estatistica regular 9

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AULA 09 MEDIDAS DE DISPERSO PARTE 3 Ol, amigos! Hoje o dia de resolvermos todas as questes pendentes de Medidas de Disperso! Por meio destas resolues, veremos como o assunto costuma ser cobrado em prova! Ok? Espero que todos j tenham ao menos tentado resolv-las! Vamos l!

Dever de Casa

01. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) No conjunto de dados A={3, 5, 7, 9, 11}, o

valor do desvio mdio : a) 2,1 d) 2,8 b) 2,4 e) 3,1 c) 2,6 Sol.: Quando a questo fala em desvio mdio, est, na verdade, falando em Desvio Mdio Absoluto, ou em Desvio Absoluto Mdio. Vimos que estes nomes so todos sinnimos!

Comearemos por onde? Pela frmula! sempre assim: a frmula o ponto de partida da resoluo!

Uma vez que nosso conjunto representado por um rol, teremos que:

DAM para ROL: n

XXiDAM =

Assim, olhando para o numerador, vemos que a Mdia ( X ) ainda no nossa conhecida! Vamos, pois, calcular a Mdia. Teremos:

( ) 7535

5119753 ==++++==

nXi

X

Agora, ainda de olho no numerador, construiremos o conjunto (Xi- X ). Teremos:

(Xi- X )={(3-7), (5-7), (7-7), (9-7), (11-7)} = {-4, -2, 0, 2, 4} Ocorre que a frmula no pede apenas (Xi- X ). Ela pede o mdulo de (Xi- X ). Assim, teremos:

(Xi- X ) ={4, 2, 0, 2, 4} E a soma destes elementos ser:

( ) =++++= 1242024XXi Com isso, chegamos ao numerador da frmula do Desvio Absoluto Mdio! E quanto ao denominador? O que significa esse n? Ora, significa nmero de elementos do conjunto! E quantos so? So 5. Assim, concluindo a resoluo, diremos que:

DAM=12/5 DAM=2,4 Resposta!



02. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) O desvio padro do conjunto de dados A={2,

4, 6, 8, 10} , aproximadamente: a) 2,1 b) 2,4 c) 2,8 d) 3,2 e) 3,6 Sol.: Este enunciado fala agora em Desvio Padro! Uma vez que nosso conjunto um rol, e que no foi dito em momento algum que se tratava de uma amostra, calcularemos o S da seguinte forma:

Desvio Padro Populacional para Rol: ( )n

XXiS = 2

O primeiro passo ser descobrir o valor da Mdia do conjunto. Teremos:

( ) 65

305

108642 ==++++== nXi

X

Agora, construiremos o conjunto (Xi- X ). Teremos:

(Xi- X )={(2-6), (4-6), (6-6), (8-6), (10-6)} = {-4, -2, 0, 2, 4} O numerador da frmula pede que ns encontremos agora o conjunto dos quadrados de

(Xi- X ). Fazendo isso, teremos:

(Xi- X )2={(-4)2, (-2)2, (0)2, (2)2, (4)2} = {16, 4, 0, 4, 16} Continuando a anlise do numerador, teremos agora que somar os elementos do conjunto construdo acima. Teremos:

( ) ( ) =++++= 4016404162XXi Este o nosso numerador! E o denominador n (nmero de elementos do conjunto). Assim, teremos, finalmente, que:

( )n

XXiS = 2 8

540 ==S =2,8 Resposta!

03. (AFC-94) Entre os funcionrios de um rgo do governo, foi retirada uma

amostra de dez indivduos. Os nmeros que representam as ausncias ao trabalho registradas para cada um deles, no ltimo ano, so: 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6 e 10. Sendo assim, o valor do desvio padro desta amostra :

a) 3 c) 10 b) 9 d) 30 Sol.: Novamente aqui o enunciado quer saber o valor do desvio padro do rol. Mas, diferentemente do exemplo anterior, por duas vezes dito que o conjunto representa uma amostra. O que significa isso, em termos prticos? Significa que nossa frmula ter que ser corrigida, com um acrscimo de menos 1 no denominador. Lembrados? A equao ser a seguinte:

( )1

2

=

nXXi

S

O primeiro passo ser o clculo da Mdia. Teremos:



( ) 0,31030

1010644222000 ==+++++++++=X

Na seqncia, construiremos o conjunto (Xi- X ). Fazendo isso, teremos:

(Xi- X )={(0-3), (0-3), (0-3), (2-3), (2-3), (2-3), (4-3), (4-3), (6-3), (10-3)} Assim:

(Xi- X )={(-3), (-3), (-3), (-1), (-1), (-1), (1), (1), (3), (7)} Elevando todo mundo ao quadrado, teremos:

(Xi- X )2={(-3)2, (-3)2, (-3)2, (-1)2, (-1)2, (-1)2, (1)2, (1)2, (3)2, (7)2} Da:

(Xi- X )2={9, 9, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 9, 49} O numerador da frmula pede que somemos esses elementos. Faremos:

( ) = 2XXi (9+9+9+1+1+1+1+1+9+49)=90 O denominador, por sua vez, ser (n-1), uma vez que estamos diante de uma amostra.

Assim, sendo que n=10, ento (n-1)=9.

Aplicando a frmula inteira, teremos:

( )1

2

=

nXXi

S 109

90 ==S Resposta!

Repare apenas que se nos esquecssemos de pr o -1 no denominador (por conta da amostra!), chegaramos a uma outra opo de resposta, que no seria a correta!

Adiante!

04. (Fiscal de Rendas RJ 2003 FJG) O desvio-padro populacional dos valores 30,

40 e 50 igual, aproximadamente, a: A) 8 B) 8,16 C) 10 D) 10,16

Sol.: Questo semelhante segunda. O conjunto uma populao e est representado por um rol. Comecemos pela frmula. Teremos:

Desvio Padro Populacional para Rol: ( )n

XXiS = 2

Descubramos logo o valor da Mdia do conjunto. Teremos:

( ) 403

1203

504030 ==++== nXi

X


(Xi- X )={(30-40), (40-40), (50-40)} = {-10, 0, 10}



O numerador da frmula pede que ns encontremos agora o conjunto dos quadrados de


(Xi- X )2={(-10)2, (0)2, (10)2} = {100, 0, 100} Continuando a anlise do numerador, teremos agora que somar os elementos do conjunto construdo acima. Teremos:

( ) ( ) =++= 20010001002XXi Este o nosso numerador! E o denominador n (nmero de elementos do conjunto). Assim, teremos, finalmente, que:

( )n

XXiS = 2 67,66

3200 ==S =8,16 Resposta!

