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Carlos Alexandre Mello – [email protected] 1

Técnicas de Lugar das Raízes

Carlos Alexandre Mello

2Carlos Alexandre Mello – [email protected]

Introdução

� Lugar das raízes é um método de análise e projeto para estabilidade e resposta de transiente� É uma representação gráfica dos polos de um sistema

de malha fechada à medida que os parâmetros do sistema variam

� A técnica dá uma visão qualitativa do desempenho de um sistema de controle e também serve como uma ferramenta quantitativa que dá mais informações do que os métodos já discutidos� A técnica pode ser usada para descrever

qualitativamente o desempenho de um sistema quando vários parâmetros são mudados


Introdução

� Os polos de sistemas de malha aberta são facilmente encontrados; o mesmo não acontece com sistemas de malha fechada

Os polos de KG(s)H(s) são fáceis de serem encontrados, mas os polos de[1 + KG(s)H(s)] dependem da fatoração do denominador e variam com K


Introdução

� Representação de números complexos como vetores

a) s = σ + jω;

b) (s + a) = (σ + a) + jω;

c) Representaçãoalternativa para (s + a);

d) (s + 7)|s→5 + j2

σ+a

σ+a


Introdução

� No caso mais geral, considere a função:

Magnitude de F(s) em qualquer ponto s

Ângulo θ de F(s) em qualquer ponto s


Introdução

� Exemplo 1:� Dado F(s) = (s + 1)/[s(s + 2)]� Encontre F(s) no ponto s = -3 + j4� Solução gráfica: Traçamos vetores das raízes dos

polinômios (tanto zeros quanto polos) até o ponto dado no plano complexo....


Introdução

� Exemplo 1 (cont.):� F(s) = (s + 1)/[s(s + 2)]� s = -3 + j4� V1:

� |V1| = √20� ∠V1 = 180 - tg-1(4/2) = 116º

� V2:� |V2| = √25=5� ∠V2 = 180 - tg-1(4/3) = 127º

� V3:� |V3| = √17� ∠V3 = 180 - tg-1(4/1) = 104º

V1

V2

V3

∠V1

s


Introdução

� Exemplo 1 (cont.):

= √205√17

= 116º - (127º + 104º) = -115º

Assim, F(s) = 0,2169∠-115º no ponto s = -3 + j4


Introdução

� Exemplo 2: Dado

� encontre F(s) para s = -7 + 9j


Definindo o Lugar das RaízesO que é o Lugar das Raízes?

� Considere o exemplo abaixo:

Variando K...



� Considere o exemplo abaixo:

Plotagem dos polos da Tabela anterior Lugar das raízes

Em geral, vamos considerar o ganho positivo, ou seja, K ≥ 0.



� O lugar das raízes mostra as mudanças na resposta de transiente com a variação de K

� Nesse exemplo, os polos são reais para ganhos menores que 25� Sistema Sobreamortecido

� No ganho 25, o sistema tem polos reais iguais� Sistema Criticamente Amortecido

� Acima de ganho 25, o sistema é Subamortecido� Observe que, nesse caso, a parte real do polo

permanece constante



� Como a parte real do polo permanece constante, o tempo de amortecimento (Ts) também é constante� Lembrando que ele é inversamente proporcional à parte real

do polo

� Ao aumentarmos o ganho, a taxa de amortecimento diminui e a porcentagem sobressinal aumenta

� O tempo de pico diminui com o aumento do ganho� Nesse exemplo, como o lugar das raízes nunca cruza

para o semi-plano direito, o sistema é sempre estável, independente do valor do ganho

� A análise também é aplicável a sistemas com ordem maior que 2


Propriedades do Lugar das Raízes

� A partir das propriedades do lugar das raízes, é possível fazer seu rascunho para sistemas de alta ordem sem precisar fatorar o polinômio do denominador

� Considere um sistema de controle de malha fechada geral que tem função de transferência:



� Para tal sistema, um polo s existe quando o polinômio no denominador é igual a zero, ou:� KG(s)H(s) = -1 = 1∠(2k + 1)180º , k = 0, ±1, ±2, ±3, ...

� Onde -1 está representado em sua forma polar� Isso significa que um valor de s em KG(s)H(s) gera um

número complexo e, se o ângulo desse número for um múltiplo ímpar de 180º, aquele valor de s é um polo para algum valor de K

� Considerando: |KG(s)H(s)| = 1 e ∠KG(s)H(s) =(2k + 1)180º

� Então: K = 1/(|G(s)||H(s)|)



� Vamos considerar novamente o exemplo anterior e a tabela associada ao valor de K:

Pela tabela, quando o ganho é 5, temos polos em -9,47 e -0,53.KG(s)H(s) = K/[s(s + 10)]Para s = -9,47, temos KG(s)H(s) = 5/(-9,47.(-9,47 + 10)) = -1K = 10 => polos em -8,87 e -1,13 => KG(s)H(s) = -1K = 35 => KG(s)H(s) = -1....



