conjuntos nebulosos - introdução se você tem um martelo, tudo irá parecer um prego atribuído a...

Conjuntos Nebulosos - Introdução

Se você tem um martelo, tudo irá parecer um prego

Atribuído a Dinísio de Agapunta (300 AC)

Adriano Joaquim de O Cruz – NCE e IM, UFRJ

©2002 [email protected]

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Conjuntos Nebulos Introdu₤₧o 2

Sumário

Conjuntos Clássicos Função de Inclusão em Conjuntos Clássicos Operações com Conjuntos Clássicos Propriedades de Conjuntos Clássicos Conjuntos Nebulosos Funções de Inclusão em Conjuntos

Nebulosos Terminologia de Conjuntos Nebulosos

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ

Conjuntos Clássicos

Universo de Discurso– Corresponde ao espaço onde estão

definidos os elementos do conjunto– Por exemplo: alturas de seres humanos: 0 <= alt <= 2.5m temperatura ambiente: -70o<=temp<=70o


Conjuntos Clássicos

Função de Inclusão – Define se um pertence ou não a um

conjunto

70.1,0

70.1,1(X)A

x

x

1

01,70 altura


Problemas/Conjuntos Clássicos

Apresentam problemas quando aplicados à uma enorme classe de problemas do mundo real.

O problema da escolha do limiar entre dois conjuntos (alto/não alto) é denominado de paradoxo de Sorites, atribuído ao dialético, Eubulides de Mileto, adversário de Aristóteles

O paradoxo se enuncia com os seguintes termos“Quando um monte de areia deixa de ser um monte de

areia, caso retiremos um grão de areia de cada vez?”


Operações com conjuntos clássicos

}|{|},|{

}|{}|{

BxAxxBADiferençaXxAxxAoComplement

BxAxxBAInterseçãoBxAxxBAUnião


Tabelas Verdade

011|11

001|01

101|10

100|00

| xyxyxyx

Que funções matemáticas poderiam ser usadas para representar as operações de união, intercessão, e complemento?


Propriedades de Conjuntos Clássicos

)()()(

)()()(

)()(

)()(

CABACBA

CABACBAvidadeDistributi

CBACBA

CBACBAidadeAssociativ

ABBA

ABBAdadeComutativi


Propriedades de Conjuntos Clássicos

AXA

XXA

A

AAIdentidade

AAA

AAAiaIdempotênc

BABA

BABAMorganDe

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Conjuntos Nebulos Introdu₤₧o 10

Leis de Aristóteles

“Tudo deve ser ou não ser, seja no presente ou no futuro.”

A União de um conjunto com seu complemento forma o conjunto Universo.

Esta é chamada de lei da exclusão do meio

XAA


Leis de Aristóteles

A Intercessão de um conjunto com seu complemento é vazia.

Esta é chamada de lei da não contradição

AA


Conjuntos Nebulosos

A função de inclusão de elementos em um conjunto nebuloso A é caracterizada por

que mapeia cada elemento do conjunto X em um número real no intervalo [0,1]

1.0

01,70 altura

0.5

1,80

]1,0[:(.) X


Conjuntos Nebulosos - definição

Um conjunto nebuloso pode ser expresso por um conjunto ordenado de pares:

}|))(,{( XxxxA A

Universo de Discurso

Conjunto Nebuloso

Função de Inclusão

Valor


Tipos de Inclusão

Inclusão com grau: um elemento pertence a um conjunto com um determinado grau de certeza. Alguns elementos são mais representativos da idéia central do conjunto que outros– alunos excelentes={(Pedro,0.8), (Ana,0.9),

(Paulo,0.9), (Marta,1.0)}–muito altos = {(Oscar,0.95), (Michael

Jordan, 0.95), (Junior Baiano,0.8)}


Tipos de Inclusão

Inclusão em diversos conjuntos: um elemento pode ser membro parcial de mais de um conjunto– crian₤as={Pedro, Ana, Paulo, Marta}– adolescentes = {Pedro, Mateus, Joaquim}

– crianças(Pedro)=0.2– adolescentes(Pedro)=0.8


Não é probabilidade

Pertencer ao conjunto das pessoas altas, com um grau de inclusão de 0.25, indica afastamento da definição ideal de uma pessoa alta por uma diferença de 0.75

O grau 0.25 não significa que uma pessoa com esta altura possa ser encontrada com probabilidade 0.25 no conjunto das pessoas altas


Não é probabilidade

Um líquido em uma garrafa tem 95% de probabilidade de ser veneno puro

Um líquido em uma garrafa pertence a conjunto das garrafas com água pura com grau 0.95, isto é 5% de veneno na água

Veneno nesta concentração não mata, mas você irá passar muito mal.

