Analise de Sistemas de Potencia II

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SumrioCAPTULO 1 FLUXO DE POTNCIA ................................................................ 3 1. INTRODUO ................................................................................................... 3

2. MODELOS DOS ELEMENTOS COMPONENTES DOS SISTEMAS DE POTNCIA ................................................................................................................ 4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3. 4. Linhas de Tranmisso ................................................................................. 4 Transformadores em Fase .......................................................................... 5 Transformador Defasador ........................................................................... 8 Geradores e Compensadores ..................................................................... 9 Cargas ...................................................................................................... 10 Capacitores e Indutores em Derivao ..................................................... 10

REPRESENTAO MATRICIAL ..................................................................... 10 FLUXO DE POTNCIA LINEARIZADO............................................................ 12 4.1 4.2 4.3 4.4 Aspectos Gerais ........................................................................................ 13 Linearizao .............................................................................................. 13 Formulao Matricial ................................................................................. 15 Representao das Perdas no Modelo de Fluxo DC ................................. 17

5. FORMULAO BSICA DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTNCIA NO LINEAR ................................................................................................................... 22 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 6. Aspectos Gerais ........................................................................................ 22 Formulao Bsica ................................................................................... 24 Resoluo de Sistemas Algbricos pelo Mtodo de Newton ..................... 26 Fluxo de Potncia pelo Mtodo de Newton ............................................... 30 Mtodo de Newton Desacoplado .............................................................. 38 Mtodo de Newton Desacoplado Rpido .................................................. 42

REFERNCIAS................................................................................................ 46

3

CAPTULO 1 FLUXO DE POTNCIA1. INTRODUOA anlise de fluxo de cargas em redes eltricas consiste basicamente na determinao do estado da rede (i.e. magnitude das tenses nodais e os ngulos de fase), da distribuio dos fluxos e das injenes de potncias ativa e reativa nas barras, dentre outras grandezas de interesse. Nesse tipo de anlise, a modelagem do sistema esttica e a rede representada por um conjunto de equaes e inequaes algbricas. Tais modelos se justificam pelo fato da anlise se referir a situaes em que as variaes das grandezas no tempo so suficientemente lentas, de modo que o efeito transitrio pode ser desconsiderado. Nos sistemas de potncia, os componentes podem ser ligados de duas formas distintas: entre os ns (barras do sistema), como o caso das linhas de transmisso e transformadores, e entre o n de referncia e um n qualquer, como o caso das cargas, dos geradores, compensadores sncronos, etc. Os geradores e as cargas do sistema so tratados como parte externa do sistema. Sendo assim, so modelados como injees constantes de potncia nos ns da rede. A parte interna da rede, formada pelos demais componentes (i.e. linhas de transmisso, transformadores, etc) tratada como um conjunto de circuitos passivos e modelada por meio da matriz de admitncia de barra. Impondo-se a conservao das potncias ativa e reativa em cada n da rede possvel obter as equaes bsicas que regem o comportamento dos fluxos de potnica nas redes eltricas. Em outras palavras, em cada n da rede, a potncia lquida injetada deve igual soma das potncias que fluem para os ns adjacentes. Nas sees seguintes so apresentados os modelos das linhas de transmisso, transformadores em fase com ajuste de tap, transformadores defasadores, geradores, cargas e os reatores e capacitores em derivao (shunt). Em seguida, mostra-se formulao bsica do problema de fluxo de potncia, bem como os mtodos de soluo mais utilizados.

4

2. MODELOS DOS ELEMENTOS SISTEMAS DE POTNCIA

COMPONENTES

DOS

Nesta seo so apresentados os modelos dos elementos de um sistema de potncia, geralmente representados nos estudos de fluxo de potnica.

2.1 Linhas de TranmissoO modelo equivalente da linhas de transmisso Erro! Fonte de referncia no encontrada. frequentemente utilizado nos estudos de fluxo de potncia. Como se observa na Figura 1.1, esse modelo descrito por meio de trs parmetros: resistncia srie , reatncia sria ; e a susceptncia em derivao (shunt) .

k Ikm zkm = rkm + jxkm Imk

m

jb km

sh

sh

jb km

Figura 1.1: Modelo -equivalente da linha de transmisso.

Sejam e as tenses fasorias das barras e respectivamente. A corrente que flui da barra para a barra , pode ser dada por:

,

(

)

(1.1)

ou, ( Logo, a potncia complexa que flui de ) para pode ser obtida por: (1.3) Substituindo o valor de dado em (1.2) em (1.3) chega-se a: (1.2)

5

[( [( ) (

) (

) )

] ] (1.4)

em que

.

Aplicando a frmula de Euler, da em (1.5), em (1.4) e separando-se os termos reais e imaginrios, chega-se as expresses (1.6) e (1.7), as quais regem os fluxos de potncia ativa e reativa, respectivamente, numa linha de transmisso. ( ) (1.5) (1.6) ( ) (1.7)

2.2 Transformadores em FaseDe modo semelhante s linhas de transmisso, os transformadores em fase so representados por uma admitncia em sria e um auto-transformador ideal com relao de transformao , conforme mostrado na Figura 2.

k Ikm 1:tFigura 1.2: Modelo de transformadores.

m p ykm Imk

No modelo da Figura 1.2, se , em que a um nmero real, o transformador est em fase, sendo que apenas a magnitude da tenso alterada. Por outro lado, se , o transformador um defasador, pois alm de mudar a magnitude da tenso, pode tambm mudar o ngulo de defasagem. Considere inicialmente um transformador em fase. Sejam as tenses fasoriais nos pontos , e , respectivamente. Como um nmero real, o ngulo da tenso no ponto tenso no ponto , logo: e

mesmo da

6

(1.8)

Considerando-se que transformador do modelo apresentado na Figura 2 seja ideal, presume-se que as potncias na entrada e na sada sero as mesmas, pois no h perdas. Logo: (1.9) Das relaes (1.8) e (1.9), obtm-se: (1.10) Nota-se que as correntes esto na razo de . e esto defasadas de 180 e suas magnitudes

Suponha agora que o mesmo transformador em fase apresentado anteriormente possa tambm ser representado por um circuito -equivalente, como o mostrado na Figura 3.

k Ikm A Imk

m

B

C

Figura 1.3: Circuito -equivalente para o transformador.

O que se deseja determinar os parmetros , e para que as correntes e sejam as mesmas para os modelos das Figuras 2 e 3. Para tanto, considere primeiro, a corrente do modelo apresentado na Figura 2. ( Levando-se o valor ) ( ) (1.11)

na relao (1.10), chega-se a:

7

(

)

(

) e

(1.12) com base no

Sejam agoras as expresses (1.13) e (1.14) as correntes modelo apresentado pela Figura 1.3. ( ( ) ) ( ) ( )

(1.13) (1.14) nas

Finalmente, igualando os termos que multiplicam as tenses e equaoes (1.11) a (1.14), obtm-se o seguinte sistema de equaes lineares.

