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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

ROSANA APARECIDA DA COSTA VAZ

SARESP/2005: UMA ANÁLISE DE QUESTÕES DE MATEMÁTICA DA

7ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL, SOB A ÓTICA DOS NÍVEIS

DE MOBILIZAÇÃO DE CONHECIMENTOS E DOS REGISTROS DE

REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

São Paulo

2008

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

ROSANA APARECIDA DA COSTA VAZ

SARESP/2005: UMA ANÁLISE DE QUESTÕES DE MATEMÁTICA DA

7ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL, SOB A ÓTICA DOS NÍVEIS

DE MOBILIZAÇÃO DE CONHECIMENTOS E DOS REGISTROS

DEREPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para

obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE

MATEMÁTICA, sob a orientação da Profª Drª. Barbara Lutaif

Bianchini.

São Paulo

2008

Banca Examinadora

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta

Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________

À minha família

Meu amor Daniel (in memorian)

Minhas filhas Milena e Carolina

Minha mãe Maria e

A todos os meus oito irmãos

Aos Pais: (Rui Barbosa) “... Se um dia, já homem feito e respeitado, sentires que a terra ceda a teus pés, que tuas belas obras se desmoronaram que não há ninguém à tua volta para te estender a mão, esquece tua maturidade, passa pela tua mocidade, volta à tua infância e balbucia, entre lágrimas e esperanças, as últimas palavras que sempre te restaram na alma: Meu Pai, minha Mãe”

AGRADECIMENTOS

A Deus, pelo privilégio de proporcionar-me condições de desenvolver esta pesquisa.

À Professora Doutora Barbara Lutaif Bianchini, pela extrema competência, bondade, dedicação e amizade dedicadas a mim em sua orientação.

À Professora Doutora Miriam Cardoso Utsumi e à Professora Doutora Sílvia Dias de Alcântara Machado, integrantes da banca examinadora, pelas orientações e valiosas sugestões dadas na qualificação, o que com certeza enriqueceram este trabalho.

À Professora Atalita, quem tenho elevada consideração, pela suas prestigiosa ajuda.

Às minhas filhas Milena e Carolina por todo carinho e compreensão pelas horas de ausência.

A toda equipe de direção da Escola Estadual Dr. Antonio Braz Gambarini pela autorização, cooperação e confiança a mim dispensada e à Escola Estadual Professor Oguimar Rugeri pelos horários difíceis de ser montados.

Aos alunos da 7ª série de 2008 da Escola Estadual Dr. Antonio Braz Gambarini pela disposição e colaboração indispensáveis na realização deste trabalho, como também a seus pais, por permitirem que seus filhos participassem.

Enfim, a todos que, de alguma forma, contribuíram para a realização deste sonho.

RESUMO

Esta pesquisa tem como objetivo analisar o desempenho dos alunos na resolução de

algumas questões do SARESP/2005 relacionadas à Álgebra em questões referentes

a equações e expressões envolvendo a conversão do registro de representação

semiótica da língua natural para o registro algébrico (DUVAL, 2003). Para isso,

utilizamos como instrumento de pesquisa, três questões da prova do SARESP/2005

aplicadas ao 8º ano do Ensino Fundamental em 2008. Esta pesquisa possui uma

abordagem qualitativa, fundamentada na metodologia da engenharia didática

(ARTIGUE, 1996). Para análise dos dados obtidos nos protocolos dos alunos,

baseamo-nos nos níveis de mobilização dos conhecimentos de Aline Robert (1998).

As provas foram aplicadas em dois momentos: no primeiro, as questões foram

reaplicadas da mesma maneira como no SARESP/2005, ou seja, com as alternativas

e, no segundo, num intervalo de quinze dias, reaplicamos, porém, sem as

alternativas. Analisando o desempenho apresentado por nossos alunos, notamos

que todos se encontram no nível técnico, resolvendo as questões utilizando apenas

operações com números, não realizando a conversão do registro da língua natural

para o registro algébrico. Acreditamos que para que haja uma boa compreensão dos

conceitos algébricos, faz-se necessário um trabalho da Álgebra com suas várias

representações, em níveis de conhecimento diferentes, exigindo do aluno a

mobilização de seus conhecimentos e articulação de estratégias para a resolução de

uma atividade. Espera-se com essa pesquisa, mostrar que o desempenho dos

alunos nas avaliações internas deveria ser analisado qualitativamente pelos órgãos

oficiais e pelos professores, pois só assim poderiam servir efetivamente para

redimensionar e implementar novos procedimentos e estratégias em sala de aula

capazes de contribuir para a melhoria do processo de ensino e de aprendizagem.

Palavras-chave: Álgebra, Registros de representação semiótica, Níveis de

mobilização de conhecimentos pelos alunos.

ABSTRACT

The main objective of this work is to analyze students performance on solving some

SARESP\2005’s Algebraic questions which referred to equations and expressions

involving the conversion of semiotic representation of nature language register to

algebraic register (DUVAL, 2003). For this purpose, we used three of the

SARESP\2005’s questions applied to the seventh grade of Elementary School

students in 2008 as a searching tool. This work has a qualitative approach based on

didactic engineer methodology (ARTIGUE, 1996). To analyze the results in students’

records, we based ourselves on Aline Robert’s knowledge mobilization stages (1998).

The tests were applied during two different moments: during the first, tests were

reapplied in the same way as on SARESP\2005, i.e., using alternatives and, after

fifteen days, in the second moment, we reapplied them but without alternatives.

Analyzing our students’ performance it was noted that all of them are in a technical

stage, solving questions using only operations with number instead of doing the

conversion of nature language register to algebraic one. We believe that it is

necessary to do an Algebra work including its several representations, on different

stages of knowledge, which requires the students’ knowledge mobilization and the

strategies articulation to solve some questions so that they can have a good

understanding of algebraic concepts. Through this work, we expect to show that it

would be better to do a qualitative analysis of students’ performance in internal

evaluations from official bodies and from teachers, once it could be used to measure

and implement new procedures and strategies capable of contributing to make the

teaching and learning process in classroom better.

Keywords: Algebra, semiotic representation Registers, students knowledge

mobilization stages

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO............................................................................................................17

CAPÍTULO 1

1. SOBRE O SARESP E OS PCN .............................................................................23

1.1 SOBRE O SARESP.........................................................................................23

1.2 SOBRE OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS-PCN.................28

CAPÍTULO 2

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA..............................................................................45

2.1 A LINGUAGEM MATEMÁTICA.........................................................................45

2.2 SOBRE OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA.....................47

2.3 SOBRE OS NÍVEIS DE MOBILIZAÇÃO DE CONHECIMENTOS....................52

CAPÍTULO 3

3. REVISÃO DE LITERATURA..................................................................................57

CAPÍTULO 4

4. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS...............................................................77

4.1 A ESCOLA E OS ALUNOS................................................................................79

4.2 O INSTRUMENTO DE PESQUISA....................................................................82

4.3 ANÁLISE A PRIORI...........................................................................................84

4.4 PROCEDIMENTOS DA PRIMEIRA APLICAÇÃO.............................................91

4.5 PROCEDIMENTOS DA SEGUNDA APLICAÇÃO.............................................93

4.6 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS........................................94

CONSIDERAÇÕES FINAIS......................................................................................107

REFERÊNCIAS........................................................................................................113

ANEXOS................................................................................................117

ANEXO 1 : MATRIZ DE ESPECIFICAÇÃO DE MATEMÁTICA – 7ª SÉRIE

DO ENSINO FUNDAMENTAL.................................................................117

ANEXO 2: CONHEÇA O SARESP...........................................................................119

ANEXO 3: RESOLUÇÃO SE 81, de 19/10/2005......................................................125

ANEXO 4: COMUNICADO DA SEE/SP...................................................................131

ANEXO 5: ORIENTAÇÕES DISPONIBILIZADAS PELA DIRETORIA REGIONAL

DE ENSINO DA CIDADE DE OSASCO...................................................133

ANEXO 6: MODELO DE AUTORIZAÇÃO DA DIREÇÃO DA ESCOLA...................137

ANEXO 7: MODELO DE AUTORIZAÇÃO DO RESPONSÁVEL PELO ALUNO......139

ANEXO 8: QUESTÕES DA 1ª APLICAÇÃO.............................................................141

ANEXO 9: QUESTÕES DA 2ª APLICAÇÃO.............................................................143

LISTA DE TABELAS

TABELA 1: DIAGNÓSTICO GERAL DO ESTADO DE SÃO PAULO POR

SÉRIE E POR PERÍODO ........................................................................36

TABELA 2: DIAGNÓSTICO GERAL DA DIRETORIA REGIONAL DE OSASCO

POR SÉRIE E POR PERÍODO...............................................................37

TABELA 3: DIAGNÓSTICO GERAL DA ESCOLA E.E. DR. ANTONIO BRAZ

GAMBARINI POR SÉRIE E POR PERÍODO..........................................38

TABELA 4: PERCENTUAL DE ACERTOS DOS ALUNOS NAS 1ª E 2ª

APLICAÇÕES.........................................................................................95

LISTA DE GRÁFICOS

GRÁFICO 1: COMPARATIVO DO DESEMPENHO DOS ALUNOS DA 7ª

SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL..................................................39

GRÁFICO 2: PERCENTUAL DE ACERTOS DA REDE ESTADUAL DE

ENSINO DE SÃO PAULO DAS QUESTÕES ANALISADAS................83

LISTA DE QUADROS

QUADRO 1: DESENHO DO SARESP DE 1996 A 2005............................................23

QUADRO 2: MATRIZ DE ESPECIFICAÇÃO DE MATEMÁTICA – 7ª SÉRIE

DO ENSINO FUNDAMENTAL...............................................................35

QUADRO 3: ESCALA DE DESEMPENHO DE MATEMÁTICA – 7ª SÉRIE DO

ENSINO FUNDAMENTAL.....................................................................41

QUADRO 4: ELEMENTOS BÁSICOS DE CARACTERIZAÇÃO DO CAMPO

CONCEITUAL DA ÁLGEBRA................................................................65

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1: REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS.....................................................................58

FIGURA 2: PROTOCOLO DO ALUNO 1 – QUESTÃO 7.........................................96







FIGURA 9: PROTOCOLO DO ALUNO 8 – QUESTÃO 8.......................................100

FIGURA 10: PROTOCOLO DO ALUNO 9 – QUESTÃO 8.......................................100

FIGURA 11: PROTOCOLO DO ALUNO 10 – QUESTÃO 8.....................................101






INTRODUÇÃO

Como professora da rede pública do Estado de São Paulo desde 1987,

formada pela Faculdade de Ciências e Letras Oswaldo Cruz, participei de várias

reuniões em que discutimos as dificuldades enfrentadas no ensino e na

aprendizagem em matemática.

Tais discussões levaram-me a procurar métodos diferenciados para trabalhar

os conteúdos nas diferentes séries.

Nesse sentido, em 2003 resolvi inscrever-me em um curso de pós-graduação

lato sensu em educação matemática na mesma instituição em que me graduei,

concluindo em 2005.

Sentindo ainda a necessidade de prosseguir com os estudos, ingressei no

curso de Mestrado Profissional em Educação Matemática da Pontifícia Universidade

Católica de São Paulo-PUC/SP o qual, pelo programa apresentado, atendia às

minhas expectativas como profissional da educação.

Neste curso estudamos as teorias de vários pesquisadores relacionados com

a educação matemática sendo, uma delas, a teoria da pesquisadora Aline Robert

(1998), sobre os níveis de mobilização de conhecimentos esperados pelos alunos.

Em reunião oferecida pela Diretoria Regional de Ensino de Osasco a

professores da rede pública da região, com o objetivo de analisar os resultados

obtidos pelos alunos da rede pública estadual nas provas do Sistema de Avaliação

de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo – SARESP/2005, foi nos informado

que a referida prova constava de exercícios com graus de dificuldades diferentes, de

modo a contemplar os níveis de mobilização de conhecimentos pelos alunos

conforme Aline Robert (1998).

Neste momento, recordei-me do artigo da referida pesquisadora, do qual tive

conhecimento somente no curso de mestrado, e passei a me perguntar: Se os níveis

de funcionamento do conhecimento como define Robert (1998) realmente estão

18

INTRODUÇÃO Rosana Ap. da Costa Vaz

presentes nos apontamentos oficiais e que efetivamente foram cobrados nas

questões do SARESP/2005, então, porque não foi divulgado o resultado sobre o

desempenho dos alunos de acordo com esses mesmos níveis?

Algumas discussões relacionadas com o desempenho dos alunos nas

avaliações internas e externas, principalmente no que se refere à leitura e

interpretação de textos matemáticos, à atividade algébrica com significado e ao

trabalho das diferentes representações da linguagem matemática, nos indicam a

necessidade de adequarmos nosso trabalho como professores e pesquisadores,

procurando atender às suas dificuldades.

Nos resultados da prova do SAEB (Sistema Nacional de Avaliação de

Educação Básica), por exemplo, itens referentes à álgebra raramente atingem o

índice de 40% de acerto em muitas regiões do país (BRASIL, 1998, p.116), sendo

esse um dos fatores que tem levado os pesquisadores da área de educação

matemática à análise e revisão dos currículos dessa disciplina, bem como da

metodologia utilizada no ensino básico.

No SARESP, Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São

Paulo, os resultados não são diferentes. Em 2005, a média de desempenho dos

alunos em matemática nessa avaliação não passou de 37% (SÃO PAULO, 2006).

Para que o ensino da álgebra seja efetivado, faz-se necessário que o

professor tenha clareza dos diferentes papéis que ela assume, como por exemplo,

álgebra como ferramenta, álgebra como estrutura, álgebra como linguagem, álgebra

como aritmética generalizada, álgebra como cultura (Lee, 2001, apud SILVA, 2006,

p. 26) e, com seus alunos, construa o conhecimento algébrico, principalmente com

relação à sua linguagem e representação.

Aparentemente, nem sempre são trabalhadas com os alunos atividades que

privilegiem o pensamento algébrico e as mudanças de registros de representação

19


semiótica (DUVAL, 2003)1, sendo dada atenção apenas a mecanismos de cálculo,

muitas vezes sem que estejam relacionadas a um contexto real e com significado.

O ensino da álgebra comumente conhecida como um amontoado de símbolos tem sofrido um abandono e vem perdendo espaço no Ensino Básico. Esse contexto demanda estudo sobre visões, dimensões e concepções deste campo da Matemática, pois posições pouco ancoradas podem gerar maiores lacunas no ensino aprendizagem dos alunos em qualquer nível. (SILVA, 2006, p.114)

Essa tem sido uma das preocupações do Grupo de Pesquisa em Educação

Algébrica – GPEA, do programa de estudos pós-graduados em Educação

Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP, cujo

principal objetivo é investigar “Qual a Álgebra a ser ensinada em cursos de formação

de professores de matemática”, no qual vêm sendo realizados estudos e projetos de

pesquisa sobre álgebra e do qual essa pesquisa faz parte.

A preocupação do grupo origina-se no fato de terem sido observadas

descontinuidades existentes no ensino de álgebra entre os diversos níveis de ensino

por meio de pesquisas realizadas pelos seus membros.

Maranhão, Machado e Coelho (2004), pesquisadoras desse grupo, enfatizam

que, se por um lado a álgebra é o caminho para estudos futuros e para idéias

matematicamente significativas, por outro, ela é freqüentemente um obstáculo no

desenrolar da aprendizagem de muitos alunos.

O grupo possui subgrupos de estudos, os quais realizam pesquisas sobre

álgebra com o objetivo de investigar dimensões, visões e tendências no ensino e na

aprendizagem.

Mediante o acima exposto e levando em consideração que durante minha

experiência profissional tenho percebido que os alunos, tanto do ensino fundamental,

1

Expressão Utilizada por Raymond Duval (2003), cuja teoria será explicada no Capítulo 2.

20


como do ensino médio, possuem uma grande dificuldade na leitura e interpretação

de textos matemáticos, bem como não conseguem modelizar uma situação-problema

para sua resolução, preocupei-me em pesquisar o assunto, inserindo-me no projeto

Expressões, Equações e Inequações – pesquisa, ensino e aprendizagem.

Este projeto tem como objetivo caracterizar o ensino e a aprendizagem sobre

expressões, equações e inequações, com a finalidade de contribuir para a crítica e

implementação de propostas curriculares nacionais e para o debate internacional

sobre o assunto.

Ribeiro (2007) remete-nos às pesquisas realizadas por Kieran (1992), as quais

apontam para a ênfase dada aos aspectos procedimentais no ensino e na

aprendizagem da Álgebra, e levanta o fato de haver um trabalho demasiado com o

aspecto processual, que não contribui para que os alunos consigam equacionar uma

situação-problema e utilizá-la para a resolução de problemas.

Dessa forma, desenvolverei minha pesquisa analisando o desempenho2 dos

alunos na resolução de algumas questões do SARESP/2005, de acordo com os

níveis de mobilização dos conhecimentos de Aline Robert (1998): nível técnico,

mobilizável e disponível, uma vez que, como já foi dito, a SEE/SP orientou para

que as questões da referida avaliação fossem fundamentadas nesta teoria, no

entanto, quando da análise do desempenho dos alunos, não levaram referida teoria

em consideração.

Robert (1998) ressalta que um trabalho que considera esses três níveis de

conhecimentos ajuda na análise e na preparação de atividades que permitam a

construção do conhecimento matemático em diferentes níveis, bem como auxilia na

identificação dos conhecimentos prévios necessários para a resolução de uma

situação-problema.

_______________________________________________________

2 Considera-se como desempenho a maneira como o aluno resolveu a questão.

21


As questões analisadas são referentes ao tema equações e expressões, as

quais exigem do aluno a passagem do registro de representação semiótica da língua

natural para o registro algébrico.

Esperamos, através desta pesquisa, verificar o desempenho dos alunos do 8º

ano na resolução de questões que envolvem a conversão de registro de

representação semiótica da língua natural para o registro algébrico (DUVAL, 2003),

sob a ótica dos níveis de mobilização de conhecimentos pelos alunos, bem como

mostrar que tal desempenho deveria ser analisado qualitativamente pelos órgãos

oficiais e pelos professores, pois só assim poderia servir efetivamente para

redimensionar e implementar novos procedimentos e estratégias capazes de

contribuir para a melhoria do processo de ensino e de aprendizagem.

As atividades que estimulam o pensamento algébrico devem ser

desenvolvidas ao longo do Ensino Fundamental (LINS e GIMENEZ, 1998), porém,

como o trabalho com a álgebra, seguindo uma concepção letrista, ou seja, o uso das

letras por meio de abstrações no trabalho com situações concretas é, atualmente,

introduzido no 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental, nossa pesquisa estará

direcionada a estas séries, mais especificamente ao oitavo ano (antiga 7ª série do

Ensino Fundamental).

Para tanto, daremos a esta pesquisa uma abordagem qualitativa, baseando-

nos nas fases da engenharia didática.

Assim sendo, apresentaremos no Capítulo 1, um esclarecimento sobre o

SARESP – Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo; o

que é, para que serve, seus objetivos e como é realizado, juntamente com a

abordagem dada à álgebra pelos PCN (BRASIL, 1998), seus objetivos e o que é

abordado sobre a resolução de problemas e sobre o pensamento algébrico, uma vez

que este documento procura oferecer aos professores subsídios de ordem didática e

cunho construtivista para o ensino e para a aprendizagem, enfatizando uma

articulação teórico-prática.

22


Como neste trabalho de pesquisa analisaremos algumas questões do

SARESP/2005, as quais exigem do aluno a conversão do registro de representação

semiótica da língua materna para o registro algébrico, teremos como fundamentação

teórica os estudos realizados por Raymond Duval (2003), os quais serão

apresentados no Capítulo 2.

Considerando que a análise qualitativa do desempenho dos alunos nas

questões escolhidas será realizada sob a ótica dos níveis de mobilização de

conhecimentos de Aline Robert (1998), ainda nesse capítulo, faremos uma síntese

sobre esta teoria.

Sabemos que a linguagem matemática, com seus códigos e representações,

desempenham um papel significativo dentro da matemática e da cultura, porém, só

apreendida com o apoio da língua materna. Nessa perspectiva, achamos

conveniente descrever trabalhos sobre a linguagem matemática e algumas

concepções e abordagens dadas à álgebra, o que será feito na forma de revisão de

literatura apresentada no Capítulo 3.

Os procedimentos metodológicos utilizados serão apresentados no Capítulo 4,

no qual realizamos uma breve descrição sobre o perfil da escola e sobre os alunos

participantes desta pesquisa, bem como uma análise a priori das questões aplicadas.

A apresentação e análise qualitativa dos resultados obtidos nessa pesquisa

estarão descritas no Capítulo 5, seguidas, por fim, de nossas considerações finais.

Esperamos com esta pesquisa levar professores e órgãos oficiais

responsáveis pelas avaliações externas a uma reflexão sobre a análise do

desempenho dos alunos nessas avaliações.

23

CAPÍTULO 1

SOBRE O SARESP E OS PCN

1.1 SOBRE O SARESP

O Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo –

SARESP é uma avaliação externa aplicada a alunos da rede pública estadual, pela

qual a Secretaria da Educação - SEE/SP avalia o sistema de ensino, verificando o

rendimento escolar dos alunos de diferentes séries e períodos, identificando os

fatores que interferem nesse rendimento.

O SARESP teve início em 1996 sendo aplicado nos anos que se seguiram,

com exceção de 1999 e 2006.

Apresentamos, abaixo, um quadro referente ao ano e série em que houve

aplicação da referida avaliação.

QUADRO 1: Desenho do SARESP de 1996 a 2005

Retirado do site www.rededosabersp.gov.br/contentes/SIGS-curso/Sigsc/upload.br/, acesso em janeiro/2008.

1996

1997

1998

2000

Séries Aplicadas

2001

2002

2003

Ensino Médio

Ano

Ensino Fundamental

7ª 8ª 6ª 5ª 3ª 4ª 2ª 3ª 1ª 2ª 1ª

2004

2005

24

CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz

De acordo com a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo – SEE/SP,

o objetivo principal do SARESP é o de obter informações que possam ajudar

educadores e gestores de ensino no desenvolvimento de ações e elaboração de

propostas que possam intervir no sistema de ensino, a fim de superar os problemas

de aprendizagem existentes, bem como em propostas de ensino e de aprendizagem

significativas para o aluno.

Nessa perspectiva, o SARESP funciona como uma “bússola” no sentido de

orientar a SEE-SP quanto aos problemas de ensino e de aprendizagem. A SEE-SP o

considera como uma prova avaliativa, não punitiva, e fomentadora de mudanças

qualitativas na educação.

Como já foi dito, esta avaliação é dirigida a alunos da rede pública, porém, as

escolas da rede privada e da rede municipal também podem participar, por meio de

adesão.

Os resultados da avaliação e uma série de estudos estatísticos e pedagógicos

são colocados à disposição pela SEE-SP aos professores e gestores de ensino para

que tomem conhecimento sobre a qualidade do ensino oferecido no Estado, a fim de

que, a partir desses dados, adotem procedimentos e estratégias capazes de

contribuir efetivamente para a melhoria do processo de ensino e de aprendizagem.

A SEE/SP orienta que em todo início de ano que segue a aplicação do

SARESP, no período de planejamento escolar, os professores, juntamente com o

coordenador pedagógico, analisem o desempenho dos alunos em cada questão,

verificando em quais habilidades a média dos alunos obteve baixo índice de

desempenho e discutam quais estratégias devem ser desenvolvidas e que

conteúdos devem ser trabalhados com o objetivo de sanar as defasagens apontadas

pela referida avaliação.

25


Embora os objetivos gerais do SARESP venham se mantendo em todas as

suas edições, seu desenho apresentou algumas variações ao longo dos anos,

seguindo metodologias distintas, dificultando uma comparação entre os seus

resultados, como podemos verificar a seguir.

De 1996 a 1998 as provas do SARESP tiveram um caráter diagnóstico e seu

foco principal era o ensino. Realizaram-se no início do ano letivo, tratando-se,

portanto, de uma avaliação de entrada, na qual se examinavam conteúdos vistos

pelos alunos na série anterior.

