continuidade de atratores para sistemas dinâmicos

Continuidade de atratores para sistemas dinâmicos:decomposição de Morse, equi-atração e domínios

ilimitados

Henrique Barbosa da Costa

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

Assinatura: ______________________


Continuidade de atratores para sistemas dinâmicos:decomposição de Morse, equi-atração e domínios ilimitados

Tese apresentada ao Instituto de CiênciasMatemáticas e de Computação – ICMC-USP,como parte dos requisitos para obtenção do títulode Doutor em Ciências – Matemática. EXEMPLARDE DEFESA

Área de Concentração: Matemática

Orientador: Prof. Dr. Alexandre Nolasco de Carvalho

USP – São CarlosJunho de 2016

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassie Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

Costa, Henrique Barbosa daC834c Continuidade de atratores para sistemas dinâmicos:

decomposição de Morse, equi-atração e domíniosilimitados / Henrique Barbosa da Costa; orientadorAlexandre Nolasco de Carvalho. – São Carlos – SP,2016.

120 p.

Tese (Doutorado - Programa de Pós-Graduação emMatemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e deComputação, Universidade de São Paulo, 2016.

1. Atratores. 2. decomposição de Morse.3. semifluxos multívocos. 4. equi-atração.5. semifluxos skew-product. 6. equação deChafee-Infante. 7. espaços uniformemente locais.8. continuidade de atratores. I. Carvalho, AlexandreNolasco de, orient. II. Título.


Continuity of attractors for dynamical systems: Morsedecomposition, equi-attraction and unbounded domains

Doctoral dissertation submitted to the Instituto deCiências Matemáticas e de Computação – ICMC-USP, in partial fulfillment of the requirements for thedegree of the Doctorate Program in Mathematics.EXAMINATION BOARD PRESENTATION COPY

Concentration Area: Mathematics

Advisor: Prof. Dr. Alexandre Nolasco de Carvalho

USP – São CarlosJune 2016

Aos meus pais,

minha irmã e

meu irmão.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a todas as pessoas que, direta ou indiretamente, ajudaram e apoiaram meucrescimento pessoal e profissional. Meus pais, irmãos, amigos, colegas e professores, queparticiparam, incentivaram e influenciaram minha trajetória acadêmica. Ao meu orientador,Alexandre Nolasco, exemplo de dedicação e amor pelo trabalho, por acreditar em mim e à minhanamorada, Ana, por manter a minha estabilidade.

Agradeço à FAPESP pela confiança e apoio financeiro e à CAPES pelo financiamento aoestágio no exterior.

“O universo é uma harmonia de contrários.”

(Pitágoras)

RESUMO

COSTA, H. B.. Continuidade de atratores para sistemas dinâmicos: decomposição deMorse, equi-atração e domínios ilimitados. 2016. 120 f. Tese (Doutorado em Ciências –Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC/USP), São Carlos –SP.

Neste trabalho estudamos a dinâmica assintótica de problemas parabólicos sob vista de diferentesteorias, particularmente interessados na estabilidade das propriedades dinâmicas dos sistemas.Estudamos a equi-atração no caso não autônomo pelos semifluxos skew-product, que transfor-mam o sistema dinâmico não autônomo em um autônomo num espaço de fase conveniente. Paramodelos multívocos, em que o semifluxo é uma função cujos valores são conjuntos, desenvolve-mos a decomposição de Morse e mostramos sua equivalência com a existência de um funcionalde Lyapunov, que é um resultado muito importante na teoria de semigrupos. Também estudamosa continuidade da dinâmica assintótica de um problema parabólico em um domínio ilimitadoquando o aproximamos por domínios limitados específicos.

Palavras-chave: Atratores, decomposição de Morse, semifluxos multívocos, equi-atração, semi-fluxos skew-product, equação de Chafee-Infante, espaços uniformemente locais, continuidade deatratores.

ABSTRACT

COSTA, H. B.. Continuidade de atratores para sistemas dinâmicos: decomposição deMorse, equi-atração e domínios ilimitados. 2016. 120 f. Tese (Doutorado em Ciências –Matemática) – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC/USP), São Carlos –SP.

In this work we study assimptotic properties of parabolic problems under some different view ofpoints, particularlly interested in the stability properties of the systems. We study equi-attractionin the non autonomous case using skew-product semiflows, which transform the non autonomousdynamical system into a autonomous one in a convenient phase space. For multivalued semiflows,in which the semiflow is a set valued function, we develop the Morse decomposition and showits equivalence with admiting a Lyapunov funcional, wich is a important result on the semigrouptheory. We also study the continuity of the asymptotic dynamic for a parabolic problem in anunbouded domain when we approach it by bounded ones.

Key-words: Attractors, Morse decomposicion, multivalued semiflows, equi-attraction, skew-product semiflows, Chafee-Infante equation, locally uniform spaces, continuity of attractors.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1 Semigrupos, processos e atratores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Continuidade de atratores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Dinâmica gradiente e decomposição de Morse . . . . . . . . . . . . . 282.4 Equi-atração para sistemas dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5 Semifluxos skew-product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6 Espaços uniformemente locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.7 Inclusões diferenciais e semifluxos multívocos . . . . . . . . . . . . . 502.8 A equação autônoma de Chafee-Infante . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3 EQUI-ATRAÇÃO E CONTINUIDADE DE SEMIFLUXOS SKEW-PRODUCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1 Sobre semifluxos skew-product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.1.1 Equiatração e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.1.2 Taxas de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2 Equiatração para sistemas não-autônomos . . . . . . . . . . . . . . . 683.2.1 Para atratores uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.2.2 Equiatração para atratores cociclo e pullback . . . . . . . . . . . . . 723.3 A relação entre continuidade dos distintos atratores . . . . . . . . . 753.4 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 DECOMPOSIÇÃO DE MORSE MULTÍVOCA . . . . . . . . . . . . 814.1 Semifluxos multívocos dinamicamente gradientes, decomposições

de Morse e funções de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.1.1 Dinâmica gradiente implica decomposição de Morse . . . . . . . . . 834.1.2 Funcional de Lyapunov implica em dinâmica gradiente . . . . . . . . 864.1.3 Decomposição de Morse implica em funcional de Lyapunov . . . . . 874.2 Infinitos componentes de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2.1 Dinâmica gradiente implica decomposição de Morse . . . . . . . . . 954.2.2 Funcional de Lyapunov implica dinâmica gradiente . . . . . . . . . . 964.2.3 Decomposição de Morse implica em funcional de Lyapunov . . . . . 984.3 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5 CONTINUIDADE DE ATRATORES PARA CHAFEE-INFANTE . . 1055.1 A semicontinuidade superior de atratores globais . . . . . . . . . . . 1085.2 Sobre a semicontinuidade inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

17

CAPÍTULO

1INTRODUÇÃO

A teoria de sistemas dinâmicos descreve fenômenos que evoluem com o tempo e, dessamaneira, servem como modelagem para diversas áres da ciência como física, biologia e economia.Estudar a dinâmica assintótica de um sistema dinâmico é avaliar seu comportamento futuro,neste contexto a existência dos chamados atratores nos permite compreender o padrão de umsistema. Neste trabalho estudamos sistemas dinâmicos sob algumas perspectivas, em todas elas aexistência de atrator tem papel fundamental.

Como, em modelagem matemática, todas as medidas e relações são feitas com erros,isto é, erros de medição e que simplificação do modelo, devemos estar sempre preocupados senossos modelos ainda aproximam bem a realidade. Em outras palavras, devemos estar semprecientes que nossos modelos são estáveis por perturbações, de modo que assim garantimos queos resultados obtidos são confiáveis. Uma modelagem que não garanta esta estabilidade podeassumir grandes erros com variações pequenas dos dados e deixa de ser confiável para previsõesa longo prazo. Com isto em vista, estudamos aqui a continuidade sistemas dinâmicos, que, emtermos matemáticos, se traduz em semicontinuidade dos conjuntos atratores, ou seja, queremospoder a dinâmica do atrator limite não é perdida quando perturbamos o sistema.

A teoria de Morse apresenta um papel importante para o estudo das estruturas do atratorglobal, é um resultado bem conhecido para teoria de semigrupos que existe uma decompo-sição de Morse se e somente se o semigrupo é dinamicamente gradiente (CONLEY, 1978;RYBAKOWSKI, 2012). Foi demonstrado recentemente que estas propriedades são equivalentestambém à existência de um funcional de Lyapunov associado ao sistema (ARAGÃO-COSTAet al., 2011; PATRÃO, 2007). Esta teoria foi estendida quando o número de compontentesinvariantes de Morse é infinito (CARABALLO et al., 2013) enquanto em (CARABALLO et

al., 2015) o caso não autônomo é considerado. Sistemas gradientes são importantes pois sãouma classe ampla, devido aos resultados citados anteriormente, de sistemas que são estáveis porperturbações (CARVALHO; LANGA, 2009).

18 Capítulo 1. Introdução

Quando tratamos de problemas não autônomos uma importante ferramenta em desenvol-vimento para o estudo da dinâmica são os semifluxos skew-product. Tais semifluxos transformamo sistema não autônomo em um sistema autônomo num espaço produto de uma forma bem enge-nhosa (SACKER; SELL, 1977; SACKER; SELL, 1973; SELL; YOU, 2013). A teoria de Morsee suas equivalências foi descrita para semifluxos skew-product (BORTOLAN; CARVALHO;LANGA, 2014). Contudo, a propriedade de equi-atração, inerente dos sistemas dinâmicos quesão estáveis por perturbação (BABIN; VISHIK, 1992; LI, 2007), a relação desta propriedadecom a continuidade no contexto de semifluxos skew-product era um problema a ser tratado.

Vamos descrever o conteúdo da tese de doutoramento. No Capítulo 2 enumeramosconhecimentos preliminares que são importantes e foram estudados para o desenvolvimento dorestante do trabalho. Há uma grande mistura entre resultados clássicos e novos conceitos, quedemonstram nossa abordagem aos problemas.

No Capítulo 3 desenvolvemos a relação entre equi-atração para semifluxos do tipo skew-product e continuidade de atratores globais para estes semifluxos. Ainda tratamos da equi-atraçãopara as diversas noções de atratores para sistemas não autônomos relacionados ao semifluxoskew-product, para ser mais preciso, a equi-atração dos atratoers uniformes e atratores cociclo.Por fim, relacionamos as continuidades dos diferentes conceitos de atratores.

No Capítulo 4 desenvolvemos a teoria de Morse para semifluxos multívocos, original-mente gerados por soluções de problemas de Cauchy cuja unicidade não pode ser garantida.Trabalamos tanto com o caso com finitos ou infinitos componentes de Morse para o sistema.

Finalmente, em 5, estudamos um problema parabólico, investigando a continuidade dosatratores globais do sistema. O problema tratado é uma equação de Chafee-Infante (CHAFEE;INFANTE, 1974). Aproximamos o sistema gerado pelas soluções globais do problema de Chafee-Infante em um domínio ilimitado pelo problema posto em domínios limitados que preenchem oprimeiro quando passando ao limite. Obtemos semicontinuidade superior dos atratores globaisdos sistemas e uma resposta parcial para a semicontinuidade inferior.

19

CAPÍTULO

2PRELIMINARES

Neste capítulo apresentaremos os conceitos básicos necessários para o entendimentodo trabalho realizado e está aqui de modo que nosso texto seja fechado e o leitor não necessite(tanto quanto for possível) recorrer a textos auxiliares.

Começaremos o capítulo apresentando os sistemas dinâmicos na Seção 2.1, tanto nocaso autônomo como não autônomo, e apresentamos a definição de atrator, o conjunto quecontém toda a dinâmica assintótica do sistema. Na seção seguinte introduzimos o conceito decontinuidade, que nos dirá se nossa estrutura é consistente e estável por perturbações, propriedadevital na modelagem matemática. Vale notar que obter a semicontinuidade inferior requer maiorconhecimento das estruturas dos atratores, o que pode ser bastante complexo. Na Seção 2.3apresentamos condições necessárias e suficientes para que um sistema dinâmico possua aestrutura necessária para se obter a continuidade de atratores, que leva o nome de dinâmicagradiente.

Alternativamente, demonstramos que a continuidade de atratores é equivalente a pro-priedade de equi-atração da família de atratores do sistema. Na Seção 2.4 comparamos as duasdefinições.

Dessa forma passamos pelo básico dos sistemas dinâmicos não lineares e entramosem detalhes de seus ramos nas seções seguintes. Na Seção 2.5 apresentamos a definição desemifluxos skew-product, que são uma maneira de converter um sistema não autônomo em umsistema autônomo num espaço de fase conveniente. Estudamos as propriedades assintóticas dossemifluxos skew-product e outros objetos da dinâmica assintótica que surgem naturalmente aofazermos esta análise.

Na Seção 2.6 desenvolvemos a teoria dos espaços localmente uniformes, que são alterna-tivas para desenvolver semifluxos e resolver sistemas relacionados a equações diferenciais emque o domínio de definição não é limitado, uma vez em que os convencionais espaços de funçõesLebesgue integráveis são muito restritos nesse caso.

20 Capítulo 2. Preliminares

Estudamos inclusões diferenciais e sua relação com semifluxos multívocos na Seção2.7. Desenvolvemos esta teoria de semifluxos que surgem nas aplicações quando não podemosgarantir unicidade de soluções de uma equação diferencial, por exemplo. Apresentamos conceitosrelacionados ao atrator global de um semifluxo multívoco e também sobre estruturas do atratorglobal.

Finalmente, na Seção 2.8, estudamos a equação de Chafee-Infante autônoma com condi-ções de Dirichlet definidas no domínio [0,π] da reta e mostramos as propriedades do seu atratorglobal, tendo em vista nossa aplicação.

2.1 Semigrupos, processos e atratoresNesta seção apresentaremos o alicerce do nosso trabalho. A teoria de sistemas dinâmi-

cos não lineares estuda um certo modelo condicionado a uma regra de evolução. As referên-cias para esta seção são inúmeras, recomendamos os trabalhos clássicos (BABIN; VISHIK,1992; BILLOTTI; LASALLE, 1971; HALE; MAGALHAES; OLIVA, 2013; TEMAM, 2013;LADYZHENSKAYA, 1991) e, mais recentemente, (CARVALHO; LANGA; ROBINSON, 2012;CHOLEWA; DLOTKO; SOCIETY, 2000; ROBINSON, 2001).

O espaço fase em que a dinâmica ocorre será denotado por X , em geral, (X ,d) é umespaço métrico, porém a maioria dos casos trabalhados neste texto nos especificamos a espaçosde Banach ou Hilbert. Denotaremos por C (X) o conjunto de todas as funções contínuas de X emX .

Um processo, ou processo de evolução, em X é uma família de aplicações S(t,s) : t ≥ sem C (X) tal que:

1. S(t, t) = I, para todo t ∈ R,

2. S(t,s) = S(t,τ)S(τ,s), para todo t ≥ τ ≥ s,

3. (t,s,x) ↦→ S(t,s)x é contínuo, para todo t ≥ s e x ∈ X .

Dado um processo, a solução correspondente à condição inicial x(s) = xs é a aplicação t ↦→S(t,s)xs de [s,∞] em X .

O operador S(t,s) toma a cada dado x em X no tempo inicial s e evolui até o estadoS(t,s)x com tempo final t. Sobre hipóteses apropriadas, soluções da equação diferencial nãoautônoma x = f (t,x) gerará um processo pondo S(t,s)x = x(t,s;x), isto é, S(t,s)x é a soluçãono tempo t com valor initial x(s) = x.

Um processo que depende apenas do tempo decorrido, isto é, um processo de evoluçãopara o qual S(t,s) = S(t− s,0), para todo t ≥ s, é chamado um processo autônomo e a famíliade operadores T (t) : t ≥ 0 dada por T (t) := S(t,0), t ≥ 0, satisfaz

2.1. Semigrupos, processos e atratores 21

1. T (0) = I,

2. T (t + s) = T (t)T (s), para todo t,s≥ 0,

3. (t,x) ↦→ T (t)x é contínuo, para todo t ≥ 0 e x em X .

Uma família T (t) : t ≥ 0 em C (X) que verifica as hipóteses acima é chamada de semigrupo.

Para um processo autônomo S(·, ·) com S(t,s) = T (t− s) para todo t ≥ s, o comporta-mento das soluções quando t→ ∞, que é conhecido como dinâmica forward, é equivalente aocomportamento das soluções quando s→−∞, o que é chamado de dinâmica pullback. Paraprocessos gerais os limites dinâmicos acima podem não ter relação nenhuma e produzirempropriedades qualitativas completamente diferentes.

Atratores globais desempenham papel fundamental no estudo dos sistemas dinâmicos esua dinâmica assintótica. Vamos apresentar aqui os principais resultados e definições sobre osatratores e discutir as diferenças que surgem no caso autônomo e não autônomo.

Começamos introduzindo um significado para o termo atração. Denotamos por dist(A,B)a semidistância de Haussdorf entre os conjuntos A e B, definida por

dist(A,B) = supa∈A

infb∈B

d(a,b).

Observamos que dist(A,B) = 0 implica apenas que A⊂ B.

A distância de Haussdorf, denotada por distH(·, ·), é definida pondo

distH(A,B) = maxdist(A,B),dist(B,A) . (2.1.1)

Definição 2.1.1. Dizemos que A atrai B (sob ação de T (·)) se dist(T (t)B,A)→ 0, quandot→+∞.

Definição 2.1.2. Um conjunto A⊂ X é invariante por T (·) se T (t)A = A para todo t ≥ 0.

Observamos que um conjunto é invariante não apenas implica que uma solução quecomece em A continua em A (i.e. T (t)A⊆ A para todo t ≥ 0). Portanto um conhecimento dastrajetórias com condições iniciais em A é essencial para o entendimento da dinâmica assintótica,uma vez em que A não “encolhe” quando evolui.

Definição 2.1.3. Uma função contínua x(·) : R→ X é uma solução global de T (·) se satisfazT (t)x(s) = x(t + s) para todo s ∈ R e t ≥ 0.

A órbita de uma solução global é o conjunto

Γ(x(·)) =⋃t∈R

x(t).

O lema abaixo caracteriza os conjuntos invariantes por um semigrupo.


Lema 2.1.4. Um conjunto A é invariante sobre T (·) se e somente se consiste da coleção deórbitas de soluções globais.

Definimos agora um atrator para um semigrupo.

Definição 2.1.5. Um conjunto A ⊆ X é um atrator global para o semigrupo T (·) se

(i) A é compacto;

(ii) A é invariante; e

(iii) A atrai cada conjunto limitado de X .

Está claro que decorre das propriedades (i)− (iii) que se há um atrator global A paraum semigrupo T (·), então ele é único. Caracterizamos o atrator global com respeito à família decompactos que atraem limitados e, também, com respeito à família de invariantes limitados efechados. Mais precisamente:

Lema 2.1.6. O atrator global A de um semigrupo T (·) é o compacto minimal que atrai cadalimitado de X e o conjunto invariante limitado e fechado maximal.

Teorema 2.1.7. Se um semigrupo T (·) possui um atrator global A , então

A = x ∈ X : existe uma solução global limitada x : R→ X com x(0) = x. (2.1.2)

No contexto de sistemas dinâmicos não autônomos precisamos de mais cuidado para adefinição de atrator global pois alguns problemas surgem. Neste caso, em geral, trabalhamoscom a atração pullback. Vários trabalhos na literatura trazem interessantes aplicações a respeitodos processos de evolução e os conhecidos atratores pullback. Citamos, por exemplo, (CHE-BAN; KLOEDEN; SCHMALFUSS, 2002; CARVALHO et al., 2007; CARVALHO; LANGA;ROBINSON, 2012) e (KLOEDEN, 2000)

Um conjunto não autônomo é uma família de conjuntos indexados em um espaço métrico,isto é, uma coleção Z(λ )⊂ X : λ ∈ Λ. Os elementos individuais do conjunto não autônomosão chamados de “fibras” ou “seções” do conjunto.

Definição 2.1.8. Um conjunto não autônomo A (·), indexado em R, é invariante pelo processoS(·, ·) se

S(t,τ)A(τ) = A(t), para todo t,τ ∈ R com t ≥ τ.

De modo a abreviar e refletir a terminologia autônoma nos referiremos a tal famíliatambém como um conjunto invariante.

Definição 2.1.9. Uma solução global para um processo S(·, ·) é uma função ξ : R→ X tal queS(t,s)ξ (s) = ξ (t) para todo t ≥ s.

2.1. Semigrupos, processos e atratores 23

Assim como o Lema 2.1.4 no caso não autônomo podemos caracterizar os conjuntosinvariantes.

Lema 2.1.10. Uma conjunto não autônomo A(·) é invariante sobre S(·, ·) se e somente se consistede uma coleção de soluções globais.

Vamos definir agora o conceito de atração pullback.

Definição 2.1.11. Seja S(·, ·) um processo de evolução. Dado t ∈ R dizemos que um conjunto A

pullback atrai B no tempo t sob ação de S(·, ·) se

lims→−∞

dist(S(t,s)B,A) = 0. (2.1.3)

Dizemos ainda que A atrai limitados no tempo t se (2.1.3) é válido para cada limitadoB em X . Um conjunto não autônomo A(·) em X atrai pullback limitados de X sob o processoS(·, ·) se A(t) atrai pullback limitados de X no tempo t sob S(·, ·) para cada t ∈ R.

Vamos então apresentar o conceito de atrator pullback.

Definição 2.1.12. Uma família A (t) : t ∈R é um atrator pullback para o processo de evoluçãoS(·, ·) se

(i) A (t) é compacto para cada t ∈ R;

(ii) A (·) é invariante com respeito a S(·, ·);

(iii) A (·) atrai pullback limitados de X ; e

(iv) A (·) é a família minimal de fechados com a propriedade (iii).

A propriedade (iv) em geral é requisitada pois sem ela não há garantias da unicidadedo atrator pullback, ver, por exemplo, (CARVALHO; LANGA; ROBINSON, 2012, Definition1.12).

No nosso trabalho de doutoramento sempre supomos como hipótese a existência doatrator global, ou pullback, para o semigrupo, ou processo, em questão. A seguir vamos citar,em virtude da completude da teoria, definições e resultados que caracterizam o atrator de umsistema dinâmico e condições suficientes para um sistema dinâmico possuir atrator.

Vamos assumir que S(·, ·) é um processo no espaço métrico (X ,d).

Definição 2.1.13. O ω-limite pullback no tempo t de um subconjunto B de X é definido por

ω(B, t) :=⋂τ≤t

⋃s≤τ

S(t,s)B (2.1.4)


ou, equivalentemente,

ω(B, t) =

y ∈ X : existem sequências sk ≤ t, skk→∞−→−∞

e xk ⊂ B tais que y = limk→∞

S(t,sk)xk

.

(2.1.5)

Está claro que se T (·) é um semigrupo e ST (·, ·) o processo correspondente, então ω(B, t)

independe de t e

ω(B) =⋂s≥0

⋃τ≥s

T (τ)B. (2.1.6)

Lema 2.1.14. Se K é compacto em X e xn ∈ X é uma sequência com dist(xn,K)→ 0, quandon→ ∞, então xn tem uma subsequência convergente cujo limite está em K.

Definição 2.1.15. Um processo S(·, ·) num espaço métrico X é assintoticamente pullback com-pacto se, para cara t ∈R, cada sequência sk≤ t com sk→−∞, quando k→∞, e cada sequêncialimitada xk ∈ X a sequência S(t,sk)xk possui subsequência convergente.

Se T (·) é um semigrupo, então o processo ST (·, ·) correspondente é pullback assintotica-mente compacto se, e somente se, para cada sequência limitada xk ∈ X e sequência tk ≥ 0com tk

k→∞−→ ∞, a sequência T (tk)xk possui subsequência convergente. Neste caso dizemos queT (·) é assintoticamente compacto.

Lema 2.1.16. Sejam S(·, ·) um processo de evolução assintoticamente compacto e B um sub-conjunto limitado não vazio de X . Então, para cada t ∈ R, ω(B, t) é não vazio, compacto, atraipullback B no tempo t e S(τ, t)ω(B, t) = ω(B,τ), para todo τ ≥ t.

Teorema 2.1.17. São equivalentes:

∙ O processo S(·, ·) possui atrator pullback A (·).

∙ Existe uma família de compactos K(·) que pullback atrai limitados de X sob S(·, ·).

Em ambos casos

A (t) =⋃ω(B, t) : B⊂ X , B é limitado, (2.1.7)

e A (·) é minimal no sentido de que se existe outra família de fechados limitados A(·) quepullback atrai limitados de X sob S(·, ·), então A (t)⊆ A(t), para todo t ∈ R.

No caso autônomo a caracterização do atrator global é um tanto mais simples.

Corolário 2.1.18. Seja T (·) um semigrupo. Existe atrator global A para T (·) se, e somentese, existe um compacto K de X que atrai todos limitados de X sob ação de T (·). Neste caso,A = ω(K).

2.2. Continuidade de atratores 25

2.2 Continuidade de atratoresNesta seção vamos definir o conceito de estabilidade com o qual trabalharemos. Estabili-

dade significa que nossos modelos são coerentes com falhas de medições e aproximações. Nadinâmica assintótica é comum associar a estabilidade com a continuidade dos atratores globaispara sistemas dinâmicos. Usaremos como referência para esta seção os trabalhos (BABIN;VISHIK, 1992; CARVALHO; LANGA; ROBINSON, 2009; CARVALHO; LANGA; ROBIN-SON, 2012; CARVALHO; LANGA, 2007; HALE; RAUGEL, 1989; HALE; LIN; RAUGEL,1988) e (HALE, 2010).

Vamos então definir o conceito de continuidade com o qual trabalharemos.

Definição 2.2.1. Sejam (X ,d) um espaço métrico e Λ um espaço de parâmetros com umamétrica. Se Aλ : λ ∈ Λ é uma família de subconjuntos de X , diremos que

1. Aλ : λ ∈ Λ é semicontínua superiormente em λ0 se

dist(Aλ ,Aλ0)→ 0 quando λ → λ0.

2. Aλ : λ ∈ Λ é semicontínua inferiormente em λ0 se

dist(Aλ0 ,Aλ )→ 0 quando λ → λ0.

3. Se Aλ : λ ∈ Λ for simultaneamente semicontínua superior e inferiormente em λ0,diremos que a família é contínua em λ0.

O resultado a seguir é bastante utilizado para caracterizar o comportamento semicontíniosuperior e inferior através de sequências de Aλn com λn→ λ0.

Lema 2.2.2. Seja X e Λ espaços métricos e Aλ : λ ∈Λ uma família de compactos de X . Então

∙ Aλ é semicontínua superiormente em λ0 se, e somente se, sempre que λn→ λ0, quandon → ∞, qualquer sequência xn ∈ Aλn tem uma subsequência convergente cujo limitepertence a Aλ0;

∙ Aλ é semicontínua inferiormente em λ0 se, e somente se, para todo x0 ∈ Aλ0 e λn→ λ0

existe uma sequência xn ∈ Aλn tal que xn→ x0 quando n→ ∞.

Daremos, no restante da seção, condições suficientes para uma família de sistemasdinâmicos autônomos e não autônomos ser semicontinua superior e inferiormente.

Diremos que a família de semigrupos Tη(·) : η ∈ [0,1] no espaço de Banach X écontínua em η = 0 se

supt∈[0,T ]

supx∈K‖Tη(t,x)−T0(t,x)‖→ 0 quando η → 0, (2.2.1)

para quaisquer T > 0 e K compacto de X .


Teorema 2.2.3. Seja Tη(·) : η ∈ [0,1] uma família de semigrupos contínua em η = 0. SeTη(·) possui um atrator global Aη , para cada η ∈ [0,1], e

⋃η∈[0,1]

Aη é compacto , (2.2.2)

então a família Aη : η ∈ [0,1] é semicontínua superiormente em η = 0.

Obter a semicontinuidade inferior de atratores globais é uma tarefa muito mais árdua quea semicontinuidade superior. Necessitamos informações a respeito da estrutura do atrator global.Definiremos, então, a variedade instável de um conjunto invariante, a princípio assumiremos queestes são pontos de equilíbrio, por simplicidade.

Seja e* um ponto de equilíbrio do semigrupo T (·), isto é, existe uma solução globalξ : R→ X de T (·) tal que ξ (t)≡ e*. A variedade instável de e* é definida por

W u(e*) =

y ∈ X : existe solução global φ : R→ X tal que φ(0) = y e φ(t) t→−∞−→ e*.

(2.2.3)

Dada uma vizinhança V de e*, a variedade instável local de e* é o conjunto dos pontosy de V tais que existe solução gloal φ : R→ X tal que φ(0) = y, φ(t) t→−∞−→ e* e φ(t) ∈V , paratodo t ≤ 0. Denotamos tal conjunto por W u

loc(e*).

Teorema 2.2.4. Seja Tη(·) : η ∈ [0,1] uma família de semigrupos contínua em η = 0 quesatisfaz:

1. Tη(·) tem um atrator global Aη , para cada η ∈ [0,1].

2. Se Eη denota o conjunto das soluções estacionárias de Tη(·), existe p ∈ N tal que Eη ⊃e*,η1 , . . . ,e*,ηp , para todo η ∈ [0,1].

3. Existe δ > 0 para o qual W uδ(e*,ηj ), a variedade instável local tomando V = B(e*,ηj ;δ ), é

tal que a família W uδ(e*,ηj ) : η ∈ [0,1] é semicontínua inferiormente.

4. A0 =p⋃

j=1

W u(e*,0j ).

Então a família Aη : η ∈ [0,1] é semicontínua inferiormente em η = 0.

Os resultados acima podem ser generalizados para o caso não-autônomo considerandoos atratores pullback.

Consideramos Sη(·, ·) : η ∈ [0,1] uma família de processos de evolução em X talque, para cada η , existe atrator pullback Aη(·). Assumimos que os processos se comportam

2.2. Continuidade de atratores 27

continuamente em η = 0, mais precisamente, suponhamos que para cada t ∈ R, compacto K deX e T > 0,

supτ∈[0,T ]

supx∈K

d(Sη(t, t− τ)x,S0(t, t− τ)x)→ 0, quando η → 0. (2.2.4)

Suponhamos que para cada t ∈ R, ⋃η∈[0,1]

Aη(t) é compacto. (2.2.5)

Adicionalmente, suponhamos que a família de atratores pullback seja limitada no passado, isto é,

⋃η∈[0,1]

⋃s≤t

Aη(s) é limitado. (2.2.6)

Com estas hipóteses vamos apresentar o resultado de semicontinuidade superior.

Teorema 2.2.5. Seja Sη(·, ·) : η ∈ [0,1] uma família de processos com atrator pullback Aη(·)tal que (2.2.4), (2.2.5) e (2.2.6) são satisfeitas. Então Aη(·) é semicontínua superiormente emη = 0, isto é, para cada t ∈ R, a família Aη(t) : η ∈ [0,1] é semicontínua superiormente.

A fim de falarmos da semicontinuidade inferior no caso autônomo foi preciso entrar emdetalhes sobre a estrutura do atrator limite. No caso de semigrupos o ponto chave do Teorema2.2.4 está na família de variedades instáveis locais dos pontos de equilíbrio do sistema. Nocaso de processos de evolução a definição de solução estacionária não tem sentido prático esubstituímos o conceito de solução estacionária por soluções globais do processo de evolução,ver Definição 2.1.9.

Se E(·) é um conjunto não autônomo limitado no passado, então definimos a variedadeinstável de E(·) como sendo

W u(E(·)) =(τ,ζ ) ∈ R×X : existe uma solução global ξ : R→ X de S(·, ·)

com ξ (τ) = ζ e limt→−∞

dist(ξ (t),E(t)) = 0.

A seção da variedade instável no tempo τ é denotado por

W u(E(·))(τ) = ζ : (τ,ζ ) ∈W u(E(·)) .

E a variedade instavel local no tempo τ de uma solução global ξ*(·) é definida pondo

W uδ(ξ*(·))(τ) =

ζ ∈ X : existe uma soluçã o global ξ para S(·, ·) com ξ (τ) = ζ ,

dist(ξ (s),ξ*(s))< δ para todo s≤ τ e dist(ξ (s),ξ*(s))s→−∞−→ 0

.

Vejamos então um resultado que garanta a semicontinuidade inferior da família deatratores pullback Aη(·).


Teorema 2.2.6. Seja Sη(·, ·) : η ∈ [0,1] uma família de processos com atratores pullbackAη(·). Assumamos que (2.2.4), (2.2.5) e (2.2.6) são satisfeitas. Se

∙ existe uma sequência de soluções limitadas no passado ξ j* (·) j∈N de S(·, ·) tal que

A0(t) =∞⋃

j=1

W u(ξj* (·))(t).

∙ para cada j ∈ N, existe uma família ξ j,η* : η ∈ [0,1], com ξ

j,η* : R→ X uma solução

limitada no passado de Sη(·, ·) e t j ∈ R tal que

supt≤t j

d(ξ j,η* (t),ξ j

* (t))n→∞−→ 0,

∙ a variedade instável local de ξj,η* (·) se comporta continuamente quando η → 0, isto é,

para cada j ∈ N, existe δ j > 0 e t j ∈ R tal que

supt≤t j

distH(

W uδ j

(ξ

j,η*)(t),W u

δ j

(ξ

j*)(t))

n→∞−→ 0.

Então a família Aη(·) : η ∈ [0,1] é contínua para t ∈ I, isto é,

supt∈I

distH(Aη(t),A0(t))→ 0, quando η → 0,

onde I é qualquer intervalo limitado de R.

2.3 Dinâmica gradiente e decomposição de Morse

Nesta seção vamos apresentar a decomposição de Morse e mostrar que se um sistemadinâmico admite decomposição de Morse então seu atrator global possui uma dinâmica gradientee existe um funcional de Lyapunov associado.

Este resultado foi um grande avanço para a área de sistemas dinâmicos não lineares, umavez em sistemas gradientes são contínuos por perturbações, mas, no geral, é uma tarefa difícilencontrar um funcional de Lyapunov associado. Contudo, demonstrar que o atrator global possuiuma dinâmica gradiente pode ser mais simples e, com os resultados que apresentaremos nestaseção, veremos que dinâmica gradiente e existência do funcional de Lyapunov são equivalentes.O que implica diretamente que sistemas dinamicamente gradientes são estáveis por perturbaçãoe, desse modo, uma classe bem ampla de sistemas possui tal propriedade. As referências paraesta seção são os trabalhos (ARAGÃO-COSTA et al., 2011; ARAGÃO-COSTA et al., 2012;ARAGÃO-COSTA et al., 2013; CARVALHO; LANGA; ROBINSON, 2012; CONLEY, 1978;HALE, 2010) e (RYBAKOWSKI, 2012).

