Analise de Sistemas de Potencia II

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SumrioCAPTULO 1 FLUXO DE POTNCIA ................................................................ 3 1. INTRODUO ................................................................................................... 3

2. MODELOS DOS ELEMENTOS COMPONENTES DOS SISTEMAS DE POTNCIA ................................................................................................................ 4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3. 4. Linhas de Tranmisso ................................................................................. 4 Transformadores em Fase .......................................................................... 5 Transformador Defasador ........................................................................... 8 Geradores e Compensadores ..................................................................... 9 Cargas ...................................................................................................... 10 Capacitores e Indutores em Derivao ..................................................... 10

REPRESENTAO MATRICIAL ..................................................................... 10 FLUXO DE POTNCIA LINEARIZADO............................................................ 12 4.1 4.2 4.3 4.4 Aspectos Gerais ........................................................................................ 13 Linearizao .............................................................................................. 13 Formulao Matricial ................................................................................. 15 Representao das Perdas no Modelo de Fluxo DC ................................. 17

5. FORMULAO BSICA DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTNCIA NO LINEAR ................................................................................................................... 22 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 6. Aspectos Gerais ........................................................................................ 22 Formulao Bsica ................................................................................... 24 Resoluo de Sistemas Algbricos pelo Mtodo de Newton ..................... 26 Fluxo de Potncia pelo Mtodo de Newton ............................................... 30 Mtodo de Newton Desacoplado .............................................................. 38 Mtodo de Newton Desacoplado Rpido .................................................. 42

REFERNCIAS................................................................................................ 46

3

CAPTULO 1 FLUXO DE POTNCIA1. INTRODUOA anlise de fluxo de cargas em redes eltricas consiste basicamente na determinao do estado da rede (i.e. magnitude das tenses nodais e os ngulos de fase), da distribuio dos fluxos e das injenes de potncias ativa e reativa nas barras, dentre outras grandezas de interesse. Nesse tipo de anlise, a modelagem do sistema esttica e a rede representada por um conjunto de equaes e inequaes algbricas. Tais modelos se justificam pelo fato da anlise se referir a situaes em que as variaes das grandezas no tempo so suficientemente lentas, de modo que o efeito transitrio pode ser desconsiderado. Nos sistemas de potncia, os componentes podem ser ligados de duas formas distintas: entre os ns (barras do sistema), como o caso das linhas de transmisso e transformadores, e entre o n de referncia e um n qualquer, como o caso das cargas, dos geradores, compensadores sncronos, etc. Os geradores e as cargas do sistema so tratados como parte externa do sistema. Sendo assim, so modelados como injees constantes de potncia nos ns da rede. A parte interna da rede, formada pelos demais componentes (i.e. linhas de transmisso, transformadores, etc) tratada como um conjunto de circuitos passivos e modelada por meio da matriz de admitncia de barra. Impondo-se a conservao das potncias ativa e reativa em cada n da rede possvel obter as equaes bsicas que regem o comportamento dos fluxos de potnica nas redes eltricas. Em outras palavras, em cada n da rede, a potncia lquida injetada deve igual soma das potncias que fluem para os ns adjacentes. Nas sees seguintes so apresentados os modelos das linhas de transmisso, transformadores em fase com ajuste de tap, transformadores defasadores, geradores, cargas e os reatores e capacitores em derivao (shunt). Em seguida, mostra-se formulao bsica do problema de fluxo de potncia, bem como os mtodos de soluo mais utilizados.

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2. MODELOS DOS ELEMENTOS SISTEMAS DE POTNCIA

COMPONENTES

DOS

Nesta seo so apresentados os modelos dos elementos de um sistema de potncia, geralmente representados nos estudos de fluxo de potnica.

2.1 Linhas de TranmissoO modelo equivalente da linhas de transmisso Erro! Fonte de referncia no encontrada. frequentemente utilizado nos estudos de fluxo de potncia. Como se observa na Figura 1.1, esse modelo descrito por meio de trs parmetros: resistncia srie , reatncia sria ; e a susceptncia em derivao (shunt) .

k Ikm zkm = rkm + jxkm Imk

m

jb km

sh

sh

jb km

Figura 1.1: Modelo -equivalente da linha de transmisso.

Sejam e as tenses fasorias das barras e respectivamente. A corrente que flui da barra para a barra , pode ser dada por:

,

(

)

(1.1)

ou, ( Logo, a potncia complexa que flui de ) para pode ser obtida por: (1.3) Substituindo o valor de dado em (1.2) em (1.3) chega-se a: (1.2)

5

[( [( ) (

) (

) )

] ] (1.4)

em que

.