05. (AFC-94) Uma empresa que possui 5 mquinas copiadoras registrou em cada

uma delas no ltimo ms (em 1000 unidades): 20, 23, 25, 27 e 30 cpias, respectivamente. O valor da varincia desta populao :

a) 5 b) 11,6 c) 14,5 d) 25 Sol.: Esta questo pede o clculo da Varincia Populacional de um Rol. Comearemos, como sempre, pondo a frmula no papel. a seguinte:

Frmula da Varincia Populacional para Rol: ( )n

XXiS = 22

Como primeiro passo, teremos que descobrir a Mdia do conjunto. Teremos:

( ) 255

1255

3027252320 ==++++== nXi

X





( ) 2XXi = 58 Este o nosso numerador! E o denominador n (nmero de elementos do conjunto). Assim, teremos, finalmente, que:

( )n

XXiS = 22 S2=

558

=11,6 Resposta!



06. (Controlador de arrecadao RJ 2004 FJG ) Os valores de uma amostra de

cinco elementos so: 4, 3, 3, 5 e 5. A varincia dessa amostra de: A) 4,00 b) 3,00 c) 2,33 d) 1,00 Sol.: A questo agora pede o clculo da Varincia Amostral. Ou seja, nosso conjunto agora representa no mais a populao, e sim apenas uma amostra! Isso influencia nossas contas, como j sabemos! O denominador da frmula ter que receber o menos 1. Assim:

Frmula da Varincia Amostral para Rol: ( )1

2

2

=

nXXi

S

Antes de mais nada, convm que coloquemos esses elementos em ordem crescente, para que se configure realmente o rol. Teremos:

(3, 3, 4, 5, 5) Agora, sim! Na seqncia, descobriremos a Mdia do conjunto. Teremos:

( ) 0,4520

555433 ==++++==

nXi

X






( )1

2

2

=

nXXi

S S2=44

=1,0 Resposta!

07. (AFPS-2002/ESAF) Dada a seqncia de valores 4, 4, 2, 7 e 3 assinale a

opo que d o valor da varincia. Use o denominador 4 em seus clculos. a) 5,5 b) 4,5 c) 3,5 d) 6,0 e) 16,0 Sol.: Novamente se pede o clculo da Varincia de um Rol. Embora no tenha sido usada a palavra amostra de forma expressa, o enunciado indica que devemos calcular a Varincia Amostral, no instante em que determina que deveremos usar o denominador 4 nos nossos clculos. Ora, se o conjunto tem n=5 elementos, e usaremos 4 no denominador, porque est sendo feita a correo da frmula para o caso da amostra!

Colocando a frmula no papel, teremos:



Frmula da Varincia Amostral para Rol: ( )1

2

2

=

nXXi

S

Antes de mais nada, convm que coloquemos esses elementos em ordem crescente, para que se configure realmente o rol. Teremos:

(2, 3, 4, 4, 7) Agora, sim! Na seqncia, descobriremos a Mdia do conjunto. Teremos:

( ) 0,4520

574432 ==++++==

nXi

X






( )1

2

2

=

nXXi

S S2=4

14=3,5 Resposta!

08. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram

obtidos de uma amostra aleatria, de 50 preos (Xi) de aes, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetria o dlar americano. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23

Os valores seguintes foram calculados para a amostra:

i Xi = 490 e i Xi2 (i Xi )2/ 50 = 668

Assinale a opo que corresponde mediana e varincia amostral, respectivamente (com aproximao de uma casa decimal) a) (9,0 13,6) d) (8,0 13,6) b) (9,5 14,0) e) (9,0 14,0) c) (8,0 15,0) Sol.: Esta questo pede duas coisas: a Mediana e a Varincia Amostral. O conjunto, como vemos, est representado por um rol.

Comecemos pela Mediana. Ora, se o conjunto um rol, ento faz diferena se o n o nmero par ou mpar! Neste caso, temos que n=50, logo, um nmero par.



E se n um nmero par, significa que haver duas posies centrais no conjunto! Estas sero determinadas assim:

1 Posio central: (n/2) = 50/2 = 25 posio! 2 Posio central: a vizinha posterior = 26 posio.

Pronto! De resto, basta descobrir agora quais so os elementos que ocupam, respectivamente, estas duas posies; e depois fazer a mdia deles dois, ou seja, som-los e dividir por dois o resultado da soma.

Esta mdia nem ser necessria, uma vez que as duas posies centrais so, ambas, ocupadas por um mesmo elemento (9). Assim, chegamos primeira resposta:

Md=9,0. E quanto Varincia Amostral? Ora, percebamos que o enunciado nos forneceu um dado adicional. Foi dito que:

i Xi2 (i Xi )2/ 50 = 668 Ser que esse dado vai servir de alguma coisa?

Para saber disso, precisamos colocar no papel as duas frmulas: a bsica e a desenvolvida. Teremos:

Frmula Bsica da Varincia Amostral para Rol:

( )1

2

2

=

nXXi

S

Frmula Desenvolvida da Varincia Amostral para Rol:

( )

= nXi

Xin

S2

22 .1

1

Ora, se bem observarmos, perceberemos que o dado adicional da questo aparece na frmula desenvolvida da varincia! Sim! Todos enxergaram? Ele o colchete da frmula! J todo calculado para ns, de bandeja! Assim, ficou evidenciado que adotaremos a equao desenvolvida para resolver essa questo, e com imenso benefcio para ns!

Teremos:

( )

= nXi

Xin

S2

22 .1

1 [ ] 6,13

49668668.

15012 ==

=S Resposta!

Essa questo foi da prova do Fiscal da Receita de 1998. Foi a minha primeira tentativa (frustrada) de virar fiscal. Lembro como se fosse hoje, que eu olhava para esse dado adicional e pensava comigo: tenho certeza que isso serve para alguma coisa... Infelizmente, poca, eu no conhecia ainda a frmula desenvolvida da varincia. Uma pena!

Adiante!



09. (AFC-94) A mdia e a varincia do conjunto dos salrios pagos por uma

empresa eram de $285.000 e 1,1627x1010, respectivamente. O valor da varincia do conjunto dos salrios aps o corte de trs zeros na moeda :

a) 1,1627x107 c) 1,1627x105 b) 1,1627x106 d) 1,1627x104 Sol.: Aqui vem uma questo fcil, mas interessante! Ela explora uma propriedade da varincia: a propriedade do produto e diviso!

Foi dito que haver um corte de 3 zeros na moeda.

Assim, quem ganhava 1000, com esses trs zeros a menos, passar a ganhar 1. Quem ganhava 2000 vai ganhar 2; quem ganhava 3000 vai ganhar 3.

Concordam?

E qual a operao matemtica que faz com que 1000 vire 1, 2000 vire 2, e 3000 vire 3?

