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CONTROLE NÃO-LINEAR ROBUSTO PARA SISTEMAS INCERTOS DEFASE NÃO-MÍNIMA

Luiza Goldmacher

Projeto de Graduação apresentado ao Cursode Engenharia Eletrônica e de Computaçãoda Escola Politécnica, Universidade Federaldo Rio de Janeiro, como parte dos requisitosnecessários à obtenção do título de Engenheiro.

Orientador: Eduardo Nunes

Rio de JaneiroFevereiro de 2017

Goldmacher, LuizaControle Não-Linear Robusto Para Sistemas Incertos de

Fase Não-Mínima/Luiza Goldmacher. – Rio de Janeiro:UFRJ/ Escola Politécnica, 2017.

XIV, 81 p.: il.; 29, 7cm.Orientador: Eduardo NunesProjeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/

Curso de Engenharia Eletrônica e de Computação, 2017.Referências Bibliográficas: p. 80 – 81.1. Controle Adaptativo. 2. Sistemas Incertos. 3.

Sistemas de Fase Não-Mínima. I. Nunes, Eduardo. II.Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica,Curso de Engenharia Eletrônica e de Computação. III.Título.

iii

Aos meus pais, Sandra e Selmo.

iv

Agradecimentos

Gostaria de agradecer, primeiramente, aos meus pais pelo amor, apoio, incentivo epor sempre acreditarem em mim e no meu potencial. Vocês compartilharam comigocada vitória e derrota. Eu amo vocês.

Agradeço aos meus amigos pelos momentos que compartilhamos juntos durantetoda a minha jornada, desde a escola até a universidade.

Agradeço ao meu orientador, Eduardo Vieira Leão Nunes, pela paciência e dedi-cação que possibilitaram a realização desse trabalho.

Um agradecimento, em especial, ao professor Carlos José Ribas D’Avila, quecontribuiu muito com a minha formação e sempre teve um conselho ou uma palavracarinhosa quando precisei.

A todos que direta ou indiretamente fizeram parte da minha formação, muitoobrigada.

v

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ comoparte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Eletrônicoe de Computação.

CONTROLE NÃO-LINEAR ROBUSTO PARA SISTEMAS INCERTOS DEFASE NÃO-MÍNIMA

Luiza Goldmacher

Fevereiro/2017

Orientador: Eduardo Nunes

Curso: Engenharia Eletrônica e de Computação

Este trabalho apresenta um estudo de técnicas de controle avançado para siste-mas incertos, com ênfase em controle adaptativo e controle por modos deslizantes.Inicialmente é feito um estudo detalhado sobre uma técnica de controle adapta-tivo chamada de Simple Adaptive Control (SAC). Para ilustrar o desempenho destatécnica em uma aplicação prática é considerado o controle de altitude de um ae-romodelo denominado Tower Trainer 60. O modelo linearizado é descrito por umafunção de transferência com zeros localizados no semi-plano lateral direito, sendoportanto um sistema de fase não-mínima. O desempenho do SAC é avaliado pormeio de simulações numéricas considerando o problema de rastreamento de traje-tórias utilizando somente realimentação de saída e a possibilidade da existência deperturbações no sistema. Para tentar obter maior robustez a perturbações uma novaabordagem é proposta. O novo esquema consiste de um controlador por modos des-lizantes baseado no SAC. Essa nova estratégia também é empregada para o controledo aeromodelo e o seu desempenho é verificado por simulações numéricas.

Palavras-Chave: Sistemas Incertos, Controle Adaptativo, Controle por ModosDeslizantes, Simple Adaptive Control.

vi

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillmentof the requirements for the degree of Engineer.

ROBUST NONLINEAR CONTROL FOR NONMINIMUM-PHASE ANDUNCERTAIN SYSTEMS

Luiza Goldmacher

February/2017

Advisor: Eduardo Nunes

Course: Electronic Engineering

This work presents a study of advanced control techniques for uncertain systems,with emphasis on adaptive control and sliding mode control. Initially a detailedstudy is made on an adaptive control technique called Simple Adaptive Control(SAC). In order to illustrate the performance of this technique in a practical appli-cation, the altitude control of a Tower Trainer 60 model is considered. The linearizedmodel is described by a transfer function with zeros located in the right half-plane,being therefore a non-minimum phase system. The performance of the SAC is eval-uated through numerical simulations considering the trajectory tracking problemusing only output feedback and the possibility of system disturbances. In order toobtain greater robustness to disturbances a new approach is proposed. The newscheme consists of a sliding mode controller based on the SAC. This new strategy isalso used to control the model aircraft and its performance is verified by numericalsimulations.

Keywords: Uncertain Systems, Adaptive Control, Sliding Mode Control, SimpleAdaptive Control

vii

Sumário

Lista de Figuras x

1 Introdução 11.1 Divisão do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Conceitos Teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Funções de Transferência SPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Matrizes Positivas Definidas e Semidefinidas . . . . . . . . . . 61.2.3 Estabilidade de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4 Grau Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Aspectos Básicos do Controle Adaptativo e do Controle por ModosDeslizantes 112.1 Controle Adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Controle Adaptativo por Modelo de Referência - MRAC . . . 112.2 Controle por Modos Deslizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Principais Conceitos do Controle por Modos Deslizantes . . . 172.2.2 Condições para a Existência do Modo Deslizante . . . . . . . . 18

3 Simple Adaptive Control 213.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Rastreamento de Trajetória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1 Gerador de Comandos para Rastreamento . . . . . . . . . . . 223.2.2 Modificação para Rastreamento de uma Classe Maior de Sinais

de Entradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.3 Controle Adaptativo Baseado em CGT . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Paralell Feedforward Configuration - (PFC) . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Falta de Robustez no SAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Aplicação do SAC para o Controle de um Veículo Aéreo Não Tri-pulado 374.1 Descrição do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.1 Simulações e Análise dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . 41

viii

5 Controle por Modos Deslizantes baseado no SAC e combinado como PFC 615.1 Simulações e Análise dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6 Conclusão e Trabalhos Futuros 736.1 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

A Matrizes Positivas Definidas: Provas das Condições 75

B Equação de Lyapunov: Prova do Teorema 1 78

Referências Bibliográficas 80

ix

Lista de Figuras

2.1 Diagrama de blocos do exemplo de sistema com planta conhecidautilizando controle por modelo de referência. . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Diagrama de blocos do MRAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Plano de Fase do Sistema Exemplificado . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Diagrama de Blocos Utilizado para Projeto do Controlador por Modos

Deslizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Simulação de x1(t) e x2(t) no Projeto do Controlador por Modos

Deslizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6 Simulação de u(t) no Projeto do Controlador por Modos Deslizantes . 20

3.1 Diagrama de blocos do rastreamento de trajetória. . . . . . . . . . . . 223.2 Gráfico do sinal de controle do modelo no exemplo de rastreamento

de trajetória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Gráfico do sinal de controle ideal no exemplo de rastreamento de

trajetória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4 Gráfico do casamento entre a saída da planta e do modelo no exemplo

de rastreamento de trajetória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5 Diagrama de blocos do PFC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.6 Diagrama de blocos do SAC com PFC. . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.7 Diagrama de blocos do SAC com PFC equivalente. . . . . . . . . . . 34

4.1 Tower Trainer 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2 Esquema da cauda de uma aeronave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Diagrama de Blocos do Altitude Hold Scheme . . . . . . . . . . . . . 394.4 Diagrama de blocos do sistema utilizado para ajuste de parâmetros

no exemplo de rastreamento de trajetória de um UAV . . . . . . . . . 414.5 Diagrama de Blocos do Controlador SAC . . . . . . . . . . . . . . . . 414.6 Saída da planta (•) e do modelo (•) com onda quadrada de amplitude

= 1 e período = 10s e �x

= 1, �u

= 1, �e

= 1 e � = 1 . . . . . . . . . 424.7 Erro de Rastreamento com onda quadrada de amplitude = 1 e período

= 10s e �x

= 1, �u

= 1, �e

= 1 e � = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

x

4.8 Saída da planta (•) e do modelo (•) com onda quadrada de amplitude= 1 e período = 10s e �

x

= 100, �u

= 10, �e

= 10 e � = 1 . . . . . . . 434.9 Erro de Rastreamento com onda quadrada de amplitude = 1 e período

= 10s e �x

= 100, �u

= 10, �e

= 10 e � = 1 . . . . . . . . . . . . . . 434.10 Saída da planta (•) e do modelo (•) com onda quadrada de amplitude


= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 1 . . . 444.11 Erro de Rastreamento com onda quadrada de amplitude = 1 e período

= 10s e �x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 1 . . . . . . . . . . . 444.12 Saída da planta (•) e do modelo (•) com entrada u

m

(t) =

sin(2⇡0.09) + sin(2⇡0.06) e �x

= 1, �u

= 1, �e

= 1 e � = 1 . . . . . 454.13 Erro de Rastreamento com entrada u

m

(t) = sin(2⇡0.09)+sin(2⇡0.06)

e �x

= 1, �u

= 1, �e

= 1 e � = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.14 Saída da planta (•) e do modelo (•) com entrada u

m

(t) =

sin(2⇡0.09) + sin(2⇡0.06) e �x

= 100, �u

= 10, �e

= 10 e � = 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.15 Erro de Rastreamento com entrada u

m

(t) = sin(2⇡0.09)+sin(2⇡0.06)

e �x

= 100, �u

= 10, �e

= 10 e � = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.16 Saída da planta (•) e do modelo (•) com entrada u

m

(t) =

sin(2⇡0.09) + sin(2⇡0.06) e �x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e� = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.17 Erro de Rastreamento com entrada um

(t) = sin(2⇡0.09)+sin(2⇡0.06)

e �x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 1 . . . . . . . . . . . . . . . 474.18 Saída da planta (•) e do modelo (•) com onda quadrada de amplitude


= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 0.1 . . 484.19 Erro de Rastreamento com onda quadrada de amplitude = 1 e período

= 10s e �x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 0.1 . . . . . . . . . . 484.20 Saída da planta (•) e do modelo (•) com onda quadrada de amplitude


= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 0.01 . . 494.21 Erro de Rastreamento com onda quadrada de amplitude = 1 e período

= 10s e �x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 0.01 . . . . . . . . . . 494.22 Saída da planta (•) e do modelo (•) com u

m

(t) = sin(2⇡0.09) +

sin(2⇡0.06) e �x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 0.1 . . . . . . . 504.23 Erro de Rastreamento com u

m

(t) = sin(2⇡0.09)+sin(2⇡0.06) e �x

=

1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.24 Saída da planta (•) e do modelo (•) com u

m

(t) = sin(2⇡0.09) +

sin(2⇡0.06) e �x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 0.01 . . . . . . 514.25 Erro de Rastreamento com u

m

(t) = sin(2⇡0.09)+sin(2⇡0.06) e �x

=

1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.26 Diagrama de Blocos do Sistema com Perturbação de Entrada . . . . . 52

xi

4.27 Diagrama de Blocos do Sistema com Perturbação de Entrada e de Saída 524.28 Saída da planta (•) e do modelo (•) com perturbação na entrada da

planta do tipo degrau com amplitude = 0.01 aplicada em t= 20s . . 534.29 Erro de Rastreamento com perturbação na entrada da planta do tipo

degrau com amplitude = 0.01 aplicada em t= 20s . . . . . . . . . . . 534.30 Controle com perturbação na entrada da planta do tipo degrau com

amplitude = 0.01 aplicada em t= 20s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.31 Saída da planta (•) e do modelo (•) com perturbação na entrada da

planta do tipo senóide com amplitude = 0.001 e frequência = 1 rad/s 544.32 Erro de Rastreamento com perturbação na entrada da planta do tipo

senóide com amplitude = 0.001 e frequência = 1 rad/s . . . . . . . . 554.33 Controle com perturbação na entrada da planta do tipo senóide com

amplitude = 0.001 e frequência = 1 rad/s . . . . . . . . . . . . . . . . 554.34 Saída da planta (•) e do modelo (•) com perturbação na entrada da

planta do tipo degrau com amplitude = 0.001 aplicada em t= 20se perturbação na saída da planta do tipo senóide com amplitude =

0.001 e frequência= 5 rad/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.35 Erro de Rastreamento ccom perturbação na entrada da planta do tipo

degrau com amplitude = 0.001 aplicada em t= 20s e perturbação nasaída da planta do tipo senóide com amplitude = 0.001 e frequência=5 rad/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.36 Saída da planta (•) e do modelo (•) com perturbação na entrada daplanta do tipo senóide com amplitude = 0.01 e frequência = 1 rad/s eperturbação na saída da planta do tipo senóide com amplitude = 0.01

e frequência= 5 rad/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.37 Erro de Rastreamento com perturbação na entrada da planta do tipo

senóide com amplitude = 0.01 e frequência = 1 rad/s e perturbação nasaída da planta do tipo senóide com amplitude = 0.01 e frequência= 5

rad/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.38 Controle com perturbação na entrada da planta do tipo senóide com

amplitude = 0.01 e frequência = 1 rad/s e perturbação na saída daplanta do tipo senóide com amplitude = 0.01 e frequência= 5 rad/s . 58

