SISTEMAS DINMICOS, SISTEMAS DECONTROLE, E AES DE SEMIGRUPOS

Josiney Alves de SouzaUniversidade Estadual de Maring

Centro de Cincias ExatasPrograma de Ps-Graduao em Matemtica

MestradoOrientador: Carlos Jos Braga Barros

25 de Fevereiro de 2005

ndice

1 Sistemas dinmicos 31.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Decomposio de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Atratores e repulsores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Conjuntos transitivos por cadeias . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Sistemas de controle 422.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2 Acessibilidade e controlabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3 Conjuntos controlveis para sistemas de controle . . . . . . . . 59

2.4 Conjuntos de controlabilidade total . . . . . . . . . . . . . . . 732.5 Conjuntos controlveis por cadeias . . . . . . . . . . . . . . . 80

3 Aes de semigrupos 833.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2 Conjuntos controlveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.3 Conjuntos de Transitividade Total . . . . . . . . . . . . . . . . 993.4 Conjuntos de Transitividade por Cadeias . . . . . . . . . . . . 104

1

Lista de Figuras

1.1 Dois conjuntos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Pontos limites em um eixo do plano . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Infinitos conjuntos limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Fluxos no plano e na esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 Decomposies de Morse na esfera . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Decomposies de Morse no disco unitrio . . . . . . . . . . . 171.7 Decomposies de Morse no disco unitrio . . . . . . . . . . . 181.8 Decomposies de Morse no disco unitrio . . . . . . . . . . . 27

2.1 Trajetrias de um sistema de controle . . . . . . . . . . . . . . 482.2 Concatenaes de trajetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3 rbitas pelo semigrupo de um sistema . . . . . . . . . . . . . 562.4 rbitas de interior vazio e de interior no vazio . . . . . . . . 572.5 rbitas de interior vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.6 Atingibilidade de pontos distintos no plano . . . . . . . . . . . 592.7 rbita de interior vazio em tempo limitado . . . . . . . . . . 622.8 Decomposio de um conjunto controlvel invariante . . . . . 792.9 Decomposio de um conjunto controlvel . . . . . . . . . . . 802.10 Um conj. contr. por cadeias e infinitos conj. controlveis . . . 82

3.1 rbita de um ponto no primeiro quadrante do plano . . . . . . 903.2 Cones convexos e um conj. de trans. aproximada . . . . . . . 943.3 Trs conjuntos controlveis no plano . . . . . . . . . . . . . . 95

2

Resumo

Na teoria de sistemas dinmicos, apresentamos o resultado de que uma de-composio de Morse pode ser construda a partir de atratores. Mostramostambm que se existe uma decomposio de Morse mais fina, os conjuntosde Morse coincidem com as componentes conexas do conjunto recorrente porcadeias. Na teoria de sistemas de controle, mostramos que os conjuntos decontrolabilidade para conjuntos controlveis efetivos coincidem com os con-juntos de controlabilidade total com interior no vazio. Na teoria de aesde semigrupos, introduzimos o conceito de conjunto de transitividade total,que generaliza o conceito de conjunto de controlabilidade total. Mostramostambm que um conjunto transitivo por cadeias pode ser construdo comointerseco de conjuntos de transitividade aproximada para semigrupos som-breados, sob a hiptese de transitividade local.

Introduo

A teoria de sistemas dinmicos proveniente do estudo qualitativo de equaesdiferenciais ordinrias. Como em Hirsh-Smale [11] e Sotomayor [18], um sis-tema dinmico apresentado como um fluxo determinado por uma equaodiferencial x0 = X (x), onde X um campo de vetores em Rn. Estes estudosforam estendidos para espaos mtricos em geral, onde um sistema dinmi-co contnuo se define como uma aplicao contnua que mantm as mesmaspropriedades de um fluxo originado de uma equao diferencial.No Captulo 1, desenvolvemos a teoria de Conley sobre sistemas dinmi-

cos contnuos em espaos mtricos (veja [9]). Esta teoria foi abordada porautores como Colonius e Kliemann em [8]. Em nossa exposio, ampliamos ereorganizamos resultados apresentados em [8] e em [9]. Apresentamos tam-bm novos exemplos tendo em vista uma melhor compreenso geomtricados assuntos discutidos. Na seo preliminar, definimos conjunto -limite eestudamos algumas de suas propriedades. Este conceito crucial para o de-senvolvimento da teoria. Em seguida, dando-se nfase especial para o caso deespaos mtricos compactos, apresentamos os conceitos inter-relacionados dedecomposio de Morse, de atratores e de conjuntos transitivos por cadeias.No Captulo 2, desenvolvemos a teoria geomtrica de controle, tendo co-

mo base os trabalhos de Bellicanta [1], de Colonius e Kliemann [8] e de SanMartin [15]. Estudamos sistemas de controle em variedades diferenciveis.Discutimos propriedades de rbitas de sistemas e os conceitos de acessibili-dade e controlabilidade. Em seguida, desenvolvemos uma seo sobre con-juntos controlveis para sistemas de controle. Nesta seo, introduzimos adefinio de conjunto de controlabilidade de um conjunto controlvel, fazendouma analogia com o conceito de conjunto de transitividade de um conjuntocontrolvel para aes de semigrupos como em San Martin e Tonelli [17].Com a definio de conjunto de controlabilidade apresentamos uma relaorelevante entre os conjuntos controlveis e os conjuntos de controlabilidade

1

total definidos por Bellicanta em [1] e tambm estudados neste captulo.Apresentamos exemplos para ampliarmos a teoria e, principalmente, paradestacarmos a geometria do assunto. Finalmente, discutimos conjuntos con-trolveis por cadeias, encerrando a segunda parte desta dissertao.Em alguns casos, um sistema de controle induz uma ao de um semigrupo

de difeomorfismos na variedade diferencivel do sistema. Nesta direo, oconceito de conjunto controlvel foi generalizado por San Martin e Tonelli em[14], [17] e [19] para aes de semigrupos. Outros trabalhos como os de BragaBarros [2] e [6] tambm apresentam estudos sobre conjuntos controlveisneste contexto.No Captulo 3, desenvolvemos um estudo sobre aes contnuas de semi-

grupos topolgicos em espaos topolgicos em geral. Apresentamos o con-ceito de conjunto controlvel a partir de uma relao de equivalncia noconjunto de recorrncia aproximada. Com respeito transitividade de umsemigrupo, introduzimos o conceito de conjunto de transitividade total, oqual no foi estudado anteriormente na literatura. Generalizamos para aesde semigrupos o conceito de controlabilidade total elaborado na teoria desistemas de controle. Em especial, concentramo-nos em apresentar uma re-lao entre os conjuntos de transitividade total e os conjuntos controlveis.Finalmente, desenvolvemos um estudo sobre conjuntos de transitividade porcadeias apresentado em trabalhos de Braga Barros e San Martin [3], [4] e [5].Apresentamos uma generalizao do conceito de transitividade por cadeiasdesenvolvido nas teorias de sistemas dinmicos e sistemas de controle.

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Captulo 1

Sistemas dinmicos

Neste captulo, estudamos propriedades de sistemas dinmicos em espaosmtricos. Os conceitos abordados foram estudados por Colonius e Kliemannem [8] e Conley em [9]. Definiremos os conjuntos -limites, que nos pos-sibilitam interpretar o comportamento assinttico destes sistemas. Apre-sentaremos a definio de decomposio de Morse para sistemas dinmicosem espaos mtricos compactos. Este conceito central neste captulo. Oselementos de uma decomposio de Morse so chamados conjuntos de Morse.Definiremos uma relao de ordem entre estes conjuntos que ser crucial parao desenvolvimento da teoria. Tambm introduziremos os conceitos de con-junto atrator e de conjunto de transitividade por cadeias. Apresentaremosas relaes entre esses conceitos e as decomposies de Morse. Mostraremosque uma decomposio de Morse pode ser construda a partir de seqnciasde atratores e, sob certas hipteses, os conjuntos de Morse coincidem com ascomponentes recorrentes por cadeias.

1.1 Preliminares

Nesta seo, introduziremos os conceitos fundamentais e discutiremos pro-priedades gerais de sistemas dinmicos em espaos mtricos. Este estudo baseado em [8] e [9].Um sistema dinmico determinado por uma aplicao contnua variante

no tempo que origina trajetrias atravs dos pontos do espao considerado.Mais especificamente, temos

Definio 1.1 Seja (M,d) um espao mtrico. Um fluxo ou sistema dinmi-

3

co contnuo uma aplicao contnua : RM M que satisfaz (0, x) =x e (t+ s, x) = (t, (s, x)), para todo x M e todo t, s R.

Fixando-se um ponto x M e t R, respectivamente, temos que asaplicaes

x : R Ms 7 x (s) = (s, x)

e t : M My 7 t(y) = (t, y)

so contnuas. Na verdade, segue direto das propriedades de fluxo que t um homeomorfismo, para todo t R.Para cada x M , o conjunto x (R) denominado rbita de x.As rbitas de um sistema dinmico ou coincidem ou so disjuntas.Vejamos alguns exemplos de sistemas dinmicos.

Exemplo 1.1 Seja M = Rn e consideremos a aplicao

: RRn Rn(t, x) 7 (t, x) = (t+ x1, ..., t+ xn)

onde x = (x1, ..., xn) dado em coordenadas da base cannica de Rn. Aaplicao contnua trivialmente. Alm disso temos que

(0, x) = x e (t+ s, x) = (t+ s+ x1, ..., t+ s+ xn) = (t, (s, x))

para todo x Rn e todo t, s R. Logo, define um fluxo em Rn. Fixando-sex M , a aplicao x (t) = (t, x) define uma equao de uma reta em Rn.Logo, para cada x em M , a rbita de x uma reta passando atravs de x.Agora, fixando-se t R, a aplicao t uma translao em Rn.

Exemplo 1.2 Seja M = GL (n,R) e consideremos

: RGL(n,R) GL(n,R)(t, x) 7 (t, x) = etx

.

Esta aplicao contnua por ser linear em x. Alm disso, temos que

(0, x) = e0x = x e (t+ s, x) = et+sx = etesx = (t, (s, x))

para todo x GL(n,R) e todo t, s R. Assim, define um sistema dinmicoem GL(n,R).

4

Exemplo 1.3 Sejam M uma variedade diferencivel e X um campo de ve-tores diferencivel completo emM . Da teoria de equaes diferenciais temosque as solues x (t) da equao diferencial ordinria x

0 = X (x) originamo fluxo : RM M dado por (t, x) = x (t).

A seguir, definiremos conjunto -limite. Este conjunto uma ferramen-ta importante para o estudo do comportamento assinttico de um sistemadinmico.

Definio 1.2 Seja X um subconjunto de M . Os conjuntos

(X) =x M : existe uma seqncias de pontos (tn, xn) ,tn R e xn X, com tn e (tn, xn) x

(X) =

x M : existe uma seqncias de pontos (tn, xn) ,tn R e xn X, com tn e (tn, xn) x

so denominados, respectivamente, conjunto -limite e conjunto -limite deX.

Em particular, para cada x M temos os seguintes conjuntos:

(x) =y M : existe uma seqncias de pontos x (tn) ,

com tn e x (tn) y

(x) =

y M : existe uma seqncias de pontos x (tn) ,

com tn e x (tn) y

.

Para t R e x M , denotaremos (t, x) = (t, x). Observemosque tambm define um fluxo em M . Um conjunto -limite para um conjunto -limite para . Dessa forma, verificar as propriedades de (X) para se resume em verificar as propriedades de (X) para .Denominamos por sistema dinmico reverso de .

Definio 1.3 Um subconjuntoX M dito invariante se (RX) X.

Observemos que um conjunto invariante X contm inteiramente as tra-jetrias pelo fluxo atravs de qualquer um de seus pontos.Se um subconjunto X M fechado e invariante ento (X) e (X)

esto contidos em X.

5

Proposio 1.4 Os conjuntos -limites so fechados e invariantes. Em par-ticular, se M compacto, os conjuntos -limites so no vazios, compactose invariantes.

Demonstrao: Seja 6= X M . Se (X) um conjunto vazio ou pos-sui apenas pontos isolados segue direto que (X) fechado. Suponhamos (X) 6= e y um ponto de acumulao de (X). Ento, existe uma se-qncia de pontos xn em (X) com xn y quando n . Para cada n,existe uma seqncia de pontos (tnk , x

nk), t

nk R e xnk X, com tnk e

(tnk , xnk) xn. Logo, existe um kn0 N tal que

d ( (tnk , xnk) , xn) 0

.

O fluxo determinado por esse sistema dado por

(t, x) =x1 +

x2a x2aeat, x2e

at.