Dividir por 1000, claro! E 1000 o mesmo que 103.

Tudo bem at aqui?

Assim, conclumos: todos os elementos do conjunto original (salrios originais) foram divididos por uma mesma constante (103).

O que diz a propriedade da Varincia sobre isso? Diz que a nova varincia, ou seja, a varincia do novo conjunto, ser igual varincia do conjunto original dividida pelo quadrado da constante!

Quem o quadrado de 103? 106.

Isso uma propriedade da potenciao. Potncia de potncia! Repete a base e multiplicam-se os expoentes. Lembrados? O que fizemos foi isso:

(103)2 = 10(3x2) = 106 Melhorou?

Assim, a nova varincia ser dividida por 106. Teremos:

Nova Varincia = 610

10101627,1 x

= 1,1627x104 Resposta!

Nesta ltima conta foi usada uma outra propriedade da potenciao: a diviso de potencia de mesma base. O que se faz neste caso? Repete-se a base, e subtraem-se os expoentes! A base 10. Foi repetida. Os expoentes eram 10 e 6. Foram subtrados. E o que restou? 10 elevado a 4.

Entendido? Adiante!

10. (BACEN-94) Em certa empresa, o salrio mdio era de $90.000,00 e o desvio

padro dos salrios era de $10.000,00. Todos os salrios receberam um aumento de 10%. O desvio padro dos salrios passou a ser de:

a) $ 10.000,00 d) $ 10.900,00 b) $ 10.100,00 e) $ 11.000,00 c) $ 10.500,00 Sol.: Todos os salrios receberam um aumento de 10%. Como traduzir esta informao para uma operao matemtica? Esse o X da questo!

Aumento de 10% significa um produto! Por quanto? Por 1,10.

Se o aumento fosse de 15%, multiplicaramos por 1,15.

Se fosse por 30%, multiplicaramos por 1,30.



E assim por diante!

E se, ao invs de aumento, fosse reduo de 10%? O que faramos? Multiplicaramos por 0,90.

Se fosse reduo de 20%, multiplicaramos por 0,80.

Se fosse reduo de 30%, multiplicaramos por 0,70. E assim por diante!

Pois bem! Se todos os elementos do conjunto foram multiplicados por uma mesma constante (1,10), o que ocorrer ao novo desvio padro? De acordo com a propriedade, o novo desvio padro ser tambm multiplicado pela mesma constante!

Assim: Novo Desvio Padro = 10.000 x 1,10 = 11.000 Resposta!

11. (FISCAL DO TRABALHO-94) Do estudo do tempo de permanncia no mesmo emprego de dois grupos de trabalhadores (A e B), obtiveram-se os seguintes resultados para as mdias X a e X b e desvios-padro Sa e Sb. Grupo A: X a = 120 meses e Sa=24 meses Grupo B: X b = 60 meses e Sb=15 meses

correto afirmar que: a) a disperso relativa no grupo A maior que no grupo B b) a mdia do grupo B 5/8 da mdia do grupo A c) a disperso absoluta do grupo A o dobro da disperso absoluta do grupo B d) a disperso relativa do grupo A 4/5 da disperso relativa do grupo B e) a mdia entre os dois grupos de 180 meses Sol.: Essa questo meramente conceitual!

Precisamos saber o que Disperso Absoluta e o que Disperso Relativa. E isso j aprendemos:

Disperso Absoluta = Desvio Padro; Disperso Relativa = Coeficiente de Variao. Sabendo disso, podemos criar uma pequena tabela, para organizar melhor os dados da questo. Teremos:

Mdia Desvio Padro

(Disperso Absoluta)

CV

(Disperso Relativa)

Grupo A 120 24 (24/120)=0,20

Grupo B 60 15 (15/60)=0,25

Pronto! Chegamos resposta! Vejam a a opo D: A disperso relativa de A 4/5 da disperso relativa de B.

verdade isso? 0,20 = (4/5)x0,25 ??

Sim! Ento a est! Letra D Resposta! 12. (TCU-93) O quadro abaixo apresenta a renda mensal per capita das

localidades A e B: Localidade Mdia Desvio Padro

A 50 10 B 75 15

Assinale a opo correta:



a) O intervalo semi-interquartlico dado por [10, 15] b) A renda da localidade A mais homognea que a renda na localidade B c) O coeficiente de variao 50/75 d) A renda da localidade B mais homognea que a da localidade A e) Os coeficientes de variao de renda nas localidades A e B so iguais Sol.: Questo semelhante anterior!

Faamos o quadro completo. Teremos:

Mdia Desvio Padro CV

Grupo A 50 10 (10/50)=0,20

Grupo B 75 15 (15/75)=0,20

De imediato, morreu a questo! Basta verificar o texto da opo E, a qual nos diz que os dois coeficientes de variao so iguais!

Uma observao: o CV indicativo de homogeneidade do conjunto:

Quanto menor o CV, mais homogneo o conjunto; Quanto maior o CV, menos homogneo o conjunto. Ok? Adiante!

13. (TCDF-1995) Uma pesquisa de preos de determinado produto, realizada em

dois mercados, produziu os resultados mostrados na tabela abaixo:

Mercado Preo Mdio (R$/kg) Desvio Padro (R$/kg) I 5,00 2,50 II 4,00 2,00

Com base nesses resultados, correto afirmar que a) no mercado I, a disperso absoluta dos preos menor que no mercado II. b) o mercado I apresenta uma disperso relativa (de preos) maior que a do mercado II. c) no mercado I, a disperso relativa igual disperso absoluta. d) no mercado I, a disperso relativa dos preos igual a do mercado II. e) considerando os mercados I e II como se fossem um nico mercado, a disperso

absoluta da distribuio resultante igual a 4,5. Sol.: Outra questo na mesma linha!



Grupo I 5,0 2,5 (2,5/5,0)=0,5

Grupo II 4,0 2,0 (2,0/4,0)=0,5

Como j sabemos o que disperso absoluta e disperso relativa, resta-nos analisar as opes de resposta, para concluir que a correta a letra D, que diz que os dois CV so iguais!

Adiante!

