sistemas dinâmicos - ana mereu

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i

Notas de Aula Sistemas Dinmicos a III Escola de F sica Terica o

Ana Cristina de Oliveira Mereu [email protected]

19/07/2010 a 29 /07/2010

ii

INDICE

1 Aula 1 1.1 1.2 1.3 1.4 Introduao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Conceitos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Sistemas lineares planares e seus retratos de fase. . . . . . . . . . . . . . . . Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 3 11 13 13 13 13 13 15 17 18 19 19 21 21

2 Aula 2 2.1 Sistemas no lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.3 Teorema de Existncia e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Equil brios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estabilidade de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Linearizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca

Funoes Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Aula 3 3.1 Bifurcaoes de equil c brios de campos vetoriais. . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Aula 4 4.1 Campos Hamiltonianos I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

iv 4.2 Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 23 23 25 25 25 27 27

5 Aula 5 5.1 Campos Hamiltonianos II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Aula 6 6.1 Orbitas fechadas e conjuntos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Exerc cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Aula 7 7.1 Transformaao de Poincar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c e

CAP ITULO 1 AULA 1

1.1

Introduo ca

Um sistema dinmico um sistema caracterizado por estados que mudam com o tempo. a e So usados para modelar e fazer previses de sistemas f a o sicos, biolgicos, nanceiros, etc. o Dois principais tipos de sistemas dinmicos so encontrados em aplicaes: a a co 1. A varivel tempo discreta, t Z ou t N. Neste caso dizemos que o sistema dinmico a e a discreto e pode ser representado por iteraoes de uma funao, isto , e c c e xt+1 = f (xt ), t Z ou t N. (1.1)

2. A varivel tempo cont a e nua, t R. Neste caso as dinmicas so usualmente descritas a a por uma equaao diferencial c dx = x = X(x). dt (1.2)

Em (1.1) e (1.2) x representa o estado do sistema e assume valores no espao de fase ou c espao de estado. c Neste curso focaremos o estudo dos sistemas dinmicos descritos por equaoes diferencia c ais. 1

2

1.2

Conceitos bsicos a

Denio 1.2.1. Uma funao : R M M de classe C 1 dita um uxo se a restriao ca c e c (t, ) = t () satisfaz 0 = IdM t s = t+s , t, s R (1.3) (1.4)

Observao 1.2.2. Observe que (1.3) e (1.4) implicam que (t )1 existe e dado por t . ca e Como C 1 segue que t : M M um difeormorsmo para cada t R. e Denio 1.2.3. Se t (x ) = x para todo t R, ento dizemos que x um ponto xo do ca a e uxo. Se x no um ponto xo ele chamado de ponto regular ou ordinrio. a e e a Denio 1.2.4. A orbita ou trajetria de por x denida por {t (x); t R} orientada ca o e no sentido crescente de t. Assim a orbita por um ponto xo somente o ponto xo. e Denio 1.2.5. Uma orbita fechada de um uxo uma trajetria , que no um ponto ca e o a e xo mas tal que (x) = x para algum x e = 0. e Claramente, se (x) = x a orbita retorna a x aps um tempo . Se T o menor tempo o e positivo para o qual isto ocorre, x um ponto peridico com per e o odo T . E tambm claro que e se uma rbita fechada tem um ponto com per o odo T , ento qualquer ponto de peridico a e o com per odo T . Assim T tambm chamado o per e e odo de . O conjunto de todas as trajetrias de um uxo chamado seu retrato de fase. o e Como uxos esto relacionados `s equaes diferenciais? a a co Denimos a velocidade ou campo vetorial, X, de um uxo por X(x) = para cada x M . Proposio 1.2.6. t (x0 ) a soluo de x = X(x) que passa em x0 em t = 0. ca e ca dt (x) dt = limt=0

(, x) (0, x) 0

(1.5)

