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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

JOSE FERNANDO POSSANI

Uma sequência didática para a aprendizagem do volume

do icosaedro regular

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

São Paulo 2012


PUC/SP

JOSE FERNANDO POSSANI

Uma sequência didática para a aprendizagem do volume do icosaedro regular

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação do Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud.

PUC/SP 2012

Banca examinadora

_________________________________

_________________________________

_________________________________

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou

parcial desta dissertação por processos de fotocopiadora ou eletrônicos.

Assinatura: _______________________________ São Paulo, ___ / ___ / _____.

Dedico este trabalho aos meus pais, Romildo Possani e Silvana Batista Possani, que são as pessoas mais importantes da minha vida.

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus.

Ao Professor Doutor Saddo Ag Almouloud, pelo trabalho de orientação e confiança para que este trabalho fosse desenvolvido.

Aos membros da banca, Professores Doutores Maria José Ferreira da Silva e André Ricardo Magalhães pelas valiosas sugestões e contribuições para essa pesquisa.

Ao corpo docente do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP, que foram muito importantes para a minha formação.

Aos Funcionários da Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologia da PUC-SP.

Aos amigos do Programa de Estudos de Pós-Graduados em Educação Matemática, Gilberto Januário, Daniela, João, Fabio, Kátia, Ana Paula Perovano, Felipe e Nara,que estudaram comigo na PUC, durante os quatro semestres do curso.

Aos meus amigos Ílio Caetano e Aldo Medina, pela amizade, apoio e grande incentivo moral.

Aos amigos Elias, Jacira, Girlene, Francine, Sayre, Hudson, Denise, Fernanda, Daniel, Ivoneide e Douglas, pela amizade, apoio, sugestões e confiança para que este trabalho fosse desenvolvido.

Aos colegas do Colégio Batista da Penha pelo apoio para que os estudos fossem possíveis.

AÀ minha família Carina, Simone, Iara, Natalia, Ivone, Marcos, Henrique, Jose, Justina e Orlando pelo carinho, amizade e pelos momentos de suas vidas a que não pude estar presentes.

O Autor

POSSANI, J. F. Uma sequência didática para a aprendizagem do volume do

icosaedro regular. 2012. 134f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. São Paulo.

RESUMO

Nosso estudo tem por objetivo investigar a apropriação do cálculo da medida do volume do icosaedro regular, por alunos do 3º ano do Ensino Médio, a partir de uma sequência de atividades mediadas pelo uso do software Cabri 3D. Com a pesquisa, procuramos responder a seguinte questão de pesquisa: De que forma uma sequência didática que envolve a Geometria Dinâmica pode interferir nos processos de ensino e aprendizagem de volume do Icosaedro regular? Para responder essa questão de pesquisa, aplicamos, junto a quatro alunos do Ensino Médio, uma sequência de atividades. Nossa investigação é de cunho qualitativo e apoiou-se nos pressupostos da Engenharia Didática, a Teoria das Situações Didáticas, as quais valorizam o papel do professor, do aluno e do meio em que ocorrem os processos de ensino e de aprendizagem – e a teoria dos Registros de Representação Semiótica, mais especificamente, nas diferentes apreensões de uma figura. Ao analisar o desenvolvimento dos sujeitos durante as atividades da sequência foi possível perceber que eles compreendem como calcular o volume do icosaedro regular.

Palavras-chave: Geometria Espacial. Icosaedro regular. Volume. Registro de Representação Semiótica.

POSSANI, J. F. A Teaching sequence for learning the volume of the regular icosahedron. 2012. 134f. Dissertation (Masters in Mathematics Education) – Program of Studies Pos-Graduates in Mathematics Education. Pontifical Catholic University of São Paulo. São Paulo.

ABSTRACT

Our study aims to investigate the appropriation of calculating the volume of the regular icosahedron, by the 3rd year high school students. The calculation is based on a sequence of activities measured using Cabri 3D. Through this research we seek to answer the following research question: how does a didactic sequence that involves dynamic geometry influence the processes of teaching and learning in the volume of regular Icosahedron? To answer this question, we applied this sequence of activities to four high school students. Our research is qualitative and relies on the assumptions of Didactic Engineering, the Theory of Didactical Situations. This Theory highlights the role of the teacher, the student and the environment in which processes take place on teaching and learning - and the theory of Records Semiotic Representation, more specifically, the seizures of a different figure. When analyzing the development of the subjects during the sequence of activities it’s possible to see that they understand how to calculate the volume of the regular icosahedron. Keywords: Space Geometry. Regular icosahedron. Volume. Registration Semiotic Representation.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Triângulo didático .................................................................................. 36

Figura 2: Apreensão de uma figura ...................................................................... 43

Figura 3: Modificação mereológica de um icosaedro regular ............................... 44

Figura 4: Poliedros regulares ................................................................................ 51

Figura 5: Classificação dos sólidos ...................................................................... 52

Figura 6: A interpretação de Kepler, no Harmonices Mundi, das associações de Platão. .................................................................................................................. 52

Figura 7: Estrutura do icosaedro regular .............................................................. 54

Figura 8: Estrutura do Icosaedro regular e pirâmide triangular............................. 55

Figura 9: Primeiro corte e pentágono regular ....................................................... 56

Figura 10: Segundo Corte e Hexágono ................................................................ 56

Figura 11:Estrutura do Icosaedro regular ............................................................. 57

Figura 12: Pentágono regular ............................................................................... 57

Figura 13: Hexágono regular ................................................................................ 57

Figura 14: Pentágono regular e medida do segmento AS ................................... 58

Figura 15: Hexágono e medida d ......................................................................... 58

Figura 16: Icosaedro regular e medida da aresta lateral da pirâmide triangular ... 59

Figura 17: Pirâmide triangular MSHI e a medida da altura th ............................... 59

Figura 18: Exemplos de alguns sólidos construídos através do Cabri 3D ............ 64

Figura 19:Poliedros regulares ............................................................................... 68

Figura 20: Construção realizada pela dupla A ...................................................... 69

Figura 21: Construção realizada pela dupla B ...................................................... 69

Figura 22: Cubo (hexaedro) .................................................................................. 71

Figura 23: Cubo ABCDEFGH ............................................................................... 71

Figura 24: Cubo- Superfície vazia ........................................................................ 71

Figura 25: Diagonais do Cubo .............................................................................. 72

Figura 26: Planificação da superfície do Cubo ..................................................... 72

Figura 27: Construção realizada pela dupla A...................................................... 73

Figura 28: Construção realizada pela dupla B...................................................... 73









Figura 37: Pentágono regular ............................................................................... 76

Figura 38: Pentágono regular ABCDE ................................................................. 77

Figura 39: Ângulo interno do pentágono regular .................................................. 77



Figura 42: Arquivo atividade 4 – Icosaedro Regular e estrutura do icosaedro regular .................................................................................................................. 79

Figura 43: Abrindo o Icosaedro regular ................................................................ 80

Figura 44: Planificação da Superfície do Icosaedro regular ................................. 80

Figura 45: Resposta realizada pela dupla A ......................................................... 81

Figura 46: Resposta realizada pela dupla B ......................................................... 81

Figura 47: Arquivo atividade 5 – Icosaedro regular .............................................. 83

Figura 48: Diagonal Maior AHe diagonal menor BJ do icosaedro regular. .......... 83

Figura 49: Ponto médio M da diagonal maior AHdo icosaedro regular ............... 84

Figura 50: Pirâmide triangular inscrita no Icosaedro regular ................................ 84









Figura 59: Arquivo atividade 6 - Diagonal maior AHe pirâmide triangular inscrita no Icosaedro regular. ............................................................................................ 87







Figura 66: Arquivo atividade 7a – Icosaedro regular, pentágono regular e hexágono .............................................................................................................. 92

Figura 67: Segmento BH ..................................................................................... 92

Figura 68: Conversão registro figural para o registro algébrico do pentágono regular .................................................................................................................. 93

Figura 69: Arquivo atividade 7b – Pentágono regular ........................................... 94

Figura 70: Conversão registro figural para o registro algébrico do hexágono ...... 94



Figura 73: triângulos isósceles BFH e BFO .......................................................... 96







Figura 80: Arquivo atividade 8a, Icosaedro regular. ........................................... 100

Figura 81: Conversão registro figural para o registro algébrico da Pirâmide triangular. ........................................................................................................... 101

Figura 82: Pirâmide triangular ............................................................................ 101

Figura 83: Conversão registro figural para o registro algébrico .......................... 102

Figura 84: Arquivo atividade 8b – Pirâmide triangular ........................................ 102

Figura 85: Resposta realizada pela dupla A ....................................................... 103

Figura 86: Resposta realizada pela dupla B ....................................................... 103







LISTA DE QUADROS

Quadro 1: Exemplo de Registros de Representação Semiótica ........................... 39

Quadro 2: Características Poliedros regulares ..................................................... 53

Quadro 3: Cronograma da sequência de atividade aplicada nos sujeitos ............ 67

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 15

CAPÍTULO I ......................................................................................................... 19

PROBLEMÁTICA ................................................................................................ 19

1.1 JUSTIFICATIVAS PESSOAIS SOBRE O TEMA ........................................ 19

1.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ........................................................................ 20

1.3 O PROBLEMA DE PESQUISA ................................................................... 30

CAPÍTULO II ........................................................................................................ 33

REFERENCIAL TEÓRICO E PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ............. 33

2.1 METODOLOGIA ......................................................................................... 33

2.2 REFERENCIAL TEÓRICO .......................................................................... 35

2.2.1 TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS .................................................. 35

2.2.2 REGISTRO DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA ................................... 39

CAPÍTULO III ....................................................................................................... 47

ESTUDOS PRELIMINARES DO OBJETO MATEMÁTICO. ................................ 47

3.1 DOCUMENTOS OFICIAIS E O ENSINO DE GEOMETRIA ESPACIAL. .... 47

3.2 POLIEDROS REGULARES ........................................................................ 50

3.3 NOÇÕES MATEMÁTICAS RELATIVAS À SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES 54

3.4 GEOMETRIA DINÂMICA E O CABRI 3D ................................................... 60

CAPÍTULO IV ....................................................................................................... 65

EXPERIMENTO E ANÁLISE ............................................................................... 65

4.1 CARACTERÍSTICAS DA ESCOLA. ............................................................ 65

4.2 SUJEITOS .................................................................................................. 66

4.3 DESCRIÇÃO DA APLICAÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA ...................... 67

4.4. ANÁLISE DOS RESULTADOS ................................................................. 67

CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................... 108

REFERÊNCIAS .................................................................................................. 117

ANEXO – SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES ......................................................... 121

ANEXO – AUTORIZAÇÃO DE PARTICIPAÇÃO .............................................. 130

15

INTRODUÇÃO

Após concluir a Licenciatura em Matemática, em 2005, no Centro

Universitário Fundação Santo André, e lecionando como professor eventual na

escola pública, tive as primeiras experiências e contato com a sala de aula, e

percebi que minha vida acadêmica estaria ligada à educação.

No ano seguinte, comecei a lecionar aulas de Geometria para o Ensino

Fundamental e Médio em uma escola privada. Nessas aulas deparei-me com

grandes desafios na busca de métodos para superar as dificuldades que percebi

serem encontradas pelos alunos que, muitas vezes, questionavam sobre como

era difícil entender Geometria.

As Geometrias bidimensional e tridimensional, como o software Cabri 3D,

sempre chamaram a minha atenção e curiosidade, pelo motivo de que podemos

trabalhar as diversas propriedades da Geometria Plana e Espacial, a partir da

visualização e manipulação de diversas figuras.

Tendo como objetivo conseguir uma aproximação dos meus alunos com a

Geometria, iniciei um trabalho com poliedros regulares que, segundo os

Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio (BRASIL, 2000) compõem um

interessante tópico, e podem ser uma atividade de grande satisfação estética,

além do que podemos mobilizar diferentes conteúdos e propriedades. Para

valorizar tal trabalho e motivar ainda mais os alunos, apresentei o software Cabri

3D com que tivera contato no Centro Universitário Fundação Santo André.

O interesse pelo tema “poliedros regulares” vem desde o ano de 2006,

antes mesmo de ingressar no Mestrado em Educação Matemática. Eu já tinha o

objetivo de trabalhar com Geometria Espacial. Após conhecer o ambiente de

Geometria Dinâmica Cabri 3D percebi que o programa poderia ser um ambiente

motivador do interesse dos alunos na aprendizagem de Geometria.

No programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, comecei a

frequentar o grupo de pesquisa PEA-MAT, que desenvolvia investigação referente

ao ensino de estatística por meio do software Geogebra. Com o material

desenvolvido pelo grupo, tive a oportunidade de refletir sobre o meu tema e como

16

desenvolver uma atividade proposta para alunos do Ensino Médio, utilizando o

software Cabri 3D.

Frequentando o grupo de pesquisa, surgiram algumas inquietações: Qual

sólido escolher para desenvolver a atividade proposta? Como utilizar o ambiente

da Geometria Dinâmica? Como motivar os alunos? E por que desenvolver uma

atividade sobre poliedros regulares?

A partir desse questionamento, realizei um levantamento de trabalhos e

livros que contemplavam o tema Geometria Espacial, mais especificamente os

poliedros regulares, na tentativa de responder e explicar o tema em questão.

Entretanto, na minha revisão bibliográfica e análise de livros não encontrei

nenhuma dissertação ou tese que tivesse trabalhado especificamente os

poliedros regulares e os livros analisados tratavam, geralmente, apenas a relação

de Euler e a planificação de superfície. Além disso, os documentos analisados

não apresentavam como desenvolver o cálculo da medida de área e de volume

de poliedros.

Assim, foi pela minha pesquisa e experiência, como professor, que cheguei

à escolha do tema poliedros regulares que será desenvolvido no presente

trabalho.

E como os poliedros regulares são formados por cinco sólidos: tetraedro,

hexaedro (cubo), octaedro, icosaedro e dodecaedro, optei por escolher um deles

para desenvolver uma sequência de atividades, utilizando o ambiente de

Geometria Dinâmica. Desse modo, meu orientador e eu decidimos trabalhar com

o icosaedro regular, pois é um sólido que tem o maior número de arestas, está

mais próximo de uma bola de futebol cujas faces são formadas por triângulos

equiláteros que, em princípio, já são conhecidos pela maioria dos estudantes.

Nossa sequência de atividade tem como objetivo desenvolver a fórmula

que permite calcular o volume do icosaedro regular, articulando os conhecimentos

prévios dos estudantes do 3º ano do Ensino Médio, referentes à Geometria Plana

e Espacial.

Encontramos nossa fundamentação na Teoria das Situações Didáticas de

Guy Brousseau, a qual valoriza o papel do professor, do aluno e do meio em que

17

ocorrem os processos de ensino e de aprendizagem. Além da Teoria das

Situações Didática, apoiamo-nos na Teoria dos Registros de Representação

Semiótica de Raymond Duval, especificamente nas diferentes apreensões de

uma figura, ao entender que os conceitos, propriedades e estruturas matemáticas

são os objetos a serem trabalhados em um ambiente de aula, podendo expressar

diferentes situações, motivo pelo qual é preciso concebê--los a partir de diferentes

representações.

A seguir, apresentaremos a estrutura do trabalho, que foi elaborado em

quatro capítulos.

No primeiro capítulo, apresentamos a revisão bibliográfica que dará suporte

à pesquisa, à problemática e aos nossos objetivos.

No segundo capítulo, apresentamos o quadro teórico, fundamental para o

desenvolvimento deste estudo.

No terceiro capítulo, fizemos um breve estudo dos documentos oficiais

como: Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio (BRASIL, 2000); PCN+

Ensino Médio (BRASIL, 2002) e Orientações Curriculares para o Ensino Médio,

(BRASIL, 2006). Ambiente da Geometria Dinâmica e Cabri 3D e do objeto de

nosso estudo.

No quarto capítulo descrevemos o experimento e a sequência de

atividades, bem como as análises a priori e a posteriori.

As considerações finais trarão as conclusões do nosso trabalho e, para

isso, elencamos os resultados que constituem uma provável resposta de nossa

questão de pesquisa e permitirão verificar se foram ou não alcançados os

objetivos iniciais.

19

CAPÍTULO I

PROBLEMÁTICA

Neste primeiro capítulo, realizamos um levantamento de algumas

pesquisas relacionadas ao ensino e à aprendizagem de Geometria, às

representações em Geometria Espacial e apresentamos a questão norteadora

deste trabalho.

1.1 JUSTIFICATIVAS PESSOAIS SOBRE O TEMA

A escolha por trabalhar com o ensino da Geometria Espacial, utilizando o

software de Geometria Dinâmica 3D, surgiu quando estagiava como auxiliar de

autor de livros de Matemática e Desenho Geométrico na editora J. Piaget.

Durante esse período, tive contato com alguns softwares de Geometria e também

auxiliei na criação de softwares e jogos para o ensino de Matemática. Dentre eles,

me chamou atenção o Poly Pro1.111, software que possibilita visualizar as

representações de sólidos geométricos, o que me proporcionou uma melhor

visão sobre os sólidos e sua respectiva planificação.

Num segundo momento, no Centro Universitário Fundação Santo André,

tive contato com outros dois softwares: Cabri Geométrico II e Cabri2 3D. O último

despertou em mim grande interesse de estudo e utilização devido a seus recursos

como, por exemplo, a forma dinâmica de estudar as figuras geométricas

espaciais, as suas relações, medidas, propriedades em movimentos simples e

práticos, diferente de outros softwares que permitem apenas a visualização das

figuras geométricas.

Após concluir os estágios e a graduação, comecei a lecionar Matemática

para o Ensino Fundamental II, na Escola Meritum Educacional e, no decorrer das

aulas, pude notar uma grande dificuldade dos alunos na visualização espacial.

1 Poly pro1.11 é um programa para explorar poliedros. 2 O Cabri-Géomètre é um software didático para explorar a geometria plana e a geometria espacial.

20

Isso motivou minha decisão em utilizar os softwares Geogebra e Cabri 3D em

minhas aulas de Geometria.

Posteriormente, com o propósito de ampliar meu conhecimento em relação

aos softwares geométricos, busquei informações em livros, sites e artigos que

abordavam o assunto e, nessa procura, encontrei na internet o programa

Geogebra3, com o qual aprendi a trabalhar e passei a desenvolver atividades

utilizando-o. No mesmo período, passei a lecionar no Ensino Médio do Colégio

Batista da Penha, assumindo a disciplina de Geometria que, até então, não era

ensinada na Instituição.

Contando com as boas instalações de que o colégio dispunha, optei por

trabalhar com os programas de Geometria: Cabri 3D e Geogebra.

Após três anos trabalhando com as apostilas e os programas

paralelamente, percebi que as dificuldades na visualização espacial e resoluções

de exercícios de Geometria presentes nas apostilas e em exames vestibulares

foram reduzidas, além de ouvir relatos dos alunos em relação a uma melhora na

visualização das figuras.

Após observar, durante as aulas, tais dificuldades no ensino e na

aprendizagem de Geometria Espacial, decidi investigar a geometria espacial no

ambiente de Geometria Dinâmica4, especificamente o software Cabri 3D, por

acreditar que a interação com o programa possibilitasse uma aprendizagem mais

eficaz.

1.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Buscamos identificar entre trabalhos, pesquisas e artigos que abordam o

processo de ensino e aprendizagem do tema Geometria Espacial, as dificuldades

relacionadas com a visualização e a aquisição das propriedades de figuras

geométricas.

3 O Geogebra é um software didático para explorar a geometria plana. 4 Geometria Dinâmica oferece recursos para a construção de figuras e, a partir destas construções, o aluno poderá visualizá-la e explorar de diversas formas as construções.

21

Pesquisando materiais que abordavam a geometria espacial, nos

deparamos com obras dos seguintes autores: Pavanello (1993); Lorenzato (1995);

Gravina, (1996); Almouloud e Mello, (2000); Buratto, (2006); Proença e Pirola

(2006). Esses autores ressaltam uma certa omissão do tema Geometria, mais

especificamente, geometria espacial no currículo e nas práticas docentes, tanto

no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio.

