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POLYANNA POSSANI DA COSTA
UM ESTUDO SOBRE A TEORIA LOCAL DE CURVAS PLANAS:
DIEDRO DE FRENET
SINOP
2009
1
POLYANNA POSSANI DA COSTA
UM ESTUDO SOBRE A TEORIA LOCAL DE CURVAS PLANAS:
DIEDRO DE FRENET
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Banca Examinadora do Departamento de Matemática – UNEMAT, Campus Universitário de Sinop como requisito parcial para a obtenção do título de Licenciada em Matemática.
Orientadora: Ms. Chiara Maria Seidel Luciano Dias
Co - orientador: Ms. Rogério dos Reis Gonçalves
SINOP
2009
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POLYANNA POSSANI DA COSTA
UM ESTUDO SOBRE A TEORIA LOCAL DE CURVAS PLANAS:
DIEDRO DE FRENET
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à
Banca Examinadora do Departamento de
Matemática – UNEMAT, Campus Universitário de
Sinop como requisito parcial para a obtenção do
título de Licenciada em Matemática.
Banca Examinadora:
______________________________________________________________________ Ms. Chiara Maria Seidel Luciano Dias
Professora Orientadora UNEMAT- Campus Universitário de Sinop
______________________________________________________________________
Ms. Rogério dos Reis Gonçalves Professor Co-orientador
UNEMAT- Campus Universitário de Sinop
______________________________________________________________________ Ms. Rodrigo Bruno Zanin
Professor Avaliador UNEMAT- Campus Universitário de Sinop
______________________________________________________________________
Ms. Vera Lúcia Vieira de Camargo Professora Avaliadora
UNEMAT- Campus Universitário de Sinop
SINOP
___ de _______________ de 2009.
3
Aos meus pais e minha irmã,
pelo incentivo nas horas difíceis,
o carinho e as palavras de apoio
em todas as horas;
Ao meu namorado,
pela compreensão e companheirismo,
durante todos esses anos de graduação.
Polyanna
4
AGRADECIMENTOS
Primeiramente agradeço a Deus, por ter me dado forças e sabedoria para eu me
dedicar em meus estudos e poder desenvolver e concluir este trabalho.
A todos os meus professores, que estiveram ao meu lado durante os quatro anos de
graduação compartilhando seus conhecimentos comigo, em especial ao professor Rogério dos
Reis Gonçalves meu co-orientador que acreditou em mim e me auxiliou todo o tempo e a
professora Chiara Maria Seidel Luciano Dias pela paciência, dedicação em me orientar, por
ter sanado minhas dúvidas no desenvolvimento desta Monografia e que além de professora e
orientadora, é uma amiga. E aos dois pela sugestão do tema, me dando a oportunidade de
conhecer um pouco deste assunto.
Ao professor Ricardo Robinson Campomanes Santana, pela oportunidade de ser sua
aluna de iniciação científica, me proporcionando novos conhecimentos e trabalhos que
somaram e enriqueceram muito.
Aos meus amigos Irineu, Djeison, Silmara e Silvana pelos grupos de estudos
realizados todos esses anos e pelo companheirismo. Em especial ao Irineu, pelas palavras de
incentivo e de força e ao Djeison pela ajuda e sugestões quando precisei.
À banca examinadora do Projeto de Pesquisa e da Monografia, pela participação neste
importante e único momento de minha vida.
POLYANNA
5
Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que
estudam seriamente esta ciência acabam tomados
de uma espécie de paixão pela mesma.
Em verdade, o que proporciona o máximo prazer
não é o conhecimento e sim a aprendizagem,
não é a posse mas a aquisição,
não é a presença, mas o ato de atingir a meta.
C. F. Gauss
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RESUMO
COSTA, Polyanna Possani da. Um estudo sobre a Teoria Local de Curvas Planas: Diedro de Frenet.Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Matemática) – Faculdade de Ciências Exatas. Universidade do Estado de Mato Grosso / Campus Universitário de Sinop. Sinop, 2009.
Na presente pesquisa, estudamos alguns conceitos importantes na introdução à Geometria
Diferencial, a saber, os conceitos básicos que tratam da teoria local das curvas planas. Em
particular, estudamos a construção de um referencial móvel adaptado a cada curva, chamado
Diedro de Frenet. Por meio das Equações de Frenet, estudamos o conceito de curvatura, bem
como as principais propriedades que caracterizam as Curvas Planas Parametrizadas
Diferenciáveis. Inicialmente, fazemos uma abordagem histórica do estudo das curvas, bem
como do surgimento e história da pesquisa em Geometria Diferencial no Brasil. Em seguida,
apresentamos conceitos de Geometria Analítica, Álgebra Linear e Cálculo Diferencial e
Integral, considerados preliminares para tal abordagem. Por fim, apresentamos definições
importantes para entendermos a estrutura de um referencial móvel adaptado a curva até a
dedução das Equações de Frenet e o enunciamos do Teorema Local das Curvas Planas. Com
isso, encerramos com uma aplicação baseada na caracterização de uma curva cujo o traço
pertence a uma circunferência.
Palavras-chave: Geometria Diferencial. Curvas Planas Parametrizadas Diferenciáveis.
Diedro de Frenet. Curvatura. Equações de Frenet.
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ABSTRACT
COSTA, Polyanna Possani da. A study about the Local Theory of Flat Curves: Diedro de Frenet. Course Conclusion Paper. (Graduation in Mathematics) – Faculty of Exact Science. University of Mato Grosso State / Campus Sinop. Sinop, 2009.
In the present research, we studied some important concepts in the introductions to
Differential Geometry, such as the basic concepts that deal with the local theory of flat curves.
We particularly studied the construction of a moving referential, adapted to each curve, called
Diedro de Frenet. Through Frenet Equations we studied the concept of curvature, as well as
the main properties that characterize the Distinguishable Parametric Flat Curves. Initially, we
make a historical approach of the study of curve, as well as the beginning and the history of
research in Differential Geometry in Brazil. Next, we present the concepts of Linear Algebra
and Differential and Pertaining Calculus, considered preliminary for this approach. Finally we
presented important definitions to understand the structure of a moving referential adapted to
a curve, to the deduction of Frenet Equations and we enounced the Local Theorem of Flat
Curves. Therewith, we conclude with an application based in the characterization of a curve
which trace belongs to a circumference.
Key words: Differential Geometry. Distinguishable Parametric Flat Curves. Diedro de
Frenet. Curvature. Frenet Equations.
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO 09
1. ASPECTOS HISTÓRICOS DA GEOMETRIA DIFERENCIAL 11
1.1 O DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA EM GEOMETRIA
DIFERENCIAL NO BRASIL 14
2. PRELIMINARES DE GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA
LINEAR 18
3. O DIEDRO DE FRENET 23
3.1 CONCEITOS INTRODUTÓRIOS 23
3.2 CURVAS PLANAS DIFERENCIÁVEIS 25
3.3 COMPRIMENTO DE ARCO 26
3.4 CAMPO DE VETORES AO LONGO DE UMA CURVA 28
4. CURVATURA E EQUAÇÕES DE FRENET 30
4.1 CARACTERIZAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA POR MEIO DA
CURVATURA E TORÇÃO 33
5. CONCLUSÃO 38
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 39
9
INTRODUÇÃO
Pode-se referir a Geometria Diferencial como sendo uma junção da Geometria
Analítica com o Cálculo Diferencial e Integral, além de estudar propriedades de curvas e
superfícies também sob o ponto de vista da Topologia1.