(1.15)

Resolvendo o sistema anterior para A, B e C, chega-se a:

( ( )

)

(1.16)

A equaes em (1.16) permitem a anlise do efeito da relao de transformao sobre as magnitudes das tenso e . Considere inicialmente . Neste caso as admitncias e so nulas, e o circuito -equivalente da Figura 1.3 se reduz a uma admitncia srie, com . Para valores de , adimitncia ser negativa (efeito capacitivo) ao passo que ser positiva (efeito indutivo). Desse modo, a magnitude da tenso tende aumentar, enquanto que a magnitude da tenso tende a diminuir. Por outro lado, quando assume valores maiores que 1 (i.e., ), a admitncia ser positiva (efeito indutivo), enquanto que ser negativo (efeito capacitivo). Neste caso, a magnitude da tenso tende a diminuir, enquanto a magnitude da tenso tende aumentar. Para a obteno das equaes de fluxo no transformador em fase, basta multiplicar a tenso pelo conjugado da corrente dada em (1.12). ( ) ( ) ( ) (1.17)

8

(

)

(

)

(

)

(1.18)

2.3 Transformador DefasadorO transformador defasador permite controlar o fluxo de potncia ativa no ramo no qual ele est inserido. Como o prprio nome sugere, o defasador afeta o fluxo de potncia ativa introduzindo uma defasgem entre os ns e do modelo da Figura 1.2, sendo que agora . Para entender o princpio de funcionamento do defasador, considere uma situao hipottica, na qual o sistema opera sem a presena do defasor com o fluxo de potncia no sentido , ou seja ( ). Seja , o ngulo introduzido pelo defasador, i.e., . Se o ramo for radial, o fluxo ficar inalterado, passando a nova abertura angular do ramo a ser dada por , ou seja, a abertura angular sobre a adimitncia srie ficar inalterada ( ), pois os ns p e m sofrero a mesma variao angular ( ). Se o ramo no for radial, situao que realmente tem interesse prtico, o restante do sistema tender a impedir que a abertura angular varie livremente, e a variao introduzida pelo defasador ser tanto menor, quanto mais forte for o sistema de transmisso (ou quanto maior for a magnitude da susceptncia total equivalente entre os ns e , em relao susceptncia do defasador). Neste caso, a abertura angular sobre a adimitncia ykm passar a ser , o que implica um acrscimo no fluxo de potncia ativa no ramo . Raciocnio anlogo se aplica para caso de . Nesta situao, o fluxo no ramo diminuir aps a introduo do defasador. Uma situao extrema ocorre sistemas infinitamente fortes, para os quais os ngulos e so rgidos, isto , no variam com o ngulo introduzido pelo defasador. Neste caso, tem-se , ou seja, a abertura angular sobre a admitncia , aps a introduo do defasor, . Isso significa que todo o ngulo do defasador somado abertura angular existente inicialmente entre os pontos e (se for possitivo, o fluxo de potncia ativa aumentar, e vice-versa). Existem, portanto, duas situaes extremas: (i) o ramo radial, caso em que , significando que o fluxo independe de ; (ii) o ramo no radial e a rede infinitamente forte entre o n k e m, caso em que , significando mxima influncia de sobre . No caso do defasador puro (quando somente as fases das tenso afetadas, tem-se: e so

(1.19)

9

o que equivale a dizer (1.20) Novamente, aplicando o princpio da conservao das potncias, porm utilizando agora a relao dada em (1.19), obtm-se: (1.21) De modo anlogo ao que foi feito para o transformador em fase, as correntes podem ser escritas em funo das tenses. ( ) ( ( ) ) (1.22) (1.23) do ) e

Observe agora que no mais possvel determinar os parmetros , e circuito -equivalente, pois o termo que multiplica na equao (1.22) ( diferente do termo que multiplica na equao (1.23) ( ).

No caso do transformador defasador, as equaes que regem os fluxos de potncias ativa e reativa so, respectivamente: ( ( ) ) ( ( ) ) (1.24) (1.25)

2.4 Geradores e CompensadoresNos estudos de fluxo de potcia os geradores/compensadores so modelados como elementos externos rede. Na formulao bsica do problema de fluxo de potncia, a qual ser vista mais adiante, os geradores so representados pelas injees de potncias ativa e reativa. A Figura 1.4 ilustra a representao de um gerador. No caso de um compensadore sncrono, a potncia ativa injeta nula.

P G QFigura 1.4: Representao dos geradores.

10

2.5 CargasDe modo semelhante aos geradores, as cargas so tambm representadas externamente rede, como injees de potncias ativa e reativa. Embora modelos mais elaborados da carga, nos quais a potncia consumida uma funo da tenso, possam ser utilizados, eles so sero abordados neste documento. O modelo bsico da carga utilizado nos clculos de fluxo de potncia em redes eltricas apresentado na Figura 1.5.

Q

P

Figura 1.5: Representao das cargas.

2.6 Capacitores e Indutores em DerivaoNormalmente, os programas de clculo de fluxo de potncia consideram os bancos de capacitores ou indutores em derivao como sendo parte da rede interna. Logo esses elementos so representados dentro da matriz de admitncia de barra. Normalmente, os bancos de capacitores ou indutores em derivao so especificados em termos de sua potncia para a tenso nominal. Sendo assim, a admitncia a ser adicionada ao elemento da matriz de admitncia nodal, pode ser obtida por:( )

(1.26)

em que a potncia nominal em VA, do elemento em derivao ligado barra k e a tenso nominal de operao do banco de capacitor/indutor ligado barra . Geralmente, nos programas de clculo de fluxo de potncia, o campo destinado potncia dos bancos de capacitores ou indutores em derivao refere-se a potncia liquida injetada por esses elementos no ponto onde esto conectados. Sendo assim, convencionou-se entrar com uma potncia positiva para o banco de capacitores e uma negativa para o banco de indutores.

3. REPRESENTAO MATRICIAL

11 Nesta seo ser apresenta a formulao das equaes dos fluxos de potncias ativa e reativa nos elementos do sistema de potncia utilizando a representao matricial. Para tal considere uma barra k de um sistema hipottico, a qual est ligada a outras barras, conforme se mostra na Figura 1.6.l k

m

n

Figura 1.6: Barra k ligada vizinhaa.

A injeo lquida de potncia na barra pode ser obtida aplicando-se a primeira lei de Kirchoff na Figura 1.6, porm, ao invs de utilizar as correntes, sero utilizadas as potncias que fluem do n .

