conjuntos limites de sistemas dinâmicos discretos … · rondinei almeida da silva conjuntos...

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA BAHIA

CAMPUS EUNÁPOLIS

DEPARTAMENTO DE ENSINO

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

RONDINEI ALMEIDA DA SILVA

Conjuntos Limites de Sistemas

Dinâmicos Discretos Não-Lineares

Eunápolis

2012

RONDINEI ALMEIDA DA SILVA

Conjuntos Limites de Sistemas

Dinâmicos Discretos Não-Lineares

Monografia apresentada à coordenação do

Curso de Licenciatura Plena em Matemática

do IFBA/Campus Eunápolis, como requisito

parcial para obtenção do grau de licenciado em

Matemática, elaborada sob orientação do Prof. Dr.

Fabíolo Moraes Amaral.

Eunápolis

2012

Aos meus pais, Valdinei e Marinalva.

AGRADECIMENTOS

A DEUS pelas bençãos alcançadas.

Aos meus pais, Valdinei e Marinalva, pela educação, carinho, por sempre acreditar em

mim e estarem presentes nas horas mais incertas.

Ao meu orientador Prof.Fabíolo Moraes Amaral pelos valiosos ensinamentos, respons-

abilidade e dedicação com que orientou este trabalho.

Ao meu irmão Silvonei Almeida pelos momentos de descontração.

Aos colegas de curso pelo companherismo e os momentos de resenha, e aos professores

do IFBA que colaboraram para a minha formação.

A Jairo, Isaac e Luana pela amizade e carinho.

Aos meus amigos que torcem por mim de longe, e aos que me acompanham e ajudam

aqui de perto.

A todos que tornam esse meu caminho mais alegre.

Enfim, a todos que de alguma maneira contribuíram para a realização deste trabalho.

RESUMO

Em muitas aplicações matemáticas na economia, ecologia e engenharia o tempo é

discreto, isto é, as grandezas são medidas em instantes isolados(de hora em hora, a cada

minuto, etc), formando uma sequência que descreve o sistema. Neste caso, as equações

diferenciais contínuas não são adequadas para exprimir a evolução do fenômeno sendo

substituídas pelas equações de diferenças finitas. Este trabalho procurou estudar os sis-

temas dinâmicos discretos via equações de diferenças dandoênfase nos conjuntos lim-

ites. O conjunto limite é figura importante quando se estuda oPrincípio de Invariância

de LaSalle e a caracterização da Região de Estabilidade. Verficamos neste trabalho que

o conjunto limite, sob algumas hipóteses, é um conjunto não-vazio, fechado, invariante,

invariantemente conexo e limitado.

Palavras-chave: Equações de Diferenças, Conjuntos limites, Sistemas Dinâmicos.

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1 PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1 Espaços Métricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Espaço vetorial normado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Funções Contínuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 SISTEMAS DINÂMICOS DISCRETOS NÃO-LINEARES . . . . . . . . 17

2.1 Equações de Diferenças. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Conjunto Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Invariância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 PROPRIEDADES BÁSICAS DOS CONJUNTOS LIMITES . . . . . . . 25

CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

INTRODUÇÃO

O interesse pelo tema apresentado se originou de meus estudos feitos como bolsista de

Iniciação Científica no projeto intitulado Região de Estabilidade de Sistemas Dinâmicos

Discretos Não-Lineares e Aplicações, sob a orientação do professor Fabíolo Moraes Ama-

ral. Devido a rica variedade de aplicações (N. SAKELLADARIDIS, 2006), (MARCUS;

WESTERVELT, 1989), (WANG; ZHANG; LIU, 2011), (YU et al., 2010), os estudos em

sistemas discretos não-lineares tem se tornado cada vez mais frequente. Muitos sistemas

físicos são modelados por sistemas dinâmicas discretos. Como advento da tecnologia

digital os sistemas discretos tornaram-se ainda mais importantes, sendo assim, o desen-

volvimento de ferramentas analíticas para este tipo de sistema é de grande importância.

As equações de diferenças, são úteis no estudo de oscilaçõesperiódicas e caos. Além

disso, a integração numérica de equações diferenciais envolve a transformação dessas em

equações de diferenças, procedimento largamente utilizado nas simulações por computa-

dores digitais.

Sistemas discretos podem exibir uma diversidade de comportamento, mesmo quando

são constituídos por apenas uma única equação de diferença autônoma de primeira ordem,

não linear.

Por causa dos sistemas discretos apresentarem maior riqueza de comportamento, torna-

se importante o estudo da teoria de estabilidade para esses sistemas e os conjuntos limites

se constituem num relevante aliado dessa empreitada. Muitos dos resultados encontrados

aqui poderão ser encontrados em (LASALLE, 1976). Nos trabalhos de (FILHO, 2004),

(CALLIERO, 2005) e (BONOMO, 2008) também se encontram resultados baseado na

teoria de (LASALLE, 1976). A metodologia adotada nesse trabalho foi a revisão bibli-

ográfica.

Este trabalho foi organizado da seguinte maneira:

No capítulo 2, apresentamos os resultados preliminares queservirão como auxílio

para uma melhor compreensão dos assuntos a serem tratados aolongo do texto.

No capítulo 3, as equações de diferenças, sistemas discretos e conjunto limite são

apresentados.

No capítulo 4, apresentamos os principais resultados sobreos conjuntos limites,

fazendo uma caracterização precisa desses conjuntos.

No capítulo 5, trazemos as conclusões.

13

1 PRELIMINARES

Apresentaremos aqui algumas definições, resultados e teoremas que nos auxiliarão na

teoria a ser desenvolvida nos próximos capítulos, e podem ser encontrados em (LIMA,

2009), (LIMA, 2011a) e (LIMA, 2011b).

1.1 Espaços Métricos

Abaixo, damos o conceito de métrica, uma característica indispensável para se definir

espaços métricos.

