40. SBAI- Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, São Paulo, SP, 08-10 de Setembro de 1999

APLICAÇÃO DO MÉTODO ,DE MONTE CARLO PARA AS OPERAÇÕES DENUMEROS NEBULOSOS

Liang Yee ChengDepto de Engenharia de Construção Civil- Escola Politécnica da USP

Av. Prof. Almeida Prado, Trav. 2 No, 271CEP05508-900 São Paulo - SP

Resumo Os conceitos e os métodos de número nebuloso' sãoabordagens apropriadas ao modelamento e análise dosproblemas de engenharia nos quais as relações matemáticas sãobem conhecidas, porém os dados acabam sendo definidosarbitrariamente com base na experiência ou intuição devido aescassez das informações disponíveis. Por causa dasdificuldades de execução das operações algébricas dosnúmeros nebulosos, as abordagens tradicionais são baseadasem formulações simplificadas e, portanto, relativamentelimitadas em termo de aplicabilidade. Como parte de umapesquisa sobre metodologias de projeto e de planejamentoautomatizado que envolvem variáveis subjetivas e com oobjetivo de contornar as dificuldades intrínsecas das.operaçõesalgébricas dos números nebulosos, desenvolvemos nestetrabalho uma técnica alterna tiva baseada no Método de MonteCarlo. A validação foi feita com base nas operações algébricasbásicas das quais possuímos soluções exatas. Subrotinas paraos cálculos dos números nebulosos L-R e TFN foramimplementadas para esta finalidade. Dos estudos concluímosque a técnica baseada no Método de Monte Carlo, largamenteempregada nos estudos de fenômenos aleatórios, é tambémadequada para o estudo dos fenômenos nebulosos utilizando afunção de pertinência como o indicativo da distribuição. Alémdisso, a aplicação do Método de Monte Carlo para determinaras soluções da álgebra nebulosa resultou numa técnicabastante eficiente e t1exível.

Palavras Chaves: número nebuloso, Matemática Nebulosa,Método de Monte Carlo, Fuzzy Number, Fuzzy Mathematics

1 INTRODUÇÃONas atividades de engenharia, tais como projeto eplanejamento, é comum surgir os problemas nos quais osmodelos matemáticos são bem conhecidos, porém, devido aescassez das informações disponíveis, os dados acabam sendodefinidos arbitrariamente com base na experiência ou intuição.São casos típicos onde as relações matemáticas são bemdefinidas mas os parâmetros ou as variáveis são nebulosas. Oprocedimento mais adequado para o modelamento e análisenestes casos é a aplicação dos conceitos e métodos de númerosnebulosos ifu zzy numbers - Dubois e Prade, 1987). Na prática,devido as dificuldades de execução das operações algébricasdos números nebulosos, as abordagens tradicionais são

308

baseadas em formulações simplificadas tais como númeronebuloso L-R (L-R fuZ<.jJ number) ou número nebulosotriangular (triangular fuzzy numberi . Estas formulações sãosatisfatórias para os problemas que não exigem boa precisão dafunção de pertinência (membership function) do resultado. Ficaevidente que as limitações destas abordagens são gargalos parao estudo dos problemas que exigem maior t1exibiJidade nomodelamento e precisão do resultado, tais como as análisesbaseadas nos conceitos de medida nebulosa ifuzzy measure -Sugeno (1972) e Dubois e Prade(1983)), entre outros.

Por estas razões e como uma das primeiras etapas dodesenvolvimento de metodologias para o projeto e oplanejamento automatizado que envolvem parâmetros ouvariáveis subjetivas, de natureza vaga ou nebulosa, nestetrabalho implementamos uma técnica baseado no Método deMonte Carlo para manipular números nebulosos.

As vantagens da utilização das técnicas baseadas no Método deMonte Carlo para O ' processamento de números nebulososforam discutidas por Juang et ai. (1991). Baseado nisso, Juanget aI. (1992) propuseram um método alternativo paradeterminar os valores nebulosos dos pesos relativos doscritérios para a tomada de decisão. Entretanto, apesar de ser ummétodo já consagrado na Matemática Estatística, é necessáriouma investigação mais a fundo sobre as suas propriedades afim de esclarecer a sua aplicabilidade na Matemática Nebulosa.

A seguir faremos uma breve revisão sobre os númerosnebulosos e apresentaremos o Método de Monte Carloadaptado, a implementação, os estudos e os resultados davalidação do método.

