atratores globais para ações de semigrupos

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA

CENTRO DE CIENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM MATEMATICA

(Mestrado)

STEPHANIE AKEMI RAMINELLI1

Atratores Globais para Acoes de Semigrupos

Maringa-PR

20131Este trabalho contou com apoio financeiro da CAPES e Fundacao Araucaria, convenio 935/2012.

STEPHANIE AKEMI RAMINELLI


Dissertacao apresentada ao Programa de Pos-

Graduacao em Matematica do Departamento

de Matematica, Centro de Ciencias Exatas, da

Universidade Estadual de Maringa, como re-

quisito parcial para obtencao do ttulo de Mes-

tre em Matematica.

Area de concentracao: Geometria e Topologia

Orientador: Prof. Dr. Josiney Alves de Souza

Maringa-PR

2013

Stephanie Akemi Raminelli


Dissertacao submetida ao corpo docente do Programa de Pos-Graduacao

em Matematica da Universidade Estadual de Maringa - UEM-PR, como

parte dos requisitos necessarios a` obtencao do grau de Mestre.

Aprovada por:

Prof. Dr. Josiney Alves de Souza - UEM

(Orientador)

Prof. Dr. Paulo Ricardo da Silva - UNESP

Prof. Dr. Carlos Jose Braga Barros - UEM

Maringa-PR

27 de fevereiro de 2013

33 O profundidade das riquezas, tanto da

sabedoria, como da ciencia de Deus! Quao

insondaveis sao os seus juzos, e quao ines-

crutaveis, os seus caminhos!

34 Porque quem compreendeu o intento do

Senhor? Ou quem foi seu conselheiro?

35 Ou quem lhe deu primeiro a ele, para que

lhe seja recompensado?

36 Porque dele, e por ele, e para ele sao todas

as coisas: gloria, pois, a ele eternamente.

Amem!

Romanos 14:33-36, Bblia Sagrada

Aos meus pais,

Ademir e Marina

Agradecimentos

Agradeco a Deus pela forca que tens me dado, sempre me ajudando e en-

viando palavras de coragem para prosseguir em frente nos momentos mais

difceis da minha vida.

Agradeco aos meus pais, Ademir e Marina, pelo amor que me de-

ram, pelas oracoes e pelas condicoes que me proporcionaram para estu-

dar. Agradeco aos meus irmaos, Efraim, Talita e Priscila, pelo carinho.

Agradeco a minha famlia que sempre esteve torcendo por mim.

Agradeco ao professor Josiney Alves de Souza pela atencao, dedicacao e

excelente orientacao durante o desenvolvimento deste trabalho. Agradeco

ao professor Carlos Jose Braga Barros pelas sugestoes dadas para o melho-

ramento do trabalho. Agradeco ao professor Ronan Antonio dos Reis que

me orientou durante a graduacao. Agradeco a todos os professores pela

transmissao de conhecimentos.

Agradeco a todos os meus amigos do mestrado Camila, Cleilton, Gin-

nara, Joao, Juliana, Patrcia, Rafael, Simone, Tatiana, Thales, e a todos os

amigos do doutorado, Alex, Andre, Djeison e Victor que proporcionaram

momentos inesquecveis durante o mestrado. Agradeco as minhas amigas

Larissa e Vanessa pela sua amizade. Agradeco a minha amiga Doraci pelos

conselhos.

Agradeco a CAPES pelo apoio financeiro.

Resumo

Neste trabalho, introduzimos o conceito de atratores globais para acoes

de semigrupos sobre espacos metricos. Primeiramente, estudamos a te-

oria de atratores globais para sistemas semidinamicos e, posteriormente,

estendemos todos os resultados para acoes de semigrupos. Trabalhamos,

em especial, com acoes assintoticamente compactas que possuem conjuntos

-limites compactos e invariantes, contribuindo para o estudo do atrator

global. Apresentamos condicoes necessarias e suficientes para a existencia

do atrator global para acoes de semigrupos e sua caracterizacao pelos con-

juntos -limites. Para finalizar, definimos os conceitos de prolongamento e

conjunto limite prolongacional em acoes de semigrupos para introduzimos

o conceito de atrator uniforme global para acoes de semigrupos. Conclui-

mos o trabalho apresentando uma relacao entre as nocoes de atrator global

e atrator uniforme global.

Palavras-chave: Acao de semigrupo, Atrator global, Atrator uniforme

global, Assintoticamente compacto, sistema semidinamico.

Abstract

In this work, we introduce the concept of global attractor for semigroup

actions on metric spaces. Initially, we study the theory of global attractor

for semidynamical systems and then we extend all results for semigroup

actions. We consider asymptotically compact semigroup actions, which

have compact and invariant -limit sets, contributing to the study of the

global attractor. We present necessary and sufficient conditions for the

existence of the global attractor for semigroup actions and its characte-

rization by -limit sets. To complete this work, we define the concepts

of prolongation and prolongational limit set for semigroup action to intro-

duce the concept of global uniform attracting set for semigroup actions and

we present a relation between the notions of global attractor and global

uniform attracting set.

Key-words: Semigroup action, Global attractor, Global uniform attrac-

ting set, Asymptotically compact, Semidynamical system.

Sumrio

Introduo 1

1 Redes 5

2 Atratores Globais para Sistemas Semidinmicos 15

2.1 Sistemas Semidinmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Atratores Globais para Sistemas Semidinmicos . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Conjuntos !-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Existncia do Atrator Global para Sistemas Semidinmicos . . . . . . . . 38

3 Atratores Globais para Aes de Semigrupos 43

3.1 Aes de Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 Conjuntos !-limite para Aes de Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Existncia de Atrator Global para Aes de Semigrupos . . . . . . . . . . 68

3.4 Sistemas de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4 Atrator Uniforme Global para Aes de Semigrupos 83

4.1 Prolongamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2 Conjuntos Limite Prolongacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Introduo

O termo "atrator"destinado a um ponto singular e invariante em um uxo foi utilizado

por E. A. Coddington e N. Levinson em Theory of ordinary dierential equations (1955).

Porm, o conceito de atrator consistindo em mais que um ponto foi estudado pela

primeira vez em Attractor in dynamical systems por J. Auslander, N. Bhatia e P. Siebert

(1964). Desde ento, o conceito de atrator tem sido denido de muitas maneiras e em

vrios contextos distintos na literatura.

A teoria qualitativa de sistema dinmico originou das anlises dos comportamentos

das equaes diferenciais, e mais tarde esses conceitos foram estudados em um espao

mtrico geral. Essa teoria ganhou muitos resultados em espaos mtricos compactos

e localmente compactos. Nessa dissertao, no entanto, trabalhamos em especial com

sistemas semidinmicos assintoticamente compactos, sem que o espao de fase seja com-

pacto ou localmente compacto.

A noo de atratror comeou a ganhar grande importncia h 50 anos e existem vrias

denies. Recentemente, a existncia do atrator global foi estudada em vrios contextos

(por exemplo, [17] e [21]) e tambm existem trabalhos que relacionam os conceitos de

atratores (por exemplo, [11] e [24]). A denio de atrao que vamos considerar nessa

dissertao a seguinte: Um conjunto A atrai um conjunto B pela ao do sistema T ()se

limt!+1

dist (T (t)B;A) = 0;

onde dist a semidistncia de Hausdor denida no espao mtrico X. Assim, o con-

1

Introduo 2

junto no vazio, invariante, compacto e que atrai todo subconjunto limitado do espao X

chamado atrator global. Se um sistema semidinmico admite um atrator global, ento

ele nico e o comportamento assinttico do sistema pode ser descrito se analisarmos

o interior do atrator. O assunto principal desse trabalho a noo de atrator global

para aes de semigrupos, que uma extenso do conceito de atrator global para sis-

temas semidinmicos. Apresentamos condies necessrias e sucientes para existncia

do atrator global para aes de semigrupos e mostramos uma relao entre atrator global

e atrator uniforme global. Os conceitos estudados no contexto de aes de semigrupos

resultaram um trabalho ([28]).

No primeiro captulo apresentamos a noo de redes, que so generalizaes de se-

quncias. Esse conceito foi primeiramente introduzido em topologia por E. H. Moore

e H. L. Smith em A general theory of limits (1922). Por esse motivo, alguns chamam

as redes como sequncias de Moore-Smith. O conceito de sequncia uma ferramenta

muito utilizada nos espaos mtricos e o conceito de convergncia fundamental para

desenvolvimento do estudo nesse espao. Porm nos espaos topolgicos mais gerais no

possvel utilizar sequncias, donde surge a necessidade de introduzir a noo de redes.

Ento, comeamos denindo o conjunto dirigido, que desempenha o papel semelhante ao

conjunto dos nmeros naturais, ou seja, tem a funo de direcionar as redes dentro do

espao topolgico. Muitos resultados para sequncias j conhecidos so abordados em

termos de redes. Apresentamos tambm a denio de base de ltro, conceito muito uti-

lizado ao trabalharmos com aes de semigrupos. Os assuntos abordados neste captudo

podem ser encontrados em [15], [18] e [19].

O segundo captulo trata da teoria de atrator global para sistemas semidinmicos

em espaos mtricos. Este captulo foi baseado na tese de doutorado de Arago-Costa

([1]), e no trabalho de Arago-Costa, Carvalho, Caraballo e Langa ([2]), que contribuiu

para a concepo do conceito de atrator global para aes de semigrupos, discutido no

terceiro captulo. Comeamos denindo o conceito de sistema semidinmico e conjuntos

Introduo 3

invariantes, exibindo alguns exemplos. Na segunda seo, apresentamos a semidistncia

de Hausdor, uma ferramenta de "medida"para denirmos o atrator global. Logo aps,

mostremos uma denio equivalente de atrator global usando o conjunto -vizinhana.

Mostramos que o atrator global da forma como foi denido nico em um sistema

semidinmico e apresentamos uma caracterizao por meio de conjuntos invariantes. Os

conceitos como semirbita positiva, sistema semidinmico limitado, eventualmente lim-

itado e dissipatividade do semiuxo so fundamentais para o desenvolvimento da teoria

de atrator global. Na prxima seo, trabalhamos com o conjunto de suma importncia:

conjunto !-limite. Esse conjunto descreve o comportamento assinttico do sistema e

pode ser caracterizado em termos de sequncias. Um dos conceitos relevantes o de

sistema assintoticamente compacto, pois nesse sistema, os conjuntos !-limite adquirem

propriedades como compacidade, invarincia e atrao. Na ltima seo apresentamos

o teorema que garante a existncia de atrator global.

No Captulo 3, desenvolvemos o tema principal do trabalho, onde generalizamos os

resultados obtidos no captulo anterior, trabalhando com aes de semigrupos, a ex-

tenso dos sistemas semidinmicos. A seo inicial contm conceitos como conjuntos

invariantes, noes de atrao e atrator global. Em se tratando de comportamento ass-

inttico para a ao de um semigrupo, usamos uma famlia de subconjuntos no vazios

do semigrupo que tem a propriedade de base de ltro. Assim, o conceito de atrao neste

contexto depende da famlia de subconjuntos no vazios do semigrupo em questo. Em

seguida, denimos os conceitos de semirbita, ao eventualmente limitada e limitada

dissipativa, estendendo de maneira natural as denies j apresentadas no captulo an-

terior. Na segunda seo, denimos o conjunto !-limite. Essa denio foi introduzida

por Braga Barros e Souza em [6]. Caracterizamos o conjunto !-limite em termos de redes

e denimos os conceitos de ao assintoticamente compacta e eventualmente compacta.

Em [7], a invarincia do conjunto !-limite garantida para espaos compactos. Fizemos

uma demonstrao anloga, porm para as aes assintoticamente compactas, no ne-

Introduo 4

cessitando que o espao de fase seja compacto. Na seo que segue, temos os resultados

que garantem a existncia do atrator global, um dos resultados mais importantes desse

trabalho. Na ltima seo, abordamos os conceitos desenvolvidos neste captulo para

sistema de controle e apresentamos alguns exemplos de atratores globais para sistemas

de controle.

O ltimo captulo consiste em apresentar a equivalncia das denies de atrator

global como foi denido e atrator uniforme global, que eram estudados separadamente

nos tratados de sistemas dinmicos. Para isso, precisamos denir os conceitos de pro-

longamento e conjunto limite prolongacional para aes de semigrupos. Esses conceitos

foram introduzidos em [10]. Denimos o domnio de atrao uniforme, atrator uniforme

e atrator uniforme global. Em seguida mostramos resultados referentes s equivalncias

das denies de atratores. Para nalizar o captulo, apresentamos alguns exemplos para

uma melhor ilustrao.

