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Controle Preditivo Robusto baseado em Desigualdades
Matriciais Lineares aplicado a um Sistema de Tanques
Acoplados
José Soares Batista Lopes
Orientador: Prof. D.Sc. Anderson Luiz de Oliveira Cavalcanti
Natal - RN Fevereiro de 2011
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO
i
Controle Preditivo Robusto baseado em Desigualdades
Matriciais Lineares aplicado a um Sistema de Tanques
Acoplados
José Soares Batista Lopes
Orientador: Prof. D.Sc. Anderson Luiz de Oliveira Cavalcanti
Natal - RN Fevereiro de 2011
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação – PPGEEC – da Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN (área de concentração: Automação e Sistemas) como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências.
ii
Controle Preditivo Robusto baseado em Desigualdades
Matriciais Lineares aplicado a um Sistema de Tanques
Acoplados
José Soares Batista Lopes
Dissertação de Mestrado aprovado em 14 de fevereiro de 2011 pela banca examinadora composta pelos seguintes membros:
Prof. D.Sc. Anderson Luiz de Oliveira Cavalcanti – UFRN - Orientador
Prof. Dr. André Laurindo Maitelli – UFRN – Examinador Interno
Prof. Dr. Carlos Eduardo Trabuco Dorea – UFRN – Examinador Externo
Prof. Dr. Oscar Gabriel Filho – UnP – Examinador Externo
Natal - RN Fevereiro de 2011
iii
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus em primeiro lugar por ter iluminado meu caminho e guiado meus passos, proporcionando a concretização desta etapa tão importante da minha vida. Aos meus pais João Batista Lopes e Maria da Glória Soares Lopes pelo exemplo de amor, honestidade, humildade, dedicação e por sempre acreditarem em mim. Ao meu irmão Gilson Soares Lopes pelo apoio. A minha esposa Ana Cristina da Silva Lopes, pelo amor, paciência, apoio e compreensão nessa jornada. Ao meu amado filho João Vinícius Silva Lopes, pela alegria e paz que transmite em todos os instantes. Ao meu orientador Prof. D.Sc. Anderson Luiz de Oliveira Cavalcanti, pela amizade, competência, compreensão e dedicação com que me conduziu na elaboração deste trabalho. Aos professores André Maitelli, Fabio Meneghetti, Luiz Affonso, Oscar Gabriel pela amizade, apoio e incentivo à pesquisa. Aos demais professores do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de computação da UFRN, pelo aprendizado, solidariedade e amizade. Aos colegas da pós-graduação, pela amizade, incentivo e companheirismo.
iv
SUMÁRIO
AGRADECIMENTOS ......................................................................................... iii
SUMÁRIO ....................................................................................................... viiv
LISTA DE FIGURAS .......................................................................................... iii
LISTA DE ABREVIATURAS .............................................................................. x
LISTA DE SIMBOLOS ....................................................................................... xi
RESUMO.......................................................................................................... xiv
ABSTRACT ....................................................................................................... xv
Capitulo 1 .......................................................................................................... 1
Introdução .......................................................................................................... 1
1.1 Contextualização e Revisão bibliográfica .......................................... 1
1.2 Delimitações e Objetivos do Trabalho ............................................... 4
1.3 Organização do Texto ........................................................................ 5
Capitulo 2 .......................................................................................................... 6
Fundamentos Teóricos ....................................................................................... 6
2.1 Introdução .......................................................................................... 6
2.2 Sistemas Incertos .............................................................................. 6
2.3 Incerteza Politópica............................................................................ 8
2.4 LMIs ................................................................................................... 9
2.5 Estrutura de uma LMI ........................................................................ 9
2.6 Complemento de Schur ................................................................... 10
2.7 Problema de Otimização Associado às LMIs .................................. 11
2.8 Conclusão ........................................................................................ 12
Capitulo 3 ........................................................................................................ 13
Formulação do Controlador Preditivo Robusto baseado nas Desigualdades Matriciais Lineares ........................................................................................... 13
3.1 Introdução ........................................................................................ 13
3.2 Notação adotada ............................................................................. 13
3.3 Formulação do Controlador Preditivo Robusto (RMPC) .................. 13
3.4 Formulação do RMPC baseado em LMI com restrição ................... 19
3.4.1 Restrição no sinal de controle ............................................ 19
3.4.2 Restrição na saída ............................................................. 20
3.5 Conclusão ........................................................................................ 20
Capitulo 4 ........................................................................................................ 22
Resultados Simulados ...................................................................................... 22
v
4.1 Introdução ........................................................................................ 22
4.2 Modelagem da Planta ...................................................................... 22
4.3 Parâmetro incerto ............................................................................ 24
4.4 – Caso 1: Sistema Não-Linear de 1º Ordem .................................... 25
4.4.1 – Resultados simulados do RMPC sem perturbação e sem restrições ..................................................................................... 26
4.4.2 - Resultados simulados do RMPC com perturbação e sem restrições ..................................................................................... 28
4.4.3 - Resultados simulados do RMPC com perturbação e com restrições ..................................................................................... 30
4.5 – Caso 2: Sistema Não-Linear de 2º Ordem .................................... 32
4.5.1 - Resultados simulados do RMPC sem perturbação e sem restrições ..................................................................................... 33
4.5.2 - Resultados simulados do RMPC com perturbação e sem restrições ..................................................................................... 35
4.5.3 - Resultados simulados do controlador RMPC com perturbação e com restrições ...................................................... 37
4.6 Conclusão ........................................................................................ 38
Capitulo 5 ........................................................................................................ 39
Descrição da Planta Fisica ............................................................................... 39
5.1 Introdução ........................................................................................ 39
5.2 Sistema Hidráulico e o módulo de Potência .................................... 40
5.3 Kit de treinamento ZTK 900 ............................................................. 41
5.4 Implementação da Estratégia de Controle ....................................... 43
5.5 Módulo de Comunicação OPC(OLE for Proces Control) ................ 43
5.6 Conclusão ........................................................................................ 44
Capitulo 6 ........................................................................................................ 45
Resultados dos Experimentos na Planta Fisica ............................................... 45
6.1 Introdução ........................................................................................ 45
6.2 Resultados dos Experimentos ......................................................... 46
6.3 Sistema não-linear de 1º ordem ....................................................... 47
6.3.1 Situação 1 - Resultados experimental do RMPC sem perturbação e sem restrições ...................................................... 47
6.3.2 Situação 2 - Resultados experimental do RMPC com perturbação e sem restrições ...................................................... 48
6.3.3 Situação 3 - Resultados experimental do RMPC com perturbação e com restrições ...................................................... 50
6.4 Sistema não-linear de 2º ordem ....................................................... 51
6.4.1 Situação 1: Resultados experimental do RMPC sem perturbação e sem restrições ...................................................... 51
vi
6.4.2 Situação 2: Resultados experimental do RMPC com perturbação e sem restrições ...................................................... 53
6.4.3 Situação 3: Resultados experimental do RMPC sem perturbação e com restrições ...................................................... 57
6.4.3.1 Restrição imposta na código do programa ...................... 57
6.4.3.2 Restrição incorporada na forma de LMI .......................... 57
6.5 Conclusão ........................................................................................ 61
Capitulo 7 ........................................................................................................ 62
Conclusões e Perspectivas .............................................................................. 62
Referências Bibliográficas ................................................................................ 64
vii
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 - Representação Gráfica da incerteza politópica. Fonte: Artigo do
Kothare, M.V.; Balakrishnan, V.; Morari, M., 1996. ............................................ 8
Figura 4.1 – Sistema de Tanques da Quanser. ................................................ 22
Figura 4.2 – Configuração do Sistema de Tanques . ....................................... 23
Figura 4.3 - Saída do sistema não-linear de 1ª ordem sem perturbação e sem
restrição............................................................................................................ 27
Figura 4.4 - Sinal de controle do RMPC para a incerteza no Km = 4,14 sem
perturbação e sem restrição. ............................................................................ 28
Figura 4.5 - Comportamento do sistema não-linear de 1ª ordem para a
incerteza no Km=5,06 sem perturbação e sem restrição.. ............................... 28
Figura 4.6 - Sinal de controle do RMPC para a incerteza no Km=5,06 sem
perturbação e sem restrição. ............................................................................ 28
Figura 4.7 - Comportamento do sistema não-linear de 1ª ordem com
perturbação e sem restrição.. ........................................................................... 29
Figura 4.8 - Sinal de controle com incerteza no Km=4,14 e perturbação do tipo
pulso e sem restrição. ...................................................................................... 29
Figura 4.9 – Comportamento do sistema não-linear de 1ª ordem com
perturbação e sem restrição. ............................................................................ 29
Figura 4.10 - Sinal de controle com incerteza no Km=5,06 com perturbação do
tipo pulso e sem restrição................................................................................. 30
Figura 4.11 - Comportamento do sistema não-linear de 1ª ordem com
perturbação e com restrição (Km=4,14). .......................................................... 30
Figura 4.12 - Sinal de controle do RMPC com perturbação e com restrição de
15 volts e km=4,14. .......................................................................................... 31
Figura 4.13 - Comportamento do sistema não-linear de 1ª ordem com
perturbação e com restrição (Km=5,06) ........................................................... 31
Figura 4.14 – Sinal de controle com perturbação e com restrição de 15 volts. 32
Figura 4.15 - Comportamento do tanque 1 (2ª ordem) sem perturbação e sem
restrição............................................................................................................ 34
Figura 4.16 - Comportamento do tanque 2 (2ª ordem) sem perturbação e sem
restrição............................................................................................................ 34
viii
Figura 4.17 - Gráfico do sinal de controle do RMPC com Km=4,14 sem
perturbação e sem restrição.. ........................................................................... 35
Figura 4.18 - Nível do tanque 1 do sistema não-linear de 2ª ordem com uma
perturbação e sem restrição (km=4,14). ........................................................... 35
Figura 4.19 - Nível do tanque 2 do sistema de 2ª ordem com uma perturbação
do tipo pulso e sem restrição.. .......................................................................... 36
Figura 4.20 - Gráfico do sinal de controle do RMPC com perturbação e sem
restrição com Km=4,14. ................................................................................... 36
