Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente

Correlacionados

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http://www.if.ufrj.br/~rrds/rrds.html

Esta apresentação pode ser obtida do site

seguindo o link em “Seminários, Mini-cursos, etc.”

Raimundo Rocha dos Santosrrds@if.ufrj.br

Esquema do mini-cursoI. IntroduçãoII. MC para Sistemas ClássicosIII. QMC a T finita: PreliminaresIV. QMC a T finita: Amostrando o Espaço de Fases com

Determinante FermiônicoV. Instabilidade a Baixas TemperaturasVI. O Problema do Sinal NegativoVII. ExemplosVIII. SupercondutividadeIX. O Modelo de Hubbard AtrativoX. Metais, Isolantes ou Supercondutores?XI. Efeitos de DesordemXII. Conclusões e Perspectivas

A aproximação de elétrons indepen-dentes com o modelo de bandas expli-ca boa parte dos comportamentos observados:

• metais• isolantes• semicondutores

Introdução

Elétrons (independentes) em sólidos: potencial cristalino periódico

elétrons quase-livres[menos localizados]

a limite atômico

[mais localizados]

a a

dE dE

Pergunta: quantos estados quânticos há num intervalo de energia dE ?

Densidades de estados (eletrons quase-livres ou tight-binding)

MetalIsolante ouSemicondutor

Depende da magnitude do gap:•isolante se eV •semicondutor se 0.1 eV

Mas, cuidado com bandas estreitas (especialmente d e f ):maior tendência à localização

elétron passa mais tempo perto do núcleo

tem maior chance de encontrar outro elétron no

mesmo núcleo

interação repulsiva (Coulombiana) entre elétrons não pode mais ser desprezada

os e se movimentam solidariamente, para

minimizar a energia fortemente correlacionados

Supercondutores de Alta Temperatura

Cálculos de bandas: caso não-dopado (x = 0):

Metal ????

Incluindo correlação, ocomportamento isolante(correto!) é obtido

Sistemas de muitas partículas interagentes: quer-se estudar propriedades coletivas Mecânica Estatística

Perguntas típicas que se quer responder sobre um determinado sistema:

• ele pode ser magnético? qual o arranjo?• é metálico?• é isolante?• pode ser supercondutor?• como a carga está distribuída espacialmente?• estas propriedades estão intrinsecamente ligadas?

Para responder a estas questões em diversos sistemas físicos reais, os aspectos quânticos têm que ser levados em conta de modo fundamental

Pelo menos duas escalas de energia: kBT e :• se kBT >> , o fato dos níveis serem discretos não importa

sistema “clássico”• se kBT , a ausência de estados acessíveis pode ser crucial (e.g., gap supercondutor)

sistema quântico fenômenos temporais inseparáveis: h/2 dimensões extras

Espectro:

Estaremos interessados nas propriedades físicas de férmions (p.ex., elétrons, buracos, etc.) em cristais: interplay entre graus de liberdade de

carga

e de spin

i.e., distribuição espacial de carga, propriedades de transporte (condutividade)

Ordenamento magnético

Em isolantes, o grau de liberdade de carga está congelado

Modelos: através de modelos (essencialmente de uma Hamiltoniana apropriada) espera-se captar os ingredientes físicos fundamentais, que sejam responsáveis pelo comportamento observado

Assim, consideraremos aqui as propriedades de spins itinerantes (spins localizados serão pensados como um caso limite)

Aproximações: dado um modelo, é necessário “resolvê-lo”, ao menos de modo aproximado, e calcular grandezas que permitam caracterizar as propriedades físicas.

As simulações de Monte Carlo devem ser pensadas como uma das aproximações possíveis. E, como tal, tem limitações. Daí a extrema importância da análise de dados.

Modelo emblemático para spins localizados: Modelo de Heisenberg

ji

jiJH,

SS

Se J > 0 : tendência a Ferromagnetismo

Se J < 0 : tendência a Antiferromagnetismo

i j

N.B.: Os mágnons são as excitações de mais baixaenergia, e destróem o estado ordenado a qq T > 0em d 2.O que ocorre no estado fundamental?

• Os FM’s se ordenam a T = 0, em qq d • E os AFM’s ?????

1os. viz.apenas

Classicamente, os modelos AFM e FM são equivalentes numarede bipartite:

(i.e., que pode ser de-composta em duas sub-redes, e , equivalentes, como as redes quadrada, cúbica simples, etc)

ii

ii

ii

,SS,SS

FMAFM HH

Flutuações quânticas efeitos não-triviais no estado fundamental (T = 0) de antiferromagnetos

P.ex., ao flipar os spins de uma sub-rede, as relações de comutação não são preservadas se S < :

ziij

yj

xi

ziij

yj

xi SiSSSiSS

,,

• d = 1 quase-ordem (correlações decaem com lei de potên- cia, ao invés de tenderem ao quadrado da magnetização; exato).• d = 2 há ordem ou quase-ordem? QMC: ordem [Reger & Young (1988)]

????

Favorece o salto dos férmions entre sítios (termo de banda)

Repulsão Coulombiana: a energia total aumenta se 2 e’s ocuparem o mesmo orbital termo de correlação†

iii

jiijji nnUcccctH

,,

Modelo emblemático para spins itinerantes: Modelo de Hubbard

Competição entre graus de liberdade de carga e de spin

Hubbard Heisenberg AFM para um e por sítio (banda semi-cheia) quando U t

† para uma apresentação .ppt de revisão sobre aspectos de sistemas fermiônicos fortemente correlacionados, veja http://www.if.ufrj.br/~rrds/rrds.html e siga os links em “Seminários, Mini-cursos, etc.”