Apenas duas séries do ensino fundamental participavam da avaliação, a qual

foi censitária em termos de escolas, porém, amostral em termos de alunos3.

Os componentes curriculares envolvidos foram o de Língua Portuguesa, com

Redação, e Matemática para as primeiras séries do ensino fundamental e, após a 4ª

série desse nível de ensino incluiu-se Ciências, História e Geografia.

Em 2000 o desenho original do SARESP foi mantido e iniciou-se a avaliação

do Ensino Médio, porém, as provas, tanto para o Ensino Fundamental quanto para o

Ensino Médio, foram realizadas ao final do ano letivo, com conteúdos da própria

série, tratando-se, portanto, de uma avaliação de saída.

Os componentes curriculares envolvidos foram: Língua Portuguesa (com

Redação), Matemática e Ciências para o Ensino Fundamental, e Língua Portuguesa

(com Redação), Matemática e Biologia para o Ensino Médio.

No ano seguinte, 2001, a avaliação foi censitária em termos de escolas e

alunos, com questões relacionadas à disciplina de Língua Portuguesa (com

Redação). Apenas os alunos das 4ª e 8ª séries do Ensino Fundamental participaram

dessa avaliação, a qual teve como foco principal o aluno e não mais o ensino, como

no início. 3 Censitária porque todas as escolas da Rede Pública Estadual participaram e amostral porque os alunos da Rede

Municipal e da Rede Particular não participaram da avaliação.

26


Nesse ano, os alunos que apresentaram um percentual de acertos menor que

50% tiveram que participar de uma recuperação chamada de “recuperação de férias”

e passaram por outra prova no âmbito do SARESP/2001, a partir da qual puderam

ser encaminhados para prosseguimento dos estudos ou para uma recuperação de

ciclo, realizada durante todo o ano letivo seguinte.

Dessa forma, os alunos que novamente obtiveram um desempenho abaixo da

média desejada, ou seja, 50% de acertos, foram matriculados na mesma série em

que cursavam, em uma sala constituída apenas com alunos nessas condições, os

quais, segundo orientações da SEE/SP, deveriam receber um tratamento

diferenciado de aprendizagem, porém, avaliados da mesma forma que os demais

alunos.

Em 2002, o SARESP voltou a ter como foco principal o ensino. Com

características amostrais em termos de alunos e censitárias em termos de escola, as

provas também foram aplicadas apenas para as séries finais dos ciclos I e II do

Ensino Fundamental, envolvendo somente o componente curricular de Língua

Portuguesa (com Redação).

Ressaltamos que, de um ano para outro, como pudemos verificar, as

mudanças foram feitas, porém, sem qualquer comunicado prévio ou justificativas do

porquê.

Em 2003 e 2004 o SARESP ampliou sua abrangência, avaliando todos os

alunos, escolas, séries e períodos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, por

meio de uma prova que contemplava as habilidades de Leitura e Escrita.

Somente a partir de 2003, a SEE-SP passou a fornecer a cada escola

participante do sistema o resultado individual de seus alunos.

Como ocorrido em 2004, em 2005 o SARESP caracterizou-se novamente

como uma avaliação externa, com a finalidade de avaliar as habilidades cognitivas

27


adquiridas pelos alunos ao longo do Ensino Fundamental e do Ensino Médio. Nesse

ano, além de Língua Portuguesa foram avaliadas também as habilidades em

Matemática.

Para atingir os objetivos propostos pela SEE/SP, as provas do SARESP

foram constituídas de 3 instrumentos, a saber:

• Dois cadernos de provas destinados à 1ª e à 2ª séries do ensino fundamental,

voltados à área de Leitura e Escrita e Matemática, com questões abertas.

• Cadernos de provas destinados às demais séries do ensino fundamental e às

séries do ensino médio constituídos de 26 questões objetivas de múltipla

escolha de Leitura/Escrita, seguidas de 26 questões, também objetivas de

múltipla escolha de Matemática.

• Um caderno com o tema para Redação e com um questionário sócio-

econômico e cultural, por meio do qual se obtém dados com o objetivo de que

possa traçar o perfil dos alunos e verificar as possíveis interferências desses

fatores na aprendizagem.

Neste ano, pela primeira vez, as provas foram aplicadas em dois dias. Os

alunos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio realizaram, no primeiro dia, as

provas de Língua Portuguesa e Matemática e, no segundo dia, a Redação e o

questionário. As provas foram realizadas no mesmo horário das aulas das

respectivas séries e aplicadas pelos professores da própria unidade escolar, porém

de outras séries e turmas que não aquelas em que aplicaram a prova.

As questões objetivas foram formuladas por uma empresa de assessoria

externa contratada.

28


Vale ressaltar que, segundo orientações da SEE/SP, as provas são

elaboradas com questões diferentes, por série e por período, porém, as provas de

uma mesma série, mas de períodos diferentes, devem ser equivalentes tanto nas

habilidades quantos nos processos cognitivos exigidos em cada questão.

Segundo a SEE-SP, a seleção e a definição dessas habilidades estavam, em

2005, fundamentadas nas Propostas Curriculares da Coordenadoria de Estudos e

Normas Pedagógicas - CENP/SEE (São Paulo, 1997) e nos Parâmetros Curriculares

Nacionais - PCN do Ensino Fundamental (BRASIL, 1998).

1.2 SOBRE OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS-PCN

Os PCN (BRASIL, 1998) constituem um documento de ordem didática e cunho

construtivista, que contém orientações relativas a conceitos e procedimentos

matemáticos, permitindo uma análise sobre os obstáculos que podem surgir na

aprendizagem de certos conteúdos dessa disciplina, sugerindo alternativas que

possam favorecer sua superação pelos professores em sua prática escolar.

Foi estabelecido pela União, em colaboração com os estados, o Distrito

Federal e os municípios e elaborado com o objetivo de definir diretrizes para nortear

os currículos nas escolas.

Os Parâmetros Curriculares Nacional da área de Matemática para o Ensino Fundamental (7 a 14 anos) buscaram expressar a contribuição das investigações e das experiências na área de Educação Matemática. Eles explicitaram o papel da Matemática pela proposição de objetivos que evidenciam a importância de o aluno valorizá-la como instrumental para compreender o mundo à sua volta, e de vê-la como área do conhecimento que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas (PIRES, 2005, p.16).

29


Dessa forma, acreditamos que a implantação das orientações propostas

pelos PCN (BRASIL, 1998), ou seja, a sua incorporação à prática de sala de aula

pelos professores, protagonistas dessa implantação, bem como a apresentação de

um currículo oficial que sirva de referência para o sistema escolar do país, fazem

com que as pessoas envolvidas com a produção de livros didáticos, paradidáticos e

outros materiais relacionados à educação se adaptem aos currículos estabelecidos

como parâmetro no referido documento.

Essa é uma visão que faz parte do estudo realizado por Chevallard (1991),

denominada transposição didática.

[...] a transposição didática diz respeito ao processo de mudanças e adaptações que sofre o saber formal, tal qual é cultivado nos laboratórios e demais ambientes acadêmicos em que é produzido, quando se deseja passar (ou transpor) tal saber para os currículos e programas da formação escolar.(DA ROCHA FALCÃO, 2003, p.1)

Nossa compreensão sobre os objetivos dos Parâmetros Curriculares Nacional

de Matemática - PCN (BRASIL,1998) é de que vem oferecer aos profissionais da

educação, subsídios para uma discussão sobre o ensino e sobre a aprendizagem da

matemática.

Para que tais objetivos sejam atingidos faz-se necessário ao professor:

• Identificar as principais características dessa ciência, de seus

métodos, de suas ramificações e aplicações. • Conhecer a história de vida de seus alunos, seus conhecimentos

informais sobre um dado assunto, suas condições sociológicas, psicológicas e culturais.

• Ter clareza de suas próprias concepções sobre a matemática, uma vez que a prática em sala de aula, as escolhas pedagógicas, a definição de objetos e conteúdos de ensino e as formas de avaliação estão intimamente ligadas a essas concepções. (BRASIL, 1998, p.36).

30


De acordo com os PCN (BRASIL, 1998), a resolução de problemas deveria

ser o ponto de partida para a construção de um conhecimento matemático

significativo, em que os alunos se sintam desafiados e se dediquem a desenvolver

habilidades, construir estratégias de resolução, comprovar essas estratégias e

justificar os resultados obtidos.

Tais conhecimentos exigem do aluno a iniciativa pessoal e o trabalho em

equipe, favorecendo a autonomia e confiança em sua própria capacidade.

A adoção da solução de problemas como atividade nas diversas disciplinas que compõem a grade curricular é indicada com o objetivo de possibilitar aos alunos o desenvolvimento de suas habilidades e estratégias para solucionar problemas, uma vez que, sem procedimentos adequados e eficazes, quer dizer, habilidades e estratégias, o aluno não será capaz de solucionar problemas. (QUINTILIANO e BRITO, 2006, p. 5).

Todavia, tal atividade dificilmente tem sido desenvolvida com sucesso, tendo

em vista a dificuldade de muitos na leitura e na interpretação dos textos

matemáticos.

Dessa forma, a resolução de problemas passa a ser apenas uma atividade

para aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos e não como

uma atividade de ponto de partida, o que seria adequado.

Segundo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), uma situação-problema só pode

ser considerada como algébrica se sua resolução necessitar, de forma retórica ou

simbólica, de operações, incógnitas e leis aritméticas que legitimem as

transformações entre os dois membros de uma igualdade.

Os PCN (BRASIL, 1998) nos apresentam alguns princípios para a resolução

de problemas sendo um deles de que uma situação-problema pode servir como

ponto de partida para a atividade matemática e não como definição.

31


No processo de ensino e de aprendizagem, os conceitos matemáticos devem

ser abordados mediante a exploração de problemas, de forma que os alunos

precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-los.

Segundo os PCN (BRASIL, 1998), uma atividade em que o aluno aplica, de

forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório não se caracteriza

em um problema. Só existirá problema se o aluno for desafiado e motivado a

interpretar o enunciado da questão que lhe é proposta e a modelizar, estruturar a

situação que lhe é apresentada para a sua resolução.

Para resolver certo tipo de problema o aluno mobiliza conhecimentos

adquiridos e os utiliza para apreensão de novos conceitos, procedimentos e atitudes

matemáticas, o que exige do aluno conjecturas, transferências, retificações e

verificações de hipóteses.

Concluímos, dessa forma, que os princípios estabelecidos pelos PCN

(BRASIL, 1998) vão ao encontro do estudo sobre os níveis de mobilização de

conhecimentos (técnico, mobilizável e disponível), realizados pela pesquisadora

Aline Robert (1998), os quais podem nos auxiliar a detectar em que nível se encontra

nossos alunos, para que possamos propor atividades que envolvam conceitos

matemáticos, fazendo com que eles, ao realizarem tais atividades, construam seus

conhecimentos e trabalhem em diferentes níveis.

Sabemos que os conhecimentos necessários para a resolução de um

problema podem não estar disponíveis para o aluno em um primeiro momento e que

isso nem sempre é explicitado pelo professor, o qual parte do pressuposto de que

seus alunos possuem tais conhecimentos e os utilizem para estruturar uma solução.

32


Quando isso acontece, ou seja, quando não há disponibilidade de

conhecimentos necessários por parte dos alunos, o professor poderá mediar,

fazendo com que eles relembrem tais conteúdos.

Assim, para que o aluno alcance uma solução bem sucedida quando resolve

um problema, é necessário que siga alguns passos ou etapas propostas por Polya

(1978), ou seja, o aluno deve compreender o problema, elaborar um plano e buscar

estratégias de resolução, reconhecer os procedimentos necessários para a resolução

e, finalmente, comparar, verificar e interpretar a solução encontrada.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL, 1998),

o ensino de matemática deve ter como objetivo o desenvolvimento do pensamento

algébrico, o qual deve ocorrer por meio de situações de aprendizagem que levem o

aluno a reconhecer diferentes representações algébricas, as quais permitam

generalizar propriedades e compreender os procedimentos envolvidos na resolução

de uma situação-problema.

O estudo da álgebra constitui um espaço bastante significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização, além de lhe possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para resolver problemas. (BRASIL, 1998, p. 115).

Os PCN do Ensino Fundamental (BRASIL, 1998), estabelecem que as noções

e linguagens algébricas devem ser exploradas por meio de generalizações e

representações matemáticas para que o pensamento algébrico não se resuma em

um ato mecânico, com o simples objetivo de resolver equações.

Dessa forma, com relação ao terceiro ciclo, os PCN (BRASIL, 1998) nos

dizem que o pensamento algébrico deve ser desenvolvido por meio de situações de

aprendizagem que levem o aluno a:

33


• Reconhecer que representações algébricas permitem expressar

generalizações sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir situações-problema e favorecer as possíveis soluções.

• Traduzir informações contidas em tabelas e gráficos em linguagem algébrica e vice-versa, generalizando regularidades e identificar os significados das letras.

• Utilizar os conhecimentos sobre as operações numéricas e suas propriedades para construir estratégias de cálculo algébrico. (BRASIL, 1998, p.64).

Relativamente ao quarto ciclo, ou seja, oitavo e nono ano (antiga sétima e

oitava séries do ensino fundamental), o ensino de matemática deve priorizar o

desenvolvimento do pensamento algébrico por meio da exploração de situações-

problema que permitam ao aluno produzir e interpretar diferentes representações

algébricas como expressões, equações e inequações, bem como compreender os

procedimentos algébricos envolvidos para resolução de tal conteúdo.

O pensamento algébrico pode ser caracterizado por elementos diferentes, em

atividades que exijam percepção de regularidades, percepções de aspectos

invariantes em contraste com outros que variam, tentativas de expressar ou explicitar

a estrutura de uma situação-problema e a presença do processo de generalização.

(FIORENTINI, MIORIM E MIGUEL, 1993, p.87).

Os conceitos e procedimentos algébricos são bastante complexos aos alunos,

os quais, além de apresentarem dificuldade na interpretação do texto matemático e

de encarar a necessidade de mobilizar conhecimentos a fim de modelizar o

problema, confundem o papel da letra, ou seja, a noção de variável e incógnita.

Utilizamos a letra como uma incógnita quando ela estiver representando um

número desconhecido. Quando ela pode assumir vários valores num conjunto

específico, estabelecendo, também, uma relação entre dois conjuntos é chamada de

variável.

34


[...] O ensino da álgebra precisa continuar garantindo que os alunos trabalhem com problemas que lhes permitam dar significado à linguagem e às idéias matemáticas. Ao se proporem situações-problema bastante diversificadas, o aluno poderá reconhecer diferentes funções da álgebra (ao resolver problemas difíceis do ponto de vista aritmético, ao mobilizar, generalizar e demonstrar propriedades e fórmulas, estabelecer relações entre grandezas) (BRASIL, 1998, p. 84).

Um professor pode reconhecer facilmente que um conteúdo matemático pode

estar diretamente ligado a outro conteúdo, ou seja, para a compreensão de um novo

conhecimento é necessário mobilizar alguns conhecimentos já interiorizados, fato

esse que nem sempre é percebido pelos alunos.

O trabalho com a álgebra, suas diferentes linguagens e representações, não

exclui essa idéia, ao contrário, estará sempre presente em atividades e problemas

envolvendo outros conteúdos matemáticos, os quais exigirão do aluno a manipulação

de conceitos já adquiridos para, e em muitos deles, realizarem a conversão da

representação da língua natural para a linguagem algébrica.

No SARESP/2005 os conteúdos algébricos avaliados foram operações com

números racionais, problemas de contagem, proporcionalidade, porcentagem e juros

simples, expressões algébricas, equações polinomiais do primeiro grau, sistemas de

equações polinomiais do primeiro grau e inequações do primeiro grau, como

observado no Quadro 2, no qual consta a descrição das habilidades exigidas para os

alunos do 8º ano (antiga 7ª série do Ensino Fundamental), divulgadas pela SEE/SP.

Salientamos que no Quadro 2 constam apenas as habilidades referentes ao

tema estudado nesta pesquisa, as quais foram retiradas de uma matriz de

especificação de matemática, anexa a este trabalho.

35


QUADRO 2: MATRIZ DE ESPECIFICAÇÃO - MATEMÁTICA 7ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL

CONTEÚDOS DESCRIÇÃO DAS HABILIDADES

1. Resolver situação-problema, compreendendo diferentes significados das operações, envolvendo números racionais.

2. Resolver situação-problema de contagem que envolve o

princípio multiplicativo. 3. Resolver situação-problema que envolve grandezas diretamente

proporcionais. 4. Resolver situação-problema que envolve grandezas

inversamente proporcionais.

5. Resolver situação-problema que envolve cálculo de juros simples 6. Resolver equações do 1º grau com uma incógnita. 7. Resolver situação-problema por meio de equação do primeiro grau. 8. Resolver situação-problema por meio de um sistema de equações do primeiro grau,

9. Resolver situação-problema por meio de inequação do primeiro grau.

NÚMEROS E

OPERAÇÕES

10. Efetuar operações com expressões algébricas.

Acreditamos que para que haja uma boa compreensão dos conceitos

algébricos, faz-se necessário um trabalho da Álgebra com suas várias

representações, em níveis de conhecimento diferentes, exigindo do aluno a

mobilização de seus conhecimentos e articulação de estratégias para a resolução de

uma atividade.

Os resultados da avaliação do SARESP/2005 e uma série de estudos

estatísticos e pedagógicos foram colocados à disposição pela SEE-SP aos

36


professores e gestores de ensino para que tomem conhecimento sobre a qualidade

do ensino oferecido na Rede Estadual de São Paulo, a fim de que, a partir desses

dados, adotassem procedimentos e estratégias capazes de contribuir efetivamente

para a melhoria do processo de ensino e de aprendizagem.

Apresentamos, a seguir, os resultados da prova de matemática realizada no

SARESP/2005, os quais foram divulgados pela SEE-SP para conhecimento e

análise, e que estão disponíveis no site da Secretaria de Educação do Estado de

São Paulo.

TABELA 1: DIAGNÓSTICO GERAL DO ESTADO DE SÃO PAULO POR SÉRIE E POR PERÍODO

Matemática Percentual médio de acerto

SÉRIE MANHÃ TARDE NOITE3 EF 50,1 50,7 -4 EF 42,5 41,6 -5 EF 39,7 41,1 43,26 EF 41,8 40,9 40,27 EF 37,1 35,1 32,68 EF 31,8 30,5 32,21 EM 35,4 32,3 36,52 EM 29,9 32,2 29,63 EM 27,7 31,4 28,8

Fonte: http://saresp.edunet.sp.gov.br/2005/, acesso em março/2008.

Analisando os dados acima, constata-se que a média de acertos dos alunos

do ensino público estadual não ultrapassa os 37%.

Percebe-se, ainda, que de todas as séries avaliadas, apenas a 3ª série do

Ensino Fundamental, tanto do período da manhã quanto do período da tarde, obteve

um percentual médio de acerto acima dos 50% e que as séries finais de ciclos (4ª

série e 8ª série do Ensino Fundamental e 3º ano do Ensino Médio) tiveram uma

média de acertos menor em relação às séries precedentes.

37


Nota-se também que, com relação à 7ª série, os alunos do período da manhã

atingiram um índice maior que os alunos dos outros períodos, com uma diferença de

2% em relação ao período da tarde e de 4,5% em relação ao noturno.

TABELA 2: DIAGNÓSTICO GERAL DA DIRETORIA DE ENSINO DE OSASCO, POR SÉRIE E POR PERÍODO



Com relação à 7ª série do ensino fundamental, o percentual médio de acertos

dos alunos pertencentes à Diretoria de Ensino de Osasco foi de 35,25%.

É interessante notar, na tabela acima, que todas as séries do período noturno

tiveram um melhor desempenho em relação a outros períodos, o que nos chama

atenção e nos leva a refletir sobre qual o motivo desse dado. Será que o

desempenho dos alunos do noturno está relacionado à sua maturidade, uma vez que

a maioria dos alunos desse período são trabalhadores?

Novamente constatamos o fato de que na Diretoria Regional as séries finais

de ciclos também foram as que tiveram o menor desempenho em relação às séries

precedentes.

SÉRIE MANHÃ TARDE NOITE

3 EF 49,9 44,4 -

4 EF 39,6 39,9 -

5 EF 38,7 41,3 -

6 EF 38,6 39,8 -

7 EF 35,1 35,4 -8 EF 31,1 29,7 37

1 EM 33,3 28,3 35,2

2 EM 27,9 - 29,13 EM 26,1 - 27,5

38


TABELA 3: DIAGNÓSTICO GERAL DA ESCOLA E. E. DR. ANTONIO BRAZ GAMBARINI, POR SÉRIE E POR PERÍODO


SÉRIE MANHÃ TARDE NOITE

- - - -

- - - -

5 EF - 45,4 -

6 EF - 42,1 -

7 EF 38,2 37,4 -8 EF 31,6 - -

1 EM 34,8 - 38,8

2 EM 26,7 - 30,43 EM 23,4 - 27


A tabela acima se refere ao percentual médio de acertos obtido na escola em

que fizemos a aplicação das questões utilizadas nesta pesquisa.

Verifica-se que a média de acertos dos alunos pertencentes à 7ª série do

ensino fundamental foi de 37,8%%, sendo superior ao percentual de acertos obtidos

tanto no Estado, quanto na Diretoria de Ensino.

Acreditamos que esse resultado, ainda que melhor, porém não satisfatório,

deve-se ao fato de que há um número bastante razoável de professores efetivos que

atuam nesta unidade escolar já há um bom tempo, havendo assim, um número

reduzido da rotatividade de professores, como aparentemente ocorre em muitas

escolas.

Verifica-se, ainda, que o resultado desta escola no Ensino Médio do período

noturno está condizente com o resultado obtido pela Diretoria de Ensino.

39


Aproveitamos os dados anteriormente apresentados e fizemos um gráfico

comparativo das três tabelas, referentes aos resultados obtidos pelos alunos da 7ª

série do Ensino Fundamental, para uma melhor análise.

33,5

34

34,5

35

35,5

36

36,5

37

37,5

38

38,5

PERCENTUAL DEACERTOS DO ESTADO

PERCENTUAL DEACERTOS DA D.E.

PERCENTUAL DEACERTOS DA ESCOLA

7ª sériemanhã

7ª sérietarde

Gráfico 1: Comparativo do Desempenho dos alunos da 7ª série do E.F.

Podemos observar que embora o percentual de acertos da escola pesquisada

esteja acima da média de acertos dos outros dois níveis, nenhum deles atingiu a

média de 50% de acertos.

Dessa forma, os dados oferecidos a partir da realização do SARESP servem

como ferramenta de orientação para realização do planejamento do professor e na

elaboração de planos e estratégias, a fim de melhorar as práticas pedagógicas em

cada unidade escolar.

Já foi dito no início desta pesquisa que o SARESP/2005 teve como

fundamento teórico os níveis de mobilização de conhecimentos pelos alunos de Aline

Robert, como podemos observar por meio das orientações dadas pela SEE-SP.

(SÃO PAULO, 2005, p. 5).

40


[...] Para as provas, as questões devem ser elaboradas a partir de contextos que confiram significados. É fundamental que na formulação de questões seja considerado o nível de conhecimento mobilizado na resolução da questão, de modo a promover uma diversidade de possibilidades. Sugerimos como referência a classificação de Aline Robert, que em seu artigo “Ferramentas de análise de conteúdos a ensinar” (1998) classifica o funcionamento de conhecimento pelos alunos em três níveis: técnico, mobilizável e disponível [...] A porcentagem para essa distribuição pode ser a seguinte:

Deve-se privilegiar a resolução de problemas em todos os itens em especial as de nível mobilizável e disponível. (SÃO PAULO, 2005, p. 5).

Apesar de tal orientação ter sido dada às Diretorias regionais do Estado de

São Paulo, somente foram repassadas a alguns professores após a realização da

referida prova, quando, em nossa opinião, deveria ser repassada a todos os

professores, antes da realização da prova, uma vez que são eles sujeitos, gestores e

reguladores do processo de ensino e da aprendizagem com seus alunos.

