analise no tempo sistemas discretos

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Sinais e Sistemas Eng. da Computação Análise no Domínio do Tempo de Sistemas Discretos Prof. Aluizio Fausto Ribeiro Araújo Depto. of Sistemas de Computação Centro de Informática - UFPE ES 413 Sinais e Sistemas Capítulo 3

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Page 1: Analise No Tempo Sistemas Discretos

Sinais e SistemasEng. da Computação

Análise no Domínio do Tempo de Sistemas Discretos

Prof. Aluizio Fausto Ribeiro AraújoDepto. of Sistemas de Computação

Centro de Informática - UFPE

ES 413 Sinais e Sistemas

Capítulo 3

Page 2: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-2Sinais e SistemasEng. da Computação

Conteúdo• Introdução• Operações Úteis com Sinais• Alguns Modelos Úteis de Sinais Discretos no Tempo• Exemplos de Sinais Discretos no Tempo• Equações de Sistemas Discretos no Tempo• Resposta de Entrada Zero• Resposta ao Impulso Unitário• Resposta de Estado Zero• Solução Clássica de Equações de Diferenças• Estabilidade de Sistemas• Parâmetros e Comportamento do Sistema

Page 3: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-3Sinais e SistemasEng. da Computação

Análise no Tempo de SLDT (i)• Introdução

– Sistemas discretos são caracterizados por entradas e saídas discretas. Um computador digital é um exemplo típico.

– Sinal discreto no tempo é basicamente uma seqüência de números que aparecem em situações discretas no tempo (e.g., estudos populacionais, problemas de amortização, modelos de renda nacional, rastreamento de radar) ou em amostragens de sinais contínuos no tempo (e.g., sistemas de dados amostrados e filtragem digital).

• Notação: x[n] denota o n-ésimo número na seqüência rotulada por x.

• Um sinal discreto proveniente de amostragem de x(t) pode ser expresso por x(nT), onde T é o intervalo de amostragem. Lembre-se que x[n]=x(nT).

Page 4: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-4Sinais e SistemasEng. da Computação

Análise no Tempo de SLDT (ii)• Introdução

– Exemplo de sinal discreto no tempo: nnT eenTx 1.0)( −− ==

Page 5: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-5Sinais e SistemasEng. da Computação

Análise no Tempo de SLDT (iii)• Introdução

– Filtros digitais processam sinais contínuos por sistemas discretos. Conversores C/D e D/C são usados neste tipo de configuração. Este processamento é esboçado abaixo:

Page 6: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-6Sinais e SistemasEng. da Computação

Tamanho de Sinais Discretos (i)• Energia de um Sinal

– Seja um sinal x[n], define-se energia deste sinal como o somatório ao longo do tempo do valor de x[n] elevado ao quadrado, quando este somatório é finito:

• Potência de um Sinal

– Se a amplitude de x[n] não convergir para zero com o passar do tempo, emprega-se a potência de um sinal, definida como (para o valor calculado finito e diferente de zero):

convege. não somatório o contrário, modo de para ,0][

complexos.ou reais valorespara ,][ 2

∞→→

= ∑∞

−∞=

nnx

nxEn

x

o.considerad intervalo no amostras 12 Existem

complexos.ou reais valorespara ,][12

1lim 2

++

= ∑−=

∞→

N

nxN

PN

NnNx

Page 7: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-7Sinais e SistemasEng. da Computação

Tamanho de Sinais Discretos (ii)• Exemplo

– Determine a energia e a potência do sinal x[n] nas figuras (a) e (b), respectivamente.

.6

5561

; 555

0

25

0

2 ==== ∑∑== n

xn

x nPnE

Page 8: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-8Sinais e SistemasEng. da Computação

Operações com Sinais Discretos (i)• Deslocamento no Tempo: (“Time Shifting”)

– Seja um sinal x[n] e este mesmo sinal defasado de M unidades: ][][ Mnxnxs −=

Page 9: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-9Sinais e SistemasEng. da Computação

Operações com Sinais Discretos (ii)• Reversão no Tempo (“Time Reversal”)

– Seja um sinal x[n] e este mesmo sinal rotacionado em torno do eixo vertical: . Note também ].[][ nxnxr −= .5 para ],[ =− knkx

Page 10: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-10Sinais e SistemasEng. da Computação

Operações com Sinais Discretos (iii)• Alteração de Taxa de Amostragem: Decimação (“Decimation”)

– Seja um sinal x[n] e este sinal comprimido por um fator M:

, onde M é um valor inteiro. Seleciona-se todas as amostras múltiplas de M e coloca-se zero para as demais. Esta operação é chamada de decimação (“decimation”).

][][ Mnxnxd =

Page 11: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-11Sinais e SistemasEng. da Computação

Operações com Sinais Discretos (iv)• Alteração de Taxa de Amostragem: Interpolação (“Interpolation”)

– Seja um sinal x[n], o sinal interpolado é gerado em dois passos: expande-se o sinal e em seguida atualiza-se os valores com zero através de um método de interpolação apropriado.

±±=

=

modo outro de 02,,0]/[

][ :Expansão

KLLnLnx

nxe

Page 12: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-12Sinais e SistemasEng. da Computação

Alguns Sinais Discretos Úteis (i)• Motivação:

– Tipicamente, eles são comumente utilizados no estudo de sinais e sistemas discretos no tempo.

• Funções que serão tratadas:

– Função Impulso Discreta;

– Função Degrau Unitário Discreta;

– Função Exponencial Discreta;

– Função Senoidal Discreta.