8

alunos-cceFigura~

Figura~1.3: Infinitos conjuntos limite

Quando t, temos que (t, x)x1 +

x2a, 0. Quando t , temos

que (t, x). Notemos que os pontos do eixo 0x1 so pontos singulares.Neste caso, temos que

((x1, 0)) = ((x1, 0)) = {(x1, 0)} .Para os pontos que no pertencem ao eixo 0x1, temos que

((x1, x2)) =nx1 +

x2a, 0o

e ((x1, x2)) = .

A Figura 1.2 ilustra o comportamento do fluxo.

Exemplo 1.7 Sejam M = R2 e X = (X1,X2) um campo de vetores onde

X1 (x) = x2 + x1x21 + x

22

sen

p

x21 + x22

!e

X2 (x) = x1 + x2x21 + x

22

sen

p

x21 + x22

!.

Para todo x R2 o produto escalar entre x e X (x) dado por

hx,X (x)i = kxk4 sen kxk .

9

alunos-cceFigura~1.3:

A origem 0 de R2 o nico ponto singular. Logo,

(0) = (0) = {0} .

Se kxk = 1n, para n N, ento, a rbita de x pelo fluxo gerado por X

a circunferncia de raio 1ncentrada na origem de R2. Denotemos esta

circunferncia por Cn, para cada n N. Neste caso, temos que

(x) = (x) = Cn.

Se kxk > 1, a rbita de x uma espiral tendendo para o infinito em tempopositivo e se aproximando de C1 em tempo negativo. Assim, temos que

(x) = e (x) = C1.

Se 1n+1

< kxk < 1na rbita de x uma espiral contida na regio entre

as circunferncias Cn e Cn+1. Se n par, a trajetria se aproxima de Cnem tempo positivo e se aproxima de Cn+1 em tempo negativo. Desta forma,temos que

(x) = Cn e (x) = Cn+1.

Se n mpar, a trajetria se aproxima de Cn+1 em tempo positivo e de Cnem tempo negativo. Desta forma, temos que

(x) = Cn+1 e (x) = Cn.

Em qualquer caso (n par ou n mpar) observemos que os conjuntos -limitesesto contidos em circunferncias Cj com j par, e os conjuntos -limitesesto contidos em circunferncias Cj com j mpar, considerando-se pontosno disco unitrio. Podemos observar o comportamento do fluxo na Figura1.3.

1.2 Decomposio de Morse

Nesta seo apresentaremos a definio de decomposio de Morse para sis-temas dinmicos em espaos mtricos compactos. Uma decomposio deMorse contm todos os conjuntos -limites e -limites para o fluxo, o quenos permite descrever o comportamento assinttico do sistema.A partir desta seo, consideraremos M um espao mtrico compacto.

10

Definio 1.5 Um subconjunto Y M dito invariante isolado se este invariante e existe uma vizinhana V (Y ) de Y tal que x (R) V (Y ) im-plica em x Y . Neste caso, a vizinhana V (Y ) dita vizinhana invariantede Y .

Portanto, se uma trajetria est inteiramente contida em uma vizinhanainvariante de um conjunto invariante isolado, ento, esta trajetria deve estarcontida no conjunto.

Definio 1.6 Uma decomposio de Morse de um fluxo em um espaomtrico compacto M uma coleo finita M = {Ci, i = 1, ..., n} de con-juntos compactos no vazios, invariantes isolados e dois a dois disjuntos taisque

1. Para todo x M tem-se (x) , (x) nSi=1

Ci e

2. Supondo que existem Cj0 , Cj1 , ..., Cjl e x1, ..., xl M\nSi=1

Ci com (xk) Cjk1 e (xk) Cjk , para k = 1, ..., l, ento, Cj0 6= Cjl.

Os elementos de uma decomposio de Morse so chamados conjuntos deMorse.

O resultado seguinte apresenta uma propriedade que satisfeita pelosconjuntos de uma decomposio de Morse.

Proposio 1.7 Seja M = {Ci, i = 1, ..., n} uma decomposio de Morsepara um fluxo em M . Se para algum x M e j {1, ..., n} tem-se (x) (x) Cj, ento, x Cj.

Demonstrao: Como M compacto, os conjuntos (x) , (x) no so

vazios. Seja x M tal que (x) (x) Cj. Suponhamos que x /nSi=1

Ci.Como (x) Cj e (x) Cj, segue-se do tem 2 da Definio 1.6 queCj 6= Cj. Desse absurdo, temos que x Ck, para algum k {1, ..., n}. O fatode Ck ser compacto e invariante implica que (x) , (x) Ck. Finalmente,como os conjuntos de Morse so dois a dois disjuntos, temos que Ck = Cj.Portanto, x Cj. 2

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Observemos que se um ponto x deM pertence a algum conjunto de MorseCi de uma decomposioM, ento, a rbita de x e os conjuntos (x) , (x)esto contidos em Ci. Agora, se x exterior a qualquer conjunto de MorsedeM, ento, a rbita de x no intersepta um conjunto de Morse, apesar de (x) , (x)

nSi=1

Ci.A seguir, veremos que a condio 2 da Definio 1.6 crucial para a

definio de uma relao de ordem parcial entre os conjuntos de uma decom-posio de Morse.

Definio 1.8 SejaM uma decomposio de Morse para um fluxo em M .Dados C, C M, definimos a relao C 2 C se, e somente se, existemCj0 = C, Cj1 , ..., Cjm = C e x1, ..., xm M com (xk) Cjk1 e (xk) Cjk, para k = 1, ...,m.

Proposio 1.9 A relao 2 uma relao de ordem entre os conjuntosde Morse de uma decomposio de MorseM = {Ci, i = 1, ..., n}.

Demonstrao: Tomemos x Ci. Pela compacidade e invariana de Ci,temos que (x) Ci e (x) Ci. Logo, Ci 2 Ci, para i = 1, ..., n, mostran-do a propriedade reflexiva. Suponhamos que C 2 C e C 2 C. Obtemos,ento, Cj0 = C, Cj1, ..., Cjm = C e x1, ..., xm M com (xk) Cjk1 e (xk) Cjk , para k = 1, ...,m, onde C = Cjk , para algum k. Como Cj0 =C = Cjm, deve existir algum xkl

nSi=1

Ci, devido a condio 2 da Definio 1.6.Assim, xkl Cl, para algum l {1, ..., n}, logo, (xkl) , (xkl) Cl. Mas, (xkl) Cjkl1 e (xkl) Cjkl , e como os conjuntos de Morse so dois a doisdisjuntos, temos que Cjkl1 = Cl = Cjkl . Assim, M = {Ci, i = 1, ..., n 1}.Aplicando-se o mesmo argumento sucessivamente, mostramos que C = Cjk ,para todo k = 1, ...,m. Portanto, C = C, mostrando a propriedade anti-simtrica. A propriedade transitiva segue diretamente da definio de 2 .2

Como uma recproca, temos o seguinte resultado.

Proposio 1.10 Seja {Ci, i = 1, ..., n} M uma coleo finita de con-juntos compactos no vazios, invariantes isolados e dois a dois disjuntossatisfazendo

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(i) (x) , (x) nSi=1

Ci, para todo x M ;(ii) (x) (x) Ci implica x Ci; e(iii) a relao 2 de ordem entre os conjuntos Ci.Ento, {Ci, i = 1, ..., n} uma decomposio de Morse para o fluxo em

M .

Demonstrao: Para obtermos o resultado, basta mostrarmos que a coleo{Ci, i = 1, ..., n} satisfaz a condio 2 da Definio 1.6. Suponhamos por ab-surdo que existam Cj0, Cj1, ..., Cjl e x1, ..., xl M\

nSi=1

Ci com (xk) Cjk1e (xk) Cjk , para k = 1, ..., l, e Cj0 = Cjl . Para qualquer k = 1, ..., l 1,temos que Cj0 2 Cjk e Cjk 2 Cjl = Cj0 . Como 2 uma relao de ordem,temos que Cjk = Cj0, para todo k = 1, ..., l. Dessa forma, (xk) Cj0 e (xk) Cj0, para todo k = 1, ..., l. Segue pela hiptese (ii) que xk Cj0,contradizendo o fato de xk M\

nSi=1

Ci. Portanto, temos que Cj0 6= Cjl. 2

Enumerando-se os conjuntos de Morse de tal forma que Ci 2 Cj impliquei j, a decomposio de Morse descreve o fluxo atravs de seus movimen-tos a partir dos conjuntos de Morse de ndices inferiores para os de ndicessuperiores.Um sistema dinmico pode no admitir uma nica decomposio de

Morse. Contudo, uma decomposio M = {Ci, i = 1, ..., n} mais fina doque uma decomposioM0 = C0j, j = 1, ...,m se para cada j existe i comCi C0j.

Definio 1.11 Uma decomposio de MorseM para um fluxo emM ditamais fina se para qualquer outra decomposio de MorseM0 tem-se queM mais fina do queM0.

Nem sempre existe uma decomposio de Morse mais fina para o fluxoem M , como podemos observar no Exemplo 1.9.SejamM = {Ci, i = 1, ..., n} eM0 =

C0j, j = 1, ...,m duas decomposi-es de Morse para um fluxo em M . Denotaremos

M M0 = Ci C0j, i, jonde somente os ndices i e j com Ci C0j 6= so admitidos.

13

Proposio 1.12 Sejam M = {Ci, i = 1, ..., n} e M0 =C0j, j = 1, ...,m

duas decomposies de Morse para um fluxo em M . Ento, M M0 uma decomposio de Morse.

Demonstrao: Segue direto da definio de M M0 que seus elemen-tos Ci C0j so conjuntos compactos no vazios e dois a dois disjuntos. Sex Ci C0j, temos que x (R) Ci C0j, pois Ci e C0j so invariantes. Logo,Ci C0j invariante. Alm disso, a interseo das vizinhanas invariantes deCi e C0j uma vizinhana invariante para CiC0j. Portanto, CiC0j invarianteisolado, para todo i, j. Agora, dado qualquer x M e y (x), temos quey Ci e y C0j, para algum i, j. Logo, (x)

Si,j

Ci C0j. Analogamentepara o caso de (x). Portanto,M M0 satisfaz a condio 1 da Definio1.6. Finalmente, suponhamos que existam Ck0 C0k0 , Ck1 C0k1 , ..., Ckm C0kme x1, ..., xm M\

Si,j

Ci C0j com (xl) Ckl1 C0kl1 e (xl) Ckl C0kl ,para l = 1, ...,m. Como Ckl C0kl Ckl, para todo l = 1, ...,m, temos queCk0 6= Ckm, logo, Ck0 e Ckm so disjuntos. Portanto, Ck0 C0k0 6= Ckm C0km,mostrando queM M0 tambm satisfaz a condio 2 da Definio 1.6. 2

Como conseqncia da Proposio 1.12 temos que uma interseo finitade decomposies de Morse para um fluxo em M uma decomposio deMorse.A seguir, apresentaremos alguns exemplos de decomposio de Morse.

Exemplo 1.8 Consideremos o fluxo : R R2 R2 gerado pelo campode vetores do Exemplo 1.5. Vamos definir um sistema dinmico na esferaS R3 de raio 1/2, centrada em (0, 0, 1/2) e com a topologia mtrica induzidade R3. Sejam N = (0, 0, 1) e S = (0, 0, 0) o plo norte e o plo sul de S,respectivamente. Tomemos a projeo estereogrfica : S\ {N} R2 econsideremos a aplicao F : R S\ {N} S\ {N} dada por

F (t, x) = 1 (idR ) (t, x) .

Como F uma composio de aplicaes contnuas temos que F contnua.Alm disso, para todo x S\ {N} e t, s R, temos que

F (0, x) = 1 (0, (x)) = 1 ( (x)) = xe

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Figura~1.4: Fluxos no plano e na esfera

F (t, F (s, x)) = 1 (idR )t, 1 (s, (x))

= 1 (t, (s, (x)))= 1 (t+ s, (x))= 1 (idR ) (t+ s, x)= F (t+ s, x) .

Agora, definamos em S o fluxo : R S S dado por

(t, x) =F (t, x) , se x 6= NN , se x = N

.

Os pontos N e S so os pontos singulares do sistema. Assim,

(N) = (N) = {N} e (S) = (S) = {S} .Denotemos por E o equador de S. Se x E, temos que

(x) = (x) = E.

Se x pertence regio de S entre o plo norte e o equador, temos que

(x) = E e (x) = {N} .Se x pertence regio de S entre o plo sul e o equador, temos que

(x) = E e (x) = {S} .

15

alunos-cceFigura~

Figura~1.5: Decomposies de Morse na esfera

A Figura 1.4 ilustra os movimentos do fluxo. Observemos que os conjuntos dacoleoM = {E, {N} , {S}} so compactos no vazios, invariantes isoladose dois a dois disjuntos. Alm disso, (x) , (x) E {N} {S}, paratodo x S. A relao 2 de ordem entre os elementos deM j que asnicas relaes possveis so

E 2 E, {N} 2 {N} , {S} 2 {S} , {N} 2 E, {S} 2 E.