Pavanello (1993) descreve as causas e consequências advindas do

abandono do ensino da Geometria no Brasil. A autora informa que a referida

disciplina chegou a ser considerada como “dispensável”, abandono esse que

causou sérios problemas para o ensino de Matemática. No início da década de

60, existia um descaso em relação ao ensino de Geometria, devido às influências

do movimento da Matemática Moderna, ou seja, a preocupação era apenas com

as estruturas algébricas e com a utilização da linguagem simbólica da teoria dos

conjuntos. Assim, o ensino de Geometria estaria fundamentado em uma

abordagem “intuitiva”, em que se apresentam teoremas e postulados, já que “não

existe qualquer preocupação com a construção de uma sistematização a partir

das noções primitivas e empiricamente elaboradas” (PAVANELLO, 1993, p. 13).

A autora ainda destaca a lei número 5692/71 que permite uma flexibilidade

para o professor montar seu programa, direcionando o ensino para as devidas

necessidades dos alunos. A maioria dos professores, possivelmente, não

dominava a Geometria e tal Lei ofereceu-lhes “autonomia”, que teve como uma

das consequências o abandono do ensino da Geometria, que deixou de ser

primordial no Primeiro Grau, acabando por priorizar o ensino da álgebra.

Dessa forma, o ensino de Geometria passou a ser realizado no Segundo

Grau, porém os alunos apresentavam dificuldades para trabalhar as figuras

geométricas, uma vez que não tiveram oportunidade de estudar os objetos

geométricos representados por essas figuras no Ensino Fundamental.

Para Almouloud e Mello (2000) o ensino de Geometria é primordial para o

estudante, pois algumas áreas requerem habilidades e competências que

deveriam ter sido adquiridas nos processos de construção de conceitos

geométricos.

22

Nesse sentido, os autores destacam alguns fatores para o baixo

desempenho da Geometria.

Grande parte dos professores que hoje estão em atividade recebeu uma formação de base muito precária em Geometria, devido à própria influência que o movimento da Matemática Moderna desempenhou em nossos currículos nas décadas de 60/70; Os cursos de formação inicial de professores - tanto os cursos de Magistério como os de Licenciatura - continuam não dando conta de discutir com seus alunos uma proposta mais eficiente para o ensino de Geometria; Também as modalidades de formação continuada, postas em ação nos últimos anos, basicamente na forma de cursos de reciclagem, não têm atingido, igualmente, o objetivo de mudar a prática na sala de aula em relação ao ensino de Geometria. (ALMOULOUD; MELLO, 2000, p. 1).

Segundo Lorenzato (1995), alunos, professores, autores de livros didáticos,

educadores e pesquisadores, de tempos em tempos, têm se deparado com

modismos fortemente radicalizantes, desde o formalismo impregnado de

demonstrações apoiadas no raciocínio lógico-dedutivo, passando pela

algebrização e indo até o empirismo inoperante.

Lorenzato (1995) ressalta dois fatores que evidenciam essa omissão em

sala de aula: o primeiro está relacionado à formação dos professores, pois há

falta de conhecimentos geométricos necessários para a realização de suas

práticas pedagógicas. Sendo assim, não conhecem o poder, a beleza e

importância que a geometria tem na formação do cidadão. O segundo está

relacionado à importância que o professor dá aos livros didáticos, que apresentam

o ensino de Geometria como um conjunto de definições, propriedades, nomes e

fórmulas, desligando-a de qualquer situação-problema relacionada com o

cotidiano dos estudantes. Ainda destaca que, quase sempre, a Geometria é

apresentada na última parte dos livros.

Corroborando nossa reflexão, Proença e Pirola (2006) expõem que os

conteúdos de Geometria são apresentados no final do ano letivo e pelo fator

tempo, a maioria dos professores não termina o conteúdo que deveria ser

explorado.

Nessa direção, Buratto (2006) diz que, no momento em que o professor

deixa de ensinar Geometria, os alunos enfrentam dificuldades para solucionar

situações-problema que forem geometrizadas, pois a falta do estudo da ciência

23

provavelmente não possibilitou o desenvolvimento do pensamento geométrico e o

raciocínio visual.

Gravina (1996) destaca em sua pesquisa que os alunos ingressantes no

curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do

Sul (UFRGS), não dominam a Geometria Plana e nem a Geometria Espacial,

apresentam pouca compreensão dos objetos geométricos, o que resulta no não

alcance dos requisitos básicos da Geometria como: propriedades,

demonstrações, métodos e generalização.

A autora ainda destaca que parte desse problema ocorre por causa do

material didático que as escolas utilizam, o qual aborda os conteúdos de

geometria de uma forma sucinta, com demonstrações prontas e apresentando

definições de uma forma complexa, não deixando claro para os estudantes o seu

significado.

Se pensarmos em Geometria como processo de interiorização e apreensão intelectual de experiências espaciais, o aprendizado passa por um domínio das bases de construção deste ramo do conhecimento, e aqui a abstração desempenha papel fundamental. Nesta “matematização”- leitura do mundo através da matemática - os objetos do mundo físico passam a ser associados a entes abstratos, que são definidos e controlados por um corpo de pressupostos, o sistema de axiomas da teoria. Na transição para este mundo existem dificuldades inerentes ao processo, provenientes do confronto entre conceitos científicos e não científicos. (GRAVINA, 1996, p.2).

Além dos aspectos que foram apontados pelos autores citados acima,

encontramos diversas pesquisas que discutem a importância do desenvolvimento

da visualização no ensino de geometria espacial, como as realizadas por Parzysz

(1989 apud Flores, 2003 ); Flores (2003) e Kallef (2003), entre outros.

Parzysz (1989 apud FLORES, 2003) revela que os estudantes apresentam

dificuldades de imaginar uma situação espacial, a partir de um desenho.

Conforme Ferraz (2010), é fundamental o papel do professor para desenvolver no

aluno a capacidade de imaginar uma situação espacial, a partir de desenho e é

por isso que devemos pesquisar meios para que o professor possa amadurecer

essa capacidade no aluno.

24

Para Parzysz (1988 apud SALAZAR, 2009), há uma dialética entre a

aquisição de conhecimento em Geometria Espacial e o domínio de representação

tridimensional; assim, a representação de uma figura tridimensional é necessária,

porque só depois de passar por ela, os estudantes podem ter imagens mentais

dos objetos geométricos.

O autor distingue três níveis de representação de uma mesma figura: no

nível 0, seria a figura propriamente dita, enquanto no nível 1 ela é a

representação nomeada por “próxima”, utilizando modelos de objetos geométricos

como, por exemplo, maquetes que mantêm as dimensões da figuras original. Já

no nível 2, percebe-se a representação “distante”, isto é, a representação de

objetos tridimensionais é feita em um suporte bidimensional que envolve

conceitos conhecidos e/ou aceitos de modo intuitivo.

Parzysz (1988 apud SALAZAR, 2009) ainda assegura que há problemas na

maneira pela qual representamos uma figura tridimensional em um desenho.

Deste modo, devemos recorrer a uma “representação distinta”, pois os estudantes

tendem a considerar as propriedades do desenho como as da própria figura,

referindo-se os problemas, tanto à codificação (produção) como à decodificação

(leitura/interpretação) de representações planas de figuras tridimensionais.

O autor citado afirma que os conflitos podem ser percebidos nas

representações que os estudantes fazem. Dessa forma, esta investigação busca

possibilidades para diminuir problemas de codificação (produção) e a

decodificação (leitura e interpretação).

Para incluir a tecnologia no processo de ensino e aprendizagem, a

pesquisa de Ferraz (2010) intitulada “Prisma e Pirâmide: um estudo didático de

uma abordagem computacional” procurou responder a questão sobre o modo

como o professor constrói seus conhecimentos a respeito do volume de prisma e

pirâmide utilizando o Cabri 3D como ferramenta de aprendizagem. Para

responder essa questão, apoiou-se nos pressupostos da Engenharia Didática,

que auxiliou na construção e análise da sequência didática.

FERRAZ (2010) desenvolveu uma sequência de ensino para aprofundar o

estudo com professores da Rede Pública Estadual, no intuito de contribuir para o

desenvolvimento da capacidade de expressar algebricamente o volume de prisma

25

e pirâmide, mediada pelo uso do software Cabri 3D. Citando Pavanello (1995), ele

assinala que a Geometria está ausente em sala de aula e aponta alguns

problemas responsáveis por isso, tais como: o professor não detém os

conhecimentos geométricos necessários para a realização de práticas

pedagógicas; em muitos livros didáticos a geometria é apresentada apenas como

um conjunto de definições, propriedades, nomes e fórmulas desligadas de

quaisquer aplicações e explicações de natureza históricas e lógicas. O autor

apoiou-se na Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau e nas noções de

Registro de Representação Semiótica de Raymond Duval.

Nos estudos preliminares, Ferraz (2010), apresenta a importância do

princípio de Cavalieri no estudo de volume de sólidos geométricos e o tratamento

dado pelos documentos oficiais ao seu ensino, além do modo como eles são

abordados nos livros didáticos.

Para desenvolver sua pesquisa, o autor trabalhou com seis professores, a

fim de realizarem a sequência didática proposta. A pesquisa mostrou que os

docentes encontram dificuldades em ensinar o tema em questão, principalmente

em relação à visualização de figuras espaciais.

Fernandes (2008) em “Uso de recursos da internet para o ensino de

matemática, Web Quest: Uma experiência com professores do Ensino Médio”,

realizou uma pesquisa com sólidos arquimedianos por meio da Web Quest, com o

propósito de investigar quais contribuições podem acontecer na prática

pedagógica dos professores que constroem e aplicam atividades, utilizando

basicamente recursos da internet. A autora realizou o aplicativo Web Quest: Bola

de futebol e a Matemática em uma turma de 42 alunos. A turma de segunda série

do Ensino Médio Regular foi dividida para a realização das tarefas, e sua escolha

específica baseou-se nos conceitos e procedimentos relativos aos poliedros,

atualmente indicados pelos PCN (BRASIL, 1999), pelos PCN+ Ensino Médio

(BRASIL, 2002) e pela Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo

(BRASIL, 2008) para a segunda série do Ensino Médio.

O processo desenvolvido pela autora permitiu um maior contato por parte

dos alunos com a Geometria, proporcionando leitura e interpretação de textos,

26

definições matemáticas e os princípios utilizados nas construções geométricas,

entre outros.

O tema Geometria Espacial foi escolhido pela autora devido às dificuldades

apresentadas pelos alunos, quanto à compreensão e à interpretação de

propriedades. Com a utilização da Web Quest, Fernandes (2008) permitiu aos

alunos a identificação de sólidos geométricos e a compreensão de algumas de

suas propriedades. A autora apresentou algumas vantagens oferecidas pela

ferramenta tecnológica como:

• A facilidade dos alunos em visualizar os sólidos arquimedianos com o auxílio das tecnologias, situação difícil de ser trabalhada em um ambiente bidimensional, como o livro ou caderno, por exemplo.

• A familiaridade do aluno com o bom uso da internet e a possibilidade de o professor mediar a aprendizagem dos alunos neste ambiente.

• A possibilidade de trabalho cooperativo, facilitando a interação entre alunos e professores, em constante troca e aprendizado. (FERNANDES, 2OO8, p. 172)

Foi constatado também por Fernandes (2008) que, quando o educador age

como mediador, ele tem a oportunidade de manter ativa a espiral5 de

aprendizagem, além de ser o responsável por propor questões e situações que

possibilitem aos alunos refletirem sobre as atividades/tarefas realizadas e por

motivar os alunos para que não desistam nem desanimem, quando tiverem que

realizar alguma depuração das atividades desenvolvidas.

Almeida (2010), na sua dissertação “Sólidos arquimedianos e Cabri 3D: Um

estudo de truncaturas baseadas no renascimento” procurou revisitar o objeto

matemático Sólidos Arquimedianos, por meio de suas construções no ambiente

de Geometria Dinâmica, além da tentativa de contribuir para uma maior reflexão

em relação aos meios tecnológicos no ambiente escolar, com o propósito de

resgatar conteúdos matemáticos não mais ensinados.

Para realização de tal pesquisa, recorreu a estudos relacionados à

Transposição Didática e à Problemática Ecológica de Yves Chevallard (1991) e

5 De acordo com Fernandes(2008, p.44), O ciclo sugere a ideia de repetição, de periodicidade, de uma certa ordem, de fechamento, com pontos de início e fim coincidentes, porém os conhecimentos não poderiam crescer e estariam sendo repetidos, em círculo. Assim, a utilização da ideia de espiral para explicar o processo de construção de conhecimento, que cresce continuamente, é mais adequada enquanto modelo do que se passa na interação aprendiz-computador (VALENTE, 2002, p. 28 apud GOUVEA, 2006).

27

aos Registros de Representação Semiótica de Duval (1995). Após analisar as

construções realizadas a partir de cortes nas arestas de sólidos platônicos, pôde

notar que os tratamentos figurais não são suficientes para construção dos Sólidos

Arquimedianos no Cabri 3D, devido à necessidade de mobilizar, como suporte,

um registro discursivo para que os pontos de corte em sólidos platônicos possam

ser encontrados. Nesse momento, o Cabri 3D foi de extrema relevância para o

desenvolvimento do trabalho, tornando-se um habitat para o estudo dos Sólidos

Arquimedianos.

Almeida (2010) afirma que os principais problemas enfrentados pelo ensino

de Geometria Espacial estão relacionados à visualização, interpretação e

representações de objetos tridimensionais, e que o surgimento do conhecimento

por simulação, advindo da informática e de programas de auxilio ao ensino, tem

sido desenvolvido na busca de minimizar tais dificuldades e de resgatar

conteúdos não mais presentes no ensino da Matemática. A mesma autora

acredita ter contribuído para uma reflexão acerca da utilização de meios

informáticos em âmbito escolar, para resgatar conteúdos matemáticos não mais

ensinados.

Já a pesquisa de Buratto (2006) está relacionada à formação inicial de

professores de Matemática, com o foco no ensino de Geometria. A autora elabora

uma proposta de atividade didática pautada nas questões dos registros de

representação, como alternativa metodológica que proporcione tanto o

conhecimento de conceitos geométricos por parte dos licenciandos como

metodologia de ensino para sua prática pedagógica, já que o trabalho de campo

da pesquisa foi um grupo composto por 30 licenciados do 5° semestre do curso

de licenciatura de Matemática da Universidade do Planalto Catarinense

(UNIPLAC).

Nesse grupo, Buratto (2006) constatou que 76,7% dos professores em

formação concebem a Geometria como uma matéria difícil e que 50% deles

reconhece não apresentar o domínio referente ao conceito de área de figuras

geométricas planas.

28

O autor afirma que o ensino de Matemática continua sendo proposto de

maneira pouco refletida, seja quanto aos conteúdos, seja quanto aos métodos de

ensino e de avaliação.

Salazar (2009), em seu trabalho, observou como estudantes do segundo

ano do Ensino Médio se apropriam das transformações geométricas no espaço,

quando interagem com o ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D, bem como

que tipo de raciocínio mobilizam, quando desenvolvem atividades que abrangem

esse conteúdo.

Tendo em vista que diversos estudos destacam uma associação entre a

dificuldade na Geometria Espacial e suas representações, visualização e

compreensão de objetos tridimensionais, a autora buscou ter como base autores

como: Olivero e Robutti (2001); Laborde (2001); Gravina (2001) e Restrepo (2005;

2008), pois esses apresentam a importância que pode proporcionar o ambiente

da Geometria Dinâmica, de uma outra perspectiva para o ensino e aprendizagem

de Geometria.

A autora aponta que o ambiente de Geometria Dinâmica, o Cabri 3D e as

construções permitem aos alunos “dinamizar” a figura, isto é, superar seu caráter

estático, próprio do ambiente de lápis e papel. Em seu trabalho, Salazar (2009)

revela ter respondido suas questões de pesquisa, pois os alunos se apropriaram

tanto das ferramentas e dos recursos do Cabri 3D, como dos conteúdos

matemáticos mobilizados. O estudo de transformações geométricas no espaço e

interação com o Cabri 3D, ou com outro ambiente de Geometria Dinâmica, pode

ser inserido de maneira intuitiva no Ensino Médio.

Segundo Kallef (2003), diversas pesquisas apontam a importância de se

incentivar o desenvolvimento da habilidade de visualizar tanto os objetos do

mundo real, quanto, em nível mais avançado, conceitos, processos e fenômenos

matemáticos. E que os cálculos numéricos e a simbologia algébrica não são

primordiais comparados com as habilidades de visualizar.

Especificamente no contexto geométrico, a habilidade de visualizar assume a importância fundamental. Ao visualizar objetos geométricos, o indivíduo passa a ter controle sobre o conjunto das operações mentais básicas exigidas no trato da Geometria (KALLEF, 2003, p. 16).

29

A mesma autora ainda especifica que alguns elementos geométricos como

ponto, reta, plano e sólidos, entre outros, fazem parte do mundo das ideias

matemáticas, porém tiveram sua origem no mundo físico e representam

abstrações de objetos materiais. E quando observamos um desenho de uma

figura geométrica no livro-texto, no quadro-negro, ou mesmo sua imagem na tela

do computador, estamos, na realidade, vendo apenas uma representação do

objeto matemático que pode ser um fator preocupante para o ensino da

Geometria.

Segundo Kallef (2003), mesmo que a maioria das representações de

objetos geométricos seja compreensível visualmente, é de extrema relevância

não confundir “a habilidade de se perceber o objeto geométrico em sua totalidade,

com a percepção visual das representações disponíveis deste objeto” (KALLEF,

2003, p. 16). Essa habilidade de visualizar pode ser desenvolvida se for

disponível ao indivíduo um apoio didático baseado em materiais concretos

representativos do objeto geométrico em estudo.

No decorrer das leituras desses trabalhos, refletimos que as

representações de objetos geométricos permitem apoiar o ensino de Geometria

Espacial. Em relação às representações de objetos geométricos que são

realizadas por meio de um ambiente de Geometria Dinâmica, devemos utilizar a

seguinte distinção, segundo Ferraz (2010): Figuras são as representações de

objetos geométricos que conservam suas propriedades quando são deslocadas,

ou seja, manipuladas. Desenhos são as representações de objetos geométricos,

que, quando manipulados, não conservam suas propriedades, isto é, deformam-

se.

Assim, o ambiente computacional, segundo Almeida, Salazar e Silva

(2011), é uma alternativa para o ensino e aprendizagem de Geometria Espacial,

pois permite representar um objeto tridimensional de diferentes formas,

oportunizando também ao aluno construir, manipular, explorar e visualizar os

objetos geométricos.

As pesquisas apresentadas convergem para a problemática relacionada ao

ensino e à aprendizagem de Geometria, destacando a dificuldade de representar

uma figura tridimensional.

30

Entretanto, não identificamos nenhum trabalho relacionado aos poliedros

regulares, especificamente o Icosaedro regular, o que nos motivou a pesquisar

como criar condições favoráveis à apropriação do cálculo da medida do volume

do icosaedro regular por alunos do 3º ano do Ensino Médio, a partir de uma

sequência didática, cujo objetivo é permitir ou desenvolver processos que

favorecem a construção da fórmula que calcule o volume desse sólido

geométrico.

A partir da revisão bibliográfica pretendemos estabelecer o subsídio

norteador desta pesquisa.

Assim, a relevância de nossa pesquisa para a área da educação

matemática, possibilitará avançar nas discussões a respeito do ensino e

aprendizagem dos sólidos geométricos, mais especificamente o volume de

icosaedro regular.

1.3 O PROBLEMA DE PESQUISA

A partir das leituras e reflexões realizadas em nossa revisão bibliográfica,

identificamos estudos relacionados com o ensino de Geometria, mais

especificamente sobre sólidos geométricos. Esses estudos apontam contribuições

para nossa pesquisa como: identificar que os principais problemas enfrentados

pelo ensino e aprendizagem de Geometria espacial estão associados à

visualização, interpretação e representação de objetos tridimensionais; as

dificuldades apresentadas pelos estudantes no processo de resolução de

problemas e a definição dos sujeitos de pesquisa e percepção da importância da

história da Geometria. Além disso, nossa pesquisa aproxima--se dos trabalhos

realizados por Buratto (2006) e Ferraz (2010), que elaboraram atividades

didáticas pautadas no registro semiótico e consolidam a escolha da Teoria de

Registro de Representação Semiótica, proposta por Duval, como um de nosso

referencial teórico.

Almeida (2010) ressalta que a utilização de ambientes de Geometria

Dinâmica pode auxiliar no ensino da Geometria Plana e Geometria Espacial e que

31

o ambiente computacional Cabri 3D é o primeiro software de manipulação direta

para simular o trabalho com três dimensões.