Aplicando a frmula de Euler, da em (1.5), em (1.4) e separando-se os termos reais e imaginrios, chega-se as expresses (1.6) e (1.7), as quais regem os fluxos de potncia ativa e reativa, respectivamente, numa linha de transmisso. ( ) (1.5) (1.6) ( ) (1.7)

2.2 Transformadores em FaseDe modo semelhante s linhas de transmisso, os transformadores em fase so representados por uma admitncia em sria e um auto-transformador ideal com relao de transformao , conforme mostrado na Figura 2.

k Ikm 1:tFigura 1.2: Modelo de transformadores.

m p ykm Imk

No modelo da Figura 1.2, se , em que a um nmero real, o transformador est em fase, sendo que apenas a magnitude da tenso alterada. Por outro lado, se , o transformador um defasador, pois alm de mudar a magnitude da tenso, pode tambm mudar o ngulo de defasagem. Considere inicialmente um transformador em fase. Sejam as tenses fasoriais nos pontos , e , respectivamente. Como um nmero real, o ngulo da tenso no ponto tenso no ponto , logo: e

mesmo da

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(1.8)

Considerando-se que transformador do modelo apresentado na Figura 2 seja ideal, presume-se que as potncias na entrada e na sada sero as mesmas, pois no h perdas. Logo: (1.9) Das relaes (1.8) e (1.9), obtm-se: (1.10) Nota-se que as correntes esto na razo de . e esto defasadas de 180 e suas magnitudes

Suponha agora que o mesmo transformador em fase apresentado anteriormente possa tambm ser representado por um circuito -equivalente, como o mostrado na Figura 3.

k Ikm A Imk

m

B

C

Figura 1.3: Circuito -equivalente para o transformador.

O que se deseja determinar os parmetros , e para que as correntes e sejam as mesmas para os modelos das Figuras 2 e 3. Para tanto, considere primeiro, a corrente do modelo apresentado na Figura 2. ( Levando-se o valor ) ( ) (1.11)

na relao (1.10), chega-se a:

7

(

)

(

) e

(1.12) com base no

Sejam agoras as expresses (1.13) e (1.14) as correntes modelo apresentado pela Figura 1.3. ( ( ) ) ( ) ( )

(1.13) (1.14) nas

Finalmente, igualando os termos que multiplicam as tenses e equaoes (1.11) a (1.14), obtm-se o seguinte sistema de equaes lineares.

(1.15)

Resolvendo o sistema anterior para A, B e C, chega-se a:

( ( )

)

(1.16)

A equaes em (1.16) permitem a anlise do efeito da relao de transformao sobre as magnitudes das tenso e . Considere inicialmente . Neste caso as admitncias e so nulas, e o circuito -equivalente da Figura 1.3 se reduz a uma admitncia srie, com . Para valores de , adimitncia ser negativa (efeito capacitivo) ao passo que ser positiva (efeito indutivo). Desse modo, a magnitude da tenso tende aumentar, enquanto que a magnitude da tenso tende a diminuir. Por outro lado, quando assume valores maiores que 1 (i.e., ), a admitncia ser positiva (efeito indutivo), enquanto que ser negativo (efeito capacitivo). Neste caso, a magnitude da tenso tende a diminuir, enquanto a magnitude da tenso tende aumentar. Para a obteno das equaes de fluxo no transformador em fase, basta multiplicar a tenso pelo conjugado da corrente dada em (1.12). ( ) ( ) ( ) (1.17)

8

(

)

(

)

(

)

(1.18)

2.3 Transformador DefasadorO transformador defasador permite controlar o fluxo de potncia ativa no ramo no qual ele est inserido. Como o prprio nome sugere, o defasador afeta o fluxo de potncia ativa introduzindo uma defasgem entre os ns e do modelo da Figura 1.2, sendo que agora . Para entender o princpio de funcionamento do defasador, considere uma situao hipottica, na qual o sistema opera sem a presena do defasor com o fluxo de potncia no sentido , ou seja ( ). Seja , o ngulo introduzido pelo defasador, i.e., . Se o ramo for radial, o fluxo ficar inalterado, passando a nova abertura angular do ramo a ser dada por , ou seja, a abertura angular sobre a adimitncia srie ficar inalterada ( ), pois os ns p e m sofrero a mesma variao angular ( ). Se o ramo no for radial, situao que realmente tem interesse prtico, o restante do sistema tender a impedir que a abertura angular varie livremente, e a variao introduzida pelo defasador ser tanto menor, quanto mais forte for o sistema de transmisso (ou quanto maior for a magnitude da susceptncia total equivalente entre os ns e , em relao susceptncia do defasador). Neste caso, a abertura angular sobre a adimitncia ykm passar a ser , o que implica um acrscimo no fluxo de potncia ativa no ramo . Raciocnio anlogo se aplica para caso de . Nesta situao, o fluxo no ramo diminuir aps a introduo do defasador. Uma situao extrema ocorre sistemas infinitamente fortes, para os quais os ngulos e so rgidos, isto , no variam com o ngulo introduzido pelo defasador. Neste caso, tem-se , ou seja, a abertura angular sobre a admitncia , aps a introduo do defasor, . Isso significa que todo o ngulo do defasador somado abertura angular existente inicialmente entre os pontos e (se for possitivo, o fluxo de potncia ativa aumentar, e vice-versa). Existem, portanto, duas situaes extremas: (i) o ramo radial, caso em que , significando que o fluxo independe de ; (ii) o ramo no radial e a rede infinitamente forte entre o n k e m, caso em que , significando mxima influncia de sobre . No caso do defasador puro (quando somente as fases das tenso afetadas, tem-se: e so