3 Demonstrao: Seja (t) = t (x0 ). Da ca (t + ) (t) t+ (x0 ) t (x0 ) (t) = lim = lim 0 0 t (x0 ) t (x0 ) (, t (x0 )) (0, t (x0 )) = lim = lim 0 0 (, (t)) (0, (t)) = lim = X((t)). 0 Alm disso, (0) = 0 (x0 ) = x0 demonstrando a proposio. e ca Note que se X(x ) = 0 ento t (x ) x soluo de x = X(x) passando por x . Alm a e ca e disso, se t (x ) = x para todo t, ento (1.5) implica que X(x ) = 0. Conclu a mos que: x ponto xo de t se e somente se X(x ) = 0. e Tais pontos so conhecidos como pontos singulares, equil a brios ou zeros do campo vetorial X.

1.3

Sistemas lineares planares e seus retratos de fase.

Um sistema linear planar um sistema com duas variveis de estado x e y, com derivadas e a que so combinaoes lineares dessas duas variveis. a c a x = ax + by y = cx + dy onde a, b, c e d so constantes reais. a O sistema (1.6) pode ser escrito como uma equaao matricial c X = AX, (1.7)

(1.6)

onde X representa as coordenadas de um vetor no plano xy escritos em forma de coluna: x X = , y e A a matriz do sistema A = e a b c d .

4 Os pontos singulares do sistema sero as soluoes do sistema de equaoes lineares hoa c c mogneo: e AX = 0. Se o determinante de A for diferente de zero, ento existir um unico ponto singular na a a origem. O polinmio caracter o stico de A : e 2 (trA) + detA. Logo os autovalores so: a 1,2 = Distinguimos os seguintes casos: A) Os autovalores so reais, distintos e no nulos. a a B) Os autovalores so complexos. a C) Os autovalores so reais, iguais e no nulos. a a D) Os autovalores so nulos. a Estudemos cada um destes casos. A) Autovalores reais distintos no nulos. a Se A possui dois autovalores reais distintos, 1 e 2 , ento existem dois autovetores a linearmente independentes, v1 e v2 , correspondentes a estes dois autovalores tais que {v1 , v2 } forma uma base para R2 . Assim para qualquer vetor x no plano de fase, existem u e s tais que: x = uv1 + sv2 . Logo x = uv1 + sv2 = Auv1 + Asv2 = 1 uv1 + 2 sv2 , da u = 1 u s = 2 s. trA trA2 4detA 2

5 Assim o sistema original substituido por um sistema mais simples de se resolver: e u = u0 e1 t s = s0 e2 t , onde u0 e v0 so os valores de u e s num instante inicial t. a as variveis u e s representam as coordenadas do vetor de estado, num sistema de coa ordenadas em que os autovetores denem a direao dos eixos coordenados (E1 , E2 ). Nesse c novo sistemas de coordenadas a matriz A transforma-se numa matriz diagonal. A= 1 0 0 2

Assim o unico ponto singular, a origem, poder ser: a A1) N atrator o Se os autovalores so reais e negativos 2 < 1 < 0. Neste caso, toda trajetria tende a a o 0 quando t , exceto a origem que permanece xa. Toda trajetria tende a quanto o t . Se u0 = 0, a reta tangente a trajetria tende a linha E1 quando t . De fato, se ` o ` t , s0 s 0 e 2 t = e(2 1 )t 0 1 t u0 e u0 pois 2 1 < 0. Se u0 = 0, as solues so semiretas de E2 . co a

Figura 1.1: N atrator o

6 A2) N repulsivo o Se os autovalores so reais e positivos 2 > 1 > 0. Neste caso toda trajetria tenda a a o innito quando t .

