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Carlos Alexandre Mello – [email protected] 1

Redução de Múltiplos Subsistemas

Carlos Alexandre Mello

2Carlos Alexandre Mello – [email protected]

Introdução

� Sistemas mais complexos são compostos por diversos subsistemas

� Queremos representar múltiplos subsistemas com apenas uma função de transferência para, por exemplo, obter resposta de transiente como vimos antes

� Representação de múltiplos subsistemas� Diagramas de Bloco� Grafos de Fluxos de Sinal


Diagramas de Blocos

� Como já vimos, esses são os principais elementos de um diagrama de blocos:

G(s)X+ -

X(s) E(s) Y(s)

Ponto de Soma

Ponto de Ramificação

Sinal deEntrada

Sinal deSaídaSistema


Diagramas de Blocos

� Os blocos podem estar conectados em série (cascata)....

Subsistemas

Função de transferência equivalente


Diagramas de Blocos

� ...ou em paraleloSubsistemas



Diagramas de Blocos

� Com possibilidade de retroalimentação...

Subsistemas



Diagramas de Blocos

� Modificações em Blocos� Equivalência em pontos de soma

C(s) = G(s)(R(s) ± X(s))C(s) = G(s)R(s) ± G(s)X(s)

C(s) = G(s)(R(s) ± X(s))C(s) = G(s)R(s) ± G(s)X(s)

Bloco G(s) moveu para a Esquerda


Diagramas de Blocos

� Modificações em Blocos� Equivalência em pontos de soma

C(s) = G(s)R(s) ± X(s) C(s) = (R(s) ± X(s)/G(s))G(s)C(s) = G(s)R(s) ± X(s)

Bloco G(s) moveu para a Direita


Diagramas de Blocos

� Modificações em Blocos� Equivalência em pontos de ramificação


Diagramas de Blocos

� Exemplo 1: Redução de diagrama de blocos

Diagramaoriginal


Diagramas de Blocos

� Exemplo 1 (cont.): Redução de diagrama de blocos

Passo I


Diagramas de Blocos


Passo II


Diagramas de Blocos


Passo III


Diagramas de Blocos

� Exemplo 2: Redução de diagrama de blocos

Diagramaoriginal


Diagramas de Blocos


Passo I


Diagramas de Blocos


Passo II


Diagramas de Blocos


Passo II

××××

÷÷÷÷


Diagramas de Blocos


Passo II


Diagramas de Blocos


Passo III


Diagramas de Blocos


Passo IV

Passo V


Diagramas de Blocos

� Exemplo 3: Encontre a função de transferência T(s)=C(s)/R(s) para o sistema abaixo:


Diagramas de Blocos

� Exemplo 3 (cont.):

s2

Passo I


Diagramas de Blocos


Passo II


Diagramas de Blocos



Diagramas de Blocos


Passo III


Diagramas de Blocos


A BX Y+

-C E

E = A.CY = B.EC = X – E ⇒ E = A(X – E) = AX – AE⇒ E(A + 1) = AX ⇒ E = AX/(A + 1)Y = B.E = ABX/(A + 1)


Diagramas de Blocos



Diagramas de Blocos


Passo IV

Ou:


Grafos de Fluxo de Sinal

� Grafos de fluxo de sinal são uma alternativa para diagrama de blocos

� São compostos apenas por nós e arestas� Um sistema é representado por uma linha

direcionada indicando a direção do fluxo do sinal através do sistema

Exs.: V(s) = R1G1 - R2G2 + R3G3C1 = V(s)G4


Grafos de Fluxo de Sinal� Elementos:

� Nós: Sinais internos como a entrada comum para vários blocos ou a saída de um somador; representam variáveis

� Caminho: É a sequência de nós conectados na direção do fluxo sem incluir nenhuma variável mais de uma vez

� Caminho direto: Caminho da entrada para a saída, sem incluir nenhum nó mais de uma vez.

� Malha: Caminho que se origina e termina no mesmo nó.� Ganho do caminho: Produto dos ganhos dos ramos que

formam um caminho.� Ganho de malha: O ganho do caminho associado com uma

malha.� Nó de entrada: Um nó que possui somente ramos que se

afastam dele.� Nó de saída: É um nó que possui apenas ramos que se

dirigem a ele.


