apostila probabilidade estatistica aluno

APOSTILA DA DISCIPLINA DE

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

Aluno(a):______________________________________

Curso: ________________________________________

Turma:________________________________________

2° Semestre/2012

SOCIEDADE UNIVERSITÁRIA REDENTOR FACULDADE REDENTOR

CURSOS DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIAS E SISTEMAS DE INFORMAÇÃO PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA - Profª M.Sc. Muriel B. de Oliveira

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I – CONCEITOS INICIAIS

1.1- INTRODUÇÃO

A Estatística é a parte da matemática aplicada que apresenta processos próprios

para coletar, apresentar e interpretar adequadamente conjuntos de dados, sejam eles

numéricos ou não. Podemos dizer que seu objetivo é o de apresentar informações

sobre dados em análise para que tenhamos maior compreensão dos fatos que os

mesmos representam.

As aplicações da estatística estão presentes em todos os campos de estudo: na

medicina (por exemplo, no controle de doenças que antecipam epidemias), na biologia

(por exemplo, no caso de espécies ameaçadas de extinção, onde são criados

regulamentos e leis para a proteção das mesmas a partir das estimativas estatísticas

de modificação de tamanho destas populações), nas ciências sociais (para o

planejamento de ações que busquem o equilíbrio social), na física, na administração,

na economia, na política, e em muitas outras áreas do conhecimento.

Na engenharia, um dos maiores usos está no controle de processos, produtos e

serviços. Podemos observar isso, por exemplo, nas técnicas de controle de qualidade.

Com base nas análises estatísticas temos melhores justificativas para propor medidas

de controle como as que regem a poluição ambiental, as inspeções de automóveis, a

utilização de equipamentos de proteção individual, etc. A estatística pode ser aplicada

na produção para acompanhar a estabilidade dos processos, por meio das cartas de

acompanhamento (cartas de controle estatístico de processo). Também utilizamos a

estatística para analisar ensaios destrutivos e não destrutivos, onde pode ser verificada

a porcentagem de peças não conformes ou probabilidade de vida útil de equipamentos

ou peças. Utilizamos a estatística em calibração de equipamentos de medição e na

verificação da condição de uso desses meios de medição e em muitas outras

aplicações.

As informações estatísticas são concisas, específicas e eficazes, fornecendo

assim subsídios imprescindíveis para as tomadas racionais de decisão. Neste sentido,

a Estatística fornece ferramentas importantes para que as empresas e instituições

possam definir melhor suas metas, avaliar seu desempenho, identificar seus pontos

fracos e atuar na melhoria contínua de seus produtos e serviços.

A estatística descritiva, cujo objetivo básico é o de sintetizar uma série de

valores de mesma natureza, permitindo dessa forma que se tenha uma visão global da

variação desses valores, organiza e descreve os dados de três maneiras: por meio de

tabelas, de gráficos e de medidas descritivas, que serão vistos neste e nos próximos

módulos.



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1.2- O MÉTODO, A COLETA DE DADOS EM ENGENHARIA E OS CONCEITOS

FUNDAMENTAIS

Primeiramente vamos tratar do método de engenharia, que é a abordagem para

formular e resolver problemas. Segundo Montgomery (2009), as etapas do método de

engenharia são dadas por:

I – Desenvolver uma descrição clara e concisa do problema;

II – Identificar os fatores importantes que afetam esse problema ou que possam

desempenhar um papel em sua solução;

III – Propor um modelo para o problema, usando o conhecimento científico ou de

engenharia do fenômeno estudado. Estabelecer qualquer limitação ou suposição do

problema;

IV – Conduzir experimentos apropriados e coletar dados para testar ou validar o

modelo-tentativa ou conclusões feitas nas etapas II e III;

V – Refinar o modelo com base nos dados observados;

VI – Tratar do modelo (manipular) de modo a ajudar no desenvolvimento da

solução do problema;

VII – Conduzir um experimento apropriado para confirmar que a solução

proposta para o problema é efetiva e eficiente;

VIII – Tirar conclusões ou fazer recomendações baseadas na solução do

problema.

Analisando estas etapas podemos ver o quanto o engenheiro tem de saber

como planejar eficientemente os experimentos, coletar dados, analisar e interpretar os

mesmos, entendendo como os dados observados estão relacionados com o modelo

que foi proposto para o problema em estudo.

Os métodos estatísticos são usados para nos ajudar a entender a variabilidade.

Vamos conhecer agora conceitos importantes para nossos estudos, com aplicações em

engenharia:

Variabilidade: é quando sucessivas observações de um sistema ou fenômeno

não produzem exatamente o mesmo resultado. Por exemplo, considere o desempenho

do consumo de gasolina em seu carro. Em cada tanque de combustível o desempenho

pode variar consideravelmente, dependendo de muitos fatores como o tipo de estrada,

as condições do veículo, a marca da gasolina, as condições climáticas, etc. Esses

fatores representam as fontes potenciais de variabilidade.



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O raciocínio (inferência estatística) do engenheiro para analisar os fatores é de

uma amostra para uma população.

População: é todo conjunto de elementos, finito ou infinito, que tem pelo menos

uma característica em comum.

Amostra: é uma parte da população adequadamente selecionada de acordo

com uma regra ou um plano. Este subconjunto deve ter dimensão menor que o da

população e seus elementos devem ser representativos da população.

Em se tratando de conjuntos-subconjuntos, estes podem ser finitos quando

possuem um número limitado de elementos e infinitos quando possuem um número

ilimitado de elementos.

Um Parâmetro é a medida numérica que descreve uma característica da

população.

Uma Estatística é uma é a medida numérica que descreve uma característica

da amostra.

Vamos observar o esquema abaixo que apresenta alguns parâmetros como a

média, a variância, o desvio padrão, a proporção, que veremos detalhadamente ao

longo do nosso curso.

1.3- PLANEJAMENTO DE UM ESTUDO ESTATÍSTICO

Após a definição do problema a ser estudado e o estabelecimento do

planejamento da pesquisa, que inclui a forma pela qual os dados serão coletados, o

cronograma das atividades, o levantamento dos custos envolvidos, o exame das

informações disponíveis, o delineamento da amostra, etc., o passo seguinte é a coleta

de dados, que consiste na busca ou aplicação dos dados das variáveis, componentes

do fenômeno a ser estudado.

A coleta de dados chamada de direta quando os dados são obtidos na fonte

originária. Os valores assim compilados são chamados de dados primários, como, por

exemplo, dados obtidos em pesquisas de opinião pública, vendas registradas em notas

fiscais da empresa, medição de chuva em pluviômetros, contagem do número de

carros que passa por dia em um cruzamento, etc.



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A coleta de dados é dita indireta quando os dados obtidos provêm de coleta

direta. Os valores assim compilados são denominados de dados secundários, como,

por exemplo, o cálculo do tempo de vida média de um produto, obtido por pesquisa, em

tabelas publicadas.

Quanto ao tempo, a coleta pode ser classificada em:

Contínua: quando é realizada permanentemente, sem interrupção,

automaticamente e na vigência de um determinado período, por exemplo, consumo de

energia elétrica em uma residência, medida mensalmente;

Periódica: quando é feita em intervalos de tempo curtos determinados, por

exemplo, o censo industrial e o controle de tráfego em feriados;

Ocasional: quando é efetuada sem época preestabelecida, atendendo a uma

conjuntura qualquer ou a uma emergência, por exemplo, dados de desastres naturais.

Os métodos possíveis de coleta de dados em um estudo estatístico são:

Censo: é uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se dados relativos a

todos os elementos da população. É 100% confiável, porém caro, lento, às vezes

desatualizado (dependendo do tempo gasto para realização) e nem sempre viável.

Estimação: é uma avaliação indireta de um parâmetro populacional com base

em um estimador. Tem menos de 100% de confiabilidade, porém barato, rápido e

atualizado.

Simulação: é o uso de um modelo físico ou matemático para reproduzir as

condições de uma determinada situação, por exemplo, teste para eficiência de airbags

em automóveis.

Experimentação: quando é aplicado um tratamento a uma parte da população

e são verificadas as respostas, por exemplo, uso de medicamentos.

Estudo observacional: são observadas e medidas características específicas,

mas os objetos do estudo não são modificados, por exemplo, uma pesquisa de

satisfação de clientes

Na coleta de dados a amostra deve ser representativa da população. Devemos

usar técnicas de amostragem apropriadas para que se garanta que as inferências

sobre a população sejam válidas. As regras de amostragem podem ser classificadas

em duas categorias gerais:

Probabilísticas: são amostragens em que a seleção é aleatória onde cada

elemento tenha uma chance conhecida, mas não necessariamente igual, de ser

selecionado para a amostra.

Em uma amostra aleatória, membros de uma população são selecionados de tal

modo que cada membro individual tem chance igual de ser selecionado.



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Uma amostra aleatória simples de tamanho n é selecionada de tal modo que

toda a amostra possível de mesmo tamanho n tenha a mesma chance de ser

escolhida.

Não-probabilísticas ou intencionadas: são amostragens em que há uma

escolha deliberada dos elementos da amostra.

A revisão crítica dos dados tem a finalidade de descartar os valores estranhos

ao levantamento, os quais são capazes de provocar futuros enganos. É importante

sempre identificarmos todos os possíveis erros.

A apresentação dos dados é o próximo passo, que pode ser feita por meio das

tabelas e dos gráficos. A tabela é um quadro que resume um conjunto de observações,

enquanto os gráficos são formas de apresentação dos dados, cujo objetivo é o de

produzir uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo.

Para ressaltar as tendências características observadas nas tabelas,

isoladamente, ou em comparação com outras, é necessário expressar tais tendências

através de números ou medidas descritivas. As medidas descritivas são conhecidas

como medidas de posição, medidas de dispersão, de assimetria e de curtose, e

veremos todas essas detalhadamente nos próximos módulos.

A análise dos dados permite a emissão da conclusão final do estudo.

A Estatística Descritiva pode assim ser resumida no diagrama a seguir:

1.4. VARIÁVEIS

Após a determinação dos elementos nos perguntamos: o que fazer com estes?

Podemos medi-los, observá-los, contá-los surgindo um conjunto de respostas que

receberá a denominação de variável.

Variável: é a característica que vai ser observada, medida ou contada nos

elementos da população ou da amostra e que pode variar, ou seja, assumir um valor

diferente de elemento para elemento. Dividem-se em:

I) Variável Qualitativa (ou dados categóricos): podem ser separados em

diferentes categorias, atributos, que se distinguem por alguma característica não

numérica. Divide-se em:

COLETA DOS

DADOS

CRÍTICA DOS

DASDOS

APRESENTAÇÃO DOS DADOS

TABELAS ANÁLISE

GRÁFICOS ANÁLISE



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Variável Qualitativa Nominal: é uma variável que assume como possíveis

valores, atributos ou qualidades e estes não apresentam uma ordem natural de

ocorrência. Exemplo: meios de informação: televisão, revista, internet, jornal.

Variável Qualitativa Ordinal: é uma variável que assume como possíveis valores

atributos ou qualidades e estes apresentam uma ordem natural de ocorrência. Por

exemplo: estado civil (solteiro, casado, separado, divorciado).

II) Variável Quantitativa: consistem em números que representam contagens

ou medidas. Divide-se em:

Variáveis Quantitativas Discretas: resultam de um conjunto finito, enumerável de

valores possíveis. Por exemplo: número de filhos, número de provas, número de

acidentes do trabalho, etc.

Variáveis Quantitativas Contínuas: resultam de números infinitos de valores

possíveis que podem ser associados a pontos em uma escala contínua, e em geral,

resultantes de mensurações. Por exemplo: temperatura, altura, peso, comprimento de

uma estrada, etc.

Resumidamente, quanto ao nível de mensuração temos as variáveis:

Exemplo 1.1:

Classificar as variáveis abaixo segundo o nível de mensuração:

a) Cor de sinalização de segurança:

b) Número de peças defeituosas:

c) Área de uma construção:

d) Profissão:

Variáveis

QUALITATIVAS: SUAS REALIZAÇÕESSÃO ATRIBUTOS DOS

ELEMENTOS PESQUISADOS

NOMINAIS: APENAS IDENTIFICA AS CATEGORIAS

ORDINAIS: É POSSÍVEL ORDENAR AS CATEGORIAS

QUANTITATIVAS (INTERVALARES): SUAS

REALIZAÇÕES SÃO NÚMEROS

RESULTANTES DE CONTAGEM OU MENSURAÇÃO

DISCRETAS: PODEM ASSUMIR APENAS ALGUNS VALORES

CONTÍNUAS: PODEM ASSUMIR INFINITOS

VALORES



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e) Número de empregados de uma fábrica:

f) Tipo sanguíneo:

g) Sexo:

h) Valor obtido na face superior de um dado:

i) Salário dos Empregados de uma empresa:

j) Resultado da extração da loteria Federal:

k) Comprimento de um seguimento de reta:

l) Área de um Círculo:

m) Raça:

n) Volume de água contido numa piscina:

o) Letras do alfabeto:

1.5. SÉRIES ESTATÍSTICAS

É importante organizar os dados de maneira prática e racional, para o melhor

entendimento do fenômeno que se está estudando. A Estatística Descritiva pode extrair

e apresentar a informação contida nos dados coletados e apresentá-los de três formas

(tabelas, gráficos e medidas descritivas), que possibilitam uma rápida visão geral do

fenômeno estudado. Neste módulo veremos as tabelas representadas pelas séries

estatísticas.

As tabelas podem ser consideradas quadros em que estão resumidos um

conjunto de dados organizados e dispostos sistematicamente em linhas e colunas.

Assim como existem algumas regras e normas que devem ser observadas

quando vamos elaborar um texto científico ou acadêmico, para organizar os dados em

séries estatísticas ou em distribuição de frequências, existem algumas normas

nacionais definidas pela Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) que devem

ser respeitadas. Dessa forma, toda tabela estatística deve conter elementos essenciais

e elementos complementares, quando necessário.

Temos como elementos essenciais:

Título: no título é indicada a natureza do fato estudado, ou seja, o que foi

estudado. Também deve conter as variáveis escolhidas na análise do fato, o local e a

época em que os dados foram obtidos.



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Corpo: é formado pelo conjunto de linhas e colunas, em que podemos observar

as séries horizontais e verticais de informações.

Cabeçalho: no início de cada coluna devemos designar a natureza do conteúdo

de que a coluna trata.

Coluna indicadora: nessa coluna devemos evidenciar a natureza do conteúdo de

cada linha.

Temos como elementos complementares:

Fonte: onde se indica a entidade responsável pela sua organização ou que

forneceu dos dados primários. Deve ficar no rodapé da tabela.

Notas: quando é necessário algum outro esclarecimento além dos essenciais,

eles devem ser colocados em forma de notas no rodapé da tabela.

Chamadas: são colocadas também no rodapé da tabela e são necessárias para

esclarecer pormenores ou detalhes em relação às células, colunas ou linhas.

Obs: Nenhuma célula deve ficar em branco, deve sempre apresentar um número ou sinal. O

lado direito e esquerdo das tabelas devem sempre ser abertos (sem bordas).

Agora vamos a definição de série estatística:

Série Estatística é qualquer coleção de dados colocada numa tabela e

classificada segundo as variações do fenômeno observado.

As séries estatísticas podem ser divididas em série de dados não agrupados e

série de dados agrupados, como segue:

I) Série de dados não agrupados

Podem estar relacionadas a época de ocorrência, a localização, ou a um fator

específico relacionado ao problema estudado, ou ainda fazer referência a mais de um

destes fatores. São elas:

a) Série Cronológica, Temporal, Evolutiva ou Histórica: é a série estatística em

que os dados são observados segundo a época de ocorrência.

Exemplo 1.2:

Tabela 1.1 Taxa de domicílios particulares permanentes com acesso à internet, no Brasil, de 2005 a 2009

Período Domicílios particulares permanentes com acesso à internet

2005 13,7

2006 16,7

2007 20

2008 23,8

2009 27,4

Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisas, Coordenação de Trabalho e Rendimento, 2009



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b) Série Geográfica ou de Localização: é a série estatística em que os dados são

observados segundo a localidade de ocorrência.

Exemplo 1.3:

Tabela 1.2. Chuva observada no Ceará relativa ao mês de maio de 2000

Região Precipitação (mm)

Litoral Norte 70,8

Litoral do Pecém 96,9

Litoral de Fortaleza 148,1

Maciço de Baturité 148,0

Sertão Central e Inhamuns 43,5

Fonte: www.funceme.br

c) Série Específica: é a série estatística em que os dados são agrupados

segundo a modalidade (espécie) de ocorrência.

Exemplo 1.4:

Tabela 1.3. Indicadores Conjunturais da Indústria, Índice Mês/Mês Anterior com ajustamento sazonal - Brasil - Outubro- 2011

Variáveis Índice Mês/Mês Anterior (1)

Ind. Geral Ind. Extrativa Ind. Transformação

Pessoal Ocupado Assalariado (2) 99,56 100,68 99,52

Número de Horas Pagas 99,08 99,64 99,06

Folha de Pagamento Real 97,84 86,26 98,97

Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisas, Coordenação de Indústria. (1) Base: Mês imediatamente anterior = 100. (2) Variável sem movimento sazonal significativo e, portanto, sem ajuste sazonal, nas indústrias extrativas.

d) Série Mista: é a série estatística em que os dados são agrupados com a variação do fenômeno em função de mais de uma das séries anteriores.

Exemplo 1.5:

Tabela 1.4 Incidência de acidentes de trabalho (número de acidentes típicos e de trajeto, por 1000 trabalhadores segurados no Brasil em 1997, 1998 e 2000

Incidência de acidentes de trabalho (n o de acidentes

típicos e de trajeto, por 1000 trabalhadores segurados

1997 1998 2000

Brasil 21,9 23,1 20,4

Região Norte 11,9 14,1 13,2

Região Nordeste 11,4 11 9,2

Região Sudeste 23,7 25,8 22,9

Região Sul 30,1 27,9 24,9

Região Centro-Oeste 13,1 15,1 13,4

Fonte: Ministério da Saúde, Secretaria de Políticas de Saúde (SPS).



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II) Série de dados agrupados:

Dependendo do volume de dados, torna-se difícil ou impraticável tirar conclusões a respeito do comportamento das variáveis e, em particular, de variáveis quantitativas. Uma das maneiras de sumarizar os valores de uma variável discreta ou contínua é a montagem de uma distribuição de frequência.

Por definição, uma distribuição de frequência (ou tabela de frequência) lista os valores dos dados, juntamente com suas frequências correspondentes (ou contagens).

- Distribuição de Frequência por Intervalos: série estatística na qual a variável observada está dividida em subintervalos do intervalo total, neste caso temos uma variável contínua;

- Distribuição de Frequência por Pontos: série estatística na qual as frequências observadas estão associadas a um ponto real observado, neste caso temos uma variável discreta.

Para iniciar, podemos colocar os dados brutos de cada uma das variáveis quantitativas em uma ordem crescente ou decrescente, o que denominaremos de rol. A visualização de algum padrão ou comportamento pode continuar sendo de difícil observação ou até mesmo cansativa, mas conseguimos de forma rápida identificar maiores e menores valores ou concentrações de valores no caso de variáveis quantitativas.

Estes números (menor e maior valor observado) servem de ponto de partida para a construção de tabelas para estas variáveis. A seguir, estão alguns conceitos, aliados a procedimentos comuns para a representação das distribuições de frequências, onde:

Dados brutos

É o conjunto dos dados numéricos obtidos após a crítica dos valores coletados.

Exemplo 1.6:

24 – 23 – 22 – 28 – 35 – 21 – 23 – 33 – 34 – 24 – 21 – 25 – 36 – 26 – 22

30 – 32 – 25 – 26 – 33 – 34 – 21 – 31 – 25 – 31 – 26 – 25 – 35 – 33 – 31

Rol

É o arranjo dos dados brutos em ordem de frequências crescente ou decrescente. No exemplo 6 colocamos os dados brutos do exemplo 5 em rol (de forma crescente).

Exemplo 1.7:

21 – 21 – 21 – 22 – 22 – 23 – 23 – 24 – 24 – 25 – 25 – 25 – 26 – 26 – 26

28 – 30 – 31 – 31 – 31 – 32 – 33 – 33 – 33 – 34 – 34 – 34 – 35 – 35 – 36

Amplitude total (AT)

É a diferença entre o maior e o menor valor observados. No exemplo 6 temos:

AT = xmax – xmin



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AT = 36 – 21 = 15.

Número de classes (k)

De modo a interpretar melhor o que esses números exprimem, devemos criar intervalos (classes), preferencialmente, igualmente espaçados. O número deles depende do número de observações (n) e o quão dispersos os dados estão. Não há uma fórmula exata para o cálculo do número de classes. Apresentamos a seguir, duas soluções.

O número de classes (k) será k = 5 para n ≤ 25 e k= √n , para n > 25.

Fórmula de Sturges: k ≈ 1 + 3,3 log n, em que n = tamanho da amostra.

Exemplo 1.8:

Para um total de 30 dados, n = 30, temos que:

k = √30 = 5,48 ou k ≈ 1 + 3,3 log 30 ≈ 5,87 .

Geralmente utilizamos k como um número inteiro, neste caso adotamos k = 5.

Amplitude das classes (h)

A especificação da largura do intervalo é uma consideração importante. Intervalos muito grandes resultam em um número menor de classes de intervalo. A amplitude das classes é dada pela relação:

Assim como no caso do número de classes (K), a amplitude das classes (h) deve ser aproximada para o maior inteiro.

A amplitude das classes (h) deve estar entre os números 1, 2, 3, 5, 7, 10 e os múltiplos de 5.

A amplitude das classes (h) é a diferença entre dois limites inferiores ou superiores de classe consecutivos.

Limites das classes

Limites inferiores de classe (Li) são os menores números que podem pertencer às diferentes classes.

Limites superiores de classe (Ls) são os maiores números que podem pertencer às diferentes classes.