Finalmente, se (x) , (x) E, ento x E, j que x / E implica (x) /E; se (x) , (x) {N}, ento, x = N , e se (x) , (x) {S}, ento,x = S. Portanto,M define uma decomposio de Morse em S.Denotando por HN e HS respectivamente o hemisfrio norte e o hemis-

frio sul de S, podemos apresentar as possveis decomposies de Morse parao fluxo em S:

M1 = {E, {N} , {S}} , M2 = {E, {N,S}} , M3 = {HN , {S}} ,M4 = {HS, {N}} e M5 = S.

Notemos queM1 a decomposio de Morse mais fina (veja Figura 1.5).

Exemplo 1.9 SejaM = {x R2 : kxk 1} com a topologia mtrica induzi-da de R2. Consideremos o campo de vetores X do Exemplo 1.7 restrito a M .Para cada n natural, denotaremos os conjuntos

Cn =

x M : kxk = 1

n

,

16

alunos-cceFigura~

Figura~1.6: Decomposies de Morse no disco unitrio

Kn =

x M : 1

n+ 1 kxk 1

n

Dn =

x M : kxk 1

n

.

Fixemos um nmero par n e definamos os conjuntos

C1 = C1,Ci = K2i2, para i = 2, ..., n/2,Cn2+1 = Dn

.

Denotando kn = n2 + 1, vejamos que a coleoMkn = {C1, C2, ..., Ckn} defineuma decomposio de Morse para o fluxo gerado por X emM . Os elementosde Mkn so conjuntos compactos no vazios, invariantes isolados e dois adois disjuntos. Alm disso, (x) , (x)

knSi=1

Ci, para todo x M . Agora,

suponhamos que existam Ci0 , Ci1, ..., Cil e x1, ..., xl M\knSi=1

Ci com (xk) Cik1 e (xk) Cik , para k = 1, ..., l. Observemos que (xk) Cik1 implica (xk) Cik1+1, logo, Cik = Cik1+1. Ou seja, Ci0, Ci1, ..., Cil uma seqnciade conjuntos que obedece a ordem dos ndices em Mkn. Assim, temos queCi0 6= Cil. Portanto, Mkn uma decomposio de Morse (veja Figura 1.6).

Neste mesmo exemplo, fixando-se qualquer nmero natural n, a coleoMn = {C1, ..., Cn} onde Ci = Ci para i = 1, ..., n 1 e Cn = Dn tambmdefine uma decomposio de Morse. De fato, os elementos deMn so con-juntos compactos no vazios, invariantes isolados e dois a dois disjuntos.

17

alunos-cceFigura~1.6:

Figura~1.7: Decomposies de Morse no disco unitrio

Alm disso, temos que (x) , (x) nSi=1

Ci, para todo x M . Observemosque um conjunto Ci contm somente conjuntos -limites ou somente conjun-tos -limites para pontos em seu exterior. Agora, suponhamos que existam

Ci0, Ci1 , ..., Cil e x1, ..., xl M\nSi=1

Ci com (xk) Cik1 e (xk) Cik , parak = 1, ..., l, com Ci0 = Cil. Ento, temos que (x1) Ci0 e (xl) Ci0.Neste caso, ou x1 Ci0 ou xl Ci0, o que uma contradio. Logo, Ci0 6= Cile, portanto,Mn uma decomposio de Morse (veja Figura 1.7).Notemos que podemos definir uma decomposio de Morse para cada n

natural. Dessa forma, no existe uma decomposio de Morse mais fina parao fluxo em M .

1.3 Atratores e repulsores

O objetivo desta seo introduzir o conceito de atratores e repulsores parafluxos e apresentar sua relao com as decomposies de Morse. Uma de-composio de Morse pode ser construda a partir de atratores e repulsores,que so conjuntos fechados e invariantes.

Definio 1.13 Dado um fluxo em um espao mtrico compacto M , umconjunto A M um atrator se admite uma vizinhana V tal que (V ) =A. Um repulsor um conjunto R M que possui uma vizinhana V talque (V ) = R.

18

alunos-cceFigura~1.7:

Uma vizinhana V e uma vizinhana V da Definio 1.13 so chamadasrespectivamente vizinhana atratora de A e vizinhana repulsora deR. Comoos conjuntos -limites so compactos e invariantes, segue que os atratores erepulsores tambm o so.Notemos que um repulsor para um fluxo um atrator para o fluxo

reverso .Contudo, assumiremos que o conjunto vazio um atrator.

Proposio 1.14 Se A um atrator em um espao mtrico compacto M eX M um conjunto compacto e invariante, ento, A X um atratorpara o fluxo restrito a X.

Demonstrao: Consideremos X com a topologia induzida e tomemos umavizinhana atratora V de A. Se A X = no h o que demonstrar. SejaA X 6= . Notemos que V X uma vizinhana de A X em X. Como (V ) = A, temos que (V )X = AX. No entanto, se x (V )X, en-to, x intX (V X) e existe uma seqncia { (tn, vn)} convergindo parax, com tn e vn V . Assim, a seqncia { (tn, vn)} est contidaem V X exceto para um nmero finito de termos. Pela invariancia de Xtemos que vn X. Logo, (tn, vn) x, com tn e vn V X.Ou seja, x (V X). Portanto, (V ) X (V X). Desta for-ma, temos que A X (V X). Por outro lado, como (X) Xtemos que (V X) X. Alm disso, (V X) (V ) = A. Logo, (V X) A X. Portanto, (V X) = A X. 2

Lema 1.15 Para toda vizinhana atratora V de um atrator A, existe umt > 0 com fe ( ([t,) V )) int (V ).Demonstrao: Suponhamos por absurdo que para qualquer t > 0, existeum x fe ( ([t,) V )) tal que x / int (V ). Ento, para cada n natural,existe um ponto xn fe ( ([n,) V )) com xn / int (V ). Obtemos, assim,uma seqncia (xn)nN de pontos em M\int (V ). Como M\int (V ) umconjunto fechado, ento, este compacto. Tomando-se uma subseqncia senecessrio, temos que xn x, para algum x M\int (V ). Agora, para cadan, existe uma seqncia (tnk , v

nk ) xn, quando k , com tnk [n,) e

vnk V . Logo, deve existir um k0 natural tal que k > k0 implica em

d ( (tnk , vnk ) , xn) k0. Temos que

dtnkn, v

nkn

, x d

tnkn , v

nkn

, xn+ d (xn, x) 0 tal que fe ( ([t,) V )) int (V ). Denotemos o conjuntoaberto

V =M\fe ( ([t,) V )) .Vejamos que ((,t] V ) M\V . Suponhamos por absurdo quepara algum t0 (,t], existe v0 V com (t0, v0) = x V . Ento,v0 = (t0, x), com t0 [t,) e x V , isto , v0 ([t,) V ), con-tradizendo o fato de v0 V . Dessa forma, temos que (V ) M\V , ecomo M\V M\fe ( ([t,) V )) = V , segue que (V ) V . ComoV aberto, temos que V uma vizinhana de (V ). Resta mostrar que (V ) = A. Dado y (V ), pela invariancia e compacidade de (V ),temos que (y) (V ), logo, (y) M\V , e como A int (V ), segue-seque (y) A = . Portanto, y A. Por outro lado, dado qualquer z A,temos que (z)V = , pois do contrrio, se existisse w (z)V , teramosque (w) (z) e (w) (V ) = A, logo, (z) A 6= , o que contradizz A. Dessa forma, (z) M\V V . Agora, tomemos w0 (z). En-to, w0 V e existe uma seqncia de pontos (tk, z) w0 com tk .Como V aberto, para valores de k suficientemente grandes, temos que (tk, z) V . Evidentemente, (tk, (tk, z)) z, com tk e (tk, z) V , logo, z (V ). Portanto, (V ) = A. 2

O par de conjuntos (A,A) chamado par atrator-repulsor. Como A Ve A M\V , ento, A e A so disjuntos. Notemos que para o atrator trivialM temos que M = .O seguinte resultado apresenta uma propriedade importante de um par

atrator-repulsor.

20

Proposio 1.17 Se (A,A) um par atrator-repulsor e x / AA, ento, (x) A e (x) A.

Demonstrao: Seja x / A A. Como x / A, temos que (x) A 6= .Escolhamos a (x) A. Ento, existe uma seqncia de pontos (tn, x)convergindo para a, com tn . Tomando-se uma vizinhana atratora V deA, temos que a int (V ). Assim, existe um tn0 > 0 com (tn0, x) int (V ).Dado qualquer y (x), existe uma seqncia (tk, x) y, com tk .Mas,

(tk, x) = (tk tn0 + tn0 , x) = (tk tn0 , (tn0, x))logo, (tk tn0, (tn0 , x)) y, com tk tn0 . Como (V ) = A, temosque y A. Portanto, (x) A. Agora, suponhamos por absurdo que existey (x) tal que y / A. Ento, existem a A, uma seqncia (tk, y)convergindo para a, com tk , e uma seqncia (tn, x) convergindopara y, com tn . Como a int (V ), existe um N N tal que (tN , y) int (V ). Pela continuidade de tN , temos que

(tN + tn, x) (tN , y) ,

com tN + tn . Logo, para valores de n suficientemente grandes, (tN + tn, x) int (V ). Evidentemente, temos que

( (tN + tn) , (tN + tn, x)) x

onde (tN + tn) e (tN + tn, x) V . Logo, x (V ) = A, o que uma contradio. Portanto, (x) A. 2

Para o fluxo reverso, o repulsor complementar de A A.O prximo resultado nos d uma condio necessria e suficiente para

que um conjunto compacto e invariante seja um atrator.

Proposio 1.18 Para um fluxo em um espao mtrico compacto M , umconjunto compacto e invariante A um atrator se, e somente se, existe umavizinhana compacta V de A tal que x ((, 0]) * V , para todo x V \A.

Demonstrao: Seja A um atrator e N uma vizinhana atratora de A.Suponhamos que para toda vizinhana aberta V de A existe x V \A talque x ((, 0]) V . Consideremos em particular V N . Para todon N, temos que (n, x) V , e como (n, (n, x)) x, com n,

21

segue que x (V ) A, o que contradiz x V \A. Assim, pelos resultadossobre separabilidade em espaos mtricos, podemos escolher uma vizinhanacompacta V de A tal que x ((, 0]) * V , para todo x V \A. Recipro-camente, seja V uma vizinhana compacta de A tal que x ((, 0]) * V ,para todo x V \A. Ento, existe um t > 0 tal que x ([t, 0]) * V ,para todo x fr (V ). Se y A, ento, y ([0, t]) A int (V ), lo-go, existe uma vizinhana aberta Vy de y tal que ([0, t] Vy) int (V ).Dessa forma, dado qualquer a Vy, temos que a ([0, t]) int (V ). Sejat0 = sup {t : a ([0, t]) V }. Ento, t0 t. Suponhamos que t0 finito.Neste caso, temos que z = (t0, a) V , pois V fechado. No entanto,z / fr (V ), pois

z ([t, 0]) = a ([t0 t, t0]) a ([0, t0]) V.

Logo, t0 no pode ser supremo de {t : a ([0, t]) V }. Assim, t0 infinito, ouseja, a ([0,)) V . Portanto, ([0,) Vy) V . Agora, o conjunto

VA =[yA

Vy

uma vizinhana de A tal que ([0,) VA) V , logo, (VA) V , pois V compacto. Resta mostrar que (VA) = A. Seja z (VA). Ento, z V .Como (VA) invariante, temos que z ((, 0]) (VA) V . Assim,z A e, portanto, (VA) A. Por outro lado, o fato de A ser invarianteimplica que A (A) (VA). Logo, (VA) = A e, portanto, A umatrator. 2

Da Proposio 1.18 seguem dois resultados relevantes.

Corolrio 1.19 Seja S um subespao de M . Se A um atrator em S e S um atrator em M , ento, A um atrator em M .

Demonstrao: Se A um atrator em M , segue da Proposio 1.18 queexiste uma vizinhana compacta VS de A em S tal que x ((, 0]) * VS,para todo x VS\A. Consideremos a vizinhana compacta V de A emM tal que V S = VS. Tomemos a vizinhana compacta N de S talque x ((, 0]) * N , para todo x N\S. Temos que V N umavizinhana compacta de A em M . Seja x (V N) \A. Se x S,ento, x (V S) \A, logo, x ((, 0]) * V S. Como S invari-ante, temos que x ((, 0]) S. Logo, x ((, 0]) * V e, portanto,

22

x ((, 0]) * V N . Se x / S, temos que x ((, 0]) * N , pois x N\S.Logo, x ((, 0]) * V N , para todo x (V N) \A, e o resultado segueda Propisio 1.18. 2

Corolrio 1.20 Um atrator A para um fluxo em M um conjunto invari-ante isolado.