� Exemplo 1: Considere o sistema abaixo

� A função de malha aberta é:

� A função de malha fechada é:



� Exemplo 1 (cont.): Considere o ponto -2+3j� ∠ = (θ1 + θ2) – (θ3 + θ4) = -70,55º � Assim, -2 + 3j não faz parte do lugar das raízes

� Ou ainda, -2+3j não é polo de T(s) para qualquer K� Para o ponto -2 + j√2/2

� θ1 = 19,47º � θ2 = 35,26º� θ3 = 90º� θ4 = 144,73º� ∠=(θ1 + θ2) - (θ3 + θ4) = -180º � Assim, -2+j√2/2 faz parte dolugar das raízes

-2+3j



� Exemplo 1 (cont.): Para o ponto -2 + j√2/2, o ganho K é:� K = L3L4/(L1L2) = (√2/2)(√3/√2)/[(√9/√2)(√3/√2)] = 0,33

� Assim, o ponto -2 + j√2/2 é um ponto do lugar das raízes para um ganho de 0,33



� Exemplo 2: dado um sistema com re-alimentação unitária que tem a seguinte função à frente:

� Calcule o ângulo de G(s) para o ponto (-3 + j0)� Determine se o ponto está no lugar das raízes

� Se sim, ache o ganho K


Esboçando o Lugar das Raízes

� O lugar das raízes pode ser obtido varrendo-se todo ponto no plano s para localizar os pontos cujos ângulos são múltiplos ímpares de 180� Obviamente, essa tarefa é muito custosa

� Podemos simplificar o processo com algumas regras:� 1) Número de ramos: Cada ponto em malha fechada se

desloca à medida que o ganho é variado. Se definimos um ramo como sendo o caminho que um polo atravessa, então haverá um ramo para cada polo em malha fechada

� O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de polos em malha fechada



� Regras:� 2) Simetria: O lugar das raízes é simétrico em relação

ao eixo real

� Os polos complexos sempre aparecem com seus conjugados

� 3) Segmentos do Eixo Real: Usamos a propriedade que o ângulo deve ser um múltiplo ímpar de 180º para determinar onde existem segmentos do eixo real que fazem parte do lugar das raízes



� Regras:� 3) Segmentos do Eixo Real:

� Considere a contribuição dos polos e zeros nos pontos P1, P2, P3 e P4 abaixo

� A contribuição de um par de polos ou zeros complexos é nula (são simétricos, então seus ângulos se anulam)

� A contribuição de polos ou zeros reais à esquerda do respectivo ponto é zero (o ângulo é de zero grau)

� Assim, a única contribuição é de polos e zeros reais à direita do respectivo ponto (forma um ângulo de 180º)



� Regras:� 3) Segmentos do Eixo Real: No eixo real, para K > 0, o

lugar das raízes existe à esquerda de um número ímpar de polos ou zeros finitos em malha aberta sobre o eixo real

� O número ímpar de polos ou zeros garante que o múltiplo de 180º seja ímpar

� No exemplo anterior, os segmentos do eixo real do lugar das raízes ficam entre -1 e -2 e entre 3 e -4



� Regras:� 4) Pontos de Início e Término:

� Início do lugar das raízes: ganho zero� Término do lugar das raízes: ganho infinito� O lugar das raízes começa nos polos finitos ou infinitos de

G(s)H(s) e termina nos zeros finitos ou infinitos de G(s)H(s)

� Considere o sistema abaixo:




� Considerando:

� Temos:

� Quando K → 0:

� Quando K → ∞:

N = NumeradorD = Denominador




� Quando K → 0:

� Com isso, concluímos que o lugar das raízes começa nos polos de G(s)H(s), a função de transferência de malha aberta (os polos de T(s) são os mesmos de G(s) e H(s))

� Quando K → ∞, os polos de T(s) se aproximam à combinação dos zeros de G(s) e H(s). O lugar das raízes, então, termina nos zeros de G(s)H(s)

� Observe que são os polos e zeros da função de malha aberta!!