Nossa pesquisa tem por objetivo investigar a apropriação do cálculo da

medida do volume do icosaedro regular por alunos do 3º ano do Ensino Médio, a

partir de uma sequência de atividades mediadas pelo uso do software Cabri 3D.

Essa sequência deve permitir – ao resolver as atividades propostas – que os

estudantes realizem os tratamentos e conversões dos Registros de

Representação Semiótica pertinentes ao objeto a ser estudado. Buscamos

responder a seguinte questão de pesquisa: De que forma uma sequência

didática que envolve a Geometria Dinâmica pode interferir na aprendizagem

de volume do Icosaedro regular?

Para responder nossa questão de pesquisa, partimos do pressuposto de

que a sequência de atividades possibilitará aos estudantes realizarem algumas

construções por meio do Cabri 3D e contribuirá para a apreensão, por parte dos

estudantes, do cálculo da medida do volume do Icosaedro regular.

Ao propormos a sequência de atividades, esperamos que os estudantes

articulem os Registros de Representação Semiótica na construção de novos

conhecimentos matemáticos, pois, segundo Duval (2009), a coordenação de pelo

menos dois registros de representação semiótica é necessária para a

compreensão de um conceito.

Para responder nossa questão de pesquisa e, possivelmente, atingir

nossos objetivos, baseamo-nos na teoria dos Registros de Representação

Semiótica, de Raymond Duval (2009) – especificamente nas diferentes

apreensões de uma figura, e na Teoria das Situações Didáticas de Guy

Brousseau (1986), e como metodologia de estudo se apoia nos pressupostos da

Engenharia Didática (ARTIGUE, 1996). Apresentamos no seguinte essas teorias

e a metodologia de pesquisa.

33

CAPÍTULO II

REFERENCIAL TEÓRICO E PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Neste capítulo, apresentamos a metodologia de pesquisa, os

procedimentos metodológicos do estudo e o quadro teórico do nosso trabalho.

2.1 METODOLOGIA

Nossa proposta de pesquisa tem como instrumento uma sequência de

atividades envolvendo o cálculo do volume do icosaedro regular. O método de

investigação é a pesquisa qualitativa, uma vez que o nosso foco de interesse

parte de uma perspectiva que vai ao encontro da questão de pesquisa e do

objetivo da investigação, segundo Bogdan e Biklen (1994).

Nessa perspectiva, vislumbramos realizar um trabalho de campo no

Colégio Batista da Penha, onde atuamos atualmente como docente.

A seguir, descreveremos as diferentes fases da Engenharia Didática

relacionando-as com a nossa pesquisa:

Na primeira fase da pesquisa, as análises prévias efetuaram-se por meio

da distinção de três dimensões, segundo Artigue (1996, p. 200).

• “a dimensão epistemológica: associada às características do saber em

jogo”, isto é, aponta um estudo diagnóstico histórico e epistemológico dos

conteúdos abordados que, em nosso caso, se refere ao estudo histórico

dos poliedros regulares, mais especificamente ao icosaedro regular;

• “a dimensão cognitiva: associada às características cognitivas do público

ao qual se dirige o ensino”, isto é, quais os estudos mobilizados pelos

alunos e quais as dificuldades, os procedimentos e a compreensão dos

alunos envolvendo o estudo de Geometria Espacial;

• “a dimensão didática: associada às características do funcionamento do

sistema de ensino” que se refere a um estudo a respeito dos Parâmetros

Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 2000), PCN+ Ensino

34

Médio (BRASIL, 2002) e Orientação Curriculares para o Ensino Médio

(BRASIL, 2006), publicações como: artigos, dissertações, teses, livros

didáticos referentes à Geometria Espacial, com objetivo de encontrar

previamente os problemas de ensino e aprendizagem a respeito do quadro

teórico, e sobre os conhecimentos adquiridos no campo de estudo, além de

proporcionar subsídios para desenvolver a sequência de atividades que

aborda o estudo do volume do icosaedro regular.

A segunda fase diz respeito à construção e análise a priori das atividades

propostas. Conforme Almouloud (2010), essa fase tem como objetivo: determinar

como escolhas efetuadas permitem controlar os comportamentos dos alunos e

explicar seu sentido. Dessa forma, ainda em uma análise a priori devemos:

Descrever as escolhas das variáveis locais e as características da situação adidática a ser desenvolvidas; Analisar a importância da situação para o aluno e, em particular, em função das possibilidades de ações, escolhas para a construção de estratégias, tomadas de decisões, controle e validação que o aluno terá. As ações do aluno são vistas no funcionamento, quase isolado, do professor, que, sendo o mediador no processo, organiza a situação de aprendizagem de forma a tornar o aluno responsável por sua aprendizagem. Prever comportamentos possíveis e tentar mostrar como a análise feita permite controlá-los, assegurando que os comportamentos esperados, se e quando eles intervêm, resultem do desenvolvimento do conhecimento visando pela aprendizagem. (ALMOULOUD, 2010, p. 176).

Em nossa pesquisa, na sequência didática consideramos os seguintes

aspectos: valorizar e explorar o trabalho em grupo; criar condições favoráveis

para que os alunos possam levantar conjecturas; realizar construções e

desenvolver as justificativas; favorecer para o estudante a articulação dos

conhecimentos anteriores, de forma a construir novos conhecimentos; enfatizar a

mudança do quadro geométrico para o algébrico e vice-versa; explorar vários

registros de representação semiótica, criando condições favoráveis para os

alunos efetuarem os devidos tratamentos e conversões quando necessário.

Para Artigue (1996), é primordial fazer o levantamento dos seguintes

elementos na análise a priori: determinar o objetivo das atividades propostas;

realizar o levantamento dos conhecimentos prévios necessários para a resolução

das atividades; analisar as possíveis soluções das atividades propostas;

35

identificar as possíveis dificuldades nas resoluções das atividades propostas, as

possíveis estratégias tomadas pelos alunos nas atividades.

Na fase de experimentação, trabalhamos com os alunos do 3º ano do

Ensino Médio, do Colégio Batista da Penha, que fica localizado em São Paulo.

Planejaremos trabalhar com um grupo de 4 alunos, para a aplicação da sequência

didática, que foi desenvolvida em três encontros com duração de 2 horas cada.

Na análise a posteriori e validação, quarta fase da Engenharia Didática,

apoiamo-nos no conjunto de dados colhidos durante a fase de experimentação,

bem como nas observações realizadas nas aplicações das atividades, nas

produções dos alunos na sala de aula ou fora dela, em gravações em áudio,

anotações do próprio pesquisador e, após interpretarmos as informações

coletadas, elas nos levarão a validar nossa hipótese de pesquisa.

2.2 REFERENCIAL TEÓRICO

Apresentamos as teorias que darão suporte para nossa pesquisa: Teoria

das Situações Didáticas de Guy Brousseau (1986) e a Teoria das

Representações Semióticas de Raymond Duval (2009).

2.2.1 TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS

Guy Brousseau é o pesquisador responsável por desenvolver a Teoria das

Situações Didáticas (TSD), que contrapõe à forma clássica de se trabalhar a

Matemática em sala de aula, onde o professor é o centro da ação pedagógica e o

aluno um ser passivo. Para o autor, o aluno é o sujeito ativo do processo de

ensino e aprendizagem e não um mero espectador. Todavia, só há ensino e

aprendizagem quando ocorrer a interação entre professor, aluno e o meio.

Almouloud (2010) esclarece que o objetivo da teoria das situações é

caracterizar um processo de aprendizagem por meio de uma série de situações

reprodutíveis (situação didática), que podem gerar fenômenos para a evolução do

comportamento dos alunos. Assim, “o objetivo central de estudo nessa teoria não

36

é o sujeito cognitivo, mas a situação didática em que são identificadas as

interações estabelecidas entre o professor, o aluno e o saber” (ALMOULOUD,

2010, p. 32).

O esquema da Figura 1 representa as interações entre professor e aluno,

mediadas pelo saber nas situações de ensino, que é denominado sistema didático

stricto sensu ou triângulo didático por Brousseau (apud ALMOULOUD, 2010).

Figura 1: Triângulo didático

Fonte: Almouloud, 2010, p.32

segundo Almouloud (2010, p. 32) a TSD das situações apoia-se em três

hipóteses, que apresentamos de forma resumida.

• a aprendizagem do estudante decorre de processo de adaptação, de

contradições e de desequilíbrios, mediante situações-problema;

• a aquisição do novo conhecimento matemático pelo estudante ocorrerá,

sempre que ficar caracterizada uma intenção didática do professor, que

possibilitará aos estudantes a aprendizagem do conhecimento matemático;

• o meio e as situações devem engajar fortemente os saberes matemáticos

envolvidos no processo de ensino e aprendizagem.

O objetivo central da teoria das situações é a situação didática, segundo

Almouloud (2010), definida como:

o conjunto de relações estabelecidas explicitamente e/ ou implicitamente entre um aluno ou grupo de alunos, um certo milieu (contendo eventualmente instrumentos ou objetos) e um sistema educativo (o professor) para que esses alunos adquiram um saber constituídos ou em constituição. (BROUSSEAU, 1978 apud ALMOULOUD, 2010, p.33).

O mesmo autor aponta como parte essencial da situação didática a

situação adidática, definida como aquela, na qual a intenção de ensinar não é

37

revelada ao estudante, mais foi imaginada, planejada e construída pelo professor

para proporcionar a seus alunos autonomia e iniciativa para apropriarem-se do

novo conhecimento matemático.

Assim, é primordial a situação adidática, na qual o aluno passa a ser o ator

protagonista, com o compromisso de generalizar, agir, falar, formular e validar o

novo saber. Dessa forma, a ação converge para o aluno, tornando o professor o

ator coadjuvante, ou seja, o mediador responsável pela situação didática, tendo o

papel fundamental de criar situações de aprendizagem propícias para o novo

conhecimento.

Segundo Gálvez (1996, p.29) e Almouloud (2010, p. 37 – 40), para que

haja um processo de ensino e de aprendizagem eficiente, a Teoria das Situações

Didáticas sugere quatro fases: ação, formulação, validação e institucionalização.

Assim,

• na fase da ação, o estudante deve agir criar estratégias, refletir a partir de

um problema proposto pelo professor e permitir-se julgar o resultado de

sua ação e ajustá-lo, se necessário, sem a intervenção do professor;

• na fase da formulação ocorre a troca de informações entre os estudantes,

na tentativa de solucionar e expor as ações utilizadas na resolução de um

determinado problema. Ainda nessa fase, os estudantes são os emissores

e receptores, trocam mensagens que podem ser redigidas em linguagem

natural ou matemática. Ainda nessa fase deve-se proporcionar aos

estudantes condições para que estes construam, de forma progressiva,

uma linguagem compreensível para todos;

• na fase de validação, os estudantes expõem a sua solução que devem

justificar, se possível, pois a solução é submetida a julgamento, podendo

haver debates científicos entre o professor e os estudantes, com o objetivo

de justificar ou demonstrar a sua solução. Essa fase tem o objetivo de

validar as afirmações que foram formuladas nos momentos de ação e de

formulação pelos estudantes, momento em que o professor interage seus

alunos apenas como mediador, isto é, faz questionamentos para orientar e

38

responsabilizar os estudantes na situação de aprendizagem, de acordo

com o processo de ensino e aprendizagem idealizado por Brousseau.

Nas três primeiras fases, o saber é personalizado e socializado entre os

estudantes e grupos, pois nesses momentos os estudantes trocam, comparam e

compartilham informações com seus colegas e até mesmo com o professor.

• na fase da institucionalização, o professor passa a ser o protagonista, que

tem como objetivo socializar o novo saber, isto é, o saber torna-se oficial

ao estudante, para que, a partir desse momento, aquele conhecimento

possa ser utilizado na resolução de outros problemas matemáticos. No

entanto, essa fase passa a ser somente didática, se o professor

institucionaliza e organiza o novo conhecimento que deve ser adquirido

pelo aluno.

Embasados por essa teoria, propomos uma sequência de atividades aos

estudantes, que pode possibilitar a construção de um novo saber e permitir o

contato com as representações por meio do software Cabri 3D, o qual permite

fazer construções, representação e manipulação de todo tipo de figuras que

representam objetos bidimensionais e tridimensionais.

Os estudantes poderão cometer possíveis erros que proporcionarão a

reorganização de seus pensamentos, sendo possível recomeçar os ciclos ação,

formulação e validação, que fazem parte do processo de construção de um novo

saber.

As atividades propostas deverão, também, permitir que os estudantes

relacionem os diferentes registros de representação semiótica, como: registro

algébrico, registro figural e registro da linguagem natural, conforme a teoria de

Duval (2009).

No próximo item, abordaremos a Teoria dos Registros de Representação

Semiótica, de Raymond Duval.

39

2.2.2 REGISTRO DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA

Recorremos às possíveis representações para que o aluno possa assimilar

os conceitos e as propriedades do objeto matemático estudado e é necessário

trabalhar com suas diferentes representações, já que “não se pode ter

compreensão em matemática, se nós não distinguirmos um objeto de sua

representação” (DUVAL, 2009, p.14).

Concordamos com Duval (2009) quando aponta que para haver

compreensão em Matemática, devemos distinguir um objeto de sua

representação, pois os objetos matemáticos, como conceitos e propriedades, não

são diretamente acessíveis ou visíveis à nossa percepção. Nesse momento,

devemos recorrer às representações como os símbolos, as tabelas, os gráficos e

outros para representar os objetos em questão.

Damm (2008) descreve a aquisição de um novo conhecimento por

intermédio das representações por meio de símbolos, signos, códigos, tabelas,

gráficos, desenhos como muito significativa, por permitirem a comunicação entre

os estudantes e as atividades cognitivas do pensamento, isto é, o estudante pode

representar o mesmo objeto matemático de diferentes maneiras. Por exemplo: a

medida do volume de uma pirâmide pode ser representado por uma expressão

algébrica ou por uma frase com indicado no quadro 1.

Quadro 1: Exemplo de Registros de Representação Semiótica

Registro Figural Registro na Linguagem

Natural Registro Algébrico

O volume da pirâmide equivale a um terço do volume do cubo

A medida do volume de uma pirâmide é um terço do produto da medida da área da base pela medida da altura

em que B representa a medida da área da base e h a altura.

Fonte: Autor desta pesquisa

40

Dentro dessa perspectiva, propomos uma sequência de atividades que

envolvem diversos Registros de Representação Semiótica. Duval (2009, p. 29)

aponta que “não é possível estudar os fenômenos relativos ao conhecimento sem

se recorrer às noções de representação”. E destaca três tipos de representações:

mentais, internas ou computacionais e semióticas.

As representações mentais e subjetivas são representações internas e conscientes, que ocorrem no nível do pensamento e referem-se às crenças, ideias, explicações e convicções espontâneas do sujeito sobre os fenômenos físicos; As representações internas ou computacionais, aquelas representações internas e não conscientes do sujeito. Ou seja, o sujeito acaba executando tarefas sem pensar em todos os passos necessários para a sua realização (por exemplo, os algoritmos computacionais, ou mesmo os algoritmos das operações). As representações semióticas, externas e conscientes do sujeito e contemplam concomitantemente, o caráter semiótico das representações e a existência de vários registros de representação e são relativas a um sistema particular de signos como a língua natural, a escrita algébrica, os gráficos cartesianos, as figuras de um objeto matemático. (SILVA e MARIANI, 2006, p. 2)

Segundo Duval (1999, apud ALMOULOUD, 2010, p. 71), um registro de

representação semiótica define-se, como um sistema semiótico que tem as

funções cognitivas fundamentais no funcionamento cognitivo consciente.

Tais registros constituem os graus de liberdade de que um sujeito pode dispor para objetivar a si próprio uma ideia ainda confusa, um sentimento latente, para explorar informações ou simplesmente para poder comunicá-las a um interlocutor. A questão da relação entre semiósis e noésis concerne somente aos sistemas que permitem essas três atividades de representação e não a todos os sistemas semióticos. (DUVAL, 2009, p.37)

Segundo Duval (2009, p.37-38), ao iniciar uma análise do desenvolvimento

cognitivo e das dificuldades encontradas nas aprendizagens intelectuais, percebe

estarem relacionadas a três fenômenos que aparecem estritamente ligados:

• Diversificação dos registros de representação semiótica: A linguagem

natural e as linguagens simbólicas não podem ser consideradas como

formadoras de um só e mesmo registro, assim como os esquemas, as

figuras geométricas, os gráficos cartesianos ou as tabelas, pois são

sistemas diferentes e que possuem questões de aprendizagem

41

específicas. Deve haver a existência de diversos registros de

representação semiótica;

• Diferenciação entre representante e representado: diferenciação é

geralmente associada à compreensão do que uma representação

representa, pois os alunos têm dificuldades para compreender as

representações em Matemática. As compreensões de conceitos,

propriedades ou ponto, reta e plano, que são conceitos primitivos da

geometria euclidiana, são especificamente difíceis para os alunos por

serem abstratos. Assim, o aluno deve ter a capacidade de diferenciar o

objeto representado e seus registros de representação semiótica.

• Coordenação entre os diferentes registros de representação semiótica

disponíveis: Ao solucionar uma situação-problema, o importante é

articular, pelo menos, dois registros de representação semiótica, dando aos

alunos, condições de compreender as características do objeto matemático

em estudo.

Portanto, para desenvolver a sequência de atividade, devemos considerar

esses três fenômenos relativos à semiósis6 e, segundo Almouloud (2010) “é

necessário distinguir dois tipos heterogêneos de transformação das

representações: o tratamento e a conversão” (ALMOULOUD, 2010, p. 72).

Um tratamento é a transformação de uma representação em outra do mesmo registro, isto é, uma transformação estritamente interna a um registro. Existem tratamentos que são específicos a cada registro e que não precisam de nenhuma construção externa para serem feitos ou justificados. (DUVAL, 1999, apud, ALMOULOUD, 2010, p. 72)

Segundo Almouloud (2010)

Uma conversão é a transformação de uma representação de um registro D em uma outra representação de um registro A, conservando, pelo menos, a referência ao mesmo objeto ou à mesma situação representada, mas mudando, de fato, o conteúdo de apresentação (ALMOULOUD, 2010, p.72).

Por exemplo, na Geometria, frequentemente observamos a conversão da

representação na linguagem natural para a representação figural ou na álgebra,

pois podemos observar a conversão da representação algébrica para a

6 Apreensão ou produção de uma representação semiótica (Duval, 2009, p.15)

42

representação gráfica; desse modo, na representação semiótica é essencial a

conversão, para criar condições favoráveis à aprendizagem dos estudantes,

segundo Almouloud (2010).

Ainda segundo o mesmo autor (2010), um tratamento é uma transformação

estritamente interna a um registro, ou seja, é a transformação de uma

representação em outra representação do mesmo registro.

Duval, (1995, apud SALAZAR, 2009), ressalta ainda que não podemos

separar as atividades de tratamento e conversão, pois podemos ter a resistência

das dificuldades dos alunos em relação às atividades de conversão. Então,

devemos favorecer a coordenação entre o par tratamento-conversão para as

aprendizagens intelectuais, pois a Geometria apresenta atividades cognitivas

complexas.

Para Buratto (2006), as conversões são fundamentais no trabalho com as

representações semióticas: em Geometria, dado o enunciado de um problema,

pode-se esboçar a figura geométrica (conversão da representação

linguística/natural para a representação figural), e ainda convertê-lo para o

registro algébrico ou aritmético.

Entendemos que o ensino de Geometria necessita envolver diversos

registros de representação semiótica; assim, focaremos em nosso trabalho quatro

tipos de registros: registro em língua natural, registro simbólico, registro algébrico

e registro figural. Para a Geometria, Duval, (1995, apud SALAZAR, 2009),

apresenta três formas de processos cognitivos importantes:

• Visualização: Apresenta um panorama para a exploração heurística e

articula o raciocínio referente aos objetos que compõem as situações-

-problema;

• Construção de configurações: Podemos apresentar com uma estratégia

para solucionar uma atividade, podemos decompor uma figura em

diferentes partes congruentes ou não. Assim, obtemos novas figuras que

possibilitarão a solução da nossa atividade inicial;

43

• Raciocínio: O estudante poderá assimilar e explorar diferentes soluções

para a mesma situação-problema e terá o domínio para realizar

demonstrações e provar.

