estatistica-aula20 inferencia estatistica

Prof. Anderson Paiva18/11/2014

Aula 20 - Inferncia

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCOCENTRO ACADMICO DO AGRESTE

CURSO DE ENGENHARIA CIVILESTATSTICA

Prof. Anderson PaivaSlide 2

Estatstica

Estatstica:A Estatstica uma cincia que tem como objetivo a

tomada de deciso em situaes de incerteza.

Descritiva

Trata da coleta, organizao e descrio de dados. ProbabilidadeDefini um modelo matemtico probabilstico que seja

conveniente a descrio e interpretao de fenmenos aleatrios. InfernciaPreocupa-se em fazer afirmaes e/ou testar hipteses sobre

caractersticas numricas em situaes de incerteza.


Estatstica

Na Estatstica, a incerteza existe quando se quer fazer alguma afirmao a respeito de alguma caracterstica populacional baseada em informaes extradas de dados amostrais.

Neste caso, a aplicao da Teoria das Probabilidades de fundamental importncia para a soluo de problemas de Inferncia Estatstica.


Inferncia Estatstica

Objetivo: tirar concluses sobre uma populao com base na informao de uma amostra.

estimao testes de hipteses



PopulaoA populao um conjunto formado por todos os

elementos que possuem pelo menos uma caracterstica em comum observvel.

AmostraA Amostra apenas uma parte da populao, ou seja,

qualquer subconjunto no vazio da populao.



Parmetro uma medida numrica que descreve uma caracterstica da

populao, ou ainda, que obtida a partir de todos os dados populacionais (atravs de um censo).

Ex.: Identificando a populao pela varivel aleatria X, seriam parmetros a Mdia de X ( ou E(X)) e a sua Varincia ( ou Var(X)). Estatstica uma medida que descreve uma caracterstica numrica

da amostra, ou ainda, que obtida a partir de dados amostrais, e que ser usada para extrair informaes sobre a populao.

Ex.: mdia amostral (X), varincia amostral (S), etc.



Parmetro x Estatstica



EstimadorCombinao dos elementos da amostra, construda com a

finalidade de representar, ou estimar, um parmetro de interesse na populao.

Ex.: mdia amostral (X) estimador de ; desvio-padro.

EstimativaValor numrico assumido pelo estimador.Ex.: x o valor de X para a amostra observada.



Estudamos algumas distribuies tericas de probabilidade. Probabilidade: os parmetros da distribuio eram conhecidos calculamos probabilidades Inferncia: os valores desses parmetros no so conhecidos. A amostra deve ser representativa da populao da qual ela selecionada. Se no for, as concluses extradas sobre a populao podem estar distorcidas.


Inferncia EstatsticaEx: Considere as seguintes situaes:

1. Populao: os eleitores da cidade de Campina GrandeAmostra: 650 eleitores escolhidos aleatoriamente (ao acaso)Caracterstica de interesse: percentual de eleitores que planejam

votar num candidato X nas prximas eleies.2. Populao: automveis Uno Mille produzidos em 1995

Amostra: todos os automveis produzidos em agosto de 1995Caractersticas de interesse: nmero de defeitos apresentados nos

primeiros 3 meses de uso, quilometragem mdia e uma possvel relao entre estas duas variveis.Os parmetros no apresentam incerteza sobre seu real valor. Por outro lado, as estatsticas podem apresentar diferentes valores, se obtidas a partir de diversas amostras.



Seleo de AmostrasO primeiro passo para fazer inferncias corretas utilizando

amostragem, fazer o levantamento dessas amostras de maneira adequada.

Tipos de Amostras Amostras Probabilsticas

Cada item da amostra tem a mesma chance de ser selecionado que os demais.

Amostras No ProbabilsticasCada item selecionado no possui a mesma chance de ser

selecionado que os demais.



Amostras ProbabilsticasA seleo de uma amostra vista como resultado de um

experimento aleatrio e cada valor observado xi o resultado de uma varivel aleatria Xi.

As variveis aleatrias (X1, X2, ..., Xn) so uma amostra aleatria de tamanho n, se:

a. Os Xis forem variveis aleatrias independentes eb. Cada Xi tiver a mesma distribuio de probabilidades



Seleo de AmostrasAmostras Probabilsticas serviro como base para a correta

estimao dos parmetros da populao a qual se referem.

Tipos de Amostras Probabilsticas Amostra Aleatria Simples Amostra Aleatria Sistemtica Amostra Aleatria Estratificada.



Amostra Aleatria Simples Cada elemento da Populao selecionado de maneira aleatria.

Exemplo: Pesquisa em uma empresa com 5000 empregados, deseja-se selecionar uma amostra de 100 pessoas.



Amostra Aleatria Sistemtico O primeiro elemento da Populao selecionado de maneira aleatria os demais de acordo com alguma lei de formao.

Exemplo: Empresa com 5000 empregados, deseja-se selecionar uma amostra de 100 pessoas. Ordena-se os empregados, o primeiro selecionado e os outros sero escolhidos somando 15 a ordenao.



Amostra Aleatria Estratificado A populao dividida em estratos com mesmas caractersticas. So selecionados os elementos da amostra de maneira aleatria e os parmetros resultantes sero agregados de forma proporcional.

Exemplo: Pesquisa Eleitoral.



Amostra Aleatria Simples (AAS) Variveis aleatrias X1;X2; ...;Xn constituem uma amostra aleatria simples de tamanho n, ou simplesmente amostra aleatria (A.A.) de uma varivel aleatria (V.A.) X, quando satisfazem as seguintes condies:

1) As variveis aleatrias X1;X2; ...;Xn so independentes, 2) Cada uma das variveis aleatrias Xi, i = 1; 2; ...; n tm a mesma distribuio de probabilidade da varivel X.



