estatistica regular 4

CURSOS ON-LINE ESTATSTICA BSICA CURSO REGULAR PROFESSOR SRGIO CARVALHO

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AULA 04

Ol, amigos! Tudo bem com vocs? Agora refeito da virose da semana passada (e quase pronto para outra!), vou tentar compensar o atraso com esta presente aula!

Nosso estudo de hoje dar incio anlise das chamadas Medidas de Posio.

Porm, antes de as conhecermos, convm muitssimo que ns saibamos quais so as formas pelas quais um conjunto pode ser apresentado numa prova. As mais comuns formas de apresentao de um conjunto so as trs seguintes:

1) Rol: aqui os elementos do conjunto estaro dispostos numa ordem que pode ser crescente ou decrescente. So exemplos de rol:

(1,2,3,4,5)

(1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5)

E assim por diante!

No muito comum encontrarmos um rol numa questo de prova, mas tambm no algo impossvel. Entre as ltimas provas da Receita, pde-se ver um rol na prova de 1998 e na de 2005. Entendido o que um rol? timo.

2) Dados Tabulados:

Vamos trabalhar com esse segundo exemplo de rol, acima. Ser possvel apresentarmos os elementos desse conjunto na forma de uma tabela? Claro que sim! Vamos ver como que fica:

Xi fi

1 3

2 4

3 3

4 2

5 1

Vejam que a coluna do Xi apresenta os elementos (individualizados) do conjunto; e a coluna do fi (a nossa conhecidssima freqncia absoluta simples) indica o nmero de vezes que o elemento aparece no conjunto! Assim, vemos que o elemento 1 (Xi=1) aparece trs vezes naquele rol (fi=3); o elemento 2 (Xi=2) aparece quatro vezes (fi=4), e assim por diante.

Se quisermos saber quantos elementos h neste conjunto, o que teremos que fazer? Ora, teremos que somar a coluna da freqncia absoluta simples fi.

Da, j podemos guardar a seguinte informao: sempre que quisermos saber o n (nmero de elementos de um conjunto), e esse conjunto estiver apresentado na forma de uma tabela, basta somarmos os valores da coluna da freqncia absoluta simples!

Ok? Assim, teremos:

Xi fi

1 3

2 4

3 3

4 2

5 1

n=13



Uma discusso existe acerca desta segunda forma de apresentao dos dados: h autores que dizem que se trata de um tipo de Distribuio de Freqncias; outros dizem que no! Ora, para efeito de concurso, essa discusso no nos interessa em nada!

O que interessa que voc precisar saber trabalhar a questo de todo jeito! Assim, para ns, aparecendo um conjunto na prova, e esse conjunto estando apresentado desta forma que acabamos de ver acima, diremos que estamos diante de Dados Tabulados! E s! Ok?

3) Distribuio de Freqncias:

Essa j nossa velha conhecida! Na Distribuio de Freqncias, diferentemente do que ocorre no rol e nos dados tabulados, os elementos do conjunto estaro agrupados em classes, em vez de serem apresentados de forma individualizada! Exemplo:

Xi fi

0 -- 10 3

10 -- 20 4

20 -- 30 3

30 -- 40 2

40 -- 50 1

n=13

Essencialmente, o que diferencia a Distribuio de Freqncias das outras duas formas de apresentao de um conjunto, vistas acima, exatamente o fato de aqui, na Distribuio, os dados estarem agrupados em classes!

J usamos uma aula anterior para estudar com mincia os elementos de uma Distribuio, no verdade?

Essencialmente, so essas as trs formas mais usuais de apresentao de um conjunto: Rol, Dados Tabulados e Distribuio de Freqncias.

Porm, no so as nicas. Vamos aproveitar o ensejo para apresentar um tipo de grfico, chamado de Histograma!

O Histograma o grfico estatstico que existe para representar os dados de uma Distribuio de Freqncias. Relacione sempre: Histograma para Distribuio de Freqncias! Ok? muito fcil construir um Histograma. No eixo horizontal, anotaremos os limites das classes; e no eixo vertical, as freqncias absolutas simples.

Trabalhemos com a Distribuio de Freqncias do exemplo acima, e tentemos construir o Histograma. Teremos:

fi

0 10 20 30 40 50 (Classes)

4

3

2

1



A primeira classe, que vai de zero a dez, tem fi igual a 3. Assim, o retngulo que representar essa classe no histograma ser o seguinte:

fi

0 10 20 30 40 50 (Classes)

Viram? A base do retngulo definida pelos limites da classe, enquanto sua altura definida pela freqncia absoluta simples daquela classe. No fcil? Faclimo! Para a segunda classe, sabendo que o fi=4, teremos:

fi

0 10 20 30 40 50 (Classes)

A essa altura, todos j entenderam a feitura do Histograma, no isso? Assim, vou logo completar o grfico, com base nos dados daquela Distribuio de Freqncias apresentada acima. Teremos:

fi

0 10 20 30 40 50 (Classes)

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1



Enfim! Professor, mas por que foi mesmo que voc apresentou o Histograma exatamente neste momento? Porque possvel, embora muito raro, que a sua prova apresente o conjunto a ser trabalhado por meio de um grfico como esse!

