Ensino Médio: Teoria dos Conjuntos

Introdução aos conjuntos

Alguns conceitos primitivos

Algumas notações p/ conjuntos

Subconjuntos Alguns conjuntos

especiais

Reunião de conjuntos

Interseção de conjuntos

Propriedades dos conjuntos

Diferença de conjuntos

Complemento de um conjunto

Leis de Augustus de Morgan

Diferença Simétrica

Introdução aos conjuntos

No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.

Alguns conceitos primitivos

Conjunto: representa uma coleção de objetos.

a. O conjunto de todos os brasileiros.b. O conjunto de todos os números naturais.c. O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.

Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.

Elemento: é um dos componentes de um conjunto.

a. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.b. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais.c. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que

satisfaz à equação x²-4=0.

Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.

Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.

a. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais.c. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à

equação x²-4=0.

Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo que se lê: "pertence".

Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

1 N

Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

0 N

Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.

Algumas notações para conjuntos

Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:

Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.

a. A={a,e,i,o,u}b. N={1,2,3,4,...}c. M={João,Maria,José}

Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.

a. A={x: x é uma vogal}b. N={x: x é um número natural}c. M={x: x é uma pessoa da família de Maria}

Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente.

Subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A B, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.

Alguns conjuntos especiais

Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.

Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.

Reunião de conjuntos

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

A B = { x: x A ou x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A B={a,e,i,o,3,4}.

Interseção de conjuntos

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.

A B = { x: x A e x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A B=Ø.

Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.

Propriedades dos conjuntos

1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por A B e a interseção de A e B, denotada por A B, ainda são conjuntos no universo.

2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:

A A = A   e   A A = A3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-

se que:

A A B,  B A B,  A B A,  A B B4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos

A e B, tem-se que:

A B equivale a A B = BA B equivale a A B = A

5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

A (B C) = (A B) CA (B C) = (A B) C

6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A B = B A A B = B A

7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

A Ø = A8. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do

conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.

A Ø = Ø9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo

U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

A U = A10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e

C, tem-se que:

A (B C ) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)

Os gráficos abaixo mostram a distributividade.

Diferença de conjuntos

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

A-B = {x: x A e x B}

Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:

Complemento de um conjunto

O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

CAB = A-B = {x: x A e x B}

Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:

Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.

Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.

Leis de Augustus De Morgan1. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a

interseção dos complementares desses conjuntos.

(A B)c = Ac Bc

2. O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.

(A1 A2 ... An)c = A1c A2

c ... Anc

3. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos.

(A B)c = Ac Bc

4. O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.

(A1 A2 ... An)c = A1c A2

c ... Anc

Diferença simétrica

A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.

A B = { x: x A B e x A B }

O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:

Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:

1. A=Ø se, e somente se, B=A B.

2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.

3. A diferença simétrica é comutativa.

4. A diferença simétrica é associativa.

5. A A=Ø (conjunto vazio).

6. A interseção entre A e B C é distributiva, isto é:

A (B C) = (A B) (A C)7. A B está contida na reunião de A C e de B C, mas

esta inclusão é própria, isto é:

A B (A C) (B C)

Construída por Rossana M.M.Pereira e Ulysses Sodré. Atualizada em

25/mar/2005.

Ensino Médio: Relações e Funções

Aplicações de relações e funções

O Plano Cartesiano Produto Cartesiano Relações no plano

Cartesiano Domínio e

Contradomínio Relações inversas Propriedades de

Relações Relações de

equivalência Funções no plano

Cartesiano Relações que não são

funções Funções afim e

lineares

Função identidade

Funções constantes Funções quadráticas Funções cúbicas Domínio,

Contradomínio, Imagem

Funções injetoras Funções sobrejetoras Funções bijetoras Funções pares e

ímpares Funções crescentes Funções compostas e

Inversas Operações com

funções

Funções polinomiais e Aplicações

Aplicações das relações e funções no cotidiano

Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas de remédios, enfim em todos os lugares. Ao interpretarmos estes gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos de plano cartesiano.

O Sistema ABO dos grupos sangüíneos é explicado pela recombinação genética dos alelos (a,b,o) e este é um bom exemplo de uma aplicação do conceito de produto cartesiano. Uma aplicação prática do conceito de relação é a discussão sobre a interação de neurônios (células nervosas do cérebro).

Ao relacionarmos espaço em função do tempo, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão digital, percebemos quão importantes são os conceitos de funções para compreendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais...

Observamos então que as aplicações de plano cartesiano, produto cartesiano, relações e funções estão presentes no nosso cotidiano.

Valores assumidos por uma ação numa Bolsa de Valores

O Plano Cartesiano

Referência histórica: Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí vem o nome cartesiano.

O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal.

Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.

O primeiro número indica a medidada do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo).

O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo). Observe no desenho que: (a,b) (b,a) se a b.

Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus). Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti-horário, conforme a figura, com as cores da bandeira do Brasil.

Segundo  quadrante

Primeiro quadrante

Quadrantesinal de xsinal de y Ponto  não tem não tem (0,0)

Primeiro + + (2,4)

Terceiro quadrante

Quarto quadrante 

Segundo - + (-4,2)Terceiro - - (-3,-7)Quarto + - (7,-2)

Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por AxB, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B.

AxB = { (x,y): x A e y B }

Observe que AxB BxA, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por definição: AxØ=Ø=ØxB.

Se A possui m elementos e B possui n elementos, então AxB possui mxn elementos.

Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, terá 12 pares ordenados e será dado por:

AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)}

Relações no Plano Cartesiano

Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação em AxB é qualquer subconjunto R de AxB.

A relação mostrada na figura acima é:

R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) }

Uma relação R de A em B pode ser denotada por R:A B.

Exemplo: Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano é AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e neste caso, temos algumas relações em AxB:

1. R1={(1,3),(1,4)}2. R2={(1,3)}3. R3={(2,3),(2,4)}

Domínio e Contradomínio de uma Relação

As relações mais importantes são aquelas definidas sobre conjuntos de números reais e nem sempre uma relação está definida sobre todo o conjunto dos números reais. Para evitar problemas como estes, costuma-se definir uma relação R:A B, onde A e B são subconjuntos de R, da seguinte forma:

O conjunto A é o domínio da relação R, denotado por Dom(R) e B é o contradomínio da relação, denotado por CoDom(R).

Dom(R) = { x A: existe y em B tal que (x,y) R}Im(R)={y B: existe x A tal que (x,y) R}

Representações gráficas de relações em AxB:

R1={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)}

R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}

R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}

Relações Inversas

Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada por R-1, é definida de B em A por:

R-1 = { (y,x) BxA: (x,y) R }

Exemplo: Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma relação em AxB, definida por

R = {(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c.e),(c,f)}

Então:

R-1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)}

Observação: O gráfico da relação inversa R-1 é simétrico ao gráfico da relação R, em relação à reta y=x (identidade).

Propriedades de Relações

Reflexiva: Uma relação R é reflexiva se todo elemento de A está relacionado consigo mesmo, ou seja, para todo x A: (x,x) R, isto é, para todo x A: xRx.

Exemplo: Uma relação reflexiva em A={a,b,c}, é dada por:

R = {(a,a),(b,b),(c,c)}

Simétrica: Uma relação R é simétrica se o fato que x está relacionado com y, implicar necessariamente que y está relacionado com x, ou seja: quaisquer que sejam x A e y A tal que (x,y) R, segue que (y,x) R.

Exemplo: Uma relação simétrica em A={a,b,c}, é:

R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}

Transitiva: Uma relação R é transitiva, se x está relacionado com y e y está relacionado com z, implicar que x deve estar relacionado com z, ou seja: quaisquer que sejam x A, y A e z A, se (x,y) R e (y,z) R então (x,z) R.

Exemplo: Uma relação transitiva em A={a,b,c}, é:

R = {(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)}

Anti-simétrica: Sejam x A e y A. Uma relação R é anti-simétrica se (x,y) R e (y,x) R implica que x=y. Alternativamente, uma relação é anti-simétrica: Se x e y são elementos distintos do conjunto A então x não tem relação com y ou (exclusivo) y não tem relação com x, o que significa que o par de elementos distintos (x,y) do conjunto A poderá estar na relação desde que o par (y,x) não esteja.

Exemplo: Uma relação anti-simétrica em A={a,b,c}, é:

R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c) }

Relação de equivalência

Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva.