14. (AFRF-2002.2) Uma varivel contbil Y, medida em milhares de reais, foi

observada em dois grupos de empresas apresentando os resultados seguintes: Grupo Mdia Desvio padro A 20 4 B 10 3

Assinale a opo correta.



a) No Grupo B, Y tem maior disperso absoluta. b) A disperso absoluta de cada grupo igual disperso relativa. c) A disperso relativa do Grupo B maior do que a disperso relativa do Grupo A. d) A disperso relativa de Y entre os Grupos A e B medida pelo quociente da diferena de desvios padro pela diferena de mdias. e) Sem o conhecimento dos quartis no possvel calcular a disperso relativa nos grupos. Sol.: Uma curiosidade: as trs questes anteriores, que traziam rigorosamente o mesmo modelo desta aqui, caram em provas de 1993, 1994 e 1995. Ora, qual no foi a surpresa de muita gente, minha inclusive, ao encontrar novamente o mesmo enunciado numa prova de 2002! Moral da histria: a Esaf reutiliza questes antigas, vez por outra! De sorte que vale a pena, muitssimo, conhecer bem as provas passadas! Quanto mais, melhor!



Grupo A 20,0 4,0 (4/20)=0,20

Grupo B 10,0 3,0 (3/10)=0,30

Vemos, sem maiores dificuldades, que o CV do grupo B maior que o CV do grupo A. o que est sendo dito na alternativa c.

Logo: Letra C Resposta! 15. (AFC-94) Seja X uma varivel aleatria com mdia aritmtica x = 10 e

desvio-padro S = 3. Considere as variveis: y = 2x +1 e z = 2x. A nica afirmao errada :

a) as variveis y e z tem a mesma mdia aritmtica. b) o desvio padro de y 6. c) as variveis y e z tm o mesmo desvio padro. d) a mdia de y 21. e) as variveis x e z tm o mesmo coeficiente de variao. Sol.: Aqui comea uma seqncia de questes que envolvem a varivel transformada! Questes muito fceis, diga-se de passagem!

A varivel original a X.

Neste enunciado, h duas variveis transformadas: Y e Z, assim definidas:

Y=2X+1 e Z=2X Conhecemos a mdia e o desvio padro da varivel original X.

Fazendo o desenho de transformao da varivel para a varivel Y, teremos:

1)x2 2)+1

Xi Yi

Agora, aplicando a propriedade da mdia, que influenciada pelas quatro operaes, teremos:

1)x2 2)+1



x =10 =y (10x2)+1=21 Xi Yi

Aplicando a propriedade do desvio padro, que s influenciado por produto e diviso (multiplica-se ou divide-se pela prpria constante), teremos:

1)x2 2)+1

Sx=3,0 Sy=(3x2)=6,0

Xi Yi

Temos ainda que a varivel Z definida por: Z=2.X

Construindo o caminho de transformao da varivel e aplicando as mesmas propriedades acima, teremos que:

1)x2

x =10 =Z (10x2)=20 Xi Zi


1)x2

Sx=3,0 Sz=(3x2)=6,0

Xi Zi

Com isso, chegamos a quatro resultados. Os seguintes:

Mdia de Y=21 ; Desvio Padro de Y = 6,0 Mdia de Z=20; Desvio Padro de Z=6,0 Analisando as opes de resposta, concluiremos que Y e Z tem o mesmo desvio

padro. o que nos diz a alternativa C.

Logo: Letra C Resposta! 16. (FTE-PA-2002/ESAF) Um certo atributo W, medido em unidades apropriadas,

tem mdia amostral 5 e desvio-padro unitrio. Assinale a opo que corresponde ao coeficiente de variao, para a mesma amostra, do atributo Y = 5 + 5W.

a) 16,7% b) 20,0% c) 55,0% d) 50,8% e) 70,2% Sol.: Comearmos fazendo o desenho de transformao da varivel. Teremos:



1)x5 2)+5

Wi Yi

O enunciado nos forneceu elementos da varivel W, e pediu resultados da varivel Y.

Precisamos achar o CV da varivel Y. Para tanto, precisaremos conhecer a sua mdia e o seu desvio padro. Trabalhando com essas duas medidas, e explorando as suas propriedades, teremos:

1)x5 2)+5

w=5 =y (5x5)+5=30 Wi Yi


1)x5 2)+5

Sw=1,0 Sy=(1x5)=5,0

Wi Yi

Conhecedores desses resultados, teremos agora condies de calcular o CV de Y. Teremos:

CV=Desvio Padro/Mdia CVy=5/30=0,167 = 16,7% Resposta! 17. (AFRF-2003/ESAF) O atributo Z= (X-2)/3 tem mdia amostral 20 e varincia

amostral 2,56. Assinale a opo que corresponde ao coeficiente de variao amostral de X.

a) 12,9% d) 31,2% b) 50,1% e) 10,0% c) 7,7%

Sol.: Novamente, comearmos fazendo o desenho de transformao da varivel. Teremos:

1)-2 2)3

Xi Zi



2)+2 1)x3

Conhecemos a Mdia e o Desvio Padro da varivel transformada Z, e a questo nos pede o clculo do CV da varivel original X.

Para chegarmos resposta, precisaremos conhecer o valor da Mdia e do Desvio Padro de X. Faremos o seguinte:

1)-2 2)3

Xi Zi 20=Z e S2z=2,56

2)+2 1)x3

Da: X =(20x3)+2 X =62,00 O problema da mdia est resolvida! Agora, a respeito do desvio padro tem um chapu!

Precisamos do Desvio Padro de X, e a questo nos forneceu a Varincia de Z. Ora, para chegarmos ao Desvio Padro de X, precisamos partir do Desvio Padro de Z.

Assim, sabendo que o desvio padro a raiz quadrada da varincia, faremos:

Sz= 56,22 =Sz =1,6 Agora, sim! Aplicando a propriedade do desvio padro, teremos:

Sx=1,6x3=4,8 Finalmente, teremos que:

CVx= Desvio Padro de X/Mdia de X = 1,6/62=0,077 CVx=7,7% Resposta!

18. (AFRF-2000) Numa amostra de tamanho 20 de uma populao de contas a receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a mdia amostral M = 100 e o desvio-padro S =13 da varivel transformada (X-200)/5. Assinale a opo que d o coeficiente de variao amostral de X.

a) 3,0% b) 9,3% c) 17,0% d) 17,3% e) 10,0% Sol.: Questo idntica anterior. Faamos o desenho de transformao. Teremos:

1)-200 2)5

Xi Zi 100=Z e Sz=13,00

2)+200 1)x5



Conhecemos a Mdia e o Desvio Padro da varivel transformada, e queremos calcular o CV da varivel original X. Aplicando as propriedades devidas, faremos:

X =(100x5)+200 X =700,00 Sx=13x5=65,00 Da, finalmente, diremos que:

CVx=65/700 CV=0,093 =9,3% Resposta! 19. (AFRF-2002) Um atributo W tem mdia amostral a 0 e desvio padro positivo

b1. Considere a transformao Z=(W-a)/b. Assinale a opo correta. a) A mdia amostral de Z coincide com a de W. b) O coeficiente de variao amostral de Z unitrio. c) O coeficiente de variao amostral de Z no est definido. d) A mdia de Z a/b. e) O coeficiente de variao amostral de W e o de Z coincidem. Sol.: Uma questo bem simples. Convm, para facilitar mais ainda nosso raciocnio, que adotemos a nomenclatura com a qual estamos acostumados! Assim, quando a questo diz que a

mdia de W a, diremos que W . O enunciado diz tambm que o desvio padro de W b. Diremos que Sw.