Amostra Aleatria Simples (AAS) Ex: Considere uma populao formada pelos seguintes elementos {1; 3; 5; 5; 7}. Considere a varivel X: valor assumido pelo elemento na populao. Assim, a distribuio de probabilidade de X dada por:



Considere todas as amostras possveis de tamanho 2, com reposio, da populao cuja distribuio dada acima. Alm disso considere X1 o nmero selecionado na primeira extrao e X2 o nmero selecionado na segunda extrao. Assim, podemos construir a distribuio de probabilidades conjunta de (X1;X2) e as distribuies marginais de X1 e X2. Observe que X1 e X2 so independentes e tm distribuies iguais distribuio de X.



Distribuio de probabilidades conjunta de (X1;X2)


Inferncia Estatstica Distribuio Amostral Dada uma amostra aleatria X1;X2; ...;Xn de uma populao X, definiremos uma estatstica T como qualquer funo de X1;X2; ...;Xn, ou seja T = f(X1;X2; ...;Xn). Assim, dada uma amostra aleatria X1;X2; ...;Xn , um exemplo de estatstica seria a mdia amostral

Sendo X1;X2; ...;Xn uma amostra aleatria da varivel X, uma pergunta natural seria o que acontece com a estatstica T quando retiramos todas as amostras de uma populao conhecida segundo um plano amostral adotado, ou seja qual a distribuio de T quando X1;X2; ...;Xn assume todos os valores possveis. Essa distribuio ser chamada de distribuio amostral da estatstica T.


Inferncia Estatstica Distribuio Amostral Considerando o exemplo anterior, podemos construir a distribuio de algumas estatsticas, como por exemplo a distribuio de

e S = , por ex. Assim teramos,

Obs.: Note que E( X ) = E(X1) = E(X2) = E(X) = 4,2; e que Var( X ) = Var(X)/2 = 2,08. Seria isto uma coincidncia?

Resposta: No!!!! Veremos a seguir a justificativa deste fato.


Inferncia Estatstica Distribuio Amostral da Mdia Seja X uma varivel aleatria com mdia e varincia , e seja (X1;X2; ...;Xn) uma amostra aleatria de X. Ento, a mdia amostral ( X ) ter mdia e varincia dadas respectivamente por

Um teorema bem mais forte do que este o que se refere distribuio de probabilidade da varivel X . Este teorema conhecido como o Teorema Central do Limite


Inferncia Estatstica Distribuio Amostral da Mdia Ex.: Considere uma populao em que uma varivel X assume um dos valores do conjunto {1, 3, 5, 5, 7}. A distribuio de probabilidade de X dada por:

fcil ver que:


Inferncia Estatstica Distribuio Amostral da MdiaVamos relacionar todas as amostras possveis de tamanho n = 2, selecionadas ao acaso e com reposio dessa populao, e encontrar a distribuio da mdia amostral de

Sendo: X1: valor selecionado na primeira extrao, X2: valor selecionado na segunda extrao.


Inferncia Estatstica Distribuio Amostral da Mdia


Inferncia Estatstica Distribuio Amostral da MdiaA distribuio de probabilidade de X para n = 2

Neste caso,


Inferncia Estatstica Distribuio Amostral da Mdia Repetindo o mesmo procedimento, para amostras detamanho n = 3, temos a seguinte distribuio de probabilidade de X,

Neste caso,


Inferncia Estatstica Distribuio Amostral da Mdia Histogramas correspondentes s distribuies de X e de X , para amostras de {1,3,5,5,7}.




Inferncia Estatstica Distribuio Amostral da MdiaDos histogramas, observamos que

Conforme n aumenta, os valores de X tendem a se concentrar cada vez mais em torno de uma vez que a varincia vai diminuindo;

os casos extremos passam a ter pequena probabilidade de ocorrncia;

para n suficientemente grande, a forma do histograma aproxima-se de uma distribuio normal.



Esses grficos sugerem que, quando n aumenta, independentemente da forma da distribuio de X, a distribuio de probabilidade da mdia amostral aproxima-se de uma distribuio normal.


Inferncia Estatstica Teorema Central do Limite Para amostras aleatrias (X1;X2; ...;Xn), retiradas de uma populao com mdia e varincia finita, a distribuio amostral da mdia X aproxima-se, para n suficientemente grande, de uma distribuio normal, com e varincia /n.

Observaes:1) No teorema acima no fizemos nenhuma suposio sobre a natureza das distribuies das variveis X1;X2; ...;Xn, ou seja, independentemente de como se comportam essas variveis, sejam elas discretas ou contnuas, o teorema continua vlido.2) Se as variveis X1;X2; ...;Xn tm distribuio normal, ento X ter tambm distribuio normal e no apenas uma aproximao.


Inferncia Estatstica Teorema Central do Limite

Se a distribuio de X normal, ento X tem distribuio normal exata, para todo n.

O desvio padro denominado erro padro da mdia.


Inferncia Estatstica Exerccio: Uma V.A. X tem distribuio normal, com mdia 100 e desvio padro 10.a) Qual a P(90


Inferncia Estatstica Exerccio: Uma V.A. X tem distribuio normal, com mdia 100 e desvio padro 10.Resp.:c)

d)


Inferncia Estatstica Exerccio: Seja X ~ N(900; 642), retiramos uma amostra de tamanho 30. Determinar:a) P( 894).

Resp.: 0,0968.b) P(896 903).

Resp.: 0,54726.

Exerccio: Qual dever ser o tamanho de uma amostra retirada de uma populao X ~ N(200; 350) para que P(| - 200| < 5) = 0,95?

Resp.: 54.

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