2 NÚMERO NEBULOSO

2.1 OperaçõesAlgébricasNúmero nebuloso é uma generalização de números reais. Umnúmero nebuloso por definição é 'um conjunto nebuloso normale convexo definido na reta real R, cuja suporte supp(Ã) éconfinado (boundeá) e cujos conjuntos de nível a sãointervalos fechados da reta R. Tal como um conjunto nebuloso,a sua definição é feita sempre pelo .par [valor, função de

(3)

Número nebuloso triangular2.3

A vantagem dos número nebuloso L-R reside no fato de que asoperações algébricas básicas podem ser feitas usando apenas os3 parâmetros desta representação. As expressões exatas paraadição e subtração e as expressões aproximadas para amultiplicação e divisão dos números nebulosos L-R foramdeduzidas pelo Dubois e Prade (1978).

Devido às limitações dos métodos existentes para as operaçõesalgébricas de números nebulosos, a utilidade destes na soluçãodos problemas de engenharia e outros problemas matemáticoscomplexos que envolvem variáveis subjeti vas ficarelativamente restrita . Desta forma, torna-se evidente anecessidade de formular algum método alternativo paradeterminar os resultados das operações algébricas de númerosnebulosos.

Número nebuloso triangular, cujas funções L e R são lineares, éo número nebuloso mais usado devido a sua simplicidade. Asua representação geralmente é feita pelo trio (aJ, a2. a3), ondea, e a3 são os limites das dispersões à esquerda e à direita,respectivamente, e a2 o valor modal. Para a operação demultiplicação de números nebulosos triangulares usa-se arepresentação por intervalo definido pelo conjunto de nível a(Kaufrnann & Gupta, 1988). Para números nebulosostriangulares definidos em R, deve-se tomar bastante cuidadoporque as operações de min e max são complexos. Porém, paranúmeros nebulosos triangulares positivos .deflnidos em R+, asoperações são simples.

3 MÉTODODE MONTECARlO

Método de Monte Carlo é uma técnica de simulação baseadono uso de um modelo matemático que · envolve umaamostragem aleatória. A amostragem é ·gerada segundo umadistribuição probabilística. Lembrando que na MatemáticaNebulosa (Fuzzy Methematics) a vagueza é forçosamenterelacionada a uma determinada propriedade e a função depertinência representa uma distribuição desta propriedade nummeio, podemos fazer uma analogia entre função de pertinênciae função densidade de probabilidade da matemática estatística.Daí surge urna perspectiva de aplicar o Método de MonteCarlo para processar as informações nebulosas.

Entretanto, apesar de ser um método já consagrado naMatemática Estatística, é necessário uma invest.igação mais a

Podemos notar que, em conseqüência das simplificaçõesintroduzidas nos números nebulosos L-R e TFN, a precisão dosresultados também deixa a desejar.

Número nebuloso L-R é mais genérico no sentido de englobaruma série de função de pertinência. No entanto, é um métodoexato somente para as operações de soma e subtração. Mesmopara operações simples de multiplicaç ão e divisão asaproximações são grosseiras. TFN é o modelo mais simples eamplamente utilizado, porém restrito a uma forma bastanteespecífica de função de pertinência . Seus resultados demultiplicação são exatos. Entretanto, deixa muito a desejar naoperação de divisão .

(2)

40. SBAI- Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente. São Paulo. SP. 08-10 de Setembro de 1999

pertinência]. É um conce ito bastante adequado para modelar as Deste modo, uma vez definidas as funções de forma L(x) enoções tais como ' em torno de 8', 'mais ou menos 5"'. Rix), um número nebuloso L-R pode ser simplesmente

representado através dos parâmetros de média e de dispersão

M=(m,a,{3)LRUma das maiores dificuldades de realizar operações algébricascom os números nebulosos é a complicação que surge durantea determinação da função de pertinência do resultado . Dados 2números nebulosos M e ir suas funções de pertinência

JlI{(x) c JlN(Y) , respectivamente. De acordo com oprincípio de extensão do Zadeh , uma operação aritmética de 2termos * definida em RI pode ser estendida para umaoperação de 2 termos ® entre os 2 números nebulosos atravésda expressão: .

JliifÚ/(Z) = suprnin(Jlii(x) ,Jl;;(Y))

3) L(x) é decrescente no [0 ,+00].

1) L(x)=L(-x),

2) L(0)=1,

Denomina-se número nebuloso L (Left) um número nebulosocuja função de pertinência é dada pela função L(x) que satisfazas condições:

Nota-se que, apesar de moda (nwde) e dispersões (spread)serem diferentes, os formatos das funções de pertinênciageralmente são similares. Este fato nos permite fazer umarepresentação paramétrica dos números nebulosos. Dubois ePrade (1978) introduziram o conceito de número nebuloso L-Rcom a finalidade de aumentar a eficiência computacional dasoperações aritméticas dos números nebulosos através do estudoparamétrico.

Observe que a expressão (1) para a determinação da função depertinência do resultado envolve operações de minimização emaximização . A execução das operações.algébricas se reduz,portanto a solução dos problemas de programação matemática .Ou seja, determinação das funções de pertinência dosresultados é um trabalho que pode requerer um volumesignificativo de cálculo.

Se considerarmos operação aritmética de 2 termos * definidaem RI como +, -, X ou +, podemos estendê-Ia para asoperações de adição, subtração, multiplicação e divisão entre 2números nebulosos.

(1)

2.2 Número nebuloso L-R

Número nebuloso R (Right) e a função R(x) sãodefinidos analogamente. Um número nebuloso L-R possuifunção de pertinência formada pelas funções L(x) e R(x):

x-s m; a>OJlI{(x) =i XlR(p) x e m, {3>O

onde, o parâmetro m é a média (mean) ou a moda. a e f3 sãoparâmetros de dispersão que representam a vagueza de umnúmero nebuloso. As funções L(x) e R(x) são denominadasde funções de forma (shapefunctions) , pois definem o formatoda função de pertinência.

309

40. SBAI- Simpósio Brasileirode Automação Inteligente, São Paulo, SP, 08-10 de Setembro de 1999

fundo das propriedades do método para esclarecer a suaaplicabilidade na Matemática Nebulosa.

4 DESENVOLVIMENTO EIMPLEMENTAÇÃO

determinísticos pode ser obtida. Esta distribuição é entãousada para levantar a curva da função de pertinência doresultado, reconstruindo desta manei ra o número nebuloso doresultado.

4.3 Gerador de números aleatórios

(5)

inteiros positivos com m > k .onde: k , m :

De acordo com a sugestão do Mize & Cox (1968): m = 2b ,sendo que b é o comprimento da palavra do computador;k =8t+3, onde t é um número inteiro; Xo um númeroímpar qualquer. Neste trabalho, a fim de aumentar o

. d' I . 216 , Icompnrnento o CIC o, Impomos m = , que e o va armáximo permitido pelo computador utilizado. Nos problemascom n variáveis, usamos a expressão

Xo = 2i+l '-1, 1- , ...,n,

A simulação por Método de Monte Carlo requer geração deuma série de números aleatórios para poder obter observaçõesaleatórias a partir de uma função de distribuição. Existe umagrande variedade de processos de geração de númerosaleatórios. Na prática os mais utilizado são os geradores denúmeros pseudo-aleatórios. Uma seqüência pseudo-aleatória denúmeros não é verdadeiramente aleatória porque os númerossão gerados por um procedimento matemático determinístico.Apesar dos números assim gerados são tratados comoaleatórios porque passam por um certo número ' de testeestatísticos, é imprescindível estudar o comportamento dogerador de números aleatórios para detectar eventuais víciosdeste e tentar averiguar a influência destes nos resultados doscálculos. Com este objetivo em mente, na análise querealizamos foram consideradas inicialmente 2 técnicas :midsquared technique e congruential technique (Shamblim &Steves, 1974). Abandonamos o midsquared technique porque ocomprimento do ciclo depende muito do valor inicial utilizado.Técnicas congruenciais utilizam alguma fórmula recursiva paragerar uma seqüência de números aleatórios. Por exemplo, ométodo congruencial multiplicativo, que foi efetivamenteadotado neste trabalho, usa a fórmula:

xn+! =kxnffiodm, (4) ,

Existem vários pacotes comerciais específicos para a simulaçãopor Método de Monte Carlo no mercado . Apesar disso,implementamos o método devido a necessidade de adaptá-lo àsexigências específicas do processamento de númerosnebulosos .

4.2 Método de Monte Carlo para númerosnebulosos

Em primeiro lugar, foram implementadas uma calculadora paraas operações dos número nebuloso do tipo L-R e umacalculadora para os números nebulosos triangulares (Wulfhorst& Cheng, 1998). Como as operações destes números utilizamformulações aproximadas, os resultados, principalmente daoperação de divisão , deixam muito a desejar. Apesar disso,estas calculadoras desempenham um papel importante navalidação da técnica alternativa de cálculo de númerosnebulosos baseada no Método de Monte Carlo.

Fig. 1 - Fluxograma da técnica para o processamentomatemático de números nebulosos baseada no Método deMonte Carlo.

4.1 Calculadoras dos números nebulosos

Vale ressaltar que, apesar do método ser bastante conhecido elargamente usado em diversas área de conhecimento, aformulação teórica sempre foi alicerçada na matemáticaestatística, utilizando-se a função densidade de 'probabilidade.No caso da matemática nebulosa, embora a função depertinência representa uma distribuição que possibilita aanalogia com a função densidade de probabilidade, a analogiatermina no fato do integral da função de pertinência, aocontrário da função densidade de probabilidade, não énecessariamente igual a 1. Pequenas adaptações do métodoforam feitas sem dificuldade. A validade e o comportamento dométodo adaptado são investigados nos próximos itens paraassegurar a sua eficácia e a precisão. A figura 1 mostra ofluxograma do Método de Monte Carla adaptado. Seguindo adistribuição definida pela função de pertinência de cadavariável de entrada, números determinísticos (crisp numbers)são gerados através da simulação de Monte Carlo. Estesnúmeros são usados como dados de entrada do modelomatemático determinístico. Os resultados desta computaçãotambém são valores determinísticos. Após executar um grandenúmero de simulações, a distribuição dos resultados

para gerar n seqüências de números aleat6rios diferentes.

5 VALIDAÇÃO

5.1 Testes com o gerador de númerosaleatórios

Tendo em vista a possível influência do comportamento dogerador de números aleatórios na precisão dos resultados doscálculos, fizemos diversos testes para verificar os seuscomportamentos. Os parâmetros estudados nesta e nas demaisvalidações são:

• Parâmetros do gerador de números aleatórios: Xo, k .

• Quantidade de números aleatórios gerados: ns .

• Largura da banda da díscretização da distribuição dosdados de entrada: wi.

310

40. SBAI- Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, São Paulo, SP, 08-10 de Setembro de 1999

• da banda da discretização da distribu içãodos dados disso, na prática, faz se urna estimativa baseado em algumasde Salda (resultado): wr . hipóteses simplificadoras.

(6)

2001

.:::::_____ 15W

• ...llFo'b..b-d- 4.dI.!D

• I ..n l ' h ..b..cJ. dltdO.2S

•• JSD

N......... o, lhe "d <Ulal oft.01

----tln Jl

-------um --- - ----.- ------------------------

Assumindo que a média das amostras obedece urna distribuiçãonormal e um número suficientemente grande de amostras ,utilizando o desvio padrão da amostragem s no lugar do desviopadrão da populaçãoa, que é geralmente desconhecido, otamanho da amostragem pode ser estimado por:

s2(Za/2)2n= d 2

onde: n = tamanho da amostragem;a = desvio padrão da população;

Za 12= desvio da normal, correspondente a um nível deconfiabilidade de l -CI12 que a média verdadeira estará entre CI12e I-CI12;

. -----nn ---.

d =diferença entre a média da amostragem e médiaverdadeira .

SarrpIeSl",

A figura 4 mostra a relação entre o tamanho utilizado e o. tamanho estimado para o caso da soma dos TFNs. Para estecaso, observa-se que n =1600 é um tamanho satisfatório.

8 .5 • x7. 56 .5

IIx)1

O. •0 . 80. 70. 60.50 .40 .30.2 •0. 1o5 5 .5

"UiidI·..·.. ...bIidIIJj......20 a O. oot ao 80 . 0 0\

1 S 60. 0 0' 6 0 60 .0 0t

1 0 40 .0 0 ' <10 40.00\

5 20 . 00' 2 0 20 . 00'

o 0 .00\ o O. oOl0 . 1 0 .5 O• • 0 .1 0 .5 o••

so1iiuuIO'....· ,..iInJj... ...4 0 8 0 . 0 0 ' 1 5 0 80. 0 0\

3 0 60 .00 \ 1 00 60 .0 0 '20 ( O.OOl 40 . 0 0 \

1 0 2 0 . 00\ 5 0 20 . 00 t

o O.OOt o O. oo,0 . 1 0 . 5 O •• 0 .1 0. 5 O • •

Fíg, 2 • Histograma dos números aleatórios Xo=3, K=19.

