13 - Controle Robusto/ H∞

13.1 Introdução Nos capítulos anteriores, compensadores são projetados para satisfazer a exigências específicas como erro em regime permanente, resposta transitória, margens de estabilidade, ou colocação de pólos em malha fechada. Reunir todos os objetivos é normalmente difícil por causa de várias concessões (tradeoffs) que têm de ser feitas, e as limitações das técnicas de projeto. Por exemplo, o projeto clássico de Bode nos permite satisfazer a margem de fase e exigências de erro em regime permanente, mas as características de resposta ao degrau podem não ser desejáveis. Projeto de Lugar das raízes coloca um par de pólos conjugados complexos para reunir especificações de resposta transiente, mas nós temos pouco controle sobre a localização dos outros zeros e pólos de malha fechada. Além disso, o projeto clássico é limitado a sistemas SISO.

Embora engenheiros tenham estado aplicando técnicas clássicas com sucesso, até mesmo para sistemas MIMO (multivariavel), o projeto requer muitas repetições de tentativa e erro mesmo nas mãos de um projetista experiente.

Técnicas baseadas em observadores em espaço de estados (veja Capítulo 8) permitem colocação arbitrária de pólos, e são aplicáveis a sistemas MIMO, mas exigências clássicas como margens de estabilidade não podem ser controladas diretamente. De fato, o projeto pode resultar em margens de estabilidade perigosamente baixas. Como mencionado na Seção 8.5, também há questões sobre a escolha de localizações de pólos. No caso de MIMO, o ganho K do controlador (semelhantemente o ganho do observador) é não único. Sua determinação requer resolver equações algébricas não lineares simultâneas com possivelmente um número infinito de soluções. Embora tenham sido desenvolvidas várias técnicas para tentar resolver este assunto (atribuição de auto-estrutura, controle projetivo, ou o comando place no MATLAB), elas podem não resultar em desempenho satisfatório.

A formulação LQ é uma técnica de projeto MIMO que resolve alguns dos problemas com controle baseado em observadores. O problema é transformado em um problema de otimização que resulta em ganho único para controlador/filtro. A tarefa de seleção de pólos é também convertida para a seleção de parâmetros de otimização (Q, R, etc.). As propriedades atrativas da metodologia LQR foram discutidas nos capítulos anteriores. É sabido, entretanto, que a maioria destas propriedades atrativas são perdidas quando um intimador é introduzido para estimar os estados indisponíveis (caso LQG). Nenhuma das técnicas discutidas até aqui se aplica a fins práticos tal como incerteza de modelo. Além disso, nenhuma das técnicas resultam no melhor desempenho possível em face de incerteza. Neste capítulo nós tratamos alguns destes assuntos. 13.1.1 Crítica ao LQG Ultimamente pioneiros de controle, particularmente H. W. Bode e I. M. Horowitz estudaram e delinearam a maioria das propriedades da realimentação. Nos últimos sessenta anos, com o nascimento do controle moderno, otimalidade e projeto de sistemas de controle ótimos tornaram-se o paradigma dominante. A solução do problema LQG provavelmente foi o destaque desta era. O paradigma LQG, todavia, falhou ao reunir os objetivos principais dos projetistas de sistemas de controle, porém. Quer dizer, controle LQG falhou para trabalhos em ambientes reais. O problema principal com a solução LQG foi a falta de

1

robustez. Em uma série de artigos, pesquisadores mostraram que projetos baseados em LQG poderiam se tornar instáveis na prática quando mais realismo era adicionado ao modelo da planta. Também foram observados os mesmos tipos de falhas em experiências industriais com LQG. Ficou claro que muita ênfase em otimalidade, e não bastante atenção para a edição de incerteza do modelo foi o principal responsável. Durante os oitenta anos, muito da atenção foi desviada para propriedades de realimentação e técnicas no domínio da freqüência (que eram as características principais de controle clássico), e sua generalização para sistemas multivariaveis.

Neste capítulo nós discutiremos a Recuperação de Função de Transferência de Malha (LQG/LTR) e técnicas . Estes métodos mantêm a máquina LQG, mas modifica o procedimento de projeto para tratar algumas das negligências da metodologia LQG original. Antes destas técnicas de projeto serem introduzidas, uma breve introdução ao conceito de modelagem de incerteza e robustez é fornecida.

H∞

13.2 Especificações de Desempenho e Robustez A última meta de um projetista de sistema de controle o é construir um sistema que trabalhará no ambiente real. Porque o ambiente real pode mudar com tempo (componentes podem envelhecer ou seus parâmetros podem variar com temperatura ou outras condições ambientais), ou condições operacionais podem variar (mudanças de carga, perturbações), o sistema de controle deve ser capaz de resistir a estas variações. Mesmo se o ambiente não mudar, outro fato vital é o item incerteza do modelo. Qualquer representação matemática de um sistema envolve freqüentemente hipóteses simplificadoras. Não linearidades ou são desconhecidas e conseqüentemente não modeladas, ou modeladas e depois ignoradas para simplificar a análise. Diferentes componentes de sistemas (atuadores, sensores, amplificadores, motores, engrenagens, correias, etc.) são algumas vezes modelados através de ganhos constantes, embora eles possam ter dinâmica ou não linearidades. Estruturas dinâmicas (por exemplo, aeronaves, satélites, mísseis) têm dinâmica de alta freqüência complicada que é freqüentemente ignorada na fase de projeto. Porque sistemas de controle são tipicamente projetados usando modelos muito simplificados de sistemas, eles podem não funcionar na planta real em ambientes reais.

A propriedade particular que um sistema de controle tem que possuir para isto, para operar corretamente em situações realistas é chamada robustez. Matematicamente, isto significa que o controlador não deve funcionar satisfatoriamente só para uma planta, mas para uma família (ou conjunto) de plantas. Vamos ser mais específicos. Suponha que a seguinte planta é para ser estabilizada:

1( )G ss a

=−

É suspeitado que o valor do parâmetro é igual a 1, mas este valor poderia estar fora por 50%. Se nós projetarmos um controlador que estabilize o sistema para todos os valores de

, nós diríamos que o sistema tem estabilidade robusta. Se, além disso, o sistema é para satisfazer a especificações de desempenho tal como rastreamento de estado em regime, rejeição de perturbação, e exigências de velocidade de resposta, e o controlador satisfaz a todas as exigências para todos os valores de na faixa especificada, nós diríamos que o sistema possui desempenho robusto. O problema de se projetar controladores que

a

0.5 1.5a≤ ≤

a

2

satisfaçam a estabilidade robusta e exigências de desempenho é chamado de controle robusto. Foi investigada intensamente uma variedade de metodologias para este problema durante os anos oitenta e ainda está sob investigação por muitos pesquisadores.

O conceito subjacente dentro de teoria de controle que tem feito isto dentro de um campo de ciência é a realimentação. O estudo de realimentação e suas propriedades são responsáveis pelo rápido crescimento deste campo. Há duas propriedades importantes que um sistema com realimentação possui que um sistema em malha aberta não pode ter. Estas são sensibilidade e rejeição de perturbação. Por sensibilidade quer se dizer que a realimentação reduz a sensibilidade do sistema em malha fechada com respeito a incertezas ou variações em elementos localizados no caminho direto do sistema. Rejeição de perturbação se refere ao fato de que realimentação pode eliminar ou pode reduzir os efeitos de perturbações não desejadas que ocorrem dentro do loop de realimentação. Um sistema em malha aberta também pode eliminar certas perturbações (uma entrada é gerada que se subtrai da perturbação mensurável), mas requer completo conhecimento da perturbação, que nem sempre está disponível. Realimentação é também usada para estabilizar sistemas instáveis, mas realimentação é freqüentemente a causa de instabilidade. Os efeitos estabilizantes de realimentação são tão enfatizados na maioria dos textos que suas outras propriedades importantes são esquecidas, começando pelos (ou até mesmo experimentados) estudantes de controle. Realimentação também pode melhorar o desempenho de comando de sistemas. Embora isto possa ser realizado por um sistema em malha aberta, o efeito desejado é perdido se a planta for diferente do seu modelo. Um sistema com realimentação é muito mais tolerante a erros de modelo e seu desempenho se degradará menos em tais casos, entretanto.

( )r s

13.2.1 Desempenho Nominal de Sistemas de Realimentação Um sistema de controle com realimentação deve ser estável e tem que satisfazer a certas especificações de desempenho, chamado desempenho nominal; também tem que manter estas propriedades apesar de incertezas do modelo. Estas propriedades são chamadas de estabilidade robusta e desempenho robusto, respectivamente. Nós desejamos fixar especificações para um “bom” sistema de realimentação. Para este fim, considere o sistema de realimentação na Figura 13-1. O sistema tem as seguintes entradas:

( )r s = entrada de comando (ou referência). Isto é a entrada que o sistema deve ser capaz seguir ou localizar. _ Figure 13-1 Diagrama de Bloco de um sistema de controle de realimentação inclusive perturbação e medida de ruído da entrada.

K G

d

r y

n

3

d(s) = entrada de perturbação, que são entradas conhecidas ou desconhecidas que o sistema deve ser capaz de rejeitar. Perturbações podem representar perturbações físicas reais que agem no sistema como rajadas de vento que perturbam aeronaves, perturbações devido a atuadores como motores, ou incertezas que resultam de erros de modelo na planta ou atuador. Modelos de incertezas podem incluir não linearidades desprezadas na planta ou atuador, e modos desconhecidos ou desprezados no sistema. n(s) = ruído de medida ou do sensor que são introduzidos no sistema por sensores que são normalmente sinais aleatórios de alta freqüência. Um sistema de controle corretamente projetado deve localizar entradas de comando com pequeno erro e rejeitar entradas de perturbação e de ruído. A contribuição de perturbações gerais para a saída deve ser pequena. A saída total do sistema em malha fechada na Figura 13-1 é dada por

( ) ( ) 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )

g s k s g s k sy s r s d sg s k s g s k s g s k s

= + −+ + +

n s

Recorde a seguinte terminologia introduzida no Capítulo 1: L = gk = função de transferência de malha (aberta) ou ganho de malha J = 1 + gk = diferença de retorno S = 1 / (1 + gk) = função de transferência de sensibilidade T = gk / (1 + gk) = função de transferência complementar (também a função de transferência de malha fechada de para ). r y Note que para todas as freqüências, as seguintes igualdades permanecem:

S(s) + T(s) = 1

1. Resposta de Comando: Assumindo que 0d n= = , então ( ) ( )y s r s≈ para uma determinado faixa de freqüências quando S(s) é pequeno, ou equivalentemente quando gk é grande. Entradas de comando comum tais como degraus, rampas, e senóides estão normalmente na faixa de baixa freqüência.

2. Rejeição de Perturbação: S(s) deve ser mantido pequeno para minimizar os efeitos

de perturbações. Novamente, isto é equivalente a grande ganho de malha; i.e., gk é grande em faixas de freqüências onde as perturbações têm seu maior conteúdo de energia. Se as perturbações são sinais de baixa freqüência (que é normalmente verdade), nós podemos ver que resposta de comando e rejeição de perturbação são exigências compatíveis.

3. Supressão de Ruído: T(s) deve ser mantido pequeno para reduzir os efeitos de ruído

do sensor na saída. Da definição de T, isto é conseguido se o ganho de malha gk é pequeno.