(1.27)

Supondo inicialmente que a barra est ligada s barras adjacentes por meio de linhas de transmisso, cujo o modelo aquele apresentado na Figura 1.1, tem-se para as potncias lquidas ativa e reativa injetadas na barra as seguintes equaes: ( ) ( )

(1.28)

( ( )

) (1.29)

Observe que os termos que multiplicam a tenso correspondem ao elemento da matriz de admitncia de barra Erro! Fonte de referncia no encontrada., ao passo que os termos que multimplicam a tenso equivalem aos termos da matriz de admitncia de barra. Os elementos da matriz de admitncia de barra so dados por:

(

)

[

(

)]

(1.30)

12

(

)

(

)

(1.31)

Do ponto de vista computacional, as equaes (1.28) e (1.30) no so as formas mais eficiente de se expressar as injees lquidas de potncias ativa e reativa. Primeiro, porque elas esto em funo da admitncia dos elementos da rede e no dos elementos da matriz de admitncia de barra. Segundo, porque o termo somatrio envolve apenas as barras adjacentes barra k (o que implica em um algoritmo seria necessrio uma verificao para testar ). As equaes (1.28) e (1.29) podem ser reescritas conforme mostra-se em (1.32) e (1.33), utilizando os termos da matriz de admitncia de barra. ( )

(1.32)

(

)

(1.33)

Finalmente, para tornar as equaes ainda mais eficientes do ponto de vista computacional, elas podem ser reescritas como mostrado em (1.34) e (1.35).

(

)

(1.34)

(

)

(1.35)

Vale lembrar que as equaes (1.28) e (1.29) poderiam ser escritas para os fluxos nos transformadores em fase e defasadores, resultando tambm nas equaes (1.34) e (1.35), uma vez que relao de transformao e/ou o defasamento esto representados na matriz de admitncia de barra [1].

4. FLUXO DE POTNCIA LINEARIZADO

13

4.1 Aspectos GeraisAntes de dar incio formulao do problema de fluxo de potncia no linear, pertinente apresentar o fluxo de potncia linearizado ou DC. O fluxo de potncia DC uma ferramenta de anlise de sistemas de potncia bastante empregada nos estudos de planejamento de longo prazo. Uma das principais caracterstica dessa ferramenta que a mesma no apresenta problemas de convergncia, o que a torna muito propcia para estudos de longo prazo, quando no se tem um conhecimento detalhado do perfil de tenso do sistema, nem dos suportes de reativo. O fluxo de potncia ativa em uma linha de transmisso, como se ver mais a frente, aproximadamente proporcional abertura angular na linha e se desloca no sentido de ngulos maiores para ngulos menores. A relao entre os fluxos de potncia ativa e as aberturas angulares do mesmo tipo da existente entre os fluxo de corrente e as quedas de tenses em um circuito de corrente contnua. Da surge o nome fluxo de potncia DC. O fluxo de potncia DC baseado no acoplamento entre as variveis e (potncia ativa e ngulo) e apresenta resultados tanto melhores quanto mais elevado o nvel de tenso. Alm disso, o mesmo tipo de relao vlida para linhas de transmisso pode ser estendido tambm para transformadores em fase e defasadores. Entretanto, esse modelo linearizado no aplicvel sistemas de distribuio em baixa tenso, nos quais os fluxos de potncia ativa dependem tambm, de maneira significativa, das quedas de tenso. Embora o modelo de fluxo de potncia DC no leve em considerao as magnitudes das tenses nodais, as potncias reativas e os taps dos transformadores, ele de grande utilidade em fases preliminares de estudos que exigem a nalise de um grande nmero de casos, o que dificilmente poderia ser feito utilizando-se os mtodos convencionais.

4.2 LinearizaoConsidere o fluxo de potncia em uma linha de transmisso, dado pela equao (1.6), que, por questes de convenincia, repetida em (1.36). (1.36) O fluxo no sentido oposto da linha (1.37) Para a obteno das perdas ativas na linha de transmisso basta somar os fluxos e .

14

(

)

(1.38)

Nota-se, portanto na equao (1.38) que a perda ativa na linha de transmisso est associada condutncia da linha, ao quadrado das tenses terminais e ao dobro do produto das tenses terminais pelo cosseno da abertura angular entre os terminais da linha. Retirando-se das equaes (1.36) e (1.37) os termos correspondentes s perdas na linha, chega-se a: (1.39) Adicionalmente, as seguintes aproximaes podem ainda ser introduzidas em (1.39)

(1.40)

Dessa forma, o fluxo pode ser aproximado por:

(

)

(1.41)

Note que a equao (1.41) tem a mesma forma que a lei de Ohm aplicada a um resistor percorrido por corrente contnua, sendo anlogo intensidade de corrente, e anlogos s tenses terminais e anlogo resistncia. Considere agora o fluxo de potncia ativa Pkm em um transformador em fase, dado pela equao (1.42). ( ) ( ) ( ) (1.42)

Novamente, desprezando-se os termos correspondentes perdas e introduzindo as aproximaes apresentadas em (1.40), chega-se a: ( )

(

)

(

)

(1.43)

No caso de um transformador defasador, para o qual a equao de fluxo de potncia ativa repetida em (1.44), procedendo-se de forma anloga ao que foi feito para a linha de transmisso e transformador em fase, chega-se a (1.45) que a

15 equao linearizada do fluxo de potncia ativa num transformador defasador. ( ( ) ) ( ) (1.44)

(1.45)

Note que o fluxo pela equao (1.45) tem duas componentes: uma que depende do estados dos terminais ( ) e, outra, que depende do ngulo do transformador defasador ( ). Considerando que seja constante (no caso de variar automaticamente, pode-se tomar o valor bsico), a equao (1.45) pode ser representada pelo modelo linearizado proposto na Figura 1.7, no qual a componente invariante do fluxo ( ) aparece como uma carga adicional na barra e uma gerao adicional na barra (ou vice-versa, para negativo).

k

m xkm -bkmqkmFigura 1.7: Modelo linearizado de um defasador puro.

-bkmfkm

Imk

bkmqkm

4.3 Formulao MatricialO modelo de fluxo de potncia linearizado ou DC desenvolvido anteriormente pode ser expresso por meio de uma equao matricial. Considere inicialmente que uma determinada barra k do sistema esteja conectadas as barras adjacentes somente por linhas de transmisso. Ento, aplicando a lei de Kirchoff das correntes, tem-se: ( )

(1.46)

em que representa o conjunto das barras vizinhas barra . A equao (1.46) pode ser posta na forma matricial como em (1.47). (1.47) em que o vetor das injees lquidas de potncia ativa, a matriz de susceptncia de barra e o vetor de ngulos das tenses nodais. A matriz composta da seguinte forma:

16

(1.48)

(1.49)

Note que a matriz de susceptncia nodal que aparece em (1.47) singular. Como as perdas foram desprezadas, a soma dos componentes de nula, ou seja a injeo lquida de potncia em uma barra qualquer pode ser obtida pela soma algbrica das demais. Para contornar esse problema, elimina-se uma das equaes do sistema (1.47) e adota-se a barra correspondente como referncia angular ( ). Dessa forma, esse sistema passa a ser no singular com dimenso ( ) e os ngulos das barras restantes podem ser obtidos pelas injees de potncia especificadas nas barras (supe-se que a rede seja conexa). Vale destacar que a construo da matriz segue as mesmas regras para os trs tipos de elementos (linha de transmisso, transformador em fase e transformador defasador). Com relao ao vetor , deve-se levar em conta em sua formao a existncia das injees equivalentes utilizadas na representao dos transformadores defasadores, conforme indicado na Figura 1.7.