Assim, faremos agora o desenho de transformao sugerida pelo enunciado. Teremos:

1)- W 2)Sw

Wi Zi

Agora, se partirmos com W , chegaremos Mdia de Z. Teremos:

Z =(W -W )Sw Z =0,

Ora, se verdade que Z =0, ento, tambm concluiremos que:

CVw=0Sw

ZSw =

E qualquer diviso por zero, na linguagem da Esaf, resulta em um valor indefinido!

o que diz a alternativa C.

Logo: Letra C Resposta! 20. (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuio do preo de venda de

um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatria de 25 revendedores, a tabela de freqncias seguinte:



Classe de Preos

mi fi

[ 5 9) 7 3[ 9 13) 11 5[13 17) 15 7[17 21) 19 6[21 25) 23 3[25 29) 27 1

As quantidades mi e fi representam o ponto mdio e a freqncia da classe de preos i. Sabendo-se que: i(fi mi2) (i fi mi)2 / 25 694 assinale a opo que melhor aproxima o desvio padro amostral. a) 0,5 (347/3)0.5 b) 6 c) 0,9 (345/3)0.5 d) 28,91 e) 8

Sol.: A questo pede o clculo do desvio padro amostral.

Pela informao adicional do enunciado, resta evidenciado que devemos trabalhar com a frmula desenvolvida do desvio padro amostral. Como o conjunto est em formato de uma Distribuio de Freqncias, teremos que:

Frmula Desenvolvida do Desvio Padro Amostral para Distribuio de Freqncias:

( )

= nPMfiPMfinS2

2 ...1

1

Reparem que o dado adicional da questo j o prprio colchete da frmula acima.

Assim, sabendo ainda que n=25 elementos, teremos que:

( )

= nPMfiPMfinS2

2 ...1

1 [ ]694.

241

=S

=24

694S

O que preciso agora transformar esse resultado ao qual chegamos acima em uma das alternativas de resposta! Usaremos um pouco de lgebra.

Se fatorarmos o denominador, teremos que: 24=2x2x2x3=22x12

Assim:

=24

694S ( ) 5,02 3/3475,03347.

21

6694.

21

122694 xx

S ===

= Resposta!

21. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuio de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contbil do balano de uma empresa. Esse exerccio produziu a tabela de freqncias abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa



a freqncia relativa acumulada. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

Considere a transformao Z=(X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se

16807

12 = =i ii Zf , onde fi a freqncia simples da classe i e Zi o ponto mdio de

classe transformado. Assinale a opo que d a varincia amostral do atributo X. a) 720,00 b) 840,20 c) 900,10 d) 1200,15 e) 560,30 Sol.: Essa questo das boas! Envolve uma transformao da varivel original. Esta transformao foi fornecida pelo prprio enunciado, e est expressa pela seguinte conta: Z=(X-140)/10. A varivel original a Xi, e est sendo transformada na Zi por meio de duas operaes: uma subtrao por 140 e depois uma diviso por 10. Pois bem! O que nos pede a questo? Que encontremos a varincia amostral. Reparemos que quando se trata de varincia, faz toda diferena se estamos trabalhando com uma amostra ou com uma populao! As frmulas para clculo da varincia amostral, conforme j sabemos, so as seguintes:

1

.)( 22=

nfiXPM

S ou ( )

= n

PMfiPMfi

nS

222 ...

11

Como decidir por uma delas? Ora, ambas nos fazem chegar ao mesmo resultado, porm haver sempre uma que ser mais conveniente para nossa resoluo, de acordo com os dados adicionais fornecidos pelo enunciado!

Neste caso, o dado adicional foi o seguinte: 16807 12 = =i ii fZ

Onde Zi o ponto mdio transformado, ou seja, o ponto mdio da varivel Z. Dica: sempre que a questo trouxer em seu enunciado uma transformao da varivel, interessante que ns faamos de pronto um desenho que a represente. Trata-se do desenho de transformao da varivel. Teremos: 1)-140 2)10

X Z 2)+140 1)x10



Voltemos ao dado adicional trazido pelo enunciado: 16807 12 = =i ii fZ

Comparemos esse dado com as duas frmulas passveis de serem usadas:

1

.)( 22=

nfiXPM

S ou ( )

= n

PMfiPMfi

nS

222 ...

11

Pronto! J temos condio de afirmar que a frmula boa para essa resoluo a frmula desenvolvida! A maior! Para ficar melhor de enxergar, troquemos PM (Ponto Mdio) por Zi (que o ponto mdio da varivel Z), e teremos:

( )

= n

ZifiZifi

nS

222 ...

11

Viram? Daquele colchete, j conhecemos o valor da primeira parcela, que igual a 1680. Sabemos tambm que para essa distribuio de freqncias, n=200, conforme dito na segunda linha do enunciado (...foram examinados 200 itens...). Da, at agora, substituindo os valores conhecidos na frmula, teremos:

( )

=

200.

1680.1200

12

2 ZifiS

Em suma: s nos resta descobrir o valor do numerador da segunda parcela do colchete, ou seja, o valor de (fi.Zi)2. Vamos trabalhar as colunas de freqncia da nossa distribuio. A coluna P(%) representa neste caso, conforme j do nosso conhecimento, a freqncia relativa acumulada crescente (Fac). Da, construiremos primeiro a coluna da Freqncia Relativa Simples (Fi) e depois a da freqncia absoluta simples (fi). Esse trabalho com as colunas de freqncia algo cujo conhecimento imprescindvel para ns! E estou contando que todos ns j saibamos fazer isso! O resultado deste trabalho ser o seguinte:

Classes Fac Fi fi 70-90 5% 5% 10 90-110 15% 10% 20 110-130 40% 25% 50 130-150 70% 30% 60 150-170 85% 15% 30 170-190 95% 10% 20 190-210 100% 5% 10

n=200 Do que precisamos mesmo? Da parcela (fi.Zi)2. Ora, a coluna fi j nossa conhecida! Resta, pois, encontrarmos quem o Zi. Sabemos que Zi=(Xi-140)/10, e que este Xi representa o Ponto Mdio da varivel original. Da, precisamos logo construir a coluna do Xi. Teremos:

Classes Fac Fi fi Xi 70-90 5% 5% 10 80 90-110 15% 10% 20 100 110-130 40% 25% 50 120 130-150 70% 30% 60 140