4

Reunindo estes efeitos, nós chegamos a uma forma geral desejada para o ganho de malha de um sistema de realimentação corretamente projetado. Isto é mostrado na Figura 13-2. As características gerais deste ganho de malha é que ele tem alto ganho a baixas freqüências (para bom rastreamento e rejeição de perturbação), e baixo ganho em freqüências altas (para supressão de ruído). Outra razão por manter o ganho de malha baixo em freqüências altas pode ser vista examinando-se o sinal de controle

[ ]( )( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )

k su s r s d s n sg s k s

= −+

−

Para grande ganho de malha, é proporcional a 1/g(s). A altas freqüências em g(s) são expurgadas e resultará em grande atividade de controle de u(s). Conseqüentemente, o ganho de malha deve ser mantido pequeno em freqüências grandes para minimizar energia de controle.

( )u s

Freqüências intermediarias tipicamente controlam o ganho e margens de fase. Bode mostrou que para um sistema estável, a inclinação do gráfico de magnitude não deveria exceder -40 dB/dec próximo da freqüência de cruzamento de ganho, i.e., a transição de baixa para alta faixa de freqüência deve ser suave (por exemplo, -20 dB/dec). Formas desejáveis para funções de transferência de sensibilidade GK

Figura 13-2 Forma desejável para a função de transferência em malha fechada de um sistema com realimentação

complementares e de sensibilidade são mostradas na Figura 13-3. Note que S deve ser pequena em baixas freqüências e tem que ser expurgada para 1 (0 dB) em freqüências altas, considerando que T deve estar em 1 (0 dB) em baixas freqüências e se torna menor a freqüências altas.

5

Figure 13-3 Forma desejável para a sensibilidade e sensibilidade complementar de um sistema com realimentação.

13.2.2 Desempenho Nominal: Caso Multivariavel Desempenho nominal fixa limites no tamanho das funções de transferência de sensibilidade complementares e de sensibilidade ou, equivalentemente, no tamanho do ganho de malha. Para sistemas SISO, o tamanho de função de transferência é medido por sua magnitude. No caso MIMO (multivariavel), nós lidamos com matrizes de função de transferência (i.e., matrizes cujos elementos são funções de transferência). Há uma variedade de métodos para medir o tamanho de matriz. Uma medida que ganhou aceitação é o valor singular de uma matriz. O conceito de valores singulares e suas propriedades são discutidos no Apêndice (seções 13.7.1 e 13.7.2) ao término deste capítulo. Valores singulares, denotados por σ , de uma matriz A são definidos por

6

12*( ) ( )i iA A Aσ λ⎡= ⎣ ⎤⎦ onde = complexo conjugado de *A A

O maior valor singular, σ , e o menor valor singular, σ , é a medida da amplificação e atenuação da matriz, respectivamente.

No sistema de realimentação da Figura 13-1, todas as funções de transferência são matrizes e todas as entradas e saídas são vetores em geral. A saída do sistema é dada por

1 1( ) ( ) ( )y GK I GK r I GK d n− −= + + + −

A dedução da expressão anterior é direta. Atente para a ordem da multiplicação e se lembre de usar inversão de matriz para a divisão. S e T são semelhantemente definidas por

1 1( ) , ( )S I GK T GK I GK− −= + = + Embora o a seguir possa ser provado matematicamente, parece plausível que boa resposta de comando e rejeição de perturbação requeiram S pequeno, enquanto que supressão de ruído requer T pequeno. Além disso, grande ganho de malha (GK) implica em S pequeno e pequeno ganho de malha implica em T pequeno.

Em virtude de matrizes de função de transferência derem funções de s, seus valores singulares são dependentes da freqüência. Por conseguinte, valores singulares avaliados em s jω= podem ser plotados contra freqüência e podem resultar em diagramas rememorativos a diagramas de Bode de magnitude. De fato, diagramas de valores singulares são as generalizações de diagramas de Bode de magnitude para sistemas MIMO.Estes diagramas rapidamente se tornaram uma das mais valiosas ferramentas para análise de sistemas multivariaveis. Diagramas de valores singulares podem ser obtidos usando-se o comando sigma na Toolbox de Sistema de Controle (CST). As especificações de desempenho nominais para um sistema de realimentação (SISO/MIMO) são resumidas na Tabela 13-1.

Tabela 13-1 Propriedades da Função de Transferência em Malha Fechada Baixa Freqüência Alta Freqüência Desempenho de Comando (r) Caso MIMO

ou ou ( )

gk Ssσ σ

>>1 <<1(GK) >>1 <<1

Rejeição de Perturbação (d) Caso MIMO

ou ou ( )

gk Ssσ σ

>>1 <<1(GK) >>1 <<1

Supressão de Ruído (n) Caso MIMO

ou ( ) ou ( )

gk TGK Tσ σ<<1 <<1

<<1 <<1

7

13.2.3 Formulação Moderna de Problemas Clássicos Caracterização de desempenho nominal de sistemas com realimentação indica que desempenho de sistema geralmente pode ser traduzido em especificações nas funções de transferência de sensibilidade complementar T e de sensibilidade S. Nós veremos na próxima seção que caracterização de robustez também impõe condições semelhantes na forma de S e T. Uma metodologia moderna para projeto de sistema de controle consiste em se determinar limites apropriados em S e T, e adicionando-se compensadores à planta para moldar S e T de tal maneira que elas permaneçam dentro dos limites fixados. Este procedimento é chamado de loop shaping. Claro que, loop shaping tem sido conhecido à muito tempo pelos projetistas clássicos; a contribuição moderna para o loop shaping é que ele pode ser aplicado agora a sistemas multivariaveis. Em cujo caso, nós moldamos os valores singulares de S e T. Além disso, nós veremos que algoritmos tipo LQG podem ser aplicados para otimizar o desempenho do sistema. A Figure 13-4 mostra o diagrama de bloco para a formulação do problema loop shaping.

_

K G r

d

y

n

WT

WS

Z1

Z2 u

Figure 13-4 Diagramas de bloco de um sistema com realimentação para o problema loop

shaping Do diagrama de blocos obtemos

12 2(1 ) ou S Sz W GK d z W Sd−= + =

1

1 1(1 ) ou T Tz W GK GKn z W Tn−= + = − Note também que 1 Tz W Tr= As funções transferência e são pesos que são usados para limitar S e T. Formas típicas são dadas na Figura 13-5. Os problemas resultantes são

SW TW

1 ou 1 para todo S SS W W S ω−≤ ≤ Problema de sensibilidade ponderada

8

1 ou 1 para todo T TT W W T ω−≤ ≤ Problema de sensibilidade complementar ponderada A satisfação simultânea de ambas as restrições é chamada de problema misto de sensibilidade.

Figure 13-5 Formas típicas para S e T e seus pesos correspondentes

13.2.4 Modelagem de Incerteza Até este ponto temos discutido especificações de desempenho para um sistema com realimentação estável. Um sistema estável não é nosso objetivo final, porém, robustez é; estabilidade deve ser mantida apesar de incertezas do modelo. Incerteza do modelo geralmente é dividida em duas categorias: incerteza estruturada e incerteza não estruturada. Incerteza estruturada admite que a incerteza seja modelada, e nós tenhamos faixas e limites para incertezas de parâmetros no sistema. Por exemplo, nós podemos ter um modelo de função de transferência válido de um sistema, mas que tenha alguma incerteza sobre a localização exata dos pólos, zeros, ou ganho do sistema. No caso de um circuito RLC, sabemos que pode ser adequadamente modelado por uma função de transferência de segunda ordem (em uma determinada faixa de freqüência), mas os componentes podem ter até 20-30% de tolerância. Estes tipos de incertezas são estruturadas. Incertezas não estruturadas admitem menos conhecimento do sistema. Nós admitimos apenas que a

9

resposta em freqüência do sistema situa-se entre dois limites. Ambos os tipos de incertezas estão normalmente presentes na maioria das aplicações. Nós discutiremos apenas incerteza não estruturada (dado que incerteza estruturada ainda está sob investigação; devido à complexidade do problema e nossas limitações de espaço nós não discutiremos este caso). Incerteza não estruturada pode ser modelada de maneiras diferentes. Nós discutiremos incerteza aditiva e multiplicativa. Suponha que ns modelamos um sistema por , onde o

sistema real é determinado por

( )G s~

( )G s

~( ) ( ) ( )aG s G s s= + Δ

onde o erro de modelagem, ou a incerteza aditiva, é dada por

~( ) ( ) ( )a s G s G sΔ = −

Incerteza aditiva pode ser usada para modelar erros em dinâmica de alta freqüência que ou são desprezadas devido a ignorância ou a redução de modelo.

No caso de incerteza multiplicativa, admitimos que o modelo verdadeiro, , é determinado por

~( )G s

~( ) (1 ( )) ( )mG s s G s= + Δ

onde a incerteza, ou o erro de modelagem, é determinado por

~( ) ( )( )

( )mG s G ss

G s−

Δ =

Esta forma de incerteza pode ser usada para modelar erros devido a dinâmica do atuador ou do sensor.

Representações em diagrama de bloco destes modelos de incertezas são mostradas na Figura 13-6. Porque incerteza multiplicativa representa o erro relativo no modelo, considerando que modelo aditivo representa erro absoluto, o modelo multiplicativo é mais freqüentemente usado.

Como um exemplo, considere o seguinte sistema com duplo integrador estabilizado por um compensador em avanço.

. Exemplo 13.1 Modelos de Incerteza

O modelo nominal da planta (incluindo o compensador em avanço) consiste do modo rígido (os dois pólos na origem), e é dado por

2

10( 1)( )( 5sG s

s s )+

=+

O modo flexível é determinado por

10

2 2

2 2

2(0.1)(12) 12 10modo flexivel2(0.05)(10) 10 12

s ss s

+ +=

+ +

2

2

O modelo verdadeiro da planta, , deve também incluir o modo flexível ~

( )G s

2 2~

2 2 2

10( 1) 2(0.1)(12) 12 10( )( 5) 2(0.05)(10) 10 12s s sG s

s s s s+ + +

=+ + +

2

2

Modelando o modo flexível como incerteza aditiva, nós obtemos:

~

2

3.05( 1)( 2.18)( ) ( ) ( )( 5)( 1)a

s ss G s G ss s s s

− + −Δ = − =

+ + +

Usando o modelo multiplicativo, obtemos: ~

2

( ) ( ) 3.05( 2.18)( )( ) 1m

G s G s s ssG s s s− − −

Δ = =+ +

11

Figure 13-6 (a) Incerteza aditiva. (b) Incerteza multiplicativa na entrada da planta. (c) Incerteza multiplicativa na saída da planta. (d) Forma típica par incerteza multiplicativa 3.2.5 Estabilidade Robusta Considere um sistema com realimentação contendo uma planta e um compensador. Suponha que o compensador estabiliza a modelo nominal da planta . Dizemos que o compensador estabiliza o sistema robustamente se o sistema em malha fechada permanecer

estável para a planta verdadeira . A maioria dos resultados e condições para estabilidade robusta pode ser deduzido a partir de variações do critério de estabilidade de Nyquist ou o seguinte resultado muito poderoso, chamado o teorema do ganho-pequeno.

( )G s

~( )G s

Teorema do Ganho-Pequeno

Considere o sistema com realimentação na Figura 13-7. Admita que a planta e o compensador sejam estáveis. Então o sistema em malha fechada permanecerá estável se

( ) ( ) 1G S K s <

Também, por causa da seguinte desigualdade:

( ) ( ) ( ) ( )G S K s G s K s≤ a estabilidade em malha fechada pode ser garantida se

( ) ( ) 1G s K s <

Em essência, o teorema do ganho-pequeno estabelece que, para estabilidade em malha fechada, o ganho de malha deve ser pequeno. O critério de estabilidade de Nyquist pode ser usado para justificar a validade deste teorema. Porque requeremos que a função de transferência em malha aberta fique dentro do círculo de raio unitário centrado na origem, não pode haver nenhum envolvimento do ponto (- 1,0). Além disso, estamos admitindo que o sistema é estável em malha aberta; segue do critério de estabilidade de Nyquist que o sistema não tem pólos no RHP em malha fechada e é, portanto, estável em malha fechada. Também deveríamos acrescentar que o teorema do ganho-pequeno garante estabilidade interna; i.e., todas as funções de transferência em malha fechada possíveis são estáveis, e todos os sinais internos permanecerão limitados para entradas limitadas.

Recorde que para desempenho de comando e rejeição de perturbação, o ganho de malha deve ser muito maior que 1 na faixa de baixa freqüência. Conseqüentemente, um sistema satisfazendo a este teorema terá desempenho muito pobre. Nós veremos, porém que é possível fazer o teorema de ganho-pequeno trabalhar com incertezas multiplicativas e aditivas.

12

Nós podemos usar o teorema de ganho-pequeno para responder a dois tipos de perguntas sobre estabilidade robusta. Primeira, se uma determinada incerteza é estável e limitada, o sistema em malha fechada será estável para a dada incerteza? Segunda, para um dado sistema, qual é a menor incerteza que desestabilizará o sistema? Para usar o teorema do ganho-pequeno, é útil converter nosso sistema de diagrama de bloco em uma estrutura de dois-pórticos mostrada em Figura 13-7. Vamos agora deduzir a condição para estabilidade robusta sob incerteza multiplicativa. Considere o sistema de realimentação mostrado na Figura 13-8a. Para obter a estrutura de dois-pórticos na Figura 13-7, nós precisamos achar a função de transferência vista pelo bloco de incerteza _

G

K

r y

Figura 13-7 Diagramas de Bloco de um sistema de controle com realimentação. A entrada e saída deste bloco é mostrada nos pontos indicados na Figura 13-8b, e sua função de transferência (veja Figura 13-8c) é

( ) ( )( )

1 ( ) (G s K sM sG s K s)

−=

+

Pelo teorema do ganho-pequeno, se a função de transferência acima e a função de

transferência da incerteza são estáveis, o sistema em malha fechada será robustamente estável se

1

1(1 )m GK GK −

Δ <+

Observa que o denominador do lado direito da desigualdade acima é a sensibilidade complementar, T, assim a condição de estabilidade robusta se torna

1

m TΔ <

13

Figure 13-8 (a) Sistema com realimentação e incerteza multiplicativa,

(b) Obtendo a função de transferência vista pela incerteza. (c) O sistema como visto pela incerteza.

Uma forma alternativa para a condição acima é

11 ( )m GK −Δ < + onde a expressão no lado direito é a magnitude da denominada diferença de retorno inversa. Note que isto é diferente do inverso da diferença de retorno que é a função de transferência de sensibilidade S.

14

Nós podemos usar este resultado para responder as duas perguntas anteriormente colocadas. Suponha que a incerteza estável é limitada por

m γΔ <

Então o sistema em malha fechada será estável se

1 ou 1T Tγγ

< <

Para responder a segunda pergunta, nós estamos interessados em encontrar o

tamanho da menor incerteza estável que desestabilizará o sistema. Porque a incerteza deve ser menor que 1/T, deve ser menor que o mínimo de 1/T. Para minimizar o lado direito da desigualdade precedente, nós temos que maximizar T. O máximo de T sobre todas as freqüências é seu valor de pico (também chamado o pico de ressonância para sistemas de segunda ordem, veja Figura 13-3). Conseqüentemente, a menor incerteza desestabilizante (nós chamamos esta de a margem de estabilidade multiplicativa ou MSM) é dada por

1

r

MSMM

= onde sup ( )rM T jω

ω=

O símbolo "sup" na equação acima é colocado para o supremo da função (veja

Apêndice, seção 13.7.3, para a definição de supremo). O supremo é igual ao máximo da função quando o máximo é atingido. No caso MIMO, o tamanho da menor incerteza multiplicativa que desestabiliza o sistema é dada por

1( )( )m j

T jσ ω

σ ωΔ =

Um ponto importante no caso MIMO é que nós precisamos distinguir entre incertezas multiplicativas de saída e de entrada. As definições de S e T são diferentes em ambos os casos. As definições precedentes são para incertezas de saída como na Figura 13-6c. Para incertezas na entrada, como na Figura 13-6b, S e T são dadas por

1 -( ) e ( )S I KG T KG I KG−= + = + 1 Estas distinções são importantes porque para certos sistemas os valores singulares de S e T na entrada é bastante diferente dos da saída. Em tais casos, nós podemos obter boa robustez na entrada, mas robustez pobre na saída, ou vice-versa. Para isto pode ser mostrado que o

número de condição do modelo de planta perturbado ( ( ) ( ) / ( ))k G G Gσ σ=∼ ∼ ∼

desempenha um papel chave. Se o número de condição é próximo de 1 (i.e., o sistema é round), nós obtemos boa estimativa de robustez a partir da medida dos valores singulares, caso contrário, medidas de valores singulares tornam-se muito conservativos. Porque gk e kg são idênticos

15

para sistemas SISO, este assunto não aparece naquele caso. Veja [SD91] para discussão adicional.

A condição para estabilidade robusta sob modelagem de incerteza aditiva pode ser deduzida usando-se a mesma metodologia. A função de transferência vista por esta incerteza é dada por

( )( )1 ( ) (

K sM sG s K s)−

=+

Conseqüentemente, o sistema a malha fechada será robustamente estável se

1

1 1 ou (1 )a a KSK GK −

Δ < Δ <+

Se a incerteza é estável e limitada por

a γΔ < Então nós podemos garantir estabilidade em malha fechada se

1 ou 1KS KSγγ

< <

Nós também podemos definir a margem de estabilidade aditiva (ASM) por

1sup ( ) ( )

ASMK j S j

ωω ω

=

No caso MIMO, o tamanho da menor incerteza aditiva que desestabiliza o sistema é

dada por 1( )

( ) ( )a jK j S j

σ ωσ ω ω

Δ =

Note que para proteção aumentada contra incertezas multiplicativas

desestabilizantes, MSM deve ser grande e implica que a sensibilidade complementar deve ser pequena. Isto é compatível com boa supressão de ruído, mas conflita com rastreamento e rejeição de perturbação. Pequeno ganho de malha a altas freqüências protegerá contra incertezas multiplicativas na faixa de alta freqüência, porém, sem prejudicar rastreamento ou rejeição de perturbação em baixa freqüência. Similarmente observe que a função de transferência apropriada para ASM é a mesma função de transferência que determina energia de controle (limita o atuador). Portanto, estas exigências são compatíveis. Vamos aplicar estes resultados a um exemplo. Exemplo 13.2 Estabilidade Robusta

16

Considere a planta compensada e os modelos de incerteza dados no Exemplo 13.1. Os modelos relevantes são repetidos a seguir:

Modelo nominal da planta: 2

10( 1)( )( 5sG s

s s )+

=+

Modelo verdadeiro (ou perturbado) da planta: 2 2

2 2 2

10( 1) 2(0.1)(12) 12 10( )( 5) 2(0.05)(10) 10 12s s sG s

s s s s+ + +

=+ + +

∼ 2

2

Modelo de incerteza aditiva:

2

3.05( 1)( 2.18)( ) ( ) ( )( 5)( 1)a

s ss G s G ss s s s

− + −Δ = − =

+ + +

~

Modelo de incerteza multiplicativa:

2

( ) ( ) 3.05( 2.18)( )( ) 1m

G s G s s ssG s s s− − −

Δ = =+ +

~

Os lugares das raízes para os modelos nominal e perturbado são mostrados na Figura 13-9. Note que o modelo nominal é estável para todos os ganhos, enquanto que o modelo perturbado fica instável para ganhos muito baixos ou muito altos. Os diagramas de Bode para malha aberta de ambos os modelos são mostrados na Figura 13-10. O modelo nominal tem uma margem de fase de 42 graus e margem de ganho infinito, enquanto que o modelo perturbado tem uma margem de ganho de 10.6dB com aproximadamente a mesma margem de fase. As respostas ao degrau para ambos os modelos são mostrados em Figura 13-11; note o ringing ou oscilações devido aos modos flexíveis. Os diagramas para S e T são mostrados na Figura 13-12. MSM é obtido como o inverso do valor de pico em T; ASM é o inverso do valor de pico em S. O GM, MSM. e ASM (os números não estão em dB) têm os valores seguintes:

MSM = 0.64 ASM = 0.66 GM = 3.38

Note que MSM e ASM são medidas mais conservativas de margem de estabilidade que o GM tradicional. A margem de ganho é o fator pelo qual o ganho pode ser aumentado antes de instabilidade acontecer. Isto não admite nenhuma mudança de fase, que implica que a margem de ganho é uma medida de tolerância de pura incerteza de ganho. Igualmente, a definição de margem de fase admite que o ganho é fixo, assim margem de fase é uma medida de tolerância de pura incerteza de fase. MSM permite mudança simultânea de ganho e fase, entretanto. É, portanto, mais geral que GM e PM e é também conhecida como a margem de ganho-fase.

Para determinar estabilidade robusta com respeito a modelo de incerteza multiplicativa, nós plotamos a magnitude da diferença de retorno inversa e 11 ( )GK −+ mΔ . O gráfico é mostrado na Figura 13-13. Estabilidade robusta é verificada notando-se que a magnitude da diferença de retorno inversa sempre se situa acima da magnitude da incerteza multiplicativa. Estabilidade robusta para o modo de incerteza aditiva é verificada plotando-

17

se a magnitude da diferença de retorno 1 ( )GK+ e aΔ . O gráfico na Figura 13-14 verifica estabilidade robusta.

Um ponto que precisa ser enfatizado é o fato de que o teorema do ganho pequeno é apenas uma condição suficiente; i.e., mesmo se ele for violado, o sistema pode ainda ser estável. Por exemplo, se o modo de planta nominal for mudado para

2

32( 1)( )( 2

sG ss s )

+=

+

o teste de estabilidade robusta falha como indicado nas Figuras 13-15 e 13-16. O sistema, embora muito ligeiramente amortecido (como mostrado na Figura 13-17), é claramente estável, entretanto.