Ou seja, em vez de apresentar a Distribuio de Freqncias, a questo trar um Histograma! E a? O que fazer? Ora, com a mesma facilidade que voc construiu um Histograma partindo de uma Distribuio de Freqncias, voc poder fazer o caminho de volta, e construir a Distribuio, partindo de um Histograma! Concordam?

Repito: muito raro vir um Histograma na prova. Mas no impossvel. E j aconteceu!

Querem ver um exemplo? Caiu numa prova bem antiga de Tcnico da Receita Federal, do tempo em que esse cargo se chamava TTN. O Histograma trazido pela prova foi o seguinte:

fi

12 10 8 6 4 2

2 4 6 8 10 12 14 16 idades

E a? Voc saberia transformar esse grfico numa Distribuio de Freqncias? Claro. Ficaria o seguinte:

Classes fi

2 --- 4

4 --- 6

6 --- 8

8 --- 10

10 --- 12

12 --- 14

14 --- 16

2

6

10

12

8

6

4

Pronto! Est feito!

Ultimamente, isto , em algumas provas muito recentes, a Esaf andou inovando, e apresentou um conjunto por meio de um grfico at ento pouqussimo conhecido: o Diagrama de Ramos e Folhas. Da, muita e muita gente ficou olhando para as tais das folhas, e no soube absolutamente o que fazer com elas!

No deixou de ser mais uma daquelas maldades de prova... (fico imaginando a cara de prazer do elaborador de uma questo assim! Ser que tem me?). Pois bem! O tal Diagrama de Ramos e Folhas algo semelhante ao seguinte:



8 2 8 9 003 10 0011222344 10 577777 11 013 11 55679 12 00114 12 5557 13 004 13 5556 14 03 14 5 15 15 8

Vamos l! O Diagrama acima ser transformado num rol. Repetindo: o Diagrama de Ramos e Folhas vai virar um Rol.

Se bem observarmos, veremos uma coluna de valores no lado esquerdo. E outra no lado direito. Vejam melhor:

8 2 8 9 003 10 0011222344 10 577777 11 013 11 55679 12 00114 12 5557 13 004 13 5556 14 03 14 5 15 15 8

Esses valores da esquerda (em azul) permanecero exatamente na esquerda! Sero as dezenas! E os valores que os acompanham sua direita (em vermelho) permanecero adivinhem onde? na direita! Sero as unidades! Assim, teremos:

8 2 que vai virar: 82 9 003 que vai virar: 90, 90, 93 10 0011222344 que vai virar: 100, 100, 101, 101, 102, 102, 102, 103, 104, 104 10 577777 que vai virar: 105, 107, 107, 107, 107, 107 11 013 que vai virar: 110, 111, 113 11 55679 que vai virar: 115, 115, 116, 117, 119 12 00114 que vai virar: 120, 120, 121, 121, 124 12 5557 que vai virar: 125, 125, 125, 127 13 004 que vai virar: 130, 130, 134 14 03 que vai virar: 140, 143



15 8 que vai virar: 158

Assim, nosso Diagrama de Ramos e Folhas acima se transformou no seguinte rol:

{82, 90, 90, 93, 100, 100, 101, 101, 102, 102, 102, 103, 104, 104, 105, 107, 107, 107, 107, 107, 110, 111, 113, 115, 115, 116, 117, 119, 120, 120, 121, 121, 124, 125, 125, 125, 127, 130, 130, 134, 140, 143, 158}

Entendido? (Espero que sim, pois o mais didtico que consigo explicar...)

Pois bem! O que fizemos nesta aula, at o momento, foi conhecer as maneiras pelas quais a Esaf, ou qualquer outra elaboradora, pode se utilizar para apresentar um conjunto de elementos numa prova de Estatstica.

Uma vez fornecido o conjunto seja na forma de um rol, ou de dados tabulados, ou de Distribuio de Freqncias, ou de um Histograma, ou de um Diagrama de Ramos e Folhas j podero ser solicitados, nas questes da prova, os clculos de uma infinidade de medidas estatsticas!

Ou seja, para um determinado conjunto, pode-se pedir o clculo de:

Medidas de Tendncia Central (Mdia, Moda, Mediana); Medidas Separatrizes (Mediana, Quartis, Decis, Centis); Medidas de Disperso (Amplitude Total, Desvio Absoluto, Desvio Padro, Varincia,

Coeficiente de Variao, Desvio Quartlico, Varincia Relativa);

Momentos Estatsticos; Medidas de Assimetria; Medidas de Curtose. O estudo do conjunto dessas medidas todas constitui o objeto do nosso Curso!

exatamente o que figura no programa dos concursos que cobram a Estatstica Bsica.

Considerando que o Histograma ser transformado em uma Distribuio de Freqncias e que o Diagrama de Ramos e Folhas ser transformado num Rol, resta que as trs formas bsicas de apresentao dos dados sero, realmente: o Rol, os Dados Tabulados e a Distribuio de Freqncias.

Assim, para cada uma das medidas estatsticas que formos estudar, aprenderemos como ela ser calculada para o caso de o conjunto estar na forma de um Rol, ou de Dados Tabulados ou de Distribuio de Freqncias. Ok?

Ento vamos l!

Comearemos conhecendo as Medidas de Tendncia Central Mdia Aritmtica, Moda e Mediana.

# A Mdia Aritmtica: X Quando falarmos simplesmente em Mdia, saiba que estaremos nos referindo Mdia

Aritmtica. Ok? Existem outras espcies de Mdia, alm da Aritmtica, que sero estudadas oportunamente.