150-170 85% 15% 30 160 170-190 95% 10% 20 180 190-210 100% 5% 10 200

n=200 Agora, sim: nosso prximo passo construir a coluna do Zi. Teremos:

Classes Fac Fi fi Xi Zi=

10140Xi

70-90 5% 5% 10 80 -6 90-110 15% 10% 20 100 -4 110-130 40% 25% 50 120 -2 130-150 70% 30% 60 140 0 150-170 85% 15% 30 160 2 170-190 95% 10% 20 180 4 190-210 100% 5% 10 200 6

n=200 Voltemos agora para nosso objetivo: (fi.Zi)2. Prximo passo? Construir a coluna (fi.Zi), e somar seus valores. Teremos:

Classes Fac Fi fi Xi Zi=

10140Xi

fi.Zi

70-90 5% 5% 10 80 -6 -60 90-110 15% 10% 20 100 -4 -80 110-130 40% 25% 50 120 -2 -100 130-150 70% 30% 60 140 0 0 150-170 85% 15% 30 160 2 60 170-190 95% 10% 20 180 4 80 190-210 100% 5% 10 200 6 60

n=200 (fi.Zi)=-40 Quase l! O que queremos? (fi.Zi)2. Da, teremos: (-40)2=1600. Agora s precisamos completar a frmula e fazer as contas. Ficaremos com:

( )

=

200.

1680.1200

12

2 ZifiSz

=200

16001680.199

12Sz 19916722 =Sz

E: SZ2=8,4020 Bem que esta poderia ser nossa resposta! S que ainda no ! Claro que no! O que encontramos foi a varincia da varivel transformada! E o que a questo pede a varincia da varivel original. a que entra aquele tal desenho de transformao da varivel. O resultado que temos at aqui (8,4020) est do lado da varivel Z. Teremos: 1)-140 2)10 X Z Sz2=8,4020 2)+140 1)x10



Para chegarmos varincia do lado de c, ou seja, da varivel original X, teremos que percorrer o caminho de baixo, lembrando das propriedades da varincia. Varincia influenciada por produto ou diviso? Sim! Multiplicaremos (ou dividiremos) a varincia pelo quadrado da constante! Logo, se a primeira operao do caminho de baixo uma multiplicao por dez, ento faremos com a varincia um produto pelo quadrado de dez, ou seja, multiplicaremos por 100 (cem). J no tocante segunda operao do caminho de baixo, lembraremos que a varincia no influenciada por operaes de soma ou subtrao. Ou seja, a segunda operao (soma com 140) no ser realizada! Teremos: 1 operao) 8,4020 x 100 = 840,20 2 operao) No realizaremos! Da: Varincia da Varivel Original = Sx2=840,20 Resposta! 22. (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contnuo X, observado como um inteiro,

numa amostra de tamanho 100 obtida de uma populao de 1000 indivduos, produziu a tabela de freqncias seguinte:

Classes Freqncia

(f) 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10

Assinale a opo que corresponde ao desvio absoluto mdio do atributo X. a) 16,0 d) 18,1 b) 17,0 e) 13,0 c) 16,6 Sol.: O ponto de partida da resoluo, como sabemos, a frmula! Neste caso, a nossa a seguinte:

n

fiXPMDMA

= . O enunciado chamou a medida de desvio absoluto mdio. Poderia ser tambm desvio mdio absoluto ou simplesmente desvio absoluto. So sinnimos. Esta nunca foi uma medida muito explorada em provas de estatstica, embora sempre tenha figurado entre os programas! Os passos de resoluo sero determinados, obviamente, pela frmula. Olhando para a equao, veremos aquilo que j dispomos, e o que ainda no temos e precisamos encontrar. Voltemos a olhar para a nossa distribuio de freqncias e para a frmula:



Classes Freqncia (f)

29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10

O que j temos? Olhemos para a equao! Temos os Pontos Mdios? Ainda no! Ento

nosso primeiro passo: construir a coluna dos Pontos Mdios. Teremos:

Classes fi PM 29,5-39,5 4 34,5 39,5-49,5 8 44,5 49,5-59,5 14 54,5 59,5-69,5 20 64,5 69,5-79,5 26 74,5 79,5-89,5 18 84,5 89,5-99,5 10 94,5

A frmula agora pede a Mdia. J a temos? Ainda no! Ento nosso prximo passo est

definido: calcular a Mdia! como se fossem duas questes em uma! Usaremos o mtodo da varivel transformada. Teremos:

Classes fi PM ( ) YiPM =

105,34

Yi.fi

29,5-39,5 4 34,5 0 0 39,5-49,5 8 44,5 1 8 49,5-59,5 14 54,5 2 28 59,5-69,5 20 64,5 3 60 69,5-79,5 26 74,5 4 104 79,5-89,5 18 84,5 5 90 89,5-99,5 10 94,5 6 60

Yi.fi=350

Da, encontrando a mdia da varivel transformada Y, teremos:

nfiYi

Y = . 50,3100350 ==Y

Agora, fazendo as operaes do caminho de volta da transformao da varivel, teremos: 1) 3,5 x 10 = 35,0 2) 35 + 34,5 = 69,5 X =69,5

A equao do Desvio Mdio Absoluto pede agora a diferena (PM- X ). Teremos:

Classes fi PM (PM- X ) 29,5-39,5 4 34,5 -35

n

fiXPMDMA

= .



39,5-49,5 8 44,5 -25 49,5-59,5 14 54,5 -15 59,5-69,5 20 64,5 -5 69,5-79,5 26 74,5 5 79,5-89,5 18 84,5 15 89,5-99,5 10 94,5 25

Reparando melhor na frmula, veremos que ela pede o valor absoluto da coluna que acabamos de construir. O mdulo! E o efeito do mdulo , seno outro, transformar em positivo quem estiver negativo. Da, tomando a ltima coluna construda, faremos:

Classes fi PM (PM- X ) |(PM- X )| 29,5-39,5 4 34,5 -35 35 39,5-49,5 8 44,5 -25 25 49,5-59,5 14 54,5 -15 15 59,5-69,5 20 64,5 -5 5 69,5-79,5 26 74,5 5 5 79,5-89,5 18 84,5 15 15 89,5-99,5 10 94,5 25 25

A frmula agora pede que multipliquemos essa coluna por fi. Teremos:

Classes fi PM (PM- X ) |(PM- X )| |(PM- X )|.fi 29,5-39,5 4 34,5 -35 35 140 39,5-49,5 8 44,5 -25 25 200 49,5-59,5 14 54,5 -15 15 210 59,5-69,5 20 64,5 -5 5 100 69,5-79,5 26 74,5 5 5 130 79,5-89,5 18 84,5 15 15 270 89,5-99,5 10 94,5 25 25 250

n=100 |(PM- X )|.fi=1300

Agora, sim! J temos tudo para aplicarmos a frmula do DMA. Teremos, enfim, que:

n

fiXPMDMA

= . 1001300=DMA DMA=13,00 Resposta!