2.3. Dinâmica gradiente e decomposição de Morse 29

Os resultados aqui apresentados também são verificados em processos de evolução,porém nossa aplicação para semifluxos multívocos é feita a partir da teoria de semigrupos,portanto apresentaremos os resultados mais simples.

Fixemos (X ,‖·‖) um espaço de Banach e um semigrupo T (·) em X , o qual possui atratorglobal A . Usaremos a notação Oε(B) = x ∈ X : d(x,B)< ε para a ε-vizinhança de B em X ,mais precisamente

Oε(B) = z ∈ X : ‖z−b‖< ε para algum b ∈ B=⋃b∈B

B(b,ε),

onde B(b,ε) é a bola centrada em b e raio ε .

Definição 2.3.1. Dizemos que M = M1, . . . ,Mn é uma família de invariantes isolados (paraT (·)) se existe um δ > 0 para o qual

Oδ (M j)∩Oδ (Mk) = /0, 1≤ j < k ≤ n,

e M j é o invariante maximal (com respeito a T (·)) de Oδ (M j).

Definição 2.3.2. Dizemos que T (·) com atrator global A e família de invariantes isoladosM = M1, . . . ,Mn é um semigrupo gradiente com respeito a M se existe uma aplicaçãocontínua L : X → R tal que

1. a aplicação t ↦→L (T (t)x) é uma função não-crescente em t ≥ 0 para cada x ∈ X ;

2. L é constante em cada M j; e

3. L (T (t)x) = L (x) para todo t ≥ 0 se, e só se, x ∈⋃n

j=1 M j.

Um função L com tais propriedades é dito uma funcional de Lyapunov para T (·) com respeitoa M .

Definiremos agora o que seria uma dinâmica gradiente. Para tal, vamos definir formal-mente o que seria uma estrutura homoclínica.

Definição 2.3.3. Sejam T (·) um semigrupo e M = M1, . . . ,Mn uma família de invariantesisolados. Uma estrutura homoclínia em M é uma coleção não vazia Ml1, . . . ,Mlk de M ,juntamente com uma coleção de soluções globais ξl1, . . . ,ξlk, tais que

limt→−∞

dist(ξl j(t),Ml j) = 0 e limt→∞

dist(ξl j(t),Ml j+1) = 0, 1≤ j ≤ k,

em que El1 = Elk+1 .

Definição 2.3.4. Um semigrupo T (·) com atrator global A é dinamicamente gradiente com res-peito a família de invariantes isolados M = M1, . . . ,Mn, se satisfaz as seguintes propriedades:


G1. Dada solução global ξ : R→ X em A , existem j,k ∈ 1, . . . ,n para os quais

limt→−∞

dist(ξ (t),E j) = 0 e limt→∞

dist(ξ (t),Mk) = 0.

G2. A família M não possui estruturas homoclínicas.

Podemos então caracterizar os semigrupos gradientes.

Teorema 2.3.5. Um semigrupo T (·) é gradiente com respeito a uma família de invariantesisolados M = M1, . . . ,Mn se, e somente se, é dinamicamente gradiente com respeito a M .

Apresentaremos a noção de par atrator-repulsor.

Definição 2.3.6. Diremos que um subconjunto não vazio A de A é um atrator local se existeε > 0 tal que ω(Oε(A)) = A. O repulsor A* associado ao atrator local A é o conjunto definidopor

A* = x ∈A : ω(x)∩A = /0. (2.3.1)

O par (A,A*) é chamado um par atrator-repulsor para T (·).

Não é difícil ver que se (A,A*) é um par atrator-repulsor então A* é fechado, invariante edisjunto de A.

Observamos que A é um atrator local se, e somente se, é compacto invariante e atrai umaε-vizinhança de si mesmo, para algum ε > 0. Notamos também que a definição de atrator localpedimos que A atraia uma vizinhança de A em X , mas isto equivale a atrair uma vizinhança de A

em A , como veremos nos lemas a seguir, em que supomos que T (·) é um semigrupo em X comatrator global A .

Lema 2.3.7. Se A é compacto e invariante por T (·) e existe ε > 0 tal que A atrai Oε(A)∩A entãodado δ > 0 existe δ ′> 0 tal que γ+(Oδ ′(A))⊂Oδ (A), onde γ+(Oδ ′(A)) =

⋃x∈O

δ ′(A)⋃

t≥0 T (t)x,a órbita positiva da vizinhança.

Lema 2.3.8. Seja S(t) := T (t)|A . Claramente S(·) é um semigrupo no espaço métrico A . Se A

é um atrator local para S(·) no espaço métrico A e K é um compacto de A tal que K∩A* = /0,então A atrai K. Além disso, A é um atrator local para T (·) em X .

Com a noção de atrator local podemos definir a decomposição de morse de um atratorglobal A .

Definição 2.3.9. Dada uma família crescente /0 = A0 ⊂ A1 ⊂ . . .⊂ An = A de atratores locais,para j = 1, . . . ,n defina M j := A j∩A*j−1. A n-upla ordenada M := (M1, . . . ,Mn) é chamada umadecomposição de Morse de A .

2.3. Dinâmica gradiente e decomposição de Morse 31

Lema 2.3.10. Seja T (·) um semigrupo dinamicamente gradiente com respeito à família deinvariantes isolados M = M1, . . . ,Mn. Então existe um 1≤ k≤ n tal que Mk é um atrator localpara T (·) em X .

Seja T (·) um semigrupo dinamicamente gradiente com respeito à família de invariantesisolados M = M1, . . . ,Mn e assumamos que M1 seja um atrator local para T (·). Segue quecada M j, com j > 1, está contido em M*1 , o repulsor associado a M1.

Considerando a restrição T1(·) de T (·) a M*1,0 := M*1 , então T1(·) é um semigrupo dina-micamente gradiente em M*1 relativo à família de invariantes isolados M2, . . . ,Mn. Podemosassumir, sem perda de generalidade, que M2 é um atrator local para T1(·) em M*1 . Se M*2,1 é orepulsor associado ao conjunto invariante isolado M2 de T1(·) em M*1 podemos prosseguir econsiderar a restrição T2(·) do semigrupo T1(·) a M*2,1 e T2(·) será um semigrupo dinamicamentegrandiente com respeito à família de invariantes isolados M3, . . . ,Mn.

Repetindo o processo, após um número finito de passos, obtemos uma reordenação deM de modo que M j é um atrator local para a restrição de T (·) a M*j, j−1.

Nestas condições, defina A0 = /0, A1 = M1 e para j = 2,3, . . . ,n

A j = A j−1∪W u(M j) =j⋃

k=1

W u(Mk), (2.3.2)

em que W u(M) = x ∈A : existe solução global limitada ξ : R→A com ξ (0) = x e α(ξ )⊂M, a variedade instável do subconjunto invariante M de A e

α(ξ ) = z ∈ X : existe uma sequência tnn→∞−→ ∞ tal que z = lim

n→∞ξ (−tn),

denota o α-limite de uma solução global ξ . Fica claro que An = A .

Teorema 2.3.11. Seja T (·) um semigrupo dinamicamente gradiente com respeito à família deinvariantes isolados M = M1, . . . ,Mn reordenada de maneira que M j é um atrator local para arestrição de T (·) a M*j−1, j−2. Então a família A j definida em (2.3.2) é um atrator local para T (·)em X ,

M j = A j∩A*j−1

e M é uma decomposição de Morse de A .

Proposição 2.3.12. Seja T (·) um semigrupo dinamicamente gradiente com respeito à famí-lia de invariantes isolados M = M1, . . . ,Mn reordenados de maneira que constituam umadecomposição de Morse do atrator global A . Então

n⋂j=0

(A j∪A*j) =n⋃

j=1

M j. (2.3.3)

A fim de fecharmos o ciclo de equivalências, devemos construir uma função de Lyapunova partir de uma decomposição de Morse.


Lema 2.3.13. Se T (·) é um semigrupo com atrator global A , a função h : X → R definida por

h(x) = supt≥0

d(T (t),A ) (2.3.4)

para x ∈ X , está bem definida, é contínua e a aplicação [0,∞)∋ t ↦→ h(T (t)x)∈R é não crescentepara cada x ∈ X . Ainda mais, h−1(0) = A .

Lema 2.3.14. Sejam T (·) um semigrupo com atrator global A e (A,A*) um par atrator-repulsorem A . Existe uma função contínua f : X → R satisfazendo:

1. [0,∞) ∋ t ↦→ f (T (t)x) ∈ R é descrescente para cada x ∈ X .

2. f−1(0) = A e f−1(1) = A*.

3. Dado x ∈ X , se f (T (t)x) = f (x) para todo t ≥ 0, então x ∈ A∪A*.

Os lemas anteriores são uma inspiração para a construção do funcional de Lyapunov.

Teorema 2.3.15. Sejam T (·) um semigrupo com atrator global A e uma família de invariantesisolados M = M1, . . . ,Mn. Se existe uma família crescente de atratores globais /0 = A0 ⊂A1 ⊂ . . .⊂ An = A que constitui uma decomposição de Morse de A , então o semigrupo T (·)é gradiente relativamente a M . Isto é, existe um funcional de Lyapunov relativo à famíliaM . Ainda mais, o funcional L : X → R pode ser escolhido de modo que L (M j) = j− 1,j = 1, . . . ,n.

2.4 Equi-atração para sistemas dinâmicos

Nesta seção discutiremos a continuidade de atratores para sistemas dinâmicos, o que éuma maneira de garantir que nossa modelagem é consistente perante perturbações. As referênciasbásicas para esta seção são (CARVALHO; LANGA; ROBINSON, 2009; CARVALHO; LANGA;ROBINSON, 2012; LI; KLOEDEN, 2004). Apresentaremos resultados para semigrupos eprocessos de evolução e também algumas das provas do caso de semigrupos. Optamos por estasprovas pela simplicidade, a generalização para processos de evolução pode ser vista, por exemplo,em (CARVALHO; LANGA; ROBINSON, 2012, Secction 3.4).

Sejam X um espaço de Banach e Tη(·) : η ∈ [0,1] uma família de semigrupos em X esuponhamos que para cada η exista atrator global Aη em X .

Diremos que Tη(·) : η ∈ [0,1] é coletivamente assintoticamente compacta em η = 0se, dadas uma sequência ηk com ηk

k→∞−→ 0, uma sequência limitada xk ∈ X e uma sequênciatk ≥ 0 com tk

k→∞−→∞ para a qual Tηk(tk)xk é limitada em X , então Tηk(tk)xk é relativamentecompacta.

2.4. Equi-atração para sistemas dinâmicos 33

Definição 2.4.1. Seja Tη(t) : t ≥ 0 um semigrupo com atrator global Aη , para cada η ∈ [0,1],diremos que a família de atratores Aη : η ∈ [0,1] equi-atrai subconjuntos limitados de X se

limt→∞

supη∈[0,1]

distH(Tη(t)B,Aη) = 0, (2.4.1)

para cada subconjunto limitado B de X .

Mostraremos como este conceito é equivalente à continuidade de atratores.

Teorema 2.4.2. Seja Tη(·) : η ∈ [0,1] uma família de semigrupos que é contínua (como em(2.2.1)) e coletivamente assintoticamente compacta em η = 0. Suponha que Tη(·) tem um atratorglobal Aη para cada η ∈ [0,1] e que

⋃η∈[0,1]Aη seja limitado. Se Aη : η ∈ [0,1] equi-atrai

limitados, entãodistH(Aη ,A0)→ 0 quando η → 0.

Demonstração. SejaB =

⋃η∈[0,1]

Aη (2.4.2)

que é limitado em X .

Dado ε > 0, da equi-atração existe t0 = t0(ε,B) tal que

supη∈[0,1]

dist(Tη(t)B,Aη)≤ ε, para todo t ≥ t0. (2.4.3)

Dos fatos de que a família Tη(·) : η ∈ [0,1] é contínua e coletivamente assintoticamentecompacta em η = 0 e B é limitado, existe η0 ∈ (0,1] tal que

dist(Tη(t0)Aη ,T0(t0)Aη)≤ ε, para todo η ≤ η0. (2.4.4)

De (2.4.3) e (2.4.4), obtemos

dist(Aη ,A0)≤ dist(Tη(t0)Aη ,T0(t0)Aη)+dist(T0(t0)Aη ,A0)≤ 2ε. (2.4.5)

De maneira análoga obtemos, de (2.4.3),

dist(A0,Aη)≤ 2ε. (2.4.6)

O que completa a prova da continuidade dos atratores.

Apresentaremos uma recíproca do Teorema 2.4.2. Para tal, diremos que uma família desemigrupos Tη(·) : η ∈ [0,1] é uniformemente limitada se⋃

η∈[0,1]

⋃t≥0

Tη(t)B é limitada

sempre que B é limitado de X .


Teorema 2.4.3. Seja Tη(·) : η ∈ [0,1] uma família de semigrupos contínua e coletivamenteassintoticamente compacta em η = 0. Se Tη(·) tem atrator global Aη , para cada η ∈ [0,1], afamília Tη(·) : η ∈ [0,1] é uniformemente limitada e que

distH(Aη ,A0)→ 0, quando η → 0, (2.4.7)

então para cada sequência ηk com ηk→ 0, quando k→∞,⋃

k∈NAηk é relativamente compactoe Aηk : k ∈ N equi-atrai limitados. Consequentemente, existe η0 ∈ (0,1] tal que

⋃η∈[0,η0]Aη

é limitado e Aη : η ∈ [0,η0] equi-atrai limitados.

Demonstração. A compacidade de⋃

k∈NAηk segue imediatamente da continuidade dos atratoresglobais. Provaremos a equi-atração por contradição. Suponhamos, então, que existam ε > 0,sequências tk ≥ 0 com tk→ ∞, quando k→ ∞, e xk limitada em X tal que

dist(Tηk(tk),Aηk)≥ 2ε.

De (2.4.7) podemos assumir que

dist(Tηk(tk)xk,A0)≥ ε.

Da limitação uniforme da família Tη(·) : η ∈ [0,1], segue que

B =⋃

k∈N

⋃t≥0

Tηk(t)xk

é limitado. A continuidade e compacidade assintótica coletiva em η = 0 implicam que para cadat ≥ 0, exite b ∈ B tal que

dist(T0(t)b,A0)≥ ε

o que contradiz o fato de que A0 atrai limitados de X sob T0(·). Mostramos assim que a famíliaAηk : k ∈ N equi-atrai limitados de X . A existência de η0 pode ser facilmente demonstradapor um argumento de contradição.

Um fato interessante da equi-atração é que se tivermos uma estimativa para a continuidadedos semigrupos então podemos passar essa estimativa para medirmos a distância entre os atratoresglobais. O que segue no teorema a seguir.

Teorema 2.4.4. Seja Tη(·) : η ∈ [0,1] uma família de semigrupos para os quais existe atratorglobal Aη , para cada η ∈ [0,1]. Denote B =

⋃η∈[0,1]Aη e suponha que existe função contínua e

estritamente decrescente γ : [0,∞)→ [0,∞) tal que

supη∈[0,1]

dist(Tη(t)B,Aη)≤ γ(t), t ≥ 0 (2.4.8)

esupx∈D

dist(Tη(t)x,T0(t)x)≤ Eη(t), para todo t ≥ 0 (2.4.9)

2.4. Equi-atração para sistemas dinâmicos 35

onde Eη(t)→ 0, quando η → 0, para cada t ≥ 0. Dessa maneira, vale a estimativa

distH(Aη ,A0)≤ infε∈γ([0,∞))

2

Eη(γ−1(ε)+ ε)

. (2.4.10)

Demonstração. Para cada t ≥ 0,

dist(Aη ,A0)≤ dist(Tη(t),Aη ,T0Aη)+dist(T0(t)Aη ,A0). (2.4.11)

De (2.4.9) temos

dist(Tη(t)Aη ,T0(t)Aη)≤ supx∈Aη

d(Tη(t)x,T0(t)x)≤ Eη(t).

Unindo (2.4.9) e (2.4.11) obtemos

dist(Aη ,A0)≤ Eη(t)+ γ(t).

Portanto, para ε ∈ γ([0,∞)) e t = γ−1(ε),

dist(Aη ,A0)≤ Eη(γ−1(ε))+ ε.

De maneira semelhante obtemos

dist(A0,Aη)≤ Eη(γ−1(ε))+ ε

e (2.4.10) está provada.

Corolário 2.4.5. Suponha que as condições do Teorema 2.4.4 estão satisfeitas com

∙ γ(t) = ce−νt para algum c≥ 1, ν > 0 e para todo t ≥ 0;

∙ Eη(t) = ρ(η)eLt , t ≥ 0, onde L > 0 e ρ : [0,1]→ [0,∞) é contínua com ρ(0) = 0.

Então existe uma constante c > 0 tal que

distH(Aη ,A0)≤ cρ(η)ν

ν+L .

Demonstração. No Teorema 2.4.4 tomamos γ−1(ε) = log(c/ε)1ν , de maneira que (2.4.10) leia-

se

distH(Aη ,A0)≤ 2 infε∈(0,c]

ρ(η)

( cε

) Lν

+ ε

.

Minimizamos o lado direito da inequação acima e obtemos

distH(Aη ,A0)≤ 2cL

L+ν

((L

ν eν

) −Lν+L

+

(LeL

ν

) ν

ν+L)

ρ(η)ν

ν+L

e a prova está completa.


Para processos de evolução podemos recriar resultados análogos aos anteriores, quemostram que equi-atração pullback é equivalente à continuidade de atratores pullback. Vamosconsiderar aqui Sη(·, ·) : η ∈ [0,1] uma família de processos de evolução e para cada η ∈ [0,1]suporemos que existe atrator pullback Aη(t) : t ∈ R.

Assumimos, ainda, que para cada t ∈R a família de atratores pullback Aη(·) : η ∈ [0,1]satisfaz ⋃

η∈[0,1]Aη(t) é compacto. (2.4.12)

Definição 2.4.6. Diremos que a família Aη(t0) : η ∈ [0,1] equi-atrai pullback limitados de X

no tempo t0 se

lims→−∞

supη∈[0,1]

dist(Sη(t0,s)B,Aη(t0)) = 0 (2.4.13)

para cada limitado B de X .

Teorema 2.4.7. Seja Sη(·, ·) : η ∈ [0,1] uma família de processos em X com correspondentesatratores pullback Aη(·) : η ∈ [0,1]. Assumamos que (2.2.4), (2.2.6) e (2.4.12) são satisfeitas.Se, para algum t0 ∈ R, Sη(·, ·) : η ∈ [0,1] é contínua no tempo t0 e em η = 0 e a família deatratores Aη(t0) : η ∈ [0,1] equi-atrai pullback limitados de X , então

distH(Aη(t0),A0(t0))→ 0, quando η → 0.

Novamente, para fazermos a recíproca do Teorema 2.6.11 se faz necessário mais hipótesessobre os processos de evolução.

Definição 2.4.8. Dizemos que a família de processos Sη(·, ·) : η ∈ [0,1] é uniformementepullback limitada no tempo t se ⋃

η∈[0,1]

⋃τ≤t

⋃s≤τ

Sη(τ,s)B

for limitado, sempre que B é um limitado de X .

Definição 2.4.9. Seja t ∈ R. Dizemos que a família de processos Sη(·, ·) : η ∈ [0,1] é coleti-vamente pullback assintoticamente compacta no tempo t e em η = 0 se, sempre que ηk é umasequência com ηk→ 0, sk ≤ t é uma sequência com sk→−∞, xk é uma sequência limitadaem X e Sηk(t,sk)xk é limitada, implicar que a sequência Sηk(t,sk)xk possui subsequênciaconvergente.

Podemos ver facilmente a relação entre as definições acima e as respectivas definiçõesno caso de semigrupos.

Teorema 2.4.10. Seja Sη(·, ·) : η ∈ [0,1] uma família de processos em X com correspondentesatratores pullback Aη(·) : η ∈ [0,1]. Assuma que para algum t0 ∈ R a família de processos

2.5. Semifluxos skew-product 37

Sη(·, ·) : η ∈ [0,1] é contínua em t0 e em η = 0, úniformemente pullback limitada em t0,coletivamente pullback assintoticamente compacta em t0 e

distH(Aη(t0),A0(t0))→, quando η → 0,

então⋃

η∈[0,1]Aη(t0) é compacto e Aη(t0) : η ∈ [0,1] equi-atrai pullback no tempo t0.

Teorema 2.4.11. Seja Sη(·, ·) : η ∈ [0,1] uma família de processos com atratores pullbackAη(·) : η ∈ [0,1]. Assumamos que

∙ as hipóteses (2.2.4), (2.2.6) e (2.4.12) estão satisfeitas;

∙ existe uma função estritamente descrescente ζ : [0,∞)→ [0,∞) com ζ (0) = ζ0 e tal quelims→∞

ζ (s) = 0 para a qual vale a estimativa

supη∈[0,1]

dist(Sη(t,s)

⋃η∈[0,1]

τ≤t

A (τ),Aη(t))≤ ζ (t− s),

para todo s≤ t;

∙ existem constantes c,L > 0 e sequência ρk> 0 com ρkk→∞−→ 0 tal que

dist(Sη(t,s)x,S0(t,s)y)≤ ceL(t−s)(d(x,y)+ρk).

Entãodist(Aη(t),A0(t))≤ h(ρk) := min

ε∈(0,ζ0]2

ceLζ−1(ε)ρk + ε

.

Corolário 2.4.12. Assuma as condições do Teorema 2.4.11 são satisfeitas e que existe ν > 0 talque ζ (t− s) = ce−ν(t−s) para todo s≤ t. Então existe uma constrante c > 0 tal que

distH(Aη(t),A0(t))≤ cρ

ν

ν+Lk .

2.5 Semifluxos skew-productNesta seção falaremos sobre os semifluxos skew-product. Como motivação para sua

definição vamos considerar uma equação diferencial não autônoma num espaço de Banach Xxt = f (t,x),

x(0) = x0 ∈ X .(2.5.1)

Consideremos o espaço Cb := Cb(R×X ,X) das funções contínuas e limitadas de R×X

em X munido de uma métrica ρ que o deixa completo e o grupo das translações θ(·) agindo emCb, isto é,

θ(t) f (s,x) = f (t + s,x), t,s ∈ R e x ∈ X .


Suponhamos que f ∈ Cb e seja Σ f o fecho da órbita de f por θ(·), ou seja, Σ f = θ(t) f : t ∈ Rno espaço métrico Cb.

Dado σ ∈ Σ f consideramos o sistemaxt = σ(t,x),

x(0) = x0 ∈ X(2.5.2)

e para x0 ∈ X seja x(t,x0,σ) a solução de (2.5.2) no tempo t ∈ R com função não autônomaσ ∈ Σ f e condição inicial x(0) = x0. Usaremos a notação ϕ(t,σ)x0 := x(t,x0,σ). Observe quetais soluções satisfazem as seguintes propriedades:

1. ϕ(0,σ)x0 = x0;

2. [0,∞)×X×Σ f ∋ (t,x0,σ) ↦→ ϕ(t,σ)x0 ∈ X é contínua; e

3. (a propriedade do cociclo) ϕ(t + s,σ)x0 = ϕ(t,θ(s)σ)ϕ(s,σ)x0.

Devido a esta propriedade a aplicação ϕ é conhecida como semifluxo cociclo.

Uma aplicação ϕ : [0,∞)×X × Σ→ X juntamente com um grupo θ(·) com as pro-priedades acima é chamado de um sistema dinâmico não autônomo (ou nds para abreviar)e denotaremos por (ϕ,θ)(X ,Σ). Contudo podemos ter estes mesmos elementos sem que hajauma equação diferencial envolvida. Por isso vamos apresentar a teoria de forma abstrata, commotivação a aplicação em equações diferenciais não autônomas. As referências desta seção são(BORTOLAN et al., 2013; BORTOLAN; CARVALHO; LANGA, 2014; SELL; YOU, 2013) e(SELL, 1967).

Suponhamos que (C ,ρ) é um espaço métrico completo com um grupo θ(·) agindo emC , o qual é chamado de grupo diretor.

Fixamos σ0 ∈ C . Denotamos Γ = θ(t)σ0 : t ∈ R, a órbita de σ0 por θ(·) em C e porΣ o fecho de Γ, o qual suporemos ser compacto em C . Por fim, sejam X um espaço de Banach eϕ : [0,∞)×X×Σ→ X um semifluxo cociclo e consideremos o nds (ϕ,θ)X ,Σ0 .

A seguir vamos explorar as diversas propriedades de atração de um sistema dinâmiconão autônomo (ϕ,θ)(X ,Σ). Mais precisamente, vamos definir os atratores uniforme e cociclo eapresentaremos o semifluxo skew-product, que é um semigrupo em um espaço de fase específico.

Definição 2.5.1. Seja (ϕ,θ)(X ,Σ) é um sistema dinâmico não autônomo. Um atrator uniformeAη (se existir) para o sistema é o fechado minimal de X tal que

supσ∈Σ

dist(ϕ(t,σ)B,Aη)→ 0, quando t→ ∞,

para cada limitado B de X .

2.5. Semifluxos skew-product 39

O atrator uniforme performa uma atração forward no tempo uniformemente com respeitoa σ no grupo diretor, citamos (CHEPYZHOV; VISHIK, 2002), e uma caracterização é dadapela propriedade de invariância levantada. Como visto no caso de semigrupos e processos deevolução, soluções globais e a propriedade de ser invariante estão bem conectadas.

Uma solução global por x e σ do nds (ϕ,θ)(X ,Σ) é uma aplicação ξ : R→ X que satisfaz,para todo t ≥ s,

ϕ(t− s,θ(s)σ)ξ (s) = ξ (t) e ξ (0) = x.

Definição 2.5.2. Dizemos que M ⊂ X é levantado invariante pelo nds (ϕ,θ)(X ,Σ) se para cadax em M existe σ ∈ Σ e uma solução global ξ : R→ X passando por x e σ cuja imagem estácontida em M.

Dizemos ainda que M é um levantado invariante isolado se existe uma vizinhança U deM para a qual M é o levantado invariante maximal em U .

Proposição 2.5.3. O atrator uniforme para o sistema dinâmico não autônomo (ϕ,θ)(X ,Σ), seexistir, é o levantado invariante limitado maximal em X .

Vamos definir agora o semifluxo skew-product. Seja (ϕ,θ)(X ,Σ) um sistema dinâmiconão autônomo em (X ,Σ). Associamos a ele o sistema dinâmico autônomo ou semigrupo π(·) emX= X×Σ, com a mética da soma, pondo

π(t)(x,σ) = (ϕ(t,σ)x,θ(t)σ) , t ≥ 0. (2.5.3)

Não é difícil ver que π(·) definido como acima é um semigrupo, conhecido como semifluxo

skew-product.

Como semigrupo, o semifluxo skew-product pode possuir atrator global A em X. Aseguir, apresentaremos definições a fim de relacionar o atratores uniformes com o atrator globalpara o semifluxo skew-product.

Definição 2.5.4. Dizemos que o sistema dinâmico não autônomo (ϕ,θ)(X ,Σ) é uniformementeassintoticamente compacto se existe um compacto K ⊂ X tal que

limt→∞

supσ∈Σ

dist(ϕ(t,σ)B,K) = 0, (2.5.4)

para todo limitado B de X .

Proposição 2.5.5. Sejam (ϕ,θ)(X ,Σ) é um sistema dinâmico não autônomo com Σ compacto eπ(·) o semifluxo skew-product correspondente. São equivalentes:

1. existe um compacto K de X×Σ tal que para todo limitado B de X×Σ

limt→∞

dist(π(t)B,K) = 0.


2. existe um compacto K de X tal que para todo limitado B de X

limt→∞

supσ∈Σ

dist(ϕ(t,σ)B,K) = 0.

É consequência direta da proposição acima que a compacidade assintótica uniforme donds (ϕ,θ)(X ,Σ) implica na existência de um atrator global para o semifluxo skew-product π(·).

Teorema 2.5.6. Se (ϕ,θ)(X ,Σ) é uniformemente assintoticamente compacto e Σ é compacto,então (ϕ,θ)(X ,Σ) tem um atrator uniforme.

Vamos finalizar a seção falando do semifluxo cociclo e fazendo uma relação entre ospossíveis tipos de estruturas assintóticas apresentadas.

Diremos que um conjunto não autônomo A(σ) : σ ∈ Σ, com A(σ) ⊂ X para todoσ ∈ Σ, é limitado, fechado ou compacto se cada fibra A(σ) é limitada, fechada ou compacta emX , respectivamente.

Definição 2.5.7. Suponhamos que (ϕ,θ)(X ,Σ) seja um sistema dinâmico não autônomo. Dizemosque o conjunto não autônomo compacto A(σ) : σ ∈ Σ é um atrator cociclo para o sistemadinâmico não autônomo se

(i) A(·) é invariante, isto é, para todo t ≥ 0 e σ ∈ Σ

ϕη(t,σ)A(σ) = A(θ(t)σ).

(ii) A(·) Σ-pullback atrai limitados de X , isto é, para cada limitado B de X , temos

dist(ϕ(t,θ(−t))B,A(σ))→ 0, quando t→ ∞. (2.5.5)

Teorema 2.5.8. Seja (ϕ,θ)(X ,Σ) um sistema dinâmico não autônomo com Σ compacto. Se π(·),o semifluxo skew-product associado, possui atrator global A, então o conjunto não autônomoA(σ) : σ ∈ Σ definido como A(σ) = x ∈ X : (x,σ) ∈ A é o atrator cociclo para (ϕ,θ)(X ,Σ).

Sem hipóteses adicionais a recíproca do teorema anterior não é verdadeira, a princípio oatrator cociclo não é necessariamente limitado em geral. Apresentamos, então, a definição deatração uniforme para obtermos um resultado recíproco.

Definição 2.5.9. Suponhamos que A(·) é o atrator cociclo para o sistema dinâmico não autônomo(ϕ,θ)(X ,Σ), com Σ compacto. Dizemos que A(·) uniformemente equi-atrai limitados de X se

limt→∞

supσ∈Σ

dist(ϕ(t,θ(−t)σ)B,A(σ)) = 0,

para todo limitado B de X .

2.6. Espaços uniformemente locais 41

Teorema 2.5.10. Se A(·) é o atrator cociclo para o nds (ϕ,θ)(X ,Σ) uniformemente equi-atrailimitados de X e ∪σ∈ΣA(σ) é precompacto em X , então o conjunto A associado a A(·), dado por

A=⋃

σ∈Σ

A(σ)×σ

é o atrator global para o semifluxo skew-product π(·) em X.

Teorema 2.5.11. Suponhamos que o nds (ϕ,θ)(X ,Σ) seja uniformemente assintoticamente com-pacto, então existe um atrator uniforme A e um atrator cociclo A(σ) : σ ∈ Σ e vale

⋃σ∈Σ

A(σ) = A . (2.5.6)

Vamos agora rapidamente relacionar o semifluxo cociclo de um sistema dinâmico nãoautônomo com processos de evolução.

Dado um σ em Σ construímos um processo de evolução da seguinte maneira: parat ≥ s ∈ R, defina

Sσ (t,s) = ϕ(t− s,θ(s)σ). (2.5.7)

Se A(σ) : σ ∈ Σ é o atrator cociclo para o nds (ϕ,θ)(X ,Σ), então o conjunto nãoautônomo A(θ(t)σ) : t ∈ R) é o atrator pullback do processo definido em (2.5.7).

2.6 Espaços uniformemente locais

Nesta seção vamos explorar os espaços conhecidos como uniformemente locais e geraçãode semigrupos por operadores elípticos nos mesmos. As referências para esta seção são ostrabalhos (ARRIETA et al., 2004; ARRIETA et al., 2007; ARRIETA et al., 2004; CHOLEWA;RODRÍGUEZ-BERNAL, 2009; MIELKE, 1997; WANG, 1999) e (ZELIK, 2003).

Para 1≤ p < ∞ defina LpU(R

n) = u ∈ Lploc(R

n) : supx∈Rn‖u‖Lp(B(x,1)) < ∞,, onde B(x,1)

denota a bola de centro em x e raio 1, com norma

‖u‖LpU (Rn) = sup

x∈Rn‖u‖Lp(B(x,1)). (2.6.1)

Para p = ∞ a definição análoga seria: u ∈ L∞U(Rn) se, e somente se, sup

x∈Rn‖u‖L∞(B(x,1)) < ∞ e isto

implica que supx∈Rn|u(x)|< ∞, isto é, L∞

U(Rn) = L∞(Rn).

Observamos que LpU(Rn) contém L∞(Rn), Lq(Rn) e Lq

U(Rn), sempre que q≥ p.

Na definição de LpU(Rn) o fato de tomarmos a bola de raio 1 em x é puramente instru-

mental. Tomando o raio r > 0 geraríamos os mesmos espaços com normas equivalentes, comconstantes que dependem apenas de n e não de p.


Considere o grupo das translações τy : y ∈ Rn, τyu(x) = u(x− y), para y ∈ Rn. Deno-tamos por Lp

U(Rn) o subespaço das funções de LpU(Rn) que são contínuas por translações com

respeito à norma ‖ · ‖LpU (Rn). Isto é,

‖τyu−u‖LpU (Rn)→ 0, quando ‖y‖→ 0.

Note que C∞0 (Rn) ⊂ Lp

U(Rn) e portanto Lp(Rn) ⊂ LpU(Rn), para 1 ≤ p < ∞. Se p = ∞

temos L∞U(Rn) = BUC(Rn) = u : Rn→ R : u é uniformemente contínua e limitada. Observa-

mos também que BUC(Rn)⊂ LpU(Rn), para 1≤ p < ∞.

Quando Ω⊂ Rn é um domínio ilimitado arbitrário, a definição de LpU(Ω) também faz

sentido e geram espaços diferentes dos Lp(Ω) usuais, tomando B(x,1)∩Ω, x ∈Ω, no supremoem (2.6.1) anterior.