Grafos de Fluxo de SinalRelação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal

� Exemplo 1:

Diagrama de Blocos

Nós do sistema em cascata

Grafo de fluxo de sinal de sistema em cascata



� Exemplo 2:

Nós do sistema em paralelo

Grafo de fluxo de sinal de sistema em paralelo

Diagrama de Blocos



� Exemplo 3:

Nós do sistema com re-alimentação

Grafo de fluxo de sinal de sistema com re-alimentação

Diagrama de Blocos



� Problema: Converta o diagrama de blocos abaixo para grafo de fluxo de sinal:



� Problema (cont.): � 1º Passo: Desenhar os nós do sinal



� Problema (cont.): � 2º Passo: Conecte os nós, mostrando a direção do fluxo

do sinal e identificando cada função de transferência



� Problema (cont.): � 3º Passo: Simplificar o grafo de fluxo


Regra de Mason

� Reduzindo grafos de fluxo de sinal para uma única função de transferência que relacione a saída de um sistema a sua entrada

� Para diagrama de blocos, a redução é feita através da aplicação sucessiva de relações

� Para grafos de fluxo de sinal, a regra de Mason* para redução requer a aplicação de uma fórmula

*Samuel Jefferson Mason (1953)


Regra de Mason

� Definições:� Ganho de laço: O produto dos ganhos encontrados ao

atravessar um caminho que começa e termina no mesmo nó, seguindo a direção do fluxo, sem passar por nenhum outro nó mais de uma vez

4 ganhos de laço:1. G2H12. G4H23. G4G5H34. G4G6H3

1 2

3

4


Regra de Mason

� Definições:� Ganho do caminho à frente (forward path gain): O

produto dos ganhos encontrados ao atravessar um caminho do nó de entrada ao nó de saída na direção do fluxo

2 ganhos de caminho à frente:1. G1G2G3G4G5G72. G1G2G3G4G6G7


Regra de Mason

� Definições:� Laços que não se tocam (Nontouching loops): Laços

que não têm qualquer nó em comum.

Laços que não se tocam:G2H1 não toca os laços G4H2, G4G5H3 e G4G6H3


Regra de Mason

� Definições:� Ganho de laços que não se tocam (Nontouching-loop

gain): O produto dos ganhos de laço dos laços que não se tocam tomados 2 a 2, 3 a 3, 4 a 4, etc.


Regra de Mason

� Definições:� Ganho de laços que não se tocam (Nontouching-loop

gain): Do exemplo anterior, o produto do ganho de laço G2H1 e do ganho de laço G4H2 é um ganho de laços que não se tocam tomados 2 a 2

� Todos os três ganhos de laços que não se tocam tomados dois a dois de cada vez são:

� 1. [G2H1][G4H2]� 2. [G2H1][G4G5H3]� 3. [G2H1][G4G6H3]� No exemplo, não existem três laços que não se tocam,

logo, não temos ganhos de laços que não se tocam 3 a 3


Regra de Mason

� A função de transferência C(s)/R(s) de um sistema representado por um grafo de fluxo de sinal é

� onde:� k = número de caminhos à frente� Tk = ganho do k-ésimo caminho à frente� ∆ = 1 - Σ (ganhos de laço) + Σ (ganhos de laços que não

se tocam tomados 2 a 2) - Σ (ganhos de laços que não se tocam tomados 3 a 3) + Σ (ganhos 4 a 4) - ....