Page 13: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-13Sinais e SistemasEng. da Computação

Alguns Sinais Discretos Úteis (ii)• Função Impulso Unitário Discreta

– Esta é a a contrapartida de função impulso contínua no tempo, uma função delta de Kronecker, definida por:

unitário. impulso seqüência da de chamada também,0001

][

≠=

=nn

Page 14: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-14Sinais e SistemasEng. da Computação

Alguns Sinais Discretos Úteis (iii)• Função Degrau Unitário Discreta

– Esta é a contrapartida de função degrau contínua no tempo, definida por:

<≥

=0001

][nn

nu

]8[2]11[]5[])5[][(][

][][][][ 321

−−−−−+−−=

∴++=

nnununununnx

nxnxnxnx

δ

Page 15: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-15Sinais e SistemasEng. da Computação

Alguns Sinais Discretos Úteis (iv)• Função Exponencial Discreta

– Esta função é expressa como: )lnou ( γλγγ λλ === ee nn

Page 16: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-16Sinais e SistemasEng. da Computação

Alguns Sinais Discretos Úteis (v)• Função Exponencial Discreta: Exemplos

Page 17: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-17Sinais e SistemasEng. da Computação

Alguns Sinais Discretos Úteis (vi)• Função Senoidal Discreta

– Exemplo

ciclo).(amostras/ /1 onde ),2cos()cos(:por expressaser tambémpode senoidal funçãoA amostra.por

radianos em dada é freqüência a e radianos em ângulo um é radianos, em fase a é amplitude, a é onde ,)cos( :geral forma sua Em

0NFFnCnC

nCnC

=+=+Ω

ΩΩ+Ω

θπθ

θθ

Page 18: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-18Sinais e SistemasEng. da Computação

Sistemas Discretos no Tempo: Exemplos (i)• Caderneta de Poupança (sinal inerentemente discreto no tempo):

Um correntista deposita dinheiro (x[n]) em sua caderneta de poupança a cada intervalo de tempo T (1 mês). O banco deposita juros (r) em cada T e envia extrato da conta (y[n]) ao depositante. Determine a equação relacionando a saída e a entrada.O saldo é : y[n]=y[n-1]+ry[n-1]+x[n]= (1+r)y[n-1]+x[n],Logo, y[n]-ay[n-1]=x[n], para a=1+r, equivalentemente pode-se escrever: y[n+1]-ay[n]=x[n+1], – Uma retirada é representada por uma entrada negativa.– Para um empréstimo, y[0]=-M, onde M é o valor emprestado.– A expressão com o atraso é chamada de forma de operador de

atraso, enquanto que a expressão com avanço é forma de operador de avanço. A primeira forma é natural pois é causal (portanto realizável).

Page 19: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-19Sinais e SistemasEng. da Computação

Sistemas Discretos no Tempo: Exemplos (ii)• Caderneta de Poupança (sinal inerentemente discreto no tempo):

– Representação do sistema por diagrama de blocos (realização do sistema de conta poupança):

– Emprega-se os operadores básicos: somador, multiplicador escalar e atrasador.

– Utiliza-se N um nodo de coleta de sinal (pickoff node).

Page 20: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-20Sinais e SistemasEng. da Computação

Sistemas Discretos no Tempo: Exemplos (iii)• Estimativa de Vendas (sinal inerentemente discreto no tempo): No n-

ésimo semestre de um curso universitário, x[n] estudantes estão matriculados em uma dada matéria e todos devem comprar seu livro texto que tem três semestres de vida. A editora vende y[n] destes livros neste semestre. Em média, ¼ dos livros em boas condições são re-vendidos pelos estudantes. Escreva a saída em função da entrada:

O saldo é : y[n]+1/4 y[n-1]+ 1/16y[n-2]=x[n],

Logo, y[n]=-1/4y[n-1]-1/16y[n-2]+x[n],

Page 21: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-21Sinais e SistemasEng. da Computação

Sistemas Discretos no Tempo: Exemplos (iv)• Diferenciador Digital (sinal contínuo processado p/ sist. discreto):

Projete um sistema discreto para diferenciar um sinal contínuo. Este diferenciador é usado em um sistema de áudio tendo um sinal de entrada com largura de banda inferior a 20 kHz.

– A saída y(t) é a derivada da entrada x(t). Os processador discreto Gprocessa amostras da entrada x(t) e produz saída y[n]. Emprega-se amostras a cada T segundos: x[n] =x(nT); e y[n]=y(nT).

]1[][[1

][

:0) de (diferente pequeno mentesuficiente amostragem de sinal Assumindo

]1[][[1lim][ :discretos sistemas para notação usando

,]])1[()([1

lim)( se- tem para ,)(

0

0

−−=

−−=

−−====

→=

nxnxT

ny

nxnxT

ny

TnxnTxTdt

dxnTynTt

dtdx

ty

T

TnTt

Page 22: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-22Sinais e SistemasEng. da Computação

Sistemas Discretos no Tempo: Exemplos (v)• Diferenciador Digital (sinal contínuo processado p/ sist. discreto):

– Intervalo de amostragem: sT µ2540000

1freqüênciamaior 21

==×

Page 23: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-23Sinais e SistemasEng. da Computação

Sistemas Discretos no Tempo: Exemplos (vi)• Diferenciador Digital (sinal contínuo processado p/ sist. discreto):

0,][

0,)(][

≥=

≥== ==

nnTnx

tttxnx nTtnTt

Page 24: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-24Sinais e SistemasEng. da Computação

Sistemas Discretos no Tempo: Exemplos (vii)• Integrador Digital (sinal contínuo processado p/ sist. discreto):

Projete um integrador digital seguindo as mesmas linhas que o diferenciador digital do exemplo anterior.

][]1[][:recursiva forma suapor expresso é tambémdigital integrador O

.acumulador sistema um de exemplo um é Este

recursiva. não forma ,][][

:0) de (diferente pequeno mentesuficiente amostragem de sinal Assumindo

][lim][ :discretos sistemas para notação usando

,)(lim)( se- tem em ,)()( :rIntergrado

0

0

t

-

nTxnyny

kxTny

kxTny

TkTxnTynTtdxty

n

k

n

kT

n

kT

=−−

=

=

===

∑∫

−∞=

−∞=→

−∞=→∞ττ

Page 25: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-25Sinais e SistemasEng. da Computação

Sistemas Discretos no Tempo: Exemplos (viii)– A forma digitalizada de uma equação diferencial resulta em uma

equação de diferenças:

sinônimos. como usados são contínuos sistemas e analógicos Filtros -sinônimos. como usados são discretos sistemas e digitais Filtros -

ordem. mesma de diferenças de eq.por aproximadaser pode ldiferencia Eq. -ordem.maior de diferença pela definida :diferenças de equação de Ordem -

.1

e 1

1 onde ],[]1[][

:pequeno muito valor com mas 0 para ,][][]1[][

lim

: para derivada de definição a se-usa , uniforme amostragem Para

)()( :ordem 1 de ldiferencia equação a Seja

0

cTT

cTnxnyny

TnxncyT

nynynTtT

txtcydtdy

T

a

+=

+−==−+

≠=+−−

=

=+

βαβα

Page 26: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-26Sinais e SistemasEng. da Computação

Sistemas Discretos no Tempo: Vantagens (i)– Vantagens do Processamento Digital de Sinais:

• Operação de sistemas digitais pode tolerar variações nos valores de sinais, resultando em precisão e estabilidade maior que sistemas analógicos.

