introdução; gráfico de resposta de freqüência; medidas de...

1Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng

Método da Resposta da Freqüência

Introdução;Gráfico de Resposta de Freqüência;Medidas de Resposta de Freqüência;Especificação de Desempenho no Domínio da Freqüência;Diagrama Logarítmicos e de Magnitude de Fases;;Métodos de Resposta de Freqüência usando MATLAB.


Introdução

A resposta de freqüência de um sistema é definida co mo a resposta de estado estacionário do sistema a um sinal senoidal de entrada.

A senóide é um sinal de entrada peculiar, e o sinal d e saída resultante em um sistema linear, bem como os sinais ao longo dest e, é senoidal em

regime permanente; difere da forma de onda do sinal de entrada somente no que diz respeito a amplitude e ângulo de fase.

Exemplo, seja o sistema Y(s)=T(s)R(s) com r(t)=Asen(ωt), então

1

( ) ( )( )

( ) ( )n

ii

m s m sT s

q s s p=

=+∏

=2 2

( )A

R ss

ωω+

=

Onde pi são pólos distintos. Então, na forma da fração parcial tem-se

12 2

1

( ) n

n

k k sY s

s p s p s

α βω

+= + + ++ + +

L

11 2 2

( ) np tp tn

sy t k e k e

s

α βω

−− + = + + + + L

-1L

α e β são constantes dependentes do problema. Para um sistema estável, todos pitem parte real negativa diferente de zero.


O sinal de saída em RP depende somente da magnitude e fase de T(jω) na freqüência ω.

1

( ) ( )( )

( ) ( )n

ii

m s m sT s

q s s p=

=+∏

=2 2

( )A

R ss

ωω+

=

-12 2

lim limt t

sy(t)

s

α βω→∞ →∞

+ = + L

Uma vez que os termos exponenciais caem a zero quando t→∞, então

-12 2

1( ) ( )

( ) ( ), ( )

sy(t)

s

A T j sen t

A T j sen t onde T j

α βω

ω ω ω φω

ω ω φ φ ω

+ = +

= +

= + =

L


Gráficos de Resposta de Freqüência

A função de Transferência de um sistema G(s) pode ser descrita no domínio de freqüência pela relação

( ) ( ) ( ) ( )s j

G j G s R jXωω ω ω=

= +=

[ ] [ ]( ) Re ( ) ( ) Im ( )R G j X G jω ω ω ω= =

( )( ) ( ) ( ) ( )j jG j G j e Gφ ωω ω ω φ ω==

onde

Alternativamente, a FT pode ser representada por uma magnitude |G(jω)| e por uma fase φ(jω) como

[ ] [ ]2 221 ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

Xtg G R X

R

ωφ ω ω ω ωω

−= = +onde

Plano Polar


O diagrama polar é obtido a partir da relação

2

1

( ) 1( )

( ) 1

V sG s

V s RCs= =

+

Exemplo, Resposta de Freqüência de um filtro RC.Um filtro RC da figura tem a seguinte FT

E a FT senoidal em RP é1

1

1 1 1( )

( ) 1 1G j onde

RC j RCjω ωωω

ω

= = =+ +

12

1

12 2

1 1

( ) ( ) ( )

1 ( / )

( / ) 1

1 ( / )

1 ( / ) 1 ( / )

G j R jX

j

j

ω ω ωω ω

ω ωω ω

ω ω ω ω

+−=

+

= −+ +

=


Uma solução alternativa usa as partes real e imaginaria de G(jω) como

Entao, a magnitude e o ângulo de fase são escritos como

2( ) ( )

( 1)s j

K KG s G j

j j jω ωω ωτ ω ω τ=

= = =+ −

Exemplo, Diagrama Polar de uma função de TransferênciaEste é util para investigar a estabilidade do sistema.Seja a FT

1

2 4 2

1( ) , ( )

KG j e tgω φ ω

ωτω ω τ−= = −

−−

2

2 2 4 2

( )( )

( ) ( )

K K jG j

j

R jX

ω ω τωω ω τ ω ω τω ω

− −= =− +

= +

-180-135-117-90φ(ω)

0Kτ/20,54Kτ/50,5∞|G(ω)|

∞1/τ1/2τ0ω


Em ω=1/τ, tem-se

O ganho logarítmico é

Exemplo, Diagrama de Bode de um filtro RCSeja a FT

22

120log 20log 10log(1 ( ) )

1 ( )G ωτ

ωτ= = − +

+

1 1( )

( ) 1 1G j onde RC

RC j jω τ

ω ωτ= = =

+ +

21

20log 10log 1 10log 2 3,01 dBG ττ

= − + = − = −


A freqüência ω=1/τ é chamada de freqfreq üêüência de cortencia de corte .

O ângulo de fase deste circuito é 1( )j tgφ ω ωτ−= −

Curva assintótica para (jω+1)-1


A maior vantagem do gráfico logarítmico é a conversão de fatores multiplicativos como (jωτ+1) em fatores aditivos 20log (jωτ+1). Onde pode ser verificado

1

2

1 1

(1 )( )

( ) (1 ) (1 (2 / ) ( / ) )k k

Q

b ii

M RN

m k n nm k

K jG j

j j j j

ωτω

ω ωτ ζ ω ω ω ω=

= =

+=

+ + +

∏

∏ ∏

A Magnitude logarítmica de G(jω) é

1 1

2

1

20log ( ) 20log 20 log 1 20log ( ) 20 log 1

20 log 1 (2 / ) ( / )k k

Q MN

b i mi m

R

k n nk

G K j j j

j j

ω ωτ ω ωτ

ζ ω ω ω ω

= =

=

= + + − − +

− + +

∑ ∑

∑

O gráfico do ângulo de fase é

1 0 1 12 2

1 1 1

2( ) (90 ) k

k

Q M Rk n

i mi m k n

tg N tg tgζ ω ω

φ ω ωτ ωτω ω

− − −

= = =

= + − − − − ∑ ∑ ∑


Os 4 tipos diferentes que podem ocorrer em uma FT são:1. Ganho Constante Kb;2. Pólos (ou zeros) na origem (jω);3. Pólos (ou zeros) sobre o eixo real (jωτ+1);4. Pólos (ou zeros) conjugados complexos [1+(2ζ/ωn)jω+(jω/ωn)2;

1.Ganho Constante Kb:1.Ganho Constante Kb: 20log constante em dBbK = ( ) 0φ ω =

O ganho é uma reta horizontal no diagrama de Bode.