O papel da dimensão espacial:

em uma dimensão não há ordem magnética de longo alcance quase-ordem

itinerância onda de densidade de spin (SDW)

Conseqüências da competição carga-spin em d = 1: CDW’s e SDW’s

Brown and Grüner (1994)

ômico

não-ômico

Se período da CDW incomen-surável com a rede [i.e., r a; r racional e a parâmetro de rede] transporte de corrente é não-ômico

Explicação: analogia mecânica

Importante determinar o período da CDW

Brown and Grüner (1994)

Acredita-se que nos su-percondutores de alta tem-peratura haja um equilí-brio entre o ordenamento de spin (AFM, não SDW) e o ordenamento de cargas (tipo CDW) ao longo de uma direção ( na Fig.):

As cargas tendem a se agrupar em regiões de menor ordem AFM

Fase listrada melhor observada num “primo” dos supercondutores

novo ingrediente:ordenamento direcional dosorbitais d do Mn

Formação de CDW [onda de densidadede carga]

Que grandezas usar para caracterizar o comportamento para sistemas de tamanhos finitos?P.ex., comportamento magnético (FM de Ising)

magnetização: (não há quebra de simetria) suscetibilidade: tem máximo na transição OK

função de correlação: (r) decai com a distância com lei de potência (se crítica)

o teorema de flutuação-dissipação se modifica devido aos aspectos quânticos (i.e., não-comutação) :

HB

s

z eTkGBG

NSm

Trln;1

Magnetização e suscetibilidade:

Como

Bm

χ

Hzi

Hzi

ji

zj

zi

zj

zi

s

eSeS

SSSSdN

τ-τ

β

τ

onde

ττβ

βχ

)(

)0()(1

,0

HH -H eH

ede ττ)βλ

λτ

λ

(

0

)(

evolução “temporal”

MC para sistemas clássicosModelo de Ising (spin-½):

ji

ji SSJH,

Para modelos clássicos, cada configuração corresponde a um autoestado de H, de modo que pode-se associar a ela uma energia E ({S}).

N sítios na rede; spin em cada sítio pode estar em um de dois estados Espaço de fases tem 2N configurações:

NSSSSSSS ...54321

S S z S = 1

Lembre-se que a função de partição é obtida através de uma soma sobre todas as configurações.

Mas: probabilidade de ocorrência de uma configuração {S} é

})({1})({ SEeZ

Sp

algumas configurações são menos prováveis que outras por que desperdiçar tempo na amostragem, tratando todas as configurações como se fossem igualmente importantes?

Amostragem por importância: um exemplo simples

M

iixf

MxfdxI

1

1

0)(1)(

Aproximemos a integral por uma soma discreta:

se {x} tomados ao acaso, e com iguais probabilidades, no intervalo [0,1]:

fi f (xi), i = 1,...M são variáveis aleatórias independentes

M

ii

M

ii

fI

fM

ffM

f

M

ff

M

11

22

22

1,1 e

com

σ dois modos de se diminuir o erro:

1. M 2. diminuir f

Seja w (x) uma função peso normalizada, tal que

1)(,)()()(

1

0

1

0 xwdx

xwxfxwdxI com

Definindo

1)1(0)0();()()(0

yyxwdxdyxwxdxy

x e

a integral I pode ser escrita como

M

i i

i

yxwyxf

MyxwyxfdyI

1

1

0 )()(1

)()( Amostragem de f/w

sobre pontos y distribuídos uniformente

Escolhendo w t.q. a razão f/w varie pouco com x, teremos um erro pequeno

y

w

xdx=dy/w

Isto é, tomamos mais pontos x perto de onde a função é maior

Amostragem por importância

O algoritmo de Metropolis et al. faz a amostragem por importância do espaço de fases: as configurações vão sendo geradas em sucessão, cada uma a partir da anterior

{S} {S}’

A diferença de energia entre as configurações {S} e {S}’ é uma propriedade local; i.e., depende apenas dos spins em torno daqueleque se tenta flipar. No exemplo acima: E = 2 J – (– 2 J) = 4 J

A razão entre as probabilidades de ocorrência das duas configs. é:

EeSpSpW

})({)}'({

• Se W > 1, a nova configuração é aceita.• Se W < 1, a nova configuração é aceita com probabilidade W

Vá para o sítio seguinte e repita o procedimento: tente virar o spin e verifique se a nova configuração é aceita.

N.B.: A possibilidade de aceitar uma configuração menos provável simula o efeito das flutuações térmicas!

Faça isto para todos os sítios da rede (finita). Ao final, calcule grandezas de interesse A({S}). A pode ser, p.ex., magnetização, energia, suscetibilidades, calor específico, etc.

Após varrer a rede M vezes, teremos M valores de A, e umaestimativa para a média no ensemble é dada por

M

AM

A1

1

Alguns comentários técnicos, mas muito importantes:1. Cada varredura da rede é considerada como um passo de

MC. E cada passo de MC é usado como uma unidade de “tempo”.

2. Antes de calcular valores médios deve-se aguardar um certo número de passos até que o sistema termalize e as médias passem a flutuar pouco; este número de passos depende da temperatura e de características do próprio sistema, como, p.ex., interações e/ou desordem.

3. Os A não são variáveis aleatórias independentes porque, por construção, as configurações mantêm uma certa correlação entre si. Solução: promediar diferentes Ā

M M M

Ā1 Ā2 ĀG....

