1 10 100 10000º



43

Exemplo 9.9:

−

−=

−−

=ω1

100

s

)1s(100

1

)100s(

)1s()j(G

Note que neste caso KB = 1/100 = –40 dB novamente e G(jω) tem ainda mais os 2 factores básicos:

1

1s100

1e)1s(

−

−⋅−

Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos 3 exemplos anteriores (Exemplos 9.6, 9.7 e 9.8). Além disso, a fase de G(jω) é dada por

)100/j1()j1(

)100/j1(º180)j1(º180)100/j1()j1()j(G

ω−∠−ω−∠=

ω−∠−−ω−∠+=ω+−∠−ω+−∠=ω



44

Exemplo 9.10:

( )

++=

++=ω

1100

s1s

1

)100s()1s(

100)j(G

Note que neste caso KB = 1 = 0 dB e G(jω) tem ainda mais dois factores básicos:

11 1s

100

1e)1s(

−−

+⋅+

Além disso, a fase de G(jω) é dada por

)100/j1()j1()j(G ω+∠−ω+∠−=ω



45

Exemplo 9.11:

( )

−+=

−+=ω

1100

s1s

1

)100s()1s(

100)j(G

Note que neste caso KB = 1 = 0 dB novamente e G(jω) tem ainda mais dois factores básicos:

11 1s

100

1e)1s(

−−

−⋅+

Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual ao exemplo anterior (Exemplo 9.10). Além disso, a fase de G(jω) é dada por

)100/j1(º180)j1()100/j1()j1()j(G ω−∠−+ω+∠−=ω+−∠−ω+∠−=ω



46

Exemplo 9.12:

( )

+−=

+−=ω

1100

s1s

1

)100s()1s(

100)j(G


11 1s

100

1e)1s(

−−

+⋅−

Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos dois exemplos anteriores (Exemplos 9.10 e 9.11). Além disso, a fase de G(jω) é dada por

)100/j1()j1(º180)100/j1()j1()j(G ω+∠−ω−∠−=ω+∠−ω+−∠−=ω



47

Exemplo 9.13:

( )

−−=

−−=ω

1100

s1s

1

)100s()1s(

100)j(G


11 1s

100

1e)1s(

−−

−⋅−

Logo, o diagrama de Bode de módulo é igual aos três exemplos anteriores (Exemplos 9.10, 9.11 e 9.12). Além disso, a fase de G(jω) é dada por

)100/j1()j1(

)100/j1(º180)j1(º180)100/j1()j1()j(G

ω−∠−ω−∠−=

ω−∠−−ω−∠−=ω+−∠−ω+−∠−=ω



48

9.9 – Exemplos adicionais de construção de diagramas de Bode (módu-lo e fase)

Nesta secção apresentamos vários exemplos de diagramas de Bode (módulo e fase) que foram esboçados usando quase sempre o auxílio dos factores básicos apresenta-dos aqui. Exemplo 9.14:

+⋅+

+⋅

+⋅=

++++

=ω1s

400

5

400

s1s

100

1s

1s4

11,0

)400s5s()100s(s

)4s(1000)j(G

22



49

Exemplo 9.15:

+⋅−

+⋅

+⋅=

+−++=ω

1s400

5

400

s1s

100

1s

1s4

11,0

)400s5s()100s(s

)4s(1000)j(G

22

O diagrama de Bode de módulo é igual ao do exemplo anterior (Exemplo 9.14). O diagrama de Bode de fase está esboçado na figura 9.27.

ω0º

10010

-270º

-90º

-180º

0.1 10001

90º

180º

ωn = 20 = 0,125

Fig. 9.27 – Diagrama de Bode de fase do Exemplo 9.15.

Exemplo 9.16:

+⋅+

−⋅

+⋅=

++−+=ω

1s400

5

400

s1s

100

1s

1s4

11,0

)400s5s()100s(s

)4s(1000)j(G

22

O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos 2 exemplos anteriores (Exemplos 9.14 e 9.15). O diagrama de Bode de fase está esboçado na figura 9.28.