Existem diversas maneiras de expressar os limites das classes. Apresentamos a seguir algumas:

21 26: compreende todos os valores entre 21 e 26 (incluindo-os);

21 26: compreende todos os valores entre 21 e 26, excluindo o 26;

21 26: compreende todos os valores entre 21 e 26; excluindo o 21.

Neste exemplo, temos Li = 21 e Ls = 26.



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Agora podemos introduzir os elementos de uma distribuição de frequências:

Pontos médios das classes (PM)

É a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe. Assim,

se a classe for, por exemplo de 21 26, temos:

=21+2

2= 23,5, como ponto médio da classe.

Frequência simples ou absoluta (Fi)

É o número de vezes que o elemento aparece na amostra, ou o número de elementos pertencentes a uma classe. No exemplo 6, F(21) = 3.

Frequência absoluta acumulada (Fac)

É a soma das frequências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe, mais a frequência simples da classe.

Frequência relativa (fi) e Frequência relativa percentual (fi%)

É a porcentagem daquele valor na amostra. Note que Σfi = 1. A frequência relativa de um valor é dada por:

ou

Passos para a montagem de uma Distribuição de Frequência por intervalos:

1° passo: ordenar os elementos em ordem crescente, indicando a frequência simples de cada elemento (distribuição de frequência por intervalos);

2° passo: Determinar a amplitude total (AT);

3° passo: Determinar o número de intervalos de classe (k);

4° passo: Determinar a amplitude da classe (h);

5° passo: Montagem da distribuição de frequência com título e fonte.

Exemplo 1.9:

Com as notas da turma de Probabilidade e Estatística, do curso de Engenharia Civil, turma A, da Faculdade Redentor – 1°sem/2007, vamos montar uma distribuição de frequência.

5,0 – 4,0 – 5,8 – 3,3 – 6,8 – 3,5 – 4,0 – 7,0 – 7,0 - 8,3 – 9,3 – 9,8 – 7,5 – 8,8 – 7,5 – 6,8 - 10,0 – zero – 6,5 – 2,0 – 8,8 – 9,3 – 7,5 – 5,8 – 9,8 – 9,0 – 7,8 – 6,5 – 9,5 – 5,0 – 7,0 – 8,3 – 6,5

Solução:

1° passo: colocar os elementos em rol (crescente), aqui teremos uma distribuição de frequência por pontos.



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Notas (xi) N° Alunos (Fi)

0,0 1

2,0 1

3,3 1

3,5 1

4,0 2

5,0 2

5,8 2

6,5 3

6,8 2

7,0 3

7,5 3

7,8 1

8,3 2

8,8 2

9,0 1

9,3 2

9,5 1

9,8 2

10 1

total 33

2° passo: calcular AT AT = xi(máx) - xi(min)

AT = 10 – 0 = 10

3° passo: calcular k K = 1 + 3,3 log 33 K = 6,01

4° passo: calcular h h = AT / k

h = 10 / 6,01 = 1,66 podemos adotar h = 2

5° passo: montar a distribuição de frequência (por intervalos) com título e fonte

Notas da turma de Probabilidade e Estatística, do curso de Engenharia Civil, turma A, da

Faculdade Redentor – 1°sem/2007

Notas N° alunos (Fi) Fiac fi fi % PM

0 2 1 1 0,03 3,03% 1

2 4 3 4 0,09 9,09% 3

4 6 6 10 0,18 18,18% 5

6 8 12 22 0,36 36,36% 7

8 10 11 33 0,33 33,33% 9

Total 33 1,00 100,00%

Fonte: Profa. Muriel

Comentários:

A tabela de distribuição de frequências é composta das duas primeiras colunas.



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As demais colunas foram colocadas para mostrar os elementos de uma distribuição de frequências, que serão utilizados para o cálculo das medidas descritivas de posição e de dispersão. Aí usamos:

Fiac = por exemplo, no último intervalo de classe: Fiac = 22 + 11 = 33

fi = (Fi/n), por exemplo, f = (1/33) = 0,03

f% = (Fi/n)*100, por exemplo: f% = (1/33)*100 = 3%

PM = (Li+Ls)/2, por exemplo: PM = (0+2)/2 = 1

Observe que quando calculamos k, achamos k = 6, mas adotamos k = 5, e colocamos o

último intervalo fechado para 10. Para k = 6, teríamos mais um intervalo, de 10 12, o que não é usual, pois nossa maior nota é 10.

Exemplo 1.10:

Vamos completar a distribuição de frequência a seguir e logo após interpretar os valores da terceira linha da distribuição de frequência:

Notas da turma x, do curso y, turma z, da Faculdade w – 2°sem/2011

Notas N° de estudantes Fiac fi(%)

|---2 10%

|---4 18

|--- 20

6 |---

|--- 2,5%

Total 40

Fonte: Dados fictícios

Solução:



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Exemplo 1.11:

Dadas as séries estatísticas abaixo, vamos dizer se são séries simples ou compostas (mistas) e ainda se são referentes a séries geográficas, temporais, ou específicas.

Fonte: Ciências e agrotecnologia vol.34 no.1 Lavras Jan./Feb. 2010.

Solução:

Tabela 2 - Município de procedência dos alunos da disciplina Inferência Estatística da Universidade Estadual de Maringá, 21/03/2005

Fonte: Departamento de Estatística (DES)/UEM

Solução:

Tabela 3 - Taxa de Urbanização no Brasil – 1940 a 2007

Fonte: IBGE, Censo demográfico 1940-2007. Até 1970 dados extraídos de: Estatísticas do século XX. Rio de Janeiro: IBGE, 2007 no Anuário Estatístico do Brasil, 1981, vol. 42, 1979.

http://www.ibge.gov.br/seculoxx/temas.shtm

http://www.ibge.gov.br/seculoxx/temas.shtm

http://www.ibge.gov.br/seculoxx/arquivos_pdf/populacao/1981/populacao_m_1981aeb_037.pdf



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Solução:

Tabela 4 – Caracterização das bacias hidrográficas

http://www.funceme.br/index.php/revista-eletronica-2008/doc_details/20-avaliacao-da-influecia-

dos-dados-de-evapotranspiracao (acesso em 04/01/2012)

Solução:

Tabela 5 - Consumo de energia elétrica (Gwh), segundo as grandes Regiões do Brasil, 1993-1995

Região Ano

1993 1994 1995

Norte 11.154 11.506 12.563

Nordeste 35.810 36.910 38.808

Sudeste 137.167 141.746 149.096

Sul 32.884 34.566 37.451

Centro Oeste 10.106 10.899 11.939

Total 215.967 235.627 249.857

Fonte: Anuário Estatístico do Brasil, IBGE,1995

Solução:

http://www.funceme.br/index.php/revista-eletronica-2008/doc_details/20-avaliacao-da-influecia-dos-dados-de-evapotranspiracao

http://www.funceme.br/index.php/revista-eletronica-2008/doc_details/20-avaliacao-da-influecia-dos-dados-de-evapotranspiracao



17

Solução:

Exemplo 1.12:

Vamos considerar a distribuição de frequência abaixo, correspondente aos

diferentes preços de um determinado produto em 20 lojas pesquisadas.

Preços (R$) N° de lojas

70 2 71 5 72 6 73 6 74 1

Total 20

Fonte: dados fictícios

a) Quantas lojas apresentaram um preço de R$ 73?

b) Quantas lojas apresentaram um preço de até R$ 72 (inclusive)?

c) Qual o percentual de lojas com preço maior de que R$ 71 e menor de que R$ 74?

d) Qual o percentual de lojas com preço menor de que R$ 73?



18

Exercícios:

1 – Os dados a seguir, referem-se a estatura (em cm) de 70 funcionários da empresa

NS, que passaram por exames periódicos do trabalho em Nov/2011.

150 156 160 163 167 168 170 172 174 178 150 156

161 163 167 168 170 173 175 179 150 158 161 163

167 169 171 173 175 179 151 158 162 166 168 170

172 173 175 179 152 158 162 166 168 170 172 174

176 181 153 160 162 167 168 170 172 174 176 182

156 160 163 167 168 170 172 174 176 182

Pede-se:

a) montar uma distribuição de frequências segundo as regras de Sturges;

b) o ponto médio da 4° classe;

c) a frequência simples da 3° classe;

d) a frequência relativa da 6° classe;

e) a frequência acumulada da 5° classe;

f) o n° de funcionários cuja altura não atinge 170;

g) a percentagem de funcionários cuja altura não atinge a 165;

h) a percentagem de funcionários cuja altura é maior e igual a 175;

i) a percentagem de funcionários cuja altura é de no mínimo 155 e inferior a 175;

j) interprete os valores da 2° classe;

k) interprete os valores da última classe.

2 – Descreva as etapas do método de engenharia e comente sobre a importância da

estatística na Engenharia.



19



20

II - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE SÉRIES ESTATÍSTICAS

2.1. INTRODUÇÃO

A representação gráfica das séries estatísticas tem por finalidade dar uma idéia,

a mais imediata possível, dos resultados obtidos, permitindo chegar-se a conclusões

sobre a evolução do fenômeno ou sobre como se relacionam os valores da série em

estudo. Podemos dizer que os gráficos se constituem num recurso visual da Estatística

utilizado para representar um fenômeno.

Embora os gráficos forneçam um menor grau de detalhes do que as tabelas,

estes apresentam um ganho na compreensão global dos dados, permitindo uma visão

geral da situação em estudo sem deixar de evidenciar alguns aspectos particulares que

sejam de interesse do pesquisador.

Uma representação gráfica coloca em evidência as tendências, as ocorrências

ocasionais, os valores mínimos e máximos e também as ordens de grandezas dos

fenômenos que estão sendo observados. Quanto ao uso, temos os gráficos de

informação e os gráficos de análise, como escritos a seguir:

Gráficos de informação: Esses gráficos são usados geralmente quando

queremos proporcionar ao público em geral uma visualização rápida e clara. Como são

gráficos caracteristicamente expositivos, devem ser o mais com pleto possível,

podendo dispensar comentários adicionais. Também podemos omitir as legendas,

desde que as informações relevantes estejam presentes no gráfico.

Gráficos de análise: Esses tipos de gráficos são mais adequados ao trabalho

com o estudo estatístico, pois fornecem elementos úteis para a análise dos dados,

além de serem também informativos. Normalmente, os gráficos de análise são

acompanhados de sua respectiva tabela estatística. Também podemos incluir um texto

explicativo que tem como objetivo esclarecer ao leitor dos pontos principais divulgados

no gráfico.

Contudo, os elementos simplicidade, clareza e veracidade devem ser

considerados quando da elaboração de um gráfico. Devemos ficar atentos, pois um

gráfico mal construído pode transmitir uma informação deturpada em relação à

informação verdadeira. Normalmente isso ocorre por problemas de escala, em que as

proporções entre os dados não são respeitadas.

Nosso objetivo principal aqui não é a construção de gráficos, embora isso seja

muito importante para o desenvolvimento de algumas disciplinas do curso de



21

engenharia, mas sim entender melhor um conjunto de dados pelo uso de gráficos

adequados que sejam eficazes na revelação de características importantes.

Encontram-se a seguir os principais tipos de gráficos.

Gráfico de barras

É um gráfico formado por retângulos horizontais de larguras iguais, onde cada

um deles representa a intensidade de uma modalidade ou atributo. É recomendável

que cada coluna conserve uma distância entre si de aproximadamente metade ou 2/3

da largura da base de cada barra, evidenciando deste modo, a não continuidade na

sequência dos dados.

O objetivo deste gráfico é de comparar grandezas e é recomendável para

variáveis cujas categorias tenham designações extensas. É o gráfico mais utilizado

para representar variáveis qualitativas.

Exemplo 2.1:

Acidentes no trecho das cidades de Barbacena e Barroso até a cidade de Itutinga - MG.

Fonte: Dados da 13° CIA PM Ind. de Meio Ambiente e Trânsito, 1° Pelotão PM Rodoviário

Exemplo 2.2:



22

Fonte: http://www.admit.com.br/page/14 (acesso em 02/01/2012)

Gráfico de colunas

Difere do gráfico de barras por serem seus retângulos dispostos verticalmente

ao eixo das abscissas sendo mais indicado quando as designações das categorias são

breves. Também para este tipo de gráfico deve ser preservada a distância entre cada

retângulo de, aproximadamente, metade ou 2/3 da largura da base de cada coluna. O

número de colunas ou barras do gráfico não deve ser superior a 12 (doze).

Os gráficos de colunas são muito utilizados para a representação e análise de

dados relacionados com séries temporais, sendo assim as colunas devem estar

dispostas em ordem cronológica.

Exemplo 2.3:

http://www.admit.com.br/page/14



23

Fonte: www.library.com.br/Filosofia/terremot.htm (acesso em 20/11/2011)

Exemplo 2.4:

Fonte: www.library.com.br/Filosofia/terremot.htm (acesso em 20/11/2011)

Gráfico de setores

Conhecido também como gráfico tipo pizza ou circular é o tipo de gráfico onde a

variável em estudo é projetada num círculo, de raio arbitrário, dividido em setores com

áreas proporcionais às frequências das suas categorias. São indicados quando se

deseja comparar cada valor da série com o total. Recomenda-se seu uso para o caso

http://www.library.com.br/Filosofia/terremot.htm

http://www.library.com.br/Filosofia/terremot.htm



24

em que o número de categorias não é muito grande e não obedecem a alguma ordem

específica.

O procedimento para o cálculo do ângulo correspondente a cada categoria é

feito por meio de simples proporções: 360º que corresponde a um círculo completo

está para o total, assim como xº está para a parte que pertencem à categoria desejada.

A legenda pode ser dispensada e escrevemos no interior de cada setor (fatia) a

porcentagem ou quantidade adequada de cada um.

Exemplo 2.5:

Setores das Organizações da Pesquisa

Fonte: www.elogroup.com.br/base_pesquisa2009_perfil.html (acesso em 28/11/2011)

Exemplo 2.6:

http://www.edukbr.com.br/mochila/vitrine_conteudo.asp?Id=119 (acesso em 28/11/2011)

http://www.elogroup.com.br/base_pesquisa2009_perfil.html

http://www.edukbr.com.br/mochila/vitrine_conteudo.asp?Id=119



25

Gráfico Polar

É representação de uma série por meio de um polígono. Geralmente presta-se

para apresentação de séries temporais. Para construí-lo, dividimos uma circunferência

em tantos arcos iguais quantos forem os dados a representar. Pelos pontos de divisas

traçamos os raios. Em cada raio é representado um valor da série, marcamos um ponto

cuja distância ao centro é diretamente proporcional a esse valor. A seguir unimos os

pontos (linhas em laranja e azul).

Exemplo 2.7:

Fonte: besp.mercatura.pt/Pagina.php?codPagina=4 (acesso em 28/11/2011)

Vamos interpretar o gráfico acima:

O gráfico polar é produzido para mostrar simultaneamente os percentuais de

cada um dos exames. Para cada número no gráfico, a legenda mostra a que indicador

se refere e o número de exames por disciplina efetuados na escola. Assim nota-se, por

exemplo, que a média de exame de História está perto do percentil 86% enquanto que

a média das CFD da mesma disciplina encontra–se perto de 78%, observamos

também que na disciplina de matemática, estes alunos tiveram um desempenho inferior

as outras disciplinas.

http://besp.mercatura.pt/Pagina.php?codPagina=4



26

Exemplo 2.8:

Comparação dos valores do momento torçor (na base do prédio), obtido por meio de

ensaios em túnel de vento e pelo indicado na NBR 6.123, em função da incidência do vento,

para o projeto Brascan Century Staybridge Suites

Fonte: http://www.arcoweb.com.br/tecnologia/aerodinamica-das-construcoes-modelos-reduzidos-02-03-

2006.html (acesso em 28/11/2011)

Gráfico de linhas

Sua aplicação é mais indicada para representações de séries temporais, pois

quando a série cobre um grande número de períodos de tempo, a representação dos

valores através das colunas pode conduzir a uma excessiva concentração de dados.

Sua construção é feita colocando-se no eixo vertical (y) a mensuração da

variável em estudo e na abscissa (x), as unidades da variável numa ordem crescente.

Este tipo de gráfico permite representar séries longas, o que auxilia detectar suas

flutuações tanto quanto analisar tendências. Também podem ser representadas várias

séries em um mesmo gráfico.

http://www.arcoweb.com.br/tecnologia/aerodinamica-das-construcoes-modelos-reduzidos-02-03-2006.html

http://www.arcoweb.com.br/tecnologia/aerodinamica-das-construcoes-modelos-reduzidos-02-03-2006.html



27

Exemplo 2.9:

Evolução a concorrência no vestibular da FUVEST

Fonte: http://petcivilufjf.wordpress.com/tag/ufjf/ (acesso em 03/01/2012)

Exemplo 2.10:

Fonte: www.bansen.com.br/SALAdeIMPRENSA/mlivre/25072 (acesso em 05/08/2011)

Vamos interpretar o gráfico acima:

O gráfico acima mostra que desde abril de 2004, sucessivamente, em todos os

meses, a venda dos portáteis tem superado a dos tradicionais computadores pessoais.

Nota-se que o gráfico mostra quatro pontos marcantes:

http://petcivilufjf.wordpress.com/tag/ufjf/

http://www.bansen.com.br/SALAdeIMPRENSA/mlivre/25072005_NotebooksMercadoLivre.htm



28

Ponto 1: Em janeiro de 2004, pela primeira vez a venda de notebooks superou a

de PCs em unidades: 2.032 notebooks e 1.175 PCs; Ponto 2: Em abril de 2004, foram vendidos 1.431 notebooks e 1.121 PCs através

do Mercado Livre. Desde então, as vendas de portáteis têm sempre superado a de PCs;

Ponto 3: Em setembro de 2004, foram vendidos 2.481 notebooks, recorde em

2004; Ponto 4: Em junho de 2005, houve venda recorde de PCs (2.531 unidades), mas

a venda de notebooks também foi recorde (2.656 unidades) e se manteve maior que a

de PCs.

Gráfico de Pontos ou de Dispersão

Os diagramas ou gráficos de pontos fornecem uma apresentação simples, que

reflete a dispersão, os extremos, o centro e as falhas ou picos nos dados. Escolhemos

uma linha horizontal, na qual colocamos a amplitude dos valores dos dados. Plotamos

então cada observação como um ponto diretamente acima dessa linha graduada e,

quando várias observações tem o mesmo valor, os pontos são empilhados

verticalmente naquele ponto da escala.

Exemplo 2.11:


Quando desejamos conjuntamente resultados para duas variáveis, o equivalente

do gráfico de pontos se chama diagrama de dispersão. Construímos um sistema

retangular de coordenadas associando o eixo horizontal a uma das variáveis e ao eixo

vertical a outra variável, e plotamos cada observação como um ponto desse plano.

Exemplo 2.12:

Item A Item B



29

Diagrama de dispersão: E dinâmico X E estático, de 326 peças estruturais de madeira Southern

Pine

Fonte: http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S1415-43662003000200025&script=sci_arttext (acesso em

04/01/2012)

Exemplo 2.13:

Fonte: http://www.devmedia.com.br/post-4584-Data-Mining-na-Pratica--Algoritmo-K-Means.html (acesso

em 04/01/2012)

Gráfico de Caixa, Boxplot

O gráfico de caixa, boxplot, gráfico das cinco medidas ou gráfico de bigodes é

útil na comparação de duas ou mais amostras.

Este gráfico estende-se do 1º quartil ao 3º quartil que correspondem,

respectivamente, às bases inferior e superior do retângulo e representa 50% das

observações totais. A mediana é representada por uma linha grossa dentro da caixa;



30

se a amostra for aproximadamente simétrica, a linha que corresponde à mediana divide

a caixa em duas partes aproximadamente iguais. A caixa esquerda prolonga-se para

baixo do 1º quartil, até ao menor valor da amostra não outlier e a caixa direita prolonga-

se para cima do 3º quartil, até ao maior valor da amostra não outlier (observemos o

exemplo 2.14).

Os outliers, que são assinalados com um círculo, podem representar erros de

introdução de dados, caso em que devemos eliminá-los, ou fazer parte do fenômeno

em estudo, caso em que devemos mantê-los, assinalando-se a sua existência. É

comum fazermos a análise com e sem outliers e registrar as diferenças.

Exemplo 2.14:

Fonte: Prof. Luiz Augusto Pinto Lemos – DMAT – FURG – 2008

Exemplo 2.15:



31

Fonte: http://www.blogcmmi.com.br/geral/serie-indicadores-produtividade (acesso em 04/01/2012)

Temos também os gráficos representativos de distribuições de frequências, que

são os histogramas e os polígonos de frequência, que são tipicamente gráficos de

análise. A representação das frequências simples é feita através do histograma ou

polígono de frequências, enquanto que as frequências acumuladas são representadas

por meio do polígono de frequência acumulado ou ogiva de Galton.

Histograma

É um gráfico de barras ou colunas justapostas (sem separação) que representa

uma distribuição de frequência para dados contínuos ou uma variável discreta quando

esta apresentar muitos valores distintos.

No eixo horizontal são dispostos os limites das classes segundo as quais os

dados foram agrupados enquanto que o eixo vertical corresponde às frequências

absolutas ou relativas das mesmas.

Quando os dados são distribuídos em classes de mesma amplitude, exemplo

2.16 (a esquerda), todas as colunas apresentam bases iguais com alturas variando em

função das suas frequências absolutas ou relativas. Neste caso, temos que a área de

cada retângulo depende apenas da sua altura enquanto que no caso de dados

agrupados em classes de dimensões diferentes, como mostra a exemplo 2.16 (a

direita), a área de cada coluna já não é mais proporcional à sua altura.

