apostila estatistica

5/16/2018 apostila estatistica - slidepdf.com

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Estatıstica Basica

Instrutor:

Dorival Leao

Estatcamp Consultoria em Estatıstica e Qualidade

Rua: Adolpho Cattani, 682

Jardim Macarengo CEP: 13560-470 Sao Carlos/SP

Fone/Fax: (16) 3376-2047

E-mail: [email protected]

Novembro/2006



ii

Sumario

1 Introducao 1

2 Coleta de Dados 2

2.1 Dados Quantitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Dados Quantitativos Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.2 Dados Quantitativos Contınuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Dados Qualitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Construindo um Diagrama de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Graficos 9

3.1 Distribuicao de Frequencias e Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Medidas de Posicao 14

4.1 Media Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Medidas de Dispersao 16

5.1 Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.2 Variancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.3 Desvio Padrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6 Estatısticas Descritivas 19

6.1 Box-Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7 Probabilidades 23

7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7.2 Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.3 Distribuicao de Probabilidade Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28



Sumario iii

7.3.1 Funcao de Distribuicao Acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7.3.2 Relacao entre a Funcao de Distribuicao Acumulada e a Distribuicao de

Probabilidade Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7.3.3 Esperanca de Variaveis Aleatorias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . 297.3.4 Variancia de Variaveis Aleatorias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.4 Modelos Probabilısticos Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.4.1 Distribuicao Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.4.2 Distribuicao de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7.4.3 Distribuicao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.4.4 Distribuicao Hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.6 Distribuicoes de Probabilidade Continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.6.1 Relacao entre a Funcao de Distribuicao Acumulada e a Funcao densidade

de Probabilidade Contınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.6.2 Esperanca de Variaveis Aleatorias Contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.6.3 Variancia de Variaveis Aleatorias Contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.7 Modelos Probabilısticos Contınuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.7.1 Distribuicao Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.7.2 Distribuicao Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.8 Modelos Probabilısticos para o Tempo de Falha . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.8.1 Distribuicao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.8.2 Distribuicao de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.8.3 Distribuicao de Gumbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.8.4 Distribuicao Log-normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8 A Distribuicao Normal 54

9 Teorema do Limite Central 61

10 Teste para Normalidade 64

10.1 Papel de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

10.2 Teste de Kolmogorov - Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

10.3 Teste Anderson-Darling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72



Sumario iv

11 Indicadores da Qualidade 77

11.1 Rendimento de um Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

11.2 Intervalo de confianca para o rendimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

11.3 Defeitos por milhao de oportunidades (DPMO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8511.4 Intervalo de confianca para o DPMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

11.5 Rendimento: Analise da resposta do processo (Rolled Throughput Yield) . . . . 91

11.6 E xercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

11.7 Metrica da Qualidade: SIGMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

12 Definicoes 98

A Tabela Normal Padrao - 6σ 100

Referencias Bibliograficas 100



v

Lista de Figuras

2.1 Classificacao dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Diagrama de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Diagrama de Pareto - Relativo a Custos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1 Histograma - Frequencia Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Histograma - Porcentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Histograma - Frequencia Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4 Histograma - Porcentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.1 Construcao do Boxplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.2 Comparacao entre dois Boxplots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.1 Grafico da funcao densidade de probabilidade da Uniforme . . . . . . . . . . . . 43

7.2 Grafico da funcao de confiabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.3 Grafico da funcao taxa de falha da distribuicao Weibull . . . . . . . . . . . . . . 49

7.4 Grafico da funcao densidade da distribuicao Log-Normal . . . . . . . . . . . . . 52

8.1 Distribuicao Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8.2´Areas sob a Curva Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8.3 Distribuicao Normal Padronizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8.4 Area sob a curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56









Lista de Figuras vi


9.1 Histograma-Dados Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9.2 Media de Grupos de 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9.3 Medias dos 5 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

10.1 Papel de Probabilidade para o exemplo 10.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

10.2 Papel de Probabilidade do Teste Anderson-Darling . . . . . . . . . . . . . . . . 76

11.1 Grafico da Estrategia de Rompimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

11.2 Grafico de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

11.3 Grafico do Rendimento Classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

11.4 Grafico do Rendimento do Processo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

11.5 Areas sob a Curva Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

11.6 Limites de Variacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96



vii

Lista de Tabelas

2.1 Numero de Pecas Defeituosas em Lotes de 1.000 (Com Apuracao) . . . . . . . . 3

2.2 Diametro do Eixo de 200 Motores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Diametro do Eixo de 200 Motores (Com Apuracao) . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Tipos de problemas Numa Industria de Computadores . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1 Diametro do Eixo de 200 Motores (Sem Apuracao) . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Distribuicao de Frequencias dos Diametros dos Eixos . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Criterio Para Determinar os Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4 Numero de Pecas Defeituosas em Lotes de 1.000 (Sem Apuracao) . . . . . . . . 12

3.5 Distribuicao de Frequencias dos Dados do exemplo 2.1 . . . . . . . . . . . . . . 13

7.1 Tabela do Exercıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7.2 Tabela de probabilidade da distribuicao geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . 37

9.1 Dados Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

10.1 Construcao do papel de probabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10.2 Tabela de Valores para Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

10.3 Resumo do Calculo de Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7010.4 Teste de Kolmogorov - Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10.5 Teste de Kolmogorov - Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.6 Tabela de pontos percentis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

10.7 Calculando o valor de A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

11.1 R esumo dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

11.2 Colheitadeira de Cana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

11.3 DPMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

11.4 Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86



Lista de Tabelas viii

11.5 Colheitadeira de Cana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

11.6 R esumo dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

11.7 Coleta de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

11.8 Coleta de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9411.9 Coleta de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

A.1 Tabela Normal 6σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103



1

Capıtulo 1

Introducao

Neste capıtulo, vamos apresentar elementos basicos da analise de dados. Veremos as es-

tatısticas descritivas para um conjunto de dados, que e a forma de reduzir e conhecer o nosso

conjunto de dados.

O resumo de dados sera apresentado em forma de graficos, diagramas e tabelas.

As tecnicas estatısticas sao utilizadas para avaliar as variacoes. A variabilidade esta presente

em todo lugar. Por exemplo, ao estacionar um carro em uma garagem, sua posicao nao e a

mesma ao longo dos dias. A posicao do carro apresenta uma variacao.

Para se fazer uma aplicacao de tecnicas estatısticas existem varias etapas:

• Coleta dos dados;

• Exposicao dos dados;

• Modelos Estatısticos.

Vejamos cada uma destas etapas.



2

Capıtulo 2

Coleta de Dados

Uma populac˜ ao e um agregado de elementos (finitos ou nao) para o qual deseja-se obter

informacoes sobre algumas de suas caracterısticas. Duas populacoes sao consideradas distintas

se uma delas contem um elemento que nao esta contido na outra populacao. Como exemplo

de populacao temos a producao diaria de um empresa, o conjunto de resultados de medi cao de

uma haste de aco realizada com um micrometro, entre outras. A amostra e uma parcela de uma

populacao que pode conter informacoes sobre a populacao. Para estudarmos adequadamente

uma populacao atraves de uma amostra devemos planejar a coleta de dados.

Planejando a Coleta de Dados

• Qual a pergunta a ser respondida?

• Como comunicar a resposta obtida?

• Qual ferramenta de analise pretende-se usar e como serao comunicados os resultados?

• Quais tipos de dados sao necessarios para utilizar as ferramentas desejadas e responder a

pergunta?

• Onde acessar estes dados?

• Como coletar esses dados com o mınimo de esforco e de erro?

• Quais informacoes adicionais serao necessarias para estudos futuros, referencias ou reco-

nhecimento?

Os Dados podem ser classificados como:



2. Coleta de Dados 3

Figura 2.1: Classificacao dos Dados

2.1 Dados Quantitativos

Neste caso a caracterıstica observada assume valores numericos. Este tipo de dado pode ser

ainda classificado como discreto ou contınuo.

2.1.1 Dados Quantitativos Discretos

Neste caso os dados observados formam um conjuto finito ou enumeravel de numeros.

Exemplo 2.1. Foram observados 20 lotes de 1.000 pecas cada um. O n´ umero de pecas de-

feituosas encontradas em cada lote foi: 10, 12, 9, 11, 10, 8, 9, 10, 7, 10, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 9,

11, 10, 10.

Podemos fazer a apuracao atraves de uma tabela (Tabela 2.1).

Numero de pecas Apuracao Numero de lotesDefeituosas

7 / 18 / / 29 / / / / / 5

10 / / / / / / / / 811 / / / 312 / 1

Tabela 2.1: Numero de Pecas Defeituosas em Lotes de 1.000 (Com Apuracao)

Vemos entao que a variavel n´ umero de pecas defeituosas assume valores inteiros: . . . , 7, 8, 9, . . ..

Logo, e uma variavel discreta.

2.1.2 Dados Quantitativos Contınuos

Sao os que decorrem de mensuracoes. Os possıveis valores incluem “todos” os numeros do

intervalo de variacao da caracterıstica medida, isto e, todos os possıveis valores pertencem a um




intervalo de numeros reais. Na pratica estes valores sao discretizados pela precisao do aparelho

de medida. Por exemplo, quando se mede diametros de eixos de determinados motores, se esta

coletando dados contınuos.

Exemplo 2.2. Numa f´ abrica de pequenos motores, problemas de encaixe estavam ocorrendo

com o eixo. Resolveu-se ent˜ ao medir o diametro de 200 motores e o resultado foi apresentado

na tabela 2.2.

4,8 4,2 5,1 5,2 4,8 4,7 4,9 4,5 4,9 4,54,9 5,1 4,8 4,9 4,8 5,0 5,3 4,9 5,5 5,25,1 4,6 4,9 4,3 4,9 4,7 5,2 4,8 4,4 5,65,0 5,0 5,0 5,1 4,9 4,8 4,8 5,0 4,8 5,1

5,4 4,2 5,1 4,9 4,3 4,6 4,7 4,7 5,3 4,45,7 4,9 5,2 4,8 4,9 4,9 4,4 4,7 4,9 5,15,1 4,9 4,9 5,1 5,2 4,7 4,8 4,6 5,2 5,54,9 4,8 4,2 5,2 5,1 4,7 5,5 4,7 4,7 4,45,0 5,2 4,2 4,9 5,1 4,6 5,4 4,6 4,8 5,24,8 5,1 4,6 4,8 5,2 4,5 4,9 4,5 5,4 4,54,8 4,2 5,1 5,2 4,8 4,7 4,9 4,7 4,9 4,54,9 5,1 4,8 4,9 4,8 5,0 5,3 4,9 5,5 5,25,1 4,6 4,9 4,3 4,9 4,7 5,2 4,8 4,4 5,65,0 5,0 5,0 5,1 4,9 4,8 4,8 5,0 4,8 5,1

5,4 4,2 5,1 4,9 4,3 4,6 4,7 4,8 5,3 4,45,7 4,9 5,2 4,8 4,9 4,9 4,4 4,7 4,8 5,15,1 4,9 4,9 4,9 5,2 4,7 4,8 4,7 5,2 5,54,9 4,8 4,2 5,2 5,1 4,7 5,5 4,6 4,7 4,45,0 5,2 4,2 4,9 5,1 4,6 5,4 4,7 4,8 5,24,8 5,1 4,6 4,8 5,2 4,5 4,9 4,6 5,4 4,5

Tabela 2.2: Diametro do Eixo de 200 Motores

Podemos fazer a apuracao considerando intervalos de medidas, como apresentado na tabela

2.3.

Diametro Apuracao No de motores4, 2 4, 4 / / / / / / / / / / / / 124, 4 4, 6 //////////.../ 164, 6 4, 8 //////////...// 324, 8 5, 0 //////////...//// 645, 0 5, 2 //////////.../ 365, 2 5, 4 //////////...//// 245, 4 5, 6 / / / / / / / / / / / / 12

5, 6 5, 8 / / / / 4

Tabela 2.3: Diametro do Eixo de 200 Motores (Com Apuracao)




Veja que, ao se estabelecer intervalos, esta-se admitindo que o eixo pode assumir qualquer

valor entre o limite inferior, inclusive, e o limite superior, exclusive.

2.2 Dados Qualitativos

Os dados qualitativos apresentam como possıveis realizacoes uma qualidade (ou atributo)

do indivıduo pesquisado.

Dentre os dados quantitativos podemos fazer uma distincao entre dois tipos: dado quali-

tativo nominal , para o qual nao existe nenhuma ordenacao nas possıveis realizacoes, e dado

qualitativo ordinal , para o qual existe uma ordem em seus resultados. Sexo, estado civil, sao

exemplos de dados qualitativos nominais. Ja grau de instrucao e um exemplo de dado qua-

litativo ordinal, pois ensinos fundamental, medio e superior correspondem a uma ordenacao.

Exemplo 2.3. Uma ind´ ustria de computador preocupada com v´ arios defeitos que um de seus

produtos vem apresentando, fez um levantamento e constatou os seguintes problemas que foram

designados da seguinte forma:

• A : Defeito na cobertura pl´ astica.

• B : Defeito no teclado.

• C : Defeito na fonte de energia.

• D : Soldas soltas.

• E : Defeito na placa da unidade de processamento.

• F : Defeito no visor.

• G : Outros.

Nesta situacao consideremos uma variavel T como sendo o tipo de defeito encontrado no

produto. Portanto a variavel T pode assumir os valores T = A, T = B, · · · . Assim, para um

computador com defeito na cobertura plastica temos que T = A, por exemplo.Numa segunda fase tabelamos (tabela 2.4) os valores observados.

Assim, podemos ver que os dados A, B,... sao dados qualitativos nominais.




Tipo de Problemas (T) FrequenciaA 10B 20C 55D 80

E 25F 3G 7

Tabela 2.4: Tipos de problemas Numa Industria de Computadores

Na figura 2.2 temos o Diagrama de Pareto referente a estes dados.

Figura 2.2: Diagrama de Pareto

2.2.1 Construindo um Diagrama de Pareto

1. Selecione os problemas a serem comparados e estabeleca uma ordem atraves de:




• Brainstorming - Exemplo: Qual e o nosso maior problema de qualidade no depar-

tamento de compras?

• Utilizacao de dados existentes - Exemplo: Verificar os registros da qualidade do

departamento de compras ao longo do ultimo mes.

2. Selecione um padrao de comparacao com unidade de medida - Exemplo: Custo mensal,

frequencia de ocorrencia.

3. Especifique o perıodo de tempo em que os dados serao coletados - Exemplo: Uma semana,

um mes.

4. Colete os dados necessarios para cada categoria - Exemplo: Defeito A ocorreu X vezes oudefeito C custou Y.

5. Compare a frequencia ou custo de cada categoria com relacao a todas as outras categorias

- Exemplo: Defeito A ocorreu 75 vezes, defeito B ocorreu 107 vezes, defeito C ocorreu 42

vezes ou defeito A custa 75 reais mensalmente, defeito B custa 580 reais mensalmente.

6. Liste as categorias da esquerda para direita no eixo horizontal em ordem decrescente de

frequencia ou custo. Os itens de menor importancia podem ser combinados na categoriaoutros, que e colocada no extremo direito do eixo, com a ultima barra.

7. Acima de cada categoria desenhe um retangulo cuja a altura representa a frequencia ou

custo daquela categoria.

8. A partir do topo da maior barra e da esquerda para a direita, ascendendo, uma linha

pode ser adiciona representando a frequencia acumulada das categorias.

Diagrama de Pareto Relativo a Custos

Exemplo 2.4. Consideremos um exemplo de cart˜ oes perfurados, levando em considerac˜ ao os

custos envolvidos.




Principais Defeitos No de Embalagens Custo por Unidade Custo do DefeitoDefeituosas Defeituosa (R$) (R$)

Numeros Trocados 28 0,05 1,40Caracteres Errados 28 0,05 1,40

Amassada 4 1,00 4,00

Perfurada 3 0,05 0,15Impressao Ilegıvel de

Dados 2 0,05 0,10Rasgada 2 1,00 2,00Outros 1 0,05 0,05

TOTAL 68

Figura 2.3: Diagrama de Pareto - Relativo a Custos

A exposicao dos dados pode ser feita atraves de tabela e/ou graficos. Aproveitando os

exemplos anteriores poderıamos apresentar os dados atraves de suas respectivas tabelas, com a

ressalva de que deverıamos eliminar a coluna “Apuracao”, para uma apresentacao mais elegante.

Tambem e logico que se contarmos com um computador esta coluna nao faz sentido. Inumeros

graficos auxiliam na apresentacao e interpretacao dos fatos, mas destacaremos os mais usuais

em industrias.



9

Capıtulo 3

Graficos

3.1 Distribuicao de Frequencias e Histograma

Com as tabelas e/ou graficos em maos, tendo uma melhor visualizacao dos dados, muitas

vezes ja temos condicoes de interpretar o fenomeno em estudo. Entretanto, para alguns casos

ainda havera necessidade de se efetuar operacoes numericas para se chegar a conclusoes mais

solidas.

Devido ao fato de dados quantitativos serem os mais frequentemente encontrados na industria,

desenvolveremos inicialmente metodos de analise para eles. Ou seja, passamos a sua descricao,

atraves do que e chamado de distribuicao de frequencias.

Dados Contınuos

Vejamos o exemplo 2.2, onde a Tabela 2.3 e agora apresentada sem a coluna APURACAO,

ou seja:

Diametro No de motores

4, 2 4, 4 124, 4 4, 6 164, 6 4, 8 324, 8 5, 0 645, 0 5, 2 365, 2 5, 4 245, 4 5, 6 125, 6 5, 8 4

Tabela 3.1: Diametro do Eixo de 200 Motores (Sem Apuracao)

Note que neste exemplo a variavel de interesse e o “Diametro” enquanto que “Numero de

Motores” e a frequencia de medidas em cada intervalo.



3. Graficos 10

Frequencia Absoluta (f i): E o numero de observacoes correspondente a cada intervalo. A

frequencia absoluta e, geralmente, chamada apenas de frequencia. No exemplo 2.2, a frequencia

e o numero de motores.

Para um dado intervalo i, denotaremos a frequencia absoluta correspondente a este intervalopor f i. Assim, por exemplo, a frequencia do quarto intervalo, na Tabela 3.1, e f 4 = 64.

Frequencia Relativa (f ri): E o quociente entre a frequencia absoluta e o numero total

de observacoes, e sera denotada por f ri. Isto e, f ri =f in

onde n representa o numero total de

observacoes. No nosso exemplo, como n = 200, temos que a frequencia relativa e dada por

f r4 =64

200

= 0, 32.

Frequencia Percentual ( pi): E conseguida multiplicando-se a frequencia relativa por

100%. No exemplo que estamos usando a frequencia percentual da quarta classe e dada por:

p4 =64

200∗ 100% = 32%.

Frequencia Acumulada: E o total acumulado (soma) de todas as classes anteriores ate a

classe atual. Pode ser Frequencia Acumulada Absoluta (F i), Frequencia Acumulada Relativa

(F ri), ou Frequencia Acumulada Percentual (P i).

Ponto Medio (xi): E obtido somando o limite inferior e o limite superior de cada intervalo

e dividindo o resultado por 2. Consideramos este ponto como sendo o valor representativo de

cada intervalo. No caso do primeiro intervalo, no exemplo dado, temos:

x1 = 4, 2 + 4, 42 = 4, 3.

Agora que temos estas quantidades definidas, vamos usar o exemplo que estamos acom-

panhando e mostrar todas elas atraves de uma tabela completa. Como Frequencia Acumulada

iremos apresentar somente a Frequencia Acumulada Percentual.