G

AG

A1

1

G

AA 22

barra de

erro

4. Efeitos de tamanho finito.• Quais as escalas de comprimento importantes?

o tamanho linear, L;o comprimento de correlação, |T – Tc|

• Logo, a variável relevante deve ser a razão entre estas duasescalas: L / • Segue daí a teoria de finite-size scaling [prevê como os

máximos nas diferentes grandezas (p.ex., suscetibilidade, calor específico,, etc.) se tornam singularidades ao nos aproximarmos do limite termodinâmico]:

LTT

LLconstLfLTX

xc

xx

L

se ,

se ,)(

FSS auxilia nas determinações de Tc , da natureza das fases e dos expoentes críticos.

X é qqgrandeza

TD

QMC a T finita: PreliminaresDiscutiremos agora apenas•sistemas itinerantes (fermiônicos), devido à sua maior abrangência

modelo de Hubbard, por ser o mais simples

iii

iii

jiijji

nnU

nncccctNH )(,,

KV

Problema: queremos amostrar os estados possíveis de cada partícula (a rigor, sítio), mas

0, K,Veee VKVK pois

gran-canônico!

[dos Santos (2003) e refs. lá contidas]

Solução: fórmula de Trotter

BABABA

BABA

eeeeee

eee

0

1

0

lim

lim

(1/) termos

• Interpretação de : intervalos de “tempo” (imaginário) discretos• Para uma dada temperatura T, = ( kBT )-1 temos então M fatias “temporais” , M =

1322,,,

1

11

11

21

1

ieiieiiei

ieieTreTrZ

HM

HH

iii

MH

i

MHH

M

...}{

:

n

i

temporalfatia daestado

o denota

i1 i2 i3 iM i1

• O operador e- H introduz uma correlação entre os estados na direção temporal

dimensão efetiva do sistema é ( d + 1 ) M quando T 0

• Obteremos, então, uma seqüência de aproximações para a função de partição, Z , a qual deve, em princípio, ser extrapolada para 0

• Mas isto ainda não é suficiente: precisamos poder variar os estados de cada sítio individualmente, mas

precisamos de uma nova aproximação

0,,,

, jkij

ji

KKKKee ijji ij

pois

2a aproximação: Decomposição do tipo tabuleiro de xadrez

Exemplo em d = 1:H = HA + HB

HA = H12 + H34 + H56 +

HB = H01 + H23 + H45 +

x

0 1 2 3 4

2

211,,,

1,,,21 21

iejjeiZ BA

M M

HH

iii jjj

2 oBA HHH eee

Em d = 2, desmembra-se H em plaquetas:H = HA + HB

ímpares plaquetas

pares plaquetas

pB

pA

HH

HH

Vejamos agora um algoritmo para varrer o espaço de fases

Resumindo as 2 aproximações:1. Trotter para introduzir dimensão temporal

introduz erros sistemáticos da ordem de 2

2. Decomposição em tabuleiro de xadrez introduz erros sistemáticos também da

ordem de 2

QMC a T finita : Amostrando o Espaço de Fases com determinante fermiônico

jjiiij nUnnUnK eee τττ

A preparação anterior nos levou a isolar os termos de interação sob a forma

cc

bilinear “integrável”(e.g., livre)

cccc

não-integrável façamos umatransformação que o leve a cc

A transformação de Hubbard-Stratonovich:

Inspirada na identidade(A é um operador)

xAxA

edxe22

21

21

2π

A forma quadrática em A é transformada em linear! Custo: introdução de um “campo auxiliar” x.

1a. providência: fazer aparecer uma forma quadrática na interação

nnnnnn

nnnnnn

21

21

21

21

2

2

ouLembrando que, para férmions, n

2 = n = 0, 1temos

m (magnetização)n (carga)

Usando a forma em que aparece m2 temos

nnxUxnnUnUn

edxeeττ

τπ

2

21

22 m

x se acopla com mU > 0 !!!!

ou, para o caso de U < 0, usamos a forma em que aparece n2:

nnxUxnnUnUn

edxeeττ

τπ

2

21

22 n

x se acopla com nU < 0 !!!!

,

nUs

s

nnUnns

s

nnxUxnnUnUn

ee

edxee

2

1

2

1

21

2

21

21

22

ττ

τττ

π

Para simulações, é mais conveniente que a transformação de Hubbard-Stratonovich seja discreta:

1sdx

2τcosh Ue

Para U < 0 usa-se uma relação análoga, porém com o campo flutuante acoplando-se com a carga

Ou seja, a THS indica que férmions interagentes (on-site) são equivalentes a férmions livres em um campo magnético flutuante

Aplicando esta transformação para todos os sítios (espaço-tempo), podemos escrever a gran-função de partição como

M

nsZ

1

TrTr

i

iiiji

jiji cVccKcM

ns

ML

eeZd

,

τ

,1

TrTr2

1

onde

casos outros vizinhos1 para os.

0i,jtK ij 2

UsV ii e

Dℓ ()

Os expoentes que aparecem em Dℓ () são bilineares nos operadores fermiônicos...

...e formas bilineares em operadores fermiônicos podem ser integradas.

Demonstração [2 estágios; ver dS (2003) p/ detalhes]:

1. Demonstra-se a identidade

cccBccAc

eee jijiji

jijiji

,,

onde são os autovalores da matriz e BAee

2. O Tr nas variáveis fermiônicas vira um determinante:

BA

nn

ee

eee

1

1

det

TrTr

No nosso caso, temos produtos sobre as fatias temporais e sobreos spins fermiônicos...

...isto é,

i

iiiji

jiji

ML

cVccKcM

nseeZ d

,

τ

,1

TrTr2

1

O traço fermiônico pode então ser efetuado:

sOsO

BBBZ

s

MMs

detdetTr

detTr 111

Fator de Boltzmann? Cuidado! O det · det não é necessariamente > 0 Se não for, tome |det · det| (mais sobre isto depois)

Matrizes Ns Ns

A simulação:Tomando det O ·det O como fator de Boltzmann, fazemos a simulação nos {s}Escrevamos

O passo de QMC: Estamos no sítio da fatia

i

11 BBBB1O Mdetdet )(A

1

A1AA

2 )(),(

)(),()()(

),()(

iskiji

jk

ii

ei

i

ss

com

entãoSe

Todos os elementos são nulos, menos o da posição i da diagonal

Obs: det nãose alterap/ perm.

cíclica dosB’s

OO

ROO

RRR

RRW

detdet

detdet

1e com

Este passo de QMC é aceito com probabilidade

Cálculo de R :Necessitamos da função de Green instantânea, i.e., calcu-lada na fatia ℓ, 1 ℓ M , para uma dada configuração {s}: 1

121 BBBBB1gg

Mjiij

cc )()(

iiiiiR

),( g11 A razão entre det’s fica trivial se pudermos calcular as g’s instantâneas

Se o passo é aceito, tem-se que atualizar os O , ou, equivalentemen-te, as funções de Green:

1

1g11ggg

Note o caráter não-local desta atualização: ao aceitar o passo no sítio i, toda a g na fatia ℓ tem que ser atualizada: Ns 2 operações!

• Agora tenta-se virar o s do próximo sítio na mesma fatia temporal

Após tentarmos virar as variáveis em todos os sítios, passemos para uma nova fatia temporal, na qual a função de Green se torna 1

1 BgBg

Ns 2

operações!OBS: Erros de arredondamento degradam g após um certo número de atualizações desta forma; periodicamente deve-se calculá-la a partir da definição

A manipulação através de funções de Green é uma das grandes vantagens desta implementação por determinante fermiônico, já que os valores médios de interesse também podem ser expressos em termos das g’s:

iiii

iiiiiiiiiii

gg

ggccccnnm

11

O Teorema de Wick tb se aplica no caso do Tr{n}: 324143214321 iiiiiiiiiiii cccccccccccc

expressos em termos das g’s

Em princípio estaria tudo bem, mas há dois importantes problemas que discutiremos em seqüência :

1. instabilidade a baixas temperaturas;2. sinal negativo do determinante fermiônico.

Instabilidade a Baixas TemperaturasDurante a simulação fazemos o produto de muitas matrizes, como, p.ex., no cálculo de Z

VK

MMs

eeBBBBZ comdetTr ,111

ou no cálculo da própria função de Green a partir da definição1

121 BBBBB1g

M

• O Problema: B mal condicionada autovalores que crescem exponencialmente com o inverso da temperatura níveis de energia negativa (quase sempre ocupados) autovalores ~ 1 níveis de (alta) energia positiva, raramente ocupados (mas Gran-Canônico!) mistura de escalas difícil de acompanhar numericamente

Este problema se manifesta mais gravemente no update das g: • à medida em que T diminui, inicialmente aumenta a freqüência com que g tem que ser calculada a partir da definição• à medida em que T diminui ainda mais, o cálculo de g fica impraticável, mesmo a partir da definição

Como é baixa a escala de temperaturas de interesse, tem-se que resolver este problema

• 1a Solução Possível: Formulação espaço-tempo [Hirsch 88]

Na formulação “espacial” original,

1

1

~1~

OgBO

L

Matrizes NxN N2 ops. por update de g N3 por fatia N3L por rede xt

Um outro extremo é a formulação espaço-temporal:

( M L )

A razão entre os maiores e os menores autovalores desta matriz cresce algebricamente com L melhor comportada para inversão

Matrizes NL x NL (NL)2 ops. por update N3L2 por fatia (NL)3 por rede xt

Esta formulação espaço-temporal é inviável: fator L2 sobre a espacial

O melhor mesmo é um procedimento intermediário: • agrupe apenas uma fração p das fatias temporais, de modo que L0=L/p fatias sejam colapsadas

Matriz Np x Np cujo maior autovalor é da ordem de exp(0), onde é uma escala típica de energias de 1 partícula, e 0 = L0

Vantagem adicional: a inversa de OLo fornece diretamente um conjunto de g’s:

OLo (ℓ) é definida, de modo semelhante, aumentando-se cada indice da matriz anterior de ℓ-1; analogamente para g

A escala de updates agora fica (NL)3/L02 por rede xt, e pode-se

atingir ~ 20

• 2a Solução Possível: Fatorização de matrizes [White et al 89]

Suponha que m matrizes possam ser multiplicadas sem deterioração:

111 BBB mma

Usa-se ortogonalização de Gram-Schmidt para escrever o produto como

1111 RDUa Matriz ortogonal

bem condicionada Matriz diagonal com gran-

de variação no espectro

Matriz triangular

bem condicionada

Multiplica-se à esquerda por mais m matrizes

22211111222 BBB RDURDUa mmm

e assim sucessivamente, agrupando-se M/m multiplicações:

mMmMmMmM RDUaA

Para calcular g, devemos isolar D, devido à sua grande variação espectral

RDU

RDRUUA mMmMmMmMmM

1111g

Com este algoritmo, também atinge-se t ~ 20

O Problema do Sinal Negativo

Para o modelo de Hubbard repulsivo, na banda semi-cheia, n = 1, det det > 0, devido à simetria partícula-buraco

Demonstração:1. Transformação partícula-buraco

iiiii

iii ddcccdc 11

vizinhosprimeiros se jiKK

chddtKchcctK

ijij

jiji

ijjiij

,~..~..

1

2UnnUnnUnnnUn iiiiiiii~~~~

A Hamiltoniana fica invariante pela simetria partícula-buraco se

2UU condição para banda semi-cheia

Obs.: No caso de hopping entre 2os. vizinhos, p.ex., não há simetria partícula-buraco, de modo que a condição para banda semi-cheia não é conhecida a priori.

2. “Det” sob transformação partícula-buraco

i

U

ii sUsV 2

2

0detdetdetdet

TrTrdet

,

~~

~

OOOeO

eeeeeO

ii

ii

iii

iii

s

snsK

n

nsK

n

Logo, não há problema de sinal para Hubbard repulsivo (hopping de 1os vizinhos apenas) com n =1

Para o modelo atrativo, pode-se mostrar que, para qualquer n ,

0 OOOO detdetdetdet

como resultado do campo auxiliar se acoplar com a carga.

Vejamos agora o que acontece quando o produto dos det’s é < 0

c

cpOOZ )((( σ)detσ)detTrσ soma sobre configurações c

s

sA

cscp

cAcscp

cp

cscp

cp

cAcscp

cscp

cAcscp

cp

cAcp

A

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

)()(

)()()(

|)(|

)(|)(|

|)(|

)()(|)(|

)(|)(|

)()(|)(|

)(

)()(

OK enquanto s ’ 1

2D

3D

nes NU de fortemente depende onde ,

Fora da banda semi-cheia, desde que trabalhemos na região em que s 0.6, pagando o preço de realizar amostragens mais longas, as médias ainda têm algum sentido.Tamanho da amostragem (independente de s ) determina os erros estatísticos

O “problema do sinal negativo” ainda não foi resolvido; vejadiscussão sobre problemas correntes

Exemplos1. O diagrama de fases do modelo de Hubbard 2-D, a T = 0

Teoria de Campo Médio (teoria de 1 partícula)

Propriedades magnéticas:

iii nnmoperador magnetização:

operador momento local:22

43

ii mS

fator de estrutura:

jiji

jiimmeS

,

RRq

N1)q(

suscetibilidade:

HH

jiji

jii

AeeA

mmde

τ-τ

β

τ com

τχ

)(

,)(N1

)q(0,

RRq

Função de correlação: iiyx mmc ),(

···

Correlações AFM’s enfraquecem ao nos afastarmos da banda semi-cheia

···

n = 1, L = 10U = 4, β = 10

n = ½, L = 8U = 4, β = 10

[White et al 89]

Fator de estrutura magnético

jiji

jiimmeS

,

RRq

N1)q(

S (q

x, q y)

qx

S (q) tem pico em (,)

Pico em S (,) a T = 0 cresce com L

S (

, )

β

[White et al 89]

Aproximação de onda de spin:

212

31),(

NomN

S

Extrapola para um valor finito ordem de longo alcance

1/L

S/N

Erros sistemáticos não são muito dependentes de β

[White et al 89]

[Hirsch & Tang (89)]

Fator de Estrutura para outras densidades:

Logo, para n 1 o sistema é PM

S (,) só cresce significativamen-te com para n = 1

[Hirsch (85); Hirsch & Tang (89)]

Pico incomensurável para <n> 1; c.f. espalhamento de neutrons para LSCO

[Moreo et al. (90)]

Transição Metal-isolante:

Compressibilidade:

n

nPV

V 2

11

Isolante: não se consegue adicionar partículas através de pequenas variações do potencial químico (nível de Fermi) 0

U/2 U/2

[Moreo et al. (90)]

Mais tarde: outros critérios para M ou I

2. CDW no modelo de Hubbard 1-D, a T = 0

KF

KF

xx)kA

xxxkA

xK

xnn 422/31 124cos(

ln)2cos(

)()()0(

K caracteriza a intensidade da interação

2kF n; n é a densidade eletrônica

Para o modelo de Hubbard prevê-se que K 1/2 2kF mais importante que 4kF

Previsão da teoria de líquidos de Luttinger:

kF-kF

k

[Voit(1994)]

Distribuição de carga:operador densidade de carga:

suscetibilidade:

iii nnn

ji

ji

jiinne

NC

,

RRq1)q(

fator de estrutura:

)0()(1)q(

0,

RRqji

ji

jiinnde

NN τ

β

Hi

Hi enen

ˆˆ

U crescente: 4kF ainda cresce para T 0, 2kF estabiliza (Ns 36 sites)

Sem efeitos de tamanho finito ou temperatura finita: simulações com Ns 96 N(4kF) ln

n 1/6

[Paiva & dS (00a)]

Logo, o modo de carga com 4kF de fato predomina sobre o com 2kF, ao menos para valores de U suficientemente grandes.

Acordo com descrição de LL : amplitude A1(n,U) de 2kF 0 para U U (n)

Esquematicamente:n

1

0U

2kF

4kF

U (n)

[Paiva & dS (00a)]

iii

jiijji

jiijji nnUcccctcccctH

,,2

,,

3. Efeitos de estrutura de bandas no modelo de Hubbard 1-D

Simetria partícula-buraco: n 1- n e t2 - t2

t2

Diagrama de fases para U=0

Questões de interesse: (1. Supercondutividade/ Gap de Spin?) 2. Rota para o Ferromagnetismo?

t1

t2

Compostos do tipo “escadas” (ladder)

SrCu2O3Sr2Cu3O5

SrCuO2

Ferromagnetismo [Ghosh e RRdS, 99]

U = 2t

FM

U = 2t

A presença de t2 estabiliza a fase FM em uma região de parâmetros

O pico FM já aparece para U 6t quando t2 = 0.15a região FM do diagrama acima move-se para baixo quando U aumenta“Problemas de sinal negativo” não permitem verificar a SUC para valores maiores de t2

Supercondutividade1. Fenomenologia

Metal normal

Resistência nula

Efeito Meissner

momento

ener

gia

00 jki

i 00 jki

i

Elétron só é espalhado ( resistência) pq há estados finais disponíveis

dens. de corrente

Considere cargas negativas em um potencial periódico

momento

ener

gia

E

2. Condução em Metais

Como evitar dissipação?