18

Figura 13-9 (a) Lugar das raízes para o modelo nominal no Exemplo13-1

(b) Lugar das raízes para o modelo perturbado

19

Figura 13-10 Diagramas de Bode para os modelos nominal e perturbado (linha cheia)

no Exemplo 13.1

Figura 13-11 As respostas degrau para os modelos nominal e perturbado (linha cheia)

20

Figura 13-12 Diagramas de S e T (linha sólida) para o Exemplo 13.1

Figura 13-13 Diagramas da diferença de retorno inversa e de mΔ (linha cheia)

21

verificando estabilidade robusta

Figura 13-14 Diagramas da diferença de retorno e de aΔ (linha cheia)

verificando estabilidade robusta

Figura 13-15 Diagramas da diferença de retorno inversa e de mΔ (linha cheia)

22

indicando falta de estabilidade robusta

Figura 13-16 Diagramas da diferença de retorno e de aΔ (linha cheia)

indicando falta de estabilidade robusta

Figura 13-17 Respostas degrau para modelo nominal e perturbado (linha sólida)

13.3 Otimização H2 e Malha de Recuperação de Transferência (LTR) 13.3.1 Otimização H2

23

Nas seções precedentes discutimos as propriedades de uma "boa" malha de realimentação. Especificamente, obtivemos a saída total de um sistema devido a perturbação, ruído, e entradas de comando como

( )y T r n Sd= − + Nós concluímos que para bom desempenho de comando e rejeição de perturbação, S deve ser pequeno em baixas freqüências. Estabilidade robusta e supressão de ruído requerem que T seja pequeno em freqüências altas. Por causa da seguinte identidade

( ) ( )S s T s I+ = para todas as freqüências nós portanto precisamos negociar entre estes dois objetivos. Para executar esta negociação de uma maneira sistemática, o problema é colocado como um problema de otimização no domínio da freqüência.

Considere a seguinte desigualdade matricial

2 ( ) ( )M tr MMσ ∗≤ para qualquer matriz M

onde tr denota o traço de uma matriz (soma dos elementos diagonais) e * está para a conjugada transposta. Por causa desta desigualdade, se nós minimizarmos o traço, os valores singulares serão minimizados. Para enfatizar a importância relativa de S e T sobre uma faixa de freqüência desejada, nós selecionaremos uma matriz de ponderação dependente da freqüência . A função objetivo que desejamos minimizar é a seguinte: ( )W s

20

1 ( ) ( )2HJ tr SWW S tr TT dωπ

∞∗ ∗ ∗⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫

Nós desejamos encontrar um compensador estabilizante que minimizará a função objetivo para um dado S, T, e W. Isto é chamado de problema de otimização ; o nome será explicado quando nós discutirmos otimização

2HH∞ .

Se nós definirmos ( )M s por

[ ]( ) ( ) ( ) ( )M s S s W s T s=

podemos ver que pode ser escrito como J

20

1 ( )2HJ tr MM dωπ

∞∗⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫

Pela escolha formal da matriz de ponderação , nós realizamos o loop shaping.

Em essência, o que nós temos apresentado é um método no domínio da freqüência para projeto de sistemas de controle multivariavel. Nós mostramos que desde 1960, projetistas

( )W s

24

de controle têm estado buscando estender métodos clássicos no domínio da freqüência (i.e., técnicas do tipo de Bode ou Nyquist) para sistemas multivariavel. Assim, esta meta foi atingida agora (com diagramas de valor singular substituindo diagramas de Bode). Nós não resolveremos este problema diretamente, ainda. Para isto pode ser mostrado que pela escolha formal de pesos, o método LQG resolve o problema no limite. Portanto, o método LQG que é um problema de otimização no domínio do tempo (com uma função objetivo no domínio do tempo), está essencialmente moldando S e T, quando visto de uma perspectiva no domínio da freqüência. O método LQG modificado é chamado recuperação de função de transferência de malha de (loop transfer recovery) (LQG/LTR).

2H

13.3.2 Método de Recuperação de Função de Transferência de Malha (LTR) Foi discutido anteriormente que a solução LQR tinha excelentes margens de estabilidade (margem de ganho infinita e margem de fase de 60 graus); nós sabemos que LQR é usualmente considerado não prático, mas nem sempre, porque requer que todos os estados estejam disponíveis para realimentação. Doyle e Stein [DS79] mostraram que, sob certas condições, LQG pode assintoticamente recuperar as propriedades de LQR. Um dos problemas com LQG é que requer informação estatística dos processos de ruído. Na maioria dos casos, porém, esta informação é ou indisponível ou é cara e não prática de se obter. Argumentos matemáticos e simulações tinham mostrado que os parâmetros de projeto LQG (Q, R, Qo, e Ro,) tinham uma forte influência no desempenho do sistema. Foi sugerido que devido a Qo, e Ro, não estarem normalmente disponíveis, eles deveriam ser usados no lugar de parâmetros afinados para melhorar desempenho de sistema.

Considere o diagrama de bloco na Figura 13-18. Com a malha partida no ponto indicado, a função de transferência de malha (aberta) do LQR é dada por

1( ) ( ) onde ( ) ( )L s K s B s sI A −= Φ Φ = −

A função de transferência de malha para LQG é igualmente dada por

1( ) ( ) ( )LQGL s K sI A BK LC LC s B−= − + + Φ Sob as duas seguintes duas condições

1. G(s) é de fase mínima (i.e., não tem nenhum zero no RHP) 2. oR = 1 e 2 ´oQ q BB=

Pode ser mostrado que

lim ( ) ( )LQGqL s L s

→∞=

O precedente sugere o seguinte procedimento para projeto. Escolha o parâmetro do

LQR tal que a função de transferência de malha LQR (também chamada de target feedback loop ou TFL) tenha tempo desejável e/ou propriedades no domínio da freqüência. Projete um observador com parâmetros especificados em (2) acima. Aumente o parâmetro de afinação, q, até que a função de transferência de malha resultante seja tão próxima quanto

25

possível ao TFL. Porque a função de transferência de malha do LQG se aproxima daquela do LQR, isto recuperará assintoticamente suas propriedades. Um procedimento mais detalhado segue.

Em muitas situações, a variável que é medida é diferente da variável que nós queremos controlar. Por exemplo, nós podemos para controlar o impulso (thrust) em um motor a jato, mas nós podemos apenas sentir

Figure 13-18 (a) Diagrama de bloco de um controlador LQR. (b) Diagrama de bloco de um

controlador LQG. a temperatura e a velocidade da turbina. Façamos denotar os estados medidos, e denotar os estados controlados, então,

y z

e qy Cx z C x= =

Passos do Loop Shaping 1.Determine as variáveis controladas (que podem, ou não, ser as mesmas variáveis

medidas) e estabeleça ´´ ou q qQ C C Q C C= =

2. Converta as especificações de projeto em um TFL desejado. Nesta fase, se o sistema for tipo 0 e quisermos um sistema tipo 1, podemos somar um integrador ao sistema.

3. Varie o parâmetro R até que a função de transferência de malha resultante seja semelhante ao TFL. Pode-se usar aqui a metodologia RSL. Também, confira as funções de transferência de sensibilidade e de sensibilidade complementares (S e T) para ter certeza de que elas têm formas desejáveis.

Passo de recuperação

4. Selecione um escalar, q, e resolva a equação do filtro de Riccati

26

2´ ´ ´ 0 e faça ´ A A q BB C C L CΣ +Σ + −Σ Σ = = Σ Aumente q até que a função de transferência de malha resultante seja próxima do TFL. Quanto mais alto valor de q, mais próximo o sistema LQG se apresenta com desempenho de LQR. Deve ser notado que o valor de q não deve ser aumentado indefinidamente, porque isto pode conduzir de forma não razoável a valores grandes para o ganho L do filtro. Também, porque o LQR tem uma inclinação de -20 dB/dec em altas freqüências, valores grandes para q também recuperarão esta slow roll-off rate. Valores menores para q tenderão a negociar margens de estabilidade mais baixas com higher roll-off rates em altas freqüências (para melhorar a supressão de ruído e estabilidade robusta). Exemplo 13.3 Projeto LTR

Nós usaremos agora a técnica LTR no sistema duplo-integrador para recuperar as propriedades de LQR. Devido ao fato de LTR requerer que se resolva a equação de Riccati vários vezes, você tem que resolver o problema no computador. Primeiro, nós escolhemos a função de transferência de malha LQR como o TFL. Portanto, nosso objetivo é recuperar a função de transferência de malha LQR. Nós, a seguir, deixamos o parâmetro q variar na faixa (1, 10, 100, 1000). Os diagramas, para a resposta degrau em malha fechada e diagramas de Bode em malha aberta para o LQR e LTR, para o valor especificado de q, é mostrado na Figura 13-19.

Note agora como a resposta ao degrau se aproxima do caso LQR para valores crescentes de q. Também, quando q aumenta, o ganho em baixa freqüência do sistema vai de 28 dB para 40 dB enquanto o ganho em alta freqüência vai de -110 dB para -40. Os valores para o ganho de filtro, L, seus autovalores e as margens de estabilidade (GM e PM) são dados na Tab. 13-2

27

Figure 13-19 Resposta ao degrau e diagramas de Bode para LTR usando q = (1, 10, 100, 1000). (a) Resposta ao degrau em malha fechada. (b) e (c) Diagramas de Bode de fase e magnitude para malha aberta.

28

Figura 13-19 Continuação

29

Tabela 23-2 Dados para o exemplo LTR q 1 10 100 1000 PM 32.6 41.9 55.0 61.7 GM 9.5 13.0 21.1 30.4 L 1.4

1.0 4.5 10.0

14.1 100.0

44.7 1000.0

Pólos do filtro

-0.7+0.7j -0.7-0.7j

-2.2+2.2j -2.2-2.2j

-7.0+7.0j -7.0-7.0j

-22.3+22.3j -22.3-22.3j

Os dados mostram que a margem de fase LQR é recuperada.

Aumentando q, a margem de ganho aumenta de 10 para 30 dB. Note que aumentando as margens nos custará em termos de valores mais altos para o ganho de filtro L, mais alta freqüência de cruzamento de ganho e ganhos menores em alta freqüência, entretanto. Isto fará o sistema mais sensível ao ruído e incertezas em altas freqüências. Parece que um valor de q entre 100 e 1000 é um compromisso razoável.

Note que os procedimentos acima usam o mecanismo LQG (i.e., duas

equações de Riccati) e sua estabilidade garantida. Isto nos permite trabalhar estritamente com Diagramas de Bode de várias funções de transferência, e satisfazer medidas no domínio da freqüência (semelhante a controle clássico), entretanto. Portanto, LTR pode ser considerado um procedimento de projeto no domínio da freqüência que usa equações no espaço de estados para computação. Esta é a característica comum de projeto de sistema de controle após LQR/LQG, às vezes chamado de controle pós-moderno; i.e., técnicas de domínio de freqüência que usam mecanismo de espaço de estados para computação.

13.4 Controle H ∞

13.4.1 Uma Breve História

Um dos principais desafios em controle tem sido a análise e projeto de sistemas de controle multivariavel (MIMO). Este é um problema difícil porque a função de transferência de um sistema MIMO é uma matriz. Mesmo conceitos muito básicos como ordem de sistema, pólos, e zeros criam dificuldade neste caso. Por exemplo, há cinco a dez definições diferentes de zeros de um sistema multivariavel! Conceitos e ferramentas aplicáveis com sucesso em controle clássico como lugar das raízes, diagramas de Bode, critério de estabilidade de Nyquist, e margens de ganho e de fase colidiram inicialmente com dificuldade quando aplicados a sistemas multivariaveis. Técnicas no espaço de estados, baseadas no domínio do tempo, evitaram as complexidades de matrizes de função de transferência, e forneceram ferramentas para análise e projeto de sistemas MIMO. Dentro da estrutura de espaço de estados, a única diferença entre um sistema SISO e um sistema MIMO é o número de colunas da matriz B

30

(número de entradas) e o número de colunas na matriz C (número de saídas). Note que em todas as técnicas que temos discutido, estas dimensões não tomam nenhuma parte. De fato, a característica mais importante de LQR/LQG é que eles são métodos sistemáticos para se projetar sistemas MIMO.