Captulo 1

Redes

Nos espaos mtricos geralmente trabalhamos com convergncia de sequncias, mas em

espaos topolgicos mais gerais, isso nem sempre possvel. A rede ento cumpre um

papel fundamental neste contexto, j que ela uma generalizao do conceito de sequn-

cias. Primeiramente, precisamos denir o conjunto que nos d uma orientao, como o

conjunto dos naturais. Denimos, ento, o conjunto chamado dirigido. Apresentamos

vrios resultados bsicos de redes, que so anlogos aos de sequncias. No decorrer do

captulo, denimos o conceito de ltro, que usamos frequentemente quando trabalhamos

com aes de semigrupos.

Essa noo de redes em topologia foi introduzida primeiramente por E. H. Moore e H.

L. Smith (1922) e alguns referem-se elas como sequncias generalizadas ou sequncias

de Moore-Smith.

Comeamos com a denio de conjunto dirigido.

Denio 1.1 Um conjunto , com uma relao ; denominado conjunto dirigidose satisfaz as seguintes condies:

i) , para todo 2 ; (reexividade)

ii) Se e , ento ; (transitividade)

iii) Dados ; 2 ; existe 2 tal que e :

5

6Dizemos que a relao uma direo para o conjunto ; ou que a relao dirige o conjunto :

Daqui em diante, a menos de menso explcita em contrrio, denota um conjunto

dirigido.

Vejamos alguns exemplos de conjunto dirigido.

Exemplo 1.1 O conjunto dos naturais N com a relao de ordem usual um conjuntodirigido.

Exemplo 1.2 Sejam X um espao topolgico e x 2 X. Se considerarmos a relao

U V () V U;

a coleo Ux de vizinhanas de x 2 X um conjunto dirigido. Analogamente, com amesma relao acima, a coleo Bx de bases contendo x 2 X um conjunto dirigido.

Quando estudamos aes de semigrupos, consideramos uma famlia de subconjuntos

no vazios do semigrupo S. As vezes, no basta ser apenas uma famlia, mas que seja

um ltro, ou base de ltro.

Denio 1.2 Seja X um conjunto. Um ltro F sobre o conjunto X uma coleono vazia de subconjuntos de X satisfazendo:

1. ; =2 F ;

2. Se F1; F2 2 F , ento F1 \ F2 2 F ;

3. Se F 2 F e F F 0, ento F 0 2 F :

Uma subcoleo F 0 F base para o ltro F , se para cada elemento F 2 F , existeum elemento bsico F 0 2 F 0 tal que F 0 F:

7Proposio 1.3 Seja X um conjunto. Uma coleo F de subconjuntos no vazios de X base para algum ltro de X, se dados F1; F2 2 F , existe F3 2 F tal que F3 F1 \ F2:

Demonstrao: Considere a coleo G = fG X; F G, para algum F 2 Fg. Como; 62 F , temos que ; 62 G: Se G1; G2 2 G, existem F1; F2 2 F tais que F1 G1 e F2 G2.Por hiptese, existe F3 2 F tal que F3 F1 \ F2 G1 \G2, ou seja, G1 \G2 2 G: Porm, se G 2 G, existe F 2 F tal que F G, ento, se G G0 temos imediatamente queG0 2 G: Portanto, G um ltro que tem como base o ltro F :

Usando a Proposio 1.3, podemos denir a base de ltro da seguinte forma: uma

coleo F de subconjuntos no vazios de X base de ltro sobre X se satisfazem asseguites propriedades:

1. ; =2 F ;

2. Dados F1; F2 2 F , existe F3 2 F tal que F3 F1 \ F2:

Exemplo 1.3 Seja F uma base de ltro sobre um conjunto X. Com a relao denidano Exemplo 1.2, F um conjunto dirigido.

A Proposio a seguir, usada durante algumas demonstraes dos resultados, apre-

sentados nos prximos captulos.

Proposio 1.4 Sejam 1 e 2 conjuntos dirigidos. Ento, 1 2, com a relao

(1; 2) (01; 02) () 1 01 e 2 02

um conjunto dirigido.

Demonstrao: De fato,

8i) Seja (1; 2) 2 1 2. Como 1 e 2 so conjuntos dirigidos, temos que 1 1e 2 2, donde (1; 2) (1; 2) :

ii) Sejam (1; 2) ; (01;

02), (

001;

002) 2 1 2 satisfazendo (1; 2) (01; 02) e

(01; 02) (001; 002). Ento, 1 01; 2 02, 01 001 e 02 002. Como 1 e

2 so conjuntos dirigidos temos que 1 001 e 2 002, donde (1; 2) (001; 002) :

iii) Sejam (1; 2) ; (1; 2) 2 12. Pelo fato de 1 e 2 serem conjuntos dirigidos,existem 1 2 1 e 2 2 2 tais que 1 1; 1 1; 2 2 e 2 2. Logo,existe (1; 2) 2 1 2 tal que (1; 2) (1; 2) e (1; 2) (1; 2) :

Vamos denir o conceito de redes.

Denio 1.5 Seja X um espao topolgico e um conjunto dirigido. A aplicao

x : ! X 7! x

denominada de rede e denotemos por (x)2 :

Note que a Denio 1.5 uma generalizao da denio de sequncia, onde con-

sidera = N: A seguir, denimos a convergncia de rede, de modo anlogo, feito para

sequncia.

Denio 1.6 Dizemos que uma rede (x)2 converge para o ponto x 2 X; se dadouma vizinhana U de x, existe 0 2 tal que x 2 U , para todo 0:Notao: x ! x:

Exemplo 1.4 Como toda sequncia (xn)n2N uma rede, a convergncia de redes gen-

eraliza a convergncia de sequncias.

9Exemplo 1.5 Sejam x 2 X e Ux uma coleo de vizinhanas de x. Se para cada U 2 Uxescolhermos xU 2 U , ento (xU)U2Ux uma rede em X que converge para o ponto x 2 X.De fato, seja V uma vizinhana de x. Assim, para todo U V , temos que U V e,portanto, xU 2 V , isto , xU ! x: Analogamente, se considerarmos Bx a coleo debases contendo o ponto x 2 X, (xU)U2Bx uma rede em X que converge para x:

Exemplo 1.6 Sejam X um conjunto e F uma base de ltro. Se para cada F 2 Ftomarmos xF 2 F , ento, (xF )F2F uma rede em X.

Temos a seguir, algumas proposies similares aos resultados de sequncia.

Proposio 1.7 Sejam X um espao topolgico, A um subconjunto de X e x 2 A.Ento, x 2 A se, e somente se, existe uma rede (x)2 em A tal que x ! x:

Demonstrao: Seja x 2 A: Ento, dado U X vizinhana de x, U \ A 6= ;: Logo,para cada U 2 Ux, podemos tomar xU 2 U \A: Assim, a rede (xU)U2Ux A e xU ! x:Por outro lado, suponha que existe uma rede (x)2 em A tal que x converge para

x: Ento, por denio de convergncia de rede, dado U 2 Ux, existe 0 2 tal quex 2 U , para todo 0: Em particular, x 2 U \ A. Portanto, x 2 A:

Proposio 1.8 Sejam X e Y espaos topolgicos e f : X ! Y uma aplicao. Ento,f contnua em x 2 X se, e somente se, para cada rede (x) X com x ! x, tem-seque a rede (f (x)) Y converge pare f (x) 2 Y:

Demonstrao: Iremos usar o seguinte resultado: uma aplicao f contnua em

x 2 X se, e somente se, dado V uma vizinhana de f (x), existe U uma vizinhana de xtal que f (U) V:

10

Suponha que f contnua em x 2 X: Ento, dada V uma vizinhana de f (x), existeU uma vizinhana de x tal que f (U) V . Seja (x) X uma rede que converge parax. Assim, para esta vizinhana U , existe 0 tal que x 2 U , para todo 0: Logo,f (x) V , para todo 0: Portanto, a rede (f (x)) Y converge para f (x) :Agora, suponha por contradio que f seja descontnua em x 2 X. Ento, existe V

vizinhana de f (x) tal que f (U) 6 V , para todo U vizinhana de x. Assim, para cadaU 2 Ux podemos tomar xU 2 U tal que f (xU) =2 V . Logo, a rede (xU)U2Ux convergepara x, mas a rede (f (xU)) no converge para f (x) :

Proposio 1.9 Seja fXi; i 2 Ig uma famlia de espaos topolgicos no vazios. Con-

sidere o espao produto X =Qi2IXi: Ento, uma rede (x)2 em X converge para x 2 X

se, e somente se, para cada i 2 I, a rede (i (x))2 converge para i (x).

Demonstrao: Suponha que x ! x. Como i contnua, para todo i 2 I; pelaProposio 1.8 segue que i (x) ! i (x) ; para cada i 2 I:Reciprocamente, suponha que i (x) ! i (x) ; para cada i 2 I. Seja a vizinhana

U de x denida como

U =\j2J1j (Uj) ;

onde J um subconjunto nito de I; e para cada j 2 J , Uj um subconjunto abertode Xj, com j (x) 2 Uj: Como j (x) ! j (x), para cada j 2 J , ento existe j 2 tal que j (x) 2 Uj, 8 j: Por ser um conjunto dirigido, existe 0 2 , tal que0 j, para todo j 2 J . Assim,

x 2\j2J1j (Uj) ;

donde, x ! x:

11

Teorema 1.10 Um espao topolgico X espao de Hausdor se, e somente se, toda

rede em X converge para, no mximo, um ponto.

Demonstrao: Suponha que X Hausdor. Ento, para x; y 2 X com x 6= y, existemU e V vizinhanas disjuntas de x e y, respectivamente. Se (x)2 uma rede em X tal

que x ! x e x ! y, ento existem 00; 000 2 tais que x 2 U , para todo 00e x 2 V , para todo 000. Como um conjunto dirigido, existe 0 2 tal que0 00 e 0 000. Assim, para todo 0, x 2 U \ V , o que um absurdo. Logo,toda rede converge para, no mximo, um ponto.

Reciprocamente, suponha que X no espao de Hausdor. Ento, existem x; y 2 Xcom x 6= y tais que U \ V 6= ;, para toda vizinhana U e V de x e y, respectivamente.Considere as colees Ux e Vy das vizinhanas de x e y, respectivamente. Seja Ux Vycom a seguinte relao

(U; V ) (U 0; V 0) () U 0 U e V 0 V:

Pela Proposio 1.4, temos que Ux Vy um conjunto dirigido. Denimos a rede

x : Ux Vy ! X(U; V ) 7! x(U;V )

onde x(U;V ) 2 U \ V . Temos que a redex(U;V )

converge para x e y simultanea-

mente. De fato, sejam as vizinhanas U0 2 Ux e V0 2 Vy arbitrrias. Ento, paratodo (U; V ) (U0; V0), temos que x(U;V ) 2 U \ V U0 \ V0, ou seja, x(U;V ) ! x ex(U;V ) ! y.

Uma consequncia imediata do Teorema 1.10 que em espao de Hausdor toda

sequncia converge para, no mximo, um ponto. Porm, a recproca dessa armao no

se verica, isto , se a sequncia converge somente para um ponto, o espao Hausdor.

Com efeito, considere o espao X = R com a topologia

= fU X; XnU enumervel ou XnU = Xg :

12

Temos que dados x; y 2 X com x 6= y, toda vizinhana U de x e V de y no sodisjuntos, pois se U \ V = ;, temos que U XnV que enumervel e, portanto, XnUno enumervel, o que um absurdo. Logo, o espao X com a topologia no

Hausdor. Seja (xn) X uma sequncia que converge para x 2 X: Armamos queexiste n0 2 N tal que xn = x, para todo n n0: Caso contrrio, existem ndices

n1 < < nk <

tais que xnk 6= x, para todo k 2 N: Considere U = Xn fxnkgk2N : Temos que U vizinhana de x, mas no existe n0 2 N tal que xn 2 U , para todo n n0, o quecontradiz o fato de xn ! x: Logo, a sequncia (xn) converge apenas para um ponto x,mas o espao no Hausdor.

Denio 1.11 Sejam X um espao topolgico e (x)2 uma rede em X. Dizemos que

x 2 X ponto de acumulao de (x) se, dados U vizinhana de x e 0 2 , existe 2 , 0 tal que x 2 U .

