apostila etec estatistica
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Etec Diadema
NOME DO PROFESSOR : Marcelo Beneti
COORDENADOR DE GESTÃO: - Nelson Gerbelli
COORD.RESP. P/ NÚCLEO DE GESTÃO PED. E ACADÊMICA –
ESTATÍSTICA
Aluno ___________________________________ Nº ___Turma ____ Habilitação _________
Etec Diadema
Unidade 1: Introdução à Estatística
Aula 01: Conceitos básicos
Aula 02: Ferramentas de cálculos para o estudo da E statística
Aula 03: Regras de arredondamento
Aula 04: Variáveis
.
Temática: Conceitos básicos.
Etec Diadema
Iniciaremos nosso curso fazendo uma breve introdução do conceito estatístico.
O que é Estatística?
É um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir os
fenômenos coletivos.
Estatística descritiva ou dedutiva : é aquela que tem por objeto por descrever e analisar
determinada população , sem pretender tirar conclusões de caráter mais genérico.
Estatística Indutiva: é a parte da estatística que baseando-se em resultados obtidos da análise
de uma amostra da população procura inferir, induzir ou estimar as leis de comportamento da
população da qual a amostra foi retirada.
Fases do Método Estatístico
a) Coleta de dados : características mensuráveis do fenômeno que desejamos
pesquisar, pode ser contínua , periódica (exemplo: de 10 em 10 anos) ou
ocasional.
b) Crítica de dados : é a conferência dos dados coletados , se ocorrer erros
pode ser por motivos externos, ou seja erros por parte do informante ou
motivos internos por parte do entrevistador ou da equipe de pesquisa.
c) Apuração dos dados: soma e processamento dos dados obtidos e
disposição mediante critérios de classificação.
d) Exposição ou apresentação dos dados: pode ser feita mediante tabelas ,
gráficos ,relatórios da maneira mais clara possível que todos interessados
possam compreender.
e) Análise dos resultados : Conclusões sobre o trabalho realizado , análise e
interpretação dos dados obtidos.
População e Amostra
População – é o todo pode ser finita ou infinita.
Finita – possui um número determinado de elementos exemplo: número de alunos
da classe.
Infinita – um grande número de elementos exemplo: a população da cidade de
São Paulo.
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Amostra – é um subconjunto da população ou seja uma parte dela.
Quando há um número muito grande de elementos , fica difícil a observação dos
aspectos a serem estudados de cada um dos elementos devido ao alto custo , ao
intenso trabalho e ao tempo despendido para levar a cabo uma exaustiva
observação de todos os elementos da população , nesse caso fazemos a seleção
de uma amostra (cerca de 10% da população a ser estudada) , e através dessa
observação estaremos aptos a analisar os resultados da mesma forma que se
estudássemos toda a população.
QUESTIONÁRIO
1-) O que é Estatística?
2-) Quais as fases do método estatístico? Explique cada um deles.
3-) Analise as afirmativas a seguir:
I. Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e
medir os fenômenos coletivos.
II. População finita é um grande número de indivíduos onde se torna difícil quantificar e
realizar os trabalhos de coleta de dados.
III. População finita é um determinado número de indivíduos como por exemplo número de
alunos em sala de aula.
Pode-se dizer que são corretas as afirmações:
a) Somente I.
b) Somente I e II.
c) Somente II e III.
d) I, II e III.
4-) Qual dessas fases do método estatístico corresponde a pesquisa com indivíduos.
a) Crítica de dados.
b) Coleta de dados.
c) Análise dos resultados.
d) Exposição ou apresentação dos dados.
Etec Diadema
Temática: Ferramentas de cálculos para o estudo da estatística .
Nessa aula iremos revisar alguns cálculos que serão de extrema importância no estudo da
Estatística e também para o estudo em física.
Fração
È uma parte do todo ou seja um par ordenado onde o segundo número é diferente de zero.
a/b , com a Є IN e b Є IN*. ( a pertence ao conjunto dos números naturais e b pertence ao
conjunto dos números naturais não nulos(com exclusão do zero).
Fração Própria – é aquela onde o numerador é
menor que o denominador como por exemplo: 3/5
, 2/7 , 13/17 , etc.
Fração imprópria é aquela onde o numerador é igual ou maior que o denominador. Exemplo:
7/2 , 4/4 , 12/4 etc.
Fração aparente é a fração onde o numerado é múltiplo do denominador.Exemplo 12/4
representa o número 3 pois 12:4 = 3 ; se o numerador é zero , a fração apresenta o número
zero. Assim 0/5 = 0; todo número natural pode ser apresentado por uma fração com
denominador 1. Assim 7 pode ser apresentado por 7/1.
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Frações Equivalentes – duas frações são equivalentes quando os produtos do numerador de
um pelo denominador das outra são iguais.
