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Carlos Alexandre Mello – [email protected] 1

Erros de Estado Estacionário

Carlos Alexandre Mello

2Carlos Alexandre Mello – [email protected]

Introdução

� Projeto e análise de sistemas de controle:� Resposta de Transiente

� Estabilidade

� Erros de Estado Estacionário (ou Permanente)� Diferença entre a entrada e a saída para uma entrada de teste

pré-determinada quando t →∞

� Entradas de teste comuns: degrau, rampa ou parábola


Introdução

� Como estamos preocupados com a diferença entre a entrada e saída de um sistema de controle com re-alimentação depois de alcançar o estado estacionário, vamos nos limitar a estudar sistemas estáveis, onde a resposta natural tende a zero quando t →∞

� Considere os exemplos a seguir....


Introdução

� Exemplo 1:� Uma entrada degrau gera duas possíveis saídas:

output1 tem erro de estado estacionário zero e output2tem erro finito, e2 (no infinito)


Introdução

� Exemplo 2:� Aqui, para uma rampa de entrada, temos erro zero para

a output1, erro finito para output2 e infinito para a output3


Introdução

� Sistemas com Re-Alimentação Unitária� Sistema de controle re-alimentado onde o ganho do laço

de re-alimentação é 1

� Malha Fechada (Representação Geral) – T(s) é a função de transferência equivalente

Erro

C(s) = R(s)T(s)E(s) = R(s) – C(s) = R(s) – R(s)T(s)E(s) = R(s)[1 - T(s)]


Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Re-Alimentação Unitária

� O erro de estado estacionário pode ser calculado a partir da função de transferência de um sistema de malha fechada (T(s)) ou aberta (G(s)) para sistemas com re-alimentação unitária

� Vamos começar analisando o erro em relação à função de transferência de malha fechada T(s)

� Depois, analisaremos o sistema em malha aberta G(s), introduzindo a re-alimentação unitária



� Considere o erro E(s), a entrada R(s) e a saída C(s) para o sistema de malha fechada abaixo� Lembrando que T(s) é a função de transferência

equivalente

� Como calculamos antes, E(s) = R(s)[1 – T(s)]

� Estamos interessados em e(t), quando t → ∞



� e(∞) = limt→∞e(t)

� A transformada de Laplace da derivada de uma função é, por definição (Teorema do valor final):

� Quando s → 0:



� Assim:

� e(∞) = limt→∞e(t) = lims→0sE(s)

� Com isso:

� e(∞) = lims→0s{R(s)[1 – T(s)]}



� Exemplo: Dado o sistema abaixo

� Seja:

� Assim:

� Para R(s) = 1/s

Lembrando que

E(s) = R(s)[1 – T(s)]



� Exemplo (cont.):� T(s) é estável, pois só tem polos no semi-plano

esquerdo (-2 e -5)

� Assim, E(s) também não tem polos no semi-plano direito ou complexos (seu único novo polo é a origem)

� Com isso, podemos aplicar o Teorema do Valor Final� e(∞) = limt→∞

e(t) = lims→0sE(s)

� e(∞) = 1/2



� Sistema com malha fechada com re-alimentação unitária

� Solução 1: Achar a função equivalente T(s) e analisar como antes

� Solução 2: Definir o erro de estado estacionário em função de G(s)



� Sistemas com Re-Alimentação Unitária

Erro

C(s) = E(s)G(s)E(s) = R(s) – C(s) = R(s) – E(s)G(s)E(s)[1 + G(s)] = R(s)E(s) = R(s)/[1 + G(s)]



� Erro de estado estacionário zero para uma entrada degrau

E(s) = R(s)/(1 + K)E(s) = 1/[s(1 + K)]e(t) = [1/(1+K)]u(t) = 1/(1 + K)K → ∞ ⇒ e(t) → 0



� Erro de estado estacionário zero para uma entrada degrau

E(s) = R(s)/(1 + K/s)E(s) = 1/[s(1 + K/s)]e(t) = 1/(s + K) = e-Ktu(t) = e-Kt

Ou seja, o erro decai até zero.



� Aplicando o Teorema do Valor Final� E(s) = R(s)/[1 + G(s)]

� e(∞) = lims→0 sR(s)/[1 + G(s)]

� Essa expressão calcula o erro de estado estacionário, e(∞), dada a entrada R(s) e o sistema G(s)

� Vamos analisar o erro para três tipos diferentes de entrada....



� Entrada Degrau: R(s) = 1/s� edegrau(∞) = lims→0 s(1/s)/[1 + G(s)]

� edegrau(∞) = 1/[1 + lims→0 G(s)]

� O termo lims→0G(s) é o termo dc da função de transferência já que s, a variável de frequência, se aproxima de zero

� Para ter erro estacionário zero devemos ter lims→0G(s) → ∞



� Entrada Degrau:

� Para uma entrada degrau para um sistema de re-alimentação unitária, o erro de estado estacionário será zero se existir pelo menos um integrador puro no caminho à frente� Isso implica que G(s) terá, pelo menos, um ‘1/s’ (polo na

origem) o que leva G(s)→∞, quando s→0

� Se não existir integração, então o erro será finito e diferente de zero

n ≥ 1



� Entrada Rampa: R(s) = 1/s2

� erampa(∞) = lims→0 s(1/s2)/[1 + G(s)] = lims→0 1/[s + sG(s)]

� erampa(∞) = 1/lims→0 sG(s)