Temos imediatamente pela Denio 1.11 que se a rede (x) converge a x, ento

x ponto de acumulao de (x) : Observe tambm que a Denio 1.11 generaliza o

conceito de valor de aderncia de uma sequncia.

Denio 1.12 Sejam X um espao topolgico e x : ! X uma rede em X. Dizemosque y : 0 ! X subrede de x : ! X se y x : 0 ! X, onde 0 umconjunto dirigido e a aplicao : 0 ! satisfaz:

i) Se 1 2 ento (1) (2) ; ( crescente)

ii) Dado 2 , existe 2 0 tal que () : ( conal)

Denotemos a subrede de (x)2 porx()

20 :

13

Seja (xn) uma sequncia em X. Note que toda subsequncia de (xn) uma subrede,

mas note que nem toda subrede de (xn) uma subsequncia de (xn), pois a subrede pode

possui mais ndices que a prpria sequncia.

Proposio 1.13 Se uma rede (x)2 converge para um ponto x 2 X, ento cadasubrede tambm converge para x.

Demonstrao: Suponha que (x) uma rede que converge para x 2 X. Sejamx()

20 uma subrede e U uma vizinhana do ponto x: Como x ! x, existe

0 2 tal que x 2 U , para todo 0: Agora, pelo fato de ser conal, paraeste 0 2 , existe 0 2 0 tal que (0) 0. Assim, para todo 0, temos que () (0) 0 e, portanto, x() 2 U , para todo 0; isto , x() ! x:

Proposio 1.14 Sejam X um espao topolgico e (x)2 uma rede em X. Ento, X

um ponto de acumulao de (x) se, e somente se, a rede (x) possui uma subrede que

converge a x.

Demonstrao: Seja x um ponto de acumulao de (x) : Considere o conjunto de

ndices I = f(; U) 2 Ux; x 2 Ug ; com a relao

(1; U1) (2; U2) () 1 2 e U1 U2:

Assim, I um conjunto dirigido, pela Proposio 1.4. Agora, denimos a funo

: I !

dada por (; U) = : Como a aplicao satisfaz os itens (i) e (ii) da Denio 1.12,

segue quex()

2I =

x(;U)

(;U)2I uma subrede de (x)2 : Seja U0 2 Ux. Como

x ponto de acumulao de (x), existe 0 2 tal que x0 2 U0: Assim, para todo(; U) (0; U0) temos que x 2 U U0: Portanto, x() ! x.

14

Reciprocamente, suponha que a rede (x)2 possui uma subredex()

20 que

converge para x. Sejam U uma vizinhana de x e 0 2 . Como conal, existe1 2 0 tal que (1) 0: Agora, pela convergncia de

x()

, existe 2 2 0 tal que

x() 2 U , para todo 2. Como 0 um conjunto dirigido, tome 2 0 tal que 1 e 2. Assim, () (1) 0 e x() 2 U . Portanto, x um ponto deacumulao da rede (x) :

Captulo 2

Atratores Globais para Sistemas

Semidinmicos

Neste captulo estudamos a teoria de atrator global para sistemas semidinmicos em es-

paos mtricos. O trabalho foi baseada no trabalho de Arago-Costa ([1]), Arago-Costa,

Carvalho, Caraballo, Langa ([2]) e Hale J. K. ([16]). Primeiramente denimos a noo

de sistemas semidinmicos e conjuntos invariantes, apresentando alguns exemplos. Em

seguida, apresentamos o conceito de atrao, atrator global e suas propriedades como,

unicidade e caracterizao pelos conjuntos limitados invariantes. Denimos tambm a

semirbita positiva e, juntamente com esse conceito denimos os sistemas semidinmi-

cos limitados, eventualmente limitados e limitados dissipativos. Aps esses conceitos

desenvolvidos, trabalhamos com os conjuntos !-limite, que descrevem o comportamento

assinttico do sistema. Apresentamos uma caracterizao dos conjuntos !-limite via

sequncias. Um dos conceitos importantes nesse trabalho o de sistema assintotica-

mente compacto, pois nesse sistema os conjuntos !-limite adquirem propriedades como

compacidade, invarincia e atrao. No nal do captulo, apresentamos o teorema que

garante a existncia de atrator global.

2.1 Sistemas Semidinmicos

Assumimos neste captulo que X um espao mtrico com a mtrica d : X X ! R.

15

2.1 Sistemas Semidinmicos 16

Denio 2.1 Uma famlia de aplicaes contnuas

T () = fT (t) : X ! X ; t 0g

chama-se sistema semidinmico ou semiuxo em X se satisfaz as seguintes pro-

priedades:

i) T (0) = I, onde I aplicao identidade em X.

ii) T (t+ s) = T (t) T (s), 8t; s 0 (Propriedade do semigrupo)

iii) A aplicao

[0;+1)X ! X(t; x) 7! T (t)(x)

uma aplicao contnua, onde [0;+1)X dotado da topologia produto.

Pela Propriedade (ii) da Denio 2.1, temos que a famlia das aplicaes contnuas

fT (t) : X ! X ; t 0g

comutativa com respeito composio, pois

T (t) T (s) = T (t+ s) = T (s+ t) = T (s) T (t); 8t; s 0:

Se adicionarmos na Denio 2.1 a condio que T (t) : X ! X um homeomorsmodenimos, para cada t > 0;

T (t) = T (t)1; se t < 0:

Assim, a famlia das aplicaes contnuas fT (t) : X ! X ; t 2 Rg denominada sistemadinmico em X.

Vejamos alguns exemplos de sistema semidinmico.

2.1 Sistemas Semidinmicos 17

Exemplo 2.1 Seja X = Rn espao euclidiano com a mtrica usual. Denimos a apli-

cao

T : R+ Rn ! Rn

(t; x) 7! (t+ x1; :::; t+ xn)onde x = (x1; :::; xn) dada em coordenadas da base cannica de Rn: Vemos facilmente

que T contnua e T (0) x = (0 + x1; :::; 0 + xn) = x: Logo, T (0) = I: Alm disso, para

todo t; s 0 e x 2 Rn;

T (t+ s) (x) = ((t+ s) + x1; :::; (t+ s) + xn)

= (t+ (s+ x1) ; :::; t+ (s+ xn))

= T (t) (s+ x1; :::; s+ xn)

= T (t) [T (s) (x)] :

Logo, T (t+ s) = T (t) T (s) : Portanto, a aplicao T dene um sistema semidinmicoem Rn: Note que se considerarmos R ao invs de R+ , temos que a aplicao T dene

um sistema dinmico em Rn:

Exemplo 2.2 Seja GL (n;R) o conjunto das matrizes reais invertveis de ordem n.

Denimos a aplicao

T : R+ GL (n;R) ! GL (n;R)(t; x) 7! etx

Temos que T contnua e T (0) (x) = e0x = x e

T (t+ s) (x) = et+sx = etesx

= T (t) (esx)

= T (t) [T (s) (x)] ;

para todo t; s 0 e x 2 GL (n;R) : Portanto, a aplicao T dene um sistema semi-dinmico em GL (n;R).

2.2 Atratores Globais para Sistemas Semidinmicos 18

Exemplo 2.3 A soluo 'x : R ! Rn da equao diferencial x0 = X (x) ; onde X um campo de vetores completo denido no aberto E Rn; determina o uxo (ou sistemadinmico) : RE ! E denido por (t; x) = 'x (t) : Se tomarmos apenas R+ temosque a soluo 'x dene um sistema semidinmico.

Denimos agora o conceito de conjuntos invariantes pelo sistema semidinmico, que

um dos requisitos para denir o atrator global.

Denio 2.2 Um subconjunto A de X chamado invariante pelo sistema semi-

dinmico T () quando T (t)A = A; para todo t 0, onde T (t)A = fT (t)(x); x 2 Ag :

Para simplicao da escrita, denotemos T (t)x ao invs de T (t) (x) :

Proposio 2.3 Seja fAg2 uma famlia de subconjuntos invariantes pelo sistemasemidinmico T () : Ento, A =

[2A invariante.

Demonstrao: Temos que para cada t 0;

T (t)A = T (t)

[2A

!=[2

(T (t)A) :

Como A invariante, 8 2 ; temos T (t)A = A: Assim, para cada t 0;

T (t)A =[2

(T (t)A) =[2A = A:

Portanto, A invariante.

2.2 Atratores Globais para Sistemas Semidinmicos

Para estudar o comportamento assinttico de um sistema semidinmico, precisamos

de uma ferramenta para medirmos a distncia entre os conjuntos relacionados com a


dinmica do sistema. Assim, denimos a noo de semidistncia de Hausdor, como

segue:

Denio 2.4 Dados A e B subconjuntos no vazios de X; denimos a semidistncia

de Hausdor de A at B como

dist (A;B) = supa2A

(d (a;B)) = supa2A

infb2Bd (a; b)

:

A semidistncia de Hausdor satisfaz a desigualdade triangular, ou seja,

Lema 2.5 Para todos os subconjuntos no vazios A;B;C X, vale a desigualdade

dist (A;C) dist (A;B) + dist (B;C) :

Demonstrao: Sejam a 2 A; b 2 B; c 2 C, temos

d (a; c) d (a; b) + d (b; c) :

Aplicando o nmo em C, temos

d (a; C) d (a; b) + d (b; C) :

Agora, aplicando o nmo em B, temos

d (a; C) d (a;B) + infb2B

(d (b; C))

d (a;B) + supb2B

(d (b; C))

= d (a;B) + dist (B;C) :

Finalmente, aplicando o supremo em A, temos

dist (A;C) dist (A;B) + dist (B;C) :


Proposio 2.6 Sejam os subconjuntos A e B de X no vazios. Ento, dist (A;B) = 0

se, e somente se, A B:

Demonstrao: Suponha que dist (A;B) = 0. Fixando a 2 A, temos

0 d (a;B) supa2A

(d (a;B)) = dist (A;B) = 0;

donde d (a;B) = 0: Como d (a;B) = infb2Bd (a; b), para cada n 2 N, existe bn 2 B tal que

0 = d(a;B) < d (a; bn) 0, denimos a -vizinhana de A como

B (A; ) = fx 2 X; d (x;A) < g =[a2AB (a; ) :

Temos uma forma equivalente de denir o conceito de atrao, onde apresentamos o

seguinte resultado:


Proposio 2.8 Sejam os subconjuntos A e B de X. Ento, A atrai B pelo sistema

semidinmico T () se, e somente se, dado > 0 existe = (; B) 0 tal que

T (t)B B (A; ) ; para todo t :

Demonstrao: Com efeito, suponha que A atrai B; como foi denida na Denio 2.7

e tomemos x 2 T (t)B. Ento,

limt!+1

dist (T (t)B;A) = 0:

Logo, dado > 0; existe 2 N tal que para todo t , tem-se jdist (T (t)B;A)j < :Assim, supx2T (t)B

infa2Ad (x; a)

< ; 8t :Implicando que

infa2Ad (x; a) = d (x;A) < ; 8t ;

onde concluimos que x 2 B (A; ) :Reciprocamente, suponha que dado > 0 ; existe um nmero real = (; B) 0

tal que T (t)B B (A; ) ; para todo t . Seja x 2 T (t)B; t : Ento, x 2 B (A; ) ;isto , d (x;A) < : Como x 2 T (t)B arbitrrio, temos que supx2T (t)Bd (x;A)

; 8t :Logo, pela arbitrariedade de > 0, segue que

limt!+1

dist (T (t)B;A) = 0:

Portanto, A atrai B:

Agora, dado > 0; se um subconjunto A de X limitado, ento B (A; ) limitado.


De fato, seja x 2 A: Como A limitado, existe 0 > 0 tal que A B (x; 0) : Agoraseja y 2 B (A; ) : Ento, d (y; A) < : Assim, d (y; ay) = < ; para algum ay 2 A e > 0: Logo,

d (y; x) d (y; ay) + d (ay; x) < + 0:

Portanto, B (A; ) B (x; + 0) ; isto , B (A; ) limitado.Vamos denir agora a noo de atratores globais.

Denio 2.9 Um subconjunto A de X um atrator global para o sistema semi-

dinmico T () se A no vazio, compacto, invariante e atrai todo subconjunto limitadode X:

O primeiro resultado sobre atratores globais a sua unicidade. Apenas pela Denio

2.9, no temos a clareza se um sistema semidinmico pode possuir mais de um atrator

global. Porm, a proposio a seguir nos mostra que cada sistema semidinmico pode

possuir, no mximo, um atrator global no sentido da Denio 2.9.

Proposio 2.10 Se existe um atrator global para um sistema semidinmico T (), entoele nico.