3. Graficos 11

Diametro xi f i f ri pi(%) P i(%)4, 2 4, 4 4,3 12 0,06 6 64, 4 4, 6 4,5 16 0,08 8 144, 6 4, 8 4,7 32 0,16 16 304, 8

5, 0 4,9 64 0,32 32 62

5, 0 5, 2 5,1 36 0,18 18 805, 2 5, 4 5,3 24 0,12 12 925, 4 5, 6 5,5 12 0,06 6 985, 6 5, 8 5,7 4 0,02 2 100

Tabela 3.2: Distribuicao de Frequencias dos Diametros dos Eixos

Figura 3.1: Histograma - Frequencia Absoluta Figura 3.2: Histograma - Porcentagens

Algumas indicacoes na construcao da distribuicao de frequencias sao:

1. Na medida do possıvel, as classes deverao ter amplitudes iguais.

2. Escolher os limites dos intervalos entre duas possıveis observacoes.

3. O numero de intervalos nao deve ultrapassar 20.

4. Escolher limites que facilitem o agrupamento.

5. Marcar os pontos medios dos intervalos.

6. Ao construir um histograma, cada retangulo devera ter area proporcional a frequencia

relativa correspondente (ou a frequencia absoluta, o que da no mesmo) .

7. Um criterio para determinar os intervalos (classes) e:



3. Graficos 12

Tamanho da Amostra (n) Numero de Classes (c)30 a 50 5 a 7

51 a 100 6 a 1010l a 250 7 a 12

acima de 250 10 a 20

Tabela 3.3: Criterio Para Determinar os Intervalos

Determinacao do tamanho da classe ou intervalo (L):

L =amplitude

no de classes=

R

c

onde R e o maior valor da amostra menos o menor valor da amostra.

Como a tabela de frequencia, o histograma tem a caracterıstica de analisar as relacoes

essenciais que os dados apresentam, e ainda verificar algumas suposicoes.

Dados Discretos

Consideremos agora o Exemplo 2.1, onde a Tabela 2.1 e apresentada sem a coluna

APURACAO.

Numero de Pecas Numero de lotes

Defeituosas7 18 29 5

10 811 312 1

Tabela 3.4: Numero de Pecas Defeituosas em Lotes de 1.000 (Sem Apuracao)

A variavel de interesse e “Numero de pecas defeituosas”, enquanto que “Numero de Lotes”e a frequencia observada para cada classe da variavel de interesse.

Com as quantidades ja definidas, construiremos a tabela completa para este exemplo. Note

que a coluna “Ponto Medio” nao e necessaria, pois se trata de dados discretos.



3. Graficos 13

Numero de Pecas f i f ri pi(%) P i(%)Defeituosas

7 1 0,05 5 58 2 0,10 10 159 5 0,25 25 40

10 8 0,40 40 8011 3 0,15 15 9512 1 0,05 5 100

Tabela 3.5: Distribuicao de Frequencias dos Dados do exemplo 2.1

Figura 3.3: Histograma - Frequencia Absoluta Figura 3.4: Histograma - Porcentagens



14

Capıtulo 4

Medidas de Posicao

A seguir apresentaremos as medidas basicas para resumir um conjunto de dados. Estas

medidas sao amplamente utilizadas para descrever um conjunto de dados.

As medidas de posicao e uma forma de resumir os dados, fornecendo apenas um valor, por

exemplo, o valor medio de um conjunto de dados.

4.1 Media Aritmetica

A media aritmetica , ou simplesmente media, e calculada somando-se os valores das obser-

vacoes e dividindo-se o resultado pelo numero de valores.

Notacao:

• X : valor de cada indivıduo da amostra.

• X : media amostral.

• µ : media populacional.

• n : tamanho da amostra.

• N : tamanho do universo (populacao).

Assim, a media amostral e dada por:

X = X 1 + . . . + X nn

(4.1)



4. Medidas de Posic˜ ao 15

Exemplo 4.1. Uma amostra de 5 barras de aco foi retirada da linha de produc˜ ao e seus

comprimentos foram medidos. Os valores foram: 4,5; 4,6; 4,5; 4,4; 4,5. A media amostral dos

comprimentos e:

x =4, 5 + 4, 6 + 4, 5 + 4, 4 + 4, 5

5

O comprimento medio das barras de aco desta amostra e x = 4, 5.

4.2 Mediana

Para calcular a mediana devemos, em primeiro lugar, ordenar os dados do menor para o

maior valor. Se o numero de observacoes for ımpar, a mediana sera a observacao central. Se

o numero de observacoes for par, a mediana sera a media aritmetica das duas observacoes

centrais.

Notacao:

• X : mediana

Exemplo 4.2. Uma amostra de 7 caixas de um dispositivo eletronico, com 100 unidades por

caixa, apresentou os seguintes n´ umeros de dispositivos defeituosos por caixa: 27, 5, 10, 7, 8,

12, 9.

Em primeiro lugar devemos ordenar os valores: 5, 7, 8, 9, 10, 12, 27.

Como o numero de observacoes e ımpar, a mediana e o valor central, isto e,

x = 9.

Exemplo 4.3. Consideremos os seguintes dados correspondentes aos comprimentos de 8 rolos

de fio de aco: 65, 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68.

Ordenando os valores, temos: 60, 65, 67, 68, 69, 70, 72, 77.

Como o numero de observacoes e 8, portanto par, a mediana e dada pela media dos dois

valores centrais que sao 68 e 69, isto e:

x = 68 + 692

= 68, 5.



16

Capıtulo 5

Medidas de Dispersao

Dispersao e sinonimo de variacao ou variabilidade de uma distribuicao. Para medir a dis-

persao sao frequentemente usadas a amplitude e o desvio padrao.

5.1 Amplitude

A amplitude e a diferenca entre o maior e menor valor do conjunto de dados.

Notacao:

• R: amplitude.

• X (1): menor valor do conjunto de dados.

• X (n): maior valor do conjunto de dados.

Assim, a amplitude e dada por:

R = X (n) − X (1) (5.1)

Exemplo 5.1. As temperaturas num perıodo de 8 horas (uma medida/hora) foram: 60, 65,

67, 68, 69, 70, 72, 77.

A amplitude deste conjunto e:

R = 77 − 60 = 17



5. Medidas de Dispers˜ ao 17

5.2 Variancia

A variancia de uma populacao de N elementos e a medida de dispersao definida como a

media do quadrado do desvios dos elementos em relacao a media.

Notacao:

• σ2 : variancia populacional.

• s2 : variancia amostral.

Assim, a variancia amostral e dada por:

s2 =

ni=1

(X i − X )2

n− 1. (5.2)

5.3 Desvio Padrao

O desvio padr˜ ao de um conjunto de dados e igual a raiz quadrada positiva da variancia.

Notacao:

• σ : desvio padrao populacional.

• s : desvio padrao amostral.

Assim, o desvio padrao amostral e dado por:

s =

σ2 =

N

i=1

(xi − x)2

n− 1. (5.3)

Exemplo 5.2. Considere a amostra dos comprimentos de 8 rolos de fio de aco cujos valores

foram: 65, 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68. Calcular o desvio padr˜ ao.

Para calcular o desvio padrao devemos primeiramente calcular a media x, isto e:

x = 65 + 72 + 70 + 77 + 60 + 67 + 69 + 688

= 68, 5.

Agora vamos subtrair x = 68, 5 de cada valor, elevar cada resultado ao quadrado e soma-los.



5. Medidas de Dispers˜ ao 18

(x− x) (x− x)2

65 - 68,5 = -3,5 (−3, 5)2 = 12,2572 - 68,5 = 3,5 (3, 5)2 = 12,2570 - 68,5 = 1,5 (1, 5)2 = 2,2577 - 68,5 = 8,5 (8, 5)2 = 72,25

60 - 68,5 = -8,5 (−8, 5)2 = 72,2567 - 68,5 = -1,5 (−1, 5)2 = 2,2569 - 68,5 = 0,5 (0, 5)2 = 0,2568 - 68,5 = 0,5 (0, 5)2 = 0,25

Total = 174,00

Entao dividimos o total dos quadrados pelo numero de valores menos 1, ou seja, por (n-1)

e extraımos a raiz quadrada:

174

7= 24 ⇒ s =

√24 ⇒ s = 4, 9

Portanto o desvio padrao e 4,9.



19

Capıtulo 6

Estatısticas Descritivas

Uma analise das estatısticas descritivas da amostra e fundamental para resumirmos algumas

informacoes sobre a populacao. Estas informacoes sao utilizadas para tomada de decisao e

formacao de modelos estatısticos parametricos.

• Mınimo(Min ): menor elemento da amostra;

• Maximo(Max ): maior elemento da amostra;

• Primeiro quartil (Q1) e terceiro quartil (Q3): o conjunto de dados com n observacoes eordenado em ordem crescente.

– Q1: numero que deixa 25% das observacoes abaixo e 75% acima, isto e, e a obser-

vacao de posicao (n+1)/4.

– Q3: numero que deixa 75% das observacoes abaixo e 25% acima, isto e, e a obser-

vacao de posicao 3(n+1)/4.

• Tri-Media: removemos os 5% maiores valores e os 5% menores valores, arredondados para

o maior inteiro, e entao a media e calculada.

• Skewness : medida de assimetria. Um valor negativo indica que uma skewness esta

tendida a esquerda e um valor positivo indica que a skewness esta tendida a direita. Um

valor nulo nao necessariamente indica simetria.

A formula da Skewness:

b1 = [(xi − x)/s]3

n

onde:



6. Estatısticas Descritivas 20

xi: e a n-esima observacao.

x: e a media das observacoes.

N : e o numero de executadas.

s: e o desvio padrao.

• Kurtosis: e a medida de quao diferente a distribuicao difere da distribuicao normal. Um

valor positivo costuma indicar um pico mais agudo, um corpo mais fino e uma calda mais

gorda que a calda da distribuicao normal. Um valor negativo indica um pico mais tenue,

um corpo mais grosso e uma calda mais fina que a da distribuicao normal.

A formula da Kurtosis:

b2 =N (N + 1)

(N − 1)(N − 2)(N − 3)

xi − x

s

4

− 3(N − 1)2

(N − 2)(N − 3)

onde:

xi: e a n-esima observacao.

x: e a media das observacoes.

N : e o numero de executadas.

S : e o desvio padrao.

Exemplo 6.1. Consideremos uma amostra dos comprimentos de 11 rolos de fio de a co cujos

valores s˜ ao: 72, 70, 77, 60, 67, 69, 68, 66, 65, 71, 69.

Os dados ordenados de forma crescente e: 60, 65, 66, 67, 68, 68, 69, 70, 71, 72, 77.

Os resultados serao:

Min = 60

Max = 77

A Tri-Media foi calculada retirando-se o maior e o menor valor do conjunto de dados e

calculamos a media dos 9 restantes, entao:

Tri-Media =65 + 66 + · · ·+ 72

9= 68, 56

Posicao do Q1 =11 + 1

4= 3 ⇒ Q1 = 66




Posicao do Q3 = 3

11 + 1

4

= 9 ⇒ Q3 = 71

Skewness:

b1 =1

n

(60 − 68, 55)3 + (65− 68, 55)3 + · · ·+ (77 − 68, 55)3

(4, 32)3

= −0, 028

Kurtosis:

b2 =11(12)

(10)(9)(8)

(60 − 68, 55)4 + (65 − 68, 55)4 + · · · + (77 − 68, 55)4

(4, 32)4

− 3(10)2

(9)(8)= 1, 53

6.1 Box-Plot

O Box Plot (grafico de caixa) e importante para descrever varios aspectos dos dados, entre

estes, apresentar de forma visual a diferenca entre o terceiro e primeiro quartil. O box plot e

formado pelo primeiro e terceiro quartil, e pela mediana. As linhas verticais s ao estendidas ate

os limites:

Limite inferior : Q1 − 1, 5(Q3 −Q1)

Limite superior : Q3 + 1, 5(Q3 − Q1)

Os pontos fora destes limites sao considerados valores discrepantes

(outliers) e sao denotados com um asterisco (*). A Figura 6.1 apresenta o formato do Box Plot.

Figura 6.1: Construcao do Boxplot

O Box-Plot pode ainda ser utilizado para uma comparacao visual entre dois ou mais grupos.

Por exemplo, duas caixas sao colocadas lado a lado e se compara a variabilidade entre elas, a




mediana e assim por diante.

Figura 6.2: Comparacao entre dois Boxplots



23

Capıtulo 7

Probabilidades

7.1 Introducao

Podemos classificar os fenomenos da natureza ou criados pelo homem em dois tipos: aleatorios

(casuais) e nao aleatorios (determinısticos). Lidaremos com os aleatorios, os quais nao sabemos

o resultado a priori. No entanto, podemos listar os possıveis resultados do fenomeno aleatorio,

que formarao um conjunto denominado de Espaco Amostral (S). Ao estudarmos uma carac-

terıstica da qualidade de um processo (ou produto), o espaco amostral consiste de todos os

valores possıveis que a caracterıstica da qualidade pode assumir.

Exemplo 7.1. Considere o experimento de lancar um dado e observar a face que cair para cima.

O espaco amostral e S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Considere um experimento no qual classificamos um

produto em conforme ou n˜ ao conforme. Neste caso, o espaco amostral e S = {Conforme, N˜ ao

conforme}. Outro experimento aleat´ orio consiste em contar o n´ umero de defeitos em uma peca

pintada (por exemplo). Neste caso, os possıveis resultados s˜ ao S = {0, 1, 2, 3, · · · }.

Relacionado a um experimento, como acima, uma serie de sentencas podem ser formuladas.

Estas sentencas sao denominadas Eventos.

Exemplo 7.2. Consideremos o lancamento do dado no exemplo 7.1. Podemos definir v´ arios

eventos. Alguns s˜ ao: A = “sair n´ umero par”, B = “sair n´ umero ımpar”, C = “sair n´ umero

maior do que 3”. Esses eventos podem ser representados, respectivamente, pelos conjuntos:

A = {2, 4, 6} , B = {1, 3, 5} e C = {4, 5, 6}. Considere o experimento de classificar a peca em

conforme ou n˜ ao, podemos definir como eventos, A = {Conforme}, B = {N˜ ao conforme}. Aocontarmos o n´ umero de defeitos em uma peca pintada, geralmente, estaremos interessados no

evento A = {Zero Defeito} = {0 }.



7. Probabilidades 24

7.2 Definicoes

De uma forma geral, qualquer subconjunto de um espaco amostral sera denominado Evento.

Os eventos sao denotados por letras maiusculas (A, B, C, ...). Outro aspecto importante da

teoria de probabilidade esta na manipulacao de eventos. Do ponto de vista pratico, os eventos

sao as sentencas (perguntas) que podemos formular sobre nosso experimento. Assim, desejamos

definir formas de manipular, ou seja, de operar estas sentencas. As tres operacoes basicas sao:

Uniao ( ∪ ) : A uniao de dois conjuntos quaisquer E e F contera todos os elementos de E

e de F , incluindo os elementos que sejam comum aos dois ou nao.

Interseccao ( ∩ ) : A interseccao de dois conjuntos quaisquer E e F contera os elementos

comuns a E e F.

Complementar (Ac) : O evento complementar ao evento A e o conjunto dos elementos do

espaco amostral que nao pertencem a A.

Exemplo 7.3. Consideremos o lancamento do dado no exemplo 7.2 . Temos:

a) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) A ∩ B = {} = φ conjunto vazio

c) A ∩ C = {4, 6} e A ∪ C = {2, 4, 5, 6}

d) C c = {1, 2, 3}

Na terminologia da teoria de conjuntos, o conjunto vazio e o conjunto composto por nenhum

elemento, que denotaremos por φ . Este conjunto esta contido em qualquer outro evento do

espaco amostral.

A probabilidade e uma forma de atribuirmos “pesos” relativo a ocorrencia dos eventos. A

probabilidade, que denotaremos por P, e uma funcao que tem domınio na classe de eventos e

tem como imagem numeros (pesos) entre 0 e 1. Alem disso, a probabilidade deve satisfazer

as seguinte regras. Considere um experimento, S o espaco amostral associado e P uma funcao

definida sobre a classe de eventos, tal que:

1. P (S ) = 1;

2. 0 ≤ P (A) ≤ 1;




3. Se A1,...,An sao mutuamente exclusivos, isto e, Ai

A j = ∅, i = j, entao P (

ni=1 Ai) =n

i=1 P (Ai).

Onde A e B sao eventos, isto e, subconjuntos do espaco amostral S. Qualquer funcao P que

atribua pesos a eventos associados a um espaco amostral e que satisfaca as propriedades (1) e

(2) acima sera denominada probabilidade.

Se os elementos de um espaco amostral S = e1, e2, · · · , en (finito) sao equiprovaveis, isto e,

todos os elementos do espaco amostral tem o mesmo “peso” (probabilidade) de ocorrer, temos

que

P ({

ei

}) =

1

n

Neste caso, podemos definir a probabilidade de um evento E = {ej1, · · · ,ejk}, composto

por k (com k menor que n) elementos, como sendo:

P (E ) =numero de casos favoraveis a E

numero de casos possıveis de S=

k

n

Exemplo 7.4. Considere o lancamento do dado descrito nos exemplos 7.2 e o 7.3. Neste caso,

os elementos do espaco amostral S ={

1, 2, 3, 4, 5, 6}

s˜ ao equiprov´ aveis, pois cada resultado tem

a mesma chance de ocorrer, isto e,

P ({1}) = P ({2}) = P ({3}) = P ({4}) = P ({5}) = P ({6}) =1

6

Assim, temos que

P (A) = P ({2, 4, 6}) = P ({2}) + P ({4}) + P ({6}) = 16 + 16 + 16 = 36

Com isso, obtemos que a probabilidade de ocorrer o evento A e igual ao n´ umero de elementos

favor´ aveis a A = {2, 5, 6} que e 3 (pois A tem 3 elementos) dividido pelo n´ umero de elementos

no espaco amostral que e 6. Desta forma, obtemos

P (A) =3

6, P (B) =

3

6, P (C ) =

3

6

P (A ∪B) =6

6= 1 , P (A ∩B) =

0

6= 0




P (A ∪ C ) =4

6, P (A ∩ C ) =

2

6

Uma propriedade importante para calcularmos a probabilidade de ocorrencia de eventos

associados ao experimento e a regra da soma (uniao) de dois eventos.

Regra da Soma: a probabilidade da uniao de dois eventos E e F pode ser calculada por

P (E ∪ F ) = P (E ) + P (F )− P (E ∩ F )

Exemplo 7.5. Considere o exemplo 7.4. Queremos calcular P (A

∪C ). Temos

P (A ∪ C ) = P (A) + P (C )− P (A ∩ C ) =3

6+

3

6− 2

6=

4

6

Outra propriedade muito importante para a teoria de probabilidade e a independencia entre

dois eventos. Na pratica, dois eventos sao independentes quando a ocorrencia de um evento nao

influencia na ocorrencia ou nao do outro evento. Do ponto de vista probabilıstico, definimos:Independencia: Dois eventos E e F sao ditos “independentes” se

P (E ∩ F ) = P (E )× P (F )

Exemplo 7.6. Uma caixa contem 10 pecas, sendo 7 boas (B) e 3 defeituosas (D). Retiramos

duas pecas, ao acaso e com reposic˜ ao, para inspec˜ ao. Qual a probabilidade de se obter duas

pecas defeituosas?