Figura 4.21 - Nível do tanque 1 do sistema não-linear de 2ª ordem com
perturbação e restrição.. .................................................................................. 37
Figura 4.22 – Nível do tanque 2 do sistema de 2ª ordem com perturbação do
tipo pulso e com restrição................................................................................. 37
Figura 4.23– Gráfico do sinal de controle do RMPC com perturbação e com
restrição de 15 volts. ........................................................................................ 38
Figura 5.1– Estrutura Física. ............................................................................ 39
Figura 5.2 – Sistema de Tanques da Quanser. ................................................ 40
Figura 5.3 – Módulo amplificador UPM 2405-240. ........................................... 40
Figura 5.4 – Painel do kit de treinamento ZTK 900. ......................................... 41
Figura 5.5 – Acoplamento entre o módulo amplificador e o kit de treinamento
ZTK 900.......................................................................................................... 402
Figura 5.6 – Estrutura do padrão OPC. ............................................................ 44
Figura 6.1 – Resposta do sistema de 1ª ordem não-linear sem perturbação e
sem restrição. ................................................................................................... 47
Figura 6.2 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 1ª ordem não-linear
sem perturbação e sem restrição. .................................................................... 48
Figura 6.3 – Resposta do sistema de 1ª ordem não-linear com perturbação e
sem restrição. ................................................................................................... 49
Figura 6.4 – Sinal de controle do RMPC para o sistema 1ª ordem com
perturbação e sem restrição. ............................................................................ 49
Figura 6.5 – Resposta do sistema de 1ª ordem não-linear com perturbação e
com restrição.. .................................................................................................. 50
Figura 6.6 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 1ª ordem não-linear
com perturbação e com restrição de 15 volts. .................................................. 50
ix
Figura 6.7 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 1) não-linear sem
perturbação e sem restrição.. ........................................................................... 51
Figura 6.8 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 2) não-linear sem
perturbação e sem restrição ............................................................................. 52
Figura 6.9 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 2ª ordem sem
pertrurbação e sem restrição............................................................................ 52
Figura 6.10 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 1) não-linear com
perturbação e sem restrição. ............................................................................ 53
Figura 6.11 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 2) não-linear com
perturbação e sem restrição. ............................................................................ 54
Figura 6.12 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 2ª ordem nõ-linar
com perturbação e sem restrição. .................................................................... 54
Figura 6.13 – Reposta do sistema de 2ª ordem (tanque 1) não-linear com
perturbação e sem restrição. ............................................................................ 55
Figura 6.14 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 2) com perturbação e
sem restrição. ................................................................................................... 56
Figura 6.15 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 2ª ordem não-
linear com perturbação e sem restrição ........................................................... 56
Figura 6.16 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 1) com perturbação e
com restrição. ................................................................................................... 57
Figura 6.17 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 2) não-linear com
perturbação e sem restrição. ............................................................................ 58
Figura 6.18 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 2ª ordem não-
linear com perturbação e com limitante de 10 volts. ........................................ 58
Figura 6.19 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 1) não-linear sem
perturbação e com restrição na forma de LMI. ................................................. 59
Figura 6.20 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 2) não-linear sem
perturbação e com restrição na forma de LMI. ................................................. 60
Figura 6.21 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 2ª ordem não-
linear com perturbação e com restrição de 10 volts. ........................................ 60
x
LISTA DE ABREVIATURAS
MPC Controlador Preditivo Baseado em Modelo (Model Based
Predictive Controllers)
RMPC Robust Model Based Predictive Control
LMI Linear Matrix Inequalities
IH-MPC Infinite Horizon Model Predictive Control
Max Maximização
Min Minimização
AD/DA Analógico-Digital / Digital-Analógico
CLP Controlador Lógico Programável
SDP Semidefine Programation
Convex Hull
LMITool Ferramenta para resolver LMI
xi
LISTA DE SIMBOLOS
Número de entradas e de saídas da planta
Ordem do sistema
Instante de amostragem atual
Módulo
Norma euclidiana
Função quadrática da variável
Matriz de estado, matriz de entrada, matriz de saída,
matriz de transmissão direta do modelo discreto
Matrizes do modelo discreto variante no tempo
Matriz simétrica positiva definida
Constante escalar definida entre
Função custo minimizado durante um horizonte de
predição infinito
Vetor real de dimensão apropriada do problema de
minimização
Função de custo minimizada durante o horizonte de
predição
Matrizes que representam os vértices do modelo
discreto sujeito a incerteza politópica
Número de vértices de um politopo
Vetor de parâmetros incertos
Ação de controle aplicado no instante
Variável controlada no instante
Sinal de referência no instante
Estado do sistema no instante preditos com base
xii
nas medidas no instante
Saída do sistema no instante preditos com base
nas medidas no instante
Sinal de controle do sistema no instante preditos
com base nas medidas no instante
Limite superior do módulo da j-ésima componente do
vetor de entrada do sistema
Módulo da j-ésima componente do vetor de entrada do
sistema
Limite superior do módulo da j-ésima componente do
vetor de saída do sistema
Módulo da j-ésima componente do vetor de saída do
sistema
Matrizes simétricas de ponderação da função de custo
Politopo convexo
Variável escalar do problema de minimização
Matrizes resultantes da solução de um problema de
minimização
Matriz de realimentação de estados para o elipsóide
Matriz identidade de ordem por ou simplesmente
matriz identidade de ordem
Matriz de zeros de ordem por ou simplesmente
matriz de zeros de ordem
Elipsóide invariante para um sistema incerto
Sinal de controle máximo
Níveis do tanque 1 e tanque 2 respectivamente
Áreas das bases dos tanques 1 e 2
Orifício de saída do tanque pequeno, médio e grande
Ponto de operação para linearização do modelo para o
1 tanque e tanque 2
xiii
Constante da bomba
Tensão máxima admitida
Tensão aplicada na bomba
xiv
RESUMO
Este trabalho tem como objetivo desenvolver uma estratégia de controle on-line
baseado no Controlador Preditivo Robusto (RMPC, acrônimo do inglês Robust
Model Predictive Control) aplicado a um sistema real de tanques acoplados.
Este processo consiste em sistema de dois tanques conectados, cujo liquido é
enviado aos mesmos por uma bomba. O objetivo do controle (problema
regulatório) é deixar os níveis dos tanques no ponto de operação considerado,
mesmo na presença de perturbações. A síntese da técnica RMPC consiste em
incorporar de forma explicita as incertezas da planta na formulação do
problema. O objetivo do projeto, a cada período de amostragem, é encontrar
uma realimentação de estados que minimiza o pior caso de uma função
objetivo com horizonte infinito, sujeita a restrições no sinal de controle. O
problema original, do tipo Min-max, é reduzido em a problema de otimização
convexa expresso em desigualdades matriciais lineares (LMI, Linear Matriz
Inequalities). Mostram-se, neste trabalho, a descrição da incerteza da planta na
forma politópica e as condições de factibilidade do problema de otimização. A
implementação do algoritmo RMPC foi feita utilizando o software Scilab e a sua
comunicação com o sistema de tanques acoplados foi feita através do
protocolo OPC (do inglês OLE for Process Control).
Palavras-Chave: Controlador Preditivo Robusto, Desigualdades Matriciais
Lineares, Incerteza Politópica, Sistema de Tanques Acoplados, Controlador
Lógico Programável
xv
ABSTRACT
This work deals with an on-line control strategy based on Robust Model
Predictive Control (RMPC) technique applied in a real coupled tanks system.
This process consists of two coupled tanks and a pump to feed the liquid to the
system. The control objective (regulator problem) is to keep the tanks levels in
the considered operation point even in the presence of disturbance. The RMPC
is a technique that allows explicit incorporation of the plant uncertainty in the
problem formulation. The goal is to design, at each time step, a state-feedback
control law that minimizes a 'worst-case' infinite horizon objective function,
subject to constraint in the control. The existence of a feedback control law
satisfying the input constraints is reduced to a convex optimization over linear
matrix inequalities (LMIs) problem. It is shown in this work that for the plant
uncertainty described by the polytope, the feasible receding horizon state
feedback control design is robustly stabilizing. The software implementation of
the RMPC is made using Scilab, and its communication with Coupled Tanks
Systems is done through the OLE for Process Control (OPC) industrial protocol.
Keywords: Robust Model Predictive Control, Linear Matrix Inequalities,
Polytopic Uncertainty, Coupled Tanks System, Programmable Logic Controller
1
Capítulo 1 Introdução
1.1 Contextualização e Revisão bibliográfica
A teoria de controle preditivo baseada em modelos (MPC, Model Based
Predictive Controllers) teve origem no final da década de 1970 e desenvolveu-
se de forma considerável desde então (CAMACHO E. F.; BORDONS, C., 1998,
ROSSITER, J. A., 2003). Existem hoje muitas aplicações com sucesso dessa
técnica, não só na indústria química como em outras áreas (SILVA, C. H. F. et
al., 2007).
O MPC é caracterizado pela utilização do modelo do processo, a fim de
prever as saídas do mesmo em um tempo futuro e calcular uma seqüência de
ações de controle que minimizem uma função objetivo, com a aplicação da
primeira ação de controle da seqüência calculada e a atualização das medidas
dos sinais de saídas para a realização de novos cálculos de minimização
(TSANG, T. T. C., CLARK, D. W, 1988; CAMACHO E. F.; BORDONS, C., 1998;
MACIEJOWSKI, J. M., 2002; SILVA, C. H. F. et al., 2007).
Na utilização do controlador MPC, em aplicações industriais, destacam-
se algumas vantagens, dentre as quais citamos: i) as limitações de segurança
que podem ser incorporadas na forma de restrições; ii) a facilidade de
formulação do problema para o caso multivariável; e iii) o fato de poderem ser
aplicáveis a sistemas de fase não-mínima, com atraso de transporte ou
instáveis sem requerer alterações na sua formulação básica. Todas essas
vantagens permitem a redução dos requisitos de manutenção, a melhoria da
flexibilidade e da agilidade nas aplicações industriais, ou seja, o MPC permite
lidar com restrições nas variáveis manipuladas e controladas, de forma
sistemática durante o projeto e a implementação do controlador. (CAMACHO
E. F.; BORDONS, C., 1998; EATON; R., 1992 apud SILVA, C. H. F. da, 2009).
Capítulo 1. Introdução 2
A técnica de controle MPC tem recebido muita atenção devido às suas
muitas vantagens, mas, de acordo com Bemporad, A. e Morari. M. (1999), é
necessário investigar melhor os problemas de i) garantia de factibilidade do
problema de otimização e ii) a garantia de estabilidade e robustez, pois o uso
de restrições terminais na formulação da lei de controle preditivo, forma como
geralmente é garantida a estabilidade, acarreta em problemas nas situações
reais.
As questões de estabilidade e robustez estão fortemente ligadas ao
tratamento de incertezas no modelo da planta, pois a diferença entre a saída
da planta real e do modelo nominal utilizado na predição leva a uma situação
em que a otimização associada ao controlador preditivo não possui solução,
por não ser possível respeitar todas as restrições simultaneamente. Esse
descasamento entre o modelo e a planta devido ao desgaste dos componentes
da planta ou mesmo da ocorrência de falhas, por exemplo, pode degradar o
desempenho do controlador (ROSSITER, J. A. 2003).
Para contornar esses problemas, de acordo com Pascoal, R. M. (2010),
esforços têm sido concentrados para a análise das propriedades de robustez
de algumas técnicas de MPC existentes e no desenvolvimento de mecanismos
para obtenção de garantia de estabilidade robusta. Segundo Weinmann, A.
(1991), o MPC não é um novo método de projeto de controle. Ele
essencialmente resolve problemas de controle ótimo padrão. O que o
diferencia é o fato de que, no MPC, o problema de controle ótimo requerido
possui horizonte finito, em contraste com o horizonte infinito, usualmente
empregado nos controladores ótimos lineares H2 e H∞.
