apostila estatistica pdf[1]
TRANSCRIPT
Estatística
Profª Janice Natera Gonçalves
CURSO:
Nome:
RA:
Semestre:
Apostila Estatística_______________________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
2
Conceitos
• População:
É um conjunto de uma mesma característica. Ex: Alunos de uma universidade.
• Amostra: É um subconjunto de uma população.
Ex: Parte de alunos de uma universidade.
• Variável:
Um número correspondente a possíveis resultados. Podemos ter:
Ø Variável discreta: expressada por um número. Ex: Grau de instrução.
Ø Variável contínua: expressada por um intervalo de números. Ex: Salário.
• Dados Brutos: É uma sequência de valores numéricos não organizados.
Ex: 5, 9, 2, 10, 2, 10, 11, 3, 5.
• Rol:
É uma sequência de valores numéricos organizados. Podendo ser em ordem crescente ou decrescente.
Ex: 2, 2, 3, 5, 5, 9, 10, 10, 11.
Arredondamento
Para resolver alguns exercícios, às vezes é necessário utilizarmos arredondamento nas casas decimais.
Para iniciarmos, faremos um combinado que usaremos durante todo o curso. Ao fazermos arredondamento, utilizaremos apenas duas casas após a vírgula.
Ø Quando o terceiro algarismo após a vírgula for 0, 1, 2, 3 ou 4, conservamos o
segundo algarismo após a vírgula. Ex: 9,3724 9,37 (não acrescentamos nenhuma unidade, pois o terceiro algarismo após a vírgula é 2) Ø Quando o terceiro algarismo após a vírgula for 5, 6, 7, ou 9, aumentamos uma
unidade no segundo algarismo após a vírgula.
Apostila Estatística_______________________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
3
Ex: 9,3794 9,38 (acrescentamos uma unidade, pois o terceiro algarismo após a vírgula é 9)
Somatório
Somatório é representado pela letra grega ∑ (sigma) Para facilitar alguns cálculos que usaremos durante o curso, faremos alguns cálculos
somatórios.
Exemplo 1:
Dada a sequência : x: 1, 2, 3, 5, 6.
a) Calcule: ∑ xi
Ø Somamos todos os números da sequência.
∑ x = 1+ 2 + 3 + 5 + 6 = 17
b) Calcule: ∑ x2
Ø Primeiro elevamos ao quadrado todos os números da sequência, depois
somamos.
12 = 1 22 = 4
32 = 9
52 = 25
62 = 36 ∑ x2 = 1+ 4 + 9 + 25 + 36 = 75
Exemplo 2: Dada a tabela:
ix if
2 3
4 1
6 4
8 2
Apostila Estatística_______________________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
4
Calcule:
a) ∑ xi b) ∑ fi
Ø Aumentamos uma linha na tabela para fazermos a soma de xi e fi..
ix if
2 3
4 1
6 4
8 2
∑ 20 10
c) ∑ xi . fi
Ø Construímos uma terceira coluna, em cada linha fazemos a multiplicação de
xi com fi , em seguida fazemos a soma da coluna de xi . fi.
Tabela de distribuição de frequência
Objetivo:
Registrar dados coletados (pesquisados) em forma de tabelas para facilitar a leitura dos dados.
ix if ix . if
2 3 6
4 1 4
6 4 24
8 2 16
∑ 20 10 50
Apostila Estatística_______________________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
5
Podemos representar em uma tabela com dados estatísticos, elementos de uma amostra ou uma população e pode ser representada das seguintes formas: frequência simples, variável discreta e variável contínua.
• Frequência Simples:
Frequência simples é uma sequência de dados numéricos que foram organizados através de dados coletados.
Ex: Em uma sala de aula 40 alunos realizaram uma avaliação valendo de 0 a 10 e
foram obtidos os seguintes valores:
• Variável discreta:
Ao montarmos uma tabela em que agrupamos uma sequência, chamamos de variável discreta.
Ex: Em uma sala de aula 40 alunos realizaram uma avaliação valendo de 0 a 10 e foram
obtidos os seguintes valores:
Resolução:
1. Temos uma sequência de dados brutos (dados não organizados), para facilitar a
construção da tabela, vamos construir o rol (dados organizados).
8 10 7,5 9 8 10 9,5 7,5 5 4
7,5 5 4,5 4 4,5 5 7,5 4 4,5 5
2 3 4,5 9,5 4 4,5 3 5,5 3 4
9,5 75 8,5 4 6 3 4 6 6 3
9 10 7,5 9 7,5 10 9,5 7,5 5 4
7,5 5 4,5 4 4,5 5 7,5 4 4,5 5
9 3 4,5 9,5 4 4,5 3 6 3 4
9,5 7,5 3 4 6 3 4 6 6 3
Apostila Estatística_______________________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
6
2. Agora iremos tabular os dados deste rol, da seguinte forma:
• Na primeira coluna colocamos as notas obtidas.
• Na segunda coluna colocamos a quantidade de cada nota obtida.
Notas ( ix ) Quantidade
de notas ( if )
∑
OBS: ix : Os diferentes valores do rol.
if : Quantidade de cada valor: frequência simples.
• Variável contínua:
Ao montarmos uma tabela em que agrupamos uma sequência com intervalo de classes, chamamos de variável contínua.
Apostila Estatística_______________________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
7
Ex: Utilizaremos o mesmo exemplo da variável discreta, acrescentando dois dados:
Ø →il Início do intervalo de classes.
Ø →0h Amplitude: intervalo de classes.
Utilize: 3=il 20 =h
Resolução:
Construímos uma tabela com três colunas.
• Na primeira coluna colocamos a quantidade de intervalo de classes.
• Na segunda colocamos os intervalos de classes usando como início o 3 e
como intervalo de classes 3.
• Na terceira colocamos a quantidade de notas de cada intervalo de classe.
• Construção de uma Tabela de Variável contínua:
No exemplo anterior, ao montarmos a tabela, já possuíamos o il e o 0h , se não
houvesse como faríamos. No próximo exemplo verificaremos.
