Efeito Hall Quântico

Henrique A R Knopki - 10728376

Tópicos

❏ Efeito Hall Clássico❏ Efeito Hall Quântico inteiro

❏ Níveis de Landau❏ Degenerescência❏ Introdução do campo elétrico❏ Impacto da desordem

❏ Efeito Hall Quântico fracionário❏ Estados de Laughlin❏ Anyons❏ Outros fatores de preenchimento

Efeito Hall clássico (1880)Uma placa condutora em que passa uma corrente sob um forte campo magnético perpendicular à superfície.

O efeito resultante é o desvio dos portadores de carga em direção à margem da amostra.

Após um tempo suficiente, a densidade de carga em cada margem é uniforme e a força elétrica equilibra a força magnética. Segunda Lei de Newton no equilíbrio:

Figura 1: Placa condutora sujeita a campo magnético perpendicular e corrente na direção x.

Efeito Hall clássico (1880)Usando a definição de densidade de corrente

a Lei de Ohm

e a definição de resistividade

Figura 2: Resistividade no efeito Hall Clássico

Efeito Hall Quântico inteiro-IQHE (1980)Descoberto por Klaus von Klitzing, que ganhou o Prêmio Nobel em 1985.

Gases 2D de elétrons (2DEG), T~4K e B~10T

A resistividade transversal é quantizada!

A resistividade longitudinal se anula!

A resistividade Hall é uma medida da constante de estrutura fina

Figura 3: Resistividade no efeito Hall quântico inteiro

Modelando o IQHE

Níveis de LandauElétron livre em duas dimensões em um campo magnético perpendicular constante

Escolhendo o calibre de Landau:

py comuta com H, então

A amostra é finita em y:

Hamiltoniana do oscilador harmônico!

em que l é o raio da órbita de cíclotron do elétron e 𝝎 sua frequência

Espectro de energia degenerado! Cada nível de energia se chama Nível de Landau.

Níveis de Landau: degenerescência

Os centros das Gaussianas são em x=kl2

A degenerescência D é o número de estados diferentes para mesmo nível de Landau.

O número de k’s é delimitado pela geometria da amostra.

Figura 4: Distribuição dos centros das autofunções

Será que para cada nível de Landau cheio temos um platô?

Níveis de Landau: campo elétricoA adição do campo elétrico simplesmente desvia os elétrons em y

Cada elétron ocupa um autoestado indexado por k, indentifica-se a densidade de elétrons na placa pela degenerescência

A resistividade transversal para um nível de Landau cheio é a que o experimento obtém!

O valor esperado para a velocidade em x de um oscilador harmônico é nulo e, portanto, a condutividade longitudinal é nula, junto da resistividade longitudinal.

Isso não explica a existência dos platôs!

Desordem na amostraA presença de impurezas no gás de elétrons transforma os estados extensos, responsáveis por carregar corrente, em estados localizados, que não transmitem corrente.

Figura 5: Equipotenciais fechadas criadas pelas impurezas

As impurezas alargam os níveis de Landau, de forma que há um espaço em que não há aumento de estados extensos. PLATÔS!

Figura 6: Alargamento dos níveis de Landau na presença de impurezas

Efeito Hall quântico fracionário (1982)Descoberto por Tsui e Störmer, prêmio nobel de 1998

Ao diminuir a desordem no sistema, os platôs inteiros ficam menos proeminentes e surgem valores fracionários de 𝜈

A resistividade transversal assume um comportamento clássico à medida que a desordem tende a zero?

Agora é necessário considerar interações elétron-elétron

Modelos e tentativas

Estados de Laughlin (𝜈=1/m)Laughlin procurava autofunções da Hamiltoniana de interação entre elétrons

Laughlin propôs a seguinte função de onda para os elétrons

que foi um sucesso em relação às análises computacionais feitas.

Uma analogia com plasma facilitou o problema pois o estado de Laughlin é muito complicada de se trabalhar

Esse formalismo só prevê fatores de preenchimento da forma

AnyonsPartículas de carga fracionária que aparecem na amostra pois é uma placa quase bidimensional.

Quasi-partículas de carga -e/m e quasi-buracos de carga e/m são anyons e aparecem na amostra.

Esses anyons contribuem com o fator de preenchimento, pois também ocupam níveis de Landau

Esses anyons contribuem com o fator de preenchimento com

de forma que os estados de Laughlin na presença de anyons fica

Conclusão

❏ A resistividade transversal é quantizada de maneira que independe do material utilizado, sua geometria e suas características microscópicas, mas depende da presença de impurezas.

❏ Quanto menos desordem, mais platôs surgem com fatores de preenchimento fracionários

❏ Ainda há fatores de preenchimento não previstos pelos modelos atuais❏ O efeito Hall quântico abre espaço espaço para pesquisa em efeitos

topológicos da matéria❏ Há ideias de fazer computação quântica com os sistemas bidimensionais

estudados no efeitoo Hall Quântico

Referências

[1] E. H. Hall, American Journal of Mathematics 2, 287(1879).[2] B. Jeckelmann and B. Jeanneret, Reports on Progress in Physics 64, 1603 (2001).[3] D. Tong, “Lectures on the quantum hall effect,” (2016), arXiv:1606.06687 [hep-th].[4] K. v. Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980).[5] D. C. Tsui, H. L. Stormer, and A. C. Gossard, Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1982).[6] R. B. Laughlin, Phys. Rev. Lett. 50, 1395 (1983).[7] R. de Picciotto, M. Reznikov, M. Heiblum, V. Umansky, G. Bunin, and D. Mahalu, Physica B: Condensed Matter 249-251, 395–400 (1998).