Desta forma, o registro figural possui quatro tipos de apreensões:

perceptiva, discursiva, sequencial e operatória. Segundo Duval (1994 e 1995,

apud BURATTO, 2006 e SALAZAR, 2009), a figura 2 tem o objetivo de definir

estas apreensões.

Figura 2: Apreensão de uma figura

Fonte: Burratto, 2006, p. 53

1) Apreensão perceptiva: Esta apreensão permite aos estudantes

visualizarem um objeto matemático bidimensional ou tridimensional de uma

forma imediata, permitindo-lhes reconhecer as propriedades e conceitos.

2) Apreensão discursiva: A partir dos enunciados a estudante pode

reconhecer e identificar uma figura geométrica, propriedades e conceitos.

3) Apreensão sequencial: tem como objetivo estabelecer uma ordem na

construção de uma figura geométrica, ou atividades que têm o objetivo de

reproduzir uma figura, por exemplo, nesse trabalho.

4) Apreensão operatória: refere-se às possíveis modificações de uma figura

inicial, para explicar ou demonstrar novos conceitos ou propriedades.

Assim, para Duval (1988 e 1995 apud BURATTO, 2006 e SALAZAR,

44

2009), a apreensão operatória das figuras depende das modificações que

podem ser realizadas. O autor apresenta-as em:

• Modificação Mereológica: A figura inicial poderá ser dividida em

partes, formando subfiguras e facilitando a resolução de um problema

específico. Nossa pesquisa propõe dividir o Icosaedro regular em vinte

tetraedros não regulares, congruentes para calcular o seu volume, como na

figura 3.

• Modificação ótica: a modificação de uma figura em outra, isto é, a

aquisição de outras acepções correspondentes.

• Modificação posicional: a figura pode ser deslocada em relação a um

referencial. Essas modificações podem ser realizadas graficamente ou

mentalmente, segundo Buratto (2006).

A modificação mereológica é uma operação de tratamento de figuras

geométricas bidimensionais e tridimensionais, que consiste na repartição de uma

figura em várias subfiguras geométricas, e agrupá-las de modo a formar uma

nova figura, conforme verificamos na figura 3, que mostra a decomposição de um

icosaedro regular em vinte pirâmides triangulares congruentes.

Figura 3: Modificação mereológica de um icosaedro regular Figura Sub-figura


Entendemos que essa decomposição do icosaedro regular em vinte

pirâmides de base triangular ou a sua reconfiguração pode ocorrer a partir da

visualização e manipulação do Icosaedro regular por meio do software Cabri 3D

utilizando o registro figural.

Concordamos com Buratto quando afirma que:

45

Os problemas matemáticos para os quais as figuras são solicitadas podem ter a reconfiguração espontânea e evidente, mesmo para um aluno que não compreende a matemática ou, do contrário, pode ser difícil “ver” a reconfiguração na figura inicial. Essas variações dependem de fatores de visibilidade e de complexidade que “facilitam” ou que “inibem” essa operação na percepção de uma figura (BURATTO, 2006, p.56)

Conhecendo a nossa questão de pesquisa e objetivo, no próximo capítulo,

apresentamos os estudos preliminares de nossa pesquisa de acordo com a

metodologia adotada.

47

CAPÍTULO III

ESTUDOS PRELIMINARES DO OBJETO MATEMÁTICO.

Neste capítulo, apresentamos os estudos preliminares de nossa pesquisa

de acordo com a metodologia adotada.

3.1 DOCUMENTOS OFICIAIS E O ENSINO DE GEOMETRIA

ESPACIAL.

Os estudos realizados sobre os documentos oficiais evidenciam que o

Ensino da Matemática tem a finalidade de desenvolver a capacidade que vai além

da sala de aula, sugerindo assim que o professor apresente situações-problema

que estão inseridas no cotidiano dos alunos, para o seu melhor desenvolvimento

na sociedade.

Assim, os PCN+ Ensino Médio (BRASIL, 2002) foram divididos em três

eixos estruturadores:

1) Álgebra: números e funções;

2) Geometria e medidas;

3) Análise de dados.

Esses eixos estruturadores formam um conjunto de temas que possibilitam

o desenvolvimento das competências com relevâncias científica e cultural, assim

promovendo uma possível articulação de conteúdos.

O ensino de Geometria encontra-se no segundo eixo estruturador, no qual

são propostas quatro unidades temáticas: Geometria Plana, Geometria Espacial,

Geometria Métrica e Geometria Analítica.

O estudo de Geometria no Ensino Médio trata das formas planas e

espaciais e suas representações em desenhos, planificação das superfícies,

modelos e objetos relacionados com nosso dia a dia. Quando utilizamos objetos

geométricos para visualizar e representar formas do nosso cotidiano,

48

desenvolvemos a capacidade para a compreensão e construção de modelos para

resolução de questões matemáticas e de outras áreas. De acordo com os PCN+

Ensino Médio (BRASIL, 2002):

[...] para desenvolver esse raciocínio de forma mais completa, o ensino de Geometria na escola média deve contemplar também o estudo de propriedades de posições relativas de objetos geométricos; relações entre figuras espaciais e planas em sólidos geométricos; propriedades de congruência e semelhança de figuras planas e espaciais; análise de diferentes representações das figuras planas e espaciais, tais como desenho, planificações e construções com instrumentos. (BRASIL, 2002, p.125)

Os conteúdos e habilidades propostos para as unidades temáticas a serem

desenvolvidos em Geometria Espacial segundo as orientações dadas pelos

PCN+Ensino Médio, (BRASIL, 2002) ao trabalhar com Poliedros em Geometria

Espacial são:

• Classificar e representar elementos dos poliedros, sólidos redondos, propriedades relativas à posição, intersecção, paralelismo e perpendicularismo, inscrição e circunscrição de sólidos.

• Usar formas geométricas espaciais para representar ou visualizar partes do mundo real, como peças mecânicas, embalagens e construções.

• Interpretar e associar objetos sólidos a suas diferentes representações bidimensionais, como projeções, planificações, cortes e desenhos.

• Utilizar o conhecimento geométrico para leitura, compreensão e ação sobre a realidade.

• Compreender o significado de postulados ou axiomas e teoremas, além de reconhecer o valor de demonstrações para perceber a Matemática como ciência com forma específica para validar resultados. (BRASIL, 2002, p. 125)

Além disso, realizamos a leitura sobre as Orientações Curriculares do

Ensino Médio (BRASIL, 2006) a fim de esclarecer como é proposto o ensino de

Geometria Espacial, mais especificamente o dos poliedros..

Assim, a Geometria, segundo as Orientações Curriculares do Ensino Médio

(BRASIL, 2006), não pode ser apenas ensinada por intermédio de problemas

fictícios, mas de forma que os estudantes tenham a capacidade de resolver

problemas práticos do cotidiano como, por exemplo, orientar-se no espaço, ler

mapas, estimar e comparar distâncias percorridas, reconhecer propriedades de

formas geométricas básicas, saber usar diferentes unidades de medidas, além de

49

vivenciar e apreciar a faceta da Matemática que trata de teoremas e

argumentações dedutivas.

Os documentos recomendam que o estudo de volumes dos sólidos

(cilindro, prisma, pirâmide, cone e esfera), deve ser iniciado por meio do Princípio

de Cavalieri, para melhor compreensão e significado das fórmulas. Para trabalhar

com as áreas de superfícies, é importante rever os procedimentos para

determinar a medida da área de alguns polígonos, facilitando, assim, a

compreensão da área de superfícies de prismas e pirâmides. Ao ensinar o

volume, é de extrema importância considerar que o aluno possa perceber os

processos que levam ao estabelecimento de fórmulas, evitando-se a sua simples

apresentação.

Entretanto, no estudo de poliedros, o teorema de Euler e a classificação de

poliedros platônicos são citados apenas como um interessante tópico no seu

papel estético, para trabalhar a planificação da superfície e a simetria e, como

sugestão, também alguns vídeos podem ser utilizados como ponto de partida. O

documento aponta que:

No estudo da Geometria, também se pode provocar os alunos com a pergunta: “Como funcionam certos mecanismos do nosso cotidiano ou certos instrumentos de trabalho?”. São propriedades geométricas que explicam o funcionamento de um macaco de carro, dos brinquedos de uma praça infantil, do teodolito, do periscópio, da máquina fotográfica, do projetor de imagens. Também perguntas simples, como “Por que o parafuso é sextavado?” ou “Por que os prismas triangulares, junto com o movimento de rotação, são usados para veicular propagandas?”, são respondidas com conhecimento bastante elementar de Geometria, que também possibilita inúmeras atividades de natureza interdisciplinar: os poliedros e os cristais, as simetrias nos seres vivos, a concha de Nautilus e a espiral de Arquimedes (BRASIL, 2006, p.93)

Para auxiliar no ensino de Geometria, podemos utilizar programas de

Geometria Dinâmica, que dispõem de inúmeras ferramentas que podem

representar as propriedades e conceitos apreendidos em sala de aula, e a

qualidade do aprendizado pode ser dada pela escolha de um programa que

ofereça recursos para exploração de conceitos.

Assim os documentos oficiais apontam que a tecnologia utilizada em sala

de aula é uma ferramenta atrativa que pode, muitas vezes, favorecer diretamente

o aprendizado do aluno.

50

Também notamos que as orientações relacionadas ao estudo dos sólidos

são sucintas e, quanto aos poliedros, especificamente os poliedros platônicos, as

Orientações Curriculares do Ensino Médio (BRASIL, 2006) sugerem como

construções relacionadas à planificação de superfície, à simetria e à relação de

Euler. Em relação ao recurso da Geometria Dinâmica, trabalhar os poliedros é

pouco especificado para o aprendizado; o uso de programas para o ensino e a

aprendizagem de poliedros, contribui para a visualização e exploração sendo

pouco destacadas, no entanto, pelos documentos oficiais.

No próximo item, abordamos alguns conceitos dos poliedros regulares.

3.2 POLIEDROS REGULARES

Os poliedros fazem parte do deslumbrante estudo da Geometria Espacial

que realçam uma beleza simétrica que despertou nos homens a curiosidade por

seu estudo. No caderno de Matemática do Professor do Estado de São Paulo,

encontramos a seguinte definição para poliedro: “um poliedro é uma figura

espacial fechada composta por polígonos (faces). As intersecções das faces são

chamadas arestas do poliedro, e as intersecções das arestas recebem o nome de

vértices” (SÃO PAULO, CADERNO DO PROFESSOR, 6ª SÉRIE, VOLUME 2,

2009, p. 42).

Os poliedros são classificados em dois tipos: os regulares e os não

regulares. Em nosso trabalho de pesquisa, focaremos os poliedros regulares,

mais especificamente o icosaedro regular.

Veloso (1998) define os poliedros regulares da seguinte forma:

Um poliedro é regular quando todas as faces são polígonos regulares congruentes, todas as arestas são congruentes e todos os vértices são congruentes. Isto significa que existe uma simetria do poliedro que transforma cada face, cada aresta e cada vértice numa outra face, aresta ou vértice (VELOSO, 1998, p. 232).

Assim, os poliedros regulares são nomeados como: tetraedro, cubo ou

hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Segundo Guedj (2003), Dolce e

51

Pompeo (2005) não há outros poliedros regulares além desses cinco. Desse

modo:

• suas faces são polígonos regulares e congruentes, então todas têm o mesmo número de arestas;

• seus ângulos poliédricos são congruentes, então todos têm o mesmo número de arestas (DOLCE e POMPEO, 2005, p. 133).

A figura 4 representa os cinco poliedros regulares, o tetraedro, o cubo ou

hexaedro e o dodecaedro e o octaedro e o icosaedro.

Figura 4: Poliedros regulares


Para melhor compreensão, Dolce e Pompeo (2005) descrevem que todo

poliedro regular é poliedro de Platão, mas a sua recíproca não é verdadeira, já

que um poliedro é chamado poliedro de Platão se, e somente se, satisfizer as três

seguintes condições: “Todas as faces têm o mesmo número de arestas. Todos os

ângulos poliédricos têm o mesmo número de arestas. Vale a relação de Euler “

(DOLCE E POMPEO, 2005, p. 130).

Assim, o Caderno do Professor do Estado de São Paulo utiliza como

estratégia para melhor representar, organizar a classificação dos sólidos quando

apresentada uma imagem utilizando a ideia de conjunto. (Figura 5)

52

Figura 5: Classificação dos sólidos

Fonte: São Paulo, caderno do professor, 6ª série, volume 2, 2009, p. 45.

Conforme Eves (2004), Platão associa os cinco sólidos aos elementos do

Universo: o tetraedro ao fogo, o cubo à terra, o octaedro ao ar, o icosaedro à

água, porém, tendo dificuldade em explicar o quinto sólido, o dodecaedro,

associando-o ao Universo que nos cerca, como podemos observar na Figura 6.

Figura 6: A interpretação de Kepler, no Harmonices Mundi, das associações de Platão.

Fonte: Veloso, 1998, p. 234

Johann Kepler, mestre da astronomia, matemático e numerologista,

explicou a associação feita aos cinco sólidos, segundo Eves (2004) como:

53

• O tetraedro regular: ocupa o menor volume para a sua superfície, e essa

relação volume-superfície é uma qualidade de secura, sendo, por esta

característica associada ao fogo;

• O icosaedro regular ocupa o maior volume entre os cinco sólidos, e por

esta característica é associado à água;

• O hexaedro (cubo) tem a forma mais estável, por estar assentado

quadradamente sobre uma de suas faces, sendo por esta característica

associado à terra;

• O octaedro regular pode ser facilmente apoiado por apenas dois dedos e

por facilmente rodopiar, tendo a instabilidade do ar. Por esta característica

é associado ao ar;

• O dodecaedro regular é associado com os zodíacos, pois o sólido tem doze

faces e o zodíaco tem doze seções, além de ser associado ao universo.

O autor ainda destaca que podemos encontrar estes poliedros regulares

em cristais e esqueletos de animais marinhos microscópicos chamados

radiolários.

No quadro 2, apresentamos algumas características a respeito de cada

poliedro regular.

Quadro 2: Características Poliedros regulares

Poliedros Faces Arestas Vértices

Tetraedro 4 6 4

Cubo ou

hexaedro 6 12 8

Octaedro 8 12 6

Dodecaedro 12 30 20

Icosaedro 20 30 12


No próximo item, abordaremos algumas noções matemáticas que serão

trabalhadas na sequência de atividades.

54

3.3 NOÇÕES MATEMÁTICAS RELATIVAS À SEQUÊNCIA DE

ATIVIDADES

Abordamos aqui alguns conhecimentos que serão mobilizados pelos

alunos na sequência de atividades, tais como: icosaedro regular, corte de um

sólido, volume de pirâmide, elementos de uma pirâmide, pentágono regular,

hexágono, triângulo equilátero, ponto médio de um segmento de reta, teorema de

Pitágoras e semelhança de triângulos. Este estudo foi adaptado de Granja e

Costa (2011).

Iniciamos, definindo o que é icosaedro regular cuja medida da aresta é l ,

segundo Garbi (2010): o icosaedro regular é um sólido formado por 12 vértices,

30 arestas, 20 faces no formato de um triângulo equilátero (Figura 7). Em

qualquer dos seus vértices, convergem 5 triângulos equiláteros.

Figura 7: Estrutura do icosaedro regular

Fonte: Garbi, 2010, p. 344

Ainda na figura 7, VS é a diagonal maior do icosaedro regular e que M,

ponto médio do segmentoVS , é equidistante de todos os vértices do icosaedro

regular.

Ao estudar o icosaedro, percebemos que, ao traçar todos os segmentos

possíveis partindo do ponto M para os diferentes vértices, o icosaedro regular é

composto por vinte pirâmides triangulares, um dos vértices da pirâmide

coincidindo com o ponto M e a base da pirâmide coincidindo com a face do

icosaedro, conforme podemos observar na figura 8.

55

Figura 8: Estrutura do Icosaedro regular e pirâmide triangular

Fonte: Autor desta pesquisa – Software Cabri 3D

Ainda na figura 8, para que as pirâmides triangulares se encaixem

perfeitamente, suas arestas laterais devem convergir para o centro M do

icosaedro regular. Assim, a medida d da diagonal maiorVSdo icosaedro regular,

passando pelo centro M, corresponde a duas vezes a aresta lateral da pirâmide

triangular, cuja base é um triângulo equilátero de lado l .

Devemos determinar a medida da diagonal maior do icosaedro regular,

pois é a partir dela que podemos determinar a medida da aresta lateral e a

medida da altura da pirâmide triangular. A seguir, apresentamos os

procedimentos para determinar a medida da diagonal maior do icosaedro regular.

Para determinar a medida d da diagonal, Granja e Costa (2011)

destacaram dois cortes no Icosaedro regular: o primeiro é um pentágono regular

AEJSG de medida l e o segunda é um hexágono SPAKVI de media l e h, sendo

h a altura do triângulo equilátero conforme a figura 9 e 10. Em seguida,

apresentamos algumas características desses cortes.

O primeiro corte do Icosaedro regular resultou em um pentágono AEJSG

de aresta lque forma a base de uma pirâmide pentagonal, cujo vértice é um

vértice do icosaedro regular, em que o pentágono é um polígono regular, pois

possui as arestas e os ângulos com medidas iguais, como podemos observar na

figura 9.

56

Figura 9: Primeiro corte e pentágono regular

Fonte: Granja e Costa, 2011, p. 43.

O segundo corte do Icosaedro regular resultou em um hexágono SPAVKI,

que possui duas arestas de medida l e quatro arestas de medida h, sendo h a

altura do triângulo equilátero. Tal hexágono divide o icosaedro regular pela

metade, por intermédio de dois vértices opostos, V e S, em que o hexágono é um

polígono irregular, aquele que não possui os lados e ângulos com medidas iguais,

conforme podemos observar na figura 10. l

Figura 10: Segundo Corte e Hexágono

Fonte: Granja e Costa, 2011, p. 43

Ainda nos cortes realizados no icosaedro regular, que resultam em um

pentágono regular e um hexágono, obtemos um segmento comum entre eles, que

nomeamos por AS como podemos observar nas figuras 11, 12 e 13.

57

Figura 11:Estrutura do Icosaedro regular


Sendo assim, é primordial determinar a medida do segmentoAS que é a

diagonal dos polígonos que foram encontrados a partir dos cortes realizados no

icosaedro regular, para calcular a medida d da diagonal, como podemos observar

nas figuras 12 e 13.

Figura 12: Pentágono regular

Figura 13: Hexágono regular


Para determinar a medida do segmento AS que é a diagonal do pentágono

regular e do hexágono, devemos explorar os ângulos e as diagonais do

pentágono regular (Figura 14). Assim, destacamos dois triângulos isósceles ASJ e

OJS que são semelhantes7, e também assim encontramos a medida do segmento

AS , como podemos observar na figura 14.

7 Triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais (Dolce e Pompeo, 2005, p. 145)

58

Figura 14: Pentágono regular e medida do segmento AS


2

5x

0²xx²

xx²

x

x:Então

2

ll

ll

ll

l

ll

+−=

=−+

+=

+=

2

1)5()(xASLogo,

+=+=l

l

Retornando ao segundo corte do Icosaedro regular, que resultou em um

hexágono SPAKVI, podemos calcular a medida d da diagonal, sabendo a medida

do segmento AS e utilizando o teorema de Pitágoras8, como podemos observar

na figura 15.

Figura 15: Hexágono e medida d


2

552

2

152

22

222

)(d

)(d

ASAVSV

+=

++=

+=

l

ll

A partir da medida d da diagonal e do icosaedro regular calculado na figura

15, é possível calcular a medida da aresta lateral a da pirâmide triangular, uma

vez que equivale à metade da diagonal, como podemos observar na figura 16.

8 O teorema afirma que o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos (Dolce e Pompeo, 2005, p.126)

59

Figura 16: Estrutura do icosaedro regular e medida da aresta lateral da pirâmide triangular


4

)52(5a

2

1

2

)52(5a

2

da

+=

⋅+

=

=

l

l

Como conhecemos a medida da aresta lateral a e sabemos que a base da

pirâmide é um triângulo equilátero de lado l , segundo Gabi (2010), temos que

6

3

3

3

2

3 lll=== EReES;RS (figura 17). A partir dessas medidas, podemos

determinar a medida da altura th da pirâmide triangular, utilizando o teorema de

Pitágoras, como podemos observar na figura 17.