Exemplo: Dada a sequência, construa a tabela de variável contínua:
Classe )( i Notas (int.de classe)
if
1
2
3
4
∑ 40
Apostila Estatística_______________________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
8
Ø Primeiramente construímos o rol para facilitar a resolução:
1. Pegamos o maior valor do rol e subtraímos do menor valor do rol. R = 41 – 15 = 26
2. Agora temos que descobrir a quantidade de classes:
k= n
k= 36
K= 6
n: quantidade de elementos do rol.
k: quantidade de classes.
Obs: Se o resultado do K fosse um número decimal, para facilitar, trabalharemos sempre com o próximo numero inteiro.
3. Próximo passo é descobrirmos a amplitude da classe (o intervalo), usaremos a
seguinte formula:
K
Rh =
6
26=h
33,4=h
h: amplitude da classe
19 20 35 41 18 39 20 36 25
16 15 33 20 28 18 16 39 19
18 20 18 25 15 39 20 37 36
36 16 35 23 35 33 30 16 28
15 15 16 16 16 16 18 18 18
18 19 19 20 20 20 20 20 23
25 25 28 28 30 33 33 35 35
35 36 36 36 37 39 39 39 41
Apostila Estatística_______________________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
9
Obs: O resultado de h é um número decimal, para facilitar, iremos trabalhar sempre com
o próximo inteiro, no caso 5, portanto nosso intervalo será cinco.
4. Como nossa menor número é 15, podemos começar com ele. Portanto, nossa tabela ficará da seguinte forma:
Representação Gráfica
Objetivo:
Ø Analisar gráficos estatísticos: representar a coleta de dados estatísticos em forma de
gráficos, para facilitar a leitura dos dados.
Ø Registrar dados coletados (pesquisados) nas tabelas em porcentagem.
Existem vários tipos de gráficos para representar dados estatísticos: colunas, linhas, barras, setores, entre outros. • Representação Gráfica de uma variável discreta – Histograma
Representa-se graficamente uma variável discreta da seguinte forma: Exemplo: Dada à série:
ix if
1 3
2 2
3 9
4 5
5 3
Classes Intervalo de classe if
1 15 20 12
2 20 25 6 3 25 30 4 4 30 35 3 5 35 40 10 6 40 45 1
∑ 36
Apostila Estatística_______________________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
10
Representaremos esta série no gráfico da seguinte forma:
fi
987654321
1 2 3 4 5 xi
Obs: As colunas ficam separadas porque é uma variável discreta.
• Representação Gráfica de uma variável contínua – Histograma Representamos graficamente uma variável contínua da seguinte forma: Exemplo: Dada à série:
Construindo o gráfico:
Obs: As colunas ficam juntas porque é uma variável contínua que representa os intervalos das classes.
fi
7654321
0 3 6 9 12 xi
Classes Intervalo de classe if
1 0 3 2
2 3 6 5
3 6 9 7
4 9 12 3
Apostila Estatística_______________________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
11
Quando usamos os pontos médios de cada coluna, podemos obter um novo gráfico chamado de polígono de frequência:
fi
7654321
0 3 6 9 12 xi
Representado sem as colunas obtemos um gráfico de linhas.
fi
7654321
0 3 6 9 12 xi
Frequência Relativa
Para Calcularmos a frequência relativa, você deve dividir o valor da frequência absoluta pelo total de elementos (n) e multiplicar por 100.
frel = n
fi. 100
frel: frequência relativa fi: frequência simples n: total de elementos
Exemplo: A tabela dada representa as idades de 21 professores de uma escola. Construa a frequência relativa.
Apostila Estatística_______________________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
12
ix if
2 1
3 4
5 8
6 6
7 2
∑ 21
Resolução:
Não esqueça: frel = n
fi. 100
1) frel.1 = 21
1. 100
frel.1 = 4,76
2) frel.2 = 21
4. 100
frel.2 = 19,05
3) frel.3 = 21
8. 100
frel.3 = 38,1
4) frel.4 = 21
6. 100
frel.4 = 28,57
5) frel.5 = 21
2. 100
frel.5 = 9,52
Para construir a tabela com a frequência relativa, primeiramente você irá inserir mais uma coluna. A soma desta coluna tem que resultar 100% ou aproximadamente.
ix if
relf (%)
2 1 4,76
3 4 19,05
5 8 38,1
6 6 28,57
7 2 9,52
∑ 21 100 %
Observamos que o total da frequência relativa é 100%.
Apostila Estatística_______________________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
13
Frequência Acumulada ( acf )
Para representar a frequência acumulada, você somará os elementos da frequência simples acumulando cada elemento que vem a seguir.
Exemplo: Dada à tabela, calcule a frequência acumulada.
ix if
2 1
3 4
5 8
6 6
7 2
∑ 21
Você deverá construir mais uma coluna e fazer a seguinte soma acumulada:
• fac.1 = 1
• fac.2 = 1+4=5
• fac.3 = 5+8=13
• fac.4 = 13+6=19
• fac.5 = 19+2=21
Observe que a última frequência acumulada é igual à soma da frequência simples.
Frequência Acumulada Relativa (Frel)
Para calcular a frequência acumulada relativa, você deve pegar cada valor da frequência acumulada e dividimos pelo total de elementos (n) e multiplicamos por 100.
Frel = n
fac. 100
Frel: frequência relativa acumulada Fac: frequência acumulada n: total de elemento
Exemplo 1: Dada à tabela, calcule a frequência acumulada relativa.
ix if acf
2 1 1
3 4 5
5 8 13
6 6 19
7 2 21
∑ 21
Apostila Estatística_______________________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
14
ix if
2 1
3 4
5 8
6 6
7 2
∑ 21
1) Fazemos a frequência relativa como no exemplo dado:
1) frel.1 = 21
1. 100
frel.1 = 4,76
2) frel.2 = 21
4. 100
frel.2 = 19,05
3) frel.3 = 21
8. 100
frel.3 = 38,1
4) frel.4 = 21
6. 100
frel.4 = 28,57
5) frel.5 = 21
2. 100
frel.5=9,5
Observe que o total da frequência relativa é 100%.
2) Você deverá construir mais uma coluna para a frequência acumulada relativa.
• Fac.1 = 4,76
• Fac.2 = 4,76 + 19,05= 23,81
• Fac.3 = 23,81 + 38,1 = 61,91
• Fac.4 = 61,91 + 28,57 = 90,48
• Fac.5 = 90,48 + 9,52 = 100%
ix if
relf (%)
2 1 4,76
3 4 19,05
5 8 38,1
6 6 28,57
7 2 9,52
∑ 21 100 %
ix if
relf (%) Fac.(%)
2 1 4,76 4,76
3 4 19,05 23,81
5 8 38,1 61,91
6 6 28,57 90,48
7 2 9,52 100%
∑ 21 100 %
Apostila Estatística_________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
15
Exemplo 2: Dada à tabela, calcule a frequência acumulada relativa
Medidas de Tendência Central
Média Aritmética.
Objetivo: O objetivo da média aritmética é o valor médio de uma série. Para representar a média aritmética usamos o seguinte símbolo: x .
Média Aritmética Simples: Dados não agrupados.
Para calcular a média aritmética simples usamos a seguinte fórmula:
n
xix
∑= ∑ i : soma de todos os elementos da série.
n: quantidade de elementos da série
Exemplo: Dada à série, calcule a média aritmética simples: 4, 8, 12, 16.
• Primeiro você precisa somar todos os elementos:
∑ x i= 4+8+12+16= 40
• Agora substituindo na fórmula:
n
xix
∑= x = 4
40 x = 10
Classes Intervalo de classe if relf (%) Fac.(%)
1 0 10 8 16 16
2 10 20 10 20 36
3 20 30 4 8 44
4 30 40 12 24 68
5 40 50 16 32 100%
∑ 50 100%
Apostila Estatística_________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
16
Média Aritmética Ponderada: Dados agrupados.
Para calcular a média aritmética ponderada usamos a seguinte fórmula:
∑∑=
i
ii
f
fxX x i : elementos da série.
∑ fi : Quantidade de elementos. Exemplo (1): Dada à tabela de variável discreta calcule a média aritmética:
ix if
2 1
3 4
5 8
6 6
7 2
∑ 21
• Para iniciar o cálculo você deverá inserir mais uma coluna para calcularix .
if :
∑∑=
i
ii
f
fxX x =
21
104 x = 4,95
Exemplo (2): Dada à tabela da distribuição, calcule a média aritmética:
ix if
ix . if
2 1 2 3 4 12 5 8 40
6 6 36 7 2 14
∑ 21 104
Classes Intervalo de classe if
1 0 4 2
2 4 8 5
3 8 12 7
4 12 16 3
Apostila Estatística_________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
17
• Para iniciar o cálculo você deverá inserir mais uma coluna e calcular média
simples de cada intervalo de classes.
2
1x=
2
40 += 2
2
2x=
2
84 += 6
2
3x=
2
128 += 10
2
4x=
2
1612 += 14
• Agora acrescente mais uma coluna e calcule ix .
if
• Acrescente uma linha e some as colunas: if e ix . if
• Para finalizar substituiremos na
fórmula:
∑∑=
i
ii
f
fxX x =
17
163 x = 9,5
Mediana
Objetivo: O objetivo da mediana é calcular valor central da série.
Para representar a média aritmética usamos: md.
Para calcular a resolução da mediana é preciso observar se o número de elementos da série é par ou ímpar e fazer o rol.
Classes Intervalo de classe if
ix
1 0 4 2 2
2 4 8 5 6
3 8 12 7 10
4 12 16 3 14
Classes Intervalo de classe if ix
ix . if
1 0 4 2 2 4
2 4 8 5 6 30
3 8 12 7 10 70
4 12 16 3 14 42
∑ 17 163
Apostila Estatística_________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
18
• Se o número de elementos do rol for ímpar, o valor da mediana é o número central da sequência, para encontrar este número você irá usar
a seguinte fórmula: 2
1+n , onde n é o número de elementos do rol.
• Se o número de elementos do rol for par, o valor da mediana são os dois números centrais da sequência, para encontrar este número você
irá usar as seguintes fórmulas: 2
n e 1
2+n
, onde n é o número de
elementos do rol. Os números que ocupam estas posições você irá calcular a média para obter o resultado.
Exemplo 1: Determinar a mediana da seguinte sequência: 25, 10, 15, 5, 20.
• Você deve obter o Rol: 5, 10, 15, 20, 25. • Observe que a sequência tem cinco elementos, portanto o número de elementos é par. Para calcular a mediana você usará:
2
1+n =
2
15 + = 3, porém a mediana ocupa a posição 3º.
5, 10, 15, 20, 25 md= 15
Exemplo 2: Determinar a mediana da seguinte sequência: 10, 15, 5, 20.
• Você deve obter o Rol: 5, 10, 15, 20. • Observe que a sequência tem quatro elementos, portanto o número de elementos é ímpar. Para calcular a mediana você usará:
2
n =
2
4 = 2 1
2+n
= 12
4 + = 3
Porém a mediana ocupa a posição 2º e 3º.
• O elemento que ocupa a posição 2º é o 10. E o elemento que ocupa a
posição 3º é o 15.
• Agora calcule a mediana:
md= 2
1510 + = 12,5 md= 12,5
Apostila Estatística_________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
19
Exemplo 3: Determinar a mediana da seguinte série:
n = 17, portanto ímpar.2
1+n=
2
117 += 9
• Você sabe que a mediana ocupa a posição 9º, agora para saber qual é o
número que ocupa esta posição você terá que calcular a frequência
acumulada
• Para você saber qual é a mediana desta série, você terá que olhar na
coluna da acf , o número mais próximo e acima de 9, no caso é o 12,
olhando na mesma linha o valor de ix é 7: md = 7
Exemplo 3: Determinar a mediana da seguinte série:
ix if
3 2
5 5
7 3
8 2
∑ 17
ix if
acf
3 3 3
5 5 8
7 4 12
8 5 17
∑ 17
ix if
3 2
5 5
7 4
8 2
∑ 18
Apostila Estatística_________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
20
• Você sabe que a mediana ocupa a posição 9º e 10º, agora para saber
qual é o número que ocupa esta posição você terá que calcular a
frequência acumulada.
n = 18, portanto é par.
92
18
2==n
1012
181
2=+=+n
md= 62
75 =+
Exemplo 3: Determinar a mediana da seguinte série:
• Quando temos uma tabela com intervalo de classes, não importa se é par
ou ímpar, você irá calcular direto 2
n, para saber a classe que ocupa a
mediana. 2
n=
2
17=8,5
• Para você saber qual é a classe que ocupa esta posição você terá que
calcular a frequência acumulada.
ix if
acf
3 4 4
5 5 9
7 7 16
8 2 18
∑ 18
Classes Intervalo de classe if
1 0 4 2
2 4 8 5
3 8 12 7
4 12 16 3
∑ 17
Apostila Estatística_________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
21
Para você saber qual é a classe da mediana desta série, você terá que olhar na coluna da acf , o número mais próximo e acima de 8,5, no caso é o 14, olhando na mesma linha ele está na classe 3, portanto ocupa o intervalo:
8 12
• Você sabe o intervalo em que a mediana está, agora você descobrirá o
valor exato usando a seguinte fórmula:
hf
Fn
lMmd
ant
mdd ⋅−
+= 2
Onde:mdl – limite inferior da classe mediana.
47
72
19
8 ⋅−
+=dM n – número de elementos da série.
antF – Freqüência acumulada da classe anterior.
md= 9,43
à classe mediana.
mdf – freqüência simples da classe mediana
h – amplitude do intervalo de classe.
Classes Intervalo de classe if
acf
1 0 4 2 2
2 4 8 5 7
3 8 12 7 14
4 12 16 3 17
∑ 17
Apostila Estatística__________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
22
Moda
Objetivo: O objetivo da mediana é descobrir o valor da maior frequência de
uma série. Para representar a média aritmética usamos: mo.
Para calcular a moda, você deverá observar qual é o elemento que se repete mais vezes.
Exemplo 1: Determinar a moda da seguinte sequência: 13, 10, 9, 7, 10, 13, 10.
• Para facilitar a visualização, você poderá construir o rol:
7, 9, 10, 10, 10, 13, 13.
• O elemento que se repete mais vezes é o 10, portanto:
mo = 10
Exemplo 2: Determinar a moda da seguinte sequência: 1, 4, 3 ,7, 3, 4, 2.
• Para facilitar a visualização, você poderá construir o rol:
1, 2, 3, 3, 4, 4, 7.
• Neste caso os números que se repetem mais vezes são 3 e 4, se
repetem a mesma quantidade, portanto:
mo = 3 e mo = 4
Exemplo 3: Determinar a moda da seguinte variável sem intervalo de classes:
ix if
2 3
4 5
6 7
7 10
∑ 25
Apostila Estatística__________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
23
Olhando na coluna do if , vemos que a maior frequência é 10, portanto elemento que mais se repete é o 7 (coluna do ix e linha do if . mo = 7
Exemplo 4: Determinar a moda da seguinte variável com intervalo de classes:
Para você saber qual é a classe da moda desta série, você terá que olhar na
coluna da if , o número que tiver maior frequência no caso é o 7, olhando na
mesma linha ele está na classe 4, portanto ocupa o intervalo:
40 50
• Você sabe o intervalo em que a moda está, agora você descobrirá o valor
exato usando a seguinte fórmula:
hlM moO ⋅∆+∆
∆+=21
1
onde:
mol – limite inferior da classe modal.
1∆ –freq. da classe modal menos freq. anterior a classe modal.
2∆ – freq. da classe modal menos freq. posterior à classe modal.
h – amplitude do intervalo de classe.
• Para fazermos a substituição na fórmula, primeiro calcularemos os
valores de 1∆ e 2∆ :
Classes Intervalo de classe if
1 10 20 3
2 20 30 4
3 30 40 2
4 40 50 7
5 50 60 5
∑ 21
Apostila Estatística__________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
24
1∆ =7-2=5
2∆=7-5=2
1025
540 ⋅
++=OM mo= 47,14
Medidas de Separatrizes: Quartil, Decil e Percentil – Variável sem intervalo de classes.
Objetivo:
Ø Quartil: O objetivo do quartil é dividir os valores de uma série em quatro
partes iguais.
Ø Decil: O objetivo do decil é dividir os valores de uma série em dez partes
iguais.
Ø Percentil: O objetivo do percentil é dividir os valores de uma série em cem
partes iguais.
Quartil: Existem três quartis para calcularmos:
• Q1 - Primeiro quartil: valor da série que separa a sequência 25% dos
valores menores e 75% dos valores maiores.
• Q2 - Segundo quartil: o cálculo é igual ao da mediana.
• Q3 - Terceiro quartil: valor da série que separa a sequência 75% dos
valores menores e 25% dos valores maiores.
Para calcular o quartil de uma variável sem intervalo de classe,
primeiramente você deve usar a seguinte fórmula:
4
i
i
fiQ
∑→ i : quartil pedido.
if : quantidade de cada elemento.
Apostila Estatística__________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
25
Decil: Existem nove decis para calcularmos para calcularmos: D1, D2, ..., D9
• D1 - Primeiro decil: valor da série que separa a sequência 10% dos
valores menores e 90% dos valores maiores.
.
.
.
• D7 - Sétimo decil: valor da série que separa a sequência 70% dos
valores menores e 30% dos valores maiores.
.
.
.
• D9 - Nono decil: valor da série que separa a sequência 90% dos
valores menores e 10% dos valores maiores.
