modelos matematicos de sistemas -...

1Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng

Modelos Matematicos de Sistemas

Introdução;Equações Diferenciais de Sistemas Físicos;Aproximações Lineares de Sistemas Físicos;Transformada de Laplace;Função de Transferência de Sistemas Lineares;Modelos em Diagrama de Blocos;Modelos em Diagramas de Fluxo de Sinais;Analise Computacional de Sistemas de Controle;Exemplo de Projetos.


Equações Diferenciais de Sistemas Físicos

( ) ( ) 0a sT t T t− =

( ) ( ) ( )s aw t w t w t= −

As Equações Diferenciais que descrevem o desempenho de um sistema dinâmico de um sistema físico são obtidas u tilizando-se as Leis físicas do processo.

(a) Sistema de Torção Massa-Mola (b) Elemento Mola

Variável-Através

Variável-Sobre


Resumo das Variáveis Através e Sobre para Sistemas Físi cos

Diferença de Temperatura T21

Energia Térmica HFluxo Térmico qTérmico

Momento de Pressão (21

Diferença de Pressão P21

Volume VVazão Volumétrica Q

Fluido

Diferença de deslocamento angular 221

Diferença de velocidade angular T21

Momento cinético hTorque TMecânico em Rotação

Diferença de deslocamento y21

Diferença de velocidade v21

Quantidade de Movimento P

Força FMecânico em Translação

Enlace de Fluxo 821

Diferença de Tensão v21

Carga qCorrente iElétrico

Variável Através Integrada

Variável de Elemento Sobre

Variável Através Integrada

Variável deElemento Através

Sistema


Sistema Massa-Mola-Amortecedor

2

2

( ) ( )( ) ( )

d y t dy tM b ky t r t

dt dt+ + =

(b) Diagrama Corpo Livre

(a) Sistema Massa-Mola-Amortecedor


Circuito RLC

0

( ) ( ) 1( ) ( )

tv t dv tC v t dt r t

R dT L+ + =∫


Solução da Equação Diferencial

Métodos Clássicos:1. Fatores de Integração2. Método dos coeficientes a determinar3. Transformada de Laplace

11 1 1( ) ( )ty t K e sen tβ θ−α= +

22 2 2( ) ( )tv t K e sen tβ θ−α= +


Aproximações Lineares de Sistemas Físicos

� Os modelos mais precisos de sistemas físicos são não-lineares.

� A Transformada de Laplace não pode ser utilizada na solução de equações diferenciais não-lineares.

Técnica de Linearização de sistemas não-lineares


Modelo Oscilador Tipo Pendulo

L →→→→ comprimento do pêndulo;M →→→→ massa do pêndulo;f →→→→ força que atua no pêndulo;g →→→→ gravidade.

L

g

d t

dtt.

( )sen ( )

2

2

θθ= −

A equação diferencial que descreve o movimento do p êndulo


Série de Taylor

f fdf

d

d f

d( ) ( ) .( ) .

( )

!......

( ) ( )θ θ

θθ θ

θθ θ

θ θ θ θ= + − +

−+

= =00

0

2

20

02

2

Se a variação “q - θ0” é pequena, os termos de maior grau podem ser desprezados na série de Taylor. Isto resulta em:

f(θ) = sen θ , e:

Como, o pêndulo mostrado, opera na região em que , pode-se linearizar a função em torno do ponto .

L

g

d t

dtt.

( )( )

2

2

θθ= −

f fdf

d( ) ( ) . ( )

( )θ θ

θθ θ

θ θ≅ + −

=00

0

{ } ( )sen sen cos .θ θ θ θ θ= + −0 0 0

( )sen .θ θ≅ + − ∴0 1 00 senθ θ≅


Transformada de Laplace


FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

Onde: n≥mx(t) ⇒ entrada (função excitação) e y(t) ⇒ saída (função resposta)

A FT de um LTI é definida como sendo a relação entre as Transformadas de Laplace da saída e da entrada, com todas as condições iniciais nulas.

LTI – Linear Time Invariant - Sistema Linear Invariante no Tempo

1 1

0 1 1 0 1 11 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... . ( ) ... . ( )

n n m m

n n m mn n m m

d y t d y t dy t d x t d x t dx ta a a a y t b b b b x t

dt dt dt dt dt dt

− −

− −− −+ + + = + + +

( ) ( )a a S a a Y s b b b b X sn nn n

m mm m0 1

11 0 1

11.S .... .S ( ) .S .S .... .S ( )+ + + + = + + + +−

−−

−

Aplicando-se a transformação de laplace, temos:

10 1 1

10 1 1

. . .... .( )( )

( ) . . .... .

m mm m

n nn n

b S b S b S bY sG s

X s a S a S a S a

−−

−−

+ + + += =+ + + +

Função de Transferência

Sistema de ordem n


COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

A FT de um sistema é uma propriedade que independende d a natureza e da magnitude da entrada;

Possibilitar um sistema dinâmico ser representado por expressões algébricas da variável complexa “S”;

A FT não fornece informações a respeito da estrutura f ísica do sistema. A FT de sistemas fisicamente diferentes pod em ser idênticas;

Se a FT de um sistema é conhecida, a resposta do mesm o pode ser analisada para diferentes formas de excitação (ent rada), com a finalidade de compreender a natureza e o comportament o do sistema;

Se a FT pode ser obtida experimentalmente pela introdu ção de sinais de entrada conhecidos e estudando-se as respo stas obtidas.

A FT fornece uma descrição completa das característi cas dinâmicas do sistema.

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