Exemplo: Se A={a,b,c} então a relação R em AxA, definida abaixo, é de equivalência:

R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a) }

Funções no Plano Cartesiano

Referência histórica: Leonhard Euler (1707-1783), médico, teólogo, astrônomo e matemático suíço, desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada, com destaque para a Análise - estudo dos processos infinitos - desenvolvendo a idéia de função. Foi o responsável também pela adoção do símbolo f(x) para representar uma função de x. Hoje, função é uma das idéias essenciais em Matemática.

Uma função f de A em B é uma relação em AxB, que associa a cada variável x em A, um único y em B. Uma das notações mais usadas para uma função de A em B, é:

f:A B

Quatro aspectos chamam a atenção na definição apresentada:

O domínio A da relação. O contradomínio B da relação. Todo elemento de A deve ter correspondente em B. Cada elemento de A só poderá ter no máximo um

correspondente no contradomínio B.

Estas características nos informam que uma função pode ser vista geometricamente como uma linha no plano, contida em AxB, que só pode ser "cortada" uma única vez por uma reta vertical, qualquer que seja esta reta.

Exemplo: A circunferência definida por

R={(x,y) R²: x²+y²=a²}

é uma relação que não é uma função, pois tomando a reta vertical x=0, obtemos ordenadas diferentes para a mesma abscissa x.

Neste caso Dom(R)=[-a,a] e CoDom(R)=[-a,a].

Relações que não são funções

Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação

R4 = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) }

não é uma função em AxB, pois associado ao mesmo valor a existem dois valores distintos que são 1 e 3.

Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação

R5 = { (a,1), (a,3), (b,2), (c,3) }

não é uma função em AxB, pois nem todos os elementos do primeiro conjunto A estão associados a elementos do segundo conjunto B.

Na sequência, apresentaremos alguns exemplos importantes de funções reais

Funções afim e lineares

Função afim: Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. Uma função afim é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax+b.

Exemplos:

1. f(x)=-3x+12. f(x)=2x+73. f(x)=(1/2)x+4

Se b é diferente de zero, o gráfico da função afim é uma reta que não passa pela origem (0,0).

Função linear: Seja a um número real. Uma função linear é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax.

Exemplos:

1. f(x)=-3x2. f(x)=2x3. f(x)=x/2

O gráfico da função linear é uma reta que sempre passa pela origem (0,0).

Função Identidade

É uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=x. O gráfico da Identidade é uma reta que divide o primeiro quadrante e também o terceiro quadrante em duas partes iguais.

Funções constantes

Seja b um número real. A função constante associa a cada x R o valor f(x)=b.

Exemplos:

1. f(x)=12. f(x)=-73. f(x)=0

O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas (eixo horizontal).

Funções quadráticas

Sejam a, b e c números reais, com a não nulo. A função quadrática é uma função f:R R que para cada x em R, f(x)=ax²+bx+c.

Exemplos:

1. f(x)=x²2. f(x)=-4 x²3. f(x)=x²-4x+34. f(x)=-x²+2x+7

O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola.

Funções cúbicas

Sejam a, b, c e d números reais, sendo a diferente de zero. A função cúbica é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax³+bx²+cx+d.

Exemplos:

1. f(x)=x³2. f(x)=-4x³3. f(x)=2x³+x²-4x+34. f(x)=-7x³+x²+2x+7

O gráfico da função cúbica do item (a), se assemelha a uma parábola tanto no primeiro como no terceiro quadrante, mas no primeiro os valores de f(x) são positivos e no terceiro os valores de f(x) são negativos.

Domínio, contradomínio e imagem de uma função

Como nem toda relação é uma função, às vezes, alguns elementos poderão não ter correspondentes associados para todos os números reais e para evitar problemas como estes, costuma-se definir o Domínio de uma função f, denotado por Dom(f), como o conjunto onde esta relação f tem significado.

Consideremos a função real que calcula a raiz quadrada de um número real. Deve estar claro que a raiz quadrada de -1 não é um número real, assim como não são reais as raízes quadradas de quaisquer números negativos, dessa forma o domínio desta função só poderá ser o intervalo [0,

), onde a raiz quadrada tem sentido sobre os reais.

Como nem todos os elementos do contradomínio de uma função f estão relacionados, define-se a Imagem de f, denotada por Im(f), como o conjunto de todos os elementos do contradomínio que estão relacionados com elementos do domínio de f, isto é:

Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) }

Observe que, se uma relação R é uma função de A em B, então A é o domínio e B é o contradomínio da função e se x é um elemento do domínio de uma função f, então a imagem de x é denotada por f(x).

Exemplos: Cada função abaixo, tem características distintas.

1. f:R R definida por f(x)=x²Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0,

)2. f:[0,2] R definida por f(x)=x²

Dom(f)=[0,2], CoDom(f)=R e Im(f)=[0,4]3. A função modular é definida por f:R R tal que f(x)=|x|,

Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0,

) e seu gráfico é dado por:

4. Uma semi-circunferência é dada pela função real f:R R, definida por

Dom(f)=[-2,2], CoDom(f)=R, Im(f)=[0,2] e seu gráfico é dado por:

Funções injetoras

Uma função f:A B é injetora se quaisquer dois elementos distintos de A, sempre possuem imagens distintas em B, isto é:

x1 x2 implica que f(x1) f(x2)

ou de forma equivalente

f(x1)=f(x2) implica que x1=x2

Exemplos:

1. A função f:R R definida por f(x)=3x+2 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x).

2. A função f:R R definida por f(x)=x²+5 não é injetora, pois para x=1 temos f(1)=6 e para x=-1 temos f(-1)=6.

Funções sobrejetoras

Uma função f:A B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual a B que é o contradomínio da função, ou seja, para todo y em B existe x em A tal que y=f(x).

Exemplos:

1. A função f:R R definida por f(x)=3x+2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem de um elemento de R pela função.

2. A função f:R (0,

) definida por f(x)=x² é sobrejetora, pois todo elemento pertecente a (0,

) é imagem de pelo menos um elemento de R pela função.

3. A função f:R R definida por f(x)=2x não é sobrejetora, pois o número -1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de qualquer elemento do domínio.

Funções bijetoras

Uma função f:A B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

Exemplo: A função f:R R dada por f(x)=2x é bijetora, pois é injetora e bijetora.

Funções Pares e Ímpares

Função par: Uma função real f é par se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(x)=f(-x). Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo vertical OY.

Exemplo: A função f(x)=x² é par, pois f(-x)=x²=f(x). Observe o gráfico de f! Outra função par é g(x)=cos(x) pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x).

Função ímpar: Uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(-x)=-f(x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origem do sistema cartesiano.

Exemplo: As funções reais f(x)=5x e g(x)=sen(x) são ímpares, pois: f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x) e g(-x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x). Veja o gráfico para observar a simetria em relação à origem.

Funções crescentes e decrescentes

Função crescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x e y no Domínio de f, com x<y, tivermos f(x)<f(y). Isto é,

conforme o valor de x aumenta, o valor da imagem de x pela função também aumenta.

Exemplo: Seja a função f:R R definida por f(x)=8x+2. Para os valores: a=1 e b=2, obtemos f(a)=10 e f(b)=18. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)<f(b) então a função é crescente.

Função decrescente: Uma função f é decrescente, se para quaisquer x e y do Domínio de f, com x<y, tivermos f(x)>f(y). Isto é, conforme o valores de x aumentam, os valores da imagem de x pela função f diminuem.

Exemplo: Seja a função f:R R definida por f(x)=-8x+2. Para a=1 e b=2, obtemos f(a)=-6 e f(b)=-14. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)>f(b), a função é decrescente.

Funções Compostas

Dadas as funções f:A B e g:B C, a composta de f com g, denotada por g©f, é a função definida por (g©f)(x)=g(f(x)). gof pode ser lida como "g bola f". Para que a composição ocorra o CoDom(f)=Dom(g).

Exemplo: Sejam as funções reais definidas por f(u)=4u+2 e g(x)=7x-4. As composições fog e gof são possíveis e neste caso serão definidas por:

(f©g)(x)=f(g(x))=g(7x-4)=4(7x-4)+2=28x-14(g©f)(u)=g(f(u))=g(4u+2)=7(4u+2)-4=28u+10

Como a variável u não é importante no contexto, ela pode ser substituída por x e teremos:

(g©f)(x)=g(f(x))=g(4x+2)=7(4x+2)-4=28x+10

Observação:Em geral, f©g é diferente de g©f.

