controle de sistemas

Controle discreto e introducao ao controle otimo e robusto

.

Controle discreto e introducao ao controle

otimo e robusto

Alberto Luiz Serpa

2006

Este material caracteriza as notas de aulas preparadas nos ultimos anosquando ministrei a disciplina ES728 - Controle Avancado de Sistemas paraalunos do curso de Engenharia de Controle Automacao da UNICAMP.

Esta versao e a primeira editada em computador no sentido de permitircorrecoes e atualizacoes com mais facilidade e permitir a disponibilizacao noambiente de Ensino Aberto da UNICAMP.

Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2007 1


Sumario

1 Fundamentos dos sistemas discretos 51.1 Sinais discretos importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Filtros FIR e IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Equacao a diferencas de coeficientes constantes 132.1 Solucao de equacoes a diferencas (lineares, coeficientes cons-

tantes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1 Solucao homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 Solucao particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.3 Solucao completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Comportamento da solucao homogenea . . . . . . . . . . . . . 192.3 Regioes de estabilidade no plano complexo . . . . . . . . . . . 22

3 Transformada Z 223.1 Transformada Z de entradas padronizadas . . . . . . . . . . . 243.2 Principais propriedades da transformada Z . . . . . . . . . . . 263.3 Inversa da transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Transformada Z unilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4.1 Algumas propriedades da transformada Z unilateral . . 303.5 Solucao de equacao de diferencas . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Funcao de transferencia discreta 324.1 Polos e zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Interpretacao da funcao de transferencia discreta . . . . . . . . 33

5 Discretizacao de plantas analogicas 335.1 Modulacao com impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2 Segurador de ordem zero (ZOH) . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Mapeamento s z 386.1 Mapeamentos importantes para projeto . . . . . . . . . . . . . 396.2 Metodos de integracao numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.2.1 Transformacao Euler para tras . . . . . . . . . . . . . . 436.2.2 Transformacao Euler para a frente . . . . . . . . . . . . 446.2.3 Transformacao bilinear - Tustin . . . . . . . . . . . . . 466.2.4 Transformacao pelo metodo do impulso invariante . . . 49

7 Analise de erro estacionario 52



8 Resposta em frequencia 568.1 Problemas com a discretizacao ZOH . . . . . . . . . . . . . . . 568.2 Warping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.3 Pre-warping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608.4 Frequencia crtica de pre-warping . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9 Projeto no plano z 649.1 Controle PID - Metodo Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . 649.2 PID - projeto analtico com base no lugar das razes . . . . . . 699.3 Compensacao avanco-atraso - projeto analtico . . . . . . . . . 75

10 Transformada w 8210.1 Projeto avanco-atraso analtico na frequencia . . . . . . . . . . 85

11 Modelo de estado discreto 9211.1 Transformacao pelo metodo do degrau invariante . . . . . . . 92

12 Diagrama de blocos 97

13 Realimentacao de estados 10013.1 Controlabilidade e formula de Ackermann . . . . . . . . . . . 102

14 Observador (estimador de estados) 10214.1 Estimador de ordem completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10414.2 Observabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10514.3 Efeito do observador na malha fechada . . . . . . . . . . . . . 106

15 Controle otimo 10715.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10715.2 Otimizacao de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10815.3 Condicoes de otimalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11015.4 Equacoes de Euler Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11115.5 Condicoes de otimalidade e Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . 11315.6 Controle linear quadratico - LQR . . . . . . . . . . . . . . . . 11715.7 Controle otimo multivariavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

15.7.1 Matriz hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

16 Introducao ao controle robusto 12316.1 Caso SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12416.2 Resposta em frequencia multivariavel . . . . . . . . . . . . . . 12716.3 Modelagem da incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13316.4 Estabilidade robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136



17 Controle H 14617.1 Estabilidade segundo Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 15317.2 H via Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

18 Bibliografia 162

19 Exerccios 16319.1 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16319.2 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16419.3 Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16519.4 Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16619.5 Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16719.6 Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16819.7 Lista 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16919.8 Lista 8 - Roteiro para MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . 17219.9 Lista 9 - Roteiro para MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . 17419.10Lista 10 - Roteiro para MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . 17519.11Lista 11 - Roteiro para MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . 17619.12Lista 12 - Roteiro para MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . 177



1 Fundamentos dos sistemas discretos

Um sinal contnuo e uma funcao do tempo (um valor real para cada valor detempo), como mostrado na Figura 1.

tt

tt

f(t)

f(t) f(t)

f(t)

periodica transiente

senoidal aleatoria

Figura 1: Alguns sinais contnuos.

Um sistema contnuo relaciona uma entrada contnua a uma sada contnua,conforme ilustrado na Figura 2.

x(t) y(t)contnuacontnua

entrada sadaSistemaContnuo

Figura 2: Sistema contnuo.

Um sinal e uma sequencia, ou uma funcao, definida para numeros inteiros,ou seja,

x(n) = xR(n) + jxI(n),

e quando xI(n) = 0, entao x(n) e uma sequencia real.Um sistema discreto e um mapeamento do conjunto discreto de entradas

para o conjunto discreto de sada, conforme ilustrado na Figura 3.



x(n) y(n)

SistemaDiscreto

Figura 3: Sistema discreto.

Um sinal digital e um sinal discreto cujos valores pertencem a um conjuntofinito. Por exemplo, um sinal digital para valores de {3,2,1, 0, 1, 2, 3}e ilustrado na Figura 4.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

n

y(n)

Figura 4: Sinal digital.

Um sistema digital e aquele que relaciona um sinal digital de entrada aum sinal digital de sada.

1.1 Sinais discretos importantes

Uma sequencia real e denotada como

{x(n), n = , . . . ,1, 0, 1, . . . ,+}.Se um sinal contnuo x(t) e amostrado a cada T segundos, uma sequencia

{x(nT )} resulta. Para simplificar a notacao sera usada apenas a simbologiax(n), i.e.,

{x(nT )} x(n).



Alguns sinais discretos importantes sao listados a seguir.

1. O impulso unitario discreto, Figura 5, e definido como

(n) =

{1 se n = 0,0 se n 6= 0.

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n

(n)

Figura 5: Impulso unitario.

2. O degrau unitario discreto e definido como

u(n) =

{1 se n 0,0 se n < 0,

e esta ilustrado na Figura 6.

3. Uma sequencia exponencial real e dada por

x(n) = an.

4. Uma sequencia senoidal e dada por

x(n) = Asen(w0n).

Um sinal discreto periodico e aquele em que x(n) = x(n + P ) com Pinteiro. O menor valor de P que satisfaz a condicao de periodicidade eo perodo do sinal. A figura 7 mostra uma senoide discreta.

A sequencia senoidal e periodica se w02

e racional (razao de dois inteiros).Se w0

2nao e racional, entao a sequencia nao e periodica.



5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n

u(n)

Figura 6: Degrau unitario discreto.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 201

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x(n)

Figura 7: Senoide discreta, x(n) = sen(100n).



1.2 Algumas propriedades

1. Energia. A energia de uma sequencia e definida como

E =+

n=x(n)x(n) =

+n=

|x(n)|2,

onde x(n) e o complexo conjugado de x(n).

Se x(n) = x(n), ou seja, x(n) e uma sequencia real, entao

E =+

n=x2(n).

2. Sinal em funcao de impulsos. Um sinal discreto pode ser escrito como

x(n) =

k=x(k)(n k).

Exemplo: O sinal da Figura 8 pode ser escrito como

y(n) = y(2)(n+ 2) + y(0)(n) + y(1)(n 1) + y(4)(n 4).

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

n

y(n)

Figura 8: y(n) = y(2)(n+ 2) + y(0)(n) + y(1)(n 1) + y(4)(n 4).



3. Linearidade. Um sistema discreto pode ser caracterizado por umatransformacao (ou operador) T que relaciona a sada y(n) a` entradax(n), ou seja,

y(n) = T [x(n)].

Um sistema discreto e linear quando se aplica o princpio da super-posicao, ou seja,

T [a1x1(n) + a2x2(n)] = a1T [x1(n)] + a2T [x2(n)].

4. Invariancia no tempo. Um sistema discreto e invariante no tempoquando seus coeficientes nao variam com o tempo, ou seja, se y(n) =T [x(n)] entao,

T [x(n n0)] = y(n n0).5. Resposta de sistemas lineares em termos da resposta impulsiva. Seja a

resposta do sistema T () ao um impulso aplicado no tempo k dada por

hk(n) = T [(n k)].

A resposta do sistema a uma entrada x(n) sera dada por

y(n) = T [x(n)] = T

k=

x(k)(n k) =

k=x(k)T [(nk)] =

k=

x(k)hk(n).

Portanto, a resposta de um sistema discreto linear pode ser escritacomo uma soma ponderada de hk(n) pela entrada x().

6. Convolucao. Se x(n) e a entrada de um sistema linear e invariantecaracterizado por T [], entao a sada y(n) e dada por

y(n) =

k=x(k)h(n k) =

k=

x(n k)h(k),

onde h(n) = T [(n)] e a resposta ao impulso.

Esta soma e conhecida como soma de convolucao e e denotada por

y(n) = x(n) h(n) = h(n) x(n).

Algumas propriedades da convolucao sao:

(a) x(n) y(n) = y(n) x(n)



(b) x(n) (y(n) z(n)) = (x(n) y(n)) z(n)(c) x(n) (y(n) + z(n)) = x(n) y(n) + x(n) z(n)(d) x(n) (n) = (n) x(n) = x(n)(e) x(n) (n k) = x(n k)

7. Estabilidade BIBO (bounded-input, bounded-output). A sequenciax(n) e limitada se existe um M finito tal que

|x(n)| < M, para todo n.

Um sistema discreto e BIBO estavel se toda sequencia limitada deentrada x(n) produz uma sada tambem limitada.

Um sistema linear e invariante com resposta h(n) ao impulso e BIBOestavel se e somente se

S =

k=|h(k)|

e finito (soma absoluta finita).

Prova: suponha que a entrada x(n) e limitada, ou seja |x(n)| < M .A sada e do sistema e dada por

y(n) =

k=h(k)x(n k).

Logo,

|y(n)| =

k=

h(k)x(n k)

k=

|h(k)x(n k)|,

|y(n)|

k=|h(k)||x(n k)| n.Pode-se escrever que

y(n) =n

k=x(k)h(n k),

de onde se verifica que a resposta y(n) so depende de valores passadosou do valor presente da entrada.