Comecemos pelo clculo da Mdia de um Rol.

Estou certo que esse um clculo que todos ns j realizamos. Suponhamos que voc ainda est na faculdade. O semestre comeou, e voc nem se deu conta disso. Eis que chegou o dia da primeira prova! A sua nota foi um desastre: nota 3 (trs).



Que lstima! A voc disse: Valha-me Deus, as aulas j comearam! (Meio tardia essa descoberta...!) O fato que voc procurou se redimir da nota baixa que tirou, e dedicou esforos para a segunda prova. O resultado se fez perceber, e voc conseguiu agora tirar um 8 (oito).

Ora, voc sabia que para passar por mdia, teria que tirar um notao na terceira e ltima prova, uma vez que a mdia naquela sua faculdade era 7 (sete).

Assim, virou vrias noites estudando e se dedicando quela disciplina, de sorte que conseguiu, merecidamente, tirar um 10 (dez) na terceira prova.

To logo recebeu esta ltima nota, voc correu s contas, pois desejava saber se havia passado por mdia, ou se necessitaria fazer a prova final.

Suas contas foram as seguintes:

( )321

31083 =++ =7,0

Parabns! Voc acaba de provar que um aluno cobra! (Aquele que passa se arrastando)! Mas passou, no foi? Isso o que importa! (Igual no concurso: se voc passar em ltimo lugar, vai ganhar o mesmo salrio de quem passou em primeiro)!

Vejamos novamente as notas das trs provas dessa pessoa: (3, 8, 10).

Isto um rol? Sim!

Ento, esta conta que foi feita para o clculo da mdia das notas foi, rigorosamente, o mesmo clculo que se faz para se descobrir a Mdia Aritmtica de um conjunto apresentado na forma de um rol.

Ou seja: somam-se as notas, e divide-se este resultado pelo nmero de provas.

Falando-se de um modo genrico: somam-se os elementos do conjunto, e divide-se esse resultado pelo nmero de elementos do conjunto!

Colocando-se essa definio em uma frmula, usando-se da linguagem estatstica, teremos que:

nXi

X = Onde:

X a Mdia Aritmtica; o sinal de somatrio. O que vier aps este smbolo dever ser somado! Xi cada elemento do conjunto; n o nmero de elementos do conjunto. S isso! Nada mais fcil que se calcular a Mdia de um rol.

Pena que o Rol seja to raro em provas...!

# A TRANSIO:

Esta palavra Transio est em destaque, porque nos acompanhar longamente durante nosso Curso!

Aprenderemos, meus queridos, que h uma maneira faclima de migrarmos de uma frmula de Rol para a frmula de Dados Tabulados. Da mesma forma, h como migrarmos da frmula dos Dados Tabulados para a frmula da Distribuio de Freqncias!

E essa maneira de fazer a migrao de uma frmula para outra justamente a tal da Transio que vamos aprender agora! Vamos l!



1) Como passar da frmula do Rol para a dos Dados Tabulados?

Manda a primeira transio que faamos o seguinte:

Repete-se a frmula do rol; e Acrescenta-se no numerador da frmula, sempre junto ao sinal de somatrio (), a freqncia absoluta simples fi.

S isso!

Assim, se eu j aprendi que a frmula usada para se calcular a Mdia Aritmtica de um conjunto apresentado na forma de um rol :

nXi

X = ... ... ento, querendo agora construir a frmula da Mdia Aritmtica para um conjunto apresentado na forma de Dados Tabulados, eu s precisarei seguir o que manda a transio! E teremos:

Para Dados Tabulados:

nXi

X = ......

Viram? Bastou repetir a frmula do Rol (j conhecida!) e acrescentar o fi no numerador, junto ao sinal de somatrio!

Usamos a primeira Transio!

E agora, caso queiramos construir a frmula da Mdia Aritmtica para uma Distribuio de Freqncias, como devemos proceder? A surge a segunda transio. Vejamos.

2) Como passar da frmula dos Dados Tabulados para a da Distribuio de Freqncias?

Manda a segunda transio que faamos o seguinte:

Repete-se a frmula dos Dados Tabulados; e Troca-se o Xi (elemento individualizado do conjunto) por PM (Ponto Mdio) da classe!

E s isso!

Mas qual seria o motivo de essa transio se fazer desta forma? Ora, por uma razo muito simples. Basta comparar as duas primeiras formas de apresentao (Rol e Dados Tabulados) com a Distribuio de Freqncias, e veremos que naquelas estamos sempre trabalhando com Xi (elementos individualizados do conjunto). Mas na Distribuio de Freqncias, ns deixamos de trabalhar com elementos individualizados, uma vez que agora nossa varivel passar a ser agrupada em classes!

Da, na Distribuio, no h mais que se falar em elemento individualizado Xi. Ter ele que ser substitudo por aquele elemento que melhor representa cada classe. E esse elemento justamente o Ponto Mdio!

Assim, conhecendo a frmula da Mdia Aritmtica para Dados Tabulados, e aplicando o que nos manda a segunda transio, teremos que a Mdia para uma Distribuio de Freqncias ser dada por:

nfi

X = .

fi

PM



A boa notcia, meus amigos, que essa mesmssima transio, que acabamos de aprender, no se aplica somente a frmulas de Mdia Aritmtica. No! Vai muito alm disso! Vamos us-la para a memorizao de vrias outras medidas estatsticas, a exemplo do Desvio Absoluto, do Desvio Padro, da Varincia, entre outras.