A seguir daremos outra caracterização dos espaços uniformemente locais. Ambas asdefinições se mostram importantes para entendimento de diferentes propriedades, a anterior, naopinião do autor, sendo mais intuitiva e a seguinte tendo muita importância analítica. Para talvamos utilizar funções peso e espaços Lp com peso.

Seja ρ : Rn → (0,∞) uma função peso. Denotamos como o espaço com peso, para1≤ p < ∞,

Lpρ(Rn) =

u ∈ Lp

loc(Rn) :

∫Rn|u(x)|pρ(x)dx < ∞

(2.6.2)

com a norma dada por ‖u‖Lpρ (Rn) = (

∫Rn |u(x)|pρ(x)dx)1/p.

Consideramos os pesos transladados ρy(x) := τyρ(x) = ρ(x−y), x ∈Rn, e o espaço compeso correspondente Lp

τyρ(Rn) = Lpρy(Rn).

Desse modo, definimos o espaço uniformemente local

Lplu(R

n) =

u ∈ Lp

loc(Rn); sup

y∈Rn‖u‖Lp

ρy(Rn) < ∞

, (2.6.3)

com a norma dada por ‖u‖Lplu(Rn) = supy∈Rn ‖u‖Lp

ρy(Rn).

Primeiramente, observamos que se ρ ∈ L1(Rn) ∩ L∞(Rn), então Lp(Rn),L∞(Rn) ⊂Lp

lu(Rn)⊂ Lp

ρ(Rn).

Consideramos também o subespaço Lplu(R

n) das funções contínuas por translação comrespeito à norma ‖ · ‖Lp

lu(Rn). Isto é,

Lplu(R

n) =

u ∈ Lplu(R

n) : ‖τyu−u‖Lplu(Rn)→ 0, quando ‖y‖→ 0

.

Os espaços definidos acima dependem da função peso que escolhida, contudo este detalheé comumente omitido da notação. Definiremos uma classe de funções peso para as quais osespaços Lp

lu(Rn) coincidem. Na literatura comumente fixa-se um peso que faz parte desta classe,

o mais usual em Rn é a função ρ(x) =(1+ |x|2

)−ν , com ν > n/2.


Definição 2.6.1. A classe I consiste dos pesos contínuos, estritamente positivos ρ que satisfa-zem as seguintes propriedades:

(i) ρ ∈ L1(Rn),

(ii) existem constantes λ ,c > 0 e r ≥ 0 tais que, para qualquer ξ ∈ Rn, com |ξ | ≥ r

ρ(ξ )≤ c min|x−ξ |≤λ

ρ(x). (2.6.4)

Observamos que:

1. Se ρ ∈I , então ρ ∈ L∞(Rn) e

supx∈Rn

ρ(x)≤ cV (λ )

∫Rn

ρ(x)dx, (2.6.5)

onde V (λ ) =V (1)λ n denota o volume da bola n-dimensional de raio λ .

2. Se ρ ∈I , então ρα ∈I desde que α ≥ 1.

3. A condição (ii) é equivalente ao seguinte: “para todo λ > 0, existe c = c(λ )> 0 tal queρ(ξ )≤ c min

|x−ξ |≤λ

ρ(x), para qualquer ξ ∈ Rn”.

Em particular, se ρ ∈ I , então para qualquer ε > 0, o peso ρε(x) = ρ(εx) ∈ I e osespaços Lp

ρε(Rn) e Lp

ρ(Rn) coincidem com normas equivalentes.

Proposição 2.6.2. Assuma que ρ : Rn → (0,∞) é uma função peso contínua e estritamentepositiva. Então Lp

lu(Rn) ⊂ Lp

U(Rn) com inclusão contínua. O mesmo é válido para Lplu(R

n) eLp

U(Rn).

Se, em adição, ρ ∈I , então os espaços Lplu(R

n) e LpU(Rn) coincidem algébrica e topolo-

gicamente. O mesmo vale para Lplu(R

n) e LpU(Rn).

Lembramos que W k,ploc (R

n) é o espaço de todas as funções u ∈ Lploc(R

n) cujas derivadasdistribucionais Dσ u estão em Lp

loc(Rn), para todo σ multi-índice com |σ | ≤ k.

Definiremos agora os espaços de Sobolev uniformemente locais. Para 1≤ p≤ ∞ defini-mos:

1. u ∈W k,pρ (Rn) se e só se u ∈W k,p

loc (Rn) e

‖u‖W k,pρ (Rn)

= ∑|σ |≤k‖Dσ u‖Lp

ρ (Rn) < ∞.


2. u ∈W k,plu (Rn) se e só se u ∈W k,p

loc (Rn) e

‖u‖W k,plu (Rn)


lu(Rn) < ∞.

Também consideramos o subespaço das funções contínuas por translações na norma‖ · ‖W k,p

lu (Rn), denotado, como antes, por W k,p

lu (Rn).

3. u ∈W k,pU (Rn) se e só se u ∈W k,p

loc (Rn) e

‖u‖W k,pU (Rn)


U (Rn) < ∞,

ou, equivalentemente,

‖u‖W k,pU (Rn)

= supx∈Rn‖u‖W k,p(B(x,1)) < ∞.

De maneira completamente análoga definimos o subespaço das funções contínuas portranslações denotado por W k,p

U (Rn).

Para todo x ∈ Rn e h ∈ BRn(0;1), se u ∈W 1,p(B(x,2)) então podemos escrever u(x+

h)−u(x) =∫ 1

0 ∇u(x+ sh) ·hds e, dessa maneira,∫B1(x)|u(x+h)−u(x)|pdx≤

∫B1(x)

∫ 1

0‖∇u(x+ sh)‖p‖h‖pdsdx

portanto‖u(·+h)−u‖Lp(B(x,1)) ≤ c‖h‖ (2.6.6)

em que c = ‖∇u‖Lp(B(x,2)). Isto é, W k+1,pU (Rn)⊂ W k,p

U (Rn), para todo k ∈ N.

É importante considerarmos espaços intermediários em adição aos que definimos acima.Para isto considere ((·, ·))

θqualquer functor de interpolação.

Definição 2.6.3. Para 1 ≤ p < ∞, k ∈ Z+ e s ∈ (k,k+1) ponha θ ∈ (0,1) dado por s = θ(k+

1)+(1−θ)k, Isto é, θ = s− k. Definimos os espaços intermediários:

(i) Para Ω = B(y,1), y ∈ Rn, ou qualquer domínio suave em Rn, definimos

W s,p(Ω) =((

W k+1,p(Ω),W k,p(Ω)))

θ,

W s,p(Rn) =((

W k+1,p(Rn),W k,p(Rn)))

θ

eW s,p

ρ (Rn) =((

W k+1,pρ (Rn),W k,p

ρ (Rn)))

θ.

(ii)W s,p

lu (Rn) =((

W k+1,plu (Rn),W k,p

lu (Rn)))

θ

eW s,p

lu (Rn) =((

W k+1,plu (Rn),W k,p

lu (Rn)))

θ.


(iii) Alternativamente, podemos definir o espaço AW s,plu (Rn), o espaço das funções tais que

supy∈Rn‖u‖W s,p

ρy (Rn) < ∞,

com norma dada por

‖u‖AW k,plu (Rn)

= supy∈Rn‖u‖W s,p

ρy (Rn).

E, considerando os elementos contínuos por translações, temos AW s,plu (Rn).

(iv)

W s,pU (Rn) =

((W k+1,p

U (Rn),W k,pU (Rn)

))θ

e

W s,pU (Rn) =

((W k+1,p

U (Rn),W k,pU (Rn)

))θ.

(v) Como anteriormente, podemos definir o espaço AW s,pU (Rn) como o espaço das funções

tais que

supy∈Rn‖u‖W s,p(B(y,1)) < ∞

com norma dada por

‖u‖AW s,pU (Rn) = sup

y∈Rn‖u‖W s,p(B(y,1)).

E considerando os elementos que são contínuos por translações temos o subespaçoAW s,p

U (Rn).

As famílias de espaços definidos acima dependem do functor de interpolação e sãodecrescentes à medida em que aumentamos s e/ou p.

Lema 2.6.4. Os elementos de W s,pU (Rn) e W s,p

lu (Rn) são contínuos por translação na norma decada espaço respectivamente.

Em adição aos resultados anteriores, para qualquer functor de interpolação((·, ·))

θ,

θ ∈ (0,1):

Proposição 2.6.5. Seja ρ : Rn→ (0,∞) uma função peso contínua e estritamente positiva. Para1≤ p≤ ∞, k ∈ Z+, θ ∈ [0,1) e pondo s = k+θ temos

(1) para cada y ∈ Rn

W s,plu (Rn) ⊂ AW s,p

lu (Rn) ⊂ W s,pρy (Rn)

∩ ∩ ∩W s,p

U (Rn) ⊂ AW s,pU (Rn) ⊂ W s,p(B(y,1))

em que cada inclusão é contínua. O mesmo vale para os espaços com pontos.


(2) Assuma que ρ ∈I , então os espaços W s,pU (Rn) e W s,p

lu (Rn) coincidem algébrica e topolo-gicamente. O mesmo vale para os espaços W s,p

U (Rn) e W s,plu (Rn).

Vamos estender a desigualdade de Nirenberg-Gagliardo e as imersões de Sobolev paraos espaços uniformemente locais definidos acima.

Vamos, primeiro, fixar algumas notações. Se k∈Z+ denotamos por Ckbd(R

n) o espaço dasfunções com todas derivadas parciais contínuas e limitadas até a ordem k, C∞

bd =⋂

∞k=0Ck

bd(Rn) e

BUCk(Rn)⊂Ckbd(R

n) é o subespaço das funções com todas derivadas parciais uniformementecontínuas e limitadas até a ordem k.

Para k ∈N e µ ∈ (0,1), Ck+µ(Rn) denota o espaço de Banach das funções u∈ BUCk(Rn)

uniformemente Hölder contínuas em Rn juntamente com suas derivadas até ordem k, embutidocom a norma

‖u‖Ck+µ (Rn) = ∑|σ |≤k

supx∈Rn|Dσ u(x)|+ ∑

|σ |=ksup

0<|x−y|<1

|Dσ u(x)−Dσ u(y)||x− y|µ

.

Observamos que as seguintes inclusões Ck+µ(Rn)⊂BUCk(Rn)⊂Ckbd(R

n)⊂BUCk−1(Rn)

são válidas.

Para obtermos melhores resultados devemos considerar o functor de interpolação nadefinição dos espaços acima como sendo o functor de interpolação complexa, usualmentedenotado por [·, ·]

θ, θ ∈ (0,1). A interpolação complexa dos espaços de Sobolev de ordem

inteira resulta nos chamados espaços de potenciais de Bessel.

Lema 2.6.6.

(i) Se s1 ≥ s2 ≥ 0, 1≤ p1 ≤ p2 < ∞ e s1− np1≥ s2− n

p2, então

AW s1,p1U (Rn)⊂ AW s2,p2

U (Rn)

e se s1 > s2 e p1 ≤ p2 as inclusões são localmente compactas, Isto é, para qualquer Ω ⊂ Rn

limitado e suave as inclusõesAW s1,p1

U (Rn)⊂W s2,p2(Ω)

são compactas. Mais ainda,

‖u‖AW s,pU (Rn) ≤C‖u‖θ

AW s1,p1U (Rn)

‖u‖1−θ

AW s2,p2U (Rn)

,

onde θ ∈ [0,1], 1p ≤

θ

p1+ 1−θ

p2, 1 < p, p1, p2 < ∞ e

s− np≤ θ

(s1−

np1

)+(1−θ)

(s2−

np2

).

(ii) Se 1≤ p < ∞ e s≥ 0, seja k = [s−n/p], a parte inteira de s−n/p, e 0 < µ < s−n/p−k < 1,então a inclusão

AW s,pU (Rn)⊂Ck+µ(Rn)


é contínua e localmente compacta. Mais ainda,

‖u‖Ck+µ (Rn) ≤C‖u‖θAW s,p

U (Rn)‖u‖1−θ

LqU (Rn)

com 0 < µ < 1, θ ∈ [0,1] e 1 < p,q < ∞ e, ainda,

k+µ ≤ θ

(s− n

p

)+(1−θ)

nq.

(iii) Se ρ ∈ I , a inclusão AW s1,p1U (Rn) ⊂W s2,p2

ρ (Rn) é compacta, desde que s2 ∈ N, s1 > s2,1 < p1 ≤ p2 < ∞ e s1− n

p1> s2− n

p2.

A parte (iii) do Lema 2.6.6 é verdadeiro para os espaços W s,pU (Rn) com s ∈ N, contudo

podemos estendê-lo para os espaços intermediários pela interpolação.

Sobre a densidade de espaços de funções nos uniformemente locais enunciamos oseguinte lema.

Lema 2.6.7. Se ρ ∈I e 1 ≤ p < ∞, então C∞bd(R

n) ⊂⋂

k∈NW k,p

U (Rn) é um subconjunto denso

de W s,pU (Rn), para cada s≥ 0.

Vamos terminar esta seção apresentando alguns resultados que garantem que operadoresde segunda ordem elípticos geram semigrupos analíticos tanto em espaços com peso quanto emespaços uniformemente locais. Os resultados foram extraídos de (ARRIETA et al., 2004).

Seja

A :=−n

∑k,l=1

akl(x)∂k∂l +n

∑j=1

b j(x)∂ j + c(x), (2.6.7)

um operador diferencial de ordem dois com coeficientes a valores complexos satisfazendo fracascondições de regularidade.

Considere as diferenciações parciais D j =−i∂ j e, renomeando as funções coeficientesem (2.6.7) teremos

A =n

∑k,l=1

akl(x)DkDl +n

∑j=1

b j(x)D j + c(x) (2.6.8)

Dizemos que um operador A como em (2.6.8) é elíptico se satisfaz a condição:

Definição 2.6.8 (Condição de elipticidade uniforme (M,θ0)). Denotemos por

A0(x,ξ ) =n

∑k,l=1

akl(x)ξkξl, x, ξ ∈ Rn,

o termo principal de A. Assumimos que os coeficientes akl são limitados e que exitem constantesM > 0 e θ0 ∈ (0,π/2) tais que para todo x,ξ ∈ Rn com |ξ |= 1 valem:

A0(x,ξ )≥1M

> 0, (2.6.9)


|arg(A0(x,ξ ))| ≤ θ0. (2.6.10)

Definição 2.6.9 (Operador setorial). Sejam K ≥ 1, a ∈ R e θ ∈ (0,π/2). Dizemos que umoperador linear Λ : D(Λ)⊂ Y → Y é (K,θ ,a)−setorial no espaço de Banach Y se o resolventede Λ contém o setor Sa,θ = z ∈ C;θ ≤ |arg(z−a)| ≤ π∪a do plano complexo e para todoλ ∈ Sa,θ

‖(λ −Λ)−1‖L (Y ) ≤K

1+ |λ −a|.

Note que D(Λ) não precisa ser denso em Y , mas Λ é necessariamente fechado.

Se Λ é setorial, então −Λ gera um semigrupo analítico, contínuo até t = 0 se o domíniode Λ for denso em Y .

Vamos definir uma segunda classe de pesos que será utilizada nos resultados do final daseção.

Definição 2.6.10. Dizemos que uma função peso ρ : Rn→ (0,∞) está na classe R = Rρ0,ρ1 se:

(i) ρ ∈C2(Rn);

(ii) |∂ jρ(x)| ≤ ρ0ρ(x), para todo x ∈ Rn e j = 1, . . . ,n, onde ρ0 > 0 é uma constante;

(iii) |∂ j∂kρ(x)| ≤ ρ1ρ(x), para todo x ∈ Rn e j,k = 1, . . . ,n, onde ρ1 > 0 é uma constante.

Observe que se ρ ∈R então|∇ρ(x− ty)|

ρ(x− ty)≤√

nρ0, o que leva a estimativa

ρ(x)≤ ρ(x− y)e√

nρ0|y|, x,y ∈ Rn. (2.6.11)

Particularmente, se ρ ∈R, então

ρ(x)≤ c min|y−x|≤λ

ρ(y),

com λ ,c > 0 para |x| ≥ r e algum r > 0. E, dessa maneira, se ρ ∈ L1(Rn)∩R, então ρ ∈I .

Teorema 2.6.11. Sejam 1 < p < ∞, M > 0, θ0 ∈ (0,π/2), θ ∈ (θ0,π/2) e ρ0,ρ1 > 0 dados.Existem constantes C,K ≥ 1 e µ > 0 tais que dado qualquer operador elíptico A ∈ E (M,θ0, p)

define um operador (K,θ ,−µ)−setorial no espaço X = Lpρ(Rn), para qualquer ρ ∈Rρ0,ρ1 , com

domínio DX(A) =W 2,pρ (Rn). Ainda mais, Aµ := µI +A é um isomorfismo linear de DX(A) em

X e

‖Aµ‖L (DX (A),X)+‖A−1µ ‖L (X ,DX (A)) ≤C. (2.6.12)


Teorema 2.6.12. Sejam 1 < p < ∞, M > 0, θ0 ∈ (0,π/2), θ ∈ (θ0,π/2) e ρ0,ρ1 > 0 dados.Existem constantes C,K ≥ 1 e µ > 0 para os quais qualquer operador elíptico A ∈ E (M,θ0, p)

define um operador (K,θ ,−µ)-setorial no espaço X = LpU(Rn) com domínio DX(A) =W 2,p

U (Rn).

Ainda mais, Aµ := µI +A é um isomorfismo linear de seu domínio, DX(A) em X e vale(2.6.12).

Além disso, para λ ∈ S−µ,θ ∪−µ,

‖λ I−A‖L (W 2,p

U (Rn),LpU (Rn))

+‖(λ I−A)−1‖L (Lp

U (Rn),W 2,pU (Rn))

≤C(λ ,µ,K). (2.6.13)

Então −A gera um semigrupo analítico S(t); t ≥ 0 em LpU(Rn) e a equação linear

ut +∑nk,l=1 akl(x)DkDlu+∑

nj=1 b j(x)D ju+ c(x)u = 0

u(0) = u0 ∈ LpU(Rn).

tem uma única solução u(t) = S(t)u0, para t ≥ 0.

Note que o Teorema 2.6.12 é verdadeiro assumindo apenas que ρ ∈R - podendo assimassumir pesos que crescem no infito. Neste caso, devemos substituir, no enunciado do teorema,os espaços W s,p

U (Rn) pelos espaços W s,plu (Rn).

Lema 2.6.13. Seja S(t); t ≥ 0 um semigrupo analítico no espaço de Banach X . Suponhamosque para algum espaço de Banach Y e para t > 0 a aplicação

S(t) : X → Y

seja contínua. Então, para cada u0 ∈ X , a curva do semigrupo (0,∞) ∋ t ↦→ S(t)u0 é analítica emY . Mais ainda, para cada t0 o raio de convergência da série de Taylor em Y não é menor do queem X .

Em particular, se Y ⊂ X com imersão contínua, então S(t); t ≥ 0 define um semigrupoanalítico em Y .

Corolário 2.6.14. Assuma que A é um operador diferencial como em (2.6.8) com coeficientesakl ∈ BUC(Rn), b j ∈ Lp j

U (Rn) e c ∈ Lp0U (Rn) onde p j > n e p0 >

n2 . Então, para qualquer 1 <

r ≤ ∞ e qualquer u0 ∈ LrU(Rn), existe uma única solução da equação linear

ut +∑nk,l=1 akl(x)DkDlu+∑

nj=1 b j(x)D ju+ c(x)u = 0

u(0) = u0 ∈ LrU(Rn)

dada por u(t) = S(t)u0, t ≥ 0, que satisfaz

(0,∞) ∋ t ↦→ S(t)u0 ∈ BUC(Rn)

é analítica.

Ainda mais, existem constantes µ,K e α ≥ 0 tais que vale a estimativa

‖S(t)u0‖BUC(Rn) ≤ Keµt

tα‖u0‖Lr

U (Rn), para t > 0. (2.6.14)


Teorema 2.6.15. Sejam, como no Teorema 2.6.12, 1 < p < ∞, M > 0, θ0 ∈ (0,π/2), θ ∈(θ0,π/2), ρ0,ρ1 > 0 dados e assuma as condições de regularidade mais fortes b j ∈ Lp j

U (Rn) ec ∈ Lp0

U (Rn), onde p j, j = 0,1, . . . ,n, satisfazem as relações:

p j =

p, se p > n,

p j > n, caso contrário.(2.6.15)

e

p0 =

p, se p > n/2,

p0 > n, caso contrário.(2.6.16)

Então −A, com domínio D(A) = W 2,pU (Rn), gera um semigrupo analítico fortemente contínuo

em LpU(Rn).

2.7 Inclusões diferenciais e semifluxos multívocosNesta seção iremos discutir propriedades e características de funções avaliadas a con-

juntos e também apresentaremos algo sobre inclusões diferenciais e discutiremos semifluxosmultívocos, citando algumas propriedades que os diferem dos semifluxos usuais.

Vamos ver algumas propriedades interessantes de funções cujos valores são conjuntos,também conhecidas como multifunções, funções multívocas.

As referências básicas utilizadas nesta seção são (AUBIN; FRANKOWSKA, 2009;AUBIN; CELLINA, 2012; VALERO, 2001) e (TOLSTONOGOV; UMANSKIÎ, 1992).

Definição 2.7.1. Seja X e Y espaços métricos. Uma função multívoca F de X em Y é caracteri-zada pelo seu gráfico G(F), o subconjunto do espaço produto X×Y definido por

G(F) := (x,y) ∈ X×Y : y ∈ F(x)

Dizemos que F(x) é a imagem ou o valor de F em x. Quando existe pelo menos um ponto x ∈ X

para o qual F(x) é não vazio, dizemos que F é não trivial e quando F(x) = /0 para todo x, entãoF é dita estrita. O domínio de F , denotado por D(F), é o subconjunto

D(F) := x ∈ X : F(x) = /0.

Dizemos que uma aplicação multívoca entre os espaços métricos, X e Y , é semicontínua

superiormente em x ∈ D(F) se para qualquer vizinhança U de F(x), existe δ > 0 tal que paraqualquer y ∈ BX(x,δ ), F(y) ⊂ U . Quando F é semicontínua superiormente em todo pontox ∈ D(F), dizemos que F é semicontínua superiormente.

Quando F(x) é compacto, F é semicontínua superiormente em x se, e só se, para todoε > 0, existe δ > 0 tal que para todo y ∈ BX(x,δ ), F(y)⊂ BY (F(x),ε).

2.7. Inclusões diferenciais e semifluxos multívocos 51

Por outro lado, uma aplicação multívoca F : X→Y é dita semicontínua inferiormente emx ∈D(F) se para todo z ∈ F(x) e qualquer sequência xn ∈D(F) convergindo à x em X , existiruma sequência zn ∈ F(xn) que converge para z em Y . Quando F é semicontínua inferiormenteem todo ponto x ∈ D(F), dizemos que F é semicontínua inferiormente.

No caso unívoco as duas definições são equivalentes à continuidade da aplicação em x.Porém, há exemplos simples de funções multívocas que satisfazem um sem satisfazer o outro, evice-versa.

Exemplo 2.7.2. Considere a função multívoca F1 : R→ R dada por

F1(x) =

[−1,+1], se x = 0

0, se x = 0.

é semicontínua inferiormente em zero mas não é semicontínua superiormente em zero.

Por outro lado, a função multívoca F2 : R→ R definida por

F2(x) =

0, se x = 0

[−1,1], se x = 0.

é semicontínua superiormente em zero porém não semicontínua inferiormente em x = 0.

F1

0

F2

0

Figura 1 – Funções semicontínuas porém não contínuas

Definição 2.7.3. Se F é semicontínua superiormente e inferiormente em x ∈ X , então dizemosque F é contínua em x.

Vamos agora discutir brevemente inclusões diferenciais, algumas propriedades e resul-tados de existência serão enunciados sem provas. Trabalhamos com inclusões diferenciais daforma

x′(t) ∈ F(x(t)),

x(0) = x0.(2.7.1)


Vamos assumir que as imagens F(x) são convexas. O caso não autônomo também pode sertratado, porém como nosso trabalho foi voltado para o caso autônomo não iremos considerá-loexplicitamente.

Uma solução para o problema de Cauchy (2.7.1) no intervalo [0,T ] é uma funçãox : [0,T ]→ X absolutamente contínua para a qual (2.7.1) está satisfeita.

Se K é um fechado convexo, definimos por

m(K) é o elemento de K com a menor norma. (2.7.2)

Diremos que uma solução da inclusão diferencial (2.7.1) é uma solução devagar se paraquase todo t ∈ [0,T ], x′(t) = m(F(x(t))). Uma aplicação ϕ é localmente compacta (respectiva-mente localmente limitada) se para cada ponto no domínio D(ϕ) existe uma vizinhança que cujaimagem é um compacto (respectivamente um limitado).

Teorema 2.7.4. (AUBIN; CELLINA, 2012, Theorem 3, Chapter 2) Sejam X um espaço de Hil-bert e Ω⊂R×X um aberto contendo (0,x0). Seja F uma aplicação semicontínua superiormentede Ω nos subconjuntos não vazios, fechados e convexos de X . Assumimos que x ↦→ m(F(x)) élocalmente compacta. Então existe T > 0 e uma função absolutamente contínua x definida em[0,T ], solução para a inclusão diferencial (2.7.1).

Agora, vamos falar um pouco sobre semifluxos multívocos de forma abstrata. Tambémdefiniremos atratores globais neste contexto, a definição difere um pouco da usual. A construçãoabaixo pode ser encontrada, por exemplo, em (BALL, 1997; CARABALLO; MARÍN-RUBIO;ROBINSON, 2003; KAPUSTYAN; KASYANOV; VALERO, 2014) e (KAPUSTYAN; PANKOV;VALERO, 2012).

Seja X um espaço de Banach, em que 2X denota o conjunto das partes de X e P(X) de-nota a coleção de todos subconjuntos não vazios de X . Considere W+=C (R+,X)= f : [0,∞)→X : f é contínua e seja R ⊂W+ uma família de funções que satisfazem as seguintes hipóteses:

H1. Para cada x ∈ X existe ϕ ∈R tal que ϕ(0) = x.

H2. ϕτ(·) = ϕ(·+ τ) ∈R, se ϕ ∈R, para todo τ ≥ 0;

H3. se ϕ1, ϕ2 ∈R são tais que ϕ2(0) = ϕ1(s), s > 0, então ϕ definida pondo

ϕ(t) =

ϕ1(t), se t ≤ s

ϕ2(t− s), se t > s,

pertence a R;

H4. Se ϕn ∈R é uma sequência tal que ϕn(0)→ x0, para algum x0 ∈ X , então existem umasubsequência e ϕ0 ∈R tal que ϕnk(t)→ ϕ0(t) uniformemente em compactos de R+.


Um semifluxo multívoco, ou m-semifluxo para encurtar, é uma aplicação G : R+×X →P(X) tal que

1. G(0,x) = x, para todo x ∈ X ;

2. G(t + s,x)⊆ G(t,G(s,x)), para todo t,s≥ 0 e x ∈ X .

Dizemos que o semifluxo multívoco é estrito se G(t + s,x) = G(t,G(s,x)), para todo t,s≥ 0 e x

em X .

Dada uma família R em W+ satisfazendo as hipóteses (H1)-(H2) podemos associar umm-semifluxo da seguinte maneira:

y ∈ G(t,x) se existir ϕ ∈R tal que y = ϕ(t) e ϕ(0) = x. (2.7.3)

Se (H3) for verdadeira também então G será um semifluxo multívoco estrito e se (H4) valerentão G(t, ·) : X →P(X) será semicontínua superiormente, assumindo valores compactos paracada t ≥ 0.

Nesse sentido podemos ter duas definições de soluções globais, uma para a família deaplicações e outra para o semifluxo multívoco G. Veremos que elas coincidem, desde que ashipóteses (H1)-(H4) estejam satisfeitas.

Uma aplicação Φ : R→ X é uma solução global, ou trajetória completa, de R se

Φ(·+h)|[0,∞) ∈R, para todo h ∈ R.

Diremos que uma aplicação Φ : R→ X é uma solução global, ou trajetória completa, de G se

Φ(t + s) ∈ G(t,Φ(s)) para todo s ∈ R e t ≥ 0.

Proposição 2.7.5. Se (H1)-(H2) são satisfeitas, então qualquer trajetória completa de R é umatrajetória completa de G. Reciprocamente, se (H1)-(H4) valem, então uma aplicação Φ : R→ X

é uma solução global de R se, e somente se, é um solução global de G.

Nosso intuito agora é definir atratores globais para m-semifluxos e, após isso, vamosdefinir o par atrator-repulsor no caso multívoco e propriedades que serão importantes no desen-volvimento da teoria.

Seja A um subconjunto de X . Então diremos que A é

∙ invariante se A = G(t,A), para todo t ≥ 0.

∙ fracamente invariante, ou quasi-invariante, se para todo x ∈ A, existe uma trajetóriacompleta Φ de R cuja imagem está contida em A.

∙ negativamente (positivamente) invariante se A⊂ G(t,A) (A⊃ G(t,A)) para todo t ≥ 0.


Com isso, diremos que A ⊂ X é um atrator global para o semifluxo multívoco G se

(i) A é negativamente invariante;

(ii) A atrai qualquer limitado B de X , isto é,

dist(G(t,B),A )→ 0, quando t→ ∞;

(iii) é o conjunto fechado minimal que atrai limitados em X .

Observamos que se G é um m-semifluxo estrito, então o atrator global A é invariante.Mais ainda, se assumirmos as hipóteses (H1)-(H2) valem e ou (H3) ou (H4) é satisfeita, en-tão podemos caracterizar o atrator global como a união das soluções globais limitadas. Maisprecisamente, se K denota o subconjunto das soluções globais e limitadas de R, então

A = Ψ(0) : Ψ ∈K. (2.7.4)

As definições de ω-limite e α-limite são similares ao caso unívoco. Se B é um subcon-junto de X , então

ω(B) = y ∈ X : existem sequências tn→ ∞ e yn ∈ G(tn,B) para a qual yn→ y.

Se ϕ ∈R, então ω(ϕ) = y ∈ X : existe uma sequência tn→ ∞ tal que ϕ(tn)→ y. Edefinimos o α-limite de uma solução global de maneira análoga, tomando sequências tn→−∞.

Proposição 2.7.6. (BALL, 1997, Lemma 3.4 and Proposition 4.1) Seja G um m-semifluxo comatrator global A . Se B é um subconjunto não vazio e limitado de X , então ω(B) ⊂ A é nãovazio, compacto, fracamente invariante e atrai B com sob ação de G.

É interessante e inerente dos semifluxos multívocos que os conjuntos ω-limite não sejaminvariantes e sim fracamente invariantes, como pode ser visto na proposição acima. O exemploabaixo diz respeito a este fato.

Exemplo 2.7.7. Considere a inclusão diferencial

x(t) ∈ f (x(t)), (2.7.5)

em que

f (x) =

[−8x(x+1)2,2], se x ∈ [−1,0],

−8x(x+1)2, caso contrário.

É fácil ver que soluções de (2.7.5) geram um m-semifluxo G em R o qual possui doispontos de fixos, a saber −1 e 0, isto é, a aplicação constante ψ(t)≡ 0 é uma trajetória completade G.


1

2y ∈ f (x)

0-1

Figura 2 – O sistema (2.7.5)

Podemos verificar que G possui atrator global, que é o intervalo A = [−1,0]. Definimosa trajetória γ em [0,∞), pondo

γ(t) =

−1+2t, se 0≤ t ≤ 12 ,

0, se t > 12 .

Não é difícil ver que γ é uma trajetória de G, que γ(0) =−1, porém limt→∞

γ(t) = 0, isto implicaque 0∈ω(−1). Em outras palavras,−1 é um ponto fixo do sistema mas mesmo assim o conjunto−1 não é invariante.

No restante da seção vamos assumir que G é um semifluxo multívoco definido por (2.7.3)e R é uma família satisfazendo as hipóteses (H1)-(H4). Suponhamos que G possui um atratorglobal compacto e invariante A .

Agora vamos introduzir o conceito de atrator local. Dados um semifluxo multívoco G

com atrator global A , dizemos que um compacto A em A é um atrator local de G em A , seexiste uma vizinhança aberta U de A em A tal que ω(U ) = A. Nestas condições vale que umatrator local A em A é invariante.

Definimos o repulsor, A* associado ao atrator local A como

A* = x ∈A : ω(x)∖A = /0.

A definição no caso multívoco foi dada primeiramente em (LI, 2007) e notemos que há umadiferença entre esta definição e a definição de repulsor no caso de semigrupos unívocos em(2.3.1). O mesmo se dá pois, em geral, a propriedade de invariância é mais rara nos semifluxosmultívocos e os conjuntos limites são apenas fracamente invariantes, como visto no Exemplo2.7.7. Observamos que quando G é um semifluxo unívoco, ou um semigrupo, as definições sãoequivalentes.

Terminaremos a seção com alguns lemas imporantes para o nosso desenvolvimento. Asprovas dos resultados abaixo podem ser encontradas em (COSTA; VALERO, 2016a).

Lema 2.7.8. Suponhamos que ϕn : [−tn,∞)→ X , em que a sequência tn≥ 0 com tnn→∞−→ ∞ tais

que ϕn(·− tn)|[0,∞) ∈R, para cada n ∈ N. Mais ainda, suponhamos que ϕn(t) é relativamente


compacto para todo t ∈ (−∞,0]. Então existe uma subsequência ϕnk e uma trajetória completaΨ de R tal que Ψ = limk→∞ ϕnk(t) uniformemente para limitados de R.

Lema 2.7.9. Se K ⊂A é um compacto invariante para o qual existe ε > 0 tal que Oε(K)∩A éatraído por K, então dado δ ∈ (0,ε) existe um 0 < δ ′ < δ tal que γ+(Oδ ′(A))⊂ Oδ (A).

Lema 2.7.10. Suponhamos que (A,A*) seja um par atrator-repulsor em A . As afirmações aseguri são verdadeiras:

∙ Se M ⊂A um compacto para o qual M∩A* = /0, então

limt→∞

dist(G(t,M),A) = 0.

∙ A é um atrator local em X .

Lema 2.7.11. Suponhamos que (A,A*) seja um par atrator repulsor em A . Seja B é um fechadodisjunto de A. Dado ε > 0, existe um t0 = t0(ε,B) tal que quaisquer x ∈A e t ≥ 0 para os quaisG(t,x)∩B = /0 temos dist(x,A*)< ε .