De qual garrafa você beberia?


Representando conjuntos nebulosos

Pares ordenados: um conjunto nebuloso pode ser representado por um par ordenado de pares, sendo que o primeiro elemento denota o elemento do conjunto e o segundo o seu grau de inclusão no conjunto

Altos = {(João=1.6, 0.0), (Ana=1.7,0.5), (Oscar=1.8,1.0)}


Representando Conjuntos Nebulosos

Função de Inclusão: um conjunto nebuloso pode ser representado por uma função que mapeia os elementos do conjunto no intervalo [0,1]

9.10

9.17.15.95

7.15.15.75

5.10

)(

altura

alturaaltura

alturaaltura

altura

alturamedia


Representando Conjuntos Nebulosos

Função de Inclusão: um conjunto nebuloso pode ser representado por uma função que mapeia os elementos do conjunto no intervalo [0,1]

1.71.5 1.9

µ(x)

altura

Alturas médias

1.0


Função Unimodal

Uma função é unimodal se

Uma função unimodal contém informação de tal maneira que quando (x)>(y) para um conjunto A implica que x está mais perto da definição ideal de A do que y.

)](),(min[))1((:]1,0[,, 212121 xxxxXxx

bimodalunimodal


Função Singular

Função singular (singleton) quando

xx

xxxx 0

1)(

SvOutPlaceObject

1


Função Clássica

Funções clássicas são empregadas para definição de conjuntos clássicos

1


Função Linear

Conjunto nebuloso dos mais simples


Função Trapezoidal e Triangular

Fáceis de implementar e permitem representar conjuntos complexos. Podem ser representadas por 4 valores (a, b, c, d)

cba d


Função Trapezoidal e Triangular

Uma função trapezoidal pode ser especificada por 4 parâmetros (a, b, c, d). Triângulos , b=c

dx

dxccdxd

cxb

bxaab

axax

dcbaxtrap

0

1

0

),,,:(


Função Sigmóide

É definida usando-se três parâmetros: seu valor 0 de inclusão (), seu valor 1 de inclusão () e o ponto de inflexão (), que é o ponto onde o valor da função de inclusão vale 0.5

x

xx

xx

x

xS

1

21

2

0

),,,( 2

2


Função Sigmóide

0

1


Função Beta

É definida com dois parâmetros, o valor em torno do qual a curva é construída () e um valor que indica a metade da largura da curva no ponto de inflexão ()

2

1

1),,(

x

xB


Suporte de um conjunto

O suporte de um conjunto nebuloso A, definido sobre um universo de discurso X, é um conjunto clássico definido como

}0)(|{ xXxS AA


Suporte compacto

O suporte de um conjunto nebuloso é compacto quando seu tamanho é menor que o Universo de Discurso original.

Caso a função de inclusão não seja compacta várias regras serão ativadas por cada entrada, causando que o sistema seja sobrecarregado.

Suporte não compacto Suporte compacto


Conjunto Corte Alfa

O conjunto clássico A, , de elementos que pertencem ao conjunto nebuloso A até pelo menos o grau é chamado de conjunto corte . O conjunto é definido como:

O conjunto clássico A’ é chamado conjunto corte forte. Ele é definido como:

}0)(|{ xXxA A

}0)(|{' xXxA A


Conjunto Corte Alfa

1

0

Nível alfa


Cardinalidade

A cardinalidade |A| de um conjunto nebuloso finito A é definida como

A cardinalidade relativa de A é definida como

Xx

xA )(||

X

AA


Cardinalidade - Exemplo

Seja o conjunto

definido no universo de notas de 0 até 10 com notas de 0.5 em 0.5. A cardinalidade de A vale

Então a cardinalidade relativa de A vale

)}25.0,5.9(),5.0,9(),75.0,5.8(

),1,8(),75.0,5.7(),5.0,7(),25.0,5.6{(A

0.425.05.075.0175.05.025.0|| A

2.020

0.4A


Cardinalidade - cont

Para conjuntos X infinitos, a cardinalidade é definida como

x

A dxxA )(


Altura de conjunto nebuloso

A altura de um conjunto nebuloso A é definida como

Um conjunto é definido como normal se HA=1 e subnormal no caso contrário

)}({max xH AXxA


Distância

Mede a distância que um valor está da definição ideal do conjunto. É definida como

0)(1

)(

10)(

),( xx

xxAd

AA

A


Distância

0

1

Conjunto A(x)

Distância d(A,x)


Exemplo de Conjuntos

conjuntos nebulosos - introdução se você tem um martelo, tudo irá parecer um prego atribuído a...

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