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Carlos Alexandre Mello – [email protected] 1

Técnica de Lugar das Raízes

Carlos Alexandre Mello

2 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

Introdução

Lugar das raízes é um método de análise e projeto de sistemas É uma representação gráfica dos polos de um sistema

de malha fechada à medida que os parâmetros do sistema variam

A técnica dá uma visão qualitativa do desempenho de um sistema de controle e também serve como uma ferramenta quantitativa que dá mais informações do que os métodos já discutidos A técnica pode ser usada para descrever

qualitativamente o desempenho de um sistema quando vários parâmetros são mudados


Introdução

Os polos de sistemas de malha aberta são facilmente encontrados; o mesmo não acontece com sistemas de malha fechada

Os polos de KG(s)H(s) são fáceis de

serem encontrados, mas os polos de

[1 + KG(s)H(s)] dependem da fatoração

do denominador e variam com K


Introdução

Representação de números complexos como vetores

a) s = + j;

b) (s + a) = ( + a) + j;

c) Representação

alternativa para (s + a);

d) (s + 7)|s5 + j2

+a

+a


Introdução

No caso mais geral, considere a função:

Magnitude de F(s) em

qualquer ponto s

Ângulo de F(s) em

qualquer ponto s


Introdução

Exemplo 1: Dado F(s) = (s + 1)/[s(s + 2)]

Encontre F(s) no ponto s = -3 + j4

Solução gráfica: Traçamos vetores das raízes dos polinômios (tanto zeros quanto polos) até o ponto dado no plano complexo....


Introdução

Exemplo 1 (cont.): F(s) = (s + 1)/[s(s + 2)]

s = -3 + j4

V1: |V1| = √20

V1 = 180 - tg-1(4/2) = 116º

V2: |V2| = √25=5

V2 = 180 - tg-1(4/3) = 127º

V3: |V3| = √17

V3 = 180 - tg-1(4/1) = 104º

V1

V2

V3

V1

s


Introdução

Exemplo 1 (cont.):

= √20

5√17

= 116º - (127º + 104º) = -115º

Assim, F(s) = 0,2169-115º no ponto s = -3 + j4


Introdução

Exemplo 2: Dado

encontre F(s) para s = -7 + 9j


Definindo o Lugar das Raízes O que é o Lugar das Raízes?

Considere o exemplo abaixo:

Variando K...



Considere o exemplo abaixo:

Plotagem dos polos da Tabela anterior Lugar das raízes

Em geral, vamos considerar o ganho positivo, ou seja, K 0.



O lugar das raízes mostra as mudanças na resposta de transiente com a variação de K

Nesse exemplo, os polos são reais para ganhos menores que 25 Sistema Sobreamortecido

No ganho 25, o sistema tem polos reais iguais Sistema Criticamente Amortecido

Acima de ganho 25, o sistema é Subamortecido Observe que, nesse caso, a parte real do polo

permanece constante



Como a parte real do polo permanece constante, o tempo de amortecimento (Ts) também é constante Lembrando que ele é inversamente proporcional à parte real

do polo

Ao aumentarmos o ganho, a taxa de amortecimento diminui e a porcentagem sobressinal aumenta

O tempo de pico diminui com o aumento do ganho

Nesse exemplo, como o lugar das raízes nunca cruza para o semi-plano direito, o sistema é sempre estável, independente do valor do ganho

A análise também é aplicável a sistemas com ordem maior que 2


Propriedades do Lugar das Raízes

A partir das propriedades do lugar das raízes, é possível fazer seu rascunho para sistemas de alta ordem sem precisar fatorar o polinômio do denominador

Considere um sistema de controle de malha fechada geral que tem função de transferência:



Para tal sistema, um polo s existe quando o polinômio no denominador é igual a zero, ou: KG(s)H(s) = -1 = 1(2k + 1)180º , k = 0, 1, 2, 3, ...

Onde -1 está representado em sua forma polar

Isso significa que um valor de s em KG(s)H(s) gera um número complexo e, se o ângulo desse número for um múltiplo ímpar de 180º, aquele valor de s é um polo para algum valor de K

Considerando: |KG(s)H(s)| = 1 e KG(s)H(s) =(2k + 1)180º

Então: K = 1/(|G(s)||H(s)|)



Vamos considerar novamente o exemplo anterior e a tabela associada ao valor de K:

Pela tabela, quando o ganho é 5, temos polos em -9,47 e -0,53.