A aproximadamente no mesmo tempo que a maioria dos pesquisadores estavam desenvolvendo, estendendo, e refinando métodos de controle ótimos no domínio de tempo, pesquisadores, principalmente na Inglaterra (A.G. J. MacFarlane e H. H. Rosenbrock) estavam ocupados estendendo ferramentas de controle clássicas ao caso multivariavel. Eles tiveram êxito em grande parte nestes empenhos. Ferramentas clássicas como lugar das raízes (renomeada de lugar característico), técnicas de Nyquist (renomeada de arranjo(arrays) de Nyquist), e diagramas de Bode (renomeado de diagrama de valor singulares) foram estendidos ao caso multivariavel. Como as negligências de métodos LQG tornaram-se mais aparente nos anos setenta, mais atenção foi prestada a conceitos e preocupações com controle clássico.

Durante os anos oitenta emergiu um paradigma novo, controle H∞ . Este problema de controle foi formulado primeiro por G. Zames. Era essencialmente um método de otimização no domínio da freqüência para projetar sistemas de controle robustos. Robustez se tornou a preocupação principal na comunidade de controle, e outras técnicas para projetar sistemas de controle robusto multivariavel logo seguidas: controle H para muitos investigadores,

∞μ -síntese por J. Doyle (simultaneamente introduzida por M.

Safonov como -síntese), Teoria de Realimentação Quantitativa (ou QFT ) por I. Horowitz, e métodos baseados no teorema de Kharitonov para incerteza estruturada. Todas estas técnicas ainda estão sendo desenvolvidas e são refinadas hoje.

mK

Nosso propósito nesta seção é apresentar uma breve introdução ao controle H . Embora esta seja uma técnica poderosa para o caso MIMO, nossa apresentação será limitada ao caso SISO. A transição para o caso MIMO é direta (teoricamente, mas não necessariamente na prática).

∞

13.4.2 Notação e Terminologia Controle H tem desenvolvido sua própria terminologia, notação e paradigma. Por exemplo, o diagrama de bloco clássico foi modificado para manipular tipos mais gerais de problemas. Também, porque as equações de projeto são muito longas, alguma notação simbólica é introduzida para simplificar a apresentação. Porque estas notações se tornaram padrão na literatura, e o fato de que elas possam estar confundindo o principiante, nós introduziremos e as usaremos nesta discussão para facilitar a transição do leitor para literaturas e livros mais avançados.

∞

Nós discutiremos primeiro o nome. H∞ se refere ao espaço de funções de transferência próprias e estáveis. Geralmente desejamos que as funções de transferência a malha fechada sejam próprias (i.e., o grau do

31

denominador ≥ o grau do numerador) e estável (pólos estritamente no LHP). Em vez de repetir estas exigências, nós dizemos que G(s) está em H∞ . O objetivo básico de interesse em controle H∞ é uma função de transferência. De fato, nós estaremos otimizando o espaço de funções de transferência. Otimização pressupõe uma função custo (ou objetivo), porque nós queremos comparar funções de transferência diferentes e escolher a melhor no espaço. Em controle H , nós comparamos funções de transferência de acordo com a norma- delas (veja o Apêndice Seção A.4 deste capítulo para normas). A norma- de uma função de transferência é definida por

∞∞

∞

sup ( )G G jω

ω∞=

Esta é fácil de se computar graficamente, simplesmente é o pico no

diagrama de Bode de magnitude da função de transferência (ele é finito quando a função de transferência é própria e não tem nenhum pólo imaginário). Nós já vimos esta quantidade antes na estabilidade robusta Seção 13.2.5. Por exemplo, a margem de estabilidade multiplicativa (MSM) pode ser escrita como

1MSMT

∞

=

Em controle H , o objetivo é minimizar a norma-∞ ∞ de alguma função de transferência. Assim, nós na verdade minimizamos o pico no diagrama de magnitude (ou o diagrama de valor singular no caso MIMO). Note que isto aumentará a margem de estabilidade robusta do sistema.

Uma notação que está rapidamente se tornando popular é a matriz-bloco (packed-matrix) introduzida no Capítulo 5 e usada nos Capítulos 8 e 12. Recorde que a função de transferência de um sistema com matrizes em espaço de estado (A, B, C, D) é determinada por

1( ) ( )G s C sI A B D−= − +

Esta função de transferência em notação de matriz-bloco é escrita como

( )A B

G sC D⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Deve ser enfatizado mais uma vez que a forma acima não é uma matriz na

sentido comum, é uma notação simbólica para a expressão anterior de G(s). A solução para o problema de controle H∞ contém equações de

Riccati muitas trabalhosas; a notação seguinte é introduzida para simplificar a representação da solução. Considere a seguinte equação de Riccati:

32

´ 0A X XA XRX Q+ − + = A solução estabilizante desta equação será denotada por X = Ric (H), onde H é a matriz Hamiltoniana seguinte.

´ e ( )A R

H AQ A

−⎡ ⎤= −⎢ ⎥− −⎣ ⎦

RX é estável

Em vez de escrever a equação de Riccati, nós especificaremos sua matriz Hamiltoniana associada e o leitor pode criar a equação de Riccati apropriada.

Finalmente, nós introduzimos a representação mais geral do diagrama de bloco de dois pórticos de sistemas de controle mostrada na Figura 13-20.

O diagrama de bloco de duas portas pode representar uma variedade de problemas de interesse. O diagrama contém dois blocos principais, a planta e o controlador. A seção de planta tem duas entradas e duas saídas. As entradas da planta são classificadas como entrada de controle e entrada exógena. A entrada de controle, u, é a saída do controlador que se torna a entrada para os atuadores que excitam a planta. A entrada exógena, w, é de fato uma coleção de entradas (um vetor).

P(s)

K(s) u y

z w

Figure 13-20 O diagrama de bloco de duas portas para controle H∞ .

A principal distinção entre w e u é que o controlador não pode manipular entradas exógenas. Entradas típicas que são agrupadas em w são perturbações externas, ruído dos sensores, e sinais de rastreamento (tracking) ou comando. As saídas da planta são também categorizadas em dois grupos. O primeiro grupo, y, são sinais que são medidos e realimentados. Estas se tornam as entradas para o controlador. O segundo grupo, z, são as saídas reguladas. Estas são todos os sinais que nós estamos interessados em controlar ou regular. Elas poderiam ser estados, sinais de erro, ou sinais de controle. Mesmo se o sistema original for SISO (i.e., u and y são escalares), a nova formulação é essencialmente MIMO. Problemas de sistema de controle mais realísticos são formulações do tipo MIMO.

Uma representação da função de transferência do sistema é determinada por

33

zw zu

yw yu

z P w P uy P w P u

u Ky

= += +

=

A função de transferência a malha fechada entre as saídas reguladas e

as entradas exógenas, é obtida como segue. Primeiro, nós substituímos u na equação de y,

yw yuy P w P Ky= +

e resolve para y

1( ) ( )yu yw yu ywI P K y P w y I P K P w−− = → = −

Então, u se torna

1( )yu ywu Ky K I P K P w−= = −

Substituindo esta na equação para z, nós obtemos

1 1( ) ( )zw zu yu yw zw zu yu ywz P w P K I P K P w P P K I P K P w− −⎡ ⎤= + − = + −⎣ ⎦

Finalmente

1 onde ( )zw zw zw zu yu ywz T w T P P K I P K P−= = + −

A expressão acima para a função de transferência em malha fechada é chamada de transformação fracional linear (LFT). zwT

A planta também pode ser representada na forma de espaço de estados como

x 1 2

1 11 12

2 21 2

Ax B w B uz C x D w D u=

2y C x D w D u

+ += + += + +

Usando a notação de matriz-bloco, nós obtemos

1 2

1 11 12

2 21 22

( )A B B

P s C D DC D D

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

34

13.4.3 A Formulação de Problemas de Controle de Dois Pórticos Serão lançados alguns exemplos de problemas padrões, inclusive o problema LQG, agora na configuração duas portas. Considere o problema de regulador clássico que usa estrutura de realimentação unitária mostrado na Figura 13-21a. O objetivo é manter a saída de planta pequena apesar de perturbações que agem no sistema e ruído de medida. Também é desejado se manter baixo o esforço do atuador para conservar a energia de controle. O diagrama de bloco pode ser redesenhado como mostrado na Figura 13-21 b. Neste diagrama, as entradas de ruído de medida e de perturbação são entradas exógenas que são sacadas à esquerda como w; as saídas que nós desejamos regular são as saídas do controlador e da planta que são sacadas à direita como z. As relações entrada-saída do sistema são

py Gd Guu uy Gd n Gu

= +

== − − −

Agora faça

, e zw zup

yw yu

P Pd yw z P

P Pn u⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

nós obtemos

[ ]0 , , 1 , e

0 0 1zw zu yw yu

G GP P P G P⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

G= −

Figure 13-21 (a) Problema de regulador clássico. (b) A formulação dois pórticos do

problema de regulador.

35

Conseqüentemente o LFT (função de transferência em malha fechada de w para z) é

onde T e S 11zw

SG T GKT TTT GKG

−⎡ ⎤= =⎢ ⎥

− +⎢ ⎥⎣ ⎦= −

Note o aparecimento de S e T nestas funções de transferência. Recorde que nós desejamos fazer estas duas quantidades pequenas em suas faixas de freqüência apropriadas. Em controle H∞ nós faremos pequeno o tamanho (i.e., a norma) desta função de transferência, e conseqüentemente regulamos todas as saídas de interesse.

A representação duas portas do problema LQG é mostrada na Figura 13-22. Note que a variância de z é determinada por

' '( )Var z E z z E x Qx u Ru'⎡ ⎤ ⎡= = + ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Figure 13-22 A representação duas portas do problema LQG.

Em um problema corretamente colocado (posed), o sistema ótimo em malha fechada será estável. Portanto, os vetores de estado e controle serão processos estacionários; a equação precedente é então uma representação válida da função objetivo do LQG. Note que a função custo do LQG é a norma-2 ponderada dos estados e controle. Se as entradas forem processos brancos de intensidade unitária, nós vemos que o LFT será igual à função custo do LQG. Conseqüentemente, o problema LQG pode ser recolocado como

2K(s) estabilizante ZWMin T

36

Portanto, a diferença principal entre o LQR/LQG/LTR e o controle H∞ é a norma que é usada. Os anteriores usam a norma-2 e o posterior usa a norma- . As principais propriedades e vantagens da norma-

∞∞ sobre a norma-2 são as seguinte:

1. A norma- é um ganho (o ganho L2 do sistema). Pode também ser interpretada

como o ganho de energia do sistema. A norma-2 não é um ganho. ∞

2. A norma- minimiza o valor RMS do pior caso das variáveis reguladas quando as perturbações têm espectros desconhecidos. As normas-2 minimizam os valores de RMS das variáveis reguladas quando as perturbações são processos brancos de intensidade unitária.

∞

3. Controle H∞ resulta em margens de estabilidade garantidas (i.e., é robusto), enquanto LQG não tem nenhuma margem garantida.