Demonstrao: Sabemos que A um conjunto invariante para o fluxo emM . Alm disso, pela Proposio 1.18, existe uma vizinhana compacta V deA tal que x ((, 0]) * V , para todo x V \A. Suponhamos que x V tal que x (R) V . Em particular, x ((, 0]) V , logo, x A. Portan-to, V uma vizinhana invariante para A. 2

Finalmente, mostraremos a relao que existe entre os pares atrator-repulsor e as decomposies de Morse. Uma decomposio de Morse serenumerada de acordo com a relao de ordem entre seus elementos.

Teorema 1.21 Uma coleo {C1, ..., Cn} de subconjuntos de um espao mtri-co compacto M define uma decomposio de Morse para um fluxo em M se,e somente se, existe uma seqncia de atratores

= A0 A1 ... An =M

tal que Cni = Ai+1 Ai , para 0 i n 1.

Demonstrao: SejaM = {C1, ..., Cn} uma decomposio de Morse para ofluxo. Se n = 1, temos a decomposio de Morse trivial {M}. A seqnciade atratores dada por

= A0 A1 =M.Procedendo por induo, suponhamos que o resultado vlido para valoresm < n. Seja V uma vizinhana compacta de Cn tal que V Ci = , parai {1, ..., n 1}. Se x V \Cn, temos que

(x) C1 ... Cn1pois do contrrio, devido a relao de ordem entre os conjuntos de Morse,teramos (x) , (x) Cn, logo, pela Proposio 1.7, x Cn, o que umacontradio. Assim, x ((, 0]) * V , para todo x V \Cn. Da Proposio

23

1.18 segue que Cn um atrator. Tomemos Cn, o repulsor complementar de CnemM . A coleo {C1, ..., Cn1} est contida em Cn e define uma decomposiode Morse em Cn. Pela hiptese de induo, existe uma seqncia de atratores

= A1 A2 ... An = Cntais que Cnj = Aj+1 Aj , para j = 1, ..., n 1. Observemos que A1 = Cne An = . Como Ai um repulsor em Cn e Cn um repulsor em M , ento,Ai um repulsor em M , para i = 1, ..., n. Dessa forma, seja Ai o atratorcomplementar de Ai em M . Obtemos uma seqncia de atratores

= A0 A1 ... An

onde A1 = Cn e An = M . Como Cn Ai, para i = 1, ..., n, temos queAi Cn. Da Proposio 1.14 temos que (Ai Cn, Ai Cn) um par atrator-repulsor para o fluxo restrito a Cn. Como Ai Cn = Ai o repulsor comple-mentar de Ai em Cn, temos que Ai Cn = Ai. Assim,

Ai+1 Ai = Ai+1 Cn Ai = Ai+1 Ai = Cnipara 1 i n1. Para i = 0, temos que A1A0 = Cn, e segue o resultado.Reciprocamente, seja

= A0 A1 ... An =M

uma seqncia de atratores tal que Cni = Ai+1 Ai , para 0 i n 1.Os elementos da coleo {C1, ..., Cn} so intersees de conjuntos compactose invariantes isolados. Logo, estes elementos so conjuntos compactos e in-variantes isolados. Se i < j, temos que

Cni Cnj = Ai+1 Ai Aj+1 Aj= Ai+1 Aj Aj Aj = .

Logo, os elementos da coleo {C1, ..., Cn} so conjuntos dois a dois disjuntos.Agora, dado qualquer x M , existe um menor ndice i tal que (x) Ai.Alm disso, como

= An An1 ... A0 =Mexiste ummaior ndice j tal que (x) Aj . Notemos que i > 0 e j < n. Co-mo (x) * Ai1, ento, (x)Ai1 = , ou seja, x Ai1. Pela invariancia

24

de Ai1, temos que (x) Ai1, logo, (x) AiAi1 = Cni+1. Analoga-mente, como (x) * Aj+1, temos que x Aj+1. Assim, (x) Aj+1, logo, (x) Aj+1 Aj = Cnj. Suponhamos que j < i 1. Ento, j+1 i 1,logo, Ai1 Aj+1. Dessa forma, x Aj+1Ai1 Aj+1 Aj+1 = , o que um absurdo. Portanto, j i 1, e segue que n j n i+1. Se j = i 1,isto , (x) (x) Cnj, temos que x Aj+1 Aj = Cnj. Segue-seda Proposio 1.10 que a coleo {C1, ..., Cn} uma decomposio de Morsepara o fluxo em M . 2

Corolrio 1.22 Seja M = {C1, ..., Cn} uma decomposio de Morse paraum fluxo em M . Ento, existe uma seqncia de atratores

= A0 A1 ... An =M

tal quen[i=1

Ci =n\i=0

Ai Ai .

Demonstrao: Pelo Teorema 1.21 existe uma seqncia de atratores

= A0 A1 ... An =M

tal que Cnj = Aj+1 Aj , para 0 j n 1. Seja x nSi=1

Ci. Ento, x Cnj, para algum 0 j n 1, logo, x Aj+1 Aj . Conseqentemente,x Ak, para todo k j, e x Al, para todo l j + 1. Logo, x Ai Ai ,para todo i = 0, 1, ..., n. Portanto,

nSi=1

Ci nTi=0

Ai Ai . Por outro lado,

escolhamos y nTi=0

AiAi . Existe um menor ndice j 6= 0 tal que (y) Aj.Assim, (y) Aj1 = , logo, y Aj1. Como (y) Aj 6= , temos quey / Aj . Isto significa que y Aj. Dessa forma, y Aj Aj1 = Cn(j1) .Portanto,

nTi=0

Ai Ai nSi=1

Ci e o resultado segue. 2

Nos exemplos seguintes, construiremos as decomposies de Morse a par-tir de pares atrator-repulsor.

25

Exemplo 1.10 Consideremos M = S e o fluxo como no Exemplo 1.8.Os atratores para o fluxo em S so: , o equador E, o hemisfrio HN , ohemisfrio HS e S. Os repulsores complementares de E,HN e HS so dadosrespectivamente por E = {N,S} ,HN = {S} e HS = {N}.Tomando-se a seqncia de atratores

= A0 A1 = E A2 = HN A3 = S

temos que A1 A0 = E, A2 A1 = {N}, A3 A2 = {S}. Assim, obtemos adecomposio de MorseM1 = {E, {N} , {S}}.Tomando-se a seqncia de atratores

= A0 A1 = E A2 = S

temos que A1 A0 = E, A2 A1 = {N,S}. Assim, obtemos a decomposiode MorseM2 = {E, {N,S}}.A seqncia de atratores

= A0 A1 = HN A2 = S

nos d a decomposioM3 = {HN , {S}} .Por fim, a seqncia de atratores

= A0 A1 = HS A2 = S

nos dM4 = {HS, {N}}.

Exemplo 1.11 Consideremos o fluxo em M = {x R2 : kxk 1} como noExemplo 1.9. O disco Dn =

x M : kxk 1

n

um atrator com vizinhana

atratora Vn =x M : kxk < 1

n1, para qualquer nmero par n. O repulsor

complementar de Dn dado por

Dn =M\Vn =x M : 1

n 1 kxk 1.

Fixemos, ento, um nmero par n e denotemos Ai = Dn2(i1), para i =1, ..., n/2, e An

2+1 =M . Obtemos uma seqncia de atratores

= A0 A1 ... An2+1 =M

26

Figura~1.8: Decomposies de Morse no disco unitrio

tal que

Cn2+1i = Ai+1 Ai = Dn2i M\Vn2(i1)

=

x M : 1

n 2i+ 1 kxk 1

n 2i

= Kn2i

para i = 1, ..., n2 1,

C1 = An2+1 An

2=M C1 = C1 e

Cn2+1 = A1 A0 = Dn M = Dn.

Assim, temos a decomposio de MorseMkn =C1, C2, ..., Cn

2+1

. Agora,

dado qualquer natural n > 1 (para n = 1 o caso ser o trivial) denotemoso conjunto Ai =

x M : 1

2i kxk 1, para i = 1, ..., n 1, e An = M .

Cada conjunto Ai um atrator e seu repulsor complementar dado porAi =

x M : kxk 1

2i+1

, para i = 1, ..., n 1, e An = . Obtemos,

ento, a seqncia de atratores

= A0 A1 ... An =M

tal que

Cni = Ai+1 Ai =x M : 1

2i+ 2 kxk 1

2i+ 1

= K2i+1

para i = 0, 1, ..., n2, e C1 = AnAn1 = D2n1. Portanto,M = {C1, ..., Cn} uma decomposio de Morse (veja Figura 1.8).

27

alunos-cceFigura~

1.4 Conjuntos transitivos por cadeias

Nesta seo, estudaremos os conjuntos transitivos por cadeias para sistemasdinmicos em espaos mtricos compactos. Um de nossos objetivos rela-cionar os conceitos de transitividade por cadeias e decomposio de Morse.Contudo, o conceito de cadeias tambm ser estudado nos contextos de sis-temas de controle e aes de semigrupos.

Definio 1.23 Consideremos um fluxo em um espao mtrico (M,d).Para x, y M e , T > 0, uma (, T )-cadeia de x para y consiste deum nmero natural n, de pontos x0 = x, x1, ..., xn = y M e temposT0, ..., Tn1 T , tais que

d ( (Ti, xi) , xi+1) <

para i = 0, 1, ..., n 1.

Notemos que uma (, T )-cadeia de x para y consiste de uma trajetria comsaltos entre seus finitos pontos. Observemos que se existe uma (, T )-cadeiade x para y e uma (, T )-cadeia de y para z, podemos tomar a concatenaodessas duas cadeias e obter uma (, T )-cadeia de x para z. Em particular, sez = x, obtemos uma (, T )-cadeia de x para x.

Definio 1.24 Um subconjunto X M dito transitivo por cadeias separa todo x, y X e todo , T > 0, existe uma (, T )-cadeia de x para y.

Definio 1.25 Um ponto x M dito recorrente por cadeias se, paratodo , T > 0, existe uma (, T )-cadeia de x para x. Denominaremos conjun-to recorrente por cadeias ao conjunto R de todos os pontos recorrentes porcadeias.

Um conjunto transitivo por cadeias recorrente por cadeias, ou seja, estcontido em R.No Exemplo 1.8, onde M a esfera S R3 de raio 1/2 e centrada em

(0, 0, 1/2), o conjunto recorrente por cadeias consiste da reunio do equadorE com os plos N e S. J no Exemplo 1.9, onde M o disco de raio 1 e Cn

denota a circunferncia de raio 1/n, temos que R = SnN

Cn

{(0, 0)}.

Observemos que a Definio 1.24 no exige que os pontos de uma (, T )-cadeia estejam contidos em X exceto, claro, os pontos das extremidades da

28

cadeia. No entanto, quando um conjunto X transitivo por cadeias contmtodas as suas cadeias, o fluxo restrito aX ser dito transitivo por cadeias. Damesma forma, se X recorrente por cadeias e contm todas as suas cadeias,o fluxo restrito a X ser dito recorrente por cadeias. Em particular, se M recorrente por cadeias ou transitivo por cadeias, o fluxo recorrente porcadeias ou transitivo por cadeias.O seguinte resultado apresenta propriedades do conjunto R.

Proposio 1.26 O conjunto recorrente por cadeias R para um fluxo emM um subconjunto compacto e invariante.

Demonstrao: Vamos mostrar que R fechado. Sejam x fe (R) e, T > 0. Pela continuidade de T , existe um () > 0 tal que d (x, y) < ()implica

d ( (T, x) , (T, y)) < .

Seja = min { () , /2}. A bola aberta B (x, ) contm um ponto y de R.Tomemos a (, 2T )-cadeia de y para y, isto , os pontos y1 = y, y2, ..., yn =y M e tempos T1, ..., Tn1 2T tais que

d ( (Ti, yi) , yi+1) <

para i = 1, ..., n 1. Assim, temos que

d ( (Tn1, yn1) , x) d ( (Tn1, yn1) , y) + d (y, x) < + < .

Alm disso, temos que

d ( (T1 T, (T, y)) , y2) = d ( (T1, y) , y2) < <

onde T1T T . Agora, denotando x0 = xn = x, x1 = (T, y) , xj = yj paraj = 2, ..., n 1, e t0 = T, t1 = T1 T, tj = Tj para j = 2, ..., n 1, obtemosuma (, T )-cadeia de x para x. Logo, x R e, portanto, fe (R) = R. ComoM compacto, segue que R compacto. Para verificar que R invariante,escolhamos x R e t R. Vamos mostrar que (t, x) R. Como t uma aplicao contnua em um espao mtrico compacto, temos que t uniformente contnua. Dados , T > 0, existe um > 0 tal que y, z M comd (y, z) < implica

d ( (t, y) , (t, z)) < .