Exemplo: para 1/2 e 2/4 onde temos: 1 X 4 = 2 X 2
Simplificação de frações
Basta dividir ambos os termos por um divisor comum.
Exemplo : 3/6 = 3:3 e 6:3 = 1/2
Fração irredutível é aquela que os números são primos entre si (isto é , não possuem outro
divisor comum a não ser o número 1).
Exemplo: 7/17 é uma fração irredutível , pois 7 e 17 são números primos entre si.
Comparação de frações
Para compararmos duas ou mais frações devemos reduzi-la ao mesmo denominador e
lembrar que , de duas frações com o mesmo denominador, a maior é aquela que contém o
maior numerador.
Operações com frações
Adição e subtração
a) Frações homogêneas – conserva-se o denominador e adicionam-se ou
subtraem os numeradores.
Exemplo:
2/5 + 7/5 = 9/5 ou 7/3 – 2/3 = 5/3
b) Frações heterogêneas – reduzem-se as frações ao mesmo denominador,
obtendo-se dessa forma frações homogêneas.
Exemplo:
4/5 + 2/3 = 12+10/15 = 22/15
Reduzindo ao mesmo denominador – vamos calcular o mínimo múltiplo comum
dos denominadores como no exemplo acima:
2 , 3 2
1, 3 3
1, 1 logo m.m.c de 2 e 3 = 2 X 3 = 6
Etec Diadema
6/7 – 1/2 = 12-7/14 = 5/14
Observe que reduzimos ao mesmo denominador 7 e 2 = 14
Nota: Sempre que possível simplificar o resultados como vimos no tópico de simplificação de
frações.
Multiplicação de frações
Produto de numeradores por numeradores e denominadores por denominadores.
Exemplo: 3/7 X 4/3 = 3 X 4 = 12 e 7 X 3 = 21 o que resulta em 12/21.
O processo da multiplicação pode ser facilitado usando a simplificaçãopelo cancelamento dos
fatores comuns dos numeradores e dos denominadores.
Exemplo:
2/3 X 3/5 nesse caso é possível simplificar 3 por 3 ou seja 3:3 =1 ficando dessa forma 2 X 1 =
2 e 1 X 5 = 5 o que resulta em 1/7.
Divisão de frações
Produto da primeira pelo inverso da segunda.
Exemplo : 1/2 : 3/7 = 1/2 X 7/3 = 7/6
Potenciação de Frações
Devemos elevar o numerador e o denominador a esse expoente.
(2/5)² = 2²/5² = 4/25
Porcentagem ou Percentagem
Denominamos razões percentuais as razões cujos conseqüentes sejam iguais a 100.
Exemplo : 30/100(trinta por cento) ; 20/100 (vinte por cento)
30/100 corresponde a 30% e 20/100 corresponde a 20%.
Exemplo:
1) Em uma classe de 30 alunos , 15 fora aprovados. Qual a taxa percentual de aprovação?
30 - 100 onde: 30x = 100 X 15
15 - X 30x = 1500
Etec Diadema
x = 1500/30 = 50%
2) Ao comprar um livro , obtive um desconto de R$. Qual o preço do livro sabendo que a taxa
de desconto foi de 5%?
3 – 5 5x = 300
x - 100 x = 300/5 = 60
Agora responda os testes a seguir:
1. Qual o resultado de 3/4 + 4/5 :
a) 31/20
b) 30/20
c) 22/20
d) 1/4
2. Quanto é 6/12 X 2/9:
a) 1/9
b) 2/3
c) 3/5
d) 1/25
3.Eu uma classe de 50 alunos faltaram 15. Qual a quantidade de alunos presentes
em porcentagem?
a) 30%
b) 70%
c) 25%
d) 35%
4.Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 150, para ter um lucro de
20% sobre o custo?
a) R$ 170,00
b) R$ 180,00
Etec Diadema
c) R$ 185,00
d) R$ 190,00
Nessa aula podemos revisar cálculos importantes como frações e porcentagens que serão de
muita utilidade em Estatística, na próxima aula aprenderemos sobre as regras de
arredondamento de acordo com as normas do IBGE.
– Regras de arredondamento
Resolução 886/66 IBGE
Hoje iremos estudar arredondamentos que é de fundamental importância para
nossos estudos, principalmente valores que tem muitas casas decimais.
Muitas vezes, é conveniente suprimir unidades inferiores às de determinada
ordem. Esta técnica é denominada arredondamento de dados ou valores.