Resposta:

O experimento de realizar a primeira retirada tem como espaco amostral S 1 = {D1; B1} e

a segunda retirada tem como espaco amostral S 2 = {D2; B2}, onde Di significa que retiramos

uma peca Defeituosa na i-esima retirada e Bi significa que retiramos uma peca Boa na i-esima

retirada, para i = 1, 2. Alem disso, temos que

P (D1) = P (D2) =3

10

e P (B1) = P (B2) =7

10Pois as duas pecas s˜ ao retiradas ao acaso e com reposic˜ ao, isto e, ap´ os retirarmos a primeira

peca, esta e a resposta a caixa para que possamos efetuar a segunda retirada. Associamos ao




experimento de retirar duas pecas ao acaso e com reposic˜ ao o espaco amostral

S = {(D1, B2); (B1, D2); (D1, D2); (B1, B2)} .

Desde que a primeira e a segunda retiradas s˜ ao executadas de forma independente, temos que

P [(D1; D2)] = P (D1 ∩ D2) = P (D1)× P (D2) =3

10× 3

10=

9

100

Muitas vezes precisamos calcular a probabilidade da ocorrencia de dois eventos simultane-

amente. Para efetuarmos tal calculo, introduzimos o conceito de probabilidade condicional.

Probabilidade Condicional: A probabilidade de ocorrer um evento E dado que ocorreu

um evento F e dada por

P (E / F ) =P (E ∩ F )

P (F )

Dessa relacao sai a Regra do Produto que e dada por

P (E ∩ F ) = P (F ) × P (E / F )

Com isso, concluımos que a probabilidade de ocorrencia simultanea dos eventos E e F e

igual a probabilidade de ocorrencia do evento F (ou E) vezes a probabilidade de ocorrencia do

evento E (ou F) dado que ocorreu o evento F (ou E).

Exemplo 7.7. Considere o exemplo 7.6, mas agora as retiradas ser˜ ao feitas sem reposic˜ ao, isto

e, a primeira peca retirada n˜ ao volta ao lote para retirarmos a segunda peca. A probabilidade

de se retirar duas pecas defeituosas e dada por:

P (D1 ∩ D2) = P (D1) × P (D2 / D1) =3

10× 2

9=

6

90

Exercıcio 7.1. Considere um processo que apresenta 8% de defeituosos. Duas pecas s˜ ao sele-

cionadas ao acaso e classificadas em defeituosas ou n˜ ao.

a) Qual o espaco amostral associado ao experimento de selecionar duas pecas e classific´ a-las?

b) Qual a probabilidade de obtermos duas pecas defeituosas?




Exercıcio 7.2. Considere um processo composto por duas etapas. A etapa I apresenta 5%

de pecas defeituosas, enquanto que a etapa II apresenta 9% de pecas defeituosas. Qual a

probabilidade do processo fornecer uma peca sem defeito?

7.3 Distribuicao de Probabilidade Discreta

A distribuicao de probabilidades de uma variavel aleatoria discreta X , definida em um

espaco amostral (S), e uma tabela que associa a cada valor de X sua probabilidade.

Exemplo 7.8. Considere que uma moeda e lancada duas vezes. Seja X a func˜ ao definida no

espaco amostral que e igual ao n´ umero de caras nos dois lancamentos ( C - Cara e C - Coroa).

Temos ent˜ ao: Os valores das probabilidades, na tabela acima, s˜ ao obtidos da seguinte maneira:

Valores de X Pontos amostrais Probabilidades

0 CC 1/41 CC,CC 1/22 CC 1/4

Tabela 7.1: Tabela do Exercıcio

P [X = 0] = P (CC ) = 14

P [X = 1] = P (CC ) + P (CC ) =1

2

P [X = 2] = P (CC ) =1

4

7.3.1 Funcao de Distribuicao Acumulada

O conceito de funcao de distribuicao acumulada que introduziremos aplica-se tanto a variaveis

aleatorias discretas quanto a variaveis aleatorias contınuas. A funcao de distribuicao acumulada

nos da outra maneira de descrever como as probabilidades sao associadas aos valores ou aos

intervalos de valores de uma variavel aleatoria.

Definicao 7.3.1. A func˜ ao de distribuic˜ ao acumulada de uma vari´ avel aleat´ oria X e uma

func˜ ao que a cada n´ umero real x associa o valor:

F (x) = P [X ≤ x]




A notacao [X ≤ x] e usada para designar o conjunto {ω ∈ S : X (ω) ≤ x}, isto e, denota a

imagem inversa do intervalo (−∞, x] pela variavel aleatoria X .

Lema 7.3.1. A func˜ ao de distribuic˜ ao acumulada de uma vari´ avel aleat´ oria X satisfaz as

seguintes condic˜ oes:

1. 0 ≤ F (x) ≤ 1

2. F (x) e n ao decrescente e contınua a direita

3. limx→−∞ F (x) = 0 e limx→∞ F (x) = 1

7.3.2 Relacao entre a Funcao de Distribuicao Acumulada e a Dis-tribuicao de Probabilidade Discretas

Seja X uma variavel aleatoria discreta cuja distribuicao de probabilidade associa aos valores

x1, x2, . . . , xn

as respectivas probabilidades

P [X = x1], P [X = x2], . . . , P [X = xn]

.

Como os valores de X sao mutuamente exclusivos, temos que:

F (x) =

P [X = xi]

Assim, dada a distribuicao de probabilidade de uma variavel aleatoria discreta sua funcao

de distribuicao acumulada fica determinada.

7.3.3 Esperanca de Variaveis Aleatorias Discretas

Definicao 7.3.2. A esperanca matem´ atica de uma vari´ avel aleat´ oria discreta X que assume

os valores xi, com respectivas probabilidades P [X = xi], para i = 1, 2, . . . , e dada por:

E (X ) =

xiP [X = xi] (7.1)




Lema 7.3.2. Se as esperancas das vari´ aveis aleat´ orias X e Y existem, ent˜ ao existe a esperanca

de X + Y e se c e uma constante tem-se:

E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )

E (cX ) = cE (X )

7.3.4 Variancia de Variaveis Aleatorias Discretas

Definicao 7.3.3. A variancia de uma vari´ avel aleat´ oria discreta X e definida por:

V ar(X ) = E (X −E (X ))2 (7.2)

ou

V ar(X ) = E (X 2)− (E (X ))2

7.4 Modelos Probabilısticos DiscretosAgora iremos apresentar alguns dos principais modelos probabilısticos utilizados para de-

screver varios fenomenos ou situacoes que encontramos na natureza ou ainda experimentos por

nos construıdos.

Na pratica, nossos experimentos consistem em medir etapas de um processo. Como resulta-

dos destas medicoes obtemos valores numericos ou atributos, que caracterizam a performance

do processo. Os resultados das medicoes sao denominados variaveis aleatorias.

7.4.1 Distribuicao Binomial

Quando queremos classificar um lote de 20 pecas em defeituosas ou nao, e contamos o

numero de pecas defeituosas, associamos uma variavel aleatoria X , que representa este numero

de pecas defeituosas.

Esta variavel pode assumir, por exemplo, valores 0, 1, 2, · · · , 20. Associado a uma variavel

aleatoria, assumindo um numero finito (ou infinito enumeravel) de valores, definimos a funcaode probabilidade da variavel aleatoria X , como a probabilidade da variavel X assumir o valor

x. A funcao de probabilidade sera denotada por P [X = x].




Como o leitor deve ter notado, em todas as situacoes descritas cada elemento da populacao

e classificado segundo possua ou nao uma dada caracterıstica.

Para construir o modelo binomial vamos introduzir uma sequencia de ensaios de Bernoulli.

Uma sequencia de Bernoulli e definida por meio das tres condicoes seguintes:

i. Em cada ensaio considera-se somente a ocorrencia ou nao-ocorrencia de um certo evento

que sera denominado sucesso (S) e cuja nao ocorrencia sera denominada falha (F).

ii. Os ensaios sao independentes.

iii. A probabilidade de sucesso, que denotaremos por p, e a mesma para cada ensaio. A

probabilidade de falha sera denotada por 1 - p.

Para um experimento que consiste na realizacao de n ensaios de Bernoulli, o espaco amostral

pode ser considerado como o conjunto de n -uplas de comprimento n , em que cada posicao ha

um sucesso (S) ou uma falha (F).

Pelas condicoes 2 e 3 vemos que a probabilidade de um ponto amostral com sucessos nos

k primeiros ensaios e falhas nos n − k ensaios seguintes e pk(1 − p)n−k. Note que esta e a

probabilidade de qualquer ponto com k sucessos e n-k falhas. O numero de pontos do espaco

amostral que satisfaz essa condicao e igual ao numero de maneiras com que podemos escolher k

ensaios dentre os n para a ocorrencia de sucesso, pois nos n-k restantes deverao ocorrer falhas.

Este numero e igual ao numero de combinacoes de n elementos tomados k a k , ou seja

n

k

.

Decorre do que foi exposto que, para k = 0,1,. . . ,n:

P [X = k] =

n

k

pk(1 − p)n−k. (7.3)

A formula 7.3 e denominada distribuicao binomial com parametros n e p, onde n e o numero

de ensaios e p a probabilidade de sucesso em cada ensaio.

O numero de sucessos X em n ensaios de Bernoulli pode ser representado por meio de

variaveis aleatorias associadas a cada ensaio, que assumem valores zero ou 1.

Seja X i = 1 se ocorre sucesso no i-esimo ensaio e X i = 0 se ocorre falha, para i = 1, 2, . . . , n.

Entao X pode ser expresso da seguinte maneira:

X = X 1 + X 2 + · · ·+ X n.




Como motivacao, suponha que estamos interessados em retirar o numero 4 ao lancar um

dado. Se ocorrer o no 4 diremos que ocorreu SUCESSO, caso contrario, diremos que ocorreu

FRACASSO. Assim temos

P (SUCESSO) =1

6e P (FRACASSO) =

5

6

Suponha agora que lancemos o dado 5 vezes. E claro que o resultado de um lancamento

independe do anterior, do posterior ou de qualquer outro lancamento.

Digamos que estamos interessados em calcular a probabilidade de obter o no 4, duas vezes.

Podemos obter o no 4, duas vezes de varias maneiras. Uma maneira e (a nao ocorrencia de 4

sera denotada por 0):

4 4 0 0 0 com probabilidade1

6× 1

6× 5

6× 5

6× 5

6=

1

6

2

×

5

6

3

Uma outra maneira e

4 0 4 0 0 com probabilidade1

6× 5

6× 1

6× 5

6× 5

6=

1

6

2

×

5

6

3

com probabilidade igual a anterior. Assim, qualquer sequencia contendo o no 4, duas vezes e tres

outros valores quaisquer tem a mesma probabilidade. Como qualquer uma dessas sequencias

serve ao nosso interesse, a probabilidade procurada e a soma das probabilidades de todas as

sequencias. Precisamos saber entao quantas sequencias existem. A resposta e dada por:

C (5, 2) =5!

2! × (5 − 2)!= 10

onde 5! = 5×

4×

3×

2×

1 = 120 (fatorial de 5) . O numero C (i, j) corresponde ao numero de

vezes que podemos combinar i elementos em subgrupos de j, com j menor ou igual a i.

Assim temos

P (no 4 duas vezes) = 10×

1

6

2

×

5

6

3

Agora vamos generalizar esse resultado. Suponha um experimento com apenas dois resul-

tados possıveis: SUCESSO e FRACASSO, tal que P (SUCESSO) = p e P (FRACASSO) =

1− p = q . Vamos repetir esse experimento n vezes e estamos interessados em obter k SUCES-

SOS, e consequentemente n−k FRACASSOS. O numero de sucessos a serem obtidos e variavel

e o chamaremos de X. Assim temos que




P (X = k) = C (n, k) × pk × (1 − p)n−k

onde k = 0, 1, 2, · · · , n e

C (n, k) = n!k! × (n− k)!

.

Exemplo 7.9. Suponha que numa linha de produc˜ ao a probabilidade de se obter uma peca

defeituosa (sucesso) e p = 0, 1. Toma-se uma amostra de 10 pecas para serem inspecionadas.

Qual a probabilidade de se obter:

a) Uma peca defeituosa?

b) Nenhuma peca defeituosa?

c) Duas pecas defeituosas?

d) No mınimo duas pecas defeituosas?

e) No m´ aximo duas pecas defeituosas?

Solucao:

a) P (X = 1) = C (10, 1) × (0, 1)1 × (1 − 0, 1)10−1 = 10!1!×(10−1)!

× 0, 1× (0, 9)9 = 0, 3874

b) P (X = 0) = C (10, 0) × (0, 1)0 × (1 − 0, 1)10−0 = 10!0!×(10−0)!

× (0, 9)10 = 0, 3486

c) P (X = 2) = C (10, 2)× (0, 1)2 × (1− 0, 1)10−2 = 10!2!×(10−2)!

× (0, 1)2 × (0, 9)8 = 0, 1937

d) P (X ≥ 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) ou P (X ≥2 ) = 1 − [P (X = 0 ) + P (X = 1)] = 0, 2639

e) P (X ≤ 2) = P (X = 0 ) + P (X = 1) + P (X = 2) = 0, 9298

Uma caracterıstica de uma variavel aleatoria X e o seu valor esperado, que e denotado por

E [X ]. O valor esperado representa o numero medio de pecas defeituosas em uma amostra de

pecas. Por definicao, temos que

E [X ] =n

k=0

k × P (X = k)

Considerando X com distribuicao binomial, entao




E [X ] =n

k=0

k × C (n, k) × pk × (1 − p)n−k = n× p

Para uma amostra de tamanho 10 e p = 0.1 , obtemos que

E [X ] = n× p = 10 × 0, 1 = 1

e a variancia Var[X] corresponde ao valor medio quadratico em torno de E[X], ou seja

V ar[X ] = E (X − E [X ])2 = E [X 2] − (E [X ])2 = n × p× (1 − p)

Para o exemplo, temos que

σ2x = V ar[X ] = n × p× (1 − p) = 10 × 0, 1× 0, 9 = 0, 9

e o desvio padrao e

σx =

σ2x = 0, 9487

Exercıcio 7.3. Considere uma linha de montagem que apresenta 6% de produtos defeituosos.

Em um lote de 50 produtos calcule a probabilidade de:

a) Encontrarmos nenhum produto defeituoso;

b) Obtermos dois produtos defeituosos;

c) Obtermos dois ou mais produtos defeituosos;

d) Qual o n´ umero esperado de produtos defeituosos em um lote de 200 produtos?

e) Calcular tambem o desvio padr˜ ao.

7.4.2 Distribuicao de Poisson

Na distribuicao binomial quando o tamanho da amostra n e grande (n →∞) e p e pequeno

( p → 0) , o calculo da probabilidade

P (X = k) = C (n, k) × pk × (1 − p)n−k




pode ser feito usando a seguinte expressao

P (X = k) =e−λ × λk

k!

onde k = 0, 1, 2, 3, · · · , e = 2, 718 e λ = n× p.

Essa expressao e devido a Poisson e e muito usada para calcular probabilidades de ocorrencias

de defeitos “raros” em sistemas e componentes. O numero de defeitos e a variavel representada

por X . A media de X e dada por:

µx = E (X ) =∞

k=0

k × P (X = k) =∞

k=0

k × e−λ × λk

k!= λ

que frequentemente e chamada de taxa de defeitos. A variancia de X e dada por:

σ2x = E (X 2) − [E (X )]2 = λ

e o desvio padrao e:

σx =

σ2x =

√λ

Exemplo 7.10. Para um processo que mantem uma taxa de 0,2 defeitos por unidade. Qual a

probabilidade de uma unidade qualquer apresentar:

a) Dois defeitos?

b) Um defeito?

c) Zero defeito?

Resposta:

Temos que λ = 0, 2 , entao

a) P (X = 2) = e−0,2×(0,2)2

2!= 0, 0164

b) P (X = 1) = e−0,2×(0,2)1

1!= 0, 1637

c) P (X = 0) = e−0,2×(0,2)0

0!= 0, 8187

esse ultimo valor, P (X = 0), e chamado de “rendimento” do processo (ou produto).




Exercıcio 7.4. Suponha que temos um produto composto por tres componentes A, B e C. A

taxa de ocorrencia de defeitos do componente A e de 0,02, do componente B e de 0,04 e do

componente C e de 0,03. Calcule a probabilidade do produto apresentar zero defeito.

7.4.3 Distribuicao Geometrica

Consideremos uma sequencia ilimitada de Bernoulli, com probabilidade de sucesso p em

cada ensaio. Designemos sucesso por S e falha por F . Realizamos os ensaios ate que ocorra o

primeiro sucesso.

O espaco amostral para este experimento e o conjunto :

(S, FS, FFS, . . ., FF, . . ., FS, . . .)

Um elemento tıpico desse espaco amostral e uma sequencia de comprimento n em que nas

primeiras n− 1 posicoes temos F e na n-esima temos S .

Seja X a variavel aleatoria que da o numero de falhas que precedem o primeiro sucesso. A

distribuicao de probabilidade de X e dada por

P [X = j] = (1 − p) j p , j = 0, 1, . . . . (7.4)

O evento [X = j] ocorre se e somente se ocorrem somente falhas nos j primeiros ensaios e

sucesso no ( j + 1)-esimo ensaio. A expressao 7.4 segue da independencia dos ensaios. Vamos

calcular E (X ) a partir da definicao. No Calculo de E (X ), utilizaremos uma expressao que vale

a pena destacar, pois e de interesse geral.

Para todo numero real x no intervalo (0,1) consideremos a serie geometrica cuja soma e

dada a seguir:

∞i=0

xi = 11 − x (7.5)

Derivando-se ambos os membros da igualdade, temos:

d

dx

xi =

ix(i−1) =

1

(1 − x)2. (7.6)

Usando-se a definicao de esperanca temos:

E (X ) =

j(1 − p) j p = p

j(1 − p) j = p(1 − p)

j(1 − p) j−1 =p(1 − p)

p2. (7.7)




Observe que utilizamos 7.6 e x = 1− p para obter a ultima desigualdade acima. Simplificando

vem:

E (X ) =

1

− p

p (7.8)

Usando a expressao podemos calcular E (X 2) e obter a variancia de X . Sugerimos ao leitor

que faca esse calculo que fornecera:

V ar[X ] =1− p

p2(7.9)

A distribuicao geometrica tem uma propriedade que serve para caracteriza-la no conjunto

das distribuicoes discretas, que e expressa no seguinte lema:

Lema 7.4.1. Se X e vari avel aleat´ oria discreta com distribuic˜ ao geometrica, ent˜ ao, para todo

j, k = 1, 2, . . . tem-se:

P [X ≥ j + k|X ≥ j] = P [X ≥ k]

Este Lema reflete a falta de memoria ou de desgaste da distribuicao geometrica.

Exemplo 7.11. A durac˜ ao (em centenas de horas) de um determinado componente eletronico,

foi modelada por uma distribuic˜ ao geometrica com parametro p=0,8. Determine a probabilidade

desse componente eletronico:

a. Durar menos de 400 horas.

b. Durar mais de 500 horas.

Duracao em horas(centenas) Probabilidade Acumulada0 0,8000 0,80001 0,1600 0,96002 0,0320 0,99203 0,0064 0,99844 0,0013 0,99975 0,0003 0,9999

Tabela 7.2: Tabela de probabilidade da distribuicao geometrica

Solucao:




a. Para tal temos :P [X = k] = (1 − p)k.p, agora para a

P [X ≥ 400horas] = P [X = 0] + P [X = 1] + P [X = 2] + P [X = 3]

= (1 − 0, 8)0 × (0, 8) + (1− 0, 8)1 × (0, 8) + (1− 0, 8)2 × (0, 8) + (1 − 0, 8)3 × (0, 8)

= 0, 800000 + 0, 160000 + 0, 032000 + 0, 006400 = 0, 9984

b. Para tal temos :P [X = k] = (1 − p)k.p, agora para a

P [X ≥ 500horas] = 1− P [X = 5]

= 1− (1 − 0, 8)5 × (0, 8)

= 1 − 0, 999936 = 0, 000064

7.4.4 Distribuicao Hipergeometrica

Essa distribuicao representa um modelo para amostragem sem reposicao de uma populacao

com um numero finito de elementos, em que cada elemento pode ser de um de dois tipos. Se a

populacao tem N elementos, M de um tipo e N −M do outro. Entao podemos mostrar que a

distribuicao de probabilidade da variavel aleatoria X e dada por:

P [X = k] =

M

k

N − M

n− k

N

n

,

onde

max{0, n− (N − M )} ≤ k ≤ min{M, n}

Por exemplo, suponha uma urna contendo M bolas brancas e N − M bolas vermelhas.