Demonstrao: Sejam A1 e A2 atratores globais para o sistema semidmico T () :Como A2 compacto e como A1 atrator global, temos que A1 atrai A2: Assim,

limt!+1

dist (T (t)A2;A1) = 0:

Agora, por A2 ser invariante, temos que

0 = limt!+1

dist (T (t)A2;A1) = limt!+1

dist (A2;A1) = dist (A2;A1) :

Pela Proposio 2.6, segue que A2 A1 = A1: A outra incluso obtida de formaanloga, invertendo A1 e A2; obtendo o resultado desejado.


Vamos dar a primeira caracterizao do atrator global em termos de conjuntos limi-

tados invariantes pelo sistema semidinmico.

Teorema 2.11 Se um sistema semidinmico T () possui atrator global A; ento A dada pela unio de todos os subconjuntos invariantes limitados de X.

Demonstrao: SejamA um atrator global para o sistema semidinmico T () e fAg2conjunto de todos os subconjuntos invariantes limitados de X: Por denio de atrator

global, A invariante e limitado, logo A [2A:

Por outro lado, como A limitado, 8 2 ; temos que A atrai cada A; isto , paracada 2 ;

limt!+1

dist(T (t)A;A) = 0:

Pelo fato de A ser invariante, 8 2 ; temos que

limt!+1

dist(A;A) = 0:

Logo, pela Proposio 2.6, segue que A A = A; 8 2 : Portanto, A =[2A:

Vamos denir as semirbitas positivas e a partir da, podemos introduzir o conceito

de sistemas limitados e eventualmente limitados.

Denio 2.12 Dado um subconjunto B de X; sua semirbita positiva relativa ao

sistema semidinmico T () o conjunto

+ (B) = fT (t)x; t 0; x 2 Bg =[x2B

+ (x) :

Agora, dado 0; a semirbita positiva de B direita de o conjunto

+ (B) = fT (t)x; t ; x 2 Bg = + (T ()B) :


Denio 2.13 Dizemos que um sistema semidinmico T () limitado, se a semir-bita positiva de qualquer subconjunto limitado de X limitada em X: Um sistema semi-

dinmico T () chamado eventualmente limitado, se para cada subconjunto limitado,existe 0 tal que sua semirbita positiva direita de limitada em X:

Os sistemas semidinmicos que possuem atratores globais so eventualmente limita-

dos, ou seja,

Proposio 2.14 Se o sistema semidinmico T () possui um atrator global A, entoele eventualmente limitado.

Demonstrao: Seja B um subconjunto limitado de X. Ento, A atrai B; ou seja,dado > 0; existe 0 tal que

T (t)B B (A; ) ; 8t :

Logo,

+ (B) B (A; ) :

Como A limitado segue que B (A; ) limitado e, portanto, + (B) limitado em X;isto , o sistema semidinmico eventualmente limitado.

A seguir, denimos a noo de absoro de um conjunto pela ao do sistema. Com

esta denio, podemos introduzir o conceito de dissipatividade do sistema semidinmico.

Denio 2.15 Dados B e D subconjuntos de X, dizemos que D absorve B pela ao

do sistema semidinmico T () ; se existe 0 tal que T (t)B D; para todo t :Um sistema semidinmico T () dito limitado dissipativo, se existe um subconjuntolimitado D de X tal que D absorve todo subconjunto limitado de X pela ao de T () :Dizemos que um sistema semidinmico T () ponto dissipativo, se existe um subcon-junto limitado D de X tal que absorve cada ponto x 2 X; isto , para cada ponto x 2 X,existe x 0 tal que T (t)x 2 D; 8t x:


Os conceitos de atrao e absoro so equivalentes no seguinte sentido:

Proposio 2.16 Um sistema semidinmico T () limitado dissipativo se, e somentese, existe um subconjunto limitado D de X que atrai todo subconjunto limitado de X:

Demonstrao: Suponha que o sistema semidinmico T () limitado dissipativo. En-to, existe um subconjunto limitado D de X que absorve cada subconjunto limitado B

de X, 2 : Assim, para cada 2 ; existe 0 tal que

T (t)B D; 8t :

Mas, dado > 0; temos que D B (D; ) ; logo,

T (t)B B (D; ) ; 8t :

Portanto, D atrai B; para todo 2 :Reciprocamente, suponha que existe um subconjunto limitado B de X que atrai todo

subconjunto limitado B deX, 2 : Ento, dado > 0 ; para cada 2 ; existe 0tal que

T (t)B B (B; ) ; 8t :

Como B limitado em X, temos que B (B; ) limitado em X: Tome o subconjunto

limitado D = B (B; ) de X: Logo, para cada 2 ; existe 0 tal que

T (t)B D; 8t :

Portanto, o sistema semidinmico T () limitado dissipativo.

Em particular, a Proposio 2.16 diz que, se o sistema semidinmico possui um

atrator global, ento ele limitado dissipativo.


Exemplo 2.4 Seja o sistema semidinmico sobre R2 dado por

T : R+ R2 ! R2

(t; (x; y)) 7! (etx; ety)

Temos que A = f(0; 0)g atrator global para este sistema. Com efeito, claramente A no vazio, compacto e invariante. Basta mostrar que A atrai todo subconjunto limitadode R2: Seja B R2 limitado. Ento, existe M > 0 tal que k(x; y)k M; para todo(x; y) 2 B. Dado > 0, tome > 0 tal que e <

M, logo para todo t ;

kT (t) (x; y)k =

etx; ety

e k(x; y)k eM < :Portanto, dado > 0, existe > 0 tal que T (t)B B (A; ), para todo t ; isto ,A atrai B. E pela Proposio 2.16, o sistema limitado dissiapativo. Observe abaixo atrajetria do sitema.

Figura 2.1: Exemplos de trajetrias do sistema

2.3 Conjuntos !-limite

2.3 Conjuntos !-limite 27

Nesta seo vamos introduzir o conceito de conjuntos !-limite, fundamental para desen-

volver os resultados da teoria dos atratores globais. Apresentamos os principais resulta-

dos envolvendo conjuntos !-limite e mais adiante, denimos os sistemas assintoticamente

compactos. Esses sistemas so interessantes quando queremos estudar o atrator global.

Denio 2.17 Dado um subconjunto B de X; seu conjunto !-limite em relao a

sistema semidinmico T () o conjunto

! (B) =\t0

[stT (s)B

!=\t0

+t (B):

Note que, por denio o conjunto !-limite fechado, pois interseo de conjuntos

fechados.

A Proposio a seguir muito til ao trabalharmos com os conjuntos !-limite, pois

caracteriza-os em forma de sequncias, j que o espao X um espao mtrico.

Proposio 2.18 O conjunto !-limite de um subconjunto B de X caracterizado por

! (B) =

8


Por outro lado, seja x 2 !0 (B) : Ento existem sequncias (tn) R+ e (xn) B,com tn ! +1; tais que T (tn)xn ! x: Agora, para um t 0 xado, seja n0 2 N talque tn t, para todo n n0: Assim, T (tn)xn 2 +t (B) : Como T (tn)xn ! x, segueque x 2 +t (B): Pela arbitrariedade de t 0, segue que x 2

\t0

+t (B) = ! (B) :

Usando a Proposio 2.18, podemos mostrar os resultados que segue:

Sejam B;C X, ento ! (B \ C) ! (B) \ ! (C) : E se B C, ento ! (B) ! (C) : De fato, seja x 2 ! (B \ C) : Ento, pela Prposio 2.18, existem sequncias (tn)em R+; com tn ! +1 e (xn) em B \ C tais que T (tn)xn ! x: Mas, (xn) B e(xn) C: Logo, novamente pela Proposio 2.18, segue que x 2 ! (B) \ ! (C) : Agora,seja x 2 ! (B) : Pela Proposio 2.18, existem sequncias (tn) em R+; com tn ! +1 e(xn) em B tais que T (tn)xn ! x: Por hiptese, B C; ento, (xn) C: Logo, pelaProposio 2.18, x 2 ! (C).

Exemplo 2.5 Seja o sistema semidinmico ' : R+ R2 ! R2 dado por

' (t; x) =x1e

1t; x2e2t;

com 1 < 0 < 2 constantes reais. Temos que ' soluo da equao diferencial

x0 = Ax;

onde

A =

0@ 1 00 2

1A uma matriz em relao a uma base fv1; v2g de autovetores associados a autovalores 1e 2: Seja x = (x1; x2) 2 R2 xo. Se x2 6= 0, a trajetria 'x (t) = ' (t; x) tende a 1se aproximando da reta E2 gerada pelo vetor v2, quando t ! +1: Agora, se x2 = 0,temos que 'x (t) tende a origem (0; 0) : Assim, temos os respectivos conjuntos !-limite8


Alm disso, esse sistema no possui atrator global. De fato, seja x = (x1; x2) 2 R2;x1; x2 > 0: Se existe A R2 atrator global, dado > 0, existe > 0 tal que ' (t; x) 2B (A; ), para todo t : Mas, se t ! +1, temos que x2e2t ! +1, onde no existe > 0 tal que ' (t; x) 2 B (A; ), j que B (A; ) limitado. Logo, esse sistema no possuiatrator global. Veja abaixo um exemplo da trajetria do sistema.

Figura 2.2: Exemplo de sistema que no possui atrator global

Exemplo 2.6 Seja o campo de vetores sobre R2 dado por

X (x; y) = (y;x) :

A trajetria desse campo pode ser escrita como

' (t; (x; y)) =

0@ cos t sin t sin t cos t

1A0@ xy

1A ;que so circunferncias centradas em (0; 0). Assim, o conjunto !-limite do ponto (x; y)

coincide com a rbita desse ponto. Note que esse sistema no possui atrator global, caso

contrrio, se A R2 atrator global, ento A atrai todo ponto (x; y) 2 R2: Assim, dados


(x0; y0) 2 R2 e > 0, existe 0 tal que ' (t; (x0; y0)) B (A; ) ; para todo t :Como B (A; ) limitado, existeM > 0 tal que k(x; y)k M , para todo (x; y) 2 B (A; ) :Logo, se tomarmos (x0; y0) 2 R2 com x0 > M , temos que k' (t; (x0; y0))k > M , paratodo t 0. Portanto, ' (t; (x0; y0)) 62 B (A; ), para todo t 0, o que contradiz o fato deA ser atrator global

A rbita e o conjunto !-limite coincidem

Em seguida, denimos o chamado sistema semidinmico assintoticamente compacto,

que uma propriedade fundamental para estudarmos os principais resultados referentes

aos conjuntos !-limite e atratores globais.

Denio 2.19 Um sistema semidinmico T () chamado assintoticamente com-pacto, se para toda sequncia limitada (xn) em X e toda sequncia (tn) em R+, com

tn ! +1; a sequncia (T (tn)xn) em X possui subsequncia convergente.

Como o espao X mtrico, temos imediatamente que se X compacto ento o

sistema T () assintoticamente compacto. Porm, a recproca nem sempre verdadeira.Sejam X = R e 0 < a < 1: Considere o sistema

T : R+ R ! R(t; x) 7! atx


Sejam (tn) R+ com tn ! +1 e (xn) R limitada. Ento, temos que existe umasubsequncia (xnk) que converge para um certo ponto x 2 R: Como atnk ! 0 segue queatnkxnk ! 0: Logo, o sistema T () assintoticamente compacto mas o espao X = Rno compacto.

Denio 2.20 Dizemos que um sistema semidinmico T () em X eventualmentecompacto, se existe t0 > 0 tal que a aplicao T (t0) : X ! X uma aplicao com-pacta, isto , para todo subconjunto limitado B de X, o conjunto T (t0)B relativamente

compacto.

Se o sistema semidinmico T () eventualmente compacto, ento existe t0 > 0 talque T (t0) : X ! X, uma aplicao compacta. Assim, xando t0 > 0, temos que paratodo t t0, a aplicao T (t) : X ! X, compacta. Com efeito, para t t0, temos aseguinte igualdade, T (t) = T (t t0) T (t0) : Como T (t t0) contnua, para B Xlimitado,

T (t)B = [T (t t0) T (t0)] (B) T (t t0)hT (t0)B

i:

Por T (t0) ser aplicao compacta e T (t t0) ser contnua, temos que T (t t0)hT (t0)B

i compacto. Portanto, T (t)B compacto.

A seguir temos uma relao entre os sistemas eventualmente limitados, eventualmente

compactos e assintoticamente compactos.

