estabilidade carlos alexandre mello - cin.ufpe.brcabm/servo/aula05.pdf · carlos alexandremello...

Carlos Alexandre Mello – [email protected] 1

Estabilidade

Carlos Alexandre Mello

2Carlos Alexandre Mello – [email protected]

Introdução

� Já vimos que existem três requisitos fundamentais para projetar um sistema de controle:� Resposta Transiente

� Estabilidade

� Erros de Estado Estacionário

� Estabilidade é a mais importante especificação de sistema

� Se o sistema é instável, a resposta em transiente e os erros de estado estacionário são irrelevantes


Introdução

� Um sistema linear e invariante no tempo é estávelse a resposta natural se aproxima de zero quando o tempo tende a infinito

� Um sistema linear e invariante no tempo é instávelse a resposta natural cresce sem limites quando o tempo tende a infinito

� Um sistema linear e invariante no tempo é marginalmente estável se a resposta natural nem cai e nem cresce mas permanece constante ou oscila quando o tempo tende a infinito


Introdução

� Assim, a definição de estabilidade implica que apenas a resposta forçada permanece à medida que a resposta natural se aproxima de zero

� Um sistema é dito estável se toda entrada limitada leva a uma saída limitada� BIBO – Bounded-Input, Bounded-Output

� Ou, um sistema é instável se qualquer entrada limitada leva a uma saída ilimitada

� Um sistema é marginalmente estável se o sistema for estável para algumas entradas limitadas e instável para outras


Introdução

� Lembrando nosso estudo sobre polos, polos no semi-plano esquerdo produzem respostas naturais de decaimento exponencial puro ou senóides amortecidas

� Essas respostas naturais tendem a zero à medida que o tempo tende a infinito

� Assim, se os polos de um sistema de malha fechada estiverem no semi-plano esquerdo (ou seja, têm parte real negativa), o sistema será estável


Introdução

� Assim, sistemas estáveis possuem funções de transferência em malha fechada com polos apenas no semi-plano da esquerda

� Polos no semi-plano direito produzem respostas naturais na forma de exponenciais crescentes ou senóides exponencialmente crescentes� Essas respostas naturais tendem a infinito quando o

tempo tende a infinito também

� Também, polos com multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário levam à soma de respostas da forma Atncos(ωt+ φ), onde n = 1, 2, ..., que também tendem a infinito quando o tempo tende a infinito


Introdução

� Logo, sistemas instáveis possuem funções de transferência em malha fechada com pelo menos um polo no semi-plano da direita ou polos com multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário

� Por último, sistemas que têm polos no eixo imaginário com multiplicidade 1 geram oscilações senoidais puras como resposta natural

� Assim, sistemas marginalmente estáveis possuem funções de transferência em malha fechada com apenas polos no eixo imaginário com multiplicidade 1 e polos no semi-plano esquerdo


Introdução

� Exemplo 1:Observe que

são os polos

do sistema

completo!


Introdução

� Exemplo 2:


Introdução

� Exemplo 3:Sistema original

Sistema equivalente


Introdução

� Exemplo 3 (cont.):

>> p = [1 28 284 1232 1930 20];

>> r = roots (p)

r =

-9.7992

-8.4517

-5.6186

-4.1200

-0.0104

Sistema Estável! Polos

no semi-plano esquerdo.


Introdução

� Exemplo 3 (cont.):>> num = [10 20];>> den = [1 28 284 1232 1930 20];>> sys = tf(num, den);>> ltiview ({'pzmap'; 'step'}, sys);


Introdução

� Analisando o polinômio do denominador, algumas pistas podem dar dicas sobre a instabilidade do sistema:� Se os sinais dos coeficientes do denominador forem

diferentes (houver sinais positivos e negativos), então o sistema é instável

� Se há algum sinal negativo, ele só pode ter sido gerado por um produto do tipo (s + a)(s – a)

� Se potências de s forem perdidas (coeficiente igual a zero), o sistema é instável

� Se alguma potência tem coeficiente zero, isso quer dizer que ela foi anulada, ou seja, houve um a.sx – a.sx, o que implica que houve troca de sinal (caso anterior)


Critério de Routh-Hurwitz

� Garante informação sobre a estabilidade do sistema sem precisar encontrar os polos do sistema

� Através dele, sabemos quantos polos existem no semi-plano direito, semi-plano esquerdo e eixo imaginário

� Passos:� Gerar a Tabela de Routh

� Analisar a Tabela de Routh

O critério recebeu esse nome em homenagem a dois pesquisadores que o

descobriram de forma independente: Edward John Routh (1831-1907) e Adolf Hurwitz

(1859-1919).