Retira-se da urna n bolas sem reposicao, isto e, apos cada retirada a bola selecionada nao e

reposta na urna. Vamos designar X o numero de bolas brancas entre as n bolas retiradas da

urna. Para justificar os limites, notemos que o numero de bolas brancas na amostra k e menor

ou igual ao numero de bolas brancas na urna M e tambem menor ou igual ao numero de bolas




na amostra n, portanto menor ou igual ao menor deles. Se o tamanho da amostra n e menor

ou igual ao numero de bolas vermelhas N − M , entao na amostra todas podem ser vermelhas

e portanto k = 0. Se n ≥ (N −M ), entao mesmo que todas as (N −M ) vermelhas pertencam

a amostra, havera n− (N − M ) brancas na amostra.O espaco amostral para esse experimento e formado pelo conjunto das amostras nao orde-

nadas de n bolas retiradas das N , ou o que e o mesmo, pelo conjunto das combinacoes de N

elementos tomados n a n, cuja representacao e igual a:

N

n

Existem M

k

combinacoes de k bolas brancas retiradas das M e N −M

n− k

com-

binacoes de n − k vermelhas retiradas das N − M . Assim o numero de combinacoes com k

brancas e n− k vermelhas e o produto:

M

k

N − M

n− k

Mostramos assim a Distribuicao de Probabilidade da Hipergeometrica.

Se X segue uma distribuicao Hipergeometrica com parametros N − 1, M − 1 e n − 1,

entao a Esperanca e dada por:

E (X ) = n.M

N

e a Variancia e dada por:

V ar(X ) = nM

N

N − M

N

1− n− 1

N − 1

Exemplo 7.12. Uma empresa fabrica um tipo de tomada que s˜ ao embalados em lote de 25

unidades. Para aceitar o lote enviado por essa f´ abrica, o controle de qualidade da empresa

tomou o seguinte procedimento. Sorteia um lote e desse lote seleciona 8 tomadas para teste,

sem reposic˜ ao. Se constatar no m´ aximo duas defeituosas, aceita o lote fornecido pelo fabrica.

Se a caixa sorteada tivesse 7 pecas defeituosas, qual seria a probabilidade de rejeitar o lote?

N=25, n=8 (tamanho da amostra) e r=7 (n ◦ de defeituosas).

Solucao:




P [aceitar o lote] = P [D ≤ 2] = P [D = 0] + P [D = 1] + P [D = 2]

= 7

0 25

−7

8 − 0 25

8

+ 7

1 25

−7

8− 1 25

8

+ 7

2 25

−7

8 − 2 25

8

= 0, 0010069

7.5 Exercıcios

Nestes quatro capıtulos iniciais, discutimos a estrategia de rompimento para a melhoria

contınua e metodos estatısticos para contagem de pecas defeituosas. Abaixo, vamos revisar

alguns destes conceitos atraves de exercıcios.

Exercıcio 7.5. Uma instalac˜ ao e constituıda por duas caldeiras e uma m´ aquina. Esta in-

stalac˜ ao funciona se a m´ aquina e pelo menos uma das caldeiras estiver funcionando. Sejam os

eventos:

• A: M´ aquina em condic˜ oes de funcionamento;

• B1: A caldeira 1 est´ a em condic˜ oes de funcionamento;

• B2: A caldeira 2 est´ a em condic˜ oes de funcionamento;

• C: A instalac˜ ao est´ a em condic˜ oes de funcionamento;

Expresse o evento C e o evento C c (complementar) em termos dos eventos A e Bk ( k = 1, 2).

Exercıcio 7.6. Utilizando a mesma notac˜ ao do exercıcio 7.5, se P (A) = 0, 95, P (B1) = 0, 78

e P (B2) = 0, 85, qual a probabilidade da instalac˜ ao n˜ ao estar em condic˜ oes de funcionamento?

Exercıcio 7.7. Um lote e formado por 10 pecas boas, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos

graves. Uma peca e escolhida ao acaso. Ache a probabilidade de que:

a) A peca seja defeituosa;

b) A peca n˜ ao tenha defeito grave;

c) A peca seja boa ou tenha defeito grave;




Exercıcio 7.8. Atraves de dados hist´ oricos, sabemos que a proporc˜ ao de pecas defeituosas em

uma f´ abrica e de 6%. Um lote de 30 pecas e retirado da produc˜ ao:

a) Qual a probabilidade de encontrarmos nenhuma peca defeituosa na amostra?

b) Qual a probabilidade de encontrarmos duas ou mais pecas defeituosas na amostra?

c) Qual o n´ umero esperado de pecas defeituosas na amostra e qual o seu desvio padr˜ ao?

Exercıcio 7.9. No processo de fundic˜ ao de pecas, o problema de descontinuidades na peca

(´ oxido, bolha, poros, entre outros) pode sucatear a peca. Utilizando dados hist´ oricos, sabemos

que a taxa de ocorrencia de descontinuidades por peca e de 0,2. Qual a probabilidade de obter-

mos uma peca com zero descontinuidades? Em um lote de 200 pecas, qual o n´ umero esperado

de descontinuidades?

7.6 Distribuicoes de Probabilidade Continua

As variaveis aleatorias contınuas, como o tempo de duracao de uma chamada telefonica num

dado instante assumem valores na reta ou em intervalos da reta. Nao podemos esperar que

possamos atribuir probabilidades aos valores de uma variavel contınua da mesma maneira que o

fizemos para as variaveis discretas, pois a soma de uma quantidade nao enumeravel de numeros

positivos nao poderia ser igual a um. Entao podemos atribuir probabilidades a intervalos de

valores da variavel contınua por meio de uma funcao. E uma funcao nao negativa tal que sua

integral num dado intervalo e igual a probabilidade da variavel pertencer ao intervalo. Impoe-se

ainda a condicao de que a integral estendida a reta toda seja igual a um, pois ao ser realizado

o experimento algum evento ocorre.

Definicao 7.6.1. A func˜ ao densidade de probabilidade de uma vari´ avel aleat´ oria contınua e

uma func˜ ao f (x) ≥ 0, tal que:

+∞

−∞f (x)dx = 1




7.6.1 Relacao entre a Funcao de Distribuicao Acumulada e a Funcao

densidade de Probabilidade Contınua

Para uma variavel aleatoria contınua com densidade de probabilidade f (x) podemos obter

a funcao de distribuicao F (x) integrando-se a densidade de probabilidade,

F (x) = P [X ≤ x] =

x

−∞f (y)dy

Se a densidade f (x) for contınua no seu campo de definicao, entao decorre do teorema

fundamental do calculo que:

F (1)(x) = f (x)

7.6.2 Esperanca de Variaveis Aleatorias Contınuas

Definicao 7.6.2. A esperanca matem´ atica de uma vari´ avel aleat´ oria contınua X , com densi-

dade de probabilidade f (x) e dada por:

E (X ) = ∞

−∞ xf (x)dx

7.6.3 Variancia de Variaveis Aleatorias Contınuas

Definicao 7.6.3. A variancia de uma vari´ avel aleat´ oria contınua X e definida por:

V ar(X ) = E (X −E (X ))2

ou

V ar(X ) = E (X 2)− (E (X ))2

7.7 Modelos Probabilısticos Contınuos

Agora apresentaremos os modelos probabilısticos descritos por variaveis aleatorias que pos-

suem uma densidade de probabilidade. Cada modelo corresponde a uma famılia de distribuicoesde probabilidade, expressa por densidades de probabilidade que dependem de um ou mais

parametros.




7.7.1 Distribuicao Uniforme

Definicao 7.7.1. A vari´ avel aleat´ oria X tem distribuic˜ ao uniforme no intervalo [a, b] se sua

densidade de probabilidade for dada por:

f (x) =1

b− a

para a ≤x ≤ b e f (x) = 0 fora desse intervalo

Figura 7.1: Grafico da funcao densidade de probabilidade da Uniforme

Vamos calcular a expressao 7.10.

E (X ) =

x

1

b

−a

dx =a + b

2(7.10)

O segundo momento de X e dado por:

E (X 2) =1

b− a

b

a

x2dx =a2 + ab + b2

3(7.11)

Substituindo os valores dados por 7.10 e 7.11 na expressao 7.12 obtemos a variancia de X

V ar(X ) = E (X 2) − (E (X ))2 =(b− a)2

12. (7.12)

Vamos descrever um experimento cujo resultado nos da a distribuicao uniforme no intervalo

(0, 2π). Consideremos um segmento de comprimento 2π. Vamos unir as duas pontas desse

segmento e formar um cırculo de raio unitario. O comprimento desse cırculo e precisamente de

2π. Vamos fixar um ponteiro no centro desse cırculo e vamos entao gira-lo, observando ate que

ele venha a parar. Por razoes de simetria nos vemos que a chance do ponteiro parar de girar

em qualquer arco do cırculo e a mesma para qualquer arco de um comprimento dado. Seja X

o comprimento do arco determinado pela origem e pelo ponto onde o ponteiro parar. Assim

temos uma variavel aleatoria com distribuicao uniforme no intervalo (0, 2π).




Se quisermos obter a distribuicao uniforme no intervalo [a, b] basta por b−a = 2πr, construir

um cırculo de raio r = b−a2π

e proceder da maneira descrita.

Exemplo 7.13. A ocorrencia de panes em qualquer ponto de uma rede telefonica de 7 km foi

modelada por uma distribuic˜ ao Uniforme entre [0 e 7]. Qual e a probabilidade de que uma pane

venha a ocorrer nos primeiros 800 metros? E de que ocorra nos 3 km centrais da rede?

Solucao:A funcao densidade da distribuicao Uniforme e dada por f (x) = 17

, 0 ≤ x ≤ 7.

Assim,

P [X ≤ 0, 8] =

0,8

0

f (x)dx =0, 8 − 0

7= 0, 1142.

P [2 ≤ x ≤ 5] =

5

2

f (x)dx = P [X ≤ 5] − P [X ≤ 2] =5

7− 2

7=

5− 2

7= 0, 4285.

7.7.2 Distribuicao Normal

Uma variavel aleatoria X com distribuicao normal tem funcao densidade de probabilidade

em forma de “sino”, como abaixo

A funcao densidade de probabilidade e definida por:

f (x) = 1√2πσ2

exp −12x − µ

σ2 , x ∈ (−∞, +∞)

Alem disso,

µ = E [X ] =

∞−∞

f (x)dx ∈ (−∞, +∞) e σ2 = E [X 2]− (E [X ])2 ∈ [0, +∞)

Se tomarmos µ = 0 e σ = 1, dizemos que a variavel aleatoria tem distribuicao normal padrao.

Abaixo, apresentamos o grafico da funcao densidade da normal e algumas areas (probabilidades)

importantes.




Quando µ e σ sao desconhecidos, como geralmente acontece, sao substituıdos por x e s,

respectivamente, a partir da amostra.

x = x1 + x2 + . . . + xnn

s =

1

n− 1

ni=1

(xi − x)2

Para cada valor de µ e/ou σ , temos uma distribuicao. Mas para se calcular areas es-

pecıficas, se faz uso de uma distribuicao particular: a “distribuicao normal padronizada”. Esta

distribuicao tem media µ = 0 e desvio padrao σ = 1, e esta tabelada. Como a distribuicao esimetrica em relacao a media, a area a direita e igual a area a esquerda de µ. Assim, as tabelas

fornecem areas acima de valores nao-negativos que vao desde 0.00 ate 4.09, dependendo da

tabela.

Se X e uma variavel aleatoria com distribuicao normal, com media e desvio padrao quaisquer,

podemos reduzir X a uma variavel aleatoria normal com media zero e variancia σ2, na forma:

Z =

X

−µ

σ (7.13)

Exemplo 7.14. Considere X uma vari´ avel aleat´ oria Normal com media 11,15 e desvio-padr˜ ao

2,238. Para calcularmos a probabilidade de X ser menor que 8,7 procedemos:

P [X < 8, 7] = P

8, 7 − 11, 15

2, 238

= P [Z < −1, 0947] = 0, 1368 = 13, 7% (7.14)




7.8 Modelos Probabilısticos para o Tempo de Falha

Existe uma serie de modelos probabilısticos utilizados em analise de dados de confiabili-

dade, alguns destes modelos ocupam uma posicao de destaque por sua comprovada adequacao

a varias situacoes praticas. Entre estes modelos podemos citar o Exponencial, Weibull, Valor

Extremo ou Gumbel, o Log-normal. E importante entender que cada distribuicao de probabili-

dade pode gerar estimadores diferentes para caracterısticas de durabilidade do produto. Desta

forma, a utilizacao de um modelo inadequado levara a erros grosseiros nas estimativas destas

quantidades. A escolha de um modelo adequado para descrever o tempo de falha de um deter-

minado produto deve ser feita com bastante cuidado. Uma funcao que sera utilizada inumeras

vezes para descrever dados de tempo de falha e a funcao taxa de falha. A funcao taxa de falha

no intervalo [t1, t2) e definida como a probabilidade de que a falha ocorra nesse intervalo, dado

que esta falha nao ocorreu antes de t1, dividida pelo comprimento do intervalo. A taxa de falha

no intervalo [t1, t2) e expressa por:

h(t) =R(t1) −R(t2)

(t2 − t1)R(t1),

onde R(t) e a funcao de confiabilidade.

No caso de distribuicoes contınuas, a expressao para taxa de falha e dada por:

h(t) =f (t)

R(t)

7.8.1 Distribuicao Exponencial

Esta e uma distribuicao que se caracteriza por ter uma funcao de taxa de falha constante.

A distribuicao exponencial e a unica com esta propriedade. Ela e considerada uma das maissimples em termos matematicos. Esta distribuicao tem sido usada extensivamente como um

modelo para o tempo de vida de certos produtos e materiais. Ela descreve adequadamente o

tempo de vida de oleos isolantes e dieletricos entre outros. A funcao densidade para um tempo

de falha T com distribuicao exponencial e dada por

f (t) =1

αexp(−t/α) (7.15)

onde α ≥ 0 e o tempo medio de vida. O parametro tem a mesma unidade do tempo da falha

t. Isto e, se t e medido em horas, α tambem sera medido em horas. A funcao de confiabilidade




R(t) que e a probabilidade do produto continuar funcionando alem do tempo t, e dada para a

distribuicao exponencial por

R(t) = 1− F (t) = 1− t

0 f (s)ds = exp(

−t/α)

(7.16)

Figura 7.2: Grafico da funcao de confiabilidade

A Figura 7.2 mostra a forma tıpica desta funcao de confiabilidade. A funcao da taxa de

falha associada a distribuicao exponencial e constante igual a 1α

0. Como foi dito anteriormente,

somente a distribuicao exponencial tem uma taxa de falha constante. Isto significa que, tanto

uma unidade velha quanto uma unidade nova que ainda nao falharam tem a mesma proba-

bilidade de falhar em um intervalo futuro. Esta propriedade e chamada de falta de memoria

da distribuicao exponencial. Outras caracterısticas de durabilidade de interesse sao a media,

a variancia e os percentis. O percentil 100 p% corresponde ao tempo medio em que 100 p% dos

produtos falharam. A media da distribuicao exponencial (MTTF ou MTBF) e α e a variancia

e α2. Os percentis sao importantes quando queremos obter informacoes, por exemplo, a re-

speito de falhas prematuras. Eles podem ser obtidos a partir da funcao de confiabilidade. Estes

calculos sao ilustrados a seguir.




Exemplo 7.15. O tempo ate a falha do ventilador de motores a diesel tem uma distribuicao

exponencial com MTBF (α) e igual a 28700 horas. A probabilidade de um destes ventiladores

nao falhar nas primeiras 8000 horas de funcionamento e entao:

R(8000) = exp(

−8000/28700)

= 0.76Se 8000 horas e o tempo de garantia dado pelo fabricante, significa que 24% e a fracao

esperada de ventiladores que falharam na garantia. O percentil 100 p%, tp, e dado para a

distribuicao exponencial por

1 − p = R(tp) = exp(−tp/α)

Aplicando o logaritmo de ambos os lados, obtemos

tp = α log(1

−p). Em estudos de durabilidade queremos muitas vezes conhecer baixos

percentis de 1% e tambem a mediana que e o percentil de 50%. A media da distribuicao

exponencial corresponde ao t0,63, ou seja, o percentil 63%.

Por exemplo, para ventiladores de motores a diesel no exemplo acima o percentil 1% e

T 0,01 = −28700log(1 − 0.01) = 288 horas.

Isto significa, que e esperado que cerca de 1% dos ventiladores falhem nas primeiras 288

horas de uso. De forma similar a mediana e calculada obtendo 19900 horas.

7.8.2 Distribuicao de Weibull

A Distribuicao de Weibull foi proposta originalmente por W. Weibull (1954) em estudos

relacionados ao tempo de falha devido a fadiga de metais. Ela e frequentemente usada para

descrever o tempo de vida de produtos industriais. A sua popularidade em aplica coes praticas

deve-se ao fato dela apresentar uma grande variedade de formas, todas com uma propriedade

basica: a sua funcao de taxa de falha e monotona. Isto e, ou ela e crescente ou decrescente ou

constante. Ela descreve adequadamente vida de mancais, componentes eletronicos, ceramicas,

capacitores e dieletricos.

A funcao de densidade da distribuicao de Weibull e dada por

f (t) =δ

αδtδ−1exp[−(t/α)δ], t ≥ 0

Exemplo 7.16. Um exemplo de uso da distribuic˜ ao de Weibull e o tempo de vida de um

capacitor com α = 100000 horas e δ = 0, 5. A func˜ ao de confiabilidade e dada por

R(t) = 1− t

0

f (s)ds = exp

−

t

α

α, t ≥ 0




Desta forma a confiabilidade para um ano e R(8760) = exp[−(8760/100000)0,5] = 0,74 ou

74%. Isto significa que a probabilidade do capacitor operar por um tempo superior a um ano e

de 0,74.

As expressoes para a media e a variancia da Weibull inclui o uso da funcao gama, isto e

MTTF(ou MTBF) = E[T] = αΓ[1 + (1/δ)] V ar(T ) = α2{Γ[1 + (2/δ)] − Γ[1 + (1 + δ)]2)]}onde Γ(r) = (r − 1)! para r inteiro. Os valores para a funcao gama podem ser obtidos via

Minitab. E os percentis sao dados por t p = α[− ln(1 − p)]1/δ

No exemplo acima, o tempo medio de vida do capacitor e 100000Γ(1 + 2) = 200000 horas.

O percentil 10% e t0,10 = 100000(− ln(0, 9))2 = 1110 horas. A distribuicao de Weibull tem uma

funcao de taxa de falha dada por

h(t) =δ

α(t/α)δ−1, t ≥ 0

Figura 7.3: Grafico da funcao taxa de falha da distribuicao Weibull

A Figura 7.3 mostra algumas formas desta funcao para a distribuicao de Weibull. Observeque h(t) e estritamente crescente para δ > 1 e estritamente decrescente para δ < 1. A dis-

tribuicao exponencial e um caso particular da distribuicao de Weibull quando δ = 1 e entao,




com taxa de falha constante.




