seguimento de referência para sistemas lineares incertos ... · conjuntos invariantes -...

UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTEFEDERAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E

COMPUTAÇÃO

Seguimento de Referência para Sistemas LinearesIncertos Sujeitos a Restrições.

José Ilton Sarmento Silveira Júnior

Orientador: Prof. Dr. Carlos Eduardo Trabuco Dórea (DCA/UFRN)

Dissertação de Mestrado apresentada aoPrograma de Pós-Graduação em Engenha-ria Elétrica e Computação da UFRN (área deconcentração: Automação e Sistemas) comoparte dos requisitos para obtenção do títulode Mestre em Ciências.

Número de Ordem do PPgEEC: M464Natal, RN, Janeiro de 2016

UFRN / Biblioteca Central Zila MamedeCatalogação da Publicação na Fonte.

Silveira Júnior, José Ilton Sarmento.Seguimento de referência para sistemas lineares incertos sujeitos a restrições

/ José Ilton Sarmento Silveira Júnior. - Natal, RN, 201663 f.: il.

Orientador: Prof. Dr. Carlos Eduardo Trabuco Dórea

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Cen-tro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e deComputação.

1. Controle robusto - Dissertação. 2. Rastreamento de referência - Disserta-ção. 3. Controle sob restrições - Dissertação. 4. Sistemas incertos - Dissertação.5. Conjuntos invariantes - Dissertação. I. Dórea, Carlos Eduardo Trabuco. II.Título.

RN/UF/BCZM CDU 681.5

Seguimento de Referência para Sistemas LinearesIncertos Sujeitos a Restrições.

José Ilton Sarmento Silveira Júnior

Dissertação de Mestrado aprovada em 25 de Janeiro de 2016 pela banca examinadoracomposta pelos seguintes membros:

Prof. Dr. Carlos Eduardo Trabuco Dórea (Orientador) . . . . . . . . . . . DCA/UFRN

Prof. Dr. Anderson Luiz de Oliveira Cavalcanti (Membro Interno) DCA/UFRN

Prof. Dr. Fábio Meneghetti Ugulino de Araújo (Membro Interno) DCA/UFRN

Prof. Dr. José Mário Araújo (Membro Externo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IFBA

Resumo

Os controladores robustos, nas últimas décadas, vêm sendo muito estudados por espe-cialistas na área de controle para tratar problemas inerentes a sistemas dinâmicos sujeitosa incertezas dos seus parâmetros, como também perturbações. Mas além desses proble-mas, existe outra característica importante, presente na maioria dos processos práticos,que é a existência de restrições, as quais podem resultar de limitações nos estados do sis-tema, na entrada de controle ou na saída. Ambos os fatores citados, se não forem tratadosdevidamente na etapa de síntese do controlador, podem acarretar perda de desempenho dosistema controlado ou até levá-lo à instabilidade. Neste sentido, este trabalho apresentauma proposta de um controlador robusto que utiliza a teoria de conjuntos invariantes parao rastreamento de referências constantes, garantindo que o sistema obedeça às restriçõesa despeito do efeito de perturbações limitadas em amplitude e de variações nos parâme-tros. Poliedros invariantes controlados são usados para garantir que as restrições sejamrespeitadas tanto para o caso de um sistema com realimentação de estados quanto paracom realimentação de saída. Em ambos os casos é utilizado um procedimento de reiden-tificação dos parâmetros do sistema, o qual é utilizado para reduzir o erro de rastreamentoa referências constantes.

Palavras-chave: Controle Robusto, Rastreamento de Referência, Controle sob Res-trições, Sistemas Incertos, Conjuntos Invariantes.

Abstract

In recent decades, robust controllers, have been studied by experts in control systemsto deal with problems inherent to dynamic systems subject to disturbances and variationsof its parameters. However, beyond these problems, another important characteristic thatis present in most practical cases is the existence of constraints, which may result fromlimitations in the system states, the control input or output. Both mentioned factors, ifnot dealt with properly in the controller synthesis step, can cause degradation of perfor-mance of the controlled system or even lead it to instability. Thus, this work presentsa proposal of a robust controller that uses the theory of invariant sets perform the refe-rence tracking, ensuring that the system complies with the constraints despite the effectof bounded disturbances and variations of parameters. Invariant Polyhedra are used toensure compliance with the constraints to systems both with state feedback and outputfeedback. Reidentification procedure of system parameters is used to cancel the error ofconstant references tracking in both the cases.

Keywords: Robust Control, Reference Tracking, Control under Constraints, Uncer-tain Systems, Invariant Sets.

Sumário

Sumário i

Lista de Figuras iii

Lista de Símbolos v

1 Introdução 1

2 Conjuntos Invariantes e Controle sob Restrições 32.1 Sistemas Lineares Sujeitos a Restrição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Poliedros Positivamente Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Conjuntos Invariantes Controlados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.1 Poliedros Invariantes Controlados . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.2 Conjunto Invariante Controlado λ-Contrativo . . . . . . . . . . . 62.3.3 Máximo Conjunto Invariante Controlado . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Poliedros Invariantes para Sistemas com Modelos Incertos . . . . . . . . 72.4.1 Máximo Conjunto ∆-Invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Rastreamento de Referências sob Restrições 11

4 Controle Robusto por Realimentação de Estados 15

5 Controle Robusto por Realimentação de Saída 195.1 Modelo Conhecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Modelo Incerto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 Simulações e Resultados 276.1 Realimentação de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.1.1 Controle Regulatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.1.2 Rastreamento de Referência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.1.3 Rastreamento Robusto de Referência . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.2 Realimentação de Saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.2.1 Controle Regulatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.2.2 Rastreamento de Referência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.2.3 Rastreamento Robusto de Referência . . . . . . . . . . . . . . . 39

7 Conclusões 45

i

Referências bibliográficas 46

Lista de Figuras

3.1 Servosistema tipo 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.1 Poliedro Invariante Controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.2 Controle Regulatório com Realimentação de Estados . . . . . . . . . . . 296.3 Sinal de Controle u para o Controle Regulatório com Realimentação de

Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.4 Rastreamento de Referência com Realimentação de Estados . . . . . . . 306.5 Trajetória dos Estados para o Rastreamento de Referência com Realimen-

tação de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.6 Sinal de Controle u para o Rastreamento de Referência com Realimenta-

ção de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.7 Controle com Modelo Incerto com Realimentação de Estados . . . . . . . 316.8 Poliedro ∆-invariante Controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.9 Controle com modelo reidentificado em Realimentação de Estados . . . . 336.10 Trajetória dos Estados com Rastreamento Robusto com Realimentação de

Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.11 Sinal de Controle u para controle com reidentificação com Realimentação

de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.12 Controle com modelo reidentificado com mudança de parâmetros em k =

10 com Realimentação de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.13 Sinal de Controle u para controle com reidentificação e mudança de parâ-

metros com Realimentação de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.14 Controle com modelo reidentificado em Realimentação de Estados com

referência igual à 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.15 Trajetória dos Estados com Rastreamento Robusto com Realimentação de

Estados com referência igual à 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.16 Sinal de Controle u para controle com reidentificação com Realimentação

de Estados com referência igual à 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.17 Controle com modelo reidentificado em Realimentação de Estados com

referência igual à 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.18 Trajetória dos Estados com Rastreamento Robusto com Realimentação de

Estados com referência igual à 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.19 Sinal de Controle u para controle com reidentificação com Realimentação

de Estados com referência igual à 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.20 Controle Regulatório com Realimentação de Saída . . . . . . . . . . . . 37

iii

6.21 Sinal de Controle u para o Controle Regulatório com Realimentação deSaída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.22 Rastreamento de Referência com Realimentação de Saída . . . . . . . . . 386.23 Trajetória dos Estados para o Rastreamento de Referência com Realimen-

tação de Saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.24 Sinal de Controle u para o Rastreamento de Referência para Realimenta-

ção de Saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.25 Controle com Modelo Incerto para Realimentação de Saída . . . . . . . . 396.26 Controle com modelo reidentificado em Realimentação de Saída . . . . . 406.27 Trajetória dos Estados para o Rastreamento Robusto com Realimentação

de Saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.28 Sinal de Controle u para controle com reidentificação com Realimentação

de Saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.29 Controle com modelo reidentificado com mudança de parâmetros em k =

10 com Realimentação de Saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.30 Sinal de Controle u para controle com reidentificação e mudança de parâ-

metros com Realimentação de Saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.31 Controle com modelo reidentificado em Realimentação de Saída com re-

ferência igual à 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.32 Trajetória dos Estados com Rastreamento Robusto com Realimentação de

Saída com referência igual à 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.33 Sinal de Controle u para controle com reidentificação com Realimentação

de Saída com referência igual à 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.34 Controle com modelo reidentificado em Realimentação de Saída com re-

ferência igual à 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.35 Trajetória dos Estados com Rastreamento Robusto com Realimentação de

Saída com referência igual à 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.36 Sinal de Controle u para controle com reidentificação com Realimentação

de Saída com referência igual à 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Lista de Símbolos

A - Matriz de transição de estados, A ∈ Rn×n.B - Matriz de entradas, B ∈ Rn×m.C - Matriz de saídas, C ∈ Rp×m.x - Variáveis de estado, x ∈ Rn.y - Saídas do sistema, y ∈ Rp.u - Sinal de controle, u ∈ Rm.V - Matriz de ponderações do sinal de controle nas restrições, V ∈ Rv×m.Ω - Subconjunto no espaço de estados.λ - Taxa de contração.ζ - Conjunto admissível a um passo de um subconjunto no espaço de estados.C∞ - Máximo conjunto invariante controlado contido em um subconjunto no espaço deestados.α - Vetor de incertezas da matriz A.β - Vetor de incertezas da matriz B.∆A - Hipercubo formado pelas incertezas da matriz A.∆B - Hipercubo formado pelas incertezas da matriz B.Kp - Ganho proporcional ao erro.K - Ganho proporcional as variáveis de estado.e - Erro da saída do sistema em relação à referência.Ao - Matriz nominal da matriz incerta A.Bo - Matriz nominal da matriz incerta B.ym - Saída medida no sistema.yo - Saída usando o modelo nominal.ξ - Pior caso próximo passo para as variáveis de estado do sistema que obedecem as res-trições.κ - Pior caso de saída do sistema para as variáveis de estado do sistema que obedecem asrestrições.