� ∆k = ∆ - Σ (termos de ganhos de laço em ∆ que tocam o k-ésimo caminho à frente). ∆k é formado usando o mesmo cálculo de ∆ mas sem os ganhos de laço que tocam o k-ésimo caminho à frente


Regra de Mason

� Exemplo 1: Encontre a função de transferência C(s)/R(s) para o grafo de fluxo de sinal abaixo:


Regra de Mason

� Exemplo 1 (cont.): Primeiro, vamos encontrar os ganhos de caminhos à frente� Nesse exemplo, só temos um: G1G2G3G4G5

� A seguir, vamos identificar os ganhos de laço:1. G2H1 (1)2. G4H2 (2)3. G7H4 (3)4. G2G3G4G5G6G7G8 (4)

� Ganhos de laços que não se tocam tomados 2 a 2� Laços 1 e 2: G2H1G4H2 (5)� Laços 1 e 3: G2H1G7H4 (6)� Laços 2 e 3: G4H2G7H4 (7)


Regra de Mason

� Exemplo 1 (cont.):� Ganhos de laços que não se tocam tomados 3 a 3

� Laços 1, 2 e 3: G2H1G4H2G7H4 (8)

� Da Regra de Mason e das definições, calculamos ∆ e ∆k:� ∆ = 1 – [(1) + (2) + (3) + (4)] + [(5) + (6) + (7)] – (8)� ∆k é calculado eliminando de ∆ o ganho de laço que toca

o k-ésimo caminho à frente: ∆1 = 1 – G7H4� ∆1 = 1 – [(1) + (2) + (3) + (4)] + [(5) + (6) + (7)] - (8) = 1 – (3)

� Assim:


Regra de Mason


� Se tivéssemos mais de um caminho à frente, teríamos como resposta uma soma de termos

G(s) = [G1G2G3G4G5][1 - G7H4]

∆


Grafos de Fluxo de Sinal de Equações de Estado

� Exemplo, considere as seguintes equações de estado:

� Primeiro, identificamos os nós para serem as variáveis de estado (no caso, x1, x2 e x3)

� Identificamos também nós para as derivadas das variáveis de estado (colocados à esquerda delas)

� Temos mais um nó como a entrada r e um para a saída y



� Exemplo:

R(s)

sX3(s) X3(s) sX2(s) X2(s) sX1(s) X1(s)

Y(s)



� Exemplo:� Em seguida, conecte as derivadas às variáveis de

estado através de uma integração 1/s

R(s)


Y(s)1/s 1/s 1/s



� Exemplo:� Vamos construindo agora as equações de estado:� x1’ recebe 2x1 – 5x2 + 3x3 + 2r

R(s)


Y(s)1/s 1/s 1/s

-5

2

32



� Exemplo:� Fazendo para todas as equações:


Representações Alternativas no Estado-Espaço

� Forma Cascata:



� Forma Cascata:� Para funções de primeira ordem:



� Forma Cascata:� Assim, o diagrama completo para:

� é....



� Forma Cascata:� Desse grafo de fluxo de sinal:

� chegamos às equações de estado:



� Forma Cascata:� Análise: Matriz do

SistemaMatriz deEntrada

Matriz deSaída

Polos do Sistema



� Forma Paralela:

� C(s) é a soma de três termos onde cada um é uma função de primeira ordem

� Na verdade, cada um é um subsistema com R(s) como entrada



� Forma Paralela:



� Forma Paralela:� Equações de Estado:

Matriz identidade



� Forma Paralela:� Observe que termos uma matriz identidade indica que

cada equação é uma equação diferencial de primeira ordem em uma única variável

� Assim, podemos resolver essas equações independentemente

� Essas equações são ditas desacopladas



� Forma Paralela:� Denominador com raízes reais repetidas

� 1º Passo: Expansão em frações parciais:



� Forma Paralela:� Grafo de fluxo de sinal



� Forma Paralela:� Representação Estado-Espaço:

Polos do Sistema


Representação Estado-Espaço para Sistemas com Zero

� Problema: Represente o sistema abaixo no modelo estado-espaço (possui zero):

� Vamos separar a função de transferência em cascata como fizemos antes:

R(s) E(s)

R(s) E(s)X1(s)

Vem para o segundo (ou mais) termo!Evite usar r(t) como entrada.