1.3 Filtros FIR e IIR

Um filtro FIR (finite impulse response) e um sistema linear e invariante quepossui uma resposta finita ao impulso, ou seja,

h(n) =

{valores nao nulos para n1 n n2,0 para os demais,

onde h(n) e a resposta ao impulso.Um filtro IIR (infinite impulse response) e um sistema em que a resposta

ao impulso unitario e de duracao infinita.Um sistema causal linear e invariante caracterizado por

Nk=0

aky(n k) =Mr=0

brx(n r),

sera FIR se a0 6= 0 e ak = 0 para k = 1, 2, . . . , N . Caso contrario podera serIIR ou FIR.

Prova: Seja ak = 0, k = 1, 2, . . . , N . Logo,

a0y(n 0) =Mr=0

brx(n r),



y(n) =Mr=0

(bra0

) h(r)

x(n r),

que representa uma convolucao.Portanto,

h(n) =

{bna0

0 n M,0, caso contrario,

que e de duracao finita.

2 Equacao a diferencas de coeficientes cons-

tantes

O comportamento dinamico de sistemas contnuos e descrito por equacoesdiferenciais. O comportamento dinamico de sistemas discretos e descrito porequacoes a diferencas.

Um sistema discreto linear e invariante no tempo e aquele em que aentrada x(n) e a sada y(n) satisfazem uma equacao a diferencas com coefi-cientes lineares e constantes do tipo

Nk=0

aky(n k) =Mm=0

bmx(nm), a0 6= 0,

ou tambem,

y(n) = Nk=1

aka0y(n k) +

Mr=0

bra0x(n r).

Exemplo: Resolver e equacao y(n)ay(n1) = x(n), com y(n) = 0 paran < 0, e tendo como entrada x(n) = (n) um impulso unitario.

Este problema pode ser resolvido diretamente, ou seja,

n = 0 y(0) = ay(1) + x(0) = 0 + 1 = 1n = 1 y(1) = ay(0) + x(1) = a 1 + 0 = an = 2 y(2) = ay(1) + x(2) = a a+ 0 = a2

... y(n) = an.

Como nao existe resposta para n < 0, escreve-se a solucao como

y(n) = anu(n),



que representa a resposta ao impulso procurada. Usa-se o degrau unitario,u(n), para assegurar valores nulos para n < 0.

Exemplo: Determinar o modelo para descrever uma colonia de bacteriasduplicando a populacao a cada 12h (T = 12h).

E possvel escrever que

y(n) = 2y(n 1), y(0) = c.Logo,

y(1) = 2c, y(2) = 4c, y(3) = 8c, . . .

que caracteriza um comportamento explosivo.

Exemplo: Problema do banqueiro. Seja o intervalo T = 1 mes associadoa uma taxa de juros de i%.

O modelo que descreve este problema e

v(n) =(1 +

i

100

)v(n 1),

onde v(n) e o valor no mes n.

Exemplo: Modelo de um integrador numerico pela regra dos trapezios.Seja o esquema da Figura 9.

t

f(t)

tntn1

fn

fn1

In1

In

Figura 9: Integracao pela regra dos trapesios.

A area de um elemento trapezoidal e dada por

A = tntn1

f(t)dt T (fn + fn1)2

,



onde T = tn tn1 e a base do trapezio.Logo, a integral da curva pode ser aproximada por

In = In1 +T (fn + fn1)

2.

2.1 Solucao de equacoes a diferencas (lineares, coefici-entes constantes)

A solucao de equacoes a diferencas segue um procedimento semelhante ao dasolucao de equacoes diferenciais lineares e com coeficientes constantes.

Seja uma equacao a diferencas denotada por

Nk=0

aky(n k) =Mk=0

bkx(n k),

ou tambem

a0y(n) + a1y(n 1) + a2y(n 2) + . . .+ aNy(nN) =

= b0x(n) + b1x(n 1) + . . .+ bMx(nM).

2.1.1 Solucao homogenea

A equacao homogenea (entrada nula) e dada por

Nk=0

aky(n k) = 0.

Seja uma solucao do tipo y(n) = cn. Logo,

Nk=0

akcnk = 0,

e entaoa0c

n + a1cn1 + a2cn2 + . . .+ aNcnN = 0,

(a0N + a1

N1 + a2N2 + . . .+ aN)cnN = 0,

a0N + a1

N1 + a2N2 + . . .+ aN = 0,

que e o polinomio caracterstico, cujas razes sao 1, 2, . . . , N .A solucao homogenea yh(n) sera funcao do tipo das razes, ou seja,



para razes distintas a solucao homogenea e

yh(n) = c1n1 + c2

n2 + . . .+ cN

nN ,

com c1, c2, . . ., cN determinados atraves das condicoes iniciais.

para razes com multiplicidade, por exemplo 1 de multiplicidade l, asolucao homogenea e do tipo

yh(n) = (c1n1 + c2n

n1 + c3n

2n1 + . . .+ clnl1n1 ) + d2

n2 + . . .+ dN

nN .

para um par complexo conjugado, por exemplo 1,2 = a bj, tem-se

1 = ej, 2 = e

j,

e a solucao e do tipo cn, ou seja,

c1(ej)n + c2(e

j)n = c1nejn + c2nejn = Cnsen(n+ ).

Verifica-se que o comportamento muda em funcao do valor de comoilustrado nas Figuras 10 e 11.

0 5 10 15 20 25 30 35 400.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

n

y(n)

Figura 10: Solucao Cnsen(n+ ) para < 1.



0 5 10 15 20 25 30 35 4040

30

20

10

0

10

20

30

n

y(n)

Figura 11: Solucao Cnsen(n+ ) para > 1.

Tabela 1: Solucoes particulares tpicas.entrada x(n) solucao particular yp(n)A (constante) K (constante)

AMn KMn

AnM K0nM +K1n

M1 + . . .+KMAnnM An(K0n

M +K1nM1 + . . .+KM){

Acos(w0n)Asen(w0n)

}K1cos(w0n) +K2sen(w0n)



2.1.2 Solucao particular

A solucao particular da equacao a diferencas depende da forma da entrada,ou seja, e do mesmo tipo da entrada. Alguns exemplos sao ilustrados naTabela 1.

2.1.3 Solucao completa

A solucao completa da equacao a diferencas sera a soma da solucao particularcom a solucao homogenea, isto e,

y(n) = yh(n) + yp(n).

Exemplo: Toma-se emprestado em n = 0 o capital C0. Este capital deveser pago em N prestacoes mensais iguais e ser remunerado com uma taxa ide juros mensais. Calcular o valor da prestacao mensal como funcao de N , ie C0.

Sejam d(n) a dvida no momento n e P o valor da prestacao. Pode-seescrever que

d(n) = (1 + i)d(n 1) P d(n) (1 + i)d(n 1) = P,

com d(0) = C0, ou seja, a dvida em n = 0 e o capital C0.A solucao homogenea e dada por dh(n) = c

n que substituda na equacaoa diferencas leva a

cn (1 + i)cn1 = 0 cn1[ (1 + i)] = 0,

ou seja (1 + i) = 0 = 1 + i.

Portanto, a solucao homogenea e

dh(n) = cn = c(1 + i)n.

A solucao particular e dada por

dp(n) = A,

que substituda na equacao a diferencas leva a

A (1 + i)A = P A = Pi.



A solucao completa e dada por

d(n) = dh(n) + dp(n) = c(1 + i)n +

P

i.

Aplicando a condicao inicial tem-se que

d(0) = c(1 + i)0 +P

i= C0 c = C0 P

i,

e consequentemente

d(n) =(C0 P

i

)(1 + i)n +

P

i.

Para pagar a dvida tem-se que d(N) = 0. Logo, o valor da prestacaosera dado por

(C0 P

i

)(1 + i)N +

P

i= 0 P = iC0

1 1(1+i)N

.

2.2 Comportamento da solucao homogenea

Para razes distintas a solucao homogenea e composta de termos do tipo cn,e em funcao de os seguintes casos sao possveis.

Para real tem-se os seguintes casos:1. > 1, situacao instavel como ilustrado na Figura 12.

2. 0 < < 1, situacao estavel como ilustrado na Figura 13.

3. 1 < < 0, situacao estavel oscilante como na Figura 14.4. < 1, situacao instavel oscilante como na Figura 15.

Para complexo (pares conjugados) tem-se a solucao na forma

Cnsen(n + ).

Verifica-se que:

1. Para 0 < < 1, tem-se situacao estavel;

2. Para > 1, tem-se situacao instavel.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

n

y(n)

Figura 12: Situacao instavel, cn para > 1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n

y(n)

Figura 13: Situacao estavel, cn para < 1.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

y(n)

Figura 14: Situacao estavel oscilante, cn para 1 < < 0.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1015

10

5

0

5

10

15

n

y(n)

Figura 15: Situacao instavel oscilante, cn para < 1.



estavel

estavel

estavel

instavel

instavelinstavel

oscilanteoscilante 11

= 1

Im[]

Re[]

Figura 16: Regioes de estabilidade e instabilidade.

2.3 Regioes de estabilidade no plano complexo

Com base na analise realizada na secao anterior nota-se que a estabilidadee assegurada se as razes estiverem dentro de um crculo unitario conformeilustrado na Figura 16.

Salienta-se que mesmo no caso de razes multiplas, o termo exponencialpredomina e a estabilidade ocorre para razes dentro do crculo unitario.

3 Transformada ZA transformada Z bilateral de uma sequencia x(n) e

X(z) := Z[x(n)] :=+

n=x(n)zn,

onde z e uma variavel complexa.O conjunto dos valores de z para os quais X(z) converge (e finita) e

chamado de Regiao de Convergencia (RC) e e dado por

r0 |z| R0.

Exemplo: Determinar a transformadaZ para a sequencia x(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}.O numero sublinhado refere-se ao valor para n = 0.

X(z) =3

n=2x(n)zn = x(2)z2+x(1)z1+x(0)z0+x(1)z1+x(2)z2+x(3)z3 =



= z2 + 2z + 5z0 + 7z1 + 0 z2 + z3 = z2 + 2z + 5 + 7z1 + z3.A regiao de convergencia (RC), neste caso, e todo o plano complexo

exceto z = 0 e z = .

Exemplo: Determinar a transformada Z para x(n) =(12

)nu(n) com u(n)

um degrau unitario.

x(n) =

{1,1

2,(1

2

)2, . . . ,

(1

2

)n, . . .

},

X(z) = 1z0 +1

2z1 +

(1

2

)2z2 + . . .+

(1

2

)nzn + . . . =

=n=0

(1

2

)nzn =

n=0

(1

2z1

)n.

