análise de sistemas dinâmicos método do lugar das raízes

Análise de Sistemas Dinâmicos

Método do Lugar das

Raízes

Lugar das Raízes • Definições

Plano s jw

R

SPE SPD

1

21

2

Raízes de s(s+10) são 0 e -10

Fazendo K=0 no denominador teremos s(s+10) cujas raízes serão 0 e -10.

A localização de um pólo no plano s é representada simbolicamente por um (x) e a locali-zação de um zero por um ( o) .

As raízes da função do numerador são os zeros da função e as raízes do denominador São os pólos da função .

Lugar das Raízes• Exemplo • Dada a função :

2

3 2

2 2 4 2( 2)( 1)( )5 8 6 ( 3)( 1 )( 1 )

os zeros são : 2 e -1os polos são : -3, -1+j e -1-j

s s s sF ss s s s s j s j

então

x-3

x

x

-1+j

-1-j

o2

o-1

j

R

Lugar das Raízes Estabilidade e pólos • Se todos os pólos estão no SPE do diagrama de pólos

e zeros ,o sistema é estável

• Se apenas um pólo está no SPD, o sistema é instável.

• Se um ou mais pólos estiverem no eixo vertical do diagrama de pólos e zeros ,isto é tem valor real igual a zero e nenhum pólo no SPD,o sistema é dito criticamente estável.

• Somente os pólos da FT são importantes quando se esta considerando o problema da estabilidade ,os valores dos zeros são irrelevantes.

Lugar das Raízes O lugar das raízes é uma representação gráfica no

Plano S da posição e movimentação dos pólos em malha fechada do sistema, a medida que um parâmetro do sistema é variado.

Conhecendo a posição dos pólos em malha fechada, pode-se avaliar qual será o desempenho do sistema de controle.

É um método eficaz para análise e projeto de sistemas de controle de primeira, segunda e ordem superior.

Normalmente o gráfico do lugar das raízes é construído considerando-se a variação do ganho do sistema desde zero até infinito.

Porém também pode-se avaliar a influência da variação de outro parâmetro na resposta do sistema.

Lugar das Raízes

Lugar das Raízes

• Portanto, embora o Lugar das Raízes represente todas as possíveis posições dos pólos em malha fechada, o Lugar das Raízes é construído a partir da FTMA.

Lugar das Raízes

Propriedades

Seqüência de construção

1. Marcar os pólos e os zeros de G(s).2. Marcar o lugar das raízes no eixo real.3. Em cada seção do lugar das raízes no eixo

real,marcar o sentido de deslocamento dos pólos,quando K aumenta.

4. Traçar as assíntotas .5. Traçar as seções dos ramos fora do eixo

real e,em cada um o sentido do deslocamento dos pólos,

6. Se necessário marcar os pontos de convergência e divergência dos ramos no eixo real.

Efeito da introdução de pólos e zeros no lugar das raízes

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