Segundo Maia, M. H. (2008), a partir da década de 1990, diversas
propostas de formulação de leis de controle preditivo robustos começaram a
surgir na literatura, enfocando tanto incertezas de modelo quanto perturbações.
Em geral, as formulações de MPC consideram um simples modelo linear e
invariante no tempo para descrever a planta. Essa formulação gera um sinal de
controle que pode resultar em um desempenho pobre quando implementado
em um sistema físico que não seja exatamente descrito pelo modelo. Esse fato
levou Campo, P. J e Morari, M., (1987) a modificarem a formulação de um
problema de otimização on-line aplicado a uma simples planta em um problema
Min-max sobre um conjunto de modelos. Esse problema de estabilidade
Capítulo 1. Introdução 3
robusta, assim chamado algoritmo Min-max, foi descrito por vários autores (
GARCIA, CE., PRETT, D. M., 1998; CAMPO, P. J., MORARI, M., 1987; LEE, J.
H., YU, Z.H. 1994, WU, F. 1997). Aplicações do problema Min-max podem ser
encontradas em Lee, J. H., Yu, Z.H (1994) e em Alamo, T. et al. (2007).
Nesse método, uma função custo minimiza o pior caso de uma função
de custo que considera as incertezas da planta. Como obstáculos dos
algoritmos de MPC robusto podemos citar o custo computacional e a
aplicabilidade a depender da velocidade e dimensão da planta sobre a qual o
controle atuará. Nesse aspecto, Kothare, M.V.; Balakrishnan, V.; Morari, M.
(1996) utilizaram a formulação em Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs,
Linear Matrix Inequalities) para resolver o problema de otimização.
A idéia básica das LMIs é interpretar um dado problema de controle
como um problema de programação semidefinida (SDP), ou seja, um problema
de otimização com objetivo linear e restrições positivas semi-definidas
envolvendo matrizes simétricas que são afim nas variáveis de decisão.
Kothare, M.V.; Balakrishnan, V.; Morari, M. (1996) desenvolveram essa técnica
de controle e chamaram de RMPC (Robust Model Predictive Control). O RMPC
incorpora uma ampla classe de incertezas, uma vez que a principal deficiência
no projeto de técnicas de MPC é sua falta de habilidade em lidar explicitamente
com incertezas no modelo da planta.
Segundo Cannon, M. e Kouvaritakis, B. (2005), o esforço computacional
é o fator principal limitante do número de aplicações na indústria. A fim de
superar esse obstáculo, a aplicação das desigualdades lineares (LMI) tem se
mostrado promissor em Kothare, M.V.; Balakrishnan, V.; Morari, M. (1996).
Em Wan, Z; Kothare, M. V. (2003), os autores afirmam que os resultados
obtidos em Kothare, M.V.; Balakrishnan, V.; Morari, M. (1996) podem ser
utilizados para obter uma formulação de MPC robusto que envolve a
determinação off-line (ou seja, antes da implementação do controlador em
tempo real) de uma seqüência de leis de controles lineares. Tais leis são
correspondentes a elipsóides invariantes assintoticamente estáveis construídos
um dentro do outro. Assim, em tempo real, o controlador precisa apenas
verificar a qual elipsóide pertence o estado do sistema a cada instante de
amostragem e aplicar a lei de controle correspondente a esse elipsóide.
Capítulo 1. Introdução 4
Pascoal, R. M. (2010) emprega essa técnica em um helicóptero didático de três
graus de liberdade.
Aplicações práticas, por exemplo, em um reator de polimerização foram
realizadas por Park. M. J. e Rhee, H. K. (2001). Wu, F. (2001) trabalhou com a
classe de sistemas incertos para modelagem de plantas não-lineares e aplicou
a técnica em um tanque reator da indústria.
Em 2002, Cuzzola, F. A., Geromel, J. C., Morari, M. utilizaram funções
de Lyapunov nos vértices do politopo do sistema incerto com o objetivo de
reduzir o conservadorismo. O trabalho de Chang, X. e Liu, H. (2009) utiliza as
funções de Lyapunov em sistemas com realimentação de saída.
Pannocchia, G. (2004) desenvolveu uma técnica para remover o Off-set
de possíveis origens diferentes (set points) para sistemas lineares invariantes
no tempo, através de uma ação integral no projeto do controlador RMPC.
Zhijun, Li et al. (2008) desenvolvram uma estrutura de controle com dois
estados lineares realimentando o controlador do sistema alternativamente para
reduzir o conservadorismo e tornar o problema de otimização tratável. De
acordo com Ding, B. et al. (2008), a lei de controle off-line baseada em estados
garante as restrições de entrada e saída dos estados da planta, pois quando
aplicado no sistema on-line, a cada período de amostragem é escolhida uma
seqüência apropriada para ser aplicado.
1.2 Delimitações e Objetivos do Trabalho
No presente trabalho a formulação proposta em Kothare, M.V.;
Balakrishnan, V.; Morari, M. (1996), baseada em LMIs, foi aplicada a um
sistema real de tanques acoplados de 2ª ordem da Quanser Consulting. Os
algoritmos foram implementados no Scilab (Scientific Laboratory) e o pacote
LMITool foi utilizado para resolver as LMIs. Com este trabalho foi avaliada, no
que concerne a estabilização e a rejeição de perturbações, a aplicação do
algoritmo on-line RMPC desenvolvido para um sistema real de tanques.
1.3 Organização do Texto
O restante do texto está organizado da seguinte forma:
Capítulo 1. Introdução 5
capítulo 2 apresenta os fundamentos sobre estabilidade, incertezas e
desigualdades matriciais lineares(LMIs);
capítulo 3 descreve a formulação da estratégia de controle preditivo
robusto (RMPC) empregada nesse trabalho e sua formulação com
restrição na variável manipulada;
capítulo 4 descreve alguns resultados preliminares simulados;
capitulo 5 descreve a estrutura física empregada para os experimentos na
planta;
capítulo 6 descreve os resultados dos experimentos na planta física e, por
último,
as conclusões e as perspectivas futuras deste trabalho são apresentadas.
Capítulo 3. RMP 6
Capítulo 2 Fundamentos Teóricos
2.1 Introdução
Este capítulo discorre, de forma sintética, sobre o conceito de sistemas
incertos, incertezas politópicas, desigualdades matriciais lineares e comenta
sobre alguns pacotes computacionais utilizados na resolução de problemas de
otimização numérica. Os fundamentos teóricos mostrados neste capítulo são a
base para o controlador desenvolvido neste trabalho, o Robust Model
Predictive Control (KOTHARE, M.V.; BALAKRISHNAN, V.; MORARI, M. 1996).
2.2 Sistemas Incertos
Segundo Gustafsson, T. K.; Mäkilä, P. M. (2001), a modelagem de
sistemas incertos e a qualidade de modelos estimados para o controle têm sido
tópico de intensa pesquisa durante os últimos anos.
A definição da incerteza exige conhecimento do processo e integração
com a estrutura do controlador que se pretende utilizar. No entanto, todo
modelo matemático é na verdade uma aproximação do sistema físico real e
quanto melhor o modelo matemático utilizado, mais eficiente será o esquema
de controle baseado nesse modelo (WANG, Y. 2002). Contudo, a
complexidade do modelo matemático está diretamente ligada à representação
física real dos processos, o que dificulta sua representação e,
conseqüentemente, gera incertezas no mesmo.
Segundo Trofino, A.; Coutinho, D.; Barbosa, K. C. (2003), o modelo
matemático obtido pode apresentar diferentes tipos de incertezas, como
parâmetros de modelo linear aproximados com erro (decorrentes de
dinâmicas não modeladas);
Capítulo 2. Fundamentos Teóricos 7
parâmetros do modelo linear variando, devido à característica não linear
dos sistemas reais associados com o ponto de operação;
imperfeições na medida ou a existência de ruídos,
escolha indevida de modelos mais simples negligenciando dinâmicas
como incertezas.
De acordo com Skogestad, S; Postlethwaite, I (1997), as incertezas em
muitos sistemas reais não são possíveis e/ou convenientes de serem
modeladas com exatidão, ou seja, considerando todas as dinâmicas do
mesmo. Assim, os modelos matemáticos utilizados para descrever as
dinâmicas de sistemas incertos representam de forma simplificada os
fenômenos que dificilmente poderiam ser representados com exatidão, seja
porque o modelo completo seria muito complexo, ou devido à dificuldade de se
conhecer e obter modelos que representem todos os fenômenos que ocorrem
na prática.
Existem dois tipos de incertezas envolvidas na modelagem de sistemas
dinâmicos: as incertezas estruturadas e as não estruturadas. As incertezas são
consideradas como não estruturadas quando a ordem e outras características
do modelo utilizado para representar o processo podem variar de tal forma que
não há a possibilidade de representá-lo por um único modelo com parâmetros
variáveis. As incertezas estruturadas ocorrem quando a estrutura do modelo é
conhecida e apenas seus parâmetros são incertos. Este trabalho considera
apenas incertezas estruturadas, ou seja, apenas os parâmetros do modelo são
desconhecidos.
Um grande problema ao se trabalhar com sistemas incertos está em
como tratar a incerteza na formulação final do problema, pois, dependendo do
tipo de incerteza, pode-se inserir mais restrições na busca de solução do
problema. Existem diferentes formas de se modelar um sistema incerto. Doyle,
J. C.; Packard, A.; Zhou, K. (1991) apresentam um tutorial sobre Linear
Frational Transformation (LFT) e LMIs para várias aplicações do controle
clássico e moderno envolvendo incertezas.
Apresentaremos, na seção seguinte, a abordagem politópica, visto que o
controlador que tomamos como base para este trabalho é baseado na referida
abordagem.
Capítulo 2. Fundamentos Teóricos 8
2.3 Incerteza Politópica
Uma maneira de especificar incertezas é definir regiões nas quais os
parâmetros que definem o modelo estejam contidos. Uma forma usual de se
caracterizar as incertezas é verificar as matrizes A e B do modelo definido
abaixo
(2.1)
em que é o vetor de entradas de controle, é o vetor de
estados da planta e é o vetor de saídas da planta. As notações
e denotam que as matrizes do modelo podem mudar a cada
instante de amostragem, embora não signifique que sua variação com o tempo
seja conhecida (como uma função de ).
Desta forma, tem-se a configuração de um modelo incerto associado
(2.2)
em que representa o politopo convexo obtido através da descrição de
incertezas politópicas. Sabemos que em um conjunto convexo definido por uma
região limitada pelos vértices, Figura 2.1,
Figura 2.1 - Representação Gráfica da incerteza politópica. Fonte: Artigo do Kothare, M.V.; Balakrishnan, V.; Morari, M., 1996.
teremos:
(2.3)
],[ LL BA],[ 11 BA
],[ 22 BA
],[ ii BA
)](),([ kBkA
Capítulo 2. Fundamentos Teóricos 9
Em (2.3) é caracterizado um conjunto de modelos
correspondentes a diferentes condições operacionais do processo,
representados na Figura 2.1. Uma característica importante de um politopo é a
convexidade, isto é, qualquer ponto no interior deste conjunto pode ser
representado pela soma convexa de um número finito de pontos chamados de
vértices do politopo.