Capítulo 1

Introdução

Os sistemas de controle desempenham um papel fundamental no desenvolvimento daengenharia e da ciência, e tornaram-se uma ferramenta de muita importância em todos ostipos de sistemas automatizados, processos industriais e de produção [Ogata 2003].

Desde o final da década de 60, a utilização e síntese de controladores robustos parasistemas lineares vem sendo muito discutida pela comunidade científica, já que estes con-troladores tem a capacidade de garantir o desempenho e a estabilidade dos sistemas pe-rante as incertezas inerentes aos modelos, além de poderem ser utilizados em sistemasmultivariáveis, variantes no tempo e de ordem elevada [Nogueira 2009].

A modelagem matemática de sistemas dinâmicos é resultado da análise das equaçõesfísicas do processo e/ou obtida a partir de técnicas de identificação de sistemas. Essa mo-delagem é feita com o objetivo de representar o mais próximo possível o comportamentodinâmico do sistema real, mas devido a algumas características inerentes ao sistema, omodelo pode conter incertezas que afetam o seu comportamento.

As incertezas que afetam o modelo de um sistema podem ter sua origem em diver-sos aspectos da sua identificação, elas podem ser provenientes dos erros de modelagem,das variações paramétricas, das incertezas sobre os parâmetros por causa da precisão edas aproximações de modelagem, tais como linearização ou eliminação de dinâmicas deordem elevadas [Langner 2004].

Além das incertezas do modelo, existe também uma outra característica importante,presente na maioria das aplicações práticas, que é a existência de restrições nos estados,no controle ou na saída do sistema. Algumas vezes, essas restrições são colocadas pro-positalmente, com o objetivo de reduzir o consumo de energia, minimizar a utilizaçãode recursos e/ou para assegurar que algumas variáveis não ultrapassem valores críticos,como por exemplo para que um tanque não transborde [Kido 2011].

O problema de rastreamento de referência para sistemas com restrições é bem maiscomplexo do que para sistemas livres de restrição, onde deve existir um controlador queconsiga levar o sistema ao sinal de referência sem violar as restrições durante o transitório,este problema pode ser visto detalhado em [Blanchini & Miani 2000]. Existem muitostrabalhos que resolvem o problema de rastreamento com restrições, como [Limon et al.2008], [Chisci & Zappa 2010] e [Dórea 2004].

A partir destes fatos, é possível introduzir o conceito de conjuntos poliédricos invari-antes controlados para tratar essas restrições. O conceito de invariância de conjuntos po-

2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

liédricos está diretamente relacionada às restrições dos sistemas físicos, pois as restriçõeslineares podem ser matematicamente traduzidas na forma de poliedros. A invariância dospoliedros garante que as variáveis de estado do sistema permanecerão dentro do conjuntode restrições que é o conceito conhecido como invariância controlada [Araújo 2011].

Um conjunto positivamente invariante tem a propriedade de que, para qualquer con-dição inicial pertencente ao conjunto, a trajetória dos estados de um sistema controladopermanecerá no interior do mesmo em todo o tempo, garantindo, assim, que as restriçõesdo sistema não serão violadas [Nogueira 2009].

Existem muitos estudos e aplicações envolvendo os conjuntos invariantes, como [Olaruet al. 2010], [Pluymers et al. 2005],[Tarbouriech & Burgat 1994], [Limon et al. 2002],[Chisci et al. 2001], [Kerrigan & Maciejowski 2000], [Cannon et al. 2003], [Alamoet al. 2005], [Kolmanovsky & Gilbert 1998], mas em nenhum dos casos existe o estudode rastreamento robusto de referência para modelos incertos.

Neste contexto, este trabalho tem como objetivo geral o estudo e aplicação dos con-ceitos de conjuntos invariantes em um controlador robusto para o controle de um sistemalinear sob restrições, contribuindo nas áreas de controle de sistemas com restrição paraos casos de sistemas conhecidos e incertos, tanto para realimentação de estados quantopara realimentação de saída, enfatizando o caso de realimentação de saída para sistemasincertos, no qual não existem trabalhos até então publicados, e visa os seguintes objetivosespecíficos:

1. Estudar os conceitos de conjuntos invariantes, em específico o conjunto poliédricocontrolado.

2. Usar os conceitos adquiridos de conjuntos invariantes para implementar um con-trole para rastreamento de referência.

3. Usar os conjuntos invariantes no caso em que o modelo do sistema tenha incertezas.

4. Encontrar um método que garanta que o controle do sistema seja robusto.

Desta forma, este trabalho está dividido em sete capítulos, que estarão organizados daseguinte maneira. No capítulo 2 serão apresentadas as definições e conceitos dos conjun-tos invariantes, com algumas noções sobre sistemas lineares com restrições. No capítulo3 é mostrado como é feito o controle por rastreamento de referência e utilizados os con-ceitos apresentados no capítulo 2. No capítulo 4 é abordado o problema do controle parasistemas com realimentação de estados e como utilizar os conjuntos invariantes para ga-rantir um controle robusto. No capítulo 5 é apresentado a resolução para o caso comsistemas com realimentação de saída, também utilizando os conjuntos invariantes paragarantir o controle robusto. No capítulo 6 são apresentadas as simulações e resultados daaplicação da teoria mostrada nos capítulos anteriores. E por fim, no capítulo 7, têm-se asconsiderações finais e as perspectivas dos trabalhos futuros.

Capítulo 2

Conjuntos Invariantes e Controle sobRestrições

Um subconjunto do espaço de estado de um sistema dinâmico é dito positivamenteinvariante se qualquer trajetória originada deste conjunto não o deixa [Dórea 2004].

A abordagem da invariância positiva tem sido usada com sucesso na resolução de umgrande número de problemas em sistemas dinâmicos com restrição. As restrições destessistemas normalmente são provindas de limitações físicas nas variáveis de entrada e/ousaída [Dórea 2004]. O problema relativo as restrições é que devido à dinâmica do sistema,em geral, nem todas as trajetórias originadas de estados iniciais admissíveis permanecerãodentro das restrições. Já para as condições iniciais contidas em um subconjunto positiva-mente invariante no domínio admissível, as violações das restrições podem ser evitadas.

Utilizando a abordagem para o caso em que exista um controle envolvido, dizemosque um conjunto é invariante controlado ou viável se, para todas as condições iniciaisescolhidas entre seus elementos, a trajetória pode ser mantida dentro do conjunto pormeio de uma ação de controle apropriada [Blanchini 1999].

Existem famílias especiais de conjuntos positivamente invariantes, as duas mais im-portantes são os conjuntos elipsoidais e conjuntos poliédricos. Neste trabalho serão utili-zados os conjuntos poliédricos por representar melhor as restrições utilizadas nos sistemasdinámicos.

2.1 Sistemas Lineares Sujeitos a Restrição

Como já foi mencionando anteriormente as restrições são geralmente provindas delimitações físicas e/ou não-linearidades inerentes ao sistema. A maioria dos problemasde controle práticos são dominados por grandes limitações. Por exemplo, válvulas queapenas podem ser operadas entre completamente aberta e completamente fechada, bom-bas e compressores que têm capacidade de processamento limitadas e tanques que podemapenas manter um certo volume. Negligenciar essas restrições pode causar a degradaçãodo desempenho do sistema ou até mesmo levá-lo à instabilidade [Tarbouriech 1991].

Um sistema discreto linear invariante no tempo (SLIT) é representado por:

4 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS INVARIANTES E CONTROLE SOB RESTRIÇÕES

x(k+1) =Ax(k)+Bu(k)

y(k) =Cx(k)(2.1)(2.2)

Onde, x(k) é a variável de estado no instante k, x ∈ Rn; u(k) é o sinal de controleno instante k, u ∈ Rm; y(k) é a saída do sistema no instante k, y ∈ Rp; A é a matriz detransição de estados, A ∈ Rn×n; B é a matriz de entradas, B ∈ Rn×m; C é a matriz desaídas, C ∈ Rp×n.