Lema 2.7.12. Suponhamos que (A,A*) é um par atrator-repulsor no atrator global A e ψ ∈Kuma solução global limitada. Então valem:

1. se x /∈ A*, então ω(x)⊂ A;

2. se ψ(0) /∈ A, então α(ψ)⊂ A*;

3. se ω(ψ)∩A* = /0, então ψ(R)⊂ A*;

4. se α(ψ)∩A = /0, então ψ(R)⊂ A.

Diremos que um conjunto invariante fraco M é isolado em X se existe δ > 0 tal que M éo invariante maximal em Oδ (M). Para finalizar vamos enunciar mais dois resultados importantessobre os repulsores de um par atrator-repulsor (A,A*).

Lema 2.7.13. Seja (A,A*) um par atrator-repulsor. Então A* é compacto e fracamente invariante.

Lema 2.7.14. Se M é um isolado fracamente invariante em A , então M é compacto.

2.8 A equação autônoma de Chafee-InfanteVamos exemplificar a teoria exibida acima com a clássica equação de Chafee-Infante no

domínio um-dimensional [0,π] ut−uxx = λu−u3,

u(0, t) = u(π, t) = 0.(2.8.1)

2.8. A equação autônoma de Chafee-Infante 57

Observamos que f (s) := s− s3 satisfaz propriedades de crescimento comuns, como s f (s)< 0,para s > 1. Então a equação (2.8.1) gera um semigrupo em H1

0 (0,π) e o funcional

L (u) =12‖∇u‖L2−

∫Ω

F(u(x))dx, com F(s) =∫ s

0f (r)dr, (2.8.2)

é contínua de H10 (0,π) em R, não crescente ao longo de trajetórias e se L (u(t)) é constante u(t)

também será constante. Isto é, L é um funcional de Lyapunov para o semigrupo das soluções de(2.8.1) e este é um sistema gradiente, o que significa que entenderemos a estrutura do atratorglobal se entendermos seu conjunto de equilíbrios.

Um equilíbrio de (2.8.1) deve ser uma solução da equação elíptica−uxx = λu−u3

u(0, t) = u(π, t)(2.8.3)

e somos capazes de achar soluções para a equação acima considerando soluções da equaçãodiferencial ordinária de dimensão dois

ux = v

vx =−λu+u3.(2.8.4)

Utilizaremos o plano de fase para estudarmos a equação acima, considerando x comouma variável de tempo. Primeiro observamos que

E(u,v) :=v2

2+λu2− u4

4(2.8.5)

é constante ao longo de qualquer solução. O retrato de fase de (2.8.4) é mostrado na Figura 3,são trajetórias fechadas enquanto 0≤ E(u,v)< λ 2/2.

Devemos achar uma solução de (2.8.4) que satisfaça as condições de fronteira de (2.8.3),ou seja, precisamos de trajetórias que comecem com u = 0 (isto é, no eixo v) em x = 0 e queretornem ao eixo v quando x = π . Para um dado valor de energia E a velocidade na coordenadau é dada por

ux = v =

√2E−λu2 +

u4

2

e uma solução começando com u = 0 e v =√

2E move-se no sentido horário até atingir o eixo u

em u = u0, em que

E = λu2

02−

u40

4.

O ‘tempo’ x(E) que a solução leva para atingir este ponto é dado por

x(E) =∫ u0

0

1√2E−λu2 + u4

2

du. (2.8.6)

Os pontos fixos de (2.8.4) satisfazem as seguintes propriedades da integral x(E):


u

v

Figura 3 – Retrato de fase de (2.8.4)

1. x(E)→ ∞, quando E→ λ 2

4 ;

2. x(E)→ π

2√

λ, quando E→ 0+;

3. x(E) é uma função estriamente crescente em E.

Em particular, segue que para E ∈ (0, λ 2

4 )

π

2√

λ< x(E)< ∞.

Para obter uma solução de (2.8.3) através de uma solução de (2.8.4), precisamos deuma solução com 2nx(E) = π , para algum inteiro n: circulamos ao redor da origen n/2 vezes,terminando a trajetória de volta no eixo v. Para encontrar o número de pontos fixos da equação(2.8.1), devemos então encontrar o número de distintos E para os quais 2nx(E) = π .

Primeiramente, se λ < 1, então π√λ> π , portanto a única solução que satisfaz os critérios

é a origem. Isto corresponde ao equilíbrio u≡ 0, o qual será denotado por φ0.

Se 1 < λ < 22, então os valores de x(E) são limitados por baixo por π/4 mas incluem ovalor π/2. Logo existem dois novos pontos fixos, correspondentes a órbitas que fazem meia volta.Denominamos tais soluções por φ

±1 . Similarmente, se 22 < λ < 32, então também temos órbitas

que dão 3/2 voltas em torno da origem, pois uma das órbitas possui x(E) = π/6, chamamosestas soluções de φ

±2 e temos cinco equilíbrios ao todo.

Continuamos esse processo e temos uma descrição completa dos pontos de equilíbriosdo sistema.

2.8. A equação autônoma de Chafee-Infante 59

Teorema 2.8.1. Se n2 < λ ≤ (n+ 1)2, então existem 2n+ 1 equilíbrios para a equação deChafee-Infante (2.8.1), φ0 e os n pares φ

±j , j = 1, . . . ,n. A função φ

±j tem j zeros em (0,π).

Como vimos que o sistema gerado pela equação de Chafee-Infante é gradiente, podemosafirmar então que seu atrator global, A , é dado por

A =n⋃

j=0

W u(φ±j ),

com a convenção de que φ±0 = 0.

61

CAPÍTULO

3EQUI-ATRAÇÃO E CONTINUIDADE DE

SEMIFLUXOS SKEW-PRODUCT

No trabalho (BORTOLAN; CARVALHO; LANGA, 2014) os autores dão hipótesesque garantem a existência de atratores globais para semifluxos skew-product e relacionamtais atratores com as demais características assintóticas existentes no sistema, os atratoresuniformes e atratores cociclo, por exemplo. No mesmo trabalho os autores também demonstramexistência de estruturas do atrator global do semifluxo skew-product e dão condições para queestas estruturas sejam estáveis. Neste capítulo, alternativamente, demonstramos como obterestabilidade dos atratores globais do semifluxo skew-product através do conceito de equi-atração,o qual generalizamos para semifluxos skew-product, e comparamos a continuidade dos atratorespara o semifluxo skew-product com a continuidade dos atratores uniformes e atratores de cociclo.

Na Seção 3.1 apresentamos uma definição de equi-atração para semifluxos skew-producte demonstramos a equivalência entre continuidade de atratores globais, incluindo resultados sobretaxas de convergência de atratores, na Subseção 3.1.2. Na Seção 3.2 desenvolvemos a definiçãode equi-atração em outros contextos de atratores não autônomos, na Subseção 3.2.1 apresen-tamos e demonstramos a relação entre equi-atração e continuidade para atratores uniformes,já na Subseção 3.2.2 tratamos dos atratores cociclo, que muito lembram os atratores pullback.Finalmente, na Seção 3.3 comparamos a continuidade das diferentes formas de estabilidadeassintótica apresentada nas seções anteriores.

Começamos fixando a notação e hipóteses assumidas durante o capítulo. Sejam X umespaço de Banach e (C ,ρ) um espaço métrico completo em que atua um grupo θ(t) : t ∈ R.Em C tomamos uma família de elementos, os quais denotamos por ση ∈ C : η ∈ [0,1], quesatisfaz

θ(t)ση → θ(t)σ0, quando η → 0+, uniformemente para t ∈ R. (3.0.1)

Para η ∈ [0,1], denotamos por Γη = θ(t)ση : t ∈R a órbita de ση por θ(·). Seja Ση o

62 Capítulo 3. Equi-atração e continuidade de semifluxos skew-product

fecho de Γη . Assumimos que

Σ :=⋃

η∈[0,1]Ση é compacto em C . (3.0.2)

De (3.0.1) é fácil ver que a família de fechados Γη : η ∈ [0,1] é contínua em η = 0em C , isto é,

distH(Γη ,Γ0)→ 0, quando η → 0.

Suponhamos então que (ϕη ,σ)(X ,Ση ) : η ∈ [0,1] seja uma família de sistemas dinâmi-cos não-autônomos e definamos o semifluxo skew-product em Xη := X×Ση , πη(t) : Xη → Xη

como usualπη(t)(x,σ) = (ϕη(t,σ)x,θ(t)σ).

Para cada η ∈ [0,1] assumimos que existe atrator global Aη para o semifluxo skew-product correspondente. Consequentemente existe um atrator uniforme Aη = ΠXAη , em queΠX : X × Σ → X denota a projeção na primeira coordenada, para o sistema dinâmico nãoautônomo (ϕη ,θ)(X ,Ση ) em X .

Também podemos expressar o atrator global do semifluxo skew-product Aη no espaçocartesiano Xη por meio dos atratores cociclo. Para cada η ∈ [0,1], sabemos que Aη ⊂Aη ×Ση ,contudo a igualdade em geral não é verdadeira. Suponhamos que exista atrator cociclo o para osistema dinâmico não autônomo (ϕη ,θ)(X ,Ση ), o qual é denotado por Aη(σ) : σ ∈ Ση, então(veja Teoremas 2.5.10 e 2.5.11 ou (CARABALLO et al., 2013, Theorem 3.4) ou (KLOEDEN;RASMUSSEN, 2011, Propositions 3.30 e 3.31))

Aη =⋃

σ∈Ση

Aη(σ)×σ.

Assumimos também que para a família ση : η ∈ [0,1] temos, para cada η ∈ [0,1]

Aη =⋃

τ∈RAη(θ(τ)ση)×θ(τ)ση. (3.0.3)

Observamos que a identidade (3.0.3) não precisa necessariamente ser satisfeita, poisnão temos um controle sobre como se comportam elementos de Γη nem os atratores cociclocorrespondentes. Contudo, o Lema abaixo nos dá uma condição suficiente para (3.0.3).

Lema 3.0.1. Com a nomenclatura acima, assumamos que (3.0.1) e (3.0.2) são satisfeitas e, aindamais,

limt→∞

supτ∈R

dist(ϕη(t,θ(τ− t)ση)B,Aη(θ(τ)ση)) = 0, (3.0.4)

para qualquer limitado B em X . Então, o atrator global para o semifluxo skew-product é dado por

Aη =⋃

τ∈RAη(θ(τ)ση)×θ(τ)ση.

63

Demonstração. Uma das inclusões é trivial, uma vez que Aη(θ(τ)ση)×θ(τ)ση ⊂ Aη , paratodo τ ∈ R e Aη é fechado em X×Ση .

Reciprocamente, fixemos (x,σ) ∈ Aη . Note que, da definição de Ση , existe uma sequên-cia τk ∈ R tal que θτkση → σ em Ση . Devemos mostrar, então, que existe uma sequênciaxk ∈ Aη(θτkση) de forma que xk→ x em X quando k→ ∞.

De fato, se Sησ (t,s) : t ≥ s denota o processo de evolução definido em (2.5.7), sabemos

que x ∈ Aη(σ), que é o atrator pullback para o processo de evolução Sησ (·, ·), no tempo t = 0,

portanto existe uma solução global γ : R→ X para Sησ (t,s) : t ≥ s tal que γ(t) ∈ Aη(θ(t)σ),

para todo t ∈ R, γ(0) = x e

Sησ (t,s)γ(s) = γ(t), para qualquer t ≥ s. (3.0.5)

Observe que Γ :=⋃

t∈R γ(t) é limitado. Logo de (3.0.4)

limt→∞

supτ∈R

dist(ϕη(t,θ(−t)θ(τ)ση)Γ,Aη(θ(τ)ση)) = 0.

Assim, dado ε > 0, existe t0 = t0(Γ,ε)> 0 tal que para t ≥ t0

supτ∈R

supr∈R

dist(ϕη(t,θ(−t)θ(τ)ση)γ(r),Aη(θ(τ)ση)

)<

ε

2.

Então, para todo r ∈ R, existe xkr ∈ Aη(θ(τk)ση) com∥∥∥ϕη(t0,θ(−t0)θ(τk)ση)γ(r)− xk

r

∥∥∥< ε

2. (3.0.6)

Como θ(τk)ση → σ em Ση e para cada η ∈ [0,1] o sistema dinâmico não autônomo(ϕη ,θ)(X ,Ση ) é uniformemente contínuo em compactos de X , obtemos

ϕη(t0,θ(−t0)θ(τk)ση)γ(r)k→∞−→ ϕη(t0,θ(−t0)σ)γ(r)

uniformemente em r ∈ R. Consequentemente, existe k0 ∈ N tal que, para k ≥ k0,

supr∈R

∥∥ϕη(t0,θ(−t0)θ(τk)ση)γ(r)−ϕη(t0,θ(−t0)σ)γ(r)∥∥< ε

2. (3.0.7)

Unindo (3.0.6) e (3.0.7), escolhemos r = −t0 e tomamos xk := xk−t0 ∈ Aη(θ(τk)ση),

obtendo

‖ϕη(t0,θ(−t0)σ)γ(−t0)− xk‖< ε. (3.0.8)

Enfim, de (3.0.5), observando que x = Sησ (0,−t0)γ(−t0) = ϕη(t0,θ(−t0)σ)γ(−t0), subs-

tituindo em (3.0.8) concluímos a prova do resultado.


3.1 Sobre semifluxos skew-product

Podemos agora, enunciar um conceito análogo para equi-atração no contexto de semi-fluxos skew-product. Observamos que semifluxos skew-product são, na verdade, semigruposno espaço produto X ×Ση e é possível que nos perguntemos se não podemos simplesmenteaplicar os resultados conhecidos para semigrupos vistos na Seção 2.4 e, assim, continuidade eequi-atração seriam equivalentes. A diferença aqui é devida ao fato de que a família πη(·) atuanum espaço de fase que varia juntamente com o parâmetro η ∈ [0,1].

É crucial na nossa análise que todos os espaços Ση em questão sejam subespaços deum espaço métrico fixo (que no caso das equações diferenciais não-autônomas é Cb(R×X ,X)),logo podemos comparar seus elementos em uma métrica convenientemente.

3.1.1 Equiatração e continuidade

Apresentaremos aqui resultados relativos à equivalência entre equi-atração e continuidadepara semifluxos de tipo skew-product.

Suponhamos que os semifluxos skew-product safisfazem a seguinte hipótese de continui-dade

supt∈[0,T ]

supx∈K

supτ∈R

d(πη(t)(x,θ(τ)ση),π0(t)(x,θ(τ)σ0))→ 0, quando η → 0, (3.1.1)

para qualquer compacto K de X e T > 0.

Observe que πη(t)(x,θ(τ)ση) é um elemento de Xη enquanto π0(t)(x,θ(τ)σ0) pertencea X0. Dessa maneira, como discursamos anteriormente, compararemos os elementos em X :=X×Σ. Ainda mais, suponhamos que

⋃η∈[0,1]

Aη seja precompacto em X. (3.1.2)

Definição 3.1.1. Dizemos que a família de atratores globais Aη : η ∈ [0,1] da família desemifluxos skew-product πη(·) : η ∈ [0,1] equi-atrai limitados de X se para cada subconjuntolimitado B de X tivermos

limt→∞

supη∈[0,1]

supx∈B

supσ∈Ση

dist(πη(t)(x,σ),Aη)→ 0. (3.1.3)

Teorema 3.1.2. Suponhamos que a família de semifluxos skew-product πη(·) : η ∈ [0,1] comatratores globais Aη : η ∈ [0,1] satisfaça (3.1.1) e (3.1.2). Se Aη : η ∈ [0,1] equi-atrairlimitados de X , então a família de atratores globais será contínua em η = 0, isto é,

limη→0

distH(Aη ,A0) = 0.

3.1. Sobre semifluxos skew-product 65

Demonstração. Defina B =⋃

η∈[0,1]ΠXAη ⊂ X , de (3.1.2) sabemos que B é compacto em X .Logo, dado ε > 0, existe t0 = t0(B,ε)> 0 tal que

supη∈[0,1]

supσ∈Ση

supx∈B

dist(πη(t)(x,σ),Aη)<ε

2, (3.1.4)

para t ≥ t0, da equiatração dos atratores globais.

Por outro lado, a pressuposição de continuidade (3.1.1) sobre os semifluxos implica que

dist(Aη ,A0)≤ dist(πη(t0)Aη ,π0(t0)[B×Σ0])+dist(π0(t0)[B×Σ0],A0)

≤ supτ∈R

dist(πη(t0)[Aη(θ(τ)ση)×θ(τ)ση],π0(t0)[B×Σ0]

)+

ε

2

≤ ε.

Para o termo simétrico da distância de Hausdorff, note que

dist(A0,Aη) = dist(π0(t0)A0,Aη)

≤ supτ∈R

dist(π0(t0)[A0(θ(τ)σ0)×θ(τ)σ0],πη(t0)[B×Ση ]

)+dist(πη(t0)[B×Ση ],Aη)

≤ ε.

Devido a ambas desigualdades o teorema está provado.

Enfatizamos novamente que não é uma tarefa fácil definir e provar um resultado como oanterior no caso em que a família de semigrupos é definida sobre espaços fase que variam comrespeito ao parâmetro. O problema surge, no caso mais geral, do fato de que não é possível definiruma noção de continuidade de semigrupos. Uma característica do problema aqui abordado é quemesmo que o espaço de fase varie, existe um “supespaço” comum, o qual podemos fixar.

Tanto no caso de semigrupos quanto no de processos de evolução continuidade deatratores globais, em geral, não implica em equiatração. Para tal necessitamos informaçõesadicionais sobre os semigrupos. A seguir adaptaremos tais definições para o caso de semifluxosskew-product.

Definição 3.1.3. A família de semifluxos skew-product πη(·) : η ∈ [0,1] será dita uniforme-mente limitada se ⋃

η∈[0,1]

⋃t≥0

πη(t) [B×ϒη ] for limitado em X×Σ (3.1.5)

sempre que B⊂ X e ϒη ⊂ Ση também forem limitados.

Observemos que no caso trabalhado pedimos para que⋃

η∈[0,1]Ση seja precompacto emC , logo também será limitado. Como cada Ση é invariante pela ação de θ(·), se⋃

η∈[0,1]

⋃t≥0

⋃σ∈Ση

ϕη(t,σ)B for limitado,


para todo B subconjunto limitado de X , então a família πη(·) : η ∈ [0,1] será uniformementelimitada.

Definição 3.1.4. A família de semifluxos skew-product πη(·) : η ∈ [0,1] é dita coletivamenteassintoticamente compacta em η = 0 se, para quaisquer sequências tk > 0, com tk

k→∞−→ ∞,ηk ∈ (0,1], com ηk

k→∞−→ 0, xk limitada em X e σk ∈ Σηk para as quais a correspondentesequência πηk(tk)(xk,σk) é limitada em X×Σ, então a sequência πηk(tk)(xk,σk) possui pelomenos uma subsequência convergente.

Novamente, como⋃

η∈[0,1]Ση é precompacto em C e Ση é invariante pela ação deθ(·), toda sequência σk (ou θ(τk)σk) possui subsequência convergente. Com isto em vista,para verificar compacidade assintótica coletiva podemos nos preocupar apenas com o termo deπηk(tk)(xk,σk) que está em X . Mais precisamente, se para quaisquer sequências tk→∞ e xklimitada em X , para as quais a sequência correspondente ϕηk(tk,σk)xk seja limitada em X ,tivermos que a sequência ϕηk(tk,σk)xk admite uma subsequência convergente, então a famíliade semifluxos skew-product será coletivamente assintoticamente compacta.

O resultado a seguir é a recíproca do Teorema 3.1.2.

Teorema 3.1.5. Suponhamos que a família πη(·) : η ∈ [0,1] seja uniformemente limitadae coletivamente assintoticamente compacta em η = 0 e que a família de atratores globaiscorrespondente, Aη : η ∈ [0,1], seja contínua em η = 0. Então a família de atratores globaisAη : η ∈ [0,1] será equi-atratora.

Demonstração. Suponhamos por absurdo que exista um ε > 0, sequências ηk → 0, tk → ∞,τk ∈ R e xk ⊂ X limitada tais que

dist(πηk(tk)(xk,θ(τk)ση),A0)≥ ε, para todo k ∈ N. (3.1.6)

Note que a sequência pode ser tomada em θ(τ)σηk : τ ∈ R pois este conjunto é densoem Σηk e os semifluxos skew-product são contínuos.

Observemos que

B =⋃

k∈N

⋃t≥0

πηk(t)(xk,σk)

é limitado em X uma vez em que a família de semifluxos skew-product é uniformente limitada.

Fixemos t > 0. Seja sk := tk− t > 0, como a família de semifluxos skew-product é coleti-vamente assintoticamente compacta segue que πηk(sk)(xk,θ(τk)σηk) : k ∈ N é relativamentecompacto. Assumamos então que πηk(sk)(xk,θ(τk)σηk)→ (b,ξ ) ∈ X0, na topogolgia de X×Σ,quando k→ ∞.

3.1. Sobre semifluxos skew-product 67

Daí, por (3.1.1) e do anterior,

π0(t)(b,ξ ) = limk→∞

πηk(t)πηk(sk)(xk,θ(τk)σηk)

= limk→∞

πηk(tk)(xk,θ(τk)σηk).

Isto é, para qualquer t > 0 dado, existe (b,ξ ) ∈ X ×Σ0 tal que dist(π0(t)(b,ξ ),A0)≥ ε e issocontradiz o fato de que A0 é o atrator global para o semifluxo π0(·), concluindo a prova.

3.1.2 Taxas de convergência

Podemos usufruir da equi-atração para obter uma melhor estimativa e taxas sobre aconvergência dos atratores globais no caso de semifluxos skew-product. Uma consequência doteorema para semigrupos.

Teorema 3.1.6. Suponhamos que πη(·) é um semifluxo skew-product no espaço Xη , com atratorglobal Aη , η ∈ [0,1], tal que B =

⋃η∈[0,1]Aη ⊂ X ×Σ seja precompacto e definamos B =

ΠX(B)⊂ X . Assuma que existe uma função decrescente ζ : [0,∞)→ (0,∞) tal que ζ (0) = ζ0,limt→∞

ζ (t) = 0 e

supη∈[0,1]

dist(πη(t)[B×Ση ],Aη)≤ ζ (t), (3.1.7)

para todo t ≥ 0.

Suponhamos também que

supτ∈R

supx∈B

d(πη(t)(x,θ(τ)ση),π0(t)(x,θ(τ)σ0))≤ Eη(t), para todo t ≥ 0, (3.1.8)

em que Eη(t)→ 0, quando η → 0, para cada t ≥ 0.

Então

dist(Aη ,A0)≤ infε∈(0,ζ0)

2

Eη(ζ−1(ε))+ ε

. (3.1.9)

Demonstração. Fixemos t ≥ 0. Lembremos que Aη = πη(t)Aη e que B = ΠXB é precompactoem X . Logo

dist(Aη ,A0)≤ dist(πη(t)Aη ,π0(t)B)+dist(π0(t)B,A0).

Do Lema 3.0.1

dist(πη(t)Aη ,π0(t)B) = supτ∈R

dist(πη(t) [Aη(θ(τ)ση)×θ(τ)ση] ,π0(t)B).

Uma vez em que B⊂⋃

η∈[0,1]B×Ση , as desigualdades acima asseguram-nos que

dist(Aη ,A0)≤ Eη(t)+ζ (t). (3.1.10)


Analogamente, temos

dist(A0,Aη)≤ dist(π0(t)A0,πη(t)[B×Ση ])+dist(πη(t)[B×Ση ],Aη). (3.1.11)

Para completar a prova do teorema, de (3.1.10) e (3.1.11), escolhemos ε ≤ ζ0 e t =

ζ−1(ε).

Corolário 3.1.7. (CARVALHO; LANGA; ROBINSON, 2012, Corollary 3.20) Suponhamos,em adição às hipóteses do teorema anterior, que existam c > 0 e v > 0 para os quai ζ (t) = ce−vt ,t ≥ 0, e que Eη(t) = ρ(η)eLt , com L > 0 e ρ : [0,1]→ [0,∞) seja contínua com ρ(0) = 0.

Nesse caso, existe uma constante c > 0 tal que

distH(Aη ,A0)≤ cρ(η)v

v+L .

3.2 Equiatração para sistemas não-autônomos

Nesta seção iremos tratar de equi-atração para duas interpretações de sistemas dinâmicosnão autônomos, a saber: equi-atração no contexto de atratores uniformes, isto é, da dinâmicaforward, e equi-atração para atratores cociclo, que está relacionado à dinâmica pullback dosistema. Ambos casos estão conectados à estrutura do atrator global do semifluxo skew-product,como pode ser obervado pelos Teoremas 2.5.10 e 2.5.11.

3.2.1 Para atratores uniformes

O significado de equi-atração utilizado para atratores uniformes associados a uma famíliade sistemas dinâmicos não autônomos é definido a seguir:

Definição 3.2.1. Seja (ϕη ,θ)(X ,Ση ) : η ∈ [0,1] uma família de sistemas dinâmicos não autô-nomos com atratores uniformes Aη . Dizemos que a família Aη : η ∈ [0,1] uniformementeequi-atrai limitados de X , se para todo subconjunto limitado B⊂ X tivermos

limt→∞

supη∈[0,1]

supσ∈Ση

dist(ϕη(t,σ)B,Aη) = 0. (3.2.1)

Chamamos de equi-atração uniforme uma vez em que o atrator uniforme de (ϕη ,θ)(X ,Ση )

é o menor fechado de X que atrai uniformemente (para σ ∈ Ση ) todos limitados de X .

Consideraremos uma família de sdn (ϕη ,θ)(X ,Ση ) : η ∈ [0,1] com atratores uniformesAη , η ∈ [0,1], e assumiremos que

⋃η∈[0,1]

Aη é precompacto em X . (3.2.2)

3.2. Equiatração para sistemas não-autônomos 69

Ainda mais, suponhamos que para todo compacto K de X e qualquer T > 0 vale umahipótese de continuidade

supt∈[0,T ]

supτ∈R

supx∈K

d(ϕη(t,θ(τ)ση)x,ϕ0(t,θ(τ)σ0)x)→ 0, quando η → 0+. (3.2.3)

A prova do resultado a seguir segue os mesmos passos do Teorema 3.1.2. Entretando háalgumas diferenças sutis que requerem atenção. Vamos, por esta razão, prová-la.

Teorema 3.2.2. Suponhamos que a família de atratores uniformes Aη : η ∈ [0,1] associadaaos sistemas dinâmicos não autônomos (ϕη ,θ)(X ,Ση ) : η ∈ [0,1] uniformemente equi-atrailimitados de X , ainda mais, assumamos que (3.2.2) e (3.2.3) são satisfeitas. Então a família deatratores uniformes é contínua em η = 0, isto é,

distH(Aη ,A0)→ 0 quando η → 0. (3.2.4)

Demonstração. Primeiramente, observamos que o subconjunto B =⋃

η∈[0,1]Aη é limitado emX . Logo, dado ε > 0, existe t0 = t0(ε,B)≥ 0 tal que

supη∈[0,1]

supσ∈Ση

dist(ϕη(t,σ)B,Aη)≤ε

2, para todo t ≥ t0. (3.2.5)

De (3.2.3) existe 0 < η0 < 1 tal que, para todo η ≤ η0,

supτ∈R

dist(ϕη(t0,θ(τ)ση)Aη ,ϕ0(t0,θ(τ)σ0)B

)≤ ε

2.

Da propriedade da invariância elevada dos atratores uniformes (Definição 2.5.2) e oLema 3.0.1, está claro que Aη ⊆

⋃σ∈Ση

ϕη(t,σ)Aη , da continuidade do sistema dinâmico nãoautônomo (ϕη ,θ)(X ,Ση ) temos

Aη ⊆⋃

τ∈Rϕη(t0,θ(τ)ση)Aη .

Portanto,

dist(Aη ,A0)≤ dist(Aη ,∪σ∈Σ0ϕ0(t0,σ)B)+dist(∪σ∈Σ0ϕ0(t0,σ)B,A0)

≤ supτ∈R

dist(ϕη(t0,θ(τ)ση)Aη ,∪σ∈Σ0ϕ0(t0,σ)B)+ supσ∈Σ0

dist(ϕ0(t0,σ)B,A0)

≤ ε.

Para provar que dist(A0,Aη)→ 0 quando η→ 0, usaremos argumentos similares. Comoanteriormente, temos

dist(A0,Aη)≤ supτ∈R

dist(ϕ0(t0,θ(τ)σ0)A0,∪σ∈Σηϕη(t0,σ)A0)+ sup

σ∈Ση

dist(ϕη(t0,σ)A0,Aη).


Atentamos de que, como em (3.2.5), equiatração implica que dist(ϕη(t0,σ)A0,Aη)≤ε/2, para todo σ ∈ Ση e η ∈ [0,1] e o primeiro termo da desigualdade pode ser estimadoanalogamente utilizando a hipótese de continuidade sobre os sistemas.

Por fim, teorema está demonstrado.

No intuito de provar a recíproca, como feito anteriormente, precisamos de mais unifor-midade nas hipóteses sobre os sistemas dinâmicos não autônomos. A seguir iremos apresentar asdefinições necessárias para o resultado.

Definição 3.2.3. Uma família de sistemas dinâmicos não autônomos (ϕη ,θ)X ,Ση: η ∈ [0,1]

é chamada de uniformemente limitada se⋃η∈[0,1]

⋃σ∈Ση

⋃t≥0

ϕη(t,σ)B for limitado, (3.2.6)

para qualquer limitado B de X .

Definição 3.2.4. Uma família de sistemas dinâmicos não autônomos (ϕη ,θ)X ,Ση: η ∈ [0,1]

é dita coletivamente assintoticamente compacta em η = 0 se para quaisquer sequências ηk→ 0,tk→ ∞, σk ∈ Σηk e xk ⊂ X limitada tais que ϕηk(tk,σk)xk também é limitado em X , então oconjunto ϕηk(tk,σk)xk : k ∈ N é relativamente compacto em X .

Mais precisamente, a compacidade e invariância de Σ implicam que as definições acimasão equivalentes às definições para o semifluxo skew-product, como discutimos anteriormentena Seção 3.1.

Teorema 3.2.5. Considere uma família de sdn (ϕη ,θ)(X ,Ση ) : η ∈ [0,1] cujos atratores unifor-mes são denotados por Aη , η ∈ [0,1]. Suponhamos que (3.2.3) é satisfeita e que a família de sdné uniformemente limitada e coletivamente assintoticamente compacta em η = 0 e ademais que

distH(Aη ,A0)→ 0, quando η → 0. (3.2.7)

Então, para toda sequência ηk, com ηkk→∞−→ 0,

⋃k∈NAηk é compacto e a sequência

Aηk : k ∈ N uniformemente equi-atrai limitados de X . Consequentemente, existe η0 > 0 parao qual

⋃η∈[0,η0]Aη é precompacto e a família Aη : η ∈ [0,η0] uniformemente equi-atrai

limitados de X .

Demonstração. Suponhamos por contradição que existem ε > 0 e sequências ηk→ 0, tk→ ∞,quando k→ ∞, τk ∈ R e xk limitada em X tais que dist(ϕηk(tk,θ(τk)σηk)xk,A0) ≥ ε , paratodo k ∈ N.

A família de sistemas dinâmicos não autônomos é uniformemente limitada, logo

B =⋃

k∈N

⋃t≥0

ϕηk(t,θ(τk)σηk)xk é limitado.


Fixemos t > 0 e definamos a sequência sk := tk− t > 0. Da compacidade assintótica co-letiva a sequência ϕηk(sk,θτkσηk)xk : k ∈ N possui pelo menos uma subsequência convergente.Assuma, sem perda de generalidade, que ϕηk(sk,θ(τk)σηk)xk→ b em X , quando k→ ∞.

Segue da compacidade assintótica uniforme dos sistemas dinâmicos não-autônomos e de(3.2.3), que para todo t > 0 existem b ∈ B e σ ∈ Σ0 tais que

dist(ϕ0(t,σ)b,A0)≥ ε.

Isso contradiz o fato de que A0 é o atrator uniforme para o sdn (ϕ0,θ)X ,Σ0 em X e conclui aprova do teorema.

Uma interessante característica da equi-atração é que se tivermos uma limitação explícitapara a atração, somos capazes de transferí-la e obtermos uma cota superior na distância deHaussdorf entre os atratores. Como esperado, também podemos provar um resultado similar nocaso dos atratores uniformes.

Teorema 3.2.6. Consideremos uma família de sdn (ϕη ,θ)(X ,Ση ) : η ∈ [0,1] com atratoresuniformes Aη que verificam que B =

⋃η∈[0,1]Aη é precompacto em X . Assumamos que existe

uma função estritamente decrescente ζ : [0,∞)→ (0,∞) com ζ (0) = ζ0 e lims→∞ ζ (s) = 0 paraa qual

supη∈[0,1]

supσ∈Ση

dist(ϕη(t,σ),B,Aη)≤ ζ (t) (3.2.8)

para todo t ≥ 0. Suponhamos também que

supx∈B

supτ∈R

d(ϕη(t,θ(τ)ση)x,ϕ0(t,θ(τ)σ0)x)≤ Eη(t), para todo t ≥ 0, (3.2.9)

em que Eη(t)→ 0, quando η → 0, para cada t.

Então

distH(Aη ,A0)≤ infε∈(0,ζ0]

2

Eη(ζ−1(ε))+ ε

.

Demonstração. Primeiramente, fixamos t ≥ 0. Note que Aη ⊂⋃

σ∈Σηϕη(t,σ)Aη , então temos

dist(Aη ,A0)≤ supτ∈R

dist(ϕη(t,θ(τ)ση)Aη ,∪σ∈Σ0ϕ0(t,σ)B)+dist(∪σ∈Σ0ϕ0(t,σ)B,A0).

De (3.2.9) obtemos

supτ∈R

dist(ϕη(t,θ(τ)ση)Aη ,∪σ∈Σ0ϕ0(t,σ)B)≤ supx∈B

supτ∈R

d(ϕη(t,θ(τ)ση)x,ϕ0(t,θ(τ)σ0)x)

≤ Eη(t).

Consequentemente, dist(Aη ,A0)≤ Eη(t)+ζ (t).


Observe também que

dist(A0,Aη)≤ supτ∈R

supσ∈Ση

dist(ϕ0(t,θ(τ)σ0)A0,ϕη(t,σ)A0)+ supσ∈Ση

dist(ϕη(t,σ)A0,Aη).

Escolhendo ε ≤ ζ0 e fazendo t = ζ−1(ε) combinamos as desigualdades acima paradeduzir

distH(Aη ,A0)≤ infε∈(0,ζ0]

2

Eη(ζ−1(ε))+ ε

,

como foi afirmado.

Corolário 3.2.7. Em adição às hipóteses do teorema anterior, suponhamos que existam c > 0e v > 0 tais que ζ (t) = ce−vt , t ≥ 0, e Eη(t) = ρ(η)eLt , com L > 0 e ρ : [0,1]→ [0,∞) umafunção contínua com ρ(0) = 0. Então, existe uma constante c > 0 tal que

distH(Aη ,A0)≤ cρ(η)v

v+L . (3.2.10)

3.2.2 Equiatração para atratores cociclo e pullback

Nesta seção discutiremos equi-atração agora no contexto dos atratores cociclo. Algunsresultados neste tópico já foram obtidos e podem ser encontrados na literatura, veja, por exemplo,(CARABALLO et al., 2013; CARABALLO; MARÍN-RUBIO; ROBINSON, 2003; CARVA-LHO; LANGA; ROBINSON, 2012; CHEPYZHOV; VISHIK, 2002; LI; KLOEDEN, 2004;KLOEDEN, 2003; KLOEDEN; RASMUSSEN, 2011; ROBINSON, 2001).

Assumiremos que θ(t) : t ∈ R é um grupo sobre Ση , para cada η ∈ [0,1], o qual écompacto e invariante. Suponhamos também que

⋃η∈[0,1]Ση é precompacto e que o conjunto não

autônomo compacto Aη(σ) : σ ∈ Ση denota o atrator cociclo para cada η ∈ [0,1]. Lembramosque, nestas condições, Aη =

⋃σ∈Ση

Aη(σ).

A equi-atração uniforme dos atratores cocilco é de certa forma mais forte que a atraçãodos atratores uniformes. Isso ficará claro adiante, uma vez em que a continuidade de atratorescociclo implica na continuidade dos atratores uniformes, porém a recíproca em geral não éverdadeira.

Uma família de atratores cociclo está muito relacionada com os atratores pullback. Paraser mais preciso, se consideramos, para σ ∈ Ση , o processo de evolução

Sησ (t,s) = ϕη(t− s,θ(s)σ), para t ≥ s, (3.2.11)

então se Sησ (·, ·) tem um único atrator pullback Aσ (t) : t ∈ R, não é difícil ver que Aσ (t) =

Aη(θ(t)σ), em que o da direita denota o atrator cociclo descrito anteriormente.

Vamos definir equi-atração para uma família de atratores cociclo Aη(σ) : σ ∈ Ση. Defato, esta não é a mesma equi-atração para processos de evolução (Definição 2.4.6), uma vez emque pedimos uma uniformidade com respeito à família de processos. Por sua vez, isso garantiráuniformidade na continuidade dos atratores.


Definição 3.2.8. Sejam (ϕη ,θ)(X ,Ση ) : η ∈ [0,1] uma família de sistemas dinâmicos nãoautônomos e para cada η ∈ [0,1] o conjunto não autônomo Aη(σ) : σ ∈ Ση denota o cor-respondente atrator cociclo. Dizemos que a família de atratores cociclo Aη(·) : η ∈ [0,1],uniformemente pullback equi-atrai limitados de X se

limt→∞

supη∈[0,1]

supσ∈Ση

dist(ϕη(t,θ(−t)σ)D,Aη(σ)) = 0, (3.2.12)

para todo subconjunto limitado D⊂ X .

Ainda mais, podemos relacionar a Definição 3.2.8 com a Definição 3.2.1, uma vez emque Aη =

⋃σ∈Ση

Aη(σ). Lembre que θ(·) é um grupo sobre Ση , que é invariante. Portanto,para todo t fixado, conforme variamos θ(−t) em Ση , estamos percorrendo todo Ση , e podemosmuito bem trocar o supremo de θ(−t)σ em (3.2.12) por σ ∈ Ση para obter que a família deatratores uniformes Aη : η ∈ [0,1] equi-atrai limitados de X . A recíproca, entretanto, não éessencialmente verdadeira, pois a atração da união

⋃σ∈Ση

Aη(σ) não garante que cada fibra doconjunto não autônomo Aη(σ) atrai limitados pela ação de σ .

Como anteriormente, equi-atração pullback implica em continuidade de atratores cociclo.

Teorema 3.2.9. Suponhamos que a família Aη(θτση) : τ ∈ R,η ∈ [0,1] uniformemente pull-back equi-atrai conjuntos limitados de X , que

⋃η∈[0,1]

⋃σ∈Ση

Aη(σ) é precompacto em X e quepara todo subconjunto compacto K ⊂ X temos

supt∈[0,T ]

supτ∈R

supx∈K

d(ϕη(t,θ(τ)ση)x,ϕ0(t,θ(τ)σ0)x)→ 0 quando η → 0+. (3.2.13)

Então

supτ∈R

distH(Aη(θ(τ)ση),A0(θ(τ)σ0)

)→ 0, quando η → 0.

Para a prova do teorema acima referimos o leitor a (CARVALHO; LANGA; ROBINSON,2009) ou (LI; KLOEDEN, 2004), pois ela é de certa forma análoga às provas dos teoremas3.1.2 e 3.2.2. Observemos que utilizando processos de evolução é fácil mostrar que a famíliaAη(ση) : η ∈ [0,1] é contínua em η = 0. Portanto, por (CARVALHO; LANGA; ROBINSON,2009, Theorems 2.11 e 3.3) e pela hipótese de uniformidade, obtemos que a família Aη(θ(t)ση) :η ∈ [0,1] é contínua em η = 0 uniformemente para t ∈ R.

Definição 3.2.10. Dizemos que uma família de sdn (ϕη ,θ)(X ,Ση ) : η ∈ [0,1] é coletivamentepullback assintoticamente compacta em η = 0 se para quaisquer sequências ηk→ 0, tk→ ∞,σk ∈ Σηk e xk ⊂ X limitada tais que ϕηk(tk,θ(−tk)σk)xk também é limitada em X , então oconjunto ϕηk(tk,θ(−tk)σk)xk : k ∈ N é relativamente compacto em X .

Teorema 3.2.11. Seja (ϕη ,θ)(X ,Ση ) : η ∈ [0,1] uma família de sistemas dinâmicos não autô-nomos com atratores cociclo denotados por Aη(σ) : σ ∈ Ση, η ∈ [0,1]. Suponhamos que(3.2.13) valha para cada compacto K de X e T > 0.


Se (ϕη ,θ)(X ,Ση ) : η ∈ [0,1] é uma família uniformemente limitada (Definição 3.2.3) ecoletivamente pullback assintoticamente compacta e além disso

supτ∈R

distH(Aη(θ(τ)ση),A0(θ(τ)σ0))→ 0, quando η → 0, (3.2.14)

então existe η0 > 0 tal que ⋃η∈[0,η0]

⋃τ∈R

Aη(θ(τ)ση) é precompacto,

e a família de atratores cociclo Aη(θ(τ)ση) : τ ∈ R,η ∈ [0,η0] uniformemente pullbackequi-atrai limitados de X .

Como a prova do teorema acima segue os mesmos passos do que já fizemos aqui, nosTeoremas 3.1.5 e 3.2.5, não a apresentaremos.

Como era de se esperar, a taxa da equi-atração também é transferida para a proximidadedos atratores cociclo. Isso é o que enuncia o próximo teorema.

Teorema 3.2.12. Seja (ϕη ,θ)(X ,Ση ) : η ∈ [0,1] uma família de sistemas dinâmicos não autô-nomos tal que θ(·) é um grupo em Ση para cada η ∈ [0,1]. Suponhamos que Aη(σ) : σ ∈ Σηdenote o atrator cociclo para (ϕη ,θ)(X ,Ση ) e que B =

⋃η∈[0,1]

⋃σ∈Ση

Aη(σ) seja precompactoem X .

Assuma que exista uma função estritamente decrescente ζ : [0,∞)→ (0,∞) com ζ (0) =ζ0 e lims→∞ ζ (s) = 0 tal que

supη∈[0,1]

supτ∈R

dist(ϕη(t,θ(τ− t)ση)B,Aη(θ(τ)ση))≤ ζ (t), (3.2.15)

para todo t ≥ 0. Ademais, suponha que

supx∈B

supτ∈R

d(ϕη(t,θ(τ− t)ση)x,ϕ0(t,θ(τ− t)σ0)x)≤ Eη(t), para todo t ≥ 0, (3.2.16)

com Eη(t)→ 0, quando η → 0, para cada t ≥ 0.

Então

supτ∈R

distH(Aη(θ(τ)ση),A0(θ(τ)σ0))≤ infε∈(0,ζ0]

2

Eη(ζ−1(ε))+ ε

. (3.2.17)

A demonstração do teorema é análoga às provas dos Teoremas 3.1.6 e 3.2.6.

Corolário 3.2.13. Em adição às hipóteses do teorema anterior, suponhamos que existam c > 0e v > 0 tais que ζ (t) = ce−vt , t ≥ 0, e que Eη(t) = ρ(η)eLt , com L > 0 e ρ : [0,1]→ [0,∞) éuma função contínua com ρ(0) = 0. Então existe uma constante c > 0 tal que

supτ∈R

distH(Aη(θ(τ)ση),A0(θ(τ)σ0))≤ cρ(η)v

v+L . (3.2.18)

3.3. A relação entre continuidade dos distintos atratores 75

3.3 A relação entre continuidade dos distintos atratoresNesta seção compararemos a continuidade entre os diferentes tipos de atratores menciona-

dos anteriormente. Sabemos como a existência de atratores globais para semifluxos skew-productsão quase equivalentes à existência de atratores uniformes e cociclo para sistemas dinâmicosnão autônomos. Nosso interesse agora é, se todos eles existem, continuidade global de atratorespara semifluxos skew-product implica em continuidade para a família de atratoers uniformes?Certamente a recíproca também é uma questão interessante.

Dada uma família de sistemas dinâmicos não autônomos (ϕη ,θ)(X ,Ση ) : η ∈ [0,1] sejaπη(·) : η ∈ [0,1] a família de semifluxos skew-produt associada. Assumamos que para cadaη ∈ [0,1] existe atrator global para o semifluxo skew-product Aη ⊂ X ×Ση e que existe umespaço C tal que Ση ⊂ C , para todo η . Isso implica que Aη = ΠXAη é o atrator uniforme para osistema dinâmico não autônomo (ϕη ,θ)(X ,Ση ) e que o conjunto não autônomo Aη(σ) : σ ∈ Σdefinido por Aη(σ) := x ∈ X : (x,σ) ∈ Aη é o atrator cociclo (ver Teoremas 2.5.10 e 2.5.11ou (CARABALLO et al., 2013, Theorem 3.4)).

O espaço fase Ση é definido como o fecho de uma dada órbita, isto é, existe ση ∈ Ση parao qual Ση = θ(t)ση : t ∈ R e, ainda mais, Σ =

⋃η∈[0,1]Ση é compacto. Também assumimos

queθ(t)ση → θ(t)σ0, quando η → 0, (3.3.1)

uniformemente em t ∈ R. Daí, é fácil ver que a família Ση : η ∈ [0,1] é contínua em η = 0.

Finalmente, suponhamos que para cada η ∈ [0,1] temos

Aη =⋃t∈R

Aη(θ(t)ση)×θ(t)ση. (3.3.2)

Assumimos que o semifluxo skew-product desfruta de um tipo de continuidade quandoη → 0, mais precisamente, suponhamos que para cada compacto K de X e T > 0

supt∈[0,T ]

supx∈K

supτ∈R

d(πη(t)(x,θ(τ)ση),π0(t)(x,θ(τ)σ0)

)→ 0, quando η → 0. (3.3.3)

Ainda mais, assuma que⋃η∈[0,1]

Aη ⊂ X×Σ é precompacto. (3.3.4)

Lema 3.3.1. Se πη(·) : η ∈ [0,1] é uma família de semifluxos skew-product associada aos sis-temas dinâmicos não autônomos (ϕη ,θ)(X ,Ση ) : η ∈ [0,1] com atratores globais Aη , η ∈ [0,1],que satisfazem (3.3.3) e (3.3.4), então a família Aη : η ∈ [0,1] é semicontínua superiormenteem η = 0.

O lema anterior é uma consequência do resultado para semigrupos, ver Teorema 2.2.3.


Proposição 3.3.2. Suponhamos que a família de atratores globais Aη : η ∈ [0,1] para osemifluxo skew-product seja contínua em η = 0. Então a família de atratores uniformes Aη :η ∈ [0,1] também será contínua em η = 0. O mesmo vale para o semigrupo diretor, isto é,distH(Ση ,Σ0) = 0.

Demonstração. Note que para cada η ∈ [0,1] temos Aη ⊂Aη ×Ση . Daí,

dist(Aη ,A0)≥ dist(Aη ,A0×Σ0)

= supσ∈Ση

supx∈Aη (σ)

dist((x,σ),A0×Σ0

)= sup

σ∈Ση

supx∈Aη (σ)

[dist(x,A0)+dist(σ ,Σ0)]

Portanto, como a família Aη : η ∈ [0,1] é semicontínua superiormente devemos terdist(Ση ,Σ0)→ 0, e também dist(∪σ∈Ση

Aη(σ),A0)→ 0. Isto é, as famílias Aη : η ∈ [0,1] eΣη : η ∈ [0,1] são semicontínuas superiormente.

Na equação acima, note que podemos trocar Aη com A0 e obter as mesmas estimativas.Assim sendo, semicontinuidade inferior da família Aη : η ∈ [0,1] implica em semicontinuidadeinferior das famílias Aη : η ∈ [0,1] e Ση : η ∈ [0,1]. Concluindo, dessa maneira, a provado lema.

Corolário 3.3.3. Suponhamos que πη(·) : η ∈ [0,1] é uma família de semifluxos skew-product,com atratores globais Aη , que verificam (3.3.2), (3.3.3) e (3.3.4). Então a família de atratores uni-formes, Aη , para o sistema dinâmico não-autônomo (ϕη ,θ)(X ,Ση ) é semicontínua superiormenteem η = 0.

Demonstração. A prova é uma consequência imediata do Lema 3.3.1 e da Proposição 3.3.2.

Contudo, para assegurar que a família de atratores globais Aη : η ∈ [0,1] para osemifluxo skew-product seja semicontínua inferiormente em termos dos atratores uniformesprecisamos de mais informações sobre a estrutura dos atratores cociclo.

Proposição 3.3.4. Seja πη(·) : η ∈ [0,1] uma família de semifluxos skew-product, comatratores globais Aη , que satisfazem (3.3.2), (3.3.3) e (3.3.4). Mais ainda, suponhamos quea família Aη(θ(t)ση) : η ∈ [0,1] de atratores cociclo seja semicontínua inferiormente emη = 0 uniformemente com respeito a t ∈R. Então a família de atratores globais para o semifluxoskew-product Aη : η ∈ [0,1] será semicontínua inferiormente em η = 0.

Demonstração. Note que, de (3.3.2), temos

dist(A0,Aη) = supt∈R

dist(A0(θ(t)σ0)×θ(t)σ0,Aη) (3.3.5)

3.4. Aplicação 77

Como as famílias Ση : η ∈ [0,1] e Aη(θtση) : η ∈ [0,1] são semicontínuas inferi-ormente em η = 0, uniformemente em t ∈ R, somos capazs de concluir que dist(A0,Aη)→ 0,quando η → 0, uma vez em que o lado direito de (3.3.5) é controlado pela semicontinuidadeinferior dos atratores cociclo.

A proposição anterior mostra mais uma vez o quão é delicado a prova da semiconti-nuidade inferior. É necessário que tenhamos como hipótese que o atrator global do semifluxoskew-product se decomponha em conjuntos e que por sua vez estes se comportem de formasemicontínua inferior. Há então uma grande relação com a Proposição 3.3.4 com os Teoremas2.2.4 e 2.2.6.

3.4 Aplicação

Finalizaremos o capítulo com uma aplicação da teoria anterior a uma perturbação nãoautônoma de um sistema dinâmico autônomo.

Mais precisamente, considere o problema semilinear no espaço de Banach Xx = fη(t,x)

x(0) = x0 ∈ X .(3.4.1)

Assumimos que para cada η ∈ [0,1] a função fη : R×X→X é contínua e uniformementeLipschitz para t ∈R em limitados de X . Logo o problema (3.4.1) é localmente bem posto. Aindamais, fη ∈Cb(R×X ,X) e para τ ∈ R definamos

θ(τ) f (t,x) := f (t + τ,x), para (t,x) ∈ R×X

e defina Ση := θ(t) fη : t ∈ R.

Assuma que f0(t,x) = f0(x), para todo t ∈R e x ∈ X (logo Σ0 = f0), que θ(·) seja umgrupo em cada Ση , que é compacto para todo η ∈ [0,1] e que

⋃η∈[0,1]

Ση é precompacto em Cb(R×X ,X).

Ainda mais, assumamos que a perburbação satisfaça, para cada r > 0,

limη→0

supt∈R

supx∈B(0,r)

‖ fη(t,x)− f0(x)‖X +‖Dx f (t,x)−Dx f0(x)‖L (X) = 0. (3.4.2)

Segue de (3.4.2) que

limη→0

supt∈R

supx∈B(0,r)

supση∈Ση

‖ση(t,x)− f0(x)‖X +‖Dxσ(t,x)−Dx f0(x)‖L (X) = 0. (3.4.3)


Consideramos então o problema não autônomox = σ(t,x)

x(0) = x0 ∈ X ,(3.4.4)

para σ ∈ Ση e denotamos por ϕη(t,σ)x0 := x(t,σ ,x0) a solução de (3.4.4) no tempo t comfunção não autônoma σ . Portanto, por (3.4.2), é simples ver que para cada T > 0 e B limitadoem X , temos

supt∈[0,T ]

supσ∈Ση

supx∈B‖ϕη(t,σ)x−σ0(t)x‖X → 0, quando η → 0. (3.4.5)

Podemos então definir o semifluxo skew-product πη(·) : X×Ση → X×Ση de maneirausual, isto é, para (x,σ) ∈ X×Ση e t > 0

πη(t)(x,σ) = (ϕ(t,σ)x,θ(t)σ).

Suponhamos, então, que existe atrator global, Aη , associado a cada semifluxo skew-product πη(·), η ∈ [0,1]. Consequentemente, sabemos que existe atrator uniforme para o sistemadinâmico não autônomo (ϕη ,θ)(X ,Ση ), Aη , e ainda, que Aη =ΠXAη , onde ΠX denota a projeçãona primeira coordenada do espaço produto X×Ση .

Ainda mais, podemos considerar o processo de evolução em X

Sησ (t,s)x := ϕη(t− s,θ(s)σ)x, t ≥ s. (3.4.6)

Para cada σ ∈ Ση existe um único atrator pullback, que coincide com a família de atratorescociclo, Aη(θ(t)σ) : t ∈ R para (3.4.6).

Com estas hipóteses, denotando por ϕ0(·) o semigrupo limite, isto é, gerado por (3.4.1)com η = 0, em X . Suponhamos que ϕ0(·) seja gradiente, como na Definição 2.3.2, e que cadainvariante isolado seja uma solução estacionária, denotaremos por e*j : 1≤ j ≤ n. Se para avariedade instável de e*j vale que existe um δ > 0 tal que para qualquer ε > 0 existe η0 = η0(ε)

para o qual todo 0 < η < η0 existe uma solução global hiperbólica ξ *j,n(·) de Sη

fη com

sup1≤ j≤n

supt∈R‖ξ *j,η(t)− e*j‖X < ε,

e para a variedade instável local de e*j vale que

sup1≤ j≤n

distH(W u

δ(ξ *j,η(·))(t),W u

δ(e*j)

)< ε, para todo t ∈ R,

isto é, as variedades insáveis locais se comportam de forma contínua. Então

supt∈R

distH(Aη(θ(t) fη),A0)→ 0, quando η → 0. (3.4.7)

Veja, por exemplo, (CARVALHO; LANGA, 2007, Theorem 8)

3.4. Aplicação 79

Portanto, como (3.4.7) vale, o Teorema 3.2.11 implica que a família Aη(θ(t) fη) : t ∈R,η ∈ [0,1] uniformemente equi-pullback atrai limitados de X (como na Definição 3.2.8).Logo, a hipótese do Lema 3.0.1 é satisfeita e para cada η ∈ [0,1], vale

Aη =⋃t∈R

Aη(θ(t) fη)×θ(t) fη.

Consequentemente, graças à Proposição 3.3.4, a família de atratores globais para o semifluxoskew-product Aη : η ∈ [0,1] é contínua em η = 0 e, ainda mais, a família de atratoresuniformes Aη : η ∈ [0,1] é também contínua em η = 0.

81

CAPÍTULO

4DECOMPOSIÇÃO DE MORSE MULTÍVOCA

Neste Capítulo desenvolveremos a teoria dos sistemas dinamicamente gradientes edecomposição de Morse no contexto dos semifluxos multívocos, unindo as teorias apresentadasnas Seções 2.3 e 2.7. Saber a estrutura do atrator global é o primeiro passo para se obterestabilidade assintótica do sistema.

Na Seção 4.1 desenvolvemos a teoria com finitos compontentes de Morse e na Seção 4.2desenvolvemos a teoria supondo um quantidade enumerável de invariantes fracos isolados.

Os trabalhos desenvolvidos nesta seção deram origem aos artigos (COSTA; VALERO,2016a) e (COSTA; VALERO, 2016b) e abrem uma porta para a continuidade de atratores multí-vocos, uma vez em que com a estrutura de atratores para processos unívocos em (CARVALHO;LANGA, 2009) os autores demonstram continuidade dos atratores assumindo que o atrator limiteé dinamicamente gradiente, tanto no caso autônomo quanto no caso não autônomo.

4.1 Semifluxos multívocos dinamicamente gradientes, de-composições de Morse e funções de Lyapunov

Assumiremos que X é um espaço de Banach e R uma família de funções em C (R+,X)

para a qual as hipóteses (H1)-(H4) da Seção 2.7 são satisfeitas. Ainda mais, supomos que existeum atrator global A para o semifluxo multívoco G, que é definido por (2.7.3). Relembramos queo atrator satisfaz (2.7.4), isto é, A é dado pela união de todas trajetórias completas e limitadasde R. Nesta seção apresentaremos a prova da equivalência entre os três características dinâmicasde um semifluxo multívoco: a existência de uma função de Lyapunov conveniente, a propriedadeda dinâmica gradiente e a existência de uma decomposição de Morse.

Suponhamos que exista uma família disjunta de isolados fracamente invariantes M =

M1, . . . ,Mn em A . Isto é, para cada j ∈ 1, . . . ,n existe δ j > 0 para o qual M j ⊂ A é o

82 Capítulo 4. Decomposição de Morse multívoca

invariante fraco maximal em Oδ j(M j) e existe δ > 0 tal que Oδ (M j)∩Oδ (Mk) = /0, se j = k.

Definição 4.1.1. Diremos que o m-semifluxo G : R+×X →P(X) é dinamicamente gradientecom respeito à família de invariantes fracos isolados M = M1, . . . ,Mn se para cada trajetóriacompleta e limitada ψ de R ou ψ(R)⊂M j, para algum j, ou α(ψ)⊂Mk e ω(ψ)⊂M j com1≤ j < k ≤ n.

Definição 4.1.2. Diremos que o m-semifluxo G : R+×X →P(X) com uma família disjuntade fracamente invariantes isolados M = M1, . . . ,Mn no atrator global A admite uma decom-posição de Morse se existir uma sequência de atratores locais /0 = A0 ⊂ A1 ⊂ . . .⊂ An = A quepara cada k ∈ 1, . . . ,n satisfaz

Mk = Ak∩A*k−1.

As definições acima são bem semelhantes às do caso singular e para provarmos aequivalência entre elas, como era-se de esperar, não precisamos de nenhum truque novo. Nocontexto de sistemas dinâmicos generalizados este resultado é visto em (LI, 2007).

Contudo, para definirmos corretamente uma função de Lyapunov precisamos lembrarque um semifluxo multívoco não é contínuo no sentido usual e graças a esse fato a construçãode uma função de Lyapunov contínua se mostra uma tarefa extremamente complicada (apesarda função aparecer naturalmente em algumas aplicações (ARRIETA; RODRÍGUEZ-BERNAL;VALERO, 2006)). Portanto, definimos uma função de Lyapunov num sentido mais fraco do queno caso unívoco, pedimos apenas a semicontinuidade superior da aplicação e a continuidadeé apenas verificada nos componentes Mk. Com tal definição somos capazes de demonstrar aequivalência entre os três conceitos dinâmicos.

Definição 4.1.3. Diremos que o m-semifluxo G : R+×X →P(X) associado à família disjuntade invariantes fracos isolados M = M1, . . . ,Mn em A possui uma função de Lyapunov seexistir uma aplicação L : A → R tal que:

1. para cada trajetória completa e limitada ψ ∈ K a aplicação R ∋ t ↦→ L (ψ(t)) é nãodecrescente;

2. L é constante em cada componente de Morse Mk;

3. L é semicontínua superiormente em qualquer x ∈A e contínua em qualquer x ∈Mk;

4. Se ψ : R→A for uma trajetória completa e limitada para a qual ou L (ψ(t)) =L (ψ(0)),para todo t ≥ 0, ou L (ψ(t)) = L (ψ(0)), para todo t ≤ 0, então necessariamente ψ(0) ∈Mk, para algum 1≤ k ≤ n.

Dividiremos a seção em três subseções. Em cada uma provaremos uma etapa da equiva-lência desejada. O objetivo principal é obter o teorema a seguir.

4.1. Semifluxos multívocos dinamicamente gradientes, decomposições de Morse e funções de Lyapunov 83

Teorema 4.1.4. Sejam G um semifluxo multívoco com atrator global A e M = M1, . . . ,Mnuma família disjunta de invariantes fracos isolados em A . As seguintes propriedades sãoequivalentes:

1. G é dinamicamente gradiente com respeito a M .

2. A família M gera uma decomposição de Morse para o atrator global A .

3. Existe um funcional de Lyapunov L : A → R associado à família M .

4.1.1 Dinâmica gradiente implica decomposição de Morse

Teorema 4.1.5. Suponhamos que G seja dinamicamente gradiente com respeito à família disjuntade invariantes fracos isolados M = M1, . . . ,Mn. Então existe uma sequência de atratores locais/0 = A0 ⊂ A1 ⊂ . . . ⊂ An = A que define uma decomposição de Morse de A . Em particular,M1 = A1 é um atrator local.

Demonstração. Defina A0 = /0, A1 = M1 e para k ≥ 2

Ak =k⋃

j=1

W u(M j),

em que

W u(M) = x ∈A : existe uma trajetória completa ψ ∈K por x tal que α(ψ)⊂M, (4.1.1)

denota a variedade instável do conjunto M. Como G é dinamicamente gradiente, segue queM1 =W u(M1) = A1.

Passo 1. Começamos a prova mostrando que os conjuntos Ak definidos acima sãoinvariantes para qualquer k. De fato, se y ∈ Ak, existe uma trajetória completa ψ ∈K através dey tal que α(ψ) ⊂

⋃kj=1 M j. Portanto, ψ(R) ⊂ Ak. Isto é, y ∈ G(t,ψ(R)) ⊂ G(t,Ak), para todo

t > 0.

Reciprocamente, seja y ∈ G(t,Ak), para algum t > 0. Logo existem x ∈ Ak e ϕ ∈R taisque ϕ(0) = x, ϕ(t) = y e ϕ(R+)⊂A , uma vez em que A é invariante. Como x∈ Ak, existe umatrajetória completa de R por x, ψ ∈K, tal que α(ψ)⊂

⋃kj=1 M j. Defina então a concatenação ψ

de ψ e ϕ e observe que ψ ∈K é uma trajetória completa por y satisfazendo α(ψ)⊂⋃k

j=1 M j,ou seja, y ∈ Ak.

Passo 2. Os conjuntos Ak são fechados. É claro que An = A é fechado. Prosseguimosindutivamente assumindo que Ak+1 é fechado e provamos que Ak é fechado. Seja xm ∈ Ak comxm→ x em A . Como Ak ⊂ Ak+1 e Ak+1 é fechado, segue que x ∈ Ak+1. Portanto, para cada xm

existe uma trajetória completa γm : R→ A com γm(0) = xm e α(γm) ⊂ (M1∪ . . .∪Mk). Pelapropriedade (H4), existe uma subsequência de γm, que ainda denotaremos por γm, que converge


uniformemente em compactos de R para uma trajetória completa γ : R→A por x. Afirmamosque α(γ)⊂ (M1∪ . . .∪Mk), e dessa maneira x ∈ Ak.

Com efeito, como γm(R)⊂ Ak+1 que é fechado, segue que γ(R)⊂ Ak+1 e α(γ)⊂ Ak+1.Por hipótese, sabemos que α(γ)⊂M j, para algum j e do anterior, segue que α(γ)⊂M1∪ . . .∪Mk∪Mk+1. Isto é, ou α(γ)⊂ (M1∪ . . .∪Mk) ou α(γ)⊂Mk+1. Vamos mostrar que a segundaopção não pode acontecer.

Se α(γ) ⊂ Mk+1, tomamos vizinhanças abertas de Mk+1, U e V , tais que U ⊂ V eV ∩M j = /0, para j = k + 1. Como α(γ) ⊂ Mk+1, existe τ > 0 tal que γ((−∞,−τ]) ⊂ U . Epodemos assumir, tomando m suficientemente grande, que γ(−τ) ∈V , para todo m. Seja

sm = sups > τ : γm([−s,−τ])⊂V.

Então γm(−sm) ∈ ∂V . Observe que sm→ ∞ e defina σm(t) = γ(−sm + t), t ∈ [0,sm− τm]. Pelapropriedade (H4), σm converge uniformemente para uma trajetória σ : [0,∞)→V e σ(0) ∈ ∂V .Como Ak+1 é fechado e γm(R) ⊂ Ak ⊂ Ak+1, concluímos que σ(t) ∈ Ak+1, para t ≥ 0. Emparticular, σ(0) ∈ Ak+1 e, pela definição de Ak+1, existe uma trajetória completa σ : R→ A

por σ(0) tal que α(σ) ⊂M1∪ . . .∪Mk ∪Mk+1. Concatenamos as trajetórias σ e σ para criaruma trajetória completa σ ′ : R→A tal que α(σ ′)⊂M1∪ . . .∪Mk∪Mk+1 e σ ′(R+)⊂V , daíω(σ ′)⊂Mk+1. Consequentemente, por hipótese, devemos ter necessariamente σ ′(R)⊂Mk+1,o que contraria o fato de que σ ′(0) = σ(0) ∈ ∂V .

Passo 3. Afirmamos que Ak∩M j = /0, se j > k.

De fato, se x ∈ Ak∩M j, então existem ψ1,ψ2 ∈K tais que ψ1(0) = ψ2(0) = x, α(ψ1)⊂⋃kl=1 Ml e ψ2(R) ⊂M j. Se ψ ∈ K denota a concatenação das trajetórias anteriores, por (H3),

então ψ é tal que α(ψ)⊂⋃k

l=1 Ml e ω(ψ)⊂M j. Entretanto, como G é dinamicamente gradientee j > k isso não é possível.

Passo 4. Existe δ > 0 para o qual

Oδ (Ak)∩n⋃

j=k+1

M j = /0. (4.1.2)

Se a afirmação não fosse verdadeira, haveria uma sequência xm tal que dist(xm,Ak)≤ 1/m

e xm ∈⋃n

j=k+1 M j, para todo m∈N. Existiriam, assim, k+1≤ j0≤ n para o qual infinitos índicesml ∈N são tais que xml pertence a M j0 . A menos de uma subsequência, do Lema 2.7.14, segue quexml → x0 ∈M j0 , e também x0 ∈ Ak, pois Ak é fechado, o que contradiz o fato de que Ak∩M j =∅para j > k.

Passo 5. Provaremos agora que para todo δ ′ ∈ (0,δ ), em que δ é tomado de (4.1.2),existe ε > 0 tal que γ+(Oε(Ak)∩A )⊂Oδ ′(Ak), o que implica que ω(Oε(Ak)∩A )⊂Oδ ′(Ak)⊂Oδ (Ak).


Suponhamos, por contradição que esse não é o caso. Então existem δ ′ ∈ (0,δ ) e sequên-cias tn > 0, xn ∈A e ϕn ∈R com ϕn(0) = xn tais que

dist(xn,Ak)<1n, (4.1.3)

dist(ϕn(tn),Ak) = δ′ e (4.1.4)

dist(ϕn(t),Ak)< δ′, para qualquer t ∈ [0, tn). (4.1.5)

Se existir T > 0 tal que tn ≤ T , para todo n ∈ N, nós teríamos tn→ t0 ∈ [0,T ], quandon→ ∞, e por (H4), passando por uma subsequência, se necessário, existe ϕ ∈R tal que ϕ(t) =

limk→∞ ϕn(t), uniformemente em compactos de [0,∞). Note que ϕ(0) ∈ Ak, pois Ak é compacto.Da invariância de Ak, ϕ (t) ∈ Ak para todo t ≥ 0. Contudo, ϕ(t0) = limk→∞ ϕn(tn) /∈ Ak, o que éuma contradição.

Portanto, suponhamos que tn→ ∞, quando n→ ∞. Defina ψn(t) := ϕn(t + tn). Observeque ψn(0) ∈ x ∈A : dist(x,Ak) = δ ′, que é fechado, e pelo Lema 2.7.8, existe ψ ∈K tal que,tomando uma subsequência, ψn(t)→ ψ(t) para todo t ∈ R. Então como

dist(ψ(t),Ak)≤ δ′, para todo t ≤ 0, (4.1.6)

dist(ψ(0),Ak) = δ′. (4.1.7)

Daí, como G é dinamicamente gradiente, segue que α(ψ)⊂M j, para algum j = 1, . . . ,n. Por(4.1.2) e (4.1.6) temos 1≤ j ≤ k, logo ψ(R)⊂ Ak. Mas isso contradiz (4.1.7).

