caos e sistemas dinâmicos

8/8/2019 Caos e sistemas dinmicos

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Caos e sistemas dinmicos

ISVOUGA 30 de Novembro 2010

J.A. Campos Neves

ndice

Conceitos base Sinais temporais e sua utilidade Transformadas

Sistemas caticos Casos reais

Nota prvia: Este trabalho baseiase numa linha de investigao conjunta, sendo

exposta uma parte do trabalho realizado, cujo link : http://paginas.fe.up.pt/~ee02208/

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Caos e Cosmos ? COSMOS :

.

CAOS: Vem tambm do grego, e o oposto a Cosmos,

significando desordem

filosficos, mas antes com a tentativa de se encontrarem modelos matemticos para certos comportamentos!

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Teoria do Caos A Teoria matemtica do caos visa explicar o

.

So considerados

sistemas

complexos

e

dinmicos

,

aqueles cujo comportamento podem ser instvel na sua evoluo temporal.

Esta instabilidade funo das suas variveis, que de forma aleatria provocam estados especficos.

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Sistemas informticos e registo de sries temporais

O desenvolvimento dos computadores e dos

capacidade de registo de dados discretizados. Desta forma a variao de uma grandeza no

tempo transformada numa srie de valores discretos, que nos permitem deduzir

grandeza. Falamos ento de sries temporais .

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Sistemas informticos e registo de sries temporais

Exemplos: Formalmente: Temperatura mdia Batimento cardaco Variaes bolsistas Caudais de rios Voz e sons

X N={x 1 ,x 2 ,x i ,x N }

O que se obtm pela discretizao ou seja

Outros.!

de impulsos pelo sinal.

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Discretizao

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Caudal mdio de um rio entre 1946 e 1999

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10

15

20

0

5

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Dow Jones [1980 a 2008] 5000

Dow Jones variao 23 12 1980 a 04 03 2008

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0

500

1000

1500

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Batimento cardaco

2.500

3.000

3.500

0

500

1.000

1.500

2.000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

2.500

3.000

3.500

0

500

1.000

1.500

2.000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

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Temperatura mdia do ar (Viana)

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Objectivos do estudo de sries temporais

Consideramse quatro objectivos no estudo de sries temporais, as quais esto associadas a processos:

Descrio obteno de indicadores primrios (mdias, mximos e

mnimos, moda, varincia, .) Explicao

construo de modelos que permitam a anlise da evoluo tem oral X = x, , z, w,

Previso prever valores futuros a partir de valores passados

Controlo Implementar mecanismos de controlo ou reaco

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Processos Processos determinsticos

valores futuros a partir dos valores passados

S ocorrem em casos muito controlados e onde nada muda, o que no possvel!

Processos dinmicos Ou processos estocsticos, ou aleatrios, so aqueles

onde valores futuros so apenas parcialmente

determinados a partir de valores passados! Logo, no se sabe (a priori)quando mudam e para

como mudam!

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Processos Dentro dos processos estocsticos temos os

processos estac on r os que apresentam um estado de equilbrio estatstico em torno de

um nvel mdio fixo, logo sem tendncia. Mas nem todos so assim, nem de forma

constante odem ou mudam .

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Processos de anlise H inmeras tcnicas para entender e

mo e ar processos a par r as suas s r es temporais.

Coeficiente de correlao amostral mede o grau de correlao, logo de similaridade.

Correlograma grfico que faz corresponder a

cada coeficiente de autocorrelao o seu desfasamento temporal

Outras.!

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Processos de anlise Espectro em sries temporais

ervese a rans orma o a s r e empora o domnio dos tempos para o das frequncias!

Na anlise em frequncia (anlise ou transformada de Fourier) procuramos analisar quais so as diferentes frequncias ou componentes peridicas que contribuem para a variabilidade da srie temporal.

No entanto apresentam tambm limites, sobretudo nos processos no determinsticos!

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Fourier significadoA partir de formas simples (de funes) podemos (re)construir um sinal/srie, ou saber como ele se decompe!

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Exemplos transformada de Fourier

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Transformada de Fourier

Extrado de: http://www.gearslutz.com

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Fourier aplicaes Filtragem no domnio das frequencias!

1(t)0(t)

Fourier

Transform

Inverse Fourier

Transform

| F 0(t) |

Filter

t t f

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Caos em Sistemas dinmicos Um sistema dinmico pode ser definido atravs

do seu estado ao longo do tempo. Podem ser classificados como:

Sistemas estveis convergem para um valor fixo. Sistemas peridicos oscilaes peridicas. Sistemas ruidosos im revisveis caracterizados or

flutuaes irregulares Sistemas caticos deterministicos comportamento

aperidico e imprevisvel! [Lorenz 1963]

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Representaes espao das fases sistema de coordenadas associado s variveis de

estado ue descrevem a dinmica dum sistema. Fundamentos

Sendo X(n)= {x(1),x(2),,x(i),} serie

e X(n+L )= {x(1+L ),x(2+L ),,x(i+L ),} Onde L o Tempo de atraso .

Podemos desta forma reconstruir a srie a partir de vectores de atraso em 2 ou mais dimenses, onde se evidenciam os estados do sistema.

Passamos a ter apenas os estados e no as variaes temporais !

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Como se obtm A partir de f(t), construmos um espao a N dimenses a partir dos vectores esfasados da srie temporal, ou seja X: f(i); Y: i+L

As formas que se obtm no Espao das fases sero objecto de estudo e permitem extrair algumas concluses de relevo.

