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Introduo

Desde a inveno do pantgrafo por Scheiner no sc. XVII, muito se produziu em decorrncia da compreenso de sua geometria articulada transformvel. Mais do que apenas reproduzir ou ampliar gravuras, as aplicaes de seu sistema em estruturas na escala de edifcios propiciou a criao de um novo campo de estudos na arquitetura: as estruturas dinmicas articuladas.

Apesar da existncia de renomados pesquisadores no exterior, poucos se dedicaram a explorao destas solues dinmicas e articuladas resultando numa escassez de patentes nacionais ou registros de aplicaes quaisquer. Podem ser citados como exemplos os simblicos cinco anis dos jogos de Sochii na Rssia em 2014 ou a cobertura dinmica do estdio de Wimbledon. Como outro exemplo pode-se citar tambm a cobertura do pavilho Quadracci do Museu de Arte de Milwalkee, idealizado pelo arquiteto Santiago Calatrava.

Este artigo aborda uma investigao sobre duas das patentes de Chuck Hoberman: Reversibly expandable doubly-curved truss structure e Radial expansion/retraction truss structures, que trazem em seu contedo a single-angulated bar - uma inovao que permitiu a criao de novas estruturas pantogrficas de forma mais simples, por se desenvolverem em apenas um plano cartesiano. A partir da compreenso desta, foi utilizado o software Rhinoceros/Grasshopper para criar um icosaedro pantogrfico paramtrico, integralmente

baseado na single-angulated bar, para aplicao de seu mecanismo e verificao de suas possibilidades.

Procedimentos Metodolgicos

A estratgia adotada para o desenvolvimento desta pesquisa foi a simulao. No site dictionary.com, simulao definida como a representao do comportamento ou caractersticas de um sistema atravs de outro sistema, especialmente um software criado para este propsito. Ento, neste artigo ser demonstrado o funcionamento geomtrico de um icosaedro pantogrfico a partir de sua simulao virtual.

Porm, para que seja possvel o simular, se faz necessrio compreender historicamente os sistemas de articulao pantogrfica que nos permitir compreender seu funcionamento, incorporando a descrio geomtrica de seus princpios matemticos, conduzindo-nos a novas abstraes.

Do pantgrafo a Emlio Perez PieroO pantgrafo foi criado pelo matemtico e astrnomo alemo Christopher Scheiner que teria sonhado com um instrumento capaz de realizar cpias (SCHEINER, 2010) aps sua criao, teria continuado a sofistic-lo para aprimorar seu funcionamento, publicando-o pela primeira vez em seu livro Pantographice em 1631. Seu funcionamento se baseia fundamentalmente no conceito de semelhana de tringulos e a razo de sua ampliao ou reduo se d pelo

Simulao Paramtrica de um icosaedro pantogrfico no Grasshopper, baseado em patentes de Hoberman

Abstract

This article proposes the creation of a virtual icosahedric parametric structure based on Chuck Hobermans patent Reversibly expandable doubly-curved truss structure, which contains the single-angulated bar. It was used the software Rhinoceros with Grasshopper parametric plugin to develop the simulation, elucidating its potential to develop and study complex geometries.

Keywords: Simulation, Scissor-like, Hoberman, Grasshopper, Icosahedron

Maurcio Guimares de OliveiraUniversidade Estadual de Campinas

UNICAMP, Brasil

oliveiramauricio@gmail.com

Ana Lcia Nogueira de Camargo Harris Universidade Estadual de Campinas

UNICAMP, Brasil

luharris2011@gmail.com

Parametric simulation of a scissor-like icosahedron in Grasshopper, based on Hoberman patent

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princpio de homotetia (LIMA, 1991). As relaes entre estes conceitos aplicados ao pantgrafo podem ser unificadas e compreendidas atravs de um teorema elementar da geometria, conhecido como segundo teorema de Tales de Mileto. A partir da inveno do pantgrafo e da plena compreenso de sua geometria, suas propriedades puderam ser aplicadas a outros dispositivos alm da ilustrao e escultura, dando incio a vasta aplicao em campos da arquitetura e a mecnica, permitindo sua sofisticao.