Passo 6. Podemos, agora, provar que Ak é um atrator local em A .

Uma vez em que ω(Oε(Ak)∩A ) é fracamente invariante, para qualquer y∈ω(Oε(Ak)∩A ) existe uma trajetória completa limitada ψ passando por y contida em ω(Oε(Ak)∩A ).Portanto, α(ψ)⊂ Oδ (Ak), então, novamente, α(ψ)⊂

⋃kj=1 M j. Daí y ∈ Ak, isto é, ω(Oε(Ak)∩

A )⊂ Ak. A contenção inversa é verdadeira uma vez em que Ak é invariante. Concluindo, enfim,que Ak = ω(Oε(Ak)∩A ), como desejávamos.

Passo 7. Finalmente, mostraremos que Mk = Ak∩A*k−1.

De fato, se x ∈Mk, eixte uma trajetória completa ψ ∈K que passa por x com ψ(R)⊂Mk.Logo, por definição x ∈W u(Mk)⊂ Ak. Se x /∈ A*k−1, então ω(x)⊂ Ak−1. Portando, ω(ψ)⊂M j,para algum 1 ≤ j ≤ k− 1. Isso contradiz ω(ψ) ⊂ Mk. Consequentemente, x ∈ A*k−1 e daíMk ⊂ Ak∩A*k−1.

Recriprocamente, seja x ∈ Ak ∩A*k−1. Pelo Lema 2.7.13, como os conjuntos A*k−1 sãocompactos e fracamente invariantes, existe uma trajetória completa ψ1 ∈K por x tal que ω(ψ1)⊂A*k−1, logo ω(ψ1)⊂M j, para algum j ≥ k. Por outro lado, x ∈ Ak implica na existência de umatrajetória completa ψ2 ∈K por x tal que α(ψ2)⊂Ml , para algum 1≤ l ≤ k. Concatenando astrajetórias ψ1 e ψ2 por (H3), obtemos ψ ∈K que satisfaz ω(ψ)⊂M j, com j ≥ k, e α(ψ)⊂Ml ,com 1≤ l ≤ k. Como G é dinamicamente gradiente e l > j não pode ocorrer, resta a opção emque j = l = k e, daí, ψ(R)⊂Mk, o que implica x ∈Mk, como desejado.


Corolário 4.1.6. Nas mesmas condições do Teorema 4.1.5, o conjunto M1 é um atrator local deG em A .

4.1.2 Funcional de Lyapunov implica em dinâmica gradiente

Vamos agora demonstrar que a existência de um funcional de Lyapunov para um semi-fluxo multívoco implica que o atrator possui estrutura de dinamicamente gradiente.

Teorema 4.1.7. Suponhamos que o semifluxo multívoco G possui um funcional de LyapunovL : A → R associado com a família disjunta de invariantes fracos isolados M = M1, . . . ,Mn.Então G é dinamicamente gradiente com respeito a M .

Demonstração. Para 1 ≤ j ≤ n seja Vj = L (x), para x ∈M j, e reordenamos os conjuntos M j

de tal forma que V1 ≤V2 ≤ . . .≤Vn.

Seja ψ ∈K uma trajetória completa de G. Devemos mostrar que ou ψ(R)⊂Mk, paraalgum k, ou α(ψ)⊂Mk e ω(ψ)⊂M j com 1≤ j < k ≤ n.

Se L (ψ(t)) for constante para todo t ∈R, então existe k ∈ 1, . . . ,n tal que ψ(R)⊂Mk.De fato, sabemos que ψ(R)⊂

⋃nj=1 M j e a continuidade de ψ (t) impede que a trajetória pule de

um componente Mk para outro, uma vez em que eles são isolados.

Suponhamos agora que L (ψ(t)) não é constante e provemos que α(ψ)⊂Mk e ω(ψ)⊂M j com 1≤ j < k≤ n. A semicontinuidade superior de L implica que L (A ) é um subconjuntolimitado de R. Então, como R ∋ t ↦→L (ψ(t)) é não crescente, existem os limites

limt→+∞

L (ψ(t)) := L+ e limt→−∞

L (ψ(t)) := L−.

Sejam β1 = supy∈ω(ψ)L (y) e y1n ∈ ω(ψ) uma sequência tal que L (y1

n)→ β1. ComoA é compacto, passando possivelmente para uma subsequência, obtemos que y1

n→ y1 ∈ ω(ψ).Da semicontinuidade superior de L , limn→∞ L (y1

n)≤L (y1), então β1 = L (y1). Como ω(ψ)

é fracamente invariante, existe uma solução γ ∈K tal que γ(0) = y1 e γ(t) ∈ ω(ψ), para todot ∈ R. Porém, como L é não crescente sobre ψ , segue que devemos ter L (γ(t)) = β1, parat ≤ 0. Portanto y1 ∈Mk, para algum k.

De maneira análoga, se β2 = infy∈ω(ψ)L (y), demonstramos que y2 ∈ ω(ψ) tal queβ2 = L (y2) e y2 ∈M j para algum j.

Devemos verificar agora que L (y2) = L (y1). Com efeito, a definição de ω (ψ) e acontinuidade de L nos conjuntos Mk implicam na existência de sequências tn→+∞ e tm→+∞

tais queψ(tn)→ y1, ψ(tm)→ y2,

eL (ψ(tn))→L (y1), L (ψ(tm))→L (y2).


Entretanto limt→+∞ L (ψ(t)) = L+, daí

L (y1) = L (y2) = L+.

Isso implica que L (y) =L+ para todo y∈ω(ψ). Novamente, como ω(ψ) é fracamenteinvariante, para qualquer y ∈ ω(ψ) existe γ ∈K tal que γ(0) = y e γ(t) ∈ ω(ψ), para todo t ∈R.Temos então L (γ(t)) =L+, para todo t ∈R, ou seja, y = ψ(0) ∈M j, para algum j ∈ 1, . . . ,n.Como ω(ψ) é conexo (ver Lemma 2.7.6) e os conjuntos Mk são dois a dois disjuntos, obtemosω(ψ)⊂M j.

Analogamente, α(ψ)⊂Mk, para algum k ∈ 1, . . . ,n, e uma vez que R ∋ t ↦→L (ψ(t))

é não crescente e não constante, devemos ter Vk > Vj, isto é, 1 ≤ j < k ≤ n. O que conclui aprova do teorema.

4.1.3 Decomposição de Morse implica em funcional de Lyapunov

Finalmente, para concluirmos o ciclo, provaremos que se um semifluxo multívoco, G,possui uma decomposição de Morse associada à família disunta de invariantes fracamenteisolados M = M1, . . . ,Mn, então existe um funcional de Lyapunov L : A → R no sentido daDefinição 4.1.3.

O procedimento se dará seguindo alguns lemas.

Lema 4.1.8. Seja (A,A*) um par atrator-repulsor no atrator global A . Existe uma funçãoh : A → [0,1] tal que:

1. h é semicontínua superiormente para qualquer x ∈A , e é contínua para x ∈ A∪A*;

2. Para qualquer trajetória completa limitada ψ ∈ K a aplicação R ∋ t ↦→ h(ψ(t)) é nãocrescente;

3. h−1 (0) = A e h−1 (1) = A*;

4. Se ψ : R→A é uma trajetória completa limitada tal que h(ψ(t)) = h(ψ(0)), para todot ≥ 0, ou h(ψ(t)) = h(ψ(0)), para todo t ≤ 0, então ψ(0) ∈ A∪A*.

Demonstração. Consideraremos a função Urysohn f : A → [0,1] com respeito aos fechadosdisjuntos A e A*, dada por

f (x) =dist(x,A)

dist(x,A)+dist(x,A*). (4.1.8)

Sabemos que f é contínua para x ∈ A e também que f−1(0) = A e f−1(1) = A*. Considereagora a função h : A → [0,1] pondo

h(x) = supt≥0

supy∈G(t,x)

f (y). (4.1.9)


Nós afirmamos que esta função satisfaz todas as propriedades do Lema. Provaremos estefato em etapas.

Passo 1. Para qualquer trajetória completa limitada ψ ∈K a aplicação R ∋ t ↦→ h(ψ(t))

é não crescente.

Se t1 ≤ t2 temos

h(ψ(t2)) = supt≥0

supy∈G(t,ψ(t2)))

f (y)

≤ supt≥0

supy∈G(t+t2−t1,ψ(t1)))

f (y)

≤ supt≥0

supy∈G(t,ψ(t1)))

f (y) = h(ψ(t1)).

Passo 2. h−1 (0) = A e h−1 (1) = A*.

A primeira igualdade segue do fato de que o atrator local A é invariante.

Como 0≤ h(x)≤ 1, para x ∈ A*, temos h(x) = 1 por definição.

Reciprocamente, seja x ∈ h−1(1). Queremos exibir y ∈ ω(x) com y ∈ A*. De fato, existeuma sequência de trajetórias, ϕn ∈R com ϕn(0) = x, e uma sequência de tempos, tn ≥ 0, paraas quais 1 = h(x) = limn→∞ f (ϕn(tn)). Pela hipótese (H4) podemos assumir que, a menos desubsequência, ϕn(t)→ ϕ(t) uniformemente em compactos de [0,∞) e ϕ ∈R.

Primeiramente, suponhamos que 0≤ tn ≤ T . Passando para uma subsquência, obtemostn→ t ′ ∈ [0,T ]. A continuidade de f implica que f (ϕn(tn))→ f (ϕ(t ′)), portanto f (ϕ(t ′)) = 1.Isto é, ϕ(t ′)∈A*. Logo ω(ϕ(t ′))∩A* = /0 e consequentemente, como ω(ϕ(t ′))⊂ω(x), obtemoso desejado.

Suponhamos agora que tn→+∞. Considere uma sequência yn = ϕn(tn) ∈ G(tn,x), quepodemos assumir ser convergente para algum y devido à compacidade do atrator global A . Entãoy ∈ ω(x)⊂ A, e, pela continuidade de f temos f (y) = limn→∞ f (yn) = 1, isto é, y ∈ A*, o quefinaliza esta etapa.

Passo 3. A aplicação h é contínua em qualquer x ∈ A∪A*.

Seja x ∈ A. Da continuidade de f , dado ε > 0 existe δ > 0 tal que f (Oδ (A)) ⊂ [0,ε).Como A é um atrator local, pelo Lema 2.7.9 existe δ ′ ∈ (0,δ ) tal que γ+(Oδ ′(A)) ⊂ Oδ (A),então h(Oδ ′(A))⊂ [0,ε]. A continuidade para x em A está provada.

Agora, consideremos x ∈ A*. Observe que para todo y ∈ A temos f (y) ≤ h(y) ≤ 1 eportanto

|h(x)−h(y)|= 1−h(y)≤ 1− f (y),

e a continuidade de f implica o resultado.

Passo 4. h é semicontínua superiormente em qualquer x ∈A .


Uma vez que h é contínua em A∪A*, resta mostrarmos para x ∈A ∖(A∪A*). Para tal x,sabemos que ω(x)⊂ A e 0 < h(x)< 1. Seja δ > 0 tal que f (Oδ (A))⊂ [0, f (x)/2). Pelo Lema2.7.9 dado δ , existe δ ′ ∈ (0,δ ) tal que γ+(Oδ ′(A))⊂Oδ (A).

Seja t0 > 0 tal que G(t,x)⊂Oδ ′/2(A) para todo t ≥ t0. Da semicontinuidade superior daaplicação G(t0, ·) existe uma vizinhança U1 de x em A para a qual G(t0,U1)⊂Oδ ′(A). Logo

G(t,U1)⊂ G(t− t0,G(t0,U1))⊂ γ+(Oδ ′(A))⊂ Oδ (A) para todo t ≥ t0.

Da continuidade de f seja U2 uma vizinhança de x em A tal que U2 ⊂A ∖(A∪A*) ef (y)> f (x)

2 para todo y ∈U2. Consideremos então U =U1∩U2. Daí, para y ∈U temos

h(y) = sup0≤t≤t0

supw∈G(t,y)

f (w).

Agora vamos provar a semicontinuidade superior de h. Caso contrário, existiriam ε > 0e uma sequência xn→ x tal que

h(xn)> h(x)+ ε para todo n ∈ N. (4.1.10)

Podemos assumir que xn ∈U , se n for suficientemente grande, e para qualquer εn > 0 existemϕn ∈R e tn ∈ [0, t0] tais que ϕn(0) = xn e

|h(xn)− fn(ϕ(tn))|= h(xn)− fn(ϕ(tn))≤ εn.

Graças a (H4), passando para uma subsequência, temos tnk → t ′, ϕnk(tnk)→ ϕ(t ′), emque ϕ ∈R e ϕ(0) = x. Portanto, ϕ(t ′) ∈ G(t ′,x). A continuidade de f implica que

fnk(ϕ(tnk))→ f (ϕ(t ′))≤ h(x).

Consequentemente, tomando εn→ 0 obtemos∣∣ f (ϕ(t ′))−h(xnk)∣∣≤ ∣∣ f (ϕnk(tnk))− f (ϕ(t ′))

∣∣+ |h(xnk)− f (ϕnk(tnk))| → 0,

logolimk→∞

h(xnk) = f (ϕ(t ′))≤ h(x),

o que contradiz (4.1.10) e conclui o passo 4.

Passo 5. Se ψ : R→ A é uma trajetória limitada tal que ou h(ψ(t)) = h(ψ(0)), paratodo t ≥ 0, ou h(ψ(t)) = h(ψ(0)), para todo t ≤ 0, então ψ(0) ∈ A∪A*.

Primeiramente, seja h(ψ(t)) = h(ψ(0)), para todo t ≥ 0. Assumamos o contrário, istoé, ψ(0) ∈ A∪A*. Logo 0 < h(ψ(0)) = h(ψ(t))< 1, para t ≥ 0. Mas sabemos do Lema 2.7.12que ω(ψ(0))⊂ A, portanto dist(ψ(t),A)→ 0 quando t→+∞. Tomando alguma subsequênciaψ(tn) convergindo a x ∈ ω(ψ(0))⊂ A, da continuidade de h em x ∈ A, obtemos que

h(ψ(tn))→ 0,


o que é uma contradição.

Por outro lado, seja h(ψ(t)) = h(ψ(0)), para t ≤ 0. Pelo Lema 2.7.12, temos α(ψ(0))⊂A* e provamos de forma análoga a anterior.

Com a finalização do passo acima concluímos a prova do lema.

Para definirmos um funcional de Lyapunov para uma decomposição de Morse usaremoso Lema a seguir, cuja prova será omitida por ser similar ao caso singular, que pode ser encontradaem (ARAGÃO-COSTA et al., 2011, Proposition 2.19). A versão unívoca está enunciada naProposição 2.3.12.

Lema 4.1.9. Seja M = M1, . . . ,Mn uma decomposição de Morse para o atrator global A comsequência de atratores locais /0 = A0 ⊂ A1 ⊂ . . .⊂ An = A . Então

n⋂j=0

(A j∪A*j

)=

n⋃j=1

M j.

Teorema 4.1.10. Se o semifluxo multívoco G admite uma decomposição Morse para o atratorglobal A com sequência de atratores locais /0 = A0 ⊂ A1 ⊂ . . . ⊂ An = A , então existe umfuncional de Lyapunov L : A → R associado com a família disjunta de invariantes fracosisolados M = M1, . . . ,Mn.

Demonstração. Para cada j = 1, . . . ,n, seja h j : A → R a função definida anteriormente noLema 4.1.8 para o par atrator-repulsor (A j,A*j).

Defina a função L : A → R pondo

L (z) :=n

∑j=1

h j(z), z ∈A .

Afirmamos que L : A → R é um funcional de Lyapunov com respeito a M = M1, . . . ,Mn.

Primeiramente, como para toda ψ ∈K a função R ∋ t ↦→ h j(ψ(t)) ∈ [0,∞) é não cres-cente, para cada j = 1, . . . ,n, segue que L (ψ(t)) é também não crescente.

Ainda mais, seja ψ : R→ A uma trajetória completa e limitada tal que L (ψ(t)) =

L (ψ(0)), para todo t ≥ 0. Como as funções h j(ψ(·)) são positivas e não crescentes, segueque h j(ψ(t)) = h j(ψ(0)), para todo j ∈ 1, . . . ,n e t ≥ 0. Portanto, ψ(0) ∈ A j∪A*j para cadaj = 1, . . . ,n e pelo Lema 4.1.9 obtemos

x ∈n⋂

j=0

(A j∪A*j) =n⋃

j=1

M j.

De maneinra totalmente similar nós provamos o segundo caso.

Como as funções h j são semicontínuas superiormente, L também o é. Se x ∈ ∪nj=1M j,

note que x ∈ A j∪A*j para todo j = 0, . . . ,n, pelo Lema 4.1.9, daí cada função h j é contínua em x

e, consequentemente, L é contínuo em x.

4.2. Infinitos componentes de Morse 91

Finalmente, se k ∈ 1, . . . ,n e z ∈Mk = Ak∩A*k−1, segue que z ∈ Ak ⊂ . . .⊂ An = A ez ∈ A*k−1 ⊂ . . .⊂ A*0 = A . Portanto h j(z) = 0 se j ≥ k e f j(z) = 1 se 1≤ j ≤ k−1. Daí,

L (z) =n

∑j=1

h j(z) =k−1

∑j=1

f j(z)+n

∑j=k

h j(z) = k−1.

E isso conclui que o funcional L é constante em cada componente Mk.

O que finaliza todas as propriedades do funcional de Lyapunov L e conclui a prova doteorema.

Unimos os resultados estabelecidos nos Teoremas 4.1.5, 4.1.7 e 4.1.10 e obtemos aequivalência dos três conceitos dinâmicos, provando o Teorema 4.1.4.

4.2 Infinitos componentes de Morse

Consideraremos, nesta seção, o caso em que a família de conjuntos fracamente invariantesé infinita. Desenvolvemos e provamos o teorema de equivalência, como o Teorema 4.1.4, paraesse novo caso.

Começamos com G : R+×X →P(X) um m-semifluxo associado com a família R ⊂C (R+,X) satisfazendo as condições (H1)-(H4) da Seção 2.7. Como anteriormente, assumimosque G possui um atrator global compacto e invariante que será denotado, novamente, por A .

Sejam M∞ = M1,M2, . . . ,Mn, . . . ,M∞= M j∞j=1∪M∞ uma família enumerável de

invariantes fracos de A . Dizemos que esta família é disjunta se para todo j ∈ N existe δ j para oqual

Oδ j(M j)∩Oδ j(Mk) = /0, para todo k = j, k ∈ N∪∞. (4.2.1)

Nesta seção, assumiremos que para qualquer j ∈ N também existe δ j > 0 tal que M j é oinvariante fraco maximal em Oδ j(M j), ou seja, o invariante fraco M j é isolado. Numa famíliadisjunta em que os invariantes fracos são isolados, assumiremos que o valor de δ j é escolhidosatisfazendo as duas definições. Observemos que as definições acima não dizem respeito aoconjunto M∞, isto é, M∞ não precisa ser isolado nem satisfazer (4.2.1). Que é motivado pelasaplicações, em geral o conjunto M∞ pode ser um “conjunto de acumulação” da sequência deconjuntos Mn.

Vamos estender as definições introduzidas na seção anterior para o novo caso. O trabalhodesta seção foi baseado nos textos (CARABALLO et al., 2013) e (CARABALLO et al., 2015),em que os autores desenvolvem a decomposição de Morse com infinitos componentes parasemigrupos. A nomenclatura das definições foi também inspirada em tais artigos, entretantomuitas vezes omitiremos o termo “generalizado” do texto.


Definição 4.2.1 (Dinamicamente gradiente generalizado). Dizemos que o m-semifluxo G : R+×X →P(X) é dinamicamente gradiente generalizado com respeito à família disjunta de in-variantes fracos M∞ = M j∞

j=1 ∪M∞ tal que cada M j é isolado, para j ∈ N, se para cadatrajetória completa e limitada ψ de R tivermos que ou ψ(R)⊂M j, para algum j ∈ N∪∞, ouα(ψ)⊂Mk e ω(ψ)⊂M j com 1≤ j < k ≤ ∞.

Definição 4.2.2 (Decomposição de Morse generalizada). Dizemos que o m-semifluxo G : R+×X →P(X) com uma família disjunta de invariantes fracos M∞ = M j∞

j=1∪M∞ tal que M j

é isolado para cada j ∈ N admite uma decomposição de Morse generalizada se existe sequênciade atratores locais /0 = A0 ⊂ A1 ⊂ . . .⊂ An ⊂ . . .⊂ A∞ = A tal que para cada k ∈ N vale

Mk = Ak∩A*k−1

e para M∞ temos

M∞ =⋂

k∈NA*k .

Definição 4.2.3 (Funcional de Lyapunov generalizado). Dizemos que um m-semifluxo G : R+×X →P(X) com atrator global A , com uma família disjunta de invariantes fracos M∞ =

M j∞j=1∪M∞ em A tal que M j é isolado para cada j ∈ N, possui um funcional de Lyapunov

generalizado se existir uma aplicação L : A → R tal que:

1. Para cada trajetória completa e limitada ψ em K a função R ∋ t ↦→L (ψ(t)) ∈ R é nãocrescente;

2. L é constante em cada componente Mk, k ∈ N∪∞;

3. L é semicontínuo superiormente em x ∈ A e contínuo em x ∈ Mk, para qualquer k ∈N∪∞;

4. Se ψ : R→ A é uma trajetória completa e limitada tal que ou L (ψ(t)) = L (ψ(0)),para todo t ≥ 0, ou L (ψ(t)) = L (ψ(0)), para todo t ≤ 0, então ψ(0) ∈Mk, para algumk ∈ N∪∞.

Se existir tal funcional, dizemos que o semifluxo multívoco G é gradiente com respeito à famíliaM∞.

Definição 4.2.4. Nas mesmas condições da Definição 4.2.3, dizemos que a família M∞ é orde-nada com respeito ao funcional de Lyapunov generalizado L se

L1 ≤ L2 ≤ . . .≤ Ln ≤ . . . < L∞,

onde L j denota o valor de L no conjunto fracamente invariante M j, j ∈ N∪∞. Ainda mais,não pode haver uma quantidade infinita de conjuntos M j para os quais o valor L j coincida.


As definições acima não trazem nenhuma novidade ao que era esperado no caso em queos componentes de Morse são infinitos. A hipótese sobre a ordenação dos invariantes fracos sedeve ao fato de que não podemos garantir que não existem órbitas homoclínicas caso contrário.

Para a prova da equivalência devemos entrar em mais detalhes das variedades instáveisde cada conjunto fracamente invariante. A variedade instável, W u(M) de um subconjunto M doatrator global A é definido como em (4.1.1). Utilizando o funcional de Lyapunov do caso finito,feito na seção anterior, podemos provar uma condição de separação para as variedades instáveisdos conjuntos Mk, k ∈ N.

Lema 4.2.5. Suponhamos que G seja um semifluxo multívoco dinamicamente gradiente comrespeito a família disjunta de invariantes fracos M∞ = M j∞

j=1∪M∞ tal que M j é isolado paracada j ∈ N. Então, dado k ∈ N, existe δk > 0 tal que

W u(Mk)∩Oδk

(∞⋃

j=k+1

M j∪M∞

)= /0. (4.2.2)

Demonstração. Para cada n > 1, consideramos a família finita disjunta de invariantes fracosisolados definida por Mn = N1, . . . ,Nn em que

Nk = Mk se 1≤ k ≤ n−1,

Nn =

y : ∃ψ ∈K tal que ψ(0) = y e ω(ψ), α(ψ)⊂ ∪∞j=nM j∪M∞

.

Os conjuntos Nk são fracamente invariantes, disjuntos e isolados. Em vista do Lema 2.7.14,segue que Nk é compacto para cada k.

É claro que G é dinamicamente gradiente com respeito à família Mn, como na Definição4.1.1. Portanto, pelo Teorema 4.1.4 existe um funcional de Lyapunov Ln com respeito a Mn.

Suponhamos então que (4.2.2) não seja verdadeira. Isto é, existe k e uma sequênciaym ∈W u(Mk) tais que

dist(ym,∞⋃

j=k+1

M j∪M∞)→ 0 quando m→ ∞. (4.2.3)

Escolhemos n > k e (4.2.3) implica que

dist(ym,n⋃

j=k+1

N j)→ 0 quando m→ ∞. (4.2.4)

Seja Vk o valor da função Ln em Nk. Notamos que, por construção Vk = k−1, veja oTeorema 4.1.10, logo Vk <Vk+1 < .. . <Vn. Tomamos ψm ∈K tal que ψm(0) = ym e

dist(ψm(t),Nk)→ 0, quando t→−∞.

A continuidade de Ln em Nk implica que Ln(ψm(t))t→−∞−→ Vk. Como t ↦→ Ln(ψm(t)) é não

crescente, segue que Ln(ym)≤Vk, para todo m∈N. Por outro lado, como N j é compacto, (4.2.4)


implica que existe uma subsequência yml convergindo para algum Nr, com r≥ k+1. Novamente,da continuidade de Ln em Nr temos Ln(yml)→Vr >Vk, o que é uma contradição e termina aprova do Lema.

Corolário 4.2.6. Suponhamos que G seja um m-semifluxo dinamicamenete gradiente genera-lizado com respeito à família M∞ = M j∞

j=1 ∪M∞. Seja Ak = ∪kj=1W u(M j). Dado k ∈ N,

existe δk > 0 para o qual

Ak∩Oδk

(∞⋃

j=k+1

M j∪M∞

)= /0 (4.2.5)

e

Oδk(Ak)∩

(∞⋃

j=k+1

M j∪M∞

)= /0. (4.2.6)

Demonstração. Como G é dinamicamente gradiente com respeito à família Mn definida noLema 4.2.5, segue do Teorema 4.1.4 que M1 é um atrator local. Portanto para k = 1 o resultado éveradeiro, uma vez em que A1 =W u(M1) = M1 e (4.2.2).

Suponhamos por indução que o resultado é válido para todo 1≤ j ≤ k−1, com k ∈ N.Provemos que é também verdadeiro para k. Caso contrário, existe uma sequência xn ∈ Ak tal que

dist(xn,∞⋃

j=k+1

M j∪M∞)<1n.

Como Ak = Ak−1 ∪W u(Mk) e (4.2.5) vale para k− 1, necessariamente xn ∈W u(Mk), o que éuma contradição com (4.2.2).

A igualdade (4.2.6) segue facilmente de (4.2.5) e o corolário está demonstrado.

As provas dos Lemas a seguir são idênticas ao caso unívoco e não as apresentaremos,podem ser encontradas em (CARABALLO et al., 2015), Lemma 3.9 e Proposition 3.13.

Lema 4.2.7. Seja M∞ = M j∞j=1∪M∞ uma família de compactos fracamente invariantes tais

que M j∩Mk = /0, se j = k, para quaisquer j,k ∈ N∪∞. Se o invariante fraco M∞ é tal que

limj→∞

distH(M j,M∞) = 0, (4.2.7)

então a família M∞ é uma família disjunta de invariantes fracos.

Lema 4.2.8. Sejam G um m-semifluxo com atrator global A e M∞ = M j∞j=1∪M∞ uma

decomposição de Morse generalizada em A com família crescente de atratores locais /0 = A0 ⊂A1 ⊂ . . .⊂ An ⊂ . . .⊂ A∞ = A . Vale

∞⋂j=0

(A j∪A*j

)=

∞⋃j=1

M j∪M∞. (4.2.8)


4.2.1 Dinâmica gradiente implica decomposição de Morse

Como fizemos na seção anterior, mostraremos que se um semifluxo multívoco G édinamicamente gradiente generalizado com respeito a família disjunta de invariantes fracosM∞ = M j∞

j=1∪M∞, então existe uma decomposição de Morse generalizada associada.

Teorema 4.2.9. Sejam G um m-semifluxo com atrator global A e seja M∞ = M j∞j=1∪M∞

uma família disjunta de invariantes fracos em A tal que M j é isolado para cada j ∈ N. Se G édinamicamente generalizado com respeito a M∞, então existe uma sequência de atratores locais/0 = A0 ⊂ A1 ⊂ . . .⊂ An ⊂ . . .⊂ A∞ =A que compõe uma decomposição de Morse generalizadarelativa à M∞.

Demonstração. Definamos A0 = /0, A1 =W u(M1) e, para k ∈ N, Ak =⋃k

j=1W u(Mk).

Da mesma maneira como na demonstração do Teorema 4.1.5 obtém-se que os conjuntosAk são invariantes.

Vamos provar que os conjuntos Ak são fechados. Fixemos k ∈ N, escolha n ∈ N comn > k e defina a família Mn = N1, ...,Nn como dada na prova do Lema 4.2.5. Segue que Mn éum família disjunta de invariantes fracos isolados e G é dinamicamente gradiente com respeito aMn. Novamente do Teorema 4.1.5 segue que Ak :=

⋃kj=1W u(Nk) são fechados para 1≤ k ≤ n.

Porém, como Ak = Ak, uma vez em que k < n a afirmação é imediata.

Agora, mostraremos que Ak é um atrator local em A para cada k ∈ N.

Seja δk escolhido de forma que Ak ∩Oδk

((⋃∞j=k+1 M j

)∪M∞

)= /0, cuja existência é

garantida pelo Corolário 4.2.6. Mostraremos que para cada δ ′ ∈ (0,δk) existe um ε > 0 tal queγ+(Oε(Ak)∩A )⊂Oδ ′(Ak) o que implicará que ω(Oε(Ak)∩A )⊂ Oδ ′(Ak).

Suponhamos por contradição que este não é o caso. Existem, então, δ ′ ∈ (0,δk) esequências tn > 0, xn ∈A e ϕn ∈R, com ϕn(0) = xn, tais que

dist(xn,Ak)< 1/n,

dist(ϕn(tn),Ak) = δ′,

dist(ϕn(t),Ak)< δ′, para todo t ∈ [0, tn).

Se exitir T > 0 tal que tn ≤ T , para todo n ∈ N, teríamos tn→ t0 ∈ [0,T ], quando n→ ∞

e por (H4), a menos de subsequências, existe ϕ ∈R tal que ϕ(t) = limk→∞ ϕn(t) uniformementeem compactos de [0,∞). Note que ϕ(0)∈Ak, pois Ak é compacto e, como Ak é também invariante,ϕ(t) ∈ Ak para todo t ≥ 0. Entretanto, ϕ(t0) = limk→∞ ϕn(tn) /∈ Ak, o que é uma contradição.

Assumamos então que tn→ ∞, quando n→ ∞. Defina ψn(t) := ϕn(t + tn) e obervemosque ψn(0) ∈ x ∈ A : dist(x,Ak) = δ ′, que é fechado em X , do Lema 2.7.8, existe ψ ∈ Ktal que, tomando uma subsequência, ψn(t)→ ψ(t) uniformemente para t em compactos de R.


Observamos então que

dist(ψ(t),Ak)< δ′, para todo t ≤ 0, (4.2.9)

dist(ψ(0),Ak) = δ′. (4.2.10)

Como G é dinamicamente gradiente, temos α(ψ)⊂M j, para algum j ∈ N∪∞. Por (4.2.6) e(4.2.9) devemos ter 1≤ j ≤ k, daí ψ(R)⊂ Ak, o que, por sua vez, contradiz (4.2.10).

Como ω(Oε(Ak)∩A ) é fracamente invariante, para qualquer y ∈ω(Oε(Ak)∩A ) existeψ ∈ K tal que ψ(0) = y e ψ(R) ⊂ ω(Oε(Ak)∩A ). Portanto, α(ψ) ⊂ Oδk

(Ak) e por (4.2.6)temos α(ψ)⊂

⋃kj=1 M j. Logo y ∈ Ak, isto é, ω(Oε(Ak)∩A )⊂ Ak. A inclusão recíprova vale

uma vez em que Ak é invariante. Consequentemente Ak = ω(Oε(Ak)∩A ), isto é, Ak é um atratorlocal em A .

Vamos provar agora que M∞ é dado por M∞ =∞⋂

k=1

A*k .

Seja x∈M∞. Como M∞ é fracamente invariante, existe uma trajetória completa e limitadaψ por x cuja imagem está inteiramente contida em M∞. Isto quer dizer, como M∞ é compacto, queω(ψ)⊂M∞. Da dinâmica gradiente o anterior implica que x não pode pertencer a W u(M j) paraqualquer j ∈N. Ou seja, x /∈∪ j∈NA j. Como ω(x)∩M∞ = /0, deduzimos que ω(x)∩(A ∖A j) = /0,isto é, x ∈ A*j , para todo j ∈ N. Consequentemente, x ∈

⋂∞j=0 A*j .

Suponhamos agora que x ∈ ∩∞k=0A*k . Pelo Lema 2.7.14 os conjuntos A*n são fracamente

invariantes, logo existem trajetórias completas ψn tais que ψn(R)⊂ A*n, para cada n ∈ N. Então,do Lema 2.7.8, passando para uma subsequência se necessário, existe uma trajetória completae limitada ψ tal que ψn(t)

n→∞−→ ψ(t) para cada t. A cadeia de inclusões A*1 ⊃ . . . ⊃ A*n e ofato de que A*n é fechado implicam que ψ(R) ⊂ A*n e ω(ψ) ⊂ A*n, para todo n ∈ N. Portanto,ω(ψ)∩An = /0, para todo n ∈ N. Como, por hipótese, devemos ter ω(ψ)⊂M j para algum j ∈N∪∞, obrigatoriamente temos ω(ψ)⊂M∞. Como G é dinamicamente gradiente generalizado,obtemos que, de fato, ψ(R)⊂M∞. Concluindo enfim que x ∈M∞.

A fim de terminar a prova, resta notarmos que para todo k ∈ N vale Mk = Ak∩A*k−1. Oque pode ser provado de maneira análoga ao que foi feito no Teorema 4.1.5.

Completando, assim, a prova da existência da decomposição de Morse generalizada.

4.2.2 Funcional de Lyapunov implica dinâmica gradiente

Seguindo o planejado, demonstraremos nesta subseção que a existência de um funcionalde Lyapunov que ordena a família de invariantes fracos implica que o semifluxo multívoco édinamicamente gradiente.

