UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEUNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL

  

CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSUNOVAS TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA

INFORMÁTICA EDUCATIVA II  

  PROF: CARLOS FRANÇA

ALUNO: TIBURCINDIO NUNES FERREIRA DUQUE ESTRADA  POLO: SAQUAREMA

A

B CH a

bch

n m

Teorema

A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo determina dois outros triângulos retângulos, ambos semelhantes ao primeiro.

Hipótese Tese

Considere o triângulo retângulo ABC

DemonstraçãoA

B Ca

bc

B H

A

△ ABC HBA ( caso A.A. ), pois ∼ △

B C

A

bc

a H

A

C

h

b

n

h

m

△ ABC ∼ △ HBA ( caso A.A. ), pois

Pela propriedade transitiva da semelhança de triângulos temos: △ HBA ∼ △ HCA

Relações Métricas

A semelhança entre esses triângulos permite estabelecer importantes relações métricas no triângulo retângulo.

1ª relaçãoDa semelhança entre os triângulos ABC e HBA, temos:

Da semelhança entre os triângulos ABC e HBA, temos:

Podemos então, dizer: Num triângulo retângulo a medida de cada cateto é a média proporcional positiva entre as medidas da hipotenusa e da projeção desse cateto sobre a hipotenusa.

2ª relaçãoDa semelhança entre os triângulos HBA e HCA, temos: Podemos, então, dizer:

Num triângulo retângulo, a medida da altura relativa à hipotenusa é a média proporcional positiva entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

3ª relação

Da semelhança entre os triângulos ABC e HBA, temos: Podemos, então, dizer:

Num triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.

4ª relação: Teorema de Pitágoras

Como vimos, para o triângulo retângulo considerado valem as relações c2 = an e b2 = am

Somando-se essas duas relações, membro a membro, vem:

c2 + b2 = an + amc2 + b2 = a( n + m ) colocamos a em evidênciac2 + b2 = a . a substituímos m + n por ac2 + b2 = a2 ou a2 = b2 + c2

Podemos, então, enunciar o famoso teorema de Pitágoras:Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à

soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Resumo

Se um triângulo ABC é retângulo, então são válidas as seguintes relações métricas:

a

A

B

A A A

a aB B BC C C C

b b b bc cc c

nn m mh h

b2 = anc2 = am

h2 = mn

bc= ah a2 = b2 + c2

Exemplo 1Calcular o valor de x, y e z no triângulo retângulo:

xy

z5,4 9,6

Solução:Cálculo de z: Cálculo de y: Z = 9,6 + 5,4 = 15 Vamos aplicar a relação: h2 = mn

Cálculo de x: c2 = an y2 = 9,6 . 5,4 x2 = 15 . 5,4 y2 = 51,84 x2 = 81 y = x = y = 7,2 x = 9

Exemplo 2Calcular o valor de x, y e z no triângulo retângulo:

y

x

z

6

Solução Cálculo de x: Cálculo de z:Vamos aplicar a 1ª relação: Vamos aplicar a 3ª relação:

6x = 84x = 14

Cálculo de y:Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras: