ee-240/2009 estimação não-paramétrica ee-240/2009 estimação não-paramétrica

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Estimação Não-Paramétrica EE-240/2009Estimação Não-Paramétrica

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Estimação Não-Paramétrica

• Assumir uma certa distribuição (normal, exponencial, Weibull, etc.)

• Estimar os parâmetros da distribuição a partir das observações

• Utilizar a distribuição com os parâmetros estimados.

Estimação Paramétrica

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Densidade Normal

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30 observações

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Função densidade de probabilidade estimada(assumindo distribuição normal)

OK

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Uma Densidade Bimodal

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30 observações

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Função densidade de probabilidade estimada(assumindo distribuição normal)

No Good!

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• Nãoassumir um tipo específico de distribuição a priori

• Estimar a densidade de probabilidade a partir das observações

• Utilizar a densidade de probabilidade estimada.

Métodos não-paramétricos

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Exemplo: Histograma (1)

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30 observações

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Divisão do intervalo em 10 trechos

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Normalizar

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Ajustar

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60 observações

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120 observações

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240 observações

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480 observações

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960 observações

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1920 observações

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30 observações

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3840 observações

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• “Kernel density estimation”:

K(x) = Função kernel de “área unitária”

h = Parâmetro de alargamento (suavização)

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h=1h=1

Kernel Retangular, h=1

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h=1


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h=2


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Kernel Triangular, h=1

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Kernel Gaussiano, h=1

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Kernel Triangular, h=1

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Kernel Gaussiano, h=1

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[F,XI]=KSDENSITY(X) computes a probability density estimate of the sample in the vector X. KSDENSITY evaluates the density estimate at 100 points covering the range of the data. F is the vector of density values and XI is the set of 100 points. The estimate is based on a normal kernel function, using a window parameter (bandwidth) that is a function of thenumber of points in X.

F=KSDENSITY(X,XI) specifies the vector XI of values where the density estimate is to be evaluated.

(Matlab Statistics Toolbox)

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Vantagens

Métodos paramétricos:

• Propriedades teóricas bem-

estabelecidas.

Métodos não-paramétricos:

• Dispensam a escolha a priori

de um tipo de distribuição.

• Aplicabilidade mais ampla.

• Simplicidade de uso.

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Métodos paramétricos:

• Podem levar a resultados

inadequados se a população

não seguir a distribuição

assumida na análise.

Métodos não-paramétricos:

• Requerem um número maior de

amostras para atingir a mesma

“qualidade” de ajuste.

• Maior dificuldade para o

estabelecimento de propriedades

teóricas.

Desvantagens

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Bootstrap

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• Motivação: Em muitos casos, pode não ser trivial obter o intervalo

de confiança para uma dada estimativa.

• Exemplo (prognóstico baseado em análise de tendência): Previsão

da Remaining Useful Life com base na série histórica de um índice

de degradação.

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• Pode não ser possível obter o intervalo de confiança de forma analítica se os dados não se conformarem às hipóteses usuais (ruído gaussiano, homoscedástico, etc.)

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• Bootstrap: Técnica de reamostragem (com reposição) que pode ser

empregada para obter informações sobre a incerteza associada a

uma estimativa.

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Amostragem com reposição

Conjuntooriginal

Bootstrap

Reamostragem

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Conjuntooriginal

Bootstrap

Reamostragem

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Conjuntooriginal

Reamostragens

Bootstrap 1

Bootstrap 2

Bootstrap 3

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Uso de Bootstrap em estimação

• Considere que uma variável y tenha sido estimada a partir de n

observações de uma variável x:

• Sejam X1, X2, ..., XN bootstraps gerados a partir de X. Seja ainda:

• Pode-se então levantar estatísticas com base nas N estimativas

resultantes.

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• Exemplo 1: Estimativa da Mediana

Amostra de 10 observações gerada a partir de uma distribuição

uniforme no intervalo [0, 10] (números inteiros):

X = { 10, 2, 6, 5, 9, 8, 5, 0, 8 }.

Cálculo da mediana:

Xordenado = { 0, 2, 5, 5, 6, 8, 8, 9, 10 }

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• Estimativas obtidas (em ordem crescente):

• Intervalo de confiança para a estimativa (70% de confiança 5-6):

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• Exemplo 2 Estimativa de Mediana

Amostra de 30 observações gerada a partir de uma distribuição uniforme no

intervalo [0, 10]:

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• Exemplo 2 Estimativa de Mediana

Amostra de 30 observações gerada a partir de uma distribuição uniforme no

intervalo [0, 10]:

•Em 69 dos 100

bootstraps, a

mediana obtida

estava no intervalo

[4, 6].

•Intervalo [4, 6]

69% de confiança.

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Densidade de probabilidadepara o resultado obtido por Bootstrap

• Pode-se aplicar o método das janelas de Parzen aos resultados

obtidos a partir dos bootstraps.

• Neste caso, o resultado de cada bootstrap é considerado uma

“observação” da grandeza a ser estimada.

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Exemplo anterior com kernel gaussiano

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Bootstrap e análise de tendência

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d

t

d

t

d

t

d

t

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BOOTSTRP Bootstrap statistics.

BOOTSTRP(NBOOT,BOOTFUN,...) draws NBOOT bootstrap

data samples and analyzes them using the function,

BOOTFUN. NBOOT must be a positive integer. The

third and later arguments are the data; BOOTSTRP

passes bootstrap samples of the data to BOOTFUN.

(Matlab Statistics Toolbox)

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Muito Obrigado!

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