Sistemas de Controle IAdriano Almeida Goncalves Siqueira

Aula 7 - Lugar das Raızes - Compensadores em Avanco e Atraso

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Lugar das Raízes

• Exemplo

G(s) =s + 1

s2(s + 12)

• Passo 1: Plotar no plano complexo os pólos (×)

e zeros (◦) deG(s)

• Passo 2: Determinar o LR sobre o eixo real: Seo número de pólos e zeros à direita des0 éímpar, entãos0 pertence ao LR

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Lugar das Raízes

• Passo 3: Desenhar as assíntotas do LR paraK → ∞

• Ângulo das assíntotas

φl =180◦ + 360◦(l − 1)

n−m, l = 1, 2, · · · , n−m

• Ponto de cruzamento das assíntotas,α

α =

∑pi −

∑zi

n−mSistemas de Controle I – p. 3/25

Lugar das Raízes

• Passo 4: Determinar os ângulos de partida dospólos

φpartida =∑

ψi −∑

φi − 180◦ − 360◦l

• e ângulos de chegada dos zeros

ψchegada =∑

φi −∑

ψi + 180◦ + 360◦l

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Lugar das Raízes

• Passo 5: Determinar os pontos de cruzamentocom o eixo imaginário

1) Critério de Routh

2) Substituis0 = ω0j na eq. característica edetermina-seK eω0

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Lugar das Raízes

• Passo 6: Determinar os pontos de separação departida e de chegada

a(s)b′(s) − a′(s)b(s) = 0

• Dois segmentos se separam em±90◦

• Três segmentos se aproximam com ângulorelativo de120◦ e se separam com rotação de60◦.

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Lugar das Raízes

• LR com relação a um parâmetro do sistema

• Exemplo

G(s) =1

s(s + c)

• Equação característica,K = 1

1+G(s) = 0

s2+cs + 1 = 0

1+cs

s2 + 1= 0

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Lugar das Raízes

• LR com dois parâmetros

• Motor DC + controlador PV

G(s) =1

s2 + s

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Lugar das Raízes

• Equação característica

s2 + (1 +KV )s +KP = 0

• Reescrevendo paraKP = 4

1 +KVs

s2 + s + 4= 1 +KVG(s) = 0

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Lugar das Raízes

• Variação deKP para valores maiores de4

s2 + (1 +KV )s +KP = 0

s2 + (1 +KV )s + 4 +K = 0

• Reescrevendo paraKV = 1

1 +K1

s2 + 2s + 4= 1 +KG′(s) = 0

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Compensação em Avanço e Atraso

• Compensador da forma

D(s) =s + z

s + p

• Avanço:z < p

• Atraso:z > p

• Equação característica

1 +KD(s)G(s) = 0

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Compensação em Avanço e Atraso

• Considere

G(s) =1

s(s + 1)

• Especificaçõesζ > 0, 5

ωn > 7 rad/s

• Matlab: sisotool

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Compensação em Avanço e Atraso

• Compensador em Avanço

• Como escolherz ep

• Ponto na região de interesse:s0

• Condição do LR:∠G(s) = 180◦

• Um possível resultado:s0 = −10 ± 10j,K = 580 e

D(s) =s + 7

s + 39

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Compensação em Avanço e Atraso

• Erro de regime

ess = lims→0s[1 − T (s)]R(s)

• Erro de regime para entrada rampa comK = 580 eD(s) = s+7

s+39

ess = lims→0

1

sKD(s)G(s)= 0.009

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Compensação em Avanço e Atraso

• Adição do Compensador em Atraso

D2(s) =(s + 0, 9)(s + 7)

(s + 0, 1)(s + 39)

• Erro de regime para entrada rampa

ess = lims→0

1

sKD2(s)G(s)= 0, 001

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Matlab

• Controle PV do motor DC

G(s) =1

s2 + s

• Kp = 1

• Kv = 1

• numG = 1

• denG = [1 1 0]

• G = tf(numG,denG)Sistemas de Controle I – p. 16/25

Matlab

• D1 = tf([Kv 0],1)

• G1 = feedback(G,D1)

• T = feedback(Kp*G1,1)

• pzmap(T) ou ([p,z]=pzmap(T))

• step(T)

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Matlab

• ConsiderandoKP = 4 e LR paraKV

• numG = [1 0]

• denG = [1 1 4]

• G = tf(numG,denG)

• rlocus(G)

• rlocfind(G) ou ([Kv,p] = rlocfind(G))

• Usar programa anterior com Kp = 4 e Kvcalculado

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Matlab

• Exemplo

G(s) =1

s(s + 1)

• Especificações

• Amortecimento:ζ > 0.5

• Freqüência natural:ωn > 7 rad/s• Erro de regime (rampa):ess < 0.01

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Matlab

• numG = 1

• denG = [1 1 0]

• G =tf(numG,denG)

• sisotool(G)

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Matlab

• Exemplo: Compensador em Avanço

G(s) =1

s(s2 + 51s + 550)

• Especificações p/ pólos dominantes (mais pertoda origem)• p/z = 6

• Parte real:−σ < −7

• Amortecimento:ζ > 0.6

• Erro de regime:Kv > 10Sistemas de Controle I – p. 21/25

Matlab

• numG = 1

• denG = [1 51 550 0]

• G =tf(numG,denG)

• sisotool(G)

Sistemas de Controle I – p. 22/25

Matlab

• Erro de regime:

Kv = lims→0sKD(s)G(s) = K1

6 ∗ 550= 10

K = 33000

Sistemas de Controle I – p. 23/25

Matlab

• Exemplo: Auto-piloto

G(s) =θ(s)

δe(s)=

160(s + 2, 5)(s + 0, 7)

(s2 + 5s + 40)(s2 + 0, 03s + 0, 06)

• Especificações

• Tempo de subida:tr < 1 s (ωn > 1.8 rad/s)• Sobresinal menor que10% (ζ > 0.6)

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Matlab

• numG = 160*conv([1 2.5],[1 0.7])

• denG = conv([1 5 40],[1 0.03 0.06])

• G =tf(numG,denG)

• sisotool(G)

•

D(s) =s + 3

s + 30

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