Exemplo 4.1:Considere um sistema de potncia com trs barras cujo diagrama unifilar apresentado na Figura 1.8. Deseja-se determinar os ngulos das tenses nodais desse sistema, bem como os fluxos nos circuitos.

1

4

3

2

Figura 1.8: Sistema com quatro barras.

Os dados do sistema so apresentados a seguir.Tabela 1.1: Dados das barras

Barra Gerao (pu) Carga (pu) 1 2 3,5 1,5 -

17

3 4

-

2,2 2,8

Tabela 1.2: Dados das linhas

De Para X (pu) 1 1 2 2 3 3 4 3 4 4 0,15 0,20 0,30 0,25 0,40

Soluo: O primeiro passo construir a matriz de susceptncia de barra:

[

]

Em seguida elimina-se uma linha e uma coluna correspondentes barra de referncia. Neste caso, considerando-se a barra 1 como referncia, tem-se: [ ]

Depois constri-se o vetor das injees de potncia nas [ Finalmente, determina-se o vetor dos ngulos: ]

barras.

[

]

4.4 Representao das Perdas no Modelo de Fluxo DCUma forma de melhorar os resultados do fluxo de potncia linearizado, para que os resultados se aproximem mais daqueles obtidos pelo modelo no linear, incluir a representao das perdas ativas. Para tanto, as perdas so modelas como cargas adicionais distribudas por todas as barras do sistema. Como foi visto anteriormente, a gerao da barra de referncia que fecha o balano entre gerao e carga, deste modo, ao incluir as cargas adicionais para modelar as perdas, as mesmas sero atendidas pela gerao da barra de referncia. Nesta subseo apresentada uma maneira eficiente e barata, do ponto de vista computacional, para representar as perdas na transmisso.

18 Considere novamente a equao da potncia ativa .

(

)

(1.50)

Considerando que a magnitude das tenses nodais Vk e Vm so aproximadamente iguais a 1 e rearanjando os termos da equao (1.50) chega-se a :

(

)

(1.50)

em que representa o conjunto das barras vizinhas da barra prpria barra .

, exlcuindo-se a

Substituindo na equao (1.50) os termos G_kk, Gkm e Bkm conforme indicado em (1.51), obtm-se a equao (1.52)

(1.51)

(

)

(1.52)

Aproximando-se

(1.53)

Obtm-se, finalmente:

(1.54)

19

Observe que o termo comprovar, bata fazer

representa as perdas na linha de transmisso. Para e na equao (1.38), que por

convenincia repetida em (1.55). ( ) (1.55)

Fazendo-se as substituies indicadas anteriormente, chega-se a:

(1.56)

Portanto, o lado esquerdo da equao (1.54) dado pela injeo lquida de potncia ativa na barra menos a metade das perdas ativas de todas linhas adjacentes a esta barra. Ou seja, o efeito das perdas pode ser representado aproximadamente como cargas adicionais obtidas dividindo-se as perdas de cada linha do sistema entre suas barras terminais (metade para cada lado). Dessa forma, o modelo de fluxo DC passa a assumir a forma: (1.57) ou seja, o novo modelo obtido a partir do modelo original ( o vetor aos vetor das injees nodais de potncia ativa. ), adicionando-se

Um procedimento que pode ser adotado na resoluo do sistema (1.57) apresentado a seguir. i) ii) Resolva o sistema (i.e., sem considerar as perdas);

Utilizando os ngulos encontrados no passo (i) calcule as perdas em cada linha e construa o vetor de perdas ( );

iii)

Adicione o vetor de perdas ao vetor de potncias lquidas injetadas e resolva o novo sistema ); |( ) ( ) | e compare com uma

iv)

Determine

tolerncia ( ) desejada. Se o resultado for maior que a tolerncia prossiga para o passo (v), seno encerre o processo. v) Utilizando o vetor de ngulos atual, determine as perdas nas linhas de transmisso e retorne ao passo (iii). Vale salientar que durante todo o processo, a mesma matriz de susceptncia utilizada. Portanto, uma vez obtida a inversa de no primeiro passo, a mesma deve ser guardada para ser utilizada nos passos posteriores.

20

Exemplo 4.2:Considere novamente o sistema do exemplo 4.1, supondo agora que as linhas de transmisso apresentem os seguintes valores de resistncia.Tabela 1.3: Resistncias das linhas do exemplo 4.1

De Para R (pu) 1 1 2 2 3 3 4 3 4 4 0,02 0,02 0,03 0,03 0,04

Faa uma anlise de fluxo de potncia DC para o sistema, cosiderando as perdas na transmisso. Soluo: O primeiro passo resolver o sistema obteve-se os seguintes ngulos em radianos: [ Em seguida, calculam-se as perdas nas linhas. ( ( ( ( ( ) ) ) [ ) ) [ [ ( [ [ ( ( ( ( )] )] )] )] )] , como foi feito no exemplo 4.1, do qual ]

Para montar o vetor das perdas, deve-se somar metade das perdas das linhas em cada uma das barra, na qual a linha est conectada. Como a barra 1 foi adotada como referncia ( ), despreza-se essa barra. Logo: [ ] [ ]

Uma vez obtido o vetor das perdas, o mesmo somado ao vetor das potncias injetadas.

21

[

]

[

]

[

]

O prximo passo obter o novo vetor de ngulos, resolvendo o sistema: ( o que resulta no novo vetor de ngulos [ ] ) ( )

O maior desvio entre o valor atual das perdas e o valor passado : 0,0210, ou seja: |[ ] [ ]|

Assumindo uma tolerncia de 10-3, nota-se que mximo desvio superior tolerncia desejada. Sendo assim deve-se calcular as perdas utilizando os ngulos mais recentes. Os valores das perdas so:

O novo vetor de perdas : [ ]

Somando-se o vetor de perdas ao vetor das potncias lquidas, tem-se: [ E o novo vetor de ngulos : [ ] ] [ ] [ ]

E o maior desvio entre o valor atual das perdas e o valor anterior : |[ ] [ ]|

Portanto, a soluo para o problema :

22

[

]

[

]

[

]

5. FORMULAO BSICA DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTNCIA NO LINEAR 5.1 Aspectos GeraisNa formulao bsica do problema de fluxo de potncia, a cada barra da rede so associadas quatro variveis, sendo que duas delas so incgnitas e as outras duas como dados de entrada. As variveis em questo so: magnitude da tenso nodal; ngulo da tenso nodal; injeo lquida de potncia ativa (gerao menos a carga); injeo lquida de potncia reativa.