� Problema (cont.): � Primeiro bloco:

� X1(s)/R(s) = 1/(s + 5) ⇒ sX1 + 5X1 = R ⇒ sX1 = R - 5X1

R(s) X1(s)

R sX1 X1

1/s

Passo 1:

RsX1

X1

1/s

-5

Passo 2:

1



� Problema (cont.): � Segundo bloco:

� E(s)/X1(s) = 5s + 5 ⇒ E(s) = 5sX1 + 5X1

EsX1 X1

1/s

Passo 1: Passo 2:

E(s)X1(s)

EsX1

X11/s 5

5



� Problema (cont.): � Juntando os dois e aproveitando os nós X1 e sX1:

EsX1

X11/s

5

5

-5

R1


Representação Estado-Espaço para Sistemas com Re-Alimentação

� Problema: Represente o sistema abaixo no modelo estado-espaço (re-alimentação e zero):

� Primeiro, vamos modelar apenas a função de transferência sem nos preocuparmos com a re-alimentação....



� Problema (cont.): Represente o sistema abaixo no modelo estado-espaço (re-alimentação e zero):



� Problema (cont.):




x2’ = -2x2 + 100e = -2x2 + 100(r – c) x1’ = -3x1 + x2

c = 5x1 + x1’ = 5x1 + (x2 – 3x1)c = 2x1 + x2



� Problema (cont.):� x1' = -3x1 + x2

� x2' = -200x1 – 102x2 + 100r� y = c(t) = 2x1 + x2


Controlabilidade

� Se para um sistema for possível obter uma entrada capaz de transferir todas as variáveis de estado de um estado inicial desejado para um estado final desejado, o sistema é dito controlável; caso contrário, o sistema é não controlável


Controlabilidade

No sistema ao lado, o sinal de controle ualcança todas as variáveis de estado do sistema.... Tal sistema é dito controlável.


Controlabilidade

Já nesse sistema, a variável x1não é alcançada pelo sinal de controle u. Se x1 apresentar um comportamento instável, não haveria uma forma de realizar um projeto de re-alimentação para estabilizar x1. Tal sistema é dito não controlável.


Controlabilidade por Inspeção

� Considere as seguintes equações de estado:

ou

Sistema desacoplado: a variável de controle u afeta cada variável de estado


Controlabilidade por Inspeção

� Já no sistema:

A variável x1 não é controlada pelo controle u.

ou


Matriz de Controlabilidade

� Uma planta de n-ésima ordem cuja equação de estado é x’ = Ax + Bu é completamente controlável se a matriz

� tiver posto n� CM é chamada de matriz de controlabilidade



� Exemplo: Considere o sistema abaixo



� Exemplo (cont.): Matriz de Controlabilidade:



� Exemplo (cont.): O posto de CM é o número de linhas ou colunas linearmente independentes� Basta escalonar a matriz e verificar o número de linhas

não nulas

0 1 -21 -1 11 -2 4

1 -1 10 1 -21 -2 4

1 -1 10 1 -20 -1 3

1 0 -10 1 -20 0 1

1 0 00 1 00 0 1

Posto = 3 = n Sistema Controlável


Observabilidade

� Se o vetor de estado inicial, x(t0), puder ser obtido a partir de u(t) e y(t) medidos durante um intervalo de tempo finito a partir de t0, o sistema é dito observável; caso contrário, o sistema é dito não observável.


Observabilidade

No sistema ao lado, cada variável de estado pode ser observada na saída já que cada uma delas está conectada à saída.


Observabilidade

No sistema ao lado, nem todas as variáveis de estado podem ser observadas na saída.


Observabilidade por Inspeção

� Podemos explorar a observabilidade a partir da equação de saída de um sistema diagonalizado

� Exemplo de um sistema observável:

� Exemplo de um sistema não-observável:


Matriz de Observabilidade

� Considere um sistema de n-ésima ordem cujas equações de estado e de saída são:

� Um sistema é observável se a matriz de observabilidade dada por:

� tem posto igual a n



� Exemplo: Considere o sistema abaixo:



� Exemplo (cont.):

� Novamente, por escalonamento, encontramos o posto igual a 3 (que é igual à ordem do sistema).

� Logo, o sistema é observável


Exercícios Sugeridos (Nise)

� Cap. 5, Problemas:� 1a, 2, 3, 4, 5a, 6, 12, 23, 26, 27, 31, 33a, 33b


A Seguir....

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