� Geração da Tabela de Routh Básica� Considere o sistema abaixo, um sistema equivalente a

função de transferência de um sistema de malha fechada:

� Com estamos interessados nos polos, vamos nos concentrar no polinômio do denominador e vamos criando a tabela...



� Geração da Tabela de Routh Básica� Polinômio: a4s

4 + a3s3 + a2s

2 + a1s + a0

� Começamos legendando as linhas com as potências de s da maior para a menor

� Em seguida, comece com o coeficiente da maior potência de s e atribua ele à primeira posição da tabela (posição onde está sua potência correspondente)

� A próxima linha recebe o segundo maior coeficiente e as colunas vão sendo completadas alternando assim entre linhas....

� Adicione zero na última posição, se necessário




4 + a3s3 + a2s

2 + a1s + a0

s4

s3

s2

s1

s0

a4

a3

a2

a1

a0

0




4 + a3s3 + a2s

2 + a1s + a0

� A terceira linha deve ter o mesmo número de elementos que a linha anterior

� Cada elemento será uma divisão onde:� O denominador é o primeiro elemento da linha anterior (fixo para

todos os elementos dessa linha)

� O numerador é o determinante das entradas das linhas anteriores, onde a primeira coluna é sempre a primeira coluna anterior; as próximas colunas seguem a sequência:

� Acrescentando zeros se necessário....




4 + a3s3 + a2s

2 + a1s + a0

s4

s3

s2

s1

s0

a4

a3

a2

a1

a0

0

= 0




4 + a3s3 + a2s

2 + a1s + a0

� E assim por diante....

s4

s3

s2

s1

s0

a4

a3

a2

a1

a0

0

= 0



� Geração da Tabela de Routh Básica� Exemplo 1:

Linhas podem ser

simplificadas, mas

com cuidado.....

Uma linha pode ser

toda multiplicada por

uma constante

(nesse caso, 1/10).

MAS preserve o

sinal do elemento

da primeira

coluna!



� Geração da Tabela de Routh Básica� Exemplo 1 (cont.): Observação:

Observe que essa

coluna foi necessária

para podermos montar

a segunda matriz da

linha 3.

Observe que esse elemento é

necessário porque temos que

ter o mesmo número de

elementos em todas as linhas.



� Interpretando a Tabela de Routh Básica� Exemplo 1 (cont.):

O número de raízes do

polinômio que estão no

semi-plano direito é igual

ao número de mudanças

de sinal da primeira

coluna da tabela de

Routh. Neste exemplo,

temos duas mudanças

(de 1 para -72 e de -72

para 103), assim, o

sistema é instável já que

existem polos no semi-

plano direito.



� Interpretando a Tabela de Routh Básica� Exemplo 2:

� P(s) = 3s7 + 9s6 + 6s5 + 4s4 + 7s3 + 8s2 + 2s + 6




Ex:-det[3 9; 6 4]/9




Ex:-det[4.667 0; -4.357 6]/(-4.357)




Análise: Número de mudanças de sinal: 4

⇒ Há 4 polos no semi-plano direito e três

no esquerdo



� Casos Especiais� 1) A tabela de Routh tem zero apenas na primeira

coluna de uma linha� Pode gerar uma divisão por zero na próxima linha

� Solução 1: adicionar um bias (ε): um valor muito baixo, próximo de zero, usado apenas para evitar a divisão por zero

� O sinal do bias pode ser positivo ou negativo; isso precisa ser analisado depois

� Solução 2: Uso de coeficientes reversos

Fazendo s = 1/d (as raízes de d serão recíprocas às de s):




coluna de uma linha� Exemplo:




coluna de uma linha� Exemplo (cont.):