KG(s)H(s) = K/[s(s + 10)]

Para s = -9,47, temos KG(s)H(s) = 5/(-9,47.(-9,47 + 10)) = -1

K = 10 => polos em -8,87 e -1,13 => KG(s)H(s) = -1

K = 35 => KG(s)H(s) = -1

....



Exemplo 1: Considere o sistema abaixo

A função de malha aberta é:

A função de malha fechada é:



Exemplo 1 (cont.): Considere o ponto -2+3j = (1 + 2) – (3 + 4) = -70,55º

Assim, -2 + 3j não faz parte do lugar das raízes

Ou ainda, -2+3j não é polo de T(s) para qualquer K

Para o ponto -2 + j√2/2

1 = 19,47º

2 = 35,26º

3 = 90º

4 = 144,73º

=(1 + 2) - (3 + 4) = -180º

Assim, -2+j2/2 faz parte do

lugar das raízes

-2+3j



Exemplo 1 (cont.): Para o ponto -2 + j√2/2, o ganho K é: K = L3L4/(L1L2) = (2/2)(3/2)/[(9/2)(3/2)] = 0,33

Assim, o ponto -2 + j2/2 é um ponto do lugar das raízes para um ganho de 0,33



Exemplo 2: dado um sistema com re-alimentação unitária que tem a seguinte função à frente:

Calcule o ângulo de G(s) para o ponto (-3 + j0)

Determine se o ponto está no lugar das raízes Se sim, ache o ganho K



Exemplo 2 (cont.):


Esboçando o Lugar das Raízes

O lugar das raízes pode ser obtido varrendo-se todo ponto no plano s para localizar os pontos cujos ângulos são múltiplos ímpares de 180 Obviamente, essa tarefa é muito custosa

Podemos simplificar o processo com algumas regras: 1) Número de ramos: Cada ponto em malha fechada se

desloca à medida que o ganho é variado. Se definimos um ramo como sendo o caminho que um polo atravessa, então haverá um ramo para cada polo em malha fechada

O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de polos em malha fechada



Regras: 2) Simetria: O lugar das raízes é simétrico em relação

ao eixo real

Os polos complexos sempre aparecem com seus conjugados

3) Segmentos do Eixo Real: Usamos a propriedade que o ângulo deve ser um múltiplo ímpar de 180º para determinar onde existem segmentos do eixo real que fazem parte do lugar das raízes



Regras: 3) Segmentos do Eixo Real:

Considere a contribuição dos polos e zeros nos pontos P1, P2, P3 e P4 abaixo

A contribuição de um par de polos ou zeros complexos é nula (são simétricos, então seus ângulos se anulam)

A contribuição de polos ou zeros reais à esquerda do respectivo ponto é zero (o ângulo é de zero grau)

Assim, a única contribuição é de polos e zeros reais à direita do respectivo ponto (forma um ângulo de 180º)



Regras: 3) Segmentos do Eixo Real: No eixo real, para K > 0, o

lugar das raízes existe à esquerda de um número ímpar de polos ou zeros finitos em malha aberta sobre o eixo real

O número ímpar de polos ou zeros garante que o múltiplo de 180º seja ímpar

No exemplo anterior, os segmentos do eixo real do lugar das raízes ficam entre -1 e -2 e entre 3 e -4



Regras: 4) Pontos de Início e Término:

Início do lugar das raízes: ganho zero

Término do lugar das raízes: ganho infinito

O lugar das raízes começa nos polos finitos ou infinitos de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos ou infinitos de G(s)H(s)

Considere o sistema abaixo:




Considerando:

Temos:

Quando K → 0:

Quando K → :

N = Numerador

D = Denominador




Quando K → 0:

Com isso, concluímos que o lugar das raízes começa nos polos de G(s)H(s), a função de transferência de malha aberta (os polos de T(s) são os mesmos de G(s) e H(s))

Quando K → , os polos de T(s) se aproximam à combinação dos zeros de G(s) e H(s). O lugar das raízes, então, termina nos zeros de G(s)H(s)

Observe que são os polos e zeros da função de malha aberta!!