Gostaríamos de registrar o fato de que, de acordo com nossa experiência,

percebemos que grande parte dos professores da rede estadual de ensino não tem

conhecimento de tal teoria, ou seja, não foram capacitados para trabalhar com seus

alunos de acordo com esta orientação.

Além disso, como a avaliação do SARESP/2005 está fundamentada na teoria

de Robert (1998), acreditamos que a análise sobre o desempenho dos alunos

também deveria contemplar tal teoria, a fim de que pudéssemos verificar em que

nível os alunos se encontram.

No entanto, a análise feita pela SEE/SP foi realizada em níveis de escalas de

desempenho, como mostrado no Quadro 3.

Nível Percentual

Técnico 20

Mobilizável 50

Disponível 30

41


QUADRO 3: ESCALA DE DESEMPENHO DE MATEMÁTICA – 7ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL NÍVEL DESCRIÇÃO

ABAIXO DO

NÍVEL 1

Alunos que não demonstram domínio das habilidades avaliadas pelos itens da prova

. NÍVEL 1

Os alunos resolvem situação-problema compreendendo diferentes operações com números naturais.

NÍVEL 2

Os alunos resolvem situação-problema envolvendo grandezas direta e inversamente proporcionais. Utilizam propriedades de triângulos (como o reconhecimento dos casos de congruência). Associam dados de uma tabela simples a um gráfico de setores e resolvem situação-problema simples de contagem envolvendo o princípio multiplicativo.

NÍVEL 3

Os alunos resolvem situação-problema por meio de inequação do primeiro grau. Resolvem situação-problema envolvendo unidade de medida de tempo e fazem conversões. Reconhecem figuras tridimensionais representadas por diferentes vistas e utilizam relações de igualdade ou de suplementaridade entre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. Resolvem situação-problema com dados expressos em tabelas simples e de dupla entrada e associam dados de tabelas simples a um gráfico de colunas.

NÍVEL 4

Os alunos resolvem situações-problema envolvendo cálculo de juros simples. Resolvem problemas envolvendo a resolução de uma equação do primeiro grau com uma incógnita ou um sistema de equações do primeiro grau. Identificam arestas paralelas em paralelepípedos retângulos e determinam o número de diagonais de um quadrado. Resolvem situação-problema envolvendo grandezas determinadas pela razão de duas outras (velocidade e tempo, por exemplo).

NÍVEL 5

Os alunos efetuam operações com expressões algébricas. Calculam área de superfícies planas por meio da composição e decomposição de figuras e determinam a soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer. Identificam o espaço amostral adequado para analisar um experimento aleatório.

Fonte: Relatório do SARESP/2005. (SÃO PAULO, 2006, p. 82).

42


De acordo com o Quadro 3, percebemos que, na análise feita pela SEE/SP,

um aluno que é capaz de resolver uma situação-problema compreendendo diferentes

operações com números naturais estará no nível 1.

Se o aluno possuir, além da habilidade do nível 1, a capacidade de resolver

situação-problema envolvendo grandezas direta e inversamente proporcionais,

utilizar propriedades de triângulos, associar dados de uma tabela simples a um

gráfico de setores e ainda resolver situações-problema simples de contagem estará

no nível 2.

Verificamos, ainda, que se o aluno for capaz de resolver uma situação-

problema por meio de uma inequação do primeiro grau estará no nível 3, no entanto,

se ele for capaz de resolver uma situação-problema envolvendo uma equação

polinomial do primeiro grau estará no nível 4.

Fizemos a seguinte reflexão:

Em primeiro lugar, a expressão “resolver uma situação-problema por meio de

uma inequação” significa que o aluno deverá utilizar uma inequação em sua

resolução, ou seja, utilizar-se do registro de representação algébrico para a

resolução, entretanto, como a prova do SARESP/2005 era composta por questões

alternativas e a correção foi realizada observando-se somente a alternativa

assinalada, como é que saberemos se o aluno resolveu a situação-problema “por

meio de uma inequação”?

Em segundo lugar, um aluno no nível 4 é capaz de resolver uma situação-

problema envolvendo uma equação do primeiro grau. O fato da situação-problema

envolver uma equação, não obriga o aluno a se utilizar dessa estratégia, além disso,

como um aluno com essa habilidade poderá estar em um nível superior a um aluno

que é capaz de resolver uma situação-problema por meio de uma inequação, sendo

43


que o ensino sobre o conteúdo de equações polinomiais do primeiro grau precede ao

ensino de inequações do primeiro grau?

Observamos, ainda, o fato de que um aluno que é capaz de efetuar operações

com expressões algébricas está no nível 5, porém, de acordo com nossa

experiência, se o aluno é capaz de resolver uma equação e/ou uma inequação do

primeiro grau, ele opera com as expressões algébricas pois de acordo com Duval

(2003), as operações com expressões algébricas ocorrem no tratamento que é feito

na resolução de uma equação e de uma inequação do primeiro grau.

Diante do acima exposto, ficamos com dúvida: Em que nível estará o aluno

que é capaz de efetuar operações com expressões algébricas, resolver uma

situação-problema que envolve uma equação do primeiro grau, mas não é capaz de

resolver situações-problema por meio de uma inequação do primeiro grau?

As questões acima colaboram para acreditarmos que a teoria sobre os níveis

de mobilização dos conhecimentos de Aline Robert (1998) nos ajudaria para uma

análise mais eficaz sobre o desempenho dos alunos.

No capítulo seguinte, apresentaremos com maior aprofundamento a teoria de

Aline Robert (1998), a qual reafirmamos que deveria ser utilizada também para a

análise do desempenho dos alunos no SARESP/2005, uma vez ter sido orientação

da SEE/SP sua utilização para elaboração das questões.

45

CAPÍTULO 2

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A escolha deste referencial deveu-se ao fato de que, segundo documento

enviado às Diretorias Regionais de Ensino, as questões do SARESP/2005 deveriam

estar fundamentadas na teoria de Robert (1998).

Considerando, ainda, que as questões que utilizamos como instrumento de

análise do desempenho dos alunos são questões que poderiam ser solucionadas

utilizando-se uma mudança de registro de representação semiótica, ou seja, a

passagem do registro da língua natural para um registro na linguagem algébrica, nos

apoiaremos também na teoria de Duval (2003).

Contudo, achamos conveniente iniciarmos com a descrição de alguns

trabalhos sobre a linguagem matemática, por considerarmos que os registros de

representação estão diretamente ligados com esta linguagem.

2.1 A LINGUAGEM MATEMÁTICA

A linguagem matemática é um sistema simbólico de caráter formal, cuja elaboração é indissociável do processo de construção do conhecimento matemático e tem como função principal converter conceitos matemáticos em objetos mais facilmente manipuláveis e calculáveis, possibilitando inferências, generalizações e novos cálculos que, de outro modo, seriam impossíveis. (GRANELL, 1997, apud SANTOS, 2005, p. 117).

As dificuldades de aprendizagem em matemática têm muitas origens, mas

grande parte delas decorre das diferentes formas de linguagem, mais precisamente

da linguagem matemática (SANTOS, 2005).

46


Nas aulas de matemática, a comunicação entre professores e alunos é

realizada empregando-se vários tipos de linguagem: corporal, gestual, gráfica,

escrita, verbal e matemática.

Segundo Lorenzato (2006), entende-se por comunicação toda produção de

mensagens realizadas em sala de aula, chamadas de linguagem, sejam elas

correntes, escritas, pictóricas, gestuais e outras.

A linguagem representa um sistema simbólico que permite a comunicação

entre os sujeitos envolvidos e a expressão de idéias, estabelecendo relações e

significados entre objetos.

A matemática, apesar de seu caráter de linguagem precisa e formal, necessita

do conhecimento da língua materna, mesmo que na forma oral, para o

desenvolvimento de seus conceitos.

Salmazo (2005) apresenta em sua pesquisa, algumas expressões utilizadas

em nosso cotidiano, nas quais a linguagem usual e a linguagem matemática se

misturam.

[...] Chegar a um denominador comum. Dar as coordenadas. Aparar as arestas. Sair pela tangente. Ver de um outro ângulo. O xis da questão. O círculo íntimo. A esfera do poder. Possibilidades infinitas. Perdas incalculáveis, Numa fração de segundos. No meio do caminho. Semelhança, equivalência, estrutura, função, categoria, etc. (MACHADO, 1993, p. 97, apud SALMAZO, 2005, p. 28).

Para Machado (1993), nunca houve uma articulação entre o ensino da

matemática e o da língua materna, com o objetivo de uma ação conjunta para a

obtenção de uma relação mais próxima, minimizando suas diferenças.

Viali e Silva (2007) reafirmam a teoria de Duval (2003) quando ressaltam que

em determinada etapa da escolaridade, as situações-problema exigem dos alunos,

além da leitura e de conhecimentos específicos, o domínio dos códigos e

47


nomenclatura da linguagem matemática, a compreensão e interpretação de

diagramas, tabelas e gráficos e a relação entre estas formas de registros com a

linguagem discursiva.

Ler e escrever na língua materna não é a única forma de interpretar, explicar e analisar o mundo. A Matemática é outra dessas formas que tem seus códigos e linguagem própria e um sistema de comunicação e de representação da realidade construído ao longo de sua história. A linguagem matemática desempenha um papel significativo dentro da Matemática e da cultura (VIALI e SILVA, 2007, p.2).

Acreditamos, portanto, que nós professores devemos estar atentos aos

diferentes tipos de linguagem utilizados em sala de aula, deixando claro aos alunos

que a linguagem matemática, assim como a língua materna, possui o seu rigor

próprio de escrita.

2.2 SOBRE OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA

Segundo Duval (2003), na aprendizagem de matemática pelos alunos devem

ser observadas duas características: a importância das representações semióticas e

a grande variedade dessas representações.

Duval (2003) designa como registros os vários tipos de representações

semióticas que utilizamos em matemática, ou seja, língua natural, simbólico

(numérico ou algébrico), figuras geométricas e gráficos cartesianos.

Como o principal objetivo dessa pesquisa é o de analisar o desempenho dos

alunos do 8º ano (antiga 7ª série do Ensino Fundamental) na resolução de questões

que envolvem a conversão do registro de representação semiótica da língua natural

para o registro algébrico, nos prenderemos a apenas três tipos de registros: língua

48


natural (apresentado no enunciado do exercício), numérico (quando o aluno se

utilizar apenas de processos aritméticos para a resolução) e o registro algébrico

(quando o aluno se utilizar de equações/expressões algébricas para a resolução).

A língua natural é, segundo Duval (2003), um registro multifuncional, ou seja,

os tratamentos não são algoritmizáveis e, o registro numérico são registros

monofuncionais, possuem algoritmos próprios.

Uma situação-problema exige do aluno conhecer ao menos dois registros de

representação semiótica ao mesmo tempo, podendo, porém, um deles, ser mais

utilizado do que o outro.

Os registros de representação semiótica podem sofrer dois tipos de

transformações denominadas por Duval (2003) de tratamentos e conversões.

Os tratamentos ocorrem quando, apesar da transformação, o registro

permanece no mesmo sistema, como, por exemplo: Dada a equação polinomial do 1º

grau 2x + 5 + 3x = 10, fazendo um tratamento algébrico, isto é, aplicando o princípio

de equivalência temos 5x = 5.

As conversões ocorrem quando há a mudança de sistema, porém, conservam-

se as mesmas referências ao objeto estudado.

Na resolução de uma situação-problema a conversão ocorre quando da

passagem do enunciado na língua natural para o registro numérico ou algébrico,

como por exemplo, a representação da sentença: “Qual é o número que, adicionado

a 2 resulta em 3?” que, fazendo a conversão para o registro algébrico temos x + 2 =

3 e, para o registro numérico 1 + 2 = 3.

Duval (2003) observa que, do ponto de vista matemático, a conversão não é

tão importante, porém, do ponto de vista cognitivo ela é uma atividade fundamental,

subjacente à compreensão e também muito complexa, principalmente quando se

trata do registro da língua natural.

49


[...] A situação se torna mais complexa quando um dos registros é um registro plurifuncional, como o da língua natural ou das figuras geométricas. Basta lembrar, aqui, as questões – há decênios recorrentes - de compreensão dos mais simples enunciados de problemas de aplicação de aritmética ou álgebra, em que seria suficiente “traduzir” os dados do enunciado. Na realidade, a passagem de um enunciado em língua natural a uma representação em um outro registro toca um conjunto complexo de operações para designar objetos. (DUVAL, 2003, p.18).

Para Duval (2003) é importante estar atento ao sentido da conversão, ou seja,

os registros de partida e os de chegada, e devem ser trabalhadas atividades

matemáticas que exijam dos alunos a inversão desses sentidos, o que, em nossa

prática docente temos percebido que isso nem sempre ocorre, ou seja, vemos muitas

atividades que exigem dos alunos a conversão do registro de representação

semiótica da língua natural para o registro algébrico, porém, dificilmente são

apresentadas atividades escritas no registro algébrico, que façam com que nossos

alunos esquematizem uma situação-problema que as representem.

Estudos mostram que as dificuldades dos alunos nas diferentes séries

aumentam quando lhes é exigida uma mudança de registro ou quando se faz

necessária a mobilização de mais de um registro, isto porque, segundo Duval, [...]

passar de um registro de representação a outro não é somente mudar de modo de

tratamento, é também, explicar as propriedades ou os aspectos diferentes de um

mesmo objeto. (2003, p.22).

Nessa perspectiva, Duval (2003) ressalta que a originalidade da atividade

matemática está na possibilidade de mobilizar pelo menos dois registros de

representação ao mesmo tempo, ou de ser capaz de, a cada momento, mudar o tipo

de registro de representação semiótica.

Dessa forma, para que o processo de ensino e de aprendizagem ocorra, há

necessidade de se dar atenção à relação entre conteúdo e método de ensino, bem

50


como à manifestação de diferentes formas de comunicação e aos muitos significados

presentes nas noções matemáticas em sala de aula.

Saber matemática não é saber apenas operar símbolos ou fazer cálculos, mas

sim, até mais importante, é a capacidade de interpretar, analisar, sintetizar, significar,

justificar, conceber, projetar, estimar.

No ensino aprendizagem da Matemática, os aspectos lingüísticos precisam ser considerados inseparáveis dos aspectos conceituais para que a comunicação e, por extensão, a aprendizagem aconteçam. (SANTOS, 2005, p.119).

A versatilidade da linguagem matemática faz com que professores e alunos

tenham dificuldades para entendê-la, pois uma mesma propriedade pode ser

apresentada sob várias visões. Vejamos o exemplo dado por Lorenzato (2006).

[...] o produto (a + b) (a + b), isto é, (a + b)2, o qual, quando alunos, decoramos ser igual a (a2+2ab+b2), na linguagem simbólica algébrica; na linguagem retórica algébrica, (a+b)2 seria assim escrito: “o quadrado da adição de dois números é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo”. Particularizando, na linguagem simbólica aritmética, teríamos (2+5)2 = 22+2.2.5+52. Esta mesma verdade seria apresentada pela linguagem operacional aritmética assim: 2 + 5 x 2 + 5 10+25 4+10 4+20+25 Finalmente, na linguagem geométrica, teríamos:

51


[...] a linguagem matemática, devido às suas características atuais, é muito útil; no entanto, ela pode tornar-se um forte complicador para a aprendizagem da matemática e, por isso, demanda especial atenção do professor. (LORENZATO, 2006, p.48).

Diante disso, acreditamos na importância do desenvolvimento de um trabalho

nas aulas de matemática sobre os termos próprios dessa ciência e seus significados,

uma vez que estão diretamente ligados à aprendizagem dos alunos.

Segundo Lochhead e Mestre (1995), para amenizar as dificuldades que

freqüentemente aparecem em tarefas que envolvem a conversão do registro da

língua natural para o registro algébrico, é necessário que o professor faça um amplo

trabalho com seus alunos, da tradução de sentenças que exigem tal conversão,

isolada de outros aspectos da resolução de problemas.

Um trabalho desenvolvido com o objetivo acima, propicia, inclusive, a

interdisciplinaridade, ou seja, um trabalho em conjunto com professores da Língua

Portuguesa, podendo sanar parte das dificuldades encontradas pelos alunos quando

da leitura de enunciados de atividades matemáticas.

Para elucidar o leitor, escrevemos, abaixo, dois enunciados de uma mesma

atividade.

1. Em uma rodovia devem ser instalados dois telefones públicos entre o

quilômetro 6 e o quilômetro 24. Sabendo que nos quilômetros 6 e 24 já

existe telefone público instalado, determine em quais quilômetros os dois

outros telefones devem ser instalados, de maneira que a distância entre

eles sejam iguais.

2. Interpole dois meios aritméticos entre 6 e 24.

No primeiro, contextualizado, o aluno, mesmo sem saber qual o conteúdo

envolvido, sabe o que deverá ser feito. Fixando a representação dos quilômetros 6 e

52


24 sobre um segmento de reta, verificará que para a instalação de mais dois

telefones entre esses dois quilômetros deverá dividir a distância entre eles em três

partes iguais, ou seja, 26 – 6 = 18 e 18:3 = 6. Portanto, os novos telefones deverão

ser instalados a uma distância de 6 quilômetros entre eles, ou seja, quilômetros

12, o mesmo que 6 + 6, e 18 o mesmo que 12 + 6.

Já no segundo enunciado, as expressões interpole e meios aritméticos são

utilizadas muito mais na disciplina de matemática, quando se estuda progressões

aritméticas e, se não forem explicadas, os alunos não saberão como realizar a

atividade, ou seja, não saberão que interpolar é o mesmo que inserir, colocar entre 6

e 24 e, meios aritméticos significa que os marcos quilométricos deverão estar em

uma progressão aritmética.

2.3 SOBRE OS NÍVEIS DE MOBILIZAÇÃO DE CONHECIMENTOS

Robert (1998), afirma que para que o aluno realize uma atividade ele deve ser

capaz de mobilizar conhecimentos em três níveis: técnico, mobilizável e

disponível.

Assegura que um trabalho que considera os três níveis de conhecimentos

apresentados permite ao professor diagnosticar os conhecimentos prévios esperados

dos alunos e o auxilia na elaboração de tarefas que envolvam conceitos

matemáticos, permitindo aos mesmos, quando da realização da tarefa, construírem

conhecimentos.

Esclarecemos que as palavras “tarefa” e “atividade” para a autora possuem

significados diferentes, ou seja, considera-se como “tarefa” o enunciado do exercício

e como “atividade” o trabalho efetivo do aluno.

53


NÍVEL TÉCNICO

Uma situação-problema está em um nível técnico quando, em seu enunciado,

encontramos todos os elementos necessários para a sua resolução.

Uma tarefa neste nível deixa explícito, ainda, qual o caminho e estratégia que

o aluno deverá percorrer. Estas tarefas são, geralmente, apresentadas com o

objetivo de fazer com que o aluno compreenda e aplique uma determinada definição.

Para esclarecimento do leitor, daremos, a seguir, como exemplo de uma tarefa

neste nível, a questão de número 6 da prova do SARESP – 2005, aplicada ao 8º ano

(antiga 7ª série do Ensino Fundamental) do período da manhã.

Ao resolver a equação, 3x – 6 = 10 – 7x, encontramos: (A) x = 0,5 (B) x = 1 (C) x = 1,6 (D) x = 4

Percebemos que o enunciado da questão acima deixa claro o que o aluno

deve fazer para a sua resolução, ou seja, resolver a equação do 1º grau para achar o

valor de x.

Para a resolução dessa questão é necessário que o aluno tenha

conhecimento das operações no conjunto dos números inteiros, operações com

monômios e o princípio de equivalência.

Devemos considerar a possibilidade de alguns alunos utilizarem as

alternativas para verificar a veracidade da equação, ou seja, a partir da alternativa

descobrir a solução do problema.

54


NÍVEL MOBILIZÁVEL

Espera-se que um aluno neste nível de conhecimento consiga utilizar as

ferramentas específicas para realização da atividade. A tarefa deixa explícito o que

deve ser feito, porém, o aluno deverá mobilizar conhecimentos já interiorizados para

obter uma estratégia de resolução.

Para elucidar ao leitor, daremos como exemplo de tarefa neste nível a questão

número 7, retirada do SARESP-2005, aplicada ao 8º ano (antiga 7ª série do Ensino

Fundamental) do período da manhã.

As medidas dos lados de um retângulo são dadas, respectivamente, pelas expressões x + 5 e x + 8. Sabendo que o perímetro do retângulo, que é igual à soma das medidas de seus lados, é igual a 66 cm, as medidas dos lados do retângulo são:

(A) 13 cm e 20 cm (B) 14 cm e 19 cm (C) 15 cm e 18 cm (D) 16 cm e 17 cm

Podemos verificar que os dados necessários para a realização da atividade

estão totalmente explícitos na tarefa, porém, o aluno deverá ter conhecimento de

quantos lados possui um retângulo, bem como, saber que esses lados são, dois a

dois, paralelos e que, portanto, possuem as mesmas medidas.

Além disso, o aluno deverá utilizar o conceito de perímetro para conseguir

equacionar a situação, achar o valor da incógnita e, posteriormente, as medidas dos

lados.

55


Acreditamos que um aluno que consegue realizar tal atividade já possui um

pensamento algébrico construído, necessitando, apenas, ser motivado a obter novos

conhecimentos, o que lhe será oferecido em séries posteriores.

NÍVEL DISPONÍVEL

Neste nível, o aluno encontra na tarefa todos os dados necessários para a sua

resolução, porém, não lhe é dada nenhuma pista sobre qual estratégia deverá ser

utilizada, nem a ferramenta que o auxiliará na sua realização.

Quando um aluno se depara com uma tarefa neste nível poderá tentar

solucioná-la por meio de tentativas ou aproximações.

Um exemplo de uma tarefa neste nível é a questão número 20, retirada da

prova do SARESP-2005, do 8º ano (antiga 7ª série do Ensino Fundamental) do

período da manhã.

Com velocidade média de 70 km/h, o tempo gasto em uma viagem da cidade A para a cidade B é de 2h e 30 min. Lúcia gastou 3h e 30 min para fazer este percurso. Podemos afirmar que a velocidade média da viagem de Lúcia foi de: (A) 36 km/h (B) 45 km/h (C) 50 km/h (D) 85 km/h

Verificamos que todos os dados necessários para a realização da atividade

são dados na tarefa acima, porém, não é claro para o aluno qual o caminho a seguir,

ou seja, necessitará de outros conteúdos, buscar outros conhecimentos e pensar em

uma estratégia para sua realização, ou seja, terá que perceber a necessidade da

transformação das unidades de medida de tempo (horas em minutos ou minutos em

horas), bem como dispor de conhecimentos sobre razão, proporcionalidade e

grandezas direta ou inversamente proporcionais.

56


Para esta pesquisa, selecionamos algumas leituras realizadas sobre as

concepções dadas à Álgebra, as quais apresentaremos no capítulo seguinte.

57

CAPÍTULO 3

REVISÃO DE LITERATURA

Entendemos que a linguagem simbólica formal é essencial para o

prosseguimento dos estudos em álgebra. Para tanto, o estudo das concepções de

Álgebra, bem como de outras pesquisas apresentadas neste capítulo, nos

possibilitará uma reflexão sobre o ensino e aprendizagem da álgebra, facilitando a

análise de algumas questões do SARESP de 2005, sob a visão dos níveis de

mobilização de conhecimentos pelos alunos, com enfoque na representação

algébrica de situações-problema dadas em língua natural.

Há consenso entre estudiosos em educação matemática sobre a necessidade

de se desenvolver conceitos, propriedades e procedimentos, de álgebra e de

aritmética, de modo articulado, envolvendo atividades reais, a fim de se construir um

aprendizado com significado.

Alguns pesquisadores como Lins e Gimemez (1998), acreditam que a ruptura

da aritmética para a álgebra não ocorre de uma hora para outra, uma vez que o

desenvolvimento de uma está implicado no desenvolvimento da outra, no entanto,

ainda há divergências sobre quando e como deve ser realizado tal ensino.

É preciso começar mais cedo o trabalho com a álgebra, e de modo que esta e

a aritmética se desenvolvam juntas, uma implicada no desenvolvimento da outra.