• Sistemas digitais não demandam mesmo grau de precisão de sistemas analógicos. Sistemas digitais complexos podem ser implementados em um chip empregando circuitos VLSI.

• Filtros digitais são flexíveis: podem ser facilmente alterados por programação. Implementações em hardware permitem uso de microprocessadores, miniprocessadores, chaves digitais, e circuitos VLSI.

• Circuitos digitais podem modelar grande quantidade de filtros.

Page 27: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-27Sinais e SistemasEng. da Computação

Sistemas Discretos no Tempo: Vantagens (ii)– Vantagens do Processamento Digital de Sinais:

• Sinais digitais podem ser barata e facilmente armazenados em mídias magnéticas.

• Sinais digitais podem ser codificados para produzir erros muito baixos e alta fidelidade.

• Filtros digitais podem ser compartilhados no tempo.

• Reprodução com sistemas digitais é confiável e sem deterioração. Mensagens analógicas como fotocópia e filmes perdem precisão para cada estágio sucessivo de reprodução.

Page 28: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-28Sinais e SistemasEng. da Computação

Sistemas Discretos no Tempo: Classificação (i)• Classificação de Sistemas Discretos

.identidade sistema um em resulta cascata em ambos de conexão a que talsistema outro um encontradofor se inversível é sistema Um

sInversívei Não e sInversívei Sistemas -. para ][ entrada de valoresdos apenas depende

instantequalquer em saída sua se causal é discreto sistema UmCausais Não e Causais Sistemas

tempo.do longo ao mudam não parâmetros seus quais nos aqueles são tempono sinvariante Sistemas

contínuos sistemas a idêntica é elinearidad de definiçãoA Tempo no aInvariânci e eLinearidad -

knnxkn

≤=

Page 29: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-29Sinais e SistemasEng. da Computação

Sistemas Discretos no Tempo: Classificação (ii)• Classificação de Sistemas Discretos

contínuos. sistemas de àqueles idênticos tambémConceitosMemória sem e com Sistemas

contínuos. sistemas em conceito aoanáloga é BIBO deestabilidaA externa. e internaser pode deestabilidaA

Instáveis e Estáveis Sistemas -

Page 30: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-30Sinais e SistemasEng. da Computação

Equações de Sistemas Discretos (i)– Serão tratados sistemas lineares invariantes e discretos no

tempo (LTID), descritos por (forma com termos em avanço):

][]1[]1[][

][]1[]1[][:atraso deoperador com forma na expressão aescrever se-Pode

][]1[]1[][][]1[]1[][

:expressar se-pode , geral, caso um Para .logo futuras, entradas de depende não saídaA :eCausalidad de Condição

de.generalida de perda sem 1 que se-Assume ).,( é ordem cuja ,diferenças delinear equação uma é esta

][]1[]1[][

][]1[]1[][

110

11

110

11

0

11

11

NnxbNnxbnxbnxb

NnyaNnyanyany

nxbnxbNnxbNnxbnyanyaNnyaNny

NMNM

aMNMax

nxbnxbMnxbMnxb

nyanyaNnyaNny

NN

NN

NN

NN

NNMNMN

NN

−++−++−+==−++−++−+

++++−+++==++++−+++

=≤

=

++++−+++==++++−+++

−+−−

K

K

KK

K

K

Page 31: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-31Sinais e SistemasEng. da Computação

Equações de Sistemas Discretos (ii)• Solução Recursiva de Equação de Diferenças

– A saída é calculada a partir de 2N+1 parcelas de informação: Nvalores anteriores de saída, N valores anteriores de entrada e o valor atual de entrada.

– Em princípio, este método reflete o modo como um computador resolve uma equação recursiva de diferenças: Dados a entrada e as condições iniciais.

– Se o método for não recursivo, então a saída é computada apenas a partir das entradas, sem utilizar as saídas prévias.

][]1[]1[][

][]2[]1[][:seguir a como expressaser podeanterior equaçãoA

110

21

NnxbNnxbnxbnxb

Nnyanyanyany

NN

N

−++−++−++

+−−−−−−−=

−K

K

Page 32: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-32Sinais e SistemasEng. da Computação

Equações de Sistemas Discretos (iii)• Exemplo

125.22)4()25.12(5.0]4[]3[5.0]4[ :se-obtem ,4 Para

25.12)3()5.6(5.0]3[]2[5.0]3[ :se-obtem ,3 Para

5.6)2()5(5.0]2[]1[5.0]2[ :se-obtem ,2 Para

5)1()8(5.0]1[]0[5.0]1[ :se-obtem ,1 Para

8)0()16(5.0]0[]1[5.0]0[ :se-obtem ,0 Para

][]1[5.0][ :escrita-reser pode equação Esta).0 em (início ][ causal entrada,16]1[ iniciais Condições

onde ,][]1[5.0][ :iterativo modo de Resolva,

2

2

2

2

2

2

=+=+==

=+=+==

=+=+==

=+=+==

=+=+−==

+−====−

=−−

xyyn

xyyn

xyyn

xyyn

xyyn

nxnynynnnxy

nxnyny

Page 33: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-33Sinais e SistemasEng. da Computação

Equações de Sistemas Discretos (iv)• Notação Operacional

– Analogamente a sistemas contínuos no tempo, Emprega-se uma notação operacional: o operador E.

][][)161

41

( :escrita-reser Pode

]2[][161]1[

41]2[ ordem 2 de diferenças de Equação

][][)(][][][ :escrita-reser Pode]1[][]1[ ordem 1 de diferenças de Equação

:Exemplos][][];2[][];1[][

:forma seguinte da aplicado éoperador O

22

2

nxEnyEE

nxnynyny

nExnyaEnExnaynEynxnayny

NnxnxEnxnxEnxnEx

a

a

N

=++

+=++++

=−∴=−+=−+

+=+=+≡ K

Page 34: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-34Sinais e SistemasEng. da Computação

Equações de Sistemas Discretos (v)• Notação Operacional

– Expressão geral para equação de diferenças de ordem N:

– Resposta de sistemas LTID: A solução geral deste sistema éformada pelos componentes de entrada zero e de estado zero.