4.39 Saída da planta (•) e do modelo (•) com perturbação na entradada planta do tipo degrau com amplitude = 0.1 aplicada em t= 20s eperturbação na saída da planta do tipo senóide com amplitude = 0.01

e frequência= 5 rad/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

xii

4.40 Erro de Rastreamento com perturbação na entrada da planta do tipodegrau com amplitude = 0.1 aplicada em t= 20s e perturbação nasaída da planta do tipo senóide com amplitude = 0.01 e frequência= 5

rad/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.41 Controle com perturbação na entrada da planta do tipo degrau com

amplitude = 0.1 aplicada em t= 20s e perturbação na saída da plantado tipo senóide com amplitude = 0.01 e frequência= 5 rad/s . . . . . 59

5.1 Diagrama de Blocos do Sistema com Perturbação de Entrada e de Saída 625.2 Diagrama de Blocos do Controlador SAC combinado com SMC . . . 625.3 Saída da planta (•) e do modelo (•) com onda quadrada de amplitude

= 0.5 e frequência = 0.02s e �x

= 10, �u

= 10, �e

= 10 . . . . . . . . 635.4 Erro de Rastreamento com onda quadrada de amplitude = 0.5 e

frequência = 0.02s e �x

= 10, �u

= 10, �e

= 10 . . . . . . . . . . . . . 635.5 Controle com onda quadrada de amplitude = 0.5 e frequência = 0.02s

e �x

= 10, �u

= 10, �e

= 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.6 Saída da planta (•) e do modelo (•) com u

m

(t) = sin(2⇡0.06) +

sin(2⇡0.09) e �x

= 10, �u

= 10, �e

= 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 645.7 Erro de Rastreamento com u

m

(t) = sin(2⇡0.06)+sin(2⇡0.09) e �x

=

10, �u

= 10, �e

= 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.8 Controle com u

m

(t) = sin(2⇡0.06) + sin(2⇡0.09) e �x

= 10, �u

= 10,�e

= 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.9 Saída da planta (•) e do modelo (•) com perturbação na entrada da

planta do tipo degrau com amplitude = 0.01 aplicada em t= 20s . . 665.10 Erro de Rastreamento com perturbação na entrada da planta do tipo

degrau com amplitude = 0.01 aplicada em t= 20s . . . . . . . . . . . 665.11 Saída da planta (•) e do modelo (•) com perturbação na entrada da

planta do tipo senóide com amplitude = 0.001 e frequência = 1 rad/s 675.12 Erro de Rastreamento com perturbação na entrada da planta do tipo

senóide com amplitude = 0.001 e frequência = 1 rad/s . . . . . . . . 685.13 Controle com com perturbação na entrada da planta do tipo senóide

com amplitude = 0.001 e frequência = 1 rad/s . . . . . . . . . . . . . 685.14 Saída da planta (•) e do modelo (•) com perturbação na entrada

da planta do tipo senóide com amplitude = 0.01 e e frequência = 1

rad/s e perturbação na saída da planta do tipo senóide com amplitude= 0.01 e frequência= 5 rad/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

xiii

5.15 Erro de Rastreamento com perturbação na entrada da planta do tiposenóide com amplitude = 0.01 e e frequência = 1 rad/s e pertur-bação na saída da planta do tipo senóide com amplitude = 0.01 efrequência= 5 rad/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.16 Controle com perturbação na entrada da planta do tipo senóide comamplitude = 0.01 e e frequência = 1 rad/s e perturbação na saída daplanta do tipo senóide com amplitude = 0.01 e frequência= 5 rad/s . 70

5.17 Saída da planta (•) e do modelo (•) com perturbação na entradada planta do tipo degrau com amplitude = 0.1 aplicada em t= 20s eperturbação na saída da planta do tipo senóide com amplitude = 0.01

e frequência= 5 rad/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.18 Erro de Rastreamento com perturbação na entrada da planta do tipo

degrau com amplitude = 0.1 aplicada em t= 20s e perturbação nasaída da planta do tipo senóide com amplitude = 0.01 e frequência= 5

rad/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.19 Controle com perturbação na entrada da planta do tipo degrau com

amplitude = 0.1 aplicada em t= 20s e perturbação na saída da plantado tipo senóide com amplitude = 0.01 e frequência= 5 rad/s . . . . . 71

xiv

Capítulo 1

Introdução

Um dos principais objetivos do controle de um sistema dinâmico, é garantir queo controlador desenvolvido tenha um desempenho satisfatório, independente de in-certezas e perturbações, que podem ocorrer devido a dinâmicas não modeladas,variações nos parâmetros da planta e por distúrbios externos. As principais estra-tégias utilizadas para lidar com esses sistemas incertos são o controle adaptativo eo controle por modos deslizantes.

O controle adaptativo começou a ser estudado no começo dos anos 50 quandohouve a necessidade de se desenvolver um piloto automático para aeronaves de altaperformance, cujos parâmetros sofrem grandes variações, por conta da mudança develocidade e de altitude. Essa técnica foi proposta como uma alternativa que fizesseum ajuste automático dos parâmetros do controlador dependendo das diferentescondições de operação da aeronave [1].

Seu princípio é que o sinal de controle seja calculado utilizando estimativas dosparâmetros incertos da planta ou dos parâmetros do controlador, obtidas em temporeal através de dados de sinais mensuráreis do sistema. Esse tipo de controle possuidiversas variantes, sendo o controle adaptativo por modelo de referência (MRAC,do termo inglês Model Reference Adaptive Control) o mais prestigiado naliteratura [2]. Nessa técnica, a adaptação é feita através da estimação de parâme-tros utilizando uma ação integral pura, o que pode resultar em pouca robustez napresença de dinâmicas não modeladas[3].

Para melhorar a robustez e o desempenho, uma variação dessa técnica foi pro-posta, chamada de controle adaptativo simples (Simple Adaptive Control -(SAC)). Para o caso específico dos sistemas de fase não-mínima, cuja característicaé possuir função de transferência que apresenta zeros no semi-plano lateral direito(S.P.L.D) do plano s, foi proposto utilizar esse procedimento combinado com o “Pa-rallel Feedforward Configuration (PFC)", em uma tentativa de tornar menosdesafiador o sistema a ser controlado [4].

Essa teoria é aplicada ao problema de rastreamento de trajetórias para um Veí-

1

culo Aéreo Não Tripulado (UAV). Esse é um tipo de aeronave que não necessitade pilotos embarcados para ser guiada, ao invés, é controlado à distância por meioscomputacionais, sob supervisão humana ou não. Os UAVs foram idealizados parafins militares, como por exemplo para resgates em áreas de difícil acesso, mas sãotambém utilizados por civis na agricultura, para identificação rápida de pragas. Por-tanto, esse é um caso interessante no qual diferentes técnicas de controle poderiamser aplicadas na busca de um melhor desempenho.

Neste trabalho, é considerado o controle de altitude de um aeromodelo deno-minado Tower Trainer 60. O modelo linearizado é descrito por uma função detransferência com zeros localizados no semi-plano lateral direito, sendo portanto umsistema de fase não-mínima. O desempenho do SAC é avaliado por meio de simula-ções numéricas considerando o problema de rastreamento de trajetórias utilizandosomente realimentação de saída e a possibilidade da existência de perturbações nosistema.

O controle por modos deslizantes (Sliding Mode Control-SMC) é outra im-portante abordagem para o controle robusto de sistemas incertos. Nessa abordagemé possível combinar diferentes estruturas do sistema realimentando, obtendo propri-edades mais vantajosas, que não poderiam ser alcançadas considerando cada umadessas estruturas separadamente [5]. (E.g. um sistema estável constituído por es-truturas instáveis). Além disso, o chaveamento entre essas estruturas pode gerarum novo tipo de movimento denominado de modo deslizante. Esse movimento é,sob certas condições, invariante com relção às incertezas da planta, propriedadeconhecida como princípio da invariância. Um problema inerente à essa estratégia,ocasionado pelo chaveamento em alta frequência, seria o fenômeno denominado dechattering, que consiste em uma oscilção de alta frequência do sinal de controle, quepode até instabilizar o sistema [6].

Novamente, no caso dos sistemas de fase não-mínima, o controle por modosdeslizantes na sua forma convencional não pode ser aplicado, uma vez que essaabordagem é baseada em alto ganho, tornando o sistema instável. Nesse traba-lho, uma modificação do controlador SAC é proposta, substituindo a adaptação dosganhos pela síntese direta baseada em técnicas de controle por modos deslizantes.Uma avaliação dessa estratégia é feita por meio de simulações numéricas conside-rando novamente o problema de rastreamento de trajetórias de um veículo aéreonão tripulado utilizando somente realimentação de saída.

1.1 Divisão do Trabalho

Esse trabalho está dividido da seguinte forma:

• No capítulo 2 são apresentados conceitos básicos das técnicas de controle para

2

sistemas incertos. Especificamente, o controle adaptativo e o controle pormodos deslizantes.

• No capítulo 3 são apresentadas as características e o desenvolvimento teó-rico do Simple Adaptive Control (SAC), uma variação da técnica de controleadaptativo por modelo de referência.

• Já no capítulo 4, o controlador SAC é aplicado ao problema de rastreamentode trajetórias de um veículo aéreo não tripulado (UAV), utilizando somenterealimentação de saída . O desempenho do controlador é testado por meio desimulações numéricas considerando a existência de perturbações e incertezasparamétricas.

• No capítulo 5, é apresentada uma proposta que altera o uso do Simple AdaptiveControl e o combina com técnicas de controle por modos deslizantes. O de-sempenho da nova estratégia é avaliada usando o mesmo exemplo do capítuloanterior.

• Por último, no capítulo 5, são apresentadas conclusões gerais sobre o trabalhoe perspectivas futuras visando a continuidade do mesmo.

1.2 Conceitos Teóricos

1.2.1 Funções de Transferência SPR

Primeiramente, o termo ASPR vem do inglês “Almost Strictly Positive Real"e esseconceito foi introduzido, devido ao fato, de que a condição SPR (Strictly PositiveReal) é restritiva, não sendo satisfeita por muitos sistemas de interesse prático. Oconceito de funções reais positivas surgiu dentro do contexto de toeria de circuitospara caracterizar sistemas passivos, ou seja, aqueles que não geram energia, quepossuem função de transferência racional e real positiva.

Segundo [1] , se a função de trasnferência de um sistema linear é chamada de realpositiva, então este possui propriedades importantes que podem levar à criação deuma função de Lyapunov, que será brevemente apresentada adiante. Esses sistemaspassivos são de extrema importância na análise e projeto do controle de sistemasnão-lineares.

Definição 1 uma função de transferência h(p) é positiva real (do inglês, positivereal - PR) se:

Re[h(p)] � 0, 8Re[p] � 0

e é estritamente positiva real (do inglês, strictly positive real - SPR ) seh(p� ") for positiva real para algum " > 0.

3

Isso significa que h(p) sempre tem uma parte real positiva, ou nula, quando p

possui parte real positiva (ou nula).

• Exemplo:

h(p) =1

p+ 1

Essa é uma função de transferência de primeira ordem, com polo no semi-planolateral esquerdo e igual a menos um. Transformando-a para a sua variávelcomplexa correspondente, tem-se:

h(p) =1

(� + 1) + j!=

(� + 1)� j!

(� + 1)2 + !2

Re[h(p)] =� + 1

(� + 1)2 + !2

Re[p] = �

A partir disso, é possível ver que para � � 0, tem-se Re[h(p)] � 0. Logo,h(p) é uma função positiva real. Caso seja escolhido " = 1

2 , também é possívelafirmar que h(p� ") é positiva real e, consequentemente, h(p) é SPR.

Teorema 1 uma função de transferência h(p) é considerada SPR se e somentese:

1. h(p) é uma função de transferência estritamente estável, i.e., todos os pólostêm parte real negativa.

2. a parte real de h(p) é estritamente positiva ao longo do eixo jw , ou seja,

8w � 0, Re[h(jw)] > 0

Devido ao Teorema 1, há a neccesidade de certas condições para afirmar queh(p) é realmente SPR:

• h(p) é estritamente estável

• O gráfico de Nyquist de h(jw) está localizado por inteiro no lado direito doplano. O que resulta em uma mudança de fase sempre menor que 90� , quandoo sistema responde à entradas senoidais

4

• h(p) tem grau relativo igual a zero ou um

• h(p) é estritamente de fase-mínima (todos os zeros estão no semi-plano lateralesquerdo)

Observação: A principal diferença, entre funções de transferência PR e SPR, éque a primeira aceita polos no eixo jw, enquanto a segunda não.

• Exemplo:

h(p) =1

p

Transformando-a para a sua variável complexa correspondente, tem-se:

h(p) =� � j!

�2 + !2

Re[h(p� ")] =� � "

(� � ")2 + !2

Dessa forma, para � = 0, é facil verificar que Re[h(p � ")] é negativa paraqualquer valor de ". Logo, h(p) é PR, mas não é SPR.

Por último, tem-se:Teorema 2 uma função de transferência h(p) é considerada PR se e somente

se:

1. h(p) é uma função de transferência estável

2. os polos de h(p) no eixo jw são simples, em outras palavras distintos, e osresíduos associados a eles são reais e positivos.

3. Re[h(jw)] � 0 para qualquer w � 0, tal que jw não seja polo de h(p)

Suponha então, uma função de transferência P (s). Se existir um ganho constanteK, não necessariamente conhecido, que faz com que a função de transferência demalha fechada:

Z(s) =P (s)

1 +KP (s)

seja SPR, então P (s) pode ser considerada quase estritamente positiva real (doinglês, almost strictly positive real - ASPR).

5

1.2.2 Matrizes Positivas Definidas e Semidefinidas

Para analisar a estabilidade de um sistema x = Ax é necessario conhecer todos osautovalores da matriz de estado e, caso esses possuam parte real negativa, o sistemaé estável. O cálculo parte da matriz A, onde são encontradas as raízes do polinômiocaracterístico, como na expressão abaixo:

⇢(�) = det(A� �I) = 0

A partir disso, é possível referir sobre estabilidade e, até mesmo, analisar melhoro sistema. Porém, nem sempre é possível calcular as raízes do polinômio da matrizA com facilidade. Por exemplo, no caso de uma matriz com dimensão 4x4, calcularo determinante se torna um processo muito trabalhoso. Uma solução para esseproblema é o uso de matrizes positivas definidas e semidefinidas.

Funções Positivas Definidas e Semidefinidas

Segundo [7], seja um vetor x 2 Rn e f(x) uma função f : Rn ! R, tem-se:

• A função f(x) é denominada positiva definida se f(x) > 0 8x 6= 0

Exemplo: f(x1, x2) = x21+x2

2, f(x1, x2) > 0, 8(x1, x2) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0

• A função f(x) é denominada positiva semidefinida se f(x) � 0 e 9 x 6= 0, talque f(x) = 0

Exemplo: f(x1, x2) = x21 + (x2 � 1)2, f(x1, x2) � 0, 8(x1, x2) e f(0, 1) = 0

Decomposição de Funções Quadráticas em Matrizes

Funções Quadrádaticas podem ser representadas da seguinte forma:

f(x1, x2, ..., xn

) =nX

i=1

nX

j=1

aij

xi

xj

nX

i=1

nX

j=1

aij

xi

xj

=hx1 x2 ... x

n

i

2

66664

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

: :. . . :

an1 a

n2 ... ann

3

77775

2

66664

x1

x2

:

xn

3

77775

nX

i=1

nX

j=1

aij

xi

xj

= xTAx

6

onde x1, x2, ..., xn

2 R e A 2 Rn⇥n.Neste caso, a matriz A não precisa ser simétrica, porém sempre haverá uma forma

de torná-la simétrica. No exemplo abaixo, a primeira matriz A não é simétrica, masa segunda consegue ser de forma a :

f(x1, x2) = 2x21 + 5x1x2 + 3x2

2 =hx1 x2

i " 2 1

4 3

#"x1

x2

#

ou

f(x1, x2) = 2x21 + 5x1x2 + 3x2

2 =hx1 x2

i " 2 2.5

2.5 3

#"x1

x2

#

Assim, daqui em diante, a matriz A será sempre considerada como simétrica paraser possível utilizar algumas propriedades desse tipo de matriz. Com isso, pode-seutilizar os conceitos de funções positivas definidas e semidefinidas para as matrizesfazendo a seguinte associação:

f(x) = xTAx � 0

Matrizes Positivas Definidas

Os seguintes testes são condições necessárias e suficientes para que uma matriz reale simétrica A seja dita positiva definida:

1. xTAx > 0, 8x 6= 0.

2. Todos os autovalores de A são maiores que zero.

3. Todas as submatrizes quadradas superiores à esquerda Ak

tem determinantespositivos.

4. Todos os pivôs(sem troca de linhas) dk

são positivos.

5. Existe uma matriz R com o posto completo por colunas, tal que, A = RTR.

) As provas destas condições se encontram no Apêndice A.

Matrizes Positivas Semidefinidas

As condições para uma matriz ser positiva semidefinida são menos restritivas, per-mitindo que zeros apareçam. As provas neste caso são bastante parecidas com asanteriores e por isso serão omitidas. Sabendo disso, os seguintes testes são condiçõesnecessárias e suficientes para que uma matriz real e simétrica A seja dita positivasemidefinida:

7

1. xTAx � 0, 8x 6= 0.

2. Todos os autovalores de A são maiores ou iguais a zero.

3. As submatrizes quadradas superiores à esquerda Ak

não tem determinantesnegativos.

4. Os pivôs(sem troca de linhas) dk

não são negativos.

5. Existe uma matriz R, possivelmente com colunas linearmente independentes,tal que, A = RTR.

Exemplo

Dada uma matriz positiva definida P , que possui todos os seus autovalores positivos,é possível criar uma matriz N = �P , onde todos os seus autovalores serão negativos.Esta, então, será uma matriz negativa definida. Se essa matriz N estivesse associadaa um sistema, este seria assintoticamente estável já que todos os autovalores possuemparte real negativa. Portanto, a estabilidade de um sistema pode ser verificadatestando se A é negativa definida ou se �A é positiva definida. Para isso, é necessárioutilizar as condições provadas acima.

A =

2

66664

�8 �1 �4 �1

�2 �3 0 �3

�3 0 �7 �1

�1 0 �4 �8

3

77775

�A =

2

66664

8 1 4 1

2 3 0 3

3 0 7 1

1 0 4 8

3

77775

Utilizando a condição 3, que diz que todas as submatrizes quadradas superioresà esquerda A

k

devem ter determinantes positivos, tem-se:

|� A1| = |8| = 8

|� A2| =

��8 1

2 3

�� = 22

8

|� A3| =

��

8 1 4

2 3 0

3 0 7

��= 118

|� A3| =

��

8 1 4 1

2 3 0 3

3 0 7 1

1 0 4 8

��

= 868

Todos os determinantes das submatrizes são maiores que zero, então pode-sedizer que a matriz �A é positiva definida. Logo, a matriz A é negativa definida e,portanto, o sistema relacionado é estável.

1.2.3 Estabilidade de Lyapunov

A maioria dos casos práticos encontrados no mundo real, são sistemas não-lineares.Sendo assim, quando se projeta ou estuda um sistema de controle, o normal é tentaraproximá-lo a um sistema linear, já que suas técnicas de controle são bem conhecidase consistentes. Para isso, é feita uma linearização na proximidade dos pontos deequilíbrio do sistema, ou seja, quando x(t) = 0, 8t > 0. Apesar desse processo sersatisfatório, há casos onde é necessário uma visão geral do sistema e, com isso, anecessidade de provar uma estabilidade global.

O primeiro trabalho teórico sobre estabilidade de sistemas de controle não-lineares foi publicado por Aleksandr Lyapunov, em 1892 [8]. O método propostoconsiste em generalizar o conceito de energia na forma de uma função de LyapunovV (x) : Rn ! R. Esta função apresentaria as seguintes caracterísiticas:

V (x) > 0,8x 6= 0

V (0) = 0

eV (x) =

@V

@t 0

A função equivalente à energia V (x) é positiva para qualquer vetor x 6= 0 en-quanto a sua derivada V (x) indica que a energia não aumenta, somente diminui oupermance constante, algo coerente pois os sistemas considerados são autônomos, ouseja, sem fonte de energia.

Com base no estudo feito na seção anterior, pode-se dizer que V (x) é uma funçãopositiva definida e V (x) é uma função negativa semidefinida ou que �V (x) é positivasemidefinida.

9

Equação de Lyapunov

Apesar da importância da função de Lyapunov no caso de sistemas não-lineares,nesta seção, por simplicidade, será restringido o estudo de sistemas lineares.

Considere o sistema descrito por:

x(t) = Ax(t)

Seja V (x) = xTPx, onde P = P T > 0, uma função de Lyapunov. A derivada deV (x) em função do tempo é dada por:

V = xTPx+ xTPx

= xTATPx+ xTPAx

= xT (ATP + PA)x

= �xTQx

E, com isso, pode-se dizer que:

�Q = ATP + PA, Q = QT > 0

A essa última igualdade damos o nome de equação de Lyapunov.

Propriedades da Equação de Lyapunov

Teorema 1 Todos os autovalores de A tem parte real negativa se, e somente se,dada qualquer matriz simétrixa positiva definida Q a Equação de Lyapunov ATP +

PA = �Q tem como solução uma matriz P simétrica e positiva definida.

) A prova deste teorema se encontra no Apêndice B.

1.2.4 Grau Relativo

As funções de transferências de ordem n de sistemas lineares com somente umaentrada e uma saída podem ser representadas por:

h(p) =bm

pm + bm�1p

m�1 + ...+ b0pn + a

n�1pn�1 + ...+ a0

Assume-se que os coeficientes do polinômio do numerador e do denominador sãonúmeros reais e que n � m. A diferença n �m entre a ordem do denominador e ado numerador é chamada de grau relativo do sistema [1].

10

Capítulo 2

Aspectos Básicos do Controle

Adaptativo e do Controle por Modos

Deslizantes

2.1 Controle Adaptativo

O Controle Adaptativo é uma abordagem bastante utilizada para lidar com sistemasdinâmicos incertos e tem como finalidade manter o sistema funcionando de formasatisfatória independentemente de variações que possam ocorrer. Existem dois tiposde incertezas que podem aparecer em um sistema, paramétricas ou estruturais. Naprimeira, tem-se o conhecimento nominal da planta, mas seus parâmetros são des-conhecidos ou variantes no tempo. Já no segundo caso, a incerteza é caracterizadapor dinâmicas não modeladas.

Para que o controlador tenha capacidade de lidar com situações desconhecidasele utiliza informações conhecidas do sistema para se adaptar. Essa adaptação podeser feita de duas formas [1, 9]:

• Método Indireto: os parâmetros desconhecidos da planta são estimados eos parâmetros do controlador são calculados a partir dessas estimativas.

• Método Direto: nesse caso, os parâmetro do controlador são estimados di-retamente através de uma lei de adaptação.

2.1.1 Controle Adaptativo por Modelo de Referência -

MRAC

Existe na literatura diferentes estratégias de controle adaptativo, mas a mais abor-dada seria o Controle Adaptativo por Modelo de Referência, do inglês Model Refe-rence Adaptive Control - MRAC . Seu objetivo é produzir um sinal de controle que

11

torne o comportamento do sistema próximo ao de um modelo de referência escolhidopelo projetista, independente de incertezas e perturbações. Para que isso seja pos-sível, os parâmetros do controlador, que são responsáveis pelo casamento da plantacom o modelo, são estimados através de uma lei de adaptação [2, 9].

A planta considerada é desconhecida, monovariável, linear e invariante no tempo,com grau relativo ⇢ e com função de transferência:

Gp

(s) = Kp

Np

(s)

Dp

(s)

A entrada do sistema é u e sua saída é yp

, onde:

• Kp

é o ganho em alta frequência.

• Dp

(s) é um polinômio mônico de grau np

.

• Np

(s) é um polinômio mônico de grau mp

.

• Assim, o grau relativo é ⇢ = np

�mp

.

Já, o modelo de referência M(s) tem como entrada r, saída ym

e seu grau relativoé igual ao da planta, ou seja, ⇢. Sua função de transferência é descrita por:

M(s) = Km

Nm

(s)

Dm

(s)

sendo:

• Km

o ganho em alta frequência.

• Nm

(s) e Dm

(s) polinômios mônicos.

Como os parâmetros da planta são desconhecidos, precisamos de uma lei deadaptação que gera estimativas dos parâmetros do controlador em tempo real. Paraimplementar esesa lei de adaptação, é necessário assumir que a planta e o modelosatisfazem as seguintes suposições [2] :

Hipóteses sobre a planta:

• P1. Np

(s) é um polinômio Hurwitz mônico de grau mp

.

• P2. Dp

(s) tem um limite superior n de grau np

que é conhecido.

• P3. Gp

(s) tem grau relativo ⇢ = np

�mp

conhecido.

• P4. O sinal do ganho de alta frequência Kp

é conhecido.

Hipóteses sobre o modelo:

12

• M1. Nm

(s) e Dm

(s) são polinômios Hurwitz mônicos de grau qm

e pm

, res-pectivamente, onde p

m

n.

• M2. O grau relativo de M(s) é igual ao de Gp

(s), ou seja, ⇢m

= pm

� qm

= ⇢.

Conforme [10], para gerar o sinal de controle são utilizados os seguintes filtrosde entrada e saída:

!1 = ⇤!1 + gu

!2 = ⇤!2 + gyp

onde !1 e !2 2 Rn�1, ⇤ é escolhido de forma que o polinômio det(sI � ⇤) sejaHurwitz e g é um vetor constante, tal que (⇤, g) seja controlável.

Como o sinal de controle é uma cobinação linear dos vetores !1 e !2 com a saídayp

da planta e o sinal de referência r, é possível concatenar esses parâmetros juntosem um vetor regressor w:

wT (t) =h!T

1 yp

!T

2 ri

O controle pode ser descrito por:

u(t) = ✓T (t)w(t)

sendo ✓T (t) um vetor de parâmetros adaptativos descrito desta forma:

✓T (t) =h(✓1(t)...✓n�1(t)) ✓

n

(t) (✓n+1(t)...✓2n�1(t)) ✓2n(t)

i

Para sistemas monovariáveis existe um vetor constante ✓⇤ que faz com que a fun-ção de transferência de malha fechada com u⇤ = ✓⇤T! consiga seguir perfeitamenteo modelo.

Se o sistema fosse conhecido, seria possível calcular um vetor de parâmetros ideaisque faria o casamento entre a planta e o modelo. Considere o seguinte exemplo queilustra de forma bem simples esse ponto.

Gp

(s) =2

s2 � s� 2

M(s) =2

s2 + 4s+ 4

w1 =1

s+ 1

w2 =1

s+ 1

13

Figura 2.1: Diagrama de blocos do exemplo de sistema com planta conhecida utili-zando controle por modelo de referência.

yp

(s)

r(s)=

2✓⇤4(s+ 1)

s3 � ✓⇤1s2 + (✓⇤1 � 3� 2✓⇤3)s+ (2✓⇤1 � 2� 2✓⇤3 � 2✓⇤2)

2

66664

✓⇤1

✓⇤2

✓⇤3

✓⇤4

3

77775=

2

66664

�5

0

�8

1

3

77775

Com isso, o projeto da lei de controle u(t) tem como objetivo fazer o erro desaída e := y

p

� ym

tender para zero ou para algum valor em torno de zero paracondições iniciais e sinais de referência arbitrários. Assim, essa é composta pelassaídas dos filtros G1(s) e G2(s) e pela referência r, e dada por:

u =1

kr +G1(s)u+G2(s)yp

onde:

• k = Kp

Km.

• G1(s) =N1(s)⇤(s) = (✓1(t)...✓n�1(t))T (sI � ⇤)�1g.

• G2(s) =N2(s)⇤(s) = (✓

n+1(t)...✓2n�1(t))T (sI � ⇤)�1g + ✓n

.

Para estudar a estabilidade do sistema, seria interessante observar o sistemado erro. Assim, considere que (A

p

, Bp

, hp

) seja uma realização mínima da plantaK

p

Np

(s)/Dp

(s), já apresentada, com a seguinte representação no espaço de estados:

14

Figura 2.2: Diagrama de blocos do MRAC.

xp

= Ap

xp

+ bp

u

yp

= hp

Txp

Definindo o vetor de estado XT = [xp

T , w1T , w2

T ] do sistema, a seguinte repre-sentação no espaço de estados pode ser obtida:

X = A0X + b0u (2.1)

yp

= hc

TX (2.2)

Somando e subtraindo b0u⇤ na equação (2.1), tem-se:

X = Ac

X + bc

r + bc

k[u� u⇤]

yp

= hc

TX

Pela definição do controle ideal, quando u = u⇤, a função de transferência daplanta deve ser igual a do modelo. Portanto, (A

c

, bc

, hc

) é uma realização não-mínimade M(s). Assim, o modelo de referência pode ser descrito por:

Xm

= Ac

Xm

+ bc

r

ym

= hc

TXm

Com isso, definindo o erro de estado e := X � Xm

, a equação do erro de ras-treamento e é dada por (ver [2, 9] para mais detalhes sobre o desenvolvimento daequação do erro):

15

xe

= Ac

xe

+ bc

k[u� u⇤]

e = hc

Txe

Como M(s) é SPR e Ac

é estável, a equação do erro está na forma apropriadapara aplicar a tática de projeto SPR-Lyapunov. Prosseguindo, é proposta a seguintefunção de Lyapunov:

V (✓, xe

) =xT

e

Pxe

2+

✓T��1✓

2|k|

onde ✓ = ✓ � ✓⇤, � = �T > 0 e P = P T > 0 satisfazem a equação:

PAc

+ Ac

TP = �qqT � �c

Lc

Pbc

= hc

onde q é um vetor, Lc

= LT

c

> 0 e �c

> 0 é uma constante pequena, que sãoimplícitos pelo Lema de MKY [2]. A derivada V da função de Lyapunov é dada por:

V = �xT

e

qqTxe

2� �

c

2xe

TLc

xe

+ xe

TPbc

k✓Tw + ✓T��1 ˙✓T |k|

Sendo xe

TPbc

( 1✓

⇤2n) = e e k = |k|sgn(k), é possível fazer V 0 escolhendo a lei

de adaptação como:˙✓ = ✓ = ��ewsgn(k)

que tem como resultado:

V = �xT

e

qqTxe

2� �

c

2xe

TLc

xe

Desta forma, como a derivada da função de Lyapunov é negativa semidefinidapode-se concluir que o sistema de malha fechada é estável. Além disso, usando oLema de Barbalat é possível mostrar que o erro de rastreamento tende para zero.

2.2 Controle por Modos Deslizantes

Em 1950 na União Soviética, Emelyanov e alguns outros pesquisadores iniciaram odesenvolvimento do controle por modos deslizantes, do inglês Sliding Mode Control- SMC [5]. Esse controle é conhecido como um tipo especial de controle não-linear

16

robusto devido à propriedade da invariância, uma característica particular a essecontrole. Essa propriedade, garante que o sistema mantenha seu desempenho etorne-se insensível a incertezas nos parâmetros da planta e à perturbações. Dessaforma, quando o modo deslizante é alcançado, a dinâmica do sistema é regida peladinâmica da superfície de deslizamento. No modo deslizante convencional, as tra-jetórias do sistema convergem para uma superfície de deslizamento definida pors(x) = 0, que escolhida pelo projetista.

2.2.1 Principais Conceitos do Controle por Modos Deslizan-

tes

Aqui serão apresentadas algumas carcterísticas do controle por modos deslizantes eisso será feito através de um exemplo.

Considere:

x1 = x2

x2 = �x2 � sgn(s)

s(x) = x1 + x2

Esse sistema possui duas regiões no plano de fase definidas por equação mate-máticas diferentes. Como o sistema possui uma função sgn, que equivale a sinal,dependendo de s, tem-se modelos distintos.

No caso de s(x) > 0:

x1 = x2

x2 = �x2 � 1

No caso de s(x) < 0:

x1 = x2

x2 = �x2 + 1

17

Figura 2.3: Plano de Fase do Sistema Exemplificado

Na figura 2.3 , é apresentado o plano de fase completo. A região quando s(x) > 0

aparece em vermelho e a região para s(x) < 0 em azul.Como pode ser visto na imagem, todas as trajetórias descritas convergem para

a superfície de deslizamento. Logo, a trajetória do sistema fica restrita à superfí-cie gerando um novo movimento denominado modo deslizante. Também pode serressaltada a robustez desse controlador. Se apesar de incertezas e perturbaçeoes,as trajetórias do sistema continuarem a apontar para a superfície de deslizamento,então o sistema irá entrar em modo deslizante, de modo que seu desemprenho per-manece inalterado.

2.2.2 Condições para a Existência do Modo Deslizante

Existem dois requisitos que devem ser satisfeitos para que o modo deslizante ocorra:

• A superfície de deslizamento deve ser localmente atrativa, ou seja, todas astrajetórias devem apontar para ela. Para isso acontecer deve-se ter que:

lims!0+

s < 0 e lims!0�

s > 0

ss < 0

Sendo a função de Lyapunov V (s) = 12s

2, V (s) = ss < 0 para, assim, estardentro das condições do 2o Teorema de Lyapunov.

18

• Além disso, deve-se assegurar que a superfície seja alcançada em tempo finito.Isso pode ser garantido pela equação:

ss �⌘|s| (2.3)

onde, ⌘ é uma constante positiva.Será apresentado, então, um exemplo simples de como fazer o projeto do con-

trole de forma que as condições para a existência do modo deslizante, chamadas deCondições de Alcançabilidade, sejam satisfeitas. Considere o sistema:

x1 = x2

x2 = u+ d

d = cos(t)

u = �f(x, t)sgn(s)

s = ↵x1 + x2

Para projetar o controle é necessário cumprir os seguintes passos:

1. Fazer a derivada de s.

s = ↵x1 + x2

2. A partir das equações do sistema tem-se x1 e x2 e, assim, esses podem sersubstituídos:

s = ↵x2 + u+ d

s = ↵x2 � f(x, t)sgn(s) + cos(t)

3. Substituir s agora na equação (2.3), lembrando que sgn(s)s = |s| :

ss ↵x2s� f(x, t)sgn(s)s+ cos(t)s

ss ↵|x2||s|� f(x, t)|s|+ cos(t)|s|

ss |s|(↵|x2|� f(x, t) + |cos(t)|)

) f(x, t) = ↵|x2|+ 1 + ⌘

19

Figura 2.4: Diagrama de Blocos Utilizado para Projeto do Controlador por ModosDeslizantes

Figura 2.5: Simulação de x1(t) e x2(t) no Projeto do Controlador por Modos Desli-zantes

Figura 2.6: Simulação de u(t) no Projeto do Controlador por Modos Deslizantes

20

Capítulo 3

Simple Adaptive Control

3.1 Introdução

Apesar do controle adaptativo por modelo de referência ter sido criado com o in-túito de controlar sistemas incertos, devido a forma pela qual a adaptação é feitanessa técnica, o controlador MRAC apresenta uma falta de robustez na presença dedinâmicas não modeladas e um comportamento transitório insatisfatório, ver[11] .

Para tentar solucionar esse problema foi proposta uma variação dessa técnica,chamada Controle Adaptativo Simples, do inglês Simple Adaptive Control- SAC [12]. Essa nova estratégia é chamada de “simples” porque foi criada paraevitar o uso de controladores baseados em observadores e controladores de grandeordem. A idéia é que a planta consiga seguir o modelo, sem precisar que o modeloou o controle sejam da mesma ordem dela.

Para que isso seja possível de ser executado, o procedimento utiliza o máximo deinformação sobre a estabilidade da planta a priori, para que essa possa ser controlada,e depois usa um algoritmo de adaptação para obter os ganhos certos do controlador,no instante certo e, assim, manter a estabilidade do sistema.

O SAC, pode ser aplicado em diversas classes de sistemas, como: lineares, não-lineares, manipuladores robóticos e em outros sistemas complexos.

3.2 Rastreamento de Trajetória

O controle por modelo de referência tem como objetivo casar a resposta do sistema,ou planta, com o modelo de referência. Se o controle do sistema foi propriamenteprojetado, as entradas da planta(que são geradas pelas entradas do modelo, seusestados e pelo erro entre a planta e o modelo), fazem com que a saída da plantatenha um comportamento parecido ao da saída do modelo. A figura 3.1 ilustra isso.

Quando a planta possui parâmetros desconhecidos, é interessante o uso do con-

21

Figura 3.1: Diagrama de blocos do rastreamento de trajetória.

trole adaptativo, pois ele ajusta automaticamente os parâmetros do controlador ereduz o efeito desses parâmetros desconhecidos da planta. Suponha que a plantaseja linear, invariante no tempo descrita por:

xp

(t) = Ap

xp

(t) + Bp

up

(t) (3.1)

yp

(t) = Cp

xp

(t) (3.2)

O objetivo é encontrar, sem conhecimento explícito de Ap

, Bp

e Cp

, o controladorup

(t) de forma que a saída yp

(t) siga a saída do modelo, descrito por:

xm

(t) = Am

xm

(t) + Bm

um

(t) (3.3)

ym

(t) = Cm

xm

(t) (3.4)

É importante notar que a dimensão do modelo pode ser menor que a dimensãoda planta, mas como y

p

(t) tem que seguir ym

(t), o número de saídas do modelo éigual ao número de saídas da planta.

3.2.1 Gerador de Comandos para Rastreamento

O gerador de comandos para rastreamento (Command Generator Tracker - CGT) éuma lei de controle para o modelo de referência que pode ser utilizado em sistemasvariantes no tempo com coeficientes conhecidos. Esse conceito foi desenvolvido porO’Brien e Broussard [13] para auxiliar a adaptação do controle adaptativo. Geral-mente, um sistema que rastreia um sinal de entrada é capaz de fazer isso com umcerto erro. A razão disso acontecer é porque a planta precisa de um sinal para semover e esse é gerado pelo erro de rastreamento. Por isso, o método CGT é uti-lizado, pois mostra a necessidade de sinais adicionais, que precisam ser fornecidos,para que a planta continue seu movimento até mesmo quando o erro é igual a zero.Para utilizá-lo, primeiro é definido o erro de rastreamento:

ey

= ym

� y (3.5)

22

Quando o rastreamento perfeito ocorre, ou seja, quando ym

�y = 0, as trajetóriasdo controle são definidas pelas trajetórias ideais, que são denotadas por x⇤

p

(t) e u⇤p

(t).A planta ideal deve satisfazer as dinâmicas da planta real e, a saída desta, deve serigual a saída do modelo. Então:

x⇤p

= Ap

x⇤p

+Bp

u⇤p

(3.6)

y⇤p

= ym

= Cp

x⇤p

= Cm

xm

(3.7)

Supondo que as trajetórias ideais são funções lineares dos estados e entradas:"

x⇤p

(t)

y⇤p

(t)

#=

"S11 S12

K⇤x

K⇤u

#"xm

(t)

um

#(3.8)

Para simplificar, assume-se que um

é um sinal degrau que gera o comando ym

para a planta. Será mostrado mais a frente que isso não é uma limitação dessatécnica. Ao combinar (3.6) com a equação de saída, obtem-se:

"x⇤p

y⇤p

#=

"A

p

Bp

Cp

0

#"x⇤p

u⇤p

#(3.9)

Substituindo (3.8) em (3.9):"

x⇤p

y⇤p

#=

"A

p

Bp

Cp

0

#"S11 S12

K⇤x

K⇤u

#"xm

um

#(3.10)

Derivando a primeira equação de (3.8), segue que:

x⇤p

= S11xm

+ S12um

E como um

é um degrau constante:

x⇤p

= S11xm

(3.11)

Lembrando que:

xm

= Am

xm

+Bm

um

(3.12)

Ao substituir (3.12) em (3.11) , tem-se:

x⇤p

= S11Am

xm

+ S11Bm

um

(3.13)

23

Concatenando (3.13) com (3.6) obtem-se:"

x⇤p

y⇤p

#=

"S11Am

S11Bm

Cm

0

#"xm

um

#(3.14)

A partir disso, é possível igualar (3.14) com (3.10) :"S11Am

S11Bm

Cm

0

#"xm

um

#=

"A

p

Bp

Cp

0

#"S11 S12

K⇤x

K⇤u

#"xm

um

#(3.15)

Como o rastreamento precisa ser assintótico com ganhos fixos para qualquerentrada degrau, os coeficientes constantes da equação (3.15) devem satisfazer:

"S11Am

S11Bm

Cm

0

#=

"A

p

Bp

Cp

0

#"S11 S12

K⇤x

K⇤u

#(3.16)

A equação matricial (3.16) possui (n + p) ⇤ (nm

+ m) equações com (n + m) ⇤(n

m

+m) variáveis. Quando m � p, sendo que m representa o número de entradas decontrole e p o número de saídas que precisam ser controladas, é possível ter multiplassoluções. Com isso, a solução do CGT quase sempre existe. A única exceção seriaquando m < p, podendo não existir nenhuma solução. Para reverter esse problema,os parâmetros do modelo são alterados para que uma solução exista. Outra formade resolver esse problema, seria definir:

"⌦11 ⌦12

⌦21 ⌦22

#=

"A

p

Bp

Cp

0

#�1

(3.17)

E resolver as seguintes equações:

S11 = ⌦11S11Am

+ ⌦12Cm

, (3.18)

S12 = ⌦11S11Bm

, (3.19)

K⇤x

= ⌦21S11Am

+ ⌦22Cm

, (3.20)

K⇤u

= ⌦21S11Bm

. (3.21)

Existem casos onde as saídas da planta e do modelo ficam diferentes quandot = 0. Para solucionar o problema e atingir o rastreamento, é necessário incluir nalei de controle uma realimentação de saída estabilizadora.

ex

= x⇤p

� xp

= (Ap

x⇤p

+Bp

u⇤p

)� (Ap

xp

� Bp

up

) = Ap

ex

+Bp

(u⇤p

� up

)

24

onde

ex

= x⇤p

� xp

Se a lei de controle for da forma:

up

= u⇤p

+K(ym

� y) = u⇤p

+KCp

ex

então o erro seria:

ex

= (Ap

� Bp

KCp

)ex

(3.22)

Como é possível ver pela equação (3.22), o erro pode convergir para zero caso oganho K seja escolhido de modo a alocar os autovalores da matriz (A

p

�Bp

KCp

) nosemi-plano lateral esquerdo. Se x

m

e um

são limitados, é possível concluir que todosos sinais são limitados e que a lei de controle possui todos os requisitos necessáriospara controlar a planta e atingir o rastreamento.

ResumoO controlador CGT de saída do modelo de referência é:

up

(t) = K⇤x

xm

+K⇤u

um

+K(ym

� yp

)

Que pode ser reescrito da seguinte forma:

up

(t) = K⇤x

xm

+K⇤u

um

+K⇤e

ey

onde K⇤x

e K⇤u

são soluções de (3.18), K⇤e

= K e os autovalores de (Ap

� Bp

KCp

)

têm parte real menor do que zero.

3.2.2 Modificação para Rastreamento de uma Classe Maior

de Sinais de Entradas

Como mencionado na seção anterior, o fato de ter-se assumido que o sinal de entradaera um degrau, não quer dizer que o CGT possua essa limitação e como o SACé baseado nessa lei de controle, ele também não possui essa restrição. Para queessa técnica possa ser utilizada em uma gama maior de sinais de entrada, algumasalterações precisam ser feitas.

O controle adaptativo tem como objetivo rastrear qualquer tipo de sinal, interno

25

ou externo, gerado pelo CGT. Então, tendo uma planta da forma:

xp

(t) = Ap

xp

(t) + Bp

up

(t)

yp

(t) = Cp

xp

(t)

Um modelo:

xm

(t) = Am

xm

(t) + Bm

um

(t)

ym

(t) = Cm

xm

(t)

E definindo o erro de rastreamento e o controlador como:

ey

(t) = ym

(t)� yp

(t)

up

(t) = K⇤x

xm

+K⇤u

um

+K⇤e

ey

Onde K⇤e

é uma matriz de realimentação desconhecida e K⇤x

e K⇤u

são ganhosideais desconhecidos do controlador, a serem definidos.

Para que outros tipos de entrada possam ser considerados, a entrada um

(t) érepresentada como a saída de um sistema CGT desconhecido da forma:

vm

(t) = Av

vm

(t) (3.23)

um

(t) = Cv

vm

(t) (3.24)

As matrizes Av

e Cv

são desconhecidas, um

(t) é o único sinal mensurável dosistema e v

m

(t) é o vetor de estados da entrada. Se a referência xm

(t) , que foidefinida no início dessa seção, é fornecida com um sinal de entrada descrito porvm

(t), sua resposta pode ser escrita como:

xm

(t) = Evm

(t) + eAmt�0. (3.25)

onde, a matriz constante E satisfaz a relação:

Am

E � EAv

+Bm

Cv

= 0 (3.26)

e

�0 = xm

(0)� Evm

(0)

Se o rastreamento perfeito é alcançado, yp

(t) = ym

(t), o controle se torna ideal,

26

definido por:

up

(t) = K⇤x

xm

(t) +K⇤u

um

(t)

e as trajetórias ideais podem ser descritas pela combinação linear:

xp

(t) = X11xm

(t) +X12um

(t) (3.27)

que satisfaz y⇤p

(t) = Cp

x⇤p

(t) = ym

(t).Para que o rastreamento seja perfeito, os ganhos em (3.25) e (3.27) precisam

satisfazer:"

Ap

Bp

Cp

0

#"X

K

#=

"XA

v

Cm

E

#(3.28)

Aqui,

X = X11E +X12Cv

(3.29)

K = K⇤x

E +K⇤u

Cv

(3.30)

Am

E � EAv

+Bv

Cv

= 0. (3.31)

Soluções para os ganhos K⇤x

e K⇤u

existem somente se o número de equações, aserem resolvidas, não for maior que o número de variáveis. Ou seja:

dim(vm

) dim(um

) + dim(xm

)

Em outras palavra, o rastreamento perfeito pode ser esperado se o modelo forgrande o suficiente para acomodar a riqueza dos sinais de entrada.

• Exemplo

Suponha uma planta da forma:

xp

(t) = 2xp

(t) + up

(t)

yp

(t) = xp

(t)

E um modelo descrito por:

xm

(t) = �xm

(t) + um

(t)

ym

(t) = xm

(t)

27

O sinal de entrada é uma onda senoidal gerada por:

vm

(t) =

"0 3

�3 0

#vm

(t)

um

(t) =h0 1

ivm

(t)

Substituindo os valores numéricos em (3.26), tem-se:

�he1 e2

i�

he1 e2

i " 0 3

�3 0

#+h0 1

i= 0

E =he1 e2

i=

h310

110

i

Defina:

X =hX1 X2

i

K =hK1 K2

i

Utilizando a equação (3.28), tem-se:

"2 1

1 0

#"X1 X2

K1 K2

#=

2

64

hX1 X2

i⇥

"0 3

�3 0

#

310

110

3

75

De onde saem as soluções:

X =h

310

110

i

K =h

�910

710

i

Equações (3.29) - (3.31) então ficam:

X11

h310

110

i+h0 X12

i=

h310

110

i

K⇤x

h310

110

i+K⇤

u

h0 1

i=

h�910

710

i

28

De onde se tira:

X11 = 1

X12 =h0 0

i

K⇤x

= �3

K⇤u

= 1

Portanto, o controle ideal seria:

u⇤p

(t) = �3xm

(t) + um

(t) + 3e(t)

onde e(t) = ym

� y, o erro de rastreamento, e o ganho Ke

= 3 foi escolhidopor ajuste. A seguir são apresentados os gráficos desse exemplo:

tempo(s)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

um

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura 3.2: Gráfico do sinal de controle do modelo no exemplo de rastreamento detrajetória

tempo(s)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

up

-3

-2

-1

0

1

2

3

Figura 3.3: Gráfico do sinal de controle ideal no exemplo de rastreamento de traje-tória

29

tempo(s)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

yp,ym

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura 3.4: Gráfico do casamento entre a saída da planta e do modelo no exemplode rastreamento de trajetória

3.2.3 Controle Adaptativo Baseado em CGT

Para que se consiga um ratreamento perfeito entre a planta e o modelo, uma lei deadaptação é projetada. Esse algortimo requer informações da saída da planta e dosestados do modelo para sua implementação.

É necessário, por enquanto, assumir que a planta seja ASPR para que as condi-ções de estabilidade sejam garantidas, esse fato será explicado mais à frente. Comojá mencionado, o controlador CGT para plantas conhecidas tem a seguinte forma:

up

(t) = K⇤x

xm

+K⇤u

um

+K⇤e

ey

(3.32)

Como agora não são conhecidos todos os paramêtros da planta, os ganhos fixossão substituídos por ganhos variáveis no tempo na lei de controle:

up

(t) = Kx

(t)xm

+Ku

(t)um

+Ke

(t)ey

(3.33)

Ao substituir em (3.33) o fato de que no rastreamento perfeito ym

= y⇤p

, tem-se:

ey

= ym

� y = Cp

x⇤p

� Cp

xp

= Cp

ex

(t) (3.34)

up

(t) = Kx

(t)xm

+Ku

(t)um

+Ke

(t)Cp

ex

(t) (3.35)

Para simplificar, os ganhos adaptativos são concatenados em uma matriz K(t)

de dimensão m⇥ nw

.

K(t) =hK

e

(t) Kx

(t) Ku

(t)i

30

E, da mesma forma, os estados em um vetor w(t) de dimensão nw

⇥ 1, onde nw

é a dimensão do vetor w(t).

w(t) =

2

64C

p

ex

(t)

xm

(t)

um

(t)

3

75 =

2

64ym

(t)� yp

(t)

xm

(t)

um

3

75

Assim,

up

(t) = K(t)w(t)

Para provar a estabilidade do sistema e o rastreamento, é necessário assumir queexiste solução para (3.15) que corresponde aos valores finais de u

m

e xm

.Como já mencionado, o rastreamento perfeito ocorre quando a planta se move de

acordo com as trajetórias ideais. Caso isso não aconteça, existe um erro de estado,denominado e

x

, entre a trajetória desejada e a real da planta.

ex

(t) = x⇤p

(t)� xp

(t)

A partir de (3.34) tem-se o erro de rastreamento que é utilizado para gerar osganhos adaptativos integrais de acordo com a seguinte lei:

Ke

(t) = ey

eTy

�e

Kx

(t) = ey

xT

m

�x

Ku

(t) = ey

uT

m

�u

Sendo �e

, �x

e �u

matrizes de ganhos constantes que controlam a velocidade deadaptação. Estas, podem ser concatenadas em uma matriz � :

� =

2

64�e

�x

�u

3

75

Com isso, pode-se rescrever a lei de adaptação como sendo:

K(t) = ey

wT�

Agora, para a planta de malha fechada (3.6) com a lei de contole (3.32), a equação

31

diferencial do erro ex

seria:

ex

= Aex

� BK(t)w(t) + BK⇤x

xm

+BK⇤u

um

� BK⇤e

Cp

ex

+BK⇤e

Cp

ex

ex

= (A� BK⇤e

Cp

)ex

� B(K(t)�K⇤)w(t)

onde

K⇤ =hK⇤

e

K⇤x

K⇤u

i

A prova da estabilidade pode ser encontrada em [12].

3.3 Paralell Feedforward Configuration - (PFC)

Como foi mencionado na seção anterior, para projetar a lei de controle era necessárioassumir que o sistema fosse ASPR, e assim, garantir as condições de estabilidade. Ouso do SAC foi por muito tempo criticado exatamente por esse motivo, não se podiaprovar a estabilidade do sistema, então ao fazer o uso dessa técnica, o projetistadeveria assumir que esse fato aconteceria. Nessa seção será apresentada uma soluçãoque, ao ser combinada à essa técnica, consegue garantir que o sistema seja ASPR.

Inicialmente, a classe SPR não foi muito bem caracterizada e não se sabia que tipode exemplos práticos poderiam ser descritos por essa classe. Nesse sentido, começoua ser investigada a idéia de ajustar a planta para que ela fosse controlada de formaa satisfazer as condições para o sistema ser ASP, que é um sistema com função detransferência ASPR [4]. Essa idéia foi proposta quando se teve um problema comcontrole adaptativo para sistemas discretos no tempo.

Como a maioria desses sistemas são da forma:

˙x[k + 1] = Ax[k] + Bu[k]

y[k] = Cx[k] +Du[k], D = 0.

foi considerado impossível obter as condições de passividade, já que sistemaslineares discretos SPR e ASPR possuem D > 0. Porém, foi observado que ao seadicionar, em paralelo com uma planta G(z), uma matriz D o sistema aumentadoG

a

(z) = G(z)+D satisfaz as relações ASP (figura 3.5). Ou seja, existe uma constanteK

e

que garante que o sistema T (z) = Ga(z)1+KeGa(z)

é SPR.

32

Figura 3.5: Diagrama de blocos do PFC.

Essa idéia teve como resultado algo transformador no controle de sistemas incer-tos, pois ao implementar esse sistema aumentado, é possível garantir estabilidade atépara sistemas de fase não-mínima. Uma observação importante é que se um sistemaG(•) é estabilizado por uma realimentação constante K então, D que é o inversodisso (D = 1

K

), o chamado parallel feedforward, garante que o sistema aumentadoseja ASP.

Então, depois dessa descoberta, a idéia do PFC foi ampliada para controladoresC(s) em geral. Com isso, se um sistema G(•) é estabilizado por um controladorC(•), então, o sistema aumentado G

a

(•) = G(•) + D(•), onde D(•) = 1C(•) , é de

fase-mínima e ASP, se seu grau relativo for igual a zero ou um [4].Dessa forma, essa estratégia pode ser aplicada no SAC como uma forma de

garantir que apesar de desconhecer a planta, ao se aplicar um D(s) em paralelo aela, o sistema fique estável. Isso é ilustrado na figura 3.6 .

Figura 3.6: Diagrama de blocos do SAC com PFC.

Como já mencionado, para garantir estabilidade do controle adaptativo, a plantadeve ser ASP. Para isso, o controlador deve enxergar uma planta aumentada ASPsem necessariamente ter algo realmente em paralelo com a planta. Ou seja, segundo

33

Barkana [4] , o PFC é somente parte do controlador, agindo como uma realimen-tação extra do ganho principal K

e

(t), assim como mostrado na figura 3.7. As duasconfigurações são equivalentes.

Figura 3.7: Diagrama de blocos do SAC com PFC equivalente.

Dessa forma, o erro de rastreamento real da planta com um controlador SAC ePFC seria:

e(s) =1

1 + C(s)G(s)u(s)

Assim, o uso dessa técnica consegue liberar o SAC das críticas, já que não é maisnecessário assumir estabilidade, agora pode-se a garantir que esta irá acontecer.

3.4 Falta de Robustez no SAC

Como já mencionado, a principal função do controle adaptativo é manter o compor-tamento do sistema satisfatório, apesar de incertezas ou perturbações. Porém, issonão acontece sempre. Em alguns casos, qualquer mudança das condições ideais levao sistema para a instabilidade.

De acordo com Barkana [4] , isso ocorre no SAC por causa da forma pela qual oganho do erro K

e

(t) é obtido. Observando a equação (3.36), pode-se ver que este éobtido por uma integral do erro ao quadrado:

Ke

(t) = Ke

(0) +

Zt

0

ey

eTy

�e

dt (3.36)

No caso de um sistema SISO a equação (3.36) vira:

Ke

(t) = Ke

(0) +

Zt

0

e2y

�e

dt (3.37)

34

Como pode-se ver por essa nova equação (3.37), caso o erro de rastreamento sejadiferente de zero o valor de K

e

(t) sempre aumenta, mesmo que o erro tenha umvalor muito pequeno. Essa é uma situação muito comum, já que em alguns casos oerro de rastreamento não é perfeito.

Devido a isso, foi prosta uma alteração no algoritmo de adaptação para queesse contenha uma parcela que impeça que o erro chegue a um valor que causeinstabilidade ao sistema. Essa modificação é chamada de � - modification e foiproposta por [14] e adotada na metodologia SAC pelo Barkana [12, 15–17].

Assim, a lei de adaptação no SAC ficaria:

K(t) = ey

wT�� K(t) (3.38)

É sabido que o controlador deve manter a performance não só em situações ideais,mas também em situações não tão ideais. A partir de (3.38) pode-se ver que essacondição nem sempre será satisfeita. O ganho adaptativo K(t) segue o erro, entãoquando esse tende a zero, o ganho irá fazer o mesmo. O problema ocorre, devido aofato de que a estabilidade do sistema não pode ser garantida, nem quando K

e

= 0.Dessa forma, algumas modificações no controlador foram propostas para melhorara sua performance na presença de perturbações.

Segundo [4], a maneira de tratar Ke

deve ser diferente da forma pela qual setrata os ganhos K

x

e Ku

. O primeiro, tem como função garantir a estabilidade dosistema, enquanto os outros dois facilitam o rastreamento perfeito.

Com isso, o ganho Ke

pode divergir quando na presença de desturbios e deve sermodificado, mas esse não é necessariamente o caso para os outros dois ganhos.

Kx

(t) = Kx

(0) +

Zt

0

ey

xT

m

�x

dt (3.39)

Ku

(t) = Ku

(0) +

Zt

0

ey

uT

m

�u

dt (3.40)

Em [18] e [19] mostrou-se que os ganhos adaptativos Kx

(t) e Ku

(t) na realidadepromovem uma descida do gradiente até alcançarem um valor ótimo, minimizandoassim o erro de rastreamento. A adaptação é idealmente encerrada quando o errode rastreamento se torna nulo. No entando, mesmo em casos não ideais, os ganhosK

x

(t) e Ku

(t) não divergem a não ser que o erro se torne ilimitado por outras razões.

35

Dessa forma, o algoritmo de adaptação a ser utilizado ficaria:

Ke

(t) = ey

eTy

�e

� �Ke

(t)

Kx

(t) = ey

xT

m

�x

Ku

(t) = ey

uT

m

�u

sendo � um ganho constante.Esses conceitos serão aplicados no caso de rastreamento de trajetória de um

veículo aéreo não tripulado, como será mostrado no próximo capítulo.

36

Capítulo 4

Aplicação do SAC para o Controle

de um Veículo Aéreo Não Tripulado

4.1 Descrição do Problema

Os sistemas de fase não-mínima são conhecidos na literatura por possuirem umaatenuação ruim de perturbações e, assim, serem difíceis de controlar. A peculiari-dade inerente à esses sistemas é que suas funções de transferência possuem zeros nosemi-plano lateral direito do plano s, que acarretam em atrasos de fase [20].

Por exemplo:

H(s) =s� 2

(s+ 1)(s+ 2)(4.1)

Pela equação (4.1) é possível ver que existe um zero em s = 2, ou seja, no SPD,logo H(s) é de fase não-mínima.

Assim, o objetivo desse estudo foi encontrar técnicas de controle que pudessemcontrolar esses sistemas usando apenas realimentação de saída. Uma solução encon-trada para esse problema, foi utilizar a técnica proposta por Barkana [12] .

Para validar a eficácia, tanto na robustez quanto no rastreamento de trajtóriada combinação do SAC com o PFC e o �-modification, foi utilizado como exemplo,um veículo aéreo não tripulado, do inglês Unmanned Aerial Vehicle (UAV). Essesistema é de fase não-mínima e representa um desafio para qualquer metodologiautilizada no projeto de controle.

Tower Trainer 60 - TT60

O Tower Trainer 60 é um aeromodelo que funciona, de maneira muito parecida,como um avião de grande porte.

37

Figura 4.1: Tower Trainer 60Fonte: http://www.towerhobbies.com Data: 10/01/2017

O TT60 foi escolhido por ser uma plataforma estável para desenvolver aplicaçõescom UAVs. As condições básicas são altitude de cruzeiro (em inglês, cruise) de7000ft = 2133, 60m e velocidade de 40mph = 17, 88m/s.

Para o desenvolvimento do modelo, parâmetros físicos da aeronave são calcu-lados. Depois, os parâmetros de estabilidade e controle são calculados utilizandotécnicas analíticas documentadas em [21] e [22]. No caso dos parâmetros de estabili-dade que não podem ser facilmente calculados, valores do Cessna 182 são utilizados,devido ao fato dessa aeronave ser muito parecida com o TT60, só que em uma escalamaior. Assim, três funções de transferência são geradas:

• Ângulo de Arfagem para a deflexão do leme de profundidade (em inglês, PitchAngle to Elevator deflection): ✓

�e

• Ângulo de Ataque para a deflexão do leme de profundidade (em inglês, Angleof Attack to Elevator deflection): ↵

�e

• Velocidade do ar para para a deflexão do leme de profundidade (em inglês,Airspeed to Elevator deflection): u

�e

É interessante ressaltar que o Leme de Profundidade também é conhecido comoProfundor.

A função de transferência da altitude para a deflexão do leme de profundidadeé obtida através de duas dessas três funções de transferência:

h(s)

�e

(s)=

U1

s

✓✓(s)

�e

(s)� ↵(s)

�e

(s)

◆

onde, U1 é a velocidade de cruzeiro igual a 17, 88m/s no TT60.

38

Assim, obtem-se a planta :

h(s)

�e

(s)= G1(s) =

�34.16s3 � 144.4s2 + 7047s+ 557.2

s5 + 13.18s4 + 95.93s3 + 14.61s2 + 31.94s

Todos os modelos de planta incluem um autuador dinâmico, modelado como10

(s+10) ou com tempo constante de 0.1 segundos. Para investigar a tolerância daplanta em diferentes condições de voo, foi feita uma redução de 50% em algunsparâmetros de estabilidade. Dessa forma, a planta com esses parâmetros reduzidos,seria:

h(s)

�e

(s)= G2(s) =

�34.16s3 � 62.64s2 + 8252s+ 715.9

s5 + 10.79s4 + 48.61s3 + 7.852s2 + 15.96s

Altitude Hold Scheme

Um altitude hold scheme é um modo de piloto automático que tem como objetivomanter a altitude da aeronave utilizando o profundor para corrigir as variações dealtitude.

Figura 4.2: Esquema da cauda de uma aeronaveFonte: http://www.zenithair.com Data: 10/01/2017

Figura 4.3: Diagrama de Blocos do Altitude Hold Scheme

O compensador Cc

pode ser um simples ganho, um ganho adaptativo ou qual-quer controlador robusto existente. O compensador mais simples seria um ganho

39

fixo, escolhido de forma a colocar todas as raízes do sistema o mais longe possível daorigem para que a resposta do sistema fique mais rápida, sem perder a estabilidade.Esse trabalho de ajuste de ganho é feito por Cohen e Bossert [23], que concluiramque C

c

= 0.00192. Após alguns testes, ficou aparente que as respostas encontradasutilizando esse compensador não eram satisfatórias, e com isso, foi necessário adi-cionar um compensador fixo. Os valores específicos escolhidos para o compensadorforam:

Cc

=0.00842(s+ 7.895)(s2 + 0.108s+ 0.3393)

(s+ 0.07895)(s2 + 4s+ 8)

Para o modelo da planta G1 esse compensador funcionou extremamente bem, masesse não foi o caso quando se utilizou o modelo da planta G2, que testa realmente seo controlador consegue responder, de forma satisfatória, à mudanças dinâmicas ouincertezas na planta. No segundo caso, esse controlador se mostrou muito restrito.

Dessa forma, foi feito um estudo mais aprofundado sobre esse compensador esco-lhido por Cohen e Bosseert. Segundo [24], esse compensador consegue tornar maisfácil o controle de um sistema bastante desafiador, mas que para obter resultadosmelhores, ele precisa de um pouco mais de avanço de fase na faixa de frequênciaadequada. Para isso, foram adicionados dois filtros de avanço de fase e o ganho foiajustado, resultando em:

Cnovo

(s) = 6.923(0.333s+ 1)2

(0.01s+ 1)2C

c

(s)

Cnovo

(s) =0.0126(s+ 7.895)(s2 + 0.108s+ 0.3393)

(s+ 0.07895)(s2 + 4s+ 8)

(0.333s+ 1)2

(0.01s+ 1)2

Os resultados obtidos com o uso desse controlador, são superiores a qualquerresultado apresentado por Cohen e Bossert [23]. A partir desse ponto, o modelo daplanta e o compensador a serem utilizados no caso do UAV são conhecidos. Parafinalizar o exemplo, é necessário saber a função de transferência do PFC e do modelode referência.

Esse controlador, adiciona margem de ganho a planta e, com isso, permite in-corporar um controlador PD, fictício, com ganho alto sem alteração de estabilidade.Como resultado, é possível utilizar um simples polo de primeira ordem como PFC:

D(s) =4

(s+ 20)

Além disso, é preciso que a planta siga a saída de um modelo, de ordem menor,que tenha o comportamento desejado da planta. Sua função de transferência tem a

40

seguinte representação:

M(s) =1

⇣1 +

s

4.2

⌘3

4.1.1 Simulações e Análise dos Resultados

Para validar todas as técnicas explicadas até agora, foi criado um programaMATLABTM para gerar respostas considerando diferentes valores de � e �. Alémdisso, foi necessário criar um diagrama de blocos no Simulink que representasse osistema.

Figura 4.4: Diagrama de blocos do sistema utilizado para ajuste de parâmetros noexemplo de rastreamento de trajetória de um UAV

Figura 4.5: Diagrama de Blocos do Controlador SAC

O programa necessita, como parâmetros, os valores de �x

, �u

, �e

e � para geraras respostas do sistema.

41

Ajuste da Matriz �

Utilizando o programa mencionado anteriormente, serão feitos testes com diferentessintonias dos parâmetros �

x

, �u

, �e

, com o objetivo de encontrar o melhor ajuste.

• Sinal de Entrada: Onda Quadrada de amplitude = 1 e período = 10s.

�x

= 1, �u

= 1, �e

= 1 e � = 1

Figura 4.6: Saída da planta (•) e do modelo (•) com onda quadrada de amplitude= 1 e período = 10s e �

x

= 1, �u

= 1, �e

= 1 e � = 1

Figura 4.7: Erro de Rastreamento com onda quadrada de amplitude = 1 e período= 10s e �

x

= 1, �u

= 1, �e

= 1 e � = 1

�x

= 100, �u

= 10, �e

= 10 e � = 1

42


x

= 100, �u

= 10, �e

= 10 e � = 1


x

= 100, �u

= 10, �e

= 10 e � = 1

�x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 1

43


x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 1


x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 1

• Sinal de Entrada: Onda Senoidal

um

(t) = sin(2⇡0.09) + sin(2⇡0.06)

�x

= 1, �u

= 1, �e

= 1 e � = 1

44

Figura 4.12: Saída da planta (•) e do modelo (•) com entrada um

(t) = sin(2⇡0.09)+

sin(2⇡0.06) e �x

= 1, �u

= 1, �e

= 1 e � = 1

Figura 4.13: Erro de Rastreamento com entrada um

(t) = sin(2⇡0.09)+ sin(2⇡0.06)

e �x

= 1, �u

= 1, �e

= 1 e � = 1

�x

= 100, �u

= 10, �e

= 10 e � = 1

45


(t) = sin(2⇡0.09)+

sin(2⇡0.06) e �x

= 100, �u

= 10, �e

= 10 e � = 1


(t) = sin(2⇡0.09)+ sin(2⇡0.06)

e �x

= 100, �u

= 10, �e

= 10 e � = 1

�x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 1

46


(t) = sin(2⇡0.09)+

sin(2⇡0.06) e �x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 1


(t) = sin(2⇡0.09)+ sin(2⇡0.06)

e �x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 1

Ajuste do Parâmetro �

Assim como para os parêmetros �x

, �u

, �e

, também serão feitos testes comdiferentes sintonias para o parâmetro � com o objetivo de encontrar o melhorajuste.

• Sinal de Entrada: Onda Quadrada de amplitude = 1 e período = 10s.

�x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 0.1

47


x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 0.1


x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 0.1

�x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 0.01

48


x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 0.01


x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 0.01


um

(t) = sin(2⇡0.09) + sin(2⇡0.06)

�x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 0.1

49

Figura 4.22: Saída da planta (•) e do modelo (•) com um

(t) = sin(2⇡0.09) +

sin(2⇡0.06) e �x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 0.1

Figura 4.23: Erro de Rastreamento com um

(t) = sin(2⇡0.09) + sin(2⇡0.06) e �x

=

1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 0.1

�x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 0.01

50


(t) = sin(2⇡0.09) +

sin(2⇡0.06) e �x

= 1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 0.01


(t) = sin(2⇡0.09) + sin(2⇡0.06) e �x

=

1000, �u

= 2000, �e

= 1000 e � = 0.1

Depois de ter simulado o sistema sob diferentes valores de � e �, chegou-se a con-clusão que as melhores respostas foram obtidas quando os valores desse parâmetroseram:

• �x

= 1000

• �u

= 2000

• �e

= 1000

• � = 0.01

51

Agora, com o ajuste dos parâmetros feito, o próximo teste a ser realizado écolocar perturbações agindo sobre o sistema e observar o seu desempenho. Comisso, foi colocada, primeiramente, uma perturbação degrau na entrada da plantae depois uma do tipo senoidal, como mostrado na figura 4.26. Por último, umaperturbação na entrada e outra na saída da planta, ilusrado na figura 4.27.

Figura 4.26: Diagrama de Blocos do Sistema com Perturbação de Entrada

Figura 4.27: Diagrama de Blocos do Sistema com Perturbação de Entrada e deSaída


um

(t) = sin(2⇡0.09) + sin(2⇡0.06)

Perturbação na entrada da planta do tipo degrau com amplitude = 0.01

aplicada em t= 20s

52

Figura 4.28: Saída da planta (•) e do modelo (•) com perturbação na entrada daplanta do tipo degrau com amplitude = 0.01 aplicada em t= 20s

Figura 4.29: Erro de Rastreamento com perturbação na entrada da planta do tipodegrau com amplitude = 0.01 aplicada em t= 20s

53

Figura 4.30: Controle com perturbação na entrada da planta do tipo degrau comamplitude = 0.01 aplicada em t= 20s

Perturbação na entrada da planta do tipo senóide com amplitude = 0.001

e frequência = 1 rad/s

Figura 4.31: Saída da planta (•) e do modelo (•) com perturbação na entrada daplanta do tipo senóide com amplitude = 0.001 e frequência = 1 rad/s

54

Figura 4.32: Erro de Rastreamento com perturbação na entrada da planta do tiposenóide com amplitude = 0.001 e frequência = 1 rad/s

Figura 4.33: Controle com perturbação na entrada da planta do tipo senóide comamplitude = 0.001 e frequência = 1 rad/s


aplicada em t= 20s e perturbação na saída da planta do tipo senóide comamplitude = 0.001 e frequência= 5 rad/s

55

Figura 4.34: Saída da planta (•) e do modelo (•) com perturbação na entrada daplanta do tipo degrau com amplitude = 0.001 aplicada em t= 20s e perturbação nasaída da planta do tipo senóide com amplitude = 0.001 e frequência= 5 rad/s

Figura 4.35: Erro de Rastreamento ccom perturbação na entrada da planta do tipodegrau com amplitude = 0.001 aplicada em t= 20s e perturbação na saída da plantado tipo senóide com amplitude = 0.001 e frequência= 5 rad/s


e frequência = 1 rad/s e perturbação na saída da planta do tipo senóide comamplitude = 0.01 e frequência= 5 rad/s

56

Figura 4.36: Saída da planta (•) e do modelo (•) com perturbação na entrada daplanta do tipo senóide com amplitude = 0.01 e frequência = 1 rad/s e perturbaçãona saída da planta do tipo senóide com amplitude = 0.01 e frequência= 5 rad/s

Figura 4.37: Erro de Rastreamento com perturbação na entrada da planta do tiposenóide com amplitude = 0.01 e frequência = 1 rad/s e perturbação na saída daplanta do tipo senóide com amplitude = 0.01 e frequência= 5 rad/s

57

Figura 4.38: Controle com perturbação na entrada da planta do tipo senóide comamplitude = 0.01 e frequência = 1 rad/s e perturbação na saída da planta do tiposenóide com amplitude = 0.01 e frequência= 5 rad/s




58

Figura 4.40: Erro de Rastreamento com perturbação na entrada da planta do tipodegrau com amplitude = 0.1 aplicada em t= 20s e perturbação na saída da plantado tipo senóide com amplitude = 0.01 e frequência= 5 rad/s

Figura 4.41: Controle com perturbação na entrada da planta do tipo degrau comamplitude = 0.1 aplicada em t= 20s e perturbação na saída da planta do tipo senóidecom amplitude = 0.01 e frequência= 5 rad/s

Análise dos Resultados

Nesse exemplo foi utilizado um modelo nominal de um sistema de fase não-mínima,com parâmetros que podem sofrer alterações, devido ao fato do sistema operar sobdiferentes condições. Com isso, esse exemplo se torna um grande desafio do pontode vista do controle.

Através dos testes feitos, foi possível perceber que ao se utilizar de forma corretao conhecimento prévio que se tem do sistema e fornecer os ganhos corretos para

59

aquela situação, o SAC combinado com o PFC consegue rastrear a trajetória e fazero casamento entre a planta e o modelo.

Porém, ao analisar a robustez dessa técnica a perturbações, pode-se perceberque em alguns casos o controle consegue manter a sua performance e garantir orastreamento e, em outros casos, isso não acontece. Assim, a técnica utilizada parao projeto do controle não é tão robusta a presença de perturbações.

60

Capítulo 5

Controle por Modos Deslizantes

baseado no SAC e combinado com o

PFC

A degradação de desempenho da combinação do SAC com o PFC motivou a busca deoutras opções que pudessem contornar esse problema. Devido a conhecida robustezdo controle por modos deslizantes a perturbações de entrada, uma possível idéiaseria propor um controle por modos deslizantes baseado no SAC.

O que está sendo modificada, é a técnica utilizada para o projeto de controle.Assim, os ganhos adaptativos são alterados e, agora, a lei de controle é dada por:

Ke

(t)e(t) ) (e2ya

+ ⌘)sgn(eya

)�e

Kx

(t)xm

(t) ) (kxm

k+ ⌘)sgn(eya

)�x

Ku

(t)um

(t) ) (|um

|+ ⌘)sgn(eya

)�u

� =

2

64�e

�x

�u

3

75

u = (eya

2�e

+ ||xm

||�x

+ |um

|�u

+ ⌘)sgn(eya

)

eya

= (ym

� y)�D(s) = ey

�D(s)

Para testar se essa proposta é capaz de produzir melhores resultados, foi utilizadoo mesmo exemplo da seção anterior. Portanto, a planta, o modelo, o compensadore o PFC continuaram iguais. Além disso, nesse caso não é necessário o uso do

61

�-modification.

