Teoria dos Conjuntos Nebulosos(Fuzzy Sets Theory)

Fuzzy Sets Theory

• Conceitos (pertinência, conjuntos discretos e conjuntos nebulosos)

• Processos de tomada de decisão • Nebulização (conjunto triangular)

• Inferência

• Desnebulização (centroide)

• Fuzzy MCDM

• Fuzzy AHP

Valério Salomon, 2017 SPS Publicações 2

Pertinência (membership)

Em um conjunto nebuloso A, os elementos x possuem graus de pertinência m

mA(x) = 1 → temos certeza que x ϵ A

0 < mA(x) < 1 → não temos certeza se x ϵ A

mA(x) = 0 → temos certeza que x A

Função de pertinência = possibilidade de ocorrência

Valério Salomon, 2017 SPS Publicações 3

Conjunto discreto (crisp set)

Valério Salomon, 2017 SPS Publicações 4

Conjuntos nebulosos (fuzzy sets)

Valério Salomon, 2017 SPS Publicações 5

Processo de tomada de decisão

Valério Salomon, 2017 SPS Publicações 6

Fuzzification (triangular fuzzy set)

Valério Salomon, 2017 SPS Publicações 7

Fuzzy operations

Valério Salomon, 2017 SPS Publicações 8

Defuzzification (COG = center of gravity)

Valério Salomon, 2017 SPS Publicações 9

COG

Para A = (x1, x2, x3)Â = ((x1+2x2)(x2-x1) + (2x2+x3)(x3-x2))/(x3-x1)/3

Assim, Para A = (1, 2, 6) = ((1+2*2)(2-1) + (2*2+6)(6-2))/(6-1)/3 = 3,0ou = ((1+2/3)*1+ (2+1/3*4)*4)/(1+4) = 3,0

Fuzzy MCDM (Liang e Wang, 1992)

Valério Salomon, 2017 SPS Publicações 10

Fuzzification 1: atribuição de pesos aos critérios

Fuzzification 2: pontuação das alternativas

Inference: ponderar e agregar as pontuações

Defuzzification: obter um número real representativo

Fuzzification 1 (pesos dos critérios)

Valério Salomon, 2017 SPS Publicações 11

Fuzzification 2 (pontuação para alternativas)

Valério Salomon, 2017 SPS Publicações 12

Fuzzy MCDM (Ex. seleção de fornecedores)

Valério Salomon, 2017 SPS Publicações 13

Fornecedor Qualidade do produto Preço Entrega

A Aceitável Bom Lenta

B Muito boa Alto Rápida

C Boa Médio Com atrasos

Critério Peso

Qualidade do produto Alto

Preço Médio

Entrega Baixo

Fuzzy MCDM (Ex. fuzzification 1 & 2)

Valério Salomon, 2017 SPS Publicações 14

Fornecedor Qualidade do produto Preço Entrega

A Fraco → (0,2; 0,4; 0,6) Bom → (0,4; 0,6; 0,8) Lenta (fraco) → (0,2; 0,4; 0,6)

B Muito boa → (0,8; 1; 1) Alto (fraco) → (0,2; 0,4; 0,6) Rápida (muito bom) → (0,8; 1; 1)

C Boa → (0,4; 0,6; 0,8) Médio (regular) → (0,3; 0,5; 0,7) Com atrasos (muito fraco) → (0,2; 0,4; 0,6)

Critério Peso

Qualidade do produto Alto → (0,5; 0,7; 1)

Preço Médio → (0,2; 0,5; 0,8)

Entrega Baixo → (0; 0,3; 0,5)

Fuzzy MCDM (Ex. inference & defuzzification)

Valério Salomon, 2017 SPS Publicações 15

Fornecedor Qualidade do produto Preço Entrega

A (0,5; 0,7; 1)(0,2; 0,4; 0,6) (0,2; 0,5; 0,8)(0,4; 0,6; 0,8) (0; 0,3; 0,5)(0,2; 0,4; 0,6)