13.5 Controle H∞ : Formulação do Problema e Solução

13.5.1 Formulação do Problema e Hipóteses

O problema de controle H∞ é formulado como segue: considere o diagrama duas portas na Figura 13-20, e encontre um controlador estabilizante internamente, K(s), para a planta, P(s), tal que a norma-∞ da função de transferência em malha fechada, , esteja abaixo de um dado nível zwT γ (um escalar positivo). Este problema é chamado de problema de controle H∞ padrão. O problema de controle H∞ ótimo é

Problema ótimo

( ) zwK s estabilizanteMin T

∞=

Problema padrão

( ) zwK s estabilizanteEncontre T γ

∞= ≤

O problema padrão é mais prático. Na prática, projeto de sistema de

controle está mais como um ato de compromisso de metas (tradeoffs), e uma solução ótima matematicamente pode não ser, afinal de contas, tão desejável depois que todas as outras restrições do mundo real forem levadas em conta. Para resolver o problema ótimo, nós começamos com um valor para γ e reduzimo-lo até o problema não ter uma solução. Como um valor inicial para γ , nós podemos resolver um problema LQG; encontre o pico na função de transferência em malha fechada resultante e use este valor. Para abaixarγ , nós podemos usar um algoritmo de pesquisa (tal como uma pesquisa binária) para atingir o valor ótimo. Este procedimento é chamado iteração-γ .

Para o problema ter uma solução, certas hipóteses devem ser satisfeitas. Elas são listadas abaixo após as dimensões das várias variáveis serem dadas.

Dimensões: dim x = n, dim w = m1, dim u = m2, dim z = p1,

37

dim y = p2 1. O par (A, B2) é estabilizável e (C2, A) é detectável. Recorde do

Capítulo 8 que estas são versões mais fracas das condições de controlabilidade e observabilidade. Esta hipótese é necessária para um controlador estabilizante existir. Isto simplesmente garante que o controlador pode alcançar todos os estados instáveis, e estes estados aparecem nas medidas.

2. O posto de D12 = rn2, posto de D21 = p2. Estas condições são necessárias para assegurar que os controladores são próprios. Isto também implica que a função de transferência de w para y é não nula em altas freqüências. Ao contrário da primeira hipótese que é normalmente satisfeita, esta hipótese é freqüentemente violada (por exemplo se a planta original for estritamente própria; i.e., se tem mais pólos que zeros, esta condição será violada) a menos que o problema seja formulado tal que esta condição seja satisfeita.

3. 22

1 12

A j I B

posto n mC Dω−⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

para todas as freqüências

4. 12

2 21

A j I Bposto n p

C Dω−⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

para todas as freqüências

5. D11 = 0 e D22 = 0. de Esta hipótese não é necessária, mas simplificará as equações para a solução. Isto também implica que a função de transferência de w para z e de u para y são eliminadas em altas freqüências, respectivamente.

Antes de apresentarmos a solução, deveria ser mostrado que as soluções de problemas H e LQG são bem parecidas uma com a outra. Ambas usam um estimador de estado e realimentam os estados estimados. Os ganhos do controlador e do estimador são também computados das duas equações de Riccati. As diferenças estão nos coeficientes das equações de Riccati, e o fato de que o estimador de estados H

∞

∞ contém um termo extra. As equações de compensador seguem.

13.5.2 Solução do Problema O controlador é dado por (Kc corresponde a K, o ganho do controlador, no caso LQG)

ˆcu K x= − e o estimador de estados é dado por

.

2 1ˆ ˆ ˆ ˆ( )ex Ax B u B w Z K y y∞= + + + − onde

2 ' -2 '1 2 21ˆ ˆ ˆ ˆ e x+w B X x y C D B Xγ γ−

∞ ∞= = 1 x

38

Nós também podemos escrever isto em notação de matriz-bloco como

22 2 1 1 21 1( )

( )0

c e e

c

eA B K Z K C B B Z K D B X Z KK s

Kγ −

∞ ∞ ∞′ ′⎡ ⎤− − + −= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

∞

O termo extra, , é uma estimativa do pior caso da entrada de perturbação para o sistema, e é a saída do estimador. O ganho do estimador é

wy

eZ K∞ ( corresponde a L no caso LQG). O ganho do controlador, , e o ganho do estimador, , são dados por

eK cK

eK

' ' '12 2 12 1 12 12 12( ) onde ( )cK D B X D C D D D −

∞= + = 1

1

' ' '2 1 21 21 21 21 21( ) onde ( )eK Y C B D D D D D −

∞= + =

O termo Z∞ é dado por 2 1( )Z I Y Xγ − −

∞ ∞= − ∞

'

'

O termos e Y são soluções para as equações de Riccati do estimador e controlador : i.e.,

X∞ ∞

' 2 '

2 12 12 1 1 1 2 12 2' '1 1 2 12 12 1( )

A B D D C B B B D BX Ric

C C A B D D Cγ −

∞

⎡ ⎤− −= ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

' ' 2 ' '

1 21 21 21 2 21 2' '11 1 21 21 2

( )( )

A B D D C C C C D CY Ric

B B A B D D Cγ −

∞

⎡ ⎤− −= ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

onde C ' '

1 12 12 12 1 1 1 21 21 21( ) e ( )I D D D C B B I D D D= − = −

B

∞

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

1

O sistema em malha fechada se torna

2 12 ' 2 '

2 2 1 1 2 21 1 21ˆ( )ˆc

e c e e

x A B K xw

Z K C A B K B B X Z K C D B X Z K Dxx γ γ− −∞ ∞ ∞ ∞

⎡ ⎤ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − + ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

1 12

2 2

0ˆ0

cC D Kz xw

C Dy x−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Como tínhamos avisado, as equações são bastante complicadas e trabalhosas!

39

Finalmente, pode ser demonstrado que existe um compensador estabilizante se e apenas se existir soluções semidefinidas positivas para as duas equações de Riccati e a seguinte condição:

2( )X Yρ γ∞ ∞ <

onde ρ (A)= raio espectral de A = maior autovalor de max ( )A Aλ= .

Os diagramas de bloco dos sistemas de controle LQG e H são mostrados na Figura13-23. Compare estes diagramas para ver as semelhanças e diferenciar entre eles.

∞

Deve ser bastante óbvio que não podem ser resolvidos problemas de H manualmente. Programa de computador como MATLAB, Programas CC, MATRIXx e Ctrl-C têm funções especiais e ferramentas para resolver estes problemas. Para todo valor de

∞

γ , devem ser resolvidas duas equações de Riccati. Além disso, mesmo se a planta for de primeira ordem, nós ainda podemos precisar adicionar pesos ao sistema ou para satisfazer a exigências de projeto ou satisfazer às hipóteses necessárias para uma solução possível. Isto aumenta a ordem das equações e faz a solução manual quase impossível. Um resumo dos passos é dado abaixo.

1. Monte o problema para obter a representação no espaço de estados para P(s). 2. Confira se as hipóteses (as condições de posto) são satisfeitas. Se elas não

forem, reformule o problema adicionando pesos ou adicionando entradas ou saídas (fictícias).

3. selecione um valor positivo grande para γ . 4. Resolva as duas equações de Riccati. Determine se as soluções são positivas

semidefinidas; verifique também que a condição de raio espectral seja satisfeita.

5. Se todas as condições acima são satisfeitas, diminua o valor de γ . Caso contrário, aumente-o. Repita os passos 4 e 5 até que uma solução ótima ou satisfatória seja obtida

13.5.3 Pesos em Problemas de Controle H∞

Problemas práticos de controle requerem ponderações das entradas e saídas. Há alguns razões para de usar pesos. Pesos constantes são usados para escalamento de entradas e saídas, eles também são usados para conversões de unidade. Pesos em funções de transferência são usados para moldar as várias medidas de desempenho no domínio da freqüência. Em problemas de controle H∞ , são também usados pesos para satisfazerem as condições de posto. Estas hipóteses freqüentemente são violadas a menos que sejam selecionados pesos apropriados. De fato, os pesos são os únicos parâmetros que o projetista deve especificar. A seleção apropriada destes pesos depende em grande parte da experiência do usuário e do entendimento que se tem da física do problema e outras restrições práticas de engenharia.

Rastreamento e rejeição de perturbação requerem que a função de transferência de sensibilidade seja pequena na faixa de baixa freqüência. Isto pode

40

ser formulado quando especificando que a sensibilidade permaneça abaixo de uma dada freqüência dependente de peso. i.e.,

1 or 1S SS W W S−≤ ≤

Analogamente, podemos especificar que a sensibilidade complementar seja mantida abaixo de um determinado peso na faixa de alta freqüência, i.e.,

1 ou 1t tT W WT−≤ ≤

Finalmente, ambas as exigências podem ser satisfeitas resolvendo o denominado problema de sensibilidade mista.

Figura 13-23 (a) O diagrama de bloco do controlador LQG. (b) Diagrama de bloco

mostrando a estrutura do sistema de controle H∞ .

41

Figura 13-23 (continuação)

Exemplo 13.4 Projeto de Controle H∞

Como um exemplo, nós projetaremos um controlador para um sistema de duplo integrador que usa a metodologia H∞ . O Primeiro passo é montar o problema adequadamente. As equações de planta são determinadas por

1

2 1

x d ux x= +=

42

O novo termo que adicionamos é o termo de perturbação, d; este termo ou corresponde a uma perturbação real ou a dinâmica não modelada no sistema. As saídas reguladas são x2 e u. Portanto, para duas portas a entrada w e a saída z é

2 e d x

w zn u⎡ ⎤ ⎡

= =⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

É importante que o sinal de controle seja incluído nas saídas reguladas de modo que possamos limitar sua magnitude para prevenir problemas de saturação. Isto também é necessário para assegurar que a condição de posto em D12 seja satisfeita ou o problema não teria uma solução. A equação de medida é dada por

2y x n= + O termo de ruído, n, ou é ruído real de sensor ou é uma representação de dinâmica não modelada de alta freqüência. Também é necessário assegurar que a condição de posto em D21 seja satisfeita. Colecionando estas equações nós obtemos as equações de sistema em notação de matriz-bloco como

1 2

1 11 12

2 21 22

0 0 1 0 11 0 0 0 0

( ) 0 1 0 0 00 0 0 0 10 1 0 1 0

A B BP s C D D

C D D

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

O diagrama de bloco do sistema na forma habitual e sua forma duas portas H é mostrado na Figura 13-24. ∞

Este problema foi resolvido usando o programa H-infinito na Seção 13.6. Depois de várias tentativas, achamos que o valor de γ não podia ser reduzido abaixo de 2.62 (o valor ótimo de γ pode ser encontrado usando o comando hinfsyn da μ -Tools ou o comando hinfopt na RCT). Assim, concluímos que 2.62 é o valor ótimo (note que a solução do problema de controle ótimo H envolve uma pesquisa sobre ∞ γ , e podemos obter tão próximo dele quanto possível mas não alcançá-lo). Os seguintes são os dados relevantes obtidos.

[ ]

1.59 1.08 1.47 1.082.62 , ,

1.08 1.47 1.08 1.59

1.081.59 1.08 ,

1.59c e

X Y

K K

γ ∞ ∞

⎡ ⎤ ⎡= = =

⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎦

43

Figura 13-24 (a) O diagrama de bloco para o sistema de duplo-integrador. (b) O diagrama

de bloco de duas portas H∞

A função de transferência do compensador e os pólos de malha fechada resultando são dados por

578.3( 0.39)( ) ( 2.33)( 220.72)

sK ss s− +

=+ +

Pólos de malha fechada = { }-0.71, -0.81 0.91j, -220.7± Note que este compensador é um compensador em avanço com um pólo adicionado em -220 para melhorar a atenuação em alta freqüência. Os diagramas de Bode e Nyquist do sistema são mostrados na Figura 13-25. Nós obtivemos uma margem de ganho de 44 dB e margem de fase de 45 graus. Note que o diagrama de Nyquist entra no círculo unitário centrado em (- 1.0),

44

Finalmente, nós compararemos a estabilidade robusta do compensador H∞ com o compensador em avanço do Exemplo 13.2. O mesmo modo flexível é usado para perturbar a planta. Os diagramas para S e T, diferença de retorno inversa versus

e são mostrados na Figura 13-26 para ambos os casos. Os dados de margem de estabilidade são apresentados em Tabela 13-3.

mΔ aΔ

O dados indicam que o compensador H∞ tem margens de estabilidade melhores. Em particular, tem mais tolerância ao modo flexível não modelado.