Teorema 4.2.10. Suponhamos que G é um m-semifluxo com atrator global A para o qual existauma família enumerável e disjunta de invariantes fracos M∞ = M j∞

j=1 ∪M∞ tal que M j


é isolado para cada j ∈ N. Se M∞ é ordenado por uma funcional de Lyapunov L , então G édinamicamente gradiente com respeito à família M∞.

Demonstração. Seja ψ ∈K. Devemos mostrar que ou existe k ∈ N∪∞ tal que ψ(R)⊂Mk,ou α(ψ)⊂Mk e ω(ψ)⊂M j para algum 1≤ j < k ≤ ∞.

Se L (ψ(t)) é constante para todo t ∈ R, segue da definição de funcional de Lyapunovque ψ(R)⊂ ∪∞

j=1M j ∪M∞ e a continuidade de ψ previne que ela salte de um invariante fracoMk para outro. Existe então um k ∈ N∪∞ para o qual ψ(R)⊂Mk.

Suponhamos agora que L (ψ(t)) não é constante e provemos que α(ψ)⊂Mk e ω(ψ)⊂M j para algum 1≤ j < k ≤ ∞. Como R ∋ t ↦→L (ψ(t)) é semicontínua superiormente e não-crescente, L (A ) é limitado em R e temos limt→±∞ L (ψ(t)) := L±, com L+ < L− < ∞.

Denotemos β1 = supy∈ω(ψ)L (y) e seja y1n ∈ ω(ψ) uma sequência tal que L (y1

n)→ β1.A menos de susequência, como ω-limites são compactos, existe y1 tal que y1

n → y1 ∈ ω(ψ).Como L é semicontínua superiormente, temos limn→∞ L (y1

n)≤L (y1), logo β1 = L (y1). Ainvariâcia fraca de ω(ψ) implica que existe γ ∈K tal que γ(0) = y1 e γ(t) ∈ ω(ψ), para todot ∈ R. Porém, como L (γ(t)) ≥ L (y1) para t ≤ 0 temos L (γ(t)) = β1 para qualquer t ≤ 0.Consequentemente, y1 ∈Mk para algum k ∈ N∪∞.

Da mesma maneira encontramos y2 ∈ ω(ψ) tal que L (y2) = β2 e y2 ∈M j para algumj ∈ N∪∞, em que β2 := infy∈ω(ψ)L (y).

Afirmamos que L (y2) = L (y1). De fato, da definição de ω(ψ) e da continuidade deL para qualquer x ∈Mk, existem sequências tn

n→∞−→ +∞ e tmm→∞−→ +∞ tais que

ψ(tn)n→∞−→ y1

ψ(tm)m→∞−→ y2

L (ψ(tn))n→∞−→L (y1) L (ψ(tm))

m→∞−→ L (y2)

Porém limt→+∞

L (ψ(t)) = L+, logo

L (y1) = L (y2) = L+.

Daí L (y)=L+ para todo y∈ω(ψ). De modo análogo podemos provar que L (y)=L−

para todo y ∈ α(ψ).

Ainda mais, como ω(ψ) e α(ψ) são fracamente invariantes, para qualquer y ∈ ω(ψ)

e z ∈ α(ψ) existem γ+,γ− ∈K tais que γ+(0) = y, γ−(0) = z e γ+(t) ∈ ω(ψ), γ−(t) ∈ α(ψ),para todo t ∈ R.

Logo, L (γ+(t)) =L+ e L (γ−(t)) =L−, para todo t ∈R. Isto implica que y= γ+(0)∈M j e z = γ−(0) ∈Mk, para algum j,k ∈ N∪∞. Como L+ < L−, fica claro que j ∈ N.

Mostremos que ω(ψ)⊂M j de fato. Como a família M∞ é disjunta e j ∈ N, existe δ j talque

Oδ j(M j)∩Oδ j(Mk) = /0 para todo k = j.


Logo, os abertos U1 :=Oδ j(M j) e U2 :=∪k = jOδ j(Mk), em que k ∈N∪∞, são disuntos. Desdeque ω(ψ) é conexo, obtemos que ω(ψ)⊂U1 e ω(ψ)⊂M j, como desejado.

Por outro lado, se para z ∈ α(ψ) tivermos z ∈Mk, com k ∈ N, os mesmos argumentosanteriores implicam que α(ψ)⊂Mk. Caso contrário teremos α(ψ)⊂M∞.

Finalmente, uma vez em que Lk = L− > L+ = L j segue que 1≤ j < k≤∞. E a provado teorema está completa.

4.2.3 Decomposição de Morse implica em funcional de Lyapunov

Finalmente vamos mostrar que a existência de uma decomposição de Morse nos permiteconstruir um funcional de Lyapunov que ordena a família enumerável de invariantes fracos M∞.

Teorema 4.2.11. Se o semifluxo multívoco G com atrator global A admite uma decomposição deMorse generalizada para a família enumerável e disjunta de invariantes fracos M∞ = M j∞

j=1∪M∞, em que M j é isolado, para cada j ∈ N, então existe um funcional de Lyapunov generalizadoL : A → [0,+∞) associado a M∞ que a ordena.

Demonstração. Seja h j : A→ R a função do Lema 4.1.8 para o par atrator repulsor (A j,A*j),j ∈ N.

Defina a função L : A → R pondo

L (z) :=∞

∑j=1

12 j h j(z), z ∈A . (4.2.11)

Afirmamos que L define um funcional de Lyapunov generalizado com respeito a M∞.

Primeiro, observamos que para cada j ∈ N e ψ ∈ K a função definida por R ∋ t ↦→h j(ψ(t)) ∈ R é positiva e não crescente, logo t ↦→L (ψ(t)) é também não crescente.

Ainda mais, se ψ : R→A é uma trajetória completa e limitada para a qual L (ψ(t)) =

L (ψ(0)), para t ≥ 0. Como as funções t ↦→ h j(ψ(t)) são não negativas e não crescentes, segueque h j(ψ(t)) = h j(ψ(0)), para todo j ∈ N e t ≥ 0. Logo, ψ(0) ∈ A j∪A*j para cada j ∈ N e doLema 4.2.8 temos

ψ(0) ∈∞⋂

j=0

(A j∪A*j) =∞⋃

j=1

M j∪M∞.

De maneira similar provamos o caso em que L (ψ(t)) = L (ψ(0)), para t ≤ 0.

Observamos que para qualquer ε > 0 existe N = N(ε) para o qual ∑∞j=N

12 j h j(z) < ε

para todo z ∈A . Logo, da semicontinuidade superior das funções h j, é fácil verificar que L

é também semicontínua superiormente. Fixe x ∈⋃

∞j=1 M j∪M∞ e provemos a continuidade de

L em x. Como x ∈ A j ∪A*j , para todo j ∈ N, segue que todas funções h j são contínuas em x.Portando a afirmação segue facilmente.

4.3. Aplicação 99

Finalmente, se k ∈N e z ∈Mk = Ak∩A*k−1, segue que z ∈ Ak ⊂ . . .⊂ A∞ = A e tambémz ∈ A*k−1 ⊂ . . .⊂ A*0 = A . Daí, h j(z) = 0 se k ≤ j e h j(z) = 1 para 1≤ j ≤ k−1. Consequente-mente,

L (z) =∞

∑j=1

12 j h j(z) =

k−1

∑j=1

12 j h j(z)+

∞

∑j=k

12 j h j(z) =

k−1

∑j=1

12 j = 1− 1

2k−1 .

Para z ∈M∞, temos z ∈⋂

∞j=0 A*j , logo h j(z) = 1 para todo j ∈ N e

L (z) =∞

∑j=1

12 j = 1.

Isto é, a função L é constante em cada Mk, k ∈N∪∞ e ordena a família M∞. O que completaa prova do teorema.

Dos resultados provados nos Teoremas 4.2.9, 4.2.10 e 4.2.11 obtemos, assim como nocaso em que a família de invariantes fracos é finita, o seguinte resultado de equivalências.

Teorema 4.2.12. Seja G um semifluxo multívoco com atrator global A e uma família disjuntade invariantes fracos M∞ = M j∞

j=1∪M∞ em A tal que para M j é isolado para cada j ∈ N. Asseguintes propriedades são equivalentes:

1. G é dinamicamente gradiente generalido com respeito a M∞.

2. A família M∞ gera uma decomposição de Morse generalizada para o atrator global A

com respeito a G.

3. Existe um funcional de Lyapunov generalizado L : A → R associado à família M∞ oqual a ordena.

4.3 AplicaçãoNesta seção vamos aplicar a teoria desenvolvida durante o capítulo para uma inclusão de

reação-difusão. Na verdade, esta inequação foi a maior motivação para o estudo das decomposi-ções de Morse de forma abstrata. O exemplo foi tratado em (ARRIETA; RODRÍGUEZ-BERNAL;VALERO, 2006), em que os autores fazem um estudo detalhado da inequação.

Consideremos ∂u∂ t −

∂ 2u∂x2 ∈ H0(u)+ωu, on Ω× (0,T )

u|∂Ω = 0u(x,0) = u0(x)

(4.3.1)

em que Ω = (0,1), 0≤ ω < π2, e H0 é a função de Heaviside

H0(u) =

−1, se u < 0,[−1,1] , se u = 0,1, se u > 0.


Lembramos de (ARRIETA; RODRÍGUEZ-BERNAL; VALERO, 2006) que (4.3.1) podeser rescrita na forma abstrata

∂u∂ t +∂ψ1(u)−∂ψ2(u) ∋ 0,u(0) = u0,

em que ∂ψ1 e ∂ψ2 são subdiferenciais das funções próprias, convexas, semicontínuas inferior-mente ψ i : L2(Ω)→ (−∞,+∞] dadas por

ψ1(u) =

12

∫Ω

|∇u|2 dx, se u ∈ H10 (Ω),

+∞, caso contrário

∂ψ1(u) =

y ∈ L2(Ω) : y(x) =−∂ 2u

∂x2 (x), q.s. em Ω

.

ψ2(u) =

∫

Ω

(ω

u2

2+ |u|

)dx, se |u(·)| ∈ L1(Ω),

+∞, caso contrário

∂ψ2(u) =

y ∈ L2(Ω) : y(x) ∈ H0(u(x))+ωu(x), q.s. em Ω

.

Observamos que |u|=∫ u

0 H0(s)ds, mais ainda D(∂ψ1) = H2(Ω)∩H10 (Ω) e D(∂ψ2) =

L2(Ω).

Diremos que a função u ∈ C ([0,T ],L2(Ω)) é uma solução forte de (4.3.1) se:

1. u(0) = u0;

2. u(·) é absolutamente contínua em (0,T ) e u(t) ∈ D(∂ψ1) para quase todo t ∈ (0,T );

3. Existe uma função g : R+→ L2(Ω), tal que g(t) ∈ ∂ψ2(u(t)), q.s. em (0,T ) e

du(t)dt− ∂ 2u

∂x2 −g(t) = 0, para quase todo t ∈ (0,T ), (4.3.2)

ou, alternativamente,

du(t)dt− ∂ 2u

∂x2 −h(t) = ωu, para quase todo t ∈ (0,T ) (4.3.3)

em que, para quase todo t > 0 e x ∈Ω, temos h(t,x) ∈ H0 (u(t,x)) e h(t, ·) ∈ L2(Ω), e asigualdades são entendidas no sentido do espaço L2(Ω).

Denotemos por W+ = C (R+,L2(Ω)) e por R ⊂W+ o conjunto de todas as soluçõesfortes de (4.3.1) tais que g ∈ L2

loc

([0,∞);L2(Ω)

).

Lema 4.3.1. O conjunto R satisfaz as hipóteses (H1)-(H4).

4.3. Aplicação 101

Demonstração. As provas de (H1), (H2) e (H3) podem ser encontradas em (VALERO, 2001,Lemma 2) e não faremos aqui. Provaremos, então, que vale (H4).

Sejam xn→ x e un ∈R tais que un(0) = xn. Como consequência da prova da semiconti-nuidade superior do semifluxo G, segue de (VALERO, 2001, Prova do Lemma 2.5) que existemu ∈R com u(0) = x e uma subsequência de un, a qual ainda será denotada por un, tais que

un→ u em C([ε,T ),L2(Ω)) para todo 0 < ε < T.

Resta mostrarmos que u(tn)→ u(0) se tn→ 0+.

Multiplicando (4.3.3) por un obtemos

12

ddt‖un‖2

L2 +‖un(t)‖2H1

0≤C1‖un(t)‖L2 +ω‖un(t)‖2

L2 (4.3.4)

≤C2 +

(ω +

π2−ω

2

)‖un(t)‖2

L2 .

Como ‖un(t)‖2H1

0≥ π2‖un(t)‖2

L2 , depois de integrarmos, obtemos

‖un(t)‖2L2 ≤ ‖un(s)‖2

L2 +C3(t− s), para todo t ≥ s≥ 0. (4.3.5)

A mesma desigualdade vale para a função limite u. Portanto, as funções Jn(t) :=‖un(t)‖2

L2−C3t são não crescentes e continuas. Consequentemente,

Jn(tn)− J(0)≤ Jn(0)− J(0)→ 0.

Isso implica que limsupn

Jn(tn)≤ J(0), daí limsupn‖un(tn)‖2

L2 ≤ ‖un(0)‖2L2 .

Por outro lado, notamos que, em vista de (4.3.4) e (4.3.5), a sequência un é limitada emL2(0,T ;H1

0 (Ω)) e L∞(0,T ;L2(Ω)). Portanto, a equação (4.3.3) implica que dundt é limitada em

L2(0,T ;H−1(Ω)). Portanto, por (4.3.5) obtemos que un(tn)→ u(0) fracamente em H1 e, dessamaneira ‖un(0)‖2

L2 ≤ liminfn‖un(tn)‖2

L2 .

Obtemos então que ‖un(tn)‖2L2→‖un(0)‖2

L2 , quando n→∞, e, finalmente, un(tn)→ u(0)em H1, como era desajado.

A aplicação multívoca G : R+×L2(Ω)→P(L2(Ω)) definida como em (2.7.3) é umm-semifluxo estrito associado à família R. Mais ainda, o conjunto G(t,u) é compacto e om-semifluxo é semicontínuo superiormente.

Sabemos também que G possui um atrator global compacto e invariante, A , (ARRIETA;RODRÍGUEZ-BERNAL; VALERO, 2006, p.2968-2069). Mais ainda, A é conexo e compactoem H1

0 (Ω).


Para este sistema podemos descrever explicitamente seus pontos fixos. Existem umnúmero infinito, porém enumerável, de equilíbrios. Para ω = 0 os pontos fixos de (4.3.1) são:

v0 ≡ 0

v+1 (x) =−x2

2+

x2, v−1 (x) =−v1(x)+

v+2 (x) =

−x2

2 + x4 , se 0≤ x≤ 1

2 ,(x− 1

2 )2

2 − x− 12

4 , se 12 ≤ x≤ 1

v−2 (x) =−v+2 (x)

......

v+n (x) =

−x2

2 + x2n , se 0≤ x≤ 1

n ,

− (x− kn )

2

2 +x− k

n2n , se k

n ≤ x≤ k+1n , k é par,

(x− kn )

2

2 − x− kn

2n se kn ≤ x≤ k+1

n , k é ímpar.

v−n (x) =−v+n (x).

Para o caso geral 0 < ω < π2 os pontos fixos são semelhantes, porém com fórmulas umpouco mais complexas, veja em (ARRIETA; RODRÍGUEZ-BERNAL; VALERO, 2006). Estessão os únicos pontos fixos do sistema.

Diferentemente do caso unívoco, os pontos fixos não são invariantes em geral, comopodemos ver no Exemplo 2.7.7, e também no resultado a seguir.

Teorema 4.3.2. (ARRIETA; RODRÍGUEZ-BERNAL; VALERO, 2006, Theorem 6.7) Suponha-mos que ω = 0. Para qualquer v+k , respectivamente v−k , existe uma solução u+k , respectivamenteu−k , tal que u±k (0) = v0 = 0 e u+k (t)→ v+k , respectivamente v−k , quando t→ ∞.

Portanto o conjunto composto pelo ponto fixo v0 é fracamente invariante porém nãopositivamente invariante.

Defina a função contínua E : H10 (Ω)→R pondo

E(u) =12

∫ 1

0

∣∣∣∣∂u∂x

∣∣∣∣2 dx−∫ 1

0

(|u|+ ω

2u2)

dx.

Para uma solução arbitrária u de (4.3.1) as seguintes propriedades são válidas:

1. (0,∞) ∋ t ↦→ E (u(t)) é contínua;

2. E(u(t))≤ E(u(s)), se t ≥ s > 0;

3. se E(u(t)) = E(u(0)), para algum t > 0, então u(τ) = u(0) para τ ∈ [0, t], isto é, v := u(0)é um ponto fixo.

4. Se u ∈ H10 (Ω), então E(u(t)) é contínua também em t = 0.

4.3. Aplicação 103

No caso em que ω = 0, não é difícil ver que E(v0) = 0 e E(v+n ) = E(v−n ) =− 124n2 , para

n≥ 1. Isto quer dizer que os pontos fixos são ordenados pela função E da seguinte maneira:

E(v0)> .. . > E(v±n )> .. . > E(v±1 ).

O mesmo é verdadeiro para qualquer 0≤ ω < π2.

Lema 4.3.3. (ARRIETA; RODRÍGUEZ-BERNAL; VALERO, 2006, Lemma 5.1) Se ϕ(t) é umasolução de (4.3.1), então existe um equilíbrio z tal que ω(ϕ) = z e ϕ(t)→ z, quando t→+∞.O mesmo é válido para o α-limite de uma trajetória completa limitada ψ de R.

Obteremos uma decomposição de Morse e um funcional de Lyapunov no espaço L2(Ω).Observe que o funcional E satisfaz as propriedades de um funcional de Lyapunov, exceto que écontínuo em H1

0 (Ω), mas não em L2(Ω).

Já vimos que o atrator global A é composto pelas trajetórias completas e limitadas de R.Mais precisamente, devido ao Lema 4.3.3, A consiste dos pontos fixos e de trajetórias completase limitadas ψ que conectam dois pontos fixos. Isto é,

z2t→−∞←− ψ(t) t→+∞−→ z1 (4.3.6)

em que z1, z2 são pontos fixos. Segue das propriedades de E que se ψ não é um ponto fixo, entãoou z2 = v0 e z1 = v±n , n ≥ 1, ou z2 = v±k e z1 = v±n com k > n. Isto significa que uma conexãosaindo de z2 e chegando em z1 só é possível se

E(z2)> E(z1). (4.3.7)

Definamos os conjuntos

Mk = v+k ,v−k , k ∈ N

M∞ = v0.

Está claro que estes conjuntos são fracamente invariantes. Note que maxx∈[0,1] |vn(x)|=1

8n2 , consequentemente vn→ 0 em L2(Ω). Também, como Mk∩M j = /0, para k = j, e os conjuntosMk são compactos, por (CARABALLO et al., 2015, Lemma 3.9) para qualquer k ∈ N existe umδk > 0 tal que

Oδk(Mk)∩Oδk

(M j) = /0, se j = k. (4.3.8)

Afirmamos que, para k ∈ N, o conjunto Mk é isolado. De fato, escolhendo δk > 0 comoem (4.3.8), Mk é o invariante fraco maximal em Oδk

(Mk), pois, caso contrário, existiria umatrajetória limitada e completa ψ em Oδk

(Mk) tal que ψ(0) /∈Mk. Mas isso não é possível, umavez em que neste caso ψ(t)→M j, com j < k, quando t→+∞, uma contradição.

Concluímos, então, que M∞ = M j∞j=1∪M∞ é uma família disjunta de invariantes

fracos tais que M j é isolado para cada j ∈ N.


De (4.3.6) segue que o m-semifluxo G é dinamicamente gradiente generalizado comrespeito à família M∞ e dos Teoremas 4.2.9 e 4.2.11 obtemos:

Teorema 4.3.4. A família M∞ = M j∞j=1∪M∞ induz uma decomposição de Morse gene-

ralizada para o semifluxo multívoco G, que possui uma função de Lyapunov L que ordena oconjunto M∞. Os atratores locais são dados por

Ak =k⋃

j=1

W u(M j), k ∈ N (4.3.9)

A∞ = A =⋃

j∈N∪∞W u(M j). (4.3.10)

Podemos considerar o m-semifluxo GX definido no espaço X = A com a norma indu-zida pela topologia de H1

0 (Ω). Como A é compacto em H10 (Ω), (4.3.6) e (4.3.7) são tam-

bém satisfeitas com respeito à topologia de H10 (Ω). Argumentando como antes, a família

M∞ = M j∞j=1 ∪ M∞ é uma família disjunta de invariantes fracos tais que M j é isolado

para qualquer j ∈ N. Mais ainda, está claro que o m-semifluxo GX é dinamicamente gradi-ente generalizado com respeito à família M∞. A função E define um funcional de Lyapunovgeneralizado que ordena os conjuntos de M∞.

Teorema 4.3.5. A família M∞ = M j∞j=1∪M∞ induz uma decomposição de Morse generali-

zada para o semifluxo multívoco GX . Os tratores locais Ak são dados por (4.3.9).

Observamos, como consideração final, que os atratores locais coincidem em ambos casos,pois as variedades instáveis dos invariantes fracos M j são as mesmos tanto na topologia de L2

quanto na de H10 . Porém, por outro lado, o funcional de Lyapunov LX garantido pelo Teorema

4.2.12 é, a princípio, apenas semicontínuo superiormente e, dessa maneira, pode não ter ligaçãocom E.

105

CAPÍTULO

5CONTINUIDADE DE ATRATORES PARA

CHAFEE-INFANTE

Neste capítulo estudaremos um problema de continuidade especial. Diferentemente dosexemplos nos capítulos anteriores, neste problema a teoria desenvolvida anteriormente nãopode nos auxiliar. Isso se dá, principalmente, ao fato de que os equilíbrios do sistema limitesão um conjunto não enumerável, há um contínuo de equilíbrios. Dessa maneira, mesmo queexista uma função que satisfaça alguns dos critérios de um funcional de Lyapunov para osistema as consequências não serão imediatas (tampouco temos garantia de serem verdadeiras).Analogamente ao caso dos semifluxos skew-product, soluções dos sistemas perturbados nãoestão no mesmo espaço do sistema dinâmico limite, o que cria outro problema com respeito acomo podemos compará-los.

Nossa análise então é diversificada em estratégias. Primeiramente descreveremos explici-tamente o problema que nos propomos a investigar. Na Seção 5.1 respondemos se os atratoresglobais dos sistemas considerados se comportam de maneira semicontínua superior e na Seção5.2 discutimos a semicontinuidade inferior.

Consideramos um problema de Chafee-Infante definido em R. Mais precisamente,ut−uxx = u−u3,

u(0,x) = u0(x).(5.0.1)

Os resultados da Seção 2.6 garantem que soluções da equação (5.0.1) geram um semigrupo nosespaços localmente uniformes, W 2α,p

U (R) se α ∈ [0,1), 2α > 1p e p≥ 2, ver ainda (CHOLEWA;

RODRÍGUEZ-BERNAL, 2009, Theorems 1.1 e 1.2). Mais ainda, tais soluções satisfazem afórmula da variação das constantes e se 2α− 1

p > 1, então

u ∈C([0,∞),W 2α,p

U (R))∩C((0,∞),W 2,p

U (R))∩C1((0,∞),W s,p

U (R))

com 0≤ s < 2, (ARRIETA et al., 2007, Proposition 1.1).

106 Capítulo 5. Continuidade de atratores para Chafee-Infante

Disto fica claro o porquê da escolha de trabalharmos nos espaços uniformemente locais.Os espaços de Lebesgue Lp(R) são muito restritivos, de modo que as funções constantes eperiódicas não são p-integráveis. Isto limitaria a dinâmica do problema, uma vez que, comopodemos perceber na Seção 2.8, grande maioria dos equilíbrios de (5.0.1) são periódicos.Trabalhando nos espaços localmente uniforme adicionamos também os equilíbrios constantes+1 e −1 à análise.

Há muitas maneiras de abordar o problema do ponto de vista da dinâmica assintótica.Recordaremos um conceito de atrator global fraco, cuja atração é feita numa norma (topologia)mais fraca que a do espaço fase. Mais precisamente, seja ρ : R→ (0,∞) uma função pesopertencente a classe I , Definição 2.6.1. Em adição, suponhamos que

|∂xρ(x)| ≤ ρ0ρ(x).

Um exemplo comum de ρ em Rn é a função(1+ |x|2

)−ν , x ∈Rn e ν > n2 . Consideramos, assim,

os espaços com peso W k,pρ (R):

Lpρ(R) =

u ∈ Lp

loc(R) :∫R|u(x)|pρ(x)dx < ∞

.

Então (5.0.1) possui um (W 2α,pU (R)−W s,p

ρ (R))-atrator, o qual denotamos por AR. Istoquer dizer que

(i) AR é fechado e limitado em W 2α,pU (R)

(de fato, AR é limitado em W 2,p

U (R));

(ii) AR é compacto em W s,pρ (R); e

(iii) AR atrai limitados de W 2α,pU (R) na topologia de W s,p

ρ (R), com s < 2.

Lema 5.0.1. (CHOLEWA; DLOTKO, 2004, Theorem 1) O atrator global AR é invariante pelogrupo de translações de R, isto é,

τyAR = AR, para todo y ∈ R.

A função de Lyapunov (2.8.2), utilizada no domínio (0,π), poderia ser adaptada para osespaços localmente uniformes e com peso. Porém observamos que há um contínuo de equilíbriosnos espaços localmente uniformes, o que é explicitado pelo Lema 5.0.1. Assim, a teoria quedescrevemos no Capítulo 2 não se aplica imediatamente. Nem mesmo os resultados unívocoscorrespondentes do Capítulo 4 podem ser utilizados, pois é suposto que os equilíbrios sejam umafamília enumerável. Consequentemente, não podemos afirmar que o atrator global AR é a uniãodas variedades instáveis de seus equilíbrios e esta é uma das maiores dificuldades do problema:não somos capazes de caracterizar o atrator global limite.

107

Aproximaremos o problema (5.0.1) por problemas parabólicos semelhantes em domínioslimitados que preenchem a reta conforme passamos o limite. Precisamente, seja r > 0 e con-sideramos os intervalos Ωr := (−r,r). Temos, então, a equação de Chafee-Infante no domíniolimitado Ωr:

ut−uxx = u−u3 em Ωr

ux(t,−r) = 0 = ux(t,r), t ≥ 0, x ∈ ∂Ωr

u(0,x) = u0(x)

(5.0.2)

com condição de fronteira de tipo Neumann homogêneas. Impomos estas condições de fronteirapois as constantes ±1 pertencem ao atrator AR e, com condições de Neumann, notamos quetais constantes são também equilíbrios do problema (5.0.2), logo pertencem ao atrator global dosistema, o qual denotamos por Ar.

A fim de aplicarmos as conclusões da Seção 2.8 para o problema (5.0.2) devemos sercapazes de transformar um problema no outro. Mais precisamente, transformar o problema (5.0.2)no problema (2.8.1) definido no intervalo (0,π) com λ > 0. Vamos descrever rapidamente ospassos que devem ser feitos.

Primeiramente transladamos o problema de (−r,r) para (0,2r), da maneira usual, defi-nindo u = τ−ru = u(·+ r). O que não influencia as derivações, logo u e u são soluções do mesmoproblema com as devidas translações de domínio e condições de fronteira.

Devemos, então, escalonar a variável x definindo x = 2rπ

x e tomando t = π2

4r2 t, segue queu(x, t) é solução da equação

ut = uxx +2r2

π2

(u− u3)

no intervalo (t, x) ∈ [0,∞)× [0,π].

Finalmente, multiplicamos a solução u por 2rπ

e obtemos a equação como em (2.8.1).

Isto é, v(t,x) := 2rπ

u(

π2

4r2 t, 2rπ

x+ r)

é uma solução de (2.8.1) em [0,π] com λ = 4r2

π2 se u é umasolução de (5.0.2) em [−r,r].

Dessa maneira validamos as conclusões da Seção 2.8, com alguns cuidados, pois ascondições de fronteira são distintas. Soluções do problema geram um semigrupo em W 1,p

N (Ω)∩W 2,p(Ωr), p≥ 2, o qual possui um atrator global Ar. As conclusões sobre os equilíbriuos em Ar

continuam válidas, porém estes são transladados uma vez em que devem começar e terminar emeixos diferentes do plano de fase de (2.8.4). Mais ainda, agora as soluções constantes φ+ ≡+1e φ− ≡ −1 são equilíbrios de (5.0.2). Novamente, o atrator global Ar é dado pela variedadeinstável dos equilíbrios do sistema, uma vez em que o semigrupo gerado é gradiente.

Lembramos que equilíbrios de (5.0.2) também possuem energia E, definida como abaixo,constante

E(u,ux) =u2

x2+

u2

2− u4

4. (5.0.3)

Da simetria do sistema, e do cálculo do ‘tempo’ x(E) feito em (2.8.6), sempre que nx(E) = r,n ∈ N, existe um equilíbrio com com energia E do problema (5.0.2) em Ωr.


5.1 A semicontinuidade superior de atratores globaisNesta seção provamos que os atratores Ar e AR descritos na seção anterior se comportam

de forma semicontínua superior. Baseamos nosso trabalho no artigo (MIELKE, 1997), em que oautor desenvolve a semicontinuidade superior para uma classe de equações de Ginzburg-Landauum tanto semelhante com o nosso caso.

Introduzimos uma função peso que funciona também como uma função de corte, paracompararmos as funções definidas em toda reta apenas nos intervalos Ωr. Seja ρ* : R→ (0,∞) opeso auxiliar definido pondo

ρ*(x) =

ρ(x), se |x| ≤ r−1,

(r−|x|)p+2ρ(x), se |x| ∈ (r−1,r],

0, caso contrário.

(5.1.1)

É fácil verifcar que a derivada de ρ* satisfaz

∂ρ*(x)ρ*(x)

≤ ρ0 +(p+2)χ(r−1,r)(|x|)

r−|x|, para x ∈ (−r,r), (5.1.2)

em que χ(a,b) : R→ 0,1 denota a função característica do intervalo (a,b), a,b ∈ R, isto éχ(a,b)(s) = 1, se a < s < b, e χ(a,b)(s) = 0, caso contrário.

Nosso objetivo é estabelecer o teorema:

Teorema 5.1.1. Com as notações acima, vale que

distρ*(Ar,AR)→ 0 quando r→ ∞, (5.1.3)

em que distρ*(A,B) é a semidistância de Hausdorff usual com a seminorma

‖u‖p,ρ* :=(∫

R|u(x)|pρ*(x)dx

) 1p

.

Observação 5.1.2. O espaço Lpρ*(Ω) não é um espaço de Banach nem a função auxiliar ρ*

definida é um peso propriamente dito, uma vez que assume valores nulos. Contudo esta éjustamente a sua importância, nos permite comparar funções definidas em domínios diferentes.

Demonstração. Começamos estimando a diferença de soluções de (5.0.1) e (5.0.2) na norma deLp em Ωr com o peso auxiliar ρ*.

Denotaremos por u1(t) = Tr(t)u0 a solução de (5.0.2) com condições iniciais u0 ∈W 1,p

N (Ωr)∩W 2,p(Ωr) e por u2(t) = TR(t)v0 a solução de (5.0.1) com condições iniciais v0 ∈W s,p

U (Rn). Seja w(t) := u2(t)−u1(t). Observamos que, para x ∈ (−r,r) temos

wt = wxx +w− (u1 +w)3 +u13.

5.1. A semicontinuidade superior de atratores globais 109

Multiplicando por w|w|p−2 obtemos

1p

ddt|w|p = wxxw|w|p−2 + |w|p +w|w|p−2 (−(u1 +w)3 +u1

3) . (5.1.4)

Note que −w|w|p−2((u1 +w)3 +wu13) = |w|p(−w2− 3wu1− 3u1

2). Maximizando aparábola em u1 segue que

−w|w|p−2 ((u1 +w)3 +u13)≤ −wp+2

4.

Multiplicando (5.1.4) por ρ* e integratando sobre R, temos

1p

ddt‖w‖p

p,ρ* ≤∫R

wxxw|w|p−2ρ*dx+‖w‖p

p,ρ*−14‖w‖p+2

p+2,ρ* .

O primeiro termo da desigualdade pode ser estimado integrando por partes, daí∫R

wxxw|w|p−2ρ*dx =

∫R

[−(p−1)wx

2|w|p−2ρ*−wx|w|p−2

∂xρ*]

dx.

Já o segundo termo, maximizamos a parábola em wx para obtermos

−(p−1)wp−2ρ*ξ

2−wp−1∂xρ*ξ ≤

w2(p−1)∂xρ2*

4(p−1)wp−2ρ*.

Logo∫R

wxxw|w|p−2ρ*dx≤ 1

4(p−1)

∫R|w|pρ*

|∂xρ*|2

ρ*2dx

≤ρ2

02(p−1)

∫R|w|pρ*dx+

(p+2)2

2(p−1)

∫R

χ(r−1,r)(|x|)|w|pρ*

(r−|x|)2 dx

≤ρ2

02(p−1)

‖w‖pp,ρ*+

(p+2)2

2(p−1)‖w‖p

p+2,ρ*

(∫R

χ(r−1,r)ρ*

(r−|x|)p+2 dx) 2

p+2

≤ρ2

02(p−1)

‖w‖pp,ρ*+

14‖w‖p+2

p+2,ρ*+C(p)∫|x|≥r−1

ρ(x)dx.

Portanto,

1p

ddt‖w‖p

p,ρ* ≤(

1+ρ2

02(p−1)

)‖w‖p

p,ρ*+C(p)∫|x|≥r−1

ρ(x)dx. (5.1.5)

Como ρ ∈ L1(R) a integral∫|x|≥r ρ(x)dx é finita para cada r > 0. Aplicando a desigual-

dade de Gronwall em (5.1.5), obtemos

‖u2(t)−u1(t)‖p,ρ* ≤ eC(p)t(‖u2(0)−u1(0)‖p,ρ*+C(p)C1/p

*)

(5.1.6)

em que C* =∫|x|≥r−1 ρ(x)dx e C(p) é uma constante que depende apenas de p.


Com a estimativa acima somos capazes de finalizar a demonstração do teorema.