Exemplo 2.16:



32

Fonte: http://www.ime.usp.br/~rt/mmfina/apost3a.html (acesso em 04/01/2012)

Exemplo 2.17:

Fonte: http://bi.gave.min-edu.pt/bi/es/860/1446?uid=1446&add (acesso em 04/01/2012)

Polígono de Frequência

http://www.ime.usp.br/~rt/mmfina/apost3a.html

http://bi.gave.min-edu.pt/bi/es/860/1446?uid=1446&add

http://www.google.com.br/imgres?q=histograma&um=1&hl=pt-BR&sa=N&biw=1366&bih=587&tbm=isch&tbnid=TmX0dcDf_DKH_M:&imgrefurl=http://www.ime.usp.br/~rt/mmfina/apost3a.html&docid=b2WaHYkPg6j-3M&imgurl=http://www.ime.usp.br/~rt/mmfina/images/apost3a63.gif&w=388&h=288&ei=vIMET5DUO4OJgwfC8r2YAg&zoom=1&iact=rc&dur=998&sig=105428911348701480775&page=10&tbnh=110&tbnw=157&start=206&ndsp=22&ved=1t:429,r:11,s:206&tx=49&ty=63



33

É um gráfico de linha cuja construção é feita quando unimos os pontos de

coordenadas de abscissas correspondentes aos pontos médios de cada classe e as

ordenadas, às frequências absolutas ou relativas dessas mesmas classes.

O polígono de frequência é um gráfico que deve ser fechado no eixo das

abscissas. Então, para finalizar sua elaboração, devemos acrescentar à distribuição,

uma classe à esquerda e outra à direita, ambas com frequências zero. Tal

procedimento permite que a área sob a linha de frequências seja igual à área do

histograma.

Uma das vantagens da aplicação de polígonos de frequências é que, por serem

gráficos de linhas, permitem a comparação entre dois ou mais conjuntos de dados por

meio da superposição dos mesmos.

Exemplo 2.18:

Polígono de frequência do número de pessoas que chegam ao banco diariamente.

Fonte: http://mundodaimpermeabilizacao.blogspot.com/2011/03/distribuicao-de-frequencia.html (acesso

em 04/01/2012)

Exemplo 2.19:



34

Fonte: www.definicionabc.com/tecnologia/histograma.php (acesso em 04/01/2012)

O exemplo 2.20 mostra o polígono de frequência relativas acumulada (Ogiva de

Galton) da idade dos habitantes do local X. Neste gráfico, a altura de cada coluna é o

número total de observações que é menor ou igual ao limite superior do intervalo.

Distribuições cumulativas são também úteis na interpretação dos dados. Quando o

tamanho da amostra for grande, o histograma ou polígono de frequência poderá ser um

indicador confiável da forma geral da distribuição ou da população de medidas da qual

a amostra foi retirada.

Exemplo 2.20:

Fonte: http://alfaconnection.net/pag_avsm/est0201.htm (acesso em 04/01/2012)

http://www.definicionabc.com/tecnologia/histograma.php



35

Gráfico em escala logarítmica

Podemos usar a escala logarítmica para a representação de valores em que a

amplitude total é muito grande, quando for inviável ou pouco prática a utilização da

escala aritmética devido ao seu tamanho.

Na escala logarítmica alteramos as proporções entre as grandezas, deformando

as figuras. Podemos observar que o processo se torna impróprio quando o objetivo é

destacar as relações entre valores absolutos, e por outro lado, é possível comparar

mais facilmente proporções, percentuais e taxas de crescimento de funções

exponencial, de potência, geométrica, etc.

Isso pode ser visto no exemplo 2.21, onde desejamos comparar a evolução

produtiva de um determinado produto (café), entre o país X e o estado Y. A tabela 2.1

apresenta os dados, o gráfico (a) está numa escala aritmética ou linear e o gráfico (b) é

apresentado numa escala logarítmica.

Pela tabela notamos que o crescimento da produção de café foi o mesmo, mas o

gráfico (a) evidencia que a produção de café do país X foi bem maior que a do estado

Y. Assim é mais apropriado o uso do gráfico em escala logarítmica, gráfico (b).

Exemplo 2.21:

Tabela 2.1: Produção de café no País X e Estado Y - 1960 a 1985

(a) Gráfico em escala aritmética (b) Gráfico em escala logarítmica




36

Estereogramas

São gráficos geométricos dispostos em três dimensões, pois representam

volume. São usados nas representações gráficas das tabelas de dupla entrada. Em

alguns casos este tipo de gráfico fica difícil de ser interpretado dada a pequena

precisão que oferecem.

Exemplo 2.22:

Fonte: http://globalsistensnews.blogspot.com/2009_04_01_archive.html (acesso em 04/01/2012)

Pictogramas

São construídos a partir de figuras representativas da intensidade do fenômeno.

Este tipo de gráfico tem a vantagem de despertar a atenção do público leigo, pois sua

forma é atraente e sugestiva. Os símbolos devem ser auto-explicativos. A desvantagem

dos pictogramas é que apenas mostram uma visão geral do fenômeno, e não de

detalhes minuciosos.

Exemplo 2.23:



37

Fonte: http://www.oocities.org/paris/rue/5045/2A5.HTM (acesso em 04/01/2012)

Cartogramas

São ilustrações relativas a cartas geográficas (mapas). O objetivo desse gráfico

é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou

políticas.

Exemplo 2.24:

Fonte: http://cartageografica.blogspot.com/2011/06/visualizando-dados-geoambientais-no_5827.html

(acesso em 04/01/2012)

http://www.oocities.org/paris/rue/5045/2A5.HTM



38

Exemplo 2.25:

Os gráficos podem ser criados em vários programas de computador, como, por

exemplo, Excel, Minitab, Statdisk, Calculadoras Programáveis, etc.

Exemplo 2.26:

Baseando-se no gráfico a seguir, responda as seguintes questões:

a) Que tipo de série estatística o gráfico representa?

b) Que tipo de gráfico é este?

c) Interprete o gráfico:



39

Distribuição de conceitos de alunos por categoria administrativa pública e privada-

ENADE 2006.

Fonte: MEC/INEP/DEAES - ENADE 2006

Solução:

Exemplo 2.27:

Os dados a seguir, referem-se ao peso (em gramas) de uma amostra de 70

conectores de metal produzidos pela empresa YY. (obs: dados fictícios).

150 156 160 163 167 168 170 172 174 178 150 156

161 163 167 168 170 173 175 179 150 158 161 163

167 169 171 173 175 179 151 158 162 166 168 170

172 173 175 179 152 158 162 166 168 170 172 174

176 181 153 160 162 167 168 170 172 174 176 182

156 160 163 167 168 170 172 174 176 182

Pede-se:



40

a) montar uma distribuição de frequência segundo as regras de Sturges;

b) o ponto médio da 4° classe;

c) a frequência simples da 3° classe;

d) a frequência relativa da 6° classe;

e) a frequência acumulada da 5° classe;

f) o n° de conectores cujo peso não atinge 170;

g) o n° de conectores cujo peso não atinge a 175;

h) a percentagem de conectores cujo peso não atinge a 165;

i) a percentagem de conectores cujo peso é maior e igual a 175;

j) a percentagem de conectores cujo peso é de no mínimo 155 e inferior a 175;

k) interprete os valores da 2° classe;

l) interprete os valores da última classe;

m) o histograma;

n) o polígono de frequências.

Solução:



41



42



43

III – MEDIDAS DE POSIÇÃO

3.1- INTRODUÇÃO

As medidas de tendência central mais utilizadas são: média aritmética, moda e

mediana. Outros promédios menos usados são as médias: geométrica, harmônica,

quadrática, cúbica e biquadrática, que não serão vistas nesta unidade.

As outras medidas de posição são as separatrizes.

Temos três formas diferentes (média aritmética, moda e mediana) para três

situações distintas (dados não agrupados, dados agrupados sem intervalo de classe e

dados agrupados com intervalo de classe), como veremos a seguir.

3.2- MÉDIA ARITMÉTICA

Existem duas médias:

Populacional: representada letra grega μ

Amostral: representada por X , sobre a qual as expressões e os cálculos serão

demostrados.

1ª SITUAÇÃO: Dados não agrupados

Sejam os elementos x1, x2, x3,...,xn de uma amostra, portanto n valores da variável X. A média aritmética da variável aleatória de X é definida por,

n

Xi

X

n

i

1 ou

n

XiX

onde n é o número de elementos do conjunto.

Exemplo 3.1:

Suponha que os dados sejam o conjunto de tempo de serviço (em anos) de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11. Determine a média aritmética deste conjunto de dados.

Solução:

8,75

39

5

1110873

n

XiX

Interpretação: o tempo médio de serviço deste grupo de funcionários é de 7,8 anos.

2ª SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por valores simples



44

Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência usaremos a média aritmética dos valores x1, x2, x3,...,xn, ponderados pelas respectivas frequências absolutas: F1, F2, F3, ... , Fn. Assim:

n

i

n

i

Fi

FiXi

X

1

1

. ou

n

FiXiX

.

onde Fin , é o número de elementos do conjunto.

Exemplo 3.2:

A tabela abaixo representa o número de peças de precisão defeituosas desenvolvidas mensalmente pelo controle de qualidade:

Número de peças com defeito (Xi)

Número de meses (Fi)

Xi.Fi

0 2 0

1 3 3

2 6 12

3 8 24

4 4 16

5 2 10

6 1 6

TOTAL 26 71

Determine a média de peças defeituosas por mês.

Solução:

73,226

71.

n

FiXiX

Interpretação: em média, foram encontradas 2,73 peças com defeito por mês.

3ª SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por intervalos de classes

a) Processo Longo

n

i

i

n

i

iM

F

FP

X

1

1

.

onde PM é o ponto médio de cada intervalo de classe.

b) Processo Breve



45

h

F

Fd

PXn

i

i

n

i

ii

MeM

1

1

.

onde PM Me é o ponto médio da mediana e di é o desvio, ou seja, a diferença entre o

ponto médio de cada intervalo de classe e o ponto médio da mediana. Então,

h

PPdi

MeMM .

Em seguida, veremos que a mediana é a medida que divide a distribuição em

duas partes, é a medida do elemento central.

Exemplo 3.3:

A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina. Calcule a média aritmética pelos dois processos:

Escores Alunos (Fi) PM Fac PM .Fi di di. Fi

35 |- 45 5 40 5 200 -2 -10

45 |- 55 12 50 17 600 -1 -12

55 |- 65 18 60 35 1080 0 0

65 |- 75 14 70 49 980 1 14

75 |- 85 6 80 55 480 2 12

85 |- 95 3 90 58 270 3 9

Total 58 3610 13

Solução:

a) 24,6258

3610.

1

1

n

i

i

n

i

iM

F

FP

X

b) 24,6224,2601058

1360

.

1

1

xh

F

Fd

PXn

i

i

n

i

ii

MeM

PMMe é obtido pela Fac, se temos 58 dados, a mediana está no intervalo que contém o 29° dado, logo no intervalo de 55 |- 65, então temos PMMe = 60.

Interpretação: o desempenho médio deste grupo de alunos foi de 62,24 pontos nesta disciplina.



46

Média Aritmética Ponderada ( PX ) (para dados não agrupados)

Se os elementos x1, x2, x3,...,xn de uma amostra, forem associados a pesos p1,

p2, p3,...,pn , a média aritmética ponderada, representada por PX é calculada por,

in

nnP

p

piXi

pppp

pxpxpxpxX

.

...

.......

321

332211

Exemplo 3.4:

Um professor de Estatística adotou para o ano de 2010 os seguintes pesos para

as notas bimestrais: 1° bimestre peso 1; 2° bimestre peso 2; 3° bimestre peso 3; e, 4°

bimestre peso 4. Qual será a média de um aluno que obteve as seguintes notas em

Estatística: 5, 4, 3 e 2 nos respectivos bimestres ?

Solução:

310

30

10

8985

4321

)4.2()3.3()2.4()1.5(

pX

Interpretação: a nota média deste aluno foi de 3 pontos.

3.2. MODA - Mo

Dentre as principais medidas de posição, destacamos a moda. Moda é o valor

mais frequente da distribuição (aquele que aparece mais vezes).


Sejam os elementos x1, x2, x3,...,xn de uma amostra, o valor da moda para este tipo de conjunto de dados é simplesmente o valor com maior frequência.

Exemplo 3.5:

Suponha o conjunto de tempo de serviço (em anos) de cinco funcionários: 3, 7, 8, 8 e 11. Determinar a moda deste conjunto de dados.

Solução:

Mo = 8, distribuição unimodal ou modal

Interpretação: o tempo de serviço com maior frequência é de 8 anos.

Exemplo 3.6:

Suponha o conjunto de tempo de serviço (em anos) de cinco funcionários: 3, 3, 7, 8, 8 e 11. Determinar a moda deste conjunto de dados.

Solução:

Mo = 3 e Mo = 8, distribuição bimodal

Interpretação: os tempos de serviço com maior frequência foram de 3 e 8 anos.



47

Exemplo 3.7:

Suponha o conjunto de tempo de serviço (em anos) de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11. Determinar a moda deste conjunto de dados.

Solução:

Não existe Mo, logo a distribuição é amodal

Interpretação: não existe o tempo de serviço com maior frequência.


Para este tipo de distribuição, a identificação da moda é facilitada pela simples observação do elemento que apresenta maior frequência.

Exemplo 3.8:

A tabela abaixo representa o número de peças de precisão defeituosas desenvolvidas mensalmente pelo controle de qualidade. Determine a moda.



0 2

1 3

2 6

3 8

4 4

5 2

6 1

TOTAL 26

Solução:

Se a maior frequência é Fi = 8, logo Mo = 3.

Interpretação: Esse resultado indica que a rejeição de 3 peças defeituosas por

mês foi o resultado mais observado.

3ª SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por classes

Para dados agrupados em classes, temos diversas fórmulas para o cálculo da

moda. A utilizada será:

Fórmula de Czuber

Procedimento:

a) Identificamos a classe modal (aquela que possuir maior frequência) – CLASSE (Mo).

b) Utiliza-se a fórmula:



48

hFiFiFi

FiFiLiMo

postantMo

antMo

Mo .)(2

em que:

LiMo : limite inferior da classe modal

FiMo : frequência simples do intervalo da classe modal

Fiant: frequência simples anterior do intervalo da classe modal

Fipost: frequência simples posterior do intervalo da classe modal

h: amplitude do intervalo de classe

Exemplo 3.9:

A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos

matriculados em uma determinada disciplina. Determine a moda.

Escores Alunos (Fi)

35 |- 45 5

45 |- 55 12

55 |- 65 18

65 |- 75 14

75 |- 85 6

85 |- 95 3

Total 58

Solução:

Classe que contém a Moda: 55 |- 65

hFiFiFi

FiFiLiMo

postantMo

antMo

Mo .)(2

6110.)1412(182

121855

xMo

Interpretação: O escore com maior frequência entre o grupo de 58 alunos foi de

61 pontos.

3.3. MEDIANA – Me ou Md

Após colocarmos os dados em ROL, o valor da mediana é o elemento que

ocupa a posição central, ou seja, é o elemento que divide a distribuição em 50% de

cada lado. É considerada uma separatriz, por ser um promédio que divide o conjunto

de dados em partes iguais:




49

Sejam os elementos x1, x2, x3,..., xn de uma amostra, portanto n valores da

variável X. A mediana da variável aleatória de X é definida por,

- Se n é ímpar, então o valor da mediana será o valor central, localizado na

posição:

2

1nPosMe

- Se n é par, então o valor da mediana será a média das duas observações

adjacentes à posição

2

nPosMe

e 1

2

nPosMe

Exemplo 3.10:

Suponha o conjunto de tempo de serviço (em anos) de cinco funcionários: 3, 7,

8, 10 e 11. Vamos determinar a mediana deste conjunto de dados.

Solução:

Como n = 5, então o valor da mediana estará localizado na posição:

32

15

2

1

nPosMe , ou seja, 3° elemento, portanto, Me = 8

Interpretação: 50% dos funcionários possuem até 8 anos de tempo de serviço,

ou, 50% dos funcionários possuem no mínimo 8 anos de tempo de serviço.

Exemplo 3.11:

Suponha o conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10, 11 e

13. Vamos determinar a mediana deste conjunto de dados.

Solução:

Como n = 6, então o valor da mediana estará localizado na posição 32

6MePos ,

(3° elemento), e 412

6PosMe (4° elemento).

E a mediana será calculada como a média aritmética deles.

Assim, no exemplo, teremos: 92

108

Me

Interpretação: 50% dos funcionários possuem até 9 anos de tempo de serviço,

ou, 50% dos funcionários possuem no mínimo 9 anos de tempo de serviço.




50

Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência

identificaremos a mediana dos valores x1, x2, x3,...,xn pela posição da mediana

2

nPosMe através da frequência absoluta acumulada (Fac).

Exemplo 3.12:

A tabela abaixo representa o número de peças de precisão defeituosas desenvolvidas mensalmente pelo controle de qualidade. Calcule a mediana.



Fac

0 2 2

1 3 5

2 6 11

3 8 19

4 4 23

5 2 25

6 1 26

TOTAL 26

Solução:

132

26

2

nPosMe

Interpretação: em 50% dos meses no máximo 3 peças defeituosas foram

desenvolvidas, ou então, em metade dos meses foram encontradas pelo menos 3

peças defeituosas.


Procedimento:

1. Calcula-se a posição da mediana: 2

nPosMe

2. Pela Fac identifica-se a classe que contém o valor da mediana – Classe(Me)

3. Utiliza-se a fórmula: h.Fi

Fac)Me(POSLiMe

Me

antMe

onde: LiMe = Limite inferior da classe mediana

Fac,ant = Frequência acumulada anterior à classe mediana

h = Amplitude do intervalo de classe

FiMe = Frequência absoluta simples da classe mediana

n = Tamanho da amostra ou número de elementos

Exemplo 3.13:



51

A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina. Calcule a mediana.

Escores Alunos (Fi) Fac

35 |- 45 5 5

45 |- 55 12 17

55 |- 65 18 35

65 |- 75 14 49

75 |- 85 6 55

85 |- 95 3 58

Total 58 -

Solução:

1. 292

58MePos

elemento, observando a Fac temos:

2. Classe(Me) = 55 |− 65

3. 67,6110.18

172955

Me

Interpretação: 50% dos alunos obtiveram escore máximo de 61,67 pontos, ou

então, metade dos alunos obtiveram escore maior que 61,67 pontos.

INDICAÇÕES PARA UTILIZAÇÃO DAS TRÊS PRINCIPAIS MEDIDAS DE

POSIÇÃO

De maneira geral, a média é a mais empregada e a moda é a menos empregada

e a mais difícil de calcular satisfatoriamente. No entanto, a moda é adequada para

caracterizar situações onde estejam em causa os casos ou valores mais usuais. Por

exemplo, em estudos de mercado, o fabricante pode estar interessado nas medidas

que mais se vendem.

A mediana tem vantagens: é mais fácil de calcular do que a média; é mais

resistente do que a média, isto é, a alteração drástica de um só valor do rol reflete-se

substancialmente no valor da média e pode não refletir-se, ou refletir-se muito pouco,

no valor da mediana.

A média tem vantagens: quando a curva de frequência tem forma mais ou

menos simétrica (veremos isso adiante), com abas decaindo rapidamente (valores

erráticos muito improváveis), a média é mais eficiente do que a mediana, isto é, está

menos sujeita à variabilidade de rol para rol (menos sujeita a variações de

amostragem); a média é uma função linear das observações, propriedade que também

pode pesar na sua adoção.

Por fim, uma vantagem da mediana e da moda em relação à média aritmética é

que esta última não pode ser calculada quando ocorrem classes de frequências com



52

limites indefinidos (classes abertas). Entretanto, nesta situação, a moda e a mediana

podem ser encontradas sem qualquer dificuldade.

A seguir, na Figura 3.1 podemos ver uma comparação da média, mediana e

moda, as medidas de centro mais utilizadas:

A Figura 3.2 mostra a distribuição dos dados quanto à simetria. Temos que uma

distribuição é assimétrica quando se estende mais para um lado do que para o outro.

Pode ser assimétrica negativa Figura 3.2 (a) ou assimétrica positiva Figura 3.2 (c), ou

ainda simétrica Figura 3.2 (b), quando os dados do histograma não apresentam

diferenças significativas, a esquerda e a direita.

Figura 3.1: Comparação das medidas de centro

Fonte: TRIOLA (2008)



53

Figura 3.2: Assimetria


RELAÇÃO EMPÍRICA ENTRE A MÉDIA, A MODA E A MEDIANA

Existe uma fórmula empírica de relação entre as medidas de posição, criada por

Pearson, para distribuições de frequência unimodais:

)(3 MexMox

Calculando cada medida a partir dessa relação temos:

2

3 MoMex

xMeMo 23

3

2 MoxMe

Exemplo 3.14:

A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina:

Escores Alunos (Fi) PM Fac PM .Fi

35 |- 45 5 40 5 200

45 |- 55 12 50 17 600

55 |- 65 18 60 35 1080

65 |- 75 14 70 49 980

75 |- 85 6 80 55 480

85 |- 95 3 90 58 270

Total 58 3610

Nos exemplos 3.3, 3.9 e 3.13, calculamos a média a moda e a mediana obtendo

os seguintes valores:

24,6258

3610.

1

1

n

i

i

n

i

iM

F

FP

X



54

6110.)1412(182

121855

xMo

67,6110.18

172955

Me

Agora vamos comparar estes valores com os calculados pela relação empírica:

00,622

61)67,61(3

2

3

MoMex

53,60)24,62(2)67,61(323 xMeMo

83,613

61)24,62(2

3

2

MoxMe

Como vemos não há uma diferença acentuada entre as medidas pelos dois

processos.

3.5. MEDIDAS SEPARATRIZES

Além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas

individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana

relativamente à sua característica de separar a série em duas partes que apresentam o

mesmo número de valores.

Essas medidas - os quartis, os decis e os percentis - são, juntamente com a

mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes.