Geometria Diferencial é a área da matemática que estuda as curvas e superfícies usando técnicas do cálculo diferencial e integral; esse é um vasto campo com importantes aplicações em diversas outras áreas da Matemática e também da Física, particularmente em Mecânica e especialmente em Teoria da Relatividade. (FASSARELLA, 2007, p.1, grifo do autor).
Apesar de a Geometria Diferencial ter como base estas duas disciplinas que estão
presentes nos cursos de Licenciatura Plena em Matemática, esta é uma área que não é
estudada em todas as Universidades do Brasil em Licenciatura de Matemática, e em especial
na Unemat.
Foi justamente por a Geometria Diferencial não estar presente no curso de
Licenciatura Plena em Matemática da Unemat, que surgiu o interesse de se desenvolver uma
pesquisa que envolvesse conteúdos introdutórios desta disciplina, tendo em vista que por
conhecer o Cálculo Diferencial e Integral e a Geometria Analítica, seria possível proporcionar
relações entre tais áreas.
Entende-se que a Geometria Diferencial é uma área muito ampla, que envolve
conteúdos que também não estão presentes em nossa Licenciatura, sendo necessário conhecer
e abranger outras disciplinas para o seu aprofundamento, e com isso deixa-se bem claro que a
intenção desde o início é de forma introdutória conhecer alguns conceitos básicos estudados
na Geometria Diferencial. Assim, busca-se basicamente estudar as propriedades de uma curva
plana através de um referencial adaptado à própria, em que, em caso particular das curvas
tratadas neste trabalho é chamado de Diedro de Frenet.
Para tal abordagem, inicia-se a pesquisa apresentando os aspectos históricos da
Geometria Diferencial, no qual é tratada desde os primórdios da Geometria, suas aplicações,
evoluções, contribuições e nomes de grandes matemáticos para tal desenvolvimento até
chegar-se à Geometria Diferencial, e a partir daí, apresenta-se ainda um pouco da história da
pesquisa em Geometria Diferencial no Brasil.
1 Ramo da Matemática que estuda as propriedades de figuras geométricas que não mudam quando a forma da figura é submetida a sucessivas deformações.
10
Em seguida, apresentam-se algumas idéias e conceitos que são utilizados como
“base”, para então, se estudar e entender o assunto principal do trabalho. Tais conceitos são
tratados em Geometria Analítica, Álgebra Linear e Cálculo Diferencial e Integral, sendo
apresentados alguns exemplos para melhor contextualização do assunto.
No último capítulo, aborda-se então, as principais propriedades das Curvas Planas
Parametrizadas Diferenciáveis para então apresentarmos as Equações de Frenet. Com isso,
surge um dos mais importantes conceitos para a Teoria Local das Curvas: a curvatura.
Ao final, munidos destes conceitos pode-se apresentar uma aplicação da
caracterização de uma curva por meio de sua curvatura e torção. Neste caso, é apresentada
uma caracterização para que o traço de uma curva esteja contido em uma circunferência.
11
1. ASPECTOS HISTÓRICOS DA GEOMETRIA DIFERENCIAL
Neste capitulo, busca-se apresentar um resumo histórico do surgimento da Geometria
Diferencial e do desenvolvimento da pesquisa da mesma no Brasil, desta forma para tal, foi
consultada uma fonte de referências bastante ampla, sendo CARMO (2008), CARMO (1999),
COUTINHO (2001), FASSARELLA (2007), GORODSKI (2002), GORODSKI (2007),
ODON (2006), O’SHEA (2009), SÁNCHEZ (2007), SPIEGEL (2004).
A Geometria é considerada a atividade matemática mais antiga já conhecida devido às
necessidades de resolver problemas da agrimensura. Fortemente utilizada na construção de
pirâmides e templos, a Geometria estava presente na vida de civilizações como os babilônios,
hindus, chineses, japoneses e egípcios.
É notável que a Geometria era utilizada de forma empírica, ou seja, era algo que se
fundamentava apenas na experiência. No entanto, ao longo dos anos a visão de que se tinha
em relação à Geometria foi sofrendo modificações e transformou-se completamente com os
gregos. Um dos mais importantes precursores desta transformação foi Talles de Mileto
(624/625 a.C.-556/558 a.C.), que determinou o comprimento da superfície da terra utilizando
propriedades de figuras geométricas, sendo considerado o “pai da geometria grega”.
Mas quem fez contribuições não somente para a matemática de sua época, mas
também forneceu um modelo rigoroso para o desenvolvimento das idéias matemáticas
utilizadas até os dias atuais foi Euclides (360 a.C.-295 a.C.) com sua obra “Os Elementos”,
composto por 13 livros, a qual é considerada um dos tratados mais importantes já escritos em
toda a história ocidental. Nesta célebre obra são apresentados inicialmente definições e
axiomas e com isso, proposições são provadas a partir dessas premissas e de outras
proposições através de dedução lógica.
Os cinco Postulados de Euclides são:
I. Uma linha reta pode ser traçada de um ponto a outro distinto.
II. A partir de qualquer ponto de uma linha reta pode-se prolongá-la indefinidamente.
III. Pode-se traçar um círculo com centro e raio arbitrário.
IV. Todos os ângulos retos são iguais.
V. Se uma reta secante a duas outras, forma ângulos de um mesmo lado dessa secante,
cuja soma é menor que dois ângulos retos, então essas retas se prolongadas
suficientemente encontrar-se-ão em um ponto desse mesmo lado.
12
A partir do V postulado de Euclides questionamentos começaram a surgir sobre sua
afirmação como postulado, isto fez com que diversos matemáticos tentassem deduzi-lo a
partir dos quatro anteriores. Tais tentativas duraram até o século XVIII, aproximadamente
dois mil anos mais tarde.
Historicamente, o século XVIII ficou marcado pelo desenvolvimento do Iluminismo e
por volta de 1800 suas idéias já eram bem conhecidas. A confiança intelectual da razão
humana e da ciência estavam fortemente estabelecidas.
Segundo O’shea (2009, p.87) “À medida que o século XVIII chegava ao final, o
pensamento iluminista, a rápida mudança econômica e uma população cada vez mais instruída
passaram a contestar todas as idéias aceitas”.
No final do século XVIII, aos 12 anos Johann Friedrich Gauss (1777-1855), começou
a sua crítica a respeito dos Elementos de Euclides. Foi o primeiro matemático na história a
entender e aceitar a idéia de que existiria uma geometria em que o V postulado de Euclides
seria desnecessário.
Como nos diz Odon (2006, p.12) “No início do século XIX, entre 1813 e 1816, como
professor na Universidade de Göttingen, Gauss desenvolveu o que hoje é denominado
geometria hiperbólica”. Em 1824, Gauss escreveu uma carta a um amigo que estudava
matemática, supondo que a soma de três ângulos é menor que 180°, e ainda, que a forma
desenvolvida por ela era bem satisfatória, o que levaria a uma geometria bem diferente e
especial, mas Gauss não publicou sua descoberta e pediu para que seu amigo não a revelasse.
Mas outros matemáticos da época, como Lobachevsky (1792-1856) e Bolyai (1775-1856),
persistiram no desenvolvimento de geometrias não-euclidianas e publicaram suas obras.
Em 1826 Nikolai I. Lobachevsky marcava o nascimento oficial da geometria não-
euclidiana. Como escreve Odon (2006, p.12) “... tornou-se o primeiro matemático a publicar
uma geometria não-euclidiana baseada na quebra do quinto postulado, intitulada por ele de
"geometria imaginária"”.
Nikolai I. Lobachevsky [...] publica em 1829 o primeiro trabalho (Sobre os
princípios da geometria, em russo) construindo uma geometria baseada em um
postulado em conflito direto com o Postulado V:
Por um ponto fora de uma reta, é possível traçar-se mais de uma reta paralela à reta
dada. [...]. Termina assim uma época na história da matemática que fora inaugurada
dois mil anos antes, originando-se uma transformação profunda não apenas do
pensamento matemático, mas também de pensamento teórico em geral que
13
influenciará nossa concepção do universo e do mundo físico. (GORODSKI, 2007,
p.13, grifo do autor).
Outro matemático que persistiu na geometria não-euclidiana foi János Bolyai (1802-
1860), que em 1832 publicou seu trabalho sobre a geometria hiperbólica.
Assim, Gauss, Lobachevsky e Bolyai descobrem um espaço a partir do conflito com o
V postulado de Euclides, chamado espaço hiperbólico.
E ainda, partindo da quebra do V postulado de Euclides, Bernard Riemann (1826-
1866) descreveu outro tipo de espaço não-euclidiano, o espaço elíptico.
Como toda teoria que afeta discussões firmemente estabelecidas, a nova geometria não
foi muito bem recebida. Passando então a geometria não-euclidiana algumas décadas sem ser
completamente integrada à matemática. Ainda segundo Gorodski (2007, p.15) “Apesar disso
as geometrias não-Euclidianas permaneceram um tanto marginais por várias décadas antes de
serem completamente integradas”.
Paralelamente às idéias da geometria não-Euclidiana, começa surgir a história da
geometria diferencial, que tem início com o estudo das curvas e retas tangentes, as quais já
eram discutidas por Euclides, Arquimedes (287 a.C.-212 a.C.) e Apolônio (262 a.C.-190
a.C.).
O estudo teórico de curvas e superfícies começou há mais de 2 mil anos quando
matemáticos e filósofos gregos exploraram as propriedades de seções cônicas,
helicoidais, espirais e superfícies de revolução geradas por essas curvas. Apesar de
as aplicações não estarem em suas mentes, muitas conseqüências práticas surgiram.
Entre elas, a representação, em termos de elipses, das órbitas dos planetas em torno
do Sol, o emprego das propriedades do foco de parabolóides e o uso das
propriedades especiais de helicoidais para construir o modelo da dupla hélice do
DNA. (SPIEGEL, 2004, p.173).
No século XVII, Pierre de Fermat (1601–1665) e René Descartes (1596–1650) criam a
geometria analítica, enquanto Gottfried Von Leibniz (1646–1716) e Isaac Newton (1643 -
1727) descobrem o algoritmo do Cálculo infinitesimal na busca de uma representação da
velocidade instantânea de um objeto cujo movimento não era constante.
Ainda no séc. XVII são desenvolvidos os fundamentos da teoria das curvas e
superfícies no espaço tridimensional. Curvas espaciais são estudadas, e desde então grandes
contribuições foram feitas por matemáticos para a geometria diferencial, dentre eles Leonhard
14
Euler (1707-1783), Charles Dupin (1784-1873), Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Gauss
e Riemann. Em particular Euler publica em 1760 o livro Theoria Motors Corporum Solidorus
sem Rigidorum (Teoria do Movimento dos Corpos Sólidos e Rígidos) no qual aborda o
conceito de linhas com curvatura, iniciando asssim o estudo da Geometria Diferencial.
A Geometria Diferencial se divide em dois aspectos, em que um é chamado de
geometria diferencial clássica, que teve início com os primórdios do Cálculo e estuda as
propriedades locais das curvas e superfícies, sendo o cálculo diferencial o método mais
apropriado para tal estudo, sendo as curvas e superfícies consideradas na geometria
diferencial definidas por funções que possam ser derivadas inúmeras vezes.
Já o outro aspecto, chamamos de geometria diferencial global, que estuda a influência
das propriedades locais sobre o comportamento da curva ou superfície como um todo.
Essencialmente, a Geometria Diferencial estuda as propriedades geométricas das
curvas e superfícies mediante conceitos analíticos tais como o de métrica,
curvatura e torção. Um dos belos resultados dessa teoria é o chamado Teorema
Fundamental das Curvas, que caracteriza completamente uma curva pelas funções
curvatura e torção: para curvas três vezes continuamente diferenciáveis em 3IR , a
curvatura e a torção são propriedades características no seguinte sentido: duas
curvas parametrizadas pelo comprimento de arco que possuem as mesmas funções
curvatura e torção diferem por uma isometria de 3IR . (FASSARELLA, 2007, p.1,
itálico do autor).
Além disso, os estudos desta área de pesquisa culminaram no conceito de variedade
diferenciável introduzido por Riemann. Tal objeto matemático generaliza a idéia de
superfície, pois não necessita em sua definição de um espaço circundante.
A noção de curvatura Riemanniana que generaliza a idéia de curvatura gaussiana, não
apenas unificou as geometrias Euclidianas e não-Euclidianas, como representou uma vasta
generalização destas duas.
1.1 O DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA EM GEOMETRIA DIFERENCIAL NO
BRASIL
15
Conforme Carmo (1999), a Geometria Diferencial no Brasil, no qual aqui significará
uma estrutura que se pode falar em curvatura, para delimitar o assunto, divide-se basicamente
em três períodos, sendo chamados pelo autor de Pré-história da Geometria que vai de 1800 a
1957, o Início da História que vai de 1957 a 1970 e o período de consolidação da Pesquisa
que vai de 1970 a 1983.
No período da Pré-história, muito pouco é apresentado em Geometria Diferencial,
destacando-se na Matemática entre vários nomes os mais conhecidos, Joaquim Gomes de
Souza (1829-1863), Otto de Alencar (1874-1912), Amoroso Costa (1885-1928), Lélio Gama
(1892-1981) e Teodoro Ramos (1896-1936), do que foi desenvolvido na matemática brasileira
neste período, Carmo menciona apenas os dois seguintes trabalhos em Geometria Diferencial:
1. de Alencar, Otto, A superfície de Riemann de geratriz circular, Revista da Escola
politécnica, 3 (1898), 137-144.
2. Gama, Lélio, Estudo sobre as linhas geodésicas, 2ª parte da Tese de Concurso à
cadeira de Astronomia e Geodesia da Escola politécnica, 1929.
Depois do trabalho de Lélio Gama, houve um longo intervalo na Geometria
Diferencial brasileira, pois eram grandes as dificuldades encontradas por quem optasse em
fazer pesquisas em Matemática naquela época, tais como falta de revistas, e do próprio
estímulo social, sendo difícil de acompanhar o que se passava no exterior.
O segundo período da Geometria Diferencial brasileira apenas em 1957 com um
trabalho de Alexandre M. Rodrigues, publicado em 1958. Neste mesmo ano houve um
movimento de ampliação da pesquisa em matemática no Brasil após o 1° Colóquio Brasileiro
de Matemática, que teve grande influência no futuro da matemática brasileira. Desde então
trabalhos em Geometria Diferencial por matemáticos brasileiros foram desenvolvidos. Sendo
algum deles:
1. Rodrigues, A. A. Martins, Characteristic classes of complex homogeneous spaces.
Bol. Soc. São Paulo 10 (1955), 67-86, published in 1958.
2. do Carmo, Manfredo P., The cohomology ring of certain kählerian manifolds. An.
Acad. Brasil. Ci. 35 (1963), 149-151.
3. Colares, A. G., On a prehilbert manifold of curves and minimal surfaces. Ph. D.
thesis, Boston University, Boston, USA (1967).
4. do Carmo, Manfredo P.; Wallach, Nolan R., Minimal immersions of sphere bundles
over spheres. An. Acad. Brasil. Ci. 42 (1970), 133-144.
No período compreendido entre 1957 e 1970, todos os trabalhos matemáticos
brasileiros em Geometria Diferencial eram feitos no exterior, sem exceção alguma. Todavia,
16
para que os matemáticos brasileiros tivessem uma pesquisa autônoma era necessário que seus
trabalhos fossem feitos no Brasil. Assim em 1970 inicia-se o período de Consolidação da
Pesquisa com a criação de Programas de Doutorado em Geometria Diferencial.
Em 1970, o IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada) inaugurou um Programa
de Doutorado que entre outras áreas, incluía a Geometria Diferencial. É interessante ressaltar
que hoje a ilustre matemática Keti Tenenblat, foi a primeira aluna de Manfredo Perdigão do
Carmo neste Programa de Doutorado. Em 1973, o matemático brasileiro Plínio Simões criou
um Programa de Doutorado em Geometria Diferencial na USP, e em 1976 a Universidade de
Campinas UNICAMP inicia também um Programa de Doutorado em Geometria Diferencial.
Deste modo, ao final do período de 1970 a 1983 já estava funcionando no Brasil
Programas de Doutorado em Geometria Diferencial no IMPA, na USP e na UNICAMP em
que as teses desenvolvidas eram publicadas em periódicos científicos de repercussão, com o
objetivo de estimular e formar matemáticos de boa qualidade no Brasil.
As Escolas de Geometria Diferencial, também tiveram importante participação na
consolidação da pesquisa na área. A primeira escola teve início no IMPA em 1974, a segunda
no ano de 1976 já fazendo parte de um encontro internacional, e a partir daí a Escola de
Geometria Diferencial foi e até hoje é realizada a cada dois anos com o objetivo de reunir não
só pesquisadores, mas também alunos de final de graduação, mestres e doutores, para divulgar
estudos recentes em Geometria Diferencial e promover estudos de tópicos atuais através de
conferências, mini cursos e palestras.
Desse período de Consolidação da Pesquisa, segue alguns dos trabalhos desenvolvidos
por matemáticos brasileiros em Geometria Diferencial.
1. Tenenblat, Kéti, On isometric immersions of Riemannian manifolds. Bol. Soc. Brasil.
Mat. 2 (1971), no. 2, 23-36.
2. do Carmo, Manfredo P.; Lawson, B., Spherical images of convex surfaces. Proc.
Amer. Math. Soc. 31 (1972), 635-636.
3. Barbosa, J. L., On minimal immersions of 2S in m2S . Bull. Amer. Math. Soc. 79
(1973), 110-114.
4. Barbosa, J. L.; Carmo, Manfredo P., Stable minimal surfaces. Bull. Amer. Math. Soc.
80 (1974), 581-583.
5. Barbosa, J. L., Remarks on stability of minimal hypersurfaces. Na. Acad. Brasil. Ci.
50 (1978), no. 3, 295-297.
6. Chen, Chi Cheng, Complete minimal surfaces with total curvature π2− . Bol. Soc.
Brasil. Mat. 10 (1979), no 1, 71-76.
17
7. Noronha, Maria Helena, Variedades com operador de curvatura puro. Doctor thesis,
UNICAMP (1983), Campinas.
Vale mencionar que os trabalhos desenvolvidos por matemáticos brasileiros em
Geometria Diferencial aqui citados, são alguns dos muitos realizados entre 1800 a 1983, para
verificar todos, ver CARMO, (1999, p. 1-27).
18
2. PRELIMINARES DE GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA
LINEAR
Tendo em vista que para ser realizado o estudo proposto sejam necessários
conhecimentos básicos de Geometria Analítica e Álgebra Linear, tais como combinação
linear, base, produto vetorial, entre outras noções importantes para a apresentação das
Equações de Frenet, neste capítulo serão apresentados alguns conceitos básicos destas
disciplinas. As definições e resultados apresentados foram baseados nas referências [1], [5] e
[21].
Definição 1: Um conjunto não vazio V é um espaço vetorial sobre (um corpo) K se em seus
elementos denominados de vetores, estiverem definidas as seguintes duas operações:
(A) A cada par u, v de vetores de V corresponde um vetor vu + V∈ , chamado de soma de
u e v, de modo que:
(A1) uvvu +=+ , Vv,u ∈∀ (propriedade comutativa).
(A2) ( ) ( )wvuwvu ++=++ , Vw,v,u ∈∀ (propriedade associativa).
(A3) Exista em V um vetor, denominado de vetor nulo e denotado por 0, tal que v0v =+ ,
Vv ∈∀ .
(A4) A cada vetor Vv ∈ exista um vetor em V, denotado por v− , tal que ( ) .0vv =−+
(M) A cada par Κα ∈ e Vv ∈ , corresponde um vetor Vv ∈⋅α , denominado de produto
por escalar de α por v de modo que:
(M1) )v(v)( ⋅=⋅ βααβ , Κβα ∈∀ , e Vv ∈∀ (propriedade associativa).
(M2) 1 vv =⋅ , Vv ∈∀ (onde 1 é o elemento identidade de Κ ).
Além disso, vamos impor que as operações dadas em (A) e (M) se distribuam, isto é,
que valham as seguintes propriedades:
(D1) ( ) vuvu ⋅+⋅=+⋅ ααα , Κα ∈∀ e Vv,u ∈∀ .
(D2) ( ) vvv ⋅+⋅=⋅+ βαβα , Κβα ∈∀ , e Vv ∈∀
Em particular, para nosso estudo trabalharemos com os espaços euclidianos 2IR e
3IR . Em geral, ao considerarmos o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais ( nIR ),
munido das duas seguintes operações, temos uma estrutura de IR- espaço vetorial.
19
Se ( )nxxxX ,...,, 21= e
( )nyyyY ,...,, 21= define-se ( )nn yxyxyxYX +++=+ ,...,, 2211 e para quaisquer
IR∈λ , definimos ( )nxxxX λλλλ ,...,, 21= .
Muitas vezes, é possível encontrar subconjuntos W que sejam eles próprios espaços
vetoriais em V, sendo estes chamados de subespaços vetoriais de V.
Definição 2: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo Κ . Um subconjunto W de V é um
subespaço vetorial de V, se a restrição das operações de V a W torna esse conjunto um Κ -
espaço vetorial, sendo elas:
i) 0 W∈ ;
ii) Se Wv,v 21 ∈ então Wvv 21 ∈+ ; e
iii) Se Κλ ∈ e Wv ∈ então Wv ∈⋅λ .
Como exemplos de subespaços de 2IR podemos destacar: Espaço constituído pelo
vetor nulo { }0 , as retas que passam pela origem, e o próprio 2IR . Já, em 3IR , além dos
subespaços triviais { }( 0 e )3IR e das retas que passam pela origem, cada plano pela origem
em 3IR é também um subespaço vetorial.
Uma das características de um espaço vetorial é a obtenção de novos vetores a partir
de vetores dados, como nos mostra a seguinte definição.
Definição 3: Sejam V um espaço vetorial real, Vvvv r ∈,...,, 21 e raa ,...,1 números reais.
Então o vetor
rr vavavav +++= ...2211
é um elemento de V ao qual chamamos combinação linear de rvv ,...,1 .
Se rvvv ,...,, 21 são vetores em um espaço vetorial V, então geralmente alguns vetores
de V podem ser combinações lineares de rvvv ,...,, 21 enquanto outros vetores não. No entanto,
vale ressaltar que ao construirmos um conjunto W em V que consiste de todos os vetores que
são combinações lineares de rvvv ,...,, 21 , estaremos construindo um subespaço para V, ou
seja, o conjunto W é um subespaço de V.
20
Neste caso dizemos que os vetores rvvv ,...,, 21 geram W ou que o conjunto
{ }rvvv ,...,, 21 é gerador de W e podemos escrever [ ]rvvvW ,...,, 21= .
Em geral, um conjunto de vetores { }rvvvS ,...,, 21= é conjunto gerador de V se todo
Vv ∈ é combinação linear dos elementos de S.
Para sabermos se um vetor é combinação linear de outros definimos dependência e
independência linear.
Definição 4: Sejam V um espaço vetorial sobre um corpo Κ e Vv,...,v n1 ∈ . Dizemos que o
conjunto { }n1 v,...,v é linearmente independente (LI), ou que os vetores n1 v,...,v são LI, se a
equação
0va...va nn11 =++
Implica que 0a...aa n21 ==== . No caso em que exista algum 0ai ≠ dizemos que { }n1 v,...,v
é linearmente dependente (LD), ou que os vetores n1 v,...,v são LD.
Agora, se pudermos encontrar um conjunto finito de vetores que gere o espaço vetorial
V e tal que todos os elementos sejam realmente necessários para gerar V, teremos o alicerce de
nosso espaço, denominando um conjunto de vetores desse tipo de base.
Definição 5: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo Κ . Dizemos que um subconjunto Β
de V é uma base de V se:
i) Β for um conjunto gerador de V; e
ii) Β for linearmente independente.
Observamos que por convenção torna-se o conjunto vazio como base do espaço
vetorial nulo.
Definição 6: Seja V um espaço vetorial sobre Κ . Se V admite uma base finita, então
chamamos de dimensão de V ao número de elementos de tal base. Caso contrário dizemos
que a dimensão de V é infinita. E denotamos a dimensão de V sobre Κ por Vdimk .
Definição 7: Seja V um Κ -espaço vetorial, onde IR=Κ ou . Um produto interno sobre
V é uma função Κ→×VV:, que satisfaz as seguintes quatro propriedades:
21
(P1) w,vu + = w,vw,u + , Vw,v,u ∈∀ ,
(P2) v,uλ = v,uλ , Κλ ∈∀ , Vv,u ∈∀ .
(P3) v,u = u,v , Vv,u ∈∀ .
(P4) u,u 0> , se 0u ≠ .
Definição 8: Seja V um espaço vetorial sobre Κ com produto interno , e sejam Vv,u ∈ .
Dizemos que u e v são ortogonais se 0v,u = . Um subconjunto Α de V é chamado de
ortogonal se os seus elementos são ortogonais dois a dois e dizemos que Α é um conjunto
ortonormal se for um conjunto ortogonal e se 1u = , Α∈∀u . Denotamos vu ⊥ para
indicar que os vetores u e v são ortogonais.
Seja V um espaço vetorial sobre Κ com produto interno , . Considere
{ } Vv,,v n1 ⊂⋅⋅⋅=Α um conjunto linearmente independente. Vamos construir um outro
conjunto { } Vw,,w n1 ⊂⋅⋅⋅=′Α que seja ortogonal e tal que os subespaços gerados por Α e por
Α′ sejam os mesmos. Esta construção é feita indutivamente como segue
11 vw =• .
12
1
1222 w
w
w,vvw −=• .
Observe que 0w2 ≠ (pois { }21 v,v é LI) e que 12 ww ⊥ . De fato,
=−= 112
1
12212 w,w
w
w,vvw,w
0w,ww
w,vw,v 112
1
1212 =⋅−= .
• Definidos k1 w,,w ⋅⋅⋅ , nk1 << , podemos definir 1kw + como sendo
=−⋅⋅⋅−−= ++++ k2
k
k1k12
1
11k1k1k w
w
w,vw
w
w,vvw
∑=
+
+ −=k
1jj2
j
j1k
1k ww
w,vv .
22
Não é difícil ver que o conjunto { }n1 w,,w ⋅⋅⋅ definido acima é ortogonal e em particular,
linearmente independente. Observe que, para cada [ ]n1i v,,vWw,n,,1i ⋅⋅⋅=∈⋅⋅⋅= . Como
nWdimk = , segue que { }n1 w,,w ⋅⋅⋅=′Α é uma base de W, o que mostra a igualdade dos
subespaços gerados por Α e por Α′ .
Teorema 1: Todo espaço vetorial não nulo de dimensão finita possui base ortonormal.
Definição 9: Dados dois vetores 1W e 2W de componentes ( )1111 ,, zyxW = e
( )2222 ,, zyxW = , o produto vetorial de 1W e 2W , denotado por 1W × 2W , é definido como
sendo o vetor de componentes
1W × 2W ( )122112211221 ,, yxyxzxzxzyzy −+−−= .
O produto vetorial satisfaz as seguintes propriedades:
a) 121 WWW =× 2W θsen , onde θ é o ângulo entre 1W e 2W ;
b) 0,, 221121 >=×>=<×< WWWWWW ;
c) 1W × 2W =0, se e só se, 1W e 2W são linearmente dependentes;
d) 1W × 2W = - ( )12 WW ×− ;
e) ( ) 3121321 WWWWWWW ×+×=+× ;
f) ( ) ( )2121 WWWW ×=× λλ ;
g) ( ) 321231321 ,, WWWWWWWWW ><−>=<×× , onde 1W , 2W e 3W são vetores e λ é um
número real.
De modo geral, o produto vetorial não é associativo, isto é, ( ) ( ) 321321 WWWWWW ××≠×× .
E assim, finaliza-se a introdução de alguns dos conceitos de Álgebra Linear e
Geometria Analítica, essenciais para obtenção dos seguintes resultados.
23
3. O DIEDRO DE FRENET
Como já se pode observar no capítulo 1, o estudo de curvas contribuiu de forma muito
relevante para o desenvolvimento da Geometria Diferencial.
Historicamente, o estudo teórico de curvas e superfícies teve início há mais de dois mil
anos, quando geômetras gregos exploraram algumas propriedades particulares de seções
cônicas e superfícies de revolução geradas por essas curvas.
Com o conceito de curvatura, observou-se que era possível estudar o comportamento
de uma curva em cada ponto p. Em particular, em uma vizinhança de p era possível observar a
variação dos campos de vetores definidos ao longo da curva.
No entanto isso só foi possível graças ao Cálculo Diferencial que oferecia
instrumentos para formalizar a chamada Teoria Local das Curvas.
Séculos mais tarde, associado ao Cálculo Diferencial e Integral, o conceito de curvas e
superfícies recebeu um novo tratamento: enquanto a geometria se interessava em propriedades
de figuras na sua totalidade, a inserção do Cálculo fez com que o estudo se concentrasse na
análise das propriedades de curvas e superfícies na vizinhança de um ponto pertencente a
estas curvas e superfícies.
Neste capítulo, será introduzido o conceito de Curva Plana Diferenciável e abordada a
construção de um referencial móvel para Curvas Planas Regulares Diferenciáveis, que
possibilita estudar as propriedades de uma curva através de um referencial adaptado à própria,
ao invés de utilizar um referencial fixo, ou seja, associam-se campos ao longo da curva e
estuda-se a variação destes campos ao longo da mesma. Tal referencial é usualmente chamado
de Diedro de Frenet.
Desta forma, para tal abordagem as principais referências consultadas e utilizadas
neste capítulo são [2], [3], [8], [19], [20] e [21].
3.1 CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
Antes de se tratar das curvas diferenciáveis, é importante aqui ressaltar e relembrar
algumas definições consideradas preliminares.
24
Definição 9: Uma função f é diferenciável em a se )(af ′ existir. É diferenciável em um
intervalo aberto ),( ba [ou ),( ∞a ou )a,(−∞ ou ),( ∞−∞ ] se for diferenciável em cada
número do intervalo.
Para um melhor entendimento, pode-se observar três possibilidades de quando uma
função deixa de ser diferenciável.
a) Se o gráfico de uma função tiver uma quina, o gráfico de f não terá uma tangente neste
ponto, então f não será diferenciável.
b) Se f for descontínua2 em a, então f não será diferenciável em a.
c) Se uma curva tem uma reta tangente vertical em ax = . (Figura 1)
Figura 1: Funções não diferenciáveis.
Se uma partícula move-se ao longo de uma curva C, não há como descrever C por uma
equação do tipo )(xfy = , pois C falha no Teste da Reta Vertical. Mas, neste caso as
coordenadas x e y da partícula estão em função do tempo t e, assim, pode-se escrever )(tfx =
e )(tgy = . Esse par de equações é, muitas vezes, uma maneira conveniente de descrever uma
curva e faz surgir a definição a seguir.
Definição 10: Suponha que x e y sejam ambas dadas como funções de uma terceira variável t
(denominada parâmetro) pelas equações paramétricas.
)(tfx = e )t(gy =
2 Uma função é contínua em um número a se )()(lim afxf
ax=
→, ou seja, f é contínua em a se )(xf tender a
)(af quando x aproxima-se de a.
25
Cada valor de t determina um ponto )(tfx = e )(tgy = e quando t varia, os pontos
))t(g),t(f()y,x( = traçam a curva C, que chamamos curva paramétrica.
O parâmetro t não representa o tempo necessariamente e, de fato, pode-se usar outra
letra em vez de t para o parâmetro. Porém, em muitas aplicações das curvas paramétricas, t
denota tempo e, portanto, pode-se interpretar ))(),((),( tgtfyx = como a posição de uma
partícula no tempo t.
3.2 CURVAS PLANAS DIFERENCIÁVEIS
Pode-se definir uma curva parametrizada diferenciável, porém é interessante deixar
bem claro ao leitor a diferença dos conceitos de uma curva e uma curva parametrizada.
Curva é um conjunto de pontos e curva parametrizada é uma função, de forma mais
sistematizada, pode-se dizer que uma curva é localmente a imagem de uma curva
parametrizada. As parametrizações, em geral, servem para introduzir uma estrutura diferencial
sobre a curva, permitindo a definição de conceitos e o desenvolvimento de cálculos analíticos,
como velocidade, comprimento de arco, curvatura, torção e integrais curvilíneas.
Definição 11: Uma curva parametrizada diferençável do plano é uma aplicação
diferenciável α de Classe ∞C , de um intervalo aberto IRI ⊂ em 2IR . A variável It ∈ é
dita parâmetro da curva e o subconjunto de 2IR dos pontos ),(tα It ∈ é chamado traço da
curva.
Para visualizar as idéias, tome a título de exemplos as aplicações:
Exemplo 1: Seja ),,()( 00 btyatxt ++=α IRt ∈ , onde 022 ≠+ ba , é uma curva
parametrizada diferenciável cujo traço é uma linha reta passando pelo ponto ),( 00 yx paralela
ao vetor de coordenadas ),( ba . Figura 2
26
Figura 2: curva parametrizada diferenciável ),,()( 00 btyatxt ++=α
Exemplo 2: A curva parametrizada diferenciável
[ ])1)tcos(2(sent),1)tcos(2(tcos)t( −−=α , IRt ∈
tem o seguinte traço: Figura 3
Figura 3: curva parametrizada diferenciável
[ ])1)cos(2(),1)cos(2(cos)( −−= tsenttttα
3.3 COMPRIMENTO DE ARCO
Muitas vezes, definida uma curva, ela pode apresentar várias parametrizações. No
entanto, de todas estas parametrizações, existe uma que a expressa de forma mais simples em
função do comprimento de arco.
Definição 12: Uma curva parametrizada diferenciável 2IRI →:γ é dita regular se It ∈∀ ,
.0)( ≠′ tγ
27
Definição 13: Dizemos que uma função mn IRIRAF →⊂: é diferenciável de classe kC ,
1k ≥ ( ∞C ) se as derivadas parciais de F até ordem k (resp. de todas as ordens) existem e
são contínuas.
Seja 2IRI: →γ uma curva regular e fixemos 0t e 1t do intervalo I . Subdividindo o
intervalo ],[ 10 tt pelos pontos 1n100 taaat =<<<= ... e ligando retilineamente os pontos
),(),...,(),( n10 aaa γγγ obtemos uma linha poligonal chamada poligonal inscrita à curva entre
)( 0tγ e ).( 1tγ Figura 4
Figura 4: Curva regular 2IRI: →γ , subdividida no intervalo ],[ 10 tt .
Esta poligonal tem um comprimento determinado. Consideremos agora todas as
poligonais inscritas à curva entre )( 0tγ e ).( 1tγ Como γ é uma curva regular (na realidade é
suficiente que a derivada de 1ª ordem da função γ exista e seja contínua), existe o limite
superior do conjunto dos comprimentos dessas linhas poligonais, e é igual ∫ ′1
0
t
t
dtt)(γ que é
chamado comprimento de arco da curva γ de 0t a 1t .
A aplicação ∫ ′=t
t0
dttts )()( γ é denominada função comprimento de arco da curva γ a
partir de 0t . Esta função é diferenciável de classe ∞C , pois γ é uma curva regular.
Definição 14: Uma curva regular 2IRI: →γ é dita parametrizada pelo comprimento de
arco, se para cada It,t 10 ∈ , 10 tt ≤ o comprimento do arco da curva γ de 0t a 1t é igual a
.tt 01 − Isto é,
01
t
t
ttdt)t(1
0
−=′∫ γ .
28
Proposição 1: Uma curva regular 2IRI: →γ está parametrizada pelo comprimento de arco,
se e só se, ,It ∈∀ 1)t( =′γ .
3.4 CAMPOS DE VETORES AO LONGO DE UMA CURVA
Dada uma curva plana diferenciável regular, parametrizada por comprimento de arco,
2: IRI →γ , )(ss γ� , dada por ))s(y),s(x()s( =γ , defina ))s(y),s(x()s(t ′′= , para todo
Is ∈ . Observa-se que deste modo, esta sendo definido um campo de vetores tangente ao
longo da curva. Além disso, como γ é parametrizada por comprimento de arco, tem-se
( ) 1=st , ou seja, t é um campo tangente unitário.
A partir deste campo é interessante definir um campo de vetores que seja ortogonal a
ele. Sendo assim, defini-se o campo normal unitário como ))s(x),s(y()s(n ′′−= .
Quanto à definição de tais campos (tangente e normal) pode-se ressaltar que a opção
por um campo de vetores unitário se dá pelo motivo de que seu objetivo é unicamente
apontar, ou melhor, especificar uma direção e sentido. Mas ainda, vetores unitários são de
modo geral úteis para expressar outros vetores em função destes, por meio de equações
vetoriais.
Com isso, para todo Is ∈ , tem-se um referencial ortonormal3
→→
)s(n),s(t , o qual é
conhecido como referencial de Frenet da curva γ em s . No caso particular das curvas planas
tal referencial é conhecido como Diedro de Frenet. Figura 5
Figura 5: Diedro de Frenet
3 Referencial ortonormal: Uma base formada por vetores unitários, e dois a dois ortogonais.
29
Algumas propriedades geométricas interessantes são obtidas por meio da variação
destes campos ao longo da curva. Esta variação a qual se refere, é representada pela derivada
destes campos e o mais interessante é que estas derivadas são descritas em função do próprio
referencial
→→
nt , .
Estas relações são expressas pelas chamadas Equações de Frenet que serão
apresentadas no próximo capítulo.
30
4. CURVATURA E EQUAÇÕES DE FRENET
Com o referencial móvel adaptado à curva já definido no capítulo anterior, pode-se
agora, estudar sua variação ao longo da curva. Assim, neste capítulo serão definidos os
conceitos para tal estudo. As principais referências utilizadas foram [2], [3], [6] e [21].
A noção intuitiva de curvatura é a de uma medida que indique o quanto uma curva
deixa de ser uma reta. Nesse sentido, quanto mais fechada a curva, maior será a curvatura e
quando a curva for uma reta, sua curvatura será nula. Figura 6
Figura 6: Curvatura de uma curva
Para aqui definir a curvatura, considera-se que os campos de vetores definidos no
capítulo anterior são diferenciáveis a idéia agora é estudar as variações de →
t e →
n ao longo de
γ , isto é, ds
td→
e ds
nd→
. Por conta de não carregar a notação no texto, optou-se por representar
ds
td→
e ds
nd→
por )(st ′ e )(sn′ , respectivamente.
Decompondo )(st ′ e )(sn′ no referencial
→→
)s(n),s(t , visto que esse referencial é
uma base para o Espaço Vetorial 2IR , obtem-se:
+=′
+=′
→→
→→
),().()().()(
)().()().()(
2221
1211
snswstswsn
snswstswst
Onde definimos:
→→
′= ttw ,11 , →→
′= ntw ,12 , →→
′= tnw ,21 , →→
′= nnw ,22 .
Observemos que 1stst =→→
)(),( , pois 1t =→
, e consequentemente 0)(),( =→→
ststds
d.
( )1
31
Por outro lado, resulta da regra do produto (de derivação) que:
=→→
)(),( ststds
d
→→
′ tt , + →→
′tt ,
⇒ =0 →→
′ tt , + →→
′tt ,
⇒ = →→
′ tt , = - →→
′tt ,
⇒ = →→
′ tt , 0= ⇒ 0w 11 = .
De modo análogo, também conclui-se que 0w 22 = . Além disso, 0stsn =→→
)(),(
Is ∈∀ e assim,
0stsnds
d=
→→
)(),( ⇒→→
′ tn , = - →→
′ nt , , ou seja, ),()( swsw 1221 −= Is ∈∀ .
Observe que ( )1 pode ser escrito numa forma matricial, como segue:
=
′
′
)(
)(
)(
)(
21
11
sW
sW
sn
st
⋅
)(
)(
)(
)(
22
12
sn
st
sW
sW
⇒
−=
′
′
)(
0
)(
)(
12 sWsn
st
⋅
)(
)(
0
)(12
sn
stsW
⇒)()()(
)()()(
12
12
stsWsn
snsWst
−=′
=′
Definição 13: A curvatura (com sinal) de γ em s é dada por: )s(
)s(w)s(k 12
γ ′=
Geometricamente, a curvatura )(sk indica a taxa de variação instantânea da direção do
vetor tangente no ponto )(sγ .
Definição 14: Em particular, se γ é parametrizada por comprimento de arco, então temos:
−=′
=′
→→
→→
)().()(
)().()(
stsksn
snskst
Que são definidas como Equações de Frenet.
32
Observe que da primeira equação resulta que:
)()()( snskst ⋅=′
⇒ 1)()( ⋅=′′ sksα
⇒ )()( sks =′′α
A fim de empregar, bem como visualizar os resultados obtidos até este ponto desse
capítulo, segue o seguinte exemplo.
Exemplo 3: Considere a curva
bas += ()(α ,cosb
sbc + )
b
ssen , ,IRs ∈ 0b > ,
Cujo traço é uma circunferência de centro ),( ca e raio b . Figura 7
Neste caso:
)cos,()(b
s
b
ssenst −= ,
),cos()(b
ssen
b
ssn −−= . Segue-se que
b
1snstsk >=′=< )(),()( .
Figura 7: curva bas += ()(α ,cosb
sbc + )
b
ssen
A parir de agora, na busca de apresentar uma aplicação para as Equações de Frenet e
sendo isto possível devido todos os conceitos importantes para tal já terem sidos apresentados,
a seguir será iniciada a caracterização de uma curva por meio de sua curvatura e torção,
apresentando uma caracterização para que o traço de uma curva esteja contido em uma
circunferência.
33
4.1 CARACTERIZAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA POR MEIO DA
CURVATURA E TORÇÃO
Como aplicação das equações de Frenet, será apresentada como uma circunferência
pode ser caracterizada por meio destas equações.
Para caracterizar uma circunferência, é necessário de alguns conceitos que são tratados
em curvas espaciais e por isso, estes serão aqui definidos.
Definição: Seja 3: RI →α uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco tal
que 0)( >sk . O vetor binormal a α em s é
).()()( snstsb ×=
O referencial ortonormal t(s), n(s), b(s) é o triedro de frenet da curva α em s.
Definição: Cada par de vetores do triedro de frenet determina um plano. O plano de 3R que
contém )(sα e é normal ao vetor t(s) é o plano normal à curva α em s. O plano que contém
)(sα e é normal a )(sb é denominado plano osculador e o plano que contém )(sα e é
normal a n(s) é o plano retificante da curva α em s. Figura 8.
Figura 8: Plano Gerador do triedro de Frenet
Definição: O número real )(sτ definido por )()()( snssb τ=′ , é denominado torção da curva
em s.