De acordo com a resolução 886/66 do IBGE:
1) < 5 (ou seja 0,1,2,3,4) – o último algarismo a permanecer fica
inalterado exemplo: se quiser arredondar para o mais próximo
décimo (uma casa após a vírgula) o seguinte número 53,24 ,
podemos observar que abandonaremos o 4 que é menor que 5
portanto nosso arredondamento ficará 53,2; se desejar arredondar
para o mais próximo centésimo 53,242 abandonaremos o dois , logo
53,24; Obs: inteiro 53,2 - 53
2) >5 (ou seja 6,7,8,9)– o último número a permanecer aumentará em
uma unidade exemplo : 53,26 logo abandonamos o 6 (>5) – 53,3
(quando décimo) , desejando arredondar para o centésimo mais
próximo 53,267 – 53,27; obs: inteiro 53,6 - 54
3) = 5 – Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem zeros, o
último algarismo a permanecer só será aumentado se for ímpar
exemplo : arredondar para o mais próximo décimo 53,25 –
abandonamos o cinco e o dois como número par permanecerá 53,2
, se caso fosse 53,35 – o três como número ímpar seria aumenta em
uma unidade ou seja 53,4 e essa regra se sucede como centésimos.
Vamos fazer alguns exercícios para fixar o aprendizado.
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1. Arredondar de acordo com o que se pede:
a) Para o inteiro mais próximo
53,02 23,5 99,900 26,5
98,49 108,5 1,008 49,98
71,50002 739,5 40,900 128,53
b) Para o centésimo mais próximo
20,742 46,727 28,255
205,2384 12,352 253,65
5,385 45,097 39,49
c) Para o décimo mais próximo
0,061 23,40 120,4500
0,223 234,7832 26,55
7,7 129,98 12,235
2. Uma transportadora entregou em um mês:
6,19655 toneladas de produtos eletrônicos;
15,8561 toneladas de brinquedos;
13,6455 toneladas de alimentos;
09,7450 toneladas de papel;
10,3400 toneladas de remédio;
12,2350 toneladas de tecidos.
Calcule quanto a transportadora entregou nesse mês, em toneladas:
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a) sem arredondar;
b) arredondando para o centésimo mais próximo e o inteiro mais próximo.
Variáveis
Significado de variável no dicionário – mutável, que muda ,que sofre
transformações , flexível;
Significado estatístico – característica que vamos estudar em determinada
população.
Quanto à classificação de variáveis temos:
Qualitativas (nominal / ordinal)
Variável qualitativa nominal – Quando os elementos dessa variável são
identificados por nome exemplo: cor do cabelo , cor dos olhos(azuis, castanhos,
verdes);
Variável qualitativa ordinal – quando os elementos entre elas indicam uma ordem
entre elas exemplo: ótimo , bom , regular , ruim , péssimo.
Quantitativas (contínua / discreta)
Variável quantitativa discreta – valor muda em saltos ou passos (não existe
continuidade) exemplo: número de filhos de um casal , número de carteiras da
sala de aula , etc.
Variável quantitativa contínua – admite infinitos valores dentro de um espaço ou
intervalo exemplo: pesos das pessoas 75,2 (setenta e cinco quilos e duzentos
gramas) ou altura 1,72 (um metro e setenta e dois centímetros) , notas de 0 a 10 –
7,5.
Resolva o exercício abaixo:
Classifique as em qualitativas ou quantitativas (contínuas ou discretas):
a) alunos de uma escola
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b) raça de cachorros
c) altura de determinada pessoa
d) peso de um bebê
e) número de filhos
f) cor de pele
g) os pontos obtidos na jogada de um dado
h) Valor do salário
i) Sexo
j) idade
Etec Diadema
ESTATÍSTICA GRÁFICA Temática: Tabulação
Antes de realizarmos qualquer relatório ou trabalho gráficos devemos primeiramente efetuar a
tabulação dos dados devidamente coletados evitando dessa forma possíveis erros dentro do
método estatístico.
a) Estrutura da tabela e do gráfico
Uma tabela e até mesmo um gráfico devem ser estruturados da seguinte maneira – Cabeçalho
, corpo e rodapé.
Cabeçalho : é a apresentação do que a tabela está procurando estudar e representar , deve
conter o necessário para que sejam respondidas as seguintes questões: O QUÊ ? (referente
ao fato), ONDE? (relativo ao lugar), QUANDO? (correspondente ao tempo – anos , meses ,
dias). Exemplo: acidentes na Rodovia Castelo Branco em 1994.
Exemplo:
O que? – (fato): Acidentes
Onde? – (lugar): Rodovia Castelo Branco
Quando? – (tempo): 1994
Estatística Indutiva: é a parte da estatística que baseando-se em resultados obtidos da análise
de uma amostra da população procura inferir, induzir ou estimar as leis de comportamento da
população da qual a amostra foi retirada.
Corpo : o corpo de uma tabela é representado por uma série de colunas e subcolunas onde
ficam alocados os dados apurados.Segundo o corpo, as tabelas podem ser de entradas
simples, de dupla entrada e de múltipla entrada.
Exemplo: Entrada simples
Previsão da população para a cidade de São Paulo 1990-2019
ANOS População (1.000 Hab.)