Figura 1.2: N repulsor o A3) Sela Se os autovalores so reais e de sinais opostos 2 > 0 > 1 . a As trajetrias que passam por pontos de E1 , (s0 = 0), permanecem nesta linha e tendem o a zero quanto t +. As trajetrias que passam por pontos de E2 , (u0 = 0), permanecem nesta linha e tendem o a zero quando t . Se s0 , u0 = 0 as solues tendem para quando t . co A componente segundo E1 tende a zero quanto t . A componente segundo E2 tende a quando t . B) Autovalores complexos. Se os autovalores so complexos conjugados a 1 = + i Neste caso o sistema pode ser representado por x = x y y = x + y. 2 = i.

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Figura 1.3: Sela Introduzindo coordenadas polares, x = r cos obtemos: r = r = , logo r(t) = c0 et (t) = 0 + t. Se = 0 as solues so circunferncias (centro). co a e Se = 0 as soluoes espiralam em direao a origem se < 0 (foco estvel) ou para longe c c ` a da origem (foco instvel). a C) Autovalores reais e iguais. Se 1 = 2 = . Existem dois subcasos dependendo se o autovalor repetido tem dois autovetores linearmente independentes ou apenas um. C1) possui dois autovetores L.I. Neste caso a soluao geral de (1.7) c e x(t) = c1 v1 et + c2 v2 et onde v1 e v2 so os autovetores independentes. a y = r sen ,

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Figura 1.4: Centro

Figura 1.5: Foco estvel a Toda trajetria est sobre uma reta que passa pela origem. o a Se < 0 todas as soluoes convergem para a origem quando t +. c Se > 0 todas as soluoes se afastam da origem quando t +. c Neste caso o ponto cr tico chamado n-prprio. e o o C2) possui um autovetor. Neste caso a soluao geral de (1.7) c e x(t) = c1 v1 et + c2 (v1 tet + v2 et ) onde v1 o autovetor e v2 o autovetor generalizado associado a . e e As orbitas que passam por E1 , (c2 = 0), exceto a origem que umponto xo, so semi e a retas. Qualquer outra orbita a sua reta tangente tende a E1 quando t pois c2 et = c1 et + c2 tet c2 et c1 c2 et +t c2 1 = c1 0. +t c2

9

Figura 1.6: N prprio o o Se < 0 (respectivamente > 0), toda trajetria tende a zero quando t + (respeco tivamente t ). Neste caso o ponto xo chamado n imprprio. e o o

Figura 1.7: N imprprio o o D) Autovalores nulos. Dividimos em dois casos: D1) Um autovalor 1 = 0 e outro diferente 2 = 0. Se 1 = 0, ento x(t) = x0 constante enquanto que y(t) pode crescer ou decrescer a e exponencialmente de acordo como sinal de 2 . Alm disso, todos os pontos no eixo x so e a pontos xos. Se 2 = 0, ento y(t) = y0 constante enquanto que x(t) pode crescer ou decrescer a e exponencialmente de acordo como sinal de 1 . Alm disso, todos os pontos no eixo y so e a pontos xos.

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Figura 1.8: x = 0, y = y

Figura 1.9: x = x, y = 0

D2) Dois autovalores nulos. Se 1 = 2 = 0 mas a matriz A no nula, temos A = a e com a um real no nulo. a No primeiro caso, temos y(t) = c e x(t) = ct, c constante real e todo ponto na reta y = 0 um ponto xo. e No segundo caso, temos x(t) = c e y(t) = ct, c constante real e todo ponto na reta x = 0 um ponto xo. e Se 1 = 2 = 0 e a matriz A nula ento todas as soluoes so constantes com todos os e a c a pontos do plano sendo pontos singulares do sistema. 0 a 0 0 ou A = 0 0 a 0 ,

11

1.4

Exerc cios

1) (Fluxos e equaes diferenciais.) Encontre equaes diferenciais associadas aos seguintes co co uxos locais: a) t (x) = x (1 2x2 t) 21

em R;

b) t (x, y) = (xet ,

y ) em R2 . 1 yt

2) Um sistema linear x = Ax (ou a origem de Rn ) chama-se atrator (do sistema) se para todo x Rn , eAt x 0, quando t . Prove que as seguintes armaes so equivalentes: co a a) O sistema x = Ax um atrator. e b) Todos os autovalores de A tm parte real negativa. e c) Existem > 0 e K 1 tais que eAt x Ket |x| para todo x Rn e t 0.