2.4 LMIs
Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs, Linear Matrix Inequalities) são
ferramentas matemáticas amplamente aplicadas em teoria de controle. Seu
surgimento provavelmente ocorreu há mais de cem anos com trabalhos de
Lyapunov (SKOGESTAD, S.; POSTLETHWAITE, I., 2005). Segundo Silva, C.
H. F. da; Henrique, H. M.; Lopes, L. C. O.; Gomes, L. R. G. (2007), as técnicas
de LMI surgiram como uma potente ferramenta de análise em várias áreas da
engenharia de controle, identificação de sistemas e projeto estrutural. A partir
de então muitos resultados usuais da teoria de controle e sistemas estão sendo
reescritos como LMIs.
Uma das principais vantagens das LMIs é que elas podem ser usadas
para resolver problemas que envolvem muitas variáveis matriciais e, além
disso, diversas estruturas podem ser impostas a essas variáveis. Outra
vantagem das LMIs é que se constituem em um método flexível para resolver
problemas de controle (DOYLE, J. C.; PACKARD, A.; ZHOU, K., 1996).
Em muitos casos, o uso das LMIs pode eliminar restrições associadas
aos métodos convencionais e ainda auxiliar na generalização de alguns tipos
de problemas. Freqüentemente os métodos associados às LMIs podem ser
aplicados em casos nos quais os métodos convencionais falham ou não
conseguem encontrar solução (CAMPOS, V. A. F. de. 2008).
2.5 Estrutura de uma LMI
Para uma dada matriz , definimos como a matriz transposta de e
( ) significa que a matriz simétrica tem que ser semi-definida
positiva (definida positiva). Para e o vetor nulo de dimensão n, a
Capítulo 2. Fundamentos Teóricos 10
desigualdade ¸ significa que cada elemento do vetor é maior ou igual a
zero.
Uma LMI tem a seguinte estrutura:
(2.4)
sendo as variáveis e as matrizes simétricas ,
dadas. Uma das facilidades no uso de LMIs na teoria de controle é a existência
de pacotes computacionais para a sua solução numérica de forma eficiente.
Outro ponto de suma importância é que na abordagem LMI a busca de
soluções para problemas mais complexos, principalmente quando há presença
de elementos incertos, pode ser simplificada devido às propriedades de
convexidade e linearidade.
2.6 Complemento de Schur
Um resultado importante para converter desigualdades convexas não-
lineares em uma formulação LMI é o chamado complemento de Schur. O
complemento de Schur é um resultado da Teoria de Matrizes que ajuda na
transformação de inequações não lineares para a forma de LMI. Muitos dos
resultados já existentes da teoria de controle são colocados na forma LMI pela
aplicação desse resultado.
Lema 1 – Complemento de Schur
Sejam matrizes de dimensões compatíveis, com
simétricas, e afim em , as desigualdades
(2.5)
são equivalentes à LMI (2.6)
Capítulo 2. Fundamentos Teóricos 11
(2.6)
A prova desse resultado pode ser vista em Boyd, S. et al. (1994) e
Vanantwerp. J. G.; Braatz, R. T. (2000).
2.7 Problema de Otimização Associado às LMIs
Um problema de otimização com desigualdades matriciais lineares
consiste em achar um factível (ou seja, achar tal que ) que
minimize (ou maximize) uma função convexa .
(2.7)
Com o surgimento de algoritmos de pontos interiores para a solução de
problemas de otimização convexa tornou-se possível solucionar
numericamente LMIs de forma mais rápida e eficiente. Maiores detalhes sobre
esse assunto e outros problemas de otimização baseados em LMI são
encontrados em Boyd, S. et al. (1994). Segundo LEITE, J. S. V. et al. (2004), o
aparecimento dos pacotes computacionais especializados facilitou a resolução
de problemas de controle em termos de desigualdades matriciais lineares.
Desde então muitas pesquisas vêm sendo desenvolvidas para a criação ou
melhora de pacotes computacionais para a solução de problemas de
otimização convexa.
A solução de problemas pode ser caracterizada de duas formas:
– Problema de factibilidade LMI: busca uma solução qualquer que
satisfaça um conjunto de restrições na forma LMI.
– Problema de otimização: determina a solução ótima de uma função
custo sujeita a um conjunto de restrições na forma LMI.
As restrições (desigualdades) na forma LMI são resolvidas
numericamente utilizando pacotes computacionais específicos como, por
exemplo, LMIlab (NEMIROVSKII; GAHINET, P.,1994), SDPT3 (TUTUNCU,R.H,
Capítulo 2. Fundamentos Teóricos 12
TOH,K.C.,TODD, M.J., 2003), SeDuMi (STURM, J.F.,1999), o LMITOOL
presente no Scilab e o Matlab que usa o Método Primal-Dual desenvolvido por
Vandenberghe, L. e Boyd, S. (1994).
Os pacotes computacionais apresentam problemas na busca de sua
solução como, por exemplo, mau condicionamento dos dados, capacidade de
memória das máquinas e erros de precisão. Outro grande problema é o esforço
computacional necessário para solucionar as LMIs. Nesta dissertação, adotou-
se o LMITOOL do Scilab (LOPES, L. C. O., 2004) para a resolução numérica
das LMIs.
2.8 Conclusão
As teorias aqui apresentadas são de fundamental importância para o
desenvolvimento deste trabalho. Esses fundamentos ajudarão na seção
seguinte que descreve a formulação do controlador preditivo robusto que,
essencialmente, é um problema de programação semi-definida baseado em
desigualdades lineares matriciais e cujas incertezas são modeladas através de
politopos de matrizes.
13 Capítulo 3. RMPC
Capítulo 3 Formulação do Controlador Preditivo Robusto baseado
nas Desigualdades Matriciais Lineares
3.1 Introdução
Nesta seção introduz-se a formulação do controlador RMPC baseado
nas LMIs sem e com restrições, o qual é a essência deste trabalho. As
restrições no sinal de controle e na saída são expressas na forma de LMIs. São
mostradas neste capítulo também as condições de factibilidade do problema de
otimização que garante a solução de otimização para todos os instantes de
amostragens.
3.2 Notação adotada
Neste trabalho será utilizada a seguinte notação: denota o
estado predito para o instante , com base nas medidas realizadas no
instante ; denota a ação de controle no instante calculada
através da otimização de uma função de custo no instante ; e
referem-se respectivamente a medida do estado e da saída no instante .
3.3 Formulação do Controlador Preditivo Robusto (RMPC)
Considere-se o seguinte modelo representado pelo sistema linear
variante no tempo na forma discreta (KOTHARE, M.V.; BALAKRISHNAN, V.;
MORARI, M., 1996; MACIEJOWSKI, J. M., 2002):
(3.1)
Capítulo 3. RMPC 14
sendo que é o vetor de entradas de controle, é o vetor
de estados da planta e é o vetor de saídas da planta. As notações
e denotam que as matrizes do modelo podem mudar a cada
instante de amostragem, embora não signifique que sua variação com o tempo
seja conhecida (como uma função de ). O conjunto representa o politopo
(3.2)
em que denota o envelope convexo, em que
correspondem aos vértices do referido politopo.
A função custo é definida por
(3.3)
sendo que são matrizes de ponderação simétricas. Em
particular, considera-se o caso para o Controle Preditivo com Horizonte
de Predição Infinito (“IH-MPC – Infinite Horizon MPC”). O objetivo é a resolução
da otimização do problema “Mín-max” da equação (3.3), ou seja
(3.4)
Esse é um problema sujeita à dinâmica em que a maximização é
realizada sobre o conjunto e corresponde à escolha de uma planta variante
no tempo que, se usada como modelo para as
predições, levará ao pior caso do valor da função custo dentre todas as plantas
em .
A minimização é realizada de forma a obter a seqüência de ações de
controle presentes e futuras que minimizam esse valor de
pior caso. No entanto, esse problema não é computacionalmente tratável. Para
contornar essa dificuldade, será obtido um limite superior para a função
objetivo de desempenho robusto. Esse limite superior será então minimizado
considerando uma lei de controle da forma ,
sendo uma matriz de realimentação de estado a ser obtida como
Capítulo 3. RMPC 15
resultado de otimização. Para isso, considera-se a existência de uma função
quadrática , com , tal que o par e
corresponde ao modelo de incerteza da Equação (2.1), para qualquer
, e que satisfaz a inequação (3.5).
(3.5)
Para que o valor da função objetivo de desempenho robusta seja finito,
deve-se ter , e assim .
Somando a inequação (3.5) de a , obtém-se:
(3.6)
Desde que a Inequação (3.5) assuma um conjunto de incertezas para
qualquer modelo, podemos afirmar que
(3.7)
A inequação (3.7) resulta no limite superior da função objetivo robusta.
Logo, o objetivo do algoritmo RMPC é sintetizar a cada período de amostragem
uma lei de controle que minimize superiormente a
função .
Dessa forma, obtida a seqüência futura de controle, apenas o primeiro
sinal é aplicado ao processo, sendo os demais descartados. No instante
seguinte uma nova medida dos estados é feita e todo o processo é repetido
através da otimização e do cálculo da matriz obtendo a nova seqüência de
controle. Observa-se, então, que a função de Lyapunov é um limitante superior
para a função de custo . Conseqüentemente, pode-se substituir o
problema em (3.4) por
(3.8)
Capítulo 3. RMPC 16
de forma que inequação (3.5) seja válida e que . O problema de
otimização mostrado em (3.8) é um problema de otimização convexo, o que
possibilita sua resolução na forma de LMIs (MACIEJOWSKI, J. M. 2002).
Resolver (3.8) é equivalente a solucionar o problema
(3.9)
sujeito a
(3.10)
no qual a solução de depende de Sabendo que então
define-se uma matriz como sendo,
(3.11)
Manipulando (3.11), obtém-se a equação (3.12)
(3.12)
Substituindo a equação (3.12) em (3.10), obtêm-se a equação (3.13)
(3.13)
Observe que a equação (3.13) pode ser escrita na forma de uma LMI
utilizando o complemento de Schur. Quando comparada a inequação (2.6) com
a inequação (3.13), obtêm-se
(3.14)
Capítulo 3. RMPC 17
Substituindo a lei de controle e o sistema em
espaço de estados na representação do modelo em (3.1) na inequação (3.5),
obtêm-se
(3.15)
em que (3.15) é satisfeita para todo se
(3.16)
A inequação (3.16) torna-se uma LMI. Dessa forma, é possível substituir
com pré-multiplicando e pós-multiplicando por na
inequação (3.15). Definindo como e substituindo na inequação obtida,
encontra-se a equação (3.17)
(3.17)
Utilizando o complemento de Schur na inequação (3.17), obtêm-se
(3.18)
Agora suponha que em , o conjunto de
incertezas está contido em um politopo delimitado por . A LMI da inequação
(3.18) deve satisfazer todos os vértices do politopo indicados pelo parâmetro
. Logo a inequação (3.18) deve ser reescrita como
Capítulo 3. RMPC 18
(3.19)
Assim, considerando as LMIs (3.14) e (3.19), verificamos que a cada
período de amostragem o estado de um sistema incerto deve ser medido. O
problema deve ser formulado na forma das Equações (3.20), sujeito as
inequações matriciais (3.21) e (3.22), ou seja
(3.20)
sujeito a
(3.21)
e
(3.22)
A conclusão do problema de minimização na forma de LMI das
inequações em (3.20), (3.21) e (3.22) demonstra o enunciado do Teorema 1 do
artigo do Kothare, M.V.; Balakrishnan, V.; Morari, M. (1996).