2. P2. Póólos (ou zeros) na origem los (ou zeros) na origem (j(jωωωωωωωω):):01

20log 20log dB ( ) 90j

ω φ ωω

= − = −Um pólo na origem:

Pólo múltiplo na origem: 0120log 20 log dB ( ) 90

( )NN N

jω φ ω

ω= − = −

Um zero na origem: 020log 20log dB ( ) 90jω ω φ ω= + = +


3.P3.Póólos (ou zeros) sobre o eixo real los (ou zeros) sobre o eixo real (j(jωτωτωτωτωτωτωτωτ+1):+1):2 21

20log 10log(1 )1 j

ω τωτ

= − ++Um pólo sobre o eixo real:

-90-76,5-58,5-50,3-45-39,5-31,50Aprx. Linear, graus(0)

-84,3-78,7-63,4-52,7-45,0-37,5-26,6-5,7φ(ω), graus(0)

-20-14-6-2,30000Aprx. Assintótica

-20,04-14,2-7,0-4,3-3,0-2,0-1,0-0,0420log|(1+j ωτ)|

10521,3110,760,500,10ωτωτωτωτ


4. P4. Póólos (ou zeros) conjugados complexos los (ou zeros) conjugados complexos [1+(2 ζζζζ/ωωωωn)jωωωω+(jωωωω/ωωωωn)2:O fator quadrático devido a um par de pólos conjugados complexos pode ser escrito na forma normalizada 2 1[1 2 ] / nj u u onde uζ ω ω−+ − =

Assim, 2 2 2 2 12

220log ( ) 10log(( ) 4 ) ( )

1

uG u u u tg

u

ζω ζ φ ω − = − − + = − −

O valor Maximo da resposta de freqüência Mpω ocorre na freqüência de ressonância ωr.

Quando ζ→0, então ωr →ωn, a freqüência natural.

Freqüência de Ressonância21 2r nω ω ζ= −

Magnitude Máxima |G(ωr)|

( ) 12( ) 2 1p rM G

ωω ζ ζ

−

= = −


O valor Maximo da resposta em freqüência Mpω, e a freqüência de ressonância, ωr versus ζ para um par de pólos complexos


Um Resumo de curvas assintóticas referentes aos termos básicos de uma FT é a seguir mostrado


Um sistema pode ter zeros localizados no semiplano s da direita e ainda assim ser ESTAVEL.

Uma FT é chamada de uma FT de Fase MFase Míínimanima se todos os seus zeros estiverem no semiplano s da esquerda.

É chamada de FT de fase NFT de fase N ããoo--MMíínimanima se tiver zeros no semiplano s da direita.

Se os zeros da FT forem simétricos em relação ao eixo jω, não existe mudança na magnitude da FT, e a única diferença ocorre na característica da fase.Por comparação, verifica-se que o deslocamento da fase ao longo da faixa de freqüência de zero à ∞ é MENOR para o sistema com todos os zeros no semiplano s da esquerda.

1( )s z

G ss p

+=+ 2( )

s zG s

s p

−=+


Exemplo:Desenhe o Diagrama de Bode da FT

2

5(1 0,1 )( )

(1 0,5 )(1 0,6( / 50) ( / 50) )

jG j

j j j j

ωωω ω ω ω

+=+ + +

Os fatores, na ordem em que ocorrem à medida que a freqüência cresce são:1. Um Ganho constante K=5;2. Um pólo na origem;3. Um pólo em ω=2;4. Um zero em ω=10;5. Um par de pólos complexos em ω=ωn=50.Primeiramente será calculada a magnitude de cada um dos fatores individuais:1. Ganho constante 20 log 5 = 142. Magnitude do pólo na origem aumento de 0 à ∞ com uma inclinação de -20

dB/década


1. Ganho constante 20 log 5 = 142. Magnitude do pólo na origem aumento de 0 à ∞ com uma inclinação de -20

dB/década3. Aprx. Assintótica da magnitude do pólo ω=2 tem inclinação de -20 db/década

alem da freqüência de corte ω=2, e a magnitude abaixo desta é zero.4. A magnitude assintótica para o zero em ω=10 tem inclinação de +20 db/década.5. A aproximação assintótica para o par de pólos complexos em ω=ωn=50 tem

uma inclinação de -40 db/década devido as formas quadráticas.


Característica de magnitude de G(jω)


A característica de fase individuais para os pólos e zeros são:1. A fase do ganho constante é 00;2. A fase do pólo na origem é uma constante -900;3. Aprx linear para a fase do pólo em ω=2, tem um deslocamento de fase de -450

em ω=2;4. Aprx linear para a fase do zero em ω=10, tem um deslocamento de fase de +450

em ω=10;5. A característica de fase real para o par de pólos complexos em ω=ωn=50 é

mostrado na figura


A característica de fase total é obtida adicionando a fase devida a cada fator.

Para qualquer freqüência pode se calcular o deslocamento de fase real por

0 1 1 11 2 2

2( ) 90

1

utg tg tg

u

ζφ ω ωτ ωτ− − −= − − + −−

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