Figura 17: Estrutura da pirâmide triangular MSHI e a medida da altura th


12

)536(7h

h3

3

4

)52(5

hSEa

t

2

t

22

2

t

22

+=

+

=

+

+=

l

ll

60

Ainda da figura 17, conhecendo as medidas da altura e a área da base da

pirâmide MSHI que é 4

32l

, podemos determinar o volume da pirâmide, que é um

terço do produto da área da base pela medida da altura.

Ao considerar estas medidas o volume da pirâmide MSHI é:

48

5372

3

12

5376

4

3

3

3

2

)(

)(

hAV tb

SHLM

+=

+⋅

=⋅

=l

ll

Em relação ao Icosaedro regular, que é composto de vinte pirâmides

triangulares congruentes, podemos calcular o volume por meio da pirâmide MSHI.

Desse modo, o volume do icosaedro regular é vinte vezes o volume da pirâmide

MSHI.

A seguir, os cálculos para determinar o volume do Icosaedro regular.

12

)53(5

12

2

1801414

2

18014145

12

180145

12

56145

48

)537(220

3

223

333

cos

+=

−−

−+⋅

=

=+

=+

=+

=

l

l

lll

aedroiV

Acreditamos que todos os conhecimentos mobilizados pela sequência de

atividades foram apresentados. Sendo assim, no próximo item, abordaremos a

importância do uso da Geometria Dinâmica e o software Cabri 3D para nosso

trabalho.

3.4 GEOMETRIA DINÂMICA E O CABRI 3D

Esta subseção, que se refere à Geometria Dinâmica, baseia-se na leitura

de alguns trabalhos como: Salazar (2009), Almeida (2010), manual do Cabri 3D

v2 e documentos oficiais.

61

É notório que a tecnologia tem se tornado presente em nosso cotidiano e o

uso do computador tem adquirido uma importância significativa no dia a dia das

escolas e no desenvolvimento dos processos de ensino e aprendizagem em

geral, como está apontado na citação a seguir.

Para o aprendizado da geometria, há programas que dispõem de régua e compasso virtuais e com menu de construção em linguagem clássica da geometria – reta perpendicular, ponto médio, mediatriz, bissetriz, etc. Feita uma construção, pode-se aplicar movimento a seus elementos, sendo preservadas as relações geométricas impostas à figura – daí serem denominados programas de geometria dinâmica (BRASIL 2006, p.88).

A presença crescente do computador em diversas atividades de nossa vida

e, principalmente na escola, mostrou-se como uma quebra de paradigmas. Nota-

se que a mudança no processo de aprendizagem é evidente com a tecnologia,

pois o computador possibilita e oferece novas formas de manipular um conteúdo

ou objeto com melhor observação, trazendo uma motivação a mais para os

professores e alunos.

Para Borba e Penteado (2003), a informática não irá terminar com a escrita

ou com a oralidade, ou mesmo a simulação não acabará com a demonstração em

Matemática. É bem provável que aconteçam transformações ou reorganizações.

Com isso, o professor terá que atualizar constantemente o seu vocabulário sobre

computadores e softwares, pois as novidades nessa área surgem em um ritmo

muito veloz.

O ambiente de geometria dinâmica possibilita inúmeras ferramentas

virtuais, nos quais os objetos geométricos podem ser manipulados de uma forma

mais eficaz e sua visualização em diversos ângulos, sem que suas relações

geométricas se modifiquem.

A utilização do ambiente computacional no ensino de Geometria pode ter

um importante papel na representação de figuras planas e espaciais, sendo um

facilitador na visualização e a manipulação oferecida pelos ambientes de

Geometria Dinâmica.

A seguir, destacamos algumas pesquisas em Educação Matemática que

mostram a importância do uso da Geometria Dinâmica no ensino- -aprendizagem.

62

De acordo com Salazar:

A utilização do ambiente computacional para aprendizagem de Geometria acontece em razão do importante papel desempenhado pela representação de figuras planas e espaciais, pois a nova forma de manipulação oferecida pelo ambiente da Geometria Dinâmica e pela manipulação direta das figuras na tela possibilita sua exploração, mantendo as relações geométricas da construção, isto é, suas propriedades variantes. Essa manipulação permite melhor visualização, além de possibilitar diferentes pontos de vista relacionados a uma mesma figura. (SALAZAR, 2009, p. 48)

Dessa forma, a Geometria Dinâmica promove mudanças no aprendizado

de Geometria que, consequentemente, para o aluno, poderá trazer mais

facilidades na construção e exploração de figuras e as relações que estabelece

entre elas. Além disso, os estudantes podem fazer conjecturas, possíveis de

serem testadas com ferramentas e/ou recursos disponíveis no ambiente.

Para Almeida (2010), a Geometria Dinâmica como recurso didático,

favorece a exploração e aquisição de conceitos geométricos, bem como

apresenta vantagens em relação às construções no ambiente papel e lápis.

Nessa direção, Cozzolino (2008) ressalta que é importante para o aluno o

contato com a Geometria Dinâmica, pois tal relação fará com que os estudantes

descubram propriedades e conceitos geométricos e ampliem a possibilidade de

exploração de figuras, agilizando a visualização e transformação dos objetos

construídos.

Segundo Ferreira (2006), o ambiente de Geometria Dinâmica disponibiliza

aos usuários inúmeros recursos de grande importância e indiscutível

potencialidade.

No ambiente de Geometria Dinâmica, vamos trabalhar com o software

Cabri Géomètre 3D9, que permite a construção, a representação e a manipulação

de todo tipo de objeto bidimensional e tridimensional, tais como retas, planos,

cone, esfera, poliedros, entre outros. Assim, esse ambiente dinâmico permite

construções das mais simples às mais complexas.

9 A sigla CABRI vem do francês Cahier de Brouilon Informatique, que significa Caderno de Rascunho informático

63

Uma vez que a figura foi construída, pode ser movimentada e podem ser

conservadas suas propriedades. Outro aspecto importante do programa

(software) são as vantagens de ir além da manipulação dinâmica das figuras.

Para Almeida (2010), a Geometria Dinâmica, pode ser ensinada à

Geometria Plana e à Geometria Espacial. O Cabri Géomètre 3D é o primeiro

software de manipulação direta desenvolvido para simular o trabalho com três

dimensões, em que qualquer figura pode ser construída, manipulada e visualizada

nesse ambiente que preserva as propriedades e permite modificar o ponto de

vista. O Cabri Géomètre traz como principal atrativo a forma de exploração e

manipulação dos diversos pontos de vista, conforme descreve Salazar (2009,

p.51),

Em seguida, a autora ressalta algumas ferramentas que possibilitam a

utilização do software pelo aluno e pelo professor, para construir e manipular

figuras espaciais, mantendo as propriedades verificadas e testadas, mudança dos

tons de cores, cálculo de área e volume, medida de segmento, criação de ponto,

reta, plano, pirâmides, circulo, circunferência, cilindros, cones, esferas, poliedros,

e outros, tendo a capacidade de realizar construções dinâmicas, das mais simples

às mais complexas.

Identificamos o Cabri 3D como um software com grande potencialidade

para expor e explorar as figuras geométricas, podendo ser um facilitador para a

aprendizagem em Geometria, pois o software é equipado com um menu didático,

facilitando o seu manuseio em sala de aula.

Segundo Salazar:

O Cabri 3D pode trazer uma solução informática aos problemas de representação de figuras espaciais, porque a manipulação direta (dinamismo) que este ambiente possui, permite, por meio da exploração de figuras tridimensionais, que os estudantes validem ou refutem conjecturas, o que supõe a mobilização de conteúdos matemáticos. (SALAZAR, 2009, p.59)

Acreditamos que o software Cabri Géomètre 3D é uma excelente

ferramenta para a aprendizagem da Geometria, que estimula o desenvolvimento

do pensamento geométrico e que pode ser trabalhado tanto nas aulas de

64

Matemática quanto em casa, pelo fácil manuseio e por explorar de uma forma

dinâmica a Geometria espacial. De acordo com Almeida, Salazar e Silva (2011):

O ambiente computacional Cabri 3D apresenta uma alternativa para o ensino e aprendizagem de Geometria Espacial, pois permite construir, manipular, explorar e visualizar figuras espaciais, além de conjecturar e verificar suas propriedades, visto que facilita a visualização e manipulação dessas figuras a partir de diferentes pontos de vista, desenvolvendo a visão tridimensional. (Almeida, Salazar e Silva, 2011, p.1)

Na figura 18, apresentamos alguns sólidos como cilindro, prisma

pentagonal, dodecaedro regular e icosaedro regular que podemos construir

utilizando o software Cabri 3D.

Figura 18: Exemplos de alguns sólidos construídos através do Cabri 3D


No próximo capítulo, apresentamos as características da escola, os

sujeitos de pesquisa e os resultados obtidos do nosso trabalho.

65

CAPÍTULO IV

EXPERIMENTO E ANÁLISE

Neste capítulo, apresentamos o perfil dos sujeitos de pesquisa e

descrevemos a aplicação e suas análises a priori e a posteriori da sequência.

4.1 CARACTERÍSTICAS DA ESCOLA.

Nossa pesquisa foi realizada no Laboratório de Informática do Colégio

Batista da Penha, localizado na Penha, um bairro da cidade de São Paulo, que

autorizou publicar toda e qualquer informação sobre o estabelecimento.

O colégio tem como objetivo ser um centro de referência educacional na

sociedade, que possibilite a formação integral e plena do ser humano,

favorecendo o desenvolvimento de competências e habilidades no educando,

para que este possa atuar na sociedade com autonomia, senso crítico e

responsabilidade, norteado pelos princípios cristãos.

Atualmente, a escola funciona em dois períodos: pela manhã o Ensino

Fundamental, e o Ensino Médio e, à tarde, a Educação Infantil. O Ensino

Fundamental tem 7 turmas e o Ensino Médio tem 4 turmas. É importante ressaltar

que todas as terças, quintas e sextas-feiras, a primeira aula é de avaliação.

No primeiro semestre de 2012, convidamos os alunos da 3ª série do

Ensino Médio para participarem de uma pesquisa sobre Geometria Espacial, mais

especificamente sobre o volume do icosaedro regular. A escolha pela série em

questão deu-se após o estudo dos documentos oficiais, em que o tema “sólidos” é

abordado no final da 2º série do Ensino Médio. Então, consideramos que seria

mais propício aplicar a sequência de atividades na 3ª série do Ensino Médio, já

que eles provavelmente teriam os conhecimentos prévios para solucionar todas

as atividades propostas.

Ao escolher o colégio para a aplicação da sequência de ensino, definimos

os seguintes critérios: o colégio deveria ter um laboratório de informática

66

adequado para a prática, além de autorizar a permanência dos alunos no contra

turno para realizar as atividades, um ambiente favorável e adequado para o

estudo, e permitir que o pesquisador tivesse livre acesso à escola e aos

estudantes.

Por lecionar em um colégio do Estado de São Paulo que abrange esses

critérios, foi solicitado à Direção que autorizasse a pesquisa. E após a autorização

concedida, iniciamos a nossa pesquisa referente ao volume do icosaedro regular.

4.2 SUJEITOS

Após liberação por parte do corpo diretivo tivemos livre acesso ao colégio.

Dessa forma, convidamos os alunos do 3º ano do Ensino Médio para participarem

da referida pesquisa. Apresentamos como condição para a escolha dos

participantes a disponibilidade das tardes livres para a realização das atividades

que pretendíamos trabalhar nesta investigação.

Assim, apresentamos os objetivos e a importância da participação dos

estudantes naquela pesquisa. Para os estudantes que concordaram em participar,

foi entregue a autorização de participação (termo de consentimento) para o

responsável assinar. Tivemos o retorno de quatro autorizações, então, em nosso

estudo trabalharemos com quatro alunos do 3º ano do Ensino Médio da rede

particular.

Os outros estudantes que não participaram da atividade, justificaram não

ter tempo para ficar depois das aulas, por outras atividades como: cursos de

inglês, espanhol e informática, pois explicamos que as atividades seriam

aplicadas no seu tempo livre, após as aulas.

Os nomes dos participantes foram substituídos por nomes fictícios para

preservar o anonimato. Portanto, os participantes serão identificados como:

Cristina, Alice, Júlia e Daniela.

67

4.3 DESCRIÇÃO DA APLICAÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA

Na fase de experimentação, aplicamos a quatro sujeitos do Ensino Médio

uma sequência didática composta por nove atividades. Desse modo, realizamos

três encontros no laboratório de informática da escola onde lecionamos, no

período de 21 a 24 de maio de 2012.

No quadro 3, apresentamos o dia, a atividade e o tempo de duração das

atividades aplicadas.

Quadro 3: Cronograma da sequência de atividade aplicada nos sujeitos

ATIVIDADE REALIZADA DIA DA APLICAÇÃO TEMPO DOS ENCONTROS

ATIVIDADE I, II, III e IV 21/05/2012 1hora e 10 minutos

ATIVIDADE V, VI e VII 23/05/2012 1hora e 14 minutos

ATIVIDADE VIII e IX 24/05/2012 1hora e 3 minutos


A seguir, realizaremos a análise a priori e a posteriori da sequência didática

realizada com os sujeitos investigados.

4.4. ANÁLISE DOS RESULTADOS

A análise das atividades emergiu a partir dos dados coletados de quatro

alunos do Ensino Médio que participaram das atividades propostas.

A sequência didática visava que os sujeitos utilizassem e articulassem os

Registros de Representação Semiótica, proposta por Duval (2009), além da

construção da fórmula que permite calcular o volume do icosaedro, a partir da

exploração das figuras que representam esse objeto.

Os alunos seguiam o roteiro e as orientações contidas nas atividades, no

intuito de vivenciar as fases de ação, formulação e validação, propostas por

Brousseau (1986).

68

Apresentamos, a seguir, as nove atividades que foram adaptadas de

Granja e Costa (2011), com suas respectivas análises a priori e a posteriori.

Atividades: Exploração do software Cabri 3D

Nosso objetivo com essa atividade era o de que os alunos, auxiliados pelas

construções realizadas por meio do software, explorassem, visualizassem e

manipulassem as representações das figuras geométricas, utilizando o software

Cabri 3D.

Atividade I: Construção de Poliedros Regulares - Instruções

Construir no plano cinza do Cabri 3D os cinco poliedros regulares: cubo

(hexaedro), tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Para construir o poliedro

desejado, acione a caixa de ferramentas “poliedros” e selecione o poliedro; em

seguida, clique com o mouse no plano cinza do Cabri 3D e arraste (Salve o

arquivo nomeando-o como: Figura 1).

Análise da situação I

Essa atividade tem como objetivo construir os cinco poliedros regulares e

criar condições para que os sujeitos explorem as figuras, utilizando o software

Cabri 3D.

Na Figura 19, apresentamos uma solução possível para a atividade I.

Figura 19:Poliedros regulares


69

Relato da experiência

No inicio da atividade, os sujeitos encontraram o software Cabri 3D aberto

e as atividades impressas ao lado. Assim, o pesquisador orientou que os quatro

sujeitos se dividissem em duplas e que as atividades.

Então, os sujeitos formaram a dupla A (Alice e Daniela) e a dupla B

(Cristina e Júlia). As duplas foram formadas pelos sujeitos sem a intervenção do

pesquisador.

As duplas A e B, durante a realização das atividades, mostraram grande

curiosidade pelo software Cabri 3D e ao solucionar a atividade, a participante

Daniela (dupla A) apresentou dificuldade para construir os poliedros regulares,

porém com o auxílio de Alice, sua parceira de dupla, as duas exploraram a

ferramenta e apresentaram a solução correta. A dupla B, entretanto, teve

dificuldade para encontrar a caixa de ferramenta “poliedros regulares”, e

perguntaram ao pesquisador: “cadê os poliedros cubo, tetraedro, octaedro,

icosaedro e dodecaedro?”.

O pesquisador orientou as participantes para explorarem a caixa de

ferramentas com mais cautela, assim as participantes da dupla B encontraram a

ferramenta “poliedros regulares” e construíram os cinco sólidos. A dupla A utilizou

outras ferramentas “cor de ponto”, “cor de segmento” e “cor de superfície” que

permitiram colorir os sólidos; a dupla B coloriu alguns dos sólidos com as mesmas

ferramentas utilizadas pela dupla A.

Nas figuras 20 e 21 apresentamos as construções das duplas A e B.

Figura 20: Construção realizada pela dupla A

Figura 21: Construção realizada pela dupla B

Fonte: Produção dos sujeitos desta pesquisa

70

As construções apresentadas pelas duas duplas atenderam às nossa expectativa que era a de construir os cinco poliedros regulares e explorar as ferramentas do software Cabri 3D.

Atividade II: Exploração do Cubo (hexaedro) - Instruções

a) Construir um cubo cuja uma das faces está contida no plano cinza do Cabri

3D. Salve o arquivo nomeando - o como: Figura 2a.

b) Movimente a figura, clicando sobre o plano cinza do Cabri 3D com o botão

esquerdo do mouse e arraste. Salve o arquivo nomeando - o como: Figura

2b.

c) Nomeie os vértices do cubo com as letras A, B, C, D, E, F, G e H. Para

nomear os vértices acione a caixa de ferramenta “ponto” clique sobre o

vértice desejado e nomeie. Salve o arquivo nomeando - o como: Figura 2c.

d) Modifique o estilo de superfície do cubo para “vazio”. Para modificar o

estilo, clique com o botão direito sobre a figura, escolha a ferramenta “estilo

de superfície” e selecione estilo vazio. Salve o arquivo nomeando - o como:

Figura 2d.

e) Trace as diagonais do cubo. Para traçar a diagonal acione a caixa de

ferramenta “reta”, selecione a ferramenta segmento e clique nos vértices

desejados. Salve o arquivo nomeando - o como: Figura 2e.

f) Construir um plano cuja uma das faces está contida no plano cinza do

Cabri 3D e planificar a sua superfície. Acionando a caixa de ferramenta

“poliedros” selecionar a ferramenta “abrir poliedros” e clicar sobre o sólido

desejado. Salve o arquivo nomeando-o como Figura 2f.

Análise da situação II

Esta atividade tem por objetivo possibilitar aos sujeitos explorarem os

diferentes recursos do software Cabri 3D, a partir da representação de um cubo e

seus elementos como vértices, arestas e diagonais.

Para essa atividade, fornecemos os procedimentos adequados que

possibilitaram aos sujeitos realizarem as atividades propostas.

No item (a), na figura 22 podemos observar uma solução possível.

71

Figura 22: Cubo (hexaedro)


No item (b), ao modificar o ângulo de visão, os sujeitos poderão visualizar a

representação do cubo e perceber que, ao movimentar a figura geométrica

construída, ela permanece sem deformações e com uma das faces sempre

contida no plano, possibilitando, assim, aos sujeitos, desenvolverem a apreensão

operatória.

No item (c), a figura 23 é uma das soluções esperadas.

Figura 23: Cubo ABCDEFGH

Fonte: Autor desta pesquisa – software Cabri 3D

No item (d) a figura 24 é uma das soluções esperadas.

Figura 24: Estrutura do cubo


72

No item (e), a figura 25 representa uma das soluções possíveis.

Figura 25: Diagonais da estrutura do Cubo


No item (f), uma solução possível é representada pela figura 26.

Figura 26: Planificação da superfície do Cubo



Em relação ao item (a), as duplas A e B construíram um cubo que tem uma

das faces contida no plano cinza, sem apresentar dificuldade, como podemos

observar nas figuras 27 e 28 a construção das duplas que seguiram o roteiro

previsto.

73




No item (b), as duplas A e B seguiram o roteiro para modificar o ângulo de

visão sem dificuldades e identificaram que, o ao movimentar as figuras, o estudo

da representação dos sólidos se tornaria mais simples. As duplas se mostraram

surpresas com as possibilidades que o software Cabri 3D fornecia.

No item (c), as duplas nomearam os vértices do cubo seguindo o roteiro

apresentado no enunciado, sem apresentar dificuldades. A seguir apresentamos a

construção das duplas A e B.




O item (d) foi solucionado pelas duplas A e B seguindo o roteiro indicado

no enunciado, sem dificuldades. A seguir apresentamos a construção das duplas

A e B como tínhamos pressuposto na análise a priori.

74




Durante a realização do item (e), a dupla B solucionou a atividade, porém

apresentou dificuldade para encontrar a ferramenta “segmento”; após explorar o

software, a participante Alice conseguiu identificar a ferramenta “segmento”.