12

CAP ITULO 2 AULA 2

2.12.1.1

Sistemas no lineares aTeorema de Existncia e Unicidade e

Teorema 2.1.1. Sejam U Rn um subconjunto aberto de Rn (ou uma variedade diferencivel M ), f : U Rn uma funo C 1 e x0 U . Ento existem uma constante c > 0 e a ca a uma unica soluo (x0 , ) : (c, c) U satisfazendo a equao diferencial x = f (x) com ca ca condio inicial x(0) = x0 . ca

2.1.2

Equil brios

Como vimos na aula anterior, x ponto xo de t se e somente se f (x ) = 0. e Tais pontos so chamados de pontos singulares, equil a brios ou zeros do campo vetorial f .

2.1.3Sejam

Estabilidade de Liapunovx Rn

x = f (x), 13

(2.1)

14 e (t) uma soluao de (2.1). Grosseiramente falando, (t) estvel se soluoes que esto c e a c a prximas a (t) em um dado tempo, permanecem prximas de (t) para todo tempo poso o terior. Ela assintoticamente estvel se ela no somente permanece prxima, mas tambm e a a o e converge a (t) quando t . Denio 2.1.2. (Estabilidade Liapunov ) Uma soluao (t) de (2.1) chamada estvel se ca c e a dado > 0, existe > 0 tal que se (t) uma soluo de (2.1) satisfazendo |(t0 ) (t0 )| < e ca , ento |(t) (t)| < para t > t0 , t0 R. a Uma soluo que no estvel chamada instvel. ca a e a e a Denio 2.1.3. (Estabilidade assinttica) Uma soluo (t) de (2.1) chamada assintotica o ca e camente estvel se ela estvel e se para qualquer soluao (t) de (2.1) existe uma constante a e a c 1 tal que se |(t0 ) (t0 )| < 1 , ento limt |(t) (t)| = 0. a

Figura 2.1: Estabilidade Liapunov e estabilidade assinttica. o Observao 2.1.4. Na deniao de estabilidade assinttica pode parecer estranho exigirmos ca c o que a soluao seja estvel alm da exigncia das trajetrias se aproximarem da soluo c a e e o ca quando t . Pois podemos pensar que esta ultima condiao implica establidade. Porm c e este no o caso. a e

15 As denies de estabilidade e estabilidade assinttica no fornecem um mtodo para co o a e determinar quando uma soluo ou no estvel. Foquemos nossa ateno a esta questo. ca e a a ca a

2.1.4

Linearizao ca

Para determinar a estabilidade de uma soluao x(t) de (2.1) devemos entender a natureza c das solues que esto prximas a x(t). Seja co a o x = x(t) + y. Substituindo (2.2) em (2.1) e fazendo a expanso de Taylor sobre x(t) temos: a x = x(t) + y = f ((t)) + Df ((t))y + O( y 2 ), x x (2.3) (2.2)

onde Df a derivada de f e || denota a norma em Rn . Como x(t) = f ((t)), (2.3) ca e x y = Df ((t))y + O( y 2 ). x Esta equao descreve a evoluo de orbitas prximas a x(t). Para questes de estabilidade ca ca o o estamos interessados no comportamento de soluoes arbitrariamente prximas de x(t). Asc o sim parece razovel que esta questo poderia ser respondida estudando-se o sistema linear a a associado: y = Df ((t))y. x Portanto, a questo da estabilidade de x(t) envolve os seguintes passos: a 1) Determine se a soluo y = 0 de (2.4) estvel. ca e a 2) Mostrar que a estabilidade (ou instabilidade) da soluao y = 0 de (2.4) implica estabic lidade (ou instabilidade) de x(t). O passo (1) pode ser to dif quanto o problema original j que no h mtodos a cil a a a e anal ticos para encontrar solues de EDOs no autnomas. Porm se x(t) uma soluao co a o e e c de equil brio, isto , x(t) = x , ento Df ((t)) = Df (x ) uma matriz com coecientes e a x e constantes e a soluo de (2.4) sobre um ponto y0 Rn em t = 0 imediatamente escrito ca e por: y(t) = eDf (x )t y0 .