NNNN

NNNN

NNNN

NNNN

bEbEbEbEP

aEaEaEEQ

nxEPnyEQ

nxbEbEbEb

nyaEaEaE

++++=

++++=

=

++++

=++++

−−

−−

−−

−−

11

10

11

1

11

10

11

1

][

][

como definidos são polinômios os onde ,][][][][:que se- temamente,Alternativ

][)(

][)(

K

K

K

K

Page 35: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-35Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Entrada Zero (i)• Resposta para Condições Internas do Sistema

– Este componente é a resposta do sistema para entrada nula.

( )( ) ( ) 0][

0][

:é )0][( ticocaracterís polinômio do trivial-não soluçãoA

0)(][][

:forma a assume polinômio o forma, Desta

][][][

constante. uma é termoo onde , :lexponencia

função da proriedade uma é Esta forma. mesma da são e existem diferenças de equações todaszero, emresultar linear combinação a Para

0][][0][

21

11

1

11

10

000

0011

1

=−−−=∴=++++=

==++++=

=+=⇒=

==

=∴=++++

−−

−−

+

+

−−

N

NNNN

nNN

NN

nkkn

knknknk

NNNN

Q

aaaQ

Q

aaacnyEQ

cknynyEcny

E

nyEQn)yaEaEa(E

γγγγγγγγγγγ

γγγγγ

γγ

γγγγγ

K

K

K

K

Page 36: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-36Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Entrada Zero (ii)• Resposta para Condições Internas do Sistema

Para raízes distintas:

nnn

nn

nnn

nn

N

N

nnnN

nn

cccny

cccEQ

nyEQ

ccc

cnycnycny

nyEQN

γγγ

γγγ

γγγ

γγγ

+++=

=+++

=

===

=

K

K

K

K

K

22110

2211

0

21

21

222111

0

][

:por dada é geral solução a Assim,0]][([

:se- temlinear, é sistema o Como:0][][ polinômio o menteindividual satisfaz solução Cada

ticascaracterís raízes são ,,, e

sarbitrária constantes são ,,, onde

][,,][,][

:por dados ,0][][ para soluções possíveis se-Tem

Page 37: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-37Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Entrada Zero (iii)• Resposta para Condições Internas do Sistema

Para raízes repetidas:

Para raízes complexas:

– Estas raízes aparecem sempre aos pares.

– O procedimento é o mesmo que aquele para raízes reais. Nesta caso ter-se-á modos característicos complexos e forma de solução complexa.

.)][ :solução e

,,,,,,, :ticoscaracterís modos os tem

)())(()(][

:ticocaracterís polinômio o com sistema um Para

1111

210

111

12

11

211

nNN

nrr

nrr

nN

nr

nrnnn

Nrrr

ccncnc( cny

nnn

Q

γγγ

γγγγγγ

γγγγγγγγγ

++++++=

−−−−=

++−

+−

++

KK

KK

K

Page 38: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-38Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Entrada Zero (iv)• Resposta para Condições Internas do Sistema

Para raízes complexas:

– Pode-se optar por não se trabalhar com a foram complexa:

.auxiliares condições daspartir a asdeterminad constantes são e onde

,cos][)(2

][

:resulta isto ,2

e 2

escoeficient os Sejam

)(][

:por dada é zero entrada de respostaA

e

:polar forma na complexas raízes dePar

0)()(

0

21

21210

θ

βγγ

γγγγ

γγγγ

θβθβ

θθ

ββ

ββ

c

?)n(cnyeecny

ec

cec

c

ececccny

ee

nnjnjn

jj

njnnjnnn

jj

+=∴+=

==

∴+=+=

==

+−+

−∗

−∗

Page 39: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-39Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Entrada Zero (v)• Resposta para Condições Internas do Sistema

– Ex: Calcule a resposta de entrada zero para o sistema LTID.

.)8.0(5/4)2.0(5/1][ é zero entrada de respostaA

.5/4,5/1

4/25)16/25(25)8.0()2.0(4/25]2[

0)4/5(5)8.0()2.0(0]1[

:acima equação na 2 e 1 se-faz ,constantes asachar Para .)8.0()2.0(][

:por dada solução a e )8.0(,)2.0( :são ticoscaracterís modos os

)8.0)(2.0(16.06.0 é ticacarcaterís equaçãoA

].[4][,4/25]2[,0]1[ para

],2[5][16.0]1[6.0]2[

0

21

212

22

10

22

12

21

10

210

2

nn

nn

nn

n

ny

cc

ccc cy

ccc cy

nnc cny

nunxyy

nxnynyny

+−=

==⇒

=+∴+−==−

=+−∴+−==−

−=−=+−=

−+=−−

==−=−

+=−+−+

−−

−−

γγγγ

Page 40: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-40Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Entrada Zero (v)• Resposta para Condições Internas do Sistema

– Ex: Calcule a resposta de entrada zero para o sistema LTID.

.)3)(34(][ é zero entrada de respostaA

.3,4

229/2)3))(2((9/2]2[

13/1)3))(1((3/1]1[

:acima equação na 2 e 1 se-faz ,constantes asachar Para

.)3)((][

:por dada solução a e )3(,)3( :são ticoscaracterís modos os

)3)(3(96 é ticacarcaterís equaçãoA

].[4][9/2]2[,3/1]1[ para

][)62(][)96(

0

21

212

210

211

210

210

2

22

n

n

nn

n

n ny

cc

cccc y

cccc y

nn

ncc ny

n

nunxyy

nxEEnyEE

−+=

==⇒

−=−∴−=−−+∴−=−

−=+−∴−=−−+∴−=−

−=−=

−+=

−−

++=++

=−=−−=−

+=++

γγγγ

Page 41: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-41Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta ao Impulso Unitário (i)• Fundamentos

– Considere o sistema de n-ésima ordem especificado pela equação:

0][]2[]1[ s.a.