29

Agora, para , T > 0 existem pontos x0 = x, x1, ..., xk = x M e temposT0, ..., Tk1 T com

d ( (Ti, xi) , xi+1) <

para i = 0, ..., k 1. Assim, obtemos uma seqncia de pontos (t, x0) = (t, x) , (t, x1) , ..., (t, xk) = (t, x) M e tempos T0, ..., Tk1 T taisque

d ( (Ti, (t, xi)) , (t, xi+1)) = d ( (t, (Ti, xi)) , (t, xi+1)) < .

isto , obtemos uma (, T )-cadeia de (t, x) para (t, x). Portanto, (t, x) R. 2

Um conjunto X M dito maximal satisfazendo a propriedade detransitividade por cadeias se ele for maximal com respeito a incluso. Daproposio seguinte concluiremos que um conjunto transitivo por cadeiasmaximal um conjunto compacto.

Proposio 1.27 Se um subconjunto X M transitivo por cadeias, en-to, seu fecho tambm o .

Demonstrao: Como X R, temos que fe (X) R, pois R fechado.Dados x, y fe (X) e , T > 0, escolhamos x0 X tal que x0 B (x, /2).Tomemos a (/2, T )-cadeia de x para x, isto , os pontos x0 = x, x1, ..., xn =x M e os tempos T0, ..., Tn1 T tais que

d ( (Ti, xi) , xi+1) T e x1 = (T0 + tk0 , x). Notemos que (tl0, x) = (T1, x1). Dessa forma, os pontos x0 = a, x1, x2 = b e os temposT0, T1 > T formam uma (, T )-cadeia de a para b. Portanto, (x) transitivopor cadeias. Vamos mostrar que (x) tambm transitivo por cadeias.Sejam a, b (x) e , T > 0. Existe uma seqncia (tk, x) convergindopara a e uma seqncia (tl, x) convergindo para b, com tk, tl . Ento,existe um l0 N tal que

d ( (tl0, x) , b) <

com tl0 > T . Da continuidade de tl0 temos que (tl0 + tk, x) convergepara (tl0, a). Agora, escolhamos k0 N tal que tk0 < 2tl0 T e

d ( (tl0 + tk0, x) , (tl0 , a)) < .

31

Denotemos x1 = (tl0 + tk0 , x), T0 = tl0 e T1 = 2tl0 tk0 > T . Ob-servemos que (tl0, x) = (T1, x1). Assim, os pontos x0 = a, x1, x2 = b e ostempos T0, T1 > T definem uma (, T )-cadeia de a para b. Portanto, (x) transitivo por cadeias. 2

Corolrio 1.30 Se para algum x M , tem-se (x) = M , ento, M transitivo por cadeias.

O resultado abaixo devido a Blaschke.

Teorema 1.31 O conjunto dos subconjuntos fechados no vazios de um es-pao mtrico compacto um espao mtrico compacto com a mtrica de Haus-dor

dH (A,B) = max

maxaA

minbB

d (a, b)

,maxbB

minaA

d (a, b)

.

Observemos que se existe uma (, T )-cadeia de x para y, ento, existeuma (0, T 0)-cadeia de x para y, para todo 0 > e T 0 < T .

Proposio 1.32 O fluxo restrito a um conjunto X transitivo por cadeiasmaximal transitivo por cadeias. Em particular, o fluxo restrito a R recorrente por cadeias.

Demonstrao: Sejam x, x0 X. Para cada p N e T > 0, existem pontosx0 = x, x1, ..., xnp = x

0 M e tempos T p0 , ..., T pnp1 T tais que

d ( (T pi , xi) , xi+1) 0tal que a, b M com d (a, b) < pi implica

d ( (T pi , a) , (Tpi , b)) max {3q, 1/}e dH (Kp,K) < . Dessa forma, podemos escolher um x0i K tal qued (xi, x

0i) < , para cada i = 0, ..., np 1, e tambm escolhemos x0np K

com dxnp , x

0np

< . Assim, obtemos pontos x00, x

01, ..., x

0np K e tempos

T p0 , ..., Tpnp1 T tais que

d (T pi , x

0i) , x

0i+1

d ( (T pi , x0i) , (T

pi , xi)) + d ( (T

pi , xi) , xi+1) +

+dxi+1, x

0i+1

max {5q, 1/}, obtemos

uma (1/q, T )-cadeia de x000 para x00np. Aplicando-se este processo sucessiva-

mente podemos alcanar y a partir de x0 e alcanar z a partir de xnp atravsde bolas e construir uma (1/q, T )-cadeia em K de y para z, para todo q N.Portanto, K transitivo por cadeias. Finalmente, o fato de X K 6= implica que X K transitivo por cadeias. Segue-se da maximalidade de Xque K X. Logo, existe uma (, T )-cadeia em X de x para x0, para todo, T > 0. Portanto, o fluxo restrito a X transitivo por cadeias. 2

A seguir, vamos mostrar que as componentes conexas do conjunto recor-rente por cadeias R coincidem com os conjuntos transitivos por cadeiasmaximais. Antes disso, precisamos verificar o seguinte resultado.

33

Proposio 1.33 Seja X M um subconjunto fechado. Se X recorrentepor cadeias e conexo, ento, X transitivo por cadeias. Por outro lado, se ofluxo restrito a X transitivo por cadeias, ento, X recorrente por cadeiase conexo.

Demonstrao: Sejam x, y X e , T > 0. Cobrimos X com bolas abertasde raio /4. Como X compacto, podemos tomar uma subcobertura finita

X nSi=1

B (xi, /4), x1, ..., xn X. Para cada i, consideremos a (/4, T )-

cadeia de xi para xi, ou seja, os pontos xi0 = xi, xi1, ..., x

iki= xi em M e os

tempos T i0, ..., Tiki1 T tais que

dT iji , x

iji

, xiji+1

0

(X, , T ).

Observemos que se X transitivo por cadeias ou recorrente por cadeias,ento, X (X). Por outro lado, x (x) implica que x recorrente porcadeias.Nos resultados seguintes apresentaremos algumas propriedades dos con-

juntos (X, , T ) e (X). Na Proposio 1.37 mostraremos uma relaoentre os conjuntos limites por cadeias e os conjuntos -limites para um fluxoem M . A Proposio 1.38 relaciona os conjuntos limites por cadeias com osatratores.

35

Proposio 1.36 Para X M e , T > 0, o conjunto (X, , T ) aberto.

Demonstrao: Seja y (X, , T ). Ento, existem x X, pontos x0 =x, ..., xn = y M e tempos T0, ..., Tn1 T tais que d ( (Ti, xi) , xi+1) < ,para i = 0, ..., n 1. Denotando r = d ( (Tn1, xn1) , y), seja r < r0 < .Dado qualquer z B (y, r0 r), temos que

d ( (Tn1, xn1) , z) d ( (Tn1, xn1) , y) + d (y, z) < r + r0 r = r0 < .

Logo, obtemos uma (, T )-cadeia de x para z, com x X, ou seja, z (X, , T ). Assim, B (y, r0 r) (X, , T ) e, portanto, (X, , T ) aber-to. 2

Proposio 1.37 Para X M , tem-se (X) (X), e para todo , T >0, tem-se (X) ( (X, , T )). Em particular, (X) ( (X, , T )),para todo , T > 0.

Demonstrao: Se y (X), existe uma seqncia (tk, xk) y, comxk X e tk . Dados , T > 0, existe um K N tal que k Kimplica d ( (tk, xk) , y) < . Como tk , podemos escolher um tk0 >max {tK , T}. Assim, existe um ponto xk0 X e um tempo tk0 > T tais qued ( (tk0, xk0) , y) < , ou seja, existe uma (, T )cadeia de xk0 para y. Logo,y (X) e, portanto, (X) (X). Agora, seja z (X). Para cadan N, existem xn X e uma (1/n, n)-cadeia de xn para z, isto , existempontos xn0 = xn, x

n1 , ..., x

nkn= z M e tempos Tn0 , ..., T nkn1 n tais que

dT njn, x

njn

, xnjn+1

T e obtermos uma seqncia

Tnkn1, x

nkn1

z, com T nkn1

e xnkn1 (X, 1/n, n) (X, , T ). Logo, z ( (X, , T )) e, portanto, (X) ( (X, , T )), para todo , T > 0. 2

36

Proposio 1.38 Para X M , o conjunto (X) a interseo de todosos atratores contendo (X).

Demonstrao: Para , T > 0, definamos o conjunto

V,T = fe ( (X, , T )) .

Se y (V,T ), existe uma seqncia (tn, xn) y, com xn V,T e tn .Ento, podemos escolher um n0 N suficientemente grande tal que tn0 > Te

d ( (tn0, xn0) , y) 0 tal que a, b M comd (a, b) < implica d ( (tn0 , a) , (tn0, b)) < /2. Como xn0 V,T , a bolaB (xn0 , ) contm um ponto z de (X, , T ) e

d ( (tn0 , xn0) , (tn0 , z)) 0

( (X, , T )) \,T>0

(V,T ) .

Por outro lado, como (V,T ) (X, , T ), temos que\,T>0

(V,T ) \,T>0

(X, , T ) = (X) .

37

Logo, (X) =T

,T>0

(V,T ). Resta mostrar que todo atrator A contendo

(X) faz parte da interseoT

,T>0

(V,T ). Para isso, basta mostrar que

(X) A. Com efeito, tomemos uma vizinhana atratora V de A. PeloLema 1.15, existe um t > 0 tal que fe ( ([t,) V )) int (V ). Observe-mos que A fe ( ([t,) V )), pois (V ) = A. Sejam

0 < < inf {d (a, b) : a fe ( ([t,) V )) , b M\int (V )}

e N uma /2-vizinhana aberta de fe ( ([t,) V )). Como (X) A,podemos escolher um tempo T tal que ([T,) V ) N e T > t. Sejay (X) . Para cada n N tal que n > T e 1/n < /2, existem pontosxn0 , x

n1 , ..., x

nkn= y em M , com xn0 X, e tempos T n0 , ..., T nkn1 n tais que

dTnin , x

nin

, xnin+1

T e

d ( (T0 + tl0, x1) , (T0, a)) < .

Denotando y1 = (T0 + tl0, x1) e T1 = T0 tl0 > T , os pontos y0 =a, y1, y2 = x1 e os tempos T0, T1 > T so tais que

d ( (T0, a) , y1) < e d ( (T1, y1) , y2) = d (x1, x1) = 0 < .

Assim, obtemos uma (, T )-cadeia de a para x1. Agora, tomemos b (xk).Ento, b (xk) Ci0 . Como Ci0 transitivo por cadeias e comtm a,existe uma (, T )-cadeia de b para a. Dessa forma, podemos construir uma(, T )-cadeia de xk para x1. Analogamente, como (xj+1) , (xj) Cij ,existe uma (, T )-cadeia de xj para xj+1, para todo , T > 0 e j = 1, ..., k1.Assim, obtemos uma (, T )-cadeia de x1 para xk, para todo , T > 0. Is-to significa que x1 e xk so recorrentes por cadeias, contradizendo o fato

40

de x1, xk /nSi=1

Ci = R. Para mostrar que as componentes recorrentes so

conjuntos invariantes isolados, denotemos por Vi uma vizinhana aberta deCi, para cada i, de forma que V1, ..., Vn sejam conjuntos dois a dois disjun-tos. Suponhamos que x (R) Vi. Como (x) Cj, para algum j, existeum t > 0 tal que (t, x) Vj. Desta forma, devemos ter que Cj = Ci.Analogamente, mostramos que (x) Ci. Assim, (x) , (x) Ci, lo-go, x Ci. Assim, Vi uma vizinhana invariante para Ci. Portanto,{C1, ..., Cn} uma decomposio de Morse. Resta mostrar que esta decom-posio de Morse a mais fina. Suponhamos que existe uma decomposiode Morse M = {C1, ..., Cm} mais fina do que {C1, ..., Cn}. Ento, para al-gum conjunto Ci existe um conjunto Cj tal que Cj Ci, i {1, ..., n} ej {1, ...,m}. Mas,

nSi=1

Ci = R mSi=1

Ci. Logo, Ci Cj0, para algumj0 {1, ...,m}. Assim, temos que Cj Ci Cj0, o que implica Cj = Cj0.Logo, Cj = Ci e, portanto,M = {C1, ..., Cm}.Finalmente, como o fluxo restrito s componentes recorrentes de R

transitivo por cadeias, segue que o fluxo restrito aos conjuntos de Morse transitivo por cadeias. 2

Assim, quando existe uma decomposio de Morse mais fina para umfluxo em M , os conjuntos de Morse so conexos.No Exemplo 1.8, vimos que a decomposio de Morse mais fina para o

fluxo na esfera S a decomposio M = {E, {N} , {S}}. Neste caso, osconjuntos E, {N} e {S} so as componentes recorrentes por cadeias de R.Agora, no Exemplo 1.9, no existe uma decomposio de Morse mais fina

para o fluxo em M . As componentes recorrentes por cadeias de R so ascircunferncias de raio 1/n mais a origem do R2. Contudo, R possui umnmero infinito de componentes conexas.