Definição 1.1.1.Uma métrica num conjunto M é uma função d: M×M →R, que associa

a cada par ordenado de elementos x,y∈ M um número real d(x,y), chamado a distância

de x a y, de modo que sejam satisfeitas as seguintes condiçõespara quaisquer x,y,z∈ M.

(i) d(x,x) = 0;

(ii) Se x 6= y⇒ d(x,y) > 0;

(iii) d (x,y) = d(y,x);

(iv) d(x,z) = d(x,y)+d(y,z).

A seguir, a definição que caracteriza os conjuntos citados notrabalho.

Definição 1.1.2.Um espaço métrico é um par(M,d), onde M é um conjunto e d é uma

métrica em M.

As duas definições abaixo é um conceio topológico relacionado a subconjuntos de

espaços métricos.

Definição 1.1.3.Um subconjunto A de um espaço métrico M diz-se aberto em M quando

todos os seus pontos são interiores, isto é, intA= A.

Abaixo, o conceito de aderência, essencial para se definir conjunto fechado.

Definição 1.1.4.Um ponto a diz-se aderente a um subconjunto X de um espaço métrico

M quando é limite de uma sequência de pontos desse conjunto.

14

Outro conceito importante que será utilizado neste trabalho é o conceito de fecho

definido a seguir.

Definição 1.1.5.O fecho (ou aderência) de um conjunto X num espaço métrico M é o

conjuntoX dos pontos de M que são aderentes a X.

Abaixo a definiremos o conceito de conjunto fechado.

Definição 1.1.6.Um conjunto X é fechado quandoX = X.

A seguir uma característica de alguns conjuntos citados no corpo do trabalho.

Definição 1.1.7.Um subconjunto X de um espaço métrico M chama-se limitado quando

existe uma constante c> 0 tal que d(x,y) 6 c para quaisquer x,y∈ X.

O conceito a seguir de cisão é primordial para se definir conjuntos conexos.

Definição 1.1.8.Uma cisão de um espaço métrico M é uma decomposição M= A∪B, de

M como reunião de dois subconjuntos abertos disjuntos A e B. Acisão M= A∪B diz-se

trivial quando um dos abertos, A ou B, é vazio (e portanto o outro é igual a M).

A definição abaixo diz respeito a conexidade de um conjunto.

Definição 1.1.9.Um espaço métrico M chama-se conexo quando a única cisão possível

é a trivial.

O conceito a seguir diz respeito a compaccidade de conjuntos.

Definição 1.1.10.Um conjunto K⊂ Rn é compacto quando ele for limitado e fechado.

1.2 Espaço vetorial normado

Abaixo, uma imporatnte generalização do módulo, a norma.

Definição 1.2.1.Seja E um espaço vetorial sobre um corpo K, que denotaráR ou C.

Uma norma em E é uma função real‖‖ : E → R, que associa a cada vetor x∈ E o

número real|x|, chamado a norma de x, de modo a serem cumpridas as condições abaixo

para quaisquer x,y∈ E eλ escalar:

i) x = 0 , para todo x em E e‖x‖ = 0⇔ x = 0.

ii) ‖λ .x‖ = |λ |.‖x‖.

iii) ‖x+y‖ 6 ‖x‖+‖y‖.

Abaixo, um conceito muito importante, o de espaço vetorial que também é um espaço

métrico com a métrica induzida pela norma.

Definição 1.2.2.Um espaço vetorial munido de uma norma é chamado de espaço vetorial

normado.

15

1.3 Sequências

As duas definições seguintes se referem a convergência e limite de sequência.

Definição 1.3.1.Diz que o número a∈ Rn é limite da sequência(xn) ⊂ R

n, e escreve-se

limn→+∞ xn = a, quando para cada número realε > 0, dado arbitrariamente, for possível

obter um inteiro n0 ∈ N tal que|xn−a| < ε, sempre que n> n0.

Definição 1.3.2.Diz-se que a sequência(xk)k∈N é limitada emRn quando existe um

número real c> 0 tal que|xk| 6 c para todo k∈ N.

O teorema seguinte é de suma importância para compreender muitos dos resultados

deste trabalho.

Teorema 1.3.1.(Bolzano-Weierstrass).Toda sequência limitada emRn possui uma sub-

sequência convergente.

Demonstração:Dada a sequência limitada(xk) em Rn, as primeiras coordenadas dos

seus termos formam uma sequência limitada(xk1)k∈N de números reais, a qual possui

uma subsequência convergente. Isto é, existem um subconjunto infinito N1 ⊂ N e um

número reala1 tais que limx∈N1 xk1 = a1. Por sua vez, a sequência limitada(xk2)k∈N1

de números reais, possui uma subsequência convergente; podemos obter um subconjunto

infinito N2 ⊂ N1 ea2 ∈ R tais que limx∈N2 xk2 = a2. E assim por diante, até encontrarmos

conjuntos infinitosN1 ⊃N2 ⊃ ...⊃Nn e números reaisa1, ...,an tais que limNi xki = ai para

i = 1,2, ...,n. Então pomosa = (a1, ...,an) e vemos que limk∈Nn xk = a, o que conclui a

demonstração.

1.4 Funções Contínuas

Iniciaremos esta seção com duas definições que se refere ao conceito de função con-

tínua.

Definição 1.4.1.Diremos que f: X → R é contínua no ponto a∈ X ⊂ Rn quando, para

todo ε > 0 dado arbitrariamente, pudemos acharδ > 0 tal que x∈ X e |x− a| < δimpliquem| f (x)− f (a)| < ε

Definição 1.4.2.Uma função f: X → R diz-se uniformente contínua quando, para cada

ε > 0, existeδ > 0 tal que x,y∈ X, |x−y| < δ implica em| f (x)− f (y)| < ε.

O teorema seguinte nos auxiliará no desenvolvimento de alguns teoremas da teoria a

ser desenvolvida.