(LINS e GIMENEZ 1998, p.10).

Para eles, a idéia de que o estudo da Aritmética deve preceder ao estudo da

Álgebra é infundada e prejudicial.

58


[...] isso não deve ser interpretado como uma afirmação de que a Álgebra deva preceder à aritmética, pelo motivo simples de que há um conjunto de experiências aritméticas, extra-escolares, que as crianças trazem consigo ao iniciar o trabalho escolar; o que devemos buscar é a coexistência da educação algébrica com a aritmética, de modo que uma esteja implicada no desenvolvimento da outra. (LINS e GIMENEZ, 1998, p.159).

A atividade algébrica para esses autores é descrita como “fazer ou usar

álgebra”.

Os autores ressaltam que a diferença entre a Álgebra e a Aritmética está

apenas no tratamento dado a cada atividade, no entanto, faz-se necessário entender

como elas se ligam e o que elas têm em comum, o que nos faz pensar na Educação

Aritmética e Educação Algébrica como algo único.

Lins e Gimenez (1998) destacam, também, algumas abordagens e

concepções feitas por pesquisadores, estabelecendo associações entre a atividade

algébrica e concepções da Álgebra. Alguns consideram a atividade algébrica como

sendo uma atividade caracterizada pelo uso de notações, resumindo a Álgebra a

cálculos com letras e algoritmos.

Outros, ainda numa concepção letrista, consideram que a capacidade para se

trabalhar com expressões algébricas é introduzida com abstrações, utilizando objetos

manipulativos, tais como a balança para se ensinar equações.

Como exemplo dessa abordagem, os autores apresentam sobre o uso de

áreas para se “ensinar” produtos notáveis:

Figura 1: Representação geométrica do quadrado da soma de dois termos.

59


Para os autores, tal abordagem é tida como “facilitadora”, porém, não em um

sentido otimista, pois, se por um lado esses recursos amenizam parte das

dificuldades no ensino e na aprendizagem da álgebra, por outro, trazem problemas

quanto à articulação entre o que aconteceu no trabalho com o concreto e o que

aconteceu no trabalho com o formal.

Uma outra linha da atividade algébrica é caracterizada pela presença de

determinados conteúdos, os quais são apresentados através de exemplos reais, com

o objetivo de relacionar a situação com o conteúdo apresentado. Nesta abordagem,

as atividades apresentadas são de investigação, como as baseadas em modelagem

matemática.

Uma terceira linha citada pelos autores é de uma atividade algébrica

caracterizada por uma aritmética generalizada e, apesar dessa concepção ser

resultante da ação do pensamento algébrico e de buscar o envolvimento dos alunos,

ela também é centrada em conteúdos e prioriza as propriedades operatórias.

Vale a pena ressaltar que, para Lins e Gimenez (1998), há uma distinção

entre generalização e generalidade. A primeira ocorre quando se passa a falar de

algo que é comum a vários casos particulares, já generalidade ocorre quando se

trata diretamente do que é geral em uma situação, sem intermediação dos casos

particulares.

Na opinião dos autores, todas as abordagens acima visam à aprendizagem do

aluno, porém, pecam quando não consideram o que o aluno já sabe, ou seja,

consideram que o aluno estará sempre disponível, o que significa que conseguirá e

terá condições de mobilizar conhecimentos para entender um novo conteúdo.

60


Podemos começar oferecendo o que pensamos que seja a atividade algébrica: A atividade algébrica consiste no processo de produção de significados para a Álgebra e, naturalmente, temos de dizer o que seja a Álgebra para nós: A Álgebra consiste em um conjunto de afirmações para as quais é possível produzir significados em termos de números e operações aritméticas, possivelmente envolvendo igualdades ou desigualdades. (LINS e GIMENEZ, l998, p.137).

Lins e Gimenez (1998) consideram que a educação algébrica deve conter dois

objetivos centrais:

• Permitir que os alunos sejam capazes de produzir significados.

• Permitir que os alunos desenvolvam a capacidade de pensar algebricamente. (LINS e GIMENEZ, 1998, p. 152).

Para eles, as técnicas manipulativas são conseqüências dos objetivos acima e

não devem precedê-los.

Diante do acima exposto, verificamos que a definição de atividade algébrica

proposta por Lins e Gimenez (1998) vai ao encontro da proposta sugerida nos PCN

(BRASIL, 1998), ou seja, o professor deve possibilitar aos seus alunos a produção de

significados para a Álgebra, permitindo que estes desenvolvam o pensamento

algébrico.

A atividade algébrica e o pensamento algébrico definido por esses autores,

favorecem a aprendizagem algébrica, principalmente em temas como expressões e

equações algébricas.

Reproduzimos, abaixo, um exemplo de atividade dado pelos autores (1998,

p.153-155), a qual, além de envolver significado e permitir ao aluno produzir

afirmações, oferece a possibilidade de trabalhar com as transformações das

expressões e ou igualdades obtidas, ou seja, o “fazer ou usar a álgebra”.

61


Escreva uma fórmula para calcular o número de azulejos brancos se você

souber o número de azulejos pretos.

Neste exemplo os autores utilizam “P” para os azulejos pretos e ”B” para os

brancos.

Uma variedade de fórmulas pode aparecer. Estas são representadas como

crenças-afirmações e a partir delas são acrescentadas possíveis justificativas.

Crença-afirmação: “B = 2P + 6”

Justificativa: “Para cada preto há dois brancos, um em cima e outro embaixo;

além disso, há sempre três em pé, em cada ponta, num total de 6”.

Crença-Afirmação: “B = 2 (P + 2) + 2” Justificativa: “A linha de cima e a linha

de baixo têm, cada uma, P + 2 azulejos; além disso, há um branco em cada

extremidade da fileira de pretos”.

Os autores colocam que as justificativas foram realizadas em relação a um

mesmo núcleo e que, no caso dessa atividade, todas as expressões são

equivalentes, embora os alunos não percebam tal fato.

62


Ao perceberem tal fato, podemos escrever que, “2P + 6 =2 (P + 2) + 2”,

chegando à conclusão que “2 (P + 2) = 2P + 4”

Este é o momento para se instigar os alunos fazendo a seguinte colocação:

Que expressão do tipo “2 (...+...)” é o mesmo que 2P + 6 ?

Dependendo da resposta dos alunos, continua-se instigando, fazendo com

que produzam outras crenças-afirmações e justificações.

Devemos admitir o fato de que o ritmo dessa atividade pode variar pois

depende de vários fatores, como concentração da turma, ou a existência de

experiências anteriores com esse tipo de atividade.

Segundo os autores, um tratamento tradicional dessa situação seria apenas

produzir as fórmulas com base em uma tabela de dados numéricos:

P 1 2 3 4 5 6 7 8....

B 8 10 12 14 16 18 20 22.....

Reafirmamos o pensamento dos autores de que a Álgebra e a Aritmética

precisam ser pensadas em termos de significados produzidos no interior de

atividades, e não como termos de técnicas ou conteúdos (ibidem,1998, p. 161) e

atividades dessa natureza somente serão eficazes se os alunos forem capazes de

entender o que está sendo feito.

Vale lembrar que a clareza como uma atividade é colocada para um aluno

influencia na maneira de sua resolução.

Para ilustrar o que queremos dizer, criamos como exemplo a seguinte

situação-problema:

Milena pagou 15 reais por duas bolas. Qual foi o preço de cada uma?

63


A maioria responderia 7 reais e cinqüenta centavos, porque admitiria que as

duas bolas teriam o mesmo valor. Um aluno que quisesse equacionar tal situação

escreveria, ainda que 2x = 15.

É uma situação aparentemente fácil, entretanto, por falta de clareza no

enunciado do problema, acaba sendo interpretada erroneamente, pois é uma

questão aberta, ou seja, permite várias respostas.

Podemos observar que não é colocado no enunciado da questão que o preço

das bolas é igual, dessa forma, algumas respostas possíveis seriam: Uma custa

R$7,00 e a outra R$8,00; uma custa R$10,00 e outra R$5,00; uma R$6,00 e outra

R$ 9,00, além de outras respostas, não podendo, portanto, ser equacionada como

2x = 15.

Cabe ao professor utilizar-se de uma linguagem clara e objetiva, bem como

discutir as questões de linguagem com seus alunos, habituando-os a atentar para o

real significado das palavras, ou falta delas, em uma situação-problema.

Analogamente, Da Rocha Falcão (2003, p.1) também critica o fato de que a

Álgebra deve “esperar” para ser apresentada depois que os alunos já tiverem

conseguido o domínio de alguns princípios aritméticos.

Segundo Da Rocha Falcão (2003), existem duas razões para que isso ocorra.

Primeiro por razões pedagógico-institucionais, que fazem com que haja um currículo

oficial, servindo de referência em todo sistema escolar do país e sendo coordenado e

fiscalizado pelo Estado.

Diante disso, os conteúdos de vários saberes específicos seguem uma ordem

do que se tem, do que pode ser ensinado, em que nível e em que ordem de ensino.

Uma segunda razão é de ordem pedagógico-psicológica, a qual está

estreitamente relacionada com os conceitos da transposição didática de Yves

64


Chevallard (1991), os quais lidam com o processo de mudanças e adaptações

sofridas pelo saber formal, bem como, a forma como são encarados os processos de

aprendizagem.

Essa é uma abordagem que trabalha com a idéia de que é necessário que o

aluno esteja pronto cognitivamente para receber determinados conteúdos (DA

ROCHA FALCÃO, 2003, p.2).

Nesse sentido, acredita-se que a Aritmética, por estar mais próxima da

realidade diária do sujeito, representa um campo mais acessível que a Álgebra, que,

por sua vez, é mais abstrata e trabalha com procedimentos formalizadores e

generalizantes.

[...] é verdade que a álgebra retoma uma série de relações entre números, estabelecidas no domínio da Aritmética, para agora generalizá-las como letras (representando variáveis e/ou incógnitas): da mesma forma que 5 + 3 = 3 + 5, x + y = y + x (para qualquer x e qualquer y). (DA ROCHA FALCÃO, 2003, p.4).

Para Da Rocha Falcão (2003), a Álgebra é uma ferramenta essencial e

poderosa de resolução de problemas e sua apresentação posterior à Aritmética deve

ser analisada e discutida, uma vez que tal prioridade parece responsável por

alguns obstáculos didáticos importantes para os alunos do 7º e 8º ano do Ensino

Fundamental, quando a Álgebra, em uma abordagem letrista, é introduzida.

Ressalta, inclusive, que em suas pesquisas foram obtidos dados e observados

aspectos que dão margem empírica de que é possível introduzir o ensino da Álgebra

antes do que é sugerido oficialmente.

Reproduzimos, a seguir, os elementos básicos dados por Da Rocha Falcão

(2003), da caracterização do campo conceitual da Álgebra, a qual, para muitos

pesquisadores, possui uma dupla função: representar fenômenos e relações, e

auxiliar na resolução de problemas matemáticos.

65


QUADRO 4: ELEMENTOS BÁSICOS DE CARACTERIZAÇÃO DO CAMPO CONCEITUAL DA ÁLGEBRA (a partir das contribuições de F.G. Bodanskii, G. Vergnaud e Da Rocha Falcão e colaboradores).

Atividades em álgebra

Ferramenta representacional Ferramenta de Resolução de problemas

Modelização: captura e descrição dos Fenômenos do real. Generalização: passagem de descrições específicas, ligadas a um contexto para leis gerais. Função: explicitação simbólica de relações elementares. Generalização: passagem de descrições específicas, ligadas a um contexto, para leis gerais.

Algoritmos, regras sintáticas, prioridade de operações, princípio da equivalência entre equações

Elementos básicos do campo conceitual algébrico

Números, medidas, incógnitas e variáveis, regras de atribuição de símbolos, gama de acepções do sinal de igual, trânsito entre formas de linguagem.

Operadores, sintaxe, prioridade de operações, princípio de equivalência, conhecimentos-em-ação vinculados a experiências extra-escolares de compensação e equilíbrio,fatos aritméticos instrumentais (ex: elemento neutro da adição).

(DA ROCHA FALCÃO, 2003, p.4-5).

Da Rocha Falcão (2003) nos sugere que a partir dos pontos acima, é possível

pensar em atividades centrais, enfocando conceitos da Álgebra, as quais poderiam

ser exploradas de forma efetiva desde o início do ensino fundamental.

[...] Essa é, em última análise, a tarefa básica do professor de Matemática em qualquer nível: responsabilizar-se por recortes de aspectos que julga relevantes, estabelecer uma ordem de representação dos conteúdos recortados, e se munir de bom arsenal de exemplificação, de atividades que metaforizem os conceitos a ser introduzidos. (DA ROCHA FALCÃO, 2003, p.10).

66


Em síntese, Da Rocha Falcão (2003) nos deixa claro que é bem-vinda a idéia

de se considerar o ensino da Álgebra nas séries iniciais do Ensino Fundamental,

desde que sejam analisados quais conteúdos podem ser contemplados e de que

forma isso deve ser feito, tomando o cuidado para que as atividades selecionadas

contemplem aspectos relevantes do campo algébrico, possibilitando às crianças um

nível de representação conceitual ao seu alcance.

Um estudo sobre o desempenho de alunos do Ensino Fundamental em tarefas

envolvendo os conceitos de equações e expressões algébricas foi realizado por

Quintiliano e Brito (2006).

Os dados foram coletados a partir de um questionário informativo e 2 provas,

uma contendo questões que envolviam o conceito de equações e expressões

algébricas, variável e incógnita e outra com problemas que exigiam a utilização de

procedimentos algébricos.

As provas e o questionário foram aplicados a 96 alunos da 8ª série do Ensino

Fundamental da rede pública de ensino de Bauru/SP, com o objetivo principal de

investigar se os estudantes conseguiram traduzir sentenças da língua corrente para

a linguagem simbólica.

Os resultados revelaram que os alunos não conseguem traduzir uma sentença

envolvendo equação apresentada na língua natural para a linguagem algébrica, bem

como, quando lhes são solicitadas a resolução de problemas, utilizam procedimentos

aritméticos e não algébricos, o que demonstra que possivelmente estes alunos não

aprenderam a “pensar algebricamente”.

A questão apresentada abaixo faz parte de uma das provas aplicadas na

pesquisa.

67


Resolva: a) Encontre um número tal que, se 8 mais o triplo deste número for dividido por 2, o resultado será o triplo deste número menos 11.

b) 2

)38( x+ 113 −= x

(QUINTILIANO E BRITO, 2006, p. 9)

As pesquisadoras apresentaram tal questão em duas partes, com o propósito

de verificar se haveria diferença no desempenho dos participantes, e se estes

conseguiriam traduzir a sentença apresentada em linguagem natural para uma

representação algébrica.

Ao analisar os resultados obtidos, verificou-se que, com relação ao item a),

apenas 8,3% dos participantes acertaram e, ao item b), 9,4% acertaram.

Quintiliano e Brito concluem, com seu trabalho, que uma das razões que faz

com que os alunos não consigam equacionar um problema na forma de uma

equação deve-se ao fato dos conceitos relacionados a estes conteúdos serem

apresentados de forma totalmente desarticulada de conceitos aritméticos, o que faz

com que os alunos sintam dificuldade em estabelecer relações entre os conceitos

aprendidos.

Ressaltam que o ensino da álgebra deveria estar articulado com os conceitos

aritméticos desde os ciclos iniciais, permitindo ao aluno o desenvolvimento do

pensamento algébrico de forma sólida, o que irá ajudá-lo na generalização de

conceitos em séries mais avançadas.

Lee (2001), como citada por Silva (2006) apresenta seis visões sobre a

Álgebra: Álgebra é uma linguagem, Álgebra é um modo de pensar, Álgebra é uma

68


atividade, Álgebra é uma ferramenta, Álgebra é uma aritmética generalizada e

Álgebra é uma cultura, e discute a adequação, ou não, de cada tipo de visão na

Educação Básica.

Para Lee (2001), a Álgebra vista como uma linguagem, não deve ser

introduzida em qualquer nível escolar, principalmente se os alunos ainda não tiverem

um pensamento algébrico construído, uma vez que essa linguagem se refere às

muitas regras de manipulação.

Existe, segundo Lee (2001), expressões algébricas como, por exemplo, a

expressão (x + 5)2, que nem todos interpretam como sendo a área de uma figura

geométrica plana, quadrada, cujo lado mede x + 5.

Para Lee (2001), o pensamento que age com símbolos algébricos dirigidos por

comandos ou moldes, são pensamentos que não só abarcam operações, ações ou

transformações, como também pensamentos sobre relações.

Diante do acima exposto, Lee (2001) considera que envolver símbolos

algébricos não é apropriado para a introdução da Álgebra em qualquer nível escolar,

principalmente para a Educação Básica.

A Álgebra, como um modo de pensar, para Lee (2001), é adequada para a

introdução do pensamento algébrico, desde que seja pensada sobre um sistema

matemático aritmético, o qual está envolvido na revelação de modelos, padrões e no

ato de dizer ou escrever padrões.

Essa visão da Álgebra envolve pensamentos que não só se utilizam de

operações, ações ou transformações, como também de relações. Como tal raciocínio

também envolve símbolos algébricos, Lee (2001) também considera não ser

apropriado para a Educação Básica.

Lee (2001) apresenta alguns elementos que considera adequado que estejam

presentes em uma atividade quando da introdução da Álgebra.

69


• Raciocínio sobre modelos (em gráficos, padrões numéricos,

formas, etc.), fortalecendo e ignorando, detectar semelhanças e diferenças, repetições e outros.

• Generalização ou pensamento em torno do geral, notando o geral no particular.

• Trabalhar mentalmente o desconhecido, invertendo e revertendo operações.

• Pensar sobre relações matemáticas ao invés de objetos matemáticos. (LEE, 2001, 394, apud SILVA, 2006, p.28).

Apresenta-nos, também, os elementos que são menos adequados para essa

introdução:

• Pensamentos denotativos, transformacionais e manipulativos, envolvendo resolução ou encontro de contrastes. • Pensamento formal. • Pensamento com símbolos. • Pensamento mecânico. • Pensar em referência aos componentes de Álgebra. (LEE,

2001, 394,apud SILVA, 2006, p.28).

Já em 1996, Nobre nos apresentava uma série de obstáculos apontados por

outros pesquisadores, os quais são enfrentados por crianças que se iniciam no

estudo da álgebra.

• A dificuldade em aceitar a falta de fechamento, ou seja, que os alunos têm em dar sentido a uma expressão algébrica, que para eles é uma afirmação incompleta.

• O dilema nome – processo, que é a dificuldade em considerar expressões algébricas como respostas “legítimas”. A dificuldade é relacionada à distinção entre adição aritmética e adição algébrica. Na adição aritmética, “3+5” é vista como sendo a questão, e “8” como a resposta, todavia, na adição algébrica, a expressão “x + 3” descreve tanto a operação de “somar 3 a x”, como o resultado a ser obtido.

• A diferença de sentido na concatenação de símbolos, que na

aritmética significa adição implícita ( 34043 += e 2

144

21 += )

e na álgebra significa multiplicação (4 a = 4 x a). • A falta de referencial numérico no uso das letras. • A atribuição de significado concreto às letras

70


• A dificuldade de interpretação da variável, os alunos têm

dificuldade em pensar em uma letra como significando um número qualquer.

• A passagem de língua natural para a algébrica. • A interpretação dos símbolos + e =, os quais, na aritmética,

são interpretados como ações a serem desempenhadas, e esta visão parcial é um empecilho para a compreensão algébrica.

• O sentido diferente das letras na aritmética. A letra m, por exemplo, pode ser usada para representar metros e não o número de metros, como na álgebra. (NOBRE, 1996, p. 29-31).

Nobre (1996) realizou uma pesquisa com alunos da 6ª série do Ensino

Fundamental com o objetivo de analisar se um aluno no início do estudo da álgebra é

capaz de criar códigos próprios para a resolução de um problema aritmético e,

paulatinamente, adaptá-los à notação algébrica.

Com esta pesquisa, Nobre (1996) corroborou com outras pesquisas que

mostram que o aluno identifica a letra como um rótulo e não como um número.

Para Lee (2001), o pensamento algébrico, caracterizado como generalização,

somente pode ser desenvolvido por meio de atividades que envolvam de fato os

alunos.

O pensamento da Álgebra como uma atividade está associada a uma

atividade construtivista de manipulação de objetos.

Lee (2001) ressalta que talvez a chave para a álgebra básica esteja na palavra

representação, e que não só as letras x e y podem representar variáveis. Estas

também podem ser representadas por blocos, caixas de fósforos, etc. Sugere que as

situações-problema podem ser solucionadas utilizando desenhos ou trabalhos

manuais. Em síntese, deixa claro que as manipulações algébricas podem ser úteis

para pensar, representar e comunicar propriedades gerais de números e padrões.

71


Outra visão a ser considerada é a Álgebra como uma ferramenta para a

resolução de problemas, não só da disciplina de matemática, como também em

outras ciências como a química, física e biologia e até mesmo no cotidiano.

A autora esclarece, ainda, que se houver um trabalho envolvendo a Álgebra

como ferramenta, como uma atividade e pensamento algébrico, a Álgebra letrista, ou

seja, utilizando símbolos e letras, poderá ser experimentada no Ensino Médio,

todavia, se as ferramentas algébricas envolverem apenas letras e símbolos, então a

Álgebra como ferramenta também não deve ser introduzida na escola básica.

Para Lee (2001), a Álgebra como uma aritmética generalizada, também

conhecida como: Aritmética de letras ou pré-álgebra, Álgebra de generalizações de

padrões numéricos, um estudo da estrutura aritmética e um estudo de expressões

com letras é excelente candidato para a introdução da Álgebra nos primeiros anos

escolares.

Atividades baseadas na visão da Álgebra como Aritmética generalizada, para

Lee (2001), enriquecem o ensino básico. Salienta ainda, que [...] a ruptura da

aritmética e álgebra de forma abrupta pode privar os alunos de esquemas

poderosos, tornando mais difícil a aprendizagem em séries posteriores. (LEE, 2001,

apud SILVA, 2006, p.30)

A Álgebra como uma cultura é um pensamento que parte de uma visão

antropológica da Álgebra. Elementos de cultura algébrica possuem valores, crenças,

práticas, tradições, história e processos para sua transmissão.

Diante disso, a autora considera que as dificuldades em Álgebra podem ser

vistas a partir de um conflito cultural e, a introdução à Álgebra, como um processo

extra cultural. A cultura não está separada do ensino de matemática básica e sim

envolvida no currículo, tanto quanto a aritmética e geometria têm estado juntas

historicamente.

72


Após tais estudos, Lee (2001) identifica o compromisso com atividades

algébricas, a promoção e disciplina de um pensamento algébrico e a comunicação

em uma linguagem algébrica como elementos para a álgebra nos primeiros anos

escolares.

Para que haja um compromisso com as atividades algébricas, relaciona

atividades que envolvam:

• Demonstrações aritméticas gerais sobre o comportamento dos números em relação às operações sobre eles.

• Demonstrações geométricas gerais sobre formas e padrões geométricos.

• Demonstrações gerais sobre medidas e freqüências de medidas em contextos estatísticos.

• Trabalhos com uma diversidade de materiais e representações algébricas.

• Sistematização e resolução de problemas utilizando uma variedade de ferramentas algébricas. (LEE, 2001, p. 397, apud SILVA, 2006, p. 32).

Com relação à comunicação em linguagem algébrica, Lee (2001) considera

que deve ser iniciada com uma linguagem natural ou uma linguagem construída em

sala de aula. De acordo com as visões expostas, coloca de lado o uso de símbolos

algébricos tradicionais, pois, acredita que a manipulação dessas representações tem

sido colocada inadequadamente aos alunos em qualquer nível de ensino.

Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) a partir do estudo do desenvolvimento

histórico da Álgebra, identificaram algumas concepções freqüentes da Álgebra, a

saber:

• Processológica – a Álgebra é um conjunto de técnicas algorítmicas,

métodos, artifícios próprios para trabalhar alguns problemas, como uma

“receita passo-a-passo” para resolvê-los.

73


• Lingüístico-estilística – a Álgebra é uma linguagem específica, criada para

representar “ao pé da letra” as técnicas algorítmicas da concepção

processológica. Essa concepção procura expressar o pensamento

algébrico sem se preocupar como esse pensamento se manifesta.

• Lingüístico-sintático-semântica – como a anterior, encara a Álgebra como

uma linguagem específica, uma linguagem simbólica, porém,

estabelece a diferença entre o uso da letra para representar quantidades

discretas ou contínuas e o uso da letra para representar quantidades

genéricas.

• Lingüístico postulacional – considera que a Álgebra estrutura todas as

partes da matemática, inclusive a lógica.

Os autores defendem o fato de que as concepções da Álgebra se relacionam

com as concepções dominantes da Educação Algébrica: lingüístico-pragmática,

fundamentalista-estrutural e fundamentalista-analógica.

A lingüística-pragmática considera a Álgebra como uma ferramenta para se

resolver problemas, vinculada à concepção lingüístico-sintático-semântica. Considera

que para um aluno conseguir resolver problemas, basta dominar técnicas e

procedimentos de cálculos algébricos.

A concepção fundamentalista-estrutural é baseada na concepção lingüística

postulacional da Álgebra e se contrapõe à concepção anterior. Esta considera a

Álgebra como fundamentadora de todos os outros campos da Matemática.

Uma outra concepção da Educação Algébrica é a fundamentalista-analógica,

a qual também vincula a Álgebra a uma ferramenta para a resolução de problemas,

porém, utiliza-se do visual, de materiais concretos, acreditando que essa etapa,

chamada de geométrico-visual, caminha junto com a abordagem simbólico-formal.

74


Para os autores, essas três concepções da Educação Algébrica reduzem o

pensamento algébrico à linguagem algébrica e o ensino-aprendizagem da Álgebra à

simples manipulação de operações, que esses autores tratam como um

“transformismo algébrico”.

O pensamento algébrico pode ser caracterizado por elementos diferentes em

atividades que exijam “percepção de regularidades, percepção de aspectos

invariantes em contraste com outros que variam, tentativas de expressar ou explicitar

a estrutura de uma situação-problema e a presença do processo de generalização”

(FIORENTINI, MIORIM e MIGUEL, 1993, p.87).

[...] Não existe uma única forma de se expressar o pensamento algébrico. Ele pode expressar-se através da linguagem natural, através da linguagem aritmética, através da linguagem geométrica ou através da criação de uma linguagem específica para esse fim, isto é, através de uma linguagem algébrica, de natureza estritamente simbólica”. (FIORENTINI, MIORIM e MIGUEL, 1993, p. 89).

Os autores consideram que um trabalho efetivo em educação algébrica deve

seguir três etapas essenciais.

A primeira é a introdução desse trabalho com situações-problema que

garantam o exercício dos elementos caracterizadores do pensamento algébrico,

possibilitando uma linguagem simbólica, uma representação algébrica que tenha

significado para o aluno.

Numa segunda etapa deve-se percorrer o caminho inverso, ou seja, partir de

expressões e/ou equações algébricas e construir uma representação na língua

natural, atribuindo a essas expressões e/ou equações, significações que as

comportem.

Somente percorridas as duas etapas acima é que devemos partir para a

terceira, ou seja, trabalhar os procedimentos, as técnicas e propriedades necessárias

para transformar as expressões e/ou equações em outras equivalentes.

75


Em síntese, verificamos que tanto para Lins e Gimenez (1998), como para Da

Rocha Falcão (2003), o ensino da Álgebra deve ocorrer simultaneamente ao ensino

da Aritmética, desde as séries iniciais.

Consideram, também, ser a Álgebra uma ferramenta poderosa para a

resolução de problemas e seu ensino posterior ao ensino da Aritmética, como

normalmente ocorre, é responsável por alguns obstáculos didáticos para os alunos.

Já Lee (2001), defende que a linguagem algébrica não deve ser introduzida

em qualquer nível escolar e sim quando os alunos já tiverem o pensamento algébrico

construído.

Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) defendem o fato de que um trabalho efetivo

em educação algébrica deve ser realizado em qualquer época, desde que sejam

seguidas três etapas essenciais na ordem abaixo apresentadas:

• Introdução com situações-problema que possibilitam uma linguagem algébrica

que tenha significado para o aluno.

• Trabalho em sentido contrário à etapa anterior, ou seja, partir da linguagem

algébrica para a construção de situações-problema.

• Trabalhar os procedimentos, técnicas e propriedades.

Os estudos apresentados nos fazem entender, entre outras reflexões, que há a

necessidade de um trabalho por parte de todos os sujeitos envolvidos no processo

educacional, de maneira a proporcionar reflexões sobre o ensino e a aprendizagem

de matemática, especialmente da educação algébrica, possibilitando a construção de

significados pelos alunos.

Os resultados obtidos na pesquisa de Quintiliano e Brito (2006), de que os

alunos não conseguem traduzir uma sentença da língua natural para a linguagem

76


algébrica, partindo, assim, para uma resolução utilizando-se apenas de números são

confirmados em nossas análises dos resultados, apresentadas no Capítulo IV.

Acreditamos que o fato acima despertado deve-se, entre outras razões, ao

estudo da álgebra separado do estudo da aritmética, bem como ao distanciamento

sobre o que é prescrito em documentos oficiais e o que realmente é trabalhado com

os alunos por parte dos professores.

77

CAPÍTULO 4

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

O objetivo dessa pesquisa é o de analisar, segundo os níveis de mobilização

dos conhecimentos estudados por Aline Robert (1998), o desempenho dos alunos da

7ª série do Ensino Fundamental em algumas questões da prova do SARESP/2005,

que envolvam a conversão dos registros de representação semiótica estudados por

Duval (2003).

Dessa forma, daremos a esta pesquisa uma abordagem qualitativa, baseando-

nos nas fases da metodologia qualitativa da engenharia didática, a qual fundamenta-

se, enquanto procedimento metodológico, em registros de estudos de casos, cuja

validação é interna.

Artigue (1996) compara o trabalho da engenharia didática com o trabalho de

um engenheiro, o qual necessita se apoiar em conhecimentos científicos, porém é

obrigado a trabalhar com objetos mais complexos, enfrentando problemas que a

ciência não quer ou não pode levar em conta.

Estaremos nos baseado nas 4 fases do processo da engenharia didática.

A primeira fase é quando ocorrem as análises preliminares, em que se

considera o quadro teórico geral e os conhecimentos já adquiridos sobre o assunto

em questão.

Em nossa pesquisa, esta primeira fase está sendo contemplada ao

verificarmos os resultados do SARESP/2005, apresentarmos a fundamentação

teórica utilizada, bem como a análise sobre o que diz os PCN (BRASIL, 1998) sobre

o tema estudado e a revisão de literatura sobre as visões e concepções de Álgebra.

78


Na segunda fase ocorre a análise a priori das questões, na qual o

pesquisador, de acordo com as análises preliminares, delimita o número de variáveis

referentes ao sistema sobre os quais o ensino atua.

Neste trabalho faremos a análise a priori das questões de matemática da

prova do SARESP/2005, as possíveis estratégias de resolução, destacando os

conhecimentos prévios necessários para a resolução. Esta análise será apresentada

ainda neste capítulo.

A terceira fase, quando acontece a experimentação, é realizada com certa

população de alunos. Nesta fase supõem-se as condições de realização da

pesquisa, a aplicação dos instrumentos de pesquisa e os registros das observações

feitas sobre a experimentação.

A experimentação supõe: � A explicitação dos objetivos e condições de realização da

pesquisa à população de alunos que participará da experimentação.

� O estabelecimento do contrato didático. � A aplicação dos instrumentos de pesquisa. � O registro das observações feitas durante a experimentação

(observação cuidadosa descrita em relatório, transcrição dos registros audiovisuais, etc.). (MACHADO, 1999, p. 206).

A quarta é caracterizada pela realização da análise a posteriori, quando então

estaremos analisando os resultados obtidos.

Esta última fase é apresentada em nosso trabalho na análise das resoluções

dos alunos.

79


4.1 A ESCOLA E OS ALUNOS

Para realização desta pesquisa, foi escolhida uma escola da rede estadual de

ensino, situada na região oeste da cidade de São Paulo.

Tal escolha deveu-se ao fato de, além de estar localizada próxima a minha

residência, é a instituição na qual atuo como professora titular de cargo da disciplina

de matemática no Ensino Médio há 20 anos.

Essa escola funciona em três períodos com 1876 alunos matriculados, um

diretor efetivo e dois vice-diretores.

Dos alunos matriculados, 674 são do Ensino Médio e 1202 são do Ensino

Fundamental, sendo que 279 estão cursando o 8º ano (antiga 7ª série do Ensino

Fundamental), divididos em sete turmas no período da manhã e uma turma no

período da tarde.

A escola conta com um total de 65 professores, dos quais 13 lecionam a

disciplina de matemática.

Ressaltamos que a média de idade dos alunos dessa escola que estão

cursando o 8º ano é de 12 anos e que há quatro professores de matemática

diferentes , dentre eles apenas dois são titulares de cargo.

Para a realização do trabalho pedagógico a escola dispõe como ferramenta de

apoio, de aparelhos de televisão, vídeo-cassete e aparelhos de DVD em cada sala

de aula.

Possui, também, um considerável acervo de livros didáticos e paradidáticos,

jogos e mapas históricos e geográficos, mas, infelizmente, não estão dispostos em

uma biblioteca, sendo assim, de difícil acesso aos alunos, apesar de os professores

80


poderem utilizá-los em sala de aula, desde que seja feita uma prévia solicitação à

direção.

Após a escolha da escola, solicitamos a autorização da diretora para a

realização da pesquisa com os alunos. Posteriormente, reunimo-nos com os

professores que lecionavam no 8º ano, expondo o objetivo da pesquisa e pedindo

permissão para que pudéssemos conversar com os alunos, convidando-os a

participarem como voluntários em nosso trabalho.

Nesse momento, esclarecemos o objetivo da pesquisa aos alunos, explicando

que se tratava de um trabalho necessário para obtenção do título de mestre na área

de Educação Matemática.

Houve certo espanto por parte dos ouvintes, pois os mesmos não sabiam o

que era um curso de mestrado.

Fizemos então, um breve relato sobre os níveis de escolaridade, graduação,

especialização, mestrado e doutorado, ressaltando a importância das pesquisas

realizadas pelos alunos desses cursos.

Posteriormente, deixamos claro que a realização do trabalho seria na própria

escola, no horário de aula, e que, caso fossem participar, precisariam trazer a

autorização que lhes foi entregue, assinada por seus responsáveis.

Esclarecemos, também, que seriam duas avaliações diferentes, contendo três

questões cada, as quais deveriam ser resolvidas individualmente, como no SARESP,

porém, uma seria com questões de múltipla escolha e outra com questões sem

alternativas.

Percebemos a preocupação de alguns alunos que se manifestaram

perguntando se os resultados iriam interferir em suas notas escolares, quando então,

esclarecemos que, apesar dos resultados dessas avaliações não alterarem suas

notas, gostaríamos que fossem resolvidas com seriedade.

81


Após a explicação descrita, 26 alunos se propuseram a participar, porém,

apenas 10 trouxeram a autorização dos pais no dia marcado para a devolução.

Fizemos uma nova visita aos alunos, os quais alegaram ter esquecido a

autorização em suas residências.

Aproveitamos o momento para ressaltar a importância da participação dos

mesmos, bem como da autorização assinada.

Dessa vez, todos os 35 alunos se propuseram a participar, porém, o número

de autorizações entregue no dia marcado foi de 33.

Após recolher a autorização de cada responsável, marcamos nosso primeiro

encontro, data em que seria aplicada a primeira etapa das questões.

Para realização desta primeira etapa escolhemos três questões da prova do

SARESP/2005 aplicada à 7ª série do Ensino Fundamental do período da tarde, uma

do nível disponível e duas do nível mobilizável, as quais exigem do aluno a

conversão do registro de representação semiótica da língua natural para o registro

algébrico, e, como já foi dito, aplicamos aos alunos em duas etapas.

Na primeira etapa, as questões foram reaplicadas aos alunos da mesma

maneira como foram apresentadas no SARESP/2005, ou seja, com alternativas.

Na segunda etapa de nossa pesquisa, optamos por reaplicar as mesmas

questões, porém, sem as alternativas, e procuramos deixar bem claro aos alunos a

necessidade e importância de que deixassem a resolução da questão na folha e que

justificassem suas respostas, pois somente assim seríamos capazes de obter as

informações necessárias.

O objetivo da realização de dois tipos de prova com as mesmas questões foi

para que pudéssemos comparar o desempenho dos alunos nos dois tipos de prova,

82


bem como analisar, pela prova dissertativa, qual foi a estratégia de resolução e se

conseguiriam equacionar a situação-problema.

Esclarecemos que, em virtude de utilizarmos as mesmas questões, achamos

conveniente um prazo de quinze dias entre as duas etapas, pois, acreditamos ser um

prazo suficiente para que os alunos, mesmo que se lembrassem das questões da

primeira avaliação, não lembrariam das alternativas e, assim, não seriam

influenciados pelas mesmas.

4.2 O INSTRUMENTO DE PESQUISA

O instrumento utilizado na primeira aplicação foi composto por 3 questões, as

quais foram selecionadas por nível de mobilização de conhecimentos, referentes a

situações-problema que necessitam de uma conversão do registro de representação

semiótica da língua natural para o registro de representação algébrica referentes ao

tema expressões/equações polinomiais do primeiro grau.

Para isso, analisamos as questões das provas do SARESP/2005 aplicadas à

7ª série do Ensino Fundamental do período da manhã e do período da tarde, que

exigiam a conversão do registro de representação semiótica da língua natural para o

registro de representação algébrica, referentes ao tema expressões/equações

polinomiais do primeiro grau e obtivemos os seguintes resultados tanto na prova do

período da manhã quanto na prova do período da tarde:

• 1 questão no nível técnico

• 3 questões no nível mobilizável

• 2 questões no nível disponível

Como destacamos, encontramos apenas uma questão no nível técnico

referente ao tema, porém, esta única questão não exige do aluno a conversão do

registro da língua natural para o registro algébrico.

83


Diante disso, as questões escolhidas foram as de número 7, 8 e 9, pois são

questões que, além de estarem ligadas ao tema expressões/equações, possibilitam-

nos analisar como nossos alunos equacionam a situação-problema e em que nível

de mobilização de conhecimentos eles se encontram.

O gráfico a seguir apresenta os resultados obtidos pelos alunos na avaliação

do SARESP/2005 em nível Estadual, referentes às questões utilizadas nesta

pesquisa, o que irá nos possibilitar uma comparação com os resultados obtidos

neste trabalho.

Gráfico 2: Percentual de acertos da Rede Estadual de Ensino de São Paulo, das questões analisadas.

Fizemos uma análise a priori dessas três questões.

Procuramos, nesta análise, destacar o objetivo da questão, as habilidades e

os conhecimentos necessários para a sua resolução, a classificação sob a ótica dos

níveis de mobilização de conhecimentos pelos alunos estudados por Aline Robert

(1998) e as estratégias possíveis de resolução.

Como já dissemos, as questões foram escolhidas por serem questões que,

além de estarem ligadas ao tema expressões/equações, nos possibilitam analisar

como nossos alunos equacionam a situação-problema e em que nível de mobilização

dos conhecimentos eles se encontram.

0

10

20

30

40

50

Q. 7 Q. 8 Q.9

manhã

tarde

84


4.3. ANÁLISE A PRIORI

QUESTÃO 7: Zeca entrou num jogo com certo número de fichas. Na primeira rodada, perdeu a terça parte, mas, na segunda rodada ganhou três fichas, ficando com 11 fichas no final. As fichas de Zeca no início do jogo eram em número de: A) 11 B) 12 C) 14 D) 20

O objetivo da questão é verificar se o aluno possui a habilidade de operar com

números racionais e resolver problemas que envolvam uma equação polinomial do

primeiro grau.

Podemos constatar que, apesar de no enunciado dessa questão constar todos

os dados necessários para sua resolução, o aluno deverá mobilizar seus

conhecimentos sobre números racionais na forma fracionária e trabalhar com um

número desconhecido, portanto, de acordo com os níveis de mobilização de

conhecimento, classificamos esta questão como sendo do nível mobilizável.

Para que um aluno consiga resolver a referida questão, é necessário que

mobilize os seguintes conhecimentos: operações de adição, multiplicação e divisão

com os números racionais, noções de equivalência, resolução de equações

polinomiais do primeiro grau.

Existem pelo menos três maneiras diferentes para que o aluno resolva tal

questão:

85


• Equacionando a situação-problema

1133

1=+−

x

x , reduzindo ao mesmo denominador temos:

3

33

3

9

3

1

3

3=+−

xx

, aplicando o princípio de equivalência temos:

242 =x , portanto, 12=x .

• Utilizando apenas operações com números

Considerando que Zeca ficou com o total de 11 fichas após ganhar três, o

aluno poderá deduzir que, anteriormente ao referido ganho, o total era de 8 fichas.

Essas 8 fichas refere-se a 3

2 do total inicial, uma vez que havia perdido

3

1,

então, se 8 fichas equivale a duas partes de três, conclui-se que uma parte de três

são 4 fichas e, portanto, todas as partes juntas seriam 12 fichas.

• Utilizando as alternativas

Como a questão é do tipo alternativa, o aluno poderá, a partir de cada

resultado dado e, por tentativas, constatar qual fará com que a situação dada se

verifique, ou seja:

Se o resultado for a alternativa A), ou seja, 11, teremos:

3

111− . 11311 =+

113

1114

1133

1111

=−

=+−

86


113

31

113

11

3

42

=

=−

Verificando que não é a alternativa A).

Se o resultado for a alternativa B), ou seja, 12, teremos:

3

112 − . 11312 =+

11415

1133

1212

=−

=+−

Verificando que a alternativa satisfaz a igualdade.

Segundo Kieran (1992), a maneira como foi resolvida, tanto aritmeticamente

como por tentativas, utilizando as alternativas, é chamada de processual da álgebra,

ou seja, considera-se as operações aritméticas realizadas apenas com números,

obtendo-se como resultado também números. Os objetos trabalhados não foram as

expressões algébricas e sim numéricas.

Em nossa pesquisa pretendemos, como já foi dito, analisar em que nível

nossos alunos se encontram e se conseguem equacionar a situação dada.

Nessa perspectiva, espera-se que o aluno seja capaz de perceber que o

número de fichas inicial tem o papel de uma incógnita e, portanto, resolva a questão

algebricamente.

87


QUESTÃO 8: A soma das mesadas de Marta e João é R$200,00. No mês passado, Marta gastou R$70,00 e João gastou R$40,00 e, ao final do mês, estavam com as mesmas quantias. A mesada de Marta é: A) R$115,00 B)R$120,00 C)R$135,00 D)R$152,00

O objetivo dessa questão é verificar se o aluno é capaz de resolver problemas

envolvendo um sistema de equações polinomiais do primeiro grau.

Classificamos esta questão como sendo do nível disponível pois, apesar dos

dados estarem totalmente explícitos no enunciado, não fica claro ao aluno qual o

caminho a ser seguido.

Os conhecimentos necessários para a resolução desta situação-problema são:

operações de adição, subtração, multiplicação e divisão dos números racionais,

equação polinomial do primeiro grau e sistemas de equações polinomiais do primeiro

grau.

O aluno poderá, para a resolução da referida questão, tomar três caminhos,

sendo eles:


Marta e João possuem juntos R$200,00.

Considerando M a mesada de Marta e J a mesada de João teremos:

M + J = R$200,00 (equação I)

Se Marta gastou R$70,00, obtemos como expressão M – R$70,00 e se João

gastou R$40,00, obtemos como expressão J – R$40,00.

88


Como ficaram com quantias iguais obtemos a seguinte igualdade:

M – R$70,00 = J – R$40,00, aplicando o princípio de equivalência obtemos

M – J = R$30,00, ou, M = R$30,00 + J (equação II).

Substituindo a equação II na equação I temos R$30,00 + J + J = R$200,00

2J = R$170,00 e, portanto, J = R$85,00.

Achamos a mesada de João que é de R$ 85,00, então, a mesada de Marta é

de R$115,00.

Nesta situação-problema o aluno poderá, ainda, resolver algebricamente,

porém, não utilizando um sistema de equações polinomiais do primeiro grau, mas

apenas de uma única equação, vejamos:

Chamando o valor da mesada de Marta de x, que juntando com a mesada de

João resulta em R$200,00, podemos chamar a mesada de João, de R$200,00 - x.

Subtraindo R$70,00 da mesada de Marta escrevemos x – R$70,00 e,

subtraindo R$40,00 da mesada de João escrevemos R$200,00 - x – R$40,00.

Como resulta em quantidades iguais, temos:

x – R$70,00 = R$200,00 - x – R$40,00.

Aplicando o princípio de equivalência obtemos 2x = R$230,00, então

x = R$115,00, portanto, a mesada de Marta é R$115,00.


Somando-se os gastos feitos por Marta, R$70,00, com os gastos de João,

R$40,00, teremos um total de R$110,00. Subtraindo-se esse valor do total da

mesada resulta em R$90,00.

89


Considerando-se que os dois, após os gastos ficaram com quantias iguais

teremos R$90,00 divido por dois, resultando R$45,00.

Somando-se esse valor com o valor gasto por cada um, chega-se ao seguinte

resultado: Marta R$ 70,00 + R$ 45,000 = R$ 115,00 e João R$ 40,00 + R$ 45,00 =

=R$ 85,00.

• Utilizando as alternativas

Se a mesada de Marta for R$115,00, verifica-se que a de João é R$85,00

pois, as duas juntas deve ser de R$200,00.

Como Marta gastou R$70,00, ficou com R$45,00 e como João gastou

R$40,00, também ficou com R$45,00, ou seja, a alternativa A) é a correta.

Para confirmar, o aluno poderá verificar a alternativa B), procedendo da

mesma maneira, chegando à conclusão de que tal alternativa não satisfaz aos dados

da situação-problema.

QUESTÃO 9: O preço de uma corrida de táxi é composto de uma parte fixa, chamada de bandeirada, de R$3,00, mais R$0,50 por quilômetro rodado. Uma firma contratou um táxi para levar um executivo para conhecer a cidade, estipulando um gasto menor que R$60,00. O número x de quilômetros que o motorista do táxi pode percorrer nesse passeio é representado por: A) x < 50 B) x < 60 C) x < 114 D) x < 120

O objetivo dessa questão é verificar se o aluno possui a habilidade de resolver

uma situação-problema utilizando uma inequação do primeiro grau.

90


O nível de conhecimento dessa questão é classificado como nível mobilizável

uma vez que os dados estão todos explícitos no enunciado, não é uma mera

aplicação de fórmulas, ou seja, o aluno deverá mobilizar alguns conhecimentos para

sua resolução, como: operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com

números racionais e inequação do primeiro grau.

Gostaríamos de ressaltar que, de acordo com nossa análise, essa questão

deveria, na época da aplicação do SARESP/2005, ser anulada, pois, a pergunta

deveria ser: “O número máximo de x quilômetros que o motorista de táxi pode

percorrer nesse passeio é representado por...”

Da maneira como está, a questão permite mais do que uma alternativa

correta. O motorista de táxi pode percorrer, por exemplo, 20 quilômetros, o que daria

um valor total de R$13,00 e, a resposta 20 quilômetros satisfaz todas as alternativas

dadas.

Diante do acima exposto, nossa análise será feita considerando-se a mudança

por nós proposta.

Para a resolução dessa situação-problema o aluno poderá fazer da seguinte

forma:


114

5,0

57

3605,0

605,03

<

<

−<

<+

x

x

x

x


O valor máximo que pode gastar deve ser menor que R$60,00. Como a

bandeirada, que é um valor fixo, é de R$3,00 teremos R$60,00 –R$3,00 =R$57,00.

91


Considerando que para cada quilômetro pagará R$0,50, temos que para 4 km

pagará R$2,00, para 10km pagará R$5,00 e para 100km pagará R$ 50,00. Somando

os valores temos R$57,00, o que corresponde a 114 quilômetros.