41

Captulo 2

Sistemas de controle

Neste captulo, apresentamos um estudo sobre a teoria de sistemas de con-trole em variedades diferenciveis. Como base para este estudo, temos ostrabalhos de Bellicanta [1], Colonius e Kliemann [8] e San Martin [15]. Dis-cutiremos os conceitos de acessibilidade e controlabilidade de um sistema,seguindo com a definio de conjunto controlvel e conjunto de controlabili-dade total. Tambm introduziremos o conceito de conjunto de controlabili-dade para conjuntos controlveis. Este conceito nos permitir relacionar deforma mais especfica os conjuntos controlveis com os conjuntos de controla-bilidade total. Enfim, tambm estudaremos os conjuntos de controlabilidadepor cadeias, tendo em vista uma generalizao deste conceito no Captulo 3.

2.1 Preliminares

Nesta seo, vamos definir sistema de controle e verificar as principais pro-priedades das solues de suas equaes deferenciais. Em especial, definire-mos grupo e semigrupo de um sistema.Um sistema de controle formado por uma famlia de equaes diferen-

ciais ordinrias, onde cada uma das equaes fornece uma forma diferentede funcionamento para o sistema. Essa famlia de equaes depende de umconjunto especial de funes reais chamadas de funes de controle. Maisprecisamente,

Definio 2.1 Um sistema de controle constitudo por

42

1. Um espao de faseM , que uma variedade de classe C e de dimensom;

2. Um conjunto de controle U Rn e um conjunto de funes de controleadmissveis U = {u : R U};

3. Uma famlia de equaes diferenciais

x0 = X (x, u (t))

dependendo das funes de controle, onde X : M Rn TM declasse C.

O conjunto de controle U da definio acima um subconjunto qualquerdo Rn. Denominaremos de controle a cada elemento de U .O conjunto U das funes de controle admissveis tal que cada u U

localmente integrvel.

Definio 2.2 Sejam u1, u2 U e s R. Denominamos s-concatenao deu1 e u2 a funo u : R U dada por

u(t) =

u1(t), se t 6 su2(t s), se t > s

.

Assumiremos as seguintes propriedades:

1. Dados u U e s R, a funo de controle u (+ s) (t) = u (t+ s)pertence a U . A funo u (+ s) ser denominada s-translao de u.

2. Dados u, v U e s R, a s-concatenao de u e v pertence a U .Observamos que cada funo de controle u U determina uma equao

diferencial dependente do tempo, o que origina diferentes trajetrias do sis-tema, quando fixamos uma condio inicial.O conjunto U pode ser constitudo por funes constantes por partes, isto

, para cada funo de controle, o conjunto R decomposto em subintervalosonde a funo constante. Denotamos os conjuntos constitudos dessa formapor

Ucp = {u : R U constante por partes}.Alm desta classe de funes de controle, poderemos tambm assumir as

seguintes:

43

1. Ul - conjunto das funes limitadas e mensurveis com valores em Rn,a qual denominamos classe das funes de controle irrestritas.

2. Ur - subconjunto das funes em Ul assumindo valores no cubo{x Rn : 1 xi 1, i = 1, ..., n}. Denominaremos este conjunto declasse das funes de controle restritas.

3. Ub - subconjunto das funes em Ucp tais que suas coordenadas assumemsomente os valores 1 e 1. Nos referiremos a este cojunto como a classedas funes de controle bang-bang.

Admitiremos que cada equao diferencial dependendo de uma funo decontrole u U e com condio inicial fixada

x0 = X (x, u(t)) , x(0) = x0

possui solues nicas (t, x0, u) definidas para todo tempo t R, satisfazen-do

d

dt(t, x0, u) = X ((t, x0, u), u (t)) e (0, x0, u) = x0.

Segue pela continuidade com relao s condies iniciais que a aplicao(t, , u) :M M contnua, para todo t R e u U fixados.Para cada controle u U , assumiremos que a aplicao Xu : M TM

dada por Xu(x) = X(x, u) seja um campo de vetores completo de classe C

em M. Fixando-se t1 R, consideremos u1 = u(t1) U, com u U . Assim,a equao diferencial autnoma x0 = Xu1(x) tem solues nicas

u1x (t) com

u1x (0) = x, para todo x M , e o fluxo u1(t, x) = u1x (t) definido emRM . Portanto, as solues ou curvas integrais u1x (t) satisfazem

d

dtu1x (t) = Xu1(

u1x (t)),

u1x (0) = x

para t R e x M . Em particular, considerando-se o conjunto das funesde controle Ucp, as trajetrias do sistema so concatenaes de trajetrias deequaes diferenciais autnomas.Desta forma, um sistema de controle pode ser interpretado utilizando o

conjunto de campos de vetores, o qual denotamos por

V = {Xu; u U} .

44

Notemos que se o conjunto U consiste de somente um ponto, o sistemade controle se reduz a uma equao diferencial.Portanto, a teoria de controle pode ser vista como uma teoria de famlias

de campos de vetores diferenciveis.O resultado abaixo ser frequentemente usado no decorrer deste captulo.

Proposio 2.3 Sejam u U e t, s R. As solues dependendo dasfunes de controle u e u(+ s) satisfazem a igualdade

(t+ s, x, u) = (t,(s, x, u), u(+ s)).

Demonstrao: Sejam x0 M , u U e s R quaisquer e denotemosy = (s, x0, u). Definamos

(t) = (t+ s, x0, u) e (t) = (t, y, u(+ s))para t R. Consideremos o problema de valor inicial

x0 (t) = X(x (t) , u(t+ s)), x (0) = y.

Vamos mostrar que e so solues deste problema. Com efeito, imediatoque

(0) = (0) = y

Alm disso,

d

dt(t) =

d

dt(t, y, u(+ s)) = X ((t, y, u(+ s)), u(+ s)(t))

= X ((t), u(t+ s))

e, tambm,

d

dt(t) =

d

d(t+ s)(t)

d(t+ s)

dt=

d

d(t+ s)(t+ s, x0, u)

= X ((t+ s, x0, u), u(t+ s))

= X ((t), u(t+ s)) .

Segue pela unicidade de soluo para o problema de valor inicial acima que(t) = (t), isto ,

(t+ s, x0, u) = (t,(s, x0, u), u(+ s)).

45

Como tomamos x0 arbitrrio em M , segue o resultado. 2

Portanto, alcanar um ponto a partir de x usando a funo de controle uno tempo t + s equivale a alcanar este mesmo ponto a partir de (s, x, u)usando a funo de controle u(+ s) no tempo t.

Corolrio 2.4 Para cada t R e u U, a aplicao (t, , u) : M M

um homeomorfismo.

Demonstrao: Para t R e u U , a aplicao (t, , u) : M M

contnua. Sejam x, y M tais que (t, x, u) = y. Aplicando-se a Proposio2.3, temos que

x = (0, x, u) = (tt, x, u) = (t,(t, x, u), u(+ t)) = (t, y, u(+ t)) .

Assim, (t, , u) inversvel com aplicao inversa dada por (t, , u(+ t)).Como t R e u (+ t) U , ento (t, , u(+ t)) tambm uma apli-cao contnua. Portanto, (t, , u) um homeomorfismo. 2

A seguir, apresentaremos alguns exemplos de sistemas de controle.

Exemplo 2.1 Um sistema de controle dito linear quando determinadopor uma famlia de equaes lineares

x0 (t) = Ax (t) +Bu(t),

onde x (t) = (x1 (t) , ..., xm (t)) Rm, u(t) = (u1(t), ..., un(t)) Rn, com Amatriz real mm, B matriz real m n. Neste caso, M = Rm e U = Rn.

O seguinte exemplo um caso particular de sistema de controle linear.Neste exemplo, podemos observar a diferena do comportamento do sistemautilizando-se funes de controle distintas.

Exemplo 2.2 Sejam M = R2 e U = R. Consideremos o conjunto dasfunes de controle Ub e as matrizes

A =

a1 00 a2

e B =

b1b2

46

com a1, a2, b1 e b2 reais no nulos tais que a2 < a1 < 0. Escolhendo as funesde controle constantes u1 1 e u2 1, temos as equaes diferenciais

x0 = Ax+B e x0 = AxB

dependendo de u1 e u2, respectivamente. Considerando uma base (v1, v2) deautovetores associados aos autovalores a1 e a2, respectivamente, escrevemosa primeira equao em sua forma matricial

x0 =a1 00 a2

x1x2

+

b1b2

=

a1x1 + b1a2x2 + b2

onde x = (x1, x2). Em coordenadas, temos

x0 = (a1x1 + b1, a2x2 + b2).

Uma soluo para esta equao

(t, x, u1) = (u11 (t),

u12 (t)) =

x1e

a1t +b1a1ea1t b1

a1, x2e

a2t +b2a2ea2t b2

a2

.

Observemos que o nico ponto estvel pelo fluxo u1(t, x) = (t, x, u1) o

ponto b1a1, b2

a2

, ou seja, este o nico ponto singular da equao. Ago-

ra, quando t +, a trajetria (t, x, u1) tende ao ponto b1a1, b2

a2

,

pois a1 e a2 so negativos. Alm disso, como a2 < a1, a funo coordenadau12 (t) tende a b2a2 mais rpido do que a funo coordenada

u11 (t) tende a

b1a1. Logo, a reta tangente trajetria (t, x, u1) tende a reta que passa por

b1a1, b2

a2

e que paralela a reta E1 gerada pelo vetor v1 da base considera-

da (veja Figura 2.1). Usando-se os mesmos argumentos, agora, com respeito segunda equao, obtemos solues da forma

(t, x, u2) = (u21 (t),

u22 (t)) =

x1e

a1t b1a1ea1t +

b1a1, x2e

a2t b2a2ea2t +

b2a2

.

O nico ponto singular para esta equao o pontob1a1, b2a2

. Quando t tende

a +, a trajetria (t, x, u2) tende ao pontob1a1, b2a2

, e a reta tangente a

esta trajetria tende a reta que passa pelo pontob1a1, b2a2

e que paralela a

reta E1. Os pontos b1a1, b2

a2

eb1a1, b2a2

so conhecidos como ns atratores.

A Figura 2.1 ilustra o comportamento das trajetrias das duas equaes.

47

Figura~2.1: Trajetrias de um sistema de controle

Exemplo 2.3 Um sistema de controle dito bilinear se constitudo de umafamlia de equaes diferenciais do tipo

x0 = A0x+nXi=1

ui(t)Aix

x = (x1, ..., xm) Rm, u(t) = (u1(t), ..., un(t)) Rn, onde A0, A1, ..., Anso matrizes reais mm.

O seguinte exemplo um caso particular de sistema de controle bilinear.

Exemplo 2.4 Sejam M = R2 e U = R. Consideremos as matrizes

A0 =

1 00 2

e A1 =

1 00 2

com 1,2 reais distintos tais que 2 > 0 > 1, e 1, 2 complexos conjugadosque so imaginrios puros. Dada uma funo de controle u U, obtemos aequao diferencial

x0 = A0x+ u(t)A1x.

Uma trajetria desta equao concatenao de trajetrias de

x0 = A0x e x0 = A1x.

48

alunos-cceFigura~

Figura~2.2: Concatenaes de trajetrias

No caso de x0 = A0x, as solues so

(t, x) =x1e

1t, x2e2t

em coordenadas, relativamente a uma base (v1, v2) de autovetores associadosa 1 e 2. Se x2 6= 0, quando t +, a soluo (t, x) tende ao infinitose aproximando da reta E2 gerada pelo vetor v2; quando t , a soluo(t, x) tende ao infinito se aproximando da reta E1 gerada pelo vetor v1. Sex2 = 0, quando t +, a soluo (t, x) tende origem 0 de R2; quandot , a soluo (t, x) tende ao infinito. O nico ponto singular aorigem 0 de R2. O comportamento das trajetrias ilustrado na Figura 2.2-A. No caso de x0 = A1x, escrevemos 1 = ib e 2 = ib, com b real nonulo. As solues podem ser escritas em coordenadas polares da forma

(t, x) = (cos( bt), sen( bt)) .

A origem 0 de R2 o nico ponto singular. Todas as outras trajetrias soelipses ao redor da origem. Tais trajetrias so peridicas com perodo 2/b.A Figura 2.2-B ilustra o comportamento das trajetrias para o caso b >0. Agora, para interpretarmos o comportamento das trajetrias da equaoinicial, suficiente observarmos as possveis concatenaes das trajetrias deambas as equaes analisadas (ver Figura 2.2-C).

Exemplo 2.5 Sejam X0, X1, ..., Xn campos de vetores completos de classeC em uma variedade diferenciavl M. Considere U = Rn. O sistema de

49

alunos-cceFigura~2.2:

controle no linear

x0 = X0(x)+nXi=1

ui(t)Xi(x)

dito um sistema de controle afim. Os dois exemplos anteriores so casosparticulares desse tipo de sistema.