Exemplo: Consideremos as funções reais definidas por f(x)=x²+1 e g(x)=2x-4. Então:

(f©g)(x)=f(g(x))=f(2x-4)=(2x-4)²+1=4x²-16x+17(g©f)(x)=g(f(x))=g(x²+1)=2(x²+1)-4=2x²-2

Funções Inversas

Dada uma função bijetora f:A B, denomina-se função inversa de f à função g:B A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamos a função inversa de f por f-1.

Observação importante: Se g é a inversa de f e f é a inversa de g, valem as relações:

g©f=IA     e    f©g=IB

onde IA e IB são, respectivamente, as funções identidades nos conjuntos A e B. Esta característica algébrica permite afirmar que os gráficos de f e de sua inversa de g são simétricos em relação à função identidade (y=x).

Exemplo: Sejam A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8,10} e a função f:A B definida por f(x)=2x e g:B A definida por g(x)=x/2. Observemos nos gráficos as situações das setas indicativas das ações das funções.

   

Obtenção da inversa: Seja f:R R, f(x)=x+3. Tomando y no lugar de f(x), teremos y=x+3. Trocando x por y e y por x, teremos x=y+3 e isolando y obteremos y=x-3. Assim, g(x)=x-3 é a função inversa de f(x)=x+3. Assim fog=gof=Identidade. Com o gráfico observamos a simetria em relação à reta identidade.

Operações com Funções

Dadas as funções f e g, podemos realizar algumas operações, entre as quais:

(f+g)(x) = f(x)+g(x) (f-g)(x) = f(x)-g(x) (f.g)(x) = f(x).g(x) (f/g)(x) = f(x)/g(x), se g(x) 0.

Funções Polinomiais

Uma função polinomial real tem a forma

f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + ao

sendo Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f) dependente de f.

Observação: A área de um quadrado pode ser representada pela função real f(x)=x² onde x é a medida do lado do quadrado e o volume de um cubo pode ser dado pela função real f(x)=x³ onde x é a medida da aresta do cubo. Esta é a razão pela qual associamos as palavras quadrado e cubo às funções com as potências 2 e 3.

Aplicação: As funções polinomiais são muito úteis na vida. Uma aplicação simples pode ser realizada quando se pretende obter o volume de uma caixa (sem tampa) na forma de paralelepípedo que se pode construir com uma chapa metálica quadrada com 20 cm de lado, com a retirada de pequenos quadrados de lado igual a x nos quatro cantos da chapa. Concluímos que V(x)=(20-2x)x² e com esta função é possível obter valores ótimos para construir a caixa.

Construída por Rossana M.M.Pereira e Ulysses Sodré. Atualizada em

25/mar/2005.

Ensino Médio: Relações e Funções: Exercícios

Explicitando conjuntos1. Dados os conjuntos A={a,b,c} e B={1,2,3,4}, podemos

construir a relação R em A×B que está apresentada no gráfico.

Qual resposta mostra a relação R de forma explicita?

a. R={(a,1),(b,3),(c,4),(a,3)}

b. R={(1,a),(4,a),(3,b),(c,2)}

c. R={(a,1),(b,3),(c,2)}

d. R={(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)}

2. Com a mesma relação R do exercício anterior, qual das alternativas é a relação inversa R-1?

a. R-1={(a,1),(a,4),(b,3),(c,2)}b. R-1={(1,a),(4,a),(3,b),(2,c)}c. R-1={(4,a),(2,c),(3,b)}d. R-1={(1,a),(2,c)}

3. Sejam os conjuntos A={a,b,c,d,e} e B={2,4,6,8,10} e a relação R, mostrada no gráfico.

Quais são as formas explícitas da relação R e da relação inversa R-1?

4. Sejam os conjuntos A={1,2,3} e B={1,3,4,5} de números reais e a relação definida por R={(x,y) A×B: y=2x-1}. Qual dos gráficos cartesianos abaixo, representa a relação R?

5. Sejam os conjuntos A={1,3,4,5} e B={0,6,12,20} e a relação R={(x,y) em A×B: y=x(x-1)} definida sobre A×B. Escrever R de uma forma explicita e construir o gráfico cartesiano desta relação.

6. Seja A={1,2,3,5,7}. Analisar o gráfico cartesiano da relação R em A×A e responder às questões pertinentes a esta relação.

Qual das alternativas abaixo é verdadeira?

a. (2,3) R, (5,1) R, (7,7) Rb. (1,1) R, (3,5) R, (5,1) Rc. (1,1) R, (5,5) R, (3,5) Rd. (2,3) R, (3,5) R, (7,7) R

Dominio, contradominio, imagem, relações direta e inversa

7. Para a relação R={(1,1),(2,3),(3,5),(5,1),(7,7)} definida sobre o conjunto A={1,2,3,5,7}, responda qual das alternativas abaixo representa o contradomínio da relação R. (Dica: Ver o gráfico do Exercício 6)

8.a. CoDom(R)={1,2,3,5,7}

9.b. CoDom(R)={1,3,5,7}

10. c. CoDom(R)=R

11. d. CoDom(R)={3,5,7}

12. Seja a relação R={(1,1),(2,3),(3,5),(5,1),(7,7)} def. sobre A={1,2,3,5,7}. Qual alternativa representa o domínio de R. (Dica: Ver o gráfico do Exercício 6)

13. a. Dom(R)=R

14. b. Dom(R)={2,5,7}

15. c. Dom(R)={1,2,7}

16. d. Dom(R)={1,2,3,5,7}

17. Para a relação R={(1,1),(2,3),(3,7),(5,1),(7,7)} def. sobre A={1,2,3,5,7}, qual das alternativas representa a imagem de R. (Dica: Ver o gráfico do Exercício 6)

18. a. Im(R)={1,2,3,5,7}

19. b. Im(R)={1,3,5,7}

20. c. Im(R)={1,3,5}

21. d. Im(R)=R

22. Sejam A={2,4,6,8}, B={1,3,5,7} e a relação R em A×B apresentada pelo seu gráfico cartesiano.

Identifique se cada afirmação é V (verdadeira) ou F (falsa).

a. (2,1) pertence à relação R.

b. (3,2) pertence à relação R.

c. (4,3) pertence à relação R.

d. (5,6) pertence à relação R.

e. (8,7) pertence à relação R.

23. Usando as informações do exercício anterior, apresente o contradomínio da relação R e a inversa da relação R, denotada por R-1.

Neste trabalho, o conjunto dos números naturais será denotado por N={1,2,3,4,5,6,7,...}.

24. Seja a relação R={(x,y) N×N: 2x+y=8}. Qual dos ítens representa o domínio da relação R?

a. {8} b. N c. {1,2,3} d. {2,4,6}

25. Seja a relação R={(x,y) em N×N: 2x+y=8}. Qual das respostas abaixo representa o contradomínio de R?

a. {1,3,5,7} b. {0,1,2,3,4,5,6,7} c. {0,2,4,6} d. N

26. Seja a relação R={(x,y) em N×N: 2x+y=8}. Qual das alternativas abaixo representa a imagem de R?

a. {1,3,5,7} b. {2,4,6} c. Ø d. N

27. Seja a relação R={(x,y) em N×N: 2x+y=8}. A relação inversa denotada por R-1 está indicada em qual das alternativas?

28. a. {(6,1),(4,2),(2,3)}

29. b. Ø

30. c. {(1,6),(2,4),(3,2)}

31. d. N

Relações reflexivas, simétricas, transitivas e anti-simétricas

16. Seja A={1,3,8} e as relações abaixo, definidas sobre A. Quais das alternativas indicam a ocorrência da propriedade reflexiva?

17. a. R1={(1,1),(1,3),(3,3),(3,1),(8,1)}

18. b. R2={(1,1),(3,1),(1,8),(3,3),(8,8)}

19. c. R3={(3,1),(3,3),(5,8),(1,1),(8,8)}

20. d. R4={(8,8),(3,3),(1,8),(3,1),(1,1)}

21. e. R5={(8,8),(3,3)}

22. Dadas as relações definidas sobre C={1,3,5}, qual delas alternativas mostra uma relação simétrica?

23. a. R1={(1,3),(5,3),(5,5),(3,5)}

24. b. R2={(1,3),(3,1),(5,5),(1,5)}

25. c. R3={(3,1),(3,3),(5,5),(5,1)}

26. d. R4={(1,1),(3,3),(5,5)}

27. A relação R={(1,3),(3,3),(2,4),(3,1),(2,3),(3,2)} def. sobre A={1,2,3,4,5} é simétrica?

28. Sejam as relações definidas nos conjuntos indicados. Qual delas é uma relação transitiva?

29. a. Ra={(2,6),(6,8),(8,2)},conjunto A={2,6,8}.