Etec Diadema
1990 11.170
1994 12.226
2001 13.415
2009 14.913
2019 15.533
Exemplo: Entrada dupla
Contingente da empresa Estatísticos y em 2006
Sexo/ Tipo Homens Mulheres Total
Maiores 50 35 85
Menores 30 15 45
Total 80 50 130
Existe também entradas múltiplas onde envolve mais colunas, linhas e muito mais dados ,
regiões.
Exemplo: entrada múltipla
População presente nas regiões sul e sudeste – 1940 /1980
Regiões 01/09/1940 01/07/1950 01/09/1960 01/09/1970 01/09/1980
SUL 5.735.305 7.840.870 11.753.075 16.496.493 19.038.95
Paraná 1.236.276 2.115.547 4.268.239 6.929.868 7.629.405
Santa Catarina 1.178.340 1.560.502 2.118.116 2.901.734 3.631.368
R.Grande do sul 3.320.689 4.164.821 5.366.720 6.664.891 7.778.162
SUDESTE 18.345.831 22.548.494 30.630.728 39.853.498 51.746.318
Minas Gerais 6.763.368 7.782.188 9.657.738 11.487.414 13.389.605
Espírito Santo 790.149 957.238 1.170.858 1.599.333 2.019.877
Rio de Janeiro 1.847.857 2.297.194 3.363.038 4.742.884 11.300.665
Guanabara 1.764.141 2.377.451 3.247.710 4.251.918 -
São Paulo 7.180.316 9.134.423 12.809.231 17.771.948 25.036.171
Fonte: IBGE.Diretoria técnica, Departamento de Censo Demográfico
Etec Diadema
1. População residente
2. resultados preliminares da publicação “Tabulações Avançadas do censo Demográfico” baseados em uma
amostra probabilística,de fração um pouco inferior a 1% da população e dos domicílios recenseados.
Rodapé: Nessa parte da tabela devemos colocar a legenda e todas as observações que
venham esclarecer a interpretação da tabela, também é no rodapé que se coloca a fonte dos
dados , em alguns casos ela pode ser colocada também no cabeçalho. A fonte serve para dar
maio autenticidade à tabela.
Agora resolva o seguinte exercício.
Calcule a porcentagem de crescimento populacional da seguinte tabela: de 1990 a 1994; de
1994 a 2001; de 2001 a 2009 e 2009 a 2019.
ANOS População (1.000 Hab.)
1990 11.170
1994 12.226
2001 13.415
2009 14.913
2019 15.533
Nessa aula estudamos como elaborar uma tabela e seus elementos e também reforçamos o
estudo de porcentagem com o exercício solicitado.
Temática: Gráficos Estatísticos
O gráfico é uma forma de apresentação dos dados estatísticos, com o objetivo de produzir no
investigador ou no público em questão uma impressão mais rápida e compreensível do
fenômeno estudado , através dos gráficos podemos entender melhor as séries estatísticas.
O gráfico deve ser composto de simplicidade, clareza e veracidade , ou seja deve expressar a
verdade e possibilitar um claro entendimento ao público interessado.
Etec Diadema
Diagramas: são gráficos geométricos de no máximo, duas dimensões;para sua
construção,em geral, fazemos uso do sistema cartesiano.
Vamos apresentar os gráficos mais utilizados
Gráfico em linha: constitui uma aplicação do processo de representação de
funções num sistema de coordenadas cartesianas.
Fazemos uso de duas retas perpendiculares; as retas são o eixo x (eixo das
abcissas) e o eixo y (eixo das ordenadas).
Para o melhor entendimento vamos consideremos a seguinte série:
PRODUÇÃO BRASILEIRA DE ÓLEO DE SOJA 1987-1992
ANOS QUANTIDADE (1.000 t)
1987 39,3
1988 39,1
1989 53,9
1990 65,1
1991 69,1
1992 59,5
Volume de X (em 1000t)
39,3 39,1
53,9
65,1 69,159,5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1987 1988 1989 1990 1991 1992
Etec Diadema
Vamos considerar os anos como eixo x (abcissas) e as quantidades como
ordenadas (eixo y).Assim um ano dado e sua respectiva quantidade formam um
par ordenado.
Veja a construção do gráfico:
Gráfico em colunas ou em barras
É a representação de uma série por meio de retângulas, dispostos
verticalmente(gráfico em colunas) ou na forma horizontal (gráfico em barras).
Exemplos:
PRODUÇÃO BRASILEIRA DE CARVÃO MINERAL BRUTO 1989-19 92
ANOS QUANTIDADE PRODUZIDA (1.000t)
1989 18.196
1990 11.168
1991 10.468
1992 9.241
Veja abaixo as representações gráficas em colunas e barras:
1989
18.196
1990
11.168
1991
10.468
1992
9.241
0
5000
10000
15000
20000
1 2 3 4
ANOS
QUANTIDADEPRODUZIDA(1.000t)
Etec Diadema
198918.196
199011.168
199110.468
19929.241
0 5000 10000 15000 20000
1
2
3
4QUANTIDADEPRODUZIDA(1.000t)
ANOS
GRÁFICO EM COLUNAS OU EM BARRAS MÚLTIPLAS
Este tipo de gráfico é geralmente empregado quando queremos representar dois
ou mais fenômenos estudados com a finalidade de comparação.