Para calcular o decil de uma variável sem intervalo de classe, primeiramente você
deve usar a seguinte fórmula:
10
i
i
fiD
∑→ i : decil pedido.
if : quantidade de cada elemento.
Percentil: Existem noventa e nove percentis para calcularmos para calcularmos:
P1, P2, ..., P99
• P1o - Décimo percentil: valor da série que separa a sequência 10%
dos valores menores e 90% dos valores maiores.
.
.
.
Apostila Estatística__________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
26
• P98 – Nonagésimo oitavo: valor da série que separa a sequência 98%
dos valores menores e 2% dos valores maiores.
Para calcular o percentil de uma variável sem intervalo de classe, primeiramente
você deve usar a seguinte fórmula:
100
i
i
fiP
∑→ i : percentil pedido.
if : quantidade de cada elemento.
Exemplo: A tabela representa a idade de 50 professores de uma universidade.
Calcule:
a)Q1 b) D7 c) P90
• Para iniciar você deve inserir mais uma coluna e calcular a frequência acumulada.
idade Quantidade de
professores 25 10
30 15
35 13
40 12
∑ 50
idade Quantidade de
professores
fac
25 10 10
30 15 25
35 13 38
40 12 50
∑ 50
Apostila Estatística__________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
27
a)Calcule o valor de: 4
ifi∑, para Q1
5,124
50.1
41 →→
∑→ ifi
Q
• O valor achado foi 12,5, portanto observe a coluna da fac, o número mais próximo acima, é o 25, na mesma linha o valor do xi (idade) é 30. Q1 = 30
b)Calcule o valor de: 10
ifi∑, para D7
3510
50.7
107 →→
∑→ ifi
D
• O valor achado foi 35, portanto observe a coluna da fac, o número mais próximo
acima, é o 38, na mesma linha o valor do xi (idade) é 35. D7 = 35
c) Calcule o valor de: 100
ifi∑, para P90 45
100
50.90
10090 →→
∑→ ifi
P .
• O valor achado foi 45, portanto observe a coluna da fac, o número mais próximo
acima, é o 50, na mesma linha o valor do xi (idade) é 40. P90 = 40
Quartil, Decil e Percentil – Variável com intervalo de classes.
Objetivo: O objetivo desta aula é dar continuidade na aula 06, calculando o
valor do Quartil, Decil e Percentil de uma variável com intervalo de
classes.
Quartil: Para calcular o quartil de uma variável com intervalo de classes você usará a seguinte fórmula:
Apostila Estatística__________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
28
hf
Ffi
lQi
ant
i
ii ⋅−
∑
+= 4
.
Onde:
il – limite inferior da classe.
if∑ – número de elementos da série.
antF – Freqüência acumulada da classe anterior.
if – freqüência simples da classe.
h – amplitude do intervalo de classe.
Decil: Para calcular o decil de uma variável com intervalo de classes você
usará a seguinte fórmula:
hf
Ffi
lDi
ant
i
ii ⋅−
∑
+= 10
.
Onde:
il – limite inferior da classe.
if∑ – número de elementos da série.
antF – Freqüência acumulada da classe anterior.
if – freqüência simples da classe.
h – amplitude do intervalo de classe.
Percentil: Para calcular o percentil de uma variável com intervalo de classes você usará a seguinte fórmula:
hf
Ffi
lPi
ant
i
ii ⋅−
∑
+= 100
.
Onde:
il – limite inferior da classe.
if∑ – número de elementos da série.
antF – Freqüência acumulada da classe anterior.
if – freqüência simples da classe.
h – amplitude do intervalo de classe.
Exemplo: A tabela representa a idade de 50 professores de uma universidade.
Calcule: a)Q3 b) D5 c) P28
Intervalo de classe
if
10 20 3
20 30 4
30 40 2
40 50 7
50 60 5
∑ 21
Apostila Estatística__________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
29
• Para iniciar você deve inserir mais uma coluna e calcular a frequência
acumulada.
a) Calcule o valor de: 4
ifi∑, para Q3
75,184
25.3
43 →→
∑→ ifi
Q
• O valor achado foi 18,75, portanto observe a coluna da fac, o número mais
próximo acima, é o 20, que está na linha da quarta classe, ocupando o seguinte
intervalo: 40 50.
• Sabemos que o valor do quartil está neste intervalo, agora para descobrir o valor
exato, você irá usar a seguinte fórmula:
hf
Ffi
lQi
ant
i
ii ⋅−
∑
+= 4
107
1375,18403 ⋅−+=Q
21,483 =Q
Classes Intervalo de classe
if fac
1 10 20 3 3
2 20 30 4 7
3 30 40 6 13
4 40 50 7 20
5 50 60 5 25
∑ 25
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
30
b) Calcule o valor de: 10
ifi∑, para D5
5,1210
25.5
105 →→
∑→ ifi
D
• O valor achado foi 12,5, portanto observe a coluna da fac, o número mais
próximo acima, é o 13, está na linha da quarta classe, que ocupa o seguinte
intervalo: 30 40.
• Sabemos que o valor do decil está neste intervalo, agora para descobrir o
valor exato, você irá usar a seguinte fórmula:
hf
Ffi
lDi
ant
i
ii ⋅−
∑
+= 10
106
75,12305 ⋅−+=D
17,395 =D
c) Calcule o valor de: 100
ifi∑, para P28
7100
25.28
10028 →→
∑→ ifi
P
c) O valor achado foi 7, portanto observe a coluna da fac, o número mais próximo
acima, é o próprio 7, está na linha da segunda classe, que ocupa o seguinte
intervalo: 20 30.
d) Sabemos que o valor do percentil está neste intervalo, agora para descobrir o
valor exato, você irá usar a seguinte fórmula:
hf
Ffi
lPi
ant
i
i ⋅−
∑
+= 10028
104
372028 ⋅−+=P 3028 =P
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
31
Medidas de Dispersão: Desvio Médio Simples – Variável sem intervalo de classes.