Primeiro, vejamos se ficou mesmo bem memorizada a nossa Transio!

Teremos:

Resumo da Transio:

1) Voc memoriza a frmula do Rol;

2) Repete a frmula do Rol e acrescenta fi no numerador, sempre junto ao sinal de somatrio, e aqui chegamos frmula dos Dados Tabulados;

3) Repete a frmula dos Dados Tabulados e troca-se Xi por PM (Ponto Mdio), e aqui chegamos frmula da Distribuio de Freqncias!

No final das contas, como eu costumo dizer em sala de aula, voc paga um e leva trs! No verdade? Claro! Imagine a mesma coisa ocorrendo para vrias outras medidas estatsticas! J pensou, quanta economia de decoreba? Basta lembrar da transio.

Ainda nem assunto de hoje, mas s para provar que a transio boa mesmo, veja abaixo a frmula de uma medida de disperso que ser estudada numa aula futura: a Varincia. Veja a frmula da Varincia para um Rol:

S2=( )n

XXi 2

Sabendo disso, voc j capaz de me dizer quais sero as frmulas da Varincia para Dados Tabulados e para Distribuio de Freqncias?

Claro que sim! Seguem a mesma regra da Transio que j conhecemos! Assim, teremos:

Para Dados Tabulados: S2=( )n

XXi 2.....

Para Distribuio de Freqncias: S2= ( )n

Xfi 2.......

Viram que foi s seguir a Transio? Maravilha, no ? sim!

Voltemos ao estudo da Mdia. Agora, j sabemos quais so as frmulas da Mdia para um Rol, para Dados Tabulados e para Distribuio de Freqncias. Considerando que em aproximadamente 99% dos casos o conjunto vem, na prova, expresso na forma de uma Distribuio de Freqncias, convm que nos dediquemos mais a esta forma de apresentao!

Passemos a alguns exemplos:

Exemplo 1) A tabela abaixo representa os pesos de um grupo de crianas. Obtenha o peso mdio desse conjunto. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Classes

(em Kg)

fi

0 --- 10

10 --- 20

2

3

fi

PM



20 --- 30

30 --- 40

40 --- 50

8

6

1

Antes de mais nada, viram a frase em destaque no enunciado? Foi pergunta de algumas pessoas no Frum de aulas passadas. Vamos entend-la. Quais so os extremos das classes? So os limites (inferior e superior). Se o enunciado diz que no existem observaes coincidentes com os extremos das classes, porque no h nenhum elemento do conjunto cujo valor coincida exatamente com algum dos limites (inferiores ou superiores) de nenhuma das classes.

No caso em tela, como tratamos de pesos de crianas, diremos que nenhuma dessas crianas tem peso coincidente com os limites das classes. Ou seja, nenhuma delas pesa 0, 10, 20, 30, 40, nem 50 quilos.

Em termos prticos, o que isso importar para ns? Importar que, sabendo disso, a tabela pode trazer o smbolo que quiser para definir os intervalos de classe, e ns poderemos simplesmente consider-lo como aquela simbologia clssica, de intervalo fechado esquerda e aberto direita, que no haver problema algum!

S isso!

Voltemos ao exemplo. A questo pede o peso mdio, o que traduziremos como a mdia dos pesos!

Se o conjunto representasse salrios, a questo pediria o salrio mdio. Se o conjunto representasse alturas, a questo pediria a altura mdia. Se o conjunto representasse idades, a questo pediria a idade mdia. (E no prova de Histria, hein!). E assim por diante!

(Quem j foi meu aluno presencial deve, a esta hora, estar balanando a cabea e dizendo: puxa, at as mesmas piadas bestas que ele diz em sala...)

Vamos repetir o conjunto, para podermos trabalhar com ele:

Classes fi

0 --- 10 10 --- 20 20 --- 30 30 --- 40 40 --- 50

2 3 8 6 1

Se eu quero a mdia aritmtica de uma Distribuio de Freqncias, comearei colocando a frmula no papel. E ser sempre assim! A frmula quem guiar os nossos passos de resoluo! Teremos:

nPMfi

X = . Olhando para o numerador da frmula, perguntaremos: j conhecemos a coluna do fi? Sim, j nossa conhecida! E se no fosse? E se a coluna de freqncia fornecida na tabela fosse alguma daquelas outras cinco (fac, fad, Fi, Fac ou Fad)? Ento, teramos que fazer todo aquele trabalho preliminar, que aprendemos na primeira aula, a fim de construirmos a coluna da fi (freqncia absoluta simples).

Neste nosso exemplo, isso no se fez necessrio!

Prxima pergunta, ainda olhando para o numerador: j conhecemos a coluna dos Pontos Mdios (PM)? Ainda no! Assim, ser nosso primeiro trabalho: construir a coluna dos Pontos Mdios! J sabemos fazer isso! Teremos:

Classes fi PM

0 --- 10 2 5



10 --- 20 20 --- 30 30 --- 40 40 --- 50

3 8 6 1

15 25 35 45

Reparem que todas as classes tm a mesma amplitude, no isso? Quanto? h=10. Assim, se vocs estiverem bem lembrados, basta calcular o valor do primeiro ponto mdio, e os prximos sero obtidos apenas somando com a amplitude (h). Viram? Isso j foi falado!