Assim, a dupla B construiu as quatro diagonais do cubo e a dupla A construiu as

doze diagonais das faces do cubo.

Então o pesquisador fez uma intervenção e questionou a dupla A: “Esta é a

diagonal do cubo?”. A participante Daniela da dupla A respondeu “diagonal da

face”; assim, a dupla A retornou ao enunciado e percebeu o engano cometido,

refazendo a construção corretamente. Nas figuras 33 e 34, podemos observar a

construção das duplas A e B.




Ao solucionar o item (f), as duplas seguiram corretamente o enunciado.

Assim, a dupla A solucionou a atividade sem demonstrar dificuldade, já a dupla B

apresentou certo desconforto ao manipular a figura que representava o sólido na

forma “aberto”. As participantes Cristina e Júlia da dupla B relataram ser difícil

mover a figura “aberta”

75

Em seguida, podemos observar a solução da dupla A, que concluiu a

atividade, representando a planificação da superfície do cubo. A dupla B não

finalizou a construção por dificuldades na manipulação da representação do cubo

“aberto”, não concluindo, portanto, a atividade.

Nas figuras 35 e 36, são as construções apresentadas por ambas as

duplas.




Observamos que ambas as duplas exploraram as ferramentas do software

Cabri 3D, a partir da representação do cubo. No diálogo entre as participantes,

identificamos algumas falas referentes à utilização do software Cabri 3D como:

Daniela – Por que não podemos utilizar este software nas aulas de

geometria?

Cristina – Fica mais fácil aprender sobre o cubo com o Cabri 3D;

Alice – Este programa é muito legal e devemos utilizar nas aulas.

Percebemos, então, que as alunas estavam motivadas com a utilização do

software.

Atividade III: Exploração do Pentágono Regular – Instruções

a) Construir no plano cinza do Cabri 3D um pentágono regular, acionando a

caixa de ferramenta “polígono” e selecionando a opção pentágono regular;

em seguida, clique no plano cinza do Cabri 3D e arraste. Salve o arquivo

nomeando - o como: Figura 3.

76

b) Movimente a figura.

c) Nomeie os vértices do pentágono regular com as letras A, B, C, D e E.

Salve.

d) Determine a medida dos ângulos acionando a caixa de ferramenta

“medida”; selecione a ferramenta ângulo e clique nos vértices adjacentes

para determinar a medida desejada. Salve.

Análise da situação III

Esta atividade tem por objetivo permitir aos sujeitos explorar a figura que

representa o Pentágono Regular e alguns de seus elementos como vértices e

ângulos usando diferentes recursos do software Cabri 3D.

No item (a), a figura 37 apresenta uma solução possível.

Figura 37: Pentágono regular


No item (b), ao modificar o ângulo de visão, os sujeitos poderão visualizar a

representação do pentágono regular e perceber que, ao movimentar a figura

geométrica, construída no plano cinza do Cabri 3D, ela seria sempre contida a

ele.

No item (c), a figura 38 pode ser uma solução possível.

77

Figura 38: Pentágono regular ABCDE


No item (d) a figura 39 contêm as medidas esperadas.

Figura 39: Ângulo interno do pentágono regular



A atividade III foi concluída com êxito, pelas duas duplas, embora as

participantes tivessem apresentado dificuldades para encontrar a ferramenta

“ângulo”. No entanto, ao identificá-la, solucionaram a atividade sem maiores

problemas.

Nas figuras 40 e 41 podemos observar as soluções apresentadas por

ambas as duplas.

78




As duplas construíram e manipularam o pentágono regular, utilizando as

ferramentas do Cabri 3D, como havíamos pressuposto na análise a priori.

Atividades: Exploração do icosaedro Regular utilizando o software Cabri 3D

Para esta parte da sequência de atividades, apresentamos uma proposta

que deve permitir aos sujeitos uma mobilização de seus conhecimentos em

Geometria Plana e Geometria Espacial, no decorrer das resoluções das

situações-problema, envolvendo o icosaedro regular e utilizando o software Cabri

3D.Tais atividades deverão auxiliar os sujeitos a vivenciar as situações de ação,

formulação e validação, conforme foram propostas por Brousseau (1986).

Para facilitar a visualização e a manipulação das figuras, optamos por

utilizar o software Cabri 3D, e foram criados arquivos contendo as figuras

geométricas necessárias para solucionar as atividades. A utilização desse

software deve permitir as conversões do registro figural para o registro na

linguagem natural e algébrico, os tratamentos nesses registros.

As atividades de 4 a 9 têm por objetivo explorar as propriedades do

icosaedro e calcular seu volume.

Como enredo dessas seis atividades, utilizamos uma história fictícia, em

que seu protagonista é o rei Romildo. Esse rei era tão rico, que suas riquezas

eram impossíveis de contar. Por isso, ele não se importava com nenhuma outra

coisa a não ser com suas vinte mulheres. Então, ele procurou, entre suas

79

riquezas, o bem mais valioso para presenteá-las. Encontrou um anel de ouro, com

um diamante com a forma de icosaedro regular. Assim ele mandou chamar seus

sábios para que descobrissem como presentear suas vinte esposas, igualmente,

com aquele diamante do anel.

Atividade IV: Estudando algumas características do icosaedro. Instruções.

a) Abra a figura arquivo 4 e movimente-a. Quantos vértices possui o

icosaedro regular representado?

b) Que tipo de triângulo forma a face do icosaedro regular?

c) Quantas arestas e faces possui o icosaedro regular?

d) A partir de suas respostas nos itens anteriores, defina o que é um

icosaedro regular.

Análise da situação IV

Esta atividade tem como objetivo motivar os alunos a utilizarem o software

Cabri 3D e identificar alguns elementos do icosaedro regular como: arestas,

vértices e faces. Em seguida, eles podem observar o arquivo atividade 4 (Figura

42), que é composto de duas figuras que representam o icosaedro regular, sendo

uma delas “vazia”, que possibilita ao aluno a visualização de alguns elementos do

sólido como vértices e arestas.

Figura 42: Arquivo atividade 4 – Icosaedro Regular e estrutura do icosaedro regular


Esperávamos que, a partir do arquivo atividade 4, os sujeitos identifiquem

alguns elementos do Icosaedro regular, como: as faces que compõem a

superfície do sólido, o número de vértices e arestas.

80

Caso os sujeitos apresentem dificuldades para solucionar as questões

propostas, pediremos para planificarem a superfície do icosaedro regular usando

a opção “abrir o sólido”, do Cabri 3D, como podemos observar nas figuras 43 e

44.

Figura 43: Abrindo o Icosaedro regular

Figura 44: Planificação da Superfície do Icosaedro regular


Nestas atividades, esperamos que os sujeitos realizassem a apreensão

perceptiva, que lhes permitissem reconhecer algumas características do

icosaedro regular como: quantidade de vértices, arestas e faces, e que a face é

um triângulo equilátero, de uma forma imediata.


Ao abrir o arquivo, as duplas observarão duas figuras que representam o

icosaedro regular para solucionar a atividade IV. As duplas A e B iniciaram a

atividade movimentando as figuras.

No decorrer da resolução dos itens (a) e (c), ambas as duplas

apresentaram dificuldades em contar o número de vértices e arestas existentes

na figura, pelo fato de contarem duas ou três vezes o mesmo vértice ou aresta.

Como alternativa para contar o número de vértices, a participante Daniela,

da dupla A, utilizou as ferramentas “ponto” e “cor de ponto”; assim, cada ponto

contado tinha uma cor diferente, o que facilitou e eliminou os erros durante a

contagem. Já para contar o número de arestas, a dupla A utilizou as ferramentas

“segmento” e “cor de curva” e para contar o número de faces utilizou a ferramenta

“abrir poliedro” que foi trabalhada na atividade II.

81

A dupla B recorreu aos mesmos recursos, após a explicação da integrante

Daniela da dupla A.

No item (b) em relação ao tipo de triângulo que representa a face do

icosaedro regular a participante Júlia, da dupla B, respondeu “triângulo é

equilátero”. E quando questionada pelo pesquisador “Por que o triângulo

equilátero?” ela respondeu “que os outros triângulos não encaixariam

perfeitamente”. A dupla A participou da reflexão e comentários da outra dupla e

apresentou uma resposta semelhante.

Na resolução do item (d) as duplas A e B definiram o que é icosaedro

regular, utilizando as respostas dos itens a, b e c. Podemos observar as respostas

apresentadas por ambas as duplas nas figuras 45 e 46.

Figura 45: Resposta realizada pela dupla A

Figura 46: Resposta realizada pela dupla B


As respostas apresentadas por ambas as duplas, mostram que

conseguiram identificar as principais características e definir o icosaedro regular.

Atividade V: Decomposição do icosaedro regular em pirâmides triangular.

Na presença dos sábios, o rei Romildo disse: “O anel ficará em meu poder,

porque é muito precioso para mim, vocês não poderão vê-lo, tocá-lo ou medi-lo”.

Então os sábios disseram: “Como podemos solucionar este problema, que seria

dividir o anel para suas vinte esposas de forma idêntica, meu rei?” Depois de

ouvir isso, o rei ficou pensativo e afirmou: “Vocês são os sábios, além disso, eu

82

falei que é um anel de ouro, que contém um diamante com a forma de um

icosaedro regular”.

Antes de os sábios saírem, o rei fez o seguinte comentário: “Atenção,

sábios, devemos nos preocupar com o diamante no formato de icosaedro regular,

porque é muito precioso e único no mundo, já ouro não falta em meu reino.

Este problema exige precisão, ao menor erro cometido, o rei expulsará

todos os sábios do reino”.

Mais tarde, os sábios reuniram-se para pensar e levantaram as seguintes

questões que deverão ser respondidas a partir da manipulação da representação

do icosaedro regular por meio do software Cabri 3D. Como não sabemos a

medida do lado do Icosaedro regular, vamos abrir o arquivo atividades 5 em que

nomeamos a medida da aresta com a letra a, e movimentar a figura para

responder as questões a seguir.

a) Construa as diagonais AH e BJ . Essas diagonais são chamadas de

diagonal maior e diagonal menor respectivamente. Salve o arquivo

nomeando-o como: figura 5.

b) Construa o ponto médio da diagonal maior. Nomeie-o de M. Salve a figura.

c) Construa uma pirâmide de vértice M e de base uma das faces do

icosaedro. Salve sua construção.

d) Quantas pirâmides congruentes e de vértice M podemos construir?

Análise da situação V

Essa atividade tem como finalidade proporcionar aos alunos condições de

perceberem que vinte pirâmides triangulares se encaixam perfeitamente no

icosaedro regular e suas arestas laterais devem convergir para o centro do

icosaedro.

Nessa atividade, pedimos aos sujeitos que abrissem o arquivo atividade 5

(Figura 47), que é a representação do Icosaedro regular. O arquivo deve permitir

aos alunos visualizarem e manipularem a figura que representa o icosaedro

regular, que auxiliará nas discussões e resoluções das questões.

83

Figura 47: Arquivo atividade 5 – Estrutura do icosaedro regular


No item (a), os alunos deverão construir a diagonal maior AH e a diagonal

menor BJ , acionando a caixa de ferramenta “segmento” e clicando nos vértices

desejados.

Figura 48: Diagonal Maior AH e diagonal menor BJ da estrutura do icosaedro regular.


No item (b), esperamos que os sujeitos cumpram as tarefas pedidas e

cheguem a uma configuração com a mostrada na figura 49.

84

Figura 49: Ponto médio M da diagonal maior AH da estrutura do icosaedro regular


No item (c), os sujeitos devem construir uma pirâmide triangular, cujo ponto

M é um dos vértices, e cuja base coincida com uma das faces do icosaedro

regular.

A partir dos tratamentos no registro figural, esperávamos que os sujeitos

desenvolvessem a apreensão operatória, identificando que o icosaedro regular

pode ser dividido em subfiguras, isto é, que podemos decompor o icosaedro

regular em vinte pirâmides triangulares.

Figura 50: Pirâmide triangular que compõe o Icosaedro regular


No item (d), os alunos deverão concluir que podemos construir vinte

pirâmides triangular inscritas no icosaedro regular.

Nessas atividades de construção, esperamos que os sujeitos da pesquisa

cheguem à solução usando a apreensão operatória, que permitiria aos sujeitos

modificarem a figura inicial, facilitando a resolução de um problema específico. No

85

caso em questão, queremos que os sujeitos decomponham o icosaedro regular

em vinte pirâmides triangulares.


No item (a), as duplas realizaram as construções das diagonais utilizando a

ferramenta “segmento” sem apresentar dificuldades.

As figuras 51 e 52 apresentam as construções das duplas A e B.




No item (b), para construir o ponto médio da diagonal maior, as duplas A e

B mostraram dificuldades para encontrar a ferramenta “ponto médio”, mas a partir

de uma exploração das ferramentas, a dupla A realizou a construção do ponto

médio e a participante Daniela explicou para a dupla B como construir o ponto

médio M. Apresentamos, a seguir, as construções realizadas pelas duplas A e B.




86

No item (c), as duplas construíram a pirâmide triangular de vértice M, com

base um triângulo equilátero que coincide com a face do icosaedro regular;

ambas as duplas, entretanto, mostraram dificuldades para encontrar a ferramenta

“pirâmide”. Após uma busca entre as ferramentas disponíveis, a participante Alice,

da dupla A, encontrou a ferramenta necessária para construção e sua

companheira Daniela explicou para a dupla B. Apresentamos a seguir as

construções realizadas pelas duplas A e B.




No item (d), após refletir sobre a questão, a integrante Daniela, da dupla A,

respondeu que “o número de pirâmides seria igual ao número de faces que são

trinta”, porém sua companheira de dupla Alice corrigiu, dizendo: “o número de

faces do icosaedro regular são vinte” e, assim, a dupla A concluiu a atividade. A

dupla B ouviu os argumentos da dupla A, o que as fez chegar à mesma

conclusão. A seguir, as respostas das duas duplas.




87

Percebemos que as duplas A e B desenvolveram a apreensão operatória,

quando ambas concluíram ser possível construir vinte pirâmides triangulares, a

partir do icosaedro regular.

Atividade VI: Algumas medidas da pirâmide triangular - Instruções

Para solucionar essa atividade, devemos abrir o arquivo atividade 6, em

que nomeamos a medida da diagonal maior (d) do icosaedro regular pela letra d,

o ponto médio da diagonal maior pela letra M e representamos uma das pirâmides

que compõem o icosaedro regular.

a) Qual a medida da aresta lateral da pirâmide triangular em função de d?

Justifique a sua resposta.

b) Qual a medida da aresta da base da pirâmide triangular? Justifique a sua

resposta.

c) Qual a área da base da pirâmide triangular? Justifique a sua resposta.

Análise da situação VI

O objetivo desta atividade é determinar a medida da aresta lateral em

função de d, a medida da aresta da base, e a área da base da pirâmide triangular

explorando o arquivo atividade 6 (Figura 59).

Figura 59: Arquivo atividade 6 - Diagonal maior AH e pirâmide triangular que compõe no Icosaedro regular.

Fonte: Adaptado de Granja e Costa, 2011, p. 42.

88

Nessa atividade, os sujeitos deverão perceber que a medida da aresta

lateral da pirâmide é 2

d e a área da base da pirâmide triangular é

4

3a 2

.

Assim, esperamos que os sujeitos apresentem essas medidas, realizando

a conversão no registro figural para o registro algébrico, observando a figura do

arquivo atividade 6.


No item (a), percebemos que ambas as duplas não identificaram a medida

da aresta da pirâmide triangular em função de d de uma forma imediata.

A dupla A movimentou a figura diversas vezes, lendo o enunciado, e a

participante Alice respondeu “a medida da aresta é a metade da diagonal”; assim,

a sua companheira Daniela realizou a conversão do registro figural para o registro

algébrico e solucionou respondendo que “a medida da aresta é a metade de d”.

A dupla B observou a figura e a participante Júlia perguntou: “Como vou

saber a medida da aresta se não tem número?” O pesquisador fez uma

intervenção e pediu-lhe que lesse novamente o enunciado. Isso feito, Júlia

identificou que a medida da diagonal maior é d e respondeu: “Como tudo isso

mede d e a medida da aresta lateral da pirâmide seria só a metade da diagonal

maior, então a medida da aresta lateral seria d dividido por dois”.

A seguir apresentamos às soluções de ambas as duplas.




89

No item (b), percebemos que ambas as duplas apresentaram dificuldades

para responder qual era a medida da aresta da base da pirâmide triangular;

assim, apresentamos as respostas das duplas.

Daniela dupla A: a medida da aresta da base mede d;

Alice dupla A: a medida da aresta é d divido por dois;

Cristina dupla B: a medida é d+d;

Júlia dupla B: a medida é d dividido por 3.

Entendemos que, nesse momento, uma dupla queria responder mais

rápido do que a outra, assim as duplas responderam sem refletir ou observar a

figura que apresentava a resposta.

O pesquisador fez uma intervenção e pediu para que refletissem e

observassem a figura e que voltassem à atividade 5 para auxiliar na resposta.

Assim, a participante Daniela da dupla A respondeu corretamente que a

medida da aresta da pirâmide mede a, e a participante Júlia da dupla B atenta

com a resposta da dupla A, respondeu “a medida da base da pirâmide é igual à

medida da aresta do icosaedro” e desse modo, as duplas finalizaram a atividade.

A seguir apresentamos as respostas de ambas as duplas.




No item (c), ambas as duplas responderam a partir da reflexão entre as

participantes como podemos ver a seguir.

Daniela dupla A: a área do triângulo equilátero é 2l .

Alice dupla A: esta é a área do quadrado.

90

Júlia dupla B: é 4

3l, esta é a área do triângulo equilátero.

Daniela dupla A: não a área é ⋅2

22l

Daniela (dupla A) e Júlia (dupla B): 4

32l

esta é a área do triângulo equilátero.

Após o diálogo, as participantes Daniela da dupla A e a Júlia da dupla B

responderam juntas que a área do triângulo equilátero é4

32l

, porém a

participante Júlia respondeu:“Como a medida do lado do triângulo é a, a área do

triângulo equilátero é 4

3a 2

”.

A seguir apresentamos as soluções de ambas as duplas.




As duplas ressaltaram que a atividade VI estava mais complicada do que

as anteriores, pois ficou difícil resolver utilizando “letras”.

Foi possível identificar entre as duplas, no momento da resolução, uma

mobilização do registro figural para o registro algébrico, com o auxilio do software

Cabri 3D, que possibilitou às estudantes a visualização, permitindo comparar e

identificar as medidas do icosaedro regular e da pirâmide triangular, o que, de

91

certa forma, foi fundamental para a percepção e a determinação, tanto da medida

da aresta lateral, quanto da medida da base da pirâmide.

Atividade VII: Medida da diagonal maior AH do icosaedro regular. -

Instruções

Continuando nossa história... A partir dos dados levantados, os sábios

chegaram à conclusão de que deveriam encontrar a medida da diagonal maior (d)

do icosaedro regular em função da medida a da aresta do icosaedro regular. Para

isso seria necessário mais um passo no trabalho, que seria:

a) Abrir o arquivo atividade 7a e movimentar a figura. Identifique quais

polígonos foram construídos no icosaedro regular?

b) Observe que os dois polígonos têm em comum o segmento BH

Determinar a medida do segmento BH em função da medida do lado do

Icosaedro regular.

c) Determinar a medida do segmento AH em função da medida do lado do

Icosaedro regular.

Análise da situação VII

O objetivo desta atividade é determinar a medida da diagonal maiorAH do

icosaedro regular em função da medida a da sua aresta, a partir da exploração

dos cortes realizados no sólido e sua manipulação no arquivo atividade 7a (Figura

66).

Nesta atividade, os sujeitos deverão explorar dois cortes no icosaedro

regular, sendo o primeiro um pentágono regular e o segundo um hexágono.

92

Figura 66: Arquivo atividade 7a – Estrutura do icosaedro regular, pentágono regular e hexágono


No item (a) os sujeitos devem identificar os dois polígonos que foram

destacados: o pentágono regular FBCHK e o hexágono AOIHNB, assim como o

segmento BH , comum aos dois polígonos inscritos no icosaedro regular, como

pode ser observado na figura 67.

Figura 67: Segmento BH


No item (b), os sujeitos devem calcular a medida do segmentoBH a partir

da exploração das diagonais e ângulos do pentágono regular, utilizando

semelhança de triângulos, conforme a figura 68.