Fixemos r > 0 e seja u0 ∈Ar. Sabemos que Ar é invariante, logo para todo t > 0 existeu−t ∈Ar para o qual Tr(t)u−t = u0. Daí,

distρ*(u0,AR)≤ ‖Tr(t)u−t−TR(t)Eu−t‖p,ρ*+distρ*(TR(t)Eu−t ,AR), (5.1.7)

em que E : W 1,pN (−r,r)∩W 2,p(−r,r)→ W 2,p

U (Rn), um operador extensão, definido de tal formaque Eu seja periódica com periódo no máximo 2r.

Como sabemos da existência de um conjunto que absorve conjuntos limitados por (5.0.1)(mais precisamente B = u ∈ W s,p

U (Rn);‖u‖L∞(R) ≤ 2 absorve conjuntos limitados sob ação deTR em Lp

ρ(Rn), veja, por exemplo, (ARRIETA et al., 2007, Lemma 2.7)), estimamos o segundotermo da desigualdade anterior pela atração de EAr ⊂ B ⊂ W s,p

U (Rn) por AR. De (5.1.6),‖Tr(t)u−t−TR(t)Eu−t‖p,ρ* ≤C eCt C*, pois as condições iniciais coincidem em Ωr. Lembramosque t é arbitrário, logo podemos tomar um ótimo que minimize o lado direito da equação. Assim,

distρ*(u0,AR)≤mint∈R

CeCtC*+distρ*(TR(t)B,AR)

. (5.1.8)

Ainda mais, quando r → ∞ a integral de ρ(x) tende a zero, pois ρ é positiva e ρ ∈ L1(R),consequentemente C*→ 0 quando r→ ∞. Portanto o lado direito de (5.1.8) tende a zero quandor→ ∞.

Demonstramos então o Teorema 5.1.1, uma vez em que a escolha de u0 ∈Ar foi arbitrária.

5.2 Sobre a semicontinuidade inferior

Nesta seção vamos discutir a semicontinuidade inferior dos atratores globais, tratandoos novos avanços no assunto e os passos que não fomos capazes de resolver, por questões degrau de dificuldade de análise e tempo, que completariam a análise possivelmente chegando aum resultado positivo. Em (MIELKE, 1997), o autor deixa apenas uma conjectura de que sejaverdadeira a semicontinuidade inferior do sistema Ginzburg-Landau trabalhado por ele.

A semicontinuidade inferior é particularmente mais difícil de ser obtida nos sistemasdinâmicos. Resultados que envolvem tal semicontinuidade necessitam um amplo conhecimentodo atrator global do problema limite, como pode ser visto nos resultados da Seção 2.2. Noscasos em que o semigrupo limite é de tipo gradiente e as perturbações são pequenas, mesmo quenão autônomas, podemos afirmar que há semicontinuidade inferior. Um importante resultadoneste sentido supõe que o atrator global limite é dado pela união das variedades instáveis deseus finitos equilíbrios, existem também generalizações para quando o conjunto de equilíbrios éenumerável, porém em ambos casos é suposto que o conjunto de equilíbrios e suas variedadesinstáveis se comportam continuamente.

5.2. Sobre a semicontinuidade inferior 111

O problema limite em R possui algumas patalogias. A princípio há um contínuo deequilíbrios, uma vez em que cada translação de um equilíbrio em AR é também um equilíbrio dosistema. Portanto não é possível obter semicontinuidade inferior apenas com problemas do tipo(5.0.2) postos no domínio Ωr, r > 0, que são intervalos centrados na origem.

Para ser um pouco mais específico na comparação com o caso dos domínios limitados,seja E0 ∈ (0,1/4) e x(E0) como em (2.8.6). Consideramos o subconjunto da reta

R(E0) := x(E0) j : j ∈ N.

É claro que R(E0) é enumerável e notemos que existe um equilíbrio u* de (5.0.2) em Ωr comenergia E(u*) = E0 se, e somente se, r ∈ R(E0). Conforme variamos r, vemos que os equilíbriosque possuem energia E0 em diferentes domínios Ωr compartilham o mesmo traço no plano defase de (2.8.4).

Também sabemos que u* possui j− 1 zeros em (−r,r) e eles são dados por xk =

2x(E0)k− r, k = 1,2, . . . , j− 1. Notemos que se j ∈ N é par, digamos j = 2m, m ∈ N, entãoxm = 2x(E0)m− r = x(E0) j− r = 0, consequentemente u*(0) = 0. Se j é ímpar, então u*(0) =±u0, onde u0 é dado pelas raízes do polinômio 2E0 +u2

0−u40/2 = 0, e ∂xu*(0) = 0, isto é, u*

atinge um máximo ou mínimo local em 0. Isto significa, dentre outras coisas, que o valor doequilíbrio em x = 0 está preso a um subconjunto finito de possíveis valores.

Disto concluímos que de todas as translações dos equilíbrios que possuem mesmonível de energia E0 em R, apenas quatro deles (considerando a simetria do sistema) possuemrepresentante na família de equilíbrios dos domínios limitados.

−x(E)

x(E)

−1

1

−2x(E) 2x(E)

−3x(E)

−x(E)

x(E)

3x(E)

Figura 4 – Gráficos de equilíbrios com mesmo valor de E, porém diferentes domínios

A fim de superar este obstáculo trabalharemos com problemas do tipo (5.0.2) porémincluindo domínios transladados, mais precisamente, dados r > 0 e y ∈ R, consideramos o


problema ut−uxx = u−u3, em (−r− y,r− y)

ux(t,−r− y) = ux(t,r− y) = 0u(0,x) = u0(x).

(5.2.1)

Equilíbrios do problema (5.2.1) também têm as mesmas propriedades discutidas anteri-ormente quando o domínio é Ωr. A única diferença é que agora os equilíbrios estão transladadosem x.

Lema 5.2.1. Se denotamos por ER o conjunto dos equilíbrios de (5.0.1) em AR e seja

E *R := u* ∈ ER : u* é periódico,

o conjunto dos equilíbrios periódios em R. Então vale que

E *R|Ωs =⋃

y∈R

⋃r>s

τyEr|Ωs. (5.2.2)

Isto é, dado equilíbrio periódico u* em E *R e s > 0, encontramos um y ∈ R e um r grande osuficiente, de modo que existe um equilíbrio u = u(u*,y,r,s) de (5.2.1), tal que as restrições deambos coincidem em Ωs.

Demonstração. Dado um equilíbrio periódico u* em AR, isto é, E(u*) ∈ (0,1/4), vamos criaruma sequência de equilíbrios do problema nos domínios limitados tal que a sequência coincidecom u* para qualquer intervalo limitado (−s,s), s > 0.

Fixemos u* ∈ E *R e s > 0 e denotemos por u0 := u*(0) ∈ (−1,1). Seja jn, n ∈ N,uma sequência de naturais com jn

n→∞−→ ∞. Para n suficientemente grande, seja rn := 2 jnx(E0),de modo que rn > s+ 2x(E0). Logo existe equilíbrio un

* em Ωrn com energia E0, mais aindaun*(0) = 0.

Definamos y := minx ≥ 0;u*(x) = 0. Afirmamos que τ−yun*(x) =±u*(x), para todo

x ∈Ωs. De fato, ambos possuem o mesmo nível de energia e mesmo traço no plano de fase de(2.8.4). Pela escolha de y, temos τyu*(0) = 0 = un

*(0) e, dessa forma, há apenas duas alternativas:ou τyu*(x) = un

*(x) ou τyu*(x) =−un*(x), concluindo nossa afirmação.

A fim de escolher a sequência que coincide com u* em Ωs, prosseguimos da seguintemaneira: se o primeiro acontece não há o que fazer, caso τyu*(x) = −un

*(x), renomeamos on-ésimo termo da sequência substituindo-o por un

* :=−un*,. Garantimos assim que a igualdade

das restrições sempre ocorre. Em outras palavras, u*(x) = τyun*(x), para x ∈ Ωs, como era

desejado.

Acima, escolhemos um equilíbrio periódico arbitrário de AR e mostramos que existemy ∈ R e equilíbrios de Ar que, transladados por y, coincidem quando restritos a um domíniolimitado Ωs, para s > 0 arbitrário.

5.2. Sobre a semicontinuidade inferior 113

Com isso nós demonstramos a semicontinuidade da família de equilíbrios Er e ER comexceção dos equilíbrios com energia E(u*) = 1/4. Estes equilíbrios não são periódicos e nãoestão presentes nos atratores do caso dos domínios limitados. Suas trajetórias conectam osequilíbrios −1 a +1 (ou vice-versa), isto é,

limx→−∞

u*(x) =−1 e limx→∞

u*(x) = 1. (5.2.3)

No lema a seguir demonstraremos a semicontinuidade inferior para pontos de equilíbrio dessetipo.

Lema 5.2.2. Com as notações adotadas neste capítulo, seja u* um equilíbrio em AR comE(u*) = 1/4. Existe uma sequência de equilíbrios un

* em Ern , com rn→ ∞, tal que

‖u*−un*‖p,ρ* → 0, quando n→ ∞, (5.2.4)

em que ρ* é um peso auxiliar definido como em (5.1.7).

Demonstração. Assumiremos, sem perda de generalidade, que vale (5.2.3) e que u*(0) = 0.Construiremos, então, uma sequência de equilíbrios un

* em Ern , com rn→ ∞, tal que

‖u*−un*‖p,ρ* → 0, quando n→ ∞. (5.2.5)

Abusaremos das propriedades do sistema (2.8.4). Sabemos que u* é solução para oproblema de Cauchy

uxx =−u+u3, (5.2.6)

com condições iniciais u(0) = 0

ux(0) =√

22

(5.2.7)

Seja ε > 0 e consideremos vε a solução de (5.2.6) com condições iniciais dadas porv(0) = 0

vx(0) =√

2(1−ε)2

(5.2.7.ε)

Observemos que conforme ε → 0, a energia dos equilíbrios E(uε)→ E(u*).

Seja δ > 0 dado. Denotamos por r(ε), o primeiro zero de ∂xvε(x). Portanto, da fórmulade energia (2.8.5), sabemos que vε(r(ε)) =

√1−√

ε . Observamos também que, quando ε → 0,temos

∙ r(ε)→ ∞;

∙ vε(r(ε))→ 1; e

∙ u*(r(ε))→ 1.


Dessa maneira, seja ε1 > 0 tal que para 0 < ε < ε1

|1−u*(r(ε))|<δ

2e |1− vε(r(ε))|<

δ

2. (5.2.8)

Consequentemente, para 0 < ε < ε1, temos |u*(r(ε))− vε(r(ε))|< δ .

Sabemos que u* é crescente em x (∂xu* é estritamente positiva), logo seja x > 0, tal queu*(x)> 1−δ/4, para qualquer x≥ x.

Da continuidade dos dados iniciais, seja ε2 > 0 escolhido de forma que para 0 < ε < ε2,tenhamos

supx∈[0,x]

|u*(x)− vε(x)|< δ/4. (5.2.9)

De (5.2.9) temos |u*(x)− vε(x)|< δ/4. Daí, para x ∈ [x,r(ε)],

|u*(x)− vε(x)| ≤ |1−u(x)|+ |1− vε(x)| ≤δ

4+

δ

2< δ . (5.2.10)

O que concluímos das estimativas anteriores é que existe uma sequência de equilíbriosno atrator global Ar que converge para o equilíbrio AR que conecta os equilíbrios constantes ±1na norma de Lp

ρ*(R), uma vez que, devido a (5.2.8) e (5.2.10)

‖u*− vε‖pp,ρ* =

∫R|u*(x)− vε(x)|pρ*(x)dx

≤∫

Ωr(ε)

|u*(x)− vε(x)|pρ(x)dx

≤∫

Ωr(ε)

δpρ(x)dx,

para qualquer ε ∈ (0,minε1,ε2).

Unindo os Lemas 5.2.1 e 5.2.2, provamos:

Teorema 5.2.3. Utilizando a nomenclatura e hipóteses acima, vale

distρ* (ER,Er)→ 0, quando r→ ∞. (5.2.11)

O que é um resultado equivalente ao resultado obtido na seção anterior sobre semiconti-nuidade superior, exceto que aqui estamos tratando apenas dos equilíbrios do sistema.

A pergunta que nos falta responder é: vale o mesmo para Ar e AR? Para respondê-la devemos caracterizar o atrator global AR, mais precisamente, precisamos caracterizar asvariedades instáveis de cada equilíbrio u* ∈ ER. Naturalmente, uma solução ϕ ∈W u(u*) ⊂AR deve ser uma heteroclínica conectando dois equilíbrios. Precisaríamos caracterizar quaisequilíbrios podem ser conectados por ϕ e a seguir obter uma sequência de soluções em Ar queconvirjam para ϕ no espaço de peso Lp

ρ*(R).

115

REFERÊNCIAS

ARAGÃO-COSTA, E. R.; CARABALLO, T.; CARVALHO, A. N.; LANGA, J. A. Stabilityof gradient semigroups under perturbations. Nonlinearity, v. 24, n. 7, p. 2099–2117, 2011.Disponível em: <http://stacks.iop.org/0951-7715/24/i=7/a=010>. Citado 3 vezes nas páginas17, 28 e 90.

. Continuity of lyapunov functions and of energy level for a generalized gradient semigroup.Topol. Methods Nonlinear Anal., Nicolaus Copernicus University, Juliusz P. Schauder Centrefor Nonlinear Studies, v. 39, n. 1, p. 57–82, 2012. Disponível em: <http://projecteuclid.org/euclid.tmna/1461184854>. Citado na página 28.

. Non-autonomous morse-decomposition and lyapunov functions for gradient-like processes.Transactions of the American Mathematical Society, v. 365, n. 10, p. 5277–5312, 2013.ISSN 0002-9947. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2013-05810-2#sthash.hdAKBSH8.dpuf>. Citado na página 28.

ARRIETA, J. M.; CHOLEWA, J. W.; DLOTKO, T.; RODRÍGUEZ-BERNAL, A. Asymptoticbehavior and attractors for reaction diffusion equations in unbounded domains. NonlinearAnalysis: Theory, Methods and Applications, v. 56, n. 4, p. 515 – 554, 2004. ISSN 0362-546X. Disponível em: <http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0362546X03003808>.Citado na página 41.

. Linear parabolic equations in locally uniform spaces. Mathematical Models andMethods in Applied Sciences, v. 14, n. 02, p. 253–293, 2004. Disponível em: <http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218202504003234>. Citado 2 vezes nas páginas 41e 47.

. Dissipative parabolic equations in locally uniform spaces. Mathematische Nachrichten,WILEY-VCH Verlag, v. 280, n. 15, p. 1643–1663, 2007. ISSN 1522-2616. Disponível em:<http://dx.doi.org/10.1002/mana.200510569>. Citado 3 vezes nas páginas 41, 105 e 110.

ARRIETA, J. M.; RODRÍGUEZ-BERNAL, A.; VALERO, J. Dynamics of a reaction–diffusionequation with a discontinuous nonlinearity. International Journal of Bifurcation and Chaos,v. 16, n. 10, p. 2965–2984, 2006. Disponível em: <http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218127406016586>. Citado 6 vezes nas páginas 82, 99, 100, 101, 102 e 103.

AUBIN, J.; CELLINA, A. Differential Inclusions: Set-Valued Maps and Viability Theory.Springer Berlin Heidelberg, 2012. (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). ISBN9783642695124. Disponível em: <https://books.google.com.br/books?id=rVnsCAAAQBAJ>.Citado 2 vezes nas páginas 50 e 52.

AUBIN, J.; FRANKOWSKA, H. Set-Valued Analysis. Birkhäuser Boston, 2009. (ModernBirkhäuser Classics). ISBN 9780817648480. Disponível em: <https://books.google.com.br/books?id=cVUl3smcGlcC>. Citado na página 50.

http://stacks.iop.org/0951-7715/24/i=7/a=010

http://projecteuclid.org/euclid.tmna/1461184854

http://projecteuclid.org/euclid.tmna/1461184854

http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2013-05810-2#sthash.hdAKBSH8.dpuf

http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2013-05810-2#sthash.hdAKBSH8.dpuf

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0362546X03003808

http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218202504003234


http://dx.doi.org/10.1002/mana.200510569



https://books.google.com.br/books?id=rVnsCAAAQBAJ

https://books.google.com.br/books?id=cVUl3smcGlcC

https://books.google.com.br/books?id=cVUl3smcGlcC

116 Referências

BABIN, A.; VISHIK, M. Attractors of Evolution Equations. Elsevier Science, 1992. (Studiesin Mathematics and its Applications). ISBN 9780080875460. Disponível em: <https://books.google.com.br/books?id=6i2ztf8Op5AC>. Citado 3 vezes nas páginas 18, 20 e 25.

BALL, M. J. Continuity properties and global attractors of generalized semiflows and the navier-stokes equations. Journal of Nonlinear Science, v. 7, n. 5, p. 475–502, 1997. ISSN 1432-1467.Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1007/s003329900037>. Citado 2 vezes nas páginas 52e 54.

BILLOTTI, J. E.; LASALLE, J. P. Dissipative periodic processes. Bull. Amer. Math. Soc.,American Mathematical Society, v. 77, n. 6, p. 1082–1088, 11 1971. Disponível em: <http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183533199>. Citado na página 20.

BORTOLAN, M.; CARABALLO, T.; CARVALHO, A.; LANGA, J. Skew product semi-flows and morse decomposition. Journal of Differential Equations, v. 255, n. 8, p. 2436 –2462, 2013. ISSN 0022-0396. Disponível em: <http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022039613002660>. Citado na página 38.

BORTOLAN, M.; CARVALHO, A.; LANGA, J. Structure of attractors for skew product se-miflows. Journal of Differential Equations, v. 257, n. 2, p. 490–522, 2014. ISSN 0022-0396.Disponível em: <http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022039614001521>. Ci-tado 3 vezes nas páginas 18, 38 e 61.

CARABALLO, T.; JARA, J. C.; LANGA, J. A.; LIU, Z. Morse decomposition of attractorsfor non-autonomous dynamical systems. Advanced Nonlinear Studies, v. 13, n. 2, p. 309–329, 2013. ISSN 2169-0375. Disponível em: <www.degruyter.com/view/j/ans.2013.13.issue-2/ans-2013-0204/ans-2013-0204.xml>. Citado 5 vezes nas páginas 17, 62, 72, 75 e 91.

CARABALLO, T.; JARA, J. C.; LANGA, J. A.; VALERO, J. Morse decomposition of glo-bal attractors with infinite components. Discrete and Continuous Dynamical Systems, v. 35,n. 7, p. 2845–2861, 2015. ISSN 1078-0947. Disponível em: <http://aimsciences.org/journals/displayArticlesnew.jsp?paperID=10778>. Citado 4 vezes nas páginas 17, 91, 94 e 103.

CARABALLO, T.; MARÍN-RUBIO, P.; ROBINSON, J. C. A comparison between twotheories for multi-valued semiflows and their asymptotic behaviour. Set-Valued Analysis,v. 11, n. 3, p. 297–322, 2003. ISSN 1572-932X. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1023/A:1024422619616>. Citado 2 vezes nas páginas 52 e 72.

CARVALHO, A.; LANGA, J.; ROBINSON, J. Attractors for infinite-dimensional non-autonomous dynamical systems. Springer New York, 2012. (Applied Mathematical Sci-ences). ISBN 9781461445814. Disponível em: <https://books.google.com.br/books?id=1VVJAAAAQBAJ>. Citado 8 vezes nas páginas 20, 22, 23, 25, 28, 32, 68 e 72.

CARVALHO, A. N.; LANGA, J. A. Non-autonomous perturbation of autonomous semilineardifferential equations: Continuity of local stable and unstable manifolds. Journal of DifferentialEquations, v. 233, n. 2, p. 622 – 653, 2007. ISSN 0022-0396. Disponível em: <http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022039606003287>. Citado 2 vezes nas páginas 25e 78.

. An extension of the concept of gradient semigroups which is stable under perturbation.Journal of Differential Equations, v. 246, n. 7, p. 2646 – 2668, 2009. ISSN 0022-0396. Dispo-nível em: <http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022039609000254>. Citado 2vezes nas páginas 17 e 81.

https://books.google.com.br/books?id=6i2ztf8Op5AC

https://books.google.com.br/books?id=6i2ztf8Op5AC

http://dx.doi.org/10.1007/s003329900037

http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183533199


http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022039613002660



www.degruyter.com/view/j/ans.2013.13.issue-2/ans-2013-0204/ans-2013-0204.xml

www.degruyter.com/view/j/ans.2013.13.issue-2/ans-2013-0204/ans-2013-0204.xml

http://aimsciences.org/journals/displayArticlesnew.jsp?paperID=10778


http://dx.doi.org/10.1023/A:1024422619616

http://dx.doi.org/10.1023/A:1024422619616

https://books.google.com.br/books?id=1VVJAAAAQBAJ

https://books.google.com.br/books?id=1VVJAAAAQBAJ




Referências 117

CARVALHO, A. N.; LANGA, J. A.; ROBINSON, J. C. On the continuity of pullback attractorsfor evolution processes. Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, v. 71, n.5–6, p. 1812 – 1824, 2009. ISSN 0362-546X. Disponível em: <http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0362546X09000224>. Citado 3 vezes nas páginas 25, 32 e 73.

CARVALHO, A. N.; LANGA, J. A.; ROBINSON, J. C.; SUÁREZ, A. Characterization ofnon-autonomous attractors of a perturbed infinite-dimensional gradient system. Journal ofDifferential Equations, v. 236, n. 2, p. 570 – 603, 2007. ISSN 0022-0396. Disponível em:<http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022039607000332>. Citado na página 22.

CHAFEE, N.; INFANTE, E. F. A bifurcation problem for a nonlinear partial differential equationof parabolic type. Applicable Analysis, v. 4, n. 1, p. 17–37, 1974. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1080/00036817408839081>. Citado na página 18.

CHEBAN, D. N.; KLOEDEN, P. E.; SCHMALFUSS, B. The relationship between pullback,forward and global attractors of nonautonomous dynamical systems. Nonlinear Dynamics andSystems Theory, v. 2, n. 2, p. 9–28, 2002. Disponível em: <http://www.e-ndst.kiev.ua/v2n2/2.pdf>. Citado na página 22.

CHEPYZHOV, V. V.; VISHIK, M. I. Attractors for equations of mathematical physics. [S.l.]:American Mathematical Society Providence, RI, USA, 2002. v. 49. Citado 2 vezes nas páginas39 e 72.

CHOLEWA, J.; DLOTKO, T.; SOCIETY, L. M. Global Attractors in Abstract ParabolicProblems. Cambridge University Press, 2000. (Lecture note series / London mathematicalsociety). ISBN 9780521794244. Disponível em: <https://books.google.com.br/books?id=B\_rA7OMKIh4C>. Citado na página 20.

CHOLEWA, J. W.; RODRÍGUEZ-BERNAL, A. Extremal equilibria for dissipative parabolicequations in locally uniform spaces. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences,v. 19, n. 11, p. 1995–2037, 2009. Disponível em: <http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218202509004029>. Citado 2 vezes nas páginas 41 e 105.

CHOLEWA, W. J.; DLOTKO, T. Cauchy problems in weighted lebesgue spaces. CzechoslovakMathematical Journal, v. 54, n. 4, p. 991–1013, 2004. ISSN 1572-9141. Disponível em:<http://dx.doi.org/10.1007/s10587-004-6447-z>. Citado na página 106.

CONLEY, C. C. Isolated invariant sets and the Morse index. [S.l.]: American MathematicalSoc., 1978. Citado 2 vezes nas páginas 17 e 28.

COSTA, H. B. da; VALERO, J. Morse decompositions and lyapunov functions for dynamicallygradient multivalued semiflows. Nonlinear Dynamics, v. 84, n. 1, p. 19–34, 2016. ISSN 1573-269X. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1007/s11071-015-2193-z>. Citado 2 vezes naspáginas 55 e 81.

. Morse decompositions with infinite components for multivalued semiflows. Set-Valuedand Variational Analysis, p. 1–17, 2016. ISSN 1877-0541. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1007/s11228-016-0363-x>. Citado na página 81.

HALE, J. Asymptotic Behavior of Dissipative Systems. American Mathematical Society, 2010.(Mathematical Surveys and Monographs). ISBN 9780821849347. Disponível em: <https://books.google.com.br/books?id=A5SiAgAAQBAJ>. Citado 2 vezes nas páginas 25 e 28.




http://dx.doi.org/10.1080/00036817408839081

http://dx.doi.org/10.1080/00036817408839081

http://www.e-ndst.kiev.ua/v2n2/2.pdf

http://www.e-ndst.kiev.ua/v2n2/2.pdf

https://books.google.com.br/books?id=B\_rA7OMKIh4C

https://books.google.com.br/books?id=B\_rA7OMKIh4C



http://dx.doi.org/10.1007/s10587-004-6447-z

http://dx.doi.org/10.1007/s11071-015-2193-z

http://dx.doi.org/10.1007/s11228-016-0363-x

http://dx.doi.org/10.1007/s11228-016-0363-x

https://books.google.com.br/books?id=A5SiAgAAQBAJ

https://books.google.com.br/books?id=A5SiAgAAQBAJ

118 Referências

HALE, J.; MAGALHAES, L.; OLIVA, W. An Introduction to Infinite Dimensional Dy-namical Systems - Geometric Theory. Springer New York, 2013. (Applied MathematicalSciences). ISBN 9781475744934. Disponível em: <https://books.google.com.br/books?id=oAHqBwAAQBAJ>. Citado na página 20.

HALE, J. K.; LIN, X.-B.; RAUGEL, G. Upper semicontinuity of attractors for approximationsof semigroups and partial differential equations. Mathematics of Computation, AmericanMathematical Society, v. 50, n. 181, p. 89–123, 1988. ISSN 00255718, 10886842. Disponívelem: <http://www.jstor.org/stable/2007916>. Citado na página 25.

HALE, J. K.; RAUGEL, G. Lower semicontinuity of attractors of gradient systems and ap-plications. Annali di Matematica Pura ed Applicata, v. 154, n. 1, p. 281–326, 1989. ISSN1618-1891. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1007/BF01790353>. Citado na página 25.

KAPUSTYAN, A. V.; PANKOV, A. V.; VALERO, J. On global attractors of multiva-lued semiflows generated by the 3d bénard system. Set-Valued and Variational Analysis,v. 20, n. 3, p. 445–465, 2012. ISSN 1877-0541. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1007/s11228-011-0197-5>. Citado na página 52.

KAPUSTYAN, O. V.; KASYANOV, P. O.; VALERO, J. Structure and regularity of the globalattractor of a reaction-diffusion equation with non-smooth nonlinear term. Discrete and Conti-nuous Dynamical Systems, v. 34, n. 10, p. 4155–4182, 2014. ISSN 1078-0947. Disponível em:<http://aimsciences.org/journals/displayArticlesnew.jsp?paperID=9809>. Citado na página 52.

KLOEDEN, P.; RASMUSSEN, M. Nonautonomous Dynamical Systems. American Mathema-tical Society, 2011. (Mathematical surveys and monographs). ISBN 9780821868713. Disponívelem: <https://books.google.com.br/books?id=ByCCAwAAQBAJ>. Citado 2 vezes nas páginas62 e 72.

KLOEDEN, P. E. Pullback attractors in nonautonomous difference equations. Journal ofDifference Equations and Applications, v. 6, n. 1, p. 33–52, 2000. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1080/10236190008808212>. Citado na página 22.

. Pullback attractors of nonautonomous semidynamical systems. Stochastics and Dyna-mics, v. 03, n. 01, p. 101–112, 2003. Disponível em: <http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0219493703000632>. Citado na página 72.

LADYZHENSKAYA, O. Attractors for Semi-groups and Evolution Equations. CambridgeUniversity Press, 1991. (Lezioni Lincee). ISBN 9780521399227. Disponível em: <https://books.google.com.br/books?id=b\_I6AAAAIAAJ>. Citado na página 20.

LI, D. Morse decompositions for general dynamical systems and differential inclusions withapplications to control systems. SIAM Journal on Control and Optimization, v. 46, n. 1, p. 35–60, 2007. ISSN 03630129. Disponível em: <http://search-ebscohost-com.ez67.periodicos.capes.gov.br/login.aspx?direct=true&db=iih&AN=24818201&lang=pt-br&site=ehost-live>. Citado 3vezes nas páginas 18, 55 e 82.

LI, D.; KLOEDEN, P. E. Equi-attraction and the continuous dependence of pullback attractorson parameters. Stochastics and Dynamics, v. 04, n. 03, p. 373–384, 2004. Disponível em:<http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0219493704001061>. Citado 3 vezes naspáginas 32, 72 e 73.

https://books.google.com.br/books?id=oAHqBwAAQBAJ

https://books.google.com.br/books?id=oAHqBwAAQBAJ

http://www.jstor.org/stable/2007916

http://dx.doi.org/10.1007/BF01790353

http://dx.doi.org/10.1007/s11228-011-0197-5

http://dx.doi.org/10.1007/s11228-011-0197-5


https://books.google.com.br/books?id=ByCCAwAAQBAJ

http://dx.doi.org/10.1080/10236190008808212

http://dx.doi.org/10.1080/10236190008808212



https://books.google.com.br/books?id=b\_I6AAAAIAAJ

https://books.google.com.br/books?id=b\_I6AAAAIAAJ

http://search-ebscohost-com.ez67.periodicos.capes.gov.br/login.aspx?direct=true&db=iih&AN=24818201&lang=pt-br&site=ehost-live

http://search-ebscohost-com.ez67.periodicos.capes.gov.br/login.aspx?direct=true&db=iih&AN=24818201&lang=pt-br&site=ehost-live


Referências 119

MIELKE, A. The complex Ginzburg-Landau equation on large and unbounded domains: sharperbounds and attractors. Nonlinearity, v. 10, n. 1, p. 199–222, 1997. Disponível em: <http://stacks.iop.org/0951-7715/10/i=1/a=014>. Citado 3 vezes nas páginas 41, 108 e 110.

PATRÃO, M. Morse decomposition of semiflows on topological spaces. Journal of Dynamicsand Differential Equations, v. 19, n. 1, p. 181–198, 2007. ISSN 1572-9222. Disponível em:<http://dx.doi.org/10.1007/s10884-006-9033-2>. Citado na página 17.

ROBINSON, J. Infinite-Dimensional Dynamical Systems: An Introduction to DissipativeParabolic PDEs and the Theory of Global Attractors. Cambridge University Press, 2001.(Cambridge Texts in Applied Mathematics). ISBN 9780521632041. Disponível em: <https://books.google.com.br/books?id=3e4h1j9WNlwC>. Citado 2 vezes nas páginas 20 e 72.

RYBAKOWSKI, K. The Homotopy Index and Partial Differential Equations. Springer Ber-lin Heidelberg, 2012. (Universitext). ISBN 9783642728334. Disponível em: <https://books.google.com.br/books?id=6l7rCAAAQBAJ>. Citado 2 vezes nas páginas 17 e 28.

SACKER, R.; SELL, G. Lifting Properties in Skew-Product Flows with Applications toDifferential Equations. American Mathematical Society, 1977. (Memoirs Series). ISBN9780821821909. Disponível em: <https://books.google.com.br/books?id=0gjUCQAAQBAJ>.Citado na página 18.

SACKER, R. J.; SELL, G. R. Skew-product flows, finite extensions of minimal transformationgroups and almost periodic differential equations. Bull. Amer. Math. Soc., American Mathema-tical Society, v. 79, n. 4, p. 802–805, 07 1973. Disponível em: <http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183534771>. Citado na página 18.

SELL, G.; YOU, Y. Dynamics of Evolutionary Equations. Springer New York, 2013. (AppliedMathematical Sciences). ISBN 9781475750379. Disponível em: <https://books.google.com.br/books?id=Fq\_hBwAAQBAJ>. Citado 2 vezes nas páginas 18 e 38.

SELL, G. R. Nonautonomous differential equations and topological dynamics i. the basic theory.Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, v. 127,n. 2, p. 241–262, 1967. ISSN 00029947. Disponível em: <http://www.jstor.org/stable/1994645>.Citado na página 38.

TEMAM, R. Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. SpringerNew York, 2013. (Applied Mathematical Sciences). ISBN 9781461206453. Disponível em:<https://books.google.com.br/books?id=OB\_vBwAAQBAJ>. Citado na página 20.

TOLSTONOGOV, A. A.; UMANSKIÎ, Y. I. On solutions of evolution inclusions. ii. SiberianMathematical Journal, v. 33, n. 4, p. 693–702, 1992. ISSN 1573-9260. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1007/BF00971135>. Citado na página 50.

VALERO, J. Attractors of parabolic equations without uniqueness. Journal of Dynamics andDifferential Equations, v. 13, n. 4, p. 711–744, 2001. ISSN 1572-9222. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1023/A:1016642525800>. Citado 2 vezes nas páginas 50 e 101.

WANG, B. Attractors for reaction-diffusion equations in unbounded domains. Physica D:Nonlinear Phenomena, v. 128, n. 1, p. 41 – 52, 1999. ISSN 0167-2789. Disponível em:<http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0167278998003042>. Citado na página 41.



http://dx.doi.org/10.1007/s10884-006-9033-2

https://books.google.com.br/books?id=3e4h1j9WNlwC

https://books.google.com.br/books?id=3e4h1j9WNlwC

https://books.google.com.br/books?id=6l7rCAAAQBAJ

https://books.google.com.br/books?id=6l7rCAAAQBAJ

https://books.google.com.br/books?id=0gjUCQAAQBAJ



https://books.google.com.br/books?id=Fq\_hBwAAQBAJ

https://books.google.com.br/books?id=Fq\_hBwAAQBAJ

http://www.jstor.org/stable/1994645

https://books.google.com.br/books?id=OB\_vBwAAQBAJ

http://dx.doi.org/10.1007/BF00971135

http://dx.doi.org/10.1007/BF00971135

http://dx.doi.org/10.1023/A:1016642525800

http://dx.doi.org/10.1023/A:1016642525800


120 Referências

ZELIK, S. V. Attractors of reaction-diffusion systems in unbounded domains and their spatialcomplexity. Communications on Pure and Applied Mathematics, Wiley Subscription Servi-ces, Inc., A Wiley Company, v. 56, n. 5, p. 584–637, 2003. ISSN 1097-0312. Disponível em:<http://dx.doi.org/10.1002/cpa.10068>. Citado na página 41.

http://dx.doi.org/10.1002/cpa.10068

continuidade de atratores para sistemas dinâmicos

Documents