Nota: usou-se que

1 + A+ A2 + A3 + . . . =1

1 A,

se |A| < 1 (soma de PG).Logo, para |1

2z1| < 1, ou |z| > 1

2, X(z) converge para X(z) = 1

1 12z1

, e

a regiao de convergencia e |z| > 12.

Exemplo: Transformada Z para a equacao do integrador trapezoidal, ouseja,

y(n) = y(n 1) + T2[x(n) + x(n 1)] .

Multiplicando-se por zn tem-se

y(n)zn = y(n 1)zn + T2

[x(n)zn + x(n 1)zn

],

e fazendo o somatorio de todos os termos tem-se que

+n=

y(n)zn =+

n=y(n1)zn+ T

2

[+

n=x(n)zn +

+n=

x(n 1)zn],

+n=

y(n)zn = z1+

n=y(n1)z(n1)+T

2

[+

n=x(n)zn + z1

+n=

x(n 1)z(n1)].

Seja k = n 1. Logo,

n=y(n)zn = z1

k=

y(k)zk +T

2

n=

x(n)zn + z1

k=x(k)zk

,



e usando a definicao de transformada Z escreve-se que

Y (z) = z1Y (z) +T

2

[X(z) + z1X(z)

],

(1 z1)Y (z) = T2

(1 + z1

)X(z),

que corresponde a` transformada Z da equacao a diferencas.A relacao entre a entrada e a sada pode ser escrita em termos de uma

funcao de transferencia discreta H(z), ou seja,

Y (z) =T

2

(1 + z1

1 z1)

H(z)

X(z),

e uma respresentacao usual esta mostrada na Figura 17.

X(z) Y (z)

H(z)

Y (z) = H(z)X(z)

Figura 17: Representacao de uma funcao de transferencia.

3.1 Transformada Z de entradas padronizadas1. Degrau unitario. O degrau unitario e definido como

u(n) =

{1 se n 0,0 se n < 0.

A transformada Z do degrau e dada por

Z[u(n)] =

n=u(n)zn =

n=0

u(n)zn =

= 1z0 + 1z1 + 1z2 + . . . + 1zn + . . . =1

1 z1 ,

onde foi utilizada a formula da soma de uma PG de razao z1.



Portanto,

U(z) =1

1 z1 =z

z 1 ,cuja regiao de convergencia e |z1| < 1.

2. Rampa de inclinacao a. Uma rampa e definida como

r(n) =

{an se n 0,0 se n < 0.

A transformada Z sera dada por

Z[r(n)] =

n=anzn =

n=0

anzn = 0z0 + az1 + 2az2 + . . . =

= z1a[1 + 2z1 + 3z2 + . . .] =

= az1[(1+z1+z2+. . .)+z1(1+z1+z2+. . .)+z2(1+z1+z2+. . .)+. . .] =

= az1[(1 + z1 + z2 + . . .)(1 + z1 + z2 + . . . 1

1z1

)].

Portanto,

= Z[r(n)] = az1[

1

(1 z1)2]= az1

1

1 2z1 + z2 =

=az

z2 2z + 1 =az

(z 1)2 ,

cuja regiao de convergencia e |z1| < 1.3. Impulso unitario. A transformada Z do impulso unitario e dada por

Z[(n)] =

n=(n)zn = (0)z0 = 1 1 = 1.

4. Exponencial. A exponencial discreta e dada por

x(n) = nu(n) =

{n se n 0,0 se n < 0.

A transformada Z e dada por

X(z) =

n=nu(n)zn =

n=0

nzn =n=0

(z1)n.



Se |z1| < 1, ou |z| > ||, esta serie converge para 11z1 . Portanto,

X(z) =1

1 z1 =z

z ,

com uma regiao de convergencia dada por |z| > .Nota: se = ea, entao x(n) = eanu(n). Logo, X(z) = z

zea , o quepermite calcular Z[sen(wn)u(n)] e Z[cos(wn)u(n)].

3.2 Principais propriedades da transformada Z1. Linearidade. Sejam Z[x1(n)] = X1(z) e Z[x2(n)] = X2(z), entao,

Z[a1x1(n) + a2x2(n)] = a1X1(z) + a2X2(z),cuja regiao de convergencia esta contida em RCX1 RCX2 .

2. Deslocamento em atraso. Se Z[x(n)] = X(z) com regiao de con-vergencia RCX , entao,

Z[x(n k)] = zkX(z),com regiao de convergencia RCX

3. Escalamento. Se Z[x(n)] = X(z), com RC: r1 < |z| < r2, entao,Z[anx(n)] = X[a1z],

com RC: |a|r1 < |z| < |a|r2.4. Reversao de tempo. Se Z[x(n)] = X(z), com RC: r1 < |z| < r2, entao,

Z[x(n)] = X(z1),com RC: 1

r2< |z| < 1

r1.

5. Diferenciacao. Se Z[x(n)] = X(z) com RCX , entao,

Z[nx(n)] = zdX(z)dz

,

com RCX mantida.

6. Convolucao. Sejam Z[x1(n)] = X1(z) com RCX1 , e Z[x2(n)] = X2(z)com RCX2 , entao,

Z[x1(n) x2(n)] = X1(z)X2(z),com RC contida em RCX1 RCX2 .



7. Teorema do valor inicial. Se x(n) e causal, x(n) = 0 para n < 0, entao,

x(0) = limzX(z).

8. Teorema do valor final. Se limn x(n) existe (sequencia estavel, queconverge), entao,

limnx(n) = limz1

[(z 1)X(z)].

3.3 Inversa da transformada ZA inversa da transformada Z e dada por

x(n) = Z1[X(z)] = 1j2

cX(z)zn1dz.

Contudo, e pouco pratico calcular uma transformada inversa pela de-finicao anterior. Em geral, a transformada inversa e obtida atraves da ex-pansao em fracoes parciais quando X(z) e uma funcao racional (razao dedois polinomios).

Observa-se que as transformadas em geral possuem z no seu numerador,de forma que um fator z pode ser fatorado primeiramente. Aplica-se entao omesmo procedimento da expansao em fracoes parciais usado na transformadade Laplace.

Exemplo: Determinar a anti-transformada x(n) para

X(z) =z

(3z2 4z + 1) .

Seja a expansao em fracoes parciais

F (z) =X(z)

z=

1

3z2 4z + 1 =1

3(z2 43z + 1

3)=

=1

3(z 1)(z 13)=

A

z 1 +B

z 13

.

As constantes podem ser calculadas como

A = F (z)(z 1)|z=1 =1

3(z 13)

z=1

=1

2,

B = F (z)(z 13)z= 1

3

=1

3(z 1)

z= 1

3

= 12.



Logo,

F (z) =X(z)

z=

12

z 1 +1

2

z 13

,

X(z) =12z

z 1 +1

2z

z 13

.

Consultando uma tabela de transformada Z verifica-se que para |z| > 1 obtem-se

x(n) = Z1[

12z

z 1

]+ Z1

[ 12z

z 13

],

x(n) =1

2u(n) 1

2

(1

3

)nu(n).

para |z| < 13tem-se que

x(n) = Z1[

12z

z 1

]+ Z1

[ 12z

z 13

],

x(n) = 12u(n 1) 1

2

[(1

3

)nu(n 1)

].

para 13< |z| < 1 tem-se que

x(n) = Z1[

12z

z 1

]+ Z1

[ 12z

z 13

],

x(n) = 12u(n 1) 1

2

(1

3

)nu(n).

Verifica-se atraves do exemplo anterior a importancia da regiao de con-vergencia para assegurar a unicidade da anti-transformada Z.

Exemplo: Determinar a anti-transformada Z para

X(z) =z3

(z + 1)(z 1)2 .

Esta funcao possui uma das razes do denominador com multiplicidadedois. A expansao em fracoes parciais deve levar isso em conta, mantendo acaracterstica em termos desta multiplicidade, ou seja,

X(z)

z=

z2

(z + 1)(z 1)2 =A1z + 1

+A2

(z 1)2 +A3z 1 ,



A constante A1 da expansao pode ser obtida atraves de

(z + 1)X(z)

z= A1 + (z + 1)

A2(z 1)2 + (z + 1)

A3(z 1) ,

fazendo-se z = 1, ou seja,

A1 = (z + 1)X(z)

z

z=1

=1

4.

A constante A2 pode ser obtida atraves de

(z 1)2X(z)z

= (z 1)2A1 + A2 + (z 1)2 A3(z 1) , (1)

fazendo-se z = 1, ou seja,

A2 = (z 1)2X(z)z

z=1

=1

2

Derivando (1) tem-se

d

dz

[(z 1)2X(z)

z

]=

d

dz

[(z 1)2A1 + A2 + (z 1)A3

],

d

dz

[(z 1)2X(z)

z

]=

d

dz

[(z 1)2A1

]+ A3,

e fazendo z = 1, tem-se que,

A3 =d

dz

[(z 1)2X(z)

z

]z=1

=3

4.

Note que:

d

dz

[(z 1)2A1

]|z=1 = 2(z 1)A1|z=1 = 0.

Logo,X(z)

z=

14

z + 1+

12

(z 1)2 +34

(z 1) ,

e a transformada inversa pode ser calculada considerando as respectivasregioes de convergencia.



3.4 Transformada Z unilateralA transformada Z unilateral e definida como

X+(z) = Z+[x(n)] =n=0

x(n)zn.

Nota-se que a transformada unilateral nao requer que o sinal seja definidopara n < 0.

Esta transformada e usada na solucao de equacoes a diferencas comcondicoes iniciais nao nulas, e e identica a` transformada bilateral do sinalx(n)u(n).

Exemplo: Determinar a transformada Z unilateral para

x1(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}.

A solucao eX+1 (z) = 5z

0 + 7z1 + 0z2 + 1z3.

Exemplo: Determinar a transformada Z unilateral para

x2(n) = {2, 4, 5, 7, 0, 1}.

A solucao eX+2 (z) = 5z

0 + 7z1 + 0z2 + 1z3.

Note que, nos dois ultimos exemplos, X+1 e X+2 sao iguais embora x1(n)

e x2(n) sejam distintas, ou seja, a transformada unilateral nao e unica parasinais nao causais. Ela e unica apenas para sinais causais.

3.4.1 Algumas propriedades da transformada Z unilateral1. Propriedade do atraso no tempo. Seja X+(z) = Z+[x(n)], entao,

Z+[x(n k)] = zk(X+(z) +

kn=1

x(n)zn), k > 0.

Se x(n) e causal, entao:

Z+[x(n k)] = zkX+(z).



2. Propriedade do avanco no tempo. Seja X+(z) = Z+[x(n)], entao,

Z+[x(n+ k)] = zk(X+(z)

k1n=0

x(n)zn), k > 0.