3.5.1. QUARTIS

Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Assim:

Onde:

Q1 = 1° quartil, deixa 25% dos elementos

Q2 = 2° quartil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos

Q3 = 3° quartil, deixa 75% dos elementos

Procedimento:

1. Calcula-se a posição do quartil: in

QiPos .4

)( , onde: i = 1, 2, 3.

2. Pela Fac identifica-se a classe que contém o valor do quartil - Classe(Qi)

3. Utiliza-se a fórmula: hFi

FacQPOSLiQ

anti

i .)( ,



55

onde: Li = Limite inferior da classe quartílica

Fac,ant = Frequência acumulada anterior à classe quartílica


Fi = Frequência absoluta simples da classe quartílica


Exemplo 3.15:


matriculados em uma determinada disciplina. Calcule o primeiro e o terceiro quartil.


35 |- 45 5 5

45 |- 55 12 17

55 |- 65 18 35

65 |- 75 14 49

75 |- 85 6 55

85 |- 95 3 58

Total 58 -

Solução:

Primeiro Quartil

1. 5,141.4

58)1( QPos

2. Classe(Q1) = 45 |− 55

3. 92,5292,74510.

12

55,14451

Q

Interpretação: 25% dos alunos obtiveram escore máximo de 52,92 pontos, ou então, 75% dos alunos obtiveram escore maior que 52,92 pontos.

Terceiro Quartil

1. 5,433.4

58)3( QPos

2. Classe(Q3) = 65 |− 75

3. 07,7107,66510.14

355,43653

Q

Interpretação: 75% dos alunos obtiveram escore menor que 71,07 pontos, ou então, 25% dos alunos obtiveram escore de pelo menos 71,07 pontos.



56

3.5.2. DECIS

São valores que dividem a série em dez partes.

Procedimento:

1. Calcula-se a posição da medida: in

DiPos .10

)(

onde: i = 1,2,3,4,5,6,7,8,9

2. Pela Fac identifica-se a classe que contém o valor do decil - Classe(Di)


FacDPOSLiD anti

i .)(

onde: Li = Limite inferior da classe do decil

Fac,ant = Frequência acumulada anterior à classe do decil


Fi = Frequência absoluta simples da classe do decil


Exemplo 3.16:

A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina. Calcule o sexto decil.


35 |- 45 5 5

45 |- 55 12 17

55 |- 65 18 35

65 |- 75 14 49

75 |- 85 6 55

85 |- 95 3 58

Total 58 -

Solução:

1. 8,346.10

58)6( DPos

2. Classe(D6) = 55 |− 65

3. 89,6489,95510.18

178,34556

D



57

Interpretação: 60% dos alunos obtiveram escore inferior a 64,89 pontos, ou então, 40% dos alunos obtiveram escore mínimo de 64,89 pontos.

3.5.3. PERCENTIS

São as medidas que dividem a amostra em 100 parte iguais.

Procedimento:

1. Calcula-se a posição da medida: in

PiPos .100

)( , onde : i = 1,2,3,..., 98,99

2. Pela Fac identifica-se a classe que contém o valor do percentil - Classe(Pi)


FacPPOSLiP

anti

i .)( ,

onde:

Li = Limite inferior da classe do percentil

Fac,ant = Frequência acumulada anterior à classe do percentil


Fi = Frequência absoluta simples da classe do percentil


Exemplo 3.17:

A tabela abaixo representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina. Calcule o percentil de ordem 23.


35 |- 45 5 5

45 |- 55 12 17

55 |- 65 18 35

65 |- 75 14 49

75 |- 85 6 55

85 |- 95 3 58

Total 58 -

Solução:

1. 34,1323.100

58)23( PPos

2. Classe(P23) = 45 |− 55



58

3. 95,5195,64510.12

534,134523

P

Interpretação: 23% dos alunos com os menores escores obtiveram pontuação

inferior a 51,95 pontos, ou então, 77% dos alunos obtiveram escore maior que 51,95

pontos.

FÓRMULA GERAL DAS SEPARATRIZES

1° situação: Para dados não agrupados e dados agrupados sem intervalos de classe, uma separatriz genérica “S” de ordem “p” é determinável pela seguinte fórmula:

q

npX

q

npXx

q

npfrac

q

npXSp

)1(int1

)1(int

)1()1(int

Onde:

X: é qualquer elemento de um conjunto ordenado;

q

np )1( : é um índice que indica a posição do elemento X no conjunto ordenado;

q

np )1(int : indica a parte inteira do índice;

frac

q

np )1( : indica a parte fracionária do índice;

q: é o número de partições do conjunto. q N e q>1;

p: é a ordem da separatriz 1< p ≤ q – 1.

2° situação: Para dados agrupados com intervalos de classe, uma separatriz

genérica “S” determinável pela seguinte fórmula:

hFi

FacSPOSLiS

anti.

)( ,

onde: Li = Limite inferior da classe que contém a separatriz

POS(Si): posição da separatriz

Fac,ant = Frequência acumulada anterior à classe que contém a separatriz


Fi = Frequência absoluta simples da classe que contém a separatriz

Exemplo 3.18:

Suponha o conjunto de tempo de serviço (em anos) de quatro funcionários: 1, 9,

13, 20. Determinar o terceiro quartil (Q3) deste conjunto de dados.

Solução:

Dados em rol: 1, 9, 13, 20



59

Q3 = ?, q = 4, p = 3, n = 4

q

np )1( = 75,3

4

)14(3

(posição)

q

npX

q

npXx

q

npfrac

q

npXSp

)1(int1

)1(int

)1()1(int

25,18)7(75,013]1320[75,0133 xQ

Interpretação: 75% funcionários tem tempo de serviço menor ou igual a 18,25

anos e 25% dos funcionários tem tempo de serviço maior ou igual a 18,25 anos.

Exemplo 3.19:

Calcule o Primeiro quartil (Q1) do conjunto de dados abaixo:

2 - 5 - 8 - 5 - 5 - 10 - 1 - 12 - 12 - 11 - 13 - 15.

Solução:

Primeiro, devemos ordenar os dados:

1- 2 - 5 - 5 - 5 - 8 - 10 - 11 - 12 - 12 - 13 – 15.

Assim,

Q1 = ?, q = 4, p = 1, n = 12

q

np )1( = 25,34

)112(1

(posição)

q

npX

q

npXx

q

npfrac

q

npXSp

)1(int1

)1(int

)1()1(int

5]55.[25,051 Q

Interpretação: 25% dos valores são menores ou igual a 5 e 75% dos valores são

maiores ou igual a 5.

Exemplo 3.20:

Calcule o Quarto Decil (D4) da série:

Xi (Fi) Fac

2 1 1

5 4 5

6 3 8

8 2 10

Total 10 -

Solução:



60

D4 = ?, q = 10, p = 4, n = 10

q

np )1( = 40,410

)110(4

(posição)

q

npX

q

npXx

q

npfrac

q

npXSp

)1(int1

)1(int

)1()1(int

5]55.[40,054 D

Interpretação: 40% dos valores são menores ou igual a 5 e 60% dos valores são

maiores ou igual a 5.

Para finalizar este capítulo, vamos observar no diagrama de caixa abaixo as

medidas de posição, incluindo as separatrizes que acabamos de ver:

Fonte: http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S0103-84782008000500041&script=sci_arttext

(acesso em 11/01/2012)

http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S0103-84782008000500041&script=sci_arttext



61

4 – MEDIDAS DE VARIAÇÃO

4.1- INTRODUÇÃO

Nesta fase da descrição dos dados, uma análise completa requer muito mais do

que a apresentação dos dados em tabelas ou gráficos, e do cálculo das medidas de

posição. Não podemos apenas caracterizar um conjunto pela sua média, por exemplo,

pois os dados diferem entre si em maior ou menor grau.

As medidas de dispersão ou de variabilidade indicam se os valores estão

relativamente próximos um dos outros, ou separados em torno de uma medida de

posição, geralmente, a média como falamos acima.

As medidas são representadas segundo a sua natureza, sendo divididas em

medidas de dispersão ou de variabilidade absoluta e medidas de dispersão ou de

variabilidade relativa. Consideraremos as seguintes medidas de dispersão absoluta:

Amplitude total (AT), Amplitude semi-interquartílica (IQ), Desvio médio (DM), Variância

(σ2) e Desvio adrão (σ). As medidas de dispersão relativa consideradas são:

Coeficiente de Variação ou Coeficiente de Pearson (CVP) e Coeficiente de Variação ou

Coeficiente de Thorndike (CVT). Ainda serão vistas nessa unidade, medidas de

assimetria e de curtose, que são medidas complementares de dispersão.

4.2. MEDIDAS DE DISPERSÃO ABSOLUTA

4.2.1. AMPLITUDE TOTAL (AT)

Como no caso das medidas de posição, temos três situações diferentes: dados

não agrupados, dados agrupados sem e com intervalo de classe.


É a diferença entre o maior e menor dos valores da série, ou seja, é a diferença

entre os extremos do conjunto de dados.

mínmáxT XiXiA

A utilização da amplitude total como medida de dispersão é muito restrita, pois é

uma medida que depende apenas dos valores extremos, não sendo afetada pela

variabilidade interna dos valores da série, sendo muito instável.

A amplitude total também é sensível ao tamanho da amostra. Ao aumentar a

amostra, a AT tende a aumentar, ainda que não proporcionalmente. Também apresenta

grande variação de uma amostra para a outra, mesmo que ambas sejam extraídas da

mesma população.

O uso da amplitude total é feito apenas em situações em que ela se apresenta

satisfatória. Um exemplo de aplicação é a amplitude da variação da temperatura em

um dia, um ano, ou num processo de resfriamento. Outras aplicações são encontradas



62

quando os dados são raros ou esparsos, que não justificam o uso de uma medida mais

precisa.

Exemplo 4.1:

Sejam as duas series a seguir:

a) 1, 1, 1, 1, 1, 100

b) 1, 30, 32, 45, 75, 100

Ambas possuem AT = 100 – 1 = 99.

2 ª SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por valores simples

Como na situação anterior, a amplitude total é a diferença entre o maior e menor dos valores da série.

mínmáxT XiXiA

3ª SITUAÇÃO: Dados agrupados em uma distribuição de frequência por intervalos de classe

É a diferença entre o limite superior do último intervalo de classe e o limite

inferior do primeiro intervalo de classe, ou seja:

mínmáxT LiLsA

4.2.2. DESVIO-MÉDIO

O desvio-médio ou média dos desvios é a média aritmética dos valores

absolutos dos desvios tomados em relação a média ou a mediana. Sua vantagem é

que leva em conta todos os elementos. Aqui apresentaremos as fórmulas utilizando a

média.


Sejam os elementos x1, x2, x3,...,xn de uma amostra, portanto n valores da

variável X, com média igual a X . O desvio médio da variável aleatória de X é,

n

XXiD

n

i

m

1

onde n é o número de elementos do conjunto.

Exemplo 4.2:



63

Suponha o conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11.

Determinar o desvio médio deste conjunto de dados.

Solução:

No exemplo 3.1 calculamos a média, 8,7X

24,25

2,11

5

)8,711()8,710()8,78()8,77()8,73(1

n

XXiD

n

i

m

Interpretação: em média, o tempo de serviço deste grupo de funcionários se

desviou em 2,24 anos em torno dos 7,8 anos de tempo médio de serviço.



usaremos o desvio médio dos valores x1, x2, x3,...,xn, ponderados pelas respectivas

frequências absolutas: F1, F2, F3, ... , Fn, como no cálculo da média aritmética. Assim,

n

FiXXiD

n

i

m

.1

onde:

ΣFi = n = Frequência absoluta total

Exemplo 4.3:

A tabela abaixo representa o número de peças de precisão defeituosas

desenvolvidas mensalmente pelo controle de qualidade. Calcule o desvio médio.



Xi- X Xi- X .Fi

0 2 2,73 5,46

1 3 1,73 5,19

2 6 0,73 4,38

3 8 0,27 2,16

4 4 1,27 5,08

5 2 2,27 4,54

6 1 3,27 3,27

TOTAL 26 30,08

Solução:

A média foi calculada no exemplo 3.2: 73,2X

O cálculo do desvio médio será:

16,126

08,30.1

n

FiXXiD

n

i

m



64

Interpretação: em média, o número de peças defeituosas possui uma distância

de 1,16 em torno das 2,73 peças defeituosas em média por mês.



usaremos o desvio-médio dos pontos médios x1, x2, x3,...,xn de cada classe,

ponderados pelas respectivas frequências absolutas: F1, F2, F3, ... , Fn. Desta forma, o

cálculo do desvio-médio passa a ser igual ao da 2ª situação. Assim,

n

FiXXiD

n

i

m

.1

, onde

n

i

i

n

i

iM

F

FP

X

1

1

.

Exemplo 4.4:


matriculados em uma determinada disciplina. Calcule o desvio médio.

Escores Alunos (Fi) PM PM -X (PM –X). Fi

35 |- 45 5 40 22,24 111,20

45 |- 55 12 50 12,24 146,88

55 |- 65 18 60 2,24 40,32

65 |- 75 14 70 7,76 108,64

75 |- 85 6 80 17,76 106,56

85 |- 95 3 90 27,76 83,28

Total 58 596,88

Solução:

A média foi calculada no exemplo 3.3: 24,62X

O cálculo do desvio-médio será:

29,1058

88,596.1

n

FiXXiD

n

i

m

Interpretação: Em média, a nota de cada aluno deste grupo teve um

distanciamento de 10,29 pontos em torno do desempenho médio deste grupo de

alunos que foi de 62,24 pontos nesta disciplina.

4.2.3. VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO

São as medidas de dispersão mais usadas e conhecidas.

A variância de um conjunto de dados é a média dos quadrados dos desvios dos

valores a contar da média. A fórmula da variância poderá ser calculada de duas

formas:



65

A populacional: representada letra grega σ2

A amostral: representada por s2


Sejam os elementos x1, x2, x3,...,xn, portanto n valores da variável X, com média

igual a X . A variância da variável aleatória de X é,

n

Xin

i

1

2

2

ou

1

1

2

2

n

XXi

S

n

i

Obs: Para valores grandes da amostra (n>30), não há grande diferença entre os resultados obtidos com n ou n-1, mas o mais comum é utilizarmos n quando se trata de população e n-1 quando for amostra.

Exemplo 4.5:

Suponha o conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11.

Determinar o desvio-padrão deste conjunto de dados.

Solução:

2

22222

1

2

2 7,94

8,38

15

)8,711()8,710()8,78()8,77()8,73(

1anos

n

XXi

S

n

i

Interpretação: encontramos então uma variância para o tempo de serviço de 9,7

anos2.

Para eliminarmos o quadrado da unidade de medida, extraímos a raiz quadrada

do resultado da variância, que chegamos a outra medida de dispersão, chamada de

DESVIO PADRÃO:

A populacional: representada letra grega 2

A amostral: representada por 2SS

Portanto, o desvio-padrão do exemplo foi de 3,11 anos. Ou seja, se calcularmos

um intervalo utilizando um desvio-padrão em torno da média, encontraremos a

concentração da maioria dos dados.



usaremos a variância dos valores x1, x2, x3,...,xn, ponderados pelas respectivas

frequências absolutas: F1, F2, F3, ... , Fn. Assim, temos



66

n

FiXin

i

1

2

2

.)(

n

FiXiFixi

n

2

22).(

.1 ou

1

.)(1

2

2

n

FiXXi

S

n

i

n

FiXiFixi

nS

2

22).(

.1

1

onde: ΣFi = n = Frequência absoluta total

Exemplo 4.6:

A tabela abaixo representa o número de peças de precisão defeituosas

desenvolvidas mensalmente pelo controle de qualidade. Calcule o desvio padrão.



(Xi- X )² (Xi- X )².Fi Xi.Fi Xi².Fi

0 2 7,45 14,91 0,00 0,00

1 3 2,99 8,98 3,00 3,00

2 6 0,53 3,20 12,00 24,00

3 8 0,07 0,58 24,00 72,00

4 4 1,61 6,45 16,00 64,00

5 2 5,15 10,31 10,00 50,00

6 1 10,69 10,69 6,00 36,00

TOTAL 26 55,12 71,00 249,00

Solução:

21

2

2 20,2126

12,55

1

.)(

peçasn

FiXXi

S

n

i

peçasSS 48,120,22

ou

222

22 20,226

71249

126

1).(.

1

1peças

n

FiXiFixi

nS

peçasSS 48,120,22

Interpretação: Portanto, o desvio-padrão do exemplo foi de 1,48 peças em torno

da média, ou seja, se calcularmos um intervalo utilizando um desvio-padrão em torno

da média, encontraremos a concentração da maioria das peças defeituosas por mês.




67

Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência usaremos a seguinte expressão:

2

22

2 ...

hn

Fidi

n

Fidi

onde:

h

PPdi

MeMM

PM Me: ponto médio da classe que contém mediana

PM : ponto médio do intervalo de classe

Σdi.Fi: somatório do produto da frequência absoluta pelo respectivo desvio

Σdi2.Fi: somatório do produto da frequência absoluta pelo respectivo desvio ao

quadrado


n= Frequência absoluta total

Obs: Alguns autores utilizam n - 1 no lugar de n, principalmente quando a

amostra é pequena n < 30.

Exemplo 4.7:


matriculados em uma determinada disciplina. Como a média calculada no exemplo 3.3

é 62,24, cálculo do desvio padrão será:

Escores Alunos (Fi) PM di di. Fi di2. Fi

35 |- 45 5 40 -2 -10 20

45 |- 55 12 50 -1 -12 12

55 |- 65 18 60 0 0 0

65 |- 75 14 70 1 14 14

75 |- 85 6 80 2 12 24

85 |- 95 3 90 3 9 27

Total 58 13 97

Como vimos anteriormente, a mediana está no intervalo de classe de 55 |- 65, seu PM é 60, então calculando o di para o primeiro intervalo temos:

210

6040

h

PPdi

MeMM, agora podemos completar e tabela e calcular a

variância para em seguida o desvio padrão:



68

pontoshn

Fidi

n

Fidi98,16110.

58

13

58

97.

..2

2

2

22

2

pontos73,1298,1612

Interpretação: O desvio-padrão do exemplo foi de 12,73 pontos. Ou seja, se

calcularmos um intervalo utilizando um desvio-padrão em torno do escore médio de

62,24 pontos, encontraremos a concentração da maioria dos alunos dentro deste

intervalo de pontuação.

Sobre o desvio padrão:

Podemos concluir que o desvio padrão S é a medida de dispersão mais usada,

tendo padrão em comum com o desvio médio Dm o fato de ambos serem considerados

os desvios com relação a média. A diferença está que no cálculo do desvio padrão S,

em lugar de serem considerados os valores absolutos dos desvios, calculamos os

quadrados desses. O desvio padrão também se apresenta maior que o desvio médio.

O valor do desvio padrão S é usualmente positivo. É zero quando todos os

valores dos dados são iguais (o mesmo número). S nunca será negativo. Maiores

valores de S indicam uma maior variação.

O valor do desvio padrão pode crescer muito com a inclusão de um ou mais

outliers (valores dos dados que estão muito longe dos demais).

As unidades do desvio padrão S, como por exemplo, metros, polegadas,

minutos, libras, etc. são as mesmas unidades dos dados originais. Quando tivermos a

variância, essas unidades estarão elevadas ao quadrado.

RELAÇÕES EMPÍRICAS ENTRE AS MEDIDAS DE DISPERSÃO

I) Regra prática para a determinação do desvio padrão de dados típicos

Podemos usar uma aproximação para o desvio padrão, visto que a amplitude

mede aproximadamente 4 desvios padrões (= 4S), assim:

4

mínmáx XiXiS

Quando as distribuições são fracamente assimétricas (pequeno enviesamento

da curva), podemos considerar também:

SDm5

4 e SDq

3

2

II) Regra prática “68 95 99,7” ou “Gaussiana”



69

Essa regra só é utilizável quando o conjunto de dados apresenta histograma

simétrico e uma distribuição em forma aproximadamente de sino.

SX 1 : Cerca de 68% das observações ficam a 1 desvio padrão da média.

SX 2 : Cerca de 95% das observações ficam a 1 desvio padrão da média.

SX 3 : Cerca de 99,7% das observações ficam a 1 desvio padrão da média.

Figura 4.1: Regra empírica


4.3. MEDIDAS DE DISPERSÃO RELATIVA

A dispersão relativa permite compararmos duas ou mais distribuições, mesmo

que estas se refiram a diferentes fenômenos e sejam expressas em unidade de

medidas distintas. Geralmente, as medidas de dispersão relativas resultam de

comparação entre uma medida de dispersão absoluta e uma medida de posição, sendo

seu resultado expresso em termos percentuais.

4.3.1. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DE PEARSON (CV)

O coeficiente de variação de Pearson é a medida de dispersão relativa mais

utilizada, sendo definida como a razão entre o desvio padrão e a média:

100.X

CV

ou 100.X

SCV

se os dados são populacionais ou amostrais, não-negativos.

A partir do coeficiente de variação pode-se avaliar a homogeneidade do conjunto

de dados e, consequentemente, se a média é uma boa medida para representar estes

dados.



70

Uma desvantagem do coeficiente de variação é que ele deixa de ser útil quando

a média está próxima de zero. Uma média muito próxima de zero pode inflacionar o

CV. Por outro lado, quanto mais próximo de zero, mais homogêneo é o conjunto de

dados e mais representativa será sua média.

Um coeficiente de variação superior a 50% sugere alta dispersão o que indica

heterogeneidade dos dados. Quanto maior for este valor, menos representativa será a

média. Neste caso, optamos pela mediana ou moda, não existindo uma regra prática

para a escolha de uma destas medidas.

Exemplo 4.8:

Numa empresa o salário médio dos funcionários do sexo masculino é de R$

4.000,00, com um desvio padrão de R$ 1.500,00, e os funcionários do sexo feminino é

em média de R$ 3.000,00, com um desvio padrão de R$ 1.200,00.