A figura 2 mostra que as seqüências de números aleatóriosapresentam urna distribuição próximo da uniforme. Adiscrepância em relação a distribuição uniforme é semelhantepara as seqüências de 200, 400,800 e 1600 números aleatóriosgerados. Ao mesmo tempo , mostra um ligeiro comportamentovicioso do gerador de números aleatórios . Os resultadosobtidos para outras combinações de Xo e k mostram que estecomportamento é função dos parâmetros Xo e k. Valeressaltar que a discrepância pode causar desvios nosresultados.

Fig.3 • Função de pertinência do TFN (5,7,9) gerada pelatécnica baseada no Método de Monte Carlo Xo=3, K=19,wi=O.25,wr=O.5.

Em seguida fizemos testes com um número nebuloso triangularpara validar o gerador de números aleatórios, A figuras 3indica que, partindo de urna função de pertinência de um TFN,a técnica baseada na simulação de Monte Carlo conseguereconstruir satisfatoriamente um TFN. Para obter resultadosmais precisos , precisa-se adotar um gerador de númerosaleatórios mais eficazes.

Dos resultados obtidos, nota-se que a precisão do métododepende da discretização feita no dado de entrada e do tamanhoda amostragem.. Adotando urna discretização mais refinada,consegue-se melhorar o resultado. Por outro lado, aumentando-se o número de amostras, o resultado tende a melhorar. Tudoisso a um custo computacional maior.

Fig. 4 • Estimativa do tamanho da amostra para a operaçãosoma de números nebulosos.

Uma abordagem sugerida pelo Shamblin & Stevens (1974)consiste em determinar o valor médio a cada ciclo de geraçãode número aleatórios e repetir o processo do cálculo até que ovalor médio se aproxima de um limite . Esta abordagem eliminaa necessidade de determinar o tamanho da amostragem,

5.3 Validação da técnica baseada noMétodo de Monte Carlo para oscálculos de números nebulosos

As bases para a validação da técnica são os resultados teóricosobtidos através das calculadoras de números nebulosos L-R eTFN. Por isso, nos limitamos a verificar os resultados dasoperações de subtração e produto. Os TFNsA =(0,2,4) e B = (5,7,9) utilizados na validação.

5.2 Estimativa do tamanho da amostragemA determinação do tamanho de uma amostragem antes deexecutar a simulação de Monte Carlo é uma decisão importantepois compromete tanto a eficiência como a eficácia do método.Porém, muitas informações necessárias para dimensionar aamostragem são desconhecidas antes da siinulação. Por causa

5.3.1 SomaA figura 5 apresenta os histogramas dos resultadosdeterminísticos obtidos e as funções de pertinência dosresultados da sorna dos TFNs para ' 200 e 1600 númerosaleatórios. Da figura nota-se que as funções de pertinência dosresultados apresentam distorções. Se analisarmos a distribuição

311

40. SBAI - SimpósioBrasileirode Automação Inteligente, SãoPaulo,SP, 08-10de Setembro de 1999

figura 8, resulta numa curva oscilat6ria para a função depertinência. Além disso, na proximidade do valor modal, ograu de pertinência passa de 1.0. Isso sugere que adiscretização precisa ser refeita. Refinando somente adiscretização dos dados de entrada consegue-se apenaspequena melhoria no resultado.

- 3 -2-4- 6 - 5-8 -7

p(>J1

0 . 90 . 80 .70 . 60 .50. 40 .30 .20 . 1o.._!L._...L_.....L_.....L_-.i__'----:llll-_...-9 - 1

dos números aleat6rios (figura 2) podemos perceber que existeuma forte correlação entre o erro e a distribuição nãototalmente uniforme dos números aleat6rios.80tJí]'OOt80\

50 60'eo30 40'2 0. 2 0110O Ot

5 7 9 11 13

SOOGíJ'OO.OO4 0 0 ns-l8JO 80 .0 0'

lOO &0 . 0 0 '

20 0 cO. ao,1 0 0 20 .00 '

o 0 .00'5 7 9 11 13

- 2 -r-3

p(>J1

0 .90 .80. 70.60 .50 .40 . 30 .20. 1 __-9 - 8 - 7 -6 -5 -4

Fig. 7a - Função de pertinência do subtração dos TFNsXol =3,xo2=5,K=19, wi=O.5,wr=1.0.

