cap. 1 - (e.1) projeto via lugar das raízes

7/24/2019 Cap. 1 - (e.1) Projeto via Lugar Das Razes

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Projeto via lugar das razes

Campus Pato Branco - Sistemas de Controle 2 Prof. Johnny Werner


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Relao entre polos do sistema subamortecido com Tp, Ts e :


d= frequncia de oscilao amortecida

d= frequncia exponencial amortecida


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Muitas vezes um sistema com mais de 2 polos ou com zeros pode

ser aproximado a um sistema de segunda ordem com apenas 2 polos

complexos dominantes ou at mesmo a um sistema de primeira ordem.

-,

ordem (ou primeira ordem, se for o caso).



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Seja:

Se o sistema for subamortecido, os polos sero:



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Como regra prtica, se:

,

o sistema em questo pode ser aproximado por um sistema de segunda.

Da mesma forma, se:

,

pode ser aproximado por um sistema de primeira ordem.



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Introduo

Exemplo de problema: o lugar das

razes passa por A, porm B no faz

parte. Assim, necessrio alterar o lugar

das razes para que o ponto B seja

interceptado (no caso da figura, ir


deixar a resposta mais rpida (-.n)

sem alterar o%UP(mesmooucos )).


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O projeto de controladores proporciona aos sistemas:

Melhoria da resposta transiente (geralmente PD e avano de fase);

Melhoria do erro de estado estacionrio (geralmente PI e atraso de


Melhoria da resposta transiente e melhoria do erro de estado

estacionrio simultaneamente (PID e avano e atraso de fase).


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Os compensadores que utilizam integrao pura ou derivao pura

(PI, PD e PID) so chamados de compensadores ideais e devem ser

implementados com estruturas ativas.


,

ser implementados por estruturas passivas.


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Considere o sistema abaixo,


onde:

G(s) = FT do processo a ser controladoGc(s) = FT do controlador/compensador

H(s) = FT da realimentao


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Projeto via lugar das razes (PI)

Controlador PI:

O posicionamento de um polo na origem melhora o erro de estado

estacionrio, uma vez que o tipo do sistema aumenta em uma unidade.


um polo na origem, e passar a ser tipo 1.

Idealmente, para melhorar o erro sem alterar a resposta transitria,

adiciona-se um polo na origem e o zero prximo a ele.


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Assim, para que o lugar das razes passe pelo ponto desejado,

adiciona-se o zero do compensador PI prximo ao polo na origem,

conforme mostrado anteriormente na figura(c).

Dessa forma, a contribuio angular do polo na origem e do zero do


,

razes e o tipo do sistema aumenta.


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(Nise)


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Exemplo (Nise, Exemplo 9.1): Dado o sistema abaixo(a), com fator

de amortecimento() igual a 0,174, mostre que a adio do PI conforme

mostrado em (b) reduz o erro em regime permanente a zero para

entrada degrau sem afetar significativamente a resposta transitria.



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O polo na origem aumenta o tipo do sistema e o zero em -0,1

(prximo ao polo na origem) faz com que a contribuio angular do

controlador seja praticamente nula (ngulo do polo e do zero do PI so

praticamente iguais, ento se cancelam). Dessa forma, a contribuio


aproximadamente zero.


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Pode ser observar que ser possvel aproximar o sistema que de

terceira ordem para um sistema de segunda ordem:

15

20

25

Root Locus


-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

Real Axis (seconds-1)

ImaginaryAxis(seconds-1)


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O primeiro passo verificar se o sistema tem = 0,174. Se no tiver,

deve-se ajustar o ganhoK(que ser o ganho do controlador PI). Nesse

caso, K dever ser 164,6 para ser igual a 0,174, conforme

apresentado a seguir:



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Obs.:

cos () =

= 180 100,02 = 79,98

cos (79,98) = 0,17399 =

--

A equao caracterstica : EC(s) = 1 + MA = 0

Substituindo s = -0,694 +-j3,926 na EC(s) em funo de K,


c ega-se a = ,


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O erro em regime permanente para entrada degrau :


p ,

Obs.: sendo K = 164,6, deve-se multiplicarG(s) (que a FT da

planta) por esse valor. Assim:


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Adiciona-se o controlador

PI com o polo na origem e o

zero em -0,1. Para que ainda

se tenha = 0,174, deve-se

fazer um pequeno ajuste em


K, que passar a ser 158,2

(isso se deve ao fato de que o

ponto s desejado para =

0,174 agora ser um pouco

diferente:

s = -0,678 +-j3,837).


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Observa-se que possvel ainda fazer a aproximao para segunda

ordem e os polos de MF do sistema compensado so aproximadamente

os mesmos do sistema no compensado, fazendo com que a resposta

transitria seja praticamente a mesma, porm com o tipo do sistema


,

nesse caso).

A resposta do sistema com e sem compensador pode ser observada

a seguir.


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Tende a 1 (erro nulo)


Tende a 0,892 (erro de 0,108)


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A FT do controlador projetado ficou:

Se comparar com a FT do PI normalizada j vista, ou seja:


ficaria:

Assim,


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Exerccios:

Nise, cap. 9, problemas 1 e 2.


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