Dependendo de quais variveis nodais entram como dados e quais so consideradas como incgnitas, definem-se trs tipos bsicos de barras: PQ so a barras para as quais so fornecidas as potncias ativa ( reativa ( ), e calculados a magnitude de tenso ( ) e ngulo ( ); )e PV so as barras para as quais so fornecidas a magnitude da tenso ( a potncia ativa ( ), e calculados a potncia reativa ( ) e nguo ( ). ) e a Vq (ou referncia) barra para a qual so fornecidos o ngulo ( magnitude da tenso ( ), e calculadas a potncia ativa ( reativa ( ). ) e

) e a potncia

As barras dos tipos PQ e PV so utilizadas para representar, respectivamente, barras de carga e de gerao (incluindo-se os condensadores sncronos). A barra de referncia (Vq) tem a funo de servir como referncia angular para o sistema e fechar o balano de potncia, levando em conta as perdas da transmisso, as quais no so conhecidas antes de ter a soluo final do problema (da a necessidade de se dispor de uma barra do sistema na qual no especificada a potncia ativa). Esses trs tipos de barras que aparecem na formulao bsica so os mais frequentes e mais importantes. Entretanto, existem algumas situaes particulares, como por exemplo, o controle de intercmbio de uma rea e o controle da magnitude de tenso de uma barra, nas quais aparecem outros tipos de barras, tais como: PQV, P e V [2]. O conjunto de equaes do problema de fluxo de potncia composto por duas equaes para cada barra, cada uma delas representando o fato de as potncias ativa

23 e reativa injetadas em um barra serem iguais a soma dos fluxos correspondentes que deixam a barra atravs de linhas de transmisso, transformadores etc. Isso corresponde imposio da primeira lei de Kirchoff e pode ser expresso matematicamente conforme mostra em (1.58) ( ) (1.58) ( ) ( )

em que conjunto das barras vizinhas da barra ; , , magnitudes das tenses das barras terminais do ramo ngulos das tenses das barras terminais do ramo fluxo de potncia ativa no ramo fluxo de potncia reativa no ramo ; ; ; ;

- componente da injeo de potncia reativa devido ao elemento shunt da barra . Como j foi visto anteriormente, nas equaes das injees de potncias ativa e reativa os ngulos e aparecem sempre na forma de , significando que uma mesma distribuio de fluxos na rede pode ser obtida se for somada uma constante arbitrria a todos os ngulos nodais, ou seja, o problema de fluxo de potncia indeterminado nas variveis , o que torna necessria a adoo de uma referncia angular. Vale tambm ressaltar que as equaes apresentadas em (1.58) foram montadas considerando-se a seguinte conveno de sinais: as injees lquidas de potncia so positivas quando entram na barra (gerao) e negativas quando saem da barra (carga); os fluxos de potncia so positivos quando saem da barra e negativos quando entram; para os elementos em derivao (shunt) adotada a mesma conveno que para as injees. Alm do conjunto de equaes em (1.58), h tambm o conjunto de inequaes que representa as restries nas magnitudes das tenses nodais das barras PQ e os limites de injeo de potncia reativa das barras PV, conforme se mostra em (1.59).

(1.59)

24

5.2 Formulao BsicaAs equaes bsicas do fluxo de potncia, as quais j foram deduzidas anteriormente, so: (1.60)

(

)

(

)

(1.61)

para , sendo NB o nmero de barras da rede. Os mtodos computacionais para o clculo do fluxo de potncia so constitudos de duas partes: a primeira, tambm chamada de algoritmo bsico, trata da resoluo por mtodos iterativos de um sistema de equaes algbricas do tipo (1.60) e (1.61); a segunda parte, considera a atuao dos dispositivos de controle e da representao dos limites de operao do sistema. As duas partes podem ser resolvidas alternadamente, intercalando-se a soluo das equaes bsicas com a representao dos controles e limites de operao. Outra possibilidade consiste em introduzir alteraes nas equaes (1.60) e (1.61) para incluir a representao dos dispositivos de controle neste caso, as duas partes so resolvidas simultaneamente [2]. Considere incialmente um problema no qual so dados e , para as barras PQ; e para as barras PV; e e para a barra Vq (referncia angular). O objetivo determinar e nas barras PQ; nas barras PV; e e na barra Vq. Uma vez resolvido esse problema, ser conhecido o estado ( ) para todas as barras da rede, o que torna possvel o clculo de outras variveis de interesse, como por exemplo, os fluxos de potncia nas linhas e transformadores. Sejam e o nmero de barras tipo PQ e PV, respectivamente. O problema formulado anteriormente pode ser decompostos em dois subsistemas de equaes algbricas, conforme se mostra a seguir: Subsistema 1 (dimenso )

Neste subproblema so dados e nas barras PQ e e nas barras PV; pretende-se calcular e nas barras PQ, e nas barras PV. Logo, deve-se resolver um sistema com equaes algbricas no lineares com o mesmo nmero de incgnitas. Matematicamente isso pode ser representado por:

(

) (1.62)

25

(

) (1.63)

Subsistema 2 (dimenso:

)

Aps resolvido o subsistema 1 e, portanto, j sendo conhecidos e para todas as barras, deseja-se calcular e na barra de referncia, e nas barras PV. Trata-se de um sistema com equaes algbricas no lineares com o mesmo nmero de incgnitas, no qual todas incgnitas aparacem de forma explcita, o que torna trivial o processo de resoluo. Em outras palavras, basta que os valores de e sejam aplicados s equaes (1.64) e (1.65) para determinar as grandezas de e .

(

) (1.64)

(

) (1.65)

No processo de resoluo apresentado anteriormente no foram consideradas as restries de operao e a atuao de dispositivos de controle que correspondem a um conjunto adicional de inequaes/equaes. As incgnitas do subsistema 1 podem ser agrupadas no vetor , conforme se mostra a seguir. { { (1.66)

[ ]

em que o vetor dos ngulos das tenses das barras PQ e PV, e o vetor das magnitudes das tenses das barras PQ. As equaes (1.62) e (1.63), que forma o susbsistema 1, podem ser reescritas da seguinte forma: ( ) (1.67)

26

(

) (1.68)

As funes (1.67) e (1.68) podem ser colocadas na forma vetorial, ou seja: ( ( ) ) (1.69) (1.70) o vetor das

sendo o vetor das injees de potncia ativa nas barras PQ e PV, injees de potncia reativa nas barras PQ. Seja agora ( ) funo vetorial dada por (1.71) { {

( )

[

]

(1.71)

Por meio dessa funo, o subsistema 1, dado pelas equaes (1.67) e (1.68), pode ser colocado na forma: ( ) (1.72)

Esse sistema de equaes no lineares pode ser resolvido por um nmero muito grande de mtodos, sendo que os mais eficientes so os mtodos de Newton e o desacoplado rpido. Porm, antes de dar incio ao mtodo de Newton aplicado resoluo do problema expresso em (1.72), na subseo seguinte faz-se uma breve reviso do processo de soluo de equaes algbricas pelo mtodo de Newton.