7.8.3 Distribuicao de Gumbel

E importante neste ponto, introduzir uma distribuicao que e bastante relacionada a Weibull.

Ela e chamada de distribuicao do valor extremo ou de Gumbel e surge quando se toma o

logaritmo de uma variavel com a distribuicao de Weibull. Isto e, se a variavel T tem uma

distribuicao de Weibull, entao a variavel Y = log(T ) tem uma distribuicao Valor Extremo com

a seguinte funcao densidade

f (y) =1

σexp[

y − µ

σ− exp(

y − µ

σ)]

onde σ = 1/δ e µ = log(α).

A funcao de confiabilidade da variavel Y e dada por

R(y) = exp[−exp[y − µ

σ]]

A media e a variancia sao respectivamente µ − vσ e (π2/6)2, onde v = 0, 5772 . . . e a

conhecida constante de Euler. O percentil 100 p% e dado por

t p = µ + σ ln[

−ln(1

− p)]

Na analise de dados de durabilidade e muitas vezes conveniente trabalhar com o logaritmo

dos valores observados. Desta forma, se os dados tiverem uma distribuicao de Weibull, a

distribuicao Valor Extremo aparecera naturalmente na modelagem.

7.8.4 Distribuicao Log-normal

Assim como a distribuicao de Weibull, a distribuicao Log-normal e muito usada para caracteri-

zar tempo de vida de produtos e materiais. Isto inclui, fadiga de metal, semicondutores, diodos

e isolacao eletrica. A funcao de densidade para uma distribuicao log-normal e dada por:

f (t; µ, σ) =1

tσ√

2πe−[log(t)−µ]2

2σ2 , t > 0 (7.17)

onde, µ e madia do logaritmo do tempo de falha e σ > 0 e o desvio padrao. Existe

uma relacao entre as distribuicoes Log-normal e Normal similar a relacao existente entre as

distribuicoes de Weibull e do valor extremo. Como o nome sugere, o logaritmo de uma vari avel

com distribuicao Log-normal com parametros µ e σ tem uma distribuicao Normal com media µ e




desvio-padrao σ. Esta relacao significa que dados provenientes de uma distribuicao Log-normal

podem ser analisados segundo uma distribuicao Normal se trabalharmos com o logaritmo dos

dados ao inves dos valores originais.

Figura 7.4: Grafico da funcao densidade da distribuicao Log-Normal

A funcao de confiabilidade de uma variavel Log-normal e dada por

R(t) = Φ{− [log(t) − µ]

σ(7.18)

onde, Φ(.) e a funcao de distribuicao acumulada de uma Normal padrao.

Exemplo 7.17. Um exemplo de uso da distribuic˜ ao Log-normal e o tempo de vida de isolac˜ oes

da classe H. Na temperatura de uso o tempo de vida tem uma distribuic˜ ao Log-normal com

µ = 9, 65 horas e σ = 0, 1053 horas. A confiabilidade de isolac˜ ao nas 20000 primeiras horas de

uso e:

R(20000) = Φ{− [log(20000) − 9.65]

0, 1053} = 0.008

Isto significa que a grande maioria (99, 2%) das isolac˜ oes falhariam nas 20000 primeiras

horas de uso.

Os percentis para a distribuicao Log-normal podem ser obtidos a partir da tabela da normal

padrao, usando a seguinte expressao

t p = exp(Z pσ+)µ




onde Z p e o 100 p% percentil da normal padrao. A media a variancia da distribuicao log-

normal sao dadas respectivamente por e exp(µ + σ2/2) e exp(2µ + σ2)(exp(σ2) − 1).



54

Capıtulo 8

A Distribuicao Normal

A variacao natural de muitos processos industriais e realmente aleatoria. Embora as dis-

tribuicoes de muitos processos possam assumir uma variedade de formas, muitas vari aveis ob-

servadas possuem uma distribuicao de frequencias que e, aproximadamente, uma distribuicao

de probabilidade Normal.

A distribuicao e normal quando tem a forma de “sino”:

Figura 8.1: Distribuicao Normal

Veremos na Secao seguinte como testar se uma distribuicao e normal ou nao. Se concluirmos

que ha normalidade, e possıvel calcular probabilidade de intervalos de medida ocorrerem, cal-

culando a area sob a curva naquele intervalo.

Para achar a area sob a curva normal devemos conhecer dois valores numericos (tambem

chamados de parametros), a media µ e o desvio padrao σ.

O grafico a seguir mostra algumas areas importantes:

Quando µ e σ sao desconhecidos, como geralmente acontece, sao substituıdos por X e S ,

respectivamente, a partir da amostra.

Nota: Areas sob a curva normal sao probabilidades que na pratica sao dadas em percent-



8. A Distribuic˜ ao Normal 55

Figura 8.2: Areas sob a Curva Normal

agens.

Para cada valor de µ e/ou σ, temos uma distribuicao.

Mas para se calcular areas especıficas, se faz uso de uma distribuicao particular: a ”dis-

tribuicao normal padronizada”, tambem chamada de standartizada ou reduzida. Esta dis-

tribuicao tem media µ = 0 e desvio padrao σ = 1, e esta tabelado.

Veja o grafico da curva normal padronizada na Figura 8.3.

Figura 8.3: Distribuicao Normal Padronizada

Nota: A variavel que tem distribuicao normal padronizada e denotada por Z.

Exemplo 8.1. A ´ area sob a curva normal para Z maior do que 4,00 e 0,00003. Ou seja, a




probabilidade de Z ser maior do que 4,00 e 0,003%. Veja o gr´ afico na Figura 8.4

Figura 8.4: Area sob a curva normal

Exemplo 8.2. A ´ area sob a curva para Z maior do que 1,00 e 0,1587. Ou seja, a probabilidade

de Z ser maior do que 1 e 15,87%. Veja o gr´ afico na Figura 8.5





Exemplo 8.3. A ´ area sob a curva para Z maior do que 1,19 e 0,1170, ou seja, a probabilidade

de Z ser maior do que 1,19 e 11,70%. Veja o gr´ afico na Figura 8.6


Exemplo 8.4. A ´ area sob a curva para Z menor do que 2,00 n˜ ao e fornecida diretamente pela

tabela. Ent ao devemos encontrar a ´ area para Z maior do que 2,00. Em seguida fazemos 1

menos a ´ area encontrada e temos a ´ area desejada.

A ´ area sob a curva para Z maior do que 2,00 e 0,0228. A ´ area desejada e 1 − 0, 0228 =

0, 9772. Ou seja, a probabilidade de Z ser menor do que 2,00 e 97,72%. Veja o gr´ afico na

Figura 8.7

Quando se tem uma variavel X com distribuicao normal com media µ diferente de 0 (zero)

e/ou desvio padrao σ diferente de 1 (um), devemos reduzi-la a uma Z, efetuando o seguinte

calculo:

Z =X − µ

σ

Exemplo 8.5. Consideremos os diametros do Exemplo 2.2 como tendo distribuic˜ ao normal com media µ = 4, 888 e desvio padr˜ ao σ = 0, 31949. Queremos calcular a probabilidade de um

eixo apresentar diametro inferior a 5,0 mm.





Z =5, 0 − 4, 888

0, 31949= 0, 35

Usando a tabela da normal padronizada, temos que a area sob a curva e abaixo de 0,35 e

0,6368. Ou seja, a probabilidade de um eixo apresentar diametro inferior a 5,0 mm e 63,68%.

Vejam os graficos nas Figuras 8.8 e 8.9.


Exemplo 8.6. Suponha que a espessura das arruelas no exemplo 4 tenha distribuic˜ ao normal

com media 11,15 e desvio padr˜ ao 2,238. Qual a porcentagem de arruelas que tem espessura

entre 8,70 e 14,70?

Temos que encontrar dois pontos da distribuicao normal padronizada. O primeiro ponto e:





Z 1 =8, 70 − 11, 15

2, 238= −1, 09

A area para valores maiores do que -1,09 e 0,8621 ou 86,21%.

O segundo ponto e:

Z 1 = 14, 70 − 11, 152, 238

= 1, 58

A area para valores maiores do que 1,58 e 0,0571 ou 5,71%.

O que procuramos e a area entre Z1 e Z2, como mostram os graficos nas Figuras 8.10 e 8.11.


Portanto, fazemos:

0, 8621 − 0, 0571 = 0, 8050

Ou seja, a porcentagem de arruelas com espessura entre 8,70 e 14,70 (limites de toler ancia da

especificacao) e somente de 80,50%. Portanto, cerca de 19,50% das arruelas nao atendem aos





limites de especificacoes. Anteriormente, havıamos calculado esta porcentagem diretamente do

histograma e o valor encontrado foi de 22%. A diferenca entre os dois calculos fica por conta

da suposicao de normalidade que fizemos.



61

Capıtulo 9

Teorema do Limite Central

Suponha uma amostra aleatoria simples de tamanho n retirada de uma populacao com media

µ e variancia σ2 (note que o modelo da variavel aleatoria nao e apresentado). Representando

tal amostra por n variaveis aleatorias independentes X 1,. . .,X n e, denotando sua media por X ,

temos, pelo Teorema do Limite Central, que, quando n for grande, a variavel

Z =X − µ

σ/√

n,

tem distribuicao aproximadamente N (0, 1).Assim, o Teorema do Limite Central garante que, para n grande, a distribuicao da media

amostral, devidamente padronizada, se comporta segundo um modelo normal com media µ = 0

e variancia σ2 = 1. De imediato, podemos notar a importancia do Teorema do Limite Central,

pois em muitas situacoes praticas, em que o interesse reside na media amostral, o teorema

permite que utilizemos a distribuicao normal para estudar X probabilisticamente. Pelo teorema

temos que quanto maior a amostra, melhor e a aproximacao. Estudos envolvendo simulacoes

mostram que em muitos casos valores em torno de 30 fornecem boas aproximacoes para as

aplicacoes praticas. Em casos que a verdadeira distribuicao e simetrica, excelentes aproximacoes

sao obtidas, mesmo com valores de n inferiores a 30.

Vamos justificar o intuito matematico de modo mais instrutivo, ou seja, utilizar um exemplo

para demonstrar tal resultado.

Considere os dados da tabela 9.1, com o histograma apresentado na figura 9.1.

Notemos que o grafico mostra que o conjunto de dados segue uma distribuicao nao simetrica.

Vamos, agora, agrupar os valores do conjunto de dados em grupos de 5 e tirar a media de cada

grupo. Podemos observa-los conforme a figura 9.2.



9. Teorema do Limite Central 62

0,18039 0,06105 0,33264 1,0589 0,04611 2,07919 0,16426 0,13756 2,25764 0,69611 0,00666 1,436850,04858 0,05189 0,04937 4,0006 2,44309 1,19279 0,36034 0,14896 1,02117 0,22775 0,19664 0,672092,04899 0,00578 0,24781 0,43687 0,02991 0,52321 1,19931 0,97063 0,65404 1,2899 0,56337 0,288090,29371 0,07804 0,483 0,2983 3,75236 0,283 0,01252 0,07863 1,51493 0,58831 0,40478 0,126921,82698 0,9184 1,30431 0,68007 3,9539 1,00186 2,1392 0,65945 2,44657 2,26175 0,04064 0,908530,70571 2,32028 1,44356 1,04687 3,07768 0,91547 1,0711 0,78354 0,10735 1,8086 3,58991 0,289850,10034 1,09242 0,11591 0,93788 0,86555 0,11135 0,22064 2,54724 2,32252 0,21121 0,99732 0,73894

0,18068 0,03391 0,33554 2,82354 0,21896 0,61599 2,70122 0,59041 0,9296 0,37208 0,96049 0,978861,67637 0,3829 0,66678 1,27616 0,15644 1,49853 0,2438 0,69662 0,03946 1,68575 1,68336 1,972480,75177 0,14673 0,85142 0,60226 0,10131 0,00041 1,04934 0,71689 0,6841 0,40779 0,655 2,598911,86995 0,11694 1,0702 5,24055 0,91629 0,74449 1,54706 1,71929 0,57949 0,06082 4,50549 1,311211,20456 1,32523 0,15098 3,82457 2,21574 1,24752 3,01742 0,48124 0,50226 0,752 0,07319 0,75321,84546 1,00032 0,18113 1,95966 0,12043 0,02755 1,12134 0,15825 0,39719 0,73928 0,75933 0,986650,20692 1,04208 0,77392 0,53456 0,37931 0,55943 0,1528 0,32622 1,34607 0,1881 0,63464 0,013681,07056 1,56307 3,97567 0,12068 0,0591 0,09311 0,13433 1,13353 0,06729 0,73302 3,68017 0,363340,33364 0,10242 0,24987 0,436 0,63775 0,92961 0,1736 0,5642 0,07914 1,69506 3,81342 1,18567

0,835 1,0241 1,75904 0,655 1,5316 2,38105 1,31363 4,87441 1,87911 1,19198 4,01736 0,989980,97558 0,70493 0,02362 1,8392 0,23149 0,42528 0,70005 0,81429 0,14648 1,14152 1,63649 0,423540,49084 0,42526 0,21363 1,71473 0,1912 0,30273 0,50795 0,59502 0,0055 0,99069 0,05411 0,080151,88966 2,54082 0,05887 0,49302 1,94563 2,88959 0,76715 0,08922 1,50332 1,44135 0,25575 0,523561,21121 1,63265 2,49013 0,58964 0,73067 0,5809 0,20309 1,19891 0,41577 4,83329 0,83598 3,319210,3745 0,55206 0,96108 0,87766 0,52777 0,10678 0,89247 0,68666 0,40921 3,13698 0,15909 0,78276

1,19616 1,31787 0,1115 0,3589 0,61516 2,2579 0,5537 1,12084 1,18308 5,6274 0,38246 1,260490,30181 1,88888 0,9136 1,7155 0,49844 1,80252 0,78627 2,30031 0,37888 0,27255 0,13101 0,254513,21402 2,01428 1,5868 0,01396 0,31211 1,41659 0,20996 0,56251 0,64183 0,7217 0,01722 0,25670,0903 2,67363 0,38425 0,17188 4,38611 0,47624 1,7204 1,97416 0,15397 0,20741 1,23387 0,83222

2,61544 0,34815 3,7862 0,17602 0,49381 1,11899 0,33027 0,91986 1,10484 0,3501 0,6366 0,640130,49725 0,29042 2,32141 0,56294 1,10058 0,23771 0,16611 0,19464 0,53044 1,10223 2,63819 1,737670,35147 0,13475 2,31799 1,42038 0,28477 0,61507 0,70722 0,16977 2,07863 0,21453 2,31535 0,068850,97265 0,05683 0,08027 0,6846 0,29454 0,40381 0,38346 0,3467 0,08971 0,29033 0,71624 2,057920,77907 0,04533 1,21407 0,15632 1,54651 1,03375 0,20112 0,21492 1,23729 0,02209 1,92794 1,811390,25324 0,06947 0,14656 1,43476 0,58053 0,2361 1,30842 0,90432 0,38311 0,01359 0,2938 1,034440,57609 0,00047 0,15099 0,74214 0,88673 1,0456 3,40522 1,31729 0,19672 0,84027 0,38748 1,29327

Tabela 9.1: Dados Exponenciais

Figura 9.1: Histograma-Dados Exponenciais

Percebemos que a media dos dados foi deslocada, fazendo com que os dados mudassem suas

caracterısticas de simetria. Novamente, vamos agrupar os dados em grupos de 5 e tirar a media.

O resultado esta na figura 9.3.



9. Teorema do Limite Central 63

Figura 9.2: Media de Grupos de 5

Como podemos perceber, este grafico ja possui uma distribuicao similar a da distribuicao

normal.

Figura 9.3: Medias dos 5 Grupos



64

Capıtulo 10

Teste para Normalidade

10.1 Papel de Probabilidade

O papel de probabilidade e uma tecnica grafica utilizada para verificar a adequacao de um

determinado modelo estatıstico aos dados. A tecnica que iremos descrever e simples de utilizar

e pode ser aplicada a inumeros tipos de modelos estatısticos. Aqui, vamos considerar o modelo

Normal com media µ e variancia σ, cuja densidade e dada por

f (x) = 1√2πσ2

exp−(x− µ)2

2σ2

e funcao distribuicao de probabilidade acumulada F, dada por

F (x) = P (X ≤ x) =

x

−∞f (s)ds =

x

−∞

1√2πσ2

exp

−(s− µ)2

2σ2

ds

E comum trabalharmos, ao inves da distribuicao Normal com media µ e variancia σ, com a

distribuicao Normal padronizada, N (0, 1), cuja funcao densidade e dada por

f (z) =1√2π

exp

−z2

2

,

obtida mediante a transformacao

Z =X − µ

σ.

Sua funcao distribuicao acumulada e denotada por Φ. A relacao entre a funcao distribuicao

acumulada F , de uma distribuicao Normal com media µ e variancia σ e a funcao distribuicao



10. Teste para Normalidade 65

acumulada Φ de uma distribuicao Normal padronizada e dada por:

F (x) = Φ

x − µ

σ

= Φ(z) (10.1)

A distribuicao Normal Padrao e tabelada e por isso fica facil calcular probabilidades. Na

relacao dada em 10.1, vamos aplicar a funcao Φ−1 em ambos os lados, ou seja,

Φ−1 (F (x)) = Φ−1

Φ

x − µ

σ

=

x− µ

σ

Daı, obtemos que

x = σ Φ−1 (F (x)) + µ (10.2)

onde Φ−1(F (x)) e o quantil da distribuicao normal padrao, calculado para o valor de F (x).

Observe que a expressao 10.2 tem o formato de uma expressao linear. Com isso, ao fazermos

o grafico entre x e Φ−1 (F (x)) devemos esperar um comportamento linear dos pontos caso a

distribuicao normal for adequada.

Para construir o papel de probabilidade Normal devemos seguir os passos:

1. Considere uma amostra aleatoria X 1,...,X n. Primeiramente, vamos ordenar esses valores

de forma crescente, ou seja, X (1) ≤ ... ≤ X (n). Aqui, consideramos que X (1) e a primeira

estatıstica de ordem, ou seja, o menor valor da amostra.

2. Calcule n pontos di = (i − 0, 3)/(n + 0, 4), i = 1,...,n. Existem outras opcoes para o

calculo dos di’s.

3. Calcule os quantis da distribuicao normal padrao para cada um dos valores de di, isto e,

calcule os valores de Φ−1(di), i = 1,...,n.

4. Faca um grafico com os pontos (x(i), Φ−1(di)), i = 1,...,n.

Para avaliarmos a normalidade dos dados, devemos construir o grafico entre as variaveis

resıduos ordenados e Φ−1(di).

Exemplo 10.1. Em uma an´ alise de capacidade do processo, o engenheiro da qualidade retirou

uma amostra de 25 pecas e as mediu. Para calcularmos os ındices de capacidade do processo,




precisamos avaliar a normalidade dos dados. Aqui, vamos realizar uma an´ alise gr´ afica atraves

do papel de probabilidade. O c´ alculo dos di’s e os quantis normais s˜ ao encontrados na tabela

da normal padronizada) para cada di. Na tabela 10.1, temos os dados de medic˜ ao das pecas

ordenados e os respectivos di’s. A seguir, exemplificamos o c´ alculo dos di’s para alguns pontos:

d1 =i− 0, 3

n + 0, 4=

1− 0, 3

25 + 0, 4=

0, 7

25, 4= 0, 027559

d2 =2 − 0, 3

25, 4= 0, 066969

... =...

d25 = 0, 972441.

assim, obtemos

Φ−1(d1) = F (0, 027559) = −1, 917945

Φ−1(d2) = F (0, 066969) = −1, 498752

..