Para ε positivo, temos duas mudanças de sinal, assim, o sistema tem dois polos no semi-plano direito

sendo instável; Para ε negativo, temos duas mudanças de sinal também, assim, o sistema tem dois polos no semi-plano direito sendo instável.




coluna de uma linha� Exemplo (cont.):

� Por coeficientes reversos: D(s) = 3s5 + 5s4 + 6s3 + 3s2 + 2s + 1



� Casos Especiais� 2) A tabela de Routh tem toda uma linha igual a zero

� Exemplo:




� Exemplo (cont.):

Solução: Voltamos à linha anterior à linha nula e criamos um polinômio auxiliar formado por seus coeficientes apenas. No caso, P(s) = 1s4 + 6s2 + 8. Derivamos esse polinômio:dP(s)/ds = 4s3 + 12s + 0e usamos esses coeficientes como entradas da tabela. No caso, podemos simplificá-los, dividindo por 4, ficando com 1s3 + 3s + 0.Depois, prosseguimos normalmente....





Como não há mudanças de sinal, o sistema não tem polos no semi-plano direito. Nada pode ser dito sobre a estabilidade ainda (veremos a seguir..).





� Por que isso aconteceu? Vamos olhar novamente o primeiro passo da Tabela:

Se considerarmos a linha acima da linha nula como um polinômio, teríamos: s4 +

6s2 + 8. Esse polinômio divide o polinômio original (ou seja, é um de seus

fatores). Isso acontece porque há um polinômio que divide o polinômio original.

Nesse caso, acontece a linha nula. O polinômio da linha s4 é ainda um polinômio

par (só possui potências pares de s), enquanto o polinômio da linha s5 é dito um

polinômio ímpar (só possui potências ímpares de s).




� Exemplo 2: Denominador é

� s8 + s7 + 12s6 + 22s5 + 39s4 + 59s3 + 48s2 + 38s + 20

(s4 + 3s2 +2) divide o polinômio:

s8 + s7 + 12s6 + 22s5 + 39s4 + 59s3 + 48s2 + 38s

+ 20, gerando a linha nula.



� Projeto de Sistema Estável via Routh-Hurwitz� Exemplo:

� Considere o sistema abaixo e sua função de transferência equivalente:

� Encontre o valor de K para que o sistema seja estável, instável ou marginalmente estável.

� Considere K > 0



� Projeto de Sistema Estável via Routh-Hurwitz� Exemplo (cont.):

� Tabela de Routh:

• Se K > 1386, teremos uma mudança de sinal por causa da terceira linha, gerando um sistema instável;

• Se K < 1386, todos os termos da primeira coluna serão positivos, não havendo mudança de sinal. Assim, o sistema será estável;

• Se K = 1386, teremos a terceira linha como nula. Isso leva à necessidade de voltar à linha anterior, derivar seu polinômio e considerá-lo assim (considerando K=1386).



� Projeto de Sistema Estável via Routh-Hurwitz� Exemplo (cont.):

� Nesse último caso, como não há mudanças de sinal do polinômio par (linha s2) para baixo, o polinômio par tem suas duas raízes no eixo imaginário apenas (do contrário, por simetria, haveria raízes no semi-plano direito)

� Como não há mudanças de sinal acima do polinômio par também, as raízes restantes estão no semi-plano esquerdo

� Assim, o sistema é marginalmente estável

Polinômio: s3 + 18s2 + 77s + 1386

Raízes:

-18

8,775i

- 8,775i



� Estabilidade na Representação Estado-Espaço� Nesse caso, como já vimos, o polinômio do

denominador é dado por: det(sI – A), onde A é a matriz do sistema

� Assim, a Tabela de Routh deve ser aplicada sobre o polinômio gerado por esse determinante

� Exemplo:

Sistema:

Tabela de Routh

Uma mudança de sinal ⇒ Um polo no semi-plano direito ⇒ Sist. Instável


Exercícios Sugeridos (Nise)

� Cap. 6, Problemas:

� 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12

� No MatLab:

� 7, 10


A Seguir....

� Erros de Estado Estacionário

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