Então calculando o coeficiente de variação temos que:

Sexo masculino: %50,37100.4000

1500100.

X

SCV

Sexo feminino: %00,40100.3000

1200100.

X

SCV

Interpretação: Podemos concluir que o salário das mulheres apresenta maior dispersão relativa que o dos homens.

Classificação da distribuição quanto à dispersão:

Dispersão baixa: CV ≤ 15%

Dispersão média: 15% < CV < 30%

Dispersão alta: CV ≥ 30%

4.4. MEDIDAS DE ASSIMETRIA

As medidas de assimetria e de curtose são as últimas que temos para

completarmos o quadro de estatísticas descritivas, que proporcionam, juntamente com

as medidas de posição e de dispersão, a descrição e compreensão completas da

distribuição de frequência em estudo.

A medida de assimetria é um indicador da forma da distribuição dos dados.

Quanto ao grau de deformação ou assimetria, podemos ter três tipos de curvas de

frequência:



71

a) Curva assimétrica negativa

’

b) Curva simétrica

c) Curva assimétrica positiva

Figura 4.2 - Classificação quanto à simetria

Uma distribuição é classificada como:

Assimétrica negativa: se média ≤ mediana ≤ moda ou As < 0. O lado mais longo do polígono de frequência (cauda da distribuição) está à esquerda do centro;

Assimétrica positiva: se moda ≤ mediana ≤ média ou As > 0. O lado mais longo do polígono de frequência está à direita do centro;

Simétrica: se média = mediana = moda ou As = 0.

O grau de assimetria de uma distribuição é medido pelo coeficiente de

assimetria.

Mo Me X variável

Fi

X variável Me Mo

X Me Mo variável

Fi

Fi



72

4.4.1. CRITÉRIO DE PEARSON

O coeficiente de assimetria de Pearson (As) definido para dados populacionais e

amostrais, respectivamente, como:

MoAs

ou S

MoXAs

recomendável no caso de distribuições unimodais ou

)(3 MeAs

ou

S

MeXAs

)(3

no caso de distribuições plurimodais.

Classificação do coeficiente de Pearson:

As = 0: distribuição simétrica

0 < As < 1: distribuição assimétrica positiva fraca

As ≥ 1: distribuição assimétrica positiva forte

-1 < As < 0:distribuição assimétrica negativa fraca

As ≤ -1: distribuição assimétrica negativa forte


4.4.2. CRITÉRIO DE KELLEY

Aqui utilizamos os valores dos 10° e 90° percentis e da mediana. O valor da

assimetria varia entre ±1.

1090

9010 2

PP

MePPAs

4.4.3. CRITÉRIO DE BOWLLEY

Aqui utilizamos os valores dos 1° e 3° quartis e da mediana. O valor da assimetria varia entre ±1.

13

13 2

QQ

MeQQAs

4.5. MEDIDAS DE CURTOSE

A medida de curtose é o grau de achatamento ou de afilamento da distribuição,

ou seja, é um indicador da forma desta distribuição.

A medida de curtose é determinada pelo seu coeficiente de curtose k :



73

)(2 1090

13

PP

QQK

A curtose é mais uma medida com a finalidade de complementar a

caracterização da dispersão em uma distribuição. Esta medida quantifica a

concentração ou dispersão dos valores de um conjunto de dados em relação às

medidas de tendência central em uma distribuição de frequências.

Uma distribuição é classificada quanto ao grau de achatamento segundo a figura

abaixo:

Figura 4.3 - Classificação da distribuição quanto à curtose.

Leptocúrtica: quando a distribuição apresenta uma curva de frequência bastante

fechada, com os dados fortemente concentrados em torno de seu centro, K < 0,263;

Mesocúrtica: quando os dados estão razoavelmente concentrados em torno de

seu centro, K= 0,263;

Platicúrtica: quando a distribuição apresenta uma curva de frequência mais

aberta, com os dados fracamente concentrados em torno de seu centro, K > 0,263.

Veremos depois que as distribuições simétricas e mesocúrticas são distribuições

normais.

Exemplo 4.9:

Os dados da distribuição de frequência abaixo representam os salários semanais de 27 funcionários de um determinado setor uma empresa:



74

Salário (R$) Fi

230,00 2

250,00 4

320,00 6

360,00 8

420,00 4

430,00 2

540,00 1

TOTAL 27

Em relação aos salários vamos calcular:

a) a média;

b) a moda;

c) a mediana;

d) a variância;

e) o desvio padrão;

f) o coeficiente de variação;

g) o coeficiente de assimetria e classificar a distribuição.

Solução:



75



76

V – INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE

5.1- INTRODUÇÃO

Aqui você será apresentado ao conceito básico e interpretação de probabilidade

de um evento.

Probabilidade ou Possibilidade? A diferença entre as palavras possibilidade e

probabilidade é que a probabilidade mede a possibilidade de em experimento aleatório.

5.2. EXPERIMENTO

Um experimento é qualquer processo que permite fazer observações e que o

resultado está sujeito a incertezas.

Temos como exemplos: o lançamento de um dado para observar a face

vencedora; o comprimento e o peso; a seleção de um eleitor para indicar seu candidato

nas próximas eleições, o levantamento da resistência de compressão em diversas

vigas metálicas, etc.

Os experimentos podem determinísticos ou aleatórios.

Experimentos determinísticos: são aqueles cujos resultados são sempre os mesmos, apesar de se repetirem várias vezes em condições semelhantes. Por exemplo, nascimento de um bebê (é certo que haverá o nascimento).

Experimentos aleatórios: são aqueles cujos resultados não são sempre os mesmos, apesar de se repetirem várias vezes em condições semelhantes, ou ainda, é o experimento que a cada repetição é impossível prever, com absoluta certeza, qual o resultado será obtido, e, além disso, a ocorrência de um deles exclui a possibilidade de ocorrência dos demais (o que chamamos de eventos mutuamente exclusivos). Por exemplo, o sexo do bebê que nasceu (pode ser masculino ou feminino).

5.3. ESPAÇO AMOSTRAL

O espaço amostral (S) de um experimento aleatório (E) é o conjunto de todos os

resultados possíveis desse experimento.

Por exemplo, no lançamento de um dado honesto, temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

5.4. EVENTO

Evento é qualquer resultado possível, obtido da realização de um experimento

E, ou seja, evento é qualquer subconjunto do espaço amostral S. O evento é

denominado simples se consistir em um único resultado e composto se consistir em

mais de um resultado.

Quando o experimento é realizado, um determinado evento A ocorre se o

resultado experimental estiver contido em A. Geralmente, ocorre exatamente um



77

evento simples, mas diversos eventos compostos também podem ocorrer

simultaneamente.

Seja, por exemplo, os eventos A, B e C:

A: observar face ímpar no lançamento de um dado. A = {1, 3, 5}

B: observar face maior do que 4. B = {5, 6}

C: observar face par. C = {2, 4, 6}

D: observar face maior do que cinco. D = {6} (evento simples).

5.4.1. Tipos de eventos

Evento Impossível é o evento igual ao conjunto vazio ( ou { }). A probabilidade de ocorrer é zero.

Exemplo: D: observar face maior do que 6. D = { }

Evento certo é o evento igual ao espaço amostral S. A probabilidade de ocorrer é certa, ou seja, igual a 1.

Exemplo: E: observar face menor do que 7. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

5.4.2. Operação com eventos

Usamos frequentemente diagramas para mostrar a relação entre conjuntos,

sendo estes diagramas também utilizados para descrever a relação entre os eventos.

São os chamados diagramas de Venn.

União: A B é o evento que ocorre se, e somente se, A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem simultaneamente.

Intersecção: A B é o evento que ocorre se, e somente se, A e B ocorrem simultaneamente.

Obs: se A B = , então A e B são ditos mutuamente exclusivos (excludentes) ou disjuntos.



78

Complementar: A é o evento que ocorre se, e somente se, A não ocorrer.

5.5. APROXIMAÇÃO DA PROBABILIDADE PELA FREQUÊNCIA RELATIVA

Também chamada de probabilidade empírica, é dada pelo número de vezes em

que ocorreu um determinado evento pelo número de vezes que o procedimento foi

repetido.

Por exemplo, ao tentarmos determinar a probabilidade de uma tachinha cair de

ponta para cima, devemos repetir o procedimento de jogar muitas vezes a tachinha e

depois achar a razão entre o número de vezes que ela caiu de ponta para cima e o

número de jogadas.

5.6. PROBABILIDADE CLÁSSICA (CONCEITO HISTÓRICO)

A probabilidade clássica se aplica a situações em que os resultados que

compõem o espaço amostral tem a mesma possibilidade de ocorrerem, ou seja, os

eventos simples são considerados equiprováveis e o espaço amostral é finito.

Por exemplo, no lançamento de um dado a probabilidade de ocorrer face 2 é

igual a probabilidade de ocorrer qualquer outra face (1, 3, 4, 5 ou 6).

)(

)()(

Sn

AnAP

5.7. PROBABILIDADE SUBJETIVA

Um exemplo é quando os meteorologistas usam seus conhecimentos

específicos de condições do tempo para saber se irá chover no dia de amanhã, então

desenvolvem uma estimativa de probabilidade.

Notação para probabilidades:

P representa a probabilidade

A, B, C,representam eventos específicos

P(A) representa a probabilidade de ocorrer o evento A

n(A) é o número de elementos de A,

n(S) é o número de elementos de S.

0 P(A) 1 ou 1)(1

n

i

iAP



79

5.8. TEOREMA DA SOMA

Seja S um espaço amostral e A e B eventos de S. A probabilidade da união

desses eventos é dada por:

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então: P(A B) = P(A) + P(B)

P(A B) ou P(A ou B) representa a probabilidade de que ocorra o evento A ou o

evento B (ou ocorram ambos) como um único resultado de um experimento.

A palavra-chave para lembrar é “ou” com adição.

Exemplo 5.1:

Se retirarmos uma carta de um baralho normal de 52 cartas, qual é a

probabilidade de sair um ás ou uma carta de ouros?

Solução:

Exemplo 5.2:

Uma urna contém 4 bolas amarelas, 2 bolas brancas e 3 bolas vermelhas.

Retirando-se uma bola, calcular a probabilidade de ela ser amarela ou branca.

Solução:

5.9. PROBABILIDADE DO COMPLEMENTAR DE UM EVENTO

Se A é o complemento de um evento A, então: P( A ) = 1 – P(A)

Os eventos A e A tem que ser disjuntos, pois como falado, é impossível que o

evento e seu complementar ocorram ao mesmo tempo, assim:

P( A ) + P(A) = 1 e P (A)= 1 – P( A )



80

5.10. PROBABILIDADE CONDICIONAL

Uma probabilidade condicional é a probabilidade de ocorrer um evento, dado

que um outro evento já ocorreu.

Seja A S e B S. A probabilidade condicional de A dado que B ocorreu (A/B)

é definida como:

)(

)()/(

BP

BAPBAP

se P(B) 0

Como também a probabilidade condicional de B dado que A ocorreu (B/A):

)(

)()/(

AP

ABPABP

se P(A) 0

Exemplo 5.3:

Duas cartas são selecionadas de um baralho comum, sem reposição. Qual a

probabilidade da segunda carta ser uma dama, dado que a primeira foi um rei?

Solução:

Exemplo 5.4:

Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma é 6, qual a probabilidade de

ter ocorrido à face 2 em um deles?

Solução:

No lançamento de um par de dados temos 36 possibilidades, para que a soma

das faces seja 6, podemos ter 4 e 2 ou 2 e 4, ou seja, 2 em 36.

Se a soma é 6, temos 5 possibilidades (1 e 5, 5 e 1, 2 e 4, 4 e 2, 3 e 3), em 36.

5.11. TEOREMA DO PRODUTO

Esta regra é utilizada para encontrarmos a probabilidade de o evento A

acontecer em uma primeira prova e o evento B acontecer em uma segunda prova. Se o



81

resultado do primeiro evento A afeta a probabilidade do segundo evento B, é

importante que ajustemos a probabilidade de B para refletir a ocorrência de A.

P(A B) = P(A/B).P(B) ou P(A B) = P(B/A).P(A)

Podemos assim dizer que:

P(A1 A2 A3 ... An) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A2 A1)...

A palavra-chave para lembrar é “e” com multiplicação.

Exemplo 5.5:

Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Três peças são retiradas

aleatoriamente, uma após a outra. Encontre a probabilidade de todas essas 3 peças

serem não defeituosas.

Solução:

5.12. EVENTOS INDEPENDENTES

Dois eventos A e B são ditos independentes caso a probabilidade de um não

influenciar a probabilidade de outro ocorrer ou não, ou seja, se a probabilidade de B

ocorrer é igual à probabilidade condicional de B dado A, tem-se:

P(B) = P(B/A)

Pelo Teorema do Produto tem-se:

P(A B) = P(B/A).P(A)

Substituindo P(B/A) por P(B)

P(A B) = P(B).P(A)

A equação acima é usada como definição formal de independência.

Obs: Se A e B são mutuamente exclusivos, então A e B são dependentes, pois

se A ocorre, B não ocorre, isto é, a ocorrência de um evento condiciona a não-

ocorrência do outro.



82

Figura 5.1: Aplicando o teorema do produto.

Exemplo 5.6:

Jogamos uma moeda e um dado. Qual a probabilidade de sair cara e depois um

seis?

Solução:

Exemplo 5.7:

Duas cartas são selecionadas de um baralho comum, sem reposição. Qual a

probabilidade de escolhermos um rei e da segunda carta ser uma dama?

Solução:

5.13. PROCESSOS ESTOCÁSTICOS FINITOS E DIAGRAMAS DE ÁRVORE

Um processo estocástico finito é uma sequência finita de experimentos, na qual

cada experimento tem um número finito de resultados. Esses processos podem ser

representados pelo diagrama da árvore e podemos aplicar a seguinte regra prática: a

probabilidade de um ramo da árvore é o produto das probabilidades que o compõem,

as probabilidades entre ramos devem ser somadas quando convier, pois são eventos

mutuamente exclusivos.

Exemplo 5.8:

Início

P(A B) teorema do produto

multiplicaçã

A e B são independentes?

P(A B) = P(B/A).P(A)

P(A B) = P(B).P(A)



83

Vamos considerar três caixas: A caixa I tem 10 lâmpadas, das quais 4 são

defeituosas; a caixa II tem 6 lâmpadas, das quais 1 é defeituosa; e, a caixa III tem 8

lâmpadas, das quais 3 são defeituosas. Selecionamos uma caixa aleatoriamente e

então retiramos uma lâmpada, também aleatoriamente. Qual a probabilidade da

lâmpada ser defeituosa?

Solução:

Fazendo o diagrama de árvore, temos

Onde, D: lâmpadas defeituosas e P: lâmpadas perfeitas.

314,08

3.

3

1

6

1.

3

1

10

4.

3

1)D(P

)III/D(P).III(P)II/D(P).II(P)I/D(P).I(PP(D)

)DIII(P)DII(P)DI(PP(D)

5.14. TEOREMA DE BAYES

Sejam A1, A2, ..., An uma partição de S e B um evento qualquer. Para qualquer

Ai:

)/().(...)/().()/().(

)/().()/(

2211 nn

ii

iABPAPABPAPABPAP

ABPAPBAP

Exemplo 5.9:

Suponhamos que a pergunta do exemplo 5.8 anterior fosse: Se uma lâmpada for

selecionada ao acaso e for defeituosa, qual a probabilidade de ter vindo da caixa I?

Solução:

D: 4/10 I

P: 6/10 D: 1/6

II P: 5/6 D: 3/8

III P: 5/8

1/3

1/3

1/3



84

424,0314,0

133,0

8

3.

3

1

6

1.

3

1

10

4.

3

110

4.

3

1

)D/I(P

)D(P

)I/D(P).I(P

)D(P

)DI(PP(I/D)

Exercícios:

Exemplo 5.10:

Considere a tabela a seguir, que mostra os resultados de um levantamento no

qual foi perguntado a 102 homens e 103 mulheres, trabalhadores, com idade entre 25 e

64 anos, se tinham poupado para emergência pelo menos um mês de salário.

(LARSON, 2007)

Homens Mulheres Total

Menos de um salário mensal 47 59 106

Um salário mensal ou mais 55 44 99

Total 102 103 205

a) Qual é a probabilidade de um(a) trabalhador(a) selecionado(a) ao acaso, ter poupado um mês ou mais para emergência?

Solução:

b) Dado que um trabalhador selecionado ao acaso é homem, qual a

probabilidade dele ter poupado um mês ou menos?

Solução:

c) Dado que um trabalhador poupou um mês ou mais, qual a probabilidade de se

tratar de uma mulher?

Solução:

d) Os eventos de ter poupado um mês ou mais e de ser homem são

dependentes ou independentes? Explique.

Solução:



85

Exemplo 5.11:

Numa certa cidade 40% da população tem cabelos castanhos, 25% tem olhos

castanhos e 15% tem olhos e cabelos castanhos. Uma pessoa da cidade é selecionada

aleatoriamente.

a) Se ela tem cabelos castanhos, qual a probabilidade de ter também olhos

castanhos?

Solução:

b) Se ela tem olhos castanhos, qual a probabilidade de não ter cabelos

castanhos?

Solução:

c) Qual a probabilidade de não ter olhos nem cabelos castanhos?

Solução:

Exemplo 5.12:

São dadas duas urnas. Uma urna A contém 5 bolas vermelhas, 3 brancas e 8

azuis. Uma urna B contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas. Lançamos um dado não

viciado: se ocorrer 3 ou 6 uma bola é escolhida de B, caso contrário, uma bola é

escolhida de A.

Para auxiliar na solução vamos esquematizar o problema:

Qual a probabilidade de:

a) Uma bola vermelha ser escolhida?

Solução:

V

A B

A

B V

B

4/6

2/6

8/16

5/8

3/8

3/16

5/16



86

b) Uma bola branca ser escolhida?

Solução:

c) Uma bola azul ser escolhida?

Solução:

Exemplo 5.13:

Uma urna contém 7 bolas gravadas com as letras A, A, A, C, C, R, R. Se

extrairmos as bolas uma por uma, qual a probabilidade de se obter a palavra

CARCARA?

Solução:

Exemplo 5.14:

Uma urna A contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma urna B contém 2 bolas

vermelhas e 6 brancas.

Vamos esquematizar:

a) Se uma bola é retirada de cada urna, qual a probabilidade de ambas serem

da mesma cor?

Solução:

b) Se duas bolas são retiradas de cada urna, qual a probabilidade de todas as 4

serem da mesma cor?

Solução:



87

Exemplo 5.15:

Em uma prova caíram 2 problemas. Dos 60 alunos que realizaram a prova,

sabe-se que 37 alunos acertaram o primeiro problema, 40 acertaram o segundo e 25

acertaram ambos. Qual a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso tenha

acertado pelo menos 1 problema?

Solução:

Exemplo 5.16:

Em uma fábrica de parafusos, as máquinas X, Y e Z produzem 25%, 35% e

40%, respectivamente. Da produção de cada máquina, 5%, 4% e 2%, respectivamente,

são parafusos defeituosos. Escolhemos ao acaso um parafuso. Se ele é defeituoso,

qual a probabilidade de que tenha vindo da máquina Y?

Solução:

Fazendo o diagrama de árvore, onde, D: parafusos defeituosos e P: parafusos

perfeitos, temos:

Exemplo 5.17:

Na seção de relações públicas de uma grande loja de departamentos, a

probabilidade de uma queixa de um consumidor se referir a mercadoria defeituosa

(MD) é 0,65, a probabilidade de se referir a atraso na entrega (AE) é 0,30, e a

probabilidade de se referir a erros de faturamento (EF) é 0,05. As queixas sobre

mercadoria defeituosa têm 0,70 de probabilidade de serem resolvidas a contento, as

queixas sobre atraso na entrega têm 0,10 de probabilidade de ser resolvidas



88

satisfatoriamente, e as queixas sobre erros no faturamento têm 0,90 de probabilidade

de uma solução satisfatória.

a) Determine a probabilidade de uma queixa ser resolvida satisfatoriamente;

b) Se uma queixa foi resolvida satisfatoriamente, ache a probabilidade de ela se

referir a erro de faturamento.

Solução:

Fazendo o diagrama de árvore, e considerando R: queixa resolvida

satisfatoriamente e NR: queixa não resolvida satisfatoriamente.

Exemplo 5.18:

Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves.

Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:

a) Ela não tenha defeitos graves;

b) Ela não tenha defeitos;

c) Ela seja boa ou tenha defeitos graves.

Solução:



89

Exemplo 5.19:

Considere o mesmo lote do exemplo 5.18. Retiram-se duas peças ao acaso.

Calcule a probabilidade de que:

a) Ambas sejam perfeitas;

Solução:

b) Nenhuma seja perfeita;

Solução:

c) Nenhuma tenha defeitos graves;

Solução:

d) Pelo menos uma seja perfeita.

Solução:

Exemplo 5.20:

Uma moeda é lançada três vezes. Calcule a probabilidade de obtermos:

a) Três caras;

b) Duas caras e uma coroa;

c) Uma cara somente;

d) Nenhuma cara;

e) Pelo menos uma cara.

Solução:



90

5.15 PRINCÍPIOS DA CONTAGEM

Os princípios da contagem podem ser utilizados para obtermos o número de

maneiras em que dois ou mais eventos podem ocorrer em sequência. Podemos

também encontar o número de formas nas quais um grupo de objetos pode ser

arranjado em ordem, e ainda, podemos encontar o número de maneiras de escolher

vários objetos e um grupo sem lervar em conta a ordem. Isso tudo com o intuito de

obtermos probabilidades.

Abaixo segue um quadro resumo com os princípios da contagem.