][][][][ :nulas iniciais condições

e impulso entrada para equação desta solução a é impulso ao respostaA

][][][][ou ][)(

][)(

11

10

11

1

=−==−=−

=

=++++=

=++++

−−

−−

Nhhh

nEPnhEQ

nxEPnyEQnxbEbEbEb

nyaEaEaE

NNNN

NNNN

K

K

K

δ

Page 42: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-42Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta ao Impulso Unitário (ii)• Fundamentos

– Exemplo: Calcule a resposta ao impulso para o sistema: :

fechada. forma de solução a determinar se para útil é solução Esta.][ de termospróximos os se-determina forma, desta oContinuand

3]1[)0(5]1[16.0]0[6.0]1[ :se- tem,1 Fazendo5]0[)1(5]2[16.0]1[6.0]0[ :se- tem,0 Fazendo

0]2[]1[ s.a.][5]2[16.0]1[6.0][

:equação da solução a é impulso ao respostaA ][5]2[16.0]1[6.0][

nhhhhhn

hhhhnhh

nnhnhnh

nxnynyny

=∴=−−−==∴=−−−−=

=−=−=−−−−

=−−−−

δ

Page 43: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-43Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta ao Impulso Unitário (iii)• A Solução de Forma Fechada

– A resposta ao impulso unitário h[n] tem as características:

• A entrada é nula exceto para n=0, implica resposta formada por modos característicos do sistema.

• Em n=0, tem-se valor diferente de zero.

][][])[]([ Logo,

0])[][]([ se- temticos,caracterís modos de feito é ][ Como][][])[][][]([][][][][ Como

sistema. do ticoscaracterís modos doslinear combinação a é ][ onde

][][][][ :como expressa é ][ de geral formaA

0

0

0

nEPnAEQ

nunyEQnynEPnunynAEQnEPnhEQ

ny

nunynAnhnh

cc

c

c

c

δδ

δδδ

δ

==

=+⇒=

+=

Page 44: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-44Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta ao Impulso Unitário (iv)• A Solução de Forma Fechada

.][ de valores dos toconhecimen

dopartir a osdeterminad são ][ de dosdesconheci escoeficient Os

][][][][

em resultando finalmente ,

se-obtem ,1]0[ e ,00][ se-emprega ,0 se-Faz

][][])[]1[][(

][][])[]([ que Lembrando

00

010

0

nhN

ny

nunynab

nh

ab

AbaA

mmn

nbNnbnaNnaNnA

nEPnAEQ

c

cN

N

N

NNN

NN

+=

=∴=

=≠∀==+++=++−+++

∴=

δ

δδδδδδδ

δδKK

Page 45: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-45Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta ao Impulso Unitário (iv)• A Solução de Forma Fechada

– Exemplo: Determine a resposta ao impulso do exemplo anterior

][])8.0(4)2.0[(][ se-encontra

,interativa forma na direta ãosubstituiçpor ,0]2[]1[ Como

][])8.0()2.0([][ em resultando ,00 Como

)8.0()2.0(][)8.0( e )2.0( :ticoscaracterís Modos

)8.0)(2.0(16.06.0 :é ticocaracterís polinômio O

][5][)16.06.0(

ou ]2[5][16.0]1[6.0]2[:avançada forma na escrita-reser pode equação Esta

][5]2[16.0]1[6.0][

210

21

2

22

nunh

hh

nuccnhAb

ccny

nxEnyEE

nxnynyny

nxnynyny

nn

nnN

nnc

nn

+−=

=−=−

+−==⇒=

+−=⇒−

−+=−−

=−−

+=−+−+

=−−−−

γγγγ

Page 46: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-46Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Estado Zero (i)• Introdução

– Resposta y[n] para condições inicias nulas no sistema discreto de entrada arbitrária x[n] diferente de zero.

• Esta situação é comum a todos sistemas tratados nesta seção, a não ser quando dito o contrário.

impulso. scomponente suas às resposta sua se-somando obtida éarbitrária entradaqualquer para resposta sua lineares, sistemas Para

,][][][

]1[]1[]1[]1[][]0[][:se-escreve logo ,][][ é em ][ componenteA

:impulso scomponente de soma como expresso ][ entrada de Sinal

∑∞

−∞=

−=

++−++−+=−=

m

mnmxnx

nxnxnxnxmnmxmnnx

nx

δ

δδδδ

KK

Page 47: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-47Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Estado Zero (ii)• Introdução

Page 48: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-48Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Estado Zero (iii)• Introdução

∑∑

−∞=

−∞=

−∞=

−=

−⇒−

−⇒−−⇒−

⇒⇒

m

ny

m

nx

m

mnhmxny

mnhmxmnmx

mnhmxmnmxmnhmn

nhnnynx

][][][ Logo,

][][][][ e

][][][][ :elinearidad à Devido ][][ tempo,no ainvariânci à Devido

.][][ particular em ,][][:saída entecorrespond sua e entrada a indica abaixo notaçãoA

][][44 344 2144 344 21

δ

δδ

δ

Page 49: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-49Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Estado Zero (iv)• Somatório de Convolução

– O somatório de convolução de duas funções é definido como:

um. menos to)(comprimen elementos de número o é sinal um de larguraA . largura tem,][][][

então finitas, e larguras com sinais ][ e ][ Sejam :Largura][][][ :impulso um com Convolução

][][][ então ,][][][ : tempono toDeslocamen

][])[][(])[][(][ :aAssociativ

][][][][])[][(][ :vaDistributi][][][][ :Comutativa

:relevantes espropriedad as com ,][][][][

2121

2121

2121

321321

3121321

1221

21

WWnxnxnc

WWnxnxnxnnx

pmncpnxmnxncnxnx

nxnxnxnxnxnx

nxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnx

mnhmxnxnxm

+∗=

=∗−−=−∗−=∗

∗∗=∗∗∗+∗=+∗

∗=∗

−=∗ ∑∞

−∞=

δ

Page 50: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-50Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Estado Zero (v)• Somatório de Convolução

– Causalidade e Resposta de Estado Zero

– Somatório de convolução a partir de uma tabela: Pode-se utilizar uma tabela de somatórios de convolução para determinar outros somatórios de convolução mais complexos.