L f(-)

f(i) f(i+L)i

f(i)

( + Return map

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Espao de fases Conceitos 1 Pontos fixos

= , = . Podese identificar trs tipos possveis de pontos fixos:

1. Pontos fixos

estveis:

atraem

as

trajectrias

prximas

a eles.

2. Pontos fixos instveis: repelem as trajectrias prximas a eles.

3. Pontos de sela: atraem as trajectrias provenientes numa direco mas repelem as trajectrias provenientes de outras direces.

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Espao de fases Conceitos 2 Atractor

espao de fases. Exemplos de atractores

Atractor Ponto fixo: sistemas estveis a representao no espao de fases converge ao longo do

tempo para um estado fixo. Atractor Ciclo limite: sistemas peridicos

a representao no espao de fases esta definida por uma , .

Atractor estranho: sistemas caticos a representao no espao de fases tem rbitas que nunca

repetem o mesmo caminho, mas so confinadas (atradas) a uma regio limitada do espao de fases.

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Exemplos de atractores

(3)

(1) f(x)= cos(x)

(1) (2)

(5)(5)rac or e orenz(3) Batimento cardiaco 1(4) Funo f(x)=sin(x)/x (5) f(x)= exp( x)*sin(x)

(4)

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Elementos base Esfasamento temporal (L)

O valor de L na obteno do espao das fases designase por esfasamento temporal.

A sua variao introduz variaes no espao das fases.

Domnio temporal Espao fases

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Elementos base Dimenso de imerso

o numero de dimenses para o espao de fases. o emos v sua zar a as mens es, mas n o ac ma sso. Em geral acima das 6 dimenses no obtemos grandes dados adicionais

Vrias dimenses de mergulho 2 dimens f(i) e f(i+L) 3 dimens f(i) , f(i+L) e f(i+2*L) 4 dimens f(i), f(i+L), e f(i+2*L) e f(i+3*L)

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Espao de fases utilizao Vrios autores tem tentado usar o espao de fases, com algum sucesso, para prever e antecipar

, ponto em que o sistema se encontra para outro.

As fases representam os estados do sistema.

O sinal rectangular com rudo apresenta 4 fases que correspondem s transies possveis de ocorrer, e que so visveis no espao das fases

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Espao de fases utilizao Outras ferramentas

Coeficientes de Liapunov Autocorrelao Informao mutua mdia Espectro de Fourier Dimenso de mer ulho fun o da necessidade Esfasamento temporal (sua variao)

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Casos de estudo Anlise de caudais de rios

A partir do espao das fases, e recorrendo a alguns parmetros descritores das fases e do seu contedo analisaram se o caudal de rios, a partir de dados recolhidos durante vrios anos.

Procurouse obter um modelo ou uma forma de entender o seu comportamento em virtude do valor acrescentado

em causa. uma rea de estudo de interesse!

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Casos de estudo Rio Guadiana: desde 31/10/1982 a 31/10/1997

Rio Lima: desde 01/10/1982 a 01/10/1989

Rio Mondego: de 10/1975 a 10/1990

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Casos de estudo Guadiana Anlise de caudais de rios Esfasamento de 1 dia

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Casos de estudo Guadiana

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Casos de estudo Guadiana Esfasamento a 204 dias

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Casos de estudo Lima Esfasamento temporal de 1 dia

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Casos de estudo Lima Esfasamento temporal de 96 dia

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Casos de estudo Lima Esfasamento temporal de 83 dias

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Outros casos aces bolsa Aces BCP/PSI20 de 01/01/2003 a 11/05/2009

Aces Brisa de 01/01/2003 a 11/05/2009

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Casos de estudo BCP Esfasamento 1 dia

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Casos de estudo BCP Esfasamento a 241 dias

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Casos de Estudo Brisa Esfasamento 1 dia

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Casos de Estudo Brisa Esfasamento de 396 dias

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Casos de Estudo Brisa Esfasamento de 104 dias

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Casos de Estudo SONAE Aces em bolsa entre 30/06/2000 e 11/05/2009

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Casos de Estudo SONAE Esfasamento de 1 dia

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Concluses da anlise da bolsa Alguns elementos extrados

a anlise de sries temporais de cotaes de ttulos na bolsa evidenciaram caractersticas gerais como uma forte dependncia entre valores consecutivos e o aparecimento de componentes de tendncia.

a evese a a gumas regras assoc a as compra a prazo de aces, mas tambm a comportamentos humanos

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Outros casos de estudo Estabilidade da rede elctrica HongKong Previso de comportamento cardaco Filtragem de sinais (em estudo embora

discutvel) Comportamentos sociais dinmicos Etc

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Para concluir Esta comea a ser uma rea de estudo, com interesse

crescente elo rau de iabilidade ue con ere s anlises, e pela viso geral que proporciona!

No entanto h ainda um longo caminho a percorrer!

NOTA: est disponvel uma biblioteca de funes para MATLAB, de uso livre no site referido na FEUP, onde alguns dos dados da apresentao esto acessveis.

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Questes?

Obrigado pela vossa ateno

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Referencias Phase Space Signal Filtering, IEEE, 2006, J.A.

ampos eves e ranc sco es vo Anlise de Sries Temporais Atravs de

Representaes do Espao de Fases; Richard Moiss Alves Pinto

computadores, FEUP, Junho 2009 http://paginas.fe.up.pt/~ee02208/

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