Ainda tratando do numerador da frmula, perguntaremos agora: j conhecemos a coluna do produto fi.PM? Ainda no! Conhecemos essas colunas separadamente, mas no o seu produto! Da, est definido o nosso prximo passo: construir a coluna do fi.PM. Teremos:

Classes fi PM fi.PM

0 --- 10 10 --- 20 20 --- 30 30 --- 40 40 --- 50

2 3 8 6 1

5 15 25 35 45

10 45 200 210 45

O que nos pede mesmo o numerador da frmula? Pede o somatrio (a soma) dos elementos desta coluna que acabamos de construir.

E o denominador, o que nos pede? Pede-nos o valor de n (nmero de elementos do conjunto). Ora, sabemos que n obtido somando-se a coluna da freqncia absoluta simples (fi). Fazendo esses dois somatrios, teremos:

Classes fi PM fi.PM

0 --- 10 10 --- 20 20 --- 30 30 --- 40 40 --- 50

2 3 8 6 1

5 15 25 35 45

10 45 200 210 45

n=20 510

Finalmente, aplicando a frmula da Mdia Aritmtica para uma Distribuio de Freqncias, teremos:

nPMfi

X = . 20510=X X =25,5 Resposta!

Fcil, no? Pode ficar mais fcil ainda! Antes de eu lhes apresentar um mtodo alternativo para clculo da mdia de uma distribuio de freqncias, convm que lhes fale acerca de algumas propriedades da Mdia.

# Algumas Propriedades da Mdia Aritmtica:

Considere o seguinte conjunto original (um rol): {1, 2, 3, 4, 5}

Qual a mdia deste conjunto? Teremos: (1+2+3+4+5)/5=15/5 X =3 E se agora tomarmos cada elemento (Xi) daquele conjunto original, e resolvermos adicionar cada um deles constante 10, por exemplo. O que teremos? Ora, teremos um novo conjunto: {11, 12, 13, 14, 15}. Concordam?



Assim, j no mais estamos diante daquela varivel original, e sim de uma varivel transformada! Transformada por meio de qu? De uma operao de soma!

E qual a Mdia desse novo conjunto (dessa nova varivel)? Faamos as contas:

(11+12+13+14+15)/5=65/5 X =13. Ora, nem precisaramos ter feito essa conta! Pois existe uma propriedade que diz: somando-se todos os elementos do conjunto com uma constante, a Mdia do novo conjunto ser igual Mdia do conjunto original tambm somada com aquela mesma constante!

Foi verdade isso? Sim. A Mdia do conjunto original era X =3. Ns somamos cada elemento do conjunto original com constante 10. Da, a Mdia do novo conjunto ser a mdia anterior (3) somada tambm constante 10. Ou seja, a nova Mdia ser 13.

E se serve para soma, serve tambm para subtrao!

Agora consideremos que cada elemento daquele conjunto original ser multiplicado pela constante 10. Ok? O que ocorrer quele conjunto? Ser transformado em outro. Passaremos a ter: {10, 20, 30, 40, 50}.

No se trata mais da varivel original e sim de uma varivel transformada! Transformada por quem? Por uma operao de multiplicao! Calculando a mdia do novo

conjunto, teremos: (10+20+30+40+50)/5=150/5 X =30. E nem precisaramos ter feito este clculo, pois existe uma propriedade da Mdia que diz: multiplicando-se cada elemento de um conjunto original por uma constante, a nova Mdia ser igual mdia anterior tambm multiplicada pela mesma constante!

Seno, vejamos: a mdia do conjunto original era X =3. Ns multiplicamos cada elemento do conjunto original pela constante 10. Da, a Mdia do novo conjunto ser a mdia anterior (3) multiplicada tambm pela constante 10. Ou seja, a nova Mdia ser 30.

E se serve para produto, serve tambm para diviso!

Para melhorar a nossa vida e a nossa memorizao, resumiremos essas propriedades todas em uma nica (e pequena) frase:

A MDIA INFLUENCIADA PELAS QUATRO OPERAES!

Ok? essa a frase que deve ficar guardada em nossa memria!

Agora, sim, posso passar a explicar o mtodo da Varivel Transformada!

Retomemos o nosso exemplo j trabalhado:

Exemplo 1 Soluo Alternativa) A tabela abaixo representa os pesos de um grupo de crianas. Obtenha o peso mdio desse conjunto. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Classes (em Kg)

fi

0 --- 10 10 --- 20 20 --- 30 30 --- 40 40 --- 50

2 3 8 6 1

Uma considerao inicial: este mtodo alternativo para clculo da Mdia Aritmtica de uma Distribuio de Freqncias, chamado Mtodo da Varivel Transformada, s ser aplicado, da forma como aprenderemos aqui, se todas as classes da Distribuio tiverem a mesma amplitude!

Assim, essa ser a nossa preocupao inicial: verificar se todas as classes tem a mesma amplitude. Se for o caso, prosseguiremos com o mtodo alternativo. Seno, resolveremos a



questo da forma convencional, aplicando a frmula da Mdia para uma distribuio de freqncias, como foi feito na primeira soluo deste exemplo.