=

−∞=

−=

>=−<=

−=

n

m

m

mnhmxny

nmmnhnhmmxnx

mnhmxny

0

][][][ :causais sistema e sinal Para

. para 0][ então causal), ][ (i.e. causal sistema um para;0 para 0][ então causal, ][ entrada de sinal um para

,][][][ :sistema do resposta a Considere

Page 51: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-51Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Estado Zero (vi)• Somatório de Convolução

– Exemplo: Determine c[n] para o sistema LTID:

( )

( )( ) ( )

][])3.0()8.0[(2][3.08.03.0

)3.0()8.0(3.0][

][3.08.0

3.0][.0,0

;0,)3.0()8.0(][

][)3.0]([)8.0(][][][][

:causais são sistema o e sinal o como ,][][][][][

][)3.0(][

][)8.0(][ então ,

][)3.0(][

][)8.0(][

1111

00

00

nununc

nuncn

nnc

mnumuncmngmxnc

mngmxngnxnc

mnumng

mumx

nung

nunx

nnn

nnn

n

m

mn

n

m

mnm

n

m

mnmn

m

m

mn

m

n

n

++++

==

=

=

−∞=

−=−

−=

=∴

<

≥=

−=∴−=

−=∗=

−=−

=

=

=

∑∑

∑∑

Page 52: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-52Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Estado Zero (vii)• Somatório de Convolução

– Exemplo: A resposta de estado zero para o sistema LTID:

][4][][

então ,][][][

];[][];[][ :convolução de somatórios de Tabela

][)8.0(4][)25.0(][)2.0(][)25.0(][

]][)8.0(4][)2.0[(][)25.0(][][][

:é resposta a Assim, .][])8.0(4)2.0[(][

é unitário impulso ao resposta a e ][4][ é entradaA

]2[5][16.0]1[6.0]2[

31

13

11

21

12

11

21

12

11

21

2211

nununy

nunxnx

nunxnunx

nununununy

nunununhnxny

nunh

nunx

nxnynyny

nnnn

nn

nn

nnnn

nnn

nn

n

−−

+

−−

=

−−

=∗

==

∗+−∗=

∴+−∗=∗=

+−=

−=

+=−+−+

++++

++

γγγγ

γγγγ

γγγγ

γγ

Page 53: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-53Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Estado Zero (viii)• Somatório de Convolução

– Exemplo: continuação:

][])8.0(81.5)2.0(444.0)4(26.1[][

][])8.0(81.5)2.0(444.0)25.0(26.1[][

:escrita-reser pode resposta a ,. que lembrando

],[])8.0(27.7)2.0(22.2)25.0(05.5[][

][]))8.0()25.0[(27.7])2.0()25.0[(22.2(][

][)8.0()25.0()8.0()25.0(

4][)2.0()25.0()2.0()25.0(

][

][4][][

1

111

1111

1111

31

13

11

21

12

11

nuny

nuny

nuny

nuny

nununy

nununy

nnn

nnn

nn

nnn

nnnn

nnnn

nnnn

+−+−=

∴+−+−=

=

+−−−=

∴−−−−=

−−

+

−−−−

=

−−

+

−−

=

+

+++

++++

++++

++++

γγγ

γγγγ

γγγγ

Page 54: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-54Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Estado Zero (ix)– Resposta para Entradas Complexas

• A parte real da entrada gera a parte real da resposta e a parte imaginária da entrada gera a parte imaginária da resposta. Logo,

– Entradas Múltiplas

• Entradas múltiplas para um sistema LTI são tratadas empregando o princípio da superposição.

][][ e ][][ logo,

][][][ e ][][][

nynxnynx

njynynynjxnxnx

iirr

irir

⇒⇒+=+=

Page 55: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-55Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Estado Zero (x)• Somatório de Convolução: Solução Gráfica

– Procedimento Gráfico:

. a intervalo no de valor cada para repetido é toprocedimen O .][ obtenha e produtos todosadicione ,][por ][ eMultipliqu 3.

(avanço). esquerda à se-move ,0 para (atraso); direita àse-move ,0 Para .][ obtenha e unidades por ][ Desloque 2..][ obtenha e )0( vericaleixo do tornoem ][ função a Inverta 1.

. de funções como ][ e ][ de gráfico o Trace 0.:toprocedimen pelo odeterminadser pode convolução de somatório O

][][][

:por dado é ][ e ][ causais sinais de convolução de somatório O

0

∞∞−−

<>−−

−=

−= ∑=

nncmngmx

nnmngnmg

mgmmgmmgmx

mngmxnc

ngnxn

m

Page 56: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-56Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Estado Zero (xi)• Somatório de Convolução: Solução Gráfica

– Exemplo: Determine graficamente a c[n]= x[n]*g[n].

.0 para geral situação a mostra seguir, a (h), FiguraA ][])3.0()8.0[(2][ Logo,

0],)3.0()8.0[(2

0,0][

logo, ,][ e ][ entre ãosobreposiç existe não ,0 Para.0 ,])3.0()8.0[(2][

3.08.0

)3.0()3.0()8.0(][][][

:assim ,0 intervalo no sobrepoêm se funções duas As)3.0(][,)8.0(][ logo, ,)3.0(][,)8.0(][

11

11

11

000

≥−=

≥−

<=

−<≥−=

==−=

≤≤=−===

++

++

++

==

=

∑∑∑

nnunc

n

nnc

mngmxnnnc

mngmxnc

nmmngmxngnx

nn

nn

nn

n

m

mn

n

m

mnmn

m

mnmnn

Page 57: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-57Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Estado Zero (xii)• Somatório de Convolução: Solução Gráfica

– Exemplo: Representação gráfica

Page 58: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-58Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Estado Zero (xiii)• Somatório de Convolução: Solução Gráfica

– Exemplo: Representação gráfica

(h)

Page 59: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-59Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Estado Zero (xv)

– Sistema composto por subsistemas mais simples para se gerar a resposta ao impulso de sistemas em paralelo ou em cascata.

• Somatório de Convolução: Sistemas Interconectados

S1S2

S1

S1

S2

S2

Page 60: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-60Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Estado Zero (xvi)

– Sistema LTID composto por sistema S com resposta ao impulso h[n] seguido de acumulador.