5.3 Resoluo de Sistemas Algbricos pelo Mtodo de NewtonConsidere inicialmente um sistema unidimensional do tipo ( ) (1.73)

em que ( ) e so escalares. Pretende-se determinar o valor de para o qual a funo ( ) se anula. Em termos geomtricos, como mostra a Figura 1.9, a soluo da equao (1.73) corresponde ao ponto em que a curva corta o eixo .

27

f(x)

f(x0 ) f(x1 ) f(x2 ) x2 x1 x0Figura 1.9: Interpretao grfica do mtodo de Newton.

X

A resoluo do problema proposto em (1.73) pelo mtodo de Newton segue os seguintes passos: i) ii) iii) Fazer e escolher uma soluo inicial ; ( ) ; ;

Calcular o valor da funo ( ) no ponto

Comparar o valor calculado ( ) com a tolerncia especificada e; se ento ser a soluo procurada dentro da faixa de tolerncia

; seno

prossiga para o prximo passo; iv) Linearizar a funo ( ) em torno do ponto [ Taylor: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] por intermdio da srie de

(1.74)

sendo que

.

v)

Resolver o problema linearizado, ou seja encontrar ( ) ( )

tal que:

(1.75) passa a ser: (1.76)

Isso significa que a nova estimativa de

sendo

28

( ) ( ) vi) Fazer e voltar passo (ii).

(1.77)

A variante do mtodo de Newton ilustrada na Figura 1.10 obtida considerando-se a derivada constante, isto , no passo (iv) do algoritmo faz-se ( ) ( ). Nessa verso, o nmero de iteraes, para uma dada tolerncia de convergncia, em geral maior que no mtodo original, mas cada uma das iteraes se torna mais rpida, pois a derivada no precisa ser calculada a cada passo.

f(x)

f(x0 ) f(x1 ) f(x2 ) x3 x2 x1Exemplo 5.1:Considere a funo ( ) , pretende-se encontrar uma das razes dessa funo utilizando o mtodo de Newton. Considere uma tolerncia de e que . Soluo: Primeira iterao: , . ( Com ( ) )

x0

X

Figura 1.10: Variante do mtodo de Newton.

maior que a 10-3, deve-se calcular a nova estimativa de ( ) ( )

Segunda iterao: ( )

29 Como ( ) maior que a tolerncia, calcula-se a nova estimativa de : ( ) ( )

Terceira iterao: ( Como ( )

) maior que a tolerncia, calcula-se a nova estimativa de : ( ) ( )

Quarta iterao: ( Como ( ) a soluo do problema.

) menor que a tolerncia

Exerccio 5.1:Resolva o exemplo 4.1 considerando que a derivada de ( ) ser constante e igual derivada no ponto , i.e., ( ), ser utilizada durante todo o processo iterativo. A soluo final do problema a mesma? O nmero de iteraes maior? Considere agora a resoluo de um sistema composto por matematicamente descrito por (1.78) ( ) sendo ( ) uma funo vetorial com dimenso tambm com dimenso . ( ) [ ( ) [ ( ) ] e ( )] equaes algbricas,

(1.78) o vetor das incgnitas,

A resoluo da equao (1.78) segue, basicamente, os mesmos passos do algoritmo apresentado anteriormente para o caso unidimensional. A principal diferena est no passo (iv), no qual, agora, aparece a matriz jacobiana. A linearizao da funo vetorial ( ) para dada pelo dois primeiros termos da srie de Taylor ( ) ( ) ( ) (1.79)

sendo a matriz jacobiana dada por

30

(1.80)

[ O vetor de correo

]

calculado impondo-se que ( ) ( ) (1.81) pelo mtodo de

O algoritmo para resoluo do sistema de equaes do tipo ( ) Newton apresentado a seguir. i) ii) iii) Fazer e escolher uma soluo inicial ( ) ;

Calcular ( ); Testar a convergncia: se Calcular a matriz jacobiana ( ); Determinar nova soluo : ; o processo convergiu para a soluo

; caso contrrio, prosseguir para o prximo passo; iv) v)

[ ( )] vi) Fazer e retornar para o passo (ii).

( )

Exerccio 5.2:Utilize o mtodo de Newton para resolver o sistema de equaes a seguir: { Considere uma tolerncia de 10-3 e que a e

5.4 Fluxo de Potncia pelo Mtodo de NewtonNesta subseo o mtodo de Newton ser aplicado na resoluo do sistema de equaes que forma o subsistema 1. A ideia central do processo de resoluo do sistema linearizado, consiste em determinar o vetor de correes , tal que:

31

( )

( )

(1.82)

No caso do subsistema 1, tem-se:

( )

[

]

(1.83)

[

]

(1.84)

( )

[

]

(1.85)

Considerando-se as equaes de e dadas em (1.69) e (1.70), e lembrando que e so constantes, a matriz jacobiana pode ser reescrita da seguinte forma:

( )

[

]

(1.86)

As submatrizes que compem a matriz jacobiana , dada em (1.86), so geralmente representadas por:

(1.89)

As componentes das submatrizes { { ( (

,

,

e

so dadas por: ) (1.90) ( )

) (1.91) ( )

32

{ {

( (

) (1.92) )

( (

) (1.93) )

Com base nas equaes (1.90) a (1.93) pode-se concluir que, se o elemento for nulo, ento os elementos , , e tambm sero nulos. Isso implica que as matrizes , , e tm as memas caractersticas de esparsidade que a matriz . O mtodo de Newton aplicado resoluo do subsistema 1 resumido nos passos a seguir: i) Fazer i = 0 e escolher os valores iniciais dos ngulos das tenses das barras PQ e PV ( ), e as magnitudes das tenses das barras PQ ( ); Calcular ( ) para as barras PQ e PV, e determinar os resduos e ; Testar a convergncia: se {| |} e ( ) para as barras PQ, e

ii)

iii)

{|

|}

, o processo

iterativo convergiu para a soluo ( (iv); iv) Calcular a matriz jacobiana ( v) Determinar a nova soluo ( ) [ ) ( (

); caso contrrio, prosseguir no passo

) )

( (

) ] )

Sendo

e

determinados por: ( ( ) ) ( ( ) ]} ) ( ( ) ] )

[

]

{[

[

(1.94)

vi)

Fazer i = i + 1 e voltar para o passo (ii).