Consideremos, agora, um sistema de controle e seu correspondente con-junto de campos de vetores completos V = {Xu; u U}. A cada campoXu V e t R corresponde um difeomorfismo ut : M M de classe Cdefinido por ut (x) =

u(t, x). Se t = 0 temos u0 = idM , e para quaisquert, s R temos ut+s = ut us . Contudo, iremos usar a Proposio 2.3 parademonstrar este ltimo fato. Com efeito, podemos considerar u U comouma funo real constante. Assim, dados t, s R e x M , temos que

ut+s(x) = (t+ s, x, u) = (t,(s, x, u), u(+ s))= (t,(s, x, u), u)

= ut us (x).

Esses difeomorfismos so de crucial importncia para o desenvolvimentoda teoria. Vejamos a definio seguinte.

Definio 2.5 Considerando-se o conjunto dos campos de vetores completosV = {Xu : u U} de um sistema de controle, define-se

GV =untn

un1tn1 ...

u1t1 ; ui U, ti R, n N

SV =

untn

un1tn1 ...

u1t1 ; ui U, ti > 0, n N

.

GV denominado grupo do sistema e SV denominado semigrupo do sistema.

Proposio 2.6 O conjunto GV um grupo.

Demonstrao: Primeiramente, notemos que idM = u0 GV , para qual-quer u U . Est claro que a operao interna em GV a composio deaplicaes, a qual sabemos que possui a propriedade associativa. Agora, da-dos quaisquer , GV , = uktk uk1tk1 ... u1t1 e = vltl vl1tl1 ... v1t1 ,temos que

= (uktk uk1tk1 ...

u1t1 )(

vltlvl1tl1 ...

v1t1 ) =

wk+ltk+l

wk+l1tk+l1 ...w1t1

50

logo, GV . Por fim, dado GV com = untn un1tn1 ... u1t1 , temosque

1 = u1t1 u2t2 ...

untn

e, portanto, 1 GV . 2

Proposio 2.7 O conjunto SV um subsemigrupo de GV.

Demonstrao: Com efeito, dados , SV , com = untn un1tn1 ...u1t1 ,ti > 0, e = vmtm

vm1tm1 ...

v1t1 , tj > 0, temos =

wm+ntm+n

wm+n1tm+n1 ...

w1t1 ,

com tk > 0. Logo, SV e, portanto, SV um semigrupo com a operaointerna de GV . Como SV GV , segue-se o resultado. 2

Quando o conjunto das funes de controle Ucp o semigrupo do sistema obtido naturalmente, como mostra o resultado seguinte.

Proposio 2.8 Consideremos um sistema de controle com o conjunto dasfunes de controle Ucp. Dados quaisquer t1, t2 > 0 e u1, u2 U , existeu3 U satisfazendo

u2t2 u1t1 =

u3t2+t1 .

Demonstrao: Tomemos a funo u Ucp tal que u(t) = u1, para todo tem um intervalo I1 R contendo t1; e a funo v Ucp tal que v(t) = u2,para todo t em um intervalo I2 R contendo t2. Dado qualquer x M ,temos que

u1t1 (x) = (t1, x, u) e u2t2 (x) = (t2, x, v).

Logo, para todo x M , temos

u2t2 u1t1 (x) = (t2,(t1, x, u), v).

Agora, tomemos a t1-concatenao de u e v, isto , a funo de controlew Ucp tal que

w(t) =

u(t), se t t1v(t t1), se t > t1

.

Pela Proposio 2.3, temos que

(t2 + t1, x, w) = (t2,(t1, x, w), w(+ t1)).

51

Mas, (t1, x, w) = (t1, x, u), pois w (t) = u (t) para t t1. Alm disso, paraqualquer t > 0, temos t + t1 > t1, logo, w(t + t1) = v(t + t1 t1) = v(t).Assim,

(t2 + t1, x, w) = (t2,(t1, x, u), v) = u2t2

u1t1 (x).

Por outro lado, consideremos o intervalo I3 R contendo t1+t2 onde w(t) =u3 U , para todo t I3. Temos que

(t2 + t1, x, w) = (t2 + t1, x, u3) = u3t1+t2(x)

e, portanto,u2t2

u1t1 (x) =

u3t2+t1(x)

para todo x M . 2

Corolrio 2.9 Consideremos um sistema de controle com o conjunto dasfunes de controle Ucp. Dados quaisquer t1, ..., tn > 0 e u1, ..., un U , existeu U tal que

untn un1tn1 ...

u1t1 =

utn++t1 .

Demonstrao: O resultado segue por induo. Para n = 1 o resultado imediato. Suponhamos que o resultado vlido para n 1, com n > 1,ou seja, existe u0 U tal que un1tn1 ...

u1t1 =

u0tn1++t1. Aplicando-se a

Proposio 2.8, temos que existe u U tal que

utn++t1 = untn

u0tn1++t1 =

untn

un1tn1 ...

u1t1 .

2

Em geral, usamos a tcnica de concatenao para a construo de tra-jetrias de um sistema de controle em tempo positivo. Mais precisamente,seja V = {Xu : u U} o conjunto dos campos de vetores completos de umsistema de controle. Tomemos Xu1 , ...,Xun V e definamos F : [0, T ] Vpor

F (t) = Xuk , se t [tk1, tk], k = 1, ..., nonde t0 = 0, tn = T . Consideremos o problema de valor inicial

x0 = F (t)(x), x(0) = x0.

52

A soluo deste problema dada por

(t) = ukttk1 uk1tk1 ...

u1t1 (x0)

tk1 t tk, k = 1, ..., n. Com efeito, (0) = u10 (x0) = x0. Alm disso,temos

d

dt(t) =

d

dtukt

uktk1

uk1tk1 ...

u1t1 (x0)

= Xuk

ukt

uktk1

uk1tk1 ...

u1t1 (x0)

= Xuk((t)) = F (t)((t)).

Portanto, as trajetrias de um sistema de controle em tempo positivo sodeterminadas pelos campos de vetores em V e pelo correspondente semigrupoSV .A seguir, apresentaremos o conceito de rbitas no espao de fase M .

Definio 2.10 Dado um sistema de controle e seu correspondente conjuntode campos de vetores V no espao de fase M , definimos

GV(x) = {y M : existe GV com (x) = y}SV(x) = {y M : existe SV com (x) = y}S1V (x) = {y M : existe SV com (y) = x}

Os conjuntos GV(x) e SV(x) so denominados respectivamente de rbita dogrupo do sistema e rbita do semigrupo do sistema atravs de x em M .

Quando o conjunto das funes de controle Ucp, da Proposio 2.8 obte-mos

SV(x) = {y M ; existe u Ucp e t > 0 com (t, x, u) = y}S1V (x) = {y M ; existe u Ucp e t > 0 com (t, y, u) = x} .

Aqui, SV(x) denota o conjunto dos pontos atingveis a partir de x, e SV (x)o conjunto dos pontos controlveis para x.Outros conjuntos podem ser obtidos. Considerando-se T > 0, definimos

ST =(untn

un1tn1 ...

u1t1 ; ui U, ti > 0,

nXi=1

ti T)

53

obtendo-se os conjuntos

ST (x) = {y M ; existe ST com (x) = y} ,S1T (x) = {y M ; existe ST com (y) = x} .

Em geral, SV(x) S1V (x) um subconjunto prprio de GV(x).Consideremos, agora, a seguinte relao entre os pontos do espao de fase

M :dados x, y M, x y se, e somente se, y GV(x)

Proposio 2.11 A relao definida acima de equivalncia em M .

Demonstrao: Com efeito, x x, pois x GV(x). Se x y, existe GVtal que (x) = y, logo, 1(y) = x, com 1 GV , portanto, y x. Enfim,se x y e y z, ento, existem , GV tais que (x) = y e (y) = z.Logo, (x) = z, com GV , portanto, x z. 2

Assim, cada rbita uma classe de equivalncia dessa relao. Portanto,o conjunto dessas rbitas determinam uma partio do espao de fase M .Relembremos um conceito de aes de grupos.

Definio 2.12 Um grupo G age transitivamente em um conjunto X se paratodo par de elementos x, y X existe g G tal que gx = y.

Apresentamos, ento, a seguinte definio.

Definio 2.13 Seja M uma variedade diferencivel. Um sistema de con-trole em M determinado por um conjunto de campos de vetores V ditotransitivo quando o grupo GV do sistema age transitivamente em M .

Contudo, nosso interesse principal com relao s propriedades das r-bitas do semigrupo SV do sistema, isto , com relao transitividade deSV .A partir daqui, estaremos considerando fixada a base cannica para os

espaos euclidianos de nossos exemplos.

Exemplo 2.6 SejamM = R2 e V = {X1, X2}, com X1 = a x1 e X2 = b x2 ,onde x1 e

x2

so os operadores derivada parcial respectivamente em funoda primeira e segunda varivel do R2. Consideremos a e b no nulos. As

54

solues das equaes x0 = X1(x) e x0 = X2(x) so dadas respectivamentepor

ax(t) = (x1 + at, x2) e bx(t) = (x1, x2 + bt)

onde x = (x1, x2) R2. Fixando-se x0 = (x01, x02), dado um ponto qualquerx = (x1, x2) de R2, tomemos as solues

ax0(t) = (x01 + at, x

02) e

bx0(t) = (x01, x

02 + bt)

de valor inicial x0. Sejam

t1 =x1 x01a

e t2 =x2 x02b

.

Temos que bt2 at1 GV tal que bt2 at1(x0) = x. Logo, GV(x) = R2, paratodo x R2 e, portanto, o sistema transitivo. Agora, analisemos a rbitaSV(x) atravs de um ponto x = (x1, x2) do R2. Se a > 0, b > 0, ento,

SV(x) =(,) R2; > x1, > x2

\ {x} .Se a > 0, b < 0, ento,

SV(x) =(,) R2; > x1, 6 x2

\ {x} .Se a < 0, b > 0, ento,

SV(x) =(,) R2; 6 x1, > x2

\ {x} .Se a < 0, b < 0, ento,

SV(x) =(,) R2; 6 x1, 6 x2

\ {x} .Assim, SV(x) 6= R2, para todo x em R2 (veja Figura 2.3).

2.2 Acessibilidade e controlabilidade

Nesta seo, introduziremos os conceitos de acessibilidade e controlabilidadepara sistemas de controle.As rbitas GV(x) de um sistema de controle em uma variedade M so,

na verdade, subvariedades. Este resultado verificado por San Martin em

55

Figura~2.3: rbitas pelo semigrupo de um sistema

[15]. Assim, evidentemente, o conjunto GV(x) pode se considerado como umespao de fase para o sistema. Porm, as rbitas do semigrupo do sistemaatravs de um ponto x M no possuem, em geral, esta propriedade. Arelao definida por

x, y M,x y se, e somente se, y SV(x)no uma relao de equivalncia em geral, pois a propriedade simtricano satisfeita. No entanto, notemos que uma rbita SV(x) est contida narbita GV(x). Devido a isto, o estudo das propriedades de SV(x) pode serrestringido ao espao ambiente GV(x) na topologia intrnseca. Assim, nosestudos das rbitas do semigrupo SV , podemos considerar apenas sistemastransitivos.A seguir, passamos a definir os conceitos bsicos de acessibilidade e con-

trolabilidade para sistemas de controle. Denominaremos um sistema de con-trole pelo seu conjunto de campos de vetores V.

Definio 2.14 Um sistema de controle V dito acessvel a partir de x Mse int (SV(x)) 6= . O sistema dito acessvel se for acessvel a partir de todox M .

O sistema do Exemplo 2.6 acessvel, pois int(SV(x)) 6= , para todox R2. Vejamos outro exemplo.

Exemplo 2.7 Sejam M = R2 e V = {X1,X2} , com X1 = x1 e X2 umcampo restrito ao conjunto aberto A = {(x1, x2) R2; x1 < 0} coincidindoneste domnio com o campo x2 . A partir de um ponto x A o sistema

56

alunos-cceFigura~

Figura~2.4: rbitas de interior vazio e de interior no vazio

acessvel. No entanto, a partir de um ponto do complementar de A o sistemano acessvel, pois a rbita SV(x) uma semireta paralela ao eixo x1, aqual um conjunto de interior vazio em R2(veja Figura 2.4).

Finalmente, definiremos o conceito de controlabilidade para sistemas decontrole. Na verdade, o termo controlabilidade se refere transitividade dosemigrupo do sistema. Mais precisamente,

Definio 2.15 Um sistema de controle V dito controlvel a partir dex M se SV(x) =M . O sistema dito controlvel se for controlvel a partirde todo x M. O sistema de controle V dito aproximadamente controlvela partir de x M se fe(SV(x)) = M . O sistema dito aproximadamentecontrolvel se o for a partir de todo x M.