Princípio Descrição Fórmulas

Princípio fundamental da contagem

Se um evento puder ocorrer em m maneiras e um segundo evento em n maneiras, o número de maneiras que os dois eventos poderão ocorrer em sequência será m.n.

m.n

Permutações

O número de arranjos ordenados diferentes de n objetos distintos.

n!

O número de permutações de n objetos

distintos, tornando k a cada vez, em que k n. )!kn(

!nP k,n

O número de permutações distiguíveis de n objetos, sendo n1 de um tipo, n2 de outro tipo e assim por diante.

!n!...n!.n

!n

k21

Combinações O número de combinações de k objetos selecionados em um grupo de n objetos, sem importar a ordem.

!k)!kn(

!nC k,n

Fonte: adaptado de LARSON, 2007



91

VI – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

6.1- INTRODUÇÃO

Considere S um espaço amostral. Nem sempre os pontos amostrais de um

espaço amostral são números. Neste caso, é necessário definirmos uma função que

associe ou transforme o espaço amostral não numérico em espaço amostral numérico.

A função que faz essa associação é o que chamamos de variável aleatória.

A palavra aleatória indica que X é determinado por uma possibilidade. As

variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas.

Se os possíveis valores de X(S) for um conjunto finito (ou infinito numerável) ou

se os possíveis valores de X(S) provém de uma contagem, isto é, possam ser

enumerados, diremos que é variável aleatória discreta (VAD).

Se os possíveis valores de X(S) podem assumir infinitos valores (infinito não

numerável), ou se os possíveis valores de X(S) provém de uma medição, representada

por um intervalo sobre o eixo real, diremos que é variável aleatória contínua (VAC).

Vejamos agora os dois tipos de variáveis aleatórias:

6.2. VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA

Vamos iniciar com um exemplo:

Exemplo 6.1:

Lançamento de duas moedas. Seja X: contar o número de caras que ocorrem,

onde, c = cara e k = coroa.

S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}

X = {0, 1, 2}

O número de eventos que correspondem à ocorrência de nenhuma, uma ou

duas caras respectivamente é dado pela seguinte associação:

X Evento

0 A1 = {(k, k)}

1 A2 = {(c, k), (k, c)}

2 A3 = {(c, c)}

Podemos também associar as probabilidades de X assumir um dos valores, as

probabilidades dos eventos correspondentes:

P(X = 0) = P(A1) = 1/4



92

P(X = 1) = P(A2) = 2/4

P(X = 2) = P(A3) = 1/4

A cada valor de uma variável aleatória discreta podemos atribuir uma

probabilidade. Ao enumerar cada valor da variável aleatória com a sua probabilidade

correspondente, temos uma distribuição de probabilidade.

A distribuição de probabilidade da variável aleatória X é:

X P(X)

0 1/4

1 1/2

2 1/4

Assim temos:

Definição 1: Uma variável aleatória discreta é uma função que associa a cada ponto amostral um número real.

Definição 2: Uma distribuição discreta de probabilidade enumera cada valor que a variável aleatória pode assumir, ao lado de uma probabilidade. Uma distribuição de probabilidade deve satisfazer as seguintes condições:

0)x(p)i(

1)x(p)ii(

6.2.1. Construção de uma distribuição discreta de probabilidade

Tenha em mente que x é uma variável aleatória discreta com os resultados

possíveis x1, x2, ..., xn.

Estabeleça uma distribuição de frequência para os resultados possíveis.

Obtenha a soma de todas as frequências para os resultados possíveis.

Calcule a probabilidade de cada resultado possível dividindo sua frequência pela soma das frequências.

Verifique se cada probabilidade está entre 0 e 1 e se sua soma é 1.

6.2.2. Média ou valor esperado ou esperança matemática

Dada uma variável aleatória discreta X, com a função de probabilidade p(x),

então a média ou valor esperado de X, denotada por E(X) ou , é definida por:



93

)(....)(.)(.)(.)( 2211

1

nn

n

i

ii xpxxpxxpxxpxXE

Exemplo 6.2:

Obtenha o número médio de caras da distribuição de probabilidade para o

exemplo de lançamento de 2 moedas e contar o número de caras.

Solução:

A distribuição de probabilidade do exemplo está descrita na tabela a seguir:

X P(X)

0 1/4

1 1/2

2 1/4

Assim, a média (esperança) da distribuição é:

14

12

2

11

4

10)(.)(

2

0

xxxxpxXEi

ii

Propriedades da média:

Sendo X uma variável aleatória e k um número real, então:

1º) E(k) = k

2º) E(k.X) = k . E(X)

3º) E(X Y) = E(X) E(Y)

4º) n21n21

n

1i

i

n

1i

i XE...XEXEX...XXEXEXE

5º) E(aX bY) = a.E(X) b.E(Y)

6.2.3. Variância

A medida de dispersão ou espalhamento da distribuição da variável aleatória X

será dada por:

n

i

ixi XExpxXVAR1

22)(.)(



94

Notações utilizadas: VAR(X), V(X), 2(X), 2.

Da definição de variância é possível deduzir uma fórmula mais fácil

operacionalmente de ser aplicada.

22 )()( XEXEXVAR

Onde:

n

1i

i

2

i

2 xp.xXE

O Desvio Padrão é dado por:

)(XVAR

Exemplo 6.3:

Obtenha a variância e o desvio padrão da distribuição de probabilidade para o

exemplo de lançamento de 2 moedas e contar o número de caras.

Solução:

Lembramos que o valor da esperança (média) calculada no exemplo 6.2 foi de

E(X) = 1 e a distribuição de probabilidade encontra-se na tabela a seguir.

X P(X)

0 1/4

1 1/2

2 1/4

Precisamos calcular o valor de E(X2):

2

3

4

12

2

11

4

10)(.)( 222

2

0

22

xxxxpxXEi

ii

Assim:

2

11

2

3)()(

222 XEXEXVAR

71,02

1)( XVAR

Propriedades da Variância:

Sendo X uma variável aleatória e k um número real então:



95

1º) VAR(k) = 0

2º) VAR(X + k) = VAR(X)

3º) VAR(k.X) = k2.VAR(X)

4º) VAR(aX + b) = a2.VAR(X)

5º) Cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y)

6º) VAR(X Y) = VAR(X) + VAR(Y) 2.Cov(X, Y)

Exemplo 6.4:

O psicólogo de uma empresa ministrou um teste de personalidade para

determinar características passivas/agressivas em 150 funcionários. Aos indivíduos

foram atribuídos valores de 1 a 5, em que 1 representava o extremo passivo e 5, o

extremo agressivo. Um escore de 3 indicava não haver nenhuma característica

preponderante. Os resultados constam no quadro abaixo. Estabeleça uma distribuição

de probabilidade para a variável aleatória x, calcule a média, a variância e o desvio

padrão.

x fi

1 24

2 33

3 42

4 30

5 21

Solução:



96

6.3. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA

A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua é dada por

uma curva contínua, essa curva ou função matemática f(x) é chamada função

densidade de probabilidade (f.d.p).

Definição: Uma variável aleatória X é contínua em R se existir uma função f(x), tal que:

(i) f(x) 0, para qualquer x

(ii)

1).( dxxf , (a área total da curva é sempre igual a 1)

(iii)

b

a

dxxfbxaP ).()(

Interpretação gráfica da probabilidade:

Figura 6.1: Probabilidade como área sob a curva entre dois pontos

Podemos estender todas as definições de variáveis aleatórias discretas para

variáveis contínuas:

a b

P(a<X<b)

b

a

dxxfbxaP ).()(



97

Esperança: R

dx)x(f.x)x(Eμ

Variância: R

2dx)x(f.XEx)x(VAR ou 22 )X(E)X(E)X(VAR

onde dx)x(fx)X(ER

22

Exemplo 6.5:

Verificar se

0

3x2)x(f

2x,0x

2x0

é uma f.d.p.

Solução:

Para que f(x) seja uma f.d.p. é necessário que

1dx).x(f . Assim,

2

0

2

0

2 1064332 xxdxx

Logo f(x) NÃO é uma f.d.p.

6.4. VARIÁVEL ALEATÓRIA PADRONIZADA OU REDUZIDA

Seja X uma variável aleatória com média (µ) e desvio padrão (σ), a variável

resultante da operação:

σ

μXz

é dita variável aleatória padronizada ou reduzida.

Propriedades de Z

Média: 0μμσ

1μEXE

σ

1μXE

σ

1μX

σ

1E

σ

μXEzE

Variância: 1σσ

1μXVAR

σ

1μX

σ

1VAR

σ

μXVARzVAR 2

22

Z: N (0, 1)



98

6.5. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

6.5.1. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Há muitos experimentos probabilísticos para os quais a conclusão de cada

tentativa pode ser reduzida a dois resultados: sucesso ou fracasso. Quando um jogador

de basquete tente um lançamento livre, por exemplo, das duas, uma: ou ele faz a cesta

ou não. Experimentos probabilísticos como esse são chamados binomiais.

Um experimento binomial tem as seguintes características:

São realizadas n tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório;

Cada tentativa admite apenas dois resultados. Os resultados podem ser classificados como um sucesso (p) ou um fracasso (q).

A probabilidade p de sucesso em cada tentativa é constante

Seja X: número de sucessos em n tentativas. A função de probabilidade da

variável X será obtida pela relação:

knk

k,n q.p.C)kX(P , com !kn!k

!nC k,n

Onde:

k: o número de sucessos

n: o número de tentativas ou observações

p: probabilidade de sucesso em cada tentativa

q: probabilidade de fracasso em cada tentativa

A variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, e indicaremos pela

notação: X: B ( n, p).

Parâmetros da Distribuição Binomial

Média: E(X) = n.p

Variância: VAR(X) = n.p.q

Exemplo 6.6:

Os registros de uma empresa prestadora de serviços indicam que 40% das

faturas por ela emitidas são pagas após o vencimento. De 14 faturas expedidas,

determine:

a) a probabilidade de nenhuma ser paga após o vencimento;



99

b) a probabilidade de no máximo duas serem pagas após o vencimento;

c) a probabilidade de ao menos três serem pagas após o vencimento;

d) o valor esperado do número de faturas pagas após o vencimento e o desvio

padrão.

Solução:

Seja X: número de faturas pagas após o vencimento, então:

a) P(X = 0) = ? temos que: p = 0,40; q = 0,60; k = 0

knk

k,n q.p.C)kX(P

!k)!kn(

!nC k,n

00078,0)0X(P

)60,0.()40,0.(!14

!14)60,0.()40,0.(

!0)!014(

!14)60,0.()40,0.(C)0X(P 1401400140

0,14

b)



100

6.5.2. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta muito

importante para descrever o comportamento de eventos raros, com a probabilidade do

número de ocorrências num intervalo contínuo (tempo ou espaço).

Por exemplo: número de defeitos por lote em determinado produto, número de

chamadas telefônicas em um certo minuto, usuários de internet que tentam entrar em

um certo site.

A unidade de medida (tempo ou espaço) é uma variável contínua, mas a variável

aleatória (número de ocorrências) é discreta. Além disso, as falhas não são contáveis,

por exemplo, não podemos determinar a probabilidade do número de carros que

deixaram de passar num cruzamento.

A função de probabilidade da variável X será obtida pela relação:

!k

μ.e)kX(P

kμ

onde = .t

Onde:

= coeficiente de proporcionalidade

t = tempo ou espaço

A distribuição de Poisson difere da distribuição binomial em dois aspectos

importantes:

i) A distribuição Binomial é afetada pelo n e por p, enquanto que a distribuição

de Poisson é afetada pela média (µ);

ii) Na distribuição Binomial os possíveis valores da variável aleatória x são 0, 1,

2, ..., n; enquanto que na distribuição de Poisson os possíveis valores da variável

aleatória x são 0, 1, 2, ... sem o limite superior.

Parâmetros da Distribuição de Poisson

Média: E(X) =

Variância: VAR(X) =

Exemplo 6.7:

As chamadas de emergência chegam a uma delegacia de polícia a razão de 4

por hora em dias úteis.

a) quantas chamadas de emergência são esperadas num período de 30

minutos?



101

b) qual a probabilidade de nenhuma chamada num período de 30 minutos?

c) qual a probabilidade de ocorrer ao menos duas chamadas no mesmo

período?

Solução:

X: número de chamadas e = 4/h

6.5.3. APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL PELA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

Uma outra aplicação imediata deste modelo foi estudada por Poisson que

verificou o que acontecia com a função Binomial, quando o número de repetições

crescia e p diminuía e concluiu que:

!k

np.eq.p.Clim

knpknk

k,n

0p

n

Onde:

n.p = é a média de sucessos dentro do espaço considerado.

Na distribuição Binomial quando n 100 e n.p 10 a distribuição de Poisson

pode ser utilizada como aproximação de probabilidades Binomiais.



102

Exemplo 6.8:

A probabilidade de uma lâmpada se queimar ao ser ligada é 1/100. Numa

instalação com 100 lâmpadas, qual a probabilidade de 2 lâmpadas se queimarem ao

serem ligadas?

Solução:

X: número de lâmpadas que queimam ao serem ligadas

Pela distribuição Binomial: p = 0,01 e q = 0,99

184,0)2X(P

)99,0.()01,0.(!2)!2100(

!100)99,0.()01,0.(C)2X(P 98221002

2,100

Pela distribuição de Poisson:

101,0.100p.n

< 5 e n > 30, ok! Podemos aproximar por Poisson

!k

μ.e)kX(P

kμ

184,0!2

1.e)2X(P

21

As distribuições Binomial e Poisson são distribuições discretas de probabilidade.

Agora vamos ver uma distribuição contínua.

6.6. DISTRIBUIÇÃO NORMAL

É uma das mais importantes distribuições de probabilidades (contínua), sendo

aplicada em inúmeros fenômenos e constantemente utilizada para o desenvolvimento

teórico da inferência estatística. É também conhecida como distribuição de Gauss,

Laplace ou Laplace-Gauss.

Foi notado que diversas variáveis contínuas possuíam um comportamento

semelhante independente do experimento de que eram provenientes. Notou-se

também que em diversos experimentos, quando se usavam amostras grandes existia

tendência do comportamento ser semelhante. Este comportamento era senoidal, numa

curva simétrica e mesocúrtica.

O gráfico da função densidade de uma variável normal tem a forma de um sino e

é simétrico em relação à média μ.

Notação: N (, 2).



103

Figura 6.2: Curva normal

Fixando-se a média, verificamos que o “achatamento” está diretamente ligado ao

valor de σ, ou seja,

Figura 6.3: Assimetria e curtose

Gauss estudando este comportamento chegou à conclusão que a equação

dessa curva seria:

2

2

1

2

1)(

X

exp para - < x <

Onde:

= constante (3,1416...);

= desvio padrão da distribuição;

e = número neperiano (2,7183...);

= média da distribuição.

: média

: desvio padrão

x

f(x)



104

6.6.1. A CURVA NORMAL PADRÃO

Qualquer distribuição normal pode ser transformada em distribuição normal

padrão. O artifício consiste em transformar a variável X em variável Z, com média zero

e variância um.

Notação: Z (0, 1).

XZ

A função normal padrão terá função:

2

2

1

2

1)(

Z

ezp

As probabilidades da distribuição normal padronizada já estão em uma tabela,

não havendo necessidades de serem calculadas:

P( x1 x x2 ) = P( z1 z z2 )

Características da curva normal e da curva normal padrão:

É simétrica em relação à média ;

A curva normal se caracteriza por ter uma forma de sino;

f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem μ + σ e μ - σ ou ϕ(z) (curva normal padrão) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem -1 e +1.

A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é 1 ou 100%;

A curva é assintótica em relação ao eixo dos x;

Tem achatamento proporcional ao desvio padrão ou a variância 2.

Figura 6.4: Curva normal e curva normal padrão



105

Figura 6.5: Possíveis escores de Z

6.6.2. USO DA TABELA DA CURVA NORMAL PADRÃO

Tabela da Distribuição Normal Padrão

As entradas na tabela da curva normal são as probabilidades de uma variável

aleatória, com distribuição normal padrão, tomar um valor entre 0 e z, as probabilidades

são dadas pela área da região marcada na tabela abaixo.



106



107

A figura abaixo nos auxilia na interpretação das expressões mais comuns no

cálculo de probabilidades utilizando a curva normal:

Figura 6.6: Cálculo de probabilidades usando a curva normal

Exemplo 6.9:

1) Para cada item abaixo monte a curva normal, pinte a área e encontre a

probabilidade.

a) P(0 < z < 1)

P = 0,3413

b) P(-2,25 < z < 1,2)



108

c) P(z > 1,93)

d) z = 0 e z = 2,52

e) z = 1,02 e z = 3,2

f) z -2,67

g) z -1,53



109

Exemplo 6.10:

As alturas dos alunos de determinada escola são normalmente distribuídas com

média 1,60m e desvio padrão de 0,30m. Encontre a probabilidade de um aluno medir:

a) Entre 1,50 e 1,80m

b) Mais de 1,75

c) Menos de 1,48

Solução: Temos que a média = 1,60 e o desvio padrão = 0,30 e σ

μxz

a) P(1,50 X 1,80)

33,030,0

60,150,1z1

67,0

30,0

60,180,1z2

Obs: arredondamos o resultado de z para duas casas decimais para entrar na tabela.

Com os valores de z entramos na tabela e calculamos a probabilidade pedida:

P(1,50 X 1,80) = P(-0,33 z 0,67) = 0,1293 + 0,2486 = 0,3779

b)



110

6.6.3. APROXIMAÇÃO NORMAL PARA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Os casos em que o tamanho da amostra é n 30 o cálculo pela distribuição

Binomial começa a ser trabalhoso, no entanto, através do Teorema do Limite Central

as distribuições de probabilidade tendem à normal, quando aumenta o tamanho da

amostra, nesse caso é necessário adaptar uma distribuição discreta a uma contínua.

Teorema Central do Limite

Uma razão para a distribuição Normal ser considerada tão importante é porque

qualquer que seja a distribuição da variável de interesse para grande amostras, a

distribuição das médias amostrais serão aproximadamente normalmente distribuídas, e

tenderão a uma distribuição normal à medida que o tamanho de amostra crescer.

Então podemos ter uma variável original com uma distribuição muito diferente da

Normal (pode até mesmo ser discreta), mas se tomarmos várias amostras grandes

desta distribuição, e então fizermos um histograma das médias amostrais, a forma se

parecerá como uma curva Normal.

A distribuição da média amostral X é aproximadamente Normal com

média e desvio padrão n

σ, onde n é o tamanho da amostra.

A aproximação para a normal melhora à medida que o tamanho amostral cresce.

Este resultado é conhecido como o Teorema Central do Limite e é notável porque nos

permite conduzir alguns procedimentos de inferência sem qualquer conhecimento da

distribuição da população.

Quando usar uma distribuição normal para aproximar uma probabilidade

binomial é necessário mover 0,5 unidades para esquerda e para direita de ponto médio

a fim de incluir todos os valores possíveis de x no intervalo.

Exemplo 6.11:

Consideremos o lançamento de 10 vezes uma moeda e vamos achar a

distribuição de probabilidade do evento cara:

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(xi) 0,001 0,01 0,045 0,12 0,21 0,25 0,21 0,12 0,045 0,01 0,001

Determine: P(5 x 8)

Solução:

Por Binomial: p= 0,5; q = 0,5; n =10

P(5 x 8) = P(x=5) + P(x=6) + P(x=7) + P(x=8)

P(x=5) = C10,5.(0,5)5.(0,5)5 = 0,25

P(x=6) = C10,6.(0,5)6.(0,5)4 = 0,21



111

P(x=7) = C10,7.(0,5)7.(0,5)3 = 0,12

P(x=8) = C10,5.(0,5)8.(0,5)2 = 0,045

P(5 x 8) = 0,25 + 0,21 + 0,12 + 0,045 = 0,625

Por aproximação

Gráfico de f(x):

Para transformar a altura (que é a probabilidade) da barra em área, para ser

procurada na curva normal, construímos um retângulo de base unitária ao redor da

barra de modo que:

A = b. h = 1. h = h

Na curva Normal, corresponde determinar, para a probabilidade calculada

anteriormente, o cálculo seguinte:

P(4,5 x 8,5) = ?

= n.p = 10.0,5 = 5 ² = n.p.q = 10.0,5.0,5 = 2,5 = 1,58

q.p.n

)p.n('x

σ

μ'xz

32,058,1

55,4z1

e 22,2

58,1

55,8z2

P(4,5 x 8,5) = 0,1255 + 04868 = 0,6123

Comparando os resultados pelos dois métodos vemos que são aproximados.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 5 10 15



112

No entanto, se obedecermos à regra que n 30 e n.p 5, o resultado da

aproximação é ainda melhor.

Vale a pena utilizar a aproximação pois dependendo do que quisermos calcular,

a distribuição binomial pode envolver muitos cálculos e se tornar trabalhosa.

Exemplo 6.12:

Vamos fazer a correção para:

a) P(4 < x 7) =

b) P(3 x 8) =

c) P(x 2) =

d) P(x < 5) =

e) P(x = 4) =

Exemplo 6.13:

Sabe-se que 20% das peças produzidas por uma siderurgia são defeituosas.

Selecionam-se, ao acaso e com reposição, 100 peças da produção. Qual é a

probabilidade de encontrarmos de 15 a 30 defeituosas?

Solução:



113

6.6.4. APROXIMAÇÃO NORMAL PARA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

Podemos fazer uso desta aproximação quando: = .t >10

A distribuição de Poisson pode ser aproximada pela curva normal, mas não

podemos esquecer-nos de fazer a correção de continuidade.

Exemplo 6.14:

O SAC de uma empresa recebe em média 6,1 chamadas por minuto. Qual a

probabilidade de chegarem de 700 a 750 chamadas em 2 horas?

Solução:



114

7- TEORIA DA AMOSTRAGEM E DA DECISÃO

7.1- INTRODUÇÃO

A inferência estatística pode ser dividida em estimação de parâmetros e em

teste de hipóteses. É importante destacarmos que sempre que uma estatística seja

uma variável aleatória, ela terá uma distribuição de probabilidades. Chamamos a

distribuição de probabilidades de uma estatística de uma distribuição amostral.