Exemplo:
Balanço Comercial do Brasil
Valor US$
Especificações
1989 1990 1991 1992 1993
Exportação (FOB) 34.383 31.414 31.620 35.793 38.783
Importação 18.263 20.661 21.041 20.554 25.711
FONTE: Ministério da Fazenda
Etec Diadema
18.26320.66121.04120.55425.71134.38331.41431.62035.79338.783
1989 1990 1991 1992 19930
10000
20000
30000
40000
1 2 3 4 5
ANOS
Especificações
Importação
Gráficos em Setores
Gráfico construído com base em um círculo, e é empregado sempre que
desejamos ressaltar a participação do dado no total.
O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas
são as partes.
Obtemos cada setor por meio de uma regra de três simples e direta, lembrando
que o total da série corresponde a 360º.
Exemplo:
Dada a série:
ESTADOS QUANTIDADE (1.000 cabeças)
Minas Gerais 3.363,7
Espírito Santo 430,4
Rio de Janeiro 308,5
São Paulo 2.035,9
Total 6.138,5
Utilizando a regra de três:
6.138 ____ 360º
3.363,7___ X
Etec Diadema
X 1 = 197º
X 2 = 25º
X3 = 18º
X4 = 120º
Com esses dados (valores em graus) , marcamos num círculo de raio arbitrário,
com um transferidor , os arcos correspondentes , obtendo o gráfico abaixo:
QUANTIDADE (1.000 cabeças)
3.363,70
430,4
308,5
2.035,90
6.138,50
Minas Gerais
Espírito Santo
Rio de Janeiro
São Paulo
Total
Notas:
O gráfico em setores só deve ser empregado , quando há, no máximo sete dados;
Se a série já é apresentada de forma percentual, obteremos os seguintes valores
em graus multiplicando por 3,6.
Resolva os exercícios abaixo:
1) utilizar um gráfico de setores para representar a tabela:
Especificação Quantidade
Norte 301
Nordeste 2.937
Sudeste 7.071
Etec Diadema
Sul 4.542
Centro Oeste 979
TOTAL 15.830
2)Represente a série abaixo usando o gráfico em linhas
Comércio exterior Brasil 1984-1993
ANOS Exportação
1984 141.737
1985 146.351
1986 133.832
1987 142.378
1988 169.666
1989 177.033
1990 168.095
1991 165.974
1992 167.295
1993 182.561
3) Usando o gráfico em barras, represente a tabela:
Produção de ovos de galinha Brasil – 1992
Regiões Quantidade (1.000 dúzias)
Norte 57.297
Nordeste 414.804
Sudeste 984.659
Sul 615.978
Etec Diadema
Centro-Oeste 126.345
Na aula de hoje estudamos os gráficos mais utilizados e que dão melhor
entendimento a população para interpretar os fatos e os fenômenos coletivos.
Tabela de freqüência e medidas de tendência central
Temática: Tabela de Frequência.
Tanto os dados qualitativos como os quantitativos, podem e devem ser agrupados em
freqüências para se construir uma tabela. As freqüências associadas aos dados constituem a
distribuição de freqüência.
Uma tabela é constituída por dados organizados em linhas e colunas. A freqüência de um
dado é o número de ocorrências ou repetições de um dado.
Elementos de uma distribuição de freqüência
1) Tabela Primitiva: conjunto de elementos que não foram organizados.
2) Rol: é a tabela obtida após a ordenação dos dados.
3) Classe: são intervalos de variação da variável.
4) Limites de classe: são os extremos de cada classe. O menor é o limite inferior (li) e o
maior número, o limite superior da classe (Li).
5) Amplitude de um intervalo de classe: ou simplesmente intervalo de classe é a medida
do intervalo que define a classe. Esta medida é obtida pela diferença entre os limites
superior e inferior. A amplitude é indicada por h. Assim:
H = Li – li
4) Ponto médio: Como o próprio nome indica, é o ponto que divide o intervalo de classe
em duas partes iguais. Será representado por Xi.
Etec Diadema
Para obtermos o ponto médio de uma classe, calculamos a soma dos limites e dividimos
por 2, ou seja, só existe o ponto médio se existir o intervalo de classe. A fórmula utilizada
será:
Xi = li + Li /2
Tipos de Frequências
1) Freqüência simples ou absoluta (fi): são os valores que realmente representam o
número de dados de cada classe, ou seja, o número de vezes que se repetiram.
2) Freqüência absoluta acumulada (fac): é o total de frequências de todos os valores
inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe.