. =

..

.Φ−1(d25) = F (0, 972441) = 1, 917945.

Fazendo o gr´ afico dos pontos (x(i), Φ−1(di)), i = 1, ..., 25, obtemos a figura 10.1.




Figura 10.1: Papel de Probabilidade para o exemplo 10.1.

10.2 Teste de Kolmogorov - Smirnov

Grande parte dos problemas que encontramos na pratica, sao solucionados, primeiramente,

considerando algumas suposicoes iniciais, tais como, assumir uma funcao de distribuicao para

os dados amostrados. Nesse sentido, surge a necessidade de certificarmos se essas suposicoes

podem, realmente, ser assumidas. Em alguns casos, assumir a normalidade dos dados e o

primeiro passo que tomamos para simplificar sua analise. Para dar suporte a esta suposicao,

consideramos, dentre outros, o teste de Kolmogorov - Smirnov.

O teste de Kolmogorov - Smirnov pode ser utilizado para avaliar as hip oteses:

H 0 : Os dados seguem uma distribuicao normal

H 1 : Os dados nao seguem uma distribuicao normal

Este teste observa a maxima diferenca absoluta entre a funcao de distribuicao acumulada

assumida para os dados, no caso a Normal, e a fun cao de distribuicao empırica dos dados.

Como criterio, comparamos esta diferenca com um valor crıtico (tabela 10.2), para um dado

nıvel de significancia.




Medicao posicao di Φ−1(di)

-3,8 1 0,027559 -1,91794

-3,6 2 0,066929 -1,49906

-3,4 3 0,106299 -1,24645

-3,4 4 0,145669 -1,05519

-2,8 5 0,185039 -0,89633-2,8 6 0,224409 -0,75739

-2,6 7 0,26378 -0,63174

-2,6 8 0,30315 -0,51536

-0,8 9 0,34252 -0,4056

-0,8 10 0,38189 -0,30052

0,2 11 0,42126 -0,19867

0,2 12 0,46063 -0,09885

0,4 13 0,5 0

0,4 14 0,53937 0,09885

0,4 15 0,57874 0,19867

1,2 16 0,61811 0,300521,4 17 0,65748 0,4056

1,4 18 0,69685 0,51536

1,4 19 0,73622 0,63174

1,6 20 0,775591 0,75739

2,6 21 0,814961 0,89633

2,6 22 0,854331 1,05519

3,4 23 0,893701 1,24645

4,2 24 0,933071 1,49906

5,2 25 0,972441 1,91794

Tabela 10.1: Construcao do papel de probabilidade.

A estatıstica utilizada para o teste e:

Dn = supx| F (x) − F n(x) |

Esta funcao corresponde a distancia maxima vertical entre os graficos de F (x) e F n(x) sobre a

amplitude dos possıveis valores de x. Em Dn temos que

• F (x) representa a funcao de distribuicao acumulada assumida para os dados;

• F n(x) representa a funcao de distribuicao acumulada empırica dos dados.

Sejam X (1), X (2), · · · , X (n) observacoes aleatorias ordenadas de forma crescente da variavel

aleatoria contınua X . A funcao de distribuicao acumulada assumida para os dados e definida

por F (x(i)) = P (X ≤ x(i)) e a funcao de distribuicao acumulada empırica e definida por uma

funcao escada, dada pela formula:




F n(x) =1

n

ni=1

I {(−∞, x]} (x(i)) (10.3)

onde I {A} e a funcao indicadora. A funcao indicadora e definida da seguinte forma:

I {A}(x) =

1 se x ∈ A

0 c.c.

Observe que a funcao da distribuicao empırica F n(x) corresponde a proporcao de valores

menores ou iguais a x.

A expressao (10.3) pode tambem ser escrita da seguinte forma:

F n(x) =

0 se x < x(1)

kn

se x(k) ≤ x < x(k+1)

1 se x > x(n)

Consideremos duas outras estatısticas:

D+ = supx(i)

| F (x(i))− F n(x(i)) |

D− = supx(i)

| F (x(i))− F n(x(i−1)) |

Essas estatısticas medem as distancias (vertical) entre os graficos das duas funcoes, teorica e

empırica, nos pontos x(i−1) e x(i). Com isso, podemos utilizar como estatıstica de teste:

Dn = max(D+; D−)

Se Dn for maior que o valor crıtico encontrado na tabela 10.2, rejeitamos a hipotese de

normalidade dos dados com (1−α)100% de confianca. Caso contrario, nao rejeitamos a hipotese

de normalidade.




Valores Crıticos para a estatıstica do teste de Komolgorov - Smirnov (Dn).

Nıvel de Significancia (α)

n 0,2 0,1 0,05 0,01

5 0,45 0,51 0,56 0,6710 0,32 0,37 0,41 0,49

15 0,27 0,30 0,34 0,40

20 0,23 0,26 0,29 0,36

25 0,21 0,24 0,27 0,32

30 0,19 0,22 0,24 0,29

35 0,18 0,20 0,23 0,27

40 0,17 0,19 0,21 0,25

45 0,16 0,18 0,20 0,24

50 0,15 0,17 0,19 0,23

Valores maiores 1,07√n

1,22√n

1,36√n

1,63√n

Tabela 10.2: Tabela de Valores para Dn

Estas estatısticas podem ser resumidas na Tabela 11.3.

x (ordenado) F n(x) F (x) = P

z(i) ≤ x(i) − x

s

|F (x(i)) − F n(x(i))| |F (x(i)) − F n(x(i−1))|

x(1)1n

F (x) = P

z(1) ≤ x(1) − x

s

|F (x(1)) − F n(x(1))| |F (x(1)) − 0)|

x(2)2n

F (x) = P

z(2) ≤ x(2) − x

s

|F (x(2)) − F n(x(2))| |F (x(2)) − F n(x(1))|

. . . . .

. . . . .

. . . . .

x(n−1)n−1n

F (x) = P

z(n−1) ≤ x(n−1) − x

s

|F (x(n−1)) − F n(x(n−1))| |F (x(n−1)) − F n(x(n−2))|

x(n) 1 F (x) = P

z(n) ≤ x(n) − x

s

|F (x(n)) − F n(x(n))| |F (x(n)) − F n(x(n−1))|

Tabela 10.3: Resumo do Calculo de Dn

Observac˜ ao: o valor de P

Z (i) ≤ x(i) − x

s

e encontrado na tabela da distribuicao normal

padrao.

Exemplo 10.2. Uma amostra de dez elementos forneceu os seguintes valores:

27,8 29,2 30,6 27,0 33,5

29,5 27,3 25,4 28,0 30,2

Testar a hip´ otese de que ela seja proveniente de uma populc˜ ao normal de media 30 e desvio

padr˜ ao 2.

Primeiramente devemos ordenadar os dados em forma crescente. Apos ordenarmos os dados,

obtemos o valor de F n(x(i)) fazendo a razao entre a posicao i e o valor total de dados, n.

Exemplo 10.3. Avaliar a normalidade dos dados referente a medic˜ ao de 10 pecas.




1,90642 2,10288 1,52229 2,61826 1,42738 2,22488 1,69742 3,15435 1,98492 1,99568

Apos ordenarmos os dados, obtemos o valor de F n(x(i)) fazendo a razao entre a posicao i

e o valor total de dados, n. O valor de F (x(i)) e encontrado na tabela da distribuicao normal

padrao, apos transformarmos os dados pela relacao

Z (i) =x(i) − x

s

onde x e a media aritmetica dos dados e s e o desvio padrao dos dados.

Dados F n(x) (empırica) F (x) (teorica) | F (x(i)) − F n(x(i)) | | F (x(i)) − F n(x(i−1)) |1,42738 0,1 0,109008 0,009008 0,1090081,52229 0,2 0,147346 0,052654 0,0473461,69742 0,3 0,239320 0,060680 0,039320

1,90642 0,4 0,380772 0,019228 0,0807721,98492 0,5 0,439859 0,060141 0,0398591,99568 0,6 0,448101 0,151899 0,0518992,10288 0,7 0,530802 0,169198 0,0691982,22488 0,8 0,623132 0,176868 0,0768682,61826 0,9 0,859056 0,040944 0,0590563,15435 1,0 0,982786 0,017214 0,082786

Maximo 0,176868 0,109008

Tabela 10.4: Teste de Kolmogorov - Smirnov

Com isso,

Dn = max(0, 176868; 0, 109008) = 0, 176868 .

Considerando α = 0, 05 e n = 10, encontramos pela tabela 10.2 o valor crıtico 0,41.

Como Dn = 0, 176868 < 0, 41 nao temos evidencias para rejeitar a hipotese de normalidade

dos dados.Figura.

Exemplo 10.4. Para os dados referente a an´ alise de capacidade do processo, apresentado no

Exemplo 10.1, vamos testar a normalidade atraves do teste de Kolmogorov-Smirnov.

Ap´ os ordenarmos os dados (vide tabela 10.1), obtemos o valor de F n(x(i)) tomando a raz˜ ao

entre a posic˜ ao i e o valor total de dados, n = 25. O valor de F (x(i)) e encontrado na tabela

da distribuic˜ ao normal padr˜ ao, ap´ os transformarmos os dados pela relac˜ ao

Z (i) =x(i) − x

s

onde x e a media aritmetica dos dados, dado por

x =−3, 8 + (−3, 6) + (−3, 4) + · · · + 5, 2

25=

6, 661338e− 16

25= 2, 664535e− 17 ≈ 0.




e s e o desvio padr˜ ao dos dados, dado por

s = (−3, 8 − 0)2 + (−3, 6 − 0)2 + · · ·+ (5, 2 − 0)2

24= 2, 591

Assim, obtemos a tabela 10.5.

Dados Padronizados (Z (i)) F n(x) (empırica) F (x) (teorica) | F (x(i)) − F n(x(i)) | | F (x(i)) − F n(x(i−1)) |-1,466246 0,04 0,071291 0,031291 0,071291-1,389075 0,08 0,082405 0,002405 0,042405-1,311904 0,12 0,094776 0,025224 0,014776-1,311904 0,16 0,094776 0,065224 -0,025224-1,080391 0,20 0,139984 0,060016 -0,020016-1,080391 0,24 0,139984 0,100016 -0,060016-1,003221 0,28 0,157877 0,122123 -0,082123-1,003221 0,32 0,157877 0,162123 -0,122123

-0,308683 0,36 0,378781 0,018781 0,058781-0,308683 0,40 0,378781 0,021219 0,0187810,077171 0,44 0,530756 0,090756 0,1307560,077171 0,48 0,530756 0,050756 0,0907560,154342 0,52 0,561330 0,041330 0,0813300,154342 0,56 0,561330 0,001330 0,0413300,154342 0,60 0,561330 0,038670 0,0013300,463025 0,64 0,678327 0,038327 0,0783270,540196 0,68 0,705469 0,025469 0,0654690,540196 0,72 0,705469 0,014531 0,0254690,540196 0,76 0,705469 0,054531 -0,0145310,617367 0,80 0,731504 0,068496 -0,0284961,003221 0,84 0,842123 0,002123 0,0421231,003221 0,88 0,842123 0,037877 0,0021231,311904 0,92 0,905224 0,014776 0,025224

1,620587 0,96 0,947447 0,012553 0,0274472,006441 1,00 0,977595 0,022405 0,017595Maximo 0,162123 0,130756

Tabela 10.5: Teste de Kolmogorov - Smirnov

Com isso, Dn = max(0, 162123; 0, 130756) = 0, 162123.

Considerando α = 0, 05 e n = 25, encontramos pela tabela 10.2 do apendice o valor crıtico

0,27. Como Dn = 0, 162123 < 0, 27 n˜ ao temos evidencias para rejeitar a hip´ otese de normali-

dade dos dados.

10.3 Teste Anderson-Darling

Seja X 1, X 2, . . . , X n uma amostra aleatoria simples retirada de uma dada populacao.

Suponha que F (x) seja uma provavel candidata para funcao de distribuicao acumulada dos

dados. Estamos interessados agora em verificar a adequabilidade da distribuicao, ou seja, tes-

tar as seguintes hipoteses:




H 0 : a amostra tem distribuicao F (x)

H 1 : a amostra nao tem distribuicao F (x)(10.4)

Anderson e Darling (1952, 1954) propuseram a seguinte estatıstica para testar (10.4)

A2 = n

∞−∞

[F n(x) − F (x)]

F (x)(1 − F (x))dF (x) (10.5)

onde F n(x) e a funcao de distribuicao acumulada empırica definida como

F n(x) =1

n

n

i=1

=

0, se x < x(1)

kn

, se x(k)

≤x < x(k+1)

1, se x > x(n)

(10.6)

e x(1) ≤ x(2) ≤ ... ≤ x(n) sao as estatısticas de ordem da amostra aleatoria.

A estatıstica A2 pode ser colocada numa forma equivalente:

A2 = −n− 1

n

ni=1

(2i− 1) ln( F (x(i)) ) + ( 2(n− i) + 1 ) ln(1− F (x(i)) )

(10.7)

Consideremos que a transformacao F (x(i)) leva x(i) em U (i) de uma amostra de tamanho ncom distribuicao uniforme em (0, 1). Logo,

A2 = −n− 1

n

ni=1

(2i − 1)ln( U (i) ) + ( 2(n− i) + 1 )ln(1− U (i) )

(10.8)

Para calcular o valor da estatıstica A2 procedemos da seguinte forma:

1- Ordenamos os valores da amostra: x(1)

≤x(2)

≤...

≤x(n);

2- Quando necessario estime os parametros da distribuicao de interesse;

3- Calcule U i = F (x(i)) e calcule o valor da estatıstica de Anderson Darling ( 10.8);

A2 = −n− 1

n

ni=1

[(2i− 1) (ln( U i) + ln(1 − U n+1−i ))]

(observe que esta e uma forma equivalente a (10.8) );

4- Para cada uma das distribuicoes calcule, se for o caso, o valor da estatıstica modificado

de acordo com as tabelas dadas para cada uma delas.




O Teste Anderson-Darling pode ser aplicado as distribuicoes de probabilidade como: Dis-

tribuicao Normal, Exponencial, Weibull, Lognormal, Valor Extremo e Logıstica. Para estas

distribuicoes o parametro θ = (α, β ) pode ser univariado ou bivariado, isto e, ele tem no

maximo dois componentes, conforme os seguintes casos:

Caso 1 : O parametro θ = (α, β ) e totalmente conhecido;

Caso 2 : α e conhecido;

Caso 3 : β e conhecido;

Caso 4 : Nenhum dos componentes de θ = (α, β ) e conhecido.

Vamos agora ver um exemplo para o caso da Distribuicao Normal.

Distribuicao Normal

Consideremos X uma variavel aleatoria com distribuicao Normal com funcao densidade de

probabilidade dada por

f (x) =1√

2πσ2

exp−(x− µ)2

2σ2 (−∞ < x < ∞).

Caso 1 : O parametro θ = (µ, σ) e totalmente conhecido;

Caso 2 : µ e conhecido e σ e estimado por s2;

Caso 3 : σ e conhecido e µ e estimado por x;

Caso 4 : Nenhum dos componentes de θ = (µ, σ) e conhecido e sao estimados por (x, s2).

A seguinte tabela fornece alguns valores de quantis e a estatıstica de Anderson-Darling

modificada:

Pontos percentis para cada α(%)Caso Modificacao 15.0 10.0 5.0 2.5 1.0

0 Nenhuma 1.610 1.933 2.492 3.070 3.8571 - 0.784 0.897 1.088 1.281 1.5412 - 1.443 1.761 2.315 2.890 3.6823 A2(1 + (4/n) − (25/n2)) 0.560 0.632 0.751 0.870 1.029

Tabela 10.6: Tabela de pontos percentis




Exemplo 10.5. Considere as seguintes medidas de peso de pecas (em pounds) 148, 154, 158,

160, 161, 162, 166, 170, 182, 195, 236.

Vamos testar: H 0 : Os dados seguem uma distribuicao Normal N (µ, σ)

H 1 : Os dados nao seguem uma distribuicao Normal

A media dos dados e x = 172 e o desvio padrao e s = 24, 9520.

dados dados ordenados F (xi) ln(F (xi)) ln(1− F (xi))154 148 0,168063 -1,78341 -0,184148 154 0,235336 -1,44674 -0,26832

170 158 0,287372 1,24698 -0,3388161 160 0,315285 -1,15428 0,37875160 161 0,329662 -1,10969 -0,39997166 162 0,344295 -1,06626 -0,42204162 166 0,404986 -0,9039 -0,51917158 170 0,468057 -0,75916 -0,63122182 182 0,655705 -0,42204 -1,06626195 195 0,821676 -0,19641 -1,72415236 236 0,99484 -0,00517 -5,26684

Tabela 10.7: Calculando o valor de A2

Utilizando a formula ( 10.8), temos:

D = (2 ∗ 1 − 1) ∗ (−1, 78341) + (2 ∗ (11 − 1) + 1) ∗ (−0, 184)

+ (2 ∗ 2 − 1) ∗ (−1, 44674) + (2 ∗ (11 − 2) + 1) ∗ (−0, 26832)

+ (2 ∗ 3 − 1) ∗ (−1, 24698) + (2 ∗ (11 − 3) + 1) ∗ (−0, 3388)

+ (2∗

4−

1)∗

(−

1, 15428) + (2∗

(11−

4) + 1)∗

(−

0, 37875)

+ (2 ∗ 5 − 1) ∗ (−1, 10969) + (2 ∗ (11 − 5) + 1) ∗ (−0, 39997)

+ (2 ∗ 6 − 1) ∗ (−1, 06626) + (2 ∗ (11 − 6) + 1) ∗ (−0, 42204)

+ (2 ∗ 7 − 1) ∗ (−0, 9039) + (2 ∗ (11 − 7) + 1) ∗ (−0, 51917)

+ (2 ∗ 8 − 1) ∗ (−0, 75916) + (2 ∗ (11 − 8) + 1) ∗ (−0, 63122)

+ (2 ∗ 9 − 1) ∗ (−0, 42204) + (2 ∗ (11 − 9) + 1) ∗ (−1, 06626)

+ (2∗

10−

1)∗

(−

0, 19641) + (2∗

(11−

10) + 1)∗

(−

1, 72415)

+ (2 ∗ 11 − 1) ∗ (−0, 00517) + (2 ∗ (11 − 11) + 1) ∗ (−5, 26684)

= −131.4145




A2 = −D

n− n =

131, 4145

11− 11 = 0, 9467719.

A estatıstica de Anderson Darling modificada para esse caso (Caso 4: µ e σ desconhecidos) e

dada por:

A2m = A2 ∗ (1 + (4/n) − (25/n2))

= 0, 9467719 ∗ 1, 157025 = 1, 095439.

Para o obter o p-valor aproximado vamos fazer uma interpolacao com os dados da Tabela (10.6)

1, 291 − 1, 088

2, 5−

5, 0=

1, 095439 − 1, 088

x−

5, 0

Assim, temos

(x − 5, 0) ∗ 0, 193 = −0, 007439 ∗ 2, 5

x =−0, 0185975

0, 193+ 5, 0 = −0, 003589318 + 5, 0 = 4, 996411 ∼= 4, 9%.

Portanto, o p-valor e aproximadamente 4,9%. Portanto, existe forte evidencia de que os dados

podem nao vir de uma distribuicao Normal. Podemos ainda realizar uma analise grafica, como

mostra a figura 10.2: note que os pontos entao distribuıdos de forma aleatoria em torno da

reta.