Amostragem é o processo de determinação de uma amostra a ser pesquisada.

Desta forma, a teoria da amostragem estuda as relações existentes entre uma

população e as amostras extraídas dessa população. É útil para avaliação de

grandezas desconhecidas da população (como a média, a variância, etc), ou para

determinar se as diferenças observadas entre duas amostras são devidas ao acaso ou

se são verdadeiramente significativas (Teste de Hipóteses).

A diferença entre censo e amostragem, como vimos no capítulo 1, é que,

enquanto um censo envolve um exame a todos os elementos de um dado grupo, a

amostragem envolve um estudo de apenas uma parte dos elementos. A amostragem

consiste em selecionar parte de uma população e observá-la com vista a estimar uma

ou mais características para a totalidade da população.

7.2. AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES

É o processo mais elementar e frequentemente utilizado. Esse tipo de

amostragem utiliza uma técnica probabilística. A característica principal é que todos os

elementos da população têm igual probabilidade de pertencer à amostra.

Na prática a amostragem aleatória simples pode ser realizada numerando-se a

população de 1 a N e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório

qualquer, k números dessa sequência, os quais corresponderão aos elementos

pertencentes à amostra.

7.3. AMOSTRAS COM E SEM REPOSIÇÃO

Como vimos, se cada elemento da população pode ser escolhido mais de uma

vez para participar de uma mesma amostra temos a chamada amostra com reposição.

Se cada elemento da população puder ser escolhido apenas uma única vez para

participar de uma mesma amostra, temos a chamada amostra sem reposição.

Na prática, é demonstrado que o uso de amostras sem reposição acarreta em

menores erros do que com amostras com reposição.



115

7.4. DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS

Toda a variável aleatória é chamada de uma estatística, logo uma estatística é

qualquer função das observações em uma amostra aleatória.

Consideremos todas as amostras possíveis de tamanho n que podem ser

retiradas de uma população de tamanho N (com ou sem reposição).

Para cada amostra podemos calcular uma grandeza estatística, como a média, o

desvio padrão etc., que varia de amostra para amostra. Com os valores obtidos para

determinada grandeza, podemos construir uma distribuição de probabilidades, que será

denominada de distribuição amostral.

O quadro abaixo mostra as notações mais utilizadas pra algumas medidas:

Medidas População

(Parâmetros)

Amostra

(Estatística)

Tamanho N n

Média Aritmética µ x

Variância 2 s2

Desvio Padrão s

7.5. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS MÉDIAS

Se os valores da média e do desvio padrão de uma população, de tamanho N,

forem respectivamente µ e , e desta população são retiradas todas as possíveis

amostras de tamanho n, sendo n ≤ N, temos os valores da média e do desvio padrão

da distribuição amostral das médias dados por:

Teorema 1:

A média da distribuição amostral das médias, denotada por x

μ é igual à média

populacional µ. Ou seja:

μμx

Teorema 2:

Se a população é infinita ou se a amostragem é com reposição, então a

variância (2

xσ ) e o desvio-padrão (

xσ ) da distribuição amostral das médias são dados

por:

n

σσ

22

x e

n

σσ

x



116

onde n é o número de elementos da amostra.

Teorema 3:

Se a distribuição é finita ou se amostragem é sem reposição, então a variância e

o desvio-padrão da distribuição amostral das médias são dados por:

1N

nN.

n

22

x e

1N

nN.

nx

onde 1N

nN

representa o fator de correção para população finita.

Teorema 4 (Teorema do Limite Central):

Se a população tem ou não distribuição normal com média µ e variância 2,

então a distribuição das médias amostrais será normalmente distribuída com média

μμx e variância

n

σσ

22

x para populações infinitas e

1N

nN.

n

22

x para

populações finitas. Além disso, temos:

Variável aleatória padronizada de x : x

x

σ

μxz

Validade do teorema do limite central:

n > 30, entretanto, em várias situações, dependendo da forma da distribuição da

população, amostras com n < 30 são suficientes para garantir a validade da teoria

central do limite. O teorema central do limite é muito utilizado na inferência estatística.

Obs: O fator de correção para população finita pode ser omitido sempre que

n < 0,05 N.

A distribuição amostral das proporções pode ser considerada como normal para

grandes valores (n ≥ 30). Neste caso, devemos subtrair ou acrescentar de P, uma

correção de continuidade para podermos utilizar a tabela da curva normal. A soma ou

subtração de CC a P ocorre de forma a sempre aumentar a área de probabilidade a ser

calculada.

Correção de continuidade (CC) : n

5,0

n2

1CC



117

7.6. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS PROPORÇÕES

Admita uma população infinita distribuída binomialmente, onde p é a

probabilidade de sucesso da população e q é a probabilidade de fracasso da população

e p + q = 1.

Consideremos todas as possíveis amostras de tamanho n retiradas de uma

população de tamanho N, com reposição. Se para cada amostra calcularmos a

probabilidade de sucesso desta amostra

n

xp onde x é o número de sucessos da

amostra, obtemos desta maneira a distribuição amostral das proporções:

PμP n

pqσ

2

P n

pqσP

ara n ≥ 30, a distribuição amostral de proporções será normal e P

P

σ

μPz

.

Se a população for finita ou se a amostragem for tomada sem reposição, os

valores acima passam a ser:

PμP

1N

nN.

n

pqσ

2

P 1N

nN.

n

pqσP

7.7. ERRO PADRÃO

O desvio padrão da distribuição amostral de uma grandeza estatística é

freqüentemente denominado de seu erro padrão.

Então temos que x

σ é chamado de erro padrão da média e Pσ é chamado de

erro padrão da proporção.

7.8. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS DIFERENÇAS DAS MÉDIAS OU DAS

PROPORÇÕES

Considere duas populações onde são retiradas amostras de tamanho n1 e n2

cujas médias são 1x e 2x , respectivamente. Sendo as médias e os desvios padrões

das populações μ1, σ1 e μ2, σ2, respectivamente.

Na distribuição amostral das diferenças entre as médias, temos:



118

21xxμμμ

21

2

2

2

1

2

1xx

2

n

σ

n

σσ 21

2

2

2

1

2

1

xx n

σ

n

σσ

21

21

21

xx

xx21

σ

μxxz

Na distribuição amostral das diferenças entre as proporções, temos:

21PP PPμ21

2

22

1

11PP

2

n

q.p

n

q.pσ

21

2

22

1

11PP

n

q.p

n

q.pσ

21

21

21

PP

PP21

σ

μPPz

Vamos ver agora alguns exemplos de aplicação.

Exemplo 7.1:

Considere a seguinte população x = {2, 3, 4, 5}.

Podemos calcular a média, a variância e o desvio-padrão para a população,

assim:

12,125,1σ

25,14

)5,35()5,34()5,33()5,32(σ

5,34

5432μ

4N

22222

Exemplo 7.2:

A média das notas obtidas na disciplina de Estatística num determinado curso de

graduação tem sido igual a 7,7 e a variância igual a 1,96. Caso sejam extraídas várias

amostras de 49 alunos cada uma, do total de 586 que estão matriculados na disciplina,

determine o desvio padrão da distribuição amostral das médias, levando-se em conta

que a amostra foi efetuada:

a) com reposição;

b) sem reposição.

Solução:



119

a) Com reposição (população finita): 2,049

96,1

n

σσ

x

b) Sem reposição (população infinita)

n < 0,05 N?

49 < 0,05(586)?

49 > 29,3, logo necessita o fator de correção

1916,01586

49586.

49

96,1

1N

nN.

n

σσ

x

Exemplo 7.3:

Numa prova de matemática e física, constante de 80 questões, referente a um

vestibular simulado realizado no Rio de Janeiro, observou-se que a média de acertos

foi de 24,12 com desvio padrão de 9,78. Dos 22102 vestibulandos que participaram da

prova, retirou-se aleatoriamente uma amostra de 200 concorrentes. Determinar:

a) a probabilidade de que a média dessa amostra se localize entre 25 e 26;

b) a probabilidade de que a média dessa amostra apresente um valor inferior a

22.

Solução:

a) P(25 x

μ 26)?

Sem reposição n < 0,05N?

200 < 0,05 (22102)

200 < 1105,1 (podemos omitir o fator de correção)

6916,0200

78,9

n

σσ

x

x

x

σ

μxz

μμ

x

27,16916,0

12,2425z1

72,2

6916,0

12,2426z2



120

P(25 x 26) = P(1,27 z 1,72) = 04967 – 0,3980 = 0,0987

b)

Exemplo 7.4:

Verificou-se que 2% das ferramentas produzidas por uma certa máquina são

defeituosas. Qual é a probabilidade de que numa remessa de 400 dessas ferramentas,

revelarem-se;

a) 3% ou mais defeituosas;

b) 2% ou menos defeituosas.

Solução:

p=2% = 0,02; q = 0,98;

n = 400 30 (requer CC) 0125,0400.2

1

n2

1CC

02,0pPμP 007,0400

98,0.02,0

n

pqσP

a) P(P 0,03)?

02875,000125,003,0CC03,0P

25,1007,0

02,002875,0z

P(P 0,03) = P(z 1,25) = 0,5 – 0,3944 = 0,1056

b)



121

Exemplo 7.5:

Considere duas populações: I - adultos do sexo masculino; II - adultos do sexo

feminino. Supondo que a proporção de pessoas com dificuldades na área de

matemática nessas duas populações seja de 30% e 20%, respectivamente. Qual a

probabilidade de que numa dada amostra de 100 adultos de I e 120 adultos de II,

resultem num valor ( 21 PP ) < 0,18?

Solução:



122

7.9. TEORIA DA DECISÃO

Em Inferência Estatística, a teoria da decisão significa tomar decisões sobre

populações, com base em informações amostrais. Muitos problemas em engenharia

requerem que decidamos entre aceitar ou rejeitar uma afirmação sobre um parâmetro.

A afirmação é chamada de hipótese e o procedimento de tomada de decisão sobre a

hipótese é chamado de teste de hipóteses. Estas decisões estatísticas ocorrem com

relação a qualidade de algum processo, igualdade de parâmetros, igualdade ou

diferença de tratamentos, natureza da população, etc.

7.10. HIPÓTESE ESTATÍSTICA

Podemos dizer que é uma suposição quanto ao valor de um parâmetro

populacional, ou quanto à natureza da distribuição de probabilidade de uma variável

populacional, de uma ou mais populações.

7.11. TESTE DE HIPÓTESE

É uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com

base nos elementos amostrais.

Como vimos, toda avaliação feita sobre um parâmetro populacional, o qual não

possuímos nenhuma informação, pode ser resultado do processo de estimação. Se já

possuímos alguma informação, podemos testá-la no sentido de aceitá-la como

verdadeira ou rejeitá-la.

Os Testes de Significância ou testes de hipóteses tem por finalidade, a partir da

elaboração de uma Hipótese Nula H0 e de uma Hipótese Alternativa H1, verificar a

aceitabilidade ou não da informação, por isso é conhecida como uma Regra de

Decisão.

O objetivo então do teste de hipóteses é determinar se o parâmetro variou.

HIPÓTESE DE NULIDADE OU HIPÓTESE NULA (H0)

É a hipótese estatística a ser testada. O parâmetro populacional a ser testado é

chamado “de referência”, por exemplo, se for a média, será: μ.



123

HIPÓTESE ALTERNATIVA (H1)

É a hipótese complementar à Hipótese de Nula, isto é, aquela que será aceita

como verdadeira, caso seja rejeitada a hipótese de nula.

7.12. TIPOS DE ERROS DE HIPÓTESE

Quando nos propomos a utilizar tal procedimento, devemos ter em mente que

estamos sujeitos a erros e acertos na decisão. De um modo geral, em qualquer tipo de

decisão, os acertos e os erros podem ser dispostos segundo o quadro a seguir:

Estado da natureza

Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa

Aceitamos H0 Decisão correta Erro tipo II

Rejeitamos H0 Erro tipo I Decisão correta

Erro Tipo I: Consiste em rejeitar H0 quando H0 é verdadeira

Erro Tipo II: Consiste em aceitar H0 quando H0 é falsa

Nível de Significância do Teste: é a probabilidade de se cometer o erro Tipo I, ou

seja, rejeitar uma hipótese verdadeira. O nível de significância será denotado por α.

A probabilidade do erro Tipo II não possui um nome em especial mais será

conhecida como erro β.

A fixação da hipótese alternativa é que diferencia os vários tipos de Teste.

Por exemplo, vamos considerar julgar a responsabilidade de um funcionário pela

ocorrência de um acidente do trabalho.

Estado da natureza

Decisão Não Responsável Responsável

Não Responsável Decisão correta Erro tipo II

Responsável Erro tipo I Decisão correta

O erro Tipo I, no caso, seria julgar o funcionário como responsável, quando na

verdade ele não é responsável.

O erro Tipo II, seria julgar o funcionário como não responsável, quando na

verdade ele é responsável.

7.13. TIPOS DE TESTES

Estudaremos testes de hipóteses com uma hipótese nula (H0) e uma hipótese

alternativa (H1). A partir da formulação de H0 e H1, podemos definir o tipo do teste a ser

utilizado.

Consideremos o parâmetro estudado e 0 o valor inicialmente suposto para .



124

Seja: AR: área de rejeição (crítica);

AA: área de aceitação;

Za ou Zt: estatística do teste (calculada por nós).

As hipóteses formuladas podem ser dos seguintes tipos:

7.13.1. TESTE BILATERAL

A área crítica está nas duas regiões extremas (caudas) sob a curva.

H0: = 0

H1: ≠ 0

Uma vez que a hipótese nula (H0) determina se o parâmetro analisado é ou não

igual, a hipótese alternativa (H1) especifica valores que poderiam ser maiores ou

menores que o valor do parâmetro analisado.

Em testes bilaterais o nível de significância é dividido igualmente entre as duas

caudas que constituem a região crítica. Por exemplo,um teste bilateral com o nível de

significância igual a 5% ( = 0,05), há uma área de 0,025 em cada uma das caudas.

7.13.2. TESTE UNILATERAL À DIREITA

A área crítica está na região extrema (cauda) direita sob a curva.

H0: = 0 (ou H0: 0)

H1: > 0

Uma vez que a hipótese nula (H0) determina se o parâmetro analisado é menor

ou igual (ou simplesmente igual), a hipótese alternativa (H1) especifica valores que são

maiores que o valor do parâmetro analisado.



125

7.13.3. TESTE UNILATERAL À ESQUERDA

A área crítica está na região extrema (cauda) esquerda sob a curva.

H0: = 0 (ou H0: 0)

H1: < 0

Uma vez que a hipótese nula (H0) determina se o parâmetro analisado é maior

ou igual (ou simplesmente igual), a hipótese alternativa (H1) especifica valores que são

menores que o valor do parâmetro analisado.

A tabela abaixo apresenta os valores críticos de Z para testes unilaterais e

bilaterais, em vários níveis de significância. Os valores Z para outros níveis de

significância são determinados mediante o emprego das tabelas das áreas da curva

normal.

Nível de significância 0,10 0,05 0,01 0,005 0,002

Valores críticos de Z para testes unilaterais

-1,28 ou 1,28

-1,65 ou 1,65

-2,33 ou 2,33

-2,58 ou 2,58

-2,88 ou 2,88

Valores críticos de Z para testes bilaterais

-1,65 e 1,65

-1,96 e 1,96

-2,58 e 2,58

-2,81 e 2,81

-3,08 e 3,08

7.14. ETAPAS DE UM TESTE DE HIPOTESES

1. Identifique o parâmetro de interesse, a partir do contexto do problema;

2. Estabeleça a hipótese nula H0;

3. Especifique a hipótese alternativa apropriada H1 (atenção, pois H1 define o

tipo de teste a ser empregado);

4. Especifique o nível de significância para o teste, por exemplo, 1% ou 5%;

5. Selecione o teste estatístico ou Z amostral (Za ou Zt (do teste)), que será

usada para decidir rejeitar ou não a hipótese nula, ou seja, estabelecer o(s) “valor(es)

crítico(s)” e Identifique qual o valor da Estatística de Teste necessário para rejeitar H0.

(valor tabelado);



126

6. Calcule o estimador e verificar se está na região de aceitação ou na região de

rejeição da hipótese H0. Por exemplo: S

Sa

σ

μSZ

, o valor de S pode ser: x , P ,

21 xx , 21 PP ;

7. Tomada de decisão: O valor observado da medida estatística da amostra é

comparado com o(s) valor(es) crítico(s) estabelecido para o teste estatístico;

8. Decida se H0 deve ou não ser rejeitada e reporte isso no contexto do

problema:

- Se o estimador estiver na área de aceitação, aceita-se H0;

- Se o estimador estiver na área de rejeição, rejeita-se H0;

Assim, agora podem ser emitidas as conclusões.

7.15. TESTE DE HIPOTESES PARA MÉDIAS

xx

0

x

xa

s ou σ

μx

σ

μxZ

7.16. TESTE DE HIPOTESES PARA PROPORÇÕES

p

0a

σ

pPZ

onde

n

xP e

n

)p1(pσ 00

p

x: número de elementos da amostra que possuem características de interesse;

n: tamanho da amostra

7.17. TESTE DE HIPOTESES PARA A DIFERENÇA DAS MÉDIAS

21

21

xx

xx21

aσ

μxxZ

21 xx

21

aσ

xxZ

Neste caso, H0: μ1 = μ2.

7.18. TESTE DE HIPOTESES PARA A DIFERENÇA DAS PROPORÇÕES

Como o valor de p1 e p2 são desconhecidos, devemos substituir por suas

estimativas. Mas H0: p1 = p2, suas estimativas devem ser iguais. Desta forma, tomamos

para as suas estimativas a média aritmética entre P1 e P2, logo:



127

2

PPp 21^ ou

21

2211^

nn

P.nP.np

ou

21

21^

nn

xxp

e

21

^^

PP

^

n

1

n

1.p1.pσ

21

21

21

PP

^

PP21

a

σ

μPPZ

21 PP

^

21a

σ

PPZ

Exemplo 7.6:

Uma amostra aleatória de 40 elementos retirados de uma população normal com

desvio padrão igual a 3 apresentou um valor médio igual a 60. Teste, ao nível de

significância de 5%, a hipótese de que a média populacional seja igual a 59, supondo a

hipótese alternativa μ >59.

Solução:

Exemplo 7.7:

Uma amostra aleatória de 20 elementos selecionados de uma população normal

com variância 3 apresentou média 53. Teste ao nível de significância de 5% a hipótese

de que μ = 50.

Solução:



128

Exemplo 7.8:

Em um estudo de eficiência do air bag em automóveis, constatou-se que em 821

colisões de carros equipados com airbag, 46 colisões resultaram em hospitalização do

motorista. Ao nível de significância de 0,01, teste a afirmação de que a taxa de

hospitalização nos casos de acidentes com carros com airbag é inferior a taxa de 7,8%

para colisões de carros equipados somente com cinto se segurança.

Solução:



129

Exemplo 7.9:

Ao nível de 0,01 de significância, teste a afirmação de que as latas de 0,0109 in

(polegadas) de espessura tem carga axial média inferior a das latas de 0,0111 in de

espessura. As estatísticas resumo estão no quadro abaixo:

Solução:



130

8 – ANÁLISE DE REGRESSÃO E CORRELAÇÃO

8.1- INTRODUÇÃO

A análise de regressão e correlação é um estudo da relação de uma

determinada variável (dependente) em função de outra ou de outras variáveis

(independente). Por exemplo:

A = {propaganda; vendas de um produto; preço}

B= {resistência de um concreto e relação água/cimento}

C = {investimento em segurança e redução do numero de acidentes}

De maneira geral, queremos encontrar alguma forma de medir a relação entre as

variáveis de cada conjunto, de tal modo que essa medida possa mostrar:

Se há relação entre as variáveis e, caso exista, se é fraca ou forte;

Se essa relação existir, como obter a equação que relacione essas variáveis;

Após obtida a equação, ela poderá ser usada para fins de predição.

Suponhamos que y seja uma variável que nos interessa estudar e prever seu

comportamento. É de se esperar que os valores da variável (dependente) sofram

influência dos valores de um número finito de variáveis: x1, x2 ,...., xk (independentes) e

que exista uma função f que expresse essa dependência. Esta função f pode ser linear,

polinomial, exponencial, logarítmica, etc.

8.2. DIAGRAMA DE DISPERSÃO

É um gráfico que nos fornece o tipo de relação existente entre as variáveis x e y,

isto é, mostra se a relação é linear ou não-linear.

Após determinado o tipo de relação e traçado o gráfico, o próximo passo é

determinar uma equação da reta que represente essa relação. A reta obtida é chamada

de reta de regressão, e sua equação é a equação de regressão.

Figura 8.1: Diagrama de Dispersão e reta de regressão



131

Os diagramas da Figura 8.2 mostram alguns tipos de correlação.

Figura 8.2: Tipos de correlação

Fonte: LARSON (2008)

Definições:

Dado um conjunto de dados amostrais emparelhados, podemos determinar a

equação de regressão. Esta equação descreve a relação entre as variáveis e é

determinada por:

bxay^

onde: a: é o coeficiente linear da reta (onde a reta intercepta o eixo das ordenadas);

b: é o coeficiente angular da reta.

O gráfico da equação é a melhor reta ajustada, também chamada de reta de

mínimos quadrados.

8.3. ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS

Consideremos uma amostra de n pares (xi, yi ) com i = 1, 2, 3,..., n. Para um

dado xi, existe uma diferença di entre o valor yi observado e o seu correspondente ^

y ,

dado pela reta estimada. Os valores de di são os erros ou desvios, dados por:

^

ii yyd ou bxayd ii



132

O Método dos Mínimos Quadrados é um método pelo qual determinamos os

valores de a e b, de tal forma que a soma dos desvios ao quadrado seja mínima, ou

seja,

2

n

2

2

2

1 d...dd mínima 2

id mínima

Como ^

ii yyd então:

2

i

2

i

2

iii

2

i

2

ii

2

i xbabx2aybx2ay2ybxayd

Por conveniência, vamos abandonar os índices das variáveis x e y.