� Regras:� 4) Pontos de Início e Término:� No exemplo anterior, o lugar das raízes começa nos

polos -1 e -2 e termina nos zeros -3 e -4� O lugar começa em -1 e -2 e se move no eixo real no

espaço entre esses polos indo de um para o outro� Eles se encontram em algum lugar entre -1 e -2 e

partem como números complexos conjugados até se encontrarem em algum ponto entre -3 e -4, onde eles caminham em direção a esses zeros




11

2

3

3

4

55



� Regras:� 5) Comportamento no Infinito: O lugar das raízes

tende a retas assintóticas quando o lugar tende a infinito. A equação das assíntotas é dada pela interseção com o eixo real em σa com ângulo θa, como segue:

k = 0, ±1, ±2, ±3, ...

# = Número de....

O número de polos deve ser maior que o de zeros!!



� Exemplo: esboçar o lugar das raízes para o sistema:

� Polos: 0, -1, -2, -4� Zeros: -3� Primeiro, calculamos as assíntotas:

� σa = [(0 – 1 – 2 – 4) – (-3)]/(4 – 1) = -4/3

� θa = (2k + 1)π/(4 – 1) = (2k + 1)π/3 = π/3, para k = 0π, para k = 15π/3, para k = 2A partir daqui, os ângulosse repetem....



� Exemplo (cont.):� O número de linhas é igual à diferença entre o número

de polos finitos e o número de zeros finitos

-4/3

Polos e zeros Assíntota

Assíntota

Assíntota



� Exemplo (cont.):� Pela regra 4, o lugar começa nos polos de malha aberta

e termina nos zeros de malha aberta� Existem mais polos do que zeros� Assim, devem existir zeros no infinito� As assíntotas dizem como chegar nesses zeros no infinito� A forma final pode ser vista a seguir....



� Exemplo (cont.): Forma final

Assíntota

Assíntota

Assíntota

Inicia nos polos e termina nos zeros:• Começa entre -1 e 0 e segue para infinito• Começa em -2 e termina em -3• Começa em -4 e termina em infinito



� Exemplo 2: Esboce o lugar das raízes para o sistema de re-alimentação unitária com função de transferência à frente:


Refinando o Esboço

� Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real

Ponto de Saída Ponto de Entrada


Refinando o Esboço

� Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real� Nos pontos de entrada e saída, os ramos fazem um

ângulo de 180º/n com o eixo real, onde n é o número de polos de malha fechada partindo do ponto de saída ou chegando no ponto de entrada

� Na figura anterior, os ramos formam um ângulo de 180º/2 = 90º com o eixo real

� Como o ganho cresce a partir dos polos (como em -1 e -2) até o ponto de saída, o ganho será máximo nesse ponto� O ganho pode ser maior à medida que o lugar das raízes

caminha pelo plano complexo, mas ele será máximo nesse ponto em relação ao eixo real apenas


Refinando o Esboço

� Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real� Analogamente, o ganho no ponto de entrada é o ganho

mínimo encontrado sobre o eixo real entre os dois zeros

� Para encontrar os pontos:� Três soluções possíveis...


Refinando o Esboço

� Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real� Solução 1: Derivar K = -1/[G(σ)H(σ)] em relação a σ� Exemplo:

� Para todos os pontos no lugar das raízes:

� Resolvendo para K:

σ1=-1,45σ2 = 3,82

= 0


Refinando o Esboço

� Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real� Solução 2: Os pontos de entrada e saída satisfazem a

relação:

� Exemplo: Considerando o exemplo anterior:

σ1=-1,45σ2 = 3,82

zi e pi são os negativos dos zeros e polos!!!

Polos: -1 e -2Zeros: 3 e 5


Refinando o Esboço

� Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real� Solução 3: O terceiro método é a busca pelo máximo e

mínimo ganho através de recursos computacionais


Refinando o Esboço

� Interceptação com o Eixo jω� Considere um exemplo anterior:� Como os polos estão no semi-

plano esquerdo, o ponto de interceptação com o eixo imaginário indica no lugar das raízes o ponto que separa uma operação estável do sistema de uma operação instável do sistema


Refinando o Esboço

� Interceptação com o Eixo jω� Para encontrar o ponto de interceptação com o eixo jω,

podemos usar o critério de Routh-Hurwitz da seguinte maneira: Forçando uma linha de polinômio ímpar ser nula na Tabela de Routh obtém-se o ganho; retornando uma linha para a equação de polinômios par, com esse vsalor de K, buscam-se as raízes, obtendo a frequência de cruzamento com o eixo imaginário


Refinando o Esboço

� Interceptação com o Eixo jω� Exemplo: Na função abaixo, encontre a frequência e o

ganho K para o qual o lugar das raízes cruza o eixo imaginário

Tabela Routh:


Refinando o Esboço

� Interceptação com o Eixo jω� Exemplo (cont.): A única linha de polinômio ímpar que

pode ser completamente anulada é a de s1

� No caso, temos: -K2 – 65K + 720 = 0� K = -74,65 e 9,65� Se usarmos K = -74,65, então provocamos mudança de

sinal com o último elemento da Tabela (21K). Assim, vamos usar K = 9,65

� Considerando esse valor de K e retornando para s2:� (90 – K)s2 + 21K = 80,35s2 + 202,7 = 0� s = ±j1,59

� Assim, o lugar das raízes corta o eixo jω em ±j1,59 para um ganho 9,65


Refinando o Esboço

� Ângulos de Chegada e Partida� É possível também calcular os ângulos de chegada e de

partida dos polos e zeros� Nesse caso, o uso de uma ferramenta computacional é

mais apropriado


Resumo

� Regras Básicas para Esboçar o Lugar das Raízes� Número de ramos é igual ao número de polos em

malha fechada� O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real� No eixo real, para K > 0, o lugar das raízes existe à

esquerda de um número ímpar de polos e/ou zerosfinitos em malha aberta sobre o eixo real

� O lugar das raízes se inicia nos polos finitos e infinitos de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos e infinitos de G(s)H(s)

� O lugar das raízes tende a retas assintóticas quando o lugar tende a infinito. As equações das assíntotas são definidas por:


Resumo

� Regras Adicionais para Refinar o Esboço� O lugar das raízes sai do eixo real no ponto onde o

ganho é mínimo e entra no eixo real no ponto onde o ganho é máximo

� O lugar das raízes cruza o eixo imaginário no ponto onde ∠G(s)H(s) = (2k + 1)180º. O critério de Routh-Hurwitz pode ser usado para determinar esse ponto de cruzamento

� Ângulos de partida e de chegada podem ser calculados precisamente

� Todos os pontos do lugar das raízes satisfazem à relação ∠G(s)H(s) = (2k + 1)180º. O ganho é dado por:


Exemplo 1


� Esboce o lugar das raízes e encontre:� a) O ponto exato e ganho onde o lugar cruza o eixo jω� b) O ponto de saída do eixo real� c) A faixa de K na qual o sistema é estável


Exemplo 1 (cont.)

� Polos de G(s): -2 e -4� Zeros de G(s): 2 ± j4

No. de zeros = No. de polos⇒Não se calculam as assíntotas.


Exemplo 1 (cont.)

� Polos: -2 e -4� Zeros: 2 ± j4

O lugar começa entre os polos e termina nos zeros sendo simétrico em relação ao eixo real


Exemplo 1 (cont.)

� Polos: -2 e -4� Zeros: 2 ± j4


Exemplo 1 (cont.)


Exemplo 1 (cont.)

� a) Cruzamento com o eixo imaginário

s2

s1

s0

(K + 1) (20K + 8)

(6 – 4K) 0 Essa linha pode ser anulada com K = 3/2

Tabela de Routh:


Exemplo 1 (cont.)

� a) Cruzamento com o eixo imaginário� Considerando a linha anterior de equação par para o

ganho definido, temos:

Assim, o cruzamento com o eixo imaginário se dá em ±j3,9 com ganho K = 3/2


Exemplo 1 (cont.)

� b) Pontos de entrada e saída� Polos: -2 e -4� Zeros: 2 ± j4

σ1 = 5,28

σ2 = -2,88Pelo esboço do lugar das raízes, só pode ser esse valor


Exemplo 1 (cont.)

� c) A faixa de K na qual o sistema é estável� Pela letra (b) e considerando K > 0, a faixa é 0 < K < 1,5


Lugar das Raízes para Sistema de Re-Alimentação Positiva



Lugar das Raízes para Sistema de Re-Alimentação Positiva

� Regras:� 1. Número de ramos: Mesmo que antes� 2. Simetria: Mesmo que antes� 3. Segmentos no Eixo Real: O lugar das raízes para

sistemas de re-alimentação positiva existem à esquerda de um número par de polos e/ou zeros finitos de malha aberta

� 4. Pontos de Início e Término: Mesmo que antes� 5. Comportamento no Infinito: Assíntotas:


Exercícios Sugeridos (Nise)

� Cap. 8, Problemas:� 1, 2, 3, 4, 7, 10, 11, 12, 14, 19, 21 (menos a letra d)

� Ferramenta gratuita para desenhar Lugar das Raízes:� http://www.coppice.myzen.co.uk/RootLocs_Site/RootLoc

s.html


A Seguir....

� Projeto Através do Lugar das Raízes

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