5.3.4 DivisãoA função de pertinência da divisão de 2 números nebulosos éextremamente difícil de ser determinada analiticamente .Mesmo para os números nebulosos L-R e TFNs s6 dispomos deformulações aproximadas. Por isso, não faz sentido falarmosem validação devido a indisponibilidade de resultados teóricos.Mostraremos agora um resultado obtido pela técnica baseadano Método de Monte Carlo, que a priori é melhor do que osobtidos pelas formulações aproximadas dos números nebulososL-Re TFNs.

A figura 9 mostra que se consegue um 6timo resultado para adiscretização com a largura da banda muito maior para osresultados juntamente com uma discretização mais refinadodos dados de entrada. Recomenda-se, portanto, na medida dopossível aumentar o número de amostras, refinar adiscretização dos dados de entrada e usar uma discretizaçãomais grosseira para os resultados.

. .Fig. 7b - Função de pertinência do subtração dos TFNs .Xol=3,xo2=5,K=19, wi=O.25,wr=1.0.

O ••

0.2

°!'os ....... ......

Fig. 6b - Função de pertinência do soma dos TFNs geradapela técnica baseada no Método de MonteCarloXol=3,xo2=5,K=19, à esqueda wi=O.25,wr=O.5, àdireita wi=O.25,wr=1.0.

Fig. 6a - Histograma dos resultados determinísticos efunção de pertinência do soma dos TFNs gerada pelatécnica baseada no Método de Monte Carlo Xol=3,xo2=5,K=19, wi=O.5,wr=O.5.

••

Fig. 5 • Histograma dos resultados determinísticos e funçãode pertinência do soma dos TFNs gerada pela técnicabaseada no Método de Monte Carlo Xol=3,xo2 K=19,wi=O.5,wr=1.0• .

A figura 6 ilustra que refinando-se exclusivamente adiscretização dos resultados e mantendo-se a discretização dosdados de entrada, as curvas das funções de pertinência passama apresentar oscilações indesejáveis. As curvas s6 se tomamsuaves com o aumento de número de amostras. Tal comoobservado no teste de geração do TFN. Refmamento nadiscretização dos dados de entrada melhora ligeiramente acurva da função de pertinência .

5.3.2 SubtraçãoA figura 7 apresenta os resultados obtidos para a operação desubtração dos TFNs para 2 casos de discretização dos dados deentrada. Os resultados indicam que, o refinamento dadiscretização da distribuição dos dados de entrada faz com queos resultados se convergem mais rapidamerite.

5.3.3 MultiplicaçãoDevido a drástica expansão da dispersão, se não aumentarmosradicalmente o intervalo de descretização do resultado, onúmero de bandas acaba aumentando e, conforme mostra a

A figura 10 fornece os resultados da divisão de 2 TFNs,Ã= (0,2,4) por B=(5,7,9) obtidos pela técnica baseadano Método de Monte Carlo. Nota-se que na bandaimediatamente inferior a moda, o grau de pertinência acabasendo ligeiramente maior que 1.0, o que não é possível naprática. A causa provável é o acúmulo de 'bits' nesta banda, querequer urna resolução maior para obter o valor do grau depertinência correto.

312

Fig. 8 - Função de pertinência do produto dos TFNsXol=3,xo2=5,K=19, wi=O.5,wr=2.0.

AGRADECIMENTOSO autor agradece o suporte oferecido pela FAPESP através doauxílio à pesquisa, Processo No. 97/03173-9.342210

40. SBAI- Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente , São Paulo, SP, 08-10 de Setembro de 1999

base nas operações algébricas básicas dos quais possuímossoluções exatas. Subrotinas para calcular os números nebulososL-R e TFN foram implementadas para esta finalidade.