Em abril de 1859, o inventor americano L. K. Selden (1859) patenteou um novo tipo de guarda-chuva (ou guarda-sol) cuja expanso e retrao ocorrem atravs de barras articuladas pantogrficas. Diferentemente do pantgrafo de Scheiner, as articulaes necessrias para os movimentos de expanso e retrao de seu guarda-chuva precisavam compor um sistema pantogrfico cuja transformao ocorresse de forma radial, utilizando diversas barras pantogrficas unidas por eixos, sendo que estes funcionavam como raios direcionados ao mesmo centro de circunferncia. Ou seja, conforme o guarda-chuva fosse aberto, sua circunferncia aumentaria mantendo o mesmo centro - com uma inevitvel variao em sua posio vertical, (eixo Z) por utilizar de barras pantogrficas retilneas. Isso ocorre porque ao trabalhar com articulaes cujos eixos centrais estejam deslocados do centro geomtrico da barra, estas articulaes desenvolvero arcos entre si cujo ngulo varivel. O desenvolvimento de articulaes arqueadas com ngulo fixo viriam apenas 140 anos depois, com a single-angulated bar, por Hoberman.

Chuck Hoberman e a single-angulated barO engenheiro norte-americano Chuck Hoberman registrou em 1990 a patente de uma estrutura treliada expansvel e reversvel de dupla curvatura (HOBERMAN apud ANAF e HARRIS, 2014), na qual a principal inovao presente nesta foi a criao da single-angulated bar. Hoberman, ao invs de utilizar as tradicionais barras pantogrficas retilneas, criou novas estruturas a partir de barras anguladas, ou seja, formadas por duas semi-retas convergentes e no paralelas, utilizando de uma articulao na interseco das semi-retas, cuja forma anloga a um acento circunflexo. A vantagem de sua utilizao se deu por possibilitar, pela primeira vez a uma estrutura pantogrfica, a transformao destas articulaes restritas a planos radiais de expanso sem variao angular, ou seja, restrita a dois eixos cartesianos (OLIVEIRA e HARRIS, 2015) diferentemente das criaes anteriores, como na criao das estruturas tridimensionais e reticulares de Piero (1965) nas quais as expanses radiais ampliam o ngulo de curvatura da estrutura ou, para impedir de faz-lo, operem transformaes em trs eixos cartesianos, como no guarda-chuva de Selden.Ao se utilizar de duas single-angulated bar, sendo a segunda barra simetricamente espelhada, torna-se possvel criar um par de barras que funcionam como uma articulao pantogrfica (figura 1), porm com expanso radial e cujo ngulo constante. Ciente da estabilidade angular desse

conjunto possvel ento concluir que qualquer aresta ou arco que componha um poliedro pode ser substitudo por, pelo menos, um par de barras de ngulo nico, conforme figura 2 (OLIVEIRA e HARRIS, 2015).

Figura 2: Arestas e arcos em tracejados, e sua possvel substituio por

trs pares de single-angulated bars.

Com o contedo de seu funcionamento compreendido, foi desenvolvida uma simulao no software Rhinoceros facilitada pelo plugin Grasshopper, que permite a criao de algoritmos visuais a partir de raciocnio geomtrico. Com ele foi possvel recriar o sistema das single-angulated bars de Hoberman de forma paramtrica e, com elas, desenvolver o icosaedro pantogrfico a partir da substituio de suas arestas pelas barras de Hoberman.

O prprio Hoberman utilizou deste princpio para criar poliedros expansveis, sendo o mais famoso a esfera de Hoberman - criao esta que o tornou conhecido mundialmente.

IcosaedrosO icosaedro um poliedro de Plato que contm 20 faces

Figura 1: Desenvolvimento das single-angulated bars.

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tringulos eqilteros 30 arestas e 12 vrtices, sendo cada vrtice formado pela juno de cinco arestas. Exatamente como os demais poliedros de Plato, o icosaedro est perfeitamente contido dentro de uma esfera na qual todos os vrtices tocam sua superfcie.

O icosaedro pode ser construdo a partir de trs retngulos ureos perpendiculares entre si: sendo cada um coincidente com um dos trs planos cartesianos (figura 3). Ento, a conexo de cada vrtice dos retngulos com os cinco vrtices mais prximos resulta na construo de um icosaedro. Pela sua facilidade de construo este ser o processo adotado no desenvolvimento da simulao geomtrica.