93

Figura 68: Conversão registro figural para o registro algébrico do pentágono regular


a

xa

x

a +=

negativamedidaumaépoissolução,éNão

2

5aax

ou 2

5aax

2

5aax

2

5aax

0aaxx

axxa

2

22

22

−−=

+−=

±−=

±−=

=−+

+=

Logo a medida da intersecção entre os

dois polígonos é:

( )2

15aa

2

5aaax

+=+

+−=+

Registro figural Registro algébrico

Esperamos que, a partir do registro figural, os sujeitos identifiquem os

triângulos semelhantes para determinar a medida da diagonal do pentágono

regular, em função de a que é 2

1)5a( +, como foi apresentado na figura 68.

Caso os sujeitos tenham dificuldades para determinar a medida de BH ,

pediremos que abram o arquivo atividade 7b (Figura 69). Desse modo, poderão

aplicar a semelhança de triângulos para determinar a medida da diagonal do

pentágono, em função da medida da aresta do icosaedro regular e que coincide

com a medida da intersecção dos cortes.

94

Figura 69: Arquivo atividade 7b – Pentágono regular


No item (c), os alunos deveriam voltar ao hexágono destacado nos cortes

realizados no icosaedro regular, para determinar a medida do segmento AH em

função da medida da aresta do icosaedro regular, utilizando a medida do

segmento BH e o teorema de Pitágoras, conforme a figura 70.

Figura 70: Conversão registro figural para o registro algébrico do hexágono

Fonte: Adaptado de Granja e Costa, 2011, p. 43

2

)52(5aAH

2

1)5a(aAH

BHBAAH

2

22

222

+=

++=

+=


Assim esperamos que os alunos identifiquem o triângulo retângulo ABH,

para determinar que a medida do segmento AH é a medida da diagonal maior do

hexágono ( )2

552a +.

95


No item (a), a dupla A identificou que os cortes realizados no icosaedro

regular formaram um pentágono e um hexágono, mas não os especificaram como

regular ou não regular; a dupla B identificou os cortes e os especificou como:

pentágono azul e hexágono verde, deixando de explicar se eram regulares ou

não.

Dessa forma, a fim de esclarecer algumas lacunas apresentadas pelas

duplas na resolução do item, o pesquisador fez uma intervenção com a seguinte

pergunta: “Os dois polígonos são regulares?”. Então, a partir de uma reflexão

entre as duplas A e B, a participante Daniela da dupla A respondeu que o

“pentágono é regular, pois os lados coincidem com o lado do icosaedro, é o

hexágono não é regular porque só dois lados coincidem com o lado do

icosaedro”, tendo chegado a essa conclusão, movimentando a figura; Júlia

participante da dupla B atenta à reflexão e aos comentários da outra dupla,

concordou que o pentágono é regular e o hexágono não é regular. Apresentamos

a seguir as respostas das duplas A e B.




No item (b), inicialmente, as duplas exploraram os polígonos por algum

tempo e após um período de análise, a dupla A comentou que “a medida do lado

do pentágono regular e as medidas AB e HI do hexágono são iguais à medida a

da aresta do icosaedro regular”. Mas encontraram dificuldades para realizar os

tratamentos adequados no registro figural para determinar a medida BH .

96

A dupla B movimentou a figura e leu o enunciado diversas vezes, sem

apresentar nenhuma resposta.

Observando tal dificuldade apresentadas pelas duplas, o pesquisador

orientou-as para que abrissem o arquivo atividade 7b (Figura 69) previsto na

análise a priori.

As duplas A e B refletiram sobre a figura por alguns instantes, sem obter

sucesso na resolução, não conseguindo realizar o tratamento no registro figural,

que seria identificar que os triângulos isósceles BFH e BFO são semelhantes,

para prosseguirem a atividade.

O pesquisador fez uma nova intervenção e orientou as duplas A e B por

meio da figura 73, na qual construiu os triângulos isósceles BFH e BFO e suas

respectivas medidas na lousa. Assim o pesquisador perguntou: “Como podemos

determinar a medida x em função da medida a?”.

Figura 73: triângulos isósceles BFH e BFO


Ao analisar a figura 73, Júlia, da dupla B, conseguiu encontrar a relação

entre os lados homólogos e determinar a medida do segmento x em função da

medida a. Assim, a mesma participante explicou para a dupla A como determinar

a medida x.

Para determinar a medida x, Daniela (dupla A) e Júlia (dupla B)

apresentaram facilidades ao realizar o tratamento algébrico, para resolveram a

equação do 2º grau com a medida a, e chegaram a duas respostas, em que

ambas concluíram que um dos valores não seria utilizado por ser negativo.

Porém, ao apresentar a resposta final da medida do segmento x, Daniela (dupla

97

A) respondeu 2

5aa 2+−, pois não fatorou a solução final; a participante Júlia

(dupla B) respondeu 2

5aa +− deixando de colocar em evidência, o que afetou a

resposta final da dupla. A seguir podemos observar os procedimentos de ambas

as duplas para determinar a medida do segmento x.




Após terminar de calcular a medida de x em função da medida a, a

participante Alice da dupla A explicou para sua companheira de dupla Daniela

que, para determinar a medida do segmento BH devemos somar a2

5aa 2

++−

;

assim, a participante Daniela realizou os tratamentos algébricos e concluiu que a

medida do segmento BH é ⋅+2

5aa 2

98

Júlia (dupla B) voltou ao triângulo BFH e comentou que a medida BH é

igual a x+a e realizou os tratamentos algébricos pertinentes, respondendo que

2

5aa + ou seja, ambas as duplas deixaram de fatorar a resposta final.

A seguir, podemos observar os procedimentos de ambas as duplas para

determinar a medida do segmento BH .




As duplas resolveram corretamente o item (c), voltaram ao hexágono

destacado do icosaedro regular e utilizaram o teorema de Pitágoras para

determinar a medida do segmento AH em função da medida a, e quando o

pesquisador perguntou: “Por que utilizaram o teorema de Pitágoras?” elas

responderam que o “triângulo ABH é um triângulo retângulo pela forma da figura”.

Ao analisar as respostas, notamos que as duplas A e B mostraram

facilidade em desenvolver o tratamento algébrico para determinar a medida do

segmento AH em função da medida a; no entanto, apresentaram dificuldades

para fatorar expressões algébricas.

A seguir apresentamos a respostas e os tratamentos algébricos realizados

pelas duplas A e B.

99




Atividade VIII: Medidas das pirâmides triangular em função da medida a.

A história continua... A partir das medidas encontradas nas atividades

anteriores e da divisão realizada no icosaedro regular em vinte pirâmides

triangulares, os sábios do rei resolveram encontrar algumas medidas das

pirâmides que compõem o icosaedro regular para a fabricação dos anéis. Os

sábios nomearam a medida da aresta lateral da pirâmide por y e a medida da sua

altura pela letra h.Então, acompanhando esse raciocínio:

100

a) Abra o arquivo atividade 8a e movimente-a. Qual a medida y da aresta

lateral da pirâmide triangular em função da medida da aresta do icosaedro?


b) Agora, abra o arquivo atividade 8b e movimente-a. Qual a medida h da

altura da pirâmide triangular em função da medida da aresta do icosaedro?


c) Calcule do volume V da pirâmide triangular em função da medida da aresta

do icosaedro?

Análise da situação VIII

Esta atividade tem como objetivo determinar algumas medidas da pirâmide

triangular em função do lado do icosaedro regular como: a medida da aresta

lateral, a medida da altura e a fórmula que permite calcular o volume da pirâmide

triangular.

Os alunos deverão destacar uma das pirâmides que compõem o icosaedro

conforme a figura 80. Extraindo essa pirâmide triangular, conforme a figura 81,

esperamos que os sujeitos obtenham o resultado contido na figura 81.

Figura 80: Arquivo atividade 8a, estrutura do icosaedro regular.


101

Figura 81: Conversão registro figural para o registro algébrico da Pirâmide triangular.


4

)52(5ay

2

1

2

)52(5ay

2

dy

+=

⋅+

=

=


Logo, a medida da aresta lateral da pirâmide triangular é ( )

⋅+

4

552a

No item (b), deve-se determinar a medida h da altura da pirâmide

triangular, conhecendo a medida da aresta lateral y e a medida a da base. De

acordo com Gabi, (2010): 6

3aRSe

3

3aSI;

2

3aRI === , apoiando-se na figura

82.

Figura 82: Estrutura da pirâmide triangular


Usando-se os resultados anteriores e o Teorema de Pitágoras, os sujeitos

devem determinar a medida da altura da pirâmide triangular, conforme o resultado

contido na figura 83.

102

Figura 83: Conversão registro figural para o registro algébrico


( )

( )12

5376

3

3

4

5522

2

222

222

+=

+

=

+

+=

+=

l

ll

h

h

SMSIy

SMSIMI


Logo, a medida da altura da pirâmide triangular é( )12

5376h

+=l

.

Caso os sujeitos apresentem dificuldades para determinar a medida da

altura da pirâmide triangular, pediremos que abram o arquivo atividade 8b (Figura

84) em que esclarecemos as principais características do triângulo equilátero,

necessárias para a nossa sequência de atividades, como: altura e a propriedade

das medianas.

Figura 84: Arquivo atividade 8b – Estrutura da pirâmide triangular


No item (c), esperávamos que os alunos determinassem a fórmula do

volume da pirâmide triangular em função do lado, conhecendo a medida da altura

e a área da base calculada anteriormente. A seguir, podemos observar o

tratamento algébrico que os sujeitos devem realizar para determinar a fórmula do

volume da pirâmide triangular.

103

48

5372

3

12

5376

4

3

3

3

2

)(a)(a

hAV b

+=

+⋅

=⋅

=

l

Neste caso a fórmula do volume da pirâmide triangular que compõe o

icosaedro regular que pretendemos que os sujeitos encontrem é: ( )

⋅+

48

5372a³


As duplas A e B resolveram o item (a) sem apresentar dificuldades

utilizando os conhecimentos adquiridos nas atividades VI e VII. As participantes

Daniela (dupla A) e Júlia (dupla B) se destacaram, pois realizaram os tratamentos

algébricos adequados para apresentar a solução final.

A seguir apresentamos a respostas e o tratamento algébrico das duplas A

e B para determinar a medida da aresta lateral da pirâmide triangular.




104

Em relação ao item (b), as duplas A e B construíram o segmento e

identificaram o triângulo retângulo MSI.

Conhecendo a medida da aresta da pirâmide que foi calculada no item (a)

e sabendo que deveriam determinar a medida h em função de a, as duplas

tiveram dificuldades para identificar a medida do segmento SI . Então, o

pesquisador fez uma intervenção esclarecendo que a medida do segmento SI é

igual a dois terços da medida da altura do triângulo da base.

Assim, a Júlia (dupla B) refletiu com a sua companheira o seguinte: “a base

da pirâmide é um triângulo equilátero, a altura é 2

3l e neste caso é

2

3a”, e

então multiplicou por dois terços a altura do triângulo equilátero e determinou a

media do segmento SI igual a ⋅3

3a

A dupla A teve o auxilio da Júlia da dupla B para determinar a medida do

segmento SI .

Em seguida, as duplas A e B retomaram a resolução da atividade,

conhecendo a medida do segmento SI e a aresta lateral da pirâmide triangular

em função de a, assim as duplas aplicaram o teorema de Pitágoras e

determinaram a medida da altura da pirâmide triangular em função de a.

Nas figuras 87 e 88 apresentamos os tratamentos algébricos e as soluções

apresentadas pelas duplas A e B.


105



No item (c), a dupla A apresentou uma dúvida em relação à fórmula do

volume da pirâmide, assim a Daniela fez o seguinte comentário: “para calcular o

volume da pirâmide é base vezes a altura, dividido por dois ou três?”, então Júlia

da dupla B explicou que “o volume da pirâmide é área da base vezes altura

dividida por três”.

As duplas A e B conseguiram assim obter o volume da pirâmide em função

da medida a, pois conheciam a altura e sabendo que a área da base da pirâmide

triangular é ⋅4

3a 2

A seguir, apresentamos o tratamento algébrico que as duplas A e B

utilizaram para obter o volume da pirâmide triangular em função da medida a.




106

Podemos observar que ambas as duplas encontraram a fórmula do volume

da pirâmide em função da medida a, corretamente.

Atividade IX: Volume do Icosaedro regular- Instruções

Final da história ... Um dia, o rei Romildo, que não estava muito contente

com a demora dos sábios para solucionar o problema, mandou chamá-los, e eles

disseram: “ Majestade, nós temos a solução do problema do diamante em forma

de um icosaedro regular, que deverá ser dividido em vinte partes iguais, e neste

pergaminho estão todos os cálculos e medidas necessários para a divisão e

construção dos novos anéis para suas vinte esposas”.

O rei finalmente ficou feliz. Porque agora, ele poderia presentear suas

mulheres, que tanto amava, como um presente valioso. Então, ele disse aos

sábios que faltava um dado muito importante no pergaminho. Como poderia

determinar a fórmula que permite calcular o volume do diamante em forma de

icosaedro regular em função do seu lado?

Análise da situação IX

Esta atividade tem como objetivo determinar a fórmula do volume do

Icosaedro regular que foi divido em vinte pirâmides triangulares congruentes.

O volume do icosaedro regular é 20 vezes o volume da pirâmide triangular,

a seguir apresentamos o tratamento no registro algébrico que esperamos que os

sujeitos realizem.

12

)5(35a

12

2

1801414

2

18014145a

12

180145a

12

56145a

48

)532(7a20V

3

223

333

icosaedro

+=

−−+

−+⋅

=

=+

=+

=+

⋅=

Logo a fórmula do volume do icosaedro regular em função do lado é

.12

)5(35a 3 +

107


Nesta atividade, Daniela, dupla A, respondeu de uma forma imediata e em

seguida a dupla B apresentou a mesma solução. Entretanto, ambas as duplas

apresentaram dificuldades para fatorar a fórmula do volume do icosaedro regular

em função do seu lado, o que era esperado. A seguir apresentamos as soluções

realizadas pelas duplas A e B.




Percebemos que as duplas A e B entenderam que o icosaedro regular

pode ser decomposto em vinte pirâmides triangulares e que o volume do

icosaedro é igual a vinte vezes o volume de uma destas pirâmides.

No final da atividade, Júlia, da dupla B fez o seguinte comentário: “Nós

encontramos a fórmula do volume do icosaedro, que legal!”.

Nesta atividade fizemos a institucionalização referente ao volume do

icosaedro regular, ou seja, da fórmula que ambas as duplas determinaram, e que

permite calcular o volume do icosaedro regular em função da medida do seu lado.

108

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Em nosso estudo referente à Geometria espacial, propusemos uma

sequência de ensino para a apropriação do cálculo do volume do icosaedro

regular, por estudantes do 3º ano do Ensino Médio.

Embora muitos pesquisadores já tivessem chamado a atenção para o

ensino de Geometria, a proposta aplicada nas escolas continua sendo aquém do

esperado. Segundo Almouloud e Mello (2000), nas avaliações realizadas pela

Secretaria de Educação de São Paulo, os estudantes do Ensino Fundamental

apresentam um desempenho baixo, quando o ensino abordado é a Geometria. Os

resultados são o reflexo da falta de importância dada à Geometria.

Os Parâmetros Curriculares do Ensino Médio (BRASIL, 2000) assinalam

que é necessário desenvolver um trabalho adequado de Geometria, para que os

estudantes possam adquirir os conceitos geométricos e saibam usá-los na

resolução de situações problemáticas.

Sobre a importância do ensino de Geometria nas escolas do Ensino Médio

Proença e Pirola (2009) destacam também que a Geometria possibilita o

desenvolvimento da capacidade de conjecturar, experimentar, testar hipóteses,

comunicar ideias e generalizar, entre outras habilidades.

Autores como Almeida (2010), Kaleff (2003), Flores (2003) e Salazar

(2010) identificam que os principais problemas, enfrentados pelo ensino de

Geometria espacial para a sua aprendizagem estão associados à visualização,

interpretação e representação de objetos tridimensionais, motivos pelos quais os

estudantes apresentam dificuldades no processo de resolução de problemas.

A partir desses estudos, delimitamos nossa pesquisa ao campo de Ensino

de Geometria Espacial, mais especificamente ao cálculo do volume do icosaedro

regular. Tivemos como objetivo investigar a apropriação do cálculo do volume do

icosaedro regular por estudantes do 3º ano do Ensino Médio, a partir de uma

sequência de atividades mediadas pelo software Cabri 3D. Para alcançar nosso

objetivo, apresentamos uma sequência de atividades, numa instituição de ensino

109

privada da cidade de São Paulo, no intuito de que os estudantes, sujeitos da

pesquisa, fossem atores principais do processo de construção da fórmula que

permite calcular o volume do icosaedro regular.

Partimos do pressuposto de que a sequência de atividades possibilitará

aos estudantes realizarem algumas construções por meio do Cabri 3D e que essa

sequência poderá contribuir para a apreensão por parte dos estudantes do cálculo

do volume do Icosaedro regular.

Na tentativa de responder a questão de pesquisa deste trabalho: “De que

forma uma sequência didática envolvendo a Geometria Dinâmica pode

interferir na aprendizagem de volume do Icosaedro regular?”, optamos pela

construção de uma sequência de ensino, envolvendo diversas situações, cuja

resolução faz apelo a conhecimentos de geometria plana (área de figuras planas,

triângulo equilátero, teorema de Pitágoras, semelhança de triângulos, equação do

segundo grau e afins) e espacial (aresta, pirâmide, volume de pirâmide e outros),

supostamente disponíveis no repertório dos sujeitos da pesquisa.

Queríamos que os estudantes refletissem sobre as situações-problema,

trabalhando com diversos objetos geométricos, e compreendessem como calcular

o volume do icosaedro regular, a partir da modificação de uma figura, utilizando o

software Cabri 3D.

Dessa forma, os aspectos metodológicos escolhidos contribuíram para o

desenvolvimento da pesquisa e nortearam este trabalho, que se apoia nos

princípios da engenharia didática para a construção, aplicação e a análise da

sequência de atividades. As situações propostas foram construídas e analisadas

à luz da Teoria das Situações Didáticas, de Brousseau (1986) e da Teoria dos

Registros de Representação Semiótica, de Duval (2009).

A partir dos estudos preliminares, articulados ao quadro teórico,

concebemos nossa questão de pesquisa e a construção da sequência de ensino,

além de realizar o levantamento das possíveis dúvidas e dificuldades dos

estudantes.

A Teoria das Situações Didáticas nos auxiliou na elaboração da sequência

de atividades, em que os estudantes encontrariam subsídios para desenvolver

110

sua aprendizagem, isto é, desenvolver condições propícias para que se

apropriassem de como calcular o volume do icosaedro regular. A sequência

didática tinha o propósito, entre outros, de promover as diferentes dialéticas:

ação, formulação, validação e institucionalização.

A fase da ação ocorreu na resolução de todas as situações propostas,

como, por exemplo, na situação-problema que envolve uma história fictícia de um

rei, utilizando o software Cabri 3D, cujo objetivo é dividir uma pedra, preciosa com

a forma de um icosaedro regular, em vinte partes iguais, para montar vinte anéis,

e utilizando para isso, o software Cabri 3D.

Na fase de formulação, os estudantes interagiram com as atividades e o

software Cabri 3D, e as duplas apresentaram a suas respostas escritas em uma

linguagem compreensível para todos.

Na fase de validação, percebemos que a troca de informação e as

comparações de resultados entre as duplas e entre os membros das próprias

duplas eram intensas, e facilitaram a construção de justificativas próximas do que

é esperado do ponto de vista matemático.

Na fase da institucionalização, o pesquisador socializou o novo saber,

mostrando que a fórmula que ambas as duplas concluíram permite calcular o

volume do icosaedro regular, em função da medida do seu lado.

Quando o pesquisador apresentou a solução final aos estudantes, eles

questionaram a diferença entre as fórmulas, isto é, as apresentadas pelas duplas

e a apresentada pelo pesquisador. O pesquisador mostrou que não havia

nenhuma diferença do ponto de vista conceitual; a diferença estava no tipo de

tratamento (fatoração) realizado pelo pesquisar para tornar a expressão do

volume do icosaedro mais amigável, em termos de cálculo.