A representação das restrições dos estados é dada pela equação 2.3.

Wx(k)≤ ρ (2.3)

Em que W ∈Rq×n são as ponderações das variáveis de estado nas restrições e ρ ∈Rq

são os valores que restrigem o sistema.As restrições do sinal de controle são dados pela equação 2.4.

Vu(k)≤Ψ (2.4)

Em que, Ψ são os valores que restringem os sinais de controle, Ψ ∈ Rv, e V ∈ Rv×m.

2.2 Poliedros Positivamente InvariantesComo já mencionado anteriormente, um subconjunto no espaço de estados é con-

siderado invariante se todas as trajetórias originadas por um estado neste subconjuntopermanecerem no mesmo conjunto. Segundo Dantas (2015), existem três definições im-portantes em relação à teoria de conjuntos positivamente invariantes sobre o domínio dosistema mostrado na equação 2.1 que são:

Definição 2.1: Um conjunto Ω ⊂ Rn é dito positivamente invariante em relação aosistema dado pela equação 2.1 se ∀x(0) ∈Ω⊆ Rn, x(k) ∈Ω, ∀k ≥ 0.

Definição 2.2: Um conjunto invariante Ω pode ser representado por poliedros conve-xos não vazios de Rn caracterizado por R[G,ρ] = x ∈ Rn; Gx ≤ ρ, onde G ∈ Rr×n éuma matriz e ρ ∈ Rr um vetor, r ∈ N−0, n ∈ N−0.

Definição 2.3: Um conjunto não nulo e fechado, contendo a origem Ω é um conjuntoλ-contrativo para o sistema dado pela equação 2.1 com x ∈ Ω, se para um apropriadoλ ∈ [0,1], x(k + 1) ∈ λΩ, ∀x ∈ Ω. Se o conjunto Ω é contrativo, então ele também épositivamente invariante, porém, a recíproca nem sempre é verdadeira.

As definições mostram o que são os conjuntos invariantes, poliedros invariantes e apossibilidade de contração desses conjuntos que pode melhorar o desempenho do sistema.

2.3. CONJUNTOS INVARIANTES CONTROLADOS 5

2.3 Conjuntos Invariantes ControladosA abordagem da invariância positiva se tornou de grande importância para os projetos

de controladores para sistemas dinâmicos sujeitos a restrições. A sua importância é de-vido a sua condição fundamental para manter a estabilidade do sistema e garantir que asrestrições sejam obedecidas [Blanchini & Miani 2008 apud Dantas 2015].

Um conjunto é dito invariante controlado, de acordo com Dantas (2015), pelas seguin-tes definições e teoremas:

Definição 2.4: O conjunto Ω ∈ Rn é dito ser invariante controlado com respeito aosistema mostrado nas equações 2.1 e 2.2 se ∀x ∈Ω, ∃u ∈ Rm : Ax(k)+Bu(k) ∈Ω.

Definição 2.5: O conjunto ζ(Ω) é dito ser o conjunto admissível a um passo de Ω seζ(Ω) = x ∈ Rn : ∃u ∈ Rm : Ax+Bu ∈Ω.

ζ(Ω) é o conjunto de todos os estados que podem alcançar em um passo para o con-junto Ω.

Teorema 2.1: O conjunto Ω∈Rn é invariante controlado, se e somente se, Ω⊆ ζ(Ω).

Pelos teorema 2.1 e definições 2.4 e 2.5 observamos que um conjunto é dito invariantecontrolado se dada uma condição inicial x(0) ∈Ω, existe u tal que todos os estados a umpasso de Ω continuam dentro de Ω.

2.3.1 Poliedros Invariantes ControladosUm poliedro convexo pode ser representado por:

Ω = R(G,ρ f ) = x : Gx≤ ρ f ,ρ f ≥ 0 (2.5)

Então, para um conjunto poliédrico, os valores das variáveis de estado admissíveispodem ser dadas pela equação 2.6.

Gx(k)≤ ρ f (2.6)

e o conjunto admissível do próximo passo para Ω, usando a equação 2.6, é dada por:

Gx(k+1)≤ ρ f (2.7)

Usando as equações 2.7 e 2.1 obtemos a expressão 2.8 que restringe o sistema emrelação ao poliedro.

GAx(k)+GBu(k)≤ ρ f (2.8)


2.3.2 Conjunto Invariante Controlado λ-ContrativoMuito frequentemente, uma taxa de contração, 0≤ λ≤ 1, é imposta para um conjunto

invariante controlado para garantir a convergência do estado para a origem, ou para dimi-nuir um conjunto, ao redor da origem, se existem perturbações persistentes [Dórea 2009].

A definição de conjunto invariante controlado λ-contrativo é dado por Dantas (2015),da seguintes forma:

Definição 2.6: Um conjunto fechado Ω⊂Rn é dito invariante controlado λ-contrativocom 0 < λ≤ 1, se ∀x ∈Ω,∃u ∈ Rn : Ax+Bu ∈ λΩ.

Reescrevendo a equação 2.8, usando a nova definição de conjunto invariante λ-contrativo,obtemos a equação 2.9, que restringe o sistema para este caso.

GAx(k)+GBu(k)≤ λρ f (2.9)

2.3.3 Máximo Conjunto Invariante ControladoSuponha que os estados de um sistema como o mostrado em 2.1 e 2.2 são sujeitos a

restrições x ∈ Ω. Em geral, o conjunto Ω não é invariante. Assim, uma possível soluçãopara o problema restrito é restringir os estados para um conjunto invariante contido em Ω.E também é desejável que o conjunto seja o maior possível. [Dórea 1999]

Com esse intuito, Dórea & Hennet (1999) desenvolveram uma solução para este pro-blema, chamado de o máximo conjunto invariante controlado, Supremal (A,B)-InvariantSet, usando a seguinte proposição, dada por Dantas (2015) da seguinte forma:

Proposição 2.1: A família de todos os conjuntos invariantes contidos em um conjuntoconvexo Ω é fechado em relação à operação envoltória convexo.

Como Ω é fechado por suposição, esta proposição garante a existência do elementomáximo, ou seja, um elemento que contém todos os outros elementos.

C∞(Ω)4= máximo conjunto invariante controlado contido em Ω.

C∞(Ω) é o conjunto definido pelo envoltório convexo de todos os conjuntos invariantesde Ω. O conjunto supremo pode ser caracterizada pelas seguintes equações recursivas[Blanchini 1994]:

Ci+1 = ζ(Ci)∩Ci,C0 = Ω (2.10)

C∞(Ω) = limi→∞

Ci (2.11)

Deve ser notado que Ci é o conjunto de estados para o qual existe uma sequênciade controle possível para força-los a ficar em Ω, em i passos, e o conjunto máximo é

2.4. POLIEDROS INVARIANTES PARA SISTEMAS COM MODELOS INCERTOS 7

obtido calculando i→ ∞. Também pode ser introduzido o conceito de λ-contratividadenas equações 2.12 e 2.13.

C∞(Ω,λ)4= máximo conjunto λ-contrativo contido em Ω.

Substituindo nas equações 2.12 e 2.13:

Ci+1 = ζ(λCi)∩Ci,C0 = Ω (2.12)

C∞(λ,Ω) = limi→∞

Ci (2.13)

2.4 Poliedros Invariantes para Sistemas com Modelos In-certos

Nem sempre os parâmetros dos modelos dos sistemas dinâmicos são totalmente co-nhecidos, mas isso não torna impossível estimar os intervalos de valores desses parâme-tros. Os poliedros invariantes podem ser estendidos para o caso em que esses parâmetrossão incertos.

Considere o sistema linear, sujeito a incertezas paramétricas, descrito pela equação2.14:

x(k+1) =A(α)x(k)+B(β)u(k)y(k) =Cx(k)

(2.14)

Onde as matrizes A(α) e B(β) são funções lineares dos seus parâmetros, isto é:

A(α) = Ao +α1A1 + · · ·+αpAp = Ao +∆A(α) (2.15)

B(β) = Bo +β1B1 + · · ·+βqBq = Bo +∆B(β) (2.16)

Nos quais as matrizes Ao e Bo são os valores nominais das matrizes e os vetores α ∈Rp e β ∈ Rq são os parâmetros incertos do sistema que estão situados entre os intervalos:

−αM ≤ α≤ αM (2.17)

−βM≤ β≤ β

M(2.18)

As equações 2.17 e 2.18 definem os limites superiores e inferiores para cada um doselementos incertos de A(α) e B(β), o que nos permite definir dois hipercubos ∆A e ∆B:


∆A4=

A ∈ Rn×n;A =

ηA

∑i=1

ξiAi,ηA

∑i=1

ξi = 1,ξi ≥ 0

(2.19)

∆B4=

B ∈ Rn×m;B =

ηB

∑j=1

µ jB j,ηB

∑j=1

µ j = 1,µ j ≥ 0

(2.20)

Onde ηA = 2p, ηB = 2q. Ai e B j são as matrizes com todas as possíveis variaçõesmáximas e mínimas dos parâmetros de A(α) e B(β).

Dórea (1997) define os conjuntos invariantes para sistemas com modelos incertos daseguinte forma:

Definição 2.7 Um conjunto Ω ⊂ Rn é dito ∆-invariante Controlado (Invariante Con-trolado para Sistemas com Modelos Incertos) para o sistema mostrado nas equações 2.14,2.19 e 2.20 se, ∀x ∈Ω, existe um vetor controle, u ∈ Rm, tal que Ax+Bu ∈Ω, ∀A ∈ ∆A,∀B ∈ ∆B.

O conjunto admissível a um passo é dado por:

ζ(Ω,∆) = x ∈ Rn;∃u ∈ Rm;Ax+Bu ∈Ω,∀A ∈ ∆A,∀B ∈ ∆B (2.21)

Para o caso poliédrico, Ω = R[G,ρ f ]. Temos:

(GA)∆ =

GA1

GA2

...GAηA

GA1

...GAηA

...GA1

...GAηA

,(GB)∆ =

GB1

GB1

...GB1

GB2

...GB2

...GBηB

...GBηB

,ρ∆f =

ρ fρ f...

ρ fρ f...

ρ f...

ρ f...

ρ f

(2.22)

Onde, G ∈ Rg×n; (GA)∆ ∈ R(ηAηBg)×n; (GB)∆ ∈ R(ηAηBg)×m; ρ∆f ∈ RηAηBg.

Assim, o conjunto admissível a um passo é dado por:

ζ(R[G,ρ f ],∆) =

x;∃u;(GA)∆x+(GB)∆u≤ ρ∆f

(2.23)

2.4. POLIEDROS INVARIANTES PARA SISTEMAS COM MODELOS INCERTOS 9

2.4.1 Máximo Conjunto ∆-InvarianteComo mencionado na Proposição 2.1, a família de todos os conjuntos invariantes

contidos em um conjunto convexo Ω é fechado para a operação envoltório convexo, o queassegura a existência do conjunto máximo:

C∞(Ω,∆)4= máximo conjunto ∆-invariante contido em Ω.

Assim, podem ser obtidas as seguintes equações recursivas [Blanchini 1999]:

Ci+1 = ζ(Ci,∆)∩Ci,C0 = Ω (2.24)

C∞(Ω,∆) = limi→∞

Ci (2.25)

Capítulo 3

Rastreamento de Referências sobRestrições

Muitos problemas em engenharia de controle tratam de rastreamento de forma ótima,de uma dada referência, enquanto assegura que as restrições de controle e estados sãotodas satisfeitas ao mesmo tempo. A obtenção de resultados teóricos sobre estabilidade,viabilidade e robustez para qualquer rastreamento restrito de referências que variam comtempo são extremamente difíceis. Então, o problema de rastreamento é geralmente res-trito apenas ao problema de otimizar o rastreamento para sinais de referência constantes[Balandat 2010].

Naturalmente, quando se fala em rastreamento de referência, se pensa em controlar osistema calculando o sinal de controle a partir das variáveis de estado medidas. SegundoDorf & Bishop (2008), o projeto de um controlador em variáveis de estados apresenta 3passos.

Primeiramente é assumido que todas as variáveis do sistema possam ser medidas eutilizadas em uma lei de controle, o que, normalmente, na prática não é possível, poisgeralmente não podem medir todos os estados do sistema. O segundo passo é construir umobservador para estimar os estados do sistema que não possam ser medidos. O terceiro, eultimo, passo é usar as variáveis medidas e estimadas na lei de controle.

Neste projeto, levaremos em consideração que todas as variáveis de estado são com-pletamente mensuráveis.

Existem diversas formas de rastreamento de referência. Neste projeto serão utilizadosos servosistemas de tipo 0 como base.

Dado um sistema LIT na forma das equações 2.1 e 2.2 o sinal de controle de umservosistema tipo 0 pode ser calculado por 3.1

u(k) = Kpe(k)−Kx(k) (3.1)

Onde,

e(k) = r− y(k) (3.2)

12 CAPÍTULO 3. RASTREAMENTO DE REFERÊNCIAS SOB RESTRIÇÕES

E Kp e K são os ganhos proporcionais ao erro e as variáveis de estado, respectiva-mente.

O diagrama de blocos do servosistema de tipo 0 pode ser observado na Fig. 3.1:

Figura 3.1: Servosistema tipo 0

Para calcular um sinal de controle u que atenda as restrições, é necessário deixar asequações em função do sinal de controle, então, substituindo a equação 2.1 na 2.3 obtemos3.3.

W(Ax(k)+Bu(k))≤ ρ (3.3)

A partir de 3.3 obtemos 3.4

WBu(k)≤ ρ−WAx(k) (3.4)

Para fazer o sistema seguir a referência é necessária a utilização do erro dado pelaequação 3.2, sabendo que a saída do sistema é dada pela 2.2 e o estado futuro sendocalculado por 2.1 obtemos 3.5.

e(k+1) = r−CAx(k)−CBu(k) (3.5)

O módulo de e(k+1) pode ser minimizado a partir da seguinte restrição:

|e(k+1)|= |CAx(k)+CBu(k)− r| ≤ ι (3.6)

−ι≤ CAx(k)+CBu(k)− r ≤ ι (3.7)

13

Assim |e(k+1)| pode ser minimizado minimizando-se ι:

CBu(k)− ι1≤ r−CAx(k)−CBu(k)− ι1≤−r−CAx(k)

(3.8)(3.9)

Juntando as equações 2.4, 3.4, 3.8 e 3.9 obtemos todas as restrições do sistema quepodem ser representadas pela equação 3.10.

WB 0V 0

CB −1−CB −1

[ u(k)ι

]≤

ρ−WAx(k)

Ψ

r−CAx(k)−r+CAx(k)

(3.10)

O sistema de equações 3.10 garante que as restrições sejam respeitadas e minimizar oe implica minimizar o módulo do erro de rastreamento um passo à frente. A partir dessesistema é possível utilizar o conceito de máximo conjunto invariante controlado, estudadono Capítulo 2, para obter o conjunto R[G,ρ f ] que é o maior conjunto invariante controladocontido em R[W,ρ]. Desta forma, obtemos o seguinte sistema de equações:

GB 0V 0

CB −1−CB −1

[ u(k)ι

]≤

ρ f −GAx(k)

Ψ


(3.11)

A partir da equação 3.11 é possível calcular o sinal de controle que leva até a referênciadesejada, sem violar as restrições, usando programação linear. A função objetivo, no casodesse sistema, é o módulo do erro um passo à frente, minimizar o erro implica minimizaro módulo do erro de rastreamento um passo à frente. Para isso, o sistema deve obedeceràs proposições mencionadas no Capitulo 2, a origem deve estar contida no conjunto Ω ea referência deve ser alcançável, ou seja, o ponto de equilíbrio (u,x), que corresponda ay = r, deve satisfazer as restrições no estado e no controle.

O problema de otimização é descrito por :

min Z = ι

su jeito a GBu(k)≤ ρ−GAx(k)Vu(k)≤Ψ

CBu(k)− ι≤ r−CAx(k)−CBu(k)− ι≤−r+CAx(k)

14 CAPÍTULO 3. RASTREAMENTO DE REFERÊNCIAS SOB RESTRIÇÕES

Capítulo 4

Controle Robusto por Realimentação deEstados

Em sistemas práticos, incertezas aparecem quando alguns aspectos dos modelos dossistemas não são completamente conhecidos, como os valores dos parâmetros que podemvariar dependendo das condições de operação do sistema. Já que os projetos dos contro-ladores dependem dos sistemas a serem controlados, se os parâmetros do controlador sãocalculados a partir de um modelo com parâmetros diferentes do processo real, pode acar-retar em perda de desempenho, levar o sistema à instabilidade, entre outros problemas.

Então, podemos chamar de controle robusto, um sistema de controle que é toleranteàs variações dos parâmetros do processo. A robustez é muito importante, já que na prá-tica, geralmente, os modelos usados não conseguem descrever perfeitamente todas ascaracterísticas do processo e os processos reais são vulneráveis a perturbações externas,não-linearidades e variações das condições operacionais [Ventin 2010].

Apesar de muitas vezes alguns parâmetros dos modelos de sistemas dinâmicos nãoserem exatamente conhecidos, é possível determinar os valores dos intervalos em queestes parâmetros variam. O controle para tais sistemas deve ser robusto no sentido de queo objetivo especificado previamente deve ser atingido, independente dos valores destesparâmetros [Dórea 1997].

Usando o conjunto ∆-Invariante é possível fazer com que o sistema de controle obe-deça todas as restrições impostas para cada uma das variações de parâmetros do sistema.Usando o conceito de máximo conjunto ∆-invariante e a equação 3.11 podemos obter aseguinte equação para as restrições:

(GB)∆ 0V 0

CB −1−CB −1

[ u(k)ι

]≤

ρ∆

f − (GA)∆x(k)Ψ


(4.1)

Mas, como o sistema descrito pela equação 2.14 é incerto em relação a A e B, énecessário utilizar como valor inicial os seus valores nominais, Ao e Bo, para que possaser calculado o sinal de controle, já que não se tem um valor exato para as matrizes (videequações 2.15 e 2.16).