(2.4)

16 Assim, y(t) assintoticamente estvel se todos autovalores de Df (x ) tem parte real negativa. e a A resposta do passo (2) pode ser obtida do seguinte teorema: Teorema 2.1.5. Se todos os autovalores de Df (x ) tem parte real negativa ent4ao a soluo ca equil brio x = x(t) do sistema no linear (2.1) assintoticamente estvel. a e a Exemplo 2.1.6. (Estabilidade e autovalores de Jacobianos dependentes de t) Para os casos onde a soluo x(t) depende de t no podemos estabelecer a estabilidade segundo os ca a autovalores do Jacobiano Df ((t)). O seguinte exemplo ilustra este fato. x Considere o sistema: onde A(t) = Os autovalores de A(t) so a x1 x2 x1 x2 ,

= A(t)

3 cos t sen t 2 . 3 3 2 1 cos t sen t 1 + sen t 2 2 1 + 3 cos2 t 2 1

1 7i 1,2 = . 4 Assim os autovalores independem de t e possuem parte real negativa para todo t. Porm, e v1 (t) = cos t sen t t e2

v2 (t) =

sen t cos t

et ,

so duas soluoes l.i. deste sistema que so instveis do tipo sela, uma concluso que no a c a a a a segue dos autovalores de A(t). Se os autovalores do campo vetorial linear associado possuem parte real no-nula, ento a a a estrutura da rbita prxima a uma soluo de equil o o ca brio do campo vetorial no linear a e essencialmente a mesma do campo vetorial linear. Tais soluoes de equil c brio possuem um nome especial e as deniremos a seguir. Denio 2.1.7. (Equilbrio hiperblico) Seja x um equil ca o brio de x = f (x), x Rn . Ento a x chamado um ponto de equil e brio hiperblico se nenhum dos autovalores de Df (x ) tem o parte real nula.

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2.2

Funes Liapunov co

Consideremos um sistema autnomo o x = f (x), f : U Rn Rn de classe C 1 e U um aberto de Rn . Seja V : U R uma funao diferencivel. Para cada x U denotamos: c a V = Teorema 2.2.1. Considere o sistema x = f (x), x Rn . (2.5) V x.

Sejam x um equilbrio de (2.5) e V : U R uma funo C 1 denida em alguma vizinhana ca c U de x tal que i) V (x ) = 0 e V (x) > 0 se x = x , ii) V 0 em U x , ento x estvel. Alm disso, se a e a e iii) V < 0 em U x , ento x assintoticamente estvel. a e a A funo V chamada funo Liapunov. ca e ca Exemplo 2.2.2. Considere o sistema: x =y y = x + x2 y. A origem um ponto de equil e brio no hiperblico. (Os autovalores de Df (0) so i.) a o a

18 x2 + y 2 . Assim, V (0, 0) = 0 e V (x, y) > 0 em qualquer vizinhana da c 2 origem. Alm disso, e V (x, y) = V (x, y) (x, y) Seja V (x, y) = = (x, y) (y, x x2 y) = xy xy + x2 y 2 = x2 y 2 . Assim para < 0 temos que (0, 0) estvel. e a

2.3

Exerc cios

1) Seja A um operador linear em Rn cujos autovalores tm todos parte real negativa. e Mostre que 0 Rn um ponto de equil e brio assintoticamente estvel do sistema x = Ax. a Veja exerc 2 da Seao 1.4. cio c 2)Considere a equao de Dung ca x y Use a funao c V (x, y) = =y = x x3 y, (x, y) R2 , y 2 x2 x4 + 2 2 4 >0

como uma funao Liapunov para mostrar que os pontos de equil c brios (x, y) = (1, 0) so a assintoticamente estveis. a

CAP ITULO 3 AULA 3

3.1

Bifurcaes de equil co brios de campos vetoriais.