3) Freqüência Relativa (fr): são os valores das razões entre a freqüência absoluta e a
freqüência total (fr (%) = fi/n) sendo n = número total de elementos de uma amostra ou
tabela.
4) Freqüência relativa acumulada (fr.acum.): é o acúmulo das porcentagens de uma
tabela.
Amplitude de um intervalo de classe
A primeira preocupação que temos, na construção de uma distribuição de
freqüência com intervalo de classe, é a determinação das amplitudes do intervalo.
O nosso intervalo de classe sempre começará pelo menor elemento da amostra e
a sua amplitude será determinada pela fórmula:
h = nº > - nº </√n
O resultado da amplitude sempre deverá ser arredondado para o inteiro mais
próximo.
Exemplo de tabela de freqüência:
Para a variável estado civil, construímos a seguinte tabela de freqüência:
Estado Civil Freqüência absoluta (fi) Freqüência Relativa
(fr)
Porcentagem
Solteiro 9 9/20 = 0,45 45%
Etec Diadema
Casado 8 8/20 = 0,40 40%
Separado 3 3/20 = 0,15 15%
Total 20 1,00 100%
Exemplo de tabela de freqüência com intervalo de classe
Utilizando 5 classes de intervalo, todas com o mesmo comprimento, é possível reunir os dados
referentes à renda mensal da tabela seguinte:
Classes de Valores Freqüência
absoluta(fi)
Freqüência relativa (fr) Porcentagem
[5 ; 8[ 2 2/20 = 0,1 10%
[8 ; 11[ 5 5/20 = 0,25 25%
[11 ; 14[ 7 7/20 = 0,35 35%
[14 ; 17[ 4 4/20 = 0,2 20%
[17 ; 20[ 2 2/20 = 0,1 10%
Total 20 1,00 100%
Exemplo utilizando a tabela primitiva e o rol:
Um dentista anotou o número de clientes atendidos por dia, durante um período de
30 dias, e obteve os seguintes dados:
4 ; 6 ; 7 ; 4 ; 4 ; 5 ; 4 ; 6 ; 5 ; 5 ; 4 ; 5 ; 7 ; 5 ; 5 ; 4 ; 7 ; 5 ; 6 ; 5 ; 4 ; 5 ; 5 ; 6 ; 5 ; 7 ; 4
; 6 ; 6 ; 7
Rol: 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 5; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ;7
; 7 ; 7 ; 7 ; 7.
Organize esses dados em forma de uma tabela total de freqüência.
Xi Freqüência
absoluta (fi)
Frequência
acumulada (fac)
Freqüência relativa (fr) Porcentagem
4 08 8 8/30 = 0,267 26,7%
5 11 19 11/30=0,366 36,6%
Etec Diadema
6 06 25 6/30 = 0,20 20,0%
7 05 30 5/30 = 0,167 16,7%
Totais 30 1,00 100%
Resolva os exercícios abaixo :
1) conhecidas as notas de 40 alunos de uma classe, obtenha uma tabela total de
distribuição de freqüência com intervalo de classe(com freqüência individual,
freqüência acumulada, freqüência relativa, porcentagem).
1;2;3;4;5;6;6;7;7;8
2;3;3;4;5;6;6;7;8;8
2;3;4;4;5;6;6;7;8;9
2;3;4;5;5;6;6;7;8;9
2;3;4;5;5;6;7;7;8;9
Etec Diadema
2) complete a tabela abaixo:
Idade Freqüência
absoluta (fi)
Freqüência
acumulada
Freqüência
relativa
Porcentagem
[0 ; 8[ 04
[8 ; 16[ 10
[16 ; 24[ 14
[24 ; 32[ 09
[32 ; 40[ 03
Na aula de hoje podemos aprender como elaborar uma tabela de freqüência a
partir de um conjunto de dados.
TEMÁTICA – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Começaremos estudar as medidas de tendência central média , mediana e moda dividiremos
em 3 aulas e começaremos hoje por média.
Média aritmética / ponderada
a) Para amostra
A média aritmética , ou simplesmente média , e a soma de todos elementos de uma
amostra e dividida pelo número de elementos,vamos representar a média com o símbolo
X . Para calcularmos a média usaremos:
X = ∑xi/n
Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira diária de uma cabra’, durante uma semana
foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18, e 12 litros ,sendo assim , quanto foi a produção média da
semana?
X = 10+14+13+15+16+18+12/7 = 68/12 = 14
b) Para dados agrupados sem classe
Etec Diadema
A coluna de freqüência de uma tabela de indica a repetição de um elementos. Neste caso ,
a média será calculada através do produto entre o valor da variável e sua respectiva
freqüência e o resultado dividido pelo número total de elementos da tabela. A fórmula
usada para este cálculo é
X = ∑xifi/n
Ex: de acordo com dados apresentados na tabela abaixo calcule a média.