Embora não tenha sido o foco de estudo, não devemos deixar de

mencionar as dificuldades de fatoração apresentadas pelos estudantes sujeitos

da pesquisa.

Com referência aos Registros de Representação Semiótica, pudemos notar

sua importância, pois os estudantes utilizaram mais de um registro de

representação no decorrer das atividades propostas, realizando conversões e

111

tratamentos de registro. Como exemplo que podemos destacar, está a

potencialidade da Teoria dos Registros de Representação Semiótica, na atividade

V, que teve como objetivo modificar a figura inicial. Nesse caso, o icosaedro

regular foi divido em vinte pirâmides triangulares iguais, e o registro figural foi

fundamental para solucionar a atividade.

Durante a realização da sequência de atividades, os estudantes

respeitaram o horário estabelecido para o seu início. O trabalho despertou

curiosidade e interesse nos estudantes e, em nenhum momento, notamos

desânimo; pelo contrário, a cada dificuldade superada, surgia mais interesse em

solucionar mais atividades. No decorrer dos trabalhos, notamos que a disposição

dos estudantes para manipular o software Cabri 3D foi gradativa e crescente. Os

alunos argumentavam que gostariam explorar o software por mais tempo depois

das atividades completadas.

No decorrer das atividades perguntamos aos estudantes sobre o que os

motivara para participar da experiência que planejamos, fora do horário de aula.

Eles responderam que era uma oportunidade de aprendizado, pois todos estavam

se preparando para o vestibular.

Notamos que a utilização do ambiente de geometria dinâmica, mais

especificamente o software Cabri 3D, possibilitou aos estudantes ter mais

empenho nas resoluções das atividades propostas e maior interesse pelo

aprendizado.

Assim, foi possível concluir, em relação aos dados coletados, que os

estudantes se mantiveram atentos e motivados para utilizar o software Cabri 3D;

além disso, notamos que as atividades para explorar o software não foram

suficientes para que os estudantes se familiarizassem com as ferramentas e seus

recursos. No entanto, isso já era previsto, pois as atividades focavam,

principalmente, as ferramentas necessárias para desenvolver as atividades

propostas.

Os dados obtidos indicam, ainda, que os estudantes apresentaram

dificuldades para encontrar as ferramentas necessárias para realizar as

construções das atividades no software Cabri 3D.

112

Em relação aos resultados da primeira atividade, os estudantes

apresentaram insegurança para construir os cinco poliedros regulares; porém, a

cada construção, sentiam-se mais à vontade e motivados para prosseguir com as

pesquisas. Ao terminar as atividades, pareceram ter compreendido a forma

geométrica dos cinco poliedros regulares e a diferença entre observar a

representação dos poliedros nos livros didáticos e no ambiente da geometria

dinâmica.

A dupla A destacou a importância de visualizar os poliedros regulares para

compreender os conceitos e propriedades, relatando que quando, os livros ou

apostilas explicam ou citam exemplos, as figuras não os representam de uma

forma clara e que utilizando o software Cabri 3D para visualizar os poliedros, ficou

mais fácil.

Podemos concluir que a utilização do Cabri 3D parece ter ajudado os

alunos na compreensão e visualização dos cinco poliedros regulares assim como

a apropriação dos conceitos e das propriedades neles envolvidos.

Na segunda e terceira atividades, cujo objetivo era explorar o software

Cabri 3D, os estudantes solucionaram as atividades, porém apresentaram

dificuldades para encontrar as ferramentas adequadas; no entanto, mesmo

assim, conseguiram resolver as atividades e parecem ter se apropriado das

ferramentas do software Cabri 3D necessárias à realização das construções

solicitadas.

No final da atividade III, a aluna Cristina disse: “Finalizamos as três

atividades, dos poliedros, cubo e pentágono e foi muito mais fácil no Cabri;

quantas vezes tentei desenhar no caderno e não entendia nada dos meus

desenhos, das apostilas e livros, desta forma apreendi mais do que nas aulas”.

A fala da aluna Cristina indica elementos que confirmam, de acordo com

Kallef (2003), que a habilidade de visualizar um objeto geométrico pode incentivar

e apoiar o ensino de Geometria, mais especificamente a geometria no espaço.

De modo geral, os estudantes apresentaram dificuldades para encontrar as

ferramentas adequadas para realizar as construções solicitadas pelas atividades,

porém relataram compreender melhor as formas geométricas e a todo momento

113

argumentavam que com o software fica mais fácil de entender a Geometria, um

dos conteúdos mais difíceis da Matemática, e perguntavam por que não

utilizávamos esse recurso em sala de aula.

Na segunda etapa, aplicamos seis atividades de Exploração do Icosaedro

Regular, utilizando o software Cabri 3D, com o objetivo de explorar as suas

propriedades e calcular seu volume.

A atividade IV tinha por objetivo caracterizar e definir o icosaedro regular. A

dupla B argumentou que ficou fácil identificar e contar as arestas, os vértices, as

faces e definir o icosaedro regular, visualizando e movimentando a figura no

software Cabri 3D. A aluna Júlia da dupla B disse “Nunca mais vou esquecer o

que é um icosaedro regular”.

O registro figural e o dinamismo do Cabri 3D auxiliaram os estudantes na

compreensão das características do sólido icosaedro regular, e eles descreveram

com suas palavras o que haviam entendido sobre o sólido.

A atividade V teve como objetivo decompor o icosaedro regular em vinte

pirâmides triangulares iguais, e permitir ao aluno perceber que a medida do

volume desse sólido é igual à soma das medidas dos volumes das vinte

pirâmides. Nessa atividade foi necessária a articulação das apreensões discursiva

e operatória, conforme Duval (1995 apud SALAZAR, 2009)

Os estudantes realizaram algumas construções geométricas e tratamentos

no registro figural, o que parece ter ajudado a perceberem que vinte pirâmides

triangulares se encaixam perfeitamente no icosaedro regular.

Um dado importante foi quando os estudantes construíram uma pirâmide

triangular e observaram que podiam construir mais dezenove pirâmides como

elementos constitutivos do icosaedro. Acharam que tinham errado, até que a

aluna Daniela, da dupla A, explicou “eu utilizava o mesmo método para calcular a

área de algumas figuras, quando não tinha a fórmula imediata, assim recortava as

figuras muitas vezes em triângulos e trapézios e depois aplicava a fórmula e no

final somava e obtinha a área da figura inicial, mas nunca para figuras espaciais,

que legal!!”.

114

De modo geral, as atividades IV exigiram dos estudantes a habilidade de

visualizar o objeto, utilizando o software Cabri 3D; além disso, precisavam

explicar ou revelar as propriedades observadas no processo de visualização.

Podemos concluir que o software Cabri 3D ajudou os alunos na visualização das

características/propriedades dos sólidos em jogo, por intermédio da

movimentação e de diferentes ângulos de visão. Havíamos constatado o fato ao

ler pesquisas realizadas sobre esta temática nas pesquisa de Cozzolino (2008),

Ferraz (2010) Salazar (2009 e 2011), Almeida (2011) e Silva(2011).

Os dados também indicam que os estudantes apresentaram dificuldades

na conversão do registro figural para o registro algébrico. Duval (2009) afirma que

converter um registro é

Transformar a representação de um objeto, de uma situação ou de uma informação dada num registro em uma representação desse mesmo objeto, dessa mesma situação ou da mesma informação num outro registro (DUVAL, 2009, p. 58).

Este fato ficou claro nas atividades VI, VII e VIII, em que se solicitava

identificar as medidas das figuras que representam o icosaedro regular e a

pirâmide triangular, como registro de partida para as expressões algébricas como

registro de chegada. Nessas atividades, a aluna Júlia disse: “Com números,

ficaria mais fácil de resolver”.

Além das dificuldades encontradas para realizar a conversão do registro

figural para o registro algébrico, percebemos um desânimo entre eles para

realizar os tratamentos algébricos, pois o software Cabri 3D dispersou os

estudantes, nos quais queriam explorar as ferramentas ao invés de prosseguir na

resolução do problema. A dispersão foi amenizada pela mediação do

pesquisador.

Em relação à sequência de atividades, devemos destacar a atividade VII

que teve como objetivo determinar a medida da diagonal maior AH do icosaedro

regular em função da medida a, da sua aresta, a partir da exploração dos cortes

realizados no sólido, sendo o primeiro um pentágono regular e o segundo um

hexágono. Nessa atividade, já era previsto que os estudantes apresentassem

dúvidas na resolução das questões, pois deveriam trabalhar com o icosaedro

115

regular, pentágono regular, hexágono e um segmento BH que provavelmente

não foram suficientemente aprendidos nas séries anteriores.

Ainda em relação à atividade VII, item (b), s estudantes não conseguiram

identificar em qual objeto geométrico deveriam realizar os tratamentos adequados

para encontrar a medida do segmento BH . Assim, pedimos que abrissem o

arquivo (Figura 69) para auxiliar na resolução da situação. A figura não foi

suficiente para que finalizassem as atividades, devido à falta de domínio, por

parte deles de algumas noções geométricas como: triângulo isósceles, medida

dos ângulos internos de um polígono, semelhanças de triângulos e equação do

segundo grau.

Devemos destacar também na atividade VIII, item (b), em que os

estudantes não conseguiram identificar a medida do segmento SI (figura 82) que

é igual a dois terços da medida da altura do triângulo equilátero. Foi necessária u

a intervenção do pesquisador para que os alunos superassem essas dificuldades.

Apesar de todas as considerações feitas sobre as dificuldades enfrentadas,

podemos afirmar o fato de que puderam entender os processos relacionados com

a construção da fórmula que permite calcular a medida do volume do icosaedro

regular.

Há indícios nas práticas e nos seus comentários que indicam que a

sequência de ensino proposta lhes proporcionou condições para refletir sobre

diferentes áreas da matemática, além da articulação de diversos conteúdos da

geometria plana e espacial. Isso parece ter ajudado os sujeitos da pesquisa a

entenderem os mecanismos que os levaram a construir a fórmula que permite

calcular a medida do volume do icosaedro, além de uma melhor visualização das

propriedades de alguns objetos geométricos envolvidos nessa construção.

Em relação ao que vivenciamos durante a realização desta pesquisa,

podemos expressar as dificuldades que encontramos na elaboração, aplicação e

análise da sequência didática, quando temos um objetivo preestabelecido.

Primeiramente, elaborar atividades a partir de uma situação, em que estudantes

demonstrarão seus conhecimentos prévios os quais possibilitem investigar,

116

elaborar e testar hipóteses e, assim, tornar possível a generalização e prever

dificuldades.

Outro desafio foi encontrar sujeitos para aplicar a sequência, mostrar-lhes a

importância da pesquisa além de encontrar um horário comum para todos os

envolvidos, e um local apropriado para o trabalho.

Dessa forma, como pesquisador, esperamos que a leitura deste trabalho

colabore para futuros trabalhos na Educação Matemática e para a prática de

professores de Matemática.

117

REFERÊNCIAS

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121

ANEXO – SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES


Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática

Mestrado Acadêmico em Educação Matemática

Atividade I: Construção dos Poliedros Regulares - Instruções

Construir no plano cinza do Cabri 3D os cinco poliedros regulares: cubo

(hexaedro), tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Para construir o poliedro

desejado, acione a caixa de ferramentas “poliedros” e selecione o poliedro; em

seguida, clique com o mouse no plano cinza do Cabri 3D e arraste (Salve o

arquivo nomeando-o como: Figura 1).

122




Atividade II: Exploração do Cubo (hexaedro) - Instruções

a) Construir no plano cinza do Cabri 3D um Cubo. Salve o arquivo nomeando

- o como: Figura 2a.

b) Movimente a figura, clicando sobre o plano cinza do Cabri 3D com o botão

esquerdo do mouse e arraste. Salve o arquivo nomeando - o como: Figura

2b.

c) Nomeie os vértices do cubo com as letras A, B, C, D, E, F, G e H. Para

nomear os vértices acione a caixa de ferramenta “ponto” clique sobre o

vértice desejado e nomeie. Salve o arquivo nomeando - o como: Figura 2c.

d) Modifique o estilo de superfície do cubo para “vazio”. Para modificar o

estilo, clique com o botão direito sobre a figura, escolha a ferramenta “estilo

de superfície” e selecione estilo vazio. Salve o arquivo nomeando- - o

como: Figura 2d.

e) Trace as diagonais do cubo. Para traçar a diagonal acione a caixa de

ferramenta “reta”, selecione a ferramenta segmento e clique nos vértices

desejados. Salve o arquivo nomeando - o como: Figura 2e.

f) Construir no plano cinza do Cabri 3D um Cubo e planificar a sua superfície.

Acionando a caixa de ferramenta “poliedros” selecionar a ferramenta “abrir

poliedros” e clicar sobre o sólido desejado. Salve o arquivo nomeando-o

como Figura 2f.

123




Atividade III: Exploração do Pentágono Regular - Instruções

a) Construir no plano cinza do Cabri 3D um pentágono regular, acionando a

caixa de ferramenta “polígono” e selecionando a opção pentágono regular;

em seguida, clique no plano cinza do Cabri 3D e arraste. Salve o arquivo

nomeando - o como: Figura 3.

b) Movimente a figura.

c) Nomeie os vértices do pentágono regular com as letras A, B, C, D e E.

Salve.

d) Determine a medida dos ângulos acionando a caixa de ferramenta

“medida”; selecione a ferramenta ângulo e clique nos vértices adjacentes

para determinar a medida desejada. Salve.

124




Atividade IV: Estudando algumas características do icosaedro. Instruções.

O problema dos anéis de diamante.

Um rei, que se chamava Romildo, era tão rico, que suas riquezas eram

impossíveis de contar. Por isso ele não se importava com nenhuma outra coisa a

não ser suas vinte mulheres. Então, ele procurou, entre suas riquezas existentes,

o bem mais valioso para presentear suas mulheres. Encontrou um anel de ouro,

que contém um diamante com a forma de icosaedro regular. Assim ele mandou

chamar seus sábios para que descobrissem como presentear suas vinte esposas

igualmente com o anel de diamante. Agora você é um dos sábios do rei e tem a

tarefa de desvendar este problema.

a) Abra a figura arquivo 4 e movimente-a. Quantos vértices possui o

icosaedro regular representado?

b) Que tipo de triângulo forma a face do icosaedro regular?

c) Quantas arestas e faces possui o icosaedro regular?

d) A partir de suas respostas nos itens anteriores, defina o que é um

icosaedro regular.

125




Atividade V: Pirâmides triangular inscritas no icosaedro regular- Instruções

Na presença dos sábios, o rei Romildo disse: “O anel ficará em meu poder,

porque é muito precioso para mim, vocês não poderão vê-lo, tocá-lo ou medi-lo”.

Então os sábios disseram: “Como podemos solucionar este problema, que seria

dividir o anel para suas vinte esposas de forma idêntica, meu rei?” Depois de

ouvir isso, o rei ficou pensativo e afirmou: “Vocês são os sábios, além disso, eu

falei que é um anel de ouro, que contém um diamante com a forma de um

icosaedro regular”.

Antes de os sábios saírem, o rei fez o seguinte comentário: “Atenção,

sábios, devemos nos preocupar com o diamante no formato de icosaedro regular,

porque é muito precioso e único no mundo, já ouro não falta em meu reino.

Este problema exige precisão, ao menor erro cometido, o rei expulsará

todos os sábios do reino”.

Mais tarde, os sábios reuniram-se para pensar e levantaram as seguintes

questões que deverão ser respondidas a partir da manipulação da representação

do icosaedro regular por meio do software Cabri 3D. Como não sabemos a

medida do lado do Icosaedro regular, vamos abrir o arquivo atividades 5 em que

nomeamos a medida da aresta com a letra a, e movimentar a figura para

responder as questões a seguir.

a) Construa as diagonais AH e BJ . Essas diagonais são chamadas de

diagonal maior e diagonal menor respectivamente. Salve o arquivo

nomeando-o como: figura 5.

b) Construa o ponto médio da diagonal maior. Nomeie-o de M. Salve a figura.

c) Construa uma pirâmide de vértice M e de base uma das faces do

icosaedro. Salve sua construção.

d) Quantas pirâmides congruentes e de vértice M podemos construir?

126




Atividade VI: Algumas medidas da pirâmide triangular - Instruções

Para solucionar essa atividade, devemos abrir o arquivo atividade 6, em

que nomeamos a medida da diagonal maior (d) do icosaedro regular pela letra d,

o ponto médio da diagonal maior pela letra M e representamos uma das pirâmides

que compõem o icosaedro regular.

a) Qual a medida da aresta lateral da pirâmide triangular em função de d?


b) Qual a medida da aresta da base da pirâmide triangular? Justifique a sua

resposta.

c) Qual a área da base da pirâmide triangular? Justifique a sua resposta.

127




Atividade VII: Medida da diagonal maior AH do icosaedro regular. - Instruções

Continuando nossa história... A partir dos dados levantados, os sábios

chegaram à conclusão de que deveriam encontrar a medida da diagonal maior (d)

do icosaedro regular em função da medida a do lado do icosaedro regular. Para

isso seria necessário mais um passo no trabalho, que seria:

a) Abrir o arquivo atividade 7a e movimentar a figura. Identifique quais

polígonos foram construídos no icosaedro regular?

b) Observe que os dois polígonos têm em comum o segmento BH .

Determinar a medida do segmento BH em função da medida do lado do

Icosaedro regular. Para realizar os cálculos utilize o quadro abaixo.

c) Determinar a medida do segmento AH em função da medida do lado do

Icosaedro regular. Para realizar os cálculos utilize o quadro abaixo.

128




Atividade VIII: Medidas das pirâmides triangular em função da medida a.

A história continua ... A partir das medidas encontradas nas atividades

anteriores e da divisão realizada no icosaedro regular em vinte pirâmides

triangulares, os sábios do rei resolveram encontrar algumas medidas das

pirâmides que compõem o icosaedro regular para a fabricação dos anéis. Os

sábios nomearam a medida da aresta lateral da pirâmide por y e a medida da sua

altura pela letra h.Então, acompanhando esse raciocínio:

a) Abra o arquivo atividade 8a e movimente-a. Qual a medida y da aresta

lateral da pirâmide triangular em função da medida do lado do icosaedro?

Justifique a sua resposta. Para realizar os cálculos utilize o quadro abaixo.

b) Agora, abra o arquivo atividade 8b e movimente-a. Qual a medida h da

altura da pirâmide triangular em função da medida do lado do icosaedro?


c) Calcule do volume V da pirâmide triangular em função da medida do lado

do icosaedro? Para realizar os cálculos utilize o quadro abaixo.

129




Atividade IX: Volume do Icosaedro regular- Instruções

Final da história... Um dia, o rei Romildo, que não estava muito contente

com a demora dos sábios para solucionar o problema, mandou chamá-los, e eles

disseram: “Majestade, nós temos a solução do problema do diamante em forma

de um icosaedro regular, que deverá ser dividido em vinte partes iguais, e neste

pergaminho estão todos os cálculos e medidas necessários para a divisão e

construção dos novos anéis para suas vinte esposas”.

O rei finalmente ficou feliz. Porque agora, ele poderia presentear suas

mulheres, que tanto amava, como um presente valioso. Então, ele disse aos

sábios que faltava um dado muito importante no pergaminho. Como poderia

determinar a fórmula que permite calcular o volume do diamante em forma de

icosaedro regular em função do seu lado?

130

ANEXO – AUTORIZAÇÃO DE PARTICIPAÇÃO




Autorização de participação

Eu______________________________________RG:________________,

responsável legal pelo menor________________________autorizo o estudante

de terceiro ano do Ensino Médio, a participação na pesquisa referente a “A

utilização do Cabri 3D para o ensino do volume do Icosaedro regular” e ao

pesquisador José Fernando Possani, a utilizar parcial ou integralmente a

questionários ou gravações em áudio e vídeo de seu (sua) filho (a) para fins de

pesquisa científica, podendo ser publicadas em congressos e eventos da área.

Local a ser realizada a pesquisa será no colégio Batista da Penha em São

Paulo, SP.

Declaro ainda que durante a pesquisa o aluno ficará sob os cuidados do

pesquisador Jose Fernando Possani, ficando o mesmo responsável por sua

guarda durante este período.

São Paulo, 20 de maio de 2012

___________________________________________

Assinatura do responsável (pai ou mãe do estudante)

pontifÍcia universidade catÓlica de sÃo paulo puc/sp … · possani, j. f. uma sequência...

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