Suprimir, através de algum mecanismo, estados acessíveis na faixa de energia próxima ao nível de Fermi

3. Interação elétron-elétron

elétron

íon

A interação Coulombiana entre um par qualquer de elétrons é blindada pelos demais elétrons e pelos íons; pode chegar a ser atrativa em alguns casos.

constante dielétrica

'k'k,k

k'kkkk

k)k( bbVcc

H

termo livre (banda)

kkk ccb

4. A Teoria BCS:

Solução variacional:

k 2k

kk 01

1

g

bg

A equação do gap:

2k

2k

'k 'k

'k'kk

0k )k(

21

EE

VV

com ,

)()k(k T

dkkdkks

xyyx

yxyx

- onda

- onda -onda

sensen

coscos1

)k( 22SUC’sconvencionais

2

Gás de e `s

Estados ocupados

Estados desocupados

F

+ interação atrativa

A modificação no espectro pode ser esquematizada da seguinteforma:

ener

gia

momento

Condução por pares (cada par tem KCM=k1+k2):

todos têm KCM = 0

Para um par “sentir” a impureza teria que ser quebrado:

KCM KCM dos demais pares alto custo energético (gap!)

Ao formarem pares, os elétrons “se vacinam” contra as fontes de resistência

ener

gia

momento

E

Por quê [Anderson, 87] ? • O estado fundamental do modelo de Hubbard, fora da banda semi-

cheia, seria o de fortes correlações AFM’s de curto alcance. • Os férmions (buracos no contexto da maioria dos SUC’s de alta T)

formariam pares singletes ressonantes [RVB] pares de Cooper?

5. Supercondutividade no modelo de Hubbard repulsivo 2D?

Propriedades supercondutoras:

)()()k(1)( kk

k ττ τ ccf

Nrr

operador de emparelhamento:

suscetibilidade uniforme (q=0):

,)()(0

0ττβ

rrr dP

fr (k) = 1 pares no estado sfr (k) = cos kx cos ky pares no estado d fr (k) = cos kx + cos ky pares no estado s* (estendido)

1os resultados de QMC [Hirsch & Lin ’88]

Sem tendência a emparelhamento

Pr

U = 4

Ao ligar a interação, as suscetibilidades de pares ficam menores que as do caso livre.

Outros resultados de QMC [White et al ’89]

Parte descorrelacionada retirada

Suscetibilidade total

Se o enhancement tivesse sido significativo (FSS, T mais baxas, etc), seria forte evidência para a formação de pares

Logo não há, ainda, sérias evidências numéricas para SUC no modelo de Hubbard repulsivo

6. Efeitos de estrutura de bandas no modelo de Hubbard 2-DDensidades de estados (U=0)

Singularidade de van Hove

Há expectativas de que a presença da singularidade de van Hove favoreça um estado supercondutor [BCS: Tc~ exp[-1/(F)|V|]

Só que quando t2=0, a singularidade ocorre no estado isolante; se t20, a singularidade fica deslocada para a região metálica.

Solução de campo médio (Hartree-Fock) a T = 0:

t2=0

t2=0.4

88, n = 42/64 0.66

1010, n =0.74

• t2<0 as correlações magnéticas na direção diagonal diminuem; aumentam na direção da face

• t2>0 comportamento oposto

[c.f. espalhamento de nêutrons em cupratos]

• As correlações de carga têm comportamento com t2 oposto ao das correlações magnéticas.

[Huang et al. (01)]

Sem evidência de FM nos intervalos

estudados

Indicações de SUC:4x4, t2 = 0.4n = 1.1 U=0 U=4

6x6, t2 = 0.4n = 1.5 U=0 U=4

A presença de U aumenta a suscetibilidade de pares (onda-d), quando comparada ao caso livre.

Não foi possível à época realizar um estudo mais sistemático: FSS, <n>, etc.; probs: sinal negativo, tempo, etc.

[dos Santos, 89]

tx

ty

t/’ t\’

t’’

[Kuroki e Aoki (98)]

Estendem o espaço de parâmetros para que o espectro fique com níveis pouco espaçados

12x12<n>=0.82t’=-0.43t’’= 0.07U=1

12x12<n>=1.32

t’=-0.5t’’= 0U=1

O Modelo de Hubbard Atrativo

iii

iii

jiji nnnnUcctH

σH.c.

,,

Características:•Emparelhamento no espaço real, ao

contrário de BCS.•Equivale a BCS para |U| << t•Apresenta gap (para excitações) de

spin SUC’s de alta T

•Mais amigável para cálculos numéricos

pode ser usado como modelo efetivo para entender diversas propriedades de supercondutores (p.ex., desordem)

[Micnas et al. (90)]

Tc

T*(região de pares pré-formados;gap de spin)

|U|

Algumas propriedades [Emery (76), dS(93)] :

1. Transformação partícula-buraco parcial:

i

iiii cccc 1,

iii

iii

jiji

nnUnnU

cctHH

2

σH.c.