Figura 10.2: Papel de Probabilidade do Teste Anderson-Darling



77

Capıtulo 11

Indicadores da Qualidade

Este Capıtulo tem como objetivo apresentar as principais metricas para avaliar produtos

e processos. Como a competicao entre as empresas esta cada vez mais competitiva, existe

uma forte pressao sobre os setores de desenvolvimento de produtos, producao e servicos de

suporte para se tornarem cada vez mais produtivos e eficientes. O setor de desenvolvimento

de produto tem que criar produtos inovadores em menor tempo e com grau de complexidade

cada vez maior. A producao deve aumentar a qualidade dos produtos enquanto diminui custos

e aumenta o volume de producao. Os setores de servicos devem reduzir o tempo de ciclo de

seus processos e aumentar a satisfacao dos clientes. A metodologia 6 SIGMA atua diretamente

sobre estas necessidades, com a seguinte estrategia de rompimento:

Figura 11.1: Grafico da Estrategia de Rompimento



11. Indicadores da Qualidade 78

O termo SIGMA (σ) e uma letra grega usada para descrever variabilidade. A metrica da

qualidade sigma, que estudaremos neste curso, oferece um indicador da frequencia com que os

defeitos ocorrem. Uma empresa atinge o nıvel 6 SIGMA quando a taxa de ocorrencia de defeitos

alcanca 3,4 defeitos por milhao de oportunidades. Para atingir o nıvel de qualidade 6 SIGMA,precisamos identificar os processos chaves para os negocios da empresa, e medir estes processos

de tal forma que possamos avaliar se (e quanto) os nossos processos de negocio atingem seus

objetivos e metas.

E extremamente importante escolhermos o melhor conjunto medicoes para cada situacao

e focar sua enfase na analise estatıstica e nas ferramentas para melhoria. A estrategia para

medicao consiste em atacar os pontos com alto custo devido a m a qualidade, pois eles podem

afetar drasticamente os negocios da empresa O custo da ma qualidade deve incluir, sucata,

retrabalho e reunioes sem proposito. As empresas podem perder muito dinheiro quando focam

apenas a ponta do ”iceberg”, sendo importante dirigir os esforcos para o problema (iceberg)

como um todo.

Este curso vai se concentrar nas tecnicas para medir, de forma adequada, processos e produ-

tos, focando no problema (iceberg) como um todo. Como as metricas para medir os processos

e produtos sao baseadas na contagem de defeitos, vamos discutir alguns aspectos da teoria de

contagem e probabilidade antes de apresentarmos as metricas.

Questoes:

1. Quais processos devemos medir?

2. O que deve fazer parte de nossas metricas?

3. Reflita sobre qualidade e competitividade.

4. O que e processo?

11.1 Rendimento de um Produto

Com os princıpios da teoria de contagem e probabilidade, vamos apresentar a primeira

metrica para qualidade. Aqui, vamos analisar o rendimento de um produto atraves do numero

de defeitos associado aos seus componentes. Considere um produto que e composto por diversos

componentes. As ocorrencias de assistencia tecnica deste produto foram registradas. Apos umperıodo de coleta de dados, uma tabela contendo o numero de unidades em acompanhamento,

numero de defeitos registrados e os componentes defeituosos, e montada conforme abaixo:




Componentes Unidades Defeitos DPU Rendimento

1 U D D/U e−DPU

......

......

...

K U D D/U e−DPU

Somas Soma de Soma de Soma de DPU Y T R = Produto RespostaUnidades Defeitos

MediasMedia da soma Media de

Media de DPU − ln(Y T R)de unidades defeitos

Tabela 11.1: Resumo dos Dados

DPU : Defeitos por Unidade

Definimos como rendimento de um produto a probabilidade de zero defeito.

• Probabilidade de um componente sem defeitos (dentro das especificacoes). Utilizando a

distribuicao de Poisson, temos que

Prob [ Obter zero defeito ] =Prob [ e−α×α0

0!] = Exp ( - DPU )= rendimento do produto

Como estamos analisando a probabilidade de obtermos produtos defeituosos em uma linha

de producao, o parametro da distribuicao ,α, sera o DPU.

•Regras da Teoria da Probabilidade: Desde que cada componente falha independentemente

de qualquer outro (hipotese), a probabilidade de zero defeito do produto e dada por:

P[Zero defeito no C 1 e Zero defeito no C 2 e ... e Zero defeito no C k] =

P[Zero defeito no C 1] ×P[Zero defeito no C 2] × · · ·× P[Zero Defeito no C k]

Portanto o rendimento do produto sera calculado atraves da multiplicacao dos rendimen-

tos das componentes do produto.

Uma metrica bastante utilizada, o PPM, representa o numero esperado de pecas defeituosas

em um lote de um milhao de pecas. Assim, temos que

• PPM do produto = 106× (Prob falha)

Obs: Podemos calcular o PPM utilizando apenas o rendimento, da seguinte forma:

Seja R = rendimento, portanto RC = 1−R = probabilidade de defeito. Como o P P M = 106×

probabilidade de defeito, temos que P P M = 106 × 1 −R.




Exercıcio 11.1. Considere uma m´ aquina colheitadeira de cana onde vamos verificar a cab-

ine da m´ aquina. Dentro da cabine temos diversos componentes que falham ao longo do uso.

Complete a tabela 11.2:

Componentes Unidade Defeito DPU Rend. Prob. defeito PPMTacometro 57 49 0,86 0,423 0,576 576680Mangueiras 57 29 0,509 0,601 0,398 398760

Vedacao 57 18Ar Condicionado 57 14

Portas 57 10Caixa de Controle 57 6

Sistema Eletrico no Painel 57 5Cabo de Controle 57 3

Instrumento 57 2

Ventilacao 57 2Coluna 57 1

Tabela 11.2: Colheitadeira de Cana

a) Calcular o rendimento do produto cabine;

b) Obter o PPM do produto.

11.2 Intervalo de confianca para o rendimento

Seja X i uma variavel aleatoria (v.a.) que representa o numero de defeitos da componente i de

uma producao, i = 1, 2, . . . , n. Portanto:

X 1, X 2, . . . , X niid∼ Poisson(λ)

• Estimador de maxima verossimilhanca

Sabemos que a funcao densidade de uma distribuicao Poisson e dada por:

f (x, λ) = P [X = x] =e−λ × λx

x!, x = 0, 1, 2, . . .

Logo, a funcao verossimilhanca L(λ; x) sera:

ni=1

f (xi, λ) =e−nλ × λ

ni=1 xin

i=1 xi!




O EMV de λ e o valor λ que maximiza a funcao verossimilhanca L(λ).

Como a funcao logaritmo e uma funcao monotona, entao o valor λ que maximiza L(λ; x)

tambem maximiza l(λ; x).

∴ l(λ; x) = −nλ +n

i=1

xi log λ− logn

i=1

xi!

Neste caso, e possıvel fazer a maximizacao derivando em relacao a λ e igualando a equacao

a zero. Entao, temos:

∂

∂ λl(λ; x) = 0 ⇔−n +

ni=1 xi

λ= 0 ⇔ λ =

ni=1 xi

n⇔ λ =

ni=1 xi

n= X

∴ λ = X e um ponto crıtico da funcao l(λ; x). Vamos verificar se e um ponto de mınimo ou

de maximo:

∂ 2

∂λ2l(λ; x) = −

ni=1

xi

λ2< 0

Entao, conclui-se que a derivada segunda de l(λ; x) e negativa e portanto λ = X e um ponto

de maximo.

∴ λ = X e o EMV de λ.

No caso do rendimento, temos que: λ = DP U (defeitos por unidade)=n

i=1 Xi

npoisn

i=1 X i

representa a quantidade total de defeitos da amostra X 1, X 2, . . . , X n e n e o numero de unidades

fabricadas pela linha de producao.

• Intervalo de confianca (IC)

Temos que λ = X e o EMV de uma distribuicao Poisson. Entao:

E (λ) = E (

ni=1 X in

) =1

nE (

ni=1

X i) =n

nE (X 1) = λ

V (λ) = V (n

i=1 X in

) =1

n2V (

ni=1

X i) =n

n2V (X 1) =

λ

n




Obs: E (X 1) = V (X 1) = λ pois X 1, X 2, . . . , X niid∼ Poisson(λ).

Aplicando o teorema do limite central, temos que

Q =

X

−E (X ) V (X ) =

X

−λ λ

n∼ N (0, 1)

para n grande. Observe que Q nao depende de λ.

∴ Q e uma quantidade pivotal.

Note que Q foi encontrada a partir de um EMV, e portanto temos indıcios de que e uma

boa escolha para encontrarmos um intervalo de confianca. Calculando o IC:

Seja z o valor que satisfaz Φ(z) = γ , onde Φ representa a funcao densidade da distribuicao

normal reduzida e γ e o coeficiente de confianca escolhido arbitrariamente. Temos:

P

−z <X − λ

λn

< z

= γ ⇔ P

−z

λ

n− X < −λ < z

λ

n− X

= γ

⇔ P X − z λn

< λ < X + z λn = γ

Sabemos que X = λ, e aproximando λ por λ temos que:

I = (λ − z

λn

; λ + z

λn

) e um intervalo de confianca aproximado de 100γ % de confianca

para λ.

Como ja vimos, o rendimento e dado por e−DP U . Utilizando o EMV encontrado, podemos

considerar a substituicao do parametro λ por X uma boa aproximacao, entao o rendimento

sera obtido por e−X .

Note que e−X e uma funcao decrescente e I e um IC para λ. Utilizando a Obs 2 dada no

Apendice, temos que:

(e−(λ+z

λn

); e−(λ−z

λn

))

e um intervalo de 100γ % de confianca para e−λ, e portanto, e um IC para o rendimento.




Exemplo 11.1. Vamos encontrar intervalos de confianca para o produto cabine e tambem para

cada um de seus componentes. Baseados nos dados do exercıcio 11.1

A tabela 11.2 traz informac˜ oes sobre todos os componentes do produto cabine. Neste ex-

ercıcio, foram analisadas 57 cabines.Note que, sobre o tacometro por exemplo, a ´ unica informac˜ ao dada e que houveram 49

tacometros defeituosos. N˜ ao sabemos quais tacometros de quais cabines estavam com defeitos

pois isso n˜ ao importa para os nossos c´ alculos. Em uma linguagem mais estatıstica, o rendimento

da cabine possui distribuic˜ ao Poisson (que pertence a famılia exponencial) e portanto

X i e

uma informac˜ ao suficiente.

N˜ ao e o caso deste exercıcio, mas observe tambem que a quantidade de ocorrencia de de-

feitos nos tacometros poderia ser superior a 57, pois, ao termos um defeito em uma peca da

cabine, esta e trocada por uma peca que talvez tambem seja defeituosa. Note tambem que as

49 ocorrencias de defeitos podem ter vindo todas da mesma cabine.

Como j´ a vimos, um intervalo de confianca para o rendimento e dado por:

(e−(λ+z

λn

); e−(λ−z

λn

))

Queremos encontrar um intervalo de 95% de confianca para o produto cabine, ent˜ ao temospela tabela da distribuic˜ ao Normal padr˜ ao que z = 1, 96.

Sejam X 1, X 2, . . . , X n v.a.´s independentes que representam o n´ umero total de defeitos da

componente i, i = 1, 2, . . . , 11; das cabines. Na tabela 11.2 podemos encontrar com facilidade a

quantidade de defeitos totais:

11

i=1 X i = 139

λEM V

= X =139

57= 2, 438 = DP U cabine

(e−(2,438+1,96√

2,43857

) ; e−(2,438−1,96√

2,43857

))

(0, 0582 ; 0, 1309)

e um IC de 95% de confianca para o rendimento da cabine.O rendimento da cabine e dado por:

P[zero defeito na cabine] = P[zero defeito no tacometro e zero defeito na mangueira e . . . e




zero defeito na coluna] ind= P[zero defeito no tacometro] P[zero defeito na mangueira] . . . P[zero

defeito na coluna] = (0, 423)(0, 601) . . . (0, 983) = 0,0902

Note que o rendimento encontrado pertence ao intervalo (0,0582 ; 0,1309). Vamos agora,encontrar intervalos de confianca para cada componente da cabine. o procedimento ser´ a o

mesmo utilizado para encontrar um intervalo de confianca para a cabine, mas agora o EMV λ

ser´ a o DPU de cada componente. Os valores ser˜ ao calculados da seguinte forma:

• Tacometro

IC (Rendtac; 0, 95) = (e−(0,86+1,96√

0,8657

); e−(0,86−1,96√

0,8657

)) = (0, 3326; 0, 5383)

Sejam LI e LS os limites inferiores e superiores, respectivamente, do intervalo de confianca

encontrado para cada componente.

Componentes Unidade Defeito DPU Rend LI LSTacometro 57 49 0,86 0,423 0,3326 0,5383Mangueiras 57 29 0,509 0,601 0,4994 0,7234

Vedacao 57 18 0,316 0,729 0,630 0,8436Ar Condicionado 57 14 0,246 0,782 0,6874 0,8893

Portas 57 10 0,175 0,839 0,7530 0,9357Caixa de Controle 57 6 0,105 0,900 0,8276 0,9793

Sistema Eletrico no Painel 57 5 0,088 0,916 0,8478 0,9890Cabo de Controle 57 3 0,053 0,949 0,8933 1,0000

Instrumento 57 2 0,035 0,965 0,9198 1,0000Ventilacao 57 2 0,035 0,965 0,9198 1,0000

Coluna 57 1 0,017 0,983 0,9504 1,0000




11.3 Defeitos por milhao de oportunidades (DPMO)

Algumas empresas avaliam apenas a taxa de defeituosos no final do processo. Por exemplo,

se foram produzidos 200 unidades e 10 unidades falharam no final da montagem, a taxa de

defeitos reportada e de 5%.

A taxa de defeito por unidade pode ser melhorada incluindo o numero de oportunidades,

para focar no processo e/ou produto. Um indicador adequado para a taxa de defeitos por

unidade deve considerar o numero de oportunidade para a falha nos calculos. Para ilustrar,

considere um processo onde os defeitos sao classificados por tipo e o numero de oportunidades

para a falha (OP) sao definidos para cada tipo. O numero de defeitos (D) e unidades (U) sao

obtidos do processo durante algum perıodo de tempo. O calculo do indicador pode ser obtido

na forma:

Tipo de defeito DescricaoNumero de Defeitos D

Unidades UOportunidades OP

Total de Oportunidades TOP = U × OPDefeitos por Unidade DPU = D / U

Defeitos pelo Total de Oportunidades DPO = D /TOPDefeitos por Milhao de Oportunidades DPMO = DPO

×1000000

Tabela 11.3: DPMO

Nas aplicacoes temos ate 20 tipos diferentes de defeitos, cujo calculo do indicador DPMO

deve ser obtido para cada tipo de defeito. Entao, tomamos a media do indicador DPO e DPMO

para o processo e/ou produto e construımos um grafico de Pareto para o DPMO dos defeitos.

Para uma aplicacao na industria eletronica, considere o processo de solda de componentes

em uma placa de circuito impresso. Neste caso, o numero de oportunidades para a falha pode

ser o numero de componentes (de cada tipo) vezes o numero de pontas de solda. A vantagem

de utilizar o DPMO para esta situacao e que diferentes componentes sao montados na placa,

cada um desses componentes contem um numero diferente de pontos de solda. Assim, com o

DPMO podemos uniformizar o indicador sobre o processo.

Exemplo 11.2. Os defeitos encontrados na assistencia tecnica de um produto foram classifica-

dos em tipos A, B, C, D, E, e F. Durante um certo perıodo de tempo foram coletados os dados

referentes ao n´ umero de defeitos (D), unidades (U) e oportunidades por unidade. Os dados s˜ ao

apresentados na tabela 11.4:




Tipo D U OP TOP DPU DPO DPMOA 21 327 92 30084 0,06422 0,000698 698,0455B 10 350 85 29750 0,028571 0,000336 336,1345C 8 37 43 1591 0,216216 0,005028 5028,284D 68 743 50 37150 0,091521 0,00183 1830,417

E 74 80 60 4800 0,925 0,015417 15416,67F 20 928 28 25984 0,021552 0,00077 769,7044

TOTAL 201 2465 358 129359

Tabela 11.4: Dados

DP OTOTAL =

ni=1 Di

ni=1 T OP i

=201

129359= 0, 00155

DPMOTOTAL = DP OTOTAL × 1000000 = 1553, 8153

Figura 11.2: Grafico de Pareto




Exercıcio 11.2. Considere uma m´ aquina colheitadeira de cana onde vamos verificar a cabine

da m´ aquina. Abaixo est˜ ao relacionados os tipos de defeitos, unidades fabricadas e n´ umero de

oportunidades por defeito. Preencher a tabela 11.5 e montar o gr´ afico de Pareto para o tipo de

defeito utilizando o DPMO.

a) Calcule o DPO e DPMO do produto:

b) Montar o gr´ afico de Pareto:

Componentes Unid Defeito Oport TOP DPO DPMOTacometro 57 49 2 114 0,43 429824,561Mangueira 57 29 2 114 0,254 254385,964

Vedacao 57 18 6 342 0,053 52631,5789Ar Condicionado 57 14 1

Portas 57 10 2Caixa de Controle 57 6 1

Sistema Eletrico no Painel 57 5 10Cabo de Controle 57 3 2

Instrumento 57 2 2Ventilacao 57 2 1

Coluna 57 1 1

Tabela 11.5: Colheitadeira de Cana

11.4 Intervalo de confianca para o DPMO

Ao estudarmos o rendimento, vimos que a amostra X 1, X 2, . . . , X n tinha distribuicao Poisson.

Neste capıtulo a metrica utilizada sera o DPMO, e como a quantidade de defeitos e finita (pois

a cabine sera classificada como defeituosa ou nao), X 1, X 2, . . . , X n tera distribuicao Binomial.

Portanto:

X 1, X 2, . . . , X niid∼ Bernoulli(θ)

• Estimador de maxima verossimilhanca

A funcao densidade de uma distribuicao Bernoulli e dada por:

f (x, θ) = P [X = x] = θx(1− θ)1−x




Logo, a funcao verossimilhanca sera:

L(x; θ) =n

i=1

f (xi, θ) = θn

i=1 xi(1 − θ)n−ni=1 xi

E portanto:

l(x; θ) =n

i=1

xi log θ + n log (1− θ) −n

i=1

xi log(1 − θ)

Novamente, derivando e igualando a zero, temos:

∂

∂ θl(θ; x) =

ni=1 xi

θ− n−n

i=1 xi

1 − θ= 0 ⇔ 1 − θ

θ=

n−ni=1 xi

ni=1 xi

⇔ 1

θ− 1 =

nni=1 xi

− 1 ⇔ θ =n

i=1 xi

n= x

∴ x e um ponto crıtico de l(θ; x).

Vamos verificar se e um ponto de mınimo ou de maximo:

∂ 2

∂θ2l(θ; x) = −

ni=1 xi

θ2− n

(1 − θ)2+

ni=1 xi

(1 − θ)2

Como X 1, X 2, . . . , X n tem distribuicao Bernoulli, entao:

X i =

1 sucesso, i = 1, . . . , n

0 fracasso

∴

ni=1

xi ≤ n

e

∴∂ 2

∂θ2l(θ; x) < 0

∴ θ = x e o EMV de θ.

• Intervalo de Confianca

ˆθ =

¯X e o EMV de θ e n

i=1 X iiid

∼ Binomial(n; θ)




E (θ) = E (

ni=1 X i

n) =

1

nE (

ni=1

X i) =n

nE (X 1) = θ

V (θ) = V (n

i=1 X in

) = 1n2

V (n

i=1

X i) = nn2

V (X 1) = θ(1 − θ)n

Obs: E (X 1) = θ e V (X 1) = θ(1 − θ) pois X 1, X 2, . . . , X niid∼ Binomial(θ).