Objetivo: O desvio médio simples é definido como sendo uma média aritmética dos
desvios de cada elemento da série para a media.
Ø Para o cálculo do desvio médio simples usaremos DMS e a seguinte fórmula
para uma sequência sem dados agrupados:
n
xxDMS
i −∑= ix Cada elemento da série.
x Média aritmética. n Número de elementos da série. Observação: como não existe distância negativa calculamos em módulo. Lembrete:
Para calcular a média sem dados agrupados use: n
xix
∑=
Exemplo: Dada à série, calcule o desvio médio: 3, 4, 7, 9.
• Primeiro você precisa calcular a média:
n
xix
∑= 4
9743 +++=x 4
23=x 75,5=x
• Agora calcule xxi − :
xx −1 = 75,53 − =2,75
xx −2 = 75,54 − =1,75
xx −3 = 75,57 − =1,25
xx −4 = 75,59 − =3,25
• Agora calcule:
n
xxDMS
i −∑=
4
25,325,175,175,2 +++=DMS 4
9=DMS 25,2=DMS
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
32
Ø Para o cálculo do desvio médio simples usaremos DMS e a seguinte fórmula
para uma sequência com dados agrupados sem intervalo de classes:
i
ii
f
fxxDMS
∑
−∑=
. ix Cada elemento da série.
x Média aritmética. if∑ Número de elementos da série. Lembrete:
Para calcular a média com dados agrupados use: i
ii
f
fxx
∑
∑=
.
Exemplo: Dada à tabela, calcule o desvio médio:
ix if
3 3
4 2
5 4
7 5
8 4
∑ 18
• Primeiro você precisa calcular a média, insira uma coluna para calcular ii fx .∑ :
∑∑=
i
ii
f
fxX x =
18
104 x = 5,78
• Agora insira uma coluna para calcular xxi −∑ :
• Insira uma coluna para calcular ii fxx .−∑ :
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
33
• Agora calcule:
i
ii
f
fxxDMS
∑
−∑=
.
18
30=DMS 67,1=DMS
Medidas de Dispersão: Desvio Médio Simples – Variável com intervalo de classes.
Objetivo: Nesta aula daremos continuidade ao cálculo do Desvio Médio, agora com
a sequência de dados agrupados com intervalo de classes.
Ø Para o cálculo do desvio médio com intervalo de classes, usaremos a mesma
fórmula que uma sequência sem dados agrupados:
i
ii
f
fxxDMS
∑
−∑=
. ix Cada elemento da série.
x Média aritmética. if∑ Número de elementos da série. Lembrete:
Para calcular a média com dados agrupados use: i
ii
f
fxx
∑
∑=
.
ix if ix . if xxi − ii fxx .−
3 3 9 78,278,53 =− 8,34
4 2 8 78,178,54 =− 3,56
5 4 20 78,078,55 =− 3,12
7 5 35 22,178,57 =− 6,1
8 4 32 22,278,58 =− 8,88
∑ 18 104 8,78 30
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
34
Exemplo: Dada à tabela, calcule o desvio médio:
• Primeiro você precisa calcular a média, insira uma coluna para calcular 2
si
i
Llx
−=
(limite inferior do intervalo, menos limite superior, divido por dois):
• Agora é preciso calcular a média, insira uma coluna para ix . if :
∑∑=
i
ii
f
fxX x =
27
1055 x = 39,07
• Agora insira uma coluna para calcular xxi −∑ :
• Insira uma coluna para calcular ii fxx .−∑ :
Classe Intervalo de classe
fi
1 10 20 3
2 20 30 4
3 30 40 7
4 40 50 5
5 50 60 8
∑ 27
Classe Intervalo de classe
fi xi ix . if xxi − ii fxx .−
1 10 20 3 15 45 07,2407,3915 =− 72,21
2 20 30 4 25 100 07,1407,3925 =− 56,28
3 30 40 7 35 245 07,407,3935 =− 28,49
4 40 50 5 45 225 93,507,3945 =− 29,65
5 50 60 8 55 440 93,1507,3955 =− 127,44
∑ 27 1055 314,07
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
35
• Agora calcule:
i
ii
f
fxxDMS
∑
−∑=
.
27
37,314=DMS 63,11=DMS
Medidas de Dispersão: Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação, sem
intervalo de classes.
Objetivo:
Ø A variância indica como os valores estão longe do que o valor esperado.
Ø O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
Ø O coeficiente de variação é a variância divida pela média, vezes cem.
Variância
Para representar a variância usamos a letra grega sigma elevada ao quadrado:σ 2
.
Para calcular a variância, você poderá usar as seguintes fórmulas:
• Sequência simples:
σ 2=
( )n
i xx −∑2
xi : valor dos elementos
x : média n : numero de elementos
• Variável discreta e contínua:
σ 2=
( )f
fxx
i
ii
∑
∑ −2
xi : valor dos elementos
x : média fi : quantidade de elementos
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
36
Desvio Padrão Para representar o desvio padrão: σ
Para calcular o desvio padrão use a seguinte fórmula:
σ = σ 2
Coeficiente de Variação
Para representar o coeficiente de variação: CV
Para calcular o coeficiente de variação use a seguinte fórmula:
100.x
CVσ= σ : desvio padrão
x : média
Exemplo 1: Calcule a variância, desvio padrão e coeficiente de variação da seguinte
sequência: 3, 2, 4, 7, 10
Resolução 1: Variância Lembrando, como é uma sequência simples, use a seguinte fórmula:
σ 2=
( )n
i xx −∑2
• Calcule a média:
n
xix
∑= 5
107423 ++++=x 2,5=x
• Para cada elementos calcule: ( )2
xxi −
§ ( )2
1 xx − = ( )22,53 − =4,84
§ ( )2
2 xx − = ( )22,52 − =10,24
§ ( )2
3 xx − = ( )22,54 − =1,44
§ ( )2
4 xx − = ( )22,57 − =3,24
§ ( )2
5 xx − = ( )22,510 − =23,04
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
37
∑ ( )2
xxi − = 4,84+10,24+1,44+3,24+24,96 = 42,8
• Substitua agora na fórmula :
σ 2=
( )n
i xx −∑2
σ 2=
5
72,44 σ 2
= 8,56
Portanto a variância é: 8,94
Resolução 2: Desvio Padrão
Lembrando que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
σ = σ 2 σ = 94,8 σ = 2,92
Portanto o desvio padrão é: 2,92
Resolução 3: Coeficiente de Variação
100.x
CVσ= 100.