3. Teorema do valor final. Seja X+(z) = Z+[x(n)], entao,limnx(n) = limz1

[(z 1)X+(z)].

3.5 Solucao de equacao de diferencas

Exemplo: Seja a sequencia de Fibonacci {1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .}. Qual suaformula?

Esta sequencia pode ser gerada por

y(n) = y(n 1) + y(n 2),com as seguintes condicoes iniciais,

y(0) = y(1) + y(2) = 1,y(1) = y(0) + y(1) = 1,

pelas quais se determina que y(1) = 0 e y(2) = 1.Aplicando a transformada Z unilateral e usando a propriedade do atraso

tem-se

Y +(z) = z1[Y +(z) +

1n=1

y(n)zn]+ z2

[Y +(z) +

2n=1

y(n)zn]=

= z1[Y +(z) + 0z1

]+ z2

[Y +(z) + 0z1 + 1z2

]=

= z1Y +(z) + z2Y +(z) + 1.

Logo,

Y +(z)(1 z1 z2) = 1 Y +(z) = 11 z1 z2 =

z2

z2 z 1 ,

cujas razes do denominador sao p1 =1+5

2= 1.618 e p2 =

152

= 0.618.Uma expansao em fracoes parciais e

Y +(z)

z=

z

z2 z 1 =A1

(z p1) +A2

(z p2) ,



de onde se obtem

A1 =p15= 0.724, A2 = p2

5= 0.276.

Logo,

Y +(z) =1 +

5

25

zz (1+

5

2)

+ [(1

5)]

25

zz (1

5

2)

,

y(n) =

[1 +

5

25

(1 +

5

2

)n 1

5

25

(15

2

)n]u(n).

4 Funcao de transferencia discreta

Seja q o operador avanco unitario, i.e.,

qx(n) = x(n+ 1),

e q1 o operador atraso unitario, i.e.,

q1x(n) = x(n 1).Aplicando a transformada Z nesta ultima equacao tem-se que

Z[q1x(n)] = Z[x(n 1)] =

n=x(n 1)zn =

= z1

n=x(n 1)z(n1) = z1X(z).

Uma equacao a diferencas pode ser escrita como

(a0+a1q1+a2q2+ . . . +anqn)y(n) = (b0+b1q1+b2q2+ . . . +bmqm)x(n).

Aplicando a transformada Z na equacao a diferencas tem-se(a0+a1z

1+a2z2+ . . .+anzn)Y (z) = (b0+b1z1+b2z2+ . . .+bmzm)X(z).

A funcao de tranferencia dicreta (relacao entra a entrada e a sada) e

H(z) =Y (z)

X(z)=

b0 + b1z1 + b2z2 + . . . + bmzm

a0 + a1z1 + a2z2 + . . . + anzn.

Nota: deve-se ter n m para sistema nao antecipativo.



4.1 Polos e zeros

Os zeros de X(z) sao os valores de z tais que X(z) = 0, ou seja, sao as razesdo numerador de X(z).

Os polos de X(z) sao os valores de z tais que X(z) = , ou seja, asrazes do denominador de X(z) quando nao ocorrem cancelamentos entre onumerador e o denominador.

4.2 Interpretacao da funcao de transferencia discreta

Seja a relacao entre entrada e sada

Y (z) = H(z)X(z).

Se a entrada e um impulso unitario, X(z) = Z[(n)] = 1, entao Y (z) =H(z). Portanto, a funcao de transferencia H(z) representa a resposta dosistema ao impulso unitario. Ou ainda, se a resposta ao impulso unitario eh(n) entao

Z[h(n)] = H(z),e a funcao de transferencia do sistema.

5 Discretizacao de plantas analogicas

A maioria dos controladores atuais faz uso de computadores digitais. AFigura 18 mostra um esquema generico de malha de controle usando umcontrolador digital.

A/D D/A

entrada sadaplanta

computadordigital

sensor

controlador

Figura 18: Esquema de controle digital.

O controlador esta representado como na Figura 19 e seus principais ele-mentos sao:

A/D: conversor analogico-digital; H(z): funcao de tranferencia discreta do controlador;



D/A: conversor digital-analogico.

A/D D/AH(z)

Figura 19: Elementos do controlador digital.

E sabido que um controlador analogico (contnuo) e representado poruma funcao de tranferencia em s, ou ainda, uma equacao diferencial. Deforma semelhante, o controlador discreto e representado por uma funcao detranferencia em z, ou ainda, uma equacao a diferencas.

5.1 Modulacao com impulso

Uma funcao contnua x(t) pode ser amostrada usando um trem de impulsoscomo ilustrado na Figura 20, gerando-se a funcao x(t).

modulador

x(t)

x(t)

tt

x(t)

x(t)

T (t)

Figura 20: Modulacao com trem de impulsos.

O trem de impulsos, ilustrado na Figura 21, pode ser escrito como

T (t) =k=0

(t kT ).

A funcao amostrada x(t) e dada por

x(t) = x(t)T (t) =k=0

x(kT )(t kT ),



tempo

impulsos

0 1 2 3 4 . . .

Figura 21: Trem de impulsos.

x(t) x(t)

T

Figura 22: Ilustracao do processo de amostragem como chaveamentoperiodico.

que pode ser representada atraves do processo de chaveamento ilustrado naFigura 22.

Aplicando a transformada de Laplace a` funcao amostrada tem-se que

X(s) = L[x(t)] = 0

[ k=0

x(kT )(t kT )]estdt =

=k=0

x(kT ) 0

(t kT )estdt =k=0

x(kT )eskT .

Definindo z = esT pode-se escrever que

X(s) =k=0

x(kT )zk = X(z),

que e a relacao entre a transformada de Laplace e transformada Z, ou seja,a transformada Z pode ser vista como a respectiva transformada de Laplacede um sinal discretizado.

5.2 Segurador de ordem zero (ZOH)

No processo de discretizacao e usual que seja feito alguma consideracao sobreo comportamento da funcao entre dois pontos de amostragem. A forma usuale manter o valor da funcao constante, caracterizando o que se conhece porsegurador de ordem zero (ZOH - zero order holder do ingles), como ilustradona Figura 23.



ZOHT

amostragem

x(t)

x(t)

y(t)

y(t)

tt kT

x(t)

Figura 23: Ilustracao do segurador de ordem zero.

Do ponto de vista matematico, o segurador de ordem zero recebe umimpulso e deve manter seu valor constante ate a chegada do proximo impulso.Isso esta ilustrado na Figura 24.

ZOH

T

(t) = u(t) u(t T )

(t)

tt

(t)

(t)

Figura 24: Operacao do segurador de ordem zero.

Nota-se que a entrada e um impulso (t) e a sada corresponde a um pulsodado por (t) = u(t)u(tT ). Aplicando a transformada de Laplace tantona entrada como na sada tem-se a funcao de transferencia do segurador deordem zero dada por

L[(t)] = H(s)L[(t)] H(s) = 1s(1 esT ).

Seja uma planta sujeita a um sinal de entrada discretizado e precedidapor um ZOH conforme ilustrado na Figura 25.



X(s)

amostragem

H(s) = 1s(1 esT ) G(s) Y (s)X

(s)

Figura 25: Efeito do ZOH sobre uma planta.

A relacao entre Y (s) e X(s), incluindo o segurador de ordem zero, e

Y (s) =1

s(1 esT )G(s)

GZOH(s)

X(s) = GZOH(s)X(s).

Verifica-se que

Y (s) = [GZOH(s)X(s)] = GZOH(s)X(s),

e aplicando a transformada Z tem-se queY (z) = GZOH(z)X(z).

O calculo de GZOH(z) pode ser realizado como

GZOH(z) = Z[GZOH(s)] = Z[G(s)

s esT G(s)

s

]=

= Z[G(s)

s

]Z

[esT

G(s)

s

]= (1 z1)Z

[G(s)

s

],

onde constatou-se que esT G(s)s

representa um atraso de G(s)s

de T , e portanto,associa-se um z1.

Uma sequencia para encontrar a transformada Z de uma funcao de tran-ferencia P (s) e

P (s)L1 p(t) p(nT ) Z P (z).

Exemplo: Determinar a funcao de transferencia GZOH(z) para a planta

G(s) =1

s+ 1.

Da definicao de GZOH(s) tem-se que

GZOH(z) = (1 z1)Z[G(s)

s

]= (1 z1)Z

[1

s(s+ 1)

].



Calculando da anti-transformada de Laplace de G(s)s

tem-se

L1[

1

s(s+ 1)

]= (1 et)u(t).

Discretizando o sinal e aplicando a transformada Z tem-se queZ[(1 enT )u(nT )

]= Z[u(nT )]Z[enTu(nT )] =

=z

z 1 z

z eT =z(1 eT )

(z 1)(z eT ) .Consequentemente,

GZOH(z) = (1 z1) z(1 eT )

(z 1)(z eT ) =1 eTz eT .

Nota: o processo de amostragem somado ao efeito de um segurador deordem zero e chamado de transformacao do degrau invariante.

6 Mapeamento s zDa relacao entre transformada de Laplace e transformada Z foi estabelecidoque

z = esT .

Esta relacao e usada para converter requisitos de desempenho do plano spara o plano z.

Seja inicialmente o eixo imaginario no plano s, s = jw. Logo, z = ejwT

que corresponde a um numero complexo de modulo unitario e angulo de fasewT . Nota-se que ao se variar w, percorre-se o crculo unitario.

Seja agora uma subregiao do semi-plano esquerdo do plano s definidapelos pontos + jw, > 0, conforme ilustrado na Figura 26.

Os valores de z correspondentes sao dados por

z = e(+jw)T = eT ejwT ,

de onde se verifica, como > 0, que

|z| = eT < 1,ou seja, o mapeamento corresponde a um crculo de raio menor que um nointerior do crculo de raio unitario.

Observa-se que pontos sobre o eixo real negativo no plano s correspondema pontos no intervalo de [0, 1] do plano z, ou seja,

s = z = eT 0 < z < 1, ( > 1).



1

ImIm

ReRe

plano s plano z

(+ jw)

Figura 26: Mapeamento de uma subregiao do plano s para o plano z.

6.1 Mapeamentos importantes para projeto

Sao importantes para projeto os mapeamentos para o tempo de estabilizacao(te), o fator de amortecimento () e a frequencia natural (wn), que sao des-critos a seguir.

Tempo de estabilizacao, te. Seja um polo dominante dado por s = + jw. O tempo de estabilizacao a 2% pode ser aproximado porte2% =

4. O mapeamento correspondente e

z = e(+jw)T = eT ejwT = r ejwT .