Aplicando o TLC, temos:

Q =X − θ

θ(1−θ)

n

∼ N (0, 1)

e portanto Q e uma quantidade pivotal. Seja z definido como anteriormente, entao:

P

−z <X − θ

θ(1−θ)n

< z

= γ ⇔ P

−z

θ(1 − θ)

n− X < −θ < z

θ(1 − θ)

n− X

= γ

⇔ P

X − z

θ(1 − θ)

n< θ < X + z

θ(1 − θ)

n

= γ

∴

θ − z

θ(1 − θ)

n; θ + z

θ(1 − θ)

n

e um IC aproximado de 100γ % de confianca para θ.

Exemplo 11.3. Vamos encontrar intervalos de confianca para o DPMO da cabine e tambem

para o DPMO de cada componente da cabine. Baseados nos dados do exercıcio 11.2.

No c´ alculo do DPMO, n˜ ao e possıvel que o n umero de defeitos seja maior que o n´ umero de

cabines pois cada componente ser´ a classificada como defeituosa ou n˜ ao defeituosa (distribuic˜ ao

de Bernoulli). Novamente temos apenas a informac˜ ao sobre a estatıstica suficiente (

X i).

Completando a tabela fornecida no Exercıcio 11.2, temos:

Sejam X 1, X 2, . . . , X n v.a.´s independentes que representam o n´ umero total de defeitos da

componente i, i = 1, 2, . . . , 11; das cabines. Seja n o n´ umero total de componentes utilizados

na produc˜ ao das 57 cabines ( total de oportunidades de cada componente). Temos que:




Componentes Unid Defeito Oport TOP DPOTacometro 57 49 2 114 0,43Mangueira 57 29 2 114 0,254

Vedacao 57 18 6 342 0,053Ar Condicionado 57 14 1 57 0,245

Portas 57 10 2 114 0,087Caixa de Controle 57 6 1 57 0,105

Sistema Eletrico no Painel 57 5 10 570 0,0087Cabo de Controle 57 3 2 114 0,0263

Instrumento 57 2 2 114 0,0175Ventilacao 57 2 1 57 0,035

Coluna 57 1 1 57 0,0175

θEM V

= X = DP Ocabine =

11i=1 X i

n=

139

1710= 0, 081286

Ent˜ ao o DPMO da cabine ser´ a dado por 106 ×DP Ocabine = 81.286, 54.

Uma f´ ormula para encontrar um intervalo de confianca para o DPMO e dada por:

106

θ − z

θ(1 − θ)

n; θ + z

θ(1 − θ)

n

Queremos um intervalo com 95% de confianca, e portanto temos que z=1,96. Ent˜ ao:

106

0, 081286 − 1, 96

0, 081286(0, 918714)

1.710; 0, 081286 + 1, 96

0, 081286(0, 918714)

1.710

= (68.333, 43;94.238, 57)

e um IC de 95% de confianca para o DPMO da cabine.

Repetindo este mesmo procedimento para cada componente da cabine, encontraremos inter-

valos de 95% de confianca.




• Tacometro

IC (DPMOtac; 0, 95) = 106

0, 42982− 1, 96

0, 42982(0, 57017)

1.710; 0, 42982 + 1, 96

0, 42982(0, 57017)

1.710

= (406.360, 24; 453.288, 87)

Componentes DPMO LI LSTacometro 429.824,561 406.360,24 453.288,87Mangueira 254.385,96 233.743,49 275.028,43

Vedacao 52.631,57 42.047,80 63.215,35Ar Condicionado 245.614,03 225.211,62 266.016,44

Portas 87.719,29 74.311,11 101.127,47Caixa de Controle 105.263,15 90.717,14 119.809,16

Sistema Eletrico no Painel 8.771,929 4.352,23 13.191,62

Cabo de Controle 26.315,78 18.728,69 33.902,88Instrumento 17.543,859 11.321,18 23.766,53Ventilacao 35.087,71 26.366,45 43.808,98

Coluna 17.543,85 11.321,18 23.766,53

11.5 Rendimento: Analise da resposta do processo (Rolled

Throughput Yield)Quando analisamos somente a taxa de defeito no final do processo, perdemos informa coes

sobre o retrabalho que ocorre durante o processo. Ao utilizarmos a analise da resposta do

processo podemos identificar a fase do processo com maior taxa de defeitos e/ou retrabalho.

Figura 11.3: Grafico do Rendimento Classico




Tabela de calculo do indicador ”rendimento do processo”.

Componentes Unidades Defeitos DPU Resposta

1 U D D/U e−DPU

......

......

...

K U D D/U e−DPU

Soma de Soma deSoma de DPU Y T R = Produto RespostaSomas

Unidades Defeitos

Media da soma Media deMedia de DPU

Medias de unidades defeitospor operacao por operacao

por operacao− ln(Y T R)

Tabela 11.6: Resumo dos Dados




Figura 11.4: Grafico do Rendimento do Processo

Sabemos que o rendimento corresponde a Rendimento = e−DP U , portanto DP U =−

ln[e−DP U ].

Teorema da Probabilidade Total: Considere A1, A2, · · · , An eventos quaisquer. Entao,

temos que

P (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩An) = P (An|A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An−1)× · · · × P (A2|A1) × P (A1)




11.6 Exercıcios

Exercıcio 11.3. Considere um processo de fabricac˜ ao do pist˜ ao de um motor. Este processo e

dividido em quatro etapas b´ asicas:

• A - Fundic˜ ao;

• B - Pre usinagem;

• C - Usinagem e;

• D - Tratamento superficial.

Calcule o rendimento total do processo de fabricac˜ ao do pist˜ ao.

Operacao Unid Defeito DPU Rendimento Prob. Def.A 45.000 580B 44.420 220C 44.200 310D 43.890 75

SomaMedias

Tabela 11.7: Coleta de Dados

Exercıcio 11.4. Um eletrodomestico e dividido em seis m´ odulos b´ asicos. Atraves de dados de

assistencia tecnica temos as ocorrencias de defeitos em cada produto. Os dados referentes a

um lote de produc˜ ao est˜ ao dispostos na tabela :

Modulos Unidades Defeitos DPU Rendimento1 1500 122 1500 163 1500 17

4 1500 85 1500 226 1500 5

SomasMedias


a) Calcular o rendimento do produto;

b) Obter o PPM do produto;

c) Montar o gr´ afico de Pareto.




Exercıcio 11.5. Considere o processo de solda de componentes em uma placa de circuito im-

presso. Neste caso, o n´ umero de oportunidades para a falha pode ser o n´ umero de componentes

(de cada tipo) vezes o n´ umero de pontas de solda. A placa e constituıda por 8 transistores, 10

diodos, 15 resistores e 4 circuitos integrados. Os dados referentes a um dia montagem est˜ aodispostos na tabela :

Tipo D U OP TOP DPU DPO DPMOTransistores 45 10000 24

Resistores 23 10000 20Diodos 32 10000

CI 150 10000Total


a) Calcule o DPO e DPMO do produto;

b) Montar o gr´ afico de Pareto.

11.7 Metrica da Qualidade: SIGMA

Aqui, vamos estudar a relacao entre a metrica da qualidade SIGMA obtida via a distribuicao

normal e a taxa de defeitos por milhao.

A distribuicao e Normal quando sua densidade tem a forma de ”sino”:

Figura 11.5: Areas sob a Curva Normal




Esta figura ilustra o conceito basico das metricas de sistema da qualidade onde as pecas sao

manufaturadas e avaliadas a porcentagem (ou PPM) de pecas fora de especificacao.

Especificacoes Porcentagem PPM de defeitos

±1σ 68.27 317300±2 σ 95.45 54500±3 σ 99.73 2700±4 σ 99.9937 63±5 σ 99.999943 0.57±6 σ 99.9999998 0.002

Em geral, nao conseguimos manter um processo totalmente centrado, sempre temos uma

pequena variacao na media do processo devido a mudancas na materia-prima, condicoes ambi-

entais, manutencao de maquina e ferramentas, entre outras causas. Assim, a Motorola sugeriu

uma variacao natural de 1.5σ em torno da media do processo. Abaixo apresentamos um grafico

ilustrando a variacao.

Figura 11.6: Limites de Variacao

Especificacoes Porcentagem PPM de defeitos±1σ 30.23 697700±2σ 69.13 308700

±3σ 93.32 66810

±4σ 99.379 6210±5σ 999.767 233±6σ 9.999.966 3.4




Esta relacao e determinada utilizando a variacao de ± 1.5 × σ, sendo expressa de forma

aproximada por [Schmidt e Launsby (1997)]:

Numero de SIGMA = 0, 8406 + 29, 37 − 2, 221 × ln(P P M )

OBS: Se usarmos oportunidade de defeito para calcular o indicador da qualidade, devemos

substituir o PPM por DPMO.

Exemplo 11.4. Considere um processo com PPM igual a 20. Quantos sigma tem o processo?

N´ umero de SIGMA = 0, 8406 +

29, 37 − 2, 221 × ln(20) = 0, 8406 + 4, 7661 = 5, 6

Exercıcio 11.6. Com os dados do exercıcio 11.1, calcular a metrica sigma.



98

Capıtulo 12

Definicoes

Def: ( func˜ ao verossimilhanca ) Seja X 1, X 2, . . . , X n uma amostra aleatoria com funcao den-

sidade f (x; θ). A funcao verossimilhanca de θ correspondente a amostra observada e dada

por:

L(θ; x) =n

i=1

f (xi|θ)

Obs 1: O logaritmo da funcao verossimilhanca L(·) e denotado por l(·).

Def: (estimador de m´ axima verossimilhanca ) O estimador de maxima verossimilhanca

(EMV) de θ e o valor θ que maximiza a funcao verossimilhanca L(θ; x).

Def: (quantidade pivotal ) Uma v.a. Q(X 1, X 2, . . . , X n; θ) = Q(X ; θ) e dita ser uma quan-

tidade pivotal para o parametro θ se a sua distribuicao for independente de θ.

Def: (intervalo de confianca ) Seja X 1, X 2, . . . , X n uma amostra aleatoria com funcao den-

sidade f (·; θ). Sejam T 1 = t1(X 1, X 2, . . . , X n) e T 2 = t2(X 1, X 2, . . . , X n) duas estatısticas

satisfazendo T 1 ≤ T 2 para cada P θ[T 1 < τ (θ) < T 2] ≡ γ , onde γ nao depende de θ. Entao

o intervalo aleatorio (T 1, T 2) e chamado de intervalo de confianca de 100γ % para τ (θ). γ e

chamado de coeficiente de confianca, T 1 e T 2 sao chamados de limites de confianca inferior e

superior, respectivamente, para τ (θ). Um valor (t1, t2) do intervalo aleatorio (T 1;T 2) e tambem

chamado de intervalo de confianca de 100γ % para τ (θ).

Obs 2: Seja g uma funcao crescente e (T 1, T 2) um intervalo de confianca para o parametro

θ, entao (g(T 1), g(T 2)) e um IC para g(θ). Se g e decrescente, entao (g(T 2), g(T 1)) e um IC para



12. Definic˜ oes 99

g(θ).

Teorema do Limite Central (TLC): Seja X 1, X 2, . . . , X n uma sequencia de variaveis

aleatorias independentes com mesma distribuicao. Sejam µ = E (X i) e σ2

= V (X i) a esperancae a variancia comuns. Seja S =

ni=1 X i. Entao sob determinadas condicoes, temos:

S − E (S ) V (S )

∼ N (0, 1)



100

Apendice A

Tabela Normal Padrao - 6σ



A. Tabela Normal Padr˜ ao - 6 σ 101

Z Area Z Area Z Area Z Area

0,00 0,500000000 0,50 0,308537539 1,00 0,158655254 1,50 0,066807201

0,01 0,496010644 0,51 0,305025731 1,01 0,156247645 1,51 0,0655217120,02 0,492021686 0,52 0,301531788 1,02 0,153864230 1,52 0,0642554880,03 0,488033527 0,53 0,298055965 1,03 0,151505003 1,53 0,0630083640,04 0,484046563 0,54 0,294598516 1,04 0,149169950 1,54 0,0617801770,05 0,480061194 0,55 0,291159687 1,05 0,146859056 1,55 0,0605707580,06 0,476077817 0,56 0,287739719 1,06 0,144572300 1,56 0,0593799410,07 0,472096830 0,57 0,284338849 1,07 0,142309654 1,57 0,0582075560,08 0,468118628 0,58 0,280957309 1,08 0,140071090 1,58 0,0570534330,09 0,464143607 0,59 0,277595325 1,09 0,137856572 1,59 0,0559174030,10 0,460172163 0,60 0,274253118 1,10 0,135666061 1,60 0,0547992920,11 0,456204687 0,61 0,270930904 1,11 0,133499513 1,61 0,0536989280,12 0,452241574 0,62 0,267628893 1,12 0,131356881 1,62 0,052616138

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4,00 0,000031671 4,50 0,000003398 5,00 0,000000287 5,50 0,0000000194,01 0,000030359 4,51 0,000003241 5,01 0,000000272 5,51 0,0000000184,02 0,000029099 4,52 0,000003092 5,02 0,000000258 5,52 0,0000000174,03 0,000027888 4,53 0,000002949 5,03 0,000000245 5,53 0,0000000164,04 0,000026726 4,54 0,000002813 5,04 0,000000233 5,54 0,0000000154,05 0,000025609 4,55 0,000002682 5,05 0,000000221 5,55 0,0000000144,06 0,000024536 4,56 0,000002558 5,06 0,000000210 5,56 0,0000000134,07 0,000023507 4,57 0,000002439 5,07 0,000000199 5,57 0,0000000134,08 0,000022518 4,58 0,000002325 5,08 0,000000189 5,58 0,0000000124,09 0,000021569 4,59 0,000002216 5,09 0,000000179 5,59 0,0000000114,10 0,000020658 4,60 0,000002112 5,10 0,000000170 5,60 0,0000000114,11 0,000019783 4,61 0,000002013 5,11 0,000000161 5,61 0,0000000104,12 0,000018944 4,62 0,000001919 5,12 0,000000153 5,62 0,0000000104,13 0,000018138 4,63 0,000001828 5,13 0,000000145 5,63 0,0000000094,14 0,000017365 4,64 0,000001742 5,14 0,000000137 5,64 0,00000000854,15 0,000016624 4,65 0,000001660 5,15 0,000000130 5,65 0,00000000804,16 0,000015912 4,66 0,000001581 5,16 0,000000123 5,66 0,00000000764,17 0,000015230 4,67 0,000001506 5,17 0,000000117 5,67 0,00000000714,18 0,000014575 4,68 0,000001434 5,18 0,000000111 5,68 0,00000000674,19 0,000013948 4,69 0,000001366 5,19 0,000000105 5,69 0,00000000644,20 0,000013346 4,70 0,000001301 5,20 0,000000100 5,70 0,00000000604,21 0,000012769 4,71 0,000001239 5,21 0,000000094 5,71 0,00000000564,22 0,000012215 4,72 0,000001179 5,22 0,000000089 5,72 0,00000000534,23 0,000011685 4,73 0,000001123 5,23 0,000000085 5,73 0,00000000504,24 0,000011176 4,74 0,000001069 5,24 0,000000080 5,74 0,00000000474,25 0,000010689 4,75 0,000001017 5,25 0,000000076 5,75 0,00000000454,26 0,000010221 4,76 0,000000968 5,26 0,000000072 5,76 0,00000000424,27 0,000009774 4,77 0,000000921 5,27 0,000000068 5,77 0,00000000404,28 0,000009345 4,78 0,000000876 5,28 0,000000065 5,78 0,00000000374,29 0,000008934 4,79 0,000000834 5,29 0,000000061 5,79 0,00000000354,30 0,000008540 4,80 0,000000793 5,30 0,000000058 5,80 0,00000000334,31 0,000008163 4,81 0,000000755 5,31 0,000000055 5,81 0,00000000314,32 0,000007801 4,82 0,000000718 5,32 0,000000052 5,82 0,00000000294,33 0,000007455 4,83 0,000000683 5,33 0,000000049 5,83 0,00000000284,34 0,000007124 4,84 0,000000649 5,34 0,000000046 5,84 0,00000000264,35 0,000006807 4,85 0,000000617 5,35 0,000000044 5,85 0,00000000254,36 0,000006503 4,86 0,000000587 5,36 0,000000042 5,86 0,00000000234,37 0,000006212 4,87 0,000000558 5,37 0,000000039 5,87 0,00000000224,38 0,000005934 4,88 0,000000530 5,38 0,000000037 5,88 0,00000000214,39 0,000005668 4,89 0,000000504 5,39 0,000000035 5,89 0,00000000194,40 0,000005413 4,90 0,000000479 5,40 0,000000033 5,90 0,00000000184,41 0,000005169 4,91 0,000000455 5,41 0,000000032 5,91 0,00000000174,42 0,000004935 4,92 0,000000433 5,42 0,000000030 5,92 0,00000000164,43 0,000004712 4,93 0,000000411 5,43 0,000000028 5,93 0,00000000154,44 0,000004498 4,94 0,000000391 5,44 0,000000027 5,94 0,00000000144,45 0,000004294 4,95 0,000000371 5,45 0,000000025 5,95 0,00000000134,46 0,000004098 4,96 0,000000352 5,46 0,000000024 5,96 0,00000000134,47 0,000003911 4,97 0,000000335 5,47 0,000000023 5,97 0,00000000124,48 0,000003732 4,98 0,000000318 5,48 0,000000021 5,98 0,00000000114,49 0,000003561 4,99 0,000000302 5,49 0,000000020 5,99 0,0000000010

6,00 0,0000000010

Tabela A.1: Tabela Normal 6σ



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Referencias Bibliograficas

[1] Douglas C. Montgomery - Introduction to Statistical Quality Control, John Wiley and

Sons, 1985.

[2] Fundamentos do Controle Estatıstico do Processo - Manual de Referencia, IQA.

[3] Schmidt, S. R. and Launsby, R. G. - Understanding Industrial Designed Experiments, Air

Academic Press, Colorado Springs, CO, (1997).

[4] Forrest W. Breyfogle (1999) - Implementing Six Sigma: Smarter Solution Using Statistical

Methods, John Wiley & Sons, INC.

[5] M. N. Magalhaes e A. C. P. De Lima (2001) Nocoes de Probabilidade e Estatıstica, 3

edicao, Editora USP.

[6] P. L. Meyer (1983) - Probabilidade: Aplicacoes a Estatıstica, segunda edicao, Livros

tecnicos e Cientıficos Editora.

[7] W. O. Bussab e P. A. Morettin (1987) - Estatıstica Basica - 4 Edicao, Atual Editora.

[8] Breyfogle, Forrest W. - Implementing Six Sigma: Smarter Solution Using Statistical Meth-

ods, John Wiley & Sons, INC, (1999).

[9] Fundamentos do Controle Estatıstico do Processo - Manual de Referencia, IQA.

[10] R. L. Mason, R. F. Gunst, J. L. Hess (1989) Statistical Design and Analysis of Experiments:

with applications do Engineering and Science, John Wiley & Sons.

[11] BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML, Guide to the Expression of Uncertainty

in Measurement, 1995.

[12] NBR ISO 10012-1, Requisitos de Garantia da Qualidade para Equipamentos de Medicao,

1993.



Referencias Bibliograficas 105

[13] MSA, Analise dos Sistemas de medicao, terceira edicao.

[14] Versao Brasileira do documento de referencia EA-4/02: Expressao da incerteza de medicao

na calibracao, INMETRO.

[15] Montgomery, Douglas C., Design and Analysis of Experiments - - Fourth Edition - Ed.

John Wiley & Sons, 1997.

apostila estatistica

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