50


Exemplo 9.17:

+⋅+

+⋅

−⋅=

+++−=ω

1s400

5

400

s1s

100

1s

1s4

11,0

)400s5s()100s(s

)4s(1000)j(G

22

O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos três exemplos anteriores (Exemplos 9.14, 9.15 e 9.16). O diagrama de Bode de fase está esboçado na figura 9.29.



51

Exemplo 9.18:

+⋅+

−⋅

−⋅=

++−−=ω

1s400

5

400

s1s

100

1s

1s4

11,0

)400s5s()100s(s

)4s(1000)j(G

22

O diagrama de Bode de módulo é igual aos dos quatro exemplos anteriores (Exemplos 9.14, 9.15, 9.16 e 9.17). O diagrama de Bode de fase está esboçado na figura 9.30.


Exemplo 9.19:

( )

+⋅+

+⋅

+⋅=+++

+=ω1s

10

1

10

s1s

10

1s

1s10

)10s10s()10s(s

)1,0s(10)j(G

24

2422

6

Note que

dB01KB == 100n =ω 5,0=ζ

dB897,0155,11

1M

2r ==ζ−

=

)zero(10T1 = )pólo(10

1T2 =

71,7021 2nr =ζ−⋅ω=ω


52

ω0

0.1

20dB

40dB

60dB

80dB

-60dB

-20dB

-40dB

-80dB

-100dB

0.01 10000

-20dB/dec

ω0º

101

-270º

-90º

-180º

0.01 1000.1

1 10

100

1000

1000 10000

0dB/dec

-60dB/dec

-20dB/dec

Mr = 1.155 = 0,9 dB

ωr = 70,7

ωn = 100

= 0,5KB = 0 dB


Exemplo 9.20:

( )( ) ( )1ss1s1,0s

1s101,0

)1ss()10s(s

)1,0s(10)j(G

22 +++⋅+⋅=

++++=ω

Note que

dB201,0KB −== 1n =ω 5,0=ζ

707,021 2nr =ζ−⋅ω=ω dB897,0155,1

1

1M

2r ==ζ−

=

)zero(10T1 = )pólo(10

1T2 =


53

ω00.1

20dB

40dB

60dB

80dB

-60dB

-20dB

-40dB

-80dB

-100dB

0.01

10000

-20dB/dec

ω0º101

-270º

-90º

-180º

0.01 1000.1

1

10 100 1000

1000 10000

Mr = 1.155 = 0,9 dB

ωr = 0,707

ωn = 1

= 0,5KB = -20 dB

-60dB/dec

0dB/dec-40dB

/dec


Exemplo 9.21:

( )

++

+

+⋅=+++

+=ω

12

s

2

s1

20

ss

1s2

)2ss()20s(s2

1s80

)j(G22

Note que

dB01KB == 414,12n ==ω 354,0=ζ


54

224,121 2nr =ζ−⋅ω=ω dB58,0069,1

1

1M

2r ==ζ−

=

2T1 = (zero da F.T.) 20

1T2 = (pólo da F.T.)

-82º

ω

0 dB

10

20dB

1

40dB

60dB

80dB

-60dB

-20dB

-40dB

-80dB

-100dB

0.01 1000.1 0.5 202

-20dB/dec

9.8dB10.7dB

-29.5dB

-40dB/dec

-60dB/dec

ω0º

10

1

-270º

-90º

-180º

0.01

100

0.1 0.5

20

2

-74º

-111º

-250º-258º

Mr = 1.07 = 0,58 dB

ωr = 1,224

ωn = 1,41

= 0,354KB = 0 dB


J. A. M. Felippe de Souza Derivadas (resumo e tabela)

1

Derivadas A teoria do cálculo diferencial é de autoria do físico e matemático inglês Sir Isaac Newton (1643-1727) e do filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716). A notação das derivada de uma função f(t) pode ser

dt)t(df

(devido à Newton)

ou )t('f (devido à Leibniz).