23. (AFRF-2000) Tem-se um conjunto de n mensuraes X1, ... , Xn com mdia

aritmtica M e varincia S2, onde M = (X1 + ... + Xn )/ n e S2 = (1/ n) i ( Xi M )2 . Seja a proporo dessas mensuraes que diferem de M, em valor absoluto, por pelo menos 2S. Assinale a opo correta.

a) Apenas com o conhecimento de M e S no podemos determinar exatamente,

mas sabe-se que 0,25 . b) O conhecimento de M e S suficiente para determinar exatamente, na

realidade tem-se = 5% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.



c) O conhecimento de M e S suficiente para determinar exatamente, na realidade tem-se = 95% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.

d) O conhecimento de M e S suficiente para determinar exatamente, na realidade tem-se = 30% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.

e) O conhecimento de M e S suficiente para determinar exatamente, na realidade tem-se = 15% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.

Sol.: O enunciado nos fala que para um dado conjunto o valor da mdia vale M e a varincia vale S2. Ora, sabemos que varincia o quadrado do Desvio-Padro. Logo, se varincia S2, ento o Desvio-Padro ser apenas S (a raiz quadrada da varincia). Fala tambm acerca de uma proporo , que a proporo dos elementos do conjunto que diferem da Mdia M, em valor absoluto, por pelo menos 2S. Quando se diz em valor absoluto queremos dizer uma diferena para mais e para menos. Nosso intervalo est, pois, estabelecido: (Mdia-2S a Mdia+2S). Teremos: M-2S M M+2S Pois bem! O que a questo quer saber? A proporo dos elementos que diferem da mdia por pelo menos 2S. Esse pelo menos significa no mnimo. E no mnimo vai significar alm de 2S. Ou seja: queremos saber a proporo dos elementos que esto fora do intervalo (M-2S a M+2S). Essa proporo fora do intervalo ser uma proporo mxima ou uma proporo mnima? Mxima, conforme j aprendemos! Seria mnima caso fosse a proporo dos elementos dentro do intervalo. Sabendo disso tudo, s nos resta seguir os passos aprendidos acima. Teremos: 1 Passo) Calculamos o valor D que a diferena entre qualquer dos limites do intervalo e a mdia do conjunto. M-2S M M+2S D D Da, encontramos que a distncia D=2S.



2 Passo) Calcular a frao K. Teremos:

K=SD

k=(2S/S) k=2 3 Passo) Aplicar o Teorema de Tcheb. Teremos:

PMXIMA= 21K

PMXIMA=(1/4)=0,25 Ora, a questo chamou esta proporo de . Da, se uma proporo mxima,

porque seu valor ser menor ou igual a 0,25. Esta a nossa resposta. Vejamos o que diz a opo a: Apenas com o conhecimento de M e S no podemos determinar exatamente, mas sabe-se que 0,25 exatamente o que encontramos! Letra A Resposta! 24. (AFRF-2003) As realizaes anuais Xi dos salrios anuais de uma firma com

N empregados produziram as estatsticas

( ) 00,200.1$100,300.14$1

5,0

1

2

1

RXXN

S

RXN

X

N

ii

N

ii

=

=

==

=

=

Seja P a proporo de empregados com salrios fora do intervalo [R$ 12.500,00; R$ 16.100,00]. Assinale a opo correta. a) P no mximo 1/2 d) P no mximo 1/2,25 b) P no mximo 1/1,5 e) P no mximo 1/20 c) P no mnimo 1/2 Sol.: Esta questo j foi resolvida na aula passada! Desculpem! 25. (AFPS 2002/ESAF) Sejam X1, X2, X3, ... , Xn observaes de um atributo X.

Sejam

( )

=

=

=

=n

ii

n

ii

xxn

s

xn

x

1

22

1

1

1

Assinale a opo correta.



a) Pelo menos 95% das observaes de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. b) Pelo menos 99% das observaes de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. c) Pelo menos 75% das observaes de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. d) Pelo menos 80% das observaes de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. e) Pelo menos 90% das observaes de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. Sol.: Esta questo pergunta, em outras palavras, qual a proporo de elementos localizados dentro do intervalo que vai de (Mdia2S) at (Mdia+2S).

Ora, na questo 23 (duas atrs), descobrimos a proporo dos elementos que ficam fora deste mesmo intervalo. L, por ser proporo do lado de fora, era uma proporo mxima!

E aqui, por ser uma proporo dentro do intervalo, ser uma proporo mnima!

Aprendemos, na aula passada, que: Pmnima = 1 Pmxima

Assim: Pmnima=1-0,25 Pmnima=0,75 o que diz a letra C das alternativas: pelo menos (=no mnimo) 75% das observaes de X diferem da mdia, em valor absoluto, por menos que 2S.

Prestem ateno para o seguinte:

...diferem por menos que... = proporo dentro! ...diferem por pelo menos... = proporo fora! Logo: Letra C Resposta! (AFC-94) Para a soluo das trs prximas questes considere os dados da tabela abaixo, que representa a distribuio de freqncias das notas em uma prova de estatstica aplicada em trs turmas de 100 alunos cada.

Freqncias das Notas na Prova de Estatstica Classes de Notas TURMA 01 TURMA 02 TURMA 03 0 | 2 2 | 4 4 | 6 6 | 8 8 | 10

20 40 30 6 4

10 15 50 15 10

5 10 70 10 5

Total 100 100 100 26. (AFC-94) Assinale a afirmao correta: a) Moda (turma 2) < Moda (turma 3) d) Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2) b) Mdia (turma 1) > Mdia (turma 2) e) Mediana (turma 2) > Mediana (turma 3) c) Mdia (turma 2) < Mdia (turma 3) Sol.: Uma seqncia muito interessante de questes! O enunciado apresenta, em uma nica tabela, trs distribuies de freqncia. Separadamente, seriam elas as seguintes: A primeira:

Classes Turma 01 fi

0 2 20 2 4 40 4 6 30



6 8 6 8 10 4

A segunda:

Classes Turma 02 fi

0 2 10 2 4 15 4 6 50 6 8 15 8 10 10

A terceira:

Classes Turma 03 fi

0 2 5 2 4 10 4 6 70 6 8 10 8 10 5

Ora, a primeira coisa que procuraremos enxergar numa distribuio de freqncias se ela simtrica ou no! Como saber se uma distribuio simtrica? Usando a tcnica do elevador! No que consiste? Vamos aplicar a tcnica na segunda tabela fornecida pela questo. Basta seguir os seguintes passos: 1) Identificamos qual a fi da classe intermediria!