Proposio 2.21 Se um sistema semidinmico T () eventualmente limitado e even-tualmente compacto, ento T () assintoticamente compacto.

Demonstrao: Sejam as sequncias (xn) X limitada e (tn) R+ com tn ! +1:Pelo fato de T () ser eventualmente limitado, dado B0 = fxn; n 2 Ng um subconjuntolimitado deX, existe uma constante real 0 tal que + (B0) = fT (t)xn; t ; xn 2 B0g limitado. Como T () eventualmente compacto, existe t0 > 0 tal que a aplicao T (t0)


compacta. Seja n0 2 N tal que tn t0 + ; para todo n n0: Assim, tn t0 , paratodo n n0 e podemos denir o conjunto

B = fT (tn t0)xn; xn 2 B0; n n0g :

Temos que B + (B0) ; donde B um subconjunto limitado de X. Logo,

T (t0)B = fT (t0)x; x 2 Bg= fT (t0) [T (tn t0)xn] ; n n0g= fT (tn)xn; n n0g

relativamente compacto. Portanto, a sequncia (T (tn)xn) possui subsequncia conver-

gente, mostrando que o sistema semidinmico T () assintoticamente compacto.

Apresentamos agora as propriedades envolvendo os conjuntos !-limite, quando o sis-

tema semidinmico assintoticamente compacto. Esses resultados sero utilizados mais

adiante e assim mostremos como interessante a compacidade assinttica do sistema.

Proposio 2.22 Seja T () um sistema semidinmico assintoticamente compacto emX. Para todo subconjunto limitado B de X, seu conjunto !-limite no vazio, compacto,

invariante e atrai o subconjunto B pela ao de T () :

Demonstrao: Mostremos que

! (B) 6= ;;

Sejam as sequncias (xn) B limitada e (tn) R+ com tn ! +1: Pela com-pacidade assinttica de T (), a sequncia (T (tn)xn) em X possui subsequncia(T (tnk)xnk) que converge para um ponto x 2 X: Como (xnk) B; (tnk) R+com tnk ! +1 e (T (tnk)xnk) ! x; pela Proposio 2.18, segue que x 2 ! (B) :


! (B) compacto;

Seja (xn) uma sequncia em ! (B) =\t0

+t (B): Para cada n 2 N e para cada t 0,

tome yn;t 2 +t (B) \Bxn;

1n

: Como

+t (B) = fT (s) b; s t; b 2 Bg ;

podemos escrever yn;t = T (sn;t) bn;t, onde sn;t t e bn;t 2 B: Denimos umconjunto de ndices N RN com a relao

(n; f) (m; g) () n m e f (k) g (k) ;8k 2 N:

Pela Proposio 1.4, temos que o conjunto N RN um conjunto dirigido. Para(n; f) 2 N RN, demotemos y(n;f) = T

s(n;f)

b(n;f), onde

s(n;f) = sn;f(n) f (n) e b(n;f) = bn;f(n) 2 B:

Dado t 0; seja ft 2 RN denida por ft (n) = t + n, 8n 2 N: Assim, para todo(n; f) (1; ft), temos que

s(n;f) = sn;f(n) f (n) ft (n) = t+ n:

Logo, s(n;f) ! +1: Temos que podemos considerar a redes(n;f)

como sequn-

cia, pois dado M > 0, existe n0 2 N, onde t+ n0 M; assim,

s(n;f) t+ n t+ n0 M;

para todo n n0: Logo, considere as sequnciass(n;f)

R+ e b(n;f) B:Como T () assintoticamente compacto, a sequncia T s(n;f) b(n;f) possui umasubsequncia

Ts(nk;fk)

b(nk;fk)

=y(nk;fk)

que converge para x 2 X: Como s(nk;fk) ! +1 e

b(nk;fk)

B ; temos quex 2 ! (B) : Agora, para cada nk 2 N; como y(nk;fk) 2 +fk(nk) (B) \ B

xnk ;

1nk

;


temos

d (xnk ; x) dxnk ; y(nk;fk)

+ d

y(nk;fk); x

0, existe 0 tal que

T (t)B B (! (B) ; ) ,

para todo t . Suponha por contradio que existe > 0 tal que para todot 0;

T (t)B 6 B (! (B) ; ) : (2.1)

Assim, podemos obter (tn) R+; com tn ! +1; satisfazendo a condio 2.1,para todo n 2 N: Por outro lado, para cada n 2 N; podemos tomar xn 2 B tal que

T (tn)xn 62 B (! (B) ; ) ;

ou seja, para cada n 2 N; d (T (tn)xn; ! (B)) : Como T () assintoticamentecompacto, (xn) em B limitada e (tn) em R+ com tn ! +1; a sequncia(T (tn)xn) possui uma subsequncia (T (tnk)xnk) que converge para um ponto x 2X: Ento, x 2 ! (B) e pela continuidade de d, temos d (x; ! (B)) : Logo,x =2 ! (B) ; o que uma contradio. Portanto, ! (B) atrai B:

Proposio 2.23 Seja T () um sistema semidinmico assintoticamente compacto. SeB um subconjunto limitado de X, ento ! (B) menor subconjunto fechado de X que

atrai B:

Demonstrao: Pela Proposio 2.22, sabemos que ! (B) um subconjunto fechado

que atrai B. Basta mostrar que o menor subconjunto fechado com essa propriedade.

Seja F um subconjunto fechado de X que atrai B. Suponha por contradio que ! (B) 6F: Ento, existe x 2 ! (B) tal que x =2 F: Assim, seja > 0 tal que d (x; F ) = : Como


x 2 ! (B) ; existem sequncias (tn) R+ e (xn) B, com tn ! +1; tais queT (tn)xn ! x: Por outro lado, como F atrai B, dado = 2 > 0, existe t0 0 tal que

dist (T (t)B;F ) 0 tal que

T (t)C B! (B) ;

2

; 8t t0:


Logo,

+t0 (C) B! (B) ;

2

= B

F1;

2

[ B

F2;

2

:

Considere a aplicao contnua

T : [t0;+1) C ! X(t; x) 7! T (t)x

Ento, a rbita positiva direita de t0; +t0 (C) = fT (t)x; t t0; x 2 Cg ; imagem daaplicao contnua T denida acima. Como [t0;+1) C conexo, segue que +t0 (C) conexo, e como d (F1; F2) = ; segue que B

F1;

2

e B

F2;

2

so conjuntos abertos e

disjuntos. Logo, devemos ter +t0 (C) BF1;

2

ou +t0 (C) B

F2;

2

: Sem perda de

generalidade, suponha que +t0 (C) BF1;

2

: Ento,

F2 ! (B) = \t0

+t (B) +t0 (C) B

F1;

2

;

concluindo que d (F1; F2) 2 ; o que um absurdo. Portanto, ! (B) um conjuntoconexo.

Proposio 2.25 Seja T () um sistema semidinmico e A um subconjunto fechado einvariante em X. Ento, ! (A) = A:

Demonstrao: Como A fechado e invariante, temos

! (A) =\t0

[stT (s)A

!=\t0A = A:

Note que na Proposio 2.25, se retirarmos a hiptese de que A fechado, temos

somente a incluso

A ! (A) :

2.4 Existncia do Atrator Global para Sistemas Semidinmicos 38

2.4 Existncia do Atrator Global para Sistemas Semi-

dinmicos

O Teorema que apresentamos nesta seo, garante a existncia de atrator global para

sistemas semidinmicos que so assintoticamente compactos e limitados dissipativos.

Alm disso, caracteriza o atrator global em termos de conjuntos !-limite.

Teorema 2.26 Seja T () um sistema semidinmico em um espao mtrico X. Ento,T () possui atrator global se, e somente se, T () assintoticamente compacto e limitadodissipativo. Em caso armativo, se B uma coleo de todos os subconjuntos limitados,no vazios de X; ento

A =[B2B

! (B) :

Demonstrao: Suponha que T () possui um atrator global A. Ento, pela Proposio2.16, temos que T () limitado dissipativo. Agora, tomemos uma sequncia limitada(xn) X e (tn) R+ com tn ! +1: Considere B = fxn 2 X; n 2 Ng um conjuntolimitado. ComoA atrator global, temos queA atrai B, ou seja, lim

t!+1dist (T (t)B;A) =

0: Em particular, limn!+1

supb2B

(d (T (tn) b;A))= 0: Assim, para cada j 2 N; existe zj 2 A

tal que

dTtnjxnj ; zj

0 dado. Basta provar que A compacto. Com efeito, como T () limitadodissipativo, existe D0 X limitado tal que D0 absorve cada B 2 B. Tome, se necessrio,D = D0 subconjunto fechado de X. Pela Proposio 2.23, temos que ! (B) menor

subconjunto fechado de X que atrai B, para todo B em B, e como D absorve B, eportanto atrai B, temos que ! (B) D; para todo B em B. Logo, A D, donde! (A) ! (D) : Como A invariante, pela Proposio 2.25, temos que A ! (A) ;donde temos as incluses

A ! (A) ! (D) :

Mas, D um subconjunto limitado, ento D 2 B e ! (D) A. Assim, A = ! (D) epela Proposio 2.22, ! (D) compacto, concluindo que A compacto. Portanto, A um atrator global.

Temos uma consequncia do teorema anterior que garante a existncia do atrator

global para semiuxos eventualmente compactos, eventualmente limitados e ponto dis-

sipativos.

Corolrio 2.27 Se um sistema semidinmico T () eventualmente compacto, eventual-mente limitado e ponto dissipativo, ento T () possui um atrator global.

Demonstrao: Note que pela Proposio 2.21, temos que o sistema semidinmico T () assintoticamente compacto. Mostremos que T () limitado dissipativo. De fato, comoo sistema semidinmico T () ponto dissipativo, existe um subconjunto limitado D0 de


X que absorve cada ponto x 2 X: Dado > 0, considere o subconjunto limitado

D1 = B (D0; ) :

Por T () ser eventualmente limitado, para este subconjunto limitado D1, existe 0tal que o subconjunto

D = + (D1)

limitado. Armamos que o subconjunto D de X absorve todo subconjunto limitado

de X: Com efeito, primeiramente seja K um subconjunto compacto de X. Ento, para

cada x 2 K, existe um nmero real x 0 tal que

T (t)x 2 D0 D1; 8t x:

Como D1 um subconjunto aberto de X e T (x) contnua, existe x > 0 tal que

T (x) B (x; x) D1:

Agora, pela denio de semirbita positiva direita de ; D = + (D1) ; temos que

T (t x) [T (x) B (x; x)] D; 8t x ;

ou seja,

T (t) B (x; x) D; 8t x + : (2.3)

Por outro lado, fB (x; x)gx2K uma cobertura aberta para o subconjunto K. Como K compacto, existem x1; :::; xn 2 K tais que

K n[j=1

Bx; xj

:

Tome K = max1jn

xj : Ento, por 2.3, temos

T (t)K D; 8t K + : (2.4)


Como o sistema semidinmico T () eventualmente compacto, existe uma constante realt0 0 tal que T (t0) uma aplicao compacta. Agora, dado um subconjunto limitadoB de X, temos que K = T (t0)B compacto. Logo, por 2.4,

T (t) [T (t0)B] T (t)T (t0)B = T (t)K D; 8t K +

Seja = t0 + K + : Ento, para todo t , temos que t t0 K + , donde

T (t t0) [T (t0)B] D; 8t t0 K + ;

isto ,

T (t)B D; 8t :

Logo, o subconjunto D absorve todo subconjunto limitado B de X, mostrando que T () limitado dissipativo. Pelo Teorema 2.26, segue que o sistema semidinmico T () possuium atrator global.

Exemplo 2.7 Vimos no Exemplo 2.5 que o sistema no possui atrator global. Isto deve

ao fato de falhar a condio de compacidade assinttica do sistema. De fato, sejam as

sequncias (xn; yn) R2 limitada e (tn) R+ com tn ! +1: Temos que existe umasubsequncia (xnk ; ynk) ! (x; y) 2 R2: Mas, se tn ! +1, e1tn ! 0 e e2tn ! +1,assim, ynke

2tnk ! +1: Logo, a sequncia xne1tn ; yne2tn no possui subsequnciaconvergente.


Figura 2.3: Exemplo de sistema que no assintoticamente compacto.