Figura 5.1: Diagrama de Blocos do Sistema com Perturbação de Entrada e de Saída

Figura 5.2: Diagrama de Blocos do Controlador SAC combinado com SMC

5.1 Simulações e Análise dos Resultados

Nesse exemplo, foi feito o mesmo procedimento do exemplo anterior para o ajustedos parâmetros �

x

, �u

e �e

. Após testar diferentes valores, chegou-se ao resultadoque:

• �x

= 10

• �u

= 10

• �e

= 10

• Sinal de Entrada: Onda Quadrada com aplitude = 0.5 e frequência = 0.02

hertz

62

�x

= 10, �u

= 10, �e

= 10

Figura 5.3: Saída da planta (•) e do modelo (•) com onda quadrada de amplitude= 0.5 e frequência = 0.02s e �

x

= 10, �u

= 10, �e

= 10

Figura 5.4: Erro de Rastreamento com onda quadrada de amplitude = 0.5 e frequên-cia = 0.02s e �

x

= 10, �u

= 10, �e

= 10

63

Figura 5.5: Controle com onda quadrada de amplitude = 0.5 e frequência = 0.02s e�x

= 10, �u

= 10, �e

= 10


um

(t) = sin(2⇡0.06) + sin(2⇡0.09)

�x

= 10, �u

= 10, �e

= 10


(t) = sin(2⇡0.06) +

sin(2⇡0.09) e �x

= 10, �u

= 10, �e

= 10

64


(t) = sin(2⇡0.06)+sin(2⇡0.09) e �x

= 10,�u

= 10, �e

= 10

Figura 5.8: Controle com um

(t) = sin(2⇡0.06) + sin(2⇡0.09) e �x

= 10, �u

= 10,�e

= 10

Nesse caso, é necessário também ajustar o parâmetro ⌘. Assim, foram feitostestes para algumas sintonias e chegou-se a conclusão que o melhor valor seria ⌘ =

0.1.Como antes, foram adicionadas perturbações ao sistema para analisar a resposta

do controlador na presença delas.


um

(t) = sin(2⇡0.06) + sin(2⇡0.09)

65


aplicada em t= 20s

Figura 5.9: Saída da planta (•) e do modelo (•) com perturbação na entrada daplanta do tipo degrau com amplitude = 0.01 aplicada em t= 20s

Figura 5.10: Erro de Rastreamento com perturbação na entrada da planta do tipodegrau com amplitude = 0.01 aplicada em t= 20s


e frequência= 1 rad/s

66

Figura 5.11: Saída da planta (•) e do modelo (•) com perturbação na entrada daplanta do tipo senóide com amplitude = 0.001 e frequência = 1 rad/s

67

Figura 5.12: Erro de Rastreamento com perturbação na entrada da planta do tiposenóide com amplitude = 0.001 e frequência = 1 rad/s

Figura 5.13: Controle com com perturbação na entrada da planta do tipo senóidecom amplitude = 0.001 e frequência = 1 rad/s

Perturbação na entrada da planta do tipo senóide com amplitude = 0.01 ee frequência = 1 rad/s e perturbação na saída da planta do tipo senóide comamplitude = 0.01 e frequência= 5 rad/s

68

Figura 5.14: Saída da planta (•) e do modelo (•) com perturbação na entrada daplanta do tipo senóide com amplitude = 0.01 e e frequência = 1 rad/s e perturbaçãona saída da planta do tipo senóide com amplitude = 0.01 e frequência= 5 rad/s

Figura 5.15: Erro de Rastreamento com perturbação na entrada da planta do tiposenóide com amplitude = 0.01 e e frequência = 1 rad/s e perturbação na saída daplanta do tipo senóide com amplitude = 0.01 e frequência= 5 rad/s

69

Figura 5.16: Controle com perturbação na entrada da planta do tipo senóide comamplitude = 0.01 e e frequência = 1 rad/s e perturbação na saída da planta do tiposenóide com amplitude = 0.01 e frequência= 5 rad/s




70

Figura 5.18: Erro de Rastreamento com perturbação na entrada da planta do tipodegrau com amplitude = 0.1 aplicada em t= 20s e perturbação na saída da plantado tipo senóide com amplitude = 0.01 e frequência= 5 rad/s

Figura 5.19: Controle com perturbação na entrada da planta do tipo degrau comamplitude = 0.1 aplicada em t= 20s e perturbação na saída da planta do tipo senóidecom amplitude = 0.01 e frequência= 5 rad/s

Análise dos Resultados

Através dos gráficos nas figuras 5.3 - 5.12, foi possível perceber que, ao utilizar ocontrole por modos deslizantes baseado na combinação SAC+PFC para o projeto docontrole, a planta consegue seguir a saída do modelo e o casamento ocorre. Porém,assim como no caso do SAC com o PFC, quando certas perturbações são adicionadasao sistema, o desempenho do controlador sofreu uma degradação. Um aspecto inte-ressante que foi observado é que a presença do compensador C(s) limita a capacidade

71

do controlador rejeitar as perturbações de entrada. No entanto, esse compensadoré essencial para o bom desempenho do esquema de controle nessa aplicação, nãopodendo ser retirado. Essa observação motiva uma investigação mais aprofundadadeste novo esquema de controle em uma outra aplicação menos desafiadora que nãonecessite de compensadores lineares adicionais para assegurar o bom funcionamentoda malha de controle. Entretanto, esse tópico fica como sugestão para um trabalhofuturo.

O uso dessa nova combinação conseguiu diminuir o valor do erro de rastreamento.Dessa forma, utilizar essa técnica possui certas vantagens, mas também não resolveo problema de robustez para esta aplicação considerada.

72

Capítulo 6

Conclusão e Trabalhos Futuros

6.1 Conclusão

Este trabalho apresentou primeiramente um estudo sobre técnicas de controle adap-tativo. Durante o estudo realizado, foram verificadas as propriedades e vantagensdo uso desse tipo de controle. Dentro desse contexto, foi dada ênfase no SimpleAdaptive Control, uma variação da técnica de controle adaptativo por modelo dereferência.

Verificou-se que de fato, o SAC combinado ao PFC consegue garantir estabilidadee o rastreamento de trajetória no problema de sistemas de fase não-mínima. Porém,dependendo do tipo de perturbação sob a qual o sistema é submetido, o controlenão consegue manter o mesmo desempenho. Dessa forma, essa estratégia de controlenão pode ser considerada robusta a perturbações.

Com isso, o estudo foi direcionado em modificar a utilização do SAC pelo controlepor modos deslizantes, um tipo especial de controle não linear robusto. Foi feitoentão, um novo estudo sobre as propriedades dessa nova estratégia de controle.

Era esperado que, ao modificar o SAC usando técnicas de controle por modosdeslizantes e continuar a utilizar o PFC, o controlador fosse capaz de garantir orastreamento independente de perturbações no sistema. Através de simulações nu-méricas, foi possível avaliar que, mesmo com a alteração da técnica utilizada, ocontrolador não conseguiu manter o mesmo nível de desempenho de rastreamentona presença de certas perturbações. Apesar disso, foi possível diminuir o erro derastreamento com o novo esquema.

Portanto, como trabalhos futuros, uma possibilidade seria fazer um estudo maisaprofundado para entender o porque da falta de robustez em algumas situações e,assim, modificar o controlador para uma melhor performance. Além disso, procurarnovas técnicas que possam ser combinadas ao SAC ou ao SMC para a resolução doproblema de robustez. Por último, tentar validar os resultados obtidos por meio de

73

testes experimentais.

74

Apêndice A

Matrizes Positivas Definidas: Provas

das Condições

• Prova da condição 2: A condição 1 determina uma matriz positiva definida.A seguir será mostrado que cada autovalor será positivo no caso da condição1 ser satisfeita.

(1 ! 2) : Ax = �x ! xTAx = xT�x = �kxk2 Como xTAx > 0, 8x 6= 0 pode-se dizer que �kxk2 > 0 e como kxk2 > 0 para um vetor x 6= 0, então � > 0,ou seja, uma matriz A positiva definida apresenta autovalores �

i

positivos. Setodos os autovalores de A são maiores que zero, a condição 1 é verdadeira.

(2 ! 1): Como uma matriz simétrica apresenta um conjunto completo deautovalores ortonormais, qualquer x é uma combinação da forma c1x1 + ... +

cn

xn

, então tem-se:

Ax = c1Ax1 + ...+ cn

Axn

= c1�1x1 + ...+ cn

�n

xn

Ao multiplicar a equação acima por xT a esquerda, consegue-se:

xTAx = (c1xT

1 + ...+ cn

xT

n

)(c1�1x1 + ...+ cn

�n

xn

)

Como os vetores x1, ..., xn

são ortonormais pode-se dizer que:

xT

i

xj

=

8<

:0 se i 6= j

1 se i=j

Assim,

xTAx = c21�1 + ...+ c2n

�n

=nX

i=1

c2i

�i

75

Como c2i

> 0 e � > 0, entãoP

n

i=1 c2i

�i

> 0 e xTAx > 0. Logo, se todos osautovalores de A são maiores que zero, xTAx > 0, 8x 6= 0.

• Prova da condição 3: Considerando a condição 1 verdadeira é possívelprovar que todas as submatrizes quadradas superiores à esquerda A

k

tem de-terminantes positivos. (1 ! 3) : Sendo A positiva definida sabe-se que seusautovalores são positivos. Como o determinante de A é produto dos seusautovalores, este também será positivo.

Escolhendo vetores x tais que xT =hxT

k

0i, como xTAx > 0, tem-se:

hxT

k

0i " A

k

⇤⇤ ⇤

#"xk

0

#= xT

k

Ak

xk

> 0

Logo, toda matriz superior à esquerda Ak

será também definida positiva, comautovalores positivos e determinante maior que zero.

• Prova da condição 4: Considerando que todas as submatrizes quadradassuperiores à esquerda A

k

tem determinantes positivos é possível provar quetodos os pivôs(sem troca de linhas) d

k

são positivos.

(3 ! 4): Como os pivôs dk

são dados pela razão entre os determinantes dasmatrizes A

k

e Ak�1, onde os determinantes são positivos, os pivôs também

serão. Agora, considerando que todos os pivôs de dk

são positivos tem-se quexTAx > 0, 8x 6= 0.

(4 ! 1): Uma matriz A simétrica pode ser decomposta na forma A = LDLT ,onde D é a matriz formada pelos pivôs na diagonal. Como os pivôs são posi-tivos,

pD é real, logo:

xTAx = xTLpDpDLTx = k

pDLTxk2

Como kpDLTxk2 > 0, então xTAx > 0, provando assim a suposição acima.

Com essa prova, é possível identificar se uma matriz é positiva definida semprecisar, necessariamente, calcular o determinante da matriz.

• Prova da condição 5: Sabendo que a condição 1 é verdadeira, é possívelprovar que existe uma matriz R com posto completo por colunas, tal queA = RTR.

(1 ! 5): Pela decomposição de Cholesky, sendo A simétrica e positiva definida,ela pode ser escrita como A = LLT . Definindo R = LT , tem-se que A = RTR,sendo R e L matrizes quadradas. Como A é definida positiva, ela é não

76

singular já que não possui autovalor igual a zero. Logo, R e L tmabém serãonão-singulares e com posto completo por coluna.

Sabendo que existe uma matriz R com posto completo por colunas, tal que,ARTR, xTAx > 0, 8x 6= 0.

(5 ! 1): Como R possui todas as suas colunas linearmente independentespode-se dizer que Rx = 0, somente quando x for nulo. Tendo A = RTR esubstituindo A na inequação xTAx > 0, encontra-se que xTRTRx = kRxk2,onde kRxk2 > 0, 8x 6= 0. Com isso, A é positiva definida.

77

Apêndice B

Equação de Lyapunov: Prova do

Teorema 1

Prova: ()) Suponha que a seguinte expressão seja uma solução da Equação deLyapunov

P =

Z 1

0

eATtQeAt@t

então, ao subtituir P na Equação de Lyapunov, pela expressão acima, verifica-seque:

ATP + PA =

Z 1

0

AT eATtQeAt@t+

Z 1

0

eATtQeAtA@t

=@

@t

Z 1

0

eATtQeAt@t = eA

TtQeAt|10

Como A é estável, tem-se limt!1 eAt = 0, então

ATP + PA = 0�Q = �Q

Confirma-se, assim, que Q é uma solução para a Equação de Lyapunov. Como Q

é simétrica e não-singular, esta apresenta uma decomposição de Cholesky Q = QT Q,tal que Q é não-singular. Considera-se, então:

xTPx =

Z 1

0

xT eATtQeAtx@t

=

Z 1

0

xT eATtQT QeAtx@t

=

Z 1

0

kQeAtxk22@t

Como Q e eAt são não-singulares, o produto xTPx > 0,8x 6= 0, então P é pordefinição uma matriz positiva definida. Além disso, pela escolha de P , conclui-se

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que como Q é simétrica, P também é.(() Seja � um autovalor de A e v 6= 0 seu autovetor correspondente, então,

Av = �v. Mesmo que a matriz A seja real, seus autovalores e autovetores podem sercomplexos, por isso, será utilizada a transposta complexa conjugada de Av = �v, quedá, v⇤A⇤ = v⇤AT = �⇤v⇤. Pré-multiplicando v⇤ e pós-multiplicando v na equaçãode Lyapunov, tem-se:

�v⇤Qv = v⇤ATPv + v⇤PAv

�v⇤Qv = �⇤v⇤Pv + v⇤P�v

�v⇤Qv = (�⇤ + �)v⇤Pv = 2Re(�)v⇤Pv

Como v⇤Pv e v⇤Qv são funções positivas definidas, isso implica que Re(�) < 0

e, então, que a matriz A é estável, pois todos os seus autovalores terão parte realnegativa. Isso completa a prova.

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controle não-linear robusto para sistemas incertos de … · palavras-chave: sistemas incertos,...

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