Segue direto da definio 2.15 que um sistema de controle controlvel apartir de um ponto x aproximadamente controlvel a partir de x.Observemos que se o sistema controlvel a partir de x, ento, M =

SV(x) GV(x) M , ou seja, GV(x) =M e, portanto, o sistema transitivo.Alm disso, como SV(x) = M, temos que int (SV(x)) 6= , logo, o sistema acessvel a partir de x M. No entanto, o fato de SV(x) = M para algumx M no implica que int (SV(x)) 6= , para todo x M , ou seja, o sistemaser controlvel a partir de um determinado ponto de M no significa que osistema acessvel (veja o Exemplo 2.10).No Exemplo 2.6, o sistema no aproximadamente controlvel a partir

de qualquer ponto do R2. No entanto, o sistema acessvel. Vejamos outrosexemplos.

57

alunos-cceFigura~

Figura~2.5: rbitas de interior vazio

Exemplo 2.8 Sejam M = Rn e U = R. Consideremos o conjunto defunes de controle Ucp = {u : R Rconstante por partes} e a famlia deequaes diferenciais

x0 = X(x, u(t)) = u(t)x.

Dado u1 = u(t1) U , com u Ucp, temos que as solues da equaox0 = Xu1(x) = u1x so da forma

u1x (t) = e

u1tx. Se u1 = 0, tais soluesso pontos singulares. Se u1 6= 0, o nico ponto singular a origem. Astrajetrias atravs dos demais pontos so segmentos de retas tendendo para aorigem, quando t respectivamente conforme u1 < 0 e u1 > 0. Assim,dado x Rn no nulo, a rbita GV(x) um segmento de reta passando por xe tendendo para a origem. Logo, int (SV(x)) = , j que SV(x) GV(x), paratodo x Rn. Portanto, o sistema no nem aproximadamente controlvele nem acessvel a partir de qualquer x Rn. A Figura 2.5 ilustra as rbitasdo sistema para o caso n = 2.

Exemplo 2.9 Sejam M = R2 e V = {X1,X2,X3, X4} , onde X1 = x1 ,X2 = x1 , X3 =

x2

|B e X4 = x2 |B, e B = {(x1, x2) R2; x1 (a, b)}.Dados quaisquer x, y R2, podemos atingir y a partir de x em tempo positivoatravs dos campos em V (veja Figura 2.6). Ou seja, SV(x) = R2, para todox R2. Logo, este sistema controlvel e acessvel.

58

alunos-cceFigura~

Figura~2.6: Atingibilidade de pontos distintos no plano

Exemplo 2.10 EmM = R2 tomemos o conjunto A = {(x1, x2) R2;x1 < 0}.Seja V = {X1,X2,X3,X4} , onde X1 = x1 , X2 = x1 |A, X3 = x2 |A eX4 = x2 |A. A partir de um ponto x A, podemos atingir qualquer pontode R2 em tempo positivo atravs de concatenaes de trajetrias dos camposem V. Logo, SV(x) = R2, para todo x A. Portanto, o sistema controlvele acessvel a partir de qualquer ponto do conjunto A. No entanto, o nicocampo de vetores em V definido no conjunto M\A o campo X1 = x1 .Desta forma, as rbitas atravs dos pontos em M\A so segmentos de reta.Portanto, o sistema no aproximadamente controlvel e nem acessvel apartir de qualquer ponto em M\A.

2.3 Conjuntos controlveis para sistemas decontrole

Nesta seo, prosseguiremos com o conceito de rbita de um sistema decontrole. Vamos definir e estudar os conjuntos controlveis, que representamum dos conceitos principais deste trabalho.Vimos que um sistema de controle pode no ser controlvel ou aproxi-

madamente controlvel, como podemos observar o Exemplo 2.10 acima. Estefato, ento, motiva a idia de se determinar e estudar regies da variedadeM onde ao menos a controlabilidade aproximada ocorre.Introduziremos algumas definies voltadas ao conceito de atingibilidade

de um sistema de controle.

59

alunos-cceFigura~

Definio 2.16 Dado um sistema de controle como na Definio 2.1, umponto x M e um tempo t > 0, definimos os conjuntos

O+t (x) = {y M ; existe u U com y = (t, x, u)}Ot (x) = {y M ; existe u U com x = (t, y, u)}

denominados, respectivamente, de conjunto de atingibilidade de x em tempot e conjunto controlvel a x em tempo t. Dado T 0 e t > 0, tambmdefinimos

O+>T (x) =[t>T

O+t (x), O>T (x) =[t>T

Ot (x),

O+T (x) =[tT

O+t (x), OT (x) =[tT

Ot (x).

Os conjuntos O+>0(x) e O>0(x) so denominados, respectivamente, de rbitapositiva de x e rbita negativa de x.

No caso de sistemas de controle com conjunto de funes de controle Ucp,temos que O+>0(x) = SV (x), para todo x M , onde V = {Xu : u U} oconjunto dos campos de vetores completos do sistema e SV o semigrupo dosistema.Segue imediatamente da Definio 2.16 que, dados dois pontos x, y M ,

temos que x O+>T (y) se, e somente se, y O>T (x). O conjunto O+T (x) dito conjunto dos pontos atingveis a partir de x em tempo T , e o conjuntoOT (x) dito conjunto dos pontos controlveis a x em tempo T.Nesta seo, a notao t,u () corresponde aplicao (t, , u), para

t R e u U .

Proposio 2.17 Sejam x, y, z M e T > 0.1. Se x O+>T (y) e y O+>T (z), ento, x O+>T (z).2. Se x O>T (y) e y O>T (z), ento, x O>T (z).

Demonstrao: Se x O+>T (y) e y O+>T (z), ento, existem t1, t2 > Te u1, u2 U tais que (t1, y, u1) = x e (t2, z, u2) = y. Tomemos a t2-concatenao de u2 e u1, isto , a funo de controle u3 U definida por

u3(t) =

u2(t), se t t2u1(t t2), se t > t2

.

60

Pela Proposio 2.3, temos que

(t1 + t2, z, u3) = (t1,(t2, z, u3), u3(+ t2)) .No entanto, para todo t t2, u3(t) = u2(t), logo, (t2, z, u3) = (t2, z, u2),neste caso. Alm disso, para todo t > 0, temos que t + t2 > t2, logo,u3(t+ t2) = u1(t+ t2 t2) = u1(t), ou seja, u3(+ t2) = u1(), para t positivo.Assim, temos que

(t1 + t2, z, u3) = (t1,(t2, z, u2), u1) = (t1, y, u1) = x

com t1 + t2 > T . Logo, x O+>T (z). No outro caso, se x O>T (y) ey O>T (z), ento, existem t1, t2 > T e u1, u2 U tais que (t1, x, u1) = y e(t2, y, u2) = z. Tomando a t1-concatenao u3 U de u1 e u2, temos que

(t1 + t2, x, u3) = (t2,(t1, x, u1), u2) = (t2, y, u2) = z

com t1 + t2 > T . Logo, x O>T (z). 2

Em particular, temos

Corolrio 2.18 As rbitas positivas e negativas de um sistema de controlesatisfazem a seguinte propriedade:1. Se x O+>0(y) e y O+>0(z), ento, x O+>0(z).2. Se x O>0(y) e y O>0(z), ento, x O>0(z).O conceito de acessibilidade de um sistema de controle foi apresentado

na Seo 2.2. Nesta seo, interessa-nos definir acessibilidade local, que sersignificativa para resultados que veremos mais tarde quando introduzirmoso conceito de conjuntos de controlabilidade para conjuntos controlveis.

Definio 2.19 Um sistema de controle dito localmente acessvel a partirde x M se os conjuntos O+T (x) e OT (x) tm interiores no vazios, paratodo T > 0. O sistema dito localmente acessvel se o for a partir de todox M .

Em particular, um sistema de controle com conjunto Ucp localmenteacessvel a partir de x M se int (ST (x)) e int

ST (x) so conjuntos novazios, para todo T > 0.O seguinte exemplo apresenta um sistema de controle que no local-

mente acessvel, mas que localmente acessvel a partir de um subconjuntode M . O sistema do exemplo munido com um conjunto de funes decontrole constantes por partes.

61

Figura~2.7: rbita de interior vazio em tempo limitado

Exemplo 2.11 Sejam M = R2 e V = {X1,X2} , com X1 = x1 e X2 =f(x1)

x2, onde f(x1) = 0, para x1 0 e f(x1) > 0, para x1 > 0. Notemos

que a partir de qualquer ponto x do R2, temos int (SV(x)) 6= , logo, o sistema acessvel (veja Figura 2.7). No entanto, tomando-se um ponto x0 = (x1, x2),com x1 < 0, e 0 < T |x1|, temos que int (ST (x)) = , j que ST (x) um segmento de reta paralelo ao eixo x1 a partir de x, porm, no atingindoo conjunto {(x1, x2) R2 : x1 > 0}. Portanto o sistema no localmenteacessvel a partir dos pontos (x1, x2) com x1 < 0. Observemos que o sistema localmente acessvel a partir de qualquer ponto x = (x1, x2) com x1 = 0,mesmo que f(x1) = 0, pois int (ST (x)) 6= , j que T deve ser estritamentepositivo, ou seja, podemos sempre atingir o conjunto {(x1, x2) R2 : x1 > 0}a partir de qualquer ponto no eixo x2, por menor que seja T > 0.

A seguinte definio fundamental para nossos estudos.

Definio 2.20 Dado um sistema de controle como na Definio 2.1, umsubconjunto 6= D M dito um conjunto controlvel para o sistema seso satisfeitas as seguintes propriedades:

1. Para todo x D, existe uma funo de controle u U e uma trajetria(t, x, u) com (0, x, u) = x tal que (t, x, u) D, para todo t 0;

2. Para todo x D tem-se D feO+>0(x) e

3. D maximal satisfazendo as propriedades 1 e 2, isto , se D0 Dsatisfaz as condies 1 e 2, ento, D0 = D.

A condio 1 da Definio 2.20 nos diz que existe ao menos uma trajetriapositiva inteiramente contida em D a partir de todo ponto de D. Pode-se

62

alunos-cceFigura~

exigir mais desta definio adicionando que D deve conter ponto interior,excluindo assim casos triviais como, por exemplo, um ponto singular x, quesatisfaz as condies 1 e 2, visto que existe uma funo de controle u U talque (t, x, u) = x, para todo t 0 e, portanto, {x} O+>0(x) fe

O+>0(x)(veja o Exemplo 2.12). Contudo, mostraremos mais tarde que se um conjuntoD M maximal satisfazendo a condio 2 da Definio 2.20 e int (D) 6= ento D um conjunto controlvel para o sistema.A condio 2 equivalente a dizer que, dados dois pontos quaisquer

x, y D, tem-se x feO+>0(y). Com efeito, fixemos x D, ento, qualquer

ponto y D satisfaz y feO+>0(x), ou seja, D fe O+>0(x). Reciproca-

mente, se 2 vale, dados quaisquer x, y D, temos que D feO+>0(y), em

particular, x feO+>0(y). Assim, a condio 2 nos diz que todo ponto em

D aproximadamente atingvel a partir de qualquer outro ponto em D, ouseja, esta propriedade exprime a controlabilidade aproximada esperada.J a condio 3 foi includa para se evitar problemas tcnicos.Um sistema de controle pode ter muitos ou nenhum conjunto controlvel,

como no seguinte exemplo.

Exemplo 2.12 Seja M = R e consideremos o sistema

x0(t) = u(t), u(t) U R, u U .Se U (0,), ento, o sistema no admite conjuntos controlveis. Comefeito, as solues gerais do sistema so dadas por

(t, x, u) = x+Z t0

u(s)ds

ondeR t0u(s)ds positiva e crescente como funo de t. Suponha que D seja

um conjunto controlvel para o sistema. Ento, dado x D, deve existiruma funo de controle u U tal que (t, x, u) D, para todo t 0.Agora, escolha y > x tal que y = (t1, x, u), com t1 > 0. Ento, y D.Notemos que se z O+>0(y), ento, z > y, logo, O+>0(y) (y,). Assim,x / fe

O+>0(y), contradizendo o fato de D satisfazer a propriedade da con-trolabilidade aproximada. Se U = {0}, ento, todo conjunto de um ponto um conjunto controlvel para o sistema. De fato, neste caso, todo u U co-incide com a aplicao nula em R, logo, as solues do sistema so definidaspor (t, x, u) = x, para todo t R. Seja D = {x0}. Ento, para qualqueru U, (t, x0, u) = x0 D, para todo t 0, logo, D satisfaz a condio

63

1 da Definio 2.20. Pelo mesmo argumento, temos que O+>0(x0) = {x0},logo, fe

O+>0(x0) = {x0}, e a condio 2 tambm satisfeita por D, evi-dentemente. Agora, dado x 6= x0, temos que x / fe

O+>0(x0), logo, D nopode estar contido em outro conjunto que satisfaz a propriedade da contro-labilidade aproximada. Assim, D maximal e, portanto, D um conjuntocontrolvel.

Os resultados seguintes exibem algumas propr