Idade Número de pessoas Xi.Fi
21 02 21 x 2 = 42
22 05 22 x 5 = 110
23 08 23 x 8 = 184
24 06 24 x 6 = 144
25 05 25 x 5 = 125
26 04 26 x 4 = 104
∑ 30 709
X = 709/30 = 23,63
c) Para dados agrupados em classes
É muito parecida com o cálculo dos dados agrupados sem classe. O que difere é a presença
do ponto médio, sendo assim, o X, não é mais a variável e sim o seu ponto médio e sua
respectiva freqüência e o resultado dividido pelo número total de elementos da tabela. A
fórmula será:
X = ∑xifi / n
Exemplo: Considerando os dados da tabela abaixo calcule a média.
Classes Fi Xi (ponto médio) Xi.Fi
[4 ; 5[ 01 4,5 4,5 x 1 = 4,5
[5 ; 6[ 04 5,5 5,5 x 4 = 22,0
[6 ; 7[ 11 6,5 6,5 x 11 = 71,5
[7 ; 8[ 07 7,5 7,5 x 7 = 52,5
Etec Diadema
[8 ; 9[ 02 8,5 8,5 x 2 = 17,0
∑ 25 167,5
X = 167,5/25 = 6,7
Resolva os exercícios de média abaixo:
1)Na série abaixo, composta de notas de matemática:
6,2,8,6,3,0,4,2,6,7,10,3,6 a média é :
a) 4,85 b) 5,33 c) 5,16 d) 4,75 e)6,3
1) Calcule a média ponderada dos dados abaixo:
Xi Fi
4 2
5 3
7 4
9 1
2) Determine a média aritmética da distribuição abaixo
Estaturas (cm) Nº de pessoas
[120 ; 126[ 06
[126 ; 132[ 12
Etec Diadema
[132 ; 138[ 16
[138; 144[ 15
[144 ; 150[ 07
[150; 156[ 04
3) Numa avaliação 6 alunos obtiveram nota 5 ; 8 alunos obtiveram nota 7 ; 5 alunos
obtiveram nota 9 e um aluno obteve nota 10.Qual a média desses alunos? Assinale a
correta:
a) 7,05 b) 6,5 c) 7,5 d) 7,0
Nessa aula aprendemos um pouco de média que usamos muito no nosso dia a dia por
exemplo: as empresas calculam a média salarial de sua folha de pagamento , o professor
calcula a média de seus alunos e vários outros usos.
TEMÁTICA: MEDIANA
A mediana é o valor que divide um conjunto de dados ordenados ao meio, ou seja, ela nos
fornece o elemento central desse conjunto de dados.
a) para amostra para com número de elementos impar
Md = n+1/2
Exemplo:
Se considerarmos 2,3,3,6,7 – temos 5 elementos logo Md = n+1/2 = 5+1/2 = 3º elemento que é
justamente o 3( que é o termo central da amostra).
Nota: os dados devem ser colocados em ordem crescente.
b) para amostra com número de elementos par:
Etec Diadema
Md = n/2 e n/2 + 1
Exemplo:
Se considerarmos 2,3,3,6,7,8
Temos 6 elementos logo – Md = n/2 = 6/2 = 3º elemento e n/2+1 = 6/2+1 = 4º elemento , daí
tiramos a média entre o 3º e 4º elemento logo: 3 + 6 / 2 (3 + 6
dividido por 2) = 4,5 portanto Md = 4,5
c) para dados agrupados sem classe
Uma vez que os dados da tabela encontram-se ordenados, podemos obter a mediana
através da freqüência acumulada. O cálculo ocorrerá da mesma maneira dos resultados
obtidos na amostra.
De acordo com a tabela abaixo calcule a mediana.
Idade Fi Fac
11 02 02
12 05 07
13 08 15
14 06 21
15 05 26
16 04 30
∑ 30
Podemos observar que o número de elementos é par, logo:
n/2 = 30/2 = 15º elemento e n/2 +1 = 30/2 + 1= 15 + 1 = 16º elemento
Pela coluna da freqüência acumulada identificamos que o 15º elemento encontra-se na classe
dos 13 anos enquanto o 16º encontra-se na classe dos 14 anos encontraremos a média entre
13 e 14 = 13+14/2 = 13,5 Md=13,5 ou seja, idade mediana é 13,5
d) Para dados agrupados em classes
Para calcular a mediana, devemos primeiramente, identificar na tabela através da coluna
de freqüência acumulada, a classe da mediana através da fórmula:
Etec Diadema
Md = lmd +[n/2 - ∑fant]x h/fmd
Onde:
Lmd = limite inferior da classe da mediana.
Fant é a freqüência acumulada anterior a classe da mediana
Fmd é a freqüência absoluta da classe da mediana
h é a amplitude da classe da mediana
n é o número de elementos da tabela
Exemplo:
De acordo com a distribuição abaixo, calcule a mediana.