2,5
92,2=CV 15,56=CV
Exemplo 2: Calcule a variância, desvio padrão e o coeficiente de variação da seguinte variável com dados agrupados sem intervalo de classes:
Lembrando que você terá que usar esta fórmula:
σ 2=
( )f
fxx
i
ii
∑
∑ −2
ix if
0 2
1 3
2 1
3 5
4 7
∑ 18
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
38
Resolução 1:
• Para você iniciar o exercício, terá que calcular a média, portanto deverá inserir uma
coluna na tabela para calcular xi . f i, não esqueça que a fórmula da média é:
∑∑=
i
ii
f
fxX x =
18
48 x = 2,67
• Agora você deve inserir mais uma coluna para calcular ( )2
xxi − .
• Para terminar a construção da tabela você deve inserir mais uma coluna para
calcular ( )2
xxi − . if
• Agora para calcular a variância você deverá substituir na fórmula:
σ 2=
( )f
fxx
i
ii
∑
∑ −2
σ 2=
18
02,36 σ 2
= 2
Portanto a variância é: 2
Resolução 2: Desvio Padrão
Lembrando que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
ix if ix . if ( )2
xxi − ( )2
xxi − . if
0 2 0 ( )267,20 − = 7,13 14,26
1 3 3 ( )267,21− = 2,79 8,37
2 1 2 ( )267,22 − = 0,45 0,45
3 5 15 ( )267,23 − = 0,11 0,55
4 7 28 ( )267,24 − = 1,77 12,39
∑ 18 48 12,25 36,02
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
39
σ = σ 2 σ = 2 σ = 1,41
Portanto o desvio padrão é: 1,41
Resolução 3: Coeficiente de Variação
100.x
CVσ= 100.
67,2
41,1=CV 81,52=CV
Medidas de Dispersão: Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação, com
intervalo de classes.
Objetivo: Esta aula dará continuidade a resolução das medias de dispersão: variável
de dados agrupados com intervalo
Para a resolução você usará a mesma fórmula da variável de dados agrupados
sem intervalo de classes.
σ 2=
( )f
fxx
i
ii
∑
∑ −2
Exemplo: Dada a tabela, calcule a variância, o desvio padrão e o coeficiente de
variação.
Classes Intervalo de classe if
1 0 2 3
2 2 4 2
3 4 6 4
4 6 8 6
5 8 10 1
∑ 16
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
40
Resolução 1:
• Para você iniciar o exercício, terá que calcular a média, para isso é necessário inserir uma coluna na tabela para o xi , não esqueça que para calcular xi você deve em classe: limite inferior mais limite superior dividido por dois, ou seja, fazer a média de cada classe. • Agora você deverá inserir uma coluna na tabela para calcular xi . f i.
• Calculando a média:
∑∑=
i
ii
f
fxX x =
16
80 x = 5
• Agora você deve inserir mais uma coluna para calcular ( )2
xxi − .
• Para terminar a construção da tabela você deve inserir mais uma coluna para
calcular ( )2
xxi − . if
• Agora para calcular a variância você deverá substituir na fórmula:
σ 2=
( )f
fxx
i
ii
∑
∑ −2
σ 2=
16
96 σ 2
= 6
Portanto a variância é: 6
Resolução 2: Desvio Padrão
Lembrando que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Classes Intervalo de classe if ix
ix . if ( )2
xxi − ( )2
xxi − . if
1 0 2 3 1 3 ( )251− =16 48
2 2 4 2 3 6 ( )253 − =4 8
3 4 6 4 5 20 ( )255 − =0 0
4 6 8 6 7 42 ( )257 − =4 24
5 8 10 1 9 9 ( )259 − =16 16
∑ 16 80 40 96
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
41
σ = σ 2 σ = 6 σ = 2,45
Portanto o desvio padrão é: 2,45
Resolução 3: Coeficiente de Variação
100.x
CVσ= 100.
5
45,2=CV 49=CV
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
42
Exercícios
Aula 01
1. Dada as seqüências de Dados Brutos, construa o Rol:
a) 7, 13, 14, 8, 0, 5, 7, 13, b) 10,10, 20, 15, 12, 18, 20, 21, 22,
2. Arredondar os números abaixo na 2ª casa decimal:
a) 0,0072 =
b) 0,22333 =
c) 0,678 =
d) 0,667 =
e) 1,609 =
f) 0,3332 =
g) 512,55555 =
h) 0,8901 =
3. Dada a sequência : x: 3, 4, 8, 0, determine:
a) ∑xi b) ∑xi
2
4. Dada a tabela abaixo, calcule:
a) ∑ ix b) ∑ if c) ∑ ii fx d) ∑ + )( ii fx
ix if
0 2
1 3
2 4
3 2
4 1
∑
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
43
Aula 02
1) Em uma pesquisa realizada a 30 pessoas, foi feita a seguinte pergunta: quantos
aparelhos de celular havia na casa de cada um deles? Foram obtidos os
seguintes valores:
a) Construa o Rol. b) Construa a tabela de frequência simples.
2) Em um mercado, trabalham 60 pessoas. A tabela representa a idade de cada um.