Figura 13-25 (a) Diagrama de Bode para o Exemplo 13.4 (b) Diagrama de Nyquist para o

exemplo13. 4

45

Figura 13-26 (a) O diagrama de S. (b) O diagrama de T. (c) Diferença de retorno inversa

e . (d) Diferença de retorno inversa e mΔ aΔ . Linhas sólidas são para o sistema compensado H∞ em todos os casos.

46

Figura 13-26 Continuação

47

Tabela 13-3 Comparação de margens de estabilidade do compensador em avanço e H∞

GM PM GM com modo flexível

PM com modo flexível

MSM=1T

∞

ASM=

1S

∞

Em avanço (Ex.13.2)

∞ 41.6 11.1 42.5 0.64 0.66

H (Ex. 13.4) ∞ 44.3 44.6 22.8 45 0.70 0.67

Nós terminaremos nossa breve introdução a controle H∞ dizendo que este assunto ainda é muito novo e está progredindo rapidamente. Nós também limitamos nossa discussão ao tratamento de incerteza não estruturada, e temos apresentado apenas uma das metodologias de controle robusto. As diferentes metodologias, entretanto, têm um aspecto em comum, i.e., elas são todas ferramentas no domínio da freqüência assistidas por computadas para projeto de sistemas MIMO satisfazendo a restrições práticas. Por esta razão, controle H∞ é esperado encontrar um lugar permanente entre as ferramentas dos engenheiros de controle.

13.6 Programas

1. Programa para Análise de Robustez (para o exemplo 13.2)

Use o programa ou como uma função ou como um script file. O compensador é acoplado à planta, assim G K é assumido que é a planta.

Entradas do programa: Planta compensada e o eixo de tempo. Saídas do programa: Resposta degrau. Diagramas de Bode e margens para os

modelos nominal e perturbado, S, T, 1 + GK, 1 + (GK)-1, e seus valores singulares são computados. Também, incertezas (multiplicativas) aditivas equivalentes e seus valores singulares são computados.

function [svcsi,svdm,svr,svda,svs,svt]=rob(ng,dg,nk,dk,t,w) [ngk,dgk]=series(ng,dg,nk,dk); %**closed loop step response for GK [nt,dt]=cloop(ngk,dgk);yt=step(nt,dt,t); fig1=figure(1); grid plot(t,yt) ndel=(100/144)*[1 2*.1*12 144];ddel=[1 2*.05*10 100]; [ngkd,dgkd]=series(ngk,dgk,ndel,ddel); [mgk,pgk]=bode(ngk,dgk,w); fig2=figure(2); grid bode(ngk,dgk,w) [mgkd,pgkd]=bode(ngkd,dgkd,w); fig3=figure(3); grid bode(ngkd,dgkd,w) [gm,pm]=margin(mgk,pgk,w); gm=20*log10(gm) fig4=figure(4); grid

48

margin(mgk,pgk,w) [gmd,pmd]=margin(mgkd,pgkd,w); gmd=20*log10(gmd) fig5=figure(5); grid margin(mgkd,pgkd,w) %**closed loop step response for the perturbed model GK~ [ngtd,dgtd]=cloop(ngkd,dgkd);ytd=step(ngtd,dgtd,t); fig6=figure(6); grid plot(t,ytd) %**Additive uncertainty model [nda,dda]=parallel(ngkd,dgkd,-ngk,dgk); [nda,dda]=minreal(nda,dda); %**Multiplicative uncertainty model ddm=conv(ngk,dgkd); ndm=(conv(dgk,ngkd)-conv(ngk,dgkd)); %**Remove leading 0's in the polynomials ind=find(ndm~=0);ndm=ndm(ind(1):length(ndm)); ind=find(ddm~=0);ddm=ddm(ind(1):length(ddm)); [ndm,ddm]=minreal(ndm,ddm); %**Compute return difference 1+Gk and its singular value (sv) [a,b,c,d]=tf2ss(ngk,dgk); [as,bs,cs,ds]=parallel(a,b,c,d,[],[],[],1); svr=sigma(as,bs,cs,ds,w); svr=20*log10(svr); %**Use sigma with the 'inv'option to get sv of S=(1+gk)^-1 svs=sigma(as,bs,cs,ds,w,'inv'); MSM=1/max(svs) svs=20*log10(svs); %**Compute sv of T=GK(1-GK)^-1 [at,bt,ct,Dt]=tf2ss(nt,dt); svt=sigma(at,bt,ct,Dt,w); ASM=1/max(svt) svt=20*log10(svt); %**Compute sv the both uncertainties svcsi=sigma(at,bt,ct,Dt,w,'inv'); svcsi=20*log10(svcsi); [adm,bdm,cdm,Ddm]=tf2ss(ndm,ddm); svdm=sigma(adm,bdm,cdm,Ddm,w); svdm=20*log10(svdm); [ada,bda,cda,Dda]=tf2ss(nda,dda); svda=sigma(ada,bda,cda,Dda,w); svda=20*log10(svda); semilogx(w,svda,w,svr);

2. Programa LTR (para o Exemplo 13.3)

Entradas do programa: sistema de Eq [a,b,c,d] e matrizes de sintonia (r, qo, ro) e vetor de parâmetro LTR [q] , w e t.

Saídas do programa: Respostas degrau e Bode. Margens de estabilidade. Ganhos de filtro e Controle e o compensador.

%........... Start LQR .............. % dimb=size(b);noinp=dimb(2); dimc=size(c);noout=dimc(1);clear dimc k=lqr(a,b,c'*c,r); % %**LQR Bode and step response

49

% [m,p]=bode(a,b,k,0,1,w);m=20*log10(m); y=step(a-b*k,b,c,0,1,t);y=y/y(length(y)); % %........... Start LTR ............... % dimlq=length(q); for i=1:4, [l,evf]=lqe(a,eye(2),c,q(i)*q(i)*b*b',ro); [ak,bk,ck,dk]=reg(a,b,c,d,k,l); [agk,bgk,cgk,dgk]=series(a,b,c,d,ak,bk,ck,dk); [mgk,pgk]=bode(agk,bgk,cgk,dgk,1,w); [at,bt,ct,dt]=feedback(a,b,c,d,ak,bk,ck,dk); [at,bt,ct,dt]=minreal(at,bt,ct,dt); [gm,pm,wpc,wgc]=margin(m,p,w); yt=step(at,bt,ct,dt,1,t);yt=yt/yt(length(yt)); mgg(:,i)=mg;pgg(:,i)=pg;ygg(:,i)=yg; end

3. Programa para projeto H-infinito (para o Exemplo 13.4)

As entradas do programa são: Equação sistema = (a,bl,b2,cl,c2,dll,dl2,d21,d22) & gam. Saídas do programa: Soluções das Eqs. Ric. (xi,yi) e o compensador H-infinito (ak,bk,ck,dk) e autovalores de malha fechada (clpoles) e a função de transferência em malha aberta.

%***************** Verificando condições ******************* % n=size(a); n=n(1); m1=size(b1); m1=m1(2); m2=size(b2); m2=m2(2); p1=size(c1); p1=p1(1); p2=size(c2); p2=p2(1); gam2=1/(gam*gam); rank1=rank([a b2;c1 d12]); if rank1~=n+m2, disp('rank1 fails: no solution'),end rank2=rank([a b1;c2 d21]); if rank2~=n+p2, disp('rank2 fails: no solution'),end % %*** Montando a matriz Hamiltoniana e resolvendo eq. De Riccati **** % d21_=inv(d21*d21');d12_=inv(d12'*d12); c1_=(eye(p1)-d12*d12_*d12')*c1; b1_=b1*(eye(m1)-d21'*d21_*d21); ahx=a-b2*d12_*d12'*c1; bhx=gam2*b1*b1'-b2*d12_*b2'; chx=-c1_'*c1_; ahy=(a-b1*d21'*d21_*c2)';bhy=gam2*c1'*c1-c2'*d21_*c2;chy=-b1_*b1_'; dhy=-ahy'; xi=are(ahx,-bhx,-chx) yi=are(ahy,-bhy,-chy) % % ****************** Verificando condições *********************** % xeig=min(real(eig(xi)));if xeig, disp('x 0 no solution'),end yeig=min(real(eig(yi)));if yeig, disp('y 0 no solution'),end

50

rho=max(real(eig(xi*yi))); if rho > (gam*gam), disp('rho fails: no solution'),end % % ***************** Determinando ganhos e o compensador ********* % kc=d12_*(b2'*xi+d12'*c1) ke=(yi*c2'+b1*d21')*d21_ zi=inv(eye(n)-gam2*yi*xi); ak=a-b2*kc-zi*ke*c2+gam2*(b1*b1'-zi*ke*d21*b1')*xi; bk=zi*ke; ck=-kc; dk=0*ones(m2,p2);nsk=n; [z_k,p_k,g_k]=ss2zp(ak,bk,ck,dk) % % ******************* Fechando a malha *********************** % ac1=[a,-b2*kc;zi*ke*c2,a-b2*kc+b1*b1'*xi*gam2-zi*ke*(c2+d21*b1'*xi*gam2)]; bc1=[b1;zi*ke*d21]; cc1=[c1 -d12*kc]; clpoles=eig(ac1) % %*** Gama ótimo atavés da Mu-Tools ***** % ss=pck(a,[b1 b2],[c1;c2],[d11 d12;d21 d22]); n_meas=1;n_cont=1; [sk,sc1,gam_ot]=hinfsyn(ss,n_meas,n_cont,0.2,3,.1);gam_ot % %***** Encontrando a função de transferência para análise clássica ****** % [agk,bgk,cgk,dgk]=series(a,b2,-c2,d22,ak,bk,ck,dk); % 13.7 Apêndice

13.7.1 Decomposição em Valor singular (SVD)

Em teoria de controle, função de transferência, pólos e o autovalores da matriz A na representação em espaço de estados tem representado papéis chaves em análise de estabilidade. Analogamente, a noção de valores singulares desempenha um papel chave em análise de estabilidade robusta de sistemas multivariavel.