,,

acoplamento com campo magnético (z)Interação Repulsiva

Ainda como conseqüência desta transformação,

correlações de pares correlações antiferromagnéticas XX e YY

correlações de carga correlações antiferromagnéticas ZZ

U < 0 U > 0

2. Limite de acoplamento forte U >> t :

Façamos o limite de acoplamento forte em H ’

||,,

UtJShJHji i

ziji

24SS com

AFM de Heisenberg com campo uniforme na direção z:• se h = 0, ordem tipo Heisenberg isotrópico• se h 0, ordem tipo XY

O que isto implica para nosso modelo atrativo original?• se a banda é semi-cheia: coexistência CDW + SUC• fora da banda semi-cheia: somente SUC

a dimensão espacial define se a ordem é de longo alcance, e/ou se persiste a T > 0

Análise de QMC em 2D [Moreo and Scalapino (91); Paiva, dS et al. (04)]: sem sinal negativo! Função de corelação de pares

com

Em 2D:• banda semi-cheia: Heisenberg isotrópico só há ordem de

longo alcance a T=0 • fora da banda semi-cheia: modelo XY há quase-ordem a T

< Tc Kosterlitz-Thouless

Finite-size scaling:

K-T: = ¼

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

T C

< n >

0 4 8 12 16

0,01

0,1

5 6 7 8 90.02

0,03

0,040,050,060,070,080,090,1

P

s/L2- s

L=4

18

Cruzamentos: estimativa de Tc para <n>

Variando-se <n> obtém-se Tc (<n>)

[Paiva, dS, et al. (04)]

Em 3D:

Expansões em série para o modelo XY: = 0FSS:

LfTPLTLfTPL css qualquer para ,022

L = 3 ??

L = 4

L = 6[dos Santos (94)]

Lx

Lz

Ly

Qual a dimensão linear deste sistema?

22213

zyx LLLL

11123

zyx LLLL

31

3 zyx LLLL

Para 4x4x2, temos L1 = 2.83, L2 = 3, e L3 = 3.17Escolhe-se a definição que aproxima os encontros no scaling plot

[dos Santos (94)]

Suscetibiliade uniforme:

tipo Pauli (na rede)

tipo spin gap

pares pré-formados[dos Santos (94)]

QMC no mod repulsivo

Sols. variacionais

U

O máximo de Tc não parece variar muito com U.

[dos Santos (94)]

Metais, Isolantes ou Supercondutores?Motivação: Como determinar, através de simulações, se o estado fundamental é SUC, sem supor qualquer simetria para o estado do par? (E, caso não seja, determinar se é isolante ou metal)

[Scalapino et al. (93)]

Considere a componente x do operador densidade de corrente

e sua função de correlação espaço – i-temporal

Idéia básica: resposta do sistema (anel ou toróide) a um fluxo magnético

Tomemos a transformada de Fourier (no espaço e no i-tempo) da função de correlação

Agora podemos definir os limites

transverso

longitudinal

Definamos também a energia cinética associada aos links na direção x

Regra de soma impõe que deve sempre ser veri-ficada através de cál-culos explícitos

Testes: Hubbard repulsivo e atrativo na rede

quadrada com QMC

Kx

Kx

N.B.: Os q são discretos:limq0 sujeito a erros deextrapolação

OK: L = Kx a cada temperatura

Como resultado do Efeito Meissner, o parâmetro de ordem supercondutor (densidade superfluida) é dado por

Fase SUC: s 0 como resultado da simetria L -T (ou Kx- T) ser quebrada

s = 0: Hubbard repulsivo na banda semi-cheia é isolante

Hubbard atrativo fora da banda semi-cheia

Note efeito de temperatura: para = 2, s = 0para = 6, 10 s 0consistente com transição

de K-T a T finita

Kx

Kx

Hubbard atrativoCuidado com análise a T fixa: aparente fase SUC na banda

semi-cheia.

Hubbard atrativo a = 10: s extraída a partir de T calcu-

lada no menor qy disponível

Kx

Hubbard repulsivo fora da banda semi-cheia (sinal negativo!):

s = 0: não-SUC

s = 0: não-SUC; mas cuidado com efeitos de tamanho finito

Examinemos, então, a condutividade:

D é o peso de Drude ( densidade de transportadores/massa); logo

E quando o sistema não fôr SUC, podemos dizer se é M ou I?

Isolante D = 0Metal D 0

D pode ser calculado como

O lim0 é mais eficientemente tomado numericamente em termos das freqüências de Matsubara

D 0: Hubbard repulsivo na banda semi-cheia é isolante;

atenção para efeitos de tamanho-Kx

-Kx

D D0 : Hubbard repulsivo fora da banda semi-cheia é metálico.

Cuidado: isto não quer dizer que o sistema seja metálico a T > 0. Isto é

pq T < para excitações de partícula-buraco; para T fixa e L , teríamos, necessariamente, D 0

KxHubbard atrativo a = 10: D D0 (zero resistência)

Efeitos de DesordemMotivação: Todos os sistemas estudados até agora eram puros. Quais são os efeitos de impurezas – isto é, componentes que se comportam de modo diferente da maioria – nas propriedades físicas dos materiais? Exemplos:

• átomos magnéticos diluídos em matrizes não-magnéticas; • átomos de uma espécie diluídos em matrizes de outra; diferentes níveis atômicos ou integrais de hopping• sítios com U = 0 diluídos em matriz de sítios com U < 0• etc.

2 tipos de desordem, caracterizadas pelas relações entre as escalas de tempo envolvidas: Sejam

• – tempos característicos da dinâmica das interações; p.ex.: tempos de flutuação dos spins; tempos de hopping de elétrons, pares de Cooper, etc.• i – tempos associados à difusão das impurezas pela matriz hospedeira

Se ~ i a configuração (posição, etc.) das impurezas é determinada pelas condições de equilíbrio desordem recozida (annealed)

ZTkGeZ BsH

c sc lnTr

P.ex., para um isolante magnético:

Se << i a configuração (posição, etc.) das impurezas é totalmente aleatória e congelada. desordem temperada (quenched)

ZTkGeZ BsH

sc

c lnTr P.ex., para um

isolante magnético:

•No caso de simulações, gera-se uma configuração de desordem e executa-se os passos como antes: termalização, promediação, etc.