Uma entrada de controle que garanta que as restrições sejam respeitadas, e leva o

16 CAPÍTULO 4. CONTROLE ROBUSTO POR REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS

sistema à referência, pode ser calculada resolvendo um problema de programação linear,cuja função objetivo é o erro de rastreamento e as restrições são dadas por:

(GB)∆ 0V 0

CBo −1−CBo −1

[ u(k)ι

]≤

ρ∆

f − (GA)∆x(k)Ψ

r−CAox(k)−r+CAox(k)

(4.2)

O problema de otimização é descrito por :

min Z = ι

su jeito a (GB)∆u(k)≤ ρ∆f − (GA)∆x(k)

Vu(k)≤Ψ

CBou(k)− ι≤ r−CAox(k)−CBou(k)− ι≤−r+CAox(k)

Porém, só a equação 4.2 não garante o seguimento robusto de referência como po-derá ser visto no Capítulo de simulações, para que o mesmo seja garantido, é propostaa reidentificação dos parâmetros de A e B quando for detectado que a saída do modelonominal (yo) é diferente da saída medida (ym) no processo real, ou seja, |yo− ym| ≥ χ,onde χ é a tolerância.

Como o modelo deve ser igual ao sistema real então podemos dizer que:

ym = Cx(k) (4.3)

Substituindo o x(k) na equação 4.3 pela equação 2.1 obtemos:

ym = CAx(k−1)+CBu(k−1) (4.4)

Supondo um caso base, onde A =

[a1,1 a1,2a2,1 a2,2

], B =

[b1b2

]e C =

[c1 c2

], te-

mos:

ym =[

c1a1,1 + c2a2,1 c1a1,2 + c2a2,2]

x(k−1)+(c1b1 + c2b2)u(k−1)= c1a1,1x(k−1)1 + c2a2,1x(k−1)1 + c1a1,2x(k−1)2 + c2a2,2x(k−1)2 +

c1b1u(k−1)+ c2b2u(k−1) (4.5)

A partir de 4.5, obtemos:

17

ym =[

c1x(k−1)1 c2x(k−1)1 c1x(k−1)2 c2x(k−1)2 c1u(k−1) c2u(k−1)]

a1,1a2,1a1,2a2,2b1b2

(4.6)

Generalizando para qualquer tamanho de A, B e C, temos:

ym =[

CT x(k−1)1 · · · CT x(k−1)n CT u(k−1)1 · · · CT u(k−1)m]

a1,1...

an,1a1,2

...an,2

...an,nb1,1

...bn,1b1,2

...bn,2

...bn,m

(4.7)

Para que o sistema reidentificado continue dentro do poliedro ∆-invariante controlado,no processo de reidentificação devem ser adicionadas restrições que garantam que as ma-trizes A e B reidentificadas pertençam respectivamente a ∆A e ∆B vide equações 2.19 e2.20.

18 CAPÍTULO 4. CONTROLE ROBUSTO POR REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS

a1,1...

an,1a1,2

...an,2

...an,nb1...

bn−a1,1

...−an,1−a1,2

...−an,2

...−an,n−b1

...−bn

≤

max(Aa(1,1),Aa(n+1,1),Aa(2n+1,1), · · · ,Aa((ηA−1)n+1,1))...

max(Aa(n,1),Aa(n+n,1),Aa(2n+n,1), · · · ,Aa((ηA−1)n+n,1))max(Aa(1,2),Aa(n+1,2),Aa(2n+1,2), · · · ,Aa((ηA−1)n+1,2))

...max(Aa(n,2),Aa(n+n,2),Aa(2n+n,2), · · · ,Aa((ηA−1)n+n,2))

...max(Aa(n,n),Aa(n+n,n),Aa(2n+n,n), · · · ,Aa((ηA−1)n+n,n))

max(Ba(1),Ba(n+1),Ba(2n+1), · · · ,Ba((ηB−1)n+1))...

max(Ba(n),Ba(n+n),Ba(2n+n), · · · ,Ba((ηB−1)n+n))−min(Aa(1,1),Aa(n+1,1),Aa(2n+1,1), · · · ,Aa((ηA−1)n+1,1))

...−min(Aa(n,1),Aa(n+n,1),Aa(2n+n,1), · · · ,Aa((ηA−1)n+n,1))−min(Aa(1,2),Aa(n+1,2),Aa(2n+1,2), · · · ,Aa((ηA−1)n+1,2))

...−min(Aa(n,2),Aa(n+n,2),Aa(2n+n,2), · · · ,Aa((ηA−1)n+n,2))

...−min(Aa(n,n),Aa(n+n,n),Aa(2n+n,n), · · · ,Aa((ηA−1)n+n,n))−min(Ba(1),Ba(n+1),Ba(2n+1), · · · ,Ba((ηB−1)n+1))

...−min(Ba(n),Ba(n+n),Ba(2n+n), · · · ,Ba((ηB−1)n+n))

(4.8)

Onde, Aa =

A1

...AηA

e Ba =

B1

...BηB

.

O procedimento de cálculo do sinal de controle e da reidentificação dos parâmetrosdo sistema fica da seguinte forma:

1. Calcular o Poliedro Invariante Controlado a partir das restrições R[W,ρ].

2. Calcular o sinal de controle resolvendo o problema de otimização descrito, utili-zando os valores nominais das matrizes A e B, Ao e Bo.

3. Aplicar o sinal de controle calculado no sistema.

4. Se |yo− ym| ≥ χ, resolver o sistemas de equações 4.7 e 4.8 para obter os novosvalores de A e B.

5. Voltar ao passo 2.

Capítulo 5

Controle Robusto por Realimentação deSaída

Também pode ser utilizado o conjunto ∆-Invariante para que o sistema de controleobedeça todas as restrições, mas nem todos os sistemas que são invariantes controladospara realimentação de estados também o são para realimentação de saída, como tambémnão existe um algoritmo para calcular um conjunto invariante controlado para o mesmo.

Neste Capítulo para facilitar o uso dos algortimos o conjunto invariante é normalizadopara que o vetor ρ f tenha seus valores iguais a 1, ou seja Gx≤ 1.

5.1 Modelo ConhecidoApesar de não existir um algoritmo para calcular o conjunto, é possível descobrir se

um conjunto é invariante controlável para realimentação de saída (o. f .c.i).

Usando o sistema mostrado nas equaçãos 2.1 e 2.2. Considere o conjunto de saídasadmissíveis associados a Ω:

Y (Ω) = y : y =Cx para x ∈Ω. (5.1)

De acordo com Dórea (2009):

Definição 5.1: Um conjunto Ω ⊂ Rn é dito invariante controlado para realimentaçãode saída (o. f .c.i) para o sistema mostrado nas equações 2.1 e 2.2, se, ∀y ∈Y (Ω),∃u ∈U :Ax+Bu ∈Ω,∀x ∈Ω : Cx = y.

Esta definição implica dizer que se um estado em um tempo k pertence a Ω, onde Ω éinvariante controlado por realimentação de saída, tendo conhecimento de y(k) é possívelobrigar o estado seguinte, x(k + 1), a permanecer em Ω através do cálculo do sinal decontrole u(k) ∈ U . Como consequência, se o estado inicial, x(0), pertence a Ω então,através de uma realimentação de saída adequado, u(y(k)), é possível manter x(k) emΩ ∀k.

Assim, dado:

20 CAPÍTULO 5. CONTROLE ROBUSTO POR REALIMENTAÇÃO DE SAÍDA

Ω = x : Gx≤ 1, U = u : Vu≤ 1.

Com G ∈ Rg×n e V ∈ Rv×m. O conjunto de saídas admissíveis, que é um poliedroconvexo e fechado contendo a origem, é dado por:

Y (Ω) = y : y = Cx para x : Gx≤ 1. (5.2)

É possível estender a Definição 5.1 usando o conceito de taxa de contração (λ), ondeum conjunto Ω é o. f .c.i. com taxa de contração λ se, e somente se:

∀y ∈ Y (Ω),∃u : G(Ax+Bu)≤ λ1, Vu≤ 1 ∀x : Cx = y, Gx≤ 1. (5.3)

Definindo os vetores ξ e φ, dados por:

ξ j(y) = arg max G jAxsu jeito a Gx≤ 1 (5.4)

Cx = y

φ j(y) = G jAξ j(y) (5.5)

Como a mesma entrada u precisa funcionar para todos os x ∈ Ω consistente com asaída y, então o pior caso de x pode ser calculado linha por linha. Consequentemente, aequação 5.3 é equivalente a:

∀y ∈ Y (Ω),∃u :[

φ(y)0

]+

[GBV

]u≤

[λ11

](5.6)

Considerando agora o seguinte cone poliédrico:

Γ =

[tw

]∈ Rg+v : t,w≥ 0, [tT wT ]

[GBV

]= 0

(5.7)

Em que[

Ti Wi]T

, i = 1, ...,nr

forma um conjunto gerador mínimo de Γ. Como

Γ é pontiagudo, os elementos desse conjunto gerador mínimo são os pontos extremos de

Γ. Então, qualquer vetor[

tw

]∈ Γ podem ser escritos como uma combinação linear

positiva de vetores[

Ti Wi]T .