B (0,5; 0,7; 1)(0,8; 1; 1) (0,2; 0,5; 0,8)(0,2; 0,4; 0,6) (0; 0,3; 0,5)(0,8; 1; 1)

C (0,5; 0,7; 1)(0,4; 0,6; 0,8) (0,2; 0,5; 0,8)(0,3; 0,5; 0,7) (0; 0,3; 0,5)(0,2; 0,4; 0,6)

Fornecedor Qualidade do produto Preço Entrega Agregado

A (0,10; 0,28; 0,60) (0,08; 0,30; 0,64) (0,00; 0,12; 0,30) (0,18; 0,70; 1,54) → (0,06; 0,23; 0,51) → 0,27

B (0,40; 0,70; 1,00) (0,04; 0,20; 0,48) (0,00; 0,30; 0,50) (0,44; 1,20; 1,98) → (0,15; 0,40; 0,66) → 0,40

C (0,20; 0,42; 0,80) (0,06; 0,25; 0,56) (0,00; 0,12; 0,30) (0,26; 0,79; 1,66) → (0,09; 0,26; 0,55) → 0,30

Fuzzy AHP (van Laarhoven e Pedrycs, 1983; Chang, 1996)

Valério Salomon, 2017 SPS Publicações 16

Matriz de comparações A = [aij]aij = (lij, mij, uij)aji = 1/ aij = (1/uij, 1/mij, 1/lij)

Vetor de prioridades w = [wi]wi = (S li, Smi, S ui)(1/SSuij, 1/SSmij, 1/SS lij)

Fuzzy AHP (Ex. seleção de fornecedores)

Valério Salomon, 2017 SPS Publicações 17

Critério Q P E Prioridade

Qualidade do produto (Q) (1, 1, 1) (1, 3 ,5) (3, 5, 7) (5, 9, 13)(1/22,3; 1/14,9; 1/8,54)

Preço (P) (1/5, 1/3, 1) (1, 1, 1) (1, 3, 5) (2,2; 4,3; 7)(1/22,3; 1/14,9; 1/8,54)

Entrega (E) (1/7, 1/5, 1/3) (1/5, 1/3, 1) (1, 1, 1) (1,3; 1,5; 2,3)(1/22,3; 1/14,9; 1/8,54)

Critério Prioridade

Qualidade do produto (Q) (0,22; 0,60; 1,52) → 0,78 → 59%

Preço (P) (0,10; 0,29; 0,82) → 0,40 → 30%

Entrega (E) (0,06; 0,10; 0,27) → 0,15 → 11%

Fuzzy AHP (Ex. seleção de fornecedores)

Valério Salomon, 2017 SPS Publicações 18

Entrega A B C Prioridade

Fornecedor A (1, 1, 1) (1/7, 1/5, 1/3) (1, 3, 5) 0,32

Fornecedor B (3, 5, 7) (1, 1, 1) (7, 9, 9) 1

Fornecedor C (1/5, 1/3, 1) (1/9, 1/9, 1/7) (1, 1, 1) 0,11

Qualidade do produto A B C Prioridade

Fornecedor A (1, 1, 1) (1/9, 1/7, 1/5) (1/7, 1/5, 1/3) 0,11

Fornecedor B (5, 7, 9) (1, 1, 1) (1, 3, 5) 1

Fornecedor C (3, 5, 7) (1/5, 1/3, 1) (1, 1, 1) 0,59

Fuzzy AHP (Ex. seleção de fornecedores)

Valério Salomon, 2017 SPS Publicações 19

Fornecedor Preço [R$] Prioridade

Fornecedor A (13.000, 15.000, 17.000) → 15.000 1

Fornecedor B (17.000, 20.000, 22.000) → 19.667 0,76

Fornecedor C (15.000, 17.000, 20.000) → 19.667 0,87

FornecedorQualidade do produto

59%Preço30%

Entrega11%

Prioridade

A 0,11 1 0,32 0,40

B 1 0,76 1 0,92

C 0,59 0,87 0,11 0,62