19

20

CAP ITULO 4 AULA 4

4.1

Campos Hamiltonianos I

4.2

Exerc cios

1)Prove que o uxo gerado por um campo vetorial Hamiltonaino preserva volume.

21

22

CAP ITULO 5 AULA 5

5.1

Campos Hamiltonianos II

Sistemas Hamiltonianos com simetria revers surgem com freqncia em sistemas da vel ue Mecnica Celeste. O principal objetivo da Mecnica Celeste clssica o estudo do problema a a a e de ncorpos, que consiste em descrever o movimento de n pontos (corpos) de massa movendo no espao Euclidiano de dimensiono 3 sob a aao mtua de suas foras gravitacionais. A c a c u c formulao do problema de ncorpos surge pela primeira vez em Philosophiae Naturalis ca Principia Mathematica de Newton (1687). E neste trabalho onde as leis da mecnica e as a leis de atrao gravitacional universal permitiu a formulao do problema de ncorpos como ca ca um sistema de equaoes diferenciais. c At a publicao do livro M`thodes Nouvelles de la Mcanique Cleste de Poincar (1899) e ca e e e e as equaoes diferenciais que apareciam nos problemas de Mecnica Celeste eram tratadas do c a ponto de vista quantitativo. Poincar deixou os mtodos clssicos de integraao e quadratura e e a c de lado e comeou a trabalhar com o mtodo qualitativo para dar uma descriao qualitativa c e c completa das rbitas em um espao de fase. Podemos dizer que Poincar iniciou a teoria o c e qualitativa moderna das equaes diferenciais. co O problema de 2corpos integrvel no sentido clssico. Utilizando as integrais primeiras e a a 23

24 da energia e do momento angular, podemos classicar todas as rbitas do problema de o 2corpos. O problema de ncorpos tem resistido a todas tentativas de ser resolvido. Na verdade acredita-se que o problema no pode ser integrvel no sentido clssico, de fato existem a a a resultados parciais nesta direao. Muitos tipos especiais de soluoes tm sido encontradas c c e utilizando distintas tcnicas matemticas, mas no se pode dizer muita coisa com relao e a a ca ao comportamento das solues. O problema de 3corpos o mais estudado do problema co e de ncorpos e, em particular, casos especiais do problema de 3corpos, o problema de 3corpos restrito (isto , quando um dos corpos possui massa sucientemente pequena e que e sua inuncia sobre os outros corpos desprez e e vel). O estudo dos problemas de 3corpos restrito um primeiro passo para entender as dinmicas do problema de 3corpos geral. e a

CAP ITULO 6 AULA 6

6.1 6.2

Orbitas fechadas e conjuntos limites Exerc cios

1) Sejam X : U Rn , U um aberto de Rn ,um campo de classe C k , k 1 e + (p){(t, p); t 0} a semi-rbita positiva do campo X por p. Se + (p) est contida num o a compacto K U mostre que (p) invariante por X e que (p) conexo. e e

25

26

CAP ITULO 7 AULA 7

7.1

Transformao de Poincar ca e

27

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[1] J. Guckenheimer e P. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, Springer Verlag, New York, 1983. [2] L. Roberto, rbitas Peridicas em Sistemas Mecnicos Tese doutorado, Unicamp, o o a 2008. [3] J. Sotomayor, Lies de Equaes Diferenciais Ordinrias, IMPA, Projeto Euclides, co co a 1979. [4] S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer-Verlag, New York, 1996

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