Usando o Lema de Farkas pode-se escrever a equação 5.6 como:

5.1. MODELO CONHECIDO 21

[Ti Wi

][ φ(y)0

]≤[

Ti Wi][ λ1

1

], ∀y ∈ Y (Ω), ∀i = 1, ...,nr. (5.8)

Assim é possível estabelecer o seguinte teorema [Dórea 2009]:

Teorema 5.1: O conjunto poliédrico Ω= x : Gx≤ 1 é o. f .c.i com taxa de contraçãoλ se, e somente se, ∀i = 1, ...,nr.:

g∑j=1

Ti jG jAξ j ≤ (g∑j=1

Ti j(λ))+Wi1,

∀y,ξ j, j = 1,2, ...,g : Gξ j ≤ 1,−Gξ j + y≤ 1.(5.9)

Fazendo o teste se o conjunto invariante é o. f .c.i. e se o mesmo retornar positivo, épossível fazer o controle por realimentação de saída. Da mesma forma que no capítulo4, utilizando o sistema de equações dado por 4.2 é possível fazer o controle do sistema,tendo apenas um único problema, que consiste em não ser possível obter os valores dasvariáveis de estado. Então, como já foi falado neste capítulo, é possível estimar o piorcaso para estas variáveis utilizando as equações em 5.5, onde podem ser calculado osvetores ξ e φ. Mas além desses vetores, será necessária a criação de dois novos vetoresγ+ e γ−. Considere agora a restrição |Cx(k+ 1)− r| ≤ e, escrita em termos do modeloconhecido x(k+1) = Ax(k)+Bu(k), resultando em:

CAx(k)+CBu(k)≤ r+ ι

−CAx(k)−CBu(k)≤ r− ι

(5.10)(5.11)

A exemplo do vetor φ(y) em 5.5, pode-se calcular o vetor γ(y(k)) que representa o

pior caso de[

CA−CA

]x(k), linha por linha:

κ j(y) = arg max[

CA−CA

]jx

su jeito a Gx≤ 1 (5.12)Cx = y

Assim obtemos:

γ+(y) = CAκ1(y) (5.13)

γ−(y) =−CAκ2(y) (5.14)

Assim podemos descrever seu sistema de equações da seguinte forma:


GB 0V 0

CB −1−CB −1

[ u(k)ι

]≤

1−φ(y(k))

Ψ

r− γ−(y(k))−r− γ+(y(k))

(5.15)

Desta forma, o problema de otimização é dado por:

min Z = ι

su jeito a GBu(k)≤ 1−φ(y(k))Vu(k)≤Ψ

CBu(k)− ι≤ r− γ−(y(k))

−CBu(k)− ι≤−r+ γ+(y(k))

5.2 Modelo IncertoConsiderando agora o caso dos modelos incertos, é possível espandir a definição de

o. f .c.i. para este caso, usando o conceito de poliedros invariantes para modelos incertosapresentado na Sessão 3.4, onde:

x(k+1) =A(α)x(k)+B(β)u(k)y(k) =Cx(k)

(5.16)

Então, para o caso Incerto, podemos dizer que:

Definição 5.3: Um conjunto Ω ∈Rn é dito ∆-invariante controlado por realimentaçãode saída (o. f .c.i.) para o sistema mostrado na equação 2.14, se, ∀y ∈ Y (Ω), ∃u ∈ U :A(α)x+B(β)u ∈Ω, ∀x ∈Ω : Cx = y.

Assim, dado:

Ω = x : Gx≤ 1, U = u : Vu≤ 1.

Com G ∈ Rg×n e V ∈ Rv×m. Como a matriz C não é incerta, o conjunto de saídasadmissíveis, que é um poliedro convexo e fechado contendo a origem, é dado por:

Y (Ω) = y : y = Cx para x : Gx≤ 1. (5.17)

Assim como a definição 5.2, é possível estender a definição 5.3 para o caso com taxade contração (λ). Então, um conjunto Ω é o. f .c.i. com taxa de contração λ se, e somentese:

5.2. MODELO INCERTO 23

∀y ∈ Y (Ω),∃u : G(A(α)x+B(β)u)≤ λ1, Vu≤ 1 ∀x : Cx = y, Gx≤ 1. (5.18)

Definindo os vetores ξ∆ e φ∆, dados por:

ξ∆j (y) = arg max (GA)∆

j x


φ∆j (y) = (GA)∆

j ξ∆j (y) (5.20)

Considerando φ∆ηB(y) =

φ∆(y)...

φ∆(y)

ηB×1

e ξ∆ηB(y) =

ξ∆(y)...

ξ∆(y)

ηB×1

, ou seja, vetores

com ηB repetições do vetor φ∆(y) e do vetor ξ∆(y).Então, a equação 5.18 é equivalente a:

∀y ∈ Y (Ω),∃u :[

φ∆ηB(y)

0

]+

[(GB)∆

V

]u≤

[λ11

](5.21)

Considerando agora o seguinte cone poliédrico:

Γ =

[tw

]∈ RηBg+v : t,w≥ 0, [tT wT ]

[(GB)∆

V

]= 0

(5.22)

Com o mesmo conjunto gerador do caso sem incertezas. Usando o Lema de Farkas,temos:

[Ti Wi

][ φ∆ηB(y)

0

]≤[

Ti Wi][ λ1

1

], ∀y ∈ Y (Ω), ∀i = 1, ...,nr. (5.23)

Assim é possível definir um novo teorema para o caso incerto:

Teorema 5.2: O conjunto poliédrico Ω = x : Gx ≤ 1 é o. f .c.i com taxa contrativoλ se, e somente se, ∀i = 1, ...,nr.:

ηBg∑j=1

Ti j(GA)∆j ξ∆

ηB j≤ (

ηBg∑j=1

Ti j(λ))+Wi1,

∀y,ξ∆ηB j

, j = 1,2, ...,ηBg : GηBξ∆ηB j≤ 1,−GηBξ∆

ηB j+ y≤ 1.

(5.24)


Fazendo o teste se o conjunto invariante é o. f .c.i. para o caso em que os parâmetrossão incertos e se o mesmo retornar positivo, também é possível fazer o controle por reali-mentação de saída. Neste caso serão utilizadas as equações 5.20 para calcular os vetoresξ∆ e φ∆ e utilizando a equação a seguir para calcular novos valores para o γ+o e γ−o .

Considere agora a restrição |Cx(k+1)− r| ≤ e, escrita em termos do modelo nominalx(k+1) = Aox(k)+Bou(k), resultando em:

CAox(k)+CBou(k)≤ r+ ι

−CAox(k)−CBou(k)≤ r− ι

(5.25)(5.26)

Da mesma forma do modelo conhecido, a exemplo do vetor φ(y) em 5.5, pode-se

calcular o vetor γ(y(k)) que representa o pior caso de[

CAo−CAo

]x(k), linha por linha:

κ j(y)o = arg max[

CAo−CAo

]jx


Assim obtemos:

γ+(y)o = CAoκ1(y)o (5.28)

γ−(y)o =−CAoκ2(y)o (5.29)

Assim o seu sistema de equações fica da seguinte forma:(GB)∆ 0

V 0CBo −1−CBo −1

[ u(k)ι

]≤

1−φ∆

ηB

Ψ

r− γ−o−r− γ+o

(5.30)

Da mesma forma que no capítulo anterior, será necessário fazer a reidentificação dosparâmetros do sistema utilizando as equações 4.7 e 4.8, mas como também exige o valordo x, então será utilizado a sua estimativa do pior caso. Assim a equação 4.7 fica daseguinte forma:

5.2. MODELO INCERTO 25

ym =[

CTκ(y(k−1))1 · · · CT

κ(y(k−1))n CT u(k−1)1 · · · CT u(k−1)m]

a1,1...

an,1a1,2

...an,2

...an,nb1,1

...bn,1b1,2

...bn,2

...bn,m

(5.31)

O procedimento de cálculo do sinal de controle e da reidentificação dos parâmetrosdo sistema fica da seguinte forma:

1. Calcular o Poliedro Invariante Controlado a partir das restrições R[W,ρ].

2. Testa se o sistema é o. f .c.i., caso sim, passa para o passo 3, senão não é possívelutilizar esta técnica.

3. Calcular os valores de ξ(y(k)) e κ(y(k))o.

4. Calcular o sinal de controle resolvendo o problema de otimização descrito, utili-zando os valores nominais das matrizes A e B, Ao e Bo.

5. Aplicar o sinal de controle calculado no sistema.

6. Se |yo− ym| ≥ χ, resolver o sistemas de equações 4.8 e 5.31 para obter os novosvalores de A e B.

7. Voltar ao passo 3.

Capítulo 6

Simulações e Resultados

Neste Capítulo serão mostradas simulações de exemplos dos conceitos estudados noscapítulos anteriores, utilizando o algoritmo do máximo conjunto invariante controladodesenvolvido por Dórea (1997), bem como exemplos resolvidos utilizando o controle porrealimentação de estados e por realimentação de saída. Nestes exemplos, serão tratadosprimeiramente sistema com controle regulatório, em que o propósito é apenas levar até oponto de equilíbrio do sistema, e a cada passo é aumentada a complexidade do controledo sistema até a necessidade do uso de um controlador robusto.