Os estudos da validação mostraram que: em primeiro lugar, atécnica baseada no Método de Monte Carlo, largamenteempregada nos estudos de fenômenos aleatórios, é tambémadequada para o estudo dos fenômenos nebulosos, utilizando afunção de pertinência como indicativo da distribuição; emsegundo lugar, a aplicação do Método de Monte Carlo parádeterminar as soluções da álgebra nebulosa resultou numatécnica bastante eficiente e flexível com relação ao tipo denúmeros nebulosos e as operações algébricas. Por outro lado, afim de obter resultados mais precisos, precisa-se adotar umgerador de números aleatórios melhor e mais eficiente . Precisa-se tomar alguns cuidados no que diz a respeito ao tamanho daamostragem e as discretizações das distribuições dos dados deentrada e do resultado.

L..-....L._-i-.....1_-L._.L----L_...l........;:I_.._·x- 2

0 .8

0. 6

0 .4

0 . 2

oL..J.....;-L....L...L......L...L....L-.L-L..J.....1....L....L....I!!l......... xo 1 2 16 2 0 24 28 3 2 36

p(r)

Ifx}

1 -:::J:::::::::::r:::::r:::::r::::J0 . 9 :: ::::. n.s= aro :o. B • ••..7 · ..··7... • .... ..•......1..--- .. ......... ns=llDO . ...

: ::::t.:::- t

:: '1:::l::1::::t::::j:;. • .j. .. •. •o. 1 .j. .j. ..o

Fig. 9 - Função de pertinência do produto dos TFNsXol=3,xo2=5,K=19, wi=O.25,wr=4.0. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

p(r)

0. 2 8 0 .58

Dubois. D. and Prade, H. 'Operations on Fuzzy Numbers'.Int. Journal System Sciences, VoI. 9, No. 6, pp.613-626,1978.

Dubois. D. and Prade, H. 'Ranking Fuzzy Numbers in Settingof Possibility Theory'. In: Informations Sciences, VoI.30, 1983,pp. 183-224.

Dubois. D. and Prade, H. 'Fuzzy Numbers: An Overview, inAnalysis of Fuzzy Informations' . VoI. 1, Bezeek, J.C.(ed.), CRC Press, 1987, pp. 214-263.

Fig. 10 - Função de pertinência divisão dos TFNsXol=3,xo2=5,K=19, wi=O.25,wr=O.1.

Vale ressaltar que o mesmo problema da oscilação da curva dafunção de pertinência do resultado que aconteceu na operaçãode multiplicação também pode ser observado na operação dedivisão. É portanto necessário ter bastante cuidado nadiscretização.

Juang, C. H., Huang, X. H. and Elton, D. J. 'Fuzzy InformationProcessing by the Monte Carlo Simulation Technique'.In: Civil Engineering Systems, VoI. 8, No. 1, 1991, pp.19-25.

Juang, C. H., Huang, X. H. and Schiff, S.D. 'Determination ofWeights of Criteria for Decision Making by the FuzzyEigenvector Method'. In: Civil Engineering Systems,VoI. 9, No. 1, 1992, pp. 1-16.

5.3.5 Outras operações algébricasNa validação e análise do método limitamos o nosso estudo nas4 operações operações básicas. Porém a flexibilidade dométodo permite execução de outras operações ou até funçõesmatemáticas mais complexas. Para isso, não requer nenhumaalteração na estrutura 'do algoritmo, somente a substituição daequação matemática dentro do programa computacional.

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Kaufmann, A. and Gupta, M. 'Fuzzy Mathematical Models inEngineering and Management Science", North Holland,1988

Míze, J. H. and Cox, J. G. 'Essentials of Simulation'. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1968.

Shamblin, J. E. and Stevens, G. T. 'Operations Research: AFundamental Approach'. McGRAW-Hill Kogakusha,Japan, 1974.

Este trabalho faz parte de uma pesquisa para desenvolvermetodologias de projeto e de planejamento automatizado queconsideram parâmetros ou variáveis subjetivas. Neste trabalho,com o objetivo de contornar as dificuldades intrínsecas dasoperações algébricas de números nebulosos e ultrapassar oslimites impostos pelos métodos simplificados existentes naliteratura, desenvolvemos e testamos uma técnica alternativabaseada no Método de Monte Carlo. A validação foi feita com

Sugeno, M. 'Fuzzy Measure and Fuzzy Integrals'. Journal ofAutomation and Control, VoI. 8, No.2, pp.218-226,1972.

Wulfhorst, M. e Cheng, L. Y. 'Implementação de umaCalculadora para Operações de Números Nebulosos'.In: Anais do Sexto Simpósio de Iniciação Científica daUSP, VoI. rr, pp.289, São Carlos, novembro 1998.

313