� Utilizando as alternativas

Se a alternativa A) for a correta, o número de quilômetros terá que ser menor

que 50. Considerando-se um número de 50 quilômetros, resultará no valor de

R$25,00. Somando esse valor com o valor fixo da bandeirada teremos um total de

R$ 28,00. O que sobrará dinheiro para percorrer mais quilômetros.

Fazendo o mesmo com a alternativa B), 60 quilômetros, resultará em um valor

total de R$ 33,00. Com a alternativa C), 114 quilômetros, o valor total será de

exatamente R$ 60,00, concluindo-se, portanto, ser esta a alternativa correta.

Descrevemos a seguir, os procedimentos para aplicação das duas etapas da

pesquisa.

4.4. PROCEDIMENTOS DA PRIMEIRA APLICAÇÃO

No dia e horário combinado para a realização da primeira aplicação, os alunos

teriam aula da geografia, no entanto, conversamos anteriormente com o professor da

referida disciplina, o qual colaborou com esta pesquisa disponibilizando sua aula

para tal.

Estavam presentes nesta primeira etapa, além dos 33 alunos e desta

pesquisadora, o professor da sala da disciplina de geografia.

Apesar do professor acima citado não ser um observador para este trabalho,

pedimos ao mesmo que, caso tivesse algo a dizer sobre o trabalho que estava sendo

realizado, que o fizesse por escrito.

92


Procuramos criar um ambiente em classe para que as questões fossem

realizadas tal como acontece no SARESP, ou seja, provas individuais.

Agradecemos a cooperação a todos os alunos e explicamos aos mesmos que

as questões poderiam ser resolvidas a lápis ou à caneta e que, apesar de constar na

folha com as questões um espaço para identificação do aluno, isto não seria

obrigatório.

Ressaltamos, ainda, que seria muito importante que fizessem com dedicação,

e que não precisariam ficar preocupados com os resultados, uma vez que estes não

iriam interferir em suas notas escolares.

De posse da folha com as questões, os alunos fizeram alguns

questionamentos, os quais descrevemos a seguir:

Para tal descrição, utilizaremos como identificação “A” para a fala do aluno e

“P” para a fala da pesquisadora.

A1: Professora, precisa resolver?

P: Para você assinalar uma alternativa, é necessário que leiam a questão,

pensem em como vão resolver e façam a resolução.

A2: Posso pegar uma folha de rascunho?

P: Pode fazer seu rascunho na própria folha de avaliação.

A3: Precisa por nome?

P: Só se você quiser. Não é obrigatório.

A3: Posso por só o primeiro nome?

P: É uma boa idéia. Como existem várias pessoas com o mesmo nome, você

não será identificado.

Gostaríamos de registrar que os alunos iniciaram a resolução das questões às

10h10 min e terminaram às 10h25 min.

93


Após recolhermos todas as avaliações, agradecemos novamente a

participação dos alunos e marcamos um segundo encontro.

A rapidez com que os alunos resolveram as questões pode ser notada

também nas avaliações do SARESP, as quais são elaboradas com 26 questões de

Matemática e 26 questões de Língua Portuguesa a serem resolvidas em um período

de 4 horas e, no entanto, de acordo com nossa experiência, após 40 minutos do

início da prova, 50% dos alunos já querem entregá-las, pois sabem que já estarão

liberados das atividades escolares do dia.

4.5. PROCEDIMENTOS DA SEGUNDA APLICAÇÃO

É interessante registrar que durante o intervalo dado entre a primeira e a

segunda aplicação, vários alunos me paravam pelos corredores da escola,

indagando sobre o dia do nosso próximo encontro, o que já tinha sido esclarecido.

No dia marcado para a segunda aplicação, conversamos novamente com os

alunos no intuito de conscientizá-los a resolverem as questões com seriedade,

deixando a resolução na folha. Pedimos, inclusive, que não apagassem os

rascunhos, pois esses também seriam objetos de análise.

Nessa segunda aplicação, além da pesquisadora e do mesmo professor da

aplicação anterior, contamos com a presença de 32 alunos.

A aplicação teve início às 10h05min e término às 10h40min.

Ressaltamos que, apesar do tempo decorrido entre as aplicações, apenas

cinco alunos se colocaram dizendo que as questões eram as mesmas da primeira

aplicação.

94


4.6. APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS

Neste capítulo apresentamos a análise dos resultados obtidos nas duas

aplicações.

Resolvemos apresentar, primeiramente, uma análise quantitativa, da mesma

forma como é divulgado pela SEE-SP, seguida de uma análise qualitativa, baseando-

nos nos níveis de mobilização dos conhecimentos de Aline Robert (1998) como

achamos que poderia ser feito, pois, em nossa opinião, tal análise seria de fato uma

ferramenta a ser utilizada para a realização dos planejamentos sobre as habilidades

a serem trabalhadas pelos professores.

De acordo com Ludke e André (1986), uma pesquisa qualitativa tem como

uma de suas características, o ambiente em que é realizada, o qual deve ser um

ambiente natural, sem qualquer manipulação intencional do pesquisador e seu

objetivo é compreender um fenômeno do ponto de vista dos participantes.

Os dados de uma pesquisa qualitativa são descritivos e sua análise procura

identificar tendências e padrões importantes, os quais deverão, em um segundo

momento, ser reavaliados, a fim de se descobrir as relações e interferências entre

eles.

Na primeira aplicação em que o instrumento possuía alternativas a serem

assinaladas, participaram 33 alunos e na segunda aplicação, sem as alternativas

participaram 32 alunos.

A porcentagem dos acertos por questão e aplicação é descrita na tabela a

seguir:

95


Tabela 4: Percentual de acertos dos alunos na 1ªªªª e 2ªªªª aplicações

1ª Aplicação 2ª Aplicação

TOTAL DE ALUNOS

33 32

QUESTÃO 7 7 acertos 21,2% 7 acertos 21,8%

QUESTÃO 8 8 acertos 24,2% 5 acertos 15,6%

QUESTÃO 9 7 acertos 21,2% 0 acertos 0%

Observou-se que na primeira aplicação, 37,1% dos alunos não acertaram

nenhuma questão, enquanto que, na segunda aplicação, esse percentual foi de

71,9%.

Podemos atribuir o número de acertos e/ou de erros nessa primeira etapa, ao

fato das questões terem sido apresentadas com as alternativas, as quais

acreditamos terem influenciado na escolha das respostas pelos alunos.

Apresentamos a seguir, a análise por questão.

A questão 7, de acordo com a análise a priori, envolvia as habilidades de

resolver situação-problema compreendendo diferentes significados das operações

envolvendo números racionais e resolver situação-problema por meio de equação do

primeiro grau. Classificamos essa questão como sendo do nível de conhecimento

mobilizável.

Levando em consideração as estratégias utilizadas pelos alunos para a

resolução dessa questão, concluímos que nenhum deles desenvolveu as habilidades

necessárias para a resolução, uma vez que todos os alunos que acertaram a referida

questão resolveram utilizando apenas operações com números, como podemos

verificar no protocolo do aluno 1.

Esclarecemos que todos os protocolos apresentados nesta pesquisa são

referentes às resoluções feitas pelos alunos na segunda aplicação, ou seja, sem as

alternativas.

96


Figura 2: Protocolo do aluno 1 – questão 7

Percebemos, por esta resolução, que o aluno tem conhecimento do significado

da expressão “terça parte”. Foi calculada a terça parte quando dividiu 12 por 3,

verificou o resultado ao efetuar 4+4+4 = 12, porém, partiu do resultado para a

resolução, o que nos faz acreditar que ele resolveu por tentativas e depois

apresentou a resolução como uma verificação dos resultados.

Dos 32 alunos, apenas dois tentaram equacionar a situação-problema

proposta, considerando o número de fichas no início do jogo como uma incógnita, ou

seja, um número desconhecido, entretanto não obtiveram sucesso na conversão do

registro da língua natural para o registro algébrico, como se observa pelas Figuras 3

e 4.


97



Percebe-se, analisando a Figura 3, que o aluno considerou o número de fichas

no início do jogo como sendo um número desconhecido. Representou esse número

com a letra x, porém, apesar da expressão a terça parte estar, para o aluno,

relacionada com o algarismo 3, o mesmo não fez distinção entre o significado da

palavra triplo e a terça parte.

Alguns alunos apresentaram um resultado correto, porém, escreveram uma

igualdade falsa, como pode ser verificado na Figura 5.


O aluno, ao escrever 113

112 =− , mentalmente calculou

3

112 − . 1112 = .

Acreditamos que o fato dessa questão envolver números racionais na forma

fracionária contribuiu para o baixo desempenho dos alunos.

98


Um grande percentual dos alunos que errou a questão, ou seja, 68,8%,

também relacionou a expressão a terça parte com o algarismo 3, mas não

reconheceu que a terça parte de uma quantidade é essa mesma quantidade dividida

em três, como pode ser visto no protocolo do aluno 5.


Dos 32 alunos, 4 apresentaram a solução abaixo.


Pode-se dizer que esses alunos, ou estão com dificuldades ainda nas quatro

operações básicas, ou procuraram apresentar qualquer resposta, simplesmente para

cumprir a tarefa.

Com relação ao raciocínio algébrico, pode-se dizer que apenas os alunos que

acertaram a questão encontram-se no nível mobilizável, porém, com relação à

conversão dos registros de representação semiótica encontram-se no nível técnico,

99


uma vez que, do total de alunos, apenas dois tentaram a conversão dos registros,

entretanto, sem sucesso.

Na questão 8, cuja habilidade exigida era resolver situação-problema por meio

de um sistema de equações do primeiro grau e que, em nossa análise a priori,

classificamos como sendo do nível disponível, os alunos também se utilizaram

apenas de operações com números para a resolução, como podemos verificar no

protocolo do aluno 7.


Observou-se que o aluno 5 somou os gastos de João e Marta tendo obtido

R$110,00. Depois retirou do valor da soma das mesadas, obtendo R$90,00. Como o

problema citava que os dois ficavam com quantias iguais, o aluno dividiu R$90,00

por dois e, acrescentando R$45,00 aos gastos de cada um chegou ao valor das

mesadas de João e Marta.

A estratégia utilizada pelo aluno foi a mesma apresentada em nossa a priori,

utilizando apenas operações com números, porém, esperávamos que algum aluno

fosse capaz de resolver essa questão utilizando-se do registro algébrico.

100


Alguns alunos, mais precisamente 2 dos 32, tiveram um raciocínio análogo ao

apresentado acima, porém, não conseguiram concluir uma resposta satisfatória,

como pode-se observar nas Figuras 9 e 10.



Na figura 9, observa-se que o aluno efetuou todos os cálculos corretamente,

porém, apresentou o resultado 120. O correto seria concluir a resolução somando

R$45,00 com os gastos de Marta que foi de R$70,00, obtendo R$115,00 como

resposta.

Os tipos de erros foram variados, porém, percebemos que grande parte

tiveram sua causa na má interpretação do texto ou na falta de atenção nos dados

apresentados, uma vez que 31,5% dos alunos consideraram que Marta e João

ganhavam mesadas no mesmo valor como mostramos nas resoluções apresentadas

nas Figuras 11 e 12.

101



Verificamos que o aluno 10 considerou que tanto Marta como João possuíam

mesadas iniciais de R$200,00 e simplesmente subtraiu os gastos realizados por

cada um.

Os alunos não possuem o costume de validar suas respostas pois, se assim o

fizessem, poderiam repensar a sua resolução. Esses alunos sequer atentaram para o

fato de que R$130,00 + R$160,00 ultrapassa os R$200,00 informados no início do

problema.


Neste caso, o aluno também considerou mesadas iguais para Marta e João e

dividiu R$ 200,00 por dois. Subtraiu os gastos de cada um e somou os gastos,

voltando ao valor inicial.

102


Na Figura 13, podemos perceber que alguns alunos fazem uma interpretação

correta do enunciado, resolvem a situação-problema, mas não deixam registrada

qual a estratégia utilizada.


Concluímos que, com relação ao pensamento algébrico, apenas 14,3% dos

alunos conseguem realizar tarefas que encontram-se no nível disponível, no entanto,

com relação à conversão de registros de representação semiótica, todos os alunos,

inclusive os que conseguiram chegar em uma solução correta, não resolveram as

questões que estão tanto no nível disponível quanto no nível mobilizável, pois não o

fizeram equacionando a situação-problema.

A questão 9 exigia a habilidade de resolver situação-problema por meio de

uma inequação do primeiro grau, e foi classificada no nível mobilizável de

conhecimentos pelos alunos.

Como podemos ver na tabela 4, nenhum aluno acertou essa questão.

Em nossa reflexão, acreditamos que um dos fatores que levou a esse

resultado é de cunho social, pois o contexto da questão envolve um dado que muitos

não sabem o que significa: bandeirada, ou seja, para a resolução do exercício não

consideraram o valor da bandeirada como um valor fixo, como pode-se observar no

protocolo do aluno13.

103



Verificamos que esse aluno dividiu os R$60,00 pelo valor cobrado por cada

quilômetro, chegando a um resultado de 120 quilômetros.

Do total de alunos, 9, o que corresponde a 28%, apresentaram resolução

análoga.

As Figuras 15 e 16 nos mostram que alguns alunos ignoram os dados

apresentados no enunciado e, além de resolverem erroneamente, desconsideram as

unidades envolvidas.


104


O aluno 14 somou o valor da bandeirada com o valor cobrado por quilômetro

rodado, obtendo R$3,50. Subtraiu esse resultado do valor máximo estipulado

resultando em R$56,50, no entanto, desconsiderando que subtraindo dinheiro de

dinheiro o resultado só pode ser dinheiro, apresentou a resposta em quilômetros.


Analogamente, vemos que o aluno 15 desconsiderou as unidades de medida

e, somando R$3,00 com R$60,00, obteve R$63,00, mas apresentou como resposta

63km.

Nesta questão, também não observamos nenhuma tentativa de equacionar a

situação-problema.

Como nesta questão não houve acertos, concluímos que, com relação ao

nível de mobilização de conhecimentos, todos os alunos estão no nível técnico.

Diante do acima exposto e à luz da análise qualitativa das resoluções feitas

pelos alunos nessa pesquisa, percebemos a forte tendência na resolução utilizando

apenas operações com números, ou seja, fazendo a conversão do registro de

representação semiótica da língua natural para o registro numérico, resultado

semelhante ao apresentado por Booth (1995, p. 34).

Apenas na questão 7, a qual classificamos como sendo do nível mobilizável,

tivemos duas resoluções apresentadas no registro algébrico, porém, sem sucesso,

105


uma vez que dos 21,8% de acertos todos foram obtido por uma resolução

apresentada no registro numérico.

É importante que o professor aceite a estratégia empregada pelo aluno,

porém, é necessário que proponha situações-problema que o faça perceber a

importância de se utilizar o registro algébrico para a sua resolução.

Compartilhamos da opinião de Booth o qual afirma que [...] o uso de métodos

informais em aritmética pode também ter implicações na habilidade do aluno para

estabelecer (ou compreender) afirmações gerais da álgebra. (BOOTH, 1995, p.35).

Verificamos, também, que os alunos não possuem o costume de validar a

resposta encontrada, pois, se assim o fizesse, poderiam perceber o erro cometido e

refazer a atividade.

107

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A presente pesquisa, de abordagem qualitativa, teve como principal objetivo

analisar o desempenho dos alunos do 8º ano (antiga 7ª série do Ensino

Fundamental) na resolução de questões que envolvem a conversão do registro de

representação semiótica da língua natural para o registro algébrico (DUVAL, 2003),

sob a ótica dos níveis de mobilização de conhecimentos (ROBERT, 1998).

As questões analisadas foram retiradas da prova do SARESP/2005, do

período da tarde, referentes ao tema equações/expressões.

Para esta pesquisa pautamo-nos na teoria de Aline Robert (1998) e na teoria

de Raymond Duval (2003).

Aline Robert (1998) ressalta que um trabalho que considera os três níveis de

conhecimentos (técnico, mobilizável e disponível) ajuda na análise e na preparação

de atividades que permitam a construção do conhecimento matemático em diferentes

níveis, bem como auxilia na identificação dos conhecimentos prévios necessários

para a resolução de uma situação-problema.

Duval (2003, p. 31) considera que uma pluralidade de registros de

representação semiótica de um mesmo objeto e a articulação desses diferentes

registros são condições necessárias para a compreensão em matemática.

O interesse de se realizar esta pesquisa surgiu do fato de que, segundo

orientações da SEE/SP, a prova de matemática do SARESP/2005 deveria estar

fundamentada na teoria de Robert (1998), com questões nos três níveis: técnico,

mobilizável e disponível, no entanto, quando da análise realizada sobre o

desempenho dos alunos da prova em questão, tal teoria não foi contemplada.

Levando em consideração nossa experiência em sala de aula, e conhecendo

a dificuldade que muitos alunos encontram na resolução de situações-problema,

principalmente naquelas que envolvessem a conversão do registro da língua natural

108

CONSIDERAÇÕES FINAIS Rosana Ap. da Costa Vaz

para o registro algébrico, escolhemos questões que envolvesse esse tipo de

conversão.

O referencial metodológico deste trabalho foi pautado na metodologia da

engenharia didática (ARTIGUE, 1996), da qual utilizamos as quatro fases a seguir:

análises preliminares, análise a priori, experimentação e, por fim, análise posteriori e

validação.

Em nossas análises preliminares, além de buscarmos fundamentação nas

teorias de Robert (1998) e Duval (2003), acima citadas, procuramos conhecer um

pouco mais sobre as visões e concepções referentes à Álgebra, por alguns

pesquisadores, citados no capítulo III.

Buscamos, ainda, conhecer um pouco mais sobre o SARESP e o que é

apresentado nos PCN (BRASIL, 1998) sobre o tema estudado.

Para a elaboração do instrumento de pesquisa, analisamos as questões da

prova do SARESP/2005 aplicada à antiga 7ª série do Ensino Fundamental, do

período da tarde, referentes ao tema expressões/equações.

Procuramos nessa análise, identificar quais questões envolviam a conversão

dos registros de representação semiótica da língua natural para o registro algébrico,

classificando-as nos níveis de mobilização de conhecimentos técnico, mobilizável e

disponível, quando descobrimos que não havia nenhuma questão no nível técnico

que exigisse tal conversão.

De início, nosso objetivo era utilizar uma questão de cada nível de mobilização

de conhecimentos, entretanto, diante do obstáculo apresentado, resolvemos

selecionar duas questões no nível mobilizável e uma questão no nível disponível.

O instrumento de pesquisa foi aplicado a uma turma do 8º ano (antiga 7ª série

do Ensino Fundamental) de uma escola da rede pública de ensino do estado de São

Paulo, no período de aula, em duas etapas: na primeira etapa as questões foram de

109


múltipla escolha, como no SARESP e, na segunda etapa, após um intervalo de

quinze dias, reaplicamos as questões sem as alternativas, para que pudéssemos

analisar as resoluções feitas.

A análise quantitativa dos resultados confirma o que o SARESP/2005 já havia

apresentado, ou seja, um número insatisfatório de acertos.

Este tipo de análise nos permitiu perceber que há problemas, como já

sabemos, no ensino e/ou na aprendizagem de matemática, porém, não é possível,

apenas com os resultados quantitativos, diagnosticar dificuldades e erros bem como

suas possíveis origens.

Acreditamos que uma análise qualitativa, de acordo com os níveis de

mobilização dos conhecimentos de Robert (1998), nos proporcionará, além de

identificar as dificuldades dos alunos, verificar quais conhecimentos são capazes de

mobilizar.

Dos 32 alunos que participaram desta pesquisa, apenas dois tentaram a

conversão do registro da língua natural para o algébrico, porém, sem sucesso não só

na conversão dos registros como também na manipulação destes.

Sabemos que a matemática ensinada em algumas escolas é voltada ao treino

das habilidades, à mecanização da Álgebra e simples memorização de regras,

entretanto, pudemos verificar que ainda assim, mesmo na manipulação dos termos

algébricos ou numéricos, os alunos não apresentaram um rendimento satisfatório.

Tanto na questão 8 (15,6% de acertos), classificada em nossa análise como

sendo do nível disponível, como na questão 9 (0% de acertos), classificada no nível

mobilizável, não houve nenhuma resolução utilizando-se o registro algébrico.

Os erros encontrados nas resoluções dos alunos foram muitos.

110


Não fez parte dessa pesquisa investigar, com a realização de entrevistas aos

alunos ou outras estratégias, as origens desses erros, o que propomos para uma

próxima pesquisa, entretanto, analisando os protocolos, verificamos que as

dificuldades dos alunos estão presentes tanto na interpretação do enunciado e no

processo de conversão dos registros de representação semiótica (numérico quando

resolveram utilizando apenas números e, algébrico, quando tentaram equacionar),

quanto no tratamento desses registros, ou seja, na manipulação com as operações

numéricas e algébricas.

Nossa conclusão é de que, desconsiderando a estratégia utilizada para a

resolução das questões propostas em nossa pesquisa, alguns alunos conseguem

resolver questões que estão no nível disponível, porém, com relação à conversão

dos registros de representação semiótica da língua natural para o registro algébrico,

nenhum aluno obteve sucesso.

Lochhead e Mestre propõem como sugestão para amenizar as dificuldades

que os alunos encontram nesse tipo de conversão, que seja realizada uma prática

ampla do processo de tradução, isolada dos outros aspectos da resolução de

problemas. (1995, p.149).

Fazer com que os alunos adquiram o hábito de validar e justificar os

resultados encontrados também é uma estratégia bastante útil, o que permite,

inclusive, quando realizada em conjunto, discussões sobre os possíveis resultados,

momento em que o professor poderá abordar conceitos que, apesar de já terem sido

estudados, ainda não estão prontos na estrutura cognitiva do aluno.

Na sala de aula, percebemos, enquanto professores, que a aprendizagem de

alguns alunos não ocorre de uma hora para outra, havendo assim, a necessidade de

várias atividades que contemplem todos os níveis de mobilização de conhecimentos.

O curso de mestrado me fez enxergar que não estou sozinha nessa difícil

tarefa de se ensinar matemática.

111


Apesar de sabermos que as dificuldades encontradas pelas crianças no

aprendizado desta ciência são grandes, aprendi, com esta pesquisa, que uma

análise qualitativa das atividades realizadas pelos alunos, tanto nas provas como o

SARESP e principalmente naquelas propostas pelo professor em sala de aula, ajuda

a diagnosticar as dificuldades e investigar a origem de possíveis erros, partindo,

assim, para o planejamento de novos conteúdos e estratégias a serem ensinadas.

Não basta dizer que um aluno acertou ou errou uma questão, o que é feito por

muitos professores. É necessário instigá-lo a descobrir onde e porque errou.

[...] Um levantamento contínuo do que envolve exatamente o aprendizado de novos tópicos de matemática, acompanhado por uma análise dos erros cometidos pelos alunos e de suas causas, pode nos proporcionar instrumentos extremamente úteis para decidir sobre os meios de ajudar as crianças a melhorarem sua compreensão da matemática. (BOOTH, 1995, p. 36).

Nesse sentido, acreditamos que uma análise qualitativa de acordo com os

níveis de Aline Robert (1998) nos ajudará não só a identificar os possíveis erros e

dificuldades dos alunos, como também verificar quais conhecimentos nossos alunos

são capazes de mobilizar e se estão prontos para enfrentar novas tarefas em níveis

mais avançados.

A teoria de Robert ajuda o professor a selecionar atividades de todos os níveis

(técnico, mobilizável e disponível) e a aplicá-las a seus alunos no momento certo.

Como um dos objetivos do SARESP é de que professores e gestores tomem

conhecimento sobre a qualidade do ensino oferecido no Estado e, considerando as

orientações da SEE/SP de que todo início de ano que segue a aplicação do

SARESP, no período de planejamento escolar, os professores, juntamente com o

coordenador pedagógico, analisem o desempenho dos alunos em cada questão,

verificando em quais habilidades a média dos alunos obteve baixo índice de

desempenho e discutam estratégias a serem desenvolvidas e os conteúdos a serem

112


trabalhados, no sentido de sanar as defasagens apontadas pela referida avaliação,

esperamos, com esta pesquisa, ter mostrado que a análise deve ser feita de forma

qualitativa, pois só assim servirá para um trabalho efetivo em prol da aprendizagem

dos alunos.