Classes Turma 02 fi

0 2 10 2 4 15 4 6 50 Classe intermediria! 6 8 15 8 10 10

2) Subimos um andar e descemos um andar, e comparamos as duas fi encontradas! Teremos:

Classes Turma 02 fi

0 2 10 2 4 15 4 6 50 6 8 15 8 10 10

So iguais essas novas fi? Sim! Da, prossegue a tcnica, novamente subindo e descendo um andar! Teremos:

Classes Turma 02



fi 0 2 10 2 4 15 4 6 50 6 8 15 8 10 10

Iguais novamente? Sim! Ainda tem para onde subir ou descer? No! Ento, acabou a nossa anlise, e nossa concluso a seguinte: estamos diante de uma distribuio simtrica! Se em qualquer momento dessa anlise, ao subir e descer um andar, tivssemos encontrado fi diferentes, diramos ento que a distribuio no seria simtrica, mas assimtrica. Qual a razo de estarmos fazendo esse estudo? Muito simples: quando a distribuio de freqncias simtrica, teremos sempre que a Mdia ser igual Moda, e ser igual Mediana! E essas trs medidas sero calculadas da seguinte forma: somaremos o limite inferior da primeira classe com limite superior da ltima classe, e este resultado dividiremos por dois. Da seguinte forma:

Classes Turma 02 Fi

0 2 10 2 4 15 4 6 50 6 8 15

8 10 10

X = Mo = Md = ( )2100+

= 5,0

E no precisamos fazer mais nenhum clculo! Vamos agora descobrir se a distribuio de freqncias da Turma 03 simtrica ou no.

Teremos:

Classes Turma 03

fi 0 2 5 2 4 10 4 6 70 6 8 10 8 10 5

E a? Simtrica! Da, concluiremos que:

X = Mo = Md = ( )2100+

= 5,0

E a distribuio de freqncias da Turma 01? Vejamos:

Classes Turma 01 fi

0 2 20 2 4 40 4 6 30 6 8 6



8 10 4 Logo no primeiro salto, conclumos que a distribuio assimtrica! Da, at o presente momento, j descobrimos que:

X TURMA 02 = Mo TURMA 02 = Md TURMA 02 = 5,0

X TURMA 03 = Mo TURMA 03 = Md TURMA 03 Sabendo disso, j descartamos as opes a, c e e, as quais comparam medidas relativas s turmas 02 e 03. Restam, portanto, as opes b e d. Analisemos a opo d: Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2) A Mediana da Turma 02 j sabemos que vale 5,0. Agora, observemos melhor a Tabela da turma 01:

Classes Turma 01 fi

0 2 20 2 4 40 4 6 30 6 8 6 8 10 4

Uma anlise atenta nos far ver que esse conjunto tem 100 elementos (n=100). Para isso, basta somar a coluna da fi. Tambm vemos, sem maiores esforos, que s as duas primeiras classes j somam 60 elementos! Sendo 20 na primeira classe e 40 na segunda. Ou seja: mais da metade dos elementos do conjunto esto nas duas primeiras classes. Ora, a Mediana exatamente aquele elemento que est no meio do conjunto, dividindo-o em duas partes iguais. Da, conclumos que a Classe Mediana ser a segunda (2 a 4). De sorte que a Mediana dessa distribuio ser um valor qualquer inserido nesta classe! Mesmo sem calcular essa Mediana da turma 01, vemos que no haveria como esta medida ser maior que 5, uma vez que 5 um valor que faz parte da terceira classe (e no da segunda)! Concluso: Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2) Resposta! 27. (AFC-94) A nica opo errada : a) 1 quartil (turma 1) > 1 quartil (turma 3) b) desvio-padro (turma 2) > desvio-padro (turma 3) c) mdia (turma 2) = mdia (turma 3) d) coeficiente de variao (turma 2) > coeficiente de variao (turma 3) e) na turma 3: mdia = mediana = moda Sol.: Aqui procura-se pela opo errada!

Observemos que a opo c compara a mdia das turmas 02 e 03. J sabemos que so iguais! Descartada est, pois, esta opo!

A opo e afirma que a mdia, moda e mediana da turma 03 so iguais. Perfeito! J sabamos disso, uma vez que se trata de uma distribuio simtrica! Descartamos mais essa opo de resposta!

Restaram as opes a, b e d.

Essas duas ltimas comparam duas medidas Desvio-Padro e Coeficiente de Variao das turmas 02 e 03. Acerca dessas turmas, j sabemos que:



X TURMA 02 = Mo TURMA 02 = Md TURMA 02 = 5,0

X TURMA 03 = Mo TURMA 03 = Md TURMA 03

Vejamos qual o conceito do Coeficiente de Variao: XSCV =

Ora, uma vez que as duas mdias so iguais, temos que os denominadores dos Coeficientes de Variao das turmas 02 e 03 so os mesmos!

Se os denominadores so iguais, o que vai definir se um CV maior que o outro ser apenas o numerador, ou seja, o Desvio-Padro!

Da, apenas por hiptese, consideremos que seja verdadeiro o que est dito na opo b:

Desvio-Padro (Turma 02) > Desvio-Padro (Turma 03)

Ora, se isto acima for verdadeiro, ento, resta que ser tambm necessariamente verdadeiro o que est dito na opo d:

coeficiente de variao (Turma 2) > coeficiente de variao (Turma 3)

Perceberam? Claro! Se o denominador (mdia) o mesmo para as duas turmas!

Da mesma forma, se considerarmos que o que est dito na opo b falso, resta que ser tambm necessariamente falsa a opo d. Em suma: uma vez que a mdia das turmas 02 e 03 so iguais, ento as duas opes b e d esto amarradas: ou ambas sero verdadeiras, ou ambas sero falsas.

Como s h uma opo falsa, conclumos (sem precisar fazer uma s conta!) que no podem ser nem a b e nem a d. E o que resta? Resta a Opo A Resposta! 28. (AFC-94) A distribuio de notas simtrica em relao mdia aritmtica: a) Nas trs turmas c) Nas turmas 1 e 3 e) Nas turmas 2 e 3 b) Nas turmas 1 e 2 d) Somente na turma 1

Sol.: Esta j foi resolvida acima! As distribuies simtricas so as turmas 2 e 3.

Assim: Letra E Resposta!

isso, meus queridos!

Na prxima aula, avanaremos na matria! Ok?

Um forte abrao a todos! E fiquem com Deus!

estatistica regular 9

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