Verifica-se que quando r diminui, o tempo de estabilizacao te tambemdiminui. O mapeamento correspondente esta ilustrado na Figura 27.

Fator de amortecimento, . Para um sistema de segunda ordem, ospolos sao dados por

s = wn jwn1 2.

Para uma faixa de fator de amortecimento > c, tem-se uma regiaosimetrica em relacao ao eixo real conforme mostrada na Figura 28 noplano s.

Considerando apenas o polo s = wn+jwn1 2 devido a` simetria,

tem-sez = e(wn+jwn

12)T = ewnT ejwn

12T ,



1

rte

ImIm

ReRe

plano s plano z

Figura 27: Mapeamento em termos de tempo de estabilizacao.

= cos

> c

Im

Re

plano s

Figura 28: Regiao correspondente a uma faixa de fator de amortecimento.



e entao e possvel escrever o modulo e a fase como

|z| = ewnT , z = wn1 2T.

Para um valor constante e se variando wn, a magnitude de z decresceexponencialmente e a fase varia de forma linear, gerando uma espirallogartmica conforme mostrada na Figura 29.

1

ImIm

ReRe

plano s plano z

Figura 29: Mapeamento s z para constante.

Frequencia natural, wn. Para wn constante o mapeamento e mais com-plicado. Embora a magnitude de z decresca exponencialmente, a fasenao depende linearmente de .

Para = 0 entaoz = e0ejwnT = ejwnT ,

que corresponde a um ponto sobre o crculo unitario e angulo wnT .

Para = 1 entaoz = ewnT e0 = ewnT ,

que corresponde a um ponto sobre o eixo real com magnitude ewnT .

Graficamente, o mapeamento pode ser representado como na Figura30.

Requisitos multiplos. Ao se impor mais de um requisito tem-se a ins-terseccao de regioes. Por exemplo, se for especificado um tempo deestabilizacao juntamente com um requisito de frequencia natural, tem-se uma regiao no plano z como a da Figura 31.



wn

ImIm

ReRe

plano s plano z

Figura 30: Mapeamento s z para uma frequencia natural wn.

r

Im Im

Re Re

plano s plano z

Figura 31: Regiao correspondente aos requisitos multiplos de frequencia na-tural e tempo de estabilizacao.



6.2 Metodos de integracao numerica

Na conversao de funcoes de transferencia analogicas para funcoes de trans-ferencia discretas, existe o interesse de preservar as caractersticas da respostano tempo e em frequencia. Contudo, na maioria das vezes nao e possvel aten-der a estes dois requisitos simultaneamente. Quando se preserva a respostano tempo, normalmente perde-se na resposta em frequencia, e vice-versa.

As tecnicas usuais de transformacao sao: Euler para frente, Euler paratras e transformacao bilinear, que sao descritas brevemente a seguir.

6.2.1 Transformacao Euler para tras

Seja uma aproximacao para y(t) no tempo t = nT dada por

y(nT ) y(nT ) y(nT T )T

=y(n) y(n 1)

T,

e ilustrada na Figura 32.

y

n nn 1

y(n)

y(n 1) dydt yt

Figura 32: Aproximacao para a regra de Euler para tras.

Aplicando a transformada Z nesta equacao aproximada pode-se escreverque

Z[y(nT )] = 1 z1

TY (z).

A transformada de Laplace no caso contnuo e

L[y(t)] = sY (s).Comparando estes dois resultados, como ilustrado na Figura 33, e possvel

estabelecer a seguinte relacao

s =1 z1

T s = z 1

Tz,



y(n)

y(t)s

y(t) = dydt

1z1T

y(n)y(n1)T

Figura 33: Paralelo entre o caso contnuo e discreto com a aproximacao deEuler para tras.

que caracteriza a transformacao de Euler para tras para a discretizacao defuncoes de transferencia contnuas.

As relacoes s = 1z1

Te z = 1

1sT correspondem a um mapeamento entreos planos s e z.

Seja s = jw um ponto sobre o eixo imaginario. Logo,

z =1

1 jwT =1

1 + w2T 2 x

+jwT

1 + w2T 2 y

= x+ jy,

o que permite verificar que x2 + y2 = x, ou ainda, (x 12)2 + y2 = 1

4, que

corresponde a uma equacao de um crculo com raio 12. Isso significa que

pecorrer o eixo imaginario no plano s corresponde a percorrer um crculo decentro (1

2, 0) e raio 1

2no plano z.

Verifica-se ainda que a transformacao s = 1z1

Tleva pontos do semi-

plano esquerdo no plano s para o interior deste crculo de raio 12, ou seja, um

sistema contnuo estavel (polos no semi-plano esquerdo) tera seu correspon-dente discreto tambem estavel, pois este crculo esta contido no crculo deraio unitario. O mapeamento da regra de Euler para tras esta ilustrado naFigura 34.

Contudo, com o uso de regra de Euler para tras, a resposta em frequenciano caso discreto, que corresponde aos pontos sobre o crculo unitario, naoconduzem a uma representacao compatvel no plano s, o que motiva o em-prego de outras transformacoes.

6.2.2 Transformacao Euler para a frente

Seja agora a aproximacao para y(t) no tempo t = (n 1)T dada por

y(n 1) y(n) y(n 1)T

.



1 12

ImIm

ReRe

plano s plano z

semi-planoesquerdo

Figura 34: Mapeamento da regra de Euler para tras.

Aplicando a transformada Z tem-se para esta aproximacao

z1Z[y(n)] = 1 z1

TZ[y(n)] Z[y(n)] = 1 z

1

Tz1Z[y(n)].

E possvel estabelecer o seguinte paralelo entre z e s como mostrado naFigura 35.

y(n)

y(t)

1z1Tz1

sy(t)

y(n)

Figura 35: Paralelo entre z e s na transformacao de Euler para a frente.

Portanto, escreve-se para a transformacao de Euler para a frente que

s =1 z1Tz1

=z 1T

.

A regra de Euler para a frente tem a desvantagem de nem sempre preser-var a estabilidade, o que demanda cuidado no seu uso.



6.2.3 Transformacao bilinear - Tustin

Seja um sistema de primeira ordem dado por

a1y(t) + a0y(t) = b0x(t),

cuja funcao de tranferencia e

G(s) =b0

a1s+ a0.


y(t) = tt0y(t)dt+ y(t0).

Seja um intervalo de tempo tal que t = nT e t0 = (n 1)T . Logo,

y(nT ) = nT(n1)T

y(t)dt+ y((n 1)T ).

Esta integral pode ser aproximada pela regra dos trapesios, ou seja,

nT(n1)T

y(t)dt T2[y(nT ) + y((n 1)T )] ,

como ilustrado na Figura 36.

area do trapezio

y(nT )

y((n 1)T )

(n 1)T nT

Figura 36: Area do trapezio.

Portanto, uma aproximacao valida e

y(nT ) = y((n 1)T ) + T2[y(nT ) + y((n 1)T )] .



Da equacao diferencial escreve-se que

y(t) =a0a1

y(t) +b0a1x(t),

que pode ser usada para substituir os termos y(nT ) e y((n 1)T ), ou seja,

y(nT ) = y((n1)T )+T2

[a0a1

y(nT ) +b0a1x(nT ) a0

a1y((n 1)T ) + b0

a0x((n 1)T )

],

cuja transformada Z e

Y (z) = z1Y (z) +T

2

[a0a1

Y (z) +b0a1X(z) a0

a1z1Y (z) +

b0a1z1X(z)

],

Y (z)(1 z1 + T

2

a0a1

+T

2

a0a1z1

)=

T

2

(b0a1

+b0a1z1

)X(z),

e portanto pode-se escrever que

H(z) =Y (z)

X(z)=

b0

a12T

(1z11+z1

)+ a0

.

Comparando H(z) com G(s) conclui-se que

s =2

T

(1 z11 + z1

)=

2

T

(z 1z + 1

),

ou ainda,

z =1 + sT

2

1 sT2

,

que caracteriza a transformacao bilinear ou transformacao de Tustin.O mapeamento s z obtido com a transformacao bilinear e mostrado na

Figura 37. Verifica-se que a transformacao de Tustin mapeia o semi-planoesquerdo em s para o interior do crculo unitario no plano z.

Uma verificacao pode ser feita fazendo s = jw (eixo imaginario) e obtendoa equacao correspondente em z, ou seja,

z =1 + jw T

2

1 jw T2

=

(1 + jw T

2

1 jw T2

)(1 + jw T

2

1 + jw T2

)=

1 + jwT w2 T 24

1 + w2 T2

4

,

cujo modulo e

|z| = 11 + w2 T

2

4

(1 w2T 2

4

)2+ w2T 2

1

2

= 1.



e a fase de z e dada por

tanz =wT

1 w2 T 24

= 2wT2

1(wT2

)2 .Portanto, quando w cresce, a fase varia e o modulo permanece constante

e unitario, o que significa caminhar sobre o crculo unitario.

1

ImIm

ReRe

plano s plano z

semi-planoesquerdo

Figura 37: Mapeamento dado pela transformacao bilinear.

Exemplo: Verificar a estabilidade da planta discretizada usando as trans-formacoes de Euler para tras, Euler para a frente e bilinear para a discre-tizacao da planta

H(s) =1

s+ 1.

A planta contnua e estavel, pois seu polo e 1. Discretizacao pela regra de Euler para frente.

H(z) = H(s)|s= z1T

=1

( z1T) + 1

=T

z 1 + T ,

cujo polo e dado por z 1+T = 0, ou seja, z = 1T . Se T > 2 entaoo polo esta fora do crculo unitario, e o sistema discreto sera instavel.

Discretizacao pela regra de Euler para tras.

H(z) = H(s)| z1Tz

=1

( z1Tz

) + 1=

Tz

z 1 + Tz ,

cujo polo e dado por z 1 + Tz = 0, ou seja, z = 11+T

, o que permiteconcluir que para T > 0 a planta discretizada sera sempre estavel.



Discretizacao pela regra de Tustin.

H(z) = H(s)| 2T (

z1z+1)

=1

2T

(z1z+1

)+ 1

=T (z + 1)

2(z 1) + T (z + 1) ,

cujo polo e dado por

2(z 1) + T (z + 1) = 0 z = 2 T2 + T

.

Para T > 0 nota-se que o sistema discretizado sera sempre estavel.

6.2.4 Transformacao pelo metodo do impulso invariante

A ideia da discretizacao pelo metodo do impulso invariante e que o sistemadiscretizado deve apresentar a mesma resposta ao impulso que o sistemacontnuo.