Organize os dados, construindo Rol e a Distribuição de freqüências. Use
515 == heli
3) Uma empresa selecionou ao acaso, uma amostra de 40 revendedores de
automóveis e anotou em determinado mês o número de unidades vendidas por estes
revendedores. Obteve os seguintes dados:
105 == heli
1 3 0 2 1 3 0 2 2 2
1 3 4 2 1 1 1 0 3 3
3 2 1 0 1 0 4 4 2 1
60 18 60 26 58 26 36 60 49 34
34 31 36 59 22 41 48 38 28 17
30 28 55 60 45 50 40 60 52 54
23 16 38 59 50 15 40 49 30 19
56 55 20 60 16 59 59 18 37 19
32 24 26 27 19 20 22 57 31 33
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
44
Construa a variável contínua.
10 15 25 21 6 23 15 21 26 32
9 14 19 20 32 18 16 26 24 20
7 18 17 28 35 22 19 39 18 21
15 18 22 20 25 28 30 16 12 20
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
45
Aula 03
1) Dada à série, calcule a frequência acumulada e a frequência relativa e construa o
gráfico:
ix if
1 4
2 7
3 5
4 2
5 1
2) Dada à série, calcule a frequência acumulada e a frequência relativa e construa o
gráfico:
3) 3) Dada à série, calcule a frequência acumulada e a frequência relativa e construa
o gráfico:
ix if
4 3
5 7
6 2
7 3
8 5
∑ 20
Classes Intervalo de classe if
1 2 4 3
2 4 6 4
3 6 8 2
4 8 10 5
5 10 12 4
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
46
4) Dada à série, calcule a frequência acumulada e a frequência relativa e construa o
gráfico:
Classes Intervalo de classe if
1 5 10 4
2 10 15 5
3 15 20 7
4 20 25 3
5 25 30 3
6 30 35 8
∑ 30
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
47
Aula 04
1) Dada à série, calcule a média aritmética simples: 2, 5, 10, 15, 20.
2) Dada à tabela de variável discreta calcule a média aritmética:
ix if
1 3
2 4
3 2
4 5
5 6
∑ 20
3) Dada à tabela da distribuição, calcule a média aritmética:
Classes Intervalo de classe if
1 0 2 6
2 2 4 8
3 4 6 5
4 6 8 6
∑ 25
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
48
Aula 05
1) Dada à série, calcule a mediana: 2, 5, 10, 15, 20.
2) Dada à tabela de variável discreta calcule a mediana:
ix if
1 3
2 4
3 2
4 5
5 6
∑ 20
3) Dada à tabela da distribuição, calcule a mediana:
Classes Intervalo de classe if
1 0 2 6
2 2 4 8
3 4 6 5
4 6 8 6
∑ 25
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
49
Aula 06
1) Dada à série, calcule a moda: 2, 5, 10, 15, 10.
2) A tabela representa a quantidade de televisores que cada revendedor efetuou
em um certo mês. Calcule a moda:
ix if
1 3
2 4
3 2
4 5
5 6
∑ 20
3) Dada à tabela da distribuição, calcule a moda:
Classes Intervalo de classe if
1 0 2 6
2 2 4 8
3 4 6 5
4 6 8 6
∑ 25
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
50
Aula 07
Utilize a tabela abaixo para a resolução dos exercícios de 1 a 3.
Calcule:
1)Q1 e Q3
2) D5 e D8
3) P70 e P81
ix if
152 7
156 9
160 11
164 8
166 5
∑ 40
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
51
Aula 08
Utilize a tabela abaixo para a resolução dos exercícios de 1 a 3.
Calcule:
1)Q1 e Q3
2) D4 e D7
3) P80 e P92
Intervalo de classe
if
5 10 5
1015 3
15 20 7
20 25 6
25 30 4
∑ 25
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
52
Aula 09
1) Para o conjunto {1, 3, 4, 5, 7, 10, 10 12}, quais os valores do desvio médio?
2) Calcule o desvio médio da seguinte distribuição que representa a altura de alunos
de uma sala de aula:
3) Na distribuição abaixo, qual é o desvio médio?
classes freqüência
30 10
40 20
50 35
60 25
70 10
4) No conjunto {3, 5, 9, 1, 7, 3, 2, 2, 10, 5, 6, 6,7}, determine o desvio médio.
Altura (cm) Pessoas
162 5
166 13
170 22
174 25
178 10
182 3
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
53
Aula 10
1) Um levantamento realizado, em uma empresa com 200 funcionários, em relação ao
salário de cada um obteve-se a seguinte tabela:
Qual o valor do desvio médio?
2) Dá-se a seguir o número de erros cometidos por 200 estudantes submetidos a um
teste de múltipla escolha na língua inglesa, Determine o desvio médio.
Salário Nº de
Funcionários
200,00 400,00 26
400,00 600,00 32
600,00 800,00 34
800,00 1000,00 40
1000,00 1200,00 28
1200,00 1400,00 22
1400,00 1600,00 18
Total 200
Número de
erros
Número de
alunos
510 12
1015 73
1520 52
2025 39
2530 24
Total 200
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
54
Aula 11
1) Para o conjunto {4, 3, 4, 5, 7, 7, 10 12}, quais Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação?
2) Calcule o Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação, da seguinte distribuição:
3) Na distribuição abaixo, qual é o Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação?
ix freqüência
25 10 35 20 45 35 55 25 65 10
4) No conjunto {3, 4, 9, 1, 7, 2, 2, 2, 10, 5, 6, 6,7}, determine Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação.
ix Pessoas
164 5 168 13 172 22 176 25 180 10 184 3
Apostila Estatística_____________ ____________________________________________
______________________________________________________________________
Profª Ms. Janice Natera Gonçalves
55
Aula 12 1) Na distribuição abaixo, qual é Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação?
2) Em uma copiadora, uma máquina que tira cópias não está trabalhando em virtude de uma quebra. A distribuição a seguir é uma amostra da duração desses tempos parados de uma máquina. Determine Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação.
classes Freqüência
30 40 10
40 50 20
50 60 35
60 70 25
70 80 10
Total
Tempo Parado (minutos) Freqüência
0 10 2
10 20 15
20 30 17
30 40 13
40 50 3
Total 50