113

REFERÊNCIAS

ARTIGUE, Michelle. Engenharia Didáctica. In: Brun, J. (direção) Didácticas das

Matemáticas. Instituto Piaget, 1996.

BOOTH, Lesley R. Dificuldades das crianças que se iniciam em álgebra. In:

COXFORD, Arthur F.(org). As idéias da Álgebra. Ed. Atual, 1995.

BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais

PCN. Brasília: MEC/SEF, 1998.

CHEVALLARD, Yves. La Transposição Didáctica: del saber sábio al saber

enseñado. Argentina: Aique, 1991.

DA ROCHA FALCÃO, Jorge Tarcísio. Alfabetização Algébrica nas séries iniciais.

Como começar? Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática, Rio

de Janeiro, n. 42, p.27-36, fev./jul. 2003.

DUVAL, Raymond. In MACHADO, Sílvia Dias Alcântara. (org). Aprendizagem em

Matemática: Registro de Representação Semiótica. Campinas: Papirus, 2003,

p.11-33.

FIORENTINI, Dario, MIORIM, Maria Ângela e MIGUEL, Antonio. Álgebra ou

Geometria: para onde pende o pêndulo? Pro-Posições, Campinas, v. 3, n. 1[7], 39-

53, mar. 1993.

______________Contribuição para Repensar...a Educação Algébrica Elementar:

Revista Pro-Posições. Faculdade de Educação da Unicamp, Vol. 4, n. 1[10], p.p.

79-91, mar, 1993.

GRANELL, C. A. A aquisição da Linguagem Matemática: símbolo e significado. In:

Teberosky, A. e Tolchinsky, L. (Eds.). Além da Alfabetização. São Paulo. Ática,

1997.

114

KIERAN, C. The Learning and teaching of school álgebra. Handbook of

Research on Mathematics Teaching and Learning, 1992.

LEE, Lesley. Early Algebra – but Witch Algebra?. Procceedings of the 12 th ICMI

Study Conference: The Future of the Theaching and Learning of Algebra. Editado por

Helen Chick, Kaye Stacey, Jill Vincent & John Vincent.Vol. 2, p. 392-399, dez. 2001.

LINS, Rômulo Campos e GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em aritmética e

álgebra para o século XXI. Campinas, SP: Papirus, 1997. – Coleção Perspectiva

em Educação Matemática.

LOCHHEAD, Jack e MESTRE, José P. Das palavras à álgebra: corrigindo

concepções erradas. In: COXFORD, Arthur F. As Idéias da Álgebra. Ed. Atual,

1995, p. 144-154.

LORENZATO, Sérgio. Para aprender Matemática. Campinas-SP. Autores

Associados, 2006.

LUDKE, Menga e ANDRÉ, Marli E. D. A. Pesquisa em Educação: Abordagens

Qualitativas. São Paulo: EPU, 1986.

MACHADO, N. J. Matemática e Língua Materna: Análise de uma Impregnação

Mútua. 3ª Edição. São Paulo. Cortez, 1993.

MACHADO, Silvia Dias Alcântara (org). Educação Matemática. Uma introdução.

Engenharia Didática como Metodologia de Pesquisa. São Paulo. Educ. 1999. p. 197

– 208.

MARANHÃO. Maria Cristina S. A., MACHADO, Silvia D.A. e COELHO, Sônia P.

Projeto: o que se entende por álgebra? In: II Seminário Internacional de Pesquisa

em Educação Matemática. 2003, II SIPEM. Anais do II SIPEM, 2003. v.1, p. 1 – 12.

115

_________________Qual a álgebra a ser ensinada em cursos de formação de

Professores de Matemática? In: VIII Encontro Nacional de Educação Matemática,

2004, VIII ENEM.

NOBRE, Ana Maria Velloso. Elaboração/Leitura de Códigos para Entender o “X

da questão”. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática. Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo. 1996.

PIRES, Célia Maria Carolino. Educação Matemática na educação básica: Uma

análise das experiências brasileiras. V CIBEM. Portugal, 2005. Disponível em CD-

ROM.

POLYA, G. A. A arte de Resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência. 1978.

QUINTILIANO, Luciane de Castro e BRITO, Márcia Regina Ferreira de. Um Estudo

sobre o desempenho de alunos do Ensino Fundamental em Tarefas

envolvendo os conceitos de equações e expressões Algébricas.Anais do III

Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. GO2 – Educação

Matemática nas séries finais do ensino fundamental e no ensino médio. São Paulo.

2006.

RIBEIRO, Alessandro Jacques. Equações e seus Multisignificados no Ensino de

Matemática: Contribuições de um estudo Epstemológico. Tese de Doutorado.

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2007.

ROBERT, Aline. Outils D’Analyse des Contenus Mathématiques à Enseigner Au

Lycéeet à L’Université. Recherches em Didatique des Mathématiques, Vol. 18. n2.

p. 139-190, 1998.

SALMAZO, Rodrigo. Atitudes e Procedimentos de Alunos frente à Leitura e

Interpretação de textos nas Aulas de Matemática. Dissertação de Mestrado em

Educação Matemática. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2005.

116

SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas

Pedagógicas. Proposta Curricular para o Ensino de Matemática: Ensino

Fundamental. 1997.

SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas

Pedagógicas. Relatório SARESP/2005. 2006.

SANTOS, Vinício de Macedo. Linguagens e comunicação na aula de Matemática

– Escritas e Leituras na educação Matemática. Associação de Leitura do Brasil.

Autêntica, 2005.

SILVA, Maria Helena da. Estudos das visões sobre Álgebra presentes nos

parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática do Ensino Fundamental em

Relação a números e operações. São Paulo, 2006. Dissertação (Mestrado em

Educação Matemática – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2006.

VIALI, Lori e SILVA, Mercedes Matte. A Linguagem Matemática como Dificuldade

por Alunos do Ensino Médio. IX Encontro Nacional em Educação Matemática Belo

Horizonte, Julho 2007. Disponível em CD-ROM.

117

ANEXOS

ANEXO 1 : MATRIZ DE ESPECIFICAÇÃO – MATEMÁTICA Ensino Fundamental – 7ª Série

Conteúdos Habilidades

1. Resolver situação-problema, compreendendo diferentes significados das operações, envolvendo números naturais.

2. Resolve situação-problema de contagem, que envolve o princípio multiplicativo.

3. Resolver situação-problema que envolve grandezas diretamente proporcionais.

4. Resolver situação-problema que envolve grandezas inversamente proporcionais.

5. Resolver situação-problema que envolve cálculo de juros simples.

6. Resolver equações do 1º grau com uma incógnita.

7. Resolver situação-problema por meio de equação do primeiro grau.

8. Resolver situação-problema por meio de um sistema de equações do primeiro grau.

9. Resolver situação-problema por meio de inequação do primeiro grau.

Números e operações

10. Efetuar operações com expressões algébricas.

11. Analisar, em paralelepípedo retângulo, a posição relativa de duas arestas (paralelas, perpendiculares, reversas) e de duas faces (paralelas, perpendiculares).

12. Reconhecer figuras tridimensionais representadas por diferentes vistas.

13. Utilizar relações de igualdade ou de suplementaridade entre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal para resolver situação-problema.

14. Utilizar propriedades de triângulos e quadriláteros pelo reconhecimento dos casos de congruência de triângulos.

15. Identificar as alturas, bissetrizes, medianas e mediatrizes de um triângulo e propriedades.

Espaço e forma

16. Reconhecer a transformação de uma figura no plano por meio de reflexão em reta, translação, rotação ou composição dessas, identificando medidas que permanecem invariantes nessas transformações (medidas dos lados, dos ângulos).

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17. Determinar a soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer.

18. Determinar o número de diagonais de um polígono convexo qualquer.

19. Resolver situação-problema envolvendo grandezas como capacidade, tempo ou massa e respectivas unidades de medida, fazendo conversões adequadas.

20. Resolver situação-problema envolvendo grandezas determinadas pela razão de duas outras (densidade e velocidade).

21. Estabelecer a razão aproximada entre a medida do comprimento de uma circunferência e seu diâmetro.

Grandezas e medidas

22. Calcular a área de superfícies planas por meio da composição e decomposição de figuras ou por meio de fórmulas.

23. Resolver situação-problema cujos dados estão expressos em tabelas de dupla entrada.

24. Resolver situação-problema cujos dados estão expressos em gráficos de colunas, barras ou setores.

25. Associar uma tabela simples a um gráfico de colunas ou setores.

Tratamento da informação

26. Identificar espaços amostrais de um evento aleatório.

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ANEXO 2: CONHEÇA O SARESP

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo - SEE/SP - vem avaliando sistematicamente a Educação Básica no Estado, desde 1996, por meio do Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo - Saresp. O Saresp tem aferido anualmente o rendimento escolar de centenas de milhares de estudantes, colocando à disposição dos educadores e gestores do ensino, bem como das famílias e da sociedade civil, os resultados da avaliação e uma série de estudos estatísticos e pedagógicos. Esse conjunto de informações subsidia professores e técnicos das diferentes redes de ensino no desenvolvimento de ações para a superação de problemas de aprendizagem e na proposição de situações de ensino cada vez mais significativas para os alunos. Ao mesmo tempo, instrumentaliza estudantes e pais para uma participação mais efetiva da gestão da escola, tendo em vista o seu aperfeiçoamento. Os dados colhidos, enfim, permitem que a sociedade civil acompanhe e fiscalize os serviços educacionais oferecidos à população, bem como efetue novas demandas. Até o momento houve oito edições do Saresp, a mais recente das quais realizada em novembro de 2004, com a participação de mais de 5 milhões de alunos, sendo 4.700.000 da rede estadual, 390.000 da rede municipal e 32.000 da rede particular. Nessa ocasião, foram avaliados todos os alunos dos Ensinos Fundamental e Médio das escolas urbanas e rurais da rede estadual na modalidade de ensino regular, e também das escolas da rede particular e das redes municipais que aderiram ao sistema. No final do ano letivo de 2005, será realizada a 9ª edição do Saresp, quando serão avaliados todos os alunos do Ensino Fundamental e Médio das escolas urbanas e rurais da rede estadual no modalidade de ensino regular. Nessa edição, como em 2004, serão também envolvidas as redes municipal e particular que aderirem ao sistema. As orientações contidas neste documento têm a finalidade de informar sobre os principais objetivos, procedimentos, compromissos e responsabilidades dos parceiros da SEE no Saresp. 1. O que é o Saresp? O Saresp é o Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo. Desde sua criação, em meados da década de 90, vem avaliando sistematicamente o sistema de ensino paulista, verificando o rendimento escolar dos alunos de diferentes séries e períodos e identificando os fatores que interferem nesse rendimento. 2• Quais são os objetivos do Saresp? O principal propósito do Saresp é obter indicadores educacionais que possam subsidiar a elaboração de propostas de intervenção técnico-pedagógica no sistema de ensino, visando a melhorar a sua qualidade e a corrigir eventuais distorções detectadas. O Saresp constitui, assim, uma espécie de “bússola” para a reorientação das ações da SEE/SP, especialmente no que diz respeito à capacitação dos recursos humanos do magistério, e do trabalho das escolas participantes. Mais ainda: ao envolver diretamente professores, alunos e pais em suas atividades, pretende contribuir para o fortalecimento e o aperfeiçoamento de uma

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cultura avaliativa não-punitiva e fomentadora de mudanças qualitativas na Educação no Estado de São Paulo. 3. A quem se dirige o Saresp? A preocupação central do Saresp é disponibilizar às escolas, às equipes pedagógicas e aos órgãos centrais da SEE/SP, bem como aos estudantes e suas famílias e à sociedade civil. em geral, informações consistentes sobre a qualidade do ensino oferecido no Estado. Com isso, possibilita aos responsáveis pelas políticas educacionais, bem como aos educadores, o aprimoramento da gestão do sistema educacional e a adoção de procedimentos e estratégias pedagógicas capazes de contribuir efetivamente para a melhoria do processo de ensino-aprendizagem. O Saresp permite também que os alunos e suas respectivas famílias, ao tomar ciência dos aspectos positivos e negativos da escola, participem de forma mais efetiva de sua gestão, e que a sociedade civil obtenha elementos que lhe possibilitem melhor acompanhar, fiscalizar e demandar os serviços educacionais oferecidos à população. 4. Qual é a abrangência do Saresp? A participação no Saresp é compulsória para todas as escolas estaduais administradas pela SEE/SP. A participação das demais redes de ensino (municipal e particular) ocorre por adesão. 5. O que o Saresp avalia? Em suas primeiras edições, o Saresp avaliou habilidades cognitivas desenvolvidas pelos alunos durante o processo de escolarização em séries e componentes curriculares diversos. Nos últimos anos, porém, o Sistema vem se centrando na avaliação das habilidades cognitivas de Leitura e Escrita adquiridas pelos alunos ao longo de todas as séries dos Ensinos Fundamental e Médio e, para esse ano será acrescido a área de Matemática. A seleção e a definição dessas habilidades está fundamentada nas Propostas Curriculares da Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas - CENP/SEE, nos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCNs e no que de fato ocorre no sistema de ensino paulista. 6. Quais instrumentos de avaliação são utilizados pelo Saresp? O Saresp utiliza basicamente dois tipos de instrumentos de avaliação para atingir seus objetivos. O primeiro consiste na aplicação de provas para medir o desempenho dos alunos em Leitura/Escrita e Matemática, constituída cada uma de questões objetivas, tanto no Ensino Fundamental (3ª a 8ª séries), quanto no Ensino Médio. Essas provas apresentam também um tema para Redação do tipo narrativo-descritivo para o Ensino Fundamental. No Ensino Médio o tema é dissertativo-argumentativo. Já para a 1ª e 2ª séries do Ensino Fundamental, as provas serão constituídas de questões predominantemente abertas. Para cada série e período, serão construídos instrumentos diferentes, mas com questões equivalentes. O segundo instrumento consiste em questionário aplicado aos alunos, por meio do qual são coletadas informações sobre suas características pessoais, o contexto socioeconômico e cultural em que vivem, sua trajetória escolar, suas percepções acerca dos professores e da gestão da escola e, também, sua participação nos projetos da SEE/SP. Objetiva-se, com este questionário, traçar os perfis dos alunos nos diferentes níveis de escolaridade e verificar as possíveis interferências desses fatores na aprendizagem. 7. Quem é responsável pela aplicação das provas do Saresp?

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A responsabilidade pela aplicação do Saresp é da SEE/SP, por meio de suas Coordenadorias (CENP, COGSP e CEI), da Fundação para o Desenvolvimento da Educação, das Diretorias de Ensino, das escolas, dos diretores e dos professores aplicadores. Em 2004, a avaliação contou, ainda, com a participação das Secretarias e Conselhos Municipais de Educação, além de representantes da rede particular de ensino Todos os anos é contratada, enfim, uma empresa responsável pela assessoria técnica ao Sistema e pela logística da avaliação. 8. Como são disponibilizadas as informações sobre a aplicação do SARESP? Os educadores da rede estadual responsáveis pelo Saresp passam por um processo de capacitação, realizado em nível central, regional e local, a partir de ações presenciais e videoconferências. São fornecidos a todos os envolvidos, além disso, manuais com orientações a respeito dos procedimentos padronizados adotados em cada etapa do Saresp. As redes municipal e particular, por sua vez, recebem todas as informações sobre a aplicação e correção das provas nos treinamentos organizados pelas Diretorias de Ensino, juntamente com as escolas da rede estadual. 9. Quando é aplicado o SARESP? A aplicação das provas ocorre no final do ano, no mesmo horário de início das aulas nos períodos da manhã, tarde e noite, em dois dias consecutivos. O primeiro dia é destinado à aplicação da prova de Leitura e Matemática. Já no segundo dia os alunos produzem um texto e respondem ao questionário. 10. O que acontece nos dias da aplicação do SARESP? Nos dias da aplicação do Saresp, a escola toda se mobiliza para a avaliação. Os aplicadores das provas são os professores do próprio estabelecimento de ensino, coordenados pelo diretor. Há um aplicador para cada turma de alunos. Os aplicadores do período chegam à escola meia hora antes do início da prova e seguem rigorosamente os procedimentos do Manual de Aplicação discutido no treinamento. Pais de alunos também se fazem presentes, acompanhando e fiscalizando a aplicação. 11. Como são corrigidas as provas do Saresp? Com relação à 1ª e à 2ª séries do Ensino Fundamental, as questões abertas que compõem a prova são corrigidas e transcritas pelos professores, seguindo as orientações do Roteiro de Correção das Provas. No que diz respeito às provas da 3ª à 8ª séries do Ensino Fundamental e àquelas do Ensino Médio, a parte objetiva é corrigida por meio de processamento eletrônico efetuado pela empresa contratada. A correção das redações é feita pelos professores capacitados para esta etapa avaliativa.

12. Como e qua 12. Quando é feita a divulgação dos resultados do SARESP?

A divulgação dos resultados do Saresp é feita por meio de uma série de informes e relatórios, enviados a cada instância envolvida e/ou disponibilizados no site da SEE/SP ( www.educacao.sp.gov.br ) a tempo de serem utilizados no planejamento escolar. Entre eles, destacam-se: • o Quadro diagnóstico das habilidades avaliadas por turma e aluno – apresenta os resultados de cada aluno;

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• o Informe personalizado de resultados da avaliação por escola – com dados de abrangência, estatísticas básicas por prova, série e período, bem como resultados por habilidades série e período e dados da rede de ensino à qual o estabelecimento se filia; e • o Informe personalizado de resultados da avaliação por rede – com dados de abrangência série e período, do conjunto das escolas de cada rede. Além desses informes, são divulgados os gabaritos das provas de todas as séries e períodos, juntamente com as matrizes de especificação das habilidades avaliadas, no site da SEE/SP. É divulgado, também, por rede de ensino, um relatório quantitativo acerca do perfil dos alunos. A devolução de resultados a cada estabelecimento de ensino ocorre em caráter confidencial e tem cunho formativo, já que o Saresp adota um enfoque centrado no uso da informação como instrumento de aprendizagem profissional para os gestores e educadores. Os resultados globais do Saresp, por sua vez, são divulgados através da imprensa, para que a população possa conhecer os resultados da avaliação do ensino oferecido, e por meio de um relatório final da avaliação. 13. Como os gestores e os educadores utilizam os resultados do Saresp? Os resultados do Saresp constituem importantes instrumentos de monitoramento do ensino. Eles subsidiam a tomada de decisão e o estabelecimento de políticas públicas no campo da Educação no Estado de São Paulo. Reorientam também o trabalho pedagógico em termos de demandas de capacitação e de elaboração de planos e estratégias de ação, com vistas a melhorar as práticas pedagógicas em cada unidade escolar. Condições de adesão das redes municipal e particular 14. Como as redes municipal e particular participam do SARESP?: A participação das escolas das duas redes se dará por adesão, desde que: • assumam as despesas decorrentes do processo avaliativo, mediante contrato a ser firmado com a empresa externa prestadora de serviços; • contem com a participação de todas as escolas urbanas e rurais de cada município que oferecem Ensino Fundamental e/ou Ensino Médio. No caso da rede particular de ensino, cada escola deverá manifestar a sua adesão ao sistema de avaliação; • participem com a totalidade dos alunos que freqüentam as escolas nos períodos da manhã, tarde e noite da 3ª à 8ª séries do Ensino Fundamental e da 1ª à 3ª séries do Ensino Médio; em classes regulares, exceto alunos da Educação de Jovens e Adultos (EJA) e classes multisseriadas; • indiquem, no caso da rede municipal, representantes de suas Secretarias / Departamentos e/ou dos seus Conselhos Municipais de Educação, para atuarem como coordenadores regionais da avaliação. Já as escolas da rede particular deverão participar do processo, por meio de representantes de suas entidades sindicais e/ou associativas. A avaliação das primeiras séries do Ensino Fundamental está vinculada à existência de professores nas redes municipal e particular que participaram do Programa de Formação de Alfabetizadores (PROFA) ministrado pelo Ministério da Educação ou do Projeto Letra e Vida, em desenvolvimento pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo. Essa decisão se justifica em razão da especificidade da avaliação das 1as e 2as séries na rede da SEE que, vinculada aos pressupostos desse Projeto, requer procedimentos específicos para a aplicação e correção de provas. 15. Como viabilizar a participação no SARESP?

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É necessário que cada rede de ensino indique um coordenador da avaliação em sua cidade e/ou região, para atuar como um elo entre as escolas e a Diretoria de Ensino, com o seguinte perfil: • seja dinâmico e ágil nas tomadas de decisões; • tenha interesse pela área de avaliação e capacitação de recursos humanos; • tenha boa articulação pessoal e profissional com as equipes técnicas da sua rede de ensino e das escolas; • tenha disponibilidade e tempo para desenvolver as ações previstas pelo sistema de avaliação. Assim, este coordenador terá como atribuições: • mapear as suas escolas quanto ao número de alunos por série, período e turma; • divulgar o SARESP; • participar da capacitação em nível de Diretoria de Ensino; • capacitar as equipes escolares; • receber e distribuir os materiais de aplicação; • zelar pelo sigilo das provas; • supervisionar a aplicação; • divulgar os resultados para as escolas. 16. Até quando e como é possível fazer a adesão no SARESP? A adesão poderá ser feita até final de julho de 2005, por meio eletrônico. Para tanto, acesse o site da SEE – www.educacao.sp.gov.br . Clique no ícone Saresp/2005 - Condições de adesão e preencha a ficha de adesão, informando todos os dados solicitados. Posteriormente, a SEE entrará em contato para confirmar os dados coletados, como também para prestar informações complementares a respeito do processo de implantação da avaliação, em 2005. A adesão ao Saresp se formalizará mediante assinatura de contrato entre o município ou escola particular com a empresa licitada pela SEE para prestar serviços na área de avaliação. 17. O que fazer em caso de dúvidas no andamento das etapas do SARESP? Em caso de dúvidas e/ou maiores informações sobre diferentes aspectos relacionados ao processo de aplicação das provas, ligar para a Equipe de Avaliação da FDE, nos telefones (11)3327-4225/4226/4230 ou por e-mail [email protected] (retirado do site http://saresp.edunet.sp.gov.br, acesso em 28.02.2008)

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ANEXO 3: Resolução SE Nº 81, de 19/10/2005

Dispõe sobre a realização das provas de avaliação relativas ao Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo – Saresp-2005

O Secretário de Estado da Educação, considerando:

• • a relevância que o sistema de avaliação assume para os educadores das escolas que oferecem Educação Básica;

• • a participação das escolas da rede estadual no Saresp e a importância da adesão das escolas das redes municipal e particular na ampliação desse processo;

• • os resultados dessa avaliação como indicadores para a elaboração de ações e projetos pedagógicos inovadores, além de programas de formação continuada para os educadores das diferentes redes de ensino;

• • a necessidade de avaliar competências e habilidades dos alunos das redes estadual, municipal e particular de ensino ao final de cada série de aprendizagem;

• • a necessidade de se assegurar às diferentes redes de ensino as condições necessárias para uma efetiva operacionalização desse processo,

resolve: Artigo 1º - A avaliação do Saresp – 2005 será realizada nos dias 9 e 10 de novembro, nos períodos da manhã, tarde e noite, e abrangerá, obrigatoriamente, todos os alunos do ensino regular matriculados no Ensino Fundamental e no Ensino Médio das escolas da rede estadual de ensino, além dos alunos das escolas municipais e particulares que aderiram à proposta de participação.

§ 1º - No caso da rede estadual de ensino a avaliação envolverá, ainda, alunos das Classes de Aceleração, de Recuperação de Ciclo e de Flexibilização. § 2º - Nos dias de aplicação das provas, nas escolas da rede estadual, haverá aula para os alunos das modalidades de ensino que não serão objeto de avaliação do Saresp 2005. Artigo 2º - A avaliação de que trata o artigo anterior visa aferir o domínio das competências e habilidades básicas previstas para o término de cada série e consistirá de provas de Leitura/Escrita e de Matemática.