Seja um sistema contnuo como representado na Figura 38.

(t)sistemaG(s)

h(t)

Figura 38: Sistema contnuo - entrada impulsiva.

Seja agora um sistema discreto como representado na Figura 39.

(n)sistemaG(z)

h(n)

Figura 39: Sistema discreto - entrada impulsiva.

Para que a resposta ao impulso seja preservada, h(n) deve ser a versaoamostrada de h(t). Portanto,

G(z) = Z[h(n)] = Z [h(t)|t=nT ] = Z[(L1[G(s)]

)t=nT

].



Exemplo: Encontrar a planta discretizada G(z) pelo metodo do impulsoinvariante para um intervalo de amostragem T , correspondente a` planta

G(s) =A

s+ .

A resposta ao impulso do sistema contnuo e dada por

h(t) = L1[G(s)] = Aetu(t).A versao amostrada de h(t) e

h(nT ) = AenTu(nT ) = A(eT )nu(n) = h(n).

Logo,

G(z) = Z[h(n)] = Z[A(eT )nu(n)

]=

Az

z eT .

Exemplo: Verificar as respostas impulsivas do sistema contnuo e do sis-tema discreto usando a transformacao do impulso invariante para

G(s) =10

s+ 5,

com intervalo de amostragem de 0.1s.Usando a solucao do exemplo anterior, verifica-se que A = 10 e = 5, e

a funcao de tranferencia discreta sera

G(z) =Az

z eT =10z

z e5T .Como T = 0.1 tem-se que

G(z) =10z

z e0.5 =10z

z 0.6065 .As respostas impulsivas podem ser calculadas com auxlio do aplicativo

Matlab e sao mostradas na Figura 40.Um codigo Matlab que discretiza G(s) e calcula as respostas impulsivas

e

clear all; close all; clc;

s=tf(s);

gs=10/(s+1);

ts=0.1;

gz=c2d(gs,ts,imp)

impulse(gs)

hold on

impulse(gz)



0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Impulse Response

Time (sec)

Ampl

itude

Figura 40: Resposta ao impulso dos sistemas contnuo e discreto.



Note que a resposta impulsiva foi preservada. Contudo, a resposta aodegrau dos sistemas contnuo e discreto e muito diferente como mostrado naFigura 41.

0 1 2 3 4 5 60

20

40

60

80

100

120Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Figura 41: Resposta ao degrau dos sistemas contnuo e discreto.

7 Analise de erro estacionario

O teorema do valor final estabelece que

limn e(n) = limz1

(z 1)E(z).

Seja uma situacao de realimentacao unitaria conforme esquematizada naFigura 42.

A transformada Z do erro pode ser escrita comoE(z) = R(z) Y (z) = R(z)G(z)E(z),

E(z) =1

1 +G(z)R(z).



Y (z)G(z)

E(z)R(z)

Figura 42: Esquema de realimentacao unitaria.

O erro estacionario para as entradas mais usuais pode ser determinadousando o teorema do valor final como a seguir.

Para uma entrada na forma de degrau unitario, tem-se que

E(z) =

(1

1 +G(z)

)(z

z 1).

Logo,e() = lim

z1[(z 1)E(z)] =

= limz1

[(z 1)

(1

1 +G(z)

)(z

z 1)]

=1

1 +G(1)

Se G(1) e finito, o sistema de malha fechada vai apresentar um erroestacionario constante para a entrada degrau unitario. Este sistemae do tipo zero (0) e define-se a constante de erro de posicao comokpos = G(1) de forma que o erro estacionario e dado por

e() = 11 + kpos

.

Para uma entrada na forma de rampa unitaria r(n) = nT tem-se que

E(z) =

(1

1 +G(z)

)[zT

(z 1)2].

Logo,e() = lim

z1(z 1)E(z) =

= limz1

{(z 1)

(1

1 +G(z)

)[zT

(z 1)2]}

=

= limz1

{(1

1 +G(z)

)[zT

(z 1)

]}.



Seja o caso em que G(z) nao tem polos em z = 1, ou seja,

G(z) =f(z)

(z p1)(z p2) . . . ,

com p1 6= 1, p2 6= 1, . . . . Neste caso, escreve-se que

e() = limz1

11 + f(z)

(zp1)(zp2)...

( zT

z 1) =

= limz1

{[(z p1)(z p2) . . .

(z p1)(z p2) . . .+ f(z)

] (zT

z 1)}

=,

pois, p1 6= 1, p2 6= 1, . . . . Note que o erro estacionario e infinito.Seja agora o caso em que G(z) tem um polo em z = 1, por exemplo,p1 = 1. Logo,

e() = limz1

{[(z p2) . . .

(z p1)(z p2) . . .+ f(z)

]zT

}=

=T (z p2) . . .

f(z)

z=1

=T

(z 1)G(z)

z=1

,

que caracteriza um erro estacionario finito.

Este sistema e do tipo 1 e se define a constante de erro de velocidadecomo

kvel =(z 1T

)G(z)

z=1

,

de forma que

e() = 1kvel

.

Caso geral. Para um sistema discreto com realimentacao unitaria, otipo do sistema e igual ao numero de polos em z = 1.

Para uma entrada de ordem elevada k dada por

r(n) =(nT )k

k!,

escreve-se a constante de erro respectiva como

kk =(z 1)k

T kG(z)

z=1

,

e k e o tipo do sistema.



Nota: se G(s) e discretizada usando um ZOH entao G(s) e G(z) pos-suem a mesma constante de erro. Logo, a constante de erro pode ser obtidadiretamente no plano s.

Exemplo: Seja G(s) = 10(s+2)(s+5)

. Usando a conversao ZOH com T = 0.1s

compare as respostas ao degrau unitario de G(s) e G(z).

Resposta para G(s).

Y (s) =

[10

(s+ 2)(s+ 5)

] (1

s

)=

A

s+

B

(s+ 2)+

C

(s+ 5).

A =10

(s+ 2)(s+ 5)

s=0

= 1,

B =

[10

(s+ 5)

] (1

s

)s=2

=10

(2 + 5)(2) =53,

C =10

(s+ 2)s

s=5

=10

(5 + 2)(5) =2

3.

Logo,

Y (s) =1

s 5

3

1

(s+ 2)+

2

3

1

(s+ 5),

e entao,

y(t) = L1[Y (s)] =(1 5

3e2t +

2

3e5t

)u(t).

Resposta discretizada para T = 0.1.

y(nT ) =(1 5

3e0.2n +

2

3e0.5n

)u(nT ) = y(n).

Calculo de GZOH(z).

GZOH(z) = (1 z1)Z[G(s)

s

]= (1 z1)Z

[10

(s+ 2)(s+ 5)s

],

L1[

10

(s+ 2)(s+ 5)s

]=(1 5

3e2t +

2

3e5t

)u(t),

Z[(1 5

3e0.2n +

2

3e0.5n

)u(nT )

]=

z

z 15

3

(z

z e0.2)+2

3

(z

z e0.5),



GZOH(z) = (1 z1)[

z

z 1 5

3

(z

z e0.2)+

2

3

(z

z e0,5)]

=

=z 1z

[z

z 1 5

3

(z

z 0.8187)+

2

3

(z

z 0.6065)]

,

GZOH(z) = 1 53

(z 1)(z 0.8187) +

2

3

(z 1)(z 0.6065) =

=(z 0.8187)(z 0.6065) 5

3(z 1)(z 0.6065) + 2

3(z 1)(z 0.8187)

(z 0.8187)(z 0.6065) ,

GZOH(z) =0.0398z + 0.0315

z2 1.4253z + 0.4966 .

A resposta ao degrau sera dada por

y(n) = Z1[(

0.0398z + 0.0315

z2 1.4253z + 0.4966)(

z

z 1)]

.

8 Resposta em frequencia

8.1 Problemas com a discretizacao ZOH

Seja o seguinte exemplo.

Exemplo: Comparar a resposta em frequencia da planta contnua

G(s) =10

s+ 1,

com sua versao discretizada usando um ZOH para diferentes tempos de amos-tragem.

A resposta em frequencia pode ser calculada com o aplicativo Matlab e emostrada na Figura 43.

E possvel notar que:

A diminuicao do intervalo de amostragem T , ou o aumento da frequenciade amostragem, leva a` uma aproximacao do caso contnuo.

A frequencia de banda de passagem do sistema contnuo, ou seja, afrequencia em que a resposta cai em 3dB (ver Figura 44) e 1rad/s.De acordo com o teorema da amostragem, deve-se adotar pelo menoso dobro disso, ou seja, 2rad/s. Isso corresponde a um intervalo deamostragem maximo dado por Tmax = 2/2 = 3.14s.



5

0

5

10

15

20

Mag

nitu

de (d

B)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10630

540

450

360

270

180

90

0

Phas

e (de

g)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

contnuoT = 1T = 0.5T = 0.1

Figura 43: Respostas em frequencia para diferentes intervalos de amostra-gem.

wb

3dB w

amplitude

Figura 44: Largura de banda do filtro analogico, wb.



Nota-se no diagrama de Bode, que mesmo para um intervalo de amos-tragem T = 1s, as respostas em frequencia sao muito diferentes.

Uma boa aproximacao somente foi conseguida para T = 0.1s, cerca de30 vezes menor que Tmax.

Neste caso, verifica-se que a resposta em frequencia e significativamentemodificada com a discretizacao do tipo ZOH, que deve ser usada com muitocriterio na discretizacao de filtros.

8.2 Warping

A transformacao bilinear causa uma distorcao no eixo da frequencia conhe-cida como warping.

A relacao entre o tempo e o respectivo ponto da sequencia gerada atravesda amostragem e dada por

t = nT =n

Fs,

onde T e o intervalo de amostragem e Fs = 1/T e a frequencia de amostragem.Existe uma relacao entre a frequencia de um sinal contnuo (F ou ) e a

frequencia do sinal discreto amostrado (f ou w). Considere o sinal analogicodado por

xa(t) = A cos(2Ft+ ),

e sua versao amostrada dada por

xa(nt) = x(n) = A cos(2FnT + ) = A cos(2Fn

Fs+

)= A cos(2fn+ ),

com f = FFs, ou ainda, = 2F e w = 2f . Logo,

w = 2F

Fs= 2

2Fs=

Fs= T.

Sejam a frequencia no plano s e w a frequencia no plano z. Usando arelacao da transformacao bilinear e as relacoes s = j, z = esT e w = T ,tem-se

j =2

T

(ejw 1ejw + 1

)=

2

T

2jsen

(w2

)2 cos

(w2

) = j 2

Ttan

(w

2

),



que permite escrever que

=2

Ttan

(w

2

),

ou tambem

w = 2 tan1(T

2

).