A derivada de uma função f(t) no instante t nos dá a inclinação (ou declive) de uma recta tangente à curva naquele instante. Se f(t) é crescente em t = a, então a derivada será positiva naquele instante

0>dtdf)a('f

at=

= .

Isso é ilustrado na figura 1.

Fig. 1 – Inclinação positiva (ou declive positivo) da recta tangente à curva f(t) no

instante t = a. Por outro lado, se f(t) é decrescente em t = a, então a derivada será negativa naquele instante

0<dtdf)a('f

at=

= .

Isso é ilustrado na figura 2.


2

Fig. 2 – Inclinação negativa (ou declive negativo) da recta tangente à curva f(t) no

instante t = a.

Fig. 3 – Inclinação nula (ou declive nulo) da recta tangente à curva f(t) no instante

t = a. Caso de máximo local. Finalmente, se f(t) não é crescente nem decrescente em t = a, então a derivada será zero naquele instante

0dtdf)a('f

at

===

.

Neste caso temos um máximo ou um mínimo local. Isso é ilustrado nas figuras 3 e 4.


3

Fig. 4 – Inclinação nula (ou declive nulo) da recta tangente à curva f(t) no instante

t = a. Caso de mínimo local. Algumas propriedades e regras das derivadas:

Linearidade: ( ) )t('fc

dt)t(dfc

dt)t(fcd

⋅=⋅=⋅

(homogeneidade)

( ) )t('f)t('fdt

)t(dfdt

)t(dfdt

)t(f)t(fd21

2121 +=+=+

(aditividade)

Regra do produto:

( ) )t(f)t('g)t(g)t('fdt

)t(dg)t(f)t(gdt

)t(df)t(g)t(fdtd

⋅+⋅=⋅+⋅=⋅

Regra do quociente:

)t(g)t('g)t(f)t('f)t(g

)t(gdt

)t(dg)t(fdt

)t(df)t(g

)t(g)t(f

dtd

22⋅−⋅

=⋅−⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Regra da cadeia:

( ) )t('g))t(g('fdt

)t(dg)t(gdtdf))t(g(f

dtd

⋅=⋅=


4

Algumas derivadas de funções simples:

0cdtd

=

( ) 1nn tntdtd −⋅=

1tdtd

= (caso particular, n =1)

( ) ctcdtd

=⋅ (aplicando a homogeneidade)

( ) 221

t1tt

dtd

t1

dtd −

=−==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

(caso particular, n = -1)

( ) 1m1mm

m t1mtmt

dtd

t1

dtd

++−− ⋅−=⋅−==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

(caso particular, n = -m)

( ) ( ) 0t,t2

1t21t

dtdt

dtd 2121 ≥=⋅== − (caso particular, n = 1/2)

0t,)t(signtt

tdtd

≠==

Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas:

clnccdtd tt ⋅=

tt

dtd

ee = (caso particular, c = e, a única função que é igual a própria derivada)

clnt1tlog

dtd

c ⋅=

0>t,tt1tln

dtd 1−== (caso particular, c = e)

1tt1tln

dtd −==

)tln1(ttlndtd tt +⋅=


5

Derivadas de funções trigonométricas:

)t(cos)t(sendtd

=

)t(sen)t(cosdtd

−=

)t(cos1)t(sec)t(tg

dtd

22 ==

)t(sec)t(tg)t(secdtd

⋅=

)t(sen1)t(seccos)t(gcot

dtd

22 −

=−=

)t(gcot)t(seccos)t(seccosdtd

⋅−=

2t11)t(arcsen

dtd

−=

2t11)t(arccos

dtd

−

−=

2t11)t(arctg

dtd

+=

1tt1)t(secarc

dtd

2 −⋅=

2t11)t(gcotarc

dtd

+−

=

1tt1)t(secarccos

dtd

2 −⋅

−=


6

Derivadas de funções hiperbólicas:

2)t(cosh)t(senh

dtd t-t ee +

==

2)t(senh)t(cosh

dtd t-t ee −

==

)t(hsec)t(tghdtd 2=

)t(hsec)t(tgh)t(hsecdtd

⋅−=

)t(hseccos)t(ghcotdtd 2−=

)t(hseccos)t(ghcot)t(hcscdtd

⋅−=

1t1)t(arcsenh

dtd

2 +=

1t1)t(harccos

dtd

2 −=

2t11)t(harctg

dtd

−=

2t1t1)t(hsecarc

dtd

−

−=

2t11)t(hcotarc

dtd

−=

2t1t1)t(hsecarc

dtd

+

−=

J. A. M. Felippe de Souza Integrais (resumo e tabela)

1

Integrais A integral indefinida de uma função f(t) é representada como

∫ τ⋅τ d)(f Por outro lado, a integral definida, representada como

∫ τ⋅τb

ad)(f , ∫ ∞−

τ⋅τb

3 d)(f ou ∫∞

τ⋅τa

d)(f faz a Soma de Riemann que calcula a área sob a curva em m intervalo bem definido como por exemplo: [ a , b ] , ] -∞ , b ] ou [ a , ∞ [. Este nome acima é dado em alusão ao matemático alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). A integral é um processo inverso do da derivada de funções pois,

( ) ( ) Ctfdfdtdt

)t(dfdt)t(dtdfdttf +====′ ∫∫∫∫

ou

( ) )t(fdt)t(fdtd

=⋅∫ .

Mais precisamente:

∫ ⋅=t

adt)t(f)t(F

é chamada de primitiva de f(t). Este resultado é chamado de Teorema Fundamental do Cálculo e faz a interligação entre o Cálculo Diferencial (secção anterior) e o Cálculo Integral (desta secção). Algumas regras de integração de funções em geral

( ) ( ) Cdttfadttfa +⋅= ∫∫ (regra da homogeneidade)

( ) ( )[ ] ( ) ( ) Cdttgdttfdttgtf ++=+ ∫∫∫ (regra da aditividade)

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫ ′⋅+⋅=⋅′ dttg)t(f)t(gtfdttgtf (regra da integral por partes)


2

Se definirmos )t(g)t(u = e )t(f)t(v = então dt)t(gdu ⋅′= e dt)t(fdv ⋅′= e a regra da integral por partes pode ser escrita doutra forma:

∫∫ −=⋅ duvuvdvu Por outro lado, se )t(f)t(u = e dt)t(fdu ⋅′= , então a integral definida é calculada como:

] )a(u)b(uudu ba

b

a−==∫

Fig. 1 – A área S sob a curva f(t) no intervalo definido [ a, b ].

A integral definida desde a até b da função f

Sd)(fb

a=τ⋅τ∫

é a área S sob a curva, conforme ilustrado na figura 1.


3

A figura 2 mostra dois exemplos da integral definida desde a até b da função f, onde áreas abaixo do eixo das abcissas contam negativamente.

21

b

a 1 SSd)(f −=τ⋅τ∫ e

321

b

a 2 SSSd)(f +−=τ⋅τ∫

Fig. 2 – Dois exemplos da área sob a curva f(t) no intervalo definido [a, b]. As

áreas abaixo do eixo das abcissas contam negativamente. A figura 3 mostra dois exemplos da integral definida em intervalos infinitos: ] -∞, b ] e [ a , ∞ [.

'Sd)(fb

3 =τ⋅τ∫ ∞− e ''Sd)(f

a 4 =τ⋅τ∫∞

Fig. 3 – Dois exemplos da área sob a curva f(t) definidos em intervalos infini-

tos: ] -∞ , b] e [ a , ∞ [.


4

Apresentamos agora uma tabela das integrais das principais funções.