Altura (cm) Fi Fac
[155 ; 160[ 05 05
[160 ; 165[ 09 14
[165 ; 170[ 10 24
[170 ; 175[ 12 36
[175 ; 180[ 05 41
∑ 41
Classe da mediana = n/2 = 41/2 = 21,5º elemento = 21º elemento
Md = 165 + [ 20,5 – 14] x 5 / 10 = 165 + 3,25 = 168,25
Resolva os exercícios abaixo:
1) Calcule a mediana das séries abaixo:
a) 5,6,8,10 e 15
b) 27,10,28,31 e 27
Etec Diadema
c) 10,11,17,15,18,21,27 e 30
d) 31,20,7,16,30,42,9,27,12 e 34
2) Calcule a mediana das distribuições abaixo:
Xi Fi
07 02
08 05
10 07
15 06
20 01
3) Calcule a mediana das distribuições abaixo:
Classes Fi
[12;16[ 10
[16;20[ 18
[20;24[ 20
[24;28[ 12
[28;32[ 08
[32;36[ 02
∑ 70
4) Em um projeto foi pesquisado o número de anos de estuda de uma população. Uma
amostra de 5 pessoas apresentou as seguintes respostas: 6,4,11,6,8 a mediana dessa
amostra é:
a) 11 b)8 c) 6 d) 4
Nessa aula estudamos a mediana que também faz parte das medidas de tendência central.
Temática : Moda
Etec Diadema
A moda de um conjunto de dados é o valor que se repete mais, isto é, aquele com maior
freqüência . Existem casos que ocorrem mais de uma moda, e outros em que a moda não
existe. Iremos representá-la por Mo.
a) Para amostra
Exemplo: o número de livros vendidos a cada hora foi coletado, em três livrarias ( A, B e C).
Os dados em um período de oito horas foram:
Livraria A : 0,1,2,2,2,2,3,4 a moda é 2
Livraria B : 1,2,2,2,3,3,3,5 as modas são 2 e 3 (bimodal)
Livraria C : 0,0,1,1,2,2,3,3 não existe moda
b) Para dados agrupados sem classe
Ex: A tabela abaixo mostra as horas de atraso em 30 vôos, de uma companhia aérea ,
determine a moda:
Horas Freqüência
0 15
1 08
2 04
3 02
4 01
Sendo assim M = 0 horas
c) Para dados agrupados em classes
Neste caso precisaremos inicialmente achar a classe de maior freqüência, a qual chamamos
de classe modal. Através desta classe é que iremos calcular a moda através da fórmula:
Mo = lmo + ∆1 / ∆1+∆2 x h
Sendo:
Lmo – limite inferior da classe modal
∆1 – fi da classe modal – fi anterior
∆2 – fi da classe modal – fi posterior
h – amplitude da classe modal (intervalo)
Etec Diadema
Exemplo:
De acordo com a tabela abaixo calcule a moda:
Altura (cm) Nº de pessoas
[155;160[ 05
[160;165[ 09
[165;170[ 10
[170;175[ 12
[175;180[ 05
∑ 41
∆1 = 12 – 10 = 2 Mo = 170 + 2x5/2+7 = 170 + 10/9 = 171,11
∆2 = 12 – 5 = 7 Mo = 171,11
h = 5
Resolva os exercícios abaixo:
1) Obtenha a moda das seguintes séries:
a) 2,3,4,4,5,2,3 e 2
b) 10,9,8,10,5,9 e 7
c) 2,3,3,3,4,5,7,7,7,9,9 e 9
d) 16,15,14,11,12 e 18
2) Determine a moda das distribuições abaixo:
Nº de acidentes Nº de dias
0 12
1 08
2 05
3 04
Etec Diadema
4 01
∑ 30
3) Determine a moda da tabela com intervalo de classes abaixo:
Peso (Kg) Nº de alunos
[40;45[ 03
[45;50[ 08
[50;55[ 12
[55;60[ 08
[60;65[ 06
[65;70[ 03
∑
Nessa aula estudamos moda também pertencente as medidas de tendência central.
Exercícios
1) Calcule média , mediana e moda das séries abaixo:
a) 5,6,8,10 e 15
b) 27,10,28,31 e 27
c) 10,11,17,15,18,21,27 e 30
d) 31,20,7,16,30,42,9,27,12 e 34
2) Calcule a média , mediana e moda das distribuições abaixo:
a)
Xi Fi
Etec Diadema
120 03
123 10
126 12
129 09
130 11
145 05
b)
Xi Fi
1,4 12
1,7 10
2,1 08
3,3 05
c)
Nº de
filhos
Freqüência
0 08
1 10
Etec Diadema
2 14
3 09
4 04
5 02
6 03
d)
Salário (R$) Nº de
funcionários
[500;700[ 11
[700;900[ 23
[900;1100[ 18
[1100;1300[ 06
[1300;1500[ 03
[1500;1700[ 02