No sentido de trabalhar com frequencias equivalentes no tempo contnuo,e possvel reescrever as equacoes de warping como:

s =2

Ttan

(zT

2

),

z =2

Ttan1

(sT

2

).

As equacoes anteriores caracterizam as formulas de warping e represen-tam como a transformacao bilinear distorce o eixo de frequencias no processode discretizacao.

Seja o sistema contnuo de primeira ordem dado por

H(s) =1

sa+ 1

,

que possui a largura de banda as.Para que a largura de banda az do filtro digital seja igual a` largura de

banda as do filtro analogico escreve-se que

as =2

Ttan

(azT

2

).

Nota-se que diminuindo o intervalo de amostragem T , entao tan(azT2

)

azT2, e consequentemente az as.

Exemplo: Verificar a distorcao causada pela transformacao bilinear nadiscretizacao da planta

H(s) =2

s+ 2,

para os intervalos de amostragem de 1s e 0.5s.A comparacao pode ser feita em termos da frequencia da largura de banda.

O filtro contnuo possui largura de banda de 2rad/s.

Para T = 1s, a lagura de banda do filtro discreto e

az =2

1tan1

(2 12

)= 1.5707



Para T = 0.5s, a lagura de banda do filtro discreto e

az =2

0.5tan1

(2 0.5

2

)= 1.8546

Verifica-se a aproximacao dos sistemas contnuo e discretos com a dimi-nuicao do intervalo de amostragem T . A Figura 45 apresenta as curvas deamplitudes.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 535

30

25

20

15

10

5

0

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

contnuoT = 1T = 0.5

Figura 45: Respostas em frequencia para diferentes intervalos de amostragemna discretizacao de Tustin.

8.3 Pre-warping

E possvel compensar o efeito da distorcao causada pelo warping no filtroanalogico antes da discretizacao deste.

Seja novamente o caso de um filtro de primeira ordem dado por

H(s) =1

sa+ 1

.



para o qual se sabe que a largura de banda e a.Este filtro analogico pode ser corrigido, escrevendo-se que

Hpw(s) =1

sa+ 1

,

onde

a =2

Ttan

(aT

2

),

e conhecida como a relacao de pre-warping.O filtro Hpw(s), ao ser discretizado pela transformacao bilinear, resultara

em um filtro digital com a mesma largura de banda que o filtro analogicooriginal H(s).

Seja agora o filtro

H(s) =k

s+ a Hpw(s) = k

s+ a,

que ao se aplicar a transformacao bilinear apresentara uma alteracao doganho estatico. Para evitar isto, divide-se inicialmente por a, colocando-se afuncao de transferencia em uma forma preparada, ou seja,

H(s) =ka

sa+ 1

H(s) = ksa+ 1

,

e entao aplica-se a correcao de pre-warping,

Hpw(s) =k

sa+ 1

.

O proximo exemplo ilustra a correcao com pre-warping.

Exemplo: Usar a transformacao bilinear com pre-warping para discretizarH(s) com T = 0.5s,

H(s) =10

s+ 2.

A forma preparada e

H(s) =5

s2+ 1

.

Para T = 0.5s, tem-se,

a =2

0.5tan

(2 0.5

2

)= 2.1852



e entao,

Hpw(s) =5

s2.1852

+ 1.

Aplicando a transformacao bilinear em Hpw(s) tem-se

Hz(z) =5

s2.1852

+ 1

s= 2

Tz1z+1

= 1.7665z + 1

z 0.2934 .

A Figura 46 apresenta uma comparacao da resposta em frequencia paraeste exemplo usando alguns valores de intervalo de amostragem.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1060

50

40

30

20

10

0

10

20

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

contnuo

T = 1T = 0.5

Figura 46: Respostas em frequencia para diferentes intervalos de amostragemna discretizacao de Tustin com pre-warping.

Note que as curvas sao proximas ate a frequencia de 2rad/s, que cor-responde a` largura de banda dos sistemas. Contudo, para outras faixas defrequencia as respostas sao muito diferentes.



Caso H(s) nao tivesse sido colocada na forma preparada, ter-se-ia que

Hpw(s) =10

s+ 2.1852=

102.1852s

2.1852+ 1

,

que e diferente do resultado obtido com a forma preparada em termos doganho estatico, motivo pelo qual e importante trabalhar na forma preparada.

O procedimento de pre-warping nao e imediato quando se trata de filtrosde maior ordem, surgindo duvidas, por exemplo, de qual polo considerarpara fazer a correcao de pre-warping. Uma alternativa e realizar o projetodiretamente no plano z.

8.4 Frequencia crtica de pre-warping

Este procedimento e empregado quando um controlador analogico deve sersubstitudo por um equivalente e deve preservar a resposta em frequenciapara um certo valor especfico de frequencia.

Seja a transformacao bilinear, ou de Tustin, escrita como

s = kz 1z + 1

,

com k = 2Tna sua forma padrao.

A questao que se coloca e se e possvel encontrar um outro valor dek tal que a resposta em frequencia seja exata para uma certa frequenciaespecificada c.

A formula de pre-warping, considerando que se deseja as mesmas respos-tas analogica e discreta para c, pode ser escrita como

c = k tan(cT

2

),

e consequentemnete e possvel obter o seguinte valor para k:

k =c

tan(cT2

) .Neste caso, os valores das respostas em frequencia de H(s) e H(z) serao

identicos para a frequencia c.Note que quando T diminui, aproxima-se da transformacao de Tustin na

sua forma padrao.



Exemplo: Seja um filtro notch dado por

H(s) =s2 + 0.2s+ 100

s2 + 10s+ 100.

Determinar o filtro digital que preserve o notch para T = 0.1s.O notch ocorre para a frequencia de 10rad/s que sera a considerada a

frequencia crtica. Logo,

k =10

tan(100.1

2

) = 18.305,e consequentemente determina-se do filtro discretizado como

H(z) = H(s)|s=18.305 z1z+1

=0.7098z2 0.7606z + 0.6979

z2 0.7606z + 0.4077 .

A figura 47 mostra as respostas em frequencia correspodentes ao sistemacontnuo, ao sistema discretizado pela transformacao de Tustin e ao sistemadiscretizado com pre-warping.

Verifica-se que o emprego do pre-warping preservou as caractersticas donotch.

9 Projeto no plano z

A conversao de um controlador contnuo para um controlador digital e feitausualmente atraves da regra de Tustin com ou sem pre-warping. Estastecnicas sao boas para altas frequencias de amostragem. Para baixas frequenciasde amostragem, este tipo de tecnica normalmente apresenta alguns inconve-nientes, pois a resposta do controlador digital e muito diferente da respostado controlador contnuo. Alternativamente, o projeto de forma direta noplano z permite incorporar o efeito da taxa de amostragem diretamente noprojeto.

9.1 Controle PID - Metodo Ziegler-Nichols

E sabido que:

o efeito integral aumenta o tipo do sistema, o que reduz o erro esta-cionario;



6 7 8 9 10 11 12 13 1435

30

25

20

15

10

5

0

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

contnuopre-warpingsem pre-warping

Figura 47: Respostas em frequencia com e sem pre-warping.



o efeito derivativo aumenta o amortecimento, e consequentemente aestabilidade do sistema.

O controlador PID digital mais comum e dado por

K(z) = kp + kdz 1zT

+ kizT

z 1 ,

onde foi usada a integracao de Euler para tras.O metodo de Ziegler-Nichols pode ser usado como ferramenta de projeto,

e os seus principais passos sao:

Fazer kd = ki = 0 e determinar o ganho proporcional km tal que o sis-tema comece a oscilar (polos de malha fechada sobre o crculo unitario).

Calcularkp = 0.6km, kd =

kp

4wm, ki =

kp wm

,

onde wm e a frequencia correspondente ao ponto do ganho km.

A determinacao de wm pode ser feita atraves de:

= 0, e entao z = ejwmT . Logo, o angulo do polo z e = wmT , e entaotem-se wm =

T;

ou determinando a resposta ao degrau da malha fechada com kp = kme medindo a frequencia wm diretamente da resposta oscilatoria.

Exemplo: Projetar um controlador PID pelo metodo de Ziegler-Nicholscom T = 0.25s para controlar a planta

P (s) =10

s(s+ 2).

A planta deve ser discretizada com um ZOH, ou seja,

P (z) =0.2663z + 0.2255

z2 1.607z + 0.6065 .

O lugar das razes de P (z) e mostrado na Figura 48, e determina-se, deforma aproximada, o ponto da estabilidade marginal sobre o crculo unitariode forma que o ganho correspondente e o polo sao

km = 1.8503, z1 = 0.5569 + 0.8448j.



3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 12

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

km

Figura 48: Grafico do lugar da razes, projeto PID por Ziegler-Nichols.



O angulo correspondente ao polo z1 e 0.9880, que permite determinar wmcomo

wm =0.9880

0.25= 3.9520.

Portanto, as constantes do controlador PID K(z) sao

kp = 1.1102, kd = 0.2206, ki = 1.3965.

A malha aberta e

G(z) = K(z)P (z) =0.1559z3 0.05941z2 0.1033z + 0.049750.25z4 0.6516z3 + 0.5533z2 0.1516z ,

e a malha fechada e

T (z) =0.1559z3 0.05941z2 0.1033z + 0.04975

0.25z4 0.4957z3 + 0.4939z2 0.255z + 0.04975 .

A resposta ao degrau da malha fechada e mostrada na Figura 49.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Figura 49: Resposta ao degrau da malha fechada, projeto PID por Ziegler-Nichols.

Um codigo em Matlab para este projeto e




s=tf(s);

ps=10/(s*(s+2));

ts=0.25;

pz=c2d(ps,ts)

axis(square)

rlocus(pz,k)

[km,polo]=rlocfind(pz)

wm=angle(polo(1))/ts

kp=0.6*km;

kd=kp*pi/(4*wm);

ki=kp*wm/pi;

z=tf(z,ts)

kz=kp+kd*(z-1)/(z*ts)+ki*z*ts/(z-1);

gz=kz*pz

tz=feedback(gz,1)

figure

step(tz,k)

damp(tz)

9.2 PID - projeto analtico com base no lugar das razes

Uma forma de um controlador PID discreto e

K(z) = kp + kdz 1zT

+ kizT

z 1 .

O esquema de controle e mostrado na Figura 50.

R YK(z) P (z)

Figura 50: Esquema de malha fechada com realimentacao unitaria.