30. b. Rb={(1,3),(3,4),(1,2)},conjunto B={1,2,3,4}.

31. c. Rc={(1,3),(3,5),(1,5)},conjunto C={1,3,5}.

32. d. Rd={(1,2),(2,3),(3,2)},conjunto D={1,2,3}.

33. Dado o conjunto A={1,3,8} e as relações sobre A listadas abaixo, indique qual alternativa mostra uma relação anti-simétrica. Justifique porque as outras relações não são anti-simétricas.

34. a. R1={(1,3),(3,1),(8,1)}

35. b. R2={(1,8),(8,8),(1,3),(8,1)}

36. c. R3={(3,3),(1,8),(8,8),(8,1)}

37. d. R4={(8,8),(1,3),(8,1),(1,1)}

Definição de função21. Quais dos diagramas abaixo se encaixa na definição de

função de A em B, onde A={a,b,c} e B={1,2,3}.

22. Quais dos diagramas abaixo não representa uma função de A em B, onde A={a,b,c} e B={1,2,3}.

23. Dada a função real f(x)=2x+3 definida sobre o conjunto A={1,2,3,4}, apresente o conjunto de todos os pares ordenados pertencentes à função f.

24. Dada a função f:R R definida por:

determinar: f(0), f(-4), f(2) e f(10).

25. Qual conjunto é formado pelos valores f(0), f(-3), f(2) e f(10), se a função de R×R está definida por f(x)=x²-4x+7?

26. a. {67,3,4,7}

27. b. {0,-3,2,10}

28. c. {7,28,3,67}

29. d. {10,2,-3,0}

30. Calcular os valores: f(3), f(1), f(0) e f(-10), para a função real f=f(x) definida por:

Zeros de funções27. Por definição, zero de uma função é o ponto do

domínio de f onde a função se anula. Dadas as quatro funções:

f(x)=3x-8,   g(x)=2x+6,   h(x)=x-1  e  i(x)=15x-30

qual dos conjuntos contém os zeros de todas as funções.

a. {-8,2,-1,-30}

b. {8/3,-3,1,2}

c. {-8/3,2,-1,-2}

d. {2,8/3,3,30}

28. Se uma função do primeiro grau é da forma f(x)=ax+b tal que b=-11 e f(3)=7, obtenha o valor da constante a.

29. Usando f(x)=ax+b e sabendo-se que f(-2)=8 e f(-1)=2, obter os valores de a e b.

30. Obter a função f(x)=ax+b tal que f(-3)=9 e f(5)=-7. Obtenha f(1) e o zero desta função.

31. Para a função real definida por f(x)=x²+2x-3, obtenha: f-

1(5), f-1(0), f-1(-3) e f-1(x+3)

32. Para a função real f(x)=2x+4, qual é o conjunto f-1(8)?

33. Dada a função real f(x)=-x²+6x+3, determinar o conjunto f-1(8)?

34. Dada a função real f3(x)=x³, qual é o conjunto f-1(8)?

35. Uma sequência real é uma função real cujo domínio é o conjunto dos números naturais. Seja a sequência real definida por:

cujo gráfico é dado por

Obter os valores de f(2), f(3), f(5), f-1(8) e f-1(3/2)

36. Qual dos gráficos representa uma função sobrejetora?

37. Qual dos gráficos representa uma função injetora?

38. Seja a função f definida sobre o conjunto A={x,y,z} com imagem em B={1,2,3}. Qual das alternativas contém os pares ordenados (x,y) de elementos em A×B que representam uma função bijetora (injetora e sobrejetora).

39. a. {(x,3),(y,1),(z,2)}

40. b. {(x,1),(y,2),(x,3),(z,1)}

41. c. {(y,2),(x,2),(z,3)}

42. d. {(x,1),(y,3),(z,2),(z,1)}

43. Ao analisar a função real f definida por f(x)=x²+4x-12, podemos afirmar que f é injetora? Justifique a resposta.

44. Quais das funções são sobrejetoras?

45. a. f(x)=-x+3

46. b. f(x)=3

47. c. f(x)=x³-1

48. d. f(x)=-x²-1

Funções Compostas41. Se f(x)=3x-5, g(x)=x²+2x-3 e (gof)(x)=g(f(x)), obter (fog)

(2), (gof)(-3), (gof)(x) e (fog)(x).

42. Sejam as funções reais definidas por g(x)= 3x-2 e

Obter (gof)(1), (fog)(3), (fof)(2) e (gog)(-4).

43. Dadas as funções f:A B e g:B C pelo diagrama

obter a função composta gof:A C.

44. Sobre o conjunto A={a,b,c,d}, definimos as funções

f={(a,d),(b,c),(c,b),(d,a)}g={(a,b),(b,c),(c,d),(d,d)}

Determinar as compostas gof e fog.

45. Definidas as funções f, g e h, pelo diagrama:

determinar fog, goh, hof, gog nos pontos 1, 2 e 3.

46. Dadas as funções reais f(x)=3x-1 e g(x)=x(x+2), obter gof, fog, gog e fof.

Operações com funções47. Por definição (f+g)(x)=f(x)+g(x). Realizar a soma das

funções f e g é o mesmo que obter os valores de f+g em

todos os pontos do domínio comum a ambas as funções. Consideremos as funções reais:

f={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}g={(1,5),(2,2),(3,3),(4,1)}

Qual alternativa mostra a função f+g?

a. {(1,7),(2,5),(6,7),(4,6)}

b. {(2,7),(4,5),(6,7),(8,6)}

c. {(1,7),(2,5),(3,7),(4,6)}

d. {(1,7),(2,5),(6,7),(8,6)}

48. Por definição (f-g)(x)=f(x)-g(x). Realizar a diferença entre as funções f e g é o mesmo que obter os valores de f-g em todos os pontos do domínio comum a ambas as funções. Sejam as funções reais:

f={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}g={(1,5),(2,2),(3,3),(4,1)}

Qual alternativa representa a função f-g?

a. {(0,-3),(0,1),(0,1),(0,4)}

b. {(1,3),(2,-1),(3,-1),(4,-4)}

c. {(1,3),(2,1),(3,-1),(4,4)}

d. {(1,-3),(2,1),(3,1),(4,4)}

49. Por definição (f.g)(x)=f(x).g(x). Realizar o produto das funções f e g é o mesmo que obter os valores de f.g em todos os pontos do domínio comum a ambas as funções. Consideremos as funções reais:

f={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}g={(1,5),(2,2),(3,3),(4,1)}

Qual alternativa representa a função f.g?

a. {(1,7),(4,6),(9,12),(16,5)}

b. {(1,10),(2,6),(3,12),(4,5)}

c. {(1,10),(4,3),(9,12),(16,5)}

d. {(1,10),(4,3),(3,12),(4,5)}

50. Por definição (f/g)(x)=f(x)/g(x). Realizar a divisão entre as funções f e g é o mesmo que obter os valores de f/g em todos os pontos do domínio comum a ambas as funções. Consideremos as funções reais:

f={(1,5),(2,3),(3,9),(4,5)}g={(1,5),(2,2),(3,3),(4,1)}

Qual alternativa representa a função f/g?

a. {(1,1),(1,3/2),(1,3),(1,5)}

b. {(1,1),(2,3/2),(3,12),(4,5)}

c. {(1,1),(4,3/2),(9,12),(16,5)}

d. {(1,1),(2,3/2),(3,3),(4,5)}

51. Determinar f+g, f-g, f.g e f/g, para as funções reais:

f={(1,4),(2,5),(3,12),(4,2)}g={(1,4),(2,2),(3,3),(4,6)}

Gráficos de funções52. Observe os gráficos e relacione os mesmos com as

respectivas funções:

a. f(x)=x³-4

b. g(x)=5

c. h(x)=2x+3

d. t(x)=x²-2

53. Em cada gráfico, analise o intervalo de crescimento e de decrescimento.

a) f(x)=x³ b) g(x)=x² c) h(x)=3x-15 d) f(x)=-2x

54. Em cada gráfico, analise o intervalo de crescimento e de decrescimento.

a) f(x)=-x²+4x-4 b) g(x)=3/x c) h(x)=2

55. Analisar as funções apresentadas e identificar os seus respectivos domínios. Aqui estamos usando R[z] para a raiz quadrada de z>0.