Teorema 1. Seja o estado do sistema incerto descrito no
modelo (2.1) medido no instante de amostragem . Suponha que não existem
restrições sobre a entrada de controle e nem sobre a saída da planta. Suponha
também que o conjunto incerto seja definido por um politopo como em (2.2).
Então, a matriz de realimentação de estado da lei de controle
, que minimiza o limite superior da
função objetivo de desempenho robusto no instante de amostragem é dada
por
Capítulo 3. RMPC 19
(3.23)
em que e são matrizes obtidas da solução (caso ela exista) do
problema de minimização de um objetivo (3.20) sujeito a (3.21) e (3.22). As
seções seguintes apresentam a formulação do RMPC com restrição no sinal de
controle e no sinal de saída expressos na forma de LMI.
3.4 Formulação do RMPC baseado em LMI com restrição
Nesta seção mostraremos a formulação do RMPC com restrição na
entrada, na saída e como incorporá-la ao problema de otimização na forma de
uma LMI.
3.4.1 Restrição no sinal de controle
Nesta seção, mostraremos como limitar o sinal de controle )
incorporando essa restrição na forma de uma LMI. Supondo a existência de
restrições simétricas sobre os níveis dos sinais de entrada. Consideraremos
uma restrição na norma euclidiana representada na equação (3.24).
(3.24)
A equação (3.24) garante uma restrição imposta para todo o horizonte
da variável manipulada, mesmo que somente o sinal no
instante seja aplicado no processo sendo descartados todos os demais.
Assim, temos que
(3.25)
Utilizando o complemento de Schur e observando que
, se teremos
Capítulo 3. RMPC 20
, (3.26)
Essa é uma LMI em e . Com a equação (3.26) inserimos a restrição
na forma de LMI no controlador RMPC.
3.4.2 Restrição na saída
Supondo a existência de restrições simétricas na saída
(3.27)
a mesma é garantida se a seguinte LMI for satisfeita
, (3.28)
As demonstrações das restrições no sinal de entrada e de saída podem
ser encontradas em Kothare, M.V.; Balakrishnan, V.; Morari, M. (1996).
Teorema 2 – Factibilidade
Qualquer solução de otimização factível do Teorema 1, no instante de
amostragem é também factível para todo . Deste modo, se o problema
de otimização do Teorema 1 for factível para o instante de amostragem
então ele será factível para todos os instantes de amostragens e o
sistema em malha fechada será assintoticamente estável. A prova desse
teorema pode ser encontrada em Kothare, M.V.; Balakrishnan, V.; Morari, M.
(1996).
3.5 Conclusão
Esta seção apresentou a formulação do controlador preditivo robusto
baseado nas desigualdades matriciais lineares. Foram apresentadas a
Capítulo 3. RMPC 21
formulação das restrições no sinal de controle e saída na forma de LMIs, bem
como as condições de factibilidade do problema de otimização. As seções
seguintes mostraram os resultados obtidos em condições simuladas e reais.
22 Capítulo 3. RMPC
Capítulo 4 Resultados de Simulações
4.1 Introdução
Nesta seção apresentamos resultados de simulações do RMPC
baseados nos modelos não-lineares dos sistemas de tanques. Foram
simuladas perturbações nos processos para avaliar como o controlador em
questão as rejeita. A implementação do controlador se deu em ambiente Scilab
e os problemas de otimização foram resolvidos utilizando a ferramenta LMITool
do referido ambiente.
4.2 Modelagem da Planta
O sistema utilizado no controle é um sistema de tanques acoplados da
Quanser Innovate Educate, Figura 4.1.
Figura 4.1 - Sistema de Tanques da Quanser.
Capítulo 4. Resultados de Simulações 23
O sistema mostrado na Figura 4.1 pode ser representado pela Figura
4.2, a partir da qual será descrito o funcionamento do sistema de tanques
acoplados da Quanser. O funcionamento ocorre da seguinte maneira: os dois
tanques estão ligados em cascata, ou seja, o tanque 1 recebe água da bomba
e o tanque 2 recebe a água do tanque 1 (LOPES, J. S. B. et al., 2006).
Esse sistema permite trabalhar com duas configurações, a primeira é
simplesmente controlar o nível do tanque 1, sendo que este se comporta como
um sistema de primeira ordem; já a segunda configuração tem como objetivo
controlar o nível do tanque 2, sendo que neste caso o comportamento é de um
sistema de segunda ordem (SOUZA, F. E. C. 2006).
Figura 4.2 - Configuração do Sistema de Tanques.
O modelo matemático da equação (4.1) representa a dinâmica do
sistema de nível para o tanque 1.
(4.1)
Em (4.2) temos o modelo linearizado em torno de um ponto de operação
.
(4.2)
Capítulo 4. Resultados de Simulações 24
Para controlar o tanque 2 deve-se levar em conta o sistema acoplado,
ou seja, o tanque 2 depende do tanque 1.
A equação (4.3) representa o modelo matemático de segunda ordem.
(4.3)
A equação (4.4) representa o sistema (4.3) linearizado nos pontos de
operação e .
(4.4)
A Tabela 4.1 é utilizada para identificar cada parâmetro das Equações
acima (FERNANDES JUNIOR, F. G. et al., 2005).
Tabela 4.1 – Descrição dos parâmetros
Parâmetros Descrição Valores
Nível dos tanques 1 e 2 Saídas
Áreas das bases dos tanques 1 e 2 15,518 cm2
&
Orifício de saída do tanque – Pequeno Orifício de saída do tanque – Médio Orifício de saída do tanque – Grande
0,07917297670 cm2 0,17813919765 cm2 0,24246724125 cm2
Ponto de operação para linearização do modelo Ponto de operação para linearização do modelo
15 cm 15 cm
Constante da bomba; Tensão máxima admitida
4,6 (cm3/s).V ±22 V
Tensão aplicada na bomba Entrada
Aceleração da gravidade 981 cm/s2
É importante ressaltar que em todos os gráficos apresentados neste
capítulo, não se mostra a tensão na bomba no instante imediatamente anterior
ao fechamento da malha de controle.
4.3 Parâmetro incerto
O manual do Quanser Innovate Educate adota um valor nominal de 4,6
para o parâmetro (Constante da Bomba). Verificou-se que o mesmo sofre
Capítulo 4. Resultados de Simulações 25
alteração com o tempo desse valor nominal devido ao desgaste natural de
funcionamento (desgaste da bomba).
Foi adotada nas simulações uma variação de ±10% de incerteza na
constante da bomba para os resultados simulados. Os resultados se basearam
nos modelos não lineares representados pelas equações (4.1) e (4.3), pois o
objetivo é aproximar a simulação ao máximo da planta real. Essas simulações
servirão de base para justificar a implementação do controlador RMPC com
restrição no sistema regulatório de nível presente no Laboratório de Engenharia
de Computação e Automação – LECA, da Universidade Federal do Rio Grande
do Norte – UFRN.
4.4 – Caso 1: Sistema Não-Linear de 1ª Ordem
Para a simulação do Sistema Não-Linear de 1ª Ordem é necessário
transformar o modelo (4.1) na forma de Espaço de Estados. As equações (4.5)
e (4.6) representam o sistema em Espaço de Estado discreto para um período
de amostragem T = 0,2s, considerando que os extremos da constante da
bomba valem 4,14 e 5,06 (±10%), respectivamente, e linearizado no ponto
.
(4.5)
(4.6)
O sistema representado pelas equações (4.5) e (4.6) representa os
vértices do politopo, pois só há um parâmetro de incerteza considerado que
corresponde à incerteza da bomba. A formulação do problema de otimização
na forma de LMIs sem restrição consiste em minimizar (4.7) sujeito a (4.8), e
(4.9) e (4.10)
(4.7)
sujeito a
(4.8)
e
Capítulo 4. Resultados de Simulações 26
(4.9)
(4.10)
em que foi adotado
4.4.1 – Resultados simulados do RMPC sem perturbação e sem restrições
O resultado da Figura 4.3 mostra o comportamento do sistema de
tanques de 1º ordem não-linear como parâmetro incerto com valor de 4,14, ou
seja, um decréscimo de 10% no seu valor nominal, Km = 4,6.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
14.8
15.0
15.2
15.4
15.6
15.8
16.0
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.3 – Saída do sistema não-linear de 1ª ordem sem perturbação e sem restrição.
Observa-se que o estado inicial era 16 cm, Figura 4.3, em seguida foi
para o valor de 15 cm (valor que corresponde à origem do sistema linearizado).
A Figura 4.4 apresenta o sinal de controle do RMPC para o sistema sem
perturbação e sem restrição.
Capítulo 4. Resultados de Simulações 27 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
14.8
15.0
15.2
15.4
15.6
15.8
16.0
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
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0
2
4
6
8
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.4 - Sinal de controle do RMPC com incerteza no Km=4.14 sem perturbação e sem
restrição.
A Figura 4.5 apresenta o comportamento do sistema não-linear de 1ª
ordem resultado com o parâmetro incerto alterado para 5,06, ou seja, com um
aumento de 10% no seu valor nominal.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
14.8
15.0
15.2
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15.6
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16.0
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
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e (
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4
6
8
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.5 - Comportamento do sistema não-linear de 1ª ordem para a incerteza no Km=5,06 sem perturbação e sem restrição.
Já o sinal de controle do RMPC para o sistema incerto simulado é o da
Figura 4.6.
Capítulo 4. Resultados de Simulações 28 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
14.8
15.0
15.2
15.4
15.6
15.8
16.0
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.6 - Sinal de controle do RMPC para a incerteza no Km = 5,06 sem perturbação e sem restrição.
4.4.2 - Resultados simulados do RMPC com perturbação e sem restrições
A situação da Figura 4.7 mostra o comportamento do processo com uma
perturbação do tipo pulso.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
14.0
14.2
14.4
14.6
14.8
15.0
15.2
15.4
15.6
15.8
16.0
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-10
-5
0
5
10
15
20
25
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.7 - Comportamento do sistema não-linear de 1ª ordem com perturbação e sem restrição.
Capítulo 4. Resultados de Simulações 29
A Figura 4.8 apresenta o sinal de controle do RMPC. O controlador
RMPC atua no instante em que houve a perturbação. O gráfico da Figura 4.8
apresentou uma grande variação.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
14.0
14.2
14.4
14.6
14.8
15.0
15.2
15.4
15.6
15.8
16.0
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-10
-5
0
5
10
15
20
25
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.8 - Sinal de controle com incerteza no Km=4.14 e perturbação do tipo pulso e sem restrição.