• Somatório de Convolução: Sistemas Interconectados

S

S

∑−∞=

n

k

∑−∞=

n

k

∑−∞=

=n

k

khng

nhng

][][

:é,][ impulso ao resposta com LTID, sistema um de unitáriodegrau ao ][ respostaA

Page 61: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-61Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Estado Zero (xvii)• Somatório de Convolução: Sistemas Interconectados

– Sistema Inverso:

– Analogia entre operadores de sistemas contínuos e sistemas discretos: integrador e acumulador, diferenciador e diferença para trás.

][][][ nnhnh i δ=∗

][]1[][]1[][][][][

]1[][][ : tráspara diferença da

][][][ :acumulador do

:impulso ao resposta a doconsideran inverso sistema de Exemplo

]1[][][ : tráspara Diferença ;][][ :Acumulador

nnununnnunhnh

nnnh

nuknh

nxnxnykxny

bdfacc

bdf

n

kacc

n

k

δδδ

δδ

δ

=−−=−−∗=∗

−−=

==

−−==

−∞=

−∞=

Page 62: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-62Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Estado Zero (xviii)• Somatório de Convolução: Função Exponencial Incessante

– Função característica: Entrada para qual um sistema responde da mesma forma, a exponencial é o único caso.

)( nz

nz

m

mn

m

mn

m

mnn

n

zH

zzH

zmhzHzzHny

zmhzzmhznhny

nyznh

incessante lexponenciaentradaentrada de sinalsaída de sinal

][:ncia transferêde Função

. de valor dado um para constante uma é ][

finito. somatório para válido,][][ onde ,][][

][][][][

:é ][ sistema do resposta a então entrada e ][ impulso ao resposta com LTID sistema um Seja

=

−∞=

−∞=

−∞

−∞=

=

∗==

∴∗=∗=∗=

∑∑

Page 63: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-63Sinais e SistemasEng. da Computação

• Somatório de Convolução: : Função Exponencial Incessante

– A função de transferência para sistema LTID, com sinal de entrada não-causal pode ser expressa em termos de polinômio:

)( nz

][][

][ é ncia transferêde função a que se-Conclui

][][

][][ Como

][]][][[

:resposta sua e incessante lexponencia a polinômio de forma Naentrada de sinalsaída de sinal][ que se-Tem

entrada

zQzP

zH

zzQzEQ

zzPzEPzzzzE

zEPzEQzH

zH

nn

nnknknnk

nn

z n

=

=

=∴==

=

=

+

=

Resposta de Estado Zero (xix)

Page 64: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-64Sinais e SistemasEng. da Computação

Resposta de Estado Zero (xx)• Somatório de Convolução: Resposta Total

– Resposta total = Resposta entrada-zero + Resposta estado-zero=

4444444 34444444 21444 3444 21

43421444 3444 21

43421321

zero estadozero entrada

zero estadozero entrada

111

1

zero estadozero entrada

1

))8.0(81.5)2.0(444.0)4(26.1)8.0(8.0)2.0(2.0 resp

][)4( entrada e 4/25]2[,0]1[ :iniciais condições Com

]2[5][16.0]1[6.0]2[ :Sistema :Exemplo

distintos e repetidos sautovalore para ,][][

distintos sautovalore para ,][][

nnnnn

n

N

rj

njj

r

j

nj

j

N

j

njj

nuyy

nxnynyny

nhnxccn

nhnxc

+−+−+−=

=−=−

+=−+−+

∗++

∗+

+==

=

∑∑

γγ

γ

Page 65: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-65Sinais e SistemasEng. da Computação

Solução Clássica de Equações de Diferenças (i)• Determinação das Respostas Natural e Forçada

– A resposta natural de um sistema consiste de todos termos de modos característicos na resposta.

– A a resposta forcada é composta pelos termos remanescentes que não forem de modos característicos.

ados.indetermin escoeficient de métodopor forçada resposta de Cálculo -.])[,],2[],1[( iniciais condições

das invés ao ])1[,],1[],0[( auxiliares condições das geral, em partir, a asdeterminad são sarbitraria constantes as natural, resposta Na -

][][][][0][][

][][])[][]([

logo, ,][][][ totalresposta

Nyyynyyy

nxEPnyEQnyEQ

nxEPnynyEQ

nynyny

cc

c

−−−−

==

∴=+

+==

KK

φφ

φ

Page 66: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-66Sinais e SistemasEng. da Computação

Solução Clássica de Equações de Diferenças (ii)

• Resposta Forçada

– A tabela mostra algumas funções de entrada e a saída forçada:

nm

i

ii

nm

i

ii

ni

n

ni

n

rncrn

ncn

cnrN,,(ir,r

crN,,(ir,r

++

==

=≠

∑∑== 00

)cos( )cos(

),21

),21

Saída Entrada

α

φβθβ

γ

γ

K

K

Page 67: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-67Sinais e SistemasEng. da Computação

Solução Clássica de Equações de Diferenças (iii)• Resposta Forçada

835)1(3]1[ e 53][

2)2(]2[

)1(]1[:que se- temforçada, resposta a doConsideran

][ é forçada resposta a anterior, tabelaPale

)3()2(][ é natural resposta a Logo,

:assim ,)3)(2(65 :ticocaracterís Polinômio

.13]1[,4]0[ auxiliares condições e ][)53(][ entradacom ,][)5(][)65( :diferenças de equação a Resolva

:Exemplo -

01101

01101

01

21

2

2

+=++=++=

++=++=+

++=++=+

+=

+=

−−=+−

==+=−=+−

nnnxnnx

ccnccncny

ccnccncny

cncny

BBny

yynunnxnxEnyEE

nnc

φ

φ

φ

γγγγ

Page 68: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-68Sinais e SistemasEng. da Computação

Solução Clássica de Equações de Diferenças (iv)• Resposta Forçada

02

356)3()2(][][][ : totalResposta

2356][

235

6

1723122

se- temcomparaçãopor ,1712232)53(583)(6)(52

][5]1[][6]1[5]2[

:se- temlogo ][][][][ que Lembre :ão)(continuaç Exemplo -

21

0

1

01

1

011

01011011

≥−−+=+=

−−=⇒

−=

−=⇒

−=+−−=

−−=+−∴+−+=++++−++

∴−+=++−+

=

nnBBnynyny

nnyc

c

ccc

nccncnncncccncccnc

nxnxnynyny

nxEPnyEQ

nnc φ

φ

φφφ

φ

Page 69: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-69Sinais e SistemasEng. da Computação