Teorema 1.4.1.Uma aplicação f: X → R, definida no subconjunto X⊂ Rn, é contínua

no ponto a∈ X se, e somente se, para toda sequência de pontos(xk) com lim xk = a,

tem-selim f (xk) = f (a).

17

2 SISTEMAS DINÂMICOS DISCRETOS NÃO-LINEARES

A seguir, definiremos os conceitos de equação de diferenças,sistemas dinâmicos dis-

cretos, conjunto limite e invariância. Mostraremos a relação entre sistemas discretos e

equações de diferenças e a importância da invariância de conjuntos na definição de con-

juntos invariantemente conexos. Além disso, exibiremos osprincipais resultados sobre

invariância de conjuntos. Maiores deltalhes dos conceitose resultados que serão ex-

ibidos nesta capítulo podem ser encontrados em (LASALLE, 1976), (FILHO, 2004) e

(BONOMO, 2008).

2.1 Equações de Diferenças

SejamZ o conjunto de todos os inteiros,N o conjunto de todos inteiros não negativos

e Rn o espaço Euclidiano de dimensão n, munido da norma Euclidiana representada por

|x| .

Sejax : N → Rn. Definimosx, e

.x funções deN emR

n dadas porx,(n) = x(n+1) e.x = x,−x. Consideremos a funçãoT : R

n → Rn contínua. A equação de diferenças:

x, = Tx (2.1)

é dada porx(n+1) = T(x(n)),∀n∈ N.

A solução do problema do valor inicial

x, = Tx, x(0) = x0 (2.2)

éx(n) = Tn(x0), n∈N, ondeTn é a n-ésima iterada deT, à saber,Tn+1 = T(Tn) eT0 = I

é a função identidade. O produto de funções utilizado é a composição. A equação (2.2) é

simplesmente um algoritmo definindo a funçãox.

O exemplo abaixo mostra um modelo específico de equação de diferença e a sua

solução feita, como foi definido acima.

Exemplo 2.1.1.Seja a equação discreta x(n+1) = a(x(n)), onde a∈ R e x0 a condição

inicial.

18

Temos,x(1)= ax(0), x(2)= ax(1)= a(ax0)= a2x0, x(3)= a(x2)= a(a2x0)= a3x0...xn =

anx0 que é a solução do problema de valor inicialx0.De fato,x(n+1)= an+1x0 = a(anx0)=

axn.

Em seguida, definimos sistemas dinâmicos discretos e a sua estreita relação com as

equações de diferenças.

Definição 2.1.1.Um sistema dinâmico discreto emRn é uma funçãoπ : N×Rn → R

n

satisfazendo para todo n,k∈ N e todo x∈ Rn:

(i) π(0,x) = x;

(ii) π(n,π(k,x)) = π(n+k,x);

(iii) π é contínua.

Toda equação de diferenças(2.1) define um sistema dinâmico discretoπ da forma

π(n,x) := Tn(x), x∈ R. De fato,π(0,x) = T0x = x e, para todon,k∈ N , temos:

π(n,π(k,x)) = π(n,Tkx) = Tn(Tkx) = Tn+kx = π(n+k,x).

Também, todo sistema dinâmico está associado à uma equação de diferenças (2.1) da

formaT(x) := π(1,x). Notemos queT2x= T(Tx) = T(π(1,x)) = π(1,π(1,x)) = π(2,x).

E seTrx = π(r,x), parar ∈ N, temosTr+1x = Tr(Tx) = π(r,Tx) = π(r,π(1,x)) = π(r +

1,x). Portanto,Tnx = π(n,x).

Um exemplo de sistema dinâmico discreto.

Exemplo 2.1.2.Sejaπ : N×R → R, π(n,x) = x.en. Entãoπ é um sistema dinâmico

discreto. De fato,π é contínua e, para todo x∈ R e para todo x∈ R e todo n,k ∈ N,

temosπ(0,x) = x.e0 = x eπ(n,π(k,x)) = π(n+k,x), já que

π(n,π(k,x)) = π(n,x.ek) = (x.en+k) = π(n+k,x).

A definição a seguir é indispensável para se entender os próximos conceitos.

Definição 2.1.2.Seja T: Rn→Rn. A órbita Tnx de x refere-se à sequência x,Tx,T2x, ...,Tnx, ....

Definiremos agora o conjunto limite que é parte essencial deste trabalho.

2.2 Conjunto Limite

Definiremos a seguir o conceito de conjunto limite.

Definição 2.2.1.Um ponto y é chamado ponto limite de Tnx se existir uma sequência de

inteiros ni tal que Tni → y e ni quando i→ ∞. Chamamos de conjuntoω-limite da órbita

Tnx de x ao conjunto de todos os pontos limites de Tnx, e denotamosΩ(x).

19

Um exemplo de conjunto limite pode ser visto abaixo.

Exemplo 2.2.1.Seja z, = Tz, z0 = z(0) = (x0,y0) e T : R2 → R

2 dad por T(x,y) = (x,y).

Tomando ni sequência dos inteiros pares, temos que Tni z0 → (x0,y0). Se tomarmos nia sequência dos inteiros ímpares, temos que Tni z0 → (x0,y0). E qualquer outra subse-

quência convergente de Tnz0 converge para(x0,y0) ou (x0,−y0). Portanto,Ω(z0) =

(x0,y0),(x,−y0)

.

Abaixo, uma importante caracterização dos conjuntos limites, que será usada em out-

ros resultados.

Proposição 2.2.1.Seja x∈ Rn. Então

Ω(x) =∞⋂

j=0

∞⋃

n= j

Tnx

Demonstração: Sejay ∈ Ω(x). Então, existe uma sequênciani ∈ N tal queTni x → y

e ni → ∞, quandoi → ∞. Logo, dado j ∈ N, existeni0 ∈ ni,i ∈ N tal queni0 > j.