Captulo 3

Atratores Globais para Aes de

Semigrupos

Aqui apresentamos todos os resultados do captulo anterior, generalizados para aes de

semigrupos, que so extenses de sistemas semidinmicos. Considerando a base de ltro,

chamado Filtro de Frchet,

F = f[ ;+1); 0g ;

todos os conceitos envolvendo a famlia de subconjuntos do semigrupo pode ser con-

siderado para sistemas semidinmicos. Iniciamos o captulo com a denio de ao e

conjuntos invariantes. Apresentamos a noo de atrao e atrator global. A diferena

para o captulo anterior que para aes de semigrupos, o conceito de atrao depende da

famlia de subconjuntos do semigrupo em questo. Denimos, em seguida, os conceitos

de semirbitas, aes eventualmente limitadas e limitadas dissipativas. Braga Barros e

Souza introduziram em [6], a denio de conjuntos !-limite para aes de semigrupos

e aqui utilizamos a mesma denio. Apresentamos uma caracterizao dos conjuntos

!-limite em forma de redes e a denio de aes assintoticamente compactas e even-

tualmente compactas. Temos que se a ao assintoticamente compacta, os conjuntos

!-limite adquirem algumas propriedades como a compacidade. Em [7], temos o resultado

que garante a invarincia dos conjuntos !-limite para espaos compactos. Mostramos

neste trabalho que se a ao assintoticamente compacta, ento os conjuntos !-limite

43

3.1 Aes de Semigrupos 44

de conjuntos limitados so invariantes. No nal do captulo, temos o principal resultado

que garante a existncia de atrator global para aes de semigrupos.

3.1 Aes de Semigrupos

Seja X um espao mtrico com a mtrica d : X X ! R e S um semigrupo.

Denio 3.1 Uma ao ( esquerda) de S sobre X; denotada por (S; X; ) ; umaaplicao dada por

: S X ! X(s; x) 7! sx

satisfazendo

(st; x) = (s; (t; x)) ;

para todo s; t 2 S e para todo x 2 X; ou seja,

(st)x = s (tx) ;

para todo s; t 2 S e para todo x 2 X:

Para cada s 2 S; denimos a aplicao s : X ! X; dada por s (x) = sx; 8x 2 X:Assumimos aqui que a aplicao s contnua. Assim, podemos denir uma famlia de

aplicaes contnuas fs; s 2 Sg como zemos para sistemas semidinmicos.Vejamos alguns exemplos de aes de semigrupos.

Exemplo 3.1 Seja X um espao mtrico. Temos que sistema semidinmico

T () = fT (t) : X ! X; T (t) contnua e t 2 R+g

apresentado na Denio 2.1 uma ao de semigrupo dos reais no negativos com a

operao de adio, se considerarmos a ao (t; x) = T (t)x:


Exemplo 3.2 Seja

G = fg 2 GL (n;R) ; det g > 0g

munido com a operao de produto de matrizes. Temos que G um grupo. Considere a

seguinte aplicao

: G Rn ! Rn

(g; x) 7! gx(3.1)

Temos que uma ao do grupo G sobre Rn: De fato, sejam g1; g2 2 G e x 2 Rn,

(g1g2; x) = (g1g2)x = g1 (g2x) = (g1; g2x) = (g1; (g2; x)) :

Podemos tambm considerar o semigrupo S = fg 2 GL (n;Rn) ; det g > 1g munido coma operao de multiplicao de matrizes e a aplicao denida em 3.1.

Exemplo 3.3 Seja S = (0; 1) R o semigrupo com a operao de multipicao usual.Temos que a aplicao

: S R2 ! R2

(s; (x; y)) 7! (sx; sy) uma ao de S. Com efeito, sejam s; t 2 S e (x; y) 2 R2;

(st; (x; y)) = ((st)x; (st) y) = (s (tx) ; s (ty))

= (s; (tx; ty)) = (s; (t; (x; y))) :

Exemplo 3.4 Considere o semigrupo

S = (s; t) 2 R2; s; t > 0munido com a operao de soma usual em R2: Seja 0 < a < 1 uma constante real.

Denimos a aplicao

: S R2 ! R2

((s; t) ; (x; y)) 7! (asx; aty)


Temos que uma ao de semigrupo, pois para todo (s1; t1) ; (s2; t2) 2 S e (x; y) 2 R2;

((s1; t1) + (s2; t2) ; (x; y)) = ((s1 + s2; t1 + t2) ; (x; y))

=as1+s2x; at1+t2y

=

as1as2x; at1at2y

=

(s1; t1) ;

as2x; at2y

= ((s1; t1) ; ((s2; t2) ; (x; y))) :

Vamos denir o conceito de invarincia de um conjunto pela ao de um semigrupo.

Denio 3.2 Um subconjunto A de X invariante pela ao de um semigrupo S sesA = A; para todo s 2 S; onde sA = fsa; a 2 Ag :

Proposio 3.3 Seja fAg2 uma coleo de subconjuntos invariantes de X. Ento,

A =[2A:

tambm invariante.

Demonstrao: Para todo s 2 S; temos que

s

[2A

!=[2sA: (3.2)

Como A invariante, para todo 2 , usando a igualdade 3.2, temos

sA = s

[2A

!=[2sA = A:

Portanto, A invariante.

Seja F uma famlia de subconjuntos do semigrupo S. Denimos a noo de atraopara ao de semigrupo, como segue:


Denio 3.4 Dizemos que um subconjunto A de X F-atrai um subconjunto B de Xpela ao de semigrupo S se, dado > 0, existe F 2 F tal que

FB B (A; ) :

Note que a Denio 3.4 depende da famlia F . Assim, o conceito de atrator globalpara aes de semigrupos que denimos a seguir, tambm depende da famlia F . Logo,pode ocorrer o caso onde existe o atrator global para uma ao de semigrupo con-

siderando uma determinada famlia e no existir se considerar uma outra famlia (ver

Exemplo 3.6 e Exemplo 3.14).

Denio 3.5 Um subconjunto A de X chamado F-atrator global para a ao desemigrupo S se A no vazio, compacto, invariante e F-atrai todo subconjunto limitadode X pela ao de S.

Proposio 3.6 Se uma ao de semigrupo S possui um F-atrator global A, ento ele nico.

Demonstrao: Sejam A1 e A2 F-atratores globais para a ao de semigrupo S. ComoA2 compacto, em particular, limitado em X. Assim, A1 atrai A2; ou seja, dado > 0,existe F 2 F tal que

FA2 B (A1; ) :

Pela invarincia do conjunto A2, temos que FA2 = A2, donde A2 B (A1; ) : Logo,

dist (A2;A1) < :

Pela arbitrariedade do > 0, segue que

dist (A2;A1) = 0;

pela Proposio 2.6 segue que A2 A1 = A1. Procedendo da mesma forma, trocandoA1 e A2, temos que A1 A2, obtendo a igualdade desejada.


Como zemos no captulo anterior, podemos caracterizar o atrator global para ao

de semigrupo, como unio de subconjuntos limitados e invariantes.

Teorema 3.7 Se uma ao de semigrupo S possui F-atrator global A, ento A se ex-prime como unio de todos os subconjuntos limitados invariantes de X.

Demonstrao: Sejam A um F-atrator global para a ao de um semigrupo S efAg2 o conjunto de todos os subconjuntos limitados invariantes de X. Como A limitado e invariante, temos que

A [2A:

Por outro lado, como A F-atrator global, temos que A F-atrai A, para todo 2 :Assim, dado > 0, existe F F tal que FA B (A; ) : Como A invariante,8 2 , segue que A B (A; ) : Ento, dist (A;A) < : Pela arbitrariedade de > 0;segue que dist (A;A) = 0: Logo, A A = A, pata todo 2 e, portanto,[

2A A.

Denio 3.8 Seja B um subconjunto de X e F uma famlia de subconjuntos de S. Asemirbita de B relativa ao de semigrupo S o conjunto

SB = fsx; s 2 S; x 2 Bg :

Agora, dados um subconjunto B de X e F 2 F , a F-semirbita de B referente a F o conjunto

FB = fsx; s 2 F; x 2 Bg :

Denio 3.9 Dizemos que a ao de semigrupo S limitada se, a semirbita detodo subconjunto limitado de X for limitado em X. Dizemos que a ao de semigrupo


S F-eventualmente limitada se, para cada subconjunto limitado B X a suaF-semirbita for limitada em X.

Note que, se a ao do semigrupo limitada e F uma famlia de subconjuntos deS, ento a ao F-eventualmente limitada, pois FB SB, para todo subconjuntolimitado B de X e F em F :

Exemplo 3.5 Retornando ao Exemplo 3.3, denimos a famlia de subconjuntos de Sda seguinte forma:

F = fFa = (a; 1) ; 0 < a < 1g :

Seja (x; y) 2 R2. A sua semirbita

S (x; y) = (sx; sy) 2 R2; s 2 (0; 1) :Logo, a semirbita S (x; y) um segmento de reta ligando o ponto (x; y) a origem sem asextremidades. Agora, dado Fa 2 F , a F-semirbita de (x; y) referente a Fa o conjunto

Fa (x; y) =(sx; sy) 2 R2; s 2 (a; 1) ;

que um segmento de reta sem as extremidades ligando os pontos (ax; ay) e (x; y) (Veja

a Figura 3.1): Por m, seja B um subconjunto limitado de R2: Ento, existe M > 0 tal

que k(x; y)k M: Assim, para todo s 2 S

k(sx; sy)k = s k(x; y)k sM < M:

Portanto, a ao de S limitada e F-eventualmente limitada.

Proposio 3.10 Se a ao de semigrupo S possui um F-atrator global A, ento a ao F-eventualmente limitada.

Demonstrao: Seja B um subconjunto limitado de X. Como A F-atrator global,dado > 0, existe F 2 F tal que

FB B (A; ) :


Figura 3.1: Semirbitas de (x; y)

Como A limitado, temos que B (A; ) limitado. Logo, FB limitado e, portanto, aao de S F-eventualmente limitada.

Denio 3.11 Dados B e D subconjuntos de X, dizemos que D F-absorve B pelaao de semigrupo relativo a famlia F se existe F 2 F tal que FB D:

Anlogo noo de atrao, o conceito de absoro tambm depende da famlia F .

Denio 3.12 Dizemos que a ao de um semigrupo S F-limitada dissipativa se,existe um subconjunto limitado D de X que F-absorve todo subconjunto limitado de Xpela ao de S. A ao de semigrupo S dita F-ponto dissipativa se, existe D Xlimitado que F-absorve cada ponto x 2 X pela ao de S.

Proposio 3.13 Seja S um semigrupo. Ento, (S; X; ) F-limitada dissipativa se, esomente se, existe um subconjunto limitado D de X tal que D F-atrai todo subconjuntolimitado de X pela ao de S.


Demonstrao: Suponha que (S; X; ) F-limitada dissipativa. Logo, existe um sub-conjunto limitado D de X que F-absorve todo subconjunto limitado B de X. Ento,existe F 2 F tal que FB D: Mas, dado > 0, temos que D B (D; ). Ento, dado > 0, existe F 2 F tal que FB B (D; ) : Portanto, D F-atrai B.Reciprocamente, suponha que existe um subconjunto limitado A de X que F-atrai

todo subconjunto limitado de X pela ao de S. Seja B um subconjunto limitado deX. Ento, dado > 0, existe F 2 F tal que FB B (A; ) : Tome D = B (A; ) que limitado. Assim, existe F 2 F tal que FB D: Logo, D F-absorve B. Portanto, aao de S F-limitada dissipativa.

Exemplo 3.6 Voltando ao Exemplo 3.4, dado r 0, denimos o conjunto

Ar = f(s; t) 2 S; s; t rg :

Assim, considere a base de ltro

F = fAr; r 0g :

Seja B um subconjunto limitado em X: Sua F-semirbita positiva em relao a Ar 2 F

ArB =asx; aty

; s; t r e (x; y) 2 B :

Denamos A = f(0; 0)g : Temos que A um F-atrator global. Com efeito, note que A invariante, pois

((s; t) ; (0; 0)) =as0; at0

= (0; 0) ;

para todo (s; t) 2 S. Alm disso, A compacto. Logo, basta provar que ele F-atrai todosubconjunto limitado de X pela ao de S. Seja > 0. Ento, dado (x0; y0) em B; comoB um subconjunto limitado, existe M > 0 tal que k(x0; y0)k M: Dado > 0, tome

3.2 Conjuntos !-limite para Aes de Semigrupos 52

r > 0 tal que ar < M: Assim, para todo (s; t) 2 Ar e (x; y) 2 B; temos

k ((s; t) ; (x; y))k =

asx; aty

k(arx; ary)k arM< :

Logo, dado > 0, existe r 0 tal que

ArB B ((0; 0) ; )

Portanto, A = f(0; 0)g um F-atrator global. Pela Proposio 3.6, segue que A onico F-atrator global. Agora, pela Proposio 3.10 e Proposio 3.13 temos que a aode S F-eventualmente limitada e F-limitada dissipativa.