O sinal de controle da Figura 4.8, na prática, não poderia ser aplicado
devido a bomba estar limitada fisicamente a uma tensão máxima de 22 volts. A
da Figura 4.9 mostra o comportamento do processo com uma perturbação do
tipo degrau quando a constante da bomba tem o valor de 5,06.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
13.5
14.0
14.5
15.0
15.5
16.0
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.9 - Comportamento do sistema não-linear de 1ª ordem com perturbação e sem restrição.
Capítulo 4. Resultados de Simulações 30
Já o sinal de controle do RMPC apresentou o seguinte comportamento,
Figura 4.10.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
13.5
14.0
14.5
15.0
15.5
16.0
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.10 - Sinal de controle com incerteza no Km=5.06 com perturbação do tipo pulso e sem restrição.
4.4.3 - Resultados simulados do RMPC com perturbação e com restrições
A resolução do problema com restrição consiste em adicionar mais uma
LMI, equação (3.29) ao problema de otimização (4.7). A Figura 4.11 apresenta
a resposta com uma perturbação do tipo pulso.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
14.5
15.0
15.5
16.0
16.5
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.11 – Comportamento do sistema não-linear de 1ª ordem com perturbação e com restrição e Km=4,14.
Capítulo 4. Resultados de Simulações 31
. A Figura 4.12 apresenta o comportamento do controlador RMPC com
uma restrição de 15 volts na amplitude do sinal de controle, ou seja, na prática
a bomba atuaria no processo com no máximo uma tensão de 15 volts. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
14.5
15.0
15.5
16.0
16.5
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.12 - Sinal de controle do RMPC com perturbação e com restrição de 15 volts e Km=4,14.
A Figura 4.13 mostra o resultado do processo com uma perturbação do
tipo degrau.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
14.5
15.0
15.5
16.0
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.13 - Comportamento do sistema não-linear de 1ª ordem com perturbação e com restrição (Km=5,06).
Capítulo 4. Resultados de Simulações 32
A Figura 4.14 o comportamento da variável manipulada para a
perturbação do tipo degrau com restrição no sinal de controle. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
14.5
15.0
15.5
16.0
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.14 - Sinal de controle com perturbação e com restrição de 15 volts.
4.5 – Caso 2: Sistema Não-Linear de 2º Ordem
Para a simulação do Sistema Não-Linear de 2º Ordem é necessário
encontrar o modelo em Espaço de Estados. As equações (4.12) e (4.13)
representam o sistema em Espaço de Estado discreto para um período de
amostragem T = 0,2s, considerando a constante da bomba 4,14 e 5,06,
respectivamente, linearizados para e .
(4.12)
(4.13)
Observa-se que a incerteza altera o vetor coluna B, pois a matriz A não
sofre alteração com a mudança de valor na constante da bomba. Devido ao
fato de só haver um parâmetro incerto, o politopo terá dois vértices. Logo, a
formulação do problema de otimização na forma de LMIs sem restrição
consiste em minimizar (4.14) sujeitas as inequações (4.15), (4.16) e (4.17).
Capítulo 4. Resultados de Simulações 33
(4.14)
sujeito a
(4.15)
e
(4.16)
(4.17)
em que foi adotado Os resultados a seguir foram
simulados com a alteração no parâmetro da constante da bomba. A constante
sofreu um aumento e uma diminuição de 10% no seu valor nominal, Equações
(4.12) e (4.13).
4.5.1 - Resultados simulados do RMPC sem perturbação e sem restrições
A Figura 4.15 mostra os comportamentos dos tanques na configuração
de 2º ordem não-linear sem perturbação e sem restrição. Observa-se que os
estados iniciais dos tanques eram 14 cm e em seguida foram para o valor 15
cm (valor que corresponde à origem do sistema linearizado).
Capítulo 4. Resultados de Simulações 34
0 20 40 60 80 100 120
14.0
14.2
14.4
14.6
14.8
15.0
15.2
15.4
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 20 40 60 80 100 120
14.0
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
14.8
14.9
15.0
Nivel do Tanque 2
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 20 40 60 80 100 120
5
10
15
20
25
30
35
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.15 - Comportamento do tanque 1 (2ª ordem) sem perturbação e sem restrição.
A Figura 4.16 mostra o comportamento do tanque 2.
0 20 40 60 80 100 120
14.0
14.2
14.4
14.6
14.8
15.0
15.2
15.4
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 20 40 60 80 100 120
14.0
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
14.8
14.9
15.0
Nivel do Tanque 2
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 20 40 60 80 100 120
5
10
15
20
25
30
35
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.16 - Comportamento do tanque 2 (2ª ordem) sem perturbação e sem restrição.
A Figura 4.17 mostra o comportamento da variável manipulada para o
sistema de tanques de 2º ordem sem perturbação e restrições.
Capítulo 4. Resultados de Simulações 35 0 20 40 60 80 100 120
14.0
14.2
14.4
14.6
14.8
15.0
15.2
15.4
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 20 40 60 80 100 120
14.0
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
14.8
14.9
15.0
Nivel do Tanque 2
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 20 40 60 80 100 120
5
10
15
20
25
30
35
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.17 - Gráfico do sinal de controle do RMPC com Km=4,14 sem perturbação e sem restrição.
4.5.2 - Resultados simulados do RMPC com perturbação e sem restrições
A Figura 4.18 mostra o comportamento do tanque 1 com uma
perturbação do tipo pulso aplicada no tanque 2.
0 20 40 60 80 100 120
14.0
14.2
14.4
14.6
14.8
15.0
15.2
15.4
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 20 40 60 80 100 120
14.0
14.2
14.4
14.6
14.8
15.0
15.2
15.4
15.6
15.8
16.0
Nivel do Tanque 2
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 20 40 60 80 100 120
0
5
10
15
20
25
30
35
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.18 - Nível do tanque 1 do sistema não-linear de 2ª ordem com perturbação e sem restrição ( km=4,14).
Capítulo 4. Resultados de Simulações 36
A Figura 4.19 mostra o comportamento do tanque 2 com uma
perturbação do tipo pulso, no mesmo.
0 20 40 60 80 100 120
14.0
14.2
14.4
14.6
14.8
15.0
15.2
15.4
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 20 40 60 80 100 120
14.0
14.2
14.4
14.6
14.8
15.0
15.2
15.4
15.6
15.8
16.0
Nivel do Tanque 2
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 20 40 60 80 100 120
0
5
10
15
20
25
30
35
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.19 - Nível do tanque 2 do sistema não-linear de 2ª ordem com uma perturbação do tipo pulso e sem restrição.
A Figura 4.20 mostra o comportamento da variável manipulada do
RMPC utilizando o km = 4,14. 0 20 40 60 80 100 120
14.0
14.2
14.4
14.6
14.8
15.0
15.2
15.4
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 20 40 60 80 100 120
14.0
14.2
14.4
14.6
14.8
15.0
15.2
15.4
15.6
15.8
16.0
Nivel do Tanque 2
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 20 40 60 80 100 120
0
5
10
15
20
25
30
35
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.20 - Gráfico do sinal de controle do RMPC com perturbação e sem restrição com Km=4,14.
Capítulo 4. Resultados de Simulações 37
4.5.3 - Resultados simulados do controlador RMPC com perturbação e com restrições
A Figura 4.21 mostra o comportamento do tanque 1 com uma
perturbação ocasionada do acoplamento do tanque 2.
0 20 40 60 80 100 120
14.0
14.2
14.4
14.6
14.8
15.0
15.2
15.4
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 20 40 60 80 100 120
14.0
14.2
14.4
14.6
14.8
15.0
15.2
15.4
15.6
15.8
16.0
Nivel do Tanque 2
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 20 40 60 80 100 120
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.21 - Nível do tanque 1 do sistema não-linear de 2ª ordem com perturbação do tipo pulso e com restrição.
Na Figura 4.22 mostra o comportamento do tanque 2 com a perturbação
do tipo pulso.
0 20 40 60 80 100 120
14.0
14.2
14.4
14.6
14.8
15.0
15.2
15.4
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 20 40 60 80 100 120
14.0
14.2
14.4
14.6
14.8
15.0
15.2
15.4
15.6
15.8
16.0
Nivel do Tanque 2
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 20 40 60 80 100 120
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.22 – Nível do tanque 2 do sistema não-linear de 2ª ordem com perturbação e com restrição.
Capítulo 4. Resultados de Simulações 38
A Figura 4.23 mostra o comportamento do sinal do controle durante a
perturbação com a restrição imposta pela inequação (3.29).
0 20 40 60 80 100 120
14.0
14.2
14.4
14.6
14.8
15.0
15.2
15.4
Nivel do Tanque 1
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 20 40 60 80 100 120
14.0
14.2
14.4
14.6
14.8
15.0
15.2
15.4
15.6
15.8
16.0
Nivel do Tanque 2
Tempo(s)
Nív
el d
o T
an
qu
e (
cm
)
0 20 40 60 80 100 120
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
Sinal de Controle
Tempo(s)
Te
nsã
o n
a B
om
ba
(V
)
Figura 4.23 - Gráfico do sinal de controle do RMPC com perturbação e com restrição de 15 volts.
4.6 Conclusão
Através das simulações mostradas pode-se ter idéia dos resultados
esperados na aplicação no sistema real, os quais serão apresentados no
capítulo 6. As referidas simulações também foram úteis para a compreensão
das características do controlador. Os resultados apresentados mostraram que
o controlador obteve um bom desempenho mesmo na presença de incertezas,
para um sistema não-linear e na presença de perturbações.
39 Capítulo 3. RMPC
Capítulo 5 Detalhamento da Estrutura Física
5.1 Introdução
Depois de uma série de resultados obtidos através de simulações, foram
feitos os ensaios na planta física. Para isso, foi necessário montar a estrutura
física, Figura 5.1, com os equipamentos localizados no Laboratório de
Engenharia de Computação e Automação - LECA, da Universidade Federal do
Rio Grande do Norte UFRN.
Figura 5.1– Estrutura Física.
Os equipamentos e softwares utilizados na estrutura física da Figura 5.1
foram
Processo (Sistema Hidráulico);
Módulo Amplificador de Potência – UPM 2405-240;
Kit de Treinamento ZTK 900 da HI Tecnologia (CLP ZAP 900)
como conversor A/D e D/A;
Módulo de comunicação OPC (Toolbox do Scilab);
Computador com a estratégia de controle RMPC utilizando a
plataforma Scilab (Scientific Laboratory);
OPC A/D - D/A
RMPC PROCESSO
Capítulo 5. Detalhamento da Estrutura Física 40
Os tópicos a seguir apresentarão uma breve descrição dos componentes
da estrutura física.
5.2 Sistema Hidráulico e o módulo de Potência
O sistema hidráulico utilizado é um sistema de tanques acoplados
mostrado na Figura 5.2.
Figura 5.2 – Sistema de Tanques da Quanser.
O sistema de tanques acoplados contém conexões elétricas de entrada
e saída que se comunicam com os sensores. Através do módulo amplificador
de potência, UPM 2405-240, também da Quanser é possível realizar
interligação com o kit de treinamento ZTK 900, Figura 5.3.