Podemos supor, sem perda de generalidade,(ni) crescente. Agora, a sequênciaTni x,ni >

ni0, converge paray e é uma subsequência deTnx,n> j. logo,y∈∞⋃

n= j

Tnx , ∀ j ∈ N, o que

implica y∈∞⋂

j=0

∞⋃

n= j

Tnx.

Provaremos agora a outra inclusão. SejamA j =∞⋃

n= j

Tnx e y ∈∞⋂

j=0

A j . Entãoy ∈ A0.

Logo, existe uma sequência emA0 convergindo paray. Sejay0 = Tn0x um termo desta

sequência, tal que|y−y0| < 1, para algumn0 > 0. Comoy ∈ A(n0 +1), existe uma

sequência emAn0+1 convergindo paray. Sejay1 = Tn1x um termo desta sequência, tal

que|y−y1| <12, para algumn1 > n0 +1. Comoy∈ A(n1 +1), existe uma sequência em

An1+1 convergindo paray. Sejay2 = Tn2x um termo desta sequência, tal que|y−y2|<122 ,

para algumn2 > n1 +1.

Desta forma, criamos uma sequênciayk ∈ Rn tal que|y−yk| <

12k ,yk = Tnkx e nk >

nk−1, poisnk > nk−1+1, ou sejank é estritamente crescente. Portanto,yk → y ouTnkx→ y

enk → ∞, quandok→ ∞, isto é,y∈ Ω(x).

O conceito de conjunto limite pode ser estendido para conjunto como na definição

seguinte.

Definição 2.2.2.Dado H⊂ Rn, definimos:

Ω(H) :=∞⋂

j=0

∞⋃

n= j

Tn(H).

20

A proposição abaixo mostra quais condições se devem ter paraque um elemento

pertença ao conjunto limite de um conjunto.

Proposição 2.2.2.Se H⊂ Rn, então y∈ Ω(H) se , e somente se, existirem sequências

n j ∈ N e yj ∈ H tais que Tn j y j → y e nj → ∞, quando j→ ∞.

Demonstração:Suponhamos que existam sequênciasni ∈ N e yi ∈ H tais queTni yi →

y ∈ Rn e ni → ∞ quandoi → ∞. Podemos supor, sem perder a generalidade que(ni)

é crescente. Logo, dadoj ∈ N, existeni0 ∈ ni tal que i0 > j. Agora, a sequência

Tni yi, i > i0, converge paray e Tni yi ∈ Tni(H) ⊂∞∪

n= jTn(H), para i > i0. Desta forma,

y∈∞∪

n= jTn(H), ∀ j ∈ N, o que implicay∈

∞∩j=0

∞∪

n= jTn(H).

Provaremos agora a outra implicação. sejamA j =∞⋃

n= j

T n(H) e y∈ Ω(H) =∞⋂

j=0

A j .

Comoy∈A0, existe uma sequência emA0 convergindo paray. Sejaw0 = Tn0y0 um termo

desta sequência, tal que|y−y0|< 1, para algunsn0 > 0 ey0 ∈ H. Comoy∈ An0+1, existe

uma sequência emAn0+1 convergindo paray. Sejaw1 = Tn1y1 um termo desta sequência,

tal que|y−w1|<12, para algumn1 > n0+1 e algumy1 ∈ H. Comoy∈ An1+1, existe uma

sequência emAn1+1 convergindo paray. Sejaw2 = Tn2y2 um termo desta sequência, tal

que|y−w2| <122 , para algunsn2 > n1 +1 ey2 ∈ H.

Desta maneira, criamos uma sequênciayk ∈ H tal que |y−wk| < 12k ,wk = Tnkyk e

nk > nk−1,k > 1, poisnk > nk−1+1, ou sejank é estritamente crescente. portanto,wk → y

ouTnkyk → y enk → ∞ quandok→ ∞, o que conclui a demonstração.

Corolário 2.2.1. Dado x∈ H, temos

Ω(x) ⊂ Ω(H), ∀x∈ H. (2.3)

Demonstração:Sejay∈ Ω(x). Logo, existe sequênciani ∈ N tal queTni x→ y e ni → ∞

quandoi → ∞. Tomandoyi = x, concluímos quey∈ Ω(H).

2.3 Invariância

Começaremos essa definindo o conceito de invariancia de um sistema discreto.

Definição 2.3.1.Relativamente à x(n+ 1) = T(x(n)), ou à função T, um conjunto H

é chamdo positivamente invariante se T(H) ⊂ H. E o conjunto H será negativamnete

invariante se H⊂ T(H).Se T(H) = H, dizemos que H é invariante.

Exemplo 2.3.1.Se T: Rn → R

n é a função identidade emRn(T = I) e H um conjunto

emRn. Então H é invariante.

21

As duas proposições seguintes mostram as implicações decorrentes da invariância de

um conjunto e do fato da função em questão ser inversível.

Proposição 2.3.1.Seja T: Rn → R

n e H um conjunto invariante com um número finito

de elementos. Então, T|H é inversível.

Demonstração:Pela invariância deH e continuidade deT, segue queT(H) = H e então

T |H é sobrejetotra. Visto também queH tem um número finito de elementos, concluímos

queT |Hé também injetora. portantoT |H é inversível.

Proposição 2.3.2.Seja H um conjunto invariante e T|H inversível. Se M6= /0 é um sub-

conjunto invariante de H, então H−M é invariante.

Demonstração:Sejax ∈ H −M. ComoH é invariante, entãoTx∈ H e porT |H ser

inversível, existey∈ h tal queTy= x. Mostraremos queH−M é positivamente invariante,

isto é,T(H−M)⊂ H−M. SuponhamosTx∈ M. Visto queM é invariante, existez∈ M,

tal queTz= Tx. ComoT |H é inversível, temosz= x, o que é uma contradição. Logo,

Tx∈ H −M, o que acarretaT(H −M) ⊂ H −M.

Sejax∈ H−M. PorT |Hser inversível, existey∈ H tal queTy= x. Mostraremos que

H −M é negativamente invariante, isto é,H −M ⊂ T(H −M). Suponhamos quey∈ M.

Visto queM é invariante, temosx = Ty∈ M, o que é uma contradição. Logo,y∈ H −M,

implicandox = Ty∈ T(H −M). PortantoH −M ⊂ T(H −M).

As duas definições a seguir é importante para caracterizar umconjunto invarariante

finito.

Definição 2.3.2.Um conjunto fechado invariante H é chamado invariantementeconexo

se ele não puder ser escrito como a reunião disjunta de dois conjuntos fechados não

vazios e invariantes.

No exemplo 2.5 note queΩ(z0) é fechado e invariante, e a única reunião não vazia que

Ω(z0) poderia ser expressado éΩ(z0) = A∪B, ondeA =

(x0,y0)

e B =

(x0,−y0)

.

MasA eB não são invariantes. LogoΩ(z 0) é invariantemente conexo.

Definição 2.3.3.A órbita Tnx é chamada periódica ( ou cíclica) se para algum K>

0,Tkx = x. O menor inteiro k tal que isto ocorre é chamado de período daórbita ou

ordem do ciclo. Se k= 1, x é um ponto fixo de T e é chamado estado de equilibrio de

x(n+1) = T(x(n)).

O resultado a seguir mostra quais as conclusões vinda do fatode um conjunto invari-

ante ser finito.

Proposição 2.3.3.Um conjunto invariante com um número finito de elementos é invari-

antemente conexo se , e somente se, for uma órbita periódica.

22

Demonstração:Mostremos que seH é um conjunto invariantemente conexo com número

finito de elementos, digamos #H = k, entãoH é uma órbita periódica. Sejax∈ H. Como

H é invariante, entãoTnx∈ H,∀n∈ N.

Mostraremos queT ix 6= T jx, para todoi, j,06 i < j < k. De fato, suponhamosT ix 6=

T jx.

Como pela Proposição 2.3.1T |H é inversível, então denotandoT = T |H , temos

T j−ix= x, implicando

x,Tx, ...,T j−ix

invariante, à saber 06 j− i < k. Pela proposição

2.3.2, temos tambémH −

x,Tx, ...,T j−ix

invariante, o que é uma contradição, poisH

é invariantemente conexo. Portanto,T ix 6= T jx, para todoi, j,0 6 i < j < k. Assim,

x,Tx, ...,Tk−1x

tem exatamentek elementos, o que implicaH =

x,Tx, ...,Tk−1x

.

Afirmamos agora queTkx = x. SuponhamosTkx 6= x. Logo, existei,0 < i < k, tal

queTkx = T ix. ComoT |H é inversível, temosTk−ix = x, o que é uma contradição, pois

0 < k− i < k. Portanto,Tkx = x.

E mais,k é o menor inteiro não nulo tal queTnx = x, poisT ix 6= x, para 0< i 6 k−1.

Portanto,H =

x,Tx, ...,Tk−1x

é uma órbita periódica.

Provemos agora a outra implicação. Suponhamos queH seja uma órbita periódica

de periódok, digamosH =

x,Tx, ...,Tk−1x

e T ix 6= T jx, para todoi, j,0 6 i < j <

k. SejaM um subconjunto não vazio invariante deH. Então, existen0,0 6 n0 < k tal

que Tn0x ∈ M. ComoM é invariante,Tn0+nx ∈ M,∀n ∈ N. Assim, visto queTkx =

x, temosM = H, pois

Tn0x, ...,Tk−1x,Tkx,Tk+1x, ...,Tn0+k−1x

⊂ M, o que implica

H ⊂

Tn0x, ...,Tk−1x,x,Tx, ...,Tn0−1x

⊂ M. Agora, seH não fosse invariantemente

conexo, então seria a união disjunta não vazia de dois conjuntos fechados invariantesM1

e M2. Logo, M1 = M2 = H, o que é uma contradição, poisM1∩M2 = /0. Portanto,H é

invariantemente conexo.

A proposição seguinte relaciona o fecho de um conjunto e o conceito de invariância.

Proposição 2.3.4.Vale os seguintes resultados:

(i) O fecho de um conjunto positivamente invariante é positivamente invariante.

(ii) O fecho de um conjunto limitado invariante é invariante.

Demonstração:(i) Mostraremos que seT(H) ⊂ H, entãoT(H) ⊂ H. De fato, sejay∈

T(H). Logo, existex ∈ H tal quey = Tx, e desta forma, existe sequência convergente

H ∋ x j → x. Visto queT(x j) ∈ H, deviso àT(H) ⊂ H, e pela continuidade deT, temos

que

y = Tx= T(lim x j) = lim(Txj) ∈ T(H)

e comoT(H)⊂ H, poisH é positivamente invariante, temos que lim(Txj) ∈ H, o que

implica y∈ H.

Portanto,T(H) ⊂ H.

23

(ii) Mostraremos agora que seH é um conjunto limitado invariante, entãoH é invari-

ante.

Sejax∈ H. Então existe sequênciaH ∋ x j → x. Da invariância deH,x j ∈ T(H).

Logo, existe sequênciay j ∈ H tal quex j = T(y j).

Devido aH ser limitado, temos queH é compacto, e podemos supory j convergente,

pois poderíamos ter uma subsequência convergente. Digamosy j → y. Pela continuidade

deT, segue que:

x = lim x j = lim T(y j) = T(lim y j) = Ty∈ T(H) ⇒ x∈ T(H).

Portanto,H ⊂ T(H). O resultado segue pelo item (i).

Observação 2.3.1.Em geral, o fecho de um conjunto negativamente invariante não é

negativamente invariante, por exemplo se f(x) = [e−x +1]sen2(πx

2

)

+[

x2 +2

]

cos2(πx

2

)

,

temos(1,+∞) f -negativamente invariante mas[1,+∞) = (1,+∞) não é negativamente

invariante, visto que f([1,+∞)) = (1,+∞).

25

3 PROPRIEDADES BÁSICAS DOS CONJUNTOS LIMITES

A seguir, apresentamos os principais teoremas relacionados aos conjuntos limites.

Esses resultados nos permitem tirar certas conclusões quando impomos algumas condições

sob as órbitas do sistema discreto. O teorema seguinte fornece propriedades de um

conjunto limite qualquer. Maiores deltalhes dos conceitose resultados que serão ex-

ibidos nesta capítulo podem ser encontrados em (LASALLE, 1976), (FILHO, 2004) e

(BONOMO, 2008)

Teorema 3.0.1.Dado x∈ Rn e T : R

n → Rn contínua, então o conjuntoω-limite Ω(x) é

fechado e positivamente invariante.

Demonstração:Como Ω(x) =∞⋂

j=0

∞⋃

n= j

Tnx, segue queΩ(x) é fechado. Provemos que

T(Ω(x)) ⊂ Ω(x).

T(Ω(x)) = T

(

∞⋂

j=0

∞⋃

n= j

Tn(x)

)

⊂∞⋂

j=0

T

(

∞⋃

n= j

Tn(x)

)

⊂∞⋂

j=0

T

(

∞⋃

n= j

Tn(x)

)

=∞⋂

j=0

(

∞⋃

n= j

Tn+1(x)

)

=∞⋂

j=0

(

∞⋃

n= j+1

Tn(x)

)

⊂∞⋂

j=0

(

∞⋃

n= j

Tn(x)

)

= Ω(x).

26

O teorema a seguir mostra implicações topológicas do conjunto limite quando a órbita

Tnx é limitada.

Teorema 3.0.2.Se Tnx for limitada, entãoΩ(x) é não vazio, compacto, invariante, in-

variantemente conexo, e é o menor conjunto fechado que Tnx aproxima-se quando n→∞.

Demonstração:Mostremos queΩ(x) é compacto. Pelo Teorema 3.0.1,Ω(x) é fechado.

Como Tnx é limitado entãoΩ(x) 6= /0, pois existe subsequência convergente deTnx. Note-

mos também queΩ(x) é limitado. De fato, sejay ∈ Ω(x). Logo, existe sequência de

inteirosni tal queTni x→ y e ni → ∞ quandoi → ∞. ComoTnx é limitada, exister > 0

tal que|Tnx| 6 r,∀n∈ N. Concluímos então queΩ(x) é compacto, poisΩ(x) é limitado

devido à

|Tni x| 6 r limni→∞

|Tni x| 6 r ⇒

∣

∣

∣

∣

limni→∞

Tni x

∣

∣

∣

∣

6 r ⇒ |y| 6 r.

Mostremos queΩ(x) é invariante. Provemos queΩ(x) é negativamente invariante,

isto é,Ω(x) ⊂ T(Ω(x)). De fato, sejay ∈ Ω(x) e sejani ∈ N tal queTni x → y. Como

Tn(x) é limitada, podemos assumir queTni−1x converge, digamosTni−1x → z∈ Ω(x).

pela continuidade deT,

y = limi→∞

(Tni x) = limi→∞

T(Tni−1x) = T

(

limi→∞

Tni−1x

)

= Tz⇒ y = Tz.

Logo,Ω(x) ⊂ T(Ω(x)). Pelo Teorema 3.0.1, concluímos queΩ(x) é invariante.

Mostremos queTnx aproxima-se deΩ(x), quandon→ ∞, seTnx é limitada. De fato,

com Ω(x) é limitado, entãoρ(Tnx,Ω(x)) é limitada. Sejarn := ρ(Tnx,Ω(x)). Supon-

hamos queTnx não se aproxime deΩ(x) quandon → ∞. Então, existe uma sequência

ni ∈ N tal querni não converge para 0. Comorn é limitada, podemos assumir querni

converge, digamosrni → r > 0. Agora, comoTnx é limitada, existe uma subsequência

convergenteTni j x→ y∈ Ω(x). Logo,

limj→∞

rni j= r ⇒ lim

j→∞ρ(Tni j x,Ω(x)) = r ⇒ ρ(y,Ω(x)) = r > 0,

o que é uma contradição, pois sey∈ Ω(x) então deveríamos terρ(y,Ω(x)) = 0.

Mostraremos queΩ(x) é o menor conjunto fechado ao qualTnx aproxima-se quando

n→ ∞. De fato, sejaE um conjunto fechado emRn tal queTnx→ E. Sejay∈ Ω(x). En-

tão, existeni →∞, i →∞ tal queTnix→ y. Logo,ρ(Tni x,E)→ ρ(y,E). Masρ(Tni x,E)→

0, i → ∞, poisTnx→ E, quandon→ ∞. Logo,ρ(y,E) = 0, o que implica quey∈ E, pois

E = E é fechado.

Mostremos queΩ(x) é invariantemente conexo. Suponhamos queΩ(x) seja a união

disjunta de dois conjuntos não vazios fechados e invariantes Ω1 e Ω2. Como foi provado

acima,Ω(x) é compacto e entãoΩ1 e Ω2 são limitados, o que implica a compacidade

27

destes conjuntos. Visto queRn é normal (MUNKRES, 2000), existem conjuntos abertos

disjuntosU1 eU2 tais queΩ1 ⊂U1 e Ω2 ⊂U2.

Devido à continuidade deT, mostraremos que existe um conjunto abertoB1 tal que

Ω1 ⊂ B1 e T(B1) ⊂U1. De fato, tomandoB1 := T−1(U1) que é aberto, temosT(B1) =

T(T−1(U1))⊂U1 e, comoΩ1 é invariante, segue queΩ1 ⊂ T−1(T(Ω1 )) = T−1(Ω1 )⊂

T−1(U1) = B1. Como foi provado acima,Tnx → Ω(x) = Ω1 ∪Ω2, e visto também que

Ω1 ⊂ U1∩B1,Ω2 ⊂ U2, então existen0 ∈ N tal queTn0x ∈ U1∩B1. Suponhamos que

existan1 > n0 tal queTn1x ∈ U1 ∩B1 e Tn1+1x ∈ U2. Mas, comoT(B1) ⊂ U1, então

T(Tn1x) ∈ T(U1∩B1) ⊂ U1 ⇒ Tn1+1 ∈ U1, o que é uma contradição, poisU1∩U2 = /0.

Portanto,Ω(x) é invariantemente conexo.

O teorema seguinte é uma generalização do Teorema 3.0.1

Teorema 3.0.3.Dado H⊂ Rn e T : R

n → Rn contínua, então o conjunto H é fechado e

positivamente invariante.

Demonstração:Como Ω(H) =∞⋂

j=0

∞⋃

n= j

Tn(H), segue queH é fechado. Provemos que

T(Ω(H)) ⊂ Ω(H).

T(Ω(H)) = T

(

∞⋂

j=0

∞⋃

n= j

Tn(H)

)

⊂∞⋂

j=0

T

(

∞⋃

n= j

Tn(H)

)

⊂∞⋂

j=0

T

(

∞⋃

n= j

Tn(H)

)

=∞⋂

j=0

(

∞⋃

n= j

Tn+1(H)

)

=∞⋂

j=0

(

∞⋃

n= j+1

Tn(H)

)

⊂∞⋂

j=0

(

∞⋃

n= j

Tn(H)

)

= Ω(H).

Um outro resultado importante é demonstra a seguir.

Teorema 3.0.4.Se H 6= /0 e Tn(H) é limitada uniformemente, ou seja existe subconjunto

limitado W tal que TnH ⊂ W, para todo n∈ N, entãoΩ(H) é não vazio, compacto,

invariante e é o menor conjunto fechado que Tn(H) aproxima-se quando n→ ∞.

28

Demonstração:Mostremos queΩ(H) é não vazio. Sex∈ H, entãoTnx é limitada, pois

Tnx∈ Tn(H), e esta última sequência é limitada por hipótese. Pelo Teorema 3.0.3 e por

(2.3), temos que /06= Ω(x) ⊂ Ω(H) ⇒ Ω(H) 6= /0.

Mostremos queΩ(H) é compacto. De fato, comoTn(H) é limitada, exister > 0

tal que |Tnx| 6 r, para todox ∈ H e todon ∈ N. Sejay ∈ Ω(H). Logo, existem se-

quênciasn j ∈ N e y j ∈ H tais queTn j y j → y e n j → ∞ quando j → ∞. Desta forma,

r > limj→∞

∣

∣Tn j y j∣

∣ = |y|. Logo, Ω(H) é limitado. Também pelo Teorema 3.0.3,Ω(H) é

fechado. Assim,Ω(H) é compacto.

Mostremos queΩ(H) é invariante. Basta mostrar queΩ(H) ⊂ T (Ω(H)). De fato,

sejay ∈ Ω(H). Então, existem sequênciasn j ∈ N e y j ∈ H tais queTn j y j → y e n j →

∞ quando j → ∞. ComoTn(H) é limitada, podemos assumir queTn j−1y j converge,

digamosTn j−1y j → z, z∈ Ω(H). Assim, pela continuidade deT, temos:

y = limj→∞

(

Tn j y j)

= limj→∞

T(Tn j−1y j) = T

(

limj→∞

Tn j−1y j

)

= Tz.

Logo,Ω(H)⊂T (Ω(H)) e pelo Teorema 3.0.3, temosΩ(H) = T (Ω(H)), isto é,Ω(H)

é invariante.

Mostremos queTn(H) aproxima-se deΩ(H), quandon→ ∞. De fato, comoΩ(H) é

limitado, entãorn := ρ (TnH,Ω(H)) é limitada, isto é, existeη > 0 tal quern 6 η ,∀n∈N.

Suponhamos queTn(H) não se aproxime deΩ(H), quandon → ∞. Então, existe uma

sequênciani ∈ N tal querni não converge para 0. Comorn é limitada, podemos assumir

querni converge, digamosrni → r > 0. SejaAni (y) = ρ (Tni y,Ω(H)) ,y∈ H. Assim,

rni = ρ (Tni(H),Ω(H)) = supy∈H

ρ (Tni(H),Ω(H)) = supy∈H

Ani ⇒ rni = supy∈H

Ani

Por conseguinte, dadoε > 0, existea(ni ,ε) ∈Ani tal quea(ni ,ε) > rni −ε. Comoa(ni ,ε) ∈

Ani , então existey(ni ,ε) ∈H tal quea(ni ,ε) := ρ(

Tni y(ni ,ε),Ω(H))

. Agora, visto queTn(H)

é limitada, temos queTni y(ni ,ε) também é limitada. Logo podemos assumir que converge,

digamosTni y(ni ,ε) → z(ni ,ε) ∈ Ω(H). Assim,

a(ni ,ε) > rni − ε ⇒ limi→∞

a(ni ,ε) > limi→∞

rni − ε

⇒ limi→∞

ρ(

Tni y(ni ,ε),Ω(H))

> r − ε

⇒ ρ(

limi→∞

Tni y(ni ,ε),Ω(H)

)

> r − ε

⇒ ρ(z(ni ,ε),Ω(H)) > r − ε.

Tomandoε = r2, temos queρ (z,Ω(H)) > r

2 > 0, o que é uma contradição, poisz∈

Ω(H). Portanto,Tn(H) aproxima-se deΩ(H) quandon→ ∞.

29

Mostremos queΩ(H) é o menor conjunto fechado queTn(H) aproxima-se quando

n → ∞. Suponhamos queE é um conjunto fechado eTn(H) → E quandon → ∞.

Provemos queΩ(H) ⊂ E. De fato, sejaε > 0 e An = ρ (w,E) : w∈ Tn(H). En-

tão, existen0 tal que supAn < ε, para todon > n0. Sejay ∈ Ω(H). logo, existe se-

quênciasy j ∈ H e n j > n0 tais queTn j y j → y e n j → ∞ quando j → ∞. Notemos que

Tn j y j ∈ Tn j (H) ⇒ ρ(

Tn j y j ,E)

∈ An j . Comon j > n0, temos:

ρ(

Tn j y j ,E)

< ε ⇒ ρ (y,E) = ρ(

limj→∞

Tn j y j ,E

)

= limj→∞

ρ(

Tn j y j ,E)

6

ε⇒ ρ (y,E) 6 ε,∀ε > 0

o que implicay∈ E = E. PortantoΩ(H) ⊂ E e entãoΩ(H) é o menor conjunto fechado

queTnx aproxima-se quandon→ ∞.

Observação 3.0.2.(a) Se Tn(H) for limitada uniformemente em n∈ N, então, para todo

y∈ H,Tny é limitada e, pelo Teorema 3.0.2, aproxima-se deΩ(y). Assim, comoΩ(y) ⊂⋃

x∈H

Ω(x), temos,∀x∈ H,

ρ (Tny,Ω(y)) → 0⇒ ρ

(

Tny,⋃

x∈H

Ω(x)

)

→ 0.

(b) Notemos que, em geral,Ω(H) não é invariantemente conexo quando Tn(H) é

limitada. De fato, seja T: R2 → R

2,T (x,y) = (x,−y) e H = (1,1) ,(2,2). Então,

Ω(H) = (1,1) ,(1,−1),(2,2) ,(2,−2). Mas Ω(1,1) = (1,1) ,(1,−1) e Ω(2,2) =

(2,2) ,(2,−2) são conjuntos disjuntos fechados invariantes eΩ(H)= Ω(1,1)∪Ω(2,2),

o que implica que H= (1,1) ,(2,2) não é invariantemente conexo.

Corolário 3.0.1. Suponhamos Tn(H) limitada uniformemente e seja fn : H →R, fn(y) :=

ρ

(

Tny,⋃

x∈H

Ω(x)

)

, com y∈ H. Se fn → 0 uniformemente em H, então:

Ω(H) =⋃

x∈H

Ω(x).

(notemos pela observação 3.0.2(a), fn é convergente).

Demonstração:Mostremos que⋃

x∈H

Ω(x)⊂Ω(H). Pelo Teorema 3.0.3, segue quaΩ(H)

é fechado. ComoΩ(x) ⊂ Ω(H), temos que:

⋃

x∈H

Ω(x) ⊂ Ω(H) ⇒⋃

x∈H

Ω(x) ⊂ Ω(H) = Ω(H) ⇒⋃

x∈H

Ω(x) ⊂ Ω(H) .

Mostremos a outra inclusão. comofn → 0,n→ ∞, uniformemente, emH, então dado

ε > 0, existen0 = n0(ε) ∈ N tal que, para todon > n0, temosfn(y) < ε, para todoy∈ H.

30

Assim,n > n0 implica

supy∈H

fn(y) 6 ε ⇒ supy∈H

ρ

(

Tny,⋃

x∈H

Ω(x)

)

6 ε

⇒ supy∈H

ρ

(

TnH,⋃

x∈H

Ω(x)

)

6 ε

⇒ supz∈Tn(H)

ρ

(

z,⋃

x∈H

Ω(x)

)

6 ε

Logo, ρ

(

Tn(H) ,⋃

x∈H

Ω(x)

)

→ 0, quandon→ ∞. Portanto,Tn(H) aproxima-se de

⋃

x∈H

Ω(x) quandon→∞. ComoΩ(H) é o menor conjunto fechado queTn(H) aproxima-

se quandon→∞ e⋃

x∈H

Ω(x) é fechado, entãoΩ(H)⊂⋃

x∈H

Ω(x).

31

CONCLUSÃO

Neste trabalho, fizemos um estudo bem detalhado dos conjuntos limites de sistemas

discretos não-lineares. Oferecemos uma caracterização topológica completa dos conjun-

tos limites, em outras palavras, verificamos que o conjunto limite de uma órbita limitada

é não-vazio, fechado, invariantemente conexo e limitado. Os trabalhos futuros nesta área

inclui a investigação do comportamento dos conjuntos limites na fronteira da região de es-

tabilidade. Um estudo mais aprofundado sobre estes e outrostópicos relacionados podem

ser encontrados em (LASALLE, 1976).

33

REFERÊNCIAS

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e sincronização. USP-São Carlos: Dissertação de Mestrado, 2008.

CALLIERO, T. R. Um Princípio de Invariância para Sistemas Dinâmicos Discretos.

USP-São Carlos: Dissertação de Mestrado, 2005.

FILHO, L. R. A. G. Comportamento assintótico de sistemas não lineares discretos.

USP-São Carlos: Dissertação de Mestrado, 2004.

LASALLE, J. P.The Stability of Dynamical Systems. Philadelphia, Pennsylvania: So-

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LIMA, E. L. Espaços Métricos. IMPA-Rio de Janeiro: Projeto Euclides, 2009.

LIMA, E. L. Curso de Análise. IMPA-Rio de Janeiro: Projeto Euclides, 2011. v.1.

LIMA, E. L. Curso de Análise. IMPA-Rio de Janeiro: Projeto Euclides, 2011. v.2.

MARCUS, C. M.; WESTERVELT, R. M. Dynamics of Iterated-map Neural Networks.

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MUNKRES, J. R.Topology: a first course. London: Prentice-Hall, 2000.

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Discrete LTCs.IEEE Trans. on Circuits and Systems I: Regular Papers, [S.l.], v.53,

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WANG, W.-X.; ZHANG, Y.-B.; LIU, C. zhong. Analysis of a discrete-time predator-prey

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YU, T.; YU, J.; LI, H.; LIN, H. Complex dynamics of industrial transferring in a credit-

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conjuntos limites de sistemas dinâmicos discretos … · rondinei almeida da silva conjuntos...

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