O sistema utilizado é representado pela seguinte equação de estados:

x(k+1) = Ax(k)+Bu(k)

y(k) = Cx(k)(6.1)(6.2)

Com as matrizes A =

[0.9347 0.51940.33835 0.831

], B =

[−1.4462−0.7012

]e C =

[0.5 0.5

].

O sistema é sujeito as seguintes restrições de estado e de controle respectivamente:1 0−1 00 10 −1

x(k)≤

4444

(6.3)

[1−1

]u(k)≤

[11

](6.4)

6.1 Realimentação de Estados

6.1.1 Controle Regulatório

Primeiro, é aplicado o algoritmo do máximo conjunto invariante controlado às restri-ções do sistemas, usando uma taxa de contração(λ) de 0.99, obtendo o seguinte conjuntoinvariante controlado:

28 CAPÍTULO 6. SIMULAÇÕES E RESULTADOS

1 0−1 00 10 −1

0.1379 0.1510−0.1379 −0.1510

x(k)≤

4444

0.95890.9589

(6.5)

Na Fig 6.1 é mostrado o poliedro antes e depois da aplicação do algoritmo.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x1

x2

Conjunto de Restrições

Máximo Conjunto Invariante Controlado

Figura 6.1: Poliedro Invariante Controlado

Após o cálculo do poliedro invariante, é utilizado um método de otimização paracalcular o valor de u que leva o sistema ao ponto de equilíbrio, as restrições para o métodode otimização são dadas por:[

GB −ρ fV 0

][u(k)

ε

]≤[−GAx(k)

Ψ

](6.6)

Onde, G =

1 0−1 00 10 −1

0.1379 0.1510−0.1379 −0.1510

, ρ f =

4444

0.95890.9589

e ε é a variável que vai ser

minimizada para levar o sistema para o ponto de equilíbrio.O problema de otimização é descrito por:

min Z = ε

su jeito a GBu(k)−ρ f ε≤−GAx(k)Vu(k)≤Ψ

(6.7)

6.1. REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS 29

Minimizando o sistema com essas restrições cuja função objetivo é igual a min z = ε,descobrimos o melhor valor de u que respeita as restrições e que leva para o ponto de

equilíbrio, o que pode ser observado nas Figs 6.2 e 6.3, para x(0) =[−41

].

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x1

x2

Ponto de Equilíbrio

Trajetória dos Estados



Figura 6.2: Controle Regulatório com Realimentação de Estados

0 5 10 15−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

Tempo(s)

Am

plit

ud

e

Sinal de Controle

Figura 6.3: Sinal de Controle u para o Controle Regulatório com Realimentação de Esta-dos

6.1.2 Rastreamento de Referência

No rastreamento de referência, é utilizada a equação 3.11, que otimiza o sistema, paradeterminar o valor de u que minimizará o erro, obtendo os resultados mostrados nas Figs

6.4, 6.5 e 6.6, usando uma referência igual a 1 e x(0) =[

00

].


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo(s)

Am

plit

ud

e

Saída do SistemaReferência

Figura 6.4: Rastreamento de Referência com Realimentação de Estados

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x1

x2





Figura 6.5: Trajetória dos Estados para o Rastreamento de Referência com Realimentaçãode Estados

0 5 10 15−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

Tempo(s)

Am

plit

ud

e

Sinal de Controle

Figura 6.6: Sinal de Controle u para o Rastreamento de Referência com Realimentaçãode Estados


Podemos observar pelos resultados que o sistema teve um ótimo comportamento se-guindo a referência e obedecendo todas as restrições do poliedro, mas isso só ocorrequando não há qualquer influência de perturbação no sistema, o que será mostrado napróxima sessão.

6.1.3 Rastreamento Robusto de Referência

Suponhamos que A =

[0.9347+α 0.5194

0.33835 0.831

], B =

[−1.4462−0.7012+β

]e C continue

com o mesmo valor, para −0.03≤ α≤ 0.03 e −0.05≤ β≤ 0.05. Ao utilizar um modelocom parâmetros diferentes do sistema original, não é possível reduzir o erro para zero eas vezes o sistema pode fugir das restrições, na Fig 6.7 é mostrado o resultado do sistemaquando existe diferença entre o modelo e o processo real. Os valores das matrizes do mo-

delo utilizado são os valores nominais Ao =

[0.9347 0.51940.33835 0.831

]e Bo =

[−1.4462−0.7012

]e do processo real são A =

[0.9647 0.51940.33835 0.831

]e B =

[−1.4462−0.7512

].

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo(s)

Am

plit

ud

e

Saída do Sistema

Referência

Figura 6.7: Controle com Modelo Incerto com Realimentação de Estados

Então, para que as restrições não sejam violadas para todos os casos de variação deparâmetros, é calculado o máximo conjunto ∆-invariante controlado, mostrado no Capí-tulo 4. Obtendo-se os valores mostrados na equação 6.8 e seu poliedro mostrado na Fig6.8:

G =

1 0−1 00 10 −1

0.1510 0.1597−0.1510 −0.1597

, ρ f =

4444

0.96040.9604

(6.8)


−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x1

x2

Máximo Poliedro ∆−invariante Controlado

Máximo Poliedro Invariante Controlado


Figura 6.8: Poliedro ∆-invariante Controlado

O máximo conjunto ∆-invariante controlado resolve o problema para as restrições,mas o erro do seguidor de referência não foi resolvido, então é necessário utilizar a rei-dentificação que foi mostrada no Capítulo 4. A qual é feita pela resolução do sistema 6.9,com o resultado mostrado nas Figs 6.9, 6.10 e 6.11.

[CT x(k−1)1 CT x(k−1)2 CT u(k−1)

][−CT x(k−1)1 −CT x(k−1)2 −CT u(k−1)

]

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1−1 0 0 0 0 00 −1 0 0 0 00 0 −1 0 0 00 0 0 −1 0 00 0 0 0 −1 00 0 0 0 0 −1

a1,1a2,1a1,2a2,2b1b2

≤

yreal−yreal

max(Aa(1,1),Aa(3,1))max(Aa(2,1),Aa(4,1))max(Aa(1,2),Aa(3,2))max(Aa(2,2),Aa(4,2))

max(Ba(1),Ba(3))max(Ba(2),Ba(4))

−min(Aa(1,1),Aa(3,1))−min(Aa(2,1),Aa(4,1))−min(Aa(1,2),Aa(3,2))−min(Aa(2,2),Aa(4,2))−min(Ba(1),Ba(3))−min(Ba(2),Ba(4))

(6.9)

Onde Aa =

0.9047 0.5194

0.33835 0.8310.9647 0.5194

0.33835 0.831

e Ba =

−1.4462−0.7512−1.4462−6512

.


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo(s)

Am

plit

ud

e

Saída do Sistema

Referência

Figura 6.9: Controle com modelo reidentificado em Realimentação de Estados

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x1

x2






Figura 6.10: Trajetória dos Estados com Rastreamento Robusto com Realimentação deEstados

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

Tempo(s)

Am

plit

ud

e

Sinal de Controle

Figura 6.11: Sinal de Controle u para controle com reidentificação com Realimentaçãode Estados


Testando o sistema com uma variação nos seus parâmetros em k = 10, onde A =[0.9047 0.51940.33835 0.831

]e B =

[−1.4462−0.6512

]obtemos o seguinte resultado:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo(s)

Am

plit

ud

e


Figura 6.12: Controle com modelo reidentificado com mudança de parâmetros em k = 10com Realimentação de Estados

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

Tempo(s)

Am

plit

ud

e

Sinal de Controle

Figura 6.13: Sinal de Controle u para controle com reidentificação e mudança de parâme-tros com Realimentação de Estados

Percebemos que mesmo com a variação de seus parâmetros, o sistema consegue voltarà referência, isto ocorre devido à reidentificação dos parâmetros.

Fazendo os testes agora para um caso em que a saída do sistema fica próximo aoslimites da restrições do poliedro, ou seja, a referência igual à 3.


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Tempo(s)

Am

plit

ude

Saída do Sistema

Referência

Figura 6.14: Controle com modelo reidentificado em Realimentação de Estados com re-ferência igual à 3

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

X1

X2






Figura 6.15: Trajetória dos Estados com Rastreamento Robusto com Realimentação deEstados com referência igual à 3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Tempo(s)

Am

plit

ude

Sinal de Controle

Figura 6.16: Sinal de Controle u para controle com reidentificação com Realimentaçãode Estados com referência igual à 3

Já quando a referência ultrapassa os limites do poliedro, com a referência igual à 4,obtemos:


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Tempo(s)

Am

plit

ude

Saída do Sistema

Referência

Figura 6.17: Controle com modelo reidentificado em Realimentação de Estados com re-ferência igual à 4

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

X1

X2






Figura 6.18: Trajetória dos Estados com Rastreamento Robusto com Realimentação deEstados com referência igual à 4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Tempo(s)

Am

plit

ude

Sinal de Controle

Figura 6.19: Sinal de Controle u para controle com reidentificação com Realimentaçãode Estados com referência igual à 4

Notamos que os estados chegam no limite, tentando alcançar a referência, mas nãoultrapassam, mantendo o sistema dentro das restrições.