Figura 3: Icosaedro obtido pelos vrtices de trs retngulos ureos,

sendo o ponto seu centro geomtrico.

Todas suas faces geram um tetraedro irregular idntico, cuja altura perfeitamente coincidente com o centro geomtrico do icosaedro, conforme ilustrado pela figura 4.

Descrio do processoA construo no Grasshopper se inicia pela confeco de um retngulo ureo utilizando do componente Golden ratio, o qual traz a razo urea - teta - internalizada. As menores arestas deste retngulo so coincidentes com as arestas dos tringulos eqilteros que comporo o icosaedro e, assim, o desenvolvimento se iniciar por uma destas, como na fig.5a. O centro geomtrico do retngulo tambm ser coincidente com o centro geomtrico do icosaedro, sendo este imprescindvel para o desenvolvimento da simulao.

Para a criao do arco que dar origem ao sistema pantogrfico em substituio aresta do poliedro sero utilizados os dois vrtices da menor aresta do retngulo ureo e um terceiro ponto tambm eqidistante de seu centro geomtrico (raio da circunferncia/esfera), conseguido pela translao do ponto central ao longo do eixo cartesiano Y utilizando a referida distncia (fig.5a). Este arco oriundo dos trs pontos dever ser dividido em X partes (paramtrico) devendo sua variao ser impreterivelmente um nmero par, para que os conjuntos de barras anguladas estejam conectados sempre pelas extremidades, nunca pelo meio.

Aps realizar essa diviso, os trs primeiros pontos devero gerar linhas cujo incio se dar no centro geomtrico do retngulo ureo (fig.5b). Na linha do meio dever ser utilizado o componente evaluate curve do Grasshopper, para criar um ponto deslizante ao longo desta reta. Este ponto ser responsvel por transladar os eixos articulados pantogrficos.

A distncia entre o ponto localizado na extremidade da reta do meio e o mesmo ponto nas retas laterais ser utilizada como raio de uma nova circunferncia a ser criada, cujo centro dever estar vinculado ao ponto deslizante, deslocando-a consigo. Ento, devero ser encontrados os pontos resultantes das interseces entre as duas retas externas e a circunferncia (fig.6a), pois estes sero utilizados para criao do primeiro par de barras anguladas. necessrio selecionar um ponto mais prximo do centro do retngulo na primeira linha e, ento, o ponto mais afastado do centro na linha oposta, podendo-se gerar uma polyline que funcionar como a primeira barra e a espelhar atravs da reta central, utilizando de um plano que atuar como um eixo de simetria (fig.6b).

Figura 4: Icosaedro, sua composio por diversos tetraedros iguais, e as propores de cada aresta.

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Figura 7: Conjunto de barras anguladas em substituio a aresta do

icosaedro e alterao na quantidade de elementos e sua expanso.

A aresta pantogrfica original a primeira dever ento ser rotacionada atravs de uma das linhas mais externas como ilustra a figura 8, num ngulo de precisamente setenta e dois graus por ser um quinto de uma circunferncia gerando uma aresta que vamos chamar de segunda. A seguir, deve-se efetuar uma nova rotao utilizando o mesmo eixo e o mesmo ngulo, mas baseada na segunda aresta para a criao do que chamaremos de terceira aresta. Por ltimo, ser necessrio repetir mais uma vez uma nova rotao com os mesmos parmetros a partir da terceira aresta para criao da quarta e ltima aresta criada individualmente.

Figura 8: A linha a ser utilizada como eixo de rotao e todas as suas

quatro cpias arestas.

Com as quatro arestas finalizadas, e adotando a reta mais externa oposta quela utilizada no passo anterior como eixo de rotao, ser necessrio empregar um segundo array polar com as geometrias pantogrficas da primeira e segunda aresta para gerao de cinco cpias - em analogia a cinco arestas do

Figura 5: Retngulo ureo e arco representando a aresta do icosaedro

e seu centro geomtrico j contendo as divises no arco.

Figura 6: Interseces entre a circunferncia e as linhas externas

gerando uma single-angulated bar e seu espelhamento gerando um

par de barras.