Artigo 3º - As provas serão realizadas em dois dias consecutivos, no horário de início regular das aulas adotado pelas escolas participantes, conforme quadros anexos – I e II - que integram a presente resolução.

Parágrafo único: Os alunos realizarão as provas na escola e classe que vêm freqüentando no ano em curso.

Artigo 4º - As provas terão a seguinte constituição: I – para as classes de 1a e 2a séries do Ensino Fundamental, questões abertas de Leitura/Escrita e de Matemática; II – para as classes de 3a e 4a séries do Ensino Fundamental, 40 questões de múltipla escolha - 20 de Leitura e 20 de Matemática – e uma proposta de redação; III – para as classes de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental e 1ª a 3ª séries do Ensino Médio, 52 questões de múltipla escolha - 26 de Leitura e 26 de Matemática - e uma proposta de redação.

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§ 1º - A proposta de redação será de um texto narrativo-descritivo para as séries do Ensino Fundamental ( 3a a 8a ) e de um texto dissertativo-argumentativo para o Ensino Médio ( 1a a 3ª ). § 2º - Serão aplicadas provas diferentes, com grau de dificuldade equivalente, para cada série e período ( manhã, tarde e noite ).

§ 3º - Além das provas, será aplicado um questionário socioeconômico, para o Ensino

Fundamental e Ensino Médio.

Artigo 5º - A prova terá a duração máxima de 3 (três) horas e o aluno do Ensino Fundamental ou Médio somente poderá ausentar-se após 1 (uma) hora e 30 minutos do seu início.

Artigo 6º - A aplicação da prova caberá aos professores da própria escola observando-se que: I Os professores das 1as e 2as séries do Ensino Fundamental deverão aplicar as provas em turmas diversas das séries em que lecionam. II Nas demais séries, as provas deverão ser aplicadas, preferencialmente, por professores que lecionam em turmas diferentes.

III Os professores serão acompanhados por profissionais da Diretoria de Ensino e por

representantes de pais de alunos, sob coordenação do diretor da escola.

Artigo 7º - As atividades de elaboração das provas, logística da avaliação, leitura ótica, processamento dos dados e elaboração de relatórios e informes com resultados das escolas, Diretoria de Ensino, Coordenadoria de Ensino e Estado, estarão sob a responsabilidade da Fundação Cesgranrio, em conformidade com as orientações da Secretaria de Estado da Educação e da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE.

Artigo 8º - As atividades necessárias à realização do Saresp, observados os prazos estabelecidos no cronograma a ser oportunamente divulgado, deverão ser desenvolvidas pelas equipes das Diretorias de Ensino e por profissionais das redes municipal e particular e das escolas estaduais, municipais e particulares, segundo as orientações e procedimentos contidos nos Manuais de Orientação, de Redação e do Aplicador e do Roteiro de Correção das Provas da 1ª e 2ª séries do Ensino Fundamental, e devidamente discutidos nas respectivas ações de capacitação.

Artigo 9º - Caberá ao diretor da unidade escolar:

I – zelar pela divulgação das condições, datas e horários de realização das provas, cuidando do cumprimento dos procedimentos formais; II – informar a população sobre a interrupção do atendimento ao público em geral nos dias das provas; III – garantir que os serviços internos de apoio escolar transcorram normalmente; IV – organizar e coordenar, na escola, todo o processo da avaliação; V – indicar, em consenso com o Conselho de Escola, três representantes de pais, por período, para acompanhar a avaliação; VI – indicar os professores de sua escola que exercerão a função de aplicador;

VII – conferir os materiais de aplicação, tendo como base o Manual de Orientação e a Planilha de Controle de Recebimento por Escola; VIII – organizar o processo de aplicação da prova, remanejando os professores para atuarem, preferencialmente, em turmas em que não ministrem aulas;

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IX – organizar, na escola, junto com o professor coordenador e os professores participantes do Programa "Letra e Vida", quando houver, o processo de correção das provas de Leitura/Escrita e de Matemática das 1as e 2as séries, conforme orientações contidas no Roteiro de Correção; X – formar uma banca para correção das redações produzidas pelos alunos das 3as às 8as séries do Ensino Fundamental e pelos alunos do Ensino Médio, composta por professores do Ciclo I, professores de Língua Portuguesa do Ciclo II e do Ensino Médio, conforme orientações contidas no Manual de Redação; XI – organizar o processo de correção das redações, mantendo regularmente as atividades escolares para todos os alunos; XII – devolver o material correspondente à avaliação para a Diretoria de Ensino, tendo como base o Manual de Orientação e a Planilha de Controle de Devolução por Escola, em dois momentos:

a) primeiro momento: dia 11 de novembro de 2005; lb) segundo momento: dia 1º de dezembro de 2005.

XIII – armazenar os cadernos de provas respondidos pelos alunos até um ano após a data da aplicação. § 1º - Na impossibilidade de atender ao previsto no inciso IX deste artigo, o diretor de escola deverá encaminhar à DE o pacote contendo os cadernos de provas da 1ª e 2ª séries do Ensino Fundamental e as respectivas folhas de resposta em branco.

§ 2º - Na constituição da banca de que trata o inciso X deste artigo, cada professor

designado deverá corrigir redações de turmas diferentes daquelas em que ministra aulas.

Artigo 10 - Caberá ao dirigente regional de ensino: I – garantir o sigilo absoluto das informações contidas nos cadernos de provas, adotando medidas seguras nas etapas de armazenamento e distribuição; II – supervisionar a aplicação da prova a ser realizada nas unidades escolares sob sua jurisdição, auxiliado pelo coordenador de avaliação, função a ser desempenhada pelo supervisor de ensino ou pelo assistente técnico pedagógico; III – indicar os profissionais da Diretoria de Ensino que acompanharão a aplicação; IV – organizar, juntamente com o coordenador de avaliação, um plantão para esclarecimentos de dúvidas, nos dias de prova, na Diretoria de Ensino;

V - providenciar a infra-estrutura necessária para a realização da avaliação;

VI – zelar pelo cumprimento dos procedimentos e orientações necessárias à realização do processo de avaliação; VII – decidir sobre casos não previstos na presente resolução.

Artigo 11 - Caberá ao coordenador de avaliação da Diretoria de Ensino: I – promover reuniões de orientação na Diretoria de Ensino com os diretores das unidades escolares, a fim de informá-los sobre os instrumentos e procedimentos a serem adotados na realização da avaliação; II – capacitar os representantes das redes municipal e particular nas questões técnico-operacionais da avaliação; III – organizar e coordenar o recebimento e a distribuição dos materiais necessários para a realização da avaliação em todas as redes de ensino, de acordo com o Manual de Orientação e da Planilha de Controle de Recebimento por Escola; IV – organizar, na Diretoria de Ensino, sob a responsabilidade da Coordenadora Geral do Programa “Letra e Vida”, uma equipe constituída por coordenadores de grupos e professores que já tenham participado do Programa e pelo Assistente Técnico-Pedagógico

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de Matemática, para a correção das provas dos alunos de 1as e 2as séries do Ensino Fundamental de Leitura/Escrita e de Matemática; V – organizar, na Diretoria de Ensino, uma equipe que, sob a coordenação do Assistente Técnico-Pedagógico de Língua Portuguesa, fará a análise da amostra das redações sorteadas entre as turmas de 3as a 8as séries do Ensino Fundamental e das três séries do Ensino Médio; VI – coordenar o plantão de dúvidas na Diretoria de Ensino; VII – organizar o acompanhamento da aplicação da prova do Saresp-2005, assegurando, nesses dias, a presença nas escolas de técnicos da Diretoria de Ensino;

VIII – realizar, com base no Manual de Orientação e na Planilha de Controle de Devolução por Escola, a conferência dos materiais de avaliação devolvidos pelas escolas estaduais, municipais e particulares, em dois momentos:

a) a) primeiro momento: dias 16 e 17 de novembro de 2005 – materiais a serem retirados na Diretoria de Ensino pela Fundação Cesgranrio;

b) b) segundo momento: até dia 6 de dezembro de 2005 – materiais a serem enviados pela Diretoria de Ensino à Fundação Cesgranrio, aos cuidados do Prof. Werner – Departamento de Concursos, Rua Santa Alexandrina, no 1.011, Rio Comprido – CEP 20261-235 – Rio de Janeiro, RJ – telefone (21) 2103-9600.

Artigo 12 - Caberá aos coordenadores de avaliação das redes municipal e particular: I – mapear as respectivas escolas quanto ao número de alunos, por série, período e turma; II – participar da capacitação promovida pela Diretoria de Ensino; III – capacitar as equipes escolares; IV – coordenar o recebimento e a distribuição dos materiais necessários à realização da avaliação das escolas de todas as redes; V – garantir o sigilo absoluto das informações contidas nos cadernos de provas, adotando medidas seguras na realização das etapas de armazenamento e distribuição; VI – providenciar a infra-estrutura necessária à realização da avaliação; VII – zelar pelo cumprimento dos procedimentos necessários à aplicação da prova; VIII – acompanhar e supervisionar todo o processo de aplicação da prova; IX – organizar um plantão para esclarecimento de dúvidas, nos municípios e em cada escola particular, Artigo 13 - A Secretaria de Estado da Educação disponibilizará, no dia 30 de novembro de 2005, no site www.educacao.sp.gov.br, os gabaritos, por série e período, e as respectivas tabelas de especificação com as habilidades avaliadas pelo Saresp-2005,

Artigo 14 - Caberá à Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENP expedir instruções complementares à presente resolução.

Artigo 15 - Esta resolução entra em vigor na data de sua publicação.

ANEXOS DE QUE TRATA O ARTIGO 3º

ANEXO I

SARESP 2005 – Calendário de Atividades – Ensinos Fundamental e Médio

Data Atividades Séries

9 de novembro Prova de Leitura e Escrita 1a. e 2a. séries do E.F.

129

Prova de Leitura e Matemática 3a. série do E.F. até 3a. série do

E.M.

Prova de Matemática 1a. e 2a. séries do E.F.

Prova de Redação

10 de novembro

Aplicação de questionário

3a. série do E.F. até 3a. série do

E.M.

ANEXO II

SARESP 2005 – Horário das Provas – Ensinos Fundamental e Médio

Horário de Início das Aulas Período de Aplicação

Turmas que iniciam entre 6h45 e 10h59 Manhã

Turmas que iniciam entre 11h00 e 16h59 Tarde

Turmas que iniciam a partir das 17h00 Noite

O horário de início das provas será o mesmo do início das aulas.

http://paisonline.homestead.com/files/ResSE81191005.doc

131

ANEXO 4: Comunicado da SEE/SP

Saresp 2005 vai avaliar mais de cinco milhões de alunos das redes estadual,

municipal e particular

Quarta - feira 09 de Novembro de 2005 10h00 Nos dias 9 e 10 de novembro, mais de cinco milhões de alunos da Educação

Básica passam por avaliação de Leitura, Escrita e Matemática Mais de quatro milhões de alunos da rede pública estadual serão avaliados

em suas habilidades de Leitura, Escrita e Matemática, nos dias 9 e 10 de novembro, pelo Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (Saresp), que se tornou um modelo de referência de avaliação em todo o Brasil. Além da previsão dos 4.447.714 alunos de 5.279 escolas estaduais, participarão da nona edição do Saresp 791.468 alunos de 2.093 escolas municipais e mais 22.527 alunos de 71 escolas particulares.

Com esses números, a abrangência do Saresp 2005 deve alcançar um total

de 5.261.709 de alunos de todas as séries do Ensino Fundamental e Médio, das escolas urbanas e rurais da rede estadual e também das escolas das redes particular e municipal que aderiram ao sistema. No ano passado, passaram pela avaliação 390 mil alunos de redes municipais, um número que praticamente dobrou em 2005, com os 329 municípios que aderiram. As demais avaliações realizadas no País geralmente são por amostragem e não permitem uma análise global do ensino em todas as séries.

Matemática é a novidade do 2005 A principal novidade do Saresp 2005 é a inclusão de Matemática. Nas suas

primeiras edições, o Saresp avaliou as habilidades cognitivas desenvolvidas pelos alunos durante o processo de escolarização em séries e componentes curriculares diversos . Nós últimos anos, porém, o Sistema vem considerando as habilidades cognitivas de leitura e escrita adquiridas pelos alunos ao longo de todas as séries. Desde o ano de sua implantação, em 1996, até 2000, o sistema avaliava anualmente apenas duas séries (do Ensino Fundamental ou Médio). Em 2.000, foram avaliadas três séries. Em 2001 e 2002, foram avaliadas as séries de final de ciclo de 4ª e 8ª série do Ensino Fundamental. Já em 2003 e 2004 p articiparam todos os estudantes da 1ª a 8ª série do Ensino Fundamental e de 1ª a 3ª série do Ensino Médio.

O Saresp utiliza basicamente dois instrumentos de avaliação. O primeiro

consiste na aplicação de provas para medir o desempenho dos alunos em Leitura/Escrita e Matemática, constituída cada uma de questões objetivas, tanto para

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o Ensino Fundamental (3 a a 8 a séries) quanto no Ensino Médio. Essas provas apresentam também um tema para redação do tipo narrativo descritivo para o Ensino Fundamental. No Ensino Médio o tema é dissertativo-argumentativo. Para a 1 a e 2 a séries do Ensino Fundamental as provas são constituídas de questões abertas.

O segundo instrumento é o questionário do aluno, por meio do qual são coletadas informações sobre suas características pessoais, seu contexto socioeconômico e cultural, sua trajetória escolar, suas percepções acerca dos professores e da gestão da escola, além de sua participação nos projetos da SEE.

Base para o planejamento escolar de 2006 Com os resultados do Saresp 2005, a Secretaria de Educação terá um

diagnóstico das habilidades do aluno em Leitura e Escrita e Matemática, que lhe servirá de base para o planejamento escolar de 2006, criando ainda os programas de recuperação e reforço. Num segundo momento, todas as escolas, diretorias de ensino e coordenadorias receberão um informe personalizado de resultados, com dados de abrangência e desempenho, dados comparativos de série a série e ano a ano, e escalas de habilidades com os níveis de desempenho em Leitura e Matemática.

O conjunto deste material, que se torna uma radiografia da realidade do

Ensino Básico em São Paulo, é o instrumento para definir políticas públicas, para reorientar programa e projetos educacionais e também o projeto pedagógico de cada escola na rede estadual. Essas iniciativas enriquecem todo o processo pedagógico oferecendo indicadores quantitativos e qualitativos importantes para direcionar as propostas pedagógicas de cada escola, o trabalho docente na sala de aula e os investimentos da Secretaria da Educação.

Vera Souza Dantas

Secretaria de Estado da Educação - 2004

Todos os direitos reservados - SEESP/GTI (retirada do site http://saresp.edunet.sp.gov.br/2005, acesso em 28.02.2008)

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ANEXO 5: Orientações disponibilizadas pela Diretoria Regional de Ensino da Cidade de Osasco. No SARESP de Matemática relativa ao Ensino Fundamental, é importante que a avaliação leve em conta algumas discussões e propostas referentes ao ensino dessa disciplina: � o direcionamento do Ensino Fundamental para a aquisição de competências básicas necessárias ao cidadão e não apenas voltadas para a preparação de estudos posteriores; � a importância do desempenho de um papel ativo do aluno na construção do seu conhecimento; � a ênfase na resolução de problemas, na exploração da Matemática a partir dos problemas vividos no cotidiano e encontrados nas várias disciplinas e não a mera mecanização de regras e técnicas; � a importância de trabalhar com amplo espectro de conteúdos, incluindo além dos números e operações, a geometria, as grandezas e medidas e algumas noções de elementos de estatística, probabilidade e combinatória para atender à demanda social que indica a necessidade de abordar esses assuntos. É importante contemplar na avaliação as competências e habilidades as quais se pretende que os alunos do Ensino Fundamental construam ao longo de cada um dos anos de sua escolaridade, a saber: � identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo à sua volta; � perceber o caráter de jogo intelectual, característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas; � fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade, estabelecendo inter-relações entre eles, utilizando o conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico); � selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las criticamente; � resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como intuição, indução, dedução, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis; � comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e

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estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas; � estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares; � sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a perseverança na busca de soluções. No SARESP de Matemática relativa ao Ensino Médio, é importante que a avaliação leve em conta algumas discussões e propostas referentes ao ensino dessa disciplina: � o direcionamento do Ensino Médio para a aquisição de competências básicas necessárias ao cidadão e não apenas voltadas para a preparação de estudos posteriores; � a importância do desempenho de um papel ativo do aluno na construção do seu conhecimento; � a ênfase na resolução de problemas, na exploração da Matemática a partir dos problemas vividos no cotidiano e encontrados nas várias disciplinas e não a mera mecanização de regras e técnicas; � a importância de trabalhar com amplo espectro de conteúdos, incluindo além dos números e operações, a geometria, as grandezas e medidas e algumas noções de elementos de estatística, probabilidade e combinatória para atender à demanda social que indica a necessidade de abordar esses assuntos. É importante contemplar na avaliação as competências e habilidades as quais se pretende que os alunos do Ensino Médio construam ao longo de cada um dos anos de sua escolaridade, a saber: � compreender conceitos, procedimentos e estratégias Matemáticas que permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral; � aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando-os na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades cotidianas; � analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando ferramentas Matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita expressar-se criticamente sobre problemas da Matemática, das outras áreas do conhecimento e da atualidade; � raciocinar e resolver problemas, de comunicação, bem como o espírito crítico e criativo; � utilizar com confiança procedimentos de resolução de problemas para desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos; � expressar-se escrita e graficamente em situações Matemáticas e valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em Matemática; � estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e o conhecimento de outras áreas do currículo;

135

� reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando procedimentos associados às diferentes representações; � promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança em relação às suas capacidades Matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de autonomia e cooperação. Buscando contemplar essas premissas, para cada etapa do Ensino Fundamental e Ensino Médio, os descritores, apresentados nos quadros anexos, têm a finalidade de indicar os campos de conteúdo que serão explorados na avaliação, com a finalidade de orientar os elaboradores de questão e de divulgá-los aos sistemas de ensino.

Indicações para a elaboração da prova

1. As questões devem ser elaboradas a partir de contextos que confiram significados. 2. É fundamental que na formulação de questões seja considerado o nível de conhecimento mobilizado na resolução da questão, de modo promover uma diversidade de possibilidades. Sugerimos como referência a classificação de Aline Robert, que em seu artigo “Ferramentas de análise de conteúdos a ensinar” (1998) classifica o funcionamento de conhecimento pelos alunos em três níveis: técnico, mobilizável e disponível. O aluno põe em funcionamento um conhecimento de nível técnico quando resolve uma questão simples que corresponde a uma aplicação imediata de um conhecimento. Em geral, há indicação do método a utilizar. No nível de funcionamento mobilizável, os conhecimentos que serão utilizados estão bem identificados no enunciado da questão, mas necessitam de alguma adaptação ou de alguma reflexão antes de serem colocados em funcionamento. O nível de funcionamento disponível corresponde a resolver uma situação proposta sem nenhuma indicação ou sugestão em seu enunciado. É preciso achar os conhecimentos que favorecem a resolução da questão. A porcentagem para essa distribuição pode ser a seguinte:

Nível Percentual

Técnico 20

Mobilizável 50

Disponível 30

3. Deve-se privilegiar a resolução de problemas em todos os itens em especial as de

nível mobilizável e disponível.

137

ANEXO 6: MODELO DE AUTORIZAÇÃO DA DIREÇÃO DA ESCOLA

À Sra. Diretora

Maria Jeanette Pontim

E.E. Dr. Antonio Braz Gambarini

Venho pelo presente solicitar vossa autorização para que eu, Rosana Ap. da

Costa, possa desenvolver parte de meu trabalho de Mestrado, junto aos alunos do 8º

ano (antiga 7ª série do ensino fundamental) desta Unidade Escolar.

A pesquisa consiste em dois encontros, no período de duas aulas cada, com

aplicação de questões do SARESP/2005. O objetivo é analisar o desempenho dos

alunos em questões envolvendo o conteúdo expressões e equações, por nível de

mobilização de conhecimentos.

Informo que estou providenciando autorizações junto aos responsáveis para

que os alunos participem desse trabalho.

Certo de ser merecedora de vossa atenção envio meus agradecimentos.

________________________________ Rosana Ap. da Costa e-mail: [email protected]

139

ANEXO 7: MODELO DE AUTORIZAÇÃO DO RESPONSÁVEIS PELO ALUNO

AUTORIZAÇÃO PARA A REALIZAÇÃO DA PESQUISA

Osasco,....... de março de 2008.

Autorização do responsável legal do(a) aluno(a) _____________________

_______________ matriculado(a) no 8º ano do ensino fundamental II, a participar

como voluntário(a) de uma pesquisa sob responsabilidade da pesquisadora, Rosana

Ap. da Costa, aluna do curso de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática da

PUC-SP e da Professora Drª Barbara Lutaif Bianchini, orientadora da pesquisa e

docente do Programa de Mestrado da PUC-SP.

O objetivo da pesquisa é analisar o desempenho dos alunos em questões do

SARESP/2005, por nível de mobilização de conhecimentos. Serão dois encontros,

no horário de aula.

Conto com a autorização da Direção desta Instituição de Ensino e informo

que todas as publicações realizadas a partir desse trabalho, serão feitas preservando

a identidade dos alunos envolvidos.

____________________________________ Nome do responsável ______________________________________ Assinatura do responsável ________________________________ Rosana Ap. da Costa e-mail: [email protected]

141

ANEXO 8: QUESTÕES DA 1ª APLICAÇÃO NOME: ________________________________________________________

ESCOLA: ______________________________________________________

AS QUESTÕES ABAIXO FORAM RETIRADAS DA PROVA DO SARESP/2005, APLICADA À 7ª SÉRIE, PERÍODO DA TARDE. QUESTÃO 7:

Zeca entrou num jogo com certo número de fichas. Na primeira rodada, perdeu a terça parte, mas, na segunda rodada ganhou três fichas, ficando com 11 fichas no final. As fichas de Zeca no início do jogo eram em número de: A) 11 B) 12 C) 14 D) 20

QUESTÃO 8:

A soma das mesadas de Marta e João é R$200,00. No mês passado, Marta gastou R$70,00 e João gastou R$40,00 e, ao final do mês, estavam com as mesmas quantias. A mesada de Marta é: A) R$115,00 B)R$120,00 C)R$135,00 D)R$152,00

QUESTÃO 9:

O preço de uma corrida de táxi é composto de uma parte fixa, chamada de bandeirada, de R$3,00, mais R$0,50 por quilômetro rodado. Uma firma contratou um táxi para levar um executivo para conhecer a cidade, estipulando um gasto menor que R$60,00. O número x de quilômetros que o motorista do táxi pode percorrer nesse passeio é representado por: A) x < 50 B) x < 60 C) x < 114 D) x < 120

143

ANEXO 9: QUESTÕES DA 2ª APLICAÇÃO NOME: ________________________________________________________

ESCOLA: ______________________________________________________

AS QUESTÕES ABAIXO FORAM ADAPTADAS DA PROVA DO SARESP/2005, APLICADA À 7ª SÉRIE, PERÍODO DA TARDE. QUESTÃO 7:

Zeca entrou num jogo com certo número de fichas. Na primeira rodada, perdeu a terça parte, mas, na segunda rodada ganhou três fichas, ficando com 11 fichas no final. Determine o número fichas que Zeca tinha no início do jogo.

QUESTÃO 8:

A soma das mesadas de Marta e João é R$200,00. No mês passado, Marta gastou R$70,00 e João gastou R$40,00 e, ao final do mês, estavam com as mesmas quantias. Calcule o valor da mesada de Marta.

QUESTÃO 9:

O preço de uma corrida de táxi é composto de uma parte fixa, chamada de bandeirada, de R$3,00, mais R$0,50 por quilômetro rodado. Uma firma contratou um táxi para levar um executivo para conhecer a cidade, estipulando um gasto menor que R$60,00. Qual será o maior número possível de quilômetros que o motorista do táxi poderá percorrer nesse passeio?

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