Figura 3.2: Base de ltro F e semirbita Ar (x; y)

3.2 Conjuntos !-limite para Aes de Semigrupos

Denio 3.14 Dado um subconjunto B de X, o seu conjunto !-limite com respeito

a famlia F o conjunto! (B;F) =

\F2F

FB:


Note que o conjunto !-limite fechado em X, pois interseo de subconjuntos

fechados em X:

Exemplo 3.7 Temos que o conceito de conjunto !-limite para aes de semigrupos

denida acima generaliza o conceito de conjunto !-limite para sistemas semidinmi-

cos , apresentada na Denio 2.1. De fato, considere a base de ltro, chamada Filtro

de Frchet,

F = fA ; 0g ;

onde A = [ ;+1) R+, 0. Seja B um subconjunto de X. Ento,

AB = fT (t)x; t e x 2 Bg = + (B) :

Assim,

! (B;F) =\0

+ (B) = ! (B) :

Note que, para o caso dos sistemas semidinmicos estudamos o comportamento ass-

inttico fazendo a sequncia (tn) em R+ tendendo a +1. Mas no podemos proceder damesma maneira quando estamos estudando aes de semigrupos. Assim, foi necessrio

introduzir uma nova notao, que permite estudar a assintocidade para aes de semi-

grupos.

Denio 3.15 Seja S um semigrupo e F uma base de ltro sobre S. Dada uma rede(t)2 em S, dizemos que t F -diverge se para cada F 2 F , existe F 2 tal quet 2 F , para todo F : Notao: t !F 1:

Vejamos alguns exemplos Denio 3.15 em vrios contextos.

Exemplo 3.8 A Denio 3.15 generaliza o fato de tn ! +1, pois tomando o Filtrode Frchet, apresentado no Exemplo 3.7, temos que

tn !F 1 () tn ! +1:


Exemplo 3.9 Seja S = fg 2 GL (n;R) ; det g > 0g o semigrupo apresentado no Ex-emplo 3.2. Dado um nmero real r > 0, considere o conjunto Ar = fg 2 S; det g rge denimos a base de ltro F = fAr; r > 0g : Se (g) uma rede em S, dizer queg !F 1 equivale a dizer que det g ! +1:

Exemplo 3.10 No Exemplo 3.5, denimos a famlia F = fFa; 0 < a < 1g de subcon-juntos do semigrupo S = (0; 1), com Fa = (a; 1). Nesse contexto, dizer que t !F 1signica t ! 1:

Exemplo 3.11 Seja F = fAr; r 0g a base de ltro, denida no Exemplo 3.6 so-bre S = R2; onde Ar = f(s; t) 2 S; s; t rg ; para r 0 dado. Temos que a rede(s; t) !F 1 signica que as redes s ! +1 e t ! +1:

Exemplo 3.12 Suponha que S um espao topolgico localmente compacto. Seja

F = fSK; K compacto em Sg

a famlia das vizinhanas de 1 em compacticao por um ponto de S. Temos que F base de ltro e se (t) uma rede em S com t !F 1, ento t !1:

Para facilitar o desenvolvimento dos resultados sobre espaos mtricos, vamos car-

acterizar o conjunto !-limite em termos de redes, analogamente ao captulo anterior,

usando a nova notao introduzida na Denio 3.15.

Proposio 3.16 Sejam B um subconjunto de X e F uma base de ltro. Ento, seuconjunto !-limite caracterizado por

! (B;F) =8


Demonstrao: Seja o conjunto

!0 (B;F) =8


1. Para todos os subconjuntos B e C de X, temos ! (B \ C) ! (B) \ ! (C) :

2. Sejam os subconjuntos B e C de X. Se B C, ento, ! (B) ! (C) :

Vejamos alguns exemplos de conjuntos !-limite.

Exemplo 3.13 Retomando o Exemplo 3.4, seja B um subconjunto limitado de R2: Pela

Proposio 3.16, temos

! (B;F) =8


existe M > 0 tal que A B ((0; 0) ;M) : Agora, como B ((0; 0) ;M) aberto, tome > 0tal que B (A; ) B ((0; 0) ;M) : Sejam (x; y) 2 R2 com y > M e > 0: Se (s; 0) 2 A ,temos

k ((s; 0) ; (x; y))k = k(asx; y)k k(0; y)k> M:

Logo, (s; 0) (x; y) 62 B (A; ), ou seja, A (x; y) 6 B (A; ) : Portanto, no existe G-atratorglobal. Esse fato nos mostra que o conceito de atrao depende da famlia de subconjuntos

no vazios do semigrupo S que estamos considerando.

Figura 3.3: Base de ltro G e semirbita A (x; y)

Vamos denir ao assintoticamente compacta e eventualmente compacta. Note que

a compacidade assinttica de uma ao depende da famlia de subconjuntos de S queest sendo considerada.

Denio 3.17 Sejam S um semigrupo e F uma base de ltro sobre S. A ao dosemigrupo S chamado F- assintoticamente compacta se para toda rede limitada(x) X e para toda rede (t) S com t !F 1; a rede (tx) X possui subredeconvergente.


Denio 3.18 Dizemos que a ao de um semigrupo S eventualmente compactase existe t0 2 S tal que a aplicao t0 : X ! X seja compacta.

Em seguida, vamos apresentar algumas hipteses de translao sobre famlias de

subconjuntos de um semigrupo S. As primeiras trs hipteses so introduzidas em [6]por Braga Barros e Souza.

Denio 3.19 Seja F uma base de ltro sobre S. Dizemos que a famlia F satisfaz:

i) a hiptese H1 se, para todo s 2 S e todo F 2 F , existe F 2 F tal que sF F ;

ii) a hiptese H2 se, para todo s 2 S e todo F 2 F , existe F 2 F tal que F s F ;

iii) a hiptese H3 se, para todo s 2 S e todo F 2 F , existe F 2 F tal que F Fs;

iv) a hiptese H4 se, para todo s 2 S e todo F 2 F , existe F 2 F tal que F sF:

Exemplo 3.15 O Filtro de Frchet do Exemplo 3.7 satisfaz todas as hipteses H1; H2;

H3 e H4 (Veja [6]).

Exemplo 3.16 A base de ltro F dada no Exemplo 3.9 satisfaz as hipteses H1; H2;H3 e H4: De fato, dados g 2 S = GL (n;R)+, Ar 2 F , existe Ar0 2 F com r0 rdet g talque

gAr0 Ar;

pois se g0 2 Ar0, det g0 r0 rdet g , ou seja, det g det g0 r, donde gg0 2 Ar: Logo, Fsatisfaz a hiptese H1 e de modo anlogo podemos mostrar que F satisfaz a hiptese H2:Agora, dados g 2 S e Ar 2 F , existe Ar0 2 F com r0 r det g tal que

Ar0 Arg:

Com efeito, temos que Ar0 = Ar0g1g e se g0 2 Ar0, ento det g0 r det g, ou seja,det g0 1

det g= det g0 det g1 r, donde g0g1g 2 Arg. Logo, F satisfaz a hiptese H3.

Procedendo de modo anlogo, temos que F satisfaz a hiptese H4:


Proposio 3.20 Seja F uma base de ltro sobre S satisfazendo a hiptese H4. Se(S; X; ) eventualmente compacta e F-eventualmente limitada, ento a ao (S; X; ) F-assintoticamente compacta.

Demonstrao: Sejam a rede limitada (x) X e a rede (t) S satisfazendot !F 1: Como (S; X; ) F-eventualmente limitada, dado um conjunto limitadoB0 = fx; 2 g, existe F 0 2 F tal que F 0B0 limitado. Agora, pelo fato de a ao dosemigrupo S ser eventualmente compacta, existe t0 2 S tal que a aplicao t0 : X ! X compacta. Como a famlia F satisfaz a hiptese H4, para t0 2 S e F 0 2 F , existeeF 2 F tal que eF t0F 0: Para este eF 2 F , existe 0 2 tal que t 2 eF , 8 0: Assim,para todo 0; podemos escrever t = t0s; onde s 2 F 0: Denamos o conjunto

B = fsx; 0g :

Como B F 0B0, segue que B limitado. Assim, o conjunto

t0B = ft0sx; 0g = ftx; 0g

relativamente compacto. Logo, a rede (tx) possui subrede convergente e, portanto,

(S; X; ) F-assintoticamente compacta.

Proposio 3.21 Sejam F uma base de ltro sobre o semigrupo S e B um subconjuntolimitado de X: Se (S; X; ) F-assintoticamente compacta, o conjunto !-limite ! (B;F) no vazio, compacto e F-atrai B pela ao de S.

Demonstrao: Mostremos que

! (B;F) 6= ;;

Consideremos as redes (x) emB e (t) em S, com t !F 1: Como (S; X; ) F-assintoticamente compacta, a rede (tx) possui subrede (tkxk) que converge para


um certo ponto x 2 X. Note que se t !F 1, temos que tk !F 1. Assim,existem as redes (xk) B, (tk) S com tk !F 1; tais que tkxk ! x.Pela Proposio 3.16 segue que x 2 ! (B;F) :

! (B;F) compacto;

Tome a sequncia (xn) em ! (B;F) =\F2F

FB: Para cada n 2 N e F 2 F , tome

yn;F 2 FB \ Bxn;

1n

: Ento, podemos escrever yn;F = tn;Fxn;F ; onde tn;F 2 F e

xn;F 2 B: Tome o conjunto de ndices NFN, com a seguinte relao:

(n; f) (m; g) () n m e f (k) g (k) , 8k 2 N:

Para (n; f) 2 NFN, denote por y(n;f) = t(n;f)x(n;f); onde t(n;f) = tn;f(n) e x(n;f) =xn;f(n). Agora, dado F 2 F , denamos a aplicao fF : N ! F por fF (n) = F ,8n 2 N: Assim, para todo (n; f) (1; fF ), temos que

t(n;f) = tn;f(n) 2 f (n) fF (n) = F:

Logo, t(n;f) !F 1: Considere as redest(n;f)

S e x(n;f) B. Como B umconjunto limitado e (S; X; ) F-assintoticamente compacta, a rede t(n;f)x(n;f)possui uma subrede

t(n;f)x(n;f)

que converge para um ponto x em X. Pela

Proposio 3.16 temos que x 2 ! (B;F). Agora, para cada n 2 N, e comot(n;f)x(n;f) 2 f (n)B \ B

xn ;

1n

; temos

d (xn ; x) dxn ; t(n;f)x(n;f)

+ d

t(n;f)x(n;f); x

0, existe F 2 F tal que FB B (! (B;F) ; ) :Suponha por contradio que existe > 0 tal que para todo F 2 F tem-seFB 6 B (! (B;F) ; ) : Ento, para cada F 2 F , existe tF 2 F tal que tFB 6B (! (B;F) ; ) : Logo, existe (xF )F2F B tal que

d (tFxF ; ! (B;F)) :

Como F base de ltro, temos que tF !F 1 e (xF ) B. Assim, a rede (tFxF )possui subrede convergente, digamos, tFxF ! x: Pela Proposio 3.16, temosque x 2 ! (B;F) : Por outro lado,

d (tFxF ; ! (B;F))

e, pela continuidade de d, segue que

d (x; ! (B;F)) ;

o que um absurdo. Portanto, ! (B;F) F-atrai B.

Proposio 3.22 Sejam F uma base de ltro sobre o semigrupo S e B um subconjuntolimitado de X. Se (S; X; ) F-assintoticamente compacta, ento ! (B;F) menorsubconjunto fechado de X que F-atrai B pela ao de S.