No nosso caso, temos que todas as classes possuem a mesma amplitude (h=10). Assim, poderemos (e deveremos!) utilizar o Mtodo da Varivel Transformada. Faamos um passo a passo.

1) Construiremos a coluna dos Pontos Mdios! (A rigor, basta conhecermos o valor do primeiro ponto mdio). Teremos:

Classes fi PM 0 --- 10 10 --- 20 20 --- 30 30 --- 40 40 --- 50

2 3 8 6 1

5 . . . .

2) Construiremos uma coluna de transformao da varivel. Convm que sigamos a seguinte

sugesto para construir esta coluna: ( )

hPMPM 01

.

Ou seja: Ponto Mdio menos o primeiro Ponto Mdio, e tudo isso dividido pela amplitude da classe. Construindo essa coluna, teremos:

Classes fi PM ( )10

....PM=Yi

0 --- 10 10 --- 20 20 --- 30 30 --- 40 40 --- 50

2 3 8 6 1

5 . . . .

Se vocs seguirem esta minha sugesto para construir a coluna de transformao da varivel [(PM-1PM)/amplitude da classe], ento no ser preciso perder um segundo sequer para calcular os valores dessa coluna. Basta comear por zero e seguir adiante (0, 1, 2, 3 etc), at onde houver classe! Teremos:

Classes fi PM ( )10

....PM=Yi

0 --- 10 10 --- 20 20 --- 30 30 --- 40 40 --- 50

2 3 8 6 1

5 . . . .

0 1 2 3 4

Vai ser sempre assim, professor? Vai! Desde que, repito, voc aceite aquela minha sugesto!

Uma observao: vocs viram que eu chamei o resultado dessa coluna de transformao da varivel de Yi. Viram? O que vem a ser este Yi? Ora, ele surgiu de onde? Ele surgiu de uma transformao que ns fizemos, partindo dos valores dos Pontos Mdios da varivel original. Assim, poderemos chamar esse Yi de Ponto Mdio Transformado. Ok?

Percebam que, assim como o PM representava a varivel original (Xi), o Ponto Mdio Transformado (Yi) representar a varivel original (que podemos chamar pelo mesmo nome: Yi). Ok?

Adiante!

5

5



Como prximo passo, construiremos a coluna do fi.Yi, e faremos imediatamente o seu somatrio.

Teremos:

Classes fi PM ( )10

5PM=Yi fi.Yi

0 --- 10 10 --- 20 20 --- 30 30 --- 40 40 --- 50

2 3 8 6 1

5 . . . .

0 1 2 3 4

0 3

16 18 4

Ora, se quisssemos aplicar a frmula da Mdia Aritmtica para calcular o valor de X ,

faramos: nPMfi

X = . . E se quisermos aplicar esta frmula para calcularmos a Mdia da varivel transformada Yi? Como ficaria esta frmula? Trocaramos PM (Ponto Mdio da varivel original Xi) por Yi (Ponto Mdio da varivel transformada Yi). Teramos:

nYifi

Y = . Portanto, esse o nosso prximo passo: calcular a mdia da varivel transformada Y . Reparem que o numerador desta frmula o somatrio da coluna que acabamos de

construir. E que o denominador n (nmero de elementos do conjunto), que ser descoberto somando-se a coluna da fi (freqncia absoluta simples). Teremos:

Classes fi PM ( )10

5PM=Yi fi.Yi

0 --- 10 10 --- 20 20 --- 30 30 --- 40 40 --- 50

2 3 8 6 1

5 . . . .

0 1 2 3 4

0 3 16 18 4

n=20 41

Da: 2041=Y =Y 2,05

Pergunta: ser que esse valor (2,05) a resposta da nossa questo?

Claro que no! 2,05 o valor da mdia da varivel transformada! E no isso que a

questo pergunta! Estamos procura da mdia da varivel original ( X ). Assim, como prximo passo, faremos o desenho de transformao da varivel. O que

isso? um desenho que retrata a coluna de transformao da varivel. Comeamos assim: de um lado, temos a varivel original Xi, e de outro, a varivel transformada Yi.

Xi Yi



Percebam que esse desenho dever ser um retrato fiel da coluna de transformao da varivel. Nesta coluna, a varivel original Xi est representada por PM, que o Ponto Mdio original. E o que foi feito a esse Ponto Mdio original? Foram feitas duas operaes matemticas: primeiro subtramos todos eles por 5; e depois, dividimos tudo por 10. Esto vendo isso, l na coluna de transformao da varivel? Pois bem! Essas so, neste nosso exemplo, as duas operaes que transformaram a varivel Xi na varivel Yi. Teremos:

1)-5 2)10

Xi Yi Compreendido como se desenhou este caminho de ida da transformao? Apenas repetindo as operaes que constavam l na coluna de transformao da varivel.

Mas, e se agora quisermos desenhar o caminho de volta? Como se faria o retorno da varivel transformada para a varivel original? Basta invertermos as operaes do caminho de ida. Assim, a operao inversa da subtrao a soma; e a operao inversa da diviso a multiplicao. Teremos:

1)-5 2)10

Xi Yi

2)+5 1)x10

Verifiquem que inverteu-se tambm a seqncia das operaes: onde terminou l em cima, comeou aqui em baixo. Viram isso?