Derivando Σdj2 em relação aos coeficientes a e b temos:

n

1i

n

1i

2

i

bx2a2y2a

d

(I)

n

1i

2

n

1i

2

i

bx2ax2xy2b

d

(II)

O Σdj2 será um mínimo se as derivadas parciais em relação a a e b forem nulas.

Portanto, a equação (I) é dada por:

0bx2a2y2n

1i

0xbnay

xbnay (III)

Da equação (II) tem-se

0bx2ax2xy2n

1i

2

0xbxaxy 2

2xbxaxy (IV)

As equações (III) e (IV) são as equações normais para a determinação de a e b.

Dividindo todos os termos da equação (III) por n, tem-se:

n

xb

n

na

n

y (V)

onde



133

yn

y

e

xn

x

(VI)

Substituindo-se (VI) na equação (V) encontra-se:

x.bn

nay

x.bya (VII)

Substituindo o valor de a na equação (IV), tem-se:

2xbxx.byxy

2xbx

n

xb

n

yxy

2

2

xbn

xb

n

yxxy

n

xxb

n

yxxy

2

2

n

xx

n

yxxy

b2

2

(VIII)

Substituindo o numerador da equação (VIII) por yy.xxSSxy e o

denominador por 2

x xxSS temos que:

2x

xy

xx

yy.xx

SS

SSb e x.bya

Exemplo 8.1:

Determinar a reta de mínimos quadrados com os dados da tabela 1, sendo:

x: Despesas com propaganda (milhões de reais)

y: Vendas de um produto (milhares de unidades)

Tabela 1: Dados do exemplo



134

Figura 8.3: Diagrama de Dispersão para dos dados da tabela 1

Calculamos agora os coeficientes a e b da equação de regressão. Para isso,

temos que calcular os valores médios de x e y para construirmos a tabela 2:

82,711

86

n

xx

e 45,19511

2150

n

yy



135

Tabela 2:

Podemos então calcular os coeficientes a e b.

691,136,197

9,2705

xx

yy.xx

SS

SSb

2x

xy

e

413,8882,7.69,1345,195x.bya

Assim, a equação da reta de mínimos quadrados é:

x691,13413,88ybxay^^

Figura 8.4: Ajuste dos dados da Tabela 1: Regressão linear



136

8.4. REGRESSÕES QUE SE TORNAM LINEARES POR TRANSFORMAÇÃO

Há várias funções que, por simples transformações, se tornam lineares, e cujos

parâmetros podem ser estimados pelas fórmulas anteriores. Mostraremos alguns tipos

de transformações mais usados para linearizar a relação entre as variáveis. Assim:

I) Função Exponencial

A linearização da função exponencial é obtida aplicando-se a ela a definição e

as propriedades dos logaritmos. Algebricamente, temos:

Função Exponencial: xaby

Aplicando logaritmo a ambos os termos da igualdade, temos: xablogylog

Daí, considerando as propriedades dos logaritmos, tem-se:

xblogalogylog => blog.xalogylog

Fazendo log y = Y, log a = A e log b = B, resulta: Y = A + B x.

Os processos lineares fornecem A e B. Para obterem-se os valores das

constantes originalmente procuradas, devemos fazer: a = 10A e b = 10B.

Exemplo 8.2:

Determinar a equação da função exponencial que melhor aproxima os dados da

Tabela 1:

Solução:

Devemos calcular os coeficientes a e b da equação xaby .

Precisamos inicialmente substituir a coluna dos valores de y por Y = log y. A

seguir, calculamos os coeficientes A e B como foi calculado para a reta dos mínimos

quadrados.

Calculados então os coeficientes A e B, podemos calcular a e b da equação xaby fazendo A10a e B10b .



137

Calculamos agora os coeficientes A e B.

82,711

86

n

xx

e 2691,211

96,24

n

yy

0307,064,197

07,6

xx

yy.xx

SS

SSB

2

x

xy

e

0289,282,7.0307,02691,2x.ByA

Assim temos:

87,1061010a 0289,2A e 0732,11010b 0307,0B .

Logo, a equação exponencial é:

xx 0732,1.87,106aby que pode ser escrita da forma: x0708,0cx e.88,106aey

A Figura 8.5 apresenta a aproximação da função exponencial para os dados da

Tabela 1.



138

Figura 8.5: Ajuste dos dados da tabela 1 - Regressão não linear

II) Função Potência (função geométrica)

A linearização da função geométrica é idêntica à exponencial; consiste

basicamente na aplicação da definição e propriedades dos logaritmos.

Função Potência: baxy

Podemos aplicar a definição de logaritmo aos dois lados da equação, assim:

baxlogylog , daí usando as propriedades dos logaritmos, temos:

bxlogalogylog => xlog.balogylog

Fazendo log y = Y, log a = A e log x = X, resulta: Y = A + b X.

Aqui, os processos linearizados fornecem A e b. Para se obter o valor de a

originalmente procurado, devemos fazer: a = 10A.

6.5. CÁLCULO DA ESTIMATIVA DA VARIÂNCIA OU DESVIO PADRÃO

O erro padrão de estimativa s é uma medida de quanto os pontos amostrais se

afastam da reta de regressão (isto é, é uma medida da dispersão dos pontos amostrais

em torno da reta de regressão).

Quanto menor valor de s os pontos estão mais próximos da reta de regressão;

Quanto maior valor de s os pontos estão mais afastados da reta.

A fórmula geral para a estimativa da variância é dada por:

2n

SSs e2

, onde xyye SS.bSSSS



139

n

yySS

2

2

y

ou

2

y yySS e

n

yxxySS xy

ou yy.xxSSxy

A fórmula geral para a estimativa do desvio padrão é dada por:

2ss

Ou ainda por

2n

yy

s

2

i

^

i

onde ii

^

bxay

8.6. DISTRIBUIÇÃO “t” DE STUDENT

ara casos de grandes amostras (n ≥ 30), podemos aplicar o teorema do limite

central para concluir que as médias amostrais se distribuem normalmente,

independente da distribuição da população original. Porém, não podemos utilizar este

teorema quando as amostras são pequenas. Neste caso, deve-se utilizar a distribuição

t de Student.

As condições para usar a Distribuição t de Student são as seguintes:

A amostra é pequena (n < 30);

O desvio padrão () é desconhecido;

A população original tem distribuição essencialmente normal.

Considerando amostras de tamanho n, retiradas de uma população normal de

média μ, e se para cada amostra, calcularmos o valor de:

x

x

s

μxt

obtemos uma distribuição amostral de t. Essa distribuição é dada por:

2

1γ2

0

2

n2

0

γ

t1

y

1n

t1

yy

onde y0 é uma constante que depende de n, de modo que a área subentendida pela

curva é 1, e esta curva distribui-se simetricamente com relação a média zero.



140

A constante γ = (n - 1) é denominada número de graus de liberdade, definida

como o número de observações independentes da amostra menos o número dos

parâmetros populacionais que devem ser estimados por meio das observações

amostrais.

Quando as três condições citadas acima são satisfeitas, utilizamos a distribuição

t de Student, com a estatística do teste e os valores críticos dados pela tabela a seguir.

(Observação: Na tabela, = df)

8.6.1. PROPORÇÕES DE ÁREAS PARA AS DISTRIBUIÇÕES t

Os valores de t apresentados a seguir indicam a proporção entre o ponto dado e

a cauda superior da distribuição, ao invés da proporção entre a cauda inferior e o ponto

dado, como na distribuição normal.

Após determinar o número de graus de liberdade, recorre-se a tabela e localiza-

se na coluna da esquerda. Com uma determinada linha de valores identificada,

selecionar o valor crítico tc que corresponde ao cabeçalho apropriado. Se um valor está

localizado na cauda esquerda, devemos considerá-lo como negativo.

* Exemplo: Para que a área sombreada represente 0,05 da área total de 1,0, o valor de t

com 10 graus de liberdade é 1,812.



141

Exemplo 8.3:

Os sete valores relacionados a seguir são cargas axiais (em libras) de latas de

alumínio de 0,0109 in. A carga axial de uma lata é o peso máximo que seus lados

podem suportar, e deve ser superior a 165 libras, visto que esta é a pressão máxima

aplicada quando se fixa a tampa no lugar. Ao nível de 0,01 de significância, teste a

afirmação do engenheiro supervisor de que esta amostra provém de uma população

com média superior a 165 libras.

270; 273; 258; 204; 254; 228; 282

Solução:

= 1%

n = 7

H0: µ1 ≤ 1 5

H1: µ1 > 165

7,2527

282228254204258273270

n

xx

i

63,2776,763s76,763

6

7,252282...7,252270

1n

xxs

222

i2

4439,107

63,27

n

ssx

397,84439,10

1657,252

s

μxt

x

xa

143,301,0 e 6tc tabela

Como ta > tc, rejeita-se a hipótese H0 ao nível de significância de 1%, isto é, a

amostra provém de uma população com µ > 165.

8.7. ESTIMATIVAS

Duas variáveis possuem uma distribuição normal bivariada se, para cada valor

de x, os valores correspondentes de y tem distribuição normal e, para cada valor de y,

os valores correspondentes de x são normalmente distribuídos. Podemos construir um

intervalo de previsão para o verdadeiro valor de y.

As estatísticas amostrais são usadas como estimadores de parâmetros

populacionais. As estimativas obtidas podem ser pontuais ou intervalares:



142

Estimativa pontual: O parâmetro é estimado unicamente pelo valor do estimador. Por exemplo, a estimativa por ponto para a média populacional é dada através da média da amostra.

Estimativa por intervalo: Quando a partir de uma amostra procuramos calcular um intervalo de variação, chamado intervalo de confiança, de modo que, este intervalo tem uma probabilidade conhecida de conter o verdadeiro parâmetro populacional. Quanto maior a probabilidade do intervalo conter o parâmetro, maior será o intervalo.

Tomando-se S como uma estatística normal N(μS,σS²), temos a equação geral

para os intervalos de confiança, onde (1 - ) determina o nível de confiança:

α1σ.ZSμσ.ZSP scssc

onde Zc é definido como coeficiente de confiança, que é o valor obtido através da

distribuição normal com o nível de confiança especificado.

O nível de confiança (1-) é a probabilidade de que o intervalo construído

contenha o verdadeiro valor do parâmetro que está sendo estimado.

A Distribuição Normal pode ser utilizada, nesse caso, sempre que tivermos uma

das seguintes situações:

Se n = 30, conforme o Teorema do Limite Central;

Se n < 30, sendo a população estudada normalmente distribuída e o desvio padrão populacional conhecido.

.Em termos de distribuição normal Z, o nível de confiança representa a área

central sob a curva normal entre os pontos 2

αZ e 2

αZ .

Figura 8.6: Representação sobre a cura normal

Observe que a área total sob a curva normal é unitária. Se a área central é (1-α),

a notação 2

αZ representa o valor de Z que deixa a sua esquerda 2

α, e a notação

2

αZ

representa o valor de Z que deixa a sua direita a área 2

α.

A tabela abaixo apresenta os valores mais usados do nível de confiança e seu

respectivo coeficiente de confiança:



143

Nível de Confiança (1- ) Zc

0,90 1,65

0,95 1,96

0,99 2,58

8.7.1. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA ESTIMAR A MÉDIA POPULACIONAL

Um intervalo de estimação para a média populacional é construído, a partir do

valor de x , levando-se em conta ainda um erro de estimativa que considera a

probabilidade de que este intervalo inclua o valor real de µ, e a variabilidade dos dados.

Então o intervalo de estimação, ou confiança, para a média populacional,

utilizando-se a distribuição normal, é dado por:

xS μμμxS

α1σ.Zxμσ.ZxPxcxc

assim:

xc σ.Zx

8.7.2. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA ESTIMAR A PROPORÇÃO

POPULACIONAL

PS ^

pn

xP

n

q.pσP

n

p1.p

s

^^

P

α1σ.ZPpσ.ZPP PcPc

assim:

Pc s.ZP

8.7.3. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA ESTIMAR A DIFERENÇA ENTRE DUAS

MÉDIAS POLULACIONAIS

21 xxS

α1σ.Zxxμμσ.ZxxP2121 xxc2121xxc21

assim:

21 xxc21 σ.Zxx



144

8.7.4. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA ESTIMAR A DIFERENÇA ENTRE DUAS

PROPORÇÕES POLULACIONAIS

21 PPS

^

1

1

11 p

n

xP

^

2

2

22 p

n

xP

2

22

1

11PP

n

q.p

n

q.pσ

21

e 2

^

2

^

2

1

^

1

^

1

PPn

p1.p

n

p1.p

s21

α1σ.ZPPppσ.ZPPP2121 PPc2121PPc21

assim:

21 PPc21 s.ZPP

Exemplo 8.4:

A vida média de operação para uma amostra de 10 lâmpadas é 4000 horas, com

desvio padrão da amostra igual à 200 horas. Supõe-se o tempo de operação das

lâmpadas tenha uma distribuição aproximadamente normal. Estime a vida média de

operação para a população de lâmpadas usando um intervalo de confiança de 95%.

Solução:

n = 10; h4000x ; h200s ; = 5%

3,6310

200

n

ss

x

262,2025,02

05,0;9110t2

α;γt cc

horas 4143 a 38573,63.262,24000s.txxc

8.8. INTERVALOS DE PREDIÇÃO

Vamos analisar a seguinte situação:

Para a equação de regressão obtida x.691,13394,88y^

, onde y representa

venda de um produto e x é despesas com propagandas. Portanto, quando x = 2,0

obtemos o valor 115,77 como a melhor venda de um produto de um gasto de 2 milhões

de reais em propagandas. Neste caso, obtemos uma estimativa pontual.



145

A estimativa pontual tem a desvantagem de não dar qualquer idéia de sua

precisão. Portanto, utilizaremos um intervalo de predição, que é uma estimativa

intervalar de confiança de um valor predito y.

a) Intervalo de confiança para o valor esperado de y para um determinado valor

de x = xp (isto é, predizer a média de todos os valores de y para um dado x = xp).

x

2

p

2

α

^

SS

xx

n

1.s.ty

com = n-2

b) Intervalo de Predição ou Previsão de y para um determinado valor de x (isto é,

para um y individual).

x

2

p

2

α

^

SS

xx

n

11.s.ty

com = n-2

c) Intervalo de Confiança para (coeficiente angular da reta)

x2

αSS

s.tb com = n-2

d) Intervalo de confiança para (coeficiente linear da reta)

x

2

2

αSS

x

n

1.s.ta com = n-2

8.9. TESTE DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA ()

Utilizaremos a seguinte estatística teste:

x

0

teste SS.s

βbt

com = n-2

e as seguintes hipóteses: H0: 0 = 0 e H1: 0 ≠ 0.

8.10. ANÁLISE DE CORRELAÇÃO

8.10.1. INTRODUÇÃO - Coeficiente de correlação de Pearson (r)

A interpretação da existência de uma correlação usando o diagrama de

dispersão pode ser subjetiva. Uma maneira mais precisa de medir o tipo de e o grau de

uma correlação linear entre duas variáveis é por meio do cálculo do coeficiente de

correlação. Desta forma, a correlação ou coeficiente de correlação de Pearson (r) mede

o grau do relacionamento linear entre duas variáveis.



146

Podemos destacar algumas características importantes:

Seu valor está sempre entre -1 e 1 e r tem o mesmo sinal do coeficiente angular da reta de regressão.

Um valor de correlação vizinho de +1 ou -1 indica que há uma relação linear muito forte entre as duas variáveis (isto é, existe correlação linear significativa entre x e y). O valor 1 indica uma relação linear perfeita e o valor -1 também indica uma relação linear perfeita mas inversa, ou seja quando uma das variáveis aumenta a outra diminui.

Uma correlação vizinha de zero significa que não há grande relacionamento linear entre as duas variáveis.

O coeficiente de correlação pode ser calculado pela fórmula a seguir:

yx

xy

SS.SS

SSr ou

2

i

2

i

ii

yy.xx

yy.xxr ou

2222 yyn.xxn

y.xxynr

Podemos ver na Figura 8.6 alguns exemplos do valor de r.

Figura 8.6: Exemplos de correlação linear

Fonte: LARSON, (2008)

8.10.2. TESTE PARA CORRELAÇÃO LINEAR

Formulamos as hipóteses, onde ρ é a correlação linear a ser testada.

H0: ρ = 0 (não há correlação linear significativa)

H1: ρ ≠ 0 (há correlação linear significativa)

2n

r1

rt

2teste

com = n-2



147

Obs.: Ao predizer um valor de y com base em determinado valor de x pode-se

concluir que:

Se não há correlação linear significativa, o melhor valor predito de y é y .

Se há correlação linear significativa obtém-se o melhor valor predito de y substituindo-se o valor de x na equação de regressão.

8.10.3. COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO OU DE EXPLICAÇÃO

O coeficiente de determinação é igual a razão entre a variação explicada e a

variação total. Ele verifica quanto o modelo adotado explica a realidade. É obtido pela

seguinte fórmula:

100.SS

SS.br

y

xy2

Onde:

2

y yySS e yy.xxSSxy

Tem-se que: 0 ≤ r² ≤ 1

Se r² = 0, o modelo adotado não explica nada da realidade;

Se r² = 1, o modelo adotado explica a realidade com perfeição.

Assim, quanto maior o coeficiente de explicação, melhor o modelo adotado.

É importante interpretar o coeficiente de determinação corretamente. Por exemplo, se o

coeficiente de correlação é r = 0,90, o coeficiente de determinação é r² = 0,90² = 0,81.

Isso significa que 81% da variação de Y pode ser explicada pela relação entre X e Y.

Os 19% restantes da variação são inexplicados e se devem a outros fatores ou a erros

amostrais.

Exemplo 8.5:

Dada a tabela abaixo (do exemplo 8.1), onde:

x: Despesas com propaganda (milhões de reais)

y: Vendas de um produto (milhares de unidades)



148

a) Determinar a reta de mínimos quadrados.

x69,1341,88ybxay^^

b) Ajustar uma função exponencial aos dados.

xx 0732,1.87,106aby

c) Qual o modelo que você escolheria?

Função linear: %33,89100.7,41472

9,2705.69,13100.

SS

SS.br

y

xy2

Função exponencial: %4,87100.2134,0

0732,6.0307,0100.

SS

SS.br

y

xy2

Devemos escolher a função linear. O modelo está explicando que 89,33% da

variação total das vendas está relacionada com as despesas gastas com propaganda.

d) Determine o coeficiente de correlação de Pearson. Interprete o resultado.

94514,07,41472.63,197

9,2705

SS.SS

SSr

yx

xy

Como o coeficiente de correlação de Pearson é positivo e está próximo de 1,

pode-se dizer que quanto mais se investe em propaganda, mais se vende o produto.

e) Teste a afirmação de que há uma correlação linear entre vendas de um

produto e despesas com propaganda, considere = 5%;

Hipóteses: H0: ρ = 0 (não há correlação linear significativa)

H1: ρ ≠ 0 (há correlação linear significativa)



149

= n – 2 = 11 – 2 = 9 262,2025,0;9t2

α

679,8

211

94514,01

94514,0

2n

r1

rt

22teste

Como tteste > tc, rejeita-se a hipótese nula ao nível de significância de 5%, isto é,

há correlação linear significativa.

f) Estimar a quantidade de vendas de um produto para um gasto de 6,0 milhões

de reais com propaganda.

x = 6,0

55,1700,6.69,1341,88yx69,1341,88y^^

Vende-se aproximadamente 170 mil unidades do produto para um gasto de 6,0

milhões de reais com propaganda.

g) Calcule o I.C. para “” (coeficiente angular da reta), sendo = 5%.

262,2025,0;9t2

α

18,221,492s1,4929

9,4428

211

9,2705.69,137,41472

2n

SS.bSSs

xyy2

57,369,13578,1.262,269,136,197

18,22.262,269,13

SS

s.tb

x2

α

Assim, Ic = 10,12 a 17,2 ou (10,12 ≤ ≤ 17,2 ) = 0,95

h) Calcule o I.C. para “” (coeficiente linear da reta), sendo = 5%.

75,3141,886,197

82,7

11

1.18,22.262,241,88

SS

x

n

1.s.ta

2

x

2

2

α

Assim, Ic = 56,66 a 120,16

i) Calcule o I.C. para a média de vendas de um produto com o investimento de 7

milhões de reais.

22,1840,7.69,1341,88yx69,1341,88y^^



150

36,1522,184

6,197

82,77

11

1.18,22.262,222,184

SS

xx

n

1.s.ty

2

x

2

p

2

α

^

Assim, Ic = 168,86 a 199,58

j) Calcule o I.C. para y quando x = 7, ou seja, o I.C. para a venda, quando

investimos 7 milhões de reais.

22,1840,7.69,1341,88yx69,1341,88y^^

421,5222,184

6,197

82,77

11

11.18,22.262,222,184

SS

xx

n

11.s.ty

2

x

2

p

2

α

^

Assim, Ic = 131,80 a 236,64



151

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BUSSAB, W.O. e MORETTIN, P.A. Estatística Básica. São Paulo: Editora Saraiva,

2003.

CRESPO, A. A., Estatística Fácil. 17° ed. São Paulo: Ed. Saraiva, 2002.

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Pioneira Thomson Learning, 2006.

FREUND, J.E.; Estatística Aplicada: economia, administração e contabilidade. 11ª

ed. Porto Alegre: Bookman, 2006.

HINES, W.W. et al. Probabilidade e Estatística na Engenharia. Rio de Janeiro: Livros

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apostila probabilidade estatistica aluno

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