•Repete-se para um certo número de configurações de desordem, e faz-se a média das grandezas sobre as diferentes realizações de desordem.

Consideraremos aqui apenas desordem temperada

Quanto podemos dopar um supercondutor até que ele fique normal (isolante ou metal)?Questão ainda mais interessante em 2-D (filmes bem finos):

• supercondutividade é marginal transição de Kosterlitz-Thouless

• coomportamento metálico (e- livres) também marginal

Localização para qq desordem (expts. recentes: MIT possível?)

Supercondutores desordenados

Sheet resistance:

R a uma temperatura fixa pode ser usada como medida de disordem

Desordem em escalas atômicas: filmes amorfos sputtered

CR

ITIC

AL

TEM

PER

ATU

RE

T c (ke

lvin

)

Mo77Ge23 film

[J Graybeal and M Beasley (1984)]

t

ℓℓ

ttAR

independe do tamanho do quadrado

Tc decresce com a desordem: blindagem da repulsão coulombiana é enfraquecida

SHEET RESISTANCE AT T = 300K (ohms)

†( . )i jìj

H t c c h c

Potencial químico: controla # de elétrons

i i ii

U n n ( )i ii

n n

Ui = 0 com prob fUi = U com prob 1-f

Modelo para estudo da desordem:

Inicialmente T 0: efeito da desordem no estado fundamental

2

2sP C

L L Aprox de onda de spin

gap supercondutor

†s i r i

r

P † † †i i ic c onde QMC

[Hurt,..., F Mondaini, T Paiva, & dS (05)]

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.130.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

f=0/16 f=1/16 f=2/16 f=4/16 f=5/16

Ps/

L2

1/L0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

f

[D Hurt,..., F Mondaini, T Paiva, & dS (05)]

Transição não-percolativa: fc < 0.41

Impurezas inibem CDW só resta parâmetro de ordem de 2 componentes (reflexo do que ocorre a T >0)

aumento da ordem por desordem

Em andamento: T > 0

Conclusões e Perspectivas• QMC é um método poderoso para o estudo de sistemas fortemente correlacionados• Deve ser acompanhado de uma análise de dados criteriosa• O problema da instabilidade a baixas T foi contornado• O problema do sinal ainda está aberto (veja próximo slide)• Perspectivas:

•Adaptação para o estudo de modelos multi-orbitais deve ser buscada; e.g., Anderson

•Acoplamento de férmions com momentos localizados (tipo Kondo): propostas de THS já feitas em alguns trabalhos [Assaad (99)]

• Dissipação Quântica [Capriotti et al., (2002)]

O sinal negativo

A origem do problema:

Façamos a THS nas ℓ primeiras fatias temporais

ℓ

2N valores de P1 emergem de P0 P0 = Z > 0

A amostragem é feita em ℓ=M; se considerássemos todas as possíveis configurações, PM teria # de valores positivos ligeiramente (exp a baixas T ’s!) maior que negativos.

{SW Zhang [1999(a)(b)]}

Referências•PW Anderson, Science 235, 1196 (1987). •FF Assaad, Phys Rev Lett 83, 796 (1999)•S Brown and G Grüner, Sci Am 270 (4), 28 (1994)•L Capriotti et al, Europhys Lett 58, 155 (2002)•R R dos Santos, Phys Rev B 39, 7259 (1989)•R R dos Santos, Phys Rev B 48, 3976 (1993)•R R dos Santos, Phys Rev B 50, R635 (1994)•R R dos Santos, Braz J Phys 33, 36 (2003)•VJ Emery, Phys Rev B 14, 2989 (1976)•H Ghosh and R R dos Santos, J.Phys.:Condens.Matt 11, 4499 (1999)•J Graybeal and M Beasley, Phys Rev B 29, 4167 (1984)•J E Hirsch, Phys.Rev.B 31, 4403 (1985)•J E Hirsch, Phys.Rev.B 38, 12023 (1988)•J E Hirsch and HQ Lin, Phys.Rev.B 37, 5070 (1988)•J E Hirsch and S Tang, Phys.Rev.Lett. 62, 591 (1989)•Z B Huang et al., Phys.Rev.B 64, 205101 (2001)

•D Hurt, E Odabashian, W Pickett, RT Scalettar, F Mondaini, T Paiva e R R dos Santos, Phys Rev B 72, 144513 (2005). •K Kuroki e H Aoki., J. Phys. Soc. Jpn. 67, 1533 (1998) •R Micnas et al., Rev Mod Phys 62, 113 (1990)•A Moreo et al., Phys Rev B 41, 2313 (1990)•A Moreo and DJ Scalapino, Phys.Rev.Lett. 66, 946 (1991)•T Paiva and R R dos Santos, Phys.Rev.B 61, 13480 (2000) [a]•T Paiva, R R dos Santos, RT Scalettar, e PJH Denteneer, Phys Rev B 69, 184501 (2004). •J D Reger and A P Young, Phys.Rev.B 37, 5978 (1988)•D J Scalapino et al. , Phys.Rev.B 47, 7995 (1993) •J Voit, Rep.Prog.Phys. 57, 977 (1994) •W von der Linden, Phys.Rep.220, 53 (1992)•S Wessel et al., Phys Rev Lett 86, 1086 (2001)•S R White et al., Phys.Rev.B 40, 506 (1989)•Yokoyama and Shiba, J Phys Soc Jpn 56, 3582 (1987)• S W Zhang, cond-mat/9909090 [a]• S W Zhang, Phys Rev Lett 83, 2777 (1999) [b]