Eu lhes digo que esse desenho no nos deixar errar a questo! E ele ser empregado, alm de no clculo da Mdia, para trabalharmos vrias outras medidas estatsticas, como Desvio Padro, Varincia e Coeficiente de Variao. Por isso eu insisto em ensin-lo!

Foi difcil fazer o desenho de transformao da varivel? Claro que no!

O que nos resta saber que, partindo de um lado do desenho com um valor de Mdia, chegaremos ao lado oposto tambm com uma Mdia.

A ttulo de adiantamento: se partirmos de um lado deste desenho com um valor de Desvio Padro, chegaremos ao lado oposto tambm com Desvio Padro; se partirmos de um lado deste desenho com Varincia, chegaremos ao lado oposto tambm com Varincia!

Pois bem! Qual foi a Mdia que j calculamos nesta resoluo? Foi a Mdia da varivel

transformada: Y . E a varivel transformada est no lado direito do desenho. Assim, temos: 1)-5 2)10

Xi Yi

2)+5 1)x10

Partindo desse lado direito com Mdia, chegaremos ao lado esquerdo com Mdia. Para tanto, precisaremos percorrer o caminho de volta (em vermelho), passando pelas operaes desse caminho, e lembrando-nos das propriedades da Mdia.

05,2=Y



Numa frase: a Mdia influenciada pelas quatro operaes!

Ou seja, qualquer operao que surgir neste caminho de volta (seja de soma, subtrao, produto ou diviso) ns teremos que realizar. Assim, teremos:

2,05 x 10 = 20,5 E depois: 20,5 +5 = 25,5

Chegamos a:

1)-5 2)10

Xi Yi

2)+5 1)x10

Chegamos nossa resposta: X =25,5. Exatamente a mesma resposta a qual havamos chegado na primeira soluo!

Amigos, eu nem preciso de bola de cristal para adivinhar o que est se passando pela cabea de muitos de vocs: esse professor est louco, se acha que eu vou aprender esse tal de mtodo da varivel transformada! Eu vou s aplicar a formulazinha convencional da Mdia, e pronto!

Acertei? Se voc pensou assim, eu tenho uma m notcia a lhe dar: voc no tem escolha! O uso do mtodo da varivel transformada se tornou, por assim dizer, praticamente uma obrigao! Mas por qu? Porque o caminho do atalho! Aplicando este mtodo, voc, em sua prova, chegar resposta da questo na metade do tempo do seu concorrente que preferir usar o mtodo convencional.

Mas, professor, eu no achei o mtodo convencional demorado! Claro que no! Mas voc viu os valores que eu usei para serem os limites das classes? Voc viu os valores que eu usei para serem as freqncias absolutas simples? Todos valores baixos e redondos!

Na sua prova no vai vir assim! Na sua prova, ser mais ou menos desse jeito:

Classes fi 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10

E a? Vai encarar? Quer tentar o mtodo convencional, aplicando a frmula do X ? Vamos tentar!

1) Construir a coluna dos Pontos Mdios;

2) Construir a coluna do fi.PM.

3) Aplicar a frmula: nPMfi

X = .

05,2=Y X =25,5



Seguindo esses trs passos, teremos o seguinte:

Classes fi PM fi.PM 29,5-39,5 4 34,5 138 39,5-49,5 8 44,5 356 49,5-59,5 14 54,5 763 59,5-69,5 20 64,5 1290 69,5-79,5 26 74,5 1937 79,5-89,5 18 84,5 1521 89,5-99,5 10 94,5 945

n=100 6.950

E a, colega? O que voc achou dessas continhas?

Da: 5,691006950 ==X Resposta!

Ocorre que, quando voc ainda estivesse na metade da resoluo, eu aqui j teria feito o seguinte:

1) Descoberto o valor do primeiro ponto mdio:

Classes fi PM 29,5-39,5 4 34,5 39,5-49,5 8 . 49,5-59,5 14 . 59,5-69,5 20 . 69,5-79,5 26 . 79,5-89,5 18 . 89,5-99,5 10 .

n=100

2) Construdo a coluna de transformao da varivel:

Classes fi PM ( ) YiPM =10

5,34

29,5-39,5 4 34,5 0 39,5-49,5 8 . 1 49,5-59,5 14 . 2 59,5-69,5 20 . 3 69,5-79,5 26 . 4 79,5-89,5 18 . 5 89,5-99,5 10 . 6

n=100

3) Construdo a coluna fi.Yi:

Classes fi PM ( ) YiPM =10

5,34 fi.Yi

29,5-39,5 4 34,5 0 0 39,5-49,5 8 . 1 8



49,5-59,5 14 . 2 28 59,5-69,5 20 . 3 60 69,5-79,5 26 . 4 104 79,5-89,5 18 . 5 90 89,5-99,5 10 . 6 60

n=100 350

4) Calculado a Mdia da Varivel Transformada: Y

5,3100350 ==Y

5) Desenhado como se deu a transformao da varivel:

1)-34,5 2)10

Xi Yi

2)+34,5 1)x10

6) Percorrido o caminho de volta, partindo do valor j calculado do Y , e chegado resposta:

3,5 x 10 = 35 e 35 + 34,5 = 69,5 Resposta!

Acreditem: seu concorrente ainda estar na metade daquelas contas escabrosas!

E tanto mais rpido ser a sua resoluo pelo mtodo da varivel transformada, quanto mais voc trein-lo em sua casa!