6.2. REALIMENTAÇÃO DE SAÍDA 37

6.2 Realimentação de Saída

6.2.1 Controle Regulatório

Como já foi explicado no capítulo anterior, não existe um algoritmo que calcule umconjunto invariante controlado para o caso de realimentação de saída, mas é possível saberse um conjunto é invariante controlado para realimentação de saída (o. f .c.i.). Para o casodo sistema mencionado no exemplo, com λ = 0.99 o sistema é o. f .c.i.. Então, utilizandoa equação 6.6 mostrada na sessão anterior é possível fazer o controle regulatório, porém,no caso da realimentação de saída, o x(k) é desconhecido, então, é utilizado a equação 5.5mostrada no capítulo anterior para encontrar o pior caso para o x, assim podemos obter aseguinte equação:

[GB −ρ fV 0

][u(k)

ε

]≤[−φ

Ψ

](6.10)

Como não foi calculado um novo conjunto invariante, e sim testado se o conjuntoera invariante controlado para realimentação de saída, então, o conjunto calculado nasessão anterior é o mesmo utilizado nesta. Para os testes o estado inicial foi o mesmo,

x(0) =[−41

].

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x1

x2


Trajetória de Estados



Figura 6.20: Controle Regulatório com Realimentação de Saída


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

Tempo(s)

Am

plit

ude

Sinal de Controle

Figura 6.21: Sinal de Controle u para o Controle Regulatório com Realimentação de Saída

6.2.2 Rastreamento de ReferênciaNo caso do rastreamento de referência para a realimentação de saída é utilizada a

equação 5.15, os resultados são mostrados nas figuras 6.26, 6.27 e 6.28, usando uma

referência igual a 1 e x(0) =[

00

].

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo(s)

Am

plit

ude


Figura 6.22: Rastreamento de Referência com Realimentação de Saída

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x1

x2





Figura 6.23: Trajetória dos Estados para o Rastreamento de Referência com Realimenta-ção de Saída


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

Tempo(s)

Am

plit

ude

Sinal de Controle

Figura 6.24: Sinal de Controle u para o Rastreamento de Referência para Realimentaçãode Saída

Neste caso, com os parâmetros conhecidos, o sistema tem ótimo desempenho, conse-guindo chegar até a referência.

6.2.3 Rastreamento Robusto de Referência

Supondo da mesma forma que para a realimentação de estados que A=

[0.9347+α 0.5194

0.33835 0.831

],

B =

[−1.4462−0.7012+β

]e C =

[0.5 0.5

], para −0.03 ≤ α ≤ 0.03 e −0.05 ≤ β ≤ 0.05.

Os valores das matrizes do modelo utilizado são os valores nominais Ao =

[0.9347 0.5194

0.33835 0.831

]e Bo =

[−1.4462−0.7012

]e do processo real são A=

[0.9647 0.51940.33835 0.831

]e B=

[−1.4462−0.7512

].

Usando a equação 5.15 obtemos o seguinte resultado:

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Saída do Sistema

Referência

Figura 6.25: Controle com Modelo Incerto para Realimentação de Saída

Como é possível observar, também não consegue atingir a referência, ficando com umpequeno erro depois que atinge o ponto de equilíbrio. Também será necessário utilizar areidentificação do sistema junto com o poliedro ∆-invariante. Assim, utilizando a equa-ção 5.30 e a reidentificação do sistema dadas pelas equações 5.31 e 4.8 para os mesmos


valores de G, ρ f , Aa e Ba calculados na sessão de realimentação de estados, obtemos oseguinte resultado:

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo(s)

Am

plit

ude

Saída do Sistema

Referência

Figura 6.26: Controle com modelo reidentificado em Realimentação de Saída

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x1

x2




Conjunto Invariante Controlado

Conjunto ∆−Invariante Controlado

Figura 6.27: Trajetória dos Estados para o Rastreamento Robusto com Realimentação deSaída

0 5 10 15 20 25−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

Tempo(s)

Am

plit

ud

e

Sinal de Controle

Figura 6.28: Sinal de Controle u para controle com reidentificação com Realimentaçãode Saída


Testando também para o sistema com uma variação nos seus parâmetros em k = 10,

onde A =

[0.9047 0.51940.33835 0.831

]e B =

[−1.4462−0.6512

]obtemos o seguinte resultado:

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo(s)

Am

plit

ud

e


Figura 6.29: Controle com modelo reidentificado com mudança de parâmetros em k = 10com Realimentação de Saída

0 5 10 15 20 25−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

Tempo(s)

Am

plit

ud

e

Sinal de Controle

Figura 6.30: Sinal de Controle u para controle com reidentificação e mudança de parâme-tros com Realimentação de Saída

Assim como na Realimentação de Estados, o sistema consegue voltar à referênciadepois da mudança dos parâmetros.

Testando para o caso em que a saída fica próxima dos limites das restrições do polie-dro, ou seja, a referência igual à 3, obtemos:


0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Tempo(s)

Saída do Sistema

Referência

Figura 6.31: Controle com modelo reidentificado em Realimentação de Saída com refe-rência igual à 3

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

X1

X2



Conjuntos de Restrições


Conjunto ∆−invariante Controlado

Figura 6.32: Trajetória dos Estados com Rastreamento Robusto com Realimentação deSaída com referência igual à 3

0 5 10 15 20 25−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo(s)

Am

plit

ude

Sinal de Controle

Figura 6.33: Sinal de Controle u para controle com reidentificação com Realimentaçãode Saída com referência igual à 3

Já quando a referência ultrapassa os limites do poliedro, com a referência igual à 4,obtemos:


0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Tempo(s)

Am

plit

ude

Saída do Sistema

Referência

Figura 6.34: Controle com modelo reidentificado em Realimentação de Saída com refe-rência igual à 4

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

X1

X2





Conjunto ∆−invariante Controlado

Figura 6.35: Trajetória dos Estados com Rastreamento Robusto com Realimentação deSaída com referência igual à 4

0 5 10 15 20 25−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tempo(s)

Am

plit

ude

Sinal de Controle

Figura 6.36: Sinal de Controle u para controle com reidentificação com Realimentaçãode Saída com referência igual à 4

Percebemos que o sistema não zera o erro de regime, isso ocorre devido a estimação


do pior caso dos estados. No caso da referência igual à 4, o sistema não ultrapassa oslimites do poliêdro.

Capítulo 7

Conclusões

Neste trabalho foram mostradas as características e fundamentos teóricos dos con-juntos invariantes controlados, em específico o poliedro. Em seguida, o controle comrastreamento de referência para sistemas com restrições e como deve ser resolvido para ocaso de utilização do poliedro invariante. É mostrado como é possível utilizar o poliedroinvariante para manter o sistema dentro das restrições tanto para o caso de realimenta-ção de estados quanto para o de realimentação de saída, além de utilizar os conjuntosinvariantes para modelos com incertezas e o controle robusto utilizando estes conjuntos.

Como pôde ser observado nas simulações, em ambos os casos foram obtidos resul-tados satisfatórios nos exemplos explorados, o que prova que a utilização dos conjuntosinvariantes é bastante eficiente no controle de sistemas lineares com restrição, inclusivepara os casos com perturbações e incertezas. Porém, para a sua utilização, existe a ne-cessidade de se saber o modelo do sistema para que se possa ter um controle adequado.Como também há a necessidade da utilização de métodos de otimização, os quais exigeum grande custo computacional, o que pode levar a demorar um longo tempo para queseja calculado o sinal de controle em resposta ao sistema. Dependendo deste tempo, podeser inviável a utilização desse procedimento de controle, principalmente para o caso deprocessos muito rápidos. O método proposto para contornar o problema dos modelosincertos também utiliza um método de otimização que também aumenta o custo compu-tacional do controle.

Este trabalho contribuiu na área de controle de sistemas com restrição para casosde sistemas com realimentação de saída e com realimentação de estados utilizando osconceitos de conjuntos invariantes. Em particular, a realimentação de saída para sistemasincertos, por ser um assunto não abordado em trabalhos publicados anteriormente, é amaior contribuição deste trabalho.

Além dos pontos já abordados neste trabalho, ainda existem outros pontos que po-dem ser explorados, como fazer comparações com solução já existentes no contexto decontrole preditivo, a adição de perturbações aditivas de amplitude limitada e procurar no-vas formas além da reidentificação para reduzir o erro em regime permanente no caso desistemas com incertezas.

Os resultados e estudos deste trabalho foram submetidos e apresentados no DINCON2015 em 27 de outubro. [Silveira & Dórea 2015]

46 CAPÍTULO 7. CONCLUSÕES

Referências bibliográficas

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seguimento de referência para sistemas lineares incertos ... · conjuntos invariantes -...

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