33

Exemplo 5.2:Considere um sistema de potncia hipottico composto por duas barras, cujos dados so apresentados a seguirTabela 1.4: Dados das barras

Barra Tipo V (pu) q (Graus) PG(pu) QG (pu) PL(pu) QL(pu) 1 2 Vq PV 1,0 1,0 0,0 0,20 0,0 0,60 0,0 0,0

Tabela 1.5: Dados da linha

Linha r (pu) x (pu) bsh (pu) 1-2 0,2 1,0 0,02

Faa uma anlise de fluxo de potncia para o sistema em questo. Considere a tolerncia para convergncia igual a 0,003 pu ( .). Soluo: A impedncia srie da linha vale . A linha apresenta uma admitncia shunt de A matriz de admitncia nodal : [ Sendo as matrizes e : [ ] [ ] ] , logo a admitncia da linha

.

Com h somente uma barra do tipo PV, o subsistema 1 formado pela seguinte equao:

sendo que A equao para a injeo de potncia na barra 2 dada por: [ ( ) ( )]

Desevolvendo o somatrio da equao anterior e lembrando que a barra 1 a referncia angular do sistema, tem-se: ( )

34 Substituindo os valores e rearranjando os termos, tem-se: ( Logo, a equao de : ( 1 iterao: ) )

(

)

(

)

( ( ( ) ) )

(

)

2 Iterao: ( ) ( )

(

) ( ) ( ( ) )

3 Iterao ( ) ( )

Ento,

a soluo do problema.

Uma vez solucionado o subsistema 1, deve-se calcular a injeo de potncia ativa e reativa na barra V, e a injeo de potncia reativa na barra PV. Para a barra de referncia ou V, tem-se ( )

35

(

)

Desenvolvendo o somatrio da equaes anteriores e substituindo os valores, obtmse: ( )

Ento, para

radianos, tem-se

Para a barra PV, tem-se: ( )

Desenvolvendo o somatrio da equao anterior e substituindo os valores, obtm-se:

Ento, para

radianos, tem-se:

Exemplo 5.3: Considere novamente um sistema de potncia hipottico composto por duas barras, cujos dados so apresentados a seguirTabela 1.6: Dados das barras

Barra Tipo V (pu) q (Graus) PG(pu) QG (pu) PL(pu) QL(pu) 1 2 Vq PQ 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,30 0,0 -0,07

Tabela 1.7: Dados da linha

Linha r (pu) x (pu) bsh (pu) 1-2 0,2 1,0 0,02

Faa uma anlise de fluxo de potncia para o sistema em questo. Considere os seguintes valores para a convergncia do processo: pu.Soluo:

36 Verifica-se que os parmetros da linha de transmisso possui os mesmos valores que do Exemplo 5.2, logo as matrizes e sero as mesmas, ou seja: [ ] [ ]

Como neste caso a barra 2 uma barra PQ, existem duas equaes: uma para a injeo de potncia ativa ( ) e outra para a injeo de potncia reativa ( ). [ ( ) ( )]

[

(

)

(

)]

Substituindo os valores e rearranjando os termos das equaes anteriores, chega-se a: ( )

1 Iterao:

( (

) )

( [ ] [(

)

[ )] [ ( ( ) ] ) [

] ]

37

[ 2 Iterao:

]

[

]

[

]

[

]

[

( (

) ] )

[

]

( [ ] [(

)

[ )] [ ( ( ] [ ) ] ) [

] ]

[ 3 Iterao:

]

[

]

[

]

[

( (

) ] )

[

]

Neste caso tanto do problema :

quanto

so menores que a tolerncia. Portanto, a soluo

[ ]

[

]

Uma vez resolvido o subsistema 1, determinam-se os valores de potncia ativa e reativa na barra de referncia. ( )

Substituindo os valores, chega-se a:

(

)

38

5.5 Mtodo de Newton DesacopladoO mtodo de Newton desacoplado, como o prprio nome sugere, baseia-se no desacoplamento das Pq - QV, ou seja, a matriz jacobiana obtida considerando-se que as sensibilidades e so mais intensas que as sensibilidades e

. Esse tipo de relao , em geral, verificado para sistemas de transmisso em

extra-alta tenso (tenses maiores que 230 kV) e ultra-alta tenso (tenses maiores que 750 kV). O desacoplamento possibilita a adoo de um esquema de resoluo alternado dos subproblemas Pq e QV. Na resoluo do subproblema Pq so utilizados os valores atualizados de V; enquanto que na resoluo do subproblema QV so utilizados os valores atualizados de q. Nesta subseo apresentado o mtodo de Newton desacoplado, no qual as submatrizes e so feitas iguais a zero. vlido salientar que a aproximao feita somente na matriz jacobiana, sendo que os vetores e continuam sendo calculados da mesma forma. Portanto, a aproximao feita na matriz jacobiana altera o processo de convergncia, isto , o caminho percorrido entre o ponto inicial e a soluo, mas no altera a soluo final, pois o problema resolvido continua o mesmo ) ( ) [ ( e ]. Considere as equaes do subproblema 1, postas na forma mostrada em (1.95) ( ( ( ( ) ] ) ) ) ( ( ) ) ) ) ( ( ( ( ) ][ ) ) )

[

[

]

( (

(1.95)

A deduo do mtodo de Newton desacoplado feita em duas etapas: desacoplamento e aplicao do esquema alternado de resoluo. Pelo desacoplamento Pq - QV os termos N e M da equao (1.95) so ignorados, o que torna possvel colocar o algoritmo de Newton na seguinte forma: ( ) ( )

(1.96)

(

)

(

)

(1.97)

39 Observe que as equaes (1.96) e (1.97) permitem que o problema seja resolvido alternadamente. Em outras palavras, as variveis e so atualizadas a cada meia iterao do algoritmo: meia iterao para obter a varivel , utilizando os valores mais recentes de ; e meia iterao para obter a varivel V, utilizando os valores mais recentes de . possvel que em alguns casos os subproblema Pq e QV tenham velocidades de convergncia diferentes: o subproblema Pq, por exemplo, pode convergir antes que o subproblema QV. Em situaes como essa possvel obter alguma vantangem, do ponto de vista computacional, iterando-se apenas com o subproblema ainda no convergido. A seguir, so apresentados os passos necessrio para resolver o problema de fluxo de carga no linear via o mtodo de Newton Desacoplado. i) Fazer (varivel de controle do subproblema Pq), (varivel de

controle do subproblema QV), Pq), ii) iii) Calcular (

(contador de iteraes do subproblema e ;

(contador de iteraes do subproblema QV), ); ( )

Testar a convergncia do subprobelma Pq: se | (viii); seno continuar no para o passo (iv);

|, ir para o passo

iv) v) vi) vii) viii) ix) x) xi)

Resolver o subproblema

(

)

( ;

)

;

Atualizar o vetor de ngulos:

Incrementar o contador de iteraes do subproblema Pq: Fazer Fazer Se Calcular ; ,

;

, soluo do problema foi encontrada, seno, ir para passo (x); ( ); ( ) |, ir para o

Testar a convergncia do subproblema QV: se | passo (xvi), seno continuar no passo (xii); ( ) ( )

xii) xiii) xiv) xv) xvi)

Resolver o subproble

; ; ;

Atulizar o vetor das magnitudes das tenses: Incrementar o contador de iteraes do subproblema QV: Fazer Fazer e voltar para o passo (ii); ;

xvii) Se

, a soluo do problema foi encontrada, seno, voltar para o passo (ii).