A funcao de transferencia de malha fechada e

Y

R=

K(z)P (z)

1 +K(z)P (z).

A equacao do lugar das razes e dada por

1 +K(z)P (z) = 0,



e entao tem-se que

(kp + kd

z 1zT

+ kizT

z 1)P (z) = 1.

Seja ki conhecido ou obtido pelo requisito de erro estacionario, e seja z1um polo especificado de acordo com os requisitos de desempenho no tempo.Considerando ki e z1 conhecidos e possvel escrever que

kp + kdz1 1z1T

= 1P (z1)

ki z1Tz1 1 , (2)

que representa uma equacao complexa.Seja

+ j =z1 1z1T

,

e a e b as partes real e imaginaria do membro direito de (2).Logo,

kp + kd(+ j) = a+ jb,

e consequentemente,

kp + kd = a kp = a kd,

kd = b kd = b,

permitindo a obtencao das constantes do controlador PID.Exemplo: Projetar um controlador PID que satisfaca o seguintes requi-

sitos para a malha fechada: fator de amortecimento = 0.707 e frequencianatural wn = 1.414rad/s. A planta e P (s) =

10s(s+2)

e deve acompanharuma rampa unitaria com erro estacionario nulo. Considerar o intervalo deamostragem T = 0.25s.

O polo desejado no plano s e

s1 = wn + jwn1 2 = 1 + j.

A localizacao deste polo no plano z e

z1 = es1T = e(1+j)0.25 = e0.25e0.25j = 0.7788e0.25j .

Verifica-se, com o auxlio da Figura 51, que

ej = cos + jsen,



Im

Re

Figura 51: Representacao de ej.

e0.25j = cos(0.25) + jsen(0.25) = 0.9689 + j0.2474.

Portanto, o polo desejado no plano z, e

z1 = 0.7788(0.9689 + j0.2474) = 0.7546 + j0.1927.

Utiliza-se na discretizacao da planta um ZOH, o que permite analisar aconstante de erro diretamente no plano s. Como o sistema e do tipo 1, e oPID aumentara o tipo da malha aberta para 2, entao o erro estacionario a`rampa sera nulo. Isso fornece flexibilidade na escolha de ki.

A planta discretizada com o ZOH e

P (z) =0.2663z + 0.2255

z2 1.607z + 0.6065 .

E possvel determinar que

P (z1) = 5.6177 + 0.7359j, = 0.9764, = 1.2707,

e consequentemente

kp = 0.9531, kd = 0.4074.

A malha aberta e

G(z) = K(z)P (z) =0.1886z3 0.1208z2 0.129z + 0.091880.25z4 0.6516z3 + 0.5533z2 0.1516z ,

e a malha fechada e

T (z) =0.1886z3 0.1208z2 0.129z + 0.09188

0.25z4 0.463z3 + 0.4325z2 0.2806z + 0.09188 .



2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.51.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura 52: Lugar da razes de G(z), projeto PID analtico.

Tabela 2: Caractersticas dos polos de malha de fechada.polo amplitude amortecimento frequencia (rad/s)

7.55E-01 + 1.93e-01j 7.79E-01 7.07E-01 1.41E+007.55E-01 - 1.93e-01j 7.79E-01 7.07E-01 1.41E+001.71E-01 + 7.59e-01j 7.78E-01 1.83E-01 5.49E+001.71E-01 - 7.59e-01j 7.78E-01 1.83E-01 5.49E+00



0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Figura 53: Resposta ao degrau de T (z), projeto PID analtico.



As figuras 52 e 53 apresentam o diagrama do lugar das razes de G(z e aresposta ao degrau de T (z).

Os polos da malha fechada e suas caractersticas em termos de amorteci-mento e frequencia natural sao dados na Tabela 2.

A seguir tem-se um codigo MATLAB que calcula todas as etapas doprojeto.


ki=1;

s=tf(s);

ps=10/(s*(s+2));

ts=0.25;

pz=c2d(ps,ts)

s1=-1+j;

z1=exp(s1*ts)

pz1=freqresp(pz,z1)

a=-real(1/pz1+ki*z1*ts/(z1-1))

b=-imag(1/pz1+ki*z1*ts/(z1-1))

alfa=real((z1-1)/(z1*ts))

beta=imag((z1-1)/(z1*ts))

kd=b/beta

kp=a-alfa*kd

z=tf(z,ts)

kz=kp+kd*(z-1)/(z*ts)+ki*z*ts/(z-1)

gz=kz*pz;

rlocus(gz,k)

tz=feedback(gz,1);

figure

step(tz,k)

damp(tz)

Algumas consideracoes sobre o projeto PID analtico sao:

So e garantida a posicao de um dos polos do sistema z1. Nao ha controleda posicao dos outros polos.

A escolha de ki depende do requisito de erro estacionario. Dependendodo problema, esta escolha pode ser arbitraria e afetar a estabilidade damalha fechada.

No caso do exemplo anterior, note que as especificacoes em termos deamortecimento e frequencia natural foram atingidas. Contudo, existeum sobre-sinal alto devido a` falta de controle sobre os demais polos ezeros.



9.3 Compensacao avanco-atraso - projeto analtico

Seja um controlador com um polo e um zero do tipo

K(z) = kcz + a

z + b.


K(z) = kc

(a+1)(z+a)(a+1)

(b+1)(z+b)(b+1)

= kc(a+ 1)

(b+ 1)

( z1+a+1a+1

z1+b+1b+1

),

K(z) = kc(a+ 1)

(b+ 1)

( z1a+1

+ 1z1b+1

+ 1

).

Definindo z = z 1, v = a+ 1, w = b+ 1, k = kc vw tem-se

K(z) = k

(zv+ 1

zw+ 1

).

Verifica-se que quando z = 1 entao z = 0, e a contribuicao do controladorpara o erro estacionario sera k.

Atraves dos requisitos de projeto, determina-se o polo s1 de interesse.Calcula-se, entao, o polo discreto correspondente atraves de z1 = e

s1T etambem z1 = z1 1.

Para que z1 esteja sobre o lugar das razes tem-se que

K(z1)P (z1) = 1 k(

z1v+ 1

z1w+ 1

)P (z1) = 1,

ou aindaz1v+ 1

z1w+ 1

=1

kP (z1).

E possvel isolar 1v, ou seja,

z1v+ 1 =

(z1w

+ 1)

1

kP (z1),

z1v=

(z1w

+ 1)

1

kP (z1) 1,

1

v=

(z1w

+ 1)

1

kP (z1)z1 1z1,



1

v= w

1

kP (z1) 1z1

(1 +

1

kP (z1)

). (3)

Tanto v como w devem ser reais, ou seja, as partes imaginarias de ambosdos lados de (3) devem ser nulas. Logo,

Im(v1) = 0 Im[ w

1

kP (z1)

] Im

[1

z1

(1 +

1

kP (z1)

)]= 0,

ou ainda,

w1Im

[ 1kP (z1)

]= Im

[1

z1

(1 +

1

kP (z1)

)],

w1 =Im

[1z1+ 1

z1kP (z1)

]Im

[1

kP (z1)

] .Com w1 determinado, retorna-se a (3) e calcula-se v1,

v1 = w1

kP (z1) 1z1kP (z1)

1z1.

Com w1, v1 e k o controlador esta determinado.Exemplo: Projetar um controlador avanco-atraso para controlar a planta

P (s) = 400s(s2+30s+200)

e obter um erro estacionario a` rampa unitaria de 0.2, um

fator de amortecimento = 0.5 e uma frequencia natural wn = 14rad/s. Ointervalo de amostragem e T = 0.05s.

R(s) Y (s)K(s) P (s)

E(s)

Figura 54: Esquema da malha fechada.

Para realimentacao unitaria, Figura 54, o erro pode ser escrito em funcaoda entrada R(s) e da sada Y (s) como

E(s) = R(s)Y (s) = R(s)K(s)P (s)E(s) (1+K(s)P (s))E(s) = R(s),

ou finalmente,

E(s) =R(s)

1 +K(s)P (s).



Do teorema do valor final tem-se que

limt e(t) = lims0

sE(s) = 0.2.

Logo, considerando que o controlador contribui para o erro estacionarioapenas atraves de k tem-se que

lims0

s

[R(s)

1 +K(s)G(s)

]= lim

s0s

1s21 + k 400

s(s2+30s+200)

=

= lims0

1

s

1s(s2+30s+200)+k400

s(s2+30s+200)

= lim

s01

s

[s(s2 + 30s+ 200)

s(s2 + 30s+ 200) + k400

]=

200

k400= 0.2,

e consequentemente,

k =200

400 0.2 = 2.5Nota: no calculo anterior considerou-se que o erro estacionario sera com-

pensado exclusivamente pelo ganho proporcional do controlador do tipo

K(s) = ks+ 1

s 1 ,

ou equivalente discretizado com ZOH.O polo desejado no plano s e

s1 = wn + jwn1 2 = 7.0000 + 12.1244j,

e no plano z ez1 = e

s1T = 0.5791 + 0.4015j.

Consequentemente tem-se que

P (z1) = 0.0329 + 0.1482j, w = 0.9561, v = 0.2390.

O controlador e

K(z) =10z 7.609z 0.04389 .

As caractersticas dos polos sao mostradas na Tabela 3.O grafico do lugar das razes e mostrado na Figura 55, e as respostas ao

degrau e a` rampa nas Figuras 56 e 57.Observa-se que se trata de uma resposta tpica de sistema de segunda

ordem, pois o par complexo de polos nao e dominante.Um codigo Matlab para este projeto e apresentado a seguir.



Tabela 3: Caractersticas dos polos de malha de fechada.polo amplitude amortecimento frequencia (rad/s)

8.29E-01 8.29E-01 1.00E+00 3.75E+005.79E-01 + 4.02E-01j 7.05E-01 5.00E-01 1.40E+015.79E-01 - 4.02E-01j 7.05E-01 5.00E-01 1.40E+01

-2.71E-02 2.71E-02 7.54E-01 9.57E+01

7 6 5 4 3 2 1 0 14

3

2

1

0

1

2

3

4Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Figura 55: Grafico do lugar das razes de G(z), projeto avanco-atraso.



0 0.5 1 1.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Figura 56: Resposta ao degrau da malha fechada, projeto avanco-atraso.



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5Linear Simulation Results

Time (sec)

Ampl

itude

Figura 57: Resposta a` rampa da malha fechada, projeto avanco-atraso.




s=tf(s);

ps=400/(s*(s^2+30*s+200))

ts=0.05;

qsi=0.5;

controle de sistemas

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