Figura 5.3 – Módulo amplificador UPM 2405-240.
O módulo da Figura 5.3 envia os sinais referentes aos níveis dos
tanques, em centímetros, para o CLP através de um sinal de tensão com fator
de escala 1V/6,25 cm. Já o sinal de controle em volts, gerado no CLP, é
transmitido para as bombas amplificado em cinco vezes.
Capítulo 5. Detalhamento da Estrutura Física 41
5.3 Kit de treinamento ZTK 900
O kit de treinamento ZTK 900 foi utilizado com o intuito de servir de
interface A/D e D/A para a planta. Como o Scilab não pode estabelecer
comunicação direta com os drivers do fabricante da planta, foi utilizado o CLP
para realizar essa interface. O Scilab, dessa forma, comunica-se com o CLP
via protocolo OLE for Process Control (OPC).
O ZTK 900 é um módulo didático baseado no controlador lógico
programável ZAP 900, da HI Tecnologia, que tem por finalidade criar um
ambiente no qual aplicações desenvolvidas para o CLP (Controlador Lógico
Programável) possam ser testadas através da geração de condições de
processo e observação do tratamento realizado pelo CLP nestas condições. Os
sinais de entrada e saída do kit de treinamento ZTK 900 são conectados ao
módulo amplificador de potência UPM 2405-240 via bornes tipo banana. O
painel do kit de treinamento ZTK 900 disponibiliza os seguintes recursos para
interface com processo, Figura 5.4.
Figura 5.4 – Painel do kit de treinamento ZTK 900.
Descrição do painel do kit de treinamento ZTK 900 da Figura 5.4:
Contém 4 bornes para sinais de entradas digitais do tipo PNP
para pinos tipo banana e um borne vermelho de 24 Vdc de
referência para as entradas digitais;
Capítulo 5. Detalhamento da Estrutura Física 42
Contém 4 bornes para sinais de saídas digitais tipo PNP e um
borne preto de 0 V de referência para as cargas utilizadas nas
saídas digitais;
Contém 2 bornes para sinais de entradas analógicas, podendo
operar individualmente na faixa de 0..10 Vdc e um borne preto de
0V para conexão da referência dos sinais analógicos,
e por último 1 par de bornes disponibilizando uma saída analógica
na faixa de 4..20 mA.
Para a comunicação com o módulo amplificador as entradas e saídas
devem trabalhar com tensões. Logo, foi instalado o circuito integrado LM 324N
para converter o sinal de saída de 0..4 mA para -5 a 5 volts adequando o
sistema para comunicar com o módulo de potência UPM 2405-240, Figura 5.5.
Figura 5.5 – Acoplamento entre o módulo amplificador e o kit de treinamento ZTK 900.
Todas as informações adquiridas e processadas pelo controlador são
armazenadas em variáveis. Existem vários tipos de variáveis que podem ser
utilizadas para armazenar as informações necessárias para operação do
equipamento. Cada tipo é identificado por uma letra única seguida de um
número. As variáveis utilizadas nesse processo foram a entrada analógica
identificada pela letra “E” e a saída analógica identificada pela letra “S”.
Os tipos de dados “E” e “S” operam com valores normalizados para
resolução padrão de 12 bits (2 elevado a 12). Com isso ocorreram algumas
normalizações para a implementação dessa configuração
Capítulo 5. Detalhamento da Estrutura Física 43
1. A conversão do endereço da memória do CLP [0-4095] referente à
tensão para o valor referente ao nível em [0 – 30] cm, equação 5.1.
(5.1)
2. A conversão do sinal de controle [-3 – +3] volts para o endereço a ser
aplicado no CLP [0 – 4095].
(5.2)
5.4 Implementação da Estratégia de Controle
A estratégia de controle RMPC foi desenvolvida em um computador com
o Software – Scilab (Scientific Laboratory). A implementação da comunicação
com o processo foi feita com o toolbox do Scilab para OLE Process Control
(OPC). O resolvedor utilizado foi o LMITOOL que é um pacote que implementa
uma interface amigável para resolver o problema de otimização na forma das
desigualdades matriciais lineares. O Scilab é um software aberto no qual
usuários podem definir novos tipos de dados e operações. Hoje a utilização do
Scilab dá-se internacionalmente nos ambientes acadêmicos e industriais
(LOPES, 2004).
5.5 Módulo de Comunicação OPC (OLE for Proces Control)
O OLE for Process Control (OPC) é o modo mais comum de se conectar
fontes de dados como equipamentos, banco de dados etc, com aplicações
cliente. Ele otimiza a interface entre aplicações cliente e servidor fornecendo
um mecanismo padrão para comunicar dados de um fonte de dados para
qualquer aplicação cliente (CHISHOLM, A., 1998).
O servidor OPC é um objeto do tipo COM definido pela Microsoft. Entre
suas funções principais ele permite a aplicação cliente: Gerenciar grupos,
incluir e remover itens em um grupo, navegar pelas tags existentes (browser
interface), obter o status de funcionamento do servidor, ser avisada, caso o
servidor saia do ar, dentre outras atividades.
Capítulo 5. Detalhamento da Estrutura Física 44
O grupo de dados constitui uma maneira conveniente da aplicação
organizar os dados de que necessita. Cada grupo de dados pode ter uma taxa
de leitura específica, podendo ser lida periodicamente (polling), ou por
exceção. O grupo pode ser ativado ou desativado como um todo.
Cada item é um objeto OPC que proporciona uma conexão com uma
entrada física de dados. Cada item fornece ao cliente informação da qualidade
do dado e tipo de dado, por exemplo. É possível definir um vetor de objetos
como um único item, o que otimiza a comunicação de dados já que apenas um
time stamp e uma palavra de qualidade de dados é utilizada para cada
conjunto de dados. A Figura 5.6 apresenta todos os itens definidos no padrão
OPC.
Figura 5.6 – Estrutura do padrão OPC.
O OPCServer representado na Figura 5.6 neste trabalho foi o HS1
Power Tool da HI Tecnologia e o cliente foi o cliente OPC do pacote do Scilab.
5.6 Conclusão
Essa estrutura física possibilitou a implementação do controlador RMPC
on-line aplicado no sistema de tanques da Quanser. Uma preocupação
inerente a essa estrutura consiste em verificar se o tempo de amostragem, 0,2
segundos, é suficiente para ler os dados da planta via OPC, “rodar” o
otimizador e enviar o sinal de controle para a planta via OPC. A seção seguinte
apresentará a resposta para essa questão, bem como os resultados da
aplicação do RMPC na planta real.
45 Capítulo 3. RMPC
Capítulo 6 Resultados Experimentais na Planta Física
6.1 Introdução
Conforme já mencionado, o controlador RMPC foi implementado em
ambiente Scilab utilizando o resolvedor LMITool e a ferramenta de
comunicação OPC para enviar e receber dados do CLP. Os resultados iniciais
mostraram que o resolvedor LMITool leva, em média, 0,25 segundos para cada
ciclo de otimização. Dessa forma, a discretização de 0,2 segundos utilizada
pelas simulações tornaria impossível a aplicação no sistema real. Assim, uma
nova discretização, com período de amostragem de 0,5 segundos, foi
realizada, fornecendo os modelos discretizados mostrados nas equações (5.1)
e (5.2) para = 3,68(-20%) e (5.3) e (5.4) para = 5,52(+20%).
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
Para a bomba real em questão a partir de experimentos deduziu que o
valor do = 5,2, ou seja, a mesma se encontra dentro da região de incerteza
estabelecida. A cada período de amostragem foi necessário estimar quanto
tempo o resolvedor levaria para encontrar a solução ótima. Assim, o tempo de
Capítulo 6. Resultados Experimentais na Planta Física 46
espera da rotina, para atingir o período de amostragem estabelecido, seria a
diferença entre 500ms e o tempo gasto pelo resolvedor.
Outra questão importante a ser tratada na implementação do sistema
físico é a inicialização dos parâmetros e nas LMIs para o resolvedor.
Dependendo da inicialização, o tempo gasto pelo resolvedor é muito superior
ao período de amostragem. Dessa forma, optou-se por inicializar os
parâmetros num instante com os valores obtidos pelo resolvedor no
instante anterior . O algoritmo empregado na planta real é descrito a seguir.
Passo 1 – Faça e incialize e ;
Passo 2 – Leia os estados da planta e “execute” o resolvedor com
parâmetros iniciais e e obtenha os valores de e ;
Passo 3 – Calcule o sinal de controle atual através da expressão
sendo
Passo 4 – Faça e ;
Passo 5 – Aplique o sinal de controle na planta;
Passo 6 – Calcule ;
Passo 7 – Se ( ) Então ABORTAR EXECUÇÃO Senão
AGUARDAR segundos;
Passo 8 – Faça e volte para o Passo 2.
Os resultados obtidos com o algoritmo acima são mostrados nas seções
seguintes.
6.2 Resultados dos Experimentos
Os resultados das seções seguintes foram realizados no sistema de
tanques da Quanser localizados no Laboratório de Engenharia de Computação
e Automação - LECA, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN.
Esses resultados referem-se a sistemas não lineares de 1º e 2º ordem e
foram realizadas nas seguintes situações:
Situação 1 - sem perturbação e sem restrição;
Situação 2 - com perturbação e sem restrição;
Capítulo 6. Resultados Experimentais na Planta Física 47
Situação 3 - com perturbação e com restrição.
É importante ressaltar que em todos os gráficos mostrados nesse
capítulo não é mostrada a tensão na bomba no instante imediatamente anterior
ao fechamento da malha de controle.
6.3 Sistema não-linear de 1ª ordem
6.3.1 Situação 1 - Resultado experimental do RMPC sem perturbação e sem restrições
O resultado da Figura 6.1 mostra o comportamento do sistema de
tanques de 1º ordem não-linear.
Figura 6.1 – Resposta do sistema de 1ª ordem não-linear sem perturbação e sem restrição.
Observa-se que o estado inicial era abaixo de 14 cm, em seguida foi
para um valor próximo de 15 cm (valor que corresponde à origem do sistema).
O resultado da Figura 6.1 apresenta alguns ruídos e variações na
variável de processo decorrentes da imprecisão do sensor pelo seu desgaste
natural e sua calibração. A Figura 6.2 apresenta o sinal de controle do RMPC
aplicado no sistema de tanques não-linear de 1º ordem.
Capítulo 6. Resultados Experimentais na Planta Física 48
Figura 6.2 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 1ª ordem não-linear sem perturbação e sem restrição.
6.3.2 Situação 2 - Resultado experimental do RMPC com perturbação e sem restrições
A situação da Figura 6.3 mostra o comportamento do processo com uma
perturbação próxima um degrau com tempo limitado. Para inserir esta
perturbação foi utilizado um recipiente com a capacidade de 200 ml.