Tenha a certeza de que, a cada vez que voc repetir o uso deste mtodo alternativo, sua resoluo se tornar mais e mais acelerada! Chegar ao ponto de voc ficar realmente surpreso com sua prpria velocidade! (Essa tabela acima foi extrada do AFRF 2002-2).

Ok?

Penso que por hoje j est de bom tamanho!

Vou deixar um Dever de Casa bem caprichado para vocs, e na prxima aula trabalharemos os conceitos de Moda e de Mediana.

Um forte abrao a todos! E fiquem com Deus!

Na seqncia, as questes do nosso...

... Dever de Casa

10. (BANCO CENTRAL-94) Em certa empresa, o salrio mdio era de $90.000,00 e o desvio-padro era de $10.000,00. Todos os salrios receberam um aumento de 10%. O salrio mdio passou a ser de: a) $ 90.000,00 d) $ 99.000,00 b) $ 91.000,00 e) $ 100.000,00 c) $ 95.000,00

(TTN-94) Considere a distribuio de freqncias transcrita a seguir:



Xi fi

2 | 4 4 | 6 6 | 8 8 | 10 10| 12

9 12 6 2 1

11. A mdia da distribuio igual a:

a) 5,27 b) 5,24 c) 5,21 d) 5,19 e) 5,30 (AFTN-96) Para efeito das cinco prximas questes, considere os seguintes dados:

DISTRIBUIO DE FREQNCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONRIOS DA EMPRESA ALFA, EM 1/1/90

Classes de Idades (anos)

Freqncias

(fi)

Pontos Mdios (Xi)

diXi =537

fi.di fi.di2 fi.di3 fi.di4

19,5 | 24,5 24,5 | 29,5 29,5 | 34,5 34,5 | 39,5 39,5 | 44,5 44,5 | 49,5 49,5 | 54,5

2 9 23 29 18 12 7

22 27 32 37 42 47 52

-3 -2 -1 1 2 3

-6 -18 -23 18 24 21

18 36 23 18 48 63

-54 -72 -23 18 96 189

162 144 23 18 192 567

Total 16 206 154 1106 12. Marque a opo que representa a mdia das idades dos funcionrios em

1/1/90. a) 37,4 anos b) 37,8 anos c) 38,2 anos d) 38,6 anos e)39,0

anos Para efeito da questo seguinte, sabe-se que o quadro de pessoal da empresa continua o mesmo em 1/1/96. 13. Marque a opo que representa a mdia das idades dos funcionrios em

1/1/96. a) 37,4 anos d) 43,8 anos b) 39,0 anos e) 44,6 anos c) 43,4 anos

(AFRF-2000) Para efeito da prxima questo faa uso da tabela de freqncias abaixo. Freqncias Acumuladas de Salrios Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa

Classes de Salrio Freqncias Acumuladas

( 3 ; 6] 12 ( 6 ; 9] 30 ( 9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68

14. Quer-se estimar o salrio mdio anual para os empregados da Cia. Alfa.

Assinale a opo que representa a aproximao desta estatstica calculada com base na distribuio de freqncias. a) 9,93 d) 10,00 b) 15,00 e) 12,50 c) 13,50



(AFRF-2002) Para a soluo da prxima questo utilize o enunciado que segue. Em um ensaio para o estudo da distribuio de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contbil do balano de uma empresa. Esse exerccio produziu a tabela de freqncias abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqncia relativa acumulada. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

15. Assinale a opo que d o valor mdio amostral de X.

a) 140,10 d) 140,00 b) 115,50 e) 138,00 c) 120,00

(FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de freqncias abaixo deve ser utilizada nas duas prximas questes e apresenta as freqncias acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuio dos salrios anuais de economistas (Y) em R$ 1.000,00, do departamento de fiscalizao da Cia. X. No existem realizaes de Y coincidentes com as extremidades das classes salariais.

Classes F 29,5 39,5 2 39,5 49,5 6 49,5 59,5 13 59,5 69,5 23 69,5 79,5 36 79,5 89,5 45 89,5 99,5 50

16. Assinale a opo que corresponde ao salrio anual mdio estimado para o

departamento de fiscalizao da Cia. X. a) 70,0 d) 74,4 b) 69,5 e) 60,0 c) 68,0

(Oficial de Justia Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) Para a soluo da prxima questo utilize o enunciado que segue. A tabela abaixo apresenta a distribuio de freqncias do atributo salrio mensal medido em quantidade de salrios mnimos para uma amostra de 200 funcionrios da empresa X. Note que a coluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salrios mnimos e que a coluna P refere-se ao percentual da freqncia acumulada relativo ao total da amostra. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.



Classes P 4 8 20 8 12 60 12 16 80 16 20 98 20 24 100

17. Assinale a opo que corresponde ao salrio mdio amostral calculado a

partir de dados agrupados. a) 11,68 d) 16,00 b) 13,00 e) 14,00 c) 17,21

A prxima questo diz respeito distribuio de freqncias seguinte associada ao atributo de interesse . X No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Classes

Freqncias Simples

0-10 120 10-20 90 20-30 70 30-40 40 40-50 20

18. (ANEEL 2004 ESAF) Assinale a opo que d, aproximadamente, a mdia

amostral de X a) 25,00 b) 17,48 c) 18,00 d) 17,65 e) 19,00

Bons estudos!

estatistica regular 4

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