Ento, o primeiro par de barras dever ser multiplicado utilizando o componente array polar, que permitir a criao de cpias do primeiro par de barras com determinada variao angular (fig.7a). Para que o modelo seja perfeitamente paramtrico necessrio utilizar o mesmo valor definido para a diviso do primeiro arco, porm dividido por dois razo pela qual a j citada diviso do arco deve ser par. Isso far com que todas as cpias sempre preencham integralmente a curvatura do arco. Assim como a variao angular solicitada pelo componente array polar dever ser extrada do mesmo arco, para que sejam compatveis. importante nesta etapa verificar a variao tanto da quantidade de divises do arco como sua expanso, alterando o valor definido para o componente evaluate curve j utilizado no passo anterior (fig.7b).

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perpendicular ao plano do retngulo. A rotao dever descrever um ngulo de precisamente cento e oitenta graus para que a nova cpula se encontre perfeitamente oposta original (fig.11).

icosaedro que resultaro no primeiro vrtice completo e tambm do que chamaremos de cpula (fig.9).

Figura 9: Cpula resultante de cinco cpias da 1 e 2 arestas.

Atravs do mesmo eixo de rotao, porm utilizando das geometrias pantogrficas da terceira e quarta arestas originais, um novo array polar com cinco cpias completar toda a poro central do icosaedro (fig.10).

Figura 10: Articulaes pantogrficas da cpula e poro central.

Para finalizao de toda a estrutura, basta aplicar uma rotao apenas na cpula utilizando do ponto no centro geomtrico do retngulo ureo como eixo de rotao,

Figura 11: As duas cpulas pantogrficas nas extremidades do

icosaedro.

Ao reativar a visualizao de todos os componentes array polar, o icosaedro pantogrfico estar pronto e articulando de forma sncrona todas as suas arestas (fig.12 e 13).

Figura 12: Todas as arestas pantogrficas do icosaedro.

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Figura 13: O icosaedro pantogrfico totalmente retrado e expandido.

Para aprimoramento da visualizao, numa etapa anterior, quando da criao da polyline para dar origem a um par de barras anguladas, pode-se sofisticar seu resultado criando superfcies para substituir as polylines, permitindo um resultado exeqvel por equipamentos de fabricao digital (fig.14).

Figura 14: Icosaedro pantogrfico composto por superfcies em

substituio s polylines.

Resultados

Neste artigo foi descrita a construo paramtrica de um icosaedro dinmico no Grasshopper, cujas arestas foram substitudas por articulaes pantogrficas, permitindo assim sua retrao e expanso virtuais em perfeita analogia de desenvolvimento real, fsico. O Grasshopper se mostrou uma ferramenta plena de simulao geomtrica sem a ocorrncia de quaisquer erros em sua programao. Logo, tornou-se perfeitamente possvel estudar e criar o referido slido geomtrico, assim como outros novos podero ser simulados e criados.

Discusso

O artigo esmia o funcionamento da single-angulated bar de Hoberman para a criao de um icosaedro pantogrfico.

A compreenso de seu funcionamento evidencia sua simplicidade e as possibilidades de aplicao para sistemas geomtricos mais sofisticados, que podem ser utilizados para o desenvolvimento desde pequenos abrigos efmeros a grandes domos geodsicos como os de Buckminster Fuller (1954), com grande vantagem por ter a sua logstica facilitada em funo de sua habilidade de expanso e retrao facilidade esta experimentada por Emlio Perez Piero pelo desenvolvimento de estruturas dinmicas assumidamente baseadas na obra de Fuller. Alm das aplicaes citadas, uma vez que qualquer poliedro possa ser construdo a partir de estruturas articuladas, a forma esfrica no uma limitao para o desenvolvimento de estruturas apenas a escolhida para esmiuar virtualmente neste artigo. Tendo em vista a inexistncia de limitaes na forma geomtrica, evidencia-se a potencialidade destes sistemas para explorao e desenvolvimento de novas formas em Arquitetura.

Agradecimentos

Gostaria de agradecer aos professores da Universidade Estadual de Campinas que tanto colaboraram com a produo deste artigo e com tamanha qualidade de ensino na ps-graduao. Tambm, equipe do SIGraDi pela presteza e prontido para auxiliar com as dvidas relativas publicao.

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