Em seguida, preencheu-se o recipiente com um volume próximo de 50
ml de água para então despejar no tanque. Esse processo ocorreu no intervalo
de tempo [40s e 50s]. Na exploração e produção de petróleo, por exemplo, o
controle das variaç es abruptas na vazão do produto de entrada em um vaso
separador, composto normalmente de óleo, gua e g s, também denominadas
de “golfadas”, é um problema muito importante. Estas são comuns devido s
características do regime de escoamento dos poços de petróleo até o sistema
de armazenamento. Essas variaç es são transmitidas para a saída do sistema
por meio das oscilaç es na coluna de líquido e são detalhadas na literatura em
Souza, R.A.R et al. (2010), Campos, M.C.M et al. (2007), Filho, A.M.B et al.
(2005), Fontes, A. B. et al. (2009) e John-Morten, G. et al. (2005).
Capítulo 6. Resultados Experimentais na Planta Física 49
Figura 6.3 – Resposta do sistema de 1ª ordem não-linear com perturbação e sem restrição.
O sinal de controle decorrente da perturbação inserida no sistema pode
ser visto na Figura 6.4.
Figura 6.4 – Sinal de controle do RMPC para o sistema 1ª ordem com perturbação e sem restrição.
Capítulo 6. Resultados Experimentais na Planta Física 50
6.3.3 Situação 3 - Resultado experimental do RMPC com perturbação e com restrições
Nessa situação, uma perturbação foi inserida no sistema no intervalo
entre o instante 30s e 40s. Percebe-se que o sinal de controle corrigiu a
perturbação ocorrida no tanque 1 como mostra a Figura 6.5 e o respectivo sinal
de controle na Figura 6.6 com uma restrição de 15 volts na forma de LMI.
Figura 6.5 - Resposta do sistema de 1ª ordem não-linear com perturbação e com restrição
Figura 6.6 - Sinal de controle do RMPC para o sistema de 1ª ordem não-linear com perturbação e com restrição.
Capítulo 6. Resultados Experimentais na Planta Física 51
6.4 Sistema não-linear de 2ª ordem
6.4.1 Situação 1: Resultado experimental do RMPC sem perturbação e sem restrições
Neste experimento o nível do tanque 1 comportou-se próximo do ponto
de equilíbrio como mostra a Figura 6.7. Os sensores geraram alguns ruídos
decorrentes aos seus desgastes naturais e a influência de efeitos externos
como a temperatura. A Figura 6.7 mostra a resposta do sistema referente ao
nível do tanque 1. Observa-se que o nível inicial do tanque 1 estava próximo a
15 e permaneceu assim durante a execução do processo, assim como o nivel
do tanque 2 (Figura 6.8).
Figura 6.7 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 1) não-linear sem perturbação e sem restrição.
A Figura 6.8 apresenta o resultado do tanque 2 para o RMPC sem
perturbação e sem restrição.
Capítulo 6. Resultados Experimentais na Planta Física 52
Figura 6.8– Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 2) não-linear sem perturbação e sem restrição.
A Figura 6.9 apresenta o sinal de controle do RMPC.
Figura 6.9 - Sinal de controle do RMPC para o sistema de 2ª ordem sem perturbação e sem restrição.
Capítulo 6. Resultados Experimentais na Planta Física 53
6.4.2 Situação 2: Resultado experimental do RMPC com perturbação e sem restrições
Neste experimento o nível do tanque 1 é mostrado na Figura 6.10 e
apresenta uma resposta próxima do ponto de equilíbrio, assim como na Figura
6.11. A perturbação neste experimento foi realizada no tanque 1 e no tanque 2,
ambas executadas em instantes distintos e devido ao acoplamento entre os
tanques 1 e 2 ocorreu influência entre as perturbações.
Figura 6.10 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 1) não-linear com perturbação e sem restrição.
A perturbação inserida no tanque 1 é semelhante à descrita na seção
6.3.2. A influência da perturbação ocorrida no intervalo [30s a 40s] no tanque 1
pode ser observada na Figura 6.10 no mesmo intervalo. A influência da
perturbação ocorrida no intervalo [70s a 90s] do tanque 2 pode ser vista na
Figura 6.11.
Capítulo 6. Resultados Experimentais na Planta Física 54
Figura 6.11 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 2) não-linear com perturbação e sem restrição.
A Figura 6.12 apresenta o sinal de controle do RMPC.
Figura 6.12 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 2ª ordem não-linear com perturbação e sem restrição.
Capítulo 6. Resultados Experimentais na Planta Física 55
O resultado da Figura 6.13 representa a situação 2 com outro tipo de
perturbação. Foi fechado o orifício do tanque 1 em um instante próximo dos 30
segundos até o instante próximo a 40 segundos e no tanque 2 foi realizado o
mesmo procedimento no intervalo, iniciando-se no instante próximo a 80
segundos até um instante próximo ao 90 segundos. Ambos os resultados
apresentaram o acoplamento entre as perturbações.
Figura 6.13 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 1) não-linear com perturbação e sem restrição.
Observa-se que o nível do tanque 1 chegou próximo ao limite máximo
(30cm), esse efeito de enchimento fez com que o nível do tanque 2 diminuisse,
Figura 6.14. Já o fechamento do orifício do tanque 2 fez o nível do tanque 1
sofrer uma perturbação, ocasionando uma variação no sinal de controle como
mostra a Figura 6.15.
Capítulo 6. Resultados Experimentais na Planta Física 56
Figura 6.14 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 2) não-linear com perturbação e sem restrição.
A Figura 6.15 apresenta o sinal de controle do RMPC.
Figura 6.15 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 2ª ordem não-linear com perturbação e sem restrição.
Capítulo 6. Resultados Experimentais na Planta Física 57
6.4.3 Situação 3: Resultado experimental do RMPC sem perturbação e com restrições
Para o experimento da situação 3 com o RMPC com perturbação e com
restrição foi necessário iniciar com os tanques vazios para que o sinal de
controle ultrapassasse o limite de saturação, ou seja, para que pudesse ver a
restrição do sinal de controle atuando no sistema.
6.4.3.1 Restrição imposta no código do programa
A restrição no sinal de controle foi realizada no código do programa
atuando como um limitante, ou seja, uma chave para mostrar o resultado sem
perturbação e sem restrição e compará-lo com restrição na forma de LMI visto
na seção 6.4.3.2.
Figura 6.16 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 1) não-linear sem perturbação e com restrição.
A Figura 6.16 mostra o comportamento do tanque 1. Observa-se que a
resposta do tanque 1 apresentou um Sobressinal (Overshoot), o que é
aceitável, visto que o escopo desse trabalho reside no problema regulador. Já
Capítulo 6. Resultados Experimentais na Planta Física 58
a Figura 6.17 apresenta o comportamento do tanque 2. A Figura 6.18
apresenta o sinal de controle do RMPC.
Figura 6.17 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 2) não-linear sem perturbação e com restrição.
A Figura 6.18 apresenta o sinal de controle do RMPC.
Figura 6.18 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 2ª ordem não-linear sem perturbação e com limitante de 10 volts.
Capítulo 6. Resultados Experimentais na Planta Física 59
Percebe-se que no inicio o sinal de controle aplicado ultrapassou o limite
de 10 volts e na seção seguinte descreve a restrição na forma de LMI.
6.4.3.2 Restrição incorporada na forma de LMI
Os resultados seguintes mostram o mesmo comportamento com
restrição na forma de LMI. A Figura 6.19 mostra o comportamento do tanque 1
do sistema de 2ª ordem não-linear.
Figura 6.19 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 1) não-linear sem perturbação e com restrição na forma de LMI.
A Figura 6.20 mostra o comportamento do sistema de 2ª ordem (tanque
2) e a Figura 6.21, o sinal de controle do RMPC com restrição na forma de LMI.
Comparando-se a Figura 6.18 com a Figura 6.21, observa-se que o tempo,
limitante de tensão de 10 volts é maior em relação ao resultado com a restrição
na forma de LMI. Outra observação é que, na primeira situação, limitante de
tensão, o valor da tensão foi igual aos 10 volts. Na restrição na forma de LMI o
valor foi próximo aos 10 volts. Os resultados do controlador atenderam as
especificações e o sistema de tanques acomodou seus estados nos pontos de
equilíbrios pré-determinados.
Capítulo 6. Resultados Experimentais na Planta Física 60
Figura 6.20 – Resposta do sistema de 2ª ordem (tanque 2) não-linear sem perturbação e com restrição na forma de LMI.
A Figura 6.21 mostra o sinal de controle com restrição na forma de LMI.
Figura 6.21 – Sinal de controle do RMPC para o sistema de 2ª ordem não-linear sem perturbação e com restrição na forma de LMI.
Capítulo 6. Resultados Experimentais na Planta Física 61
6.5 Conclusão
O controlador RMPC foi aplicado a um problema real representativo do
sistema de controle. O controlador RMPC foi implementado na operação em
tempo real e os resultados das respostas apresentaram-se adequados e
satisfatórios. A seguir, no Capitulo 7, são apresentadas as conclusões deste
trabalho, bem como as perspectivas para futuros trabalhos.
.
62 Capítulo 3. RMPC
Capítulo 7 Conclusões e Perspectivas
Neste trabalho foi estudado e implementado o controlador preditivo
robusto RMPC. Essa técnica de controle foi aplicada no sistema real de
tanques da Quanser Consulting. Utilizou-se o software Scilab 4.2 para a
implementação do algoritmo RMPC e para a solução dos problemas de
otimização foi utilizado o pacote LMITool do referido software.
Para obter os resultados experimentais na planta real foi necessário
simular o sistema não-linear de 1ª e 2ª ordem. As simulações ajudaram na
compreensão das características do controlador atuando em diferentes
situações. As situações consideradas com o controlador atuando no sistema
simulado foram: sem perturbação e sem restrição; com perturbação e sem
restrição; e com perturbação e com restrição. Os resultados simulados
apresentaram um bom desempenho, visto que os mesmos operaram com o
sistema incerto e com perturbações.
A partir dos resultados simulados foi necessário montar a estrutura física
com os equipamentos localizados no Laboratório de Engenharia de
Computação e Automação - LECA, da Universidade Federal do Rio Grande do
Norte UFRN. Essa estrutura possibilitou a implementação do controlador
RMPC on-line aplicado no sistema de tanques da Quanser utilizando OPC para
a comunicação dos dados entre o controlador implementado e o Controlador
Lógico Programável.
Os experimentos, na planta real, foram realizados em várias situações
sem e com perturbação, não importando o regime transitório. Os resultados
nesses experimentos mostram que o controlador apresentou bom
desempenho, principalmente no que tange à rejeição de perturbações. Uma
deficiência dessa formulação é o seu conservadorismo, uma vez que a sua
Capítulo 7. Conclusões e Perspectivas 63
formulação resolve o problema de otimização para o pior caso. Esse problema
faz com que a sua lei de controle fique longe de atingir as barreiras de
restrições impostas.
Algumas perspectivas podem decorrer deste trabalho, as quais citamos
A implementação de algoritmos de programação semi-definida em
linguagem C e a comunicação direta com os drivers da placa de
aquisição do sistema de tanques;
O estudo experimental de controladores robustos associados ao controle
tolerante a falhas e utilização de controladores robustos desenvolvidos
em modelos empíricos, como por exemplo, redes neurais.
64 Capítulo 3. RMPC
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