Integrais de funções racionais:

Cudu +=∫

1n,C)1n(

uduu1n

n ≠++

=⋅+

∫

Culnu

duduu 1 +==⋅ ∫∫ −

Cauarctg

a1dt

au1

22 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⋅

+∫

2222 a>u,C

auauarctg

a21

audu

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

⋅=⋅−∫

Integrais de funções irracionais:

Cauulnau

du 22

22+++=⋅

+∫

Cauulnau

du 22

22+−+=⋅

−∫

Causecarc

a1

auudu

22+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⋅

−⋅∫

22

22a<u,C

auarcsen

uadu

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅

−∫

Integrais de logaritmos:

Clogt)ta(logtdt)ta(log bbb +⋅−⋅⋅=⋅∫ e (*)

Ct)ta(lntdt)ta(ln +−⋅⋅=⋅∫ [caso particular b = e da integral (*) acima]

( )1n,C

1nt)ta(ln

1ntdt)ta(lnt 2

1n1nn ≠+

+−⋅⋅

+=⋅⋅

++

∫

[ ] C)ta(ln21dt)ta(lnt 21 +⋅⋅=⋅⋅∫ −


5

[ ] C)ta(lnln)ta(lnt

dt+⋅=

⋅⋅∫

Integrais de funções exponenciais:

0a,1a,C)a(ln

aduau

u >≠+=⋅∫ (**)

Cdu uu +=⋅∫ ee [caso particular a = e da integral (**) acima]

C)b(ln

ba1dtb

atat +⋅=∫ (***)

Ca1dt atat +=∫ ee [caso particular b = e da integral (***) acima]

C)1at(a

dtt 2

atat +−=⋅∫

ee

dttant

a1dtt at1natnatn eee ∫∫ −−=⋅

1b,0b,dtbt)bln(a

n)bln(a

btdtbt at1natn

atn ≠>⋅

−⋅

=⋅ ∫∫ −

( ) [ ] C)btcos(b)bt(senaba

dt)tb(sen 22

atat +⋅−⋅

+=⋅∫

ee

( ) [ ] C)bt(senb)btcos(aba

dt)tbcos( 22

atat +⋅+⋅

+=⋅∫

ee

Integrais de funções trigonométricas:

( ) ( ) Cucosduusen +−=∫

( ) ( ) Cusenduucos +=∫

( ) ( ) C)u(seclnduutg +=∫

( ) C)u(senlnduugcot +=∫

( ) ( ) C)u(tg)u(seclnduucos

1duusec ++=⋅=⋅ ∫∫


6

( ) ( ) C)u(gcot)u(eccoslnduusen

1duueccos +−=⋅=⋅ ∫∫

( ) ( ) ( )( ) C)u(secduusen

utgduutguecs +=⋅=⋅⋅ ∫∫

( ) ( ) ( ) ( ) C)u(eccosduutgusen

1duutgcoueccos +−=⋅⋅

=⋅⋅ ∫∫

( ) ( ) C)u(tgduucos

1duuecs 22 +=⋅=⋅ ∫∫

( ) ( ) C)u(gcotduusen

1duueccos 22 +−=⋅=⋅ ∫∫

( ) ( ) Ctacosa1dttasen +

−=∫

( ) ( ) Ctasena1dttacos +=∫

( ) ( ) Ca4

ta2sen2tdttasen2 +−=∫

( ) ( ) Ca4

ta2sen2tdttacos2 ++=∫

Fórmula de recorrência para integrais de potências de funções trigonométricas:

( ) ( )∫∫ ⋅−

+⋅

⋅⋅⋅−=⋅ −

−

duuasenn

1nan

)uacos()ua(senduuasen 2n1n

n

( ) ( )∫∫ ⋅⋅−

+⋅

⋅⋅⋅=⋅ −

−

duuacosn

1nan

)ua(sen)ua(cosduuacos 2n1n

n

( ) ( ) ( )∫∫ ⋅−−⋅⋅

=⋅ −−

duuatg1na

)ua(tgduuatg 2n1n

n

( ) ( ) ( )∫∫ ⋅−−⋅⋅

−=⋅ −−

duuagcot1na

)ua(gcotduuagcot 2n1n

n

( ) ( ) ( )∫∫ ⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

+−⋅

⋅⋅⋅=⋅ −

−

duuasec1n2n

1na)ua(tg)ua(secduuasec 2n

2nn

( ) ( ) ( )∫∫ ⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

+−⋅

⋅⋅⋅−=⋅ −

−

duuaeccos1n2n

1na)ua(gcot)ua(eccosduuaeccos 2n

2nn


7

Integrais de outras funções trigonométricas:

( ) ( ) [ ] [ ] 22 ba,C)ba(2

t)ba(cos)ba(2

t)ba(cosdttbcostasen ≠+−−

−++

−=⋅⋅∫

( ) ( ) [ ] [ ] 22 ba,C)ba(2

t)ba(sen)ba(2

t)ba(sendttbsentasen ≠+++

−−−

=⋅⋅⋅∫

( ) ( ) [ ] [ ] 22 ba,C)ba(2

t)ba(sen)ba(2

t)ba(sendttbcostacos ≠+++

+−−

=⋅⋅⋅∫

( ) ( ) Ca4

)ta2(cosdttacostasen +⋅

⋅⋅−=⋅⋅⋅∫

( ) ( )( ) ( ) Ctacosln

a1dt

tacostasendttatg +⋅⋅−=⋅⋅

=⋅ ∫∫

( ) ( )( ) ( ) Ctasenln

a1dt

tasentacosdttagcot +⋅==⋅ ∫∫

( ) C)ta(cosat)ta(sen

a1dttasent 2 +⋅−⋅−=⋅⋅∫

( ) C)ta(sinat)ta(cos

a1dttacost 2 ++=⋅∫

( ) dt)ta(costan)ta(cos

atdttasent 1n

nn ∫∫ −+−=⋅

( ) dt)ta(sentan)ta(sen

atdttacost 1n

nn ∫∫ −−=⋅

Integrais de funções hiperbólicas:

C)at(cosha1dt)at(senh +⋅=∫

C)at(senha1dt)at(cosh +⋅=∫

C2t

a4)at2(senhdt)at(senh 2 +−=∫

C2t

a4)at2(senhdt)at(cosh 2 ++=∫

C)at(senha1)at(cosh

atdt)at(senht 2 +⋅−⋅=⋅∫


8

C)at(cosha1)at(senh

atdt)at(cosht 2 +⋅−⋅=⋅∫

Cdt)at(coshtan)at(cosh

atdt)at(senht 1n

nn +⋅⋅−⋅=⋅ ∫∫ −

Cdt)at(senhtan)at(senh

atdt)at(cosht 1n

nn +⋅⋅−⋅=⋅ ∫∫ −

[ ] C)at(coshlna1dt

)at(cosh)at(senhdt)at(tanh +⋅== ∫∫

C)at(senhlna1dt

)at(senh)at(coshdt)at(coth +⋅== ∫∫

Integrais definidas:

π=⋅∫∞

21dtt

0

-te

a21dt

0

a2x π

=∫∞ −e

π=∫∞ −

21dt

0

t2

e

6dt

1t 2

0

π=⋅

−∫∞

te

15dt

1t 4

0

3 π=⋅

−∫∞

te

2dt

t)t(sen

0

π=⋅∫

∞

( )!1n)n(dtt0

t1n −=Γ=⋅∫∞ −− e [função gama]

( ) ( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥π⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

≥π⋅

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅

=⋅=⋅ ∫∫ππ

3ímpareirointénse,2)1n(753

n642

2pareirointénse,2n642

)1n(521

dttcosdttsen2

0

n2

0

n

L

L

L

L

analise de sinais

Documents