Solução Clássica de Equações de Diferenças (v)• Resposta Forçada

2356)3(

213)2(15][][][ : totalResposta

152

432

132

862

73

27332

28622

27332

)2(2

43)2)((

27332

235)1(6)3()2(13]1[

243

235)0(6)3()2(4]0[

: e determinar para usadas são auxiliares condições As

02

356)3()2(][][][ : totalResposta

:ão)(continuaç Exemplo -

21

2

21

21

21

21

211

21

1

210

20

1

21

21

−−−=+=

=−=

−=−=∴

=+

−=−−∴

=+

−=−+

=+∴−−+==

=+∴−−+==

≥−−+=+=

nnynyny

BB

B

BB

BB

BB

BB

BBBBy

BBBBy

BB

nnBBnynyny

nnc

nnc

φ

φ

Page 70: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-70Sinais e SistemasEng. da Computação

Solução Clássica de Equações de Diferenças (vi)– O método clássico requer condições auxiliares pois em n= -1, -2,

..., -N apenas a componente de entrada zero existe e neste método, não se pode separar as componentes de entrada zero e estado zero. Logo, as condições iniciais devem ser aplicadas àresposta total que se inicia em n=0. Logo precisa-se de condições auxiliares: y[0],y[1],...,y[N-1].

• Se forem informadas condições iniciais y[-1],y[-2],...,y[-N]. então pode-se usar procedimento iterativo para se obter as condições auxiliares y[0],y[1],...,y[N-1].

=

≠=

=

=

][][][

tico)caracterís (modo onde][][

por dada ][ lexponencia entrada a para forçada resposta tem

][][][][ equação pela doespecifica sistema O

rQrPrH

rrrHny

rnx

nxEPnyEQ

in

n

γ

φ

Page 71: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-71Sinais e SistemasEng. da Computação

Estabilidade de Sistemas (i)• Estabilidade BIBO

– Se toda entrada limitada produzir saídas limitadas no sistema, este é dito estável BIBO. Em contraste, se alguma entrada limitada resultar em resposta ilimitada o sistema é definido com instável BIBO. Assim, para um sistema LTID:

.][

:BIBO deestabilida para suficiente e necessária Condição

.][][ e ][ então limitada, ][ Se

,][][][][][

][][][][][

2

11

∞<<

≤∞<<−

−≤−=

∴−=∗=

∑∑

−∞=

−∞=

−∞=

−∞=

−∞=

Knh

mhKnyKmnxnx

mnxmhmnxmhny

mnxmhnxnhny

n

m

mm

m

Page 72: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-72Sinais e SistemasEng. da Computação

Estabilidade de Sistemas (ii)• Estabilidade Interna (Assintótica)

∞→∞→=

=

=∞→=

>∞→∞→

<∞→→

=

−−− nnnn

n

n

n

nxEPnyEQ

rnrnr

n

n

n

n

se então , ticoscaracterís modos

pois instável, sistema o tornam1 e repetidas simaginária Raízes

repetidas. raízes para também válidossão resultados Estes

.1 para quando 1 :estável nteMarginalme -

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Page 73: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-73Sinais e SistemasEng. da Computação

Estabilidade de Sistemas (iii)• Estabilidade Interna (Assintótica)

-Raízes reais

Dentro e fora do círculo de raio1.

-Raízes complexas

Dentro e fora do círculo de raio1.

Page 74: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-74Sinais e SistemasEng. da Computação

Estabilidade de Sistemas (iv)• Estabilidade Interna (Assintótica)

- Raízes simples sobre o círculo de raio 1 :

Reais reais e complexas.

-Raízes repetidas sobre o círculo de raio 1:

Raízes reais e complexas.

Page 75: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-75Sinais e SistemasEng. da Computação

Estabilidade de Sistemas (v)• Definição de Estabilidade Interna

– Um sistema LTID é assintoticamente estável se e só se todas raízes características (simples ou repetidas) estiverem dentro do circulo unitário.

– Um sistema LTID é instável se e só se for verdade ao menos uma das condições: (i) ao menos uma das raízes está fora do círculo unitário; (ii) existem raízes repetidas sobre o circulo unitário.

– Um sistema LTID é marginalmente estável se e só se não existirem raízes características fora do círculo unitário e se houver algumas raízes não repetidas sobre o circulo unitário.

• Relação entre Estabilidade Interna e Externa

– Estabilidade interna é determinada para condições iniciais não nulas e entrada nula enquanto que a externa é determinada com condições iniciais nulas e entrada diferente de zero.

– Estabilidade interna assegura estabilidade externa mas o inverso não éverdadeiro.

Page 76: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-76Sinais e SistemasEng. da Computação

Parâmetros e Comportamento de Sistemas (i)• O comportamento de um sistema LTID (com respeito aos seus

parâmetros):

– Depende dos modos característicos em termos de módulo, tempo e precisão.

– Responde fortemente a entradas similares a seus modos característicos e e pobremente a entradas muito diferentes.

– Tem seu tempo de resposta indicado pela largura da resposta ao impulso.

– Dispersa, em geral, pulsos discretos no tempo que são aplicados a sistemas discretos no tempo.

– Tem a quantidade de dispersão e a taxa de transmissão de informação determinadas pela constante de tempo do sistema.

Page 77: Analise No Tempo Sistemas Discretos

1-77Sinais e SistemasEng. da Computação

Exercícios Recomendados• Propostos para o MATLAB ou SCILAB

– Todos

• Problemas– 3.1-1, 3.1-2, 3.1-4

– 3.2-1 até 3.2-4.

– 3.3-1, 3.3-3, 3.3-5 até 3.3-7.

– 3.4-1 até 3.4-5, 3.4-7 até 3.4-9, 3.4-11 e 3.4-13.

– 3.5-1 até 3.5-5.

– 3.6-1 até 3.6-5 3.6-7.

– 3.7-1 até 3.7-4.

– 3.8-1 até 3.8-5, 3.8-10, 3.8-11, 3.8-16 e 3.8-17.

– 3.9-1 até 3.9-8.– 3.10-1 até 3.10.-6.