40

Exemplo 5.4:Resolver o sistema apresentado no Exemplo 5.3 utilizando o mtodo de Newton Desacoplado. Soluo: As eques dos desvios de potncias ativa e reativa, j foram determinadas no exemplo anterior e so repetidas aqui por convenincia. ( )

1 Iterao Pq: ( | Como | ( )| ( )| ( ) ( ) )

, resolve-se o subproblema ( ( ) ) ( ( ( ) ) )

1 Iterao QV: ( | Como | ( )| ( ) ) | ( ) ( )

, resolve-se o subproblema ( ( ) ) ( ( ( ) ) )

41 2 Iterao Pq: ( | ( ( ( )| ) ) ( ( ( ) ) ) )

2 Iterao QV: ( | ( ( ( ) )| ) ( ( ( ) ) ) )

3 Iterao Pq: ( | ( )| )

Logo, o subproblema Pq convergiu. Segue-se para o passo (viii) do algoritmo

Como

ainda igual a 1, deve-se calcular ( | ( )| )

Como

, prosegue-se para o passo (xvi).

E como :

, ambos os subproblemas esto convergidos. Sendo assim, a soluo

42

[ ]

[

]

5.6 Mtodo de Newton Desacoplado RpidoO mtodo de Newton desacoplado apresentado anteriormente pode ser levemente modificado para dar origem ao mtodo denominado desacoplado rpido. Nessa verso, dependendo das caractersticas do sistema, possvel que a convergncia do processo iterativo ocorra de forma um pouco mais rpida que na verso anteriormente apresentada. Seja a matriz diagonal cujos os elementos no nulos so as magnitudes das tenses nas barras PQ do sistema. Com a ajuda da matriz , as submatrizes e podem ser postas na forma (1.98) (1.99) em que as componentes das submatrizes ( e so dadas por: ) (1.100)

(1.101)

(1.102)

(1.103)

O mtodo desacoplado rpido tem o mesmo algoritmo bsico que o mtodo de Newton desacoplado. A diferena fundamental entre os dois mtodos desacoplados que no mtodos desacoplado rpido so utilizadas as equaes , nas quais aparecem as matrizes constantes e e

, respectivamente.

Nas equaes (1.100) a (1.103) podem ser introduzidas as seguintes aproximaes: a) b) c) muito prximo de 1; , em magnitude, muito maior que , em magnitude, muito maior que . ;

As aproximaes a e b so, em geral, vlidas para sistemas de transmisso, em particular para extra alta tenso (EAT) e ultra alta tenso (UAT). Para linhas de

43

transmisso acima de 230 kV, a relao

tem magnitude maior que 5,

podendo ser da ordem de 20 em linhas de 500 kV. A aproximao c , em geral, tambm vlida pois se baseia no fato de as reatncias shunt (cargas, reatores, capacitores, shunts de linhas etc.) de uma rede de tranmisso serem muito maiores que as resistncias srie (linhas e transformadores). Introduzindo-se as aproximaes a, b e c nas equaes (1.100) a (1.103), obtm-se: (1.104) (1.105) (1.106) (1.107) Considerando-se ainda que e aproximar as submatrizes jacobianas so aproximadamente unitrias, podem-se e por: (1.108) (1.109) em que as matrizes e s dependem dos parmetros da rede. Essas duas matrizes so semelhantes matriz de susceptncias , com a diferena que em no aparecem as linhas e colunas referente barra Vq, e em no aparecem as linhas e colunas referentes s barras PV e barra Vq. Nota-se que as submatrizes e mantm as estruturas das submatrizes jacobianas e . Finalmente, as equaes do mtodo de Newton desacoplado rpido podem ser postas na forma:

(1.110)

(1.111)

As equaes (1.110) e (1.111) entram nos passos (iv) e (xii) do algoritmo apresentado na Seo 5.5 no lugar as equaes e . Algumas melhorias no desempenho do mtodos desacoplado rpido foram observadas quando, na formao da matrizes , desprezam-se as resistncias srie, aproximando dados por: por . Dessa forma, os elementos das matrizes e so

44

(1.112)

(1.113)

(1.114) (1.115) em que e so os elementos da matriz de susceptncia srie de uma linha ou transformador. e a reatncia

Exemplo 5.5:Considere novamente o sistema apresentado no Exemplo 5.3. Resolva o problema de fluxo de potncia no linear pelo mtodos de Newton desacoplado rpido. Soluo: Os passos a serem seguidos so os mesmo do algoritmo do mtodos de Newton desacoplado. A diferena fundamental a utilizao das matrizes constantes e , as quais so dadas por:

Ento, seguindo-se os passos do algoritmo apresentado na Seo 5.5: 1 Iterao Pq:

( | ( ( ) )|

)

(

)

(

)

1 Iterao QV:

45 ( | ( ( ) )| )

(

)

2 Iterao Pq: ( | ( ( ) )| )

(

)

2 Iterao QV: ( | ( ( ) )| )

(

)

3 Iterao Pq: ( | ( )| )

46 ( )

(

)

3 Iterao QV: ( | Como ( )| )

, prosegue-se para o passo (xvi).

Como

, retorna-se ao passo (ii). ( | ( )| )

Como

, prosegue-se para passo (viii).

Como

, ento, o problema est convergido. A soluo final : [ ] [ ]

Nota-se que dentro da tolerncia especificada , os resultados obtidos nos Exemplos 5.3 (mtodo de Newton), 5.4 (mtodo desacoplado) e 5.5 (mtodos desacoplado rpido) so os mesmos.

6. REFERNCIAS[1] Grainger, J. J.; Stevenson, J. W., Power System Analysis, New York: McGraw-Hill, 1994.[2] Monticelli, A. J., Fluxo de Carga em Redes de Energia Eltrica, So Paulo: Edgard

Blucher, 1983.