Considere uma matriz retangular A então com posto ρ , então A pode decomposta como

ˆ onde A = m n, U = m m, V= n nA U V ∗= Σ × × ×

U e V são matrizes unitárias, i.e., , *

m nU U=I e V V=I∗

Note que U* está como o conjugado transposto de U. A matriz é definida por

Σ

51

[ ]0 se n > mˆ

se n < m0

Σ⎧⎪Σ = Σ⎡ ⎤⎨⎢ ⎥⎪⎣ ⎦⎩

e

1

2

= ρ

σσ

σ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥Σ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, { }min ,m nρ =

A representação acima de A é chamada de decomposição em valor singular (SVD) de A. Os valores singulares satisfazem

i i

i i

i

i

A u vAv u

σσ

∗ ==

Segue-se então que

2

2

( )

( )i i

i i

i

i

A A v v

u AA u

σ

σ

∗

∗ ∗ ∗

=

=

que implica que são os autovetores a direita de A*A e iv iu∗ são os autovetores a esquerda de AA*. Os vetores e iv iu∗ são chamados de vetores singulares a direita e esquerda de A, respectivamente. Note que estes vetores devem ser normalizados primeiro, antes que eles sejam usados para formar as colunas de V e U, respectivamente. Os Valores singulares (às vezes chamados de ganhos principais) de A é definido por

1/ 2( )i i A Aσ λ ∗⎡ ⎤= ⎣ ⎦

Valores singulares são números reais não negativos e são normalmente ordenados como

1 2 ρσ σ σ≥ ≥ ≥

O maior e o menor dos valores singulares são denotados por σ e σ respectivamente. Também, outro modo para expressar o SVD de A é

1i i i

i

A u vρ

σ ∗

=

= ∑

Valores singulares, particularmente σ e σ , têm muitas propriedades e aplicações. Antes de discutirmos estas propriedades, vamos trabalhar um exemplo.

Considere a seguinte matriz

52

1 0 10 1 0

A−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

O comando svd em MATLAB devolve o decomposição em valor singular. » [u,s,v]=svd(A) u = 1 0 0 1 s = 1.4142 0 0 0 1.0000 0 v = 0.7071 0 -0.7071 0 1.0000 0 -0.7071 0 -0.7071 As declarações seguintes resultam em zeros vetores, verificando que e são os autovetores de A*A e AA*, respectivamente.

iv iu

» A'*A*v(:,1)-2*v(:,1) » A'*A*v(:,2)-1*v(:,2) » A'*A*v(:,3) » u(:,1)'*A*A'-2*u(:,1)' » u(:,2)'*A*A'-u(:,2)' 13.7.2 Valores singulares e Normas de Matriz A norm-2 ou Euclideana de uma matriz é definida por

2

22 20 1

2

max max ( )x x

AxA A

xσ

≠ == = =x A

Note que, se você imaginar uma matriz como um sistema com x como sua

entrada e Ax como sua saída, então norm-2 têm uma interpretação de ganho. Além

53

disso, o maior valor singular corresponde ao ganho máximo. O menor valor singular pode semelhantemente ser definido como

2

2

0 12

( ) min min 2x x

AxA A

xσ

≠ == = x

Se A é não singular, as seguintes igualdades podem ser obtidas:

11

2

1 1( ) e ( )( )

A AAA

σ σσ

−−

= =

Outro conceito útil é o número de condição de uma matriz, definido por,

1 ( )( ) ( ) 1( )Acond A A A AA

σκσ

−= = = ≥

A terceira igualdade é válida se a norm-2 da matriz A for usada. O menor valor singular é uma medida de singularidade de uma matriz. O menor é, o mais próximo que a matriz consegue para ser singular. Em computações numéricas, devido a erro de arredondamento (round-off error), matrizes singulares podem ter determinantes não nulos, e então parece ser não singular. Um σ pequeno é uma indicação de que a matriz é quase singular. O número de condição é uma medida de distância relativa à singularidade. Um número de condição grande é indicativo de uma matriz quase singular. O comando MATLAB, cond, calcula o número de condição de uma matriz. Por causa das propriedades já referidas de valores singulares extremos, eles são usados extensivamente para análise de estabilidade robusta. 13.7.3 O Supremo de Funções O supremo (ou pelo menos o limite superior) de uma função é seu máximo valor possível, até mesmo se não for atingido. Esta definição é necessária por razões matemáticas porque freqüentemente encontramos funções de transferência que não têm máximo. Por exemplo, a seguinte função de transferência (uma configuração em avanço)

1( )5

sG ss+

=+

não tem máximo (se você tomar a derivada de sua magnitude e iguala-la a zero, você obterá o valor mínimo de 0.2). Porém, um olhar em sua resposta em freqüência mostra que ela se aproxima do valor 1 quando a freqüência se aproxima de infinito. Mas, como nós nunca alcançamos a freqüência infinita, nós nunca alcançamos o valor de máximo (embora nós obtenhamos valor muito perto disto).

54

Isso é por que não temos um máximo. Nestes situações, nós usamos a noção do supremo (ou sup abreviando). Nós temos

1

sup 15

jjω

ωω+

=+

A generalização equivalente para mínimo é o ínfimo (ou maior mais baixo limite) ou inf abreviando . 13.7.4 Normas e Espaços O conceito de norma é o equivalente matemático da noção comum de tamanho. É um dos mais importantes entes matemático porque nos permite comparar objetos diferentes. Todo objeto pode ser pensado como um elemento de um conjunto. Um conjunto munido de algumas operações e propriedades é chamado de um espaço. Por exemplo, o espaço de n vetores dimensionais (espaço ), espaço de funções contínuas, espaço das funções de transferência estáveis, etc.

n

Há uma variedade de normas para diferentes objetos. Nós definiremos normas para as seguintes categorias: vetores constantes, matrizes constante, funções no tempo, funções no domínio da freqüência e funções de transferência (e suas versões multivariaveis). A menos que em caso contrário se especifique que, todos os vetores são n x 1 e as matrizes são n x n.

Normas de vetor

Nós introduzimos duas normas, as norm-2 e a norma-∞ . Elas são definidas

por

2 2

21

e x maxn

i iii

x x x∞

=

= =∑

Normas de matriz Normas de matriz são normalmente definidas em termos de normas de

vetores (normas induzidas). A norm-2 de matriz (também conhecida como a norma espectral) foi definida em seção 13.7.2; é igual ao maior valor singular da matriz. A norma-∞ é definida como a maior soma de linha da matriz; i.e.,

1

maxn

iji j

A a∞

=

= ∑

A norma de Frobenius (ou Euclideana) é fácil de se calcular; é definida por

55

[ ]1

2( )F

A tr A A= ∗ O raio espectral, embora não uma norma, é freqüentemente usado como uma

norma, é definido por

( ) max ( )iiA Aρ λ=

Normas para Funções no Tempo

Para uma dada função no tempo, x(t), seu quadrado é uma medida

instantânea de potência (por exemplo, a potência associado com um resistor de 1Ω é v x i ou v2); sua integral sobre o tempo dá a energia do sinal. Esta é a norm-2 (ou norma L2) de um sinal.

2 222

0

1( ) ( ) ( )2

x t x t dt X j dω ωπ

∞ ∞

−∞

= =∫ ∫

A segunda igualdade é a declaração do teorema de Parseval. Quando a norma acima é finita, é dito que a função pertence ao espaço L2 (i.e., ela é quadraticamente integrável).

Para sinais que são limitados (no espaço L2), podemos definir a norma-∞ (ou norma de L ) por ∞

0( ) sup ( )

tx t x

∞≥

= t

Nós também podemos ter vetores cujas componentes são sinais no domínio

do tempo. Em tais casos, as normas são definidas por

0

2 '2

0

( ) sup max ( )

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

iitx t x t

x t x t x t dt X j X j dω ω ωπ

∞≥

∞ ∞∗

−∞

=

= =∫ ∫

Normas de vetores podem ser ponderadas (por exemplo, para propósitos de

escalamento). A norm-2 ponderada é

2 '

0

( ) ( ) ( )Q

x t x t Qx t∞

= ∫ dt

Por conseguinte, a função objetivo LQR é a norma ponderada dos estados e

das entrada de controle.

56

Normas de sistema Otimização no domínio da freqüência requer normas para funções de

transferência. Por exemplo, nós podemos estar interessados em pesquisar sobre todas as funções de transferência estáveis, e selecionar uma que seja ótima em algum sentido. Então, precisamos de uma norma para comparar sistemas. Há duas normas importantes, H2 e H∞ . A norma H2 é definida por

2 2

2

1 ( )2

G G j dω ωπ

∞

−∞

= ∫

Recorde do Capítulo 11 que o PSD da saída de um sistema é dado por

2( ) ( ) ( )y xS G j Sω ω ω=

Então, o valor RMS da saída é dado por

1

221 ( ) ( )

2rms xy G j S dω ω ωπ

∞

−∞

⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

∫

Para entradas de ruído branco, ( )xS ω = 1 para todas as freqüências. Conseqüentemente, o sistema de norma-H2 pode ser interpretado como o valor RMS da saída quando o sistema for excitado através de entrada de ruído branco.

A norma de H∞ é definida como

2

0 2

sup sup ( )x

GxG G

x ωjω

∞≠

= =

A segunda igualdade é válida quando o sistema é estável. Note que a norma é definida como a razão das normas L2 de saída sobre a entrada. Portanto, é conhecido também como o ganho L2 do sistema. Também pode ser mostrado que

12

12

( )

( )

yrms

rms

x

S dyGx

S d

ω ω

ω ω

∞

−∞∞ ∞

−∞

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭≥ =⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

∫

∫

Portanto, esta norma é limitada inferiormente pelo ganho em rms do sistema. A norma-∞ é importante por várias razões. Primeiro, é um ganho, com as seguinte propriedades importantes (submultiplicativa)

57

Se L GK= então L G K∞ ∞ ∞≤

A desigualdade precedente é muito útil para estabelecer resultados de estabilidade robusta. Segundo, a norma-∞ é o pico no diagrama de Bode de magnitude (ou a maior distância da origem no diagrama de Nyquist de G).

As versões multivariaveis destas normas são

( ) [ ]2 22

1 1( ) ( )2 2 i

iG trG j G j d G j dω ω ω σ ω ω

π π

− −∗

−∞ −∞

= = ∑∫ ∫

[ ]sup ( )G Gω

jσ ω∞=

Finalmente, nós definimos o espaço H2 como o espaço de funções de transferência que são estritamente própria sem pólos imaginários, e o espaço H como o espaço de funções de transferência que são estáveis e próprias.

∞

Calculando as Normas H2 e H∞

A norma H2 pode ser calculada usando-se a seguinte igualdade

2 ' '2

( ) (o cG tr BW B tr CW C= = ) onde Wo e Wc são os Gramianos de observabilidade e controlabilidade, respectivamente. Estes Gramianos são as soluções das equações de Lyapunov dadas por

' '

' '

0

0o o

c c

AW W A C C

AW W A BB

+ + =

+ + =

onde A, B, e C são as matrizes no espaço de estados do sistema.

A norma-∞ é mais difícil de se calcular. De fato, ela pode ser apenas numericamente aproximada. Considere a seguinte matriz Hamiltoniana e sua equação de Riccati associada:

'

' 1 ' 1 ''

'

H e 0

BBAA X XA XBB X C C

C C Aγ

γγ γ

γ

− −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= + +⎢ ⎥−

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

+ =

Então nós temos que

G γ∞< se e apenas se Hγ não tiver nenhum autovalor imaginário ou

58

equivalentemente G γ

∞< se e apenas se X > 0

O precedente sugere o seguinte algoritmo:

1. Escolha γ 2. Encontre os autovalores da Hamiltoniana.

3. Se a Hamiltoniana não tiver nenhum autovalor imaginário, menor que γ vá para o passo 2; caso contrário, aumente γ .

4. Pare quando γ = minγ . Então, minG γ∞= .

No passo 3, várias regras de pesquisa podem ser usadas; a regra de bissecção é adequada na maioria dos casos. Como um exemplo, podemos mostrar que

1 11s ∞

=+

59