Em particular, as Equações de Frenet para o Triedro são:
34
Teorema Fundamental das Curvas
a) Dadas duas funções diferenciáveis ( ) 0>sk e ( ) IRIss ⊂∈,τ , existe uma curva regular
)(sα parametrizada pelo comprimento de arco, tal que ( )sk é a curvatura e ( )sτ é a
torção de α em s.
b) A curva )(sα é única se fixarmos 300 )( IRps ∈=α
20010 )()(,)( vsksvs =′′=′ αα , onde 1v e 2v são ortornomais de 3IR .
c) Se duas curvas )(sα e )(sβ têm a mesma curvatura e torção (a menos de sinal) então
α e β são congruentes.
A grosso modo, esta afirmação (Teorema Fundamental das Curvas), mostra que o
comportamento local de uma curva pode ser descrito completamente por k e τ .
Lema: Seja 3: RI →α uma curva regular de curvatura não nula. Se α é uma curva plana,
então o plano osculador de α independe do parâmetro e é o plano que contém o traço de α .
Demonstração: Podemos supor )(sα parametrizada pelo comprimento de arco. Como α é
uma curva plana, existe um plano de 3R que contém )(Iα . Seja v um vetor não nulo
ortogonal a este plano. Provaremos que v é paralelo a )(sb , ∀ Is ∈ .
Fixando Is ∈0 , temos que 0),()( 0 >=−< vss αα ( )3 ,∀ Is ∈ .
Ao derivarmos ( )3 , obtemos:
( ) ( ) 0)()( 0 =′
⋅−′
⋅ vsvs αα
⇒ [ ] 0)()()()( 00 =′⋅+⋅′−′⋅+⋅′ vsvsvsvs αααα
⇒ 0)( =⋅′ vsα
⇒ 0),( >=< vst ∀ Is ∈ .
=′
−−=′
=′
)()()(
)()()()()(
)()()(
snssb
sbsstsksn
snskst
τ
τ )2(
35
Derivando ( )3 pela segunda vez, resulta que
0)()( =′⋅′+⋅′′ vsvs αα
⇒ 0),( >=′′< vsα
Como )()( sts ′=′′α , podemos escrever
0),( >=′< vst , ou seja
0),()( >=< vsnsk .
Por hipótese, 0)( ≠sk e assim 0),( >=< vsn . Deste modo, mostramos que v é ortogonal a t(s)
e n(s). Logo, v deve ser paralelo a b(s) ∀ Is ∈ e concluímos que o plano osculador de α
independe do parâmetro e é o plano que contém )(Iα .
Deste lema, temos como conseqüência a seguinte proposição.
Proposição: Seja 3: RI →α uma curva regular de curvatura não nula. Então α é uma
curva plana, se e somente se, 0≡τ .
Demonstração:
( )⇒ Consideremos α parametrizada pelo comprimento de arco. Se α é uma curva
plana, então pelo lema anterior b(s) é constante, portanto 0)( =′ sb ∀ Is ∈ . Donde
concluímos que 0)(),()( >=′=< snsbsτ , ∀ Is ∈ .
( )⇐ Reciprocamente se 0=τ , ∀ Is ∈ , então 0)( =′ sb , ou seja, )(sb é constante
∀ Is ∈ . Ao fixarmos Is ∈0 e denotarmos )(sb por b, definimos a seguinte função
>−=< bsssf ),()()( 0αα
Queremos mostrar que 0)( =sf ∀ Is ∈ , pois assim concluiremos que α é plana.
De fato, inicialmente temos que )(sf é constante, pois
( ) ( ) bssbsssf ′⋅−+⋅′
−=′ )()()()()( 00 αααα
⇒ ( ) ( ) bssbsssf ′⋅−+⋅′−′=′ )()()()()( 00 αααα
⇒ bsbsbsbssf ′⋅−′⋅+⋅′−⋅′=′ )()()()()( 00 αααα
⇒ bssf ⋅′=′ )()( α
⇒ 0),()( >==<′ bstsf .
Portanto )(sf é constante. Como 0)( 0 =sf , resulta que 0)( =sf , ∀ Is ∈ , como queríamos.
36
Proposição: Seja 3: RI →α uma curva regular. Então o traço de α está contido em uma
circunferência de raio 0>a , se e somente se, 0≡τ e a
k1
≡ .
Demonstração:
( )⇒ Podemos considerar )(sα parametrizada pelo comprimento de arco.
Suponhamos que α está contido em uma circunferência de raio a e centro c. Assim,
22)( acs =−α e pela proposição anterior, já temos que 0≡τ ∀ Is ∈ . Além disso,
0,)( >=−< bcsα , ∀ Is ∈ . Agora, derivando a expressão 22)( acs =−α , obtemos:
0)(,)( >=−−< cscsds
dαα
⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 0)()()()( =′
−⋅−+−⋅′
− cscscscs αααα
⇒ ( ) ( ) 0)()()()( =′⋅−+−⋅′ scscss αααα
⇒ ( ) 0)()(2 =−⋅′⋅ css αα
⇒ 0)(),( >=−′< css αα
Derivando mais uma vez, temos que:
( ) 0)()()()( =′⋅′+−⋅′′ sscss αααα
⇒ 01)(),( =+>−′′< css αα
⇒ 1)(),( −>=−′′< css αα ,
ou de modo equivalente,
1)()( =−⋅′′ css αα
Disso segue que:
1)( =⋅′′ asα
ask
1)( =
( )⇐ Consideremos a aplicação diferenciável 3: RIf → definida por:
)()()( snassf ⋅+= α
Observemos que
)()()( snassf ′⋅+′=′ α
Queremos provar que )(sf é constante. Da equação )2( , resulta que
( ))()()()()()( sbsstskassf τα −−⋅+′=′
37
Como 0=τ e a
sk1
)( = , ∀ Is ∈ , segue que
−⋅+′=′ )(
1)()( st
aassf α
⇒ )()()( stssf −′=′ α
⇒ 0)( =′ sf ,
Ou seja, f é constante e suponha csf =)( . Assim, pela definição de f, obtemos
csnas =⋅+ )()(α
⇒ )()( snacs ⋅−=−α
⇒ )()( snacs ⋅−=−α
⇒ acs =−)(α
Ou seja, o traço de α está contido em uma circunferência de centro c .
38
5. CONCLUSÃO
Mesmo abordando a disciplina que envolve o tema proposto de forma introdutória,
este trabalho está rico em conhecimentos, pois buscamos e o embasamos com conceitos
importantíssimos já vistos na graduação e a partir destes estruturamos um trabalho de forma
detalhada em outros conceitos, possibilitando assim, qualquer acadêmico de matemática que
nunca estudou a disciplina de Geometria Diferencial conhecer e entender sua idéia, pois além
de conceitos matemáticos, apresentamos ainda um resumo histórico contando desde seu
surgimento, as dificuldades encontradas e alguns dos matemáticos envolvidos para que a
mesma se desenvolvesse.
Por fim, concluímos que a partir de um referencial móvel adaptado a uma curva
parametrizada diferenciável é possível estudar suas propriedades geométricas. Em particular,
as Equações de Frenet nos permitem determinar a curvatura e a torção em todo ponto de uma
curva regular. Mais que isso, dadas as funções curvatura e torção é possível caracterizar a
curva relacionada a estas funções. Em nosso caso especificamente, obtemos a caracterização
da circunferência de raio a e centro c em função da curvatura e torção.
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