Demonstrao: Pela Proposio 3.21, temos que ! (B;F) um subconjunto fechadoque F-4*atrai B. Assim, basta mostrar que ele o menor subconjunto fechado comtal propriedade. Seja K um subconjunto fechado de X que atrai B. Suponha que

! (B;F) 6 K: Ento, existe x 2 ! (B;F) tal que x =2 K: Como K fechado, temos queexiste > 0 tal que d (x;K) = : Agora, como K atrai B, dado =

2> 0, existe F 2 F

tal que

FB BK;

2

: (3.4)


Assim, para todo t 2 F e para todo z 2 B, temos d (tz;K) < 2: Por outro lado, como

x 2 ! (B;F), existem as sequncias (xn) em B e (tn) em S satisfazendo tn !F 1 taisque tnxn ! x: Logo, existe n0 2 N tal que tn 2 F , para todo n n0: Assim, por 3.4,temos

d (tnxn; K) 0 talque d (K1; K2) = : Como ! (B;F) F-atrai C; dado = 2 > 0; existe F0 2 F tal que

F0C B! (B;F) ;

2

= B

K1;

2

[ B

K2

2

:

Por hiptese, F0C conexo e como d (K1; K2) = , temos que BK1;

2

e B

K2;

2

so

conjuntos abertos disjuntos. Logo, F0C BK1;

2

ou F0C B

K2;

2

: Suponha que

F0C BK1;

2

: Assim,

K2 ! (B;F) =\F2F

FB F0B F0C BK1;

2

;

ou seja, d (K1; K2) 2 ; o que um absurdo. Portanto, ! (B;F) conexo.

Proposio 3.25 Seja A um subconjunto fechado e invariante de X. Ento,

! (A;F) = A:

Demonstrao: Como A invariante e fechado, temos

! (A;F) =\F2F

FA =\F2F

A = A:

Note que na Proposio 3.25, se retirarmos a hiptese deA ser fechado, temos somente

a incluso A ! (A;F) :


Exemplo 3.17 Voltando ao Exemplo 3.14, temos que dado (x; y) 2 R2, ! ((x; y) ;G) invariante pela ao de S. De fato, se y > 0,

S! ((x; y) ;G) = asz; atw 2 R2; (s; t) 2 S e (z; w) 2 ! ((x; y) ;G)=

0; atw

2 R2; t 0 e w 2 [0; y]= f0g [0; y]= ! ((x; y) ;G) :

Analogamente, se y < 0, temos que

S! ((x; y) ;G) = f0g [y; 0] = ! ((x; y) ;G) :

E para (x; y) = (0; 0), como ! ((0; 0) ;G) = f(0; 0)g, temos que

S! ((0; 0) ;G) = f(0; 0)g = ! ((0; 0) ;G) :

Portanto, para todo (x; y) 2 R2, o seu conjunto !-limite invariante. Como ! ((x; y) ;G) compacto, em particular limitado, para todo (x; y) 2 R2; se A um G-atrator global,pelo Teorema 3.7, temos que [

(x;y)2R2! ((x; y) ;G) A.

Mas,[

(x;y)2R2! ((x; y) ;G) = f0g R; ento

f0g R A,

o que contradiz o fato de A ser compacto. Portanto, a ao de S no possui G-atratorglobal.

Exemplo 3.18 Seja o semigrupo S e a ao dados no Exemplo 3.4. Considere a famlia

Ftrans = fS + (s; t) ; (s; t) 2 Sg :


Temos que para todo F 2 Ftrans; existe Ar 2 F tal que F Ar, onde F a famliadada no Exemplo 3.4. De fato, seja F 2 Ftrans; ento podemos escrever F = S + (s; t),para algum (s; t) 2 S: Tome r = min fs; tg. Logo, se (s0; t0) 2 F; temos que s0 s r et0 t r, ou seja, (s0; t0) 2 Ar: Assim,

F (x; y) Ar (x; y);

para todo (x; y) 2 R2: Portanto,

! ((x; y) ;Ftrans) ! ((x; y) ;F) = f(0; 0)g : (3.5)

Agora, temos que a ao de S Ftrans-assintoticamente compacta. Com efeito, con-sideremos as sequncias (sn; tn) S com (sn; tn) !Ftrans 1 e (xn; yn) R2 limitada.Ento, existe uma subsequncia (xnk ; ynk) que converge para um ponto (x; y) 2 R2: Como(sn; tn) !Ftrans 1, dado F = S + (s; t) existe n0 2 N tal que (sn; tn) 2 F , para todon n0: Assim, se s ! +1 e t ! +1, temos que (asn ; atn) ! (0; 0), donde(asnkxnk ; a

tnkxnk) ! (0; 0) concluindo a armao. Pela Proposio 3.21, temos que! ((x; y) ;Ftrans) 6= ; e por 3.5 segue que ! ((x; y) ;Ftrans) = f(0; 0)g :

Figura 3.4: Base de ltro Ftrans e semirbita (S + (s; t)) (x; y)

3.3 Existncia de Atrator Global para Aes de Semigrupos 68

3.3 Existncia de Atrator Global para Aes de Semi-

grupos

De modo anlogo ao Captulo anterior, vamos estabelecer condies para que exista

atrator global para aes de semigrupos. O teorema que segue anlogo ao Teorema 2.26,

a menos da condio de invarincia do conjunto !-limite dos subconjuntos limitados.

Teorema 3.26 Sejam S um semigrupo e F uma famlia de subconjuntos de S tal que! (B;F) seja invariante, para todo subconjunto limitado B de X. Ento, a ao de Spossui um F-atrator global A se, e somente se, (S; X; ) F-assintoticamente compactae F-limitada dissipativa. Em caso armativo, se B coleo de todos subconjuntoslimitados e no vazios de X, ento

A =[B2B

! (B;F) :

Demonstrao: Suponha que S possui um atrator global A. Temos que (S; X; ) F-limitada dissipativa, pela Proposio 3.13. Assim, basta provar que a ao de S F-assintoticamente compacta. Seja (x) X uma rede limitada e (t) S satisfazendot !F 1: Considere o conjunto limitado B = fx 2 X; 2 g : Como A F-atratorglobal, dado > 0 existe F 2 F tal que FB B (A; ) : Assim, para todo t 2 F e paratodo x 2 B, temos d (tx;A) < : Como t !F 1; para este F 2 F , existe 0 2 talque t 2 F , para todo 0: Logo, d (t0x0 ;A) < . Assim, para cada n 2 N, existen 2 tal que

d (tnxn ; zn) 0 tal que

txB (x; x) D1:

Como a famlia F satisfaz a hiptese H3; dados tx 2 S e F 2 F , existe F 0x 2 F tal queF 0x F tx: Assim,

F 0xB (x; x) F txB (x; x) F D1 = D

Considere a cobertura aberta fB (x; x)gx2K de K. Pela compacidade de K, existemx1; :::; xn 2 K tais que

K n[j=1

Bxj; xj

:

Como F base de ltro, tome F 0 2 F tal que F 0 F 0x1 ; F 0 F 0x2 ; :::; F 0 F 0xn : Logo,

F 0K F 0

n[j=1

Bxj; xj

!=

n[j=1

F 0Bxj; xj

n[j=1

F 0xjBxj; xj

D (3.7)Por m, como a ao de S eventualmente compacta, existe t0 2 S tal que K = t0B compacto, para todo B X limitado. Logo, pela incluso 3.7

F 0t0B F 0K D:


Novamente pelo fato de F satisfazer a hiptese H3; dados t0 2 S e F 0 2 F , existe F 2 Ftal que F F 0t0: Logo,

FB F 0t0B D:

Portanto, o conjunto D F-absorve todo subconjunto limitado B de X, ou seja (S; X; ) F-limitada dissipativa. Pelo Teorema 3.26, temos o resultado desejado.

Exemplo 3.19 Considere o gupo

S = fg 2 GL (n;R) ; det g > 0, n 2 N, n 2g

com a ao

: S Rn ! Rn

(g; x) 7! gxConsidere a famlia F dada no Exemplo 3.9. Temos que

! ((0; :::; 0) ;F) = (0; :::; 0) e ! (x;F) = Rnn f(0; :::; 0)g ;

para todo x 2 Rnn f(0; :::; 0)g : Com efeito, a primeira igualdade imediata. Agora, sejax = (x1; :::; xn) 2 Rnn f(0; :::; 0)g e z = (z1; :::; zn) 2 Rnn f(0; :::; 0)g : Como x 6= 0, existei 2 f1; :::; ng tal que xi 6= 0: Tome a matriz

gm =

0BBBBBBBBBBBBBBB@

1 0 z1x1xi

0 00 1 z2x2

xi0 0

....... . .

......

...

0 0 zixi

0 00 0 zi+1dmxi+1

xidm 0

......

......

. . ....

0 0 znxnxi

0 1

1CCCCCCCCCCCCCCCA:

Temos que det gm = dm det gi+1 i+1 6= 0, onde gi+1 i+1 a matriz obtida de gm retirando-se a i+ 1-sima linha e i+ 1-sima coluna. Assim, tome a sequncia real (dm) de modo


que 8 0(dm) R com dm ! 1, se det gi+1 i+1 < 0Logo, det gm > 0 e gm !F 1: Alm disso, gmx = z, para todo m 2 N, donde gmx !z. Portanto, ! (x;F) = Rnn f(0; :::; 0)g : Usando mesmo raciocnio, podemos provarque Sx = Rnn f(0; :::; 0)g ; para todo x 2 Rnn f(0; :::; 0)g : Alm disso, temos que noexiste F-atrator global para ao de semigrupo S. Com efeito, dado x = (x1; :::; xn) 2Rnn f(0; :::; 0)g ; se existe F-atrator global A, ento dado > 0 existe r > 0 tal que

Arx B (A; ) :

Mas,

Rnn f(0; :::; 0)g = ! (x;F) =\r>0

Arx Arx B (A; );

o que um absurdo, uma vez que A compacto. Isso ocorre pelo fato de a ao de Sno ser F-assintoticamente compacta. De fato, seja a matriz

gm =

0BBB@m 0...

. . ....

0 m

1CCCA ;para todo m 2 N: Temos que det gm = mn > 0 e gm !F 1: Seja xm uma sequncialimitada. Temos que gmxm = (mxm1 ; :::;mx

mn ) no possui subsequncia convergente. Este

fato nos mostra que a hiptese da ao ser F-assintoticamente compacta essencial parao Teorema 3.26.

Exemplo 3.20 Considere agora o grupo do Exemplo 3.19, porm com n = 1. Assim,

temos

S = fg 2 GL (1;R) ; det g > 0g= fg 2 R; g > 0g = R+:

3.4 Sistemas de Controle 73

Neste caso, a ao dada por

: S R ! R(g; x) 7! gx

Para cada r > 0, denimos o conjunto Ar = fg 2 S; g rg = [r;+1) : Considere afamlia F = fAr; r > 0g = f[r;+1) ; r > 0g : Seja x 2 Rn f0g. Note que no existem(xn) em R e (gn) em S com gn !F 1 tais que gnxn ! x, pois gn ! +1: Assim,temos 8


Note que, cada funo de controle u (t) determina uma equao diferencial no-

autnoma

_x = Xu(t) (x) = X (x; u (t)) :

Assim, as diferentes funes de controle do origem s diferentes trajetrias do sistema.

Denio 3.29 Sejam u1; u2 2 U e s 2 R: Uma s-concatenao de u1 e u2 a funou : R ! U

t 7! u (t) =8


Exemplo de concatenaes das trajetrias

O nosso interesse tomar concatenaes de trajetrias do campo em V, isto , tomaras possveis composies de 'ut . Assim, denimos o conjunto de todas as composies

possveis entre esses difeomorsmos.

Denio 3.30 Seja V a famlia de campos de vetores denida anteriormente. Deni-mos os conjuntos

GV ='untn 'u1t1 ; ti 2 R; ui 2 U; k 2 N

e

SV ='untn 'u1t1 ; ti 0; ui 2 U; k 2 N

chamados, respectivamente de grupo do sistema e semigrupo do sistema.

Agora, vamos estudar o comportamento assinttico de um sistema de controle. Seja

T > 0: Considere o conjunto

ST =('untn 'u1t1 ; ti 0; ui 2 U;

nXi=1

ti T , k 2 N)

e denamos a famlia

Fctr = fST ;T > 0g :


Temos que Fctr uma base de ltro sobre SV , pois dados T1; T2 > 0, vale a incluso

ST1+T2 ST1 \ ST2 :

Essa base de ltro utilizada para estudar o comportamento assinttico do sistema de

controle e pode ser encontrada em [5], [6], [8], [9], [25] e [26]. A famlia Fctr satisfazas hipteses H1 e H2, mas, em geral, no satisfazem as hipteses H3 e H4: No entanto,

existem sistemas de controle onde Fctr tambm satisfaz as hipteses H3 e H4 (veja [9] e[25]).

A notao dada na Denio 3.15, pode ser utilizada na teoria de sistemas de

controle. Temos que ' (t; x; u) !Fctr 1 siginica t ! +1: Com efeito, se' (t; x; u) !Fctr 1

atratores globais para ações de semigrupos

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