No exemplo anterior, o lugar das raízes começa nos polos -1 e -2 e termina nos zeros -3 e -4

O lugar começa em -1 e -2 e se move no eixo real no espaço entre esses polos indo de um para o outro

Eles se encontram em algum lugar entre -1 e -2 e partem como números complexos conjugados até se encontrarem em algum ponto entre -3 e -4, onde eles caminham em direção a esses zeros




1 1

2

3

3

4

5 5



Regras: 5) Comportamento no Infinito: O lugar das raízes

tende a retas assintóticas quando o lugar tende a infinito. A equação das assíntotas é dada pela interseção com o eixo real em a com ângulo a, como segue:

k = 0, 1, 2, 3, ...

# = Número de....

O número de polos deve ser maior que o de zeros!!



Exemplo: esboçar o lugar das raízes para o sistema:

Polos: 0, -1, -2, -4

Zeros: -3

Primeiro, calculamos as assíntotas:

a = [(0 – 1 – 2 – 4) – (-3)]/(4 – 1) = -4/3

a = (2k + 1)/(4 – 1) = (2k + 1)/3 =

/3, para k = 0

, para k = 1

5/3, para k = 2 A partir daqui, os ângulos

se repetem....



Exemplo (cont.): O número de linhas é igual à diferença entre o número

de polos finitos e o número de zeros finitos

-4/3

Polos e zeros Assíntota

Assíntota

Assíntota



Exemplo (cont.): Pela regra 4, o lugar começa nos polos de malha aberta

e termina nos zeros de malha aberta

Existem mais polos do que zeros

Assim, devem existir zeros no infinito

As assíntotas dizem como chegar nesses zeros no infinito

A forma final pode ser vista a seguir....



Exemplo (cont.): Forma final

Assíntota

Assíntota

Assíntota

Inicia nos polos e termina nos zeros:

• Começa entre -1 e 0 e segue para infinito

• Começa em -2 e termina em -3

• Começa em -4 e termina em infinito



Exemplo 2: Esboce o lugar das raízes para o sistema de re-alimentação unitária com função de transferência à frente:



Exemplo 2 (cont.):


Refinando o Esboço

Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real

Ponto de Saída Ponto de Entrada


Refinando o Esboço

Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real Nos pontos de entrada e saída, os ramos fazem um

ângulo de 180º/n com o eixo real, onde n é o número de polos de malha fechada partindo do ponto de saída ou chegando no ponto de entrada

Na figura anterior, os ramos formam um ângulo de 180º/2 = 90º com o eixo real

Como o ganho cresce a partir dos polos (como em -1 e -2) até o ponto de saída, o ganho será máximo nesse ponto

O ganho pode ser maior à medida que o lugar das raízes caminha pelo plano complexo, mas ele será máximo nesse ponto em relação ao eixo real apenas


Refinando o Esboço

Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real Analogamente, o ganho no ponto de entrada é o ganho

mínimo encontrado sobre o eixo real entre os dois zeros

Para encontrar os pontos: Três soluções possíveis...


Refinando o Esboço

Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real Solução 1: Derivar K = -1/[G()H()] em relação a

Exemplo:

Para todos os pontos no lugar das raízes:

Resolvendo para K:

1=-1,45

2 = 3,82 = 0


Refinando o Esboço

Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real Solução 2: Os pontos de entrada e saída satisfazem a

relação:

Exemplo: Considerando o exemplo anterior:

1=-1,45

2 = 3,82

zi e pi são os negativos

dos zeros e polos!!!

Polos: -1 e -2

Zeros: 3 e 5


Refinando o Esboço

Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real Solução 3: O terceiro método é a busca pelo máximo e

mínimo ganho através de recursos computacionais


Refinando o Esboço

Interceptação com o Eixo j Considere um exemplo anterior:

Como os polos estão no semi-plano esquerdo, o ponto de interceptação com o eixo imaginário indica no lugar das raízes o ponto que separa uma operação estável do sistema de uma operação instável do sistema


Refinando o Esboço

Interceptação com o Eixo j

Para encontrar o ponto de interceptação com o eixo j,

podemos usar o critério de Routh-Hurwitz da seguinte

maneira: Forçando uma linha de polinômio ímpar ser

nula na Tabela de Routh obtém-se o ganho; retornando

uma linha para a equação de polinômios par, com esse

vsalor de K, buscam-se as raízes, obtendo a frequência

de cruzamento com o eixo imaginário


Refinando o Esboço

Interceptação com o Eixo j Exemplo: Na função abaixo, encontre a frequência e o

ganho K para o qual o lugar das raízes cruza o eixo imaginário

Tabela Routh:


Refinando o Esboço

Interceptação com o Eixo j Exemplo (cont.): A única linha de polinômio ímpar que

pode ser completamente anulada é a de s1

No caso, temos: -K2 – 65K + 720 = 0

K = -74,65 e 9,65

Se usarmos K = -74,65, então provocamos mudança de sinal com o último elemento da Tabela (21K). Assim, vamos usar K = 9,65

Considerando esse valor de K e retornando para s2:

(90 – K)s2 + 21K = 80,35s2 + 202,7 = 0

s = j1,59

Assim, o lugar das raízes corta o eixo j em j1,59 para um ganho 9,65


Refinando o Esboço

Ângulos de Chegada e Partida É possível também calcular os ângulos de chegada e de

partida dos polos e zeros

Nesse caso, o uso de uma ferramenta computacional é mais apropriado


Resumo

Regras Básicas para Esboçar o Lugar das Raízes Número de ramos é igual ao número de polos em

malha fechada

O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real

No eixo real, para K > 0, o lugar das raízes existe à esquerda de um número ímpar de polos e/ou zeros finitos em malha aberta sobre o eixo real

O lugar das raízes se inicia nos polos finitos ou infinitos de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos ou infinitos de G(s)H(s)

O lugar das raízes tende a retas assintóticas quando o lugar tende a infinito. As equações das assíntotas são definidas por:


Resumo

Regras Adicionais para Refinar o Esboço O lugar das raízes sai do eixo real no ponto onde o

ganho é mínimo e entra no eixo real no ponto onde o ganho é máximo

O lugar das raízes cruza o eixo imaginário no ponto onde G(s)H(s) = (2k + 1)180º. O critério de Routh-Hurwitz pode ser usado para determinar esse ponto de cruzamento

Ângulos de partida e de chegada podem ser calculados precisamente

Todos os pontos do lugar das raízes satisfazem à relação G(s)H(s) = (2k + 1)180º. O ganho é dado por:


Exemplo 1


Esboce o lugar das raízes e encontre: a) O ponto exato e ganho onde o lugar cruza o eixo j

b) O ponto de saída do eixo real

c) A faixa de K na qual o sistema é estável


Exemplo 1 (cont.)

Polos de G(s): -2 e -4

Zeros de G(s): 2 j4

No. de zeros = No. de polos

Não se calculam as assíntotas.


Exemplo 1 (cont.)

Polos: -2 e -4

Zeros: 2 j4

O lugar começa entre os

polos e termina nos zeros

sendo simétrico em relação

ao eixo real


Exemplo 1 (cont.)

Polos: -2 e -4

Zeros: 2 j4


Exemplo 1 (cont.)


Exemplo 1 (cont.)

a) Cruzamento com o eixo imaginário

s2

s1

s0

(K + 1) (20K + 8)

(6 – 4K) 0 Essa linha pode ser

anulada com K = 3/2

Tabela de Routh:


Exemplo 1 (cont.)

a) Cruzamento com o eixo imaginário Considerando a linha anterior de equação par para o

ganho definido, temos:

Assim, o cruzamento com o eixo imaginário

se dá em j3,9 com ganho K = 3/2


Exemplo 1 (cont.)

b) Pontos de entrada e saída

Polos: -2 e -4

Zeros: 2 j4

1 = 5,28

2 = -2,88 Pelo esboço do lugar

das raízes, só pode

ser esse valor


Exemplo 1 (cont.)

c) A faixa de K na qual o sistema é estável Pela letra (b) e considerando K > 0, a faixa é 0 < K < 1,5


Lugar das Raízes para Sistema de Re-

Alimentação Positiva



Lugar das Raízes para Sistema de Re-

Alimentação Positiva

Regras: 1. Número de ramos: Mesmo que antes

2. Simetria: Mesmo que antes

3. Segmentos no Eixo Real: O lugar das raízes para sistemas de re-alimentação positiva existem à esquerda de um número par de polos e/ou zeros finitos de malha aberta

4. Pontos de Início e Término: Mesmo que antes

5. Comportamento no Infinito: Assíntotas:


Exercícios Sugeridos (Nise)

Cap. 8, Problemas:

1, 2, 3, 4, 7, 10, 11, 12, 14, 19, 21 (menos a letra d)

Ferramenta gratuita para desenhar Lugar das

Raízes:

http://www.coppice.myzen.co.uk/RootLocs_Site/RootLoc

s.html


A Seguir....

Projeto Através do Lugar das Raízes

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