(1.19)

9

o que equivale a dizer (1.20) Novamente, aplicando o princpio da conservao das potncias, porm utilizando agora a relao dada em (1.19), obtm-se: (1.21) De modo anlogo ao que foi feito para o transformador em fase, as correntes podem ser escritas em funo das tenses. ( ) ( ( ) ) (1.22) (1.23) do ) e

Observe agora que no mais possvel determinar os parmetros , e circuito -equivalente, pois o termo que multiplica na equao (1.22) ( diferente do termo que multiplica na equao (1.23) ( ).

No caso do transformador defasador, as equaes que regem os fluxos de potncias ativa e reativa so, respectivamente: ( ( ) ) ( ( ) ) (1.24) (1.25)

2.4 Geradores e CompensadoresNos estudos de fluxo de potcia os geradores/compensadores so modelados como elementos externos rede. Na formulao bsica do problema de fluxo de potncia, a qual ser vista mais adiante, os geradores so representados pelas injees de potncias ativa e reativa. A Figura 1.4 ilustra a representao de um gerador. No caso de um compensadore sncrono, a potncia ativa injeta nula.

P G QFigura 1.4: Representao dos geradores.

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2.5 CargasDe modo semelhante aos geradores, as cargas so tambm representadas externamente rede, como injees de potncias ativa e reativa. Embora modelos mais elaborados da carga, nos quais a potncia consumida uma funo da tenso, possam ser utilizados, eles so sero abordados neste documento. O modelo bsico da carga utilizado nos clculos de fluxo de potncia em redes eltricas apresentado na Figura 1.5.

Q

P

Figura 1.5: Representao das cargas.

2.6 Capacitores e Indutores em DerivaoNormalmente, os programas de clculo de fluxo de potncia consideram os bancos de capacitores ou indutores em derivao como sendo parte da rede interna. Logo esses elementos so representados dentro da matriz de admitncia de barra. Normalmente, os bancos de capacitores ou indutores em derivao so especificados em termos de sua potncia para a tenso nominal. Sendo assim, a admitncia a ser adicionada ao elemento da matriz de admitncia nodal, pode ser obtida por:( )

(1.26)

em que a potncia nominal em VA, do elemento em derivao ligado barra k e a tenso nominal de operao do banco de capacitor/indutor ligado barra . Geralmente, nos programas de clculo de fluxo de potncia, o campo destinado potncia dos bancos de capacitores ou indutores em derivao refere-se a potncia liquida injetada por esses elementos no ponto onde esto conectados. Sendo assim, convencionou-se entrar com uma potncia positiva para o banco de capacitores e uma negativa para o banco de indutores.

3. REPRESENTAO MATRICIAL

11 Nesta seo ser apresenta a formulao das equaes dos fluxos de potncias ativa e reativa nos elementos do sistema de potncia utilizando a representao matricial. Para tal considere uma barra k de um sistema hipottico, a qual est ligada a outras barras, conforme se mostra na Figura 1.6.l k

m

n

Figura 1.6: Barra k ligada vizinhaa.

A injeo lquida de potncia na barra pode ser obtida aplicando-se a primeira lei de Kirchoff na Figura 1.6, porm, ao invs de utilizar as correntes, sero utilizadas as potncias que fluem do n .

(1.27)

Supondo inicialmente que a barra est ligada s barras adjacentes por meio de linhas de transmisso, cujo o modelo aquele apresentado na Figura 1.1, tem-se para as potncias lquidas ativa e reativa injetadas na barra as seguintes equaes: ( ) ( )

(1.28)

( ( )

) (1.29)

Observe que os termos que multiplicam a tenso correspondem ao elemento da matriz de admitncia de barra Erro! Fonte de referncia no encontrada., ao passo que os termos que multimplicam a tenso equivalem aos termos da matriz de admitncia de barra. Os elementos da matriz de admitncia de barra so dados por:

(

)

[

(

)]

(1.30)

12

(

)

(

)

(1.31)

Do ponto de vista computacional, as equaes (1.28) e (1.30) no so as formas mais eficiente de se expressar as injees lquidas de potncias ativa e reativa. Primeiro, porque elas esto em funo da admitncia dos elementos da rede e no dos elementos da matriz de admitncia de barra. Segundo, porque o termo somatrio envolve apenas as barras adjacentes barra k (o que implica em um algoritmo seria necessrio uma verificao para testar ). As equaes (1.28) e (1.29)...