� Para ter erro estacionário zero devemos ter lims→0sG(s) → ∞

� Fazendo a mesma análise anterior, é preciso existir pelo menos dois integradores no caminho à frente

n ≥ 2



� Entrada Rampa: R(s) = 1/s2

� Se houver apenas um integrador, o erro será finito

� Se não houver integrador, o erro será infinito

� Já que



� Entrada Parabólica (t2/2): R(s) = 1/s3

� eparábola(∞) = lims→0 s(1/s3)/[1 + G(s)] = lims→0 1/[s2 + s2G(s)]

� eparábola(∞) = 1/lims→0 s2G(s)

� Para ter erro estacionário zero devemos ter lims→0s

2G(s) → ∞

� Fazendo a mesma análise anterior, é preciso existir pelo menos três integradores no caminho à frente

n ≥ 3



� Entrada Parabólica: R(s) = 1/s3

� Se houver apenas dois integradores, o erro será finito

� Se não houver integrador, o erro será infinito

� Já que



� Exemplo 1: Erros de estado estacionário para sistemas sem Integradores� Entradas:

� 5u(t)

� 5tu(t)

� 5t2u(t)

Sistema estável: duas raízes reais no semi-plano esquerdo



� Exemplo 1 (cont.):� Entrada 5u(t):

� Entrada 5tu(t):

� Entrada 5t2u(t):



� Exemplo 2: Erros de estado estacionário para sistemas com um Integrador� Entradas:

� 5u(t)

� 5tu(t)

� 5t2u(t)

Sistema estável: três raízes reais no semi-plano esquerdo



� Exemplo 2 (cont.):� Entrada 5u(t):

� Entrada 5tu(t):

� Entrada 5t2u(t):



� Exemplo 3: Ache o erro de estado estacionário para as entradas 15ut, 15tu(t), 15t2u(t) para a seguinte função de transferência:

� Solução: O sistema é instável (há polo no semi-plano direito), logo nenhum cálculo precisa ser feito


Constantes de Erro Estático e Tipo do Sistema

� Constantes de Erro Estático: especificações de desempenho de erro de estado estacionário� Como definimos antes taxa de amortecimento,

frequência natural, tempo de acomodação, etc.

Constante de Posição: Kp

Constante de Velocidade: Kv

Constante de Aceleração: Ka



� Exemplo:

Entrada degrau:

Entrada rampa:

Entrada parabólica:



� Tipo de Sistema� Continuando com sistemas com re-alimentação unitária

negativa

� As constantes de erro estático dependem da forma de G(s), principalmente, do número de integrações puras no caminho à frente

� O tipo do sistema depende do número n de integrações



� Tipo de Sistema



� Exemplo 1: Um sistema com re-alimentação unitária tem a seguinte função de transferência à frente

� Defina o tipo do sistema, Kp, Kv e Ka

� Ache as respostas para entrada degrau, rampa e parábola



� Exemplo 1 (cont.):� Kp = lims→0G(s) = 8000/63 = 127

� Kv = lims→0sG(s) = 0

� Ka = lims→0s2G(s) = 0

� Assim:� edegrau(∞) = 1/(1 + Kp) = 1/(1 + 127) = 0,0078

� erampa(∞) = 1/Kv = ∞

� eparábola(∞) = 1/Ka = ∞



� Exemplo 1 (cont.):



� Exemplo 2: Que informações as constantes de erro estático podem trazer:

� Suponha um sistema com Kv = 1000:� O sistema é estável

� O sistema é do Tipo 1, já que Kv é constante� Kv = 0 para Tipo 0 e Kv = ∞ para Tipo 2

� A entrada de teste foi uma rampa

� O erro de estado estacionário é 1/Kv



� Exemplo 3: Que informações temos de um sistema com especificação Kp = 1000?� O sistema é estável

� O sistema é do Tipo 0� Kp = ∞ para sistemas Tipo 1 e 2

� A entrada de teste é um degrau

� edegrau(∞) = 1/(1 + Kp) = 1/1001 ≈ 0,001



� Exemplo 4: Dado o sistema de controle a seguir, encontre o valor de K tal que o erro de estado estacionário seja de 10%



� Exemplo 4 (cont.):� Primeiro: Definir tipo do sistema

� Kp = lims→0 G(s) = ∞

� Kv = lims→0 sG(s) = 5K/336

� Ka = lims→0 s2G(s) = 0

� Logo, o sistema é do Tipo 1

� Usando a especificação dada no problema:� e(∞) = 1/Kv = 0,1 ⇒ Kv = 10

� Assim, K = 672

� Podemos aplicar o critério de Routh-Hurwitz para confirmar a estabilidade para esse valor de K


Erro de Estado Estacionário para Sistemas de

Re-Alimentação Não-Unitária

� Sistema genérico com re-alimentação




� Primeiro, vamos transformar o sistema de controle com re-alimentação não-unitária em um sistema com re-alimentação unitária adicionando e subtraindo caminhos de re-alimentação unitária




� Em seguida, combinamos H(s) com a re-alimentação unitária negativa...




� Finalmente, combinamos G(s) com H(s) -1

� Passamos a ter uma re-alimentação unitária e E(s) em função de R(s) e C(s)




� Exemplo: Para o sistema abaixo, ache o tipo de sistema, a constante de erro apropriada ao sistema e o erro de estado estacionário para uma entrada degrau unitário




� Exemplo (cont.):

� O primeiro passo é transformar o sistema em um sistema de re-alimentação unitária

� De acordo com o processo anterior, temos:

� Com:





� Nesse caso, o sistema é instável... Logo, não precisa calcular as constantes

� Observe que a instabilidade só pode ser determinada através de T(s)....





Polos no semi-plano direito


Exercícios Sugeridos (Nise)

� Cap. 7, Problemas:

� 1, 3, 4, 5, 9, 11, 13,18, 21, 23, 38, 42


A Seguir....

� Lugar das Raízes

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