a. f(x)=4/(x-5)b. g(x)=R[x+3]c. h(x)=14x-12d. f(x)=3x+5x1/3-4e. g(x)=8x-3x²-16

56. Determinar a imagem para cada função:

a) f(x)=x+1 b) g(x)=3 c) h(x)=x²+2

57. Determinar as imagens para as funções: f(x)=sen(x) e g={(-2,-2),(-1,2),(0,4),(1,1),(2,3),(3,3)}.

58. Qual é a imagem da função f(x)=(x-1)(x-5) definida sobre o conjunto D={1,2,3,4,5} que é o domínio de f.

59. Construir um esboço gráfico para cada função:

a. f(x)=|x-2| b. f(x)=|x|+3 c. f(x)=|x+2|-2

60. Sejam as funções f(x)=2x-4 e g(x)=3x+a. Se f(1)-g(0)=6, quanto vale f(2)+5g(7)=?

a. -8 b. 65 c. 0 d. 13

61. O vértice de uma função quadrática (do segundo grau) da forma f(x)=ax²+bx+c pode ser obtido por:

onde =b²-4ac é o discriminante da função f. Para cada uma das funções abaixo, obtenha o vértice da parábola.

a. f(x)=x²-10x+21

b. g(x)=x²-2x

c. h(x)=x²-1

d. m(x)=x²+14x+49

62. Os zeros de uma função quadrática f(x)=x²+bx+c são p=-7 e q=-1. Obter o vértice da parábola que representa o gráfico desta função.

63. Os zeros da função quadrática f(x)=ax²+bx+c, são p=2 e q=1 e seu vértice está em (3/2,-1/4). Qual é a respectiva função?

Construída por Daiane A.Miliossi Morais, Ulysses Sodré e Sônia

F.L.ToffoliAtualizada em 25/mar/2005.

Ensino Médio: Logaritmos

A hipérbole equilátera Definição de

Logaritmo Propriedades gerais Simplificações

matemáticas

Base para um logaritmo

Logaritmo decimal Definição estranha de

logaritmo Cálculo de logaritmos Característica e

mantissa

Tábua logaritmos on-line

A hipérbole equilátera

Seja a função real f(x)=1/x definida para todo x diferente de zero. O gráfico desta função é a curva plana denominada hipérbole equilátera, sendo que um ramo da hipérbole está no primeiro quadrante e o outro está localizado no terceiro quadrante.

Esta curva tem importantes aplicações em Ótica e construções de óculos, lentes, telescópios, estudos de química, estudos em economia, etc.

Definição de Logaritmo

O logaritmo natural (ou neperiano) de u, muitas vezes, denotado por Ln(u), pode ser definido do ponto de vista geométrico, como a área da região plana localizada sob o gráfico da curva y=1/x, acima do eixo y=0, entre as retas x=1 e x=u, que está no desenho colorido de vermelho.

A área em vermelho representa o logaritmo natural de u, denotado por Ln(u). Em função do gráfico, em anexo, usaremos a definição:

Ln(u)=área(1,u)

Se u>1, a região possuirá uma área bem definida, mas tomando u=1, a região se reduzirá a uma linha vertical (que não posssui área ou seja, possui área nula) e neste caso tomaremos Ln(1)=área(1,1). Assim:

Ln(1)=0

Quando aumentamos os valores de u, esta função também aumenta os seus valores, o que significa que esta função é crescente para valores de u>0.

O conceito de Integral de uma função real, normalmente estudado na disciplina Cálculo Diferencial e Integral, justifica a forma como apresentamos o Logaritmo natural de um número real.

Propriedades gerais dos logaritmos

Com o uso deste conceito fundamental da Matemática, é possível demonstrar várias propriedades dos Logaritmos naturais (o que não será feito aqui), para números reais positivos x e y e para qualquer número real k, desde que tenham sentido as expressões matemáticas:

Propriedades básicas dos logaritmos naturais

1. Ln(1)=02. Ln(x.y)=Ln(x)+Ln(y)3. Ln(xk)=k.Ln(x)4. Ln(x/y)=Ln(x)-Ln(y)

Algumas simplificações matemáticas

As propriedades dos Logaritmos podem ser usadas para simplificar expressões matemáticas.

Exemplos:

1. Ln(5)+4.Ln(3)=Ln(5)+Ln(34=Ln(5.34)=Ln(405)

2. (1/2)Ln(4t²)-Ln(t)=Ln[(4t²)½]-Ln(t)=Ln(2), se t>0

3. Ln(a)+L(b)-Ln(c)+Ln(10)=Ln(10a.b/c)

Exercício: Qual dos números é o menor: 2.Ln(3) ou 3.Ln(2)? Observamos que:

2 Ln(3) = Ln(3²) = Ln(9)3 Ln(2) = Ln(2³) = Ln(8)

e como a função Ln é crescente, então:

3 Ln(2) = Ln(8)<Ln(9) = 2 Ln(3)

Base para um logaritmo

Existe um importante número real e=2,71828... (atribuído a Euler) tal que

Ln(e) = 1

A partir da observação anterior, o número e representa a base para os logaritmos naturais e poderemos escrever:

Ln(u) = Loge(u)

que lemos como "logaritmo do número real u na base e".

A partir do exposto acima, temos uma propriedade que possibilita a mudança logarítmica de uma base positiva para outra base positiva, sendo que ambas devem ser diferentes de 1.

Loga(b) = Ln(b) / Ln(a)

Exercício: Você saberia a razão pela qual não é possível definir logaritmo de um número na base 1?

Logaritmo decimal

No âmbito do Ensino Médio, usa-se bastante a base 10, uma vez que neste ambiente a base decimal recebe as preferências para o trabalho com o nosso sistema de numeração, mas devemos observar que em contextos mais avançados, a base decimal tem pouca utilidade. Quando escrevermos Log a partir daqui neste trabalho, entenderemos o Logaritmo na base decimal e escrevemos:

y = Log(x)

para entender que y é o Logaritmo de x na base 10 e nesta base 10, temos algumas características interessantes com os logaritmos das potências de 10

1. Log(1)=02. Log(0) não tem sentido3. Log(10)=Log(101)=14. Log(1/10)=Log(10-1)=-15. Log(100)=Log(10²)=26. Log(1/100)=Log(10-2)=-27. Log(1000)=Log(10³)=38. Log(1/1000)=Log(10-3)=-39. Log(10n)=n10. Log(10-n)=-n

A partir da propriedade

Log 10n=n

temos que o Logaritmo de 10n na base 10 é o expoente n, o que nos faz pensar que para todo x real positivo vale a relação:

Log(10x) = x

Definição estranha de logaritmo

A última expressão mostrada acima é correta e existe uma outra relação muito mais geral do que esta, pois o Logaritmo de um número real positivo x na base b é igual ao número e se, e somente se, x pode ser escrito como a potência b elevada ao expoente e, isto é:

Logb(x) = e   se, e somente se,   x = be

Em livros de Matemática elementar, esta é tomada como a definição de Logaritmo de um número em uma certa base, o que é estranho pois tal definição é cíclica:

Define-se o logarítmo em função da exponencial;

Define-se a exponencial em função do logaritmo.

Cálculos de logaritmos de alguns números

Com a definição estranha é possível obter o um valor aproximado para o Log(2). Consideremos que y=Log(2) e 10y=2. Inicialmente, temos que Log(2) é positivo e menor do que 1, pois 1<2<10 assim

0<Log(2)<1

É interessante obter dois números que sejam potências de 2 e que estejam muito próximos de potências de 10.

Por exemplo:

1000<1024=210

8192=213<10000,

logo 1000<1024<8192<10000, assim, aplicando o logaritmo de base 10, teremos:

3<10 Log(2)<13 Log(2)<4

então

0,300=3/10<Log(2)<4/13=0,308

e a média aritmética entre 0,300 e 0,308 é 0,304, que é uma boa estimativa para Log(2), isto é:

Log(2)=0,304

O ideal é encontrar outras potências de 10 que estejam próximas de potências de 2, o que não é fácil para alguém que não tenha uma calculadora que opere com muitos decimais, o que pode ser visualizado através da tabela mostrando algumas de tais potências:

Intervalo Valores Média

1<2 <10 0<Log(2)<1 0,500

1<2²<10 0<Log(2)<1/2 0,250

10<24<10² 1/4<Log(2)<2/4 0,375

10<25<10² 1/5<Log(2)<2/5 0,300

10<26<10² 1/6<Log(2)<2/6 0,250

10²<28<10³ 2/8<Log(2)<3/8 0,313

10³<210<104 3/10<Log(2)<4/10 0,350

10³<211<104 3/11<Log(2)<4/11 0,318

10³<212<104 3/12<Log(2)<4/12 0,292

10³<213<104 3/13<Log(2)<4/13 0,269

104<214<105 4/14<Log(2)<5/14 0,321

104<215<105 4/15<Log(2)<5/15 0,300

104<216<105 4/16<Log(2)<5/16 0,282

105<217<106 5/17<Log(2)<6/17 0,393

105<218<106 5/18<Log(2)<6/18 0,306

105<219<106 5/19<Log(2)<6/19 0,289

106<220<107 6/20<Log(2)<7/20 0,325

Em Cálculo Diferencial e Integral, podemos desenvolver a função Ln através de uma série de potências de x para calcular logaritmos de números reais positivos com -1<x<1.

Ln(1+x) = x - (1/2) x² + (1/3) x³ - (1/4) x4 + (1/5) x5 + ...

Uma outra série mais eficiente, permite obter o valor de Ln(y) para qualquer y real desde que se saiba o valor de x para o qual y=(1+x)/(1-x).

Ln(y) = 2 [ x + (1/3) x³ + (1/5) x5 + (1/7) x7 + ... ]

Por exemplo, para obter Ln(3), tomamos y=3 e deveremos ter x=1/2 para satisfazer à relação y=(1+x)/(1-x).

Voltando ao estudo básico, Log(2)=0,3010299956639812... e com este valor, podemos obter os logaritmos das potências de 2, como por exemplo:

1. Log(4)=Log(2²)=2Log(2)=0,602062. Log(8)=Log(2³)=3Log(2)=0,903093. Log(16)=Log(24)=4Log(2)=1,204124. Log(32)=Log(25)=5Log(2)=1,505155. Log(2n)=n.Log(2)6. Log(1/2)=Log(2-1)=(-1)Log(2)=-0,301037. Log(1/4)=Log(2-2)=(-2)Log(2)=-0,602068. Log(1/8)=Log(2-3)=(-3)Log(2)=-0,903099. Log(1/16)=Log(2-4)=(-4)Log(2)=-1,2041210. Log(1/32)=Log(2-5)=(-5)Log(2)=-1,5051511. Log(2-n)=(-n).Log(2)

Temos também que Log(3)=0,47712, o que nos permite realizar uma grande quantidade de cálculos com logaritmos.

Com Log(2) e Log3, não é possível calcular os logaritmos dos números primos maiores do que 5, mas é possível obter uma grande quantidade de logaritmos de números naturais.

Exemplo: Usaremos Log(2)=0,301 e Log(3)=0,477, para calcular alguns logaritmos.

1. Log(5)=Log(10/2)=Log(10)-Log(2)=1-0,301=0,699

2. Log(6)=Log(2.3)=Log(2)+Log(3)=0,301+0,477=0,778

3. Log(8)=Log(2³)=3 Log(2)=0,9034. Log(9)=Log(3²)=2 Log(3)=0,954

Uma estimativa razoável para Log(7)=0,8451 pode ser obtida com a média aritmética entre Log(6) e Log(8), isto é:

Log(7)=0,840

Característica e mantissa de um logaritmo na base 10

Se um número está entre duas potências consecutivas de 10, o expoente da menor delas é a característica do logaritmo deste número e a diferença entre o logaritmo do número e a característica é a mantissa que é a parte decimal do logaritmo.

Observação: Na tabela abaixo aparece o sinal negativo para o logaritmo apenas para o número que está antes da vírgula.

NúmeroLogaritmoCaracterísticaMantissa0,002 ¯3,30103 -3 0,301030,02 ¯2,30103 -2 0,30103

0,2 ¯1,30103 -1 0,301032  0,30103 0 0,30103

20  1,30103 1 0,30103200  2,30103 2 0,301032000  3,30103 3 0,30103

Esta notação simplifica operações com logaritmos, visando mostrar que, se a divisão de dois números é um múltiplo de 10, basta mudar a característica e preservar a mantissa do logaritmo. Isto poderá ser observado na Tábua moderna de logaritmos que aparece no final desta Página.

¯3,30103 significa que apenas a característica é negativa, valendo -3 e ela deve ser somada à mantissa que é um número positivo 0,30103 e isto significa que o resultado deve ser um número com um sinal negativo, isto é, -2,69897.

Tábua moderna de logaritmos

Para obter o logaritmo de um número positivo, não se esqueça de colocar o ponto decimal no lugar da vírgula.

Top of Form

Entrar com o número

Logaritmo do número

Exercício: Calcular Log(2), Log(20), Log(200) e Log(2000). Observou algo interessante sobre as características e mantissas desses logaritmos?

Construída por Ulysses Sodré. Atualizada em 25/mar/2005.

Ensino Médio: Logaritmos: Exercícios

Usaremos as notações: R[z] para a raiz quadrada de z>0 e x/y=x÷y.

1. Cálculo do logaritmo (base 10) com o browser: Para obter o logaritmo de um número N na base 10, com o browser, basta escrever:

2.javascript:Math.log(N)/Math.log(10)

na caixa branca de seu browser que indica o endereço (location) desta página. Após obter o resultado, use o botão voltar (back) para retornar.

Com base nesta informação, obter:

a. log10(0,01234)b. log10(0,1234)c. log10(1,234)d. log10(12,34)e. log10(123,4)f. log10(1234)

3. Cálculo do logaritmo natural com o browser: Para obter o logaritmo natural de um número N, basta usar escrever:

javascript:Math.log(N)

na caixa branca de seu browser que indica o endereço (location) desta página. Após obter o resultado, use o botão voltar (back) para retornar.

Com base nesta informação, obter:

a. Ln(0,01234)b. Ln(0,1234)c. Ln(1,234)d. Ln(12,34)

e. Ln(123,4)f. Ln(1234)

4. Determinar o valor de x para o qual:a. logx(128) = 7b. log2(8) = xc. log4(x) = 3d. log1/2(2) = xe. log2(1/2) = xf. log3/4(4/3) = x

5. Calcular o logaritmo de:a. 27 na base R[3]b. R[3] na base 27c. 25 na base R[5]d. R[5] na base 25

6. Qual é o valor de x se o logaritmo do número 16/25 na base x é 2?

7. Seja x um número real positivo. Qual é o valor da base b para que o logaritmo de x na base b:

a. seja igual a 0.b. seja igual a 1.c. seja igual a -1.

8. Usando as propriedades dos logaritmos:

logb(A.B)=logb(A)+logb(B)logb(A/B)=logb(A)-logb(B)

logb(An)=n.logb(A)

desenvolver o logaritmo de W em uma base b, para cada expressão:

a. W=7x²y-3 R[z]b. W=7x2/3y3/4

c. W=7x²/y³d. W=(abcd)/(efgh)

9. Usando o fato que:

logb(M)=loga(M)/loga(b)

determinar log2(1024), log2(32) e log128(1024).

10. Se log10(2)=0,30103 e log10(3)=0,47712, determinar:a. log10(18)b. log10(16)c. log10(50)d. log10(250)

11. e=2,71828... é conhecido como número de Euler. O logaritmo natural (ou neperiano) é o logaritmo na base e, denotado por Ln(N)=loge(N). Se Ln(2)=0,69315 e Ln(10)=2,30259, obter:

a. log10(2)b. Ln(5)c. Ln(4)d. Ln(20)

12. Qual é a característica de cada logaritmo indicado:a. log10(0,001)b. log10(0,01)c. log10(0,1)d. log10(1)e. log10(10)f. log10(100)g. log10(1000)

13. Obter as características dos logaritmos:a. log2(65/1024)b. log2(650/1024)c. log2(6500/1024)d. log2(65000/1024)

14. Obter as mantissas dos logaritmos:a. log10(0,002)b. log10(0,02)c. log10(0,2)d. log10(2)e. log10(20)f. log10(200)g. log10(2000)

15. Se a mantissa de log101234 é igual a 0,091315, obter:a. log10(1234)b. log10(123,4)c. log10(12,34)

d. log10(1,234)e. log10(0,1234)f. log10(0,01234)g. log10(0,001234)

16. Com o browser, podemos obter o valor de x para o qual log10(x)=1,234. Basta elevar o número 10 à potência 1,234, o que pode ser obtido pelo método seguinte. Escrever:

javascript:Math.pow(10,1.234)

na caixa branca de seu browser que indica o endereço (location) desta página. Após obter o resultado, use o botão voltar (back) para retornar.

Com base nesta informação, obter:

a. log10(0,1234)b. log3(1,234)c. log2(12,34)d. log9(123,4)e. log25(1234)f. log50(12340)g. log100(1234)

17. Usando logaritmos, determinar x tal quea. 3x = 5b. (12,34)x = 56,78c. (12,34)(x+1) = 56,78d. (12,34)(3x-1) = 56,78e. (12,34)(x+1) = 56,78f. (12/34)x = 56/78g. 3(x+1)/x = 7x

h. 3(x+1)/x 5x = 10x

18. Resolver as equações logarítmicas:a. 2 log(x)-2=log(x-3)b. log(R[5x+1])+log(R[7x+4])-log(20)=0

c. log2(x-1)=log4(x+1)

19. Resolver os sistemas de equações logarítmicas:

a. x+y=13log(x)+log(y)=log(36)

b. x+y=5log(x)+log(y)=2

c. x+y=29log(x)+log(y)=2

d. xy=yx

x²=y³e. 2x+y=64

log(x)+log(y)=log(8)

Ensino Médio: Funções Exponenciais

A função exponencial A Constante e de

Euler Conexão entre exp e o

número e Significado

geométrico de e Propriedades básicas Simplificações

matemáticas

Outras funções exponenciais

Leis dos expoentes Relação de Euler Algumas Aplicações Resfriamento dos

corpos Curvas de

aprendizagem Crescimento

populacional

Desintegração radioativa

A função exponencial

A função exponencial natural é a função exp:R R+, definida como a inversa da função logarítmo natural, isto é:

Ln[exp(x)]=x,    exp[Ln(x)]=x

O gráfico da função exponencial é obtido pela reflexão do gráfico da função Logaritmo natural em relação à identidade dada pela reta y=x.

Como o domínio da função Logaritmo natural é o conjunto dos números reais positivos, então a imagem da função exp é o conjunto dos números reais positivos e como a imagem de Ln é o conjunto R de todos os números reais, então o domínio de exp também é o conjunto R de todos os números reais.

Observação: Através do gráfico de f(x)=exp(x), observamos que:

1. exp(x)>0 se x é real)

2. 0<exp(x)<1 se x<0

3. exp(x)=1 se x=0

4. exp(x)>1 se x>0

No Ensino Médio, a função exponencial é definida a partir da função logarítmica e ciclicamente define-se a função logarítmica em função da exponencial como:

f(x)=exp(x), se e somente se, x=Ln(y)

Para uma definição mais cuidadosa, veja Logaritmos.

Exemplos:

1. Ln[exp(5)]=52. exp[ln(5)]=53. Ln[exp(x+1)1/2]=(x+1)1/2

4. exp[Ln((x+1)1/2]=(x+1)1/2

5. exp[3.Ln(x)]=exp(Ln(x³)]=x³6. exp[k.Ln(x)]=exp[Ln(xk)]=xk

7. exp[(7(Ln(3)-Ln(4)]=exp[7(Ln(3/4))]=exp[(Ln(3/4)]7)=(3/4)7

A Constante e de Euler

Existe uma importantíssima constante matemática definida por

e = exp(1)

O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que:

Ln(e)=1

Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.

O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:

e=2,718281828459045235360287471352662497757

Conexão entre o número e e a função exponencial

Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x, isto é:

ex = exp(x)

Significado geométrico de e

Tomando um ponto v do eixo OX, com v>1 tal que a área da região do primeiro quadrante localizada sob a curva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja unitária, então o valor de v será igual a e.

Propriedades básicas da função exponencial

Se x e y são números reais e k é um número racional, então:

1. y=exp(x) se, e somente se, x=Ln(y).2. exp[Ln(y)]=y para todo y>0.3. Ln[exp(x)]=x para todo x real.4. exp(x+y)=exp(x) exp(y)5. exp(x-y)=exp(x)/exp(y)6. exp(x.k)=[exp(x)]k

Simplificações matemáticas

Podemos simplificar algumas expressões matemáticas com as propriedades das funções exponenciais e logaritmos:

1. exp[Ln(3)]=3.2. Ln[exp(20x)]=20x.3. exp[5.Ln(2)]=exp[Ln(25)]=25=32.

4. exp[2+5.ln(2)]=exp(2)exp(5.Ln(2))=32e².

Outras funções exponenciais

Podemos definir outras funções exponenciais como g(x)=ax, onde a é um número real positivo diferente de 1 e de x. Primeiro, consideremos o caso onde o expoente é um número racional r.

Tomando x=ar na equação x=exp[Ln(x)], obtemos:

ar=exp[Ln(ar)]

Como Ln[ar]=r.Ln(a), a relação acima fica na forma:

ar = exp[r.Ln(a)]

Esta última expressão, juntamente com a informação que todo número real pode ser escrito como limite de uma sequência de números racionais, justifica a definição para g(x)=ax, onde x é um número real:

ax=exp[x.Ln(a)]

Leis dos expoentes

Se x e y são números reais, a e b são números reais positivos, então:

1. axay=ax+y

2. ax/ay=ax-y

3. (ax) y=ax.y

4. (a b)x=axbx

5. (a/b)x=ax/bx

6. a-x=1/ax

Relação de Euler

Se i é a unidade imaginária e x é um número real, então vale a relação:

eix = exp(ix) = cos(x) + i sen(x)

Algumas Aplicações

Funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. Vamos apresentar alguns exemplos com aplicações destas funções.

Lei do resfriamento dos corpos: Um indivíduo foi encontrado morto em uma sala com temperatura ambiente constante. O legista tomou a temperatura do corpo às 21:00 h e constatou que a mesma era de 32 graus Celsius. Uma hora depois voltou ao local e tomou novamente a temperatura do corpo e constatou que a mesma estava a 30 graus Celsius. Aproximadamente a que horas morreu o indivíduo, sabendo-se que a temperatura média de um corpo humano normal é de 37 graus Celsius?

Partindo de estudos matemáticos pode-se construir uma função exponencial decrescente que passa pelos pontos (21,32) e (22,30) onde abscissas representam o tempo e as ordenadas a temperatura do corpo.

A curva que descreve este fenômeno é uma função exponencial da forma:

f(t) = C eA t

então obtemos que:

A = Ln(30)-Ln(32)C = 32/ (30/32)21

A função exponencial que rege este fenômeno de resfriamento deste corpo é dada por:

f(t) = 124,09468 e-0,0645385t

e quando f(t) = 37 temos que:

t = 18,7504... = 18 horas + 45 minutos

que pode ser observado através do gráfico.

Observação: Neste exemplo, usamos a construção de um gráfico e as propriedades operatórias das funções exponenciais e logarítmicas.

Curvas de aprendizagem: Devido ao seu uso por psicólogos e educadores na descrição do processo de aprendizagem, as curvas exponenciais realizam um papel importante.

A curva básica para este tipo de estudo é da forma:

f(x) = c - a e-k.x

onde c, a e k são constantes positivas. Considerando o caso especial em que c=a temos uma das equações básicas para descrever a relação entre a consolidação da aprendizagem y=f(x) e o número de reforços x.

A função:

f(x) = c - a e-k.x

cresce rapidamente no começo, nivela-se e então aproxima-se de sua assíntota y=c.

Estas curvas também são estudadas em Economia, na representação de várias funções de custo e produção.

Crescimento populacional: Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle of Population" formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente em função do tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomou as hipóteses que os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e a variação do tempo conhecida entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presente em um instante t:

N(t)=No ert

onde No é a população presente no instante inicial t=0 e r é uma constante que varia com a espécie de população.

O gráfico correto desta função depende dos valores de No e de r. Mas sendo uma função exponencial, a forma do gráfico será semelhante ao da função y=Kex.

Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população.

Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie de população do que um modelo que mostre o que realmente ocorre.

Consideremos por exemplo uma população de bactérias em um certo ambiente. De acordo com esta equação se esta população duplicar a cada 20 minutos, dentro de dois dias, estaria formando uma camada em volta da terra de 30 cm de espessura. Assim, enquanto os efeitos do meio ambiente são nulos, a população obedece ao modelo N=Noert. Na realidade, se N=N(t) aumenta, o meio ambiente oferece resistência ao seu crescimento e tende a mantê-lo sobre controle. Exemplos destes fatores são, a quantidade disponível de alimentos, acidentes, guerras, epidemias,...

Como aplicação numérica, consideremos uma colônia de bactérias se reproduzindo normalmente. Se num certo instante havia 200 bactérias na colônia, passadas 12 horas havia 600 bactérias. Quantas bactérias haverá na colônia após 36 horas da última contagem?

No instante inicial havia 200 bactérias, então No=200, após 12 horas havia 600 bactérias, então

N(12)=600=200 er12

logo

e12r=600/200=3

assim

ln(e12r)=ln(3)

Como Ln e exp são funções inversas uma da outra, segue que 12r=ln(3), assim:

r=ln(3)/12=0,0915510

Finalmente:

N(48) = 200 e48.(0,0915510) = 16200 bactérias

Então, após 36 horas da útima contagem ou seja, 48 horas do início da contagem, haverá 16200 bactérias.

Desintegração radioativa: Os fundamentos do estudo da radioatividade ocorrerram no início do século por Rutherford e outros. Alguns átomos são naturalmente instáveis, de tal modo que após algum tempo, sem qualquer influência externa sofrem transições para um átomo de um novo elemento químico e durante esta transição eles emitem radiações. Rutherford formulou um modelo para descrever o modo no qual a radioatividade decai. Se N=N(t) representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, No o número de átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante de decaimento, então:

N(t) = No e-k.t

esta constante de decaimento k, tem valores diferentes para substâncias diferentes, constantes que são obtidas experimentalmente.

Na prática usamos uma outra constante T, denominada meia-vida do elemento químico, que é o tempo necessário para que a quantidade de átomos da substância decaia pela metade.

Se N=No/2 para t=T, temos

No/2 = No e-k.T

assim

T=Ln(2)/k

Na tabela, apresentamos indicadores de meia-vida de alguns elementos químicos:

Substância Meia-vida T

Xenônio 133 5 dias

Bário 140 13 dias

Chumbo 210 22 anos

Estrôncio 90 25 anos

Carbono 14 5.568 anos

Plutônio 23.103 anos

Urânio 238 4.500.000.000 anos

Para o Carbono 14, a constante de decaimento é:

k = Ln(2)/T = Ln(2)/5568 = 12,3386 por ano

Construída por Sonia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré. Atualizada em

25/mar/2005.

Ensino Médio: Funções Exponenciais: Exercícios

1. Gráficos das funções f1(x)=3x, f2(x)=5x, f3(x)=7x, f4(x)=1 e f5(x)=0, estão traçados na figura abaixo.

Quais dos gráficos não são funções exponenciais?

Notação: Na sequência, usaremos a raiz n-ésima de z, será denotada por z1/n.

2. Construir em um mesmo plano cartesiano, um gráfico com as seguintes funções:

g1(x) = 3-x, g2(x) = 5-x e g3(x) = 7-x

3. A partir dos gráficos das funções f(x)=2x, g(x)=2x+2 e h(x)=2-x, descreva o que ocorre com g=g(x) e h=h(x) em relação a f=f(x).

4. Observe o gráfico das funções f(x)=2x, f1(x)=2x+1, f2(x)=2x+2 e f3(x)=2x+3. O que ocorre com f1(x), f2(x), f3(x) em relação a f(x)=2x?

5. Dado o gráfico da função exponencial f(x)=9x. Pede-se os valores de f(1/2), f(2), f(3), f(4), e o que ocorre com os valores de y=f(x) quando x aumenta?

6. Considere a função exponencial f(x)=(1/4)x. (a) Calcular os valores de f(1/2), f(2), f(3), f(5) e; (b) Analisar o que ocorre com os valores de y=f(x) quando x aumenta?

7. Sejam as funções f(x)=2x e g(x)=(1/2)x ilustradas abaixo.

Em cada caso, escolha uma das opções apresentadas.

(a) Se a variável x é positiva e assume valores crescentes muito grandes, a função f(x)=2x admite valores: Muito próximos de zero ou Muito grandes.

(b) Se a variável x é negativa e assume valores absolutos crescentes muito grandes, a função f(x)=2x

admite valores: Muito próximos de zero ou Muito grandes.

(c) Se a variável x é positiva e assume valores crescentes muito grandes, a função g(x)=2-x admite valores: Muito próximos de zero ou Muito grandes.

(d) Se a variável x é negativa e assume valores absolutos crescentes muito grandes, a função g(x)=2-x

admite valores: Muito próximos de zero ou Muito grandes.

Observação: O símbolo (infinito) não é um número real mas representa um valor maior do que qualquer número real. Desse modo, quando dizemos que x se distancia da origem por valores positivos muito grandes, podemos escrever que x tende a +

. Quando x se distancia da origem por valores negativos mas cujos módulos (valores absolutos) são muito grandes, escrevemos que x tende a -

. Algo semelhante ocorre com valores muito próximos de

zero, pois quando x é um número real muito pequeno, porém diferente de zero, dizemos que x tende a zero. Este fato ocorre se x é um valor positivo ou se é negativo.

8. Construir os gráficos das funções exponenciais:

f1(x) = 7x, f2(x) = 7-x e f3(x) = R[3]x

9. Construir os gráficos das funções exponenciais:

f4(x) = 5-x, f5(x) = (1,01)x e f6(x) = (3/4)x

10. Com relação ao crescimento de funções, identifique cada função exponencial apresentada abaixo como crescente ou decrescente.

f1(x)=7x, f2(x)=7-x + 2, f3(x)=5-x, f4(x)=(1,01)x + 2 e f5(x)=(3/4)x

11. Determinar os valores de x para os quais 2x=32.

12. Determinar os valores de x para os quais 2x=1.

13. Resolver a equação 27x = 243.

14. Resolver a equação 625x = 25.

15. Determinar o valor de x para o qual (1/3)x=3.

16. Determinar o valor de x para o qual (4/9)x=81/16.

17. Qual é o conjunto solução da equação exponencial 5x+2=125x?

18. Determinar o conjunto solução de 2x=5x.

19. Qual é o conjunto solução de 73x-9-49=0?

20. Determinar o conjunto solução da equação 4x+3(2x+1)=16.

21. Determinar o conjunto solução da equação 22x-12(2x)=-32.

22. Se R[3] é a raiz quadrada de 3, obter o conjunto solução da equação (R[3])x+1=243.

23. Determinar o conjunto solução da equação 3x7x=(441)1/4.

24. Determinar o conjunto solução da equação 3x-34-x=24.

25. Determinar o conjunto solução do sistema com as duas equações exponenciais:

3x+y=81   e  3x-y=126. Determine o conjunto solução do sistema de equações:

22x+y = 4   e   2x-y = 2-1/2

27. Resolver o sistema de equações:

8x/216y-1=1   e   5x/4-4y = 1/528. Determinar o conjunto solução para a desigualdade

5x>625.

29. Obter o conjunto solução para a desigualdade (1/3)x<81.

30. Determinar o conjunto solução para a desigualdade 25x-

7>8.

31. Determinar as soluções para a desigualdade 91-x>243.

32. Determinar todas as soluções possíveis para a desigualdade 5u(u-3)>1/25.

33. Determinar todas as soluções possíveis para a desigualdade 22x-32x+1<-8.

34. Obter o conjunto solução para a desigualdade 2x+322-x-12 <0.

35. Qual é a solução da equação exponencial

5x+2 - 95x = 2x+9 + 1132x?36. Resolver a equação exponencial

22x+1 - 2x+4 - 2x + 8 = 037. Se R[2] e R[3] representam, respectivamente, as raiz

quadradas de 2 e 3, resolver a equação exponencial

4 (R[3])x+1 = 9 (R[2])x+1

Construída por Caroline E.Tatibana